Dimensionamento de Pilares - Passo a Passo

Universi dade Estadual Estadual de Maringá Centro de Tecnologia Departamento Departamento d e Engenharia Civil

   3   o    l   u    t    í   p   a    C

Prof. Romel Dias Vanderlei Vanderlei Notas de Aulas

Pilares Curso: Engenharia Engenharia Civil

Disciplina: Estruturas em Concreto II 1.º Semestre de 2008 2008

   i   e    l   r   e    d   n   a    V   s   a    i    D    l   e   m   o    R  .    f   o   r    P

Bibliografia: 



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









ALVA, G. M. S.; EL DEBS, A. L. H. C.; GIONGO, J. S. Concreto armado: projeto de pilares segundo a NBR 6118:2003. Notas de de aula – USP –  EESC – SET. Fevereir Fevereiroo de 2008 ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS: NBR 6118:2003. Projeto de estruturas de concreto . Rio de Janeiro, ABNT, 2003. CARVALHO, R.C.; FIGUEIREDO FILHO, J.R. Pilares de concreto armado. p.9-25. Notas de aula – Universidade Federal de São São Carlos, 2002. FUSCO, P. B. Estruturas de concreto: solicitações normais . Editora Guanabara Dois, Rio de Janeiro, 1981. FUSCO, P. B. Introdução ao projeto estrutural . McGraw-Hill McGraw-Hill do Brasil. Brasil. São Paulo, 1976. Hormigón armado. MONTOYA, P. J.; MESEGUER, A.G.; CABRÉ, F.M. Hormigón Editorial Gustavo Gili. 9a ed. Barcelona, Espana, 1978. PINHEIRO, L.M. Fundamentos do Concreto e Projeto de Edifícios. capítulo 16: Pilares. Notas de aula – EESC-USP, EESC-USP, 2007. 2007. PINHEIRO, L.M.; BARALDI; L.T.; POREM, M.E. Concreto armado : Ábacos para flexão oblíqua. São Carlos, EESC-USP, 1994. VENTURINI, W.S. Dimensionamento de peças retangulares de concreto armado armado solicitadas solicitadas à flexão reta reta . São Carlos, EESC-USP, 1987.

1

   i   e    l   r   e    d   n   a    V   s   a    i    D    l   e   m   o    R  .    f   o   r    P

   i   e    l   r   e    d   n   a    V   s   a    i    D    l   e   m   o    R  .    f   o   r    P

Sumári Sumário o (2ª Parte) Parte) 3.113.11- Exempl Exemplos os 3.11.1-- Pilar 3.11.1 Pilar Inter Interno no – P5 3.11.23.11 .2- Pilar Pilar de de Extremi Extremidade dade – P4 3.11.3 3.1 1.3-- Pilar Pilar de de Canto Canto – P1

3.11 3.11-- Exem Exempl plos os

Projetar Projetar o s pi lares: P5 - pilar interno; interno; P4 - pilar de extremidade; P1 - pilar de canto.

2

   i   e    l   r   e    d   n   a    V   s   a    i    D    l   e   m   o    R  .    f   o   r    P

3.11 3.11-- Exem Exempl plos os Dados para os projetos dos pilares do exemplo de edifício:



Para a determinação determinação dos efeitos de de 2ª ordem, emprega-se: emprega-se: Para o pilar P5: método do pilar padrão com curvatura aproximada; Para o pilar P4: método do pilar padrão com curvatura aproximada; Para o pilar P1: método do pilar padrão com rigidez aproximada.

   i   e    l   r   e    d   n   a    V   s   a    i    D    l   e   m   o    R  .    f   o   r    P

3.11 3.11.1 .1-- Pila Pilarr Inte Intern rno o – P5 Dados Dados iniciais:

3

   i   e    l   r   e    d   n   a    V   s   a    i    D    l   e   m   o    R  .    f   o   r    P

   i   e    l   r   e    d   n   a    V   s   a    i    D    l   e   m   o    R  .    f   o   r    P

3.11.1- Pilar Interno – P5 Dados iniciais:

3.11.1- Pilar Interno – P5 Dados iniciais: Nk = 2.720kN Nd = 1,4 x 2.720 = 3.808kN Mk = 0kN e Md = 0kN

1- Características Geométricas  Comprimentos equivalentes: l 0 x

Na direção x: l 0 x l  x l ex

560 62 h x

⎧l 0 + h l e ≤ ⎨ ⎩l 

498cm

498 35

533cm

560cm 533cm

l 0 x

h x

l  x

560cm

l ex

533cm

4

   i   e    l   r   e    d   n   a    V   s   a    i    D    l   e   m   o    R  .    f   o   r    P

3.11.1- Pilar Interno – P5 Na direção y:

l 0 y

560 52

l 0 y

h y

l  y

560cm

l ey

   i   e    l   r   e    d   n   a    V   s   a    i    D    l   e   m   o    R  .    f   o   r    P

