Dimenzioniranje prema TPBK (EC2)

Sveučilište u Splitu Građevinsko-arhitektonski fakultet

Alen Harapin

Dimenzioniranje betonskih konstrukcija prema TPBK (EC2)

Literatura: [1] [2] [3]

[4] [5] [6] [7]

[8]

Tehnički propis za betonske konstrukcije, NN 101/05 HRN ENV 1991-1 EUROKOD 1: Osnove projektiranja i djelovanja na konstrukcije – 1. dio: Osnove projektiranja, Državni zavod za normizaciju i mjeriteljstvo, 2005. HRN ENV 1992-1-1 EUROKOD 2: Projektiranje betonskih konstrukcija – 1.1 dio: Opća pravila i pravila za zgrade, Državni zavod za normizaciju i mjeriteljstvo, 2004. Jure Radić i suradnici: Betonske Konstrukcije – Priručnik, Hrvatska sveučilišna naklada, Sveučilište u Zagrebu – Građevinski fakultet, SECON HNDK, Andris, Zagreb, 2006. Jure Radić i suradnici: Betonske Konstrukcije – Riješeni primjeri, Hrvatska sveučilišna naklada, Sveučilište u Zagrebu – Građevinski fakultet, Andris, Zagreb, 2006. Ivan Tomičić: Betonske konstrukcije, DHGK, Zagreb, 1996. Zorislav Sorić, Ivan Tomičić: EUROCODE 2, Projektiranje, proračun i dimenzioniranje armiranobetonskih i prednapetih betonskih nosivih konstrukcija, u okviru Građevinskog godišnjaka ’95., Zagreb, 1995. Vahid Hasanović: Proračun armiranobetonskih konstrukcija: EUROCODE 2, Građevinski fakultet u Sarajevu, Sarajevo, 2000.

Sva predavanja na temu EC2 nalaze se na: www.gradst.hr/katedre/bkm

Opterećenja: Pregled hrvatskih i europskih normi za djelovanja na konstrukcije Djelovanje

Hrvatske norme

Europske norme

Prostorne težine, vlastite težine, uporabna opterećenja

HRN ENV 1991-2-1

EN 1991-1-1

Požarno djelovanje

HRN ENV 1991-2-2

EN 1991-1-2

Opterećenje snijegom

HRN ENV 1991-2-3

EN 1991-1-3

Opterećenje vjetrom

HRN ENV 1991-2-4

EN 1991-1-4

Toplinska djelovanja

HRN ENV 1991-2-5

EN 1991-1-5

Djelovanja tijekom izvedbe

HRN ENV 1991-2-6

EN 1991-1-6

Izvanredna djelovanja uzrokovana udarom i eksplozijom

HRN ENV 1991-2-7

EN 1991-1-7

Prometna opterećenja mostova

HRN ENV 1991-3

EN 1991-2

Djelovanja na silose i spremnike tekućina

HRN ENV 1991-4

EN 1991-3

Djelovanja uzrokovana kranovima i drugim strojevima

HRN ENV 1991-5

EN 1991-4

nHRN ENV 1998-1-1

prEN 1998-1

Potresno djelovanje

Opterećenja: Tipovi djelovanja: STALNA DJELOVANJA Vlastita težina konstrukcije Vlastita težina nekonstruktivnih dijelova, obloge ili nepomične opreme Sile od djelovanja tlaka tla, koje nastaju od težine tla Deformacije uslijed načina izgradnje konstrukcije Sile uslijed hidrostatičkog tlaka vode Sile nastale uslijed slijeganja oslonaca Sile prednapinjanja PROMJENJIVA DJELOVANJA Opterećenja uslijed aktivnog i pasivnog korištenja objekta (uporabno/korisno opterećenje) Prometno opterećenje Pojedini dijelovi težine konstrukcije koji djeluju samo u pojedinim fazama izgradnje Montažna opterećenja Opterećenja vjetrom Opterećenja snijegom Opterećenja ledom Posljedice promjenjive razine površine vode (ako je potrebno) Promjena temperature Opterećenje valovima IZVANREDNA DJELOVANJA Udari vozila ili plovila Eksplozije Slijeganje i klizanje terena Ekstremno jaki vjetar (Tornado) Potres Požar

Uporabna opterećenja zgrada: Promjenjivo djelovanje

qk [kN/m2]

Qk [kN]

A. Stambeni prostori, odjeli u bolnicama, hotelske sobe Uobičajene prostorije

2.0

2.0

Stubišta

3.0

2.0

Balkoni

4.0

2.0

3.0

2.0

Prostorije sa stolovima, škole, kavane, restorani, čitaonice, recepcije

3.0

4.0

Prostorije s nepomičnim sjedalima, crkve, kina, prodavaonice, čekaonice, konferencijske dvorane

4.0

4.0

Prostorije bez prepreka za kretanje ljudi, izložbeni prostori, pristupi u javnim zgradama, hotelima i sl.

5.0

4.0

Športske prostorije i prostori za igru, plesne dvorane, gimnastičke dvorane

5.0

7.0

Prostorije za velika okupljanja ljudi, zgrade za javne priredbe, koncertne dvorane, športske dvorane

5.0

4.0

Prostorije u trgovinama

5.0

4.0

Prostorije u robnim kućama i trgovinama na veliko

5.0

7.0

6.0

7.0

B. Uredi Uredi C. Prostorije u kojima je moguće okupljanje ljudi

D. Prodajne prostorije

E. Prostorije s mogućnošću gomilanja robe i stvari Skladišta uključujući i knjižnice

Opterećenja:

Četiri reprezentativne vrijednosti:

Vrijednost u komb. ψ0

Česta vrijed. ψ1

Kvazistalna vrijednost ψ2

Uporabna opterećenja u zgradama -Stambeni prostori -Uredi -Prostori za veće skupove ljudi -Trgovine -Skladišta

0.7 0.7 0.7 0.7 1.0

0.5 0.5 0.7 0.7 0.9

0.3 0.3 0.6 0.6 0.8

Prometna opterećenja u zgradama -Težine vozila ≤ 30 kN -Težine vozila ≤ 30 kN -Krovovi

0.7 0.7 0.0

0.7 0.5 0.0

0.6 0.3 0.0

Opterećenje vjetrom na zgrade

0.6

0.5

0.0

Opterećenje snijegom

0.6

0.2

0.0

Temperatura u zgradama (ne požar)

0.6

0.5

0.0

Promjenjivo djelovanje

- karakteristična vrijednost (Qk) - vrijednost u kombinaciji (ψ0Qk) – uzima u obzir smanjenu vjerojatnost istodobnog djelovanja više promjenjivih neovisnih opterećenja s njihovom najnepovoljnijom vrijednošću. Koristi se za provjeru graničnog stanja nosivosti i nepovratnog graničnog stanja uporabe. Ova kombinacija je vrlo rijetka, i u vijeku trajanja konstrukcije događa se jednom ili nijednom. - česta vrijednost (ψ1Qk) – koristi se za provjeru graničnog stanja nosivosti uzimajući u obzir izvanredna djelovanja i za povratna granična stanja uporabe. Ovakva česta kombinacija događa se npr. jedanput godišnje. - nazovistalna vrijednost (ψ2Qk) – također se koristi za provjeru graničnog stanja nosivosti uzimajući u obzir izvanredna djelovanja i za povratna granična stanja uporabe. Nazovistalna kombinacija događa se npr. jednom tjedno.

Koeficijenti sigurnosti – granična stanja nosivosti Koeficijenti sigurnosti na materijal Materijal

Beton

Čelik

Kombinacija

(γc)

(γs)

Uobičajena komb.

1.50

1.15

Izvanredna komb.

1.30

1.00

Koeficijenti sigurnosti za opterećenje Stalno

Pokretno

Prednap.

(γG)

(γQ)

(γP)

Nepovoljno

1.35

1.50

1.0-1.2

Povoljno

1.00

0.00

0.9-1.0

Djelovanje

Koeficijenti kombinacije (ψ) Vrijednost u kombinaciji ψ0

Česta vrijednost ψ1

Kvazistalna vrijednost ψ2

Uporabna opterećenja u zgradama -Stambeni prostori -Uredi -Prostori za veće skupove ljudi -Trgovine -Skladišta

0.7 0.7 0.7 0.7 1.0

0.5 0.5 0.7 0.7 0.9

0.3 0.3 0.6 0.6 0.8

Prometna opterećenja u zgradama -Težine vozila ≤ 30 kN -Težine vozila ≤ 30 kN -Krovovi

0.7 0.7 0.0

0.7 0.5 0.0

0.6 0.3 0.0

Opterećenje vjetrom na zgrade

0.6

0.5

0.0

Opterećenje snijegom

0.6

0.2

0.0

Temperatura u zgradama (ne požar)

0.6

0.5

0.0

Promjenjivo djelovanje

Uobičajena (stalna) proračunska kombinacija

S sd =

∑ (γ i

G

⋅ Gk,i ) + γ Q ⋅ Qk,1 +

∑ (γ

Q

⋅ ψ 0,i ⋅ Qk,i ) + γ P ⋅ Pk

i>1

Napomena: Znak “+” znači: “kombinira se sa”

Koeficijenti sigurnosti – granična stanja nosivosti Koeficijenti sigurnosti na materijal Materijal

Beton

Čelik

Kombinacija

(γc)

(γs)

Uobičajena komb.

1.50

1.15

Izvanredna komb.

1.30

1.00

Koeficijenti sigurnosti za opterećenje Stalno

Pokretno

Prednap.

(γG)

(γQ)

(γP)

Nepovoljno

1.35

1.50

1.0-1.2

Povoljno

1.00

0.00

0.9-1.0

Djelovanje

Primjer:

Koeficijenti kombinacije (ψ) Vrijednost u kombinaciji ψ0

Česta vrijednost ψ1

Kvazistalna vrijednost ψ2

Uporabna opterećenja u zgradama -Stambeni prostori -Uredi -Prostori za veće skupove ljudi -Trgovine -Skladišta

0.7 0.7 0.7 0.7 1.0

0.5 0.5 0.7 0.7 0.9

0.3 0.3 0.6 0.6 0.8

Prometna opterećenja u zgradama -Težine vozila ≤ 30 kN -Težine vozila ≤ 30 kN -Krovovi

0.7 0.7 0.0

0.7 0.5 0.0

0.6 0.3 0.0

Opterećenje vjetrom na zgrade

0.6

0.5

0.0

Opterećenje snijegom

0.6

0.2

0.0

Temperatura u zgradama (ne požar)

0.6

0.5

0.0

Promjenjivo djelovanje

Nepovoljno djelovanje opterećenja; Stalno opterećenje: (G) i Prednaprezanje (P) Pokretno opterećenje: Korisno (Qk), Vjetar (Qw), Snijeg (Qs)

Vodeće pokretno opterećenje: Korisno S sd = 1.35 ⋅ G + 1.5 ⋅ Qk + 1.5 ⋅ (0.6 ⋅ Q w + 0.6 ⋅ Q s ) + 1.0 ⋅ P Vodeće pokretno opterećenje: Vjetar

S sd = 1.35 ⋅ G + 1.5 ⋅ Q w + 1.5 ⋅ (0.7 ⋅ Qk + 0.6 ⋅ Q s ) + 1.0 ⋅ P

Koeficijenti sigurnosti – granična stanja nosivosti - pojednostavljeni postupak Koeficijenti sigurnosti na materijal Materijal

Koeficijenti kombinacije (ψ)

Beton

Čelik

Kombinacija

(γc)

(γs)

Uobičajena komb.

1.50

1.15

Izvanredna komb.

1.30

1.00

Koeficijenti sigurnosti za opterećenje Stalno

Pokretno

Prednap.

(γG)

(γQ)

(γP)

Nepovoljno

1.35

1.50

1.0-1.2

Povoljno

1.00

0.00

0.9-1.0

Djelovanje

Vrijednost u kombinaciji ψ0

Česta vrijednost ψ1

Kvazistalna vrijednost ψ2

Uporabna opterećenja u zgradama -Stambeni prostori -Uredi -Prostori za veće skupove ljudi -Trgovine -Skladišta

0.7 0.7 0.7 0.7 1.0

0.5 0.5 0.7 0.7 0.9

0.3 0.3 0.6 0.6 0.8

Prometna opterećenja u zgradama -Težine vozila ≤ 30 kN -Težine vozila ≤ 30 kN -Krovovi

0.7 0.7 0.0

0.7 0.5 0.0

0.6 0.3 0.0

Opterećenje vjetrom na zgrade

0.6

0.5

0.0

Opterećenje snijegom

0.6

0.2

0.0

Temperatura u zgradama (ne požar)

0.6

0.5

0.0

Promjenjivo djelovanje

Uobičajena (stalna) proračunska kombinacija kada je prisutno više jednakovrijednih pokretnih opterećenja

S sd =

∑ (γ i

G

⋅ Gk,i ) + 0.9 ⋅

∑γ

Q

⋅ Qk , j

j≥1

Napomena: Znak “+” znači: “kombinira se sa”

Koeficijenti sigurnosti – granična stanja nosivosti Koeficijenti sigurnosti na materijal Materijal

Beton

Čelik

Kombinacija

(γc)

(γs)

Uobičajena komb.

1.50

1.15

Izvanredna komb.

1.30

1.00

Koeficijenti sigurnosti za opterećenje Stalno

Pokretno

Prednap.

(γG)

(γQ)

(γP)

Nepovoljno

1.35

1.50

1.0-1.2

Povoljno

1.00

0.00

0.9-1.0

Djelovanje

Koeficijenti kombinacije (ψ) Vrijednost u kombinaciji ψ0

Česta vrijednost ψ1

Kvazistalna vrijednost ψ2

Uporabna opterećenja u zgradama -Stambeni prostori -Uredi -Prostori za veće skupove ljudi -Trgovine -Skladišta

0.7 0.7 0.7 0.7 1.0

0.5 0.5 0.7 0.7 0.9

0.3 0.3 0.6 0.6 0.8

Prometna opterećenja u zgradama -Težine vozila ≤ 30 kN -Težine vozila ≤ 30 kN -Krovovi

0.7 0.7 0.0

0.7 0.5 0.0

0.6 0.3 0.0

Opterećenje vjetrom na zgrade

0.6

0.5

0.0

Opterećenje snijegom

0.6

0.2

0.0

Temperatura u zgradama (ne požar)

0.6

0.5

0.0

Promjenjivo djelovanje

Izvanredna proračunska kombinacija

S sd =

∑ (γ i

G

⋅ Gk,i ) + ψ1,1 ⋅ Qk,1 +

∑ (ψ

2,i

⋅ Qk,i ) + A d + γ P ⋅ Pk

i>1

Napomena: Znak “+” znači: “kombinira se sa”

Koeficijenti sigurnosti – granična stanja nosivosti Koeficijenti sigurnosti na materijal Materijal

Koeficijenti kombinacije (ψ)

Beton

Čelik

Kombinacija

(γc)

(γs)

Uobičajena komb.

1.50

1.15

Izvanredna komb.

1.30

1.00

Koeficijenti sigurnosti za opterećenje Stalno

Pokretno

Prednap.

(γG)

(γQ)

(γP)

Nepovoljno

1.35

1.50

1.0-1.2

Povoljno

1.00

0.00

0.9-1.0

Djelovanje

Vrijednost u kombinaciji ψ0

Česta vrijednost ψ1

Kvazistalna vrijednost ψ2

Uporabna opterećenja u zgradama -Stambeni prostori -Uredi -Prostori za veće skupove ljudi -Trgovine -Skladišta

0.7 0.7 0.7 0.7 1.0

0.5 0.5 0.7 0.7 0.9

0.3 0.3 0.6 0.6 0.8

Prometna opterećenja u zgradama -Težine vozila ≤ 30 kN -Težine vozila ≤ 30 kN -Krovovi

0.7 0.7 0.0

0.7 0.5 0.0

0.6 0.3 0.0

Opterećenje vjetrom na zgrade

0.6

0.5

0.0

Opterećenje snijegom

0.6

0.2

0.0

Temperatura u zgradama (ne požar)

0.6

0.5

0.0

Promjenjivo djelovanje

Seizmička proračunska kombinacija

S sd =

∑G

k ,i

i

+

∑ (ψ

2,i

⋅ Qk,i ) + γ i ⋅ A d + Pk

i

γi - Koeficijenti važnosti:

= 0.7 – građevina niže važnosti = 1.0 – građevina normalne važnosti = 1.3 – građevina povećane važnosti

Koeficijenti sigurnosti – granična stanja uporabe Koeficijenti sigurnosti na materijal Materijal

Beton

Čelik

Kombinacija

(γc)

(γs)

Uobičajena komb.

