DIMENSIONAMENTO DE SEÇÕES RETANGULARES DE CONCRETO ARMADO.pdf

UNIVERSIDADE UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE GR ANDE DO SUL ESCOLA DE ENGENHARIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL

DI ME NSI NSI ONAMENTO DE SE ÇÕE ÇÕE S RE TAN TANGULARE GULARE S DE CONCRE CONCRE TO ARMADO  À F L E XÃO XÃ O C OMPOS OM POSTA TA NOR N ORM MAL

AMÉRICO CAMPOS FILHO

2014

SUMÁRIO

1 – AS  – AS SOLICITAÇÕES NORMAIS ............................................ .................................................................. ........................................... ..................... 1 2  –   ELEMENTOS LINEARES SUJEITOS A SOLICITAÇÕES NORMAIS  –   ESTADO LIMITE ÚLTIMO .............................................. .................................................................... ............................................ ............................................ ........................... ..... 2 2.1 –  2.1 – Estados Estados limites ...................................... ............................................................ ............................................ ............................................ ................................ .......... 2 2.2 –  2.2 – Hipóteses Hipóteses básicas ............................................. ................................................................... ............................................ ........................................... ..................... 2 3 –  DIMENSIONAMENTO  DIMENSIONAMENTO DE SEÇÕES RETANGULARES RETANGULARES DE CONCRETO ARMADO SUJEITAS À FLEXÃO COMPOSTA NORMAL ........................................................... .................................................................... ......... 6 3.1 –  3.1 – O O problema a ser resolvido ........................................... ................................................................. ............................................ .............................. ........ 3.2 –  3.2 – As As relações de equivalência entre esforços atuantes e resistentes resistentes .................................... .................................... 3.3 –  3.3 – Dimensionamento Dimensionamento de seções retangulares submetidas à flexo-compressão normal .........

6 8 9

3.3.1- Armaduras assimétricas ............................................. ................................................................... ............................................... ................................ ....... 9 3.3.2 –  3.3.2 – Armaduras Armaduras simétricas .............................................. .................................................................... ............................................ ................................ .......... 19 3.4 - Dimensionamento Dimensionamento de seções retangulares submetidas à flexo-tração flexo-tração normal ................... 29 3.5  –   Programa para dimensionamento de seções retangulares de concreto armado submetidas à flexão composta normal .......................................... ................................................................ ............................................ ........................

32

1  –  AS  AS SOLICITAÇÕES NORMAIS As seções transversais de um elemento estrutural estão submetidas a solicitações. Estas solicitações são classificadas como normais e tangenciais. As solicitações normais, como o esforço normal e o momento fletor, dão origem a tensões normais nas seções. Por outro lado, as solicitações tangenciais, como o esforço cortante e o momento de torção, causam o aparecimento de tensões tangenciais nas seções. Tradicionalmente, o dimensionamento das seções de concreto armado é feito por grupo de solicitações. Assim, no caso de uma viga de concreto armado, cujas seções transversais estão submetidas a momento fletor e esforço cortante, têm-se dois processos independentes de dimensionamento para a seção: determina-se uma armadura longitudinal para resistir à solicitação correspondente ao momento fletor e, de forma independente, calcula-se uma armadura transversal para resistir ao esforço cortante. Isto é feito por se ter uma solicitação normal (momento fletor) e uma solicitação tangencial (esforço cortante) atuando na seção. Já para um pilar de concreto armado, cujas seções estão submetidas a momento fletor e esforço normal, tem-se um  processo de dimensionamento único, onde se determina uma armadura longitudinal para resistir a ação simultânea destas duas solicitações. Neste caso se têm duas solicitações do mesmo grupo (das solicitações normais). Sempre que uma seção estiver submetida a um momento fletor se tem uma solicitação dita de flexão. A solicitação de flexão pode ser classificada como simples ou composta. Uma flexão é dita simples quando a única solicitação normal atuante é o momento fletor. Uma flexão é chamada composta quando atuam simultaneamente em uma seção um momento fletor e uma força normal (de tração ou de compressão). A solicitação de flexão, seja simples ou composta, pode ser classificada, ainda, como normal ou oblíqua. Uma flexão é chamada normal quando o plano de flexão contém um eixo de simetria da seção. Uma flexão é dita oblíqua sempre que a direção da linha neutra não pode ser determinada a  priori. A figura abaixo mostra seções de concreto armado submetidas à flexão composta oblíqua. Em (a), o plano de ação do momento fletor corta a seção transversal segundo uma reta que não coincide com o seu plano de simetria. A flexão também é oblíqua, caso (b), quando a seção não tem um eixo de simetria. eixo de simetria

traço do plano de flexão

traço do plano de flexão

(a)