508cm 568cm

508 60

l 0 y

h y

568cm

l  y

560cm

l ey

560cm

3.11.1- Pilar Interno – P5 

Índices d e Esbeltez: Na direção x:

λ  x

l ex

l ex

i x

12 h x

533

12

35

52,8

Na direção y:

λ  y

l ey i y

l ey

12 h y

560 60

12

32,3

5

   i   e    l   r   e    d   n   a    V   s   a    i    D    l   e   m   o    R  .    f   o   r    P

3.11.1- Pilar Interno – P5 2- Excentricidades:  Excentricidade Inicial ei ,topo =

 M topo

ei ,meio =

 N d 

 M meio

ei ,base =

 N d 

 M base  N d 

Como os momentos nas seções de extremidades (topo e Base) e na intermediária são nulos, as excentricidades iniciais também são nulas. ei ,topo

   i   e    l   r   e    d   n   a    V   s   a    i    D    l   e   m   o    R  .    f   o   r    P

0 3.808

0

ei ,meio

0 3.808

0

ei ,base

0 3.808

0

3.11.1- Pilar Interno – P5 2- Excentricidades:  Excentricidades acidentais:

Sendo: θ 1x θ 1y

eax

θ 1 x

eay

θ 1 y

1

1

100 l ex

100 5,33

1

1

100 l ey

100 5,60

l ex 2 l ey 2

0,00433rad  0,00423rad 

6

   i   e    l   r   e    d   n   a    V   s   a    i    D    l   e   m   o    R  .    f   o   r    P

3.11.1- Pilar Interno – P5 Excentricidades acidentais: Onde: 1 

θ 1

Logo:

   i   e    l   r   e    d   n   a    V   s   a    i    D    l   e   m   o    R  .    f   o   r    P

θ 1,min

0,00333rad 

300

θ 1x

0,00433rad  θ 1,min

(OK)

θ 1y

0,00423rad  θ 1, min

(OK)

eax

θ 1 x

eay

θ 1 y

l ex 2 l ey 2

0,00433 0,00423

533 2 560 2

1,15cm 1,18cm

3.11.1- Pilar Interno – P5 Excentricidades acidentais: Excentricidades mínimas: 

 M 1d ,min

Logo:

=  N d  ⋅ (0,015 + 0,03h ) =  N d  ⋅ ei ,min (e1, min ) x

0,015 0,03h x

(e1, min ) y

0,015 0,03h y

(e1,min ) x

0,015 0,03h x

0,015 0,03 0,35

2,55cm

(e1,min ) y

0,015 0,03h y

0,015 0,03 0,60

3,30cm

7

   i   e    l   r   e    d   n   a    V   s   a    i    D    l   e   m   o    R  .    f   o   r    P

3.11.1- Pilar Interno – P5 Excentrici dades de 1ª ordem totais: Seções de extremidades (topo e base) 

e1 x e1 y

= eix,topo = 0cm < (e1, min ) x = 2,55cm = eiy ,topo = 0cm < (e1,min ) y = 3,30cm

e1 x

2,55cm

e1 y

3,30cm

Seção int ermediária:

= eix,meio + eax = 0 + 1,15 = 1,15cm < (e1, min ) x = 2,55cm e1 y = eiy , meio + eay = 0 + 1,18 = 1,18cm < (e1,min ) y = 3,30cm e1 x

   i   e    l   r   e    d   n   a    V   s   a    i    D    l   e   m   o    R  .    f   o   r    P

e1 x

2,55cm

e1 y

3,30cm

3.11.1- Pilar Interno – P5 Necessidade de excentric idade de 2ª ordem: e Esbeltez Limite: 25 + 12,5 ⋅ 1 35 h λ 1 = e ≤ λ 1 ≤ 90 

α b

25 + 12,5 ⋅

Na direção x: λ 1, x =

α  b

ei , x h x

onde : ei , x

α b, x

λ 1, x =

α b, x

ei, x h x

25 + 12,5 ⋅

=

1,0

h x

= 35cm

α b , x = 1,0

como MA,d = 0 < M1d,mín 25 + 12,5 ⋅

=0

0 35

= 25

sendo que 35 ≤ λ 1

≤ 90

λ 1, x = 35

8

   i   e    l   r   e    d   n   a    V   s   a    i    D    l   e   m   o    R  .    f   o   r    P

3.11.1- Pilar Interno – P5 Necessidade de excentric idade de 2ª ordem: Esbeltez Limite: 

25 + 12,5 ⋅

Na direção y: λ 1, y =

ei , y h y

onde : ei , y

α b, y

λ 1, y =

α b, y

ei , y h y

25 + 12,5 ⋅

=

1,0

h y

= 60cm

α b , y = 1,0

como MA,d = 0 < M1d,mín 25 + 12,5 ⋅

=0

0 60

= 25 sendo que 35 ≤ λ 1 ≤ 90

λ 1, y = 35

   i   e    l   r   e    d   n   a    V   s   a    i    D    l   e   m   o    R  .    f   o   r    P

3.11.1- Pilar Interno – P5 

Necessidade de excentric idade de 2ª ordem:

λ  x = 52,8 > λ 1, x

= 35

Pilar medianamente esbelto, é necessário c onsiderar o efeito d e 2ª ordem na direção x.