1.50

1.15

Izvanredna komb.

1.30

1.00

Koeficijenti kombinacije (ψ)

Koeficijenti sigurnosti za opterećenje Stalno

Pokretno

Prednap.

(γG)

(γQ)

(γP)

Nepovoljno

1.35

1.50

1.0-1.2

Povoljno

1.00

0.00

0.9-1.0

Djelovanje

Vrijednost u kombinaciji ψ0

Česta vrijednost ψ1

Kvazistalna vrijednost ψ2

Uporabna opterećenja u zgradama -Stambeni prostori -Uredi -Prostori za veće skupove ljudi -Trgovine -Skladišta

0.7 0.7 0.7 0.7 1.0

0.5 0.5 0.7 0.7 0.9

0.3 0.3 0.6 0.6 0.8

Prometna opterećenja u zgradama -Težine vozila ≤ 30 kN -Težine vozila ≤ 30 kN -Krovovi

0.7 0.7 0.0

0.7 0.5 0.0

0.6 0.3 0.0

Opterećenje vjetrom na zgrade

0.6

0.5

0.0

Opterećenje snijegom

0.6

0.2

0.0

Temperatura u zgradama (ne požar)

0.6

0.5

0.0

Promjenjivo djelovanje

Rijetka kombinacija – koristi se kod proračuna širine pukotina i progiba – trajna lokalna oštećenja i deformacije

S sd =

∑G

k,i

i

+ Qk,i +

∑ (ψ i>1

0,i

⋅ Qk,i ) + Pk

Koeficijenti sigurnosti – granična stanja uporabe Koeficijenti sigurnosti na materijal Materijal

Beton

Čelik

Kombinacija

(γc)

(γs)

Uobičajena komb.

1.50

1.15

Izvanredna komb.

1.30

1.00

Koeficijenti sigurnosti za opterećenje Stalno

Pokretno

Prednap.

(γG)

(γQ)

(γP)

Nepovoljno

1.35

1.50

1.0-1.2

Povoljno

1.00

0.00

0.9-1.0

Djelovanje

Koeficijenti kombinacije (ψ) Vrijednost u kombinaciji ψ0

Česta vrijednost ψ1

Kvazistalna vrijednost ψ2

Uporabna opterećenja u zgradama -Stambeni prostori -Uredi -Prostori za veće skupove ljudi -Trgovine -Skladišta

0.7 0.7 0.7 0.7 1.0

0.5 0.5 0.7 0.7 0.9

0.3 0.3 0.6 0.6 0.8

Prometna opterećenja u zgradama -Težine vozila ≤ 30 kN -Težine vozila ≤ 30 kN -Krovovi

0.7 0.7 0.0

0.7 0.5 0.0

0.6 0.3 0.0

Opterećenje vjetrom na zgrade

0.6

0.5

0.0

Opterećenje snijegom

0.6

0.2

0.0

Temperatura u zgradama (ne požar)

0.6

0.5

0.0

Promjenjivo djelovanje

Česta kombinacija – koristi se kod proračuna širine pukotina i progiba – privremena lokalna oštećenja i deformacije, te kod proračuna ograničenja naprezanja

S sd =

∑G

k,i

i

+ ψ1,1 ⋅ Qk,i +

∑ (ψ i>1

2,i

⋅ Qk,i ) + Pk

Koeficijenti sigurnosti – granična stanja uporabe Koeficijenti sigurnosti na materijal Materijal

Beton

Čelik

Kombinacija

(γc)

(γs)

Uobičajena komb.

1.50

1.15

Izvanredna komb.

1.30

1.00

Koeficijenti kombinacije (ψ)

Koeficijenti sigurnosti za opterećenje Stalno

Pokretno

Prednap.

(γG)

(γQ)

(γP)

Nepovoljno

1.35

1.50

1.0-1.2

Povoljno

1.00

0.00

0.9-1.0

Djelovanje

Vrijednost u kombinaciji ψ0

Česta vrijednost ψ1

Kvazistalna vrijednost ψ2

Uporabna opterećenja u zgradama -Stambeni prostori -Uredi -Prostori za veće skupove ljudi -Trgovine -Skladišta

0.7 0.7 0.7 0.7 1.0

0.5 0.5 0.7 0.7 0.9

0.3 0.3 0.6 0.6 0.8

Prometna opterećenja u zgradama -Težine vozila ≤ 30 kN -Težine vozila ≤ 30 kN -Krovovi

0.7 0.7 0.0

0.7 0.5 0.0

0.6 0.3 0.0

Opterećenje vjetrom na zgrade

0.6

0.5

0.0

Opterećenje snijegom

0.6

0.2

0.0

Temperatura u zgradama (ne požar)

0.6

0.5

0.0

Promjenjivo djelovanje

Nazovistalna (Kvazistalna) kombinacija – koristi se kod proračuna ograničenja naprezanja u elementima

S sd =

∑G

k ,i

i

+

∑ (ψ i

2,i

⋅ Qk,i ) + Pk

Gradivo - Beton Razredi tlačne čvrstoće betona normalne gustoće (gustoća 2000-2600 kg/m3) Karakteristika betona fck (MPa)

Čvrstoća na valjku

fc,cub (MPa)

Čvrstoća na kocki

fct,m (MPa)

Srednja vlačna čvrstoća

τRd (MPa)

Posmična čvrstoća

Ecm (MPa)

Početni modul elastičnosti

C12/15

C16/20

C20/25

C25/30

C30/37

C35/45

C40/50

C45/55

C50/60

12

16

20

25

30

35

40

45

50

15

20

25

30

37

45

50

55

60

(MB 15)

(MB 20)

(MB 25)

(MB 30)

(MB 40)

(MB 45)

(MB 50)

(MB 55)

(MB 60)

1.6

1.9

2.2

2.6

2.9

3.2

3.5

3.8

4.1

0.18

0.22

0.26

0.30

0.34

0.37

0.41

0.44

0.48

26000

27500

29000

30500

32000

33500

35000

36000

37000

σc f ck

α f cd

(

)

f σc = ck 4 − εc εc 4

Ecm = 9500 ⋅ 3 fck + 8

[MPa] [MPa]

;

fck [MPa]

fct,m ≈ 0.3 ⋅ (fck )

;

fck [MPa]

23

fcd =

fck γc

Koeficijenti sigurnosti na materijal

ε c [‰] 2.0 ‰

3.5 ‰

Koeficijentom “α” uzima se u obzir nepovoljno djelovanje dugotrajnog opterećenja i dinamičkih učinaka. Za “α” se uzima: α = 0.85 za presjeke oblika pravokutnika α = 0.80 za presjeke oblika trokuta ili trapeza

Materijal

Beton

Čelik

Kombinacija

(γc)

(γs)

Uobičajena kombinacija

1.50

1.15

Izvanredna kombinacija

1.30

1.00

Gradivo – Beton - Specifikacija betona S obzirom na način izrade (projektiranja), beton može biti Projektirani beton Beton zadanog sastava Beton normiranog zadanog sastava Konstrukcijski betoni su u pravilu Projektirani betoni. Uvjetovatelj svojstava (projektant, naručitelj ili izvođač) treba osigurati da svi zahtjevi na svojstva budu uključeni u specifikacije dane proizvođaču betona (betonari). Uvjetovatelj također treba specificirati i zahtjeve za svojstva betona potrebne za transport nakon isporuke, ugradnju, zbijanje, njegu ili bilo koji drugi tretman. Osnovni zahtjevi su: a) Zahtjev za zadovoljenje norme HRN ENV 206-1 (Specifikacije, svojstva, proizvodnja i sukladnost) b) Razred tlačne čvrstoće c) Razred izloženosti d) Maksimalna nazivna veličina zrna agregata e) Razred sadržaja klorida f) Razred ili zadana vrijednost gustoće (za lagani beton) g) Zadana gustoća (za teški beton)

Gradivo – Beton - Specifikacija betona Dodatni zahtjevi su a) Posebni tip ili razred cementa (npr. cement niske topline hidratacije) b) Posebni tip ili razred agregata c) Svojstva nužna za otpornost na smrzavanje (npr. sadržaj zraka) d) Zahtjevi za temperaturu svježeg betona e) Promjena konzistencije u vremenu f) Razvoj čvrstoće g) Razvoj topline hidratacije h) Usporeno / ubrzano očvršćivanje i) Propusnost (voda, plin, kloridi…) j) Otpornost na habanje k) Vlačna čvrstoća cijepanjem l) Modul elastičnosti m) Skupljanje i puzanje n) Drugi zahtjevi, npr. zahtjevi koji se odnose na posebni izgled površine, posebni postupak ugradnje i sl.

Gradivo – Beton – Uvjeti okoliša i klasa betona Razred

Opis okoliša

Informativni primjer moguće pojave razreda izloženosti

Najmanji razred tlačne čvrstoće betona

Minim. Zaštitni sloj cmin (mm)

Maksim. v/c omjer

Minimalna količina cementa

Ostali zahtjevi

Elementi bez armature u neagresivnom okolišu (npr. Nearmirani temelji koji nisu izloženi smrzavanju i odmrzavanju, nearmirani unutarnji elementi)

C 20/25

15

-

-

-

Elementi u prostorijama obične vlažnosti zraka (uključujući kuhinje, kupaonice, praonice rublja u stambenim zgradama); elementi stalno uronjeni u vodu

C 20/25

20

0.65

260

-

1. Nema rizika od oštećenja

X0

Bez rizika djelovanja

2. Korozija armature uzrokovana karbonitizacijom

XC1

Suho ili trajno vlažno

XC2

Vlažno, rijetko suho

Dijelovi spremnika za vodu; dijelovi temelja

C 30/37

35

0.60

280

-

XC3

Umjerena vlažnost

Dijelovi do kojih vanjski zrak ima stalni ili povremeni pristup (npr. Zgrade otvorenih oblika); prostorije s atmosferom visoke vlažnosti (npr. Javne kuhinje, kupališta, praonice, vlažni prostori zatvorenih bazena za kupanje,…)

C 30/37

35

0.55

280

-

XC4

Cikličko vlažno i suho

Vanjski betonski elementi izravno izloženi kiši; elementi u području vlaženja vodom (slatkovodna jezera i/ili rijeke,…

C 30/37

40

0.50

300

-

Područja prskanja vode s prometnih površina; privatne garaže

C 30/37

55

0.55

300

3. Korozija armature uzrokovana kloridima koji nisu iz mora XD1

Suho ili trajno vlažno

XD2

Vlažno, rijetko suho

Bazeni za plivanje i kupališta sa slanom vodom; elementi izloženi industrijskim vodama koji sadrže kloride

C 30/37

55

0.55

320

XD3

Cikličko vlažno i suho

Elementi izloženi prskanju vode s prometnih površina na koja se nanose sredstva za odleđivanje; parkirališne ploče bez zaštitnog sloja

C 35/45

55

0.45

320

Gradivo – Beton – Uvjeti okoliša i klasa betona Razred

Opis okoliša

Najmanji razred tlačne čvrstoće betona

Minim. Zaštitni sloj cmin (mm)

Maksim. v/c omjer

Minimalna količina cementa

Ostali zahtjevi

Vanjski elementi u blizini obale

C 30/37

55

0.50

300

-

Stalno uronjeni elementi u lukama

C 35/45

55

0.45

320

-

Zidovi lukobrana i molova

C 35/45

55

0.45

340

-

C 30/37

-

0.55

Informativni primjer moguće pojave razreda izloženosti

4. Korozija armature uzrokovana kloridima iz mora

XS1

Izloženi soli iz zraka, ali ne u direktnom dodiru s morskom vodom

XS2

Uronjeno

XS3

U zonama plime i prskanja vode

5. Djelovanje smrzavanja i odmrzavanja, sa li bez sredstava za odleđivanje Vanjski elementi

XF1

Umjereno zasićeno vodom bez sredstava za odleđivanje

XF2

Umjereno zasićeno vodom sa sredstvom za odleđivanje ili morska voda

Područja prskanja vode s prometnih površina, sa sredstvom za odleđivanje (ali drukčije od onog kod XF4); područje prskanja morskom vodom

XF3

Jako zasićeno vodom bez sredstava za odleđivanje

XF4

Jako zasićeno vodom sa sredstvom za odleđivanje ili morska voda

Otvoreni spremnici za vodu; elementi u području kvašenja vodom (slatkovodna jezera i/ili rijeke)

Prometne površine tretirane sredstvima za odleđivanje; pretežno vodoravni elementi izloženi prskanju vode s prometnih površina na koja se nanose sredstva za odleđivanje; parkirališne ploče bez zaštitnog sloja); elementi u području morske plime; mjesta na kojima može doći do struganja u postrojenjima za tretiranje voda iz kanalizacije

300

C 25/30

-

0.55

300

C 30/37

-

0.50

320

Agregat prema HRN EN 12620 s dovoljnom otpornošću na smrzavanje; Minimalna količina zraka 4.0%

C 30/37

-

0.45

340

Gradivo – Beton – Uvjeti okoliša i klasa betona

Razred

Opis okoliša

Informativni primjer moguće pojave razreda izloženosti

Najmanji razred tlačne čvrstoće betona

Minim. Zaštitni sloj cmin (mm)

Maksim. v/c omjer

Minimal na količina cementa

Ostali zahtjevi

-

6. Beton izložen kemijskom djelovanju XA1

Slabo kemijski agresivan okoliš

Spremnici u postrojenjima za tretiranje voda iz kanalizacije; spremnici tekućih umjetnih gnojiva

C 30/37

-

0.55

300

XA2

Umjereno kemijski agresivan okoliš; konstrukcije u marinama

Betonski elementi u dodiru s morskom vodom; elementi u agresivnom tlu

C 35/45

-

0.50

320

Kemijski agresivne vode u postrojenjima za tretiranje otpadnih voda; spremnici za silažu i korita (žlijebovi) za hranjenje životinja; rashladni tornjevi s dimnjacima za odvođenje dimnih plinova

C 35/45

-

0.45

360

XA3

Jako kemijski agresivan okoliš

Sulfatno otporni cement

7. Beton izložen habanju XM1

Umjereno habanje

Elementi industrijskih konstrukcija izloženi prometu vozila s pneumatskim gumama na kotačima

C 30/37

25

-

-

XM2

Znatno habanje

Elementi industrijskih konstrukcija izloženi prometu viljuškara s pneumatskim ili tvrdim gumama na kotačima

C 30/37

45

-

-

Ekstremno habanje

Elementi industrijskih konstrukcija izloženi prometu viljuškara s pneumatskim gumama ili čeličnim kotačima; hidrauličke konstrukcije u vrtložnim (uzburkanim) vodama (npr. Bazeni za destilaciju); površine izložene prometu gusjeničara

C 35/45

50

-

-

XM3

Manje maksimalno zrno agregata

Gradivo - Čelik Svojstva čelika za armiranje: Šipkasta armatura (nHRN EN 10080-2, nHRN EN 10080-3 i nHRN EN 10080-4) Naziv i oznaka (broj) čelika

B500A

B500B

B450C

B500A

B500B

B450C

(1.0438)

(1.0439)

(1.04…)

(1.0438)

(1.0439)

(1.04…)

5-16

6-16

6-16

4-16 Šipke: 6-40

Namot:

Nazivni promjer, d (mm)

Mrežasta armatura (nHRN EN 10080-5)

6-16 Šipke: 6-40

Namot:

Namot:

6-16

Granica razvlačenja fyk (MPa)

≥ 500

≥ 500

≥ 450

≥ 500

≥ 500

≥ 450

Omjer vlačne čvrstoće i granice razvlačenja

≥ 1.05

≥ 1.08

≥ 1.15 ≤ 1.35

≥ 1.05

≥ 1.08

≥ 1.15 ≤ 1.35

±σs f yk f yd

B500A – tri reda poprečnih rebara

fyd =

B450C – dva reda poprečnih rebara; s jedne strane rebra pod različitim kutovima u odnosu na os

fyk γs

ε s [‰] 20.0 ‰

Materijal

Beton

Čelik

Kombinacija

(γc)

(γs)

Uobičajena komb.