(b)

Figura 1.1 –  1.1 –  Situações  Situações de flexão oblíqua

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1

2  –   ELEMENTOS LINEARES SUJEITOS A SOLICITAÇÕES NORMAIS  –   ESTADO LIMITE ÚLTIMO 2.1  –  Estados limites Para se projetar uma estrutura com um adequado grau de segurança é necessário que se verifique a não ocorrência de uma série de estados limites. Estes estados limites podem ser classificados em estados limites últimos (ELU) e estados limites de serviço (ELS). Os estados limites últimos correspondem à máxima capacidade portante da estrutura. Os estados limites de serviço são aqueles relacionados à durabilidade das estruturas, aparência, conforto do usuário e a boa utilização funcional da mesma, seja em relação aos usuários, seja às máquinas e aos equipamentos utilizados.  Nas estruturas de concreto armado, devem ser verificados os seguintes estados limites últimos: a) estado limite último da perda do equilíbrio da estrutura, admitida como corpo rígido;  b) estado limite último de esgotamento da capacidade resistente da estrutura, no seu todo ou em  parte, devido às solicitações normais e tangenciais; c) estado limite último de esgotamento da capacidade resistente da estrutura, no seu todo ou em  parte, considerando os efeitos de segunda ordem; d) estado limite último provocado por solicitações dinâmicas; e) estado limite último de colapso progressivo; f) estado limite último de esgotamento da capacidade resistente da estrutura, no seu todo ou em  parte, considerando exposição ao fogo (NBR 15200); g) estado limite último de esgotamento da capacidade resistente da estrutura, considerando ações sísmicas (NBR 15421). Os estados limites de serviço, que devem ser verificados nas estruturas de concreto armado, são: a) estado limite de abertura das fissuras;  b) estado limite de deformações excessivas; c) estado limite de vibrações excessivas.  Neste trabalho será discutido o estado limite último de esgotamento da capacidade resistente devido às solicitações normais. 2.2  –  Hipóteses básicas  Na análise dos esforços resistentes de uma seção de concreto armado, admitem-se as seguintes hipóteses básicas: a) as seções transversais se mantêm planas após deformação; Departamento de Engenharia Civil –  Universidade Federal do Rio Grande do Sul

2

 b) a deformação das barras, em tração ou compressão, é a mesma do concreto em seu entorno; c) as tensões de tração no concreto, normais à seção transversal, podem ser desprezadas; d) a distribuição de tensões no concreto se faz de acordo com o diagrama parábola-retângulo, com tensão de pico igual a 0,85 f cd, conforme a figura

Figura 2.1 –  Diagrama parábola-retângulo para o concreto comprimido sendo f cd a resistência de cálculo do concreto à compressão, determinada por  f cd  

 f ck 

(2.1)

 c onde f ck  é a resistência característica do concreto à compressão e c é o coeficiente de minoração da resistência do concreto, tomado, em geral, com o valor de 1,4.

Οs valores a serem adotados para os parâmetros ε c2 (deformação específica de encurtamento do concreto no início do patamar plástico) e ε cu  (deformação específica de encurtamento do concreto na ruptura) são definidos a seguir: - para concretos de classes até C50: εc2 = 2,0 ‰ εcu = 3,5 ‰ - para concretos de classes de C50 até C90: εc2 = 2,0 ‰ + 0,085 ‰ .( f ck  - 50)0,53; εcu = 2,6 ‰ + 35 ‰ [(90 - f ck )/100]4 Esse diagrama pode ser substituído pelo retângulo de profundidade  y =  λx, onde o valor do  parâmetro λ pode ser tomado igual a: λ = 0,8 para f ck  ≤ 50 MPa; ou λ = 0,8 –  ( f ck  - 50)/400 para  f ck  > 50 MPa.