λ  y = 32,3 < λ 1, y

= 35

Pilar curto, não é necessário considerar o efeito de 2ª ordem na direção y.

9

   i   e    l   r   e    d   n   a    V   s   a    i    D    l   e   m   o    R  .    f   o   r    P

3.11.1- Pilar Interno – P5 Efeitos de 2ª ordem: Método do Pilar Padrão com curvatur a aproximada 

Direção x:  M d ,tot  = α b ⋅ M 1d , A +  N d  ⋅

l e2, x 1

⋅ ≥ M 1d , A

10 r 

Onde:

= 1,0  M 1d , A = 0 ≥  M 1d , mín =  N d  ⋅ (e1, mín ) x = 3.808 × 2,55 = 9.710,4kN .cm l e, x = 533cm α b

   i   e    l   r   e    d   n   a    V   s   a    i    D    l   e   m   o    R  .    f   o   r    P

3.11.1- Pilar Interno – P5 Efeitos de 2ª ordem: Método do Pilar Padrão com curvatur a aproximada: 

1 r 

0,005

=

ν  =

1 r 

h x (ν  + 0,5)  N  sd   Ac ⋅  f  cd 

=

≤

0,005 h

3.808

=

(35 ⋅ 60) ⋅

0,005 35(0,85 + 0,5)

3,0

= 0,85

1,4

= 10,58 ⋅10 −5 <

0,005 35

= 14,3 ⋅10 −5

(OK)

10

   i   e    l   r   e    d   n   a    V   s   a    i    D    l   e   m   o    R  .    f   o   r    P

3.11.1- Pilar Interno – P5 Efeitos de 2ª ordem: Método do Pilar Padrão com curvatur a aproximada 

Direção x:  M d ,tot  = α b ⋅ M 1d , A +  N d  ⋅  M d ,tot  = 1,0 ⋅ 9.710,4 + 3.808 ⋅

533 10

2

l e2, x 1

⋅ ≥ M 1d , A

10 r 

⋅10,58 ⋅10 −5 > 9.710,4kN ⋅ cm

 M d ,tot  = 21.134,4kN  ⋅ cm etot , x

   i   e    l   r   e    d   n   a    V   s   a    i    D    l   e   m   o    R  .    f   o   r    P

=

 M d ,tot   N d 

=

21.134,4 3.808

= 5,55cm

3.11.1- Pilar Interno – P5 3- Situações de Projeto e de Cálculo:

11

   i   e    l   r   e    d   n   a    V   s   a    i    D    l   e   m   o    R  .    f   o   r    P

3.11.1- Pilar Interno – P5 4- Dimensionamento das armaduras a) Situação mais desfavorável: Direção x: Seção Intermediária 3.808kN 

 N d 

21.134,4kN  cm

 M d ,tot  e x

 M d ,tot 

21.134,4

 N d 

3.808

5,55cm

Direção y: Seção Intermediária ou de Extremidades.

 N d  e y

   i   e    l   r   e    d   n   a    V   s   a    i    D    l   e   m   o    R  .    f   o   r    P

3.808kN  e1 y

3,30cm

3.11.1- Pilar Interno – P5 4- Dimensionamento das armaduras b) Equações adimensionais: Direção x: ν d 

μ dx

 N d   Ac  f  cd 

ν

d 

e x h x

3.808 35 60 0,85

3,0

0,85

1,4

5,55 35

0,13

12

   i   e    l   r   e    d   n   a    V   s   a    i    D    l   e   m   o    R  .    f   o   r    P

3.11.1- Pilar Interno – P5 4- Dimensionamento das armaduras b) Equações adimensionais: Direção y: ν d 

μ dy

   i   e    l   r   e    d   n   a    V   s   a    i    D    l   e   m   o    R  .    f   o   r    P

3.808

 N d   Ac  f  cd 

ν

35 60

e y d 

0,85

h y

3,0

0,85

1,4

3,30 60

0,05

3.11.1- Pilar Interno – P5 4- Dimensionamento das armaduras c) Taxa mecânica de armadura: Direção x:

d  x

4,0

h x

35

ν d 

0,85

μ dx

0,11

0,10

0,13

Escolha do Ábaco: - Flexão composta normal; - Armadura distribuída paralela ao eixo y; - Escolhe-se inicialmente o Ábaco A-2 [Venturini, 1987] - Taxa de armadura:

= 0,36

13

   i   e    l   r   e    d   n   a    V   s   a    i    D    l   e   m   o    R  .    f   o   r    P