1.50

1.15

Izvanredna komb.

1.30

1.00

B500B – dva reda poprečnih rebara; s obje strane rebra su paralelna (pod istim kutom u odnosu na os)

d2

2

εs2

εc2

d-x

Nsd

εs1

As1

d1

0.85 fcd

Fs2 Fc

d-d2 z=ζ*d

Neutralna os

Msd

h d

TPBK (2005.)

As2

x=ξ*d

Dimenzioniranje na moment savijanja

Fs1

1

εb

fB

d-a'

Neutralna os

Mu

a

Aa b

h-x

Nu

εa

F'a Fb

z=k z*d

εa'

d h

PBAB (1987.)

A'a

x=k x*d

a'

b

Fa

Dimenzioniranje na moment savijanja – osnovni izrazi

εc2

εs1

d-d2 z=ζ*d

d-x

h d

As1

Fc

B

Neutralna os

Msd

d1

0.85 fcd

x=ξ*d

2

Msd ≤ MRd

A

1

b d – statička visina presjeka h – ukupna visina presjeka b – širina presjeka d1 – udaljenost težišta vlačne armature od vlačnog ruba presjeka d2 – udaljenost težišta tlačne armature od tlačnog ruba presjeka x – udaljenost neutralne osi od tlačnog ruba presjeka (s koeficijentom ξ) z – krak unutrašnjih sila (s koeficijentom ζ) εc2 – deformacija betona na tlačnom rubu εs1 – deformacija armature u težištu vlačnih šipki fcd – računska čvrstoća betona Msd – računski moment savijanja Fs1 – sila u vlačnoj armaturi As1 – površina vlačne armature

Fs1

Dimenzioniranje na moment savijanja – osnovni izrazi εc2

d1

σc =

A

Fs1

Msd ≤ MRd

Fs1 = A s1 ⋅ f yd

Fc = 0.85 ⋅ α v ⋅ x ⋅ b ⋅ fcd = 0.85 ⋅ α v ⋅ ξ ⋅ d ⋅ b ⋅ fcd

∑ M(

A)

=0

⇒

Msd = Fc ⋅ z

z = d − k a ⋅ x = d − k a ⋅ ξ ⋅ d = (1 − k a ⋅ ξ ) ⋅ d = ζ ⋅ d

Msd = Fc ⋅ z = 0.85 ⋅ α v ⋅ ξ ⋅ d ⋅ b ⋅ fcd ⋅ ζ ⋅ d µ sd = 0.85 ⋅ α v ⋅ ξ ⋅ ζ =

∑ M( ) = 0 B

⇒

Msd = Fs1 ⋅ z

Msd = A s1 ⋅ fyd ⋅ ζ ⋅ d Msd A s1 = ζ ⋅ d ⋅ fyd

Msd b ⋅ d2 ⋅ fcd

fcd (4 − εc )εc 4

εc 2

T ka

1

b

σc = fcd

fcd

d-d2 z=ζ*d

d-x

h d

εs1

As1

Fc

B

Neutralna os

Msd

σc

0.85 fcd

x=ξ*d

2

∑N = 0

2‰

3 .5 ‰

εc 2 (6 − εc 2 ) 0 ‰ < εc 2 ≤ 2 ‰ 12 3 εc2 − 2 2 ‰ < ε c 2 ≤ 3 .5 ‰ αv = 3 εc2

αv =

8 − εc 2 0 ‰ < εc 2 ≤ 2 ‰ 4(6 − εc 2 ) ε (3ε − 4 ) + 2 ka = c2 c2 2 ‰ < ε c 2 ≤ 3 .5 ‰ 2εc 2 (3εc 2 − 2) ka =

⇒

Fc = Fs1

0.85 ⋅ α v ⋅ ξ ⋅ d ⋅ b ⋅ fcd = A s1 ⋅ f yd f yd A s1 f yd ω = 0.85 ⋅ α v ⋅ ξ = ⋅ = ρ⋅ d ⋅ b fcd fcd

Jednostruko armirani pravokutni presjek opterećen momentom savijanja TPBK (2005.)

PBAB (1987.)

εc2

⇒

d1 = 4.0 cm;

d = h − d1 = 56.0 cm

fck = 25.0 MPa

⇒

fcd =

fyk = 500.0 MPa

⇒

fyd =

fck 25.0 = = 16.67 MPa γc 1 .5 fyk γs

=

500.0 = 434.78 MPa 1.15

Opterecenje : Mg = 130.0 kNm; Mq = 80.0 kNm; Msd = γ g ⋅ Mg + γ q ⋅ Mq = 1.35 ⋅ 130.0 + 1.5 ⋅ 80.0 = 295.5 kNm;

Postupak : µ sd =

Msd 29550 = = 0.141 2 b d fcd 40 ⋅ 56 2 ⋅ 1.67

za ε s1 = 10‰; oci tan o : ε c 2 = 3.1‰; ζ = 0.904 A s1 =

h-x

h=56 cm

d-x

b=40 cm

Materijal :

B500B

Aa a=4 cm

d1=4 cm

1

Geometrija :

⇒

Mu

εs1

A s1

C 25 30

Neutralna os d=60 cm

Msd

d=56 cm

h=60 cm

Neutralna os

b = 40 cm; h = 60.0 cm;

εb

x

x

2

Msd 29550 = = 13.42 cm2 ζ d fyd 0.904 ⋅ 56 ⋅ 43.48

εa

b=40 cm

Geometrija : b = 40 cm; d = 60.0 cm; a = 4.0 cm; h = d − a = 56.0 cm Materijal : MB − 30 ⇒

fB = 20.5 MPa

MA 500 / 560

⇒

σ vi = 500.0 MPa

Opterecenje : Mg = 130.0 kNm; Mp = 80.0 kNm; Mu = γ g ⋅ Mg + γ p ⋅ Mp = 1.6 ⋅ 130.0 + 1.8 ⋅ 80.0 = 352.0 kNm; Postupak : mu =

Mu 35200 = = 0.137 2 b h fB 40 ⋅ 56 2 ⋅ 2.05

za ε a = 10‰; oci tan o : ε b = 2.5‰; k z = 0.922 Aa =

Mu 35200 = = 13.63 cm 2 k z h σ vi 0.922 ⋅ 56 ⋅ 50.0

Jednostruko armirani pravokutni presjek opterećen momentom savijanja TPBK (2005.)

PBAB (1987.)

εc2

Aa a=4 cm

1 b=40 cm

Geometrija : d1 = 4.0 cm;

d = h − d1 = 56.0 cm

Materijal :

Mu h-x

h=56 cm

d-x

εs1

A s1 d1=4 cm

Neutralna os d=60 cm

Msd

d=56 cm

h=60 cm

Neutralna os

b = 40 cm; h = 60.0 cm;

εb

x

x

2

εa

b=40 cm

Geometrija : b = 40 cm; d = 60.0 cm; a = 4.0 cm; h = d − a = 56.0 cm Materijal : MB − 30 ⇒

fB = 20.5 MPa fck 25.0 = = 16.67 MPa γc 1 .5 MA 500 / 560 ⇒ σ vi = 500.0 MPa σc ε = ‰ ε = ‰ za 10 i 3 . 5 ; b fyk 500.0 a f ck: Opterecenj e = = 434 B500B ⇒ fyk = 500.0 MPa ⇒ fyd = mu.78 = 0MPa .187 Mgα=f130 .0 kNm; Mp = 80.0 kNm; γs 1.15 cd µ = 0 . 159 sd Opterecenje : Mu = γ g ⋅ Mg + γ p ⋅ Mp = 1.6 ⋅ 130.0 + 1.8 ⋅ 80.0 = 352.0 kNm; µ sd 0.159 Mg = 130.0 kNm; Mq = 80.0 kNm; : = = 0.85Postupak =α ε c [‰] mu 0.187 Msd = γ g ⋅ Mg + γ q ⋅ Mq = 1.35 ⋅ 130.0 + 1.5 ⋅ 80.0 = 295.5 kNm; Mu 35200 2.0 ‰ 3.5 =‰0.137 mu = = b h2 fB 40 ⋅ 56 2 ⋅ 2.05 Postupak : C 25 30

⇒

µ sd =

fck = 25.0 MPa

⇒

fcd =

Msd 29550 = = 0.141 2 b d fcd 40 ⋅ 56 2 ⋅ 1.67

za ε s1 = 10‰; oci tan o : ε c 2 = 3.1‰; ζ = 0.904 A s1 =

Msd 29550 = = 13.42 cm2 ζ d fyd 0.904 ⋅ 56 ⋅ 43.48

za ε a = 10‰; oci tan o : ε b = 2.5‰; k z = 0.922 Aa =

Mu 35200 = = 13.63 cm 2 k z h σ vi 0.922 ⋅ 56 ⋅ 50.0

Tablice za dimenzioniranje pravokutnih presjeka prema graničnim stanjima nosivosti

20.0 20.0 20.0 20.0 20.0 20.0 20.0 20.0 20.0 20.0 20.0 20.0 20.0 20.0 20.0 20.0 20.0 20.0 20.0 20.0 20.0 20.0 20.0 20.0 20.0 20.0 20.0 20.0 20.0 20.0 20.0 20.0 20.0 20.0 20.0

0.005 0.010 0.015 0.020 0.024 0.029 0.034 0.038 0.043 0.048 0.052 0.057 0.061 0.065 0.070 0.074 0.078 0.083 0.087 0.091 0.095 0.099 0.103 0.107 0.111 0.115 0.119 0.123 0.127 0.130 0.134 0.138 0.142 0.145 0.149

0.998 0.997 0.995 0.993 0.992 0.990 0.988 0.987 0.985 0.983 0.982 0.980 0.978 0.977 0.975 0.973 0.971 0.970 0.968 0.966 0.964 0.962 0.960 0.958 0.957 0.955 0.953 0.951 0.949 0.947 0.945 0.944 0.942 0.940 0.938

kd

µsds

0.000 0.001 0.002 0.003 0.005 0.007 0.009 0.011 0.014 0.017 0.020 0.023 0.026 0.030 0.033 0.037 0.041 0.044 0.048 0.052 0.055 0.059 0.062 0.066 0.069 0.073 0.076 0.080 0.083 0.086 0.090 0.093 0.096 0.099 0.102

69.409 35.119 23.695 17.988 14.569 12.293 10.670 9.457 8.515 7.765 7.154 6.647 6.221 5.858 5.546 5.275 5.038 4.830 4.646 4.483 4.338 4.207 4.090 3.983 3.885 3.795 3.713 3.636 3.565 3.499 3.437 3.379 3.325 3.274 3.225

0.000 0.001 0.002 0.003 0.005 0.007 0.009 0.011 0.014 0.017 0.020 0.023 0.026 0.029 0.033 0.036 0.039 0.043 0.046 0.050 0.053 0.056 0.060 0.063 0.066 0.069 0.073 0.076 0.079 0.082 0.085 0.088 0.090 0.093 0.096

d2

2

As2

εc2 [‰] εs1 [‰] ξ=x/d ζ=z/d 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.1 2.2 1.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3.0 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5

εs2

Neutralna os

d-x

h d

Msd

As1

d1

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3.0 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5

ω1

x=ξ*d

εc2 [‰] εs1 [‰] ξ=x/d ζ=z/d

Lom preko armature εs1=10.0 ‰

1

b

εs1

10.0 10.0 10.0 10.0 10.0 10.0 10.0 10.0 10.0 10.0 10.0 10.0 10.0 10.0 10.0 10.0 10.0 10.0 10.0 10.0 10.0 10.0 10.0 10.0 10.0 10.0 10.0 10.0 10.0 10.0 10.0 10.0 10.0 10.0 10.0

0.010 0.020 0.029 0.038 0.048 0.057 0.065 0.074 0.083 0.091 0.099 0.107 0.115 0.123 0.130 0.138 0.145 0.153 0.160 0.167 0.174 0.180 0.187 0.194 0.200 0.206 0.213 0.219 0.225 0.231 0.237 0.242 0.248 0.254 0.259

εc2

0.997 0.993 0.990 0.987 0.984 0.981 0.977 0.974 0.971 0.968 0.965 0.962 0.959 0.956 0.953 0.950 0.947 0.944 0.941 0.938 0.934 0.931 0.928 0.925 0.922 0.919 0.916 0.913 0.910 0.907 0.904 0.901 0.898 0.895 0.892

Lom preko armature εs1=5.0 ‰

ω1

kd

µsds

0.000 0.002 0.004 0.006 0.009 0.013 0.017 0.022 0.027 0.032 0.038 0.044 0.050 0.056 0.062 0.069 0.075 0.082 0.088 0.094 0.101 0.107 0.113 0.119 0.125 0.130 0.136 0.142 0.147 0.153 0.158 0.163 0.168 0.173 0.178

49.242 24.996 16.920 12.885 10.468 8.860 7.714 6.857 6.193 5.664 5.233 4.876 4.576 4.321 4.102 3.912 3.747 3.602 3.474 3.361 3.260 3.170 3.090 3.017 2.950 2.889 2.833 2.781 2.733 2.689 2.647 2.609 2.573 2.539 2.507

0.000 0.002 0.003 0.006 0.009 0.013 0.017 0.021 0.026 0.031 0.037 0.042 0.048 0.054 0.059 0.065 0.071 0.077 0.083 0.089 0.094 0.099 0.105 0.110 0.115 0.120 0.125 0.129 0.134 0.138 0.143 0.147 0.151 0.155 0.159

0.85 fcd

Fs2 Fc

d-d2 z=ζ*d

Lom preko armature εs1=20.0 ‰

εc2 [‰] εs1 [‰] ξ=x/d ζ=z/d 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3.0 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5

µ sd =

5.0 5.0 5.0 5.0 5.0 5.0 5.0 5.0 5.0 5.0 5.0 5.0 5.0 5.0 5.0 5.0 5.0 5.0 5.0 5.0 5.0 5.0 5.0 5.0 5.0 5.0 5.0 5.0 5.0 5.0 5.0 5.0 5.0 5.0 5.0

0.020 0.038 0.057 0.074 0.091 0.107 0.123 0.138 0.153 0.167 0.180 0.194 0.206 0.219 0.231 0.242 0.254 0.265 0.275 0.286 0.296 0.306 0.315 0.324 0.333 0.342 0.351 0.359 0.367 0.375 0.383 0.390 0.398 0.405 0.412

0.993 0.987 0.981 0.975 0.969 0.963 0.958 0.952 0.947 0.942 0.937 0.931 0.926 0.922 0.917 0.912 0.907 0.902 0.898 0.893 0.888 0.883 0.879 0.874 0.870 0.865 0.861 0.857 0.852 0.848 0.844 0.840 0.836 0.832 0.829

ω1

kd

µsds

0.001 0.003 0.007 0.012 0.018 0.025 0.032 0.041 0.050 0.059 0.069 0.079 0.089 0.100 0.110 0.121 0.131 0.142 0.152 0.162 0.172 0.181 0.190 0.199 0.208 0.216 0.224 0.232 0.240 0.248 0.255 0.263 0.270 0.277 0.283

35.049 17.905 12.194 9.342 7.634 6.498 5.688 5.083 4.615 4.242 3.938 3.687 3.477 3.298 3.144 3.012 2.897 2.796 2.708 2.630 2.562 2.501 2.446 2.397 2.352 2.312 2.275 2.241 2.210 2.181 2.154 2.129 2.106 2.084 2.064

0.001 0.003 0.007 0.011 0.017 0.024 0.031 0.039 0.047 0.056 0.064 0.074 0.083 0.092 0.101 0.110 0.119 0.128 0.136 0.145 0.152 0.160 0.167 0.174 0.181 0.187 0.193 0.199 0.205 0.210 0.216 0.221 0.226 0.230 0.235

Msd = µ Rd = 085 . ⋅ αv ⋅ ξ ⋅ ζ b ⋅ d2 ⋅ fcd ε c2 ξ= ; x = ξ⋅ d ε s1 + ε c2 z =ζ ⋅ d

Fs1

Lom preko betona εc2=3.5 ‰ εc2 [‰] εs1 [‰] ξ=x/d ζ=z/d 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5

20.0 19.5 19.0 18.5 18.0 17.5 17.0 16.5 16.0 15.5 15.0 14.5 14.0 13.5 13.0 12.5 12.0 11.5 11.0 10.5 10.0 9.5 9.0 8.5 8.0 7.5 7.0 6.5 6.0 5.5 5.0 4.5 4.0 3.5 3.0 2.5 2.0 1.5 1.0 0.5