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e onde a tensão constante atuante até a profundidade  y pode ser tomada igual a: - αc f cd no caso da largura da seção, medida paralelamente à linha neutra, não diminuir a partir desta para a borda comprimida; - 0,9 αc f cd no caso contrário. sendo αc definido como: - para concretos de classes até C50; α c = 0,85 - para concretos de classes de C55 até C90: αc = 0,85 [1,0 - ( f ck  - 50) / 200] As diferenças de resultados obtidos com esses dois diagramas são pequenas e aceitáveis, sem necessidade de coeficiente de correção adicional. e) a tensão nas armaduras é obtida a partir do diagrama tensão deformação, com valores de cálculo; a resistência de cálculo do aço, f yd, é dada por  f  yd  

 f  yk 

(2.2)

  s onde f yk  é a resistência característica do aço e s é o coeficiente de minoração da resistência do aço, tomado, em geral, com o valor de 1,15.

Figura 2.2 - Diagrama tensão-deformação para o aço f) o estado limite último é caracterizado quando a distribuição das deformações na seção transversal pertencer a um dos domínios definidos na Figura 2.3.

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-

ruptura convencional por deformação plástica excessiva:

reta a:

tração uniforme

domínio 1:

tração não uniforme, sem compressão

domínio 2:

flexão simples ou composta sem ruptura à compressão do concreto ( c  <  cu e com o máximo alongamento permitido)

-

ruptura convencional por encurtamento limite do concreto:

domínio 3:

flexão simples (seção subarmada) ou composta com ruptura à compressão do concreto e com escoamento do aço (  s >  yd  )

domínio 4:

flexão simples (seção superarmada) ou composta com ruptura à compressão do concreto e aço tracionado sem escoamento (  s  h

2

 x  d '

 x

domínio 5:

 

  10 ‰

 x 

 x  d '

2

  10 ‰

2

 x

    cu

0 < x < x 23

10 ‰

1

 x  d '

  yd    cu

2

2

conhecendo-se x, sabe-se o domínio e as deformações.

 x  x  cu

2

d 

 f   yd   E  s

Fig. 3.2 - Relações de compatibilidade de deformações

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3.2  –  As relações de equivalência entre esforços atuantes e resistentes As relações de equivalência entre esforços atuantes e resistentes são necessárias para o dimensionamento das seções de concreto armado à flexão composta normal. O estabelecimento destas relações será ilustrado, neste item, para uma situação de dimensionamento de seção retangular submetida à flexão composta normal. Antes, porém, uma observação relativa às solicitações deve ser feita. No equacionamento da solução do problema é mais conveniente trabalhar com o par (N, e 0) do que com o par (N, M), conforme ilustra a Fig. 3.3. As duas situações de solicitação são estaticamente equivalentes. Nd

e0

Md O

Nd

O

Figura 3.3 - Situações estaticamente equivalentes A excentricidade e0 do esforço normal de cálculo pode ser determinada através da expressão  M   M  e0  d    N d   N 

(3.1)

A Fig. 3.4 apresenta o diagrama para a determinação das relações de equivalência entre esforços atuantes e resistentes. h d d'

Nd e0 e1

ESFORÇOS ATUANTES

e2 O c f cd

As1

1

c

 f cd b x

As2

ESFORÇOS RESISTENTES

2

 x x

Figura 3.4 –  Diagrama de equivalência entre esforços atuantes e resistentes

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A partir do diagrama da Fig. 3.4 pode-se escrever que  N d = a c l  f cd  b x + A s2  2 –  A s1  1    N d e1 = a c l  f cd  b x (d –  0,5 l  x) + A s2  2 (d - d’)

(3.2) (3.3)

onde e0  e1  e2 

 M d   M   N d 



d   d ' 2

d   d ' 2

 N 

 e0

(3.2)

 e0

 Nestas duas expressões aparecem cinco valores que não podem ser determinados diretamente dos dados do problema de dimensionamento:  A s1 , A s2 , x,  1 ,  2. Estas seriam as incógnitas do problema. Na verdade, os valores de  1 e  2 são dependentes do valor de x e não são,  portanto, incógnitas adicionais. Assim, para se encontrar a solução do problema de dimensionamento, deve-se resolver um sistema de duas equações e 3 incógnitas. Este problema apresenta solução indeterminada e tem, portanto, infinitas soluções possíveis.