3.11.1- Pilar Interno – P5  Ábaco A-2 [Venturini, 1987]

= 0,36

   i   e    l   r   e    d   n   a    V   s   a    i    D    l   e   m   o    R  .    f   o   r    P

3.11.1- Pilar Interno – P5  Área das bar ras:  A s

ω 

 Ac  f  cd   f   yd 

(35 60) 3,0 0,36

50 1,15

1,4

37,26cm 2

Escolha das barras: - 12 20 - A s,efe = 37,68cm 2; - 6 barras de cada lado, distribu ída paralela ao eixo y;

14

   i   e    l   r   e    d   n   a    V   s   a    i    D    l   e   m   o    R  .    f   o   r    P

3.11.1- Pilar Interno – P5 4- Dimensionamento das armaduras c) Taxa mecânica de armadura: Direção y:

d  y

4,0

h y

60

ν d 

0,85

μ dy

0,07

0,05

Escolha do Ábaco: - Flexão composta normal; - Armadura distribuída conforme adotado na direção x; - Escolhe-se inicialmente o Ábaco A-17 [d’/h=0,05] e A-18 [d’/h=0,10] - Taxa de armadura:

   i   e    l   r   e    d   n   a    V   s   a    i    D    l   e   m   o    R  .    f   o   r    P

= 0,13

3.11.1- Pilar Interno – P5 4- Dimensionamento das armaduras c) Taxa mecânica de armadura: Direção y:

Como ωx = 0,36 > ωy = 0,13: - O arranjo para a direção “x” ( 12 20 ) atende as duas situações de cálculo da armadura;

15

   i   e    l   r   e    d   n   a    V   s   a    i    D    l   e   m   o    R  .    f   o   r    P

3.11.1- Pilar Interno – P5 5- Detalhamento  Armadura Longitudinal a) Diâmetro das barras

   i   e    l   r   e    d   n   a    V   s   a    i    D    l   e   m   o    R  .    f   o   r    P

b

10mm

φ l 

10mm

20mm

8 350 8

43,75mm

(OK)

3.11.1- Pilar Interno – P5 5- Detalhamento  Armadura Long itudinal b) Taxas mínimas e máximas de armadura longit udinal  ρ 

 A s

37,68

 Ac

35 60

 ρ mín

0,01794

 A s , mín

0,15  N d 

 f  cd 

 Ac

 Ac  f   yd 

 f  cd 

1,79% 0,15

 f  cd   f   yd 

ν 

0,4%

3,0  ρ mín

 ρ máx

0,15

1,4 50

8,0% 2

0,85

0,63%

0,4%

1,15

4,0%

16

   i   e    l   r   e    d   n   a    V   s   a    i    D    l   e   m   o    R  .    f   o   r    P

3.11.1- Pilar Interno – P5 5- Detalhamento  Armadura Longitudinal c) Número mínimo de barras: Uma barra em cada canto ou vértice do po lígono d) Espaçamentos p ara armadura long itudi nal 20mm a

φ l 

20mm

1,2 d máx , agre. a

1,2 1,9

23mm

2 b

amáx amáx

   i   e    l   r   e    d   n   a    V   s   a    i    D    l   e   m   o    R  .    f   o   r    P

2,28cm 2 35

23mm 70cm

40cm 40cm

3.11.1- Pilar Interno – P5 5- Detalhamento  Armadur a Transv ersal a) Diâmetro

5mm

φ t 

φ l 

20

4

4

5mm

φ t 

5mm

 st 

20cm

b) Espaçamentos para armadura t ransversal 20cm  st 

menor dimensão da seção 12 φ l 

12 2,0

35cm

24cm

 Ad otar 5 c/20

17

   i   e    l   r   e    d   n   a    V   s   a    i    D    l   e   m   o    R  .    f   o   r    P

3.11.1- Pilar Interno – P5 5- Detalhamento  Armadur a Transversal c) Proteção contr a flambagem localizada das armaduras

20 φ t 

20 0,5

10,0cm

Verific ação do espaçamentos da armadura longitu dinal

h − 2 ⋅ cnom − 2 ⋅ φ t  − n ⋅ φ l 

a=

n −1 60 − 2 ⋅ 2,5 − 2 ⋅ 0,5 − 6 ⋅ 2,0

a= amín

   i   e    l   r   e    d   n   a    V   s   a    i    D    l   e   m   o    R  .    f   o   r    P

= 8,4cm

6 −1 = 2,3cm < a = 8,4cm < amáx

= 40cm

(OK)

3.11.1- Pilar Interno – P5 5- Detalhamento  Armadur a Transversal Como (a+ l ) =10,4cm 20 t = 10cm, é necessário proteção contr a flambagem apenas nas duas barras centrais (estribos sup lementares) d) Comprimento dos estribos

l t 

2 h

2 cnom

2 b

2 cnom

2 l  gt 

Onde: gt = comprimento d o gancho para estribo, podendo ser  • semicirculares ou em ângulo de 45 o (interno), com ponta reta de comprimento igual a 5 φ, porém não inferior a 5cm ; • em ângulo reto, com ponta reta de comprimento maior ou igual a 10φ, porém não inferior a 7cm (este tipo de gancho não deve ser utilizado para barras e fios lisos).