0.149 0.152 0.156 0.159 0.163 0.167 0.171 0.175 0.179 0.184 0.189 0.194 0.200 0.206 0.212 0.219 0.226 0.233 0.241 0.250 0.259 0.269 0.280 0.292 0.304 0.318 0.333 0.350 0.368 0.389 0.412 0.438 0.467 0.500 0.538 0.583 0.636 0.700 0.778 0.875

0.938 0.937 0.935 0.934 0.932 0.931 0.929 0.927 0.925 0.923 0.921 0.919 0.917 0.914 0.912 0.909 0.906 0.903 0.900 0.896 0.892 0.888 0.884 0.879 0.873 0.868 0.861 0.854 0.847 0.838 0.829 0.818 0.806 0.792 0.776 0.757 0.735 0.709 0.676 0.636

ω1

kd

µsds

0.102 0.105 0.107 0.109 0.112 0.115 0.117 0.120 0.124 0.127 0.130 0.134 0.138 0.142 0.146 0.151 0.155 0.161 0.166 0.172 0.178 0.185 0.193 0.201 0.209 0.219 0.229 0.241 0.254 0.268 0.283 0.301 0.321 0.344 0.371 0.401 0.438 0.482 0.535 0.602

3.225 3.193 3.161 3.128 3.094 3.061 3.027 2.993 2.958 2.923 2.888 2.852 2.815 2.778 2.741 2.703 2.665 2.626 2.587 2.547 2.507 2.465 2.424 2.381 2.338 2.294 2.250 2.204 2.158 2.111 2.064 2.015 1.966 1.916 1.865 1.814 1.762 1.711 1.662 1.616

0.096 0.098 0.100 0.102 0.104 0.107 0.109 0.112 0.114 0.117 0.120 0.123 0.126 0.130 0.133 0.137 0.141 0.145 0.149 0.154 0.159 0.165 0.170 0.176 0.183 0.190 0.198 0.206 0.215 0.224 0.235 0.246 0.259 0.272 0.288 0.304 0.322 0.341 0.362 0.383

Msd ζ ⋅ d ⋅ σs1 f A s1 = ω1 cd ⋅ d ⋅ b σs1 A s1 =

Dvostruko armirani pravokutni presjek opterećen momentom savijanja Tlak 2.0‰ 3.5‰ B

d2

Vlak

A s2 a b

1

c C

d

2 4 d e

3

d1

A s1

As2

3.0‰

0.85 fcd

Msd > MRd,lim Fs2 Fc

MRd,lim = µ sd,lim ⋅ b ⋅ d2 ⋅ fcd

µ sd,lim = µ sd (ε c 2 = 3.5‰; ε s1 = 20.0‰ )

Neutralna os

As1

ζ lim = ζ (ε c 2 = 3.5‰; ε s1 = 20.0‰ )

d-d2 z

d-x

h d

Msd

d1

εc2

εs1

Fs1

A s1 =

1

b

h

5

20.0‰

εs2

g

A

x

d2

2

f

A s2 =

MRd,lim ζ lim ⋅ d ⋅ fyd

+

Msd - MRd,lim

(d − d2 ) ⋅ fyd

Msd - MRd,lim

(d − d2 ) ⋅ fyd

Jednostruko/Dvostruko armirani pravokutni presjek opterećen momentom savijanja i uzdužnom silom – Postupak Wuczkowskog As2 Msd

2

vl

Nsd Konvencija: Tlak + Vlak -

M - MRd,lim = sds (d − d2 ) ⋅ fyd

As2

εs2

tl

Nsd

As1

1

b 0.85 fcd

Fs2 Fc

d-d2 z

Neutralna os

Msd

As1 1

b

d-x

Nsd

d1

εc2

x

d2

2

h d

A s2

MRd,lim M - MRd,lim Nsd + sds − fyd ζ lim ⋅ d ⋅ fyd (d − d2 ) ⋅ fyd

d1

A s1 =

d h

MRd,lim = µ sd,lim ⋅ b ⋅ d ⋅ fcd

d-h/2

Msds

2

d⎞ ⎛ = Msd + Nsd ⋅ ⎜ h − ⎟ 2⎠ ⎝

εs1

Fs1

Pravokutni presjek opterećen momentom savijanja i uzdužnom silom – Dimenzioniranje pomoću dijagrama interakcije ν sd =

Nsd b ⋅ d ⋅ fcd

µ sd =

Msd b ⋅ d2 ⋅ fcd

x

Nsd

h d

Msd

f A s1 = ω ⋅ cd ⋅ b ⋅ d fyd

As1

d1

A s2 = β ⋅ A s1

As2

d-x

d2

2

1

b Ograničenja: Prema EC-8 (HRN ENV 1998-1-3), za različite razrede duktilnosti postoji ograničenje najveće uzdužne tlačne sile u stupovima: Razred duktilnosti L: Nsd ≤ 0.75 b h fcd Razred duktilnosti M: Nsd ≤ 0.65 b h fcd Razred duktilnosti H: Nsd ≤ 0.55 b h fcd

Pravokutni presjek – Dijagram toka rješenja problema Učitavanje podataka o presjeku, materijalu, napadnim silama, te tražene deformacije armature

b, h, d1, fcd, fyd, Msd, ε s1,poc Izračunavanje bezdimenzionalnog momenta savijanja

µ sd =

Msd b ⋅ d2 ⋅ fcd

Postavljanje početne ravnine deformacije

εc,don = 0 ‰

;

εc,gor = 3.5 ‰

;

ε s1 = ε s1,poc

Postavljanje tekuće ravnine deformacije

εc,don = εc,tek

εc,tek =

εc,gor = εc,tek

εc,don + εc,gor 2

Izračunavanje koeficijenata za tekuću ravninu deformacije

ξ=

εc2 ε c 2 + ε s1

;

ζ = (1 − k a ⋅ ξ ) ; µ izr sd = 0.85 ⋅ α v ⋅ ξ ⋅ ζ

;

ω = 0.85 ⋅ α v ⋅ ξ

Usporedba izračunatih i traženih vrijednosti

µizr sd < µ sd

µizr sd

µizr sd > µ sd

≅ µ sd

Izračunavanje potrebne armature, ispis

MRd,lim Msds - MRd,lim Nsd A s1 = + + fyd ζ lim ⋅ d ⋅ fyd (d − d2 ) ⋅ fyd

;

A s2

Msds - MRd,lim = (d − d2 ) ⋅ fyd

T presjek opterećen momentom savijanja

b eff A s2

εs2

x

hf

d2

2

Neutralna os

εc2

0.85 f cd

ε*c

Fs2 Fc

N sd

d1

A s1

z

d-x

h d

d-d2

Msd

εs1

1

b Ako neutralna os siječe ploču (x ≤ hf), tada se ovakav presjek rješava kao pravokutni dimenzija beff*h (d). Ako neutralna os siječe rebro (x > hf), tada je ovakav presjek pravi T presjek i potrebno ga je kao takvog proračunati.

Fs1

T presjek opterećen momentom savijanja – određivanje efektivne širine

Fca − Fcb = Fci 0.85 ⋅ fcd ⋅ α v ⋅ ξ ⋅ d ⋅ beff − 0.85 ⋅ fcd ⋅ α∗v ⋅ (ξ ⋅ d − hf ) ⋅ (beff − b ) = 0.85 ⋅ fcd ⋅ α v ⋅ ξ ⋅ d ⋅ bi

α v ⋅ ξ ⋅ d ⋅ beff − α∗v ⋅ (ξ ⋅ d − hf ) ⋅ (beff − b ) = α v ⋅ ξ ⋅ d ⋅ bi α v ⋅ ξ ⋅ d ⋅ beff − α∗v ⋅ (ξ ⋅ d − hf ) ⋅ (beff − b ) bi = αv ⋅ ξ ⋅ d ⎡ α∗v ⎛ h ⎞ ⎛ b bi = ⎢1 − ⎜1 − f ⎟ ⋅ ⎜⎜1 − ⎣ α v ⎝ ξ ⋅ d ⎠ ⎝ beff b eff

x

ε c2 hf

Ai

⎞⎤ ⎟⎟⎥ ⋅ beff ⎠⎦

ε c* bi b

0.85 fcd

αv

α *v

Aa

Ab

Tablica za određivanje efektivne širine T presjeka b eff bi

εs2

hf

d2

2

x

A s2

Neutralna os

εc2

0.85 f cd

Fs2 Fc

ε*c

N sd

εs1

d1

A s1 1

z

d-x

h d

d-d2

Msd

Fs1

b hf d

0.550

0.525

0.500

0.475

0.450

0.425

0.400

0.375

0.350

0.325

0.300

0.275

b eff b 0.250

0.225

0.200

0.175

0.150

0.125

0.100

0.075

0.050

0.025

1.5

2.0

2.5

3.0

4.0

4.5

5.0

λb

ξ=x d 0.550

3.5

0.525

0.500

0.475

0.450

0.425

0.400

0.375

0.350

0.325

0.300

0.275

0.250

0.225

0.200

0.175

0.150

0.125

0.100

0.075

0.050

0.025

1.00

1.00

1.00

1.00

1.00

1.00

1.00

1.00

0.550

0.513

0.489

0.464

0.437

0.413

0.386

0.362

0.335

0.309

0.284

0.259

0.232

0.207

0.181

0.155

0.130

0.103

0.078

0.052

0.026

1.00

1.00

1.00

1.00

1.00

1.00

1.00

1.00

0.550

0.513

0.487

0.461

0.436

0.409

0.383

0.357

0.330

0.303

0.276

0.249

0.221

0.194

0.166

0.139

0.111

0.083

0.056

0.028

0.99

0.99

0.99

0.99

0.99

0.99

0.99

0.99

0.550

0.513

0.487

0.460

0.434

0.407

0.379

0.351

0.323

0.295

0.266

0.237

0.208

0.178

0.149

0.119

0.090

0.060

0.030

0.99

0.98

0.98

0.98

0.98

0.98

0.98

0.98

0.550

0.512

0.485

0.459

0.431

0.403

0.374

0.345

0.315

0.285

0.254

0.223

0.192

0.160

0.129

0.097

0.065

0.032

0.98

0.97

0.97

0.97

0.96

0.96

0.96

0.96

0.550

0.512

0.485

0.457

0.428

0.399

0.368

0.337

0.306

0.273

0.240

0.207

0.173

0.139

0.105

0.070

0.035

0.97

0.96

0.95

0.94

0.94

0.94

0.94

0.93

0.550

0.511

0.483

0.454

0.425

0.394

0.362

0.329

0.295

0.260

0.224

0.188

0.151

0.114

0.076

0.038

0.96

0.94

0.93

0.92

0.91

0.91

0.91

0.90

0.550

0.510

0.481

0.451

0.420

0.388

0.354

0.318

0.281

0.243

0.204

0.164

0.124

0.083

0.042

0.95

0.92

0.90

0.89

0.88

0.88

0.87

0.87

0.550

0.509

0.479

0.448

0.415

0.381

0.344

0.305

0.265

0.223

0.180

0.136

0.091

0.046

0.93

0.90

0.87

0.86

0.85

0.84

0.84

0.83

0.550

0.508

0.477

0.444

0.409

0.372

0.331

0.289

0.244

0.198

0.150

0.101

0.051

0.91

0.87

0.84

0.83

0.81

0.80

0.80

0.79

0.550

0.507

0.473

0.439

0.401

0.360

0.316

0.268

0.218

0.166

0.112

0.056

0.90

0.84

0.81

0.79

0.78

0.76

0.76

0.75

0.550

0.505

0.469

0.432

0.391

0.345

0.295

0.241

0.184

0.125

0.063

0.88

0.82

0.78

0.75

0.74

0.72

0.71

0.70

0.550

0.502

0.464

0.423

0.378

0.326

0.268

0.206

0.140

0.071

0.86

0.79

0.74

0.72

0.70

0.68

0.67

0.66

0.550

0.499

0.457

0.412

0.360

0.299

0.232

0.158

0.081

0.84

0.76

0.71

0.68

0.65

0.64

0.62

0.61

0.550

0.494

0.448

0.397

0.335

0.262

0.181

0.093

0.82

0.73

0.68

0.64

0.61

0.59

0.58

0.57

0.550

0.488

0.435

0.374

0.298

0.208

0.108

0.80

0.70

0.64

0.60

0.57

0.55

0.53

0.52

0.479

0.418

0.342

0.243

0.127

0.78

0.67

0.60

0.56

0.53

0.51

0.49

0.48

0.550

0.467

0.392

0.288

0.154

0.76

0.64

0.58

0.53

0.49

0.47

0.45

0.43

0.550

0.449

0.347

0.192

0.74

0.62

0.54

0.49

0.45

0.42

0.40

0.38

0.550

0.420

0.252

0.72

0.59

0.50

0.45

0.41

0.38

0.36

0.34

0.550

0.351

0.71

0.56

0.47

0.41

0.37

0.34

0.31

0.29

0.550

0.69

0.53

0.43

0.37

0.33

0.29

0.27

0.25

⎡ α∗ ⎛ h ⎞ ⎛ b bi = ⎢1 − v ⎜⎜1 − f ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜1 − ξ ⋅ d ⎠ ⎝ b eff ⎢⎣ α v ⎝

⎞⎤ ⎟⎟⎥ ⋅ b eff = λ b ⋅ b eff ⎠⎥⎦

0.550

T presjek – Dijagram toka rješenja problema Učitavanje podataka o presjeku, materijalu, napadnim silama, te tražene deformacije armature Izračunavanje bezdimenzionalnog momenta savijanja

b, beff , h, d1, hf , fcd, fyd, Msd, ε s1,poc

Izračunavanje bezdimenzionalnog momenta savijanja

µ sd =

;

bi = beff

Msd bi ⋅ d2 ⋅ fcd

Postavljanje početne ravnine deformacije

εc,don = 0 ‰

εc2 ε c 2 + ε s1

εc,gor = 3.5 ‰

;

ε s1 = ε s1,poc

Postavljanje tekuće ravnine deformacije

εc,don = εc,tek

ξ=

;

εc,tek =

εc,gor = εc,tek

εc,don + εc,gor 2

Izračunavanje koeficijenata za tekuću ravninu deformacije

;

ζ = (1 − k a ⋅ ξ ) ; µ izr sd = 0.85 ⋅ α v ⋅ ξ ⋅ ζ

Kontrola položaja neutralne osi

x ≤ hf

µizr sd

<

x > hf

;

ω = 0.85 ⋅ α v ⋅ ξ

Proračun reducirane širine T presjeka ⎡ α∗ ⎛ h ⎞ ⎛ b ⎞⎤ ⎟⎟⎥ ⋅ b eff b i = ⎢1 − v ⎜⎜1 − f ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜1 − ⎢⎣ α v ⎝ ξ ⋅ d ⎠ ⎝ b eff ⎠⎥⎦

Usporedba izračunatih i traženih vrijednosti µ sd µizr izr sd µ sd ≅ µ sd

> µ sd

Izračunavanje potrebne armature, ispis

MRd,lim Msds - MRd,lim Nsd A s1 = + + fyd ζ lim ⋅ d ⋅ fyd (d − d2 ) ⋅ fyd

;

A s2

Msds - MRd,lim = (d − d2 ) ⋅ fyd

Dimenzioniranje na poprečnu silu Poprečne sile se proračunavaju prema poboljšanoj Mörsch-Ritterovoj analogiji rešetke. Po toj metodi pretpostavlja se da jedan dio poprečne sile prihvaća beton i uzdužna armatura nakon razvoja dijagonalnih pukotina u betonu, a ostatak poprečne sile se prihvaća vertikalnim sponama (stremenovima) i/ili kosom armaturom (Standardna metoda). Po drugoj metodi, koja se kao alternativa predlaže s EC2, nosivost betona se ne uzima u obzir, već se uzima blaži kut nagiba tlačnih dijagonala od 45°, čime se postižu uštede na poprečnoj armaturi, ali se povećava uzdužna armatura, izravno ili preko pomaka dijagrama vlačnih sila prilikom raspodijele armature. F F

z d h

Vwd

sw

sw

sw l

Uvjet nosivosti na poprečne sile:

Vsd ≤ VRd gdje je: Vsd – računska poprečna sila VRd – računska nosivost na poprečne sile