3.3  –  Dimensionamento de seções retangulares submetidas à flexo-compressão normal Para escolher uma solução particular, dentre as infinitas possíveis, para o problema de dimensionamento de seções retangulares de concreto armado à flexo-compressão normal, deve-se arbitrar uma relação adicional entre as incógnitas. Serão estudadas duas soluções particulares: solução de armaduras assimétricas (A s1+As2   mínimo) e a solução das armaduras simétricas (As1=As2).

3.3.1 - Armaduras assimétricas Para estabelecer-se o que vai ser arbitrado, dividem-se os problemas de flexo-compressão em 3 situações:

(a) Flexo-compressão com grande excentricidade (A s1 0 e tracionada  –  domínios 2 ou 3) Abrange todos os casos em que só é possível equilibrar os esforços solicitantes, utilizandose armadura simples (de tração) ou dupla (de tração e de compressão).

(b) Flexo-compressão com pequena excentricidade (A s1 = 0  –  domínios 4, 4a ou 5) Corresponde a todos os casos em que é possível equilibrar os esforços solicitantes, utilizando-se unicamente uma armadura de compressão.

(c) Compressão composta (A s1 e As2 comprimidas  –  domínio 5) Engloba todos os casos em que são necessárias duas armaduras de compressão.

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(a) Flexo-compressão com grande excentricidade  Na flexo-compressão com grande excentricidade, é necessária uma armadura tracionada  para equilibrar os esforços atuantes. A situação de dimensionamento deve cair dentro dos domínios 2 ou 3, para que a solução seja econômica ( 1  yd  1 = f yd). Pode-se ter solução com armadura simples (As2 = 0) ou com armadura dupla (x = x lim).

(a.1) Armadura simples h d

 N d = a c l  f cd  b x  –  A s1 f  yd     N d e1 = a c l  f cd  b x (d –  0,5 l  x) Nd

têm-se 2 equações x 2 incógnitas (A s1, x) e1 O c f cd

As1 f yd

c

Para assegurar que 1 = f yd, usa-se esta solução somente para x < x lim (1  yd) [domínios 2 ou 3], ou seja, para N d e1  Mdlim.

 f cd b x

 M dlim = a c l  f cd  b xlim (d –  0,5 l  xlim )

 x x

Figura 3.5 –  Grande excentricidade - armadura simples

(a.2) Armadura dupla Para a situação de armadura dupla, fixa-se que x = x lim. h d d'

 N d  = a c l  f cd  b xlim + A s2  2 –  A s1 f  yd  Nd

 N d e1 = M dlim + A s2  2 (d - d’)

têm-se 2 equações x 2 incógnitas (A s1, As2)

e1 O c f cd

As1 f yd

c

f cd b xlim

As2

2

xlim xlim

Antes de resolver o sistema de equações, deve-se determinar o valor de 2, a partir do cálculo de 2  x  d '  2   cu lim  xlim

Figura 3.6 –  Grande excentricidade - armadura dupla

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Observação: excentricidades de N d (d-d')/2

(d-d')/2 Nd

e1

e1  e0 

e0 e2

e 2  e0 

O

(d-d')/2

d  d ' 2 d  d ' 2

(d-d')/2 Nd e1

e1 

e2 e0

e2 

O

+

d   d '  2 d   d '  2

 e0  e0

e2

Figura 3.7 –  Excentricidades do esforço normal

Transição entre a flexo-compressão com grande excentricidade e a flexo-compressão com pequena excentricidade 

quando e0 > (d-d’)/2 h d d'

Nd e2 e0 O c f cd

As1 f yd

c

 f cd b xlim

As2

O equilíbrio à rotação, em relação à armadura comprimida, só é possível se A s1 > 0 estiver tracionada, ou seja, para e 0  > (d-d’)/2 sempre será flexo-compressão com grande excentricidade.

2

 xlim xlim

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Figura 3.8 –  Transição FCGE-FCPE 

quando e0 < (d-d’)/2 h d

Fazendo o equilíbrio à rotação, em relação à armadura As2, tem-se

d'

 Nd e2 = a c l f cd b xlim (0,5 l xlim –d’) –  As1 f yd (d-d’) Nd e2 e0

 A s1 

O

a c l  f cd  b xlim 0,5 l  xlim  d '  N d  e2

c f cd

As1 f yd

c

 f cd b xlim

As2

 f  yd  d  d '

0

2

 xlim

e2 

xlim

a c l  f cd  b xlim 0,5 l  xlim  d '  N d 

Figura 3.9 –  Transição FCGE-FCPE

(b) Flexo-compressão com pequena excentricidade  Nesta situação, tem-se apenas uma armadura de compressão (A s1 = 0). h d'