18

   i   e    l   r   e    d   n   a    V   s   a    i    D    l   e   m   o    R  .    f   o   r    P

3.11.1- Pilar Interno – P5 5- Detalhamento  Armadur a Transversal d) Comprimento dos estribos

l t  = 2 ⋅ (h − 2 ⋅ cnom ) + 2 ⋅ (b − 2 ⋅ cnom ) + 2 ⋅ l  gt  l t  = 2 ⋅ (60 − 2 ⋅ 2,5) + 2 ⋅ (35 − 2 ⋅ 2,5 ) + 2 ⋅ 5,0 = 180cm e) Comprimento do s estribo s supl ementares

l  s l  s

   i   e    l   r   e    d   n   a    V   s   a    i    D    l   e   m   o    R  .    f   o   r    P

= (b − 2 ⋅ cnom ) + 2 ⋅ l  gt  = (35 − 2 ⋅ 2,5) + 2 ⋅ 5,0 = 40cm

3.11.1- Pilar Interno – P5 5- Detalhamento  Armadur a Transversal f) Número de estrib os  N  =

l o

+ hviga  st 

+1 =

560 20

+ 1 = 29

29φ 5 c / 20 (180)

180

e) Número de estr ibos suplementares

2

29φ 5 c / 20 40

19

   i   e    l   r   e    d   n   a    V   s   a    i    D    l   e   m   o    R  .    f   o   r    P

3.11.1- Pilar Interno – P5 5- Detalhamento  Armadur a Transversal f) Desenho da seção transversal

   i   e    l   r   e    d   n   a    V   s   a    i    D    l   e   m   o    R  .    f   o   r    P

3.11.1- Pilar Interno – P5 5- Detalhamento Comprimento das esperas 0,6 l b l oc

l b ,nec

l oc ,min

15φ  200mm

l b , nec

α 1 l b

0,3 l b

 A s ,calc

l b , min

 A s ,ef  

10φ  100mm

0,3 l b l b , nec

1,0 l b 1,0

l b

10φ  100mm

20

   i   e    l   r   e    d   n   a    V   s   a    i    D    l   e   m   o    R  .    f   o   r    P

3.11.1- Pilar Interno – P5 5- Detalhamento Comprimento das esperas φ   f   yd  l b = ⋅ 4  f  bd   f  bd 

η 1 η 2 η 3  f  ctd  2

   i   e    l   r   e    d   n   a    V   s   a    i    D    l   e   m   o    R  .    f   o   r    P

 f  bd 

2,25 1,0 1,0

 f  bd 

0,3375  f  ck 3

0,21  f  ck 3 γ c

2

3.11.1- Pilar Interno – P5 5- Detalhamento Comprimento das esperas

l oc

l b

⎧15φ  = l b ≥ ⎨ ⎩200mm φ 

 f   yd  2

4 0,3375  f  ck 3

φ 

 f   yd  2

1,35  f  ck 3

21

   i   e    l   r   e    d   n   a    V   s   a    i    D    l   e   m   o    R  .    f   o   r    P

3.11.1- Pilar Interno – P5 5- Detalhamento Comprimento das esperas l b

l b

φ 

 f   yd  2

1,35  f  ck 3

2,0

500 1,15 1,35 30

2

3

66,71cm

70cm

Logo:

l oc

   i   e    l   r   e    d   n   a    V   s   a    i    D    l   e   m   o    R  .    f   o   r    P

= l b

⎧15φ  = 15 × 2,0 = 30cm = 70cm ≥ ⎨ ⎩200mm

3.11.1- Pilar Interno – P5 5- Detalhamento Comprimento total das barras longi tudinais l  = (l 0 l  =

+ hviga ) + l oc + 70 = 630cm 560

22

   i   e    l   r   e    d   n   a    V   s   a    i    D    l   e   m   o    R  .    f   o   r    P

3.11.1- Pilar Interno – P5 5- Detalhamento Desenho d o Pilar P5:

      0       3       6

   i   e    l   r   e    d   n   a    V   s   a    i    D    l   e   m   o    R  .    f   o   r    P

3.11.2- Pilar de Extremidade – P4 Dados iniciais:

23

   i   e    l   r   e    d   n   a    V   s   a    i    D    l   e   m   o    R  .    f   o   r    P

3.11.2- Pilar de Extremidade – P4 Dados iniciais:

      0       6       4

   i   e    l   r   e    d   n   a    V   s   a    i    D    l   e   m   o    R  .    f   o   r    P