VRd1

Vwd

Dimenzioniranje na poprečnu silu - nastavak Računska armatura za prihvaćanje poprečnih sila (tj. glavnih kosih vlačnih naprezanja) neće biti potrebna ako je zadovoljen uvjet:

[

]

Vsd ≤ VRd1 = τRd ⋅ k ⋅ (1.2 + 40 ⋅ ρl ) + 0.15 ⋅ σ cp ⋅ b w ⋅ d gdje je: τRd – računska čvrstoća na djelovanje glavnih kosih naprezanja k = 1.6-d ≥ 1.0 - korekcijski faktor kojim se povećava nosivost na poprečne sile (d u metrima) ρl – koeficijent armiranja uzdužnom armaturom (As/Ac) < 0.02 (2.0%) bw – najmanja širina presjeka u vlačnoj zoni d – statička visina presjeka σcp = Nsd/Ac – središnje naprezanje (+ za tlak, - za vlak) Nsd – računska uzdužna sila u presjeku Ac – površina betonskog presjeka Nosivost tlačnih štapova biti će zadovoljena ako je:

Vsd ≤ VRd2 = 0.5 ⋅ ν ⋅ fcd ⋅ b w ⋅ z ν = 0 .7 −

fck ≥ 0 .5 200

Karakteristika betona fck (MPa)

Čvrstoća na valjku

fc,cub (MPa)

Čvrstoća na kocki

τRd (MPa)

Posmična čvrstoća

- redukcijski faktor (fck u N/mm2) C12/15

C16/20

C20/25

C25/30

C30/37

C35/45

C40/50

C45/55

C50/60

12

16

20

25

30

35

40

45

50

15

20

25

30

37

45

50

55

60

(MB 15)

(MB 20)

(MB 25)

(MB 30)

(MB 40)

(MB 45)

(MB 50)

(MB 55)

(MB 60)

0.18

0.22

0.26

0.30

0.34

0.37

0.41

0.44

0.48

Dimenzioniranje na poprečnu silu - nastavak Ako u elementu djeluje uzdužna tlačna sila, potrebno je reducirati nosivost tlačnih štapova: σ cp,eff ⎞ ⎛ ⎟⎟ ≤ VRd2 VRd2,red = 1.67 ⋅ VRd2 ⋅ ⎜⎜1 − f cd ⎠ ⎝ ⎛ A s2 ⎞ ⎟⎟ A c - tlačno naprezanje u betonu Pri čemu je: σ cp,eff = ⎜⎜ Nsd − fyk γ s ⎠ ⎝ Ako nije zadovoljen uvjet:

Vsd ≤ VRd1 potrebno je proračunati računsku armaturu za prijem poprečnih sila. (a) Standardna metoda Ova metoda pretpostavlja nagib tlačnih štapova pod kutom od 45°. Poprečna armatura (stremenovi, vilice, spone) se proračunava iz uvjeta: Vsd ≤ VRd3 = VRd1 + Vwd

Vwd = gdje je: Asw – površina jedne grane spona m – reznost spona z – krak unutrašnjih sila (z ≈ 0.9 d) sw – razmak spona fyw,d – računska granica popuštanja poprečne armature

A sw ⋅ fyw,d ⋅ m ⋅ z sw Konstrukcijska poprecna armatura

0

Proracun poprecne armature

VRd1 Vsd Vwd

Nedopušteno podrucje

VRd2

Vsd

Dimenzioniranje na poprečnu silu - nastavak Nosivost kose armature može se izračunati po izrazu:

Vwd =

A sw ⋅ fyw,d ⋅ z s

⋅ (1 + ctg α ) ⋅ sin α

gdje je: s – razmak kose armature mjeren uzduž osi elementa α – Kut nagiba kosih šipki prema osi nosača

Θ

Konstrukcijska poprecna armatura

0

α

Proracun poprecne armature

VRd1 Vsd Vwd

Nedopušteno podrucje

VRd2

Vsd

Dimenzioniranje na poprečnu silu - nastavak (b) Metoda slobodnog odabira nagiba tlačnih štapova Primjena ove metode predlaže se kada na presjek simultano djeluju poprečna sila i moment torzije. Nagib tlačnih štapova prema uzdužnoj osi bira se u granicama:

21.8o ≤ tg Θ ≤ 68.2o ⇒ 0.4 ≤ Θ ≤ 2.5

Kada se glavna uzdužna armatura vodi do ležaja

26.6o ≤ tg Θ ≤ 63.4 o ⇒ 0.5 ≤ Θ ≤ 2.0

Kada se glavna uzdužna armatura postupno prekida u polju

Njemački propisi predlažu sljedeći izraz: σ cp,eff ctg Θ = 1.25 − 3 fcd

Za σcp,eff =0,

Θ=39°

Kod elemenata s vertikalnom poprečnom armaturom, nosivost na poprečne sile: z VRd2 = ν ⋅ fcd ⋅ b w ⋅ ctg Θ + tg Θ

VRd3 = Vwd =

A sw ⋅ fyw,d ⋅ z ⋅ m sw sw =

A sw

⎞ ⎛ A sw ⋅ m ⋅ fyw,d 1 ⋅ ctg Θ ; uz uvjet : ⎜⎜ ≤ ⋅ ν ⋅ fcd ⎟⎟ 2 ⎠ ⎝ bw ⋅ sw ⋅ fyw,d ⋅ z ⋅ m ⋅ ctg Θ VSd Proracun poprecne armature

0

Nedopušteno podrucje

Vsd Vwd

VRd2

Vsd

Dimenzioniranje na poprečnu silu - nastavak Kod elemenata s kosom poprečnom armaturom, nosivost na poprečne sile:

VRd2 = ν ⋅ fcd ⋅ b w ⋅ z ⋅ VRd3 = Vwd =

ctg Θ + ctg α 1 + ctg2 Θ

A sw ⋅ fyw,d ⋅ z s

⋅ (ctg Θ + ctg α ) ⋅ sin α

⎛ A sw ⋅ fyw,d 1 ν ⋅ fcd ⋅ sin α ⎞ ⎟ ; uz uvjet : ⎜⎜ ≤ ⋅ ⎟ ⋅ b s 2 1 cos − α ⎝ w w ⎠

Da bi se ustanovila najmanja količina poprečne armature za mala i srednja posmična naprezanja, gornje granice za ctg Θ, bit će u običnom slučaju mjerodavne za dimenzioniranje. Za veća posmična naprezanja najveću vrijednost za ctg Θ (što odgovara najmanjoj količini poprečne armature) može se naći izjednačavanjem vrijednosti proračunskih poprečnih sila VSd i VRd2. Nakon raspucavanja nosača, sila u donjem pojasu bit će:

Fs =

MSd 1 + ⋅ VSd ⋅ (ctg Θ − ctg α ) z 2

te je za drugi član potrebno povećati uzdužnu armaturu u polju.

Dimenzioniranje na poprečnu silu - nastavak Ukupna poprečna armatura (spone) ne smije biti manja od minimalne: ρ ⋅s ⋅b A sw,min = min w w m Klasa betona

ρmin

C12/15

C16/20

C20/25

C25/30

0.0007

C30/37 0.0011

C35/45

C40/50

C45/55

C50/60

0.0013

Maksimalni razmaci spona, ovisno o veličini računske poprečne sile prikazani su u tablici: Broj

Računska poprečna sila Vsd

Maksimalni razmak spona u smjeru glavne vlačne armature sw,max

1

Vsd ≤ 0.2 VRd2

0.8 d; 30 cm

2

0.2 VRd2 < Vsd ≤ 0.67 VRd2

0.6 d; 30 cm

3

Vsd > 0.67 VRd2

0.3 d; 20 cm

Broj

Računska poprečna sila Vsd

Maksimalni razmak vertikalnih krakova spona u poprečnom smjeru

1

Vsd ≤ 0.2 VRd2

1.0 d; 80 cm

2

0.2 VRd2 < Vsd ≤ 0.67 VRd2

0.6 d; 30 cm

3

Vsd > 0.67 VRd2

0.3 d; 20 cm

Dimenzioniranje na poprečnu silu - Primjer G, Q

g, q

C 30 37 b

1.0

c

d

7.0 8.0

Vsd (kN)

τRd = 0.34 MPa

7

A s1

R a =244.4 kN 244.4

fck = 30.0 MPa

73 80

a

R b =128.5 kN

30

217.1

g = 8.0 kN m' ; G = 40.0 kN q = 11.0 kN m' ; Q = 67.0 kN s = γ g ⋅ g + γ q ⋅ q = 1.35 ⋅ 8.0 + 1.5 ⋅ 11.0

62.6

128.5

3.3

s = 27.3 kN m' S = γ g ⋅ G + γ q ⋅ Q = 1.35 ⋅ 40.0 + 1.5 ⋅ 67.0 S = 154.5 kN

Msd (kNm)

2Ø14 (A s2=3.08 cm 2 )

Msd 30240 = = = 0.095 2 b d fcd 30 ⋅ 73 2 ⋅ 2.0

za ε s1 = 10‰; oci tan o : ε c 2 = 2.1‰; A s1 =

2Ø14 (A s =3.08 cm 2 )

ζ = 0.934

Msd 30240 = = 10.20 cm2 ζ d fyd 0.934 ⋅ 73 ⋅ 43.48

5Ø16 (A s1 =10.05 cm 2 ) 7

µ sd

80

302.4

73

230.8

30

Dimenzioniranje na poprečnu silu – Primjer (nastavak)

∑ A = 10.5 + 2 ⋅ 3.08 = 16.21 cm ∑ A = 16.21 = 0.00675 ρ =

2Ø14 (A s2=3.08 cm 2 )

s

2

73

2Ø14 (A s =3.08 cm 2 )

Ac

30 ⋅ 80

Beton 2

5Ø16 (A s1 =10.05 cm ) 7

80

s

l

30

C30/37

fck (MPa)

Čvrstoća na valjku

30.0

τRd (MPa)

Posmična čvrstoća

0.34

Dio poprečne sile koju preuzima beton i uzdužna armatura:

[

]

VRd1 = τRd ⋅ k ⋅ (1.2 + 40 ⋅ ρl ) + 0.15 ⋅ σ cp ⋅ b w ⋅ d k = 1.6 − d = 1.6 − 0.73 = 0.87 < 1.0 σ cp = Nsd A c = 0.0

⇒

k = 1 .0

VRd1 = [0.034 ⋅ 1.0 ⋅ (1.2 + 40 ⋅ 0.00675 ) + 0.15 ⋅ 0.0] ⋅ 30 ⋅ 73 VRd1 = 109.5 kN Dio poprečne sile koju mogu preuzeti tlačne dijagonale:

VRd2 = 0.5 ⋅ ν ⋅ fcd ⋅ b w ⋅ z fck 30 = 0 .7 − = 0.55 > 0.5 ⇒ 200 200 = 0.5 ⋅ 0.55 ⋅ 2.0 ⋅ 30 ⋅ (0.9 ⋅ 73 ) = 1084.1 kN ν = 0 .7 −

VRd2

ν = 0.55

Dimenzioniranje na poprečnu silu – Primjer (nastavak) Ležaj “a”:

G, Q

Vsd = 244.4 kN

a 1.0

c

Vsd VRd2 = 244.4 1084.1 ≈ 0.23

d 8.0

R a =244.4 kN 244.4 Vsd (kN)

s w,max = min {0.6 ⋅ d; 30.0 cm} =

min {0.6 ⋅ 73 = 43.8; 30.0} ⇒

ρmin = 0.0024

217.1

⇒

Vsd = 0.23 VRd2 s w,max = 30.0 cm

(GA )

Odabrane spone ∅10 (Asw=0.79 cm2):

62.6

s w,pot ≤ 3.3

m ⋅ A sw,min ρmin ⋅ b w

=

2 ⋅ 0.79 = 21.94 cm 0.0024 ⋅ 30

Odabrane spone ∅10/20. Ukupna nosivost betona i odabrane poprečne armature: fyk fyw,d = ; GA 240 360 ⇒ γs

M sd (kNm)

240 = 208.7 MPa = 20.87 kN cm 2 1.15 m ⋅ A sw ⋅ fyw,d ⋅ z = VRd1 + Vwd = VRd1 + sw fyw,d =

230.8 302.4

VRd

2 ⋅ 0.79 ⋅ 20.87 ⋅ (0.9 ⋅ 73 ) = 217.8 kN 20 > VRd

109.5 + Vsd,a

Dimenzioniranje na poprečnu silu – Primjer (nastavak) 244.4

Odabrane spone ∅10 (Asw=0.79 cm2): VRd =217.8 kN

s w,pot ≤

217.1

m ⋅ A sw ⋅ fyw,d ⋅ z Vsd − VRd1

=

2 ⋅ 0.79 ⋅ 20.87 ⋅ (0.9 ⋅ 73 ) = 16.06 cm 244.4 − 109.5

Odabrane spone ∅10/15.

7

A s1

1.0 Ø10/15

7.0 Ø10/20 8.0

30

80

73

62.6

Dimenzioniranje na moment torzije Proračun elemenata naprezanih torzijom provodi se uporabom modela oblika prostorne rešetke. Puni presjeci zamjenjuju se šupljim presjecima debljine t. Nagib tlačnih štapova slobodno se odabire u granicama navedenim pri proračunu na poprečne sile. Kontura u

Uvjet nosivosti na moment torzije: Tsd ≤ TRd

Kontura uk

gdje je: Tsd – računski moment torzije TRd – računska nosivost na torziju

t /2

t

c

Ak

Proracun poprecne armature

0

Nedopušteno podrucje

Tsd TRd2 TRd3

Nosivost tlačnih štapova biti će zadovoljena ako je: 2 ⋅ ν′ ⋅ fcd ⋅ A k ⋅ t Tsd ≤ TRd1 = ctg Θ + tg Θ f ⎞ ⎛ ν′ = 0.7 ⋅ ⎜ 0.7 − ck ⎟ ≥ 0.35 - redukcijski faktor (fck u N/mm2) 200 ⎠ ⎝

TRd1

TSd

gdje je: t=A/u – debljina stjenke zamjenjujućeg šupljeg presjeka Ak – površina unutar srednje konture šupljeg presjeka u – opseg vanjske konture A – ukupna površina presjeka

Dimenzioniranje na moment torzije - nastavak Površina poprečne armature za prihvaćanje momenta torzije određuje se iz uvjeta:

TSd ≤ TRd2 = 2 ⋅ A sw ⋅ A k ⋅ fyw,d ⋅

ctg Θ sw

Površina uzdužne armature za prihvaćanje momenta torzije određuje se iz uvjeta:

TSd ≤ TRd3 = 2 ⋅ A sl ⋅ A k ⋅ fyl,d ⋅

tg Θ uk

gdje je: u Asw – presjek spone koja obuhvaća presjek na razmaku sw s w ≤ k 8 Asl – površina svih uzdužnih šipki fyw,d, fyl,d – računske granice popuštanja poprečne i uzdužne armature Uzdužne šipke treba raspodijeliti po opsegu. U svakom kutu treba postaviti jednu šipku, a ostale jednoliko raspodijeliti po opsegu, s tim da razmak između njih ne bude veći od 35.0 cm. Kada su poznate armature Asw i Asl, te kut Θ i nosivost TRd2, moraju biti zadovoljene i sljedeće jednadžbe: fyw,d A tg2 Θ = sw ⋅ s w A sl ⋅ fyl,d uk

TRd2 = 2 ⋅ A k ⋅

A sw A ⋅ fyw,d ⋅ sl ⋅ fyl,d sw uk

Dimenzioniranje na moment torzije - nastavak Pri istodobnom djelovanju poprečne sile i momenta torzije valja zadovoljiti uvjet: 2

2

⎛ TSd ⎞ ⎛ VSd ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ ≤ 1 T V ⎝ Rd1 ⎠ ⎝ Rd2 ⎠

uz : VRd2 = 0.5 ⋅ ν′ ⋅ fcd ⋅ b w ⋅ z

;

Poprečna armatura se posebno određuje za svako djelovanje te superponira. Pri simultanom djelovanju momenta savijanja i momenta torzije valja posebno za svako naprezanje izračunati uzdužnu armaturu, samo što se one u vlačnoj zoni od savijanja zbrajaju, a u tlačnoj redovito nije potrebno dodavati onu zbog naprezanja torzijom, jer je ona često manja od konstruktivne. Kad istodobno djeluju moment torzije i veliki moment savijanja (sandučasti presjeci), može biti kritično glavno naprezanje u tlačnoj zoni od savijanja, pa valja zadovoljiti uvjet: 2

σ ⎛σ ⎞ 2 σ 2 = Sd − ⎜ Sd ⎟ + τSd ≤ 0.85 ⋅ fcd 2 ⎝ 2 ⎠ Uz:

MSd z ⋅b⋅ t TSd = 2 ⋅ Ak ⋅ t

σ Sd =

- Računsko normalno tlačno naprezanje koje se uvrštava s predznakom +

τSd

- Računsko posmično naprezanje uzrokovano torzijom

Spone za prihvaćanje torzije moraju biti zatvorene i preklopljene po kraćoj stranici. Uvjeti za minimalnu armaturu i maksimalne razmake spona su isti kao i kod proračuna na poprečne sile.