 N d  = a c l  f cd b x + A s2  2 

(1)

 N d  e2 = a c l  f cd  b x (0,5 l  x – d’) Nd e2 O c f cd

c

f cd b x

As2

2

x x

(2)

Têm-se 2 equações x 2 incógnitas (x, A s2). Em primeiro lugar, deve-se calcular o valor de x, usando a equação (2). A seguir, verifica-se o domínio que corresponde a este valor de x. Podem ser os domínios 4, 4a ou 5. Empregando a relação de compatibilidade de deformações correspondente, calcula-se o valor de 2. Utilizando-se a relação tensão-deformação do aço, determina-se o valor de 2. Finalmente, com a equação (1), calcula-se A s2.

Figura 3.10 –  Pequena excentricidade

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Transição entre a flexo-compressão com pequena excentricidade e a compressão composta Pode-se aumentar a zona com tensão igual a ac f cd até uma altura l x = h (ou x = h/ l). A  partir daí, toda a seção de concreto está submetida à tensão ac f cd. h

Assim, o máximo momento N d e2, que a seção pode resistir, sem a armadura A s1 de compressão, é

d'

 N d e   2 = a c f cd  b h (0,5 h – d’) Nd

ou

e2 O

e2 

c f cd

c f cd b

As2

h

a c  f cd  b h 0,5 h  d '  N d 

2

Figura 3.11 –  Transição FCPE-CC

Para aumentar o momento N d e2 seria necessário acrescentar A s1, que contribuiria com a  parcela adicional A s1 1 (d-d’). Assim, tem-se flexo-compressão com pequena excentricidade quando e2 

a c  f cd  b h 0,5 h  d '

 N d  Para e2 maior do que este valor se tem compressão composta.

(c) Compressão composta  Neste caso, precisa-se de duas armaduras de compressão para equilibrar os esforços atuantes. h d d'

 N d e   1 = a c f cd  b h (d-0,5 h)+A s2  2(d-d’)  N d e   2 = a c f cd  b h(0,5 h-d’)+A s1  1(d-d’)

Nd e1

e2 O c f cd

As1

1

c f cd b

h

As2

2

Figura 3.12 –  Compressão composta

Têm-se 2 equações x 3 incógnitas (x, A s1, As2). Embora não apareça explicitamente, os valores de 1  e de 2 são dependentes do valor de x. Dentre as infinitas soluções possíveis, a solução mais econômica é encontrada para x = +. Esta solução corresponde a reta b do diagrama de deformações do estado limite último (1 = 2 = c2).

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Situação em que não é necessário armadura teoricamente h d'

Nd e2 O c f cd

c f cd b

2 (e 2+d')

e2+d'

e2+d'

Figura 3.13 –  Situação em que não é necessário armadura

 Não é necessário colocar armadura, teoricamente, se  N d   a c  f cd  b 2 e2

 d '

ou e2  d ' 

 N d  2a c  f cd  b

ou e2



 N d  2 a c  f cd  b

 d '

Embora, neste caso, não exista a necessidade teórica da colocação de armadura para equilibrar os esforços atuantes, na prática, a norma sempre exige a colocação de uma armadura mínima na peça estrutural.

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Exemplos: b = 25 cm; h = 50 cm; d = 45 cm; d’ = 5 cm C25: f ck  = 25 MPa = 2,5 kN/cm 2; f cd  = 2,5 /1,4 = 1,786 kN/cm 2 CA-50: f  yd  = 50/1,15 = 43,48 kN/cm 2;   yd  = f  yd  / E  s = 2,07 ‰

 xlim 

 cu ε yd    cu

d  

3 ,5‰ 2,07 ‰  3 ,5‰

d  0 ,628 d  28 ,26 cm

 M dlim = a c l f cd  b xlim (d   – 0,5 l  xlim ) = 0,85.0,8.1,786.25.28,26(45-0,5.0,8.28,26) = 289,12 kN.m

e2GP    PC  e2 

e2  0

a c l  f cd  b xlim 0,5 l  xlim  d '  N d 



0,85.0,8.1,786.25.28,26(0,5.0,8.28,26  5) 5409 kN . cm



 N d 

 N d 

a c  f cd  b h 0,5 h  d ' 0,85.1,786.25.50(0,5.50  5) 37953 kN . cm    N d   N d   N d   N d 