3.11.2- Pilar de Extremidade – P4 Dados iniciais: Nk = 1.670kN Nd = 1,4 x 1.670 = 2.338kN

Momentos Fletores Atuantes no Tramo do Pilar  a) Característic as Geométricas ⎧l 0 + h  Comprimentos equivalentes do Pilar: l e ≤ ⎨ ⎩l  l  460 62 398cm 0 x

Na direção x:

l 0 x

h x

l  x

460cm

l ex

398 25

l 0 x

h x

l  x

460cm

423cm

423cm

l ex

423cm

24

   i   e    l   r   e    d   n   a    V   s   a    i    D    l   e   m   o    R  .    f   o   r    P

3.11.2- Pilar de Extremidade – P4 

Comprimentos equivalentes do Pilar:

Na direção y:

l 0 y

460 52

l 0 y

h y

l  y

460cm

l ey

   i   e    l   r   e    d   n   a    V   s   a    i    D    l   e   m   o    R  .    f   o   r    P

408cm

408 70

l 0 y

h y

l  y

460cm

478cm

478cm

l ey

460cm

3.11.2- Pilar de Extremidade – P4 

Vão efetivo da Viga V2: l ef  ,viga

l o ,viga

l 0,viga

600

a1

a2

25

35

2

2

570cm

A medida a 1 relativa ao pilar P4: a1 a1

h x , P 4

25

12,5cm 2 2 0,3 h2,V  2 0,3 62 18,6cm

a1

12,5cm

25

   i   e    l   r   e    d   n   a    V   s   a    i    D    l   e   m   o    R  .    f   o   r    P

3.11.2- Pilar de Extremidade – P4 

Vão efetivo da Viga V2:

A medida a 2 relativa ao pilar P5: a2 a2

h x , P 5

35

17,5cm 2 2 0,3 h2,V 2 0,3 62 18,6cm

a2

17,5cm

Vão efetivo da viga V2:

= l o,viga + a1 + a2 l 0 ,viga = 570 + 12,5 + 17,5 = 600cm l ef  ,viga

   i   e    l   r   e    d   n   a    V   s   a    i    D    l   e   m   o    R  .    f   o   r    P

3.11.2- Pilar de Extremidade – P4 b) Momento fletor no Pilar P4: Modelo Simplificado NBR 6118:2003:

26

   i   e    l   r   e    d   n   a    V   s   a    i    D    l   e   m   o    R  .    f   o   r    P

3.11.2- Pilar de Extremidade – P4 b) Momento fletor no Pilar P4: Rigidez no tramo do pilar: r sup

= 

3 ⋅ I pilar  1

2

⋅ l sup

=

70 ⋅ 253 3⋅ 12 1 ⋅ 423 2

= 1.293cm3

r inf  = r sup = 1293cm3 Rigidez da viga: r viga

   i   e    l   r   e    d   n   a    V   s   a    i    D    l   e   m   o    R  .    f   o   r    P

=

4 ⋅ I viga l viga

=

20 ⋅ 623 4⋅ 12 600

= 2.648cm3

3.11.2- Pilar de Extremidade – P4 b) Momento fletor no Pilar P4: Momento de engastamento perfeito na viga:  M eng  =

2 ( g    + q ) ⋅ l viga

12

=

19 ⋅ 6,0 2 12

= 57 kNm = 5.700kN  ⋅ cm

Momento fletor no tramo do pilar:  M sup

⎛   ⎞ r sup 1.293  ⎞ = 1.408kN ⋅ cm ⎟ = 5.700 ⋅ ⎛  =  M eng  ⋅ ⎜⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎝ 2.648 + 1.293 + 1.293 ⎠ ⎝ r viga + r sup + r inf  ⎠

27

   i   e    l   r   e    d   n   a    V   s   a    i    D    l   e   m   o    R  .    f   o   r    P

3.11.2- Pilar de Extremidade – P4 b) Momento fletor no Pilar P4: Como não há mudança de seção transversal entre os pavimentos tem-se:

Minf = Msup = 1.408kN.cm

   i   e    l   r   e    d   n   a    V   s   a    i    D    l   e   m   o    R  .    f   o   r    P

3.11.2- Pilar de Extremidade – P4 

Índices d e Esbeltez: Na direção x:

λ  x =

l ex i x

=

l ex ⋅ 12 h x

=

423 ⋅ 12 25

= 58,6

Na direção y:

λ  y =

l ey i y

=

l ey ⋅ 12 h y

=

460 ⋅ 12 70

= 22,8

28

   i   e    l   r   e    d   n   a    V   s   a    i    D    l   e   m   o    R  .    f   o   r    P

3.11.2- Pilar de Extremidade – P4 2- Excentricidades:  Excentricidade Inicial Na direção x: eix ,topo = eix ,base