Dimenzioniranje na torziju - Primjer Isti zadatak kao kod proračuna na poprečne sile, uz TSd=35.0 kNm

C 30 37 6

fck = 30.0 MPa τRd = 0.34 MPa

80 73

TRd1 =

2 ⋅ ν′ ⋅ fcd ⋅ A k ⋅ t ctg Θ + tg Θ

6

f ⎞ 30 ⎞ ⎛ ⎛ ν′ = 0.7 ⋅ ⎜ 0.7 − ck ⎟ = 0.7 ⋅ ⎜ 0.7 − ⎟ = 0.385 200 ⎠ 200 ⎠ ⎝ ⎝

4

22 30

4

A = b ⋅ h = 30 ⋅ 80 = 2400 cm 2 u = 2 ⋅ (b + h) = 2 ⋅ (30 + 80 ) = 220 cm A 2400 t= = = 10.91 cm 220 u A k = (b − t ) ⋅ (h − t ) = (30 − 10.91) ⋅ (80 − 10.91) = 1319 cm 2 Θ = 45 o 2 ⋅ ν′ ⋅ fcd ⋅ A k ⋅ t 2 ⋅ 0.385 ⋅ 2.0 ⋅ 1319 ⋅ 10.91 TRd1 = = = ctg Θ + tg Θ ctg 45 o + tg 45 o TRd1 = 11080 .5 kNcm = 110.8 kNcm

Dimenzioniranje na torziju - Primjer Odabrane spone ∅10 (Asw=0.79 cm2):

TSd ≤ TRd2 = 2 ⋅ A sw ⋅ A k ⋅ fyw,d ⋅ s w,pot ≤

2 ⋅ A sw ⋅ A k ⋅ fyw,d ⋅ ctg Θ TSd =

8Ø10 + Ø10/12

ctg Θ sw

2 ⋅ 0.79 ⋅ 1319 ⋅ 20.87 ⋅ 1 = 12.42 cm 3500

Odabrana poprečna armatura: ∅10/12. Uzdužna armatura:

TSd ≤ TRd2 = 2 ⋅ A sl ⋅ A k ⋅ fyl,d ⋅

tg Θ uk

uk = 2 ⋅ ((b − t ) + (h − t )) = 2 ⋅ ((30 − 10.91) + (80 − 10.91)) = 176.36 cm A sl =

TSd ⋅ uk 3500 ⋅ 176.36 = 5.38 cm 2 = 2 ⋅ A k ⋅ fyl,d ⋅ tg Θ 2 ⋅ 1319 ⋅ 43.48 ⋅ 1

Odabrana uzdužna armatura: 8∅10 (Asl=6.28 cm2).

Dimenzioniranje na savijanje, torziju i poprečnu silu - Primjer Presjek (element) smo dosad dimenzionirali odvojeno na moment savijanja, poprečnu silu i torziju. U slučaju da sva tri djelovanja su istovremena, imamo: Uzdužna armatura:

M sd

T sd

2Ø14

2Ø14

5Ø16

Ukupno

2Ø10

2Ø10

2Ø10

2Ø10

"+"

"=" 2Ø10

2Ø10

2Ø10

6Ø16

- U gornjoj zoni i sredini presjeka armatura od savijanja je konstruktivna, a armatura od torzije je računska. Usvaja se armatura od torzije. -U donjoj zoni obje armature (i od savijanja i od torzije su računske. Potrebno ih je zbrojiti. 5∅16 (As=10.05 cm2); 2∅10 (As=1.57 cm2) 6∅16 (As=12.06 cm2) > 5∅16+2∅10

Dimenzioniranje na savijanje, torziju i poprečnu silu - Primjer Presjek (element) smo dosad dimenzionirali odvojeno na moment savijanja, poprečnu silu i torziju. U slučaju da sva tri djelovanja su istovremena, imamo: - Spone na prvih 1 m grede: s ⋅s s wt ≤ w,V w,T = s w,V + s w,T

Poprečna armatura: 8.0

=

1.0 Ø10/15

7.0 Ø10/20

Vsd

"+"

15 ⋅ 12 = 6.7 cm 15 + 12

- Spone na ostalom dijelu grede: s ⋅s s wt ≤ w,V w,T = s w,V + s w,T

=

20 ⋅ 12 = 7.5 cm 20 + 12

- Kontrola zajedničkog djelovanja: 8.0 Ø10/12

Tsd

"="

2

2

⎛ TSd ⎞ ⎛ VSd ⎞ ⎟⎟ ≤ 1 ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎜⎜ ′ T V ⎝ Rd1 ⎠ ⎝ Rd2 ⎠ TSd = 35.0 kNm ; TRd1 = 110.8 kNm VSd = 244.4 kN ; VRd2 = 1084 .1 kN ′ 2 = 0.7 ⋅ VRd2 = 758.8 kN VRd

1.0 Ø10/6.5

7.0 Ø10/7.5

Ukupno

2

2

⎛ 35.0 ⎞ ⎛ 244.4 ⎞ ⎟ = 0.204 ≤ 1 ⎟ +⎜ ⎜ ⎝ 110.8 ⎠ ⎝ 758.8 ⎠

Dimenzioniranje ploča na proboj 1.5 d 1.5 d

1.5 d

1.5 d

lc

⎧ b ⎩ 2 .8 ⋅ d

b1 ≤ ⎨

1.5 d

b1 /2

b

1.5 d

;

b1 /2

⎧a ⎪ a1 ≤ ⎨ 2 ⋅ b ⎪ 5.6 ⋅ d − b 1 ⎩

Kriticni presjek

a1 /2

a1 /2 a>b

d1

Kriticna površina

Stup u kutu

β 1.5 d

lc

1.5 d

Uvjet nosivosti na proboj:

v sd ≤ v Rd

d

h

Stup pri rubu

Kriticni presjek

1.5 d

1.5 d

gdje je: vsd – računska poprečna sila po jedinici kritičnog opsega vRd – računska nosivost na proboj po jedinici kritičnog opsega

Dimenzioniranje ploča na proboj - nastavak Uvjet nosivosti na proboj: v sd ≤ v Rd

v sd = Vsd ⋅

1.5 d

lc

1.5 d

Kriticni presjek

β 1.5 d

lc

1.5 d

d

h

d1

Kriticna površina

βp ucr

gdje je: Vsd – računska sila proboja od vanjskog opterećenja ucr – duljina kritičnog opsega βp – korekcijski faktor kojim se uzima u obzir ekscentrično djelovanje sile proboja u odnosu na kritičan presjek βp = 1.0 – za simetrično naprezane stupove βp = 1.15 – za unutrašnje stupove nesimetrično naprezanje βp = 1.4 – za stupove na rubu βp = 1.5 – za stupove u kutu β = 1.4

β = 1.0

β = 1.0

β = 1.4

β = 1.15

β = 1.0

Kriticni presjek

Instalacijski šaht

β = 1.5

β = 1.4

β = 1.4

Dimenzioniranje ploča na proboj - nastavak Armatura za osiguranje od proboja neće biti potrebna ako je zadovoljen uvjet

v sd ≤ v Rd1 = τRd ⋅ k ⋅ (1.2 + 40 ⋅ ρl ) ⋅ d gdje je: τRd – računska čvrstoća za djelovanje glavnih kosih naprezanja k – koeficijent visine presjeka ploče (vidi dimenzioniranje na poprečne sile) d – srednja statička visina presjeka ploče ( = (dx+dy)/2) ρl – koeficijent armiranja ploče

ρl = ρlx ⋅ ρly

0 .5 % ≤ ρ l ≤ 1.5 %

;

Ako gornji uvjet nije zadovoljen, potrebno je kontrolirati nosivost na tlak te proračunati poprečnu armaturu: v sd ≤ v Rd2 = 1.6 ⋅ v Rd1 – nosivost “tlačnih štapova” u ploči

v sd ≤ v Rd3 = v Rd1 +

∑A

sw

⋅ fyd ⋅

sin α – nosivost poprečne armature za osiguranje od proboja ucr

Asw – ukupna poprečna armatura α – kut nagiba poprečne armature prema ravnini ploče Minimalna poprečna armatura proračunava se po izrazu:

∑

A sw,min =

ρ w,min ⋅ (A crit − A load ) sin α

ρw,min = 0.6 ρmin (ρmin – minimalni koef. armiranja na pop. sile) Acrit – površina unutar kritičnog presjeka Aload – površina djelovanja opterećenja

Dimenzioniranje ploča na proboj – razmještaj armature Osiguranje vilicama

Osiguranje kosim šipkama

α=90

α

< 0.5 d ≤ 0.75 d ≈ 1.5 d 1.5 d

lc

1.5 d

1.5 d

lc

1.5 d

Dimenzioniranje ploča na proboj – razmještaj armature Osiguranje posebnom ugradnom armaturom

Granično stanje ravnoteže na deformiranom sustavu – Teorija II reda Proračun po teoriji II reda mora se provesti za pojedinačne stupove i konstrukcije od vitkih elemenata pretežno naprezanih uzdužnom tlačnom silom. Tim proračunom valja dokazati da za najnepovoljniju kombinaciju opterećenja u graničnom stanju nosivosti neće doći do gubitka ravnoteže pojedinih elemenata ili sustava kao cjeline prije otkazivanja nosivosti presjeka naprezanih na ekscentrični tlak. U analizi sustava po teoriji II reda valja razlikovati: - Krute sustave i elemente od onih koji to nisu, - Horizontalno pomične i horizontalno nepomične sustave. Kruti element ima veliku krutost na savijanje, upet je u temelj ili podrumsko ziđe (npr. armiranobetonski zid). Kruti sustav sadrži jedan ili više krutih elemenata u oba smjera. Horizontalno nepomični sustavi su oni koji zadovoljavaju uvjet:

za n ≤ 3

h tot ⋅

za n > 4

h tot ⋅

Fv E cm ⋅ Ic Fv E cm ⋅ Ic

≤ 0 .2 + 0 .1 ⋅ n ≤ 0 .6

gdje je: htot – ukupna visina zgrade od temelja ili stropa podruma n – broj katova Fv – suma ukupnog vertikalnog opterećenja Ecm Ic – suma krutosti na savijanje vertikalnih krutih elemenata Horizontalno pridržani sustavi proračunavaju se tako da sve horizontalne sile prihvaćaju kruti elementi (zidovi), a ostali elementi (stupovi), ovisno o vitkosti, proračunavaju prema teoriji I, odnosno II reda, uključujući inperfekciju i puzanje betona. Često se pri tome koriste pojednostavljene metode.

Granično stanje ravnoteže na deformiranom sustavu – Teorija II reda Rezne računske sile po teoriji I reda:

NIsd = F F

MIsd = H ⋅ h

F

H

Rezne računske sile po teoriji II reda: ∆v

NIIsd = F

MIIsd = H ⋅ (h − ∆v ) + F ⋅ ∆u

1. SLUČAJ: Nema uzdužne sile ili je zanemariva (F ≈ 0.0) h

H ∆u

MIIsd = H ⋅ (h − ∆v ) + F ⋅ ∆u = H ⋅ (h − ∆v ) < 2. SLUČAJ: Sustav nije vitak (∆u ≈ ∆v ≈ 0.0)

MIIsd = H ⋅ (h − ∆v ) + F ⋅ ∆u ≈ H ⋅ h

=

MIsd

3. SLUČAJ: Sustav je vitak (∆u >> ∆v ≠ 0.0)

MIIsd = H ⋅ (h − ∆v ) + F ⋅ ∆u

>

MIsd = H ⋅ h

Mjera vitkosti – parametar izvijanja λ l l λ= 0 = 0 i IA

MIsd = H ⋅ h

Granično stanje ravnoteže na deformiranom sustavu – Teorija II reda Za određivanje dužine izvijanja Eurokodom 2 se predlažu Jackson-Morelandovi nomogrami. Dužina izvijanja se općenito može izraziti:

l0 = β ⋅ lcol Za korištenje nomograma treba općenito izračunati kA i kB, te očitati vrijednost β iz nomograma. Za upete čvorove je: kA = kB = 0 a za slobodni vrh (vrh konzole): kA = ∞ Za ostale slučajeve:

k A (ili k B ) =

∑E ∑

cm

⋅ l col

lcol E cm ⋅ α ⋅ Ib lb

pri čemu indeks “col” označava stupove (columns), a indeks “b” grede (beams). α – koeficijent oslanjanja suprotnog kraja grede; α=1.0 – kraj upet, α=0.5 zglob; α=0.0 konzola

Granično stanje ravnoteže na deformiranom sustavu – Teorija II reda Mjera izvijanja je tzv. parametar vitkosti “λ” pojedinog tlačnog elementa. Za određivanje dužine izvijanja Eurokodom 2 se predlažu Jackson-Morelandovi nomogrami. Pojedinačne tlačne elemente nije potrebno proračunavati po teoriji II reda, ako je zadovoljen uvjet: ⎛ l l e ⎞ λ = 0 = 0 ≤ λ crit = 25 ⋅ ⎜⎜ 2 − 01 ⎟⎟ ; e 02 ≥ e 01 e i IA 02 ⎠ ⎝ N sd N sd N sd gdje su e01 i e02 ekscentriciteti uzdužne tlačne sile na krajevima elementa. e02 e02 e0 Elemente koji ne zadovoljavaju gornji kriterij valja proračunati po teoriji II reda, pri čemu vitkost ne smije prelaziti graničnu λlim=140. Približni postupak koji predlaže EC-2, a koji vrijedi za elemente e01 e01 konstantnog presjeka i armature, pronalazi se ukupni ekscentricitet za koji se izračuna povećani moment savijanja dok odgovarajuća uzdužna sila ostaje nepromijenjena. Ukupni ekscentricitet, bez utjecaja puzanja, N sd N sd N sd bit će: e tot = e 0 + e a + e 2 gdje je: ea – ekscentricitet zbog imperfekcije e0 – ekscentricitet po teoriji I reda

e a = ν1 ⋅

e0 =

Msd Nsd

e2 – dodatni ekscentricitet po teoriji II reda htot – ukupna visina građevine l0 – dužina izvijanja stupa lcol – stvarna dužina stupa β – koeficijent izvijanja (iz nomograma)

l0 2

l0 = β ⋅ lcol (nomogrami ) 1 1 ν1 = ≥ ν min ν min = 400 100 ⋅ h tot ν min =

1 200

(Pridržani sustavi) (Nepridržani sustavi)

Granično stanje ravnoteže na deformiranom sustavu – Teorija II reda Ekscentricitet nastao zbog deformiranja sustava (dodatni ekscentricitet po teoriji II reda) može se izračunati po izrazu: ⎛ 1⎞ e 2 = 0.1⋅ K 1 ⋅ l02 ⋅ ⎜ ⎟ ⎝r ⎠ gdje je: ε yd 1 = 2 ⋅ K2 r 0 .9 ⋅ d λ - Korekcijski faktor K1 = − 0.75 ; za λ > 35, K 1 = 1.0 20 - Koeficijent kojim se uzima u obzir zakrivljenost K2 ≤ 1

ε yd =

fyd Es

- Računska deformacija u čeliku koja odgovara računskoj granici popuštanja

Rezne računske sile na deformiranom sustavu bit će:

NIIsd = NIsd MIIsd = NIsd ⋅ e tot

Teorija II reda - primjer Potrebno je proračunati i dimenzionirati stup dimenzija prema slici. Materijal C 25/30 i B500B. - Rezne sile pri dnu stupa F

NG = 150 kN ; NQ = 170 kN MG = 36 kN ; NQ = 54 kN

H

- Računske čvrstoće 35

C 25 30

As1 4.5 m

As2 40

30

B500B

⇒ ⇒

fcd = 25 1.5 = 16.6 MPa fyd = 500 1.15 = 434 .8 MPa

- Koeficijent izvijanja

l0 = 2 ⋅ lcol = 2 ⋅ 450 = 900 cm l0 900 = = 78 i 0.289 ⋅ 40 ⎛ ⎛ e ⎞ 0 ⎞ ⎟⎟ = 50 λ crit = 25 ⋅ ⎜⎜ 2 − 01 ⎟⎟ = 25 ⋅ ⎜⎜ 2 − e e 02 ⎠ 02 ⎠ ⎝ ⎝ λ > λ crit λ=

- Potreban proračun na deformiranom sustavu!