2a c  f cd  b

 d ' 

 N d  2.0,85.1,786.25

5

N d  75,91kN / cm

 5 cm

Exemplo 1:  M = 70 kN.m  N = 100 kN   N d  = 1,4.100 = 140 kN e0 

 M  7000

 7 0cm  N  100 d  d '  45  5 e1   e0  70  90 cm 2 2 d  d '  45  5 e2   e0  70   50 cm 2 2 como e2 < 0   flexo-compressão com grande excentricidade 0

e2



140  5   3 ,16 cm  e2 75 ,91

  precisa

armadura

 N d .e1 = (140kN) (0,90m) = 126,0 kN.m < M dlim = 289,12 kN.m  N d  = a c l  f cd  b x  –  A s1 f  yd   (1)  N d e1 = a c l  f cd  b x (d –  0,5 l x)

  armadura

simples

(2)

(2): -0,85.0,8.1,786.25.0,5.0,8 x 2 + 0,85.0,8,1,786.25.45 x  –  12600 = 0 -12,145 x2 + 1366,3 x –  12600 = 0  x = 10,14 cm < x lim = 28,26 cm ou x = 102,36 cm (absurdo) (1):  A s1 

0,85.0,8.1 ,786.25.10 ,14  140  3 ,86 cm2 43,48

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Exemplo 2:  M = 150 kN.m  N = 800 kN   N d  = 1,4.800 = 1120 kN e0 

 M  15000

  18 ,75 cm  N  800 d  d '  45  5 e1   e0   18 ,75  38 ,75 cm 2 2 d  d '  45  5 e2   e0   18 ,75  1 ,25 cm 2 2 e02 

1120 75 ,91

 e GP  2

 5  9 ,75 cm  e 2

5409 1120

  precisa

armadura

 4 ,83 cm  e 2   flexo-compressão com grande excentricidade

 N d .e1 = (1120kN) (0,3875m) = 434,0 kN.m > M dlim = 289,12 kN.m  N d  = a c l  f cd  b xlim + A s2  2 –  A s1 f  yd    N d e1 = M dlim + A s2  2 (d - d’) (2)  2: xlim = 28,26 cm  xlim  d '  3,5 ‰ 28,26  5  2   cu 28,26  xlim (2):  A s2  (1):  A s1 

43400  28912 43,48 (45 - 5)

  armadura

dupla

(1)

 2,881‰   2 >   yd  = 2,07 ‰    2 = f  yd  = 43,48 kN/cm 2

 8 ,33 cm2

0,85.0,8.1 ,786.25.28 ,26  8,33.43,48  1120  2 ,30 cm2 43,48

Exemplo 3:  M = 30 kN.m  N = 630 kN   N d  = 1,4.630 = 882 kN e0 

 M 

3000

 4 ,76 cm  N  630 d  d '  45  5 e1   e0   4 ,76  24 ,76 cm 2 2 d  d '  45  5 e2   e0   4 ,76  15 ,24 cm 2 2 0

e2





882 75 ,91

 5  6,62 cm  e2

  não

precisa armadura teoricamente

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16

Exemplo 4:  M = 100 kN.m  N = 1250 kN   N d  = 1,4.1250 = 1750 kN e0 

 M  10000

  8 cm  N  1250 d  d '  45  5 e1   e0   8  28 cm 2 2 d  d '  45  5 e2   e0   8  12 cm 2 2 e02 

1750 75 ,91

e GP  2 

 5  18 ,05 cm  e 2

5409 1750

  precisa

 3 ,09 cm  e 2  e 2PC 

 N d  = a c l  f cd b x + A s2  2  (1)  N d  e2 = a c l  f cd  b x (0,5 l  x – d’)

armadura

37953 1750

 21 ,69cm   flexo-compressão com pequena excentricidade

(2)

(2): 0,85.0,8.1,786.25.0,5.0,8 x 2 –  0,85.0,8.1,786.25.5 x  –  1750.12 = 0 12,145 x 2 –  151,81 x – 21000 = 0  x = -35,80 cm (absurdo) ou x = 48,30 cm d = 45 cm; h = 50 cm; d < x < h   domínio 4a