=

 M d , A  N d 

=

1,4 ⋅1.408 2.338

= 0,84cm

eix ,meio = 0,6 ⋅ eix ,max + 0,4 ⋅ eix ,min

≥ 0,4 ⋅ eix,max eix ,meio = 0,6 ⋅ 0,84 + 0,4 ⋅ ( −0,84) = 0,17cm ≥ 0,4 ⋅ 0,84 = 0,34cm eix ,meio = 0,34cm Na direção y: eiy ,topo = eiy ,base = eiy ,meio =

   i   e    l   r   e    d   n   a    V   s   a    i    D    l   e   m   o    R  .    f   o   r    P

 M dy , A  N d 

=

0,0 2.338

= 0,0cm

3.11.2- Pilar de Extremidade – P4 2- Excentricidades:  Excentricidades acidentais:

Sendo: θ 1x

=

θ 1y

=

1 100 l ex 1 100 l ey

= =

eax

θ 1 x

eay

θ 1 y

1 100 4,23 1 100 4,60

l ex 2 l ey 2

= 0,00486 rad  = 0,00466 rad 

29

   i   e    l   r   e    d   n   a    V   s   a    i    D    l   e   m   o    R  .    f   o   r    P

3.11.2- Pilar de Extremidade – P4 Excentricidades acidentais: Onde: 1 

θ 1

θ 1,min

300

0,00333rad 

= 0,00486 rad  > θ 1,min θ 1y = 0,00466 rad  > θ 1,min θ 1x

Logo:

   i   e    l   r   e    d   n   a    V   s   a    i    D    l   e   m   o    R  .    f   o   r    P

l ex

eax

= θ 1 x ⋅

eay

= θ 1 y ⋅

2 l ey 2

(OK) (OK)

= 0,00486 ⋅

423

= 0,00466 ⋅

460

2 2

= 1,03cm = 1,07cm

3.11.2- Pilar de Extremidade – P4 Excentricidades acidentais: Excentricidades mínimas: 

 M 1d ,min

Logo:

=  N d  ⋅ (0,015 + 0,03h ) =  N d  ⋅ ei ,min (e1, min ) x

0,015 0,03h x

(e1, min ) y

0,015 0,03h y

= 0,015 + 0,03h x = 0,015 + 0,03 ⋅ 0,25 = 2,25cm (e1,min ) y = 0,015 + 0,03h y = 0,015 + 0,03 ⋅ 0,70 = 3,60cm (e1,min ) x

30

   i   e    l   r   e    d   n   a    V   s   a    i    D    l   e   m   o    R  .    f   o   r    P

3.11.2- Pilar de Extremidade – P4 Excentricidades acidentais: Momentos mínimos: 

=  N d  ⋅ (ei ,min ) x = 2.338 × 2,25 = 5.260,5kNcm  M 1dy ,min =  N d  ⋅ (ei ,min ) y = 2.338 × 3,60 = 8.416,8kNcm  M 1dx ,min

   i   e    l   r   e    d   n   a    V   s   a    i    D    l   e   m   o    R  .    f   o   r    P

3.11.2- Pilar de Extremidade – P4 Excentrici dades de 1ª ordem totais: Seções de extremidades (topo e base) 

= eix ,topo = 0,84cm < (e1,min ) x = 2,25cm e1 y = eiy ,topo = 0cm < (e1,min ) y = 3,60cm e1 x

e1 x e1 y

= 2,25cm = 3,60cm

Seção int ermediária:

= eix ,meio + eax = 0,34 + 1,03 = 1,37cm < (e1,min ) x = 2,25cm e1 y = eiy ,meio + eay = 0 + 1,07 = 1,07cm < (e1,min ) y = 3,60cm e1 x

= 2,25cm e1 y = 3,60cm e1 x

31

   i   e    l   r   e    d   n   a    V   s   a    i    D    l   e   m   o    R  .    f   o   r    P

3.11.2- Pilar de Extremidade – P4 Necessidade de excentric idade de 2ª ordem: e Esbeltez Limite: 25 12,5 i 

h

λ 1

α b

25 + 12,5 ⋅

Na direção x: λ 1, x =

e

35

α  b

λ 1

90

h x

= 25cm

ei , x h x

onde : ei , x

α b, x

= 0,84

α b, x = 1,0

como MA,d = 1.971,2kNcm < M1dx,mín = 5.260,5kNcm 25 + 12,5 ⋅ λ 1, x =

ei , x h x

α b , x

=

25 + 12,5 ⋅

0,84 25

1,0

= 25,4 sendo que 35 ≤ λ 1 ≤ 90

λ 1, x = 35

   i   e    l   r   e    d   n   a    V   s   a    i    D    l   e   m   o    R  .    f   o   r    P

3.11.2- Pilar de Extremidade – P4 Necessidade de excentric idade de 2ª ordem: Esbeltez Limite: ei , y 25 + 12 , 5 ⋅ Na direção y: h y λ 1, y = onde : ei , y = 0 h y = 70cm 