Teorija II reda - primjer

- Ekscentricitet po teoriji I reda 1.35 ⋅ MG + 1.5 ⋅ MQ 129 .6 M e 0 = sd = = = 0.283 m Nsd 1.35 ⋅ NG + 1.5 ⋅ NQ 457 .5

F H

- Ekscentricitet zbog imperfekcije 1 1 ν1 = = = 0.0047 100 ⋅ h tot 100 ⋅ 4.5

35

1 = 0.005 200 ν1 < ν min ⇒ ν1 = 0.005

As1 4.5 m

As2 40

30

ν min =

l0 9 .0 = 0.005 ⋅ = 0.0225 m 2 2 - Dodatni ekscentricitet po teoriji II reda λ K1 = − 0.75 ; za λ > 35, K 1 = 1.0 20 K 2 = 1 .0 e a = ν1 ⋅

ε yd =

fyd Es

=

434.8 = 0.02174 200000 .0

ε yd 1 0.02174 = 2 ⋅ K2 = 2 ⋅ 1 .0 = 1.38 ⋅ 10 −3 r 0 .9 ⋅ d 0.9 ⋅ 35 ⎛ 1⎞ e 2 = 0.1⋅ K 1 ⋅ l02 ⋅ ⎜ ⎟ = 0.1 ⋅ 1.0 ⋅ 9.0 2 ⋅ 1.38 ⋅ 10 −3 = 0.0112 m ⎝r ⎠

Teorija II reda - primjer

- Ukupne sile po teoriji I reda

NIsd = 1.35 ⋅ NG + 1.5 ⋅ NQ = 457 .5 kN

F

MIsd = 1.35 ⋅ MG + 1.5 ⋅ MQ = 129 .6 kNm

H

- Ukupni ekscentricitet 35

As1 4.5 m

As2 40

30

e tot = e 0 + e a + e 2 = 0.283 + 0.0225 + 0.0112 = 0.3167 m - Ukupne sile po teoriji II reda

NIIsd = NIsd = 457 .5 kN MIIsd = NIsd ⋅ e tot = 457 .5 ⋅ 0.3167 = 144 .9 kNm - Odnos momenata

MIIsd 144 .9 = = 1.12 MIsd 129 .6

Granično stanje naprezanja Prekomjerno naprezanje betona i/ili čelika pod opterećenjem u eksploataciji utječe preko raspucavanja i plastičnog deformiranja na trajnost i uporabljivost armiranobetonskih i prednapetih konstrukcija. Da bi se izbjegle negativne posljedice, prema EC-2 ograničavaju se naprezanja, i to: U Betonu: - Pod rijetkom kombinacijom opterećenja

σ c ≤ 0.6 fck - Pod kvazistalnom kombinacijom opterećenja

σ c ≤ 0.45 fck U Čeliku: - Pod rijetkom kombinacijom opterećenja

C 25 30

⇔

MB − 30

σ dop,rub,MB −30 = 12.0 MPa σ c = 0.45 fck = 0.45 ⋅ 25 = 11.25 MPa

σ s ≤ 0.8 fyk - Pod naprezanjem izazvanim samo indirektnim djelovanjem (prinudne deformacije)

σ s ≤ 1.0 fyk - U čeliku za prednaprezanje nakon svih gubitaka pod rijetkom kombinacijom djelovanja

σp ≤ 0.75 fpk Ograničenjem naprezanja sprječava se slabljenje tlačne zone otvaranjem poprečnih mikropukotina nastalih poprečnim vlačnim naprezanjima (sile cijepanja) i plastifikacija betona. Za određivanje naprezanja koristi se linearna raspodjela naprezanja u betonu i čeliku (linearna teorija), te konstantan odnos modula elastičnosti (Es/Ec=15). Kada uvjeti ograničenja naprezanja nisu ispunjeni, potrebno je pojačati presjek i/ili armaturu, ili poduzeti druge mjere.

Granično stanje pukotina Raspucavanje armiranobetonskih konstrukcija ograničava se kako bi se spriječile šetne posljedice za trajnost građevine. Pukotine nastaju kada vlačna naprezanja izazvana savijanjem, torzijom, poprečnim silama i uzdužnom vlačnom silom, pojedinačno ili zajednički, prijeđu vlačnu čvrstoću betona. Kada nema posebnih zahtjeva na raspucavanje (npr. vodonepropusnost) armiranobetonskih sustava, može se uzeti za normalne klase onečišćenja, za ab konstrukcije wg=0.3 mm, a za prednapete konstrukcije wg=0.2 mm. Minimalna armatura Armiranobetonske i prednapete elemente valja uvijek armirati u području vlačnih naprezanja barem minimalnom armaturom za ograničenje širina pukotina, osobito ako se očekuje indirektno djelovanje izazvano spriječenošću slobodnog skupljanja ili prinudnim deformacijama (popuštanje ležaja). Kako raspodjela vlačnih naprezanja po visini presjeka utječe na raspucavanje elementa, valja razlikovati: - Promjenjivu raspodjelu izazvanu momentom savijanja (postoji vlačna i tlačna zona), - Jednoliku raspodjelu izazvanu vlačnom silom ( cijeli presjek naprezan na vlak).

Minimalna armatura može se izračunati po izrazu: A A s,min = k c ⋅ k ⋅ fct,eff ⋅ ct gdje je: σs kc – koeficijent kojim se uzima u obzir raspodjela naprezanja po visini presjeka pri pojavi prve pukotine (kc=1.0 za centrični vlak; kc=0.4 za savijanje) k – korekcijski koeficijent (k=0.8 kod spriječenih deformacija; k=1.0 za prinudne deformacije) fct,eff – vlačna čvrstoća betona pri pojavi prve pukotine Act – vlačna površina neposredno prije pojave pukotine σs – naprezanje u armaturi neposredno nakon pojave pukotine

Granično stanje pukotina - nastavak Granično stanje pukotina nije potrebno kontrolirati kod ploča, ako debljina ploče ne prelazi 200 mm, te kada je ploča armirana u skladu s preporukama u vezi površine i rasporeda armature potrebnom za nosivost. Za elemente armirane minimalnom armaturom, dobivenom po prethodno prikazanom izrazu, granično stanje pukotina biti će zadovoljeno ako promjeri šipaka i razmaci šipki budu manji od graničnih. Naprezanja u čeliku (σs) odgovara onom pri određivanju minimalne armature, a proračunava se za kvazistalnu kombinaciju opterećenja. Osnovni odnos raspona i efektivna debljina presjeka (l/h), sortirani su u tablici: Jače napregnut beton

Slabije napregnut beton

1. Prosta greda; Samostojeće ploče koje nose u jednom ili dva smjera (ploče koje se nastavljaju)

18

25

2. Krajnji raspon kont. nosača ili ploče koja nosi u dva smjera a nastavlja se preko jedne stranice

23

32

3. Unutarnji raspon kont. nosača ili ploče koja nosi u 1 smjeru ili 2 smjera a koja nastavlja se

25

35

4. Ploče oslonjene na stupove bez greda (bazirano na duljem rasponu)

21

30

5. Konzole

7

10

Konstrukcijski sustav

Maksimalni promjeri šipki i njihovi maksimalni razmaci za različite nivoe naprezanja u čeliku, sortirani su u tablici: Naprezanje u armaturi (MPa)

Maksimalni promjer šipke φ (mm)

160 200 240 280 320 360

32 25 20 16 12 10

Maksimalni razmak šipki (mm) Savijanje

Vlak

300 250 200 150 100 50

200 150 125 75 -

Granično stanje pukotina - nastavak Širina pukotine se uspoređuje s graničnom vrijednošću: wk ≤ wg Računska širina pukotine može se prognozirati pomoću izraza: w k = β ⋅ srm ⋅ ε sm gdje je: β – odnos računske i srednje širine pukotina (β=1.7 za vanjsko opterećenje; β=1.3 za neizravno opterećenje) srm – srednji razmak pukotina εsm – srednja deformacija armature Srednja deformacija armature određuje se po izrazu:

ε sm gdje je: ζ – koeficijent raspodjele

⎛σ σ σ ⎡ = s ⋅ ζ = s ⋅ ⎢1 − β1 ⋅ β 2 ⋅ ⎜⎜ sr Es Es ⎢ ⎝ σs ⎣

σs – naprezanje u vlačnoj armaturi na mjestu pukotine

⎞ ⎟⎟ ⎠

2

⎤ ⎥ ⎥ ⎦

σs =

Msd Msd ≈ x⎞ z ⋅ As ⎛ ⎜d − ⎟ ⋅ As 3⎠ ⎝

σsr – naprezanje u vlačnoj armaturi na mjestu pojave prve pukotine

Mcr σ sr = z ⋅ As

b ⋅ h2 ; Mcr = fctm ⋅ 6

β1 – koeficijent kojim se uzima u obzir vrsta armature (β1=1.0 - rebrasta armatura, β1=0.5 - glatka armatura) β2 – koeficijent kojim se uzima u obzir trajanje opterećenja (β2=1.0 – kratkotrajno opterećenje, β2=0.5 – dugotrajno opterećenje ili promjenjivo s čestim udjelom)

Granično stanje pukotina - nastavak Srednji razmak pukotina određuje se po izrazu:

srm = 50 + 0.25 ⋅ k 1 ⋅ k 2 ⋅

φ ρr

[mm ]

gdje je: φ – promjer šipke u mm

As ρr – djelotvorni koeficijent armiranja glavnom vlačnom armaturom ρr = A c,eff k1 – koeficijent kojim se uzima u obzir prionjivost čelika i betona (k1=0.8 - rebrasta armatura, k1=1.6 - glatka armatura) k2 – koeficijent kojim se uzima u obzir utjecaj raspodjele deformacija (k2=0.5 – savijanje, k2=1.0 – vlak) Ac,eff – sudjelujuća vlačna zona presjeka

Grede Ploce h d

h d

A c,eff

d1

b

Težište armature

c

d1

2.5 d1

A c,eff Manja vrijednost od

2.5 (c+φ/2) ili (h-x)/3

Granično stanje pukotina - primjer Potrebno je odrediti granično stanje pukotina za gredu prikazanu na crtežu. Beton C40/50.

β = 1.7 - odnos računske i srednje širine pukotina

A s2 =3Ø12

σs =

σsr =

Msd Msd 4390 kN = 19.59 = 195.9 MPa = ≈ x⎞ 8 .5 ⎞ z ⋅ As ⎛ ⎛ cm2 ⎟ ⋅ 6.03 ⎜ d − ⎟ ⋅ A s ⎜ 40 − 3⎠ 3 ⎠ ⎝ ⎝

Mcr z ⋅ As

; Mcr = fctm ⋅

fctm = 0.3 ⋅ (fck )

23

b ⋅ h2 6

; fctm ≈ 0.3 ⋅ (fck )

23

= 0.3 ⋅ (40.0)

23

M sd=43.90 kNm A s1 =3Ø16

d1 =4

2 ⎛ σ sr ⎞ ⎤ σs σs ⎡ ⎟⎟ ⎥ ε sm = ⋅ζ = ⋅ ⎢1 − β1 ⋅ β 2 ⋅ ⎜⎜ σ Es Es ⎢ s ⎝ ⎠ ⎥⎦ ⎣ n ⋅ A S1 ⎛⎜ 2 ⋅ b ⋅ d ⎞⎟ 5.71 ⋅ 6.03 ⎛⎜ 2 ⋅ 30 ⋅ 40 ⎞⎟ x= = 8.50 cm = ⋅ − 1+ 1+ ⋅ − 1+ 1+ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ b n A 30 5 . 71 6 . 03 ⋅ ⋅ S 1 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝

h=44 cm d=40 cm

Proračun srednje deformacije armature:

; fck = 40.0 MPa

= 3.5 MPa

30 ⋅ 442 Mcr = 0.35 ⋅ = 3388.0 kNcm = 33.88 kNm 6 M Mcr 3388 3388 kN = = 15.12 2 = 151.2 MPa = σsr = cr ≈ x⎞ 8.5 ⎞ z ⋅ As ⎛ 0.9 ⋅ 40 ⋅ 6.03 ⎛ cm ⎟ ⋅ 6.03 ⎜ d − ⎟ ⋅ A s ⎜ 40 − 3⎠ 3 ⎠ ⎝ ⎝

b=30 cm

x

d2 =4

w k = β ⋅ srm ⋅ ε sm ≤ w g

Granično stanje pukotina - primjer E s = 200 .0 GPa = 200000000 .0 kPa - modul elastičnosti armature β1 = 1.0 - Rebrasta armatura Po Gergely-Lutzu: h1 = d − x = 40.0 − 8.50 = 31.50 cm β 2 = 0.5 - Dugotrajno opterećenje

ρr =

2 ⋅ b ⋅ c 2 ⋅ 30 ⋅ 4 = 80 cm2 = na 3

w max = 11×

h2 × σS × 3 A × d × 10 −6 (cm) = h1

35.5 ⋅ 195.7 ⋅ 3 80.0 ⋅ 4.0 × 10 −5 31.5 = 0.166 mm < w g = 0.3 mm 1 .1 ⋅

w max

=2.5*d1 =10 cm

Proračun srednjeg razmaka pukotina: φ [mm ] srm = 50 + 0.25 ⋅ k 1 ⋅ k 2 ⋅ ρr φ = 16 mm - Promjer najdeblje šipke k 1 = 0.8 - Rebrasta armatura k 2 = 0.5 - Savijanje

A=

d1 4

ε sm

h2 = h − x = 44.0 − 8.50 = 35.50 cm

2 ⎡ ⎛ σ sr ⎞ ⎤ ⎟⎟ ⎥ = ⋅ ⎢1 − β1 ⋅ β 2 ⋅ ⎜⎜ ⎢ ⎝ σ s ⎠ ⎥⎦ ⎣ 2 ⎡ 195.9 ⎛ 151.2 ⎞ ⎤ −3 ⋅ ⎢1 − 1.0 ⋅ 0.5 ⋅ ⎜ ⎟ ⎥ = 0.688 ⋅ 10 200000 .0 ⎢⎣ ⎝ 195.9 ⎠ ⎥⎦

σ = s Es

b=30

As 6.03 = = 0.0201 - Djelotvorni koeficijent armiranja glavnom vlačnom armaturom A c,eff 30 ⋅ 10

srm = 50 + 0.25 ⋅ k1 ⋅ k 2 ⋅

φ 16 = 50 + 0.25 ⋅ 0.8 ⋅ 0.5 ⋅ = 129.6 mm ρr 0.0201

w k = β ⋅ srm ⋅ ε sm = 1.7 ⋅ 0.688 ⋅ 10 −3 ⋅ 129.6 = 0.151 mm < w g = 0.3 mm

Granično stanje deformiranja Deformiranje elemenata i konstrukcija dozvoljava se u određenim granicama i pod uvjetom da ne izazove oštećenja u samom sustavu i drugim nosivim elementima. Pod pojmom deformiranje (izobličenje) podrazumijeva se deformacija, progib, zakrivljenost, pomak, uvrtanje i promjena nagiba. Najčešća analiza je analiza progiba. Preporučene vrijednosti maksimalnih vertikalnih progiba prikazane su u tablici:

δ0= nadvišenje δ1= progib za kratkotrajno opterećenje δ2= progib od vremenskih efekata δmax= maksimalni (ukupni) progib

Granično stanje deformiranja - nastavak Kontrolu progiba nije potrebno provoditi uvijek. EC2 propisuje da kontrolu graničnog stanja uporabe nije potrebno provoditi kada vitkost elementa na savijanje (leff/d) ne prelazi vrijednosti naznačene u tablici. Vrijednosti naznačene u tablici valja umanjiti: - Za grede T presjeka kojima je beff/bw>3 s faktorom: 0.8; - Za sve elemente, osim ravnih ploča, raspona preko 7 m, koji nose pregradno ziđe, s faktorom: 7/leff. - Za ravne ploče, raspona preko 8.5 m, s faktorom: 8.5/leff. Također, kada je stvarno naprezanje u čeliku manje od 250.0 MN/m2, vrijednosti u tablici treba korigirati s nepovoljnijim od dva faktora: 250 400 f3 = ; f3 = A σs fyk ⋅ s,req A s,prov gdje je As,prov postojeća, a As,req potrebna površina armature. Upotreba ove tablice je na strani sigurnosti.