 2   cu

 x  d '  x

(1):  A s 2 

 3,5 ‰

48,30  5 48,30

 3,138 ‰   2 >   yd  = 2,07 ‰    2 = f  yd  = 43,48 kN/cm 2

1750 - 0,85.0,8.1 ,786.25.48 ,30  6  ,52 cm2 43,48

Exemplo 5:  M = 100 kN.m  N = 2000 kN   N d  = 1,4.2000 = 2800 kN e0 

 M  10000

  5 cm  N  2000 d  d '  45  5 e1   e0   5  25 cm 2 2 d  d '  45  5 e2   e0   5  15 cm 2 2 e2  0

2800 75 ,91

 5  31 ,89 cm  e 2

  precisa

armadura

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17

GP  5409

e2

2800

 1 ,93 cm ; e PC  2 

37953 2800

 13 ,55 cm; e 2  e 2PC   compressão composta

 N d  e1 = a c f cd  b h (d-0,5 h)+A s2  2(d-d’)  N d  e2 = a c f cd  b h(0,5 h-d’)+A s1  1(d-d’)

(1) (2)

 Fixar x =   2     yd  = 2,07 ‰         c    ‰    1 =  2 = 21.000 . 2/1000 = 42 kN/cm  <   (2):  A s1 

2800.15 - 0,85.1,786 .25.50(0,5.50 - 5)

(1):  A s2 

2800.25 - 0,85.1,786 .25.50(45 - 0,5.50)

42(45 - 5)

42(45 - 5)

 2 ,41cm2  19 ,08 cm2

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18

3.3.2 - Armaduras simétricas Vantagens da utilização da solução de armaduras simétricas:  evitar a inversão das armaduras  solução mais econômica nos casos de solicitações alternadas h d d'

Nd e0 e1

ESFORÇOS ATUANTES

e2 O c f cd

As1

1

c

 f cd b x

As2

ESFORÇOS RESISTENTES

2

 x x

Figura 3.14 –  Diagrama de esforços atuantes e resistentes

O problema de flexo-compressão normal:  N d  = a c l  f cd  b x + A s2  2 –  A s1  1  N d e1 = a c l  f cd  b x (d –  0,5 l  x) + A s2  2 (d - d’)

têm-se 2 equações x 3 incógnitas ( A s1 , A s2 , x)  infinitas soluções possíveis  Na solução de armaduras simétricas, fixa-se que A s1=As2=As. A dificuldade de se encontrar a solução deste problema é que 1, 2 aparecem nas equações e seus valores dependem de x. Por esta razão, não é possível resolver explicitamente o sistema e se tem que recorrer a um processo iterativo. Para efeitos de equacionamento, divide-se o problema de flexo-compressão normal, solução de armaduras simétricas, em quatro casos:

caso 1

e0 > (d-d’)/2

caso 2 caso 3 caso 4

0   x   d 0   x   d

e0 < (d-d’)/2

d   x   h/ l   x   h/ l 

esforço normal atua fora das duas armaduras As1 - tracionada As2 - comprimida As1, As2 –  comprimidas  parte da seção submetida a tensão ac f cd As1, As2 –  comprimidas toda a seção submetida a tensão ac f cd

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19

Equacionamento da solução:

Caso 1:

h d d'

e0 > (d-d’)/2 0  x  d (domínios 2, 3 ou 4) esforço normal atua fora das duas armaduras

Nd

e1

 N d  = a c l  f cd b x + A s ( 2  - 1 ) (1)

e0

 N d e1= a c l  f cd b x(d-0,5 l  x)+A s2  2(d-d’) (2)

e2

O

c f cd

As1

1

c

f cd b x

As2

 N d |e2|=- a c l  f cd  b x (0,5 l  x-d’)+A s1  1(d-d’)(3)

2

x x

Figura 3.15 –  Caso 1

Caso 2:

h d d'

e0 < (d-d’)/2 0  x  d (domínios 2, 3 ou 4)  N d  = a c l  f cd b x + A s ( 2  - 1 ) (1)

Nd

e1

 N d e1 = a c l  f cd b x(d-0,5 l  x)+A s2  2(d-d’) (2)

e2

e0 O

 N d e2 = a c l  f cd  b x (0,5 l  x-d’) -A s1  1(d-d’) (3) c f cd

As1

1

c

f cd b x

As2

2

x x

Figura 3.16 –  Caso 2

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20

Caso 3:

h d d'

e0 < (d-d’)/2 d  x  h/l (domínios 4a ou 5)  N d  = a c l  f cd b x + A s ( 2  + 1 ) (1)

Nd

e1

e2

 N d e1 =a c l  f cd b x(d-0,5 l  x)+A s2  2(d-d’) (2)

e0 O c f cd

As1

1

c

 f cd b x

As2

 N d e2 =a c l  f cd  b x (0,5 l  x-d’) +A s1  1(d-d’) (3)

2

 x x

Figura 3.17 –  Caso 3

Processo iterativo para a solução dos casos 1, 2 ou 3: (a) Arbitra-se x (xarb); (b) Calculam-se 1, 2; (c) Calculam-se 1, 2; (d) Calculam-se As1, As2 com (2) e (3); (e) Calcula-se um novo valor de x (x calc) com (1), usando como A s, a armadura que tiver menor variação em relação à iteração anterior (na primeira iteração, deve-se calcular duas vezes o valor de x e utilizar aquele que variar menos em relação ao valor arbitrado). A convergência do processo ocorre quando A s1 = As2 e xarb = xcalc  (as duas condições são verificadas simultaneamente).

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21

Caso 4:

h d d'

e0 < (d-d’)/2 x  h/l (domínio 5)

 N d  = a c f cd b h + A s ( 2  + 1 ) (1) Nd

e1

e2

 N d e1 =a c f cd b h(d-0,5h)+A s2  2(d-d’) (2)

e0 O c f cd

As1

1

c f cd b

h

As2

 N d e2 =a c f cd  b h (0,5h-d’) +A s1  1(d-d’) (3)

2

Figura 3.18 –  Caso 4

Processo iterativo para a solução do caso 4: (a) Arbitra-se As1; (b) Calcula-se 1, utilizando a equação (3); (c) Calcula-se 1, utilizando a relação tensão-deformação do aço; (d) Calcula-se x, utilizando uma relação de compatibilidade de deformações do domínio 5; (e) Calcula-se 2, utilizando outra relação de compatibilidade de deformações do domínio 5; (f) Calcula-se 2, utilizando a relação tensão-deformação do aço; (g) Calcula-se As2, utilizando a equação (2); A convergência do processo ocorre quando A s1 = As2.

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Transições: O caso 1 corresponde às situações onde o esforço normal está atuando fora das duas armaduras. Por equilíbrio, a armadura As1 obrigatoriamente tem que estar tracionada (x (d-d’)/2 ou e2   yd  = 2,07 ‰    2 = f  yd  = 43,48 kN/cm 2

 6  ,64 cm2

840  6,64.43,48  0,85.0,8.1 ,786.20.34 ,54  45 ,25 cm2 43,48

Exemplo 3:  M = 100 kN.m  N = 500 kN   N d  = 1,4.500 = 700 kN

e0 

e1  e2 

 M  10000  N 



d  d ' 

500

 e0 

2 d  d '  2

 e0 

 20 cm  55  5 2 55  5 2

 N d  e1 = A s2  2(d-d’)  N d  e2 = A s1  1(d-d’)

d  d '  55  5 2



2

 25cm   flexo-tração com pequena excentricidade

 20  5 cm  20  45 cm

(1) (2)

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 Fixar x = -             ‰ >    yd  = 2,07 ‰ (2):  A s1 

(1):  A s2 

700.45 43,48(55 - 5) 700.5 43,48(55 - 5)

   1 =

 2 = f  yd  = 43,38 kN/cm 2

 14 ,49 cm2  1 ,61cm2

3.5  –   Programa para dimensionamento de seções retangulares de concreto armado submetidas à flexão composta normal Os procedimentos de dimensionamento, examinados nos itens anteriores, podem ser efetuados automaticamente através do programa computacional apresentado nas figuras seguintes.

Figura 3.25 –  Dimensionamento de seções retangulares de concreto armado à flexo-compressão normal –  solução de armaduras assimétricas

Departamento de Engenharia Civil –  Universidade Federal do Rio Grande do Sul

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Figura 3.26 –  Dimensionamento de seções retangulares de concreto armado à flexo-compressão normal –  solução de armaduras simétricas

Figura 3.27 –  Verificação de seções retangulares de concreto armado à flexo-compressão normal –  solução de armaduras simétricas Departamento de Engenharia Civil –  Universidade Federal do Rio Grande do Sul

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