Granično stanje deformiranja - nastavak Potrebno je dokazati da je progib izazvan opterećenjem manji od graničnog: νk ≤ ν g Za elemente pretežno naprezane na savijanje vrijedi sljedeći izraz:

ν = ζ ⋅ νII + (1 − ζ ) ⋅ νI

⎡ ⎛σ ζ = ⎢1 − β1 ⋅ β 2 ⋅ ⎜⎜ sr ⎢ ⎝ σs ⎣

⎞ ⎟⎟ ⎠

2

⎤ ⎥ ⎥ ⎦

gdje je: ν – ukupni progib ζ – koeficijent raspodjele (već primjenjivan kod proračuna pukotina); za neraspucali element ζ=0.0 νI, νII – odgovarajuće vrijednosti progiba za neraspucali (homogeni) i potpuno raspucali element

Za elemente konstantne visine koristi se pojednostavljena metoda prema kojoj se izračuna zakrivljenost na mjestu maksimalnog momenta, a progib se tada izračuna prema izrazu:

ν tot = k ⋅ L2 ⋅

1 rtot

gdje je: k – koeficijent ovisan o statičkom sustavu i opterećenju (vidi sljedeći list) L – raspon elementa rtot – ukupna zakrivljenost elementa, prema izrazu 1 1 1 = + rtot rm rcsm rm – zakrivljenost zbog opterećenja i puzanja rcsm – zakrivljenost zbog skupljanja

Granično stanje deformiranja - nastavak Srednja zakrivljenost zbog opterećenja i puzanja sastoji se od zakrivljenosti u stanju naprezanja I i stanju naprezanja II: 1 1 1 = ζ ⋅ + (1 − ζ ) ⋅ rm rI rII Zakrivljenost za stanje naprezanja I proračunava se prema izrazu: MSd 1 = rI Ec,eff ⋅ II gdje je: II – moment tromosti presjeka u stanju I (neraspucalo stanje) Približne vrijednosti vlačne čvrstoće betona i modula elastičnosti mogu se odrediti izrazima: Ecm = 9500 ⋅ 3 fck + 8

;

fck [MPa]

fct,m ≈ 0.3 ⋅ (fck )

;

fck [MPa]

23

[MPa] [MPa]

A nakon očitanja trajnog koeficijenta puzanja iz pravilnika: Ec,eff =

E cm 1.0 + ϕ(t ∞ , t 0 )

Granično stanje deformiranja - nastavak Zakrivljenost za stanje naprezanja II: ε s1 MSd 1 = = rII d − yIIg Ec,eff ⋅ III gdje je: yIIg – udaljenost neutralne osi od gornjeg ruba poprečnog presjeka za stanje II εs1 – relativna deformacija armature, koja se izračunava po izrazu: Msd σ ε s1 = s ; σ s = Es z ⋅ A s1 Moment nastanka prve pukotine određuje se prema izrazu: b ⋅ h2 Mcr = fct,m ⋅ 6

; fct,m ≈ 0.3 ⋅ (fck )

23

Te, ako je Mcr>Msd, tada se koeficijent raspodjele ζ uzima jednak 0, bez obzira na proračunatu vrijednost, jer je nosač u elastičnom stanju. Zakrivljenost zbog skupljanja za stanje naprezanja I i II iznose:

1 rcsl,I

=

ε cs∞ ⋅ α e ⋅ SI II

;

1 rcsl,II

=

ε cs∞ ⋅ α e ⋅ SII III

gdje je: SI, SII – statički moment površine armature za stanje naprezanja I, tj. II, II, III – momenti tromosti poprečnog presjeka za stanje naprezanja I, tj. II, εcs∞ – relativna deformacija zbog skupljanja u beskonačnosti (iz tablica) αe – omjer modula elastičnosti čelika i betona, prema: E E α e = s (za t = 0) ; α e = s (za t = ∞ ) Ecm Ec,eff

Granično stanje deformiranja – primjer – kratkotrajno opterećenje Potrebno je izračunati granično stanje progiba za nosač prikazan na crtežu.

Granični progib:

M B = 57.5 kNm M A = 0 kNm

L 460 = = 1.84 cm 250 250

ν lim =

Beton: C 40/50; fck=40.0 MPa

E cm = 9500 ⋅ 3 fck + 8 = 9500 ⋅ 3 40 + 8 ≈ 35000 MPa

M F = 43.9 kNm L=460 cm MSd = 1.0 ⋅ Mg + 1.0 ⋅ Mq

fctm = 0.3 ⋅ (fck )

23

= 0.3 ⋅ (40.0 )

23

= 3.5 MPa

Čelik: B500B; Es=200.0 GPa

α eI =

Es 200.0 = = 5.71 Ecm 35.0

ν tot = k ⋅ L2 ⋅

1 rtot

β = MA + MB MF = 0.0 + 57.5 43.9 = 1.31 k=

5 ⋅ (1 − 0.1⋅ β) = 0.104 ⋅ (1 − 0.1⋅ 1.31) = 0.091 48

Granično stanje deformiranja – primjer – kratkotrajno opterećenje Presjek u polju:

d2 4

As1 = 3∅16 =6.03 cm2 As2 = 2∅12 =2.26 cm2 2 2 ⎡ bh3 ⎛h ⎞ ⎛h ⎞ ⎤ + α eI ⋅ ⎢ A s1 ⋅ ⎜ − d2 ⎟ + A s 2 ⋅ ⎜ − d1 ⎟ ⎥ II = 12 ⎝2 ⎠ ⎝2 ⎠ ⎥⎦ ⎢⎣

40

2 2 ⎡ 30 ⋅ 44 3 ⎛ 44 ⎞ ⎛ 44 ⎞ ⎤ = + 5.71 ⋅ ⎢6.03 ⋅ ⎜ − 4 ⎟ + 2.26 ⋅ ⎜ − 4⎟ ⎥ = 12 2 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎥⎦ ⎢⎣

= 212960 .0 + 15336 .8 = 228296 .8 cm 4

A s1 =3Ø16 d1 4

h=44 cm

A s2 =3Ø12

b=30

MSd = MF = 1.0 ⋅ Mg + 1.0 ⋅ Mq = 43.90 kNm = 4390.0 kNcm Ec,eff = Ecm = 35.0 GN m2 = 3500.0 kN cm2 MSd 1 4390.0 1 = = = 0.00000549 rI Ec,eff ⋅ II 3500.0 ⋅ 228296.83 cm

Granično stanje deformiranja – primjer – kratkotrajno opterećenje x=

α eI ⋅ A s1 ⎛⎜ 2 ⋅ 30 ⋅ 40 ⎞⎟ 2bd ⎞⎟ 5.71 ⋅ 6.03 ⎛⎜ = 8.50 cm = − 1+ 1+ − 1+ 1+ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ b A 30 5 . 71 6 . 03 ⋅ α ⋅ eI s1 ⎠ ⎠ ⎝ ⎝ 2

[

bx 3 ⎛x⎞ 2 2 + bx ⋅ ⎜ ⎟ + α eI ⋅ A s1 ⋅ (d − x ) + A s2 ⋅ (x − d2 ) III = 12 ⎝2⎠ 2

]

[

30 ⋅ 8.50 3 ⎛ 8.50 ⎞ 2 2 = + (30 ⋅ 8.50 ) ⋅ ⎜ ⎟ + 5.71 ⋅ 6.03 ⋅ (40 − 8.5 ) + 2.26 ⋅ (8.5 − 4 ) 12 ⎝ 2 ⎠

]

= 6141.25 + 34425.78 = 40567.03 cm 4 Msd Msd 4390 kN = 19.59 = 195.9 MPa = ≈ x⎞ 8.5 ⎞ z ⋅ A s1 ⎛ ⎛ cm2 ⎟ ⋅ 6.03 ⎜ d − ⎟ ⋅ A s1 ⎜ 40 − 3⎠ 3 ⎠ ⎝ ⎝ σ 195 .9 ε s1 = s1 = == 0.0009795 A s2 =3Ø12 E s 200000

x

Fc

MSd 1 4390.0 1 = = = 0.00003092 rII Ec,eff ⋅ III 3500.0 ⋅ 40567.03 cm

d - x/3

d = 40 cm

ε s1 1 0.0009795 1 = = = 0.00003110 rII d − yIIg 40 − 8.5 cm

h = 44 cm

d2 4

σ s1 =

d1 4

A s1 =3Ø16 b=30

Fs1

Granično stanje deformiranja – primjer – kratkotrajno opterećenje M σsr = cr z ⋅ As

b ⋅ h2 ; Mcr = fctm ⋅ 6

fctm = 0.3 ⋅ (fck )

23

; fctm ≈ 0.3 ⋅ (fck )

23

= 0.3 ⋅ (40.0)

23

; fck = 40.0 MPa

= 3.5 MPa

30 ⋅ 442 = 3388.0 kNcm = 33.88 kNm Mcr = 0.35 ⋅ 6 M Mcr kN 3388 = = 15.12 2 = 151.2 MPa σsr = cr ≈ 8.5 ⎞ x⎞ z ⋅ As ⎛ ⎛ cm ⎟ ⋅ 6.03 ⎜ d − ⎟ ⋅ A s ⎜ 40 − 3 ⎠ 3⎠ ⎝ ⎝

1 1 = 0.00000549 rI cm 1 1 = 0.00003110 rII cm 2

⎛σ ⎞ ⎛ 151.2 ⎞ ζ = 1 − β1 ⋅ β 2 ⋅ ⎜⎜ sr ⎟⎟ = 1 − 1.0 ⋅ 0.5 ⋅ ⎜ ⎟ = 0.702 σ 195 . 9 ⎝ ⎠ ⎝ s ⎠ 1 1 1 1 = ζ ⋅ + (1 − ζ ) ⋅ = 0.702 ⋅ 0.00000549 + (1 − 0.702 ) ⋅ 0.00003110 = 0.0000131 rm rI rII cm 2

k = 0.091 L = 360.0 cm ν tot,t =0 = k ⋅ L2 ⋅

1 rtot

= 0.091⋅ 360.0 2 ⋅ 0.0000131 = 0.16 cm < ν lim = 1.84 cm

Granično stanje deformiranja – primjer – uključeno puzanje Principijelno bi trebalo uzeti:

As1 = 3∅16 =6.03 cm2 As2 = 2∅12 =2.26 cm2

MSd = 1.0 ⋅ Mg + 1.0 ⋅ ψ 2 ⋅ Mq

α eII =

E cm 35.0 = ≈ 10.3 GPa 1 + ϕ t ,t = ∞ 1 + 2 . 4

Es 200.0 = = 19.42 E c,eff 10.3

40

2 2 ⎡ bh3 ⎛h ⎞ ⎛h ⎞ ⎤ II = + α eI ⋅ ⎢ A s1 ⋅ ⎜ − d2 ⎟ + A s 2 ⋅ ⎜ − d1 ⎟ ⎥ 12 ⎝2 ⎠ ⎝2 ⎠ ⎥⎦ ⎢⎣ 2 2 ⎡ 30 ⋅ 44 3 ⎛ 44 ⎞ ⎛ 44 ⎞ ⎤ = + 19.42 ⋅ ⎢6.03 ⋅ ⎜ − 4 ⎟ + 2.26 ⋅ ⎜ − 4⎟ ⎥ = 12 ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎥⎦ ⎢⎣

A s1 =3Ø16

= 212960 .0 + 52161 .34 = 265121 .34 cm 4

d1 4

h=44 cm

A s2 =3Ø12

x

d2 4

E c,eff =

b=30

MSd = MF = 43.90 kNm = 4390.0 kNcm MSd 1 4390.0 1 = = = 0.0000161 rI Ec,eff ⋅ II 1030.0 ⋅ 265121.34 cm

Granično stanje deformiranja – primjer – uključeno puzanje x=

α eII ⋅ A s1 ⎛⎜ 2bd ⎞⎟ 19.42 ⋅ 6.03 ⎛⎜ 2 ⋅ 30 ⋅ 40 ⎞⎟ = 14.20 cm = − 1+ 1+ − 1+ 1+ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 19 . 42 6 . 03 b A 30 ⋅ α ⋅ eII s1 ⎠ ⎠ ⎝ ⎝ 2

[

bx 3 ⎛x⎞ 2 2 III = + bx ⋅ ⎜ ⎟ + α eII ⋅ A s1 ⋅ (d − x ) + A s2 ⋅ (x − d2 ) 12 ⎝2⎠ 2

] [

30 ⋅ 14.20 3 ⎛ 14.20 ⎞ 2 2 = + (30 ⋅ 14.20 ) ⋅ ⎜ ⎟ + 19.42 ⋅ 6.03 ⋅ (40 − 14.20 ) + 2.26 ⋅ (14.20 − 4 ) 12 ⎝ 2 ⎠

]

= 28632.88 + 82514.41 = 111147.29 cm 4

MSd 1 4390.0 1 = = = 0.0000383 rII Ec,eff ⋅ III 1030.0 ⋅ 111147.29 cm

40

A s2 =3Ø12

A s1 =3Ø16 b=30

x

d2 4

σ s1 206 .4 = = 0.001032 E s 200000

ε s1 1 0.001032 1 = = = 0.0000400 rII d − yIIg 40 − 14.2 cm

(195.9 MPa)

d1 4

ε s1 =

Msd Msd 4390 kN ≈ = = 20.64 = 206.4 MPa x⎞ 14.2 ⎞ z ⋅ A s1 ⎛ ⎛ cm2 ⎜ d − ⎟ ⋅ A s1 ⎜ 40 − ⎟ ⋅ 6.03 3⎠ 3 ⎠ ⎝ ⎝

h=44 cm

σ s1 =

Granično stanje deformiranja – primjer – uključeno puzanje σsr =

Mcr z ⋅ As

; Mcr = fctm ⋅

fctm = 0.3 ⋅ (fck )

23

b ⋅ h2 6

; fctm ≈ 0.3 ⋅ (fck )

23

= 0.3 ⋅ (40.0)

23

; fck = 40.0 MPa

= 3.5 MPa

30 ⋅ 442 = 3388.0 kNcm = 33.88 kNm Mcr = 0.35 ⋅ 6 M Mcr kN 3388 = = 15.90 2 = 159.0 MPa σsr = cr ≈ 14.2 ⎞ x⎞ z ⋅ As ⎛ ⎛ cm ⎜ d − ⎟ ⋅ A s ⎜ 40 − ⎟ ⋅ 6.03 3 ⎠ 3⎠ ⎝ ⎝ 1 1 = 0.0000161 rI cm

1 1 = 0.0000400 rII cm 2

2

⎛σ ⎞ ⎛ 159.0 ⎞ ζ = 1 − β1 ⋅ β 2 ⋅ ⎜⎜ sr ⎟⎟ = 1 − 1.0 ⋅ 0.5 ⋅ ⎜ ⎟ = 0.703 σ 206 . 4 ⎝ ⎠ ⎝ s ⎠ 1 1 1 1 = ζ ⋅ + (1 − ζ ) ⋅ = 0.703 ⋅ 0.0000161 + (1 − 0.703 ) ⋅ 0.0000400 = 0.0000232 rm rI rII cm k r = 0.85 − 0.45 ⋅

k = 0.091 L = 360.0 cm ν tot,t =∞ = k ⋅ L2 ⋅

1 rtot

= 0.091⋅ 360.0 2 ⋅ 0.0000232 = 0.27 cm < ν lim = 1.84 cm

A s2 = A s1 2.26 = 0.68 6.03 ⋅ kr

= 0.85 − 0.45 ⋅ ν tot,t =∞ = ν tot,t =0 ⋅ ϕt 0 ,t ∞

= 0.16 ⋅ 2.4 ⋅ 0.68 = 0.26 cm