α b , y

α b , y = 1,0

como MA,d = 0 < M1d,mín

25 + 12,5 ⋅ λ 1, y =

α b , y

ei , y h y

=

25 + 12,5 ⋅ 1,0

0 70

= 25

sendo que

35 ≤ λ 1 ≤ 90

λ 1, y = 35

32

   i   e    l   r   e    d   n   a    V   s   a    i    D    l   e   m   o    R  .    f   o   r    P

   i   e    l   r   e    d   n   a    V   s   a    i    D    l   e   m   o    R  .    f   o   r    P

3.11.2- Pilar de Extremidade – P4 

Necessidade de excentric idade de 2ª ordem:

λ  x = 58,6 > λ 1, x

= 35

Pilar medianamente esbelto, é necessário c onsiderar o efeito d e 2ª ordem na direção x.

λ  y = 22,8 < λ 1, y

= 35

Pilar curto, não é necessário considerar o efeito de 2ª ordem na direção y.

3.11.2- Pilar de Extremidade – P4 Efeitos de 2ª ordem: Método do Pilar Padrão com curvatur a aproximada 

Direção x:  M d ,tot  = α b ⋅ M 1d , A +  N d  ⋅

l e2, x 1

⋅ ≥ M 1d , A

10 r 

Onde:

= 1,0  M 1d , A = 1.971,2kN ⋅ cm ≥  M 1d ,mín =  N d  ⋅ (e1, mín ) x = 2.338 × 2,25 = 5.260,5kN .cm l e , x = 423cm α b

33

   i   e    l   r   e    d   n   a    V   s   a    i    D    l   e   m   o    R  .    f   o   r    P

3.11.2- Pilar de Extremidade – P4 Efeitos de 2ª ordem: Método do Pilar Padrão com curvatur a aproximada: 

1 r 

=

ν  =

1 r 

   i   e    l   r   e    d   n   a    V   s   a    i    D    l   e   m   o    R  .    f   o   r    P

0,005 h x (ν  + 0,5)  N  sd 

 Ac ⋅  f  cd 

=

≤

0,005 h

2.338

=

( 25 ⋅ 70) ⋅

0,005 25(0,62 + 0,5)

3,0

= 0,62

1,4

0,005

= 1,79 ⋅10− 4 <

25

= 2,0 ⋅10−4

(OK)

3.11.2- Pilar de Extremidade – P4 Efeitos de 2ª ordem: Método do Pilar Padrão com curvatur a aproximada 

Direção x:  M d ,tot  = α b ⋅ M 1d , A +  N d  ⋅  M d ,tot  = 1,0 ⋅ 5.260,5 + 2.338 ⋅

4232 10

l e2, x 1

⋅ ≥ M 1d , A

10 r 

⋅1,79 ⋅10 − 4 > 5.260,5kN ⋅ cm

 M d ,tot  = 12.748,7 kN  ⋅ cm etot , x

=

 M d ,tot   N d 

=

12.748,7 2.338

= 5,45cm

34

   i   e    l   r   e    d   n   a    V   s   a    i    D    l   e   m   o    R  .    f   o   r    P

   i   e    l   r   e    d   n   a    V   s   a    i    D    l   e   m   o    R  .    f   o   r    P

3.11.2- Pilar de Extremidade – P4 3- Situações de Projeto e de Cálculo:

3.11.2- Pilar de Extremidade – P4 4- Dimensionamento das armaduras a) Situação mais desfavorável: Direção x: Seção Intermediária – Flexão normal composta

= 2.338kN   M d ,tot  = 12.748,7kN  ⋅ cm  N d 

e x

=

 M d ,tot   N d 

=

12.748,7 2.338

= 5,45cm

Direção y: Seção Extremidade – Flexão oblíqua

= 2.338kN  = eix,topo = 0,84cm = e1 y = 3,60cm

 N d  e x e y

35

   i   e    l   r   e    d   n   a    V   s   a    i    D    l   e   m   o    R  .    f   o   r    P

3.11.2- Pilar de Extremidade – P4 4- Dimensionamento das armaduras b) Equações adimensionais: Direção x: ν d 

=

μ dx

   i   e    l   r   e    d   n   a    V   s   a    i    D    l   e   m   o    R  .    f   o   r    P

 N d   Ac ⋅  f  cd 

=

ν

d  ⋅

e x h x

2.338

=

25 × 70 ×

= 0,62 ×

3,0

= 0,62

1,4

5,45 25

= 0,14

3.11.2- Pilar de Extremidade – P4 4- Dimensionamento das armaduras b) Equações adimensionais: Direção y: ν d 

 N d   Ac  f  cd  e x

μ dx

ν

μ dy

ν

d 

d 

h x e y h y

2.338 25 70 0,62 0,62

3,0

0,62

1,4

0,84 25 3,60 70

0,021

0,02

0,032

0,03

36

   i   e    l   r   e    d   n   a    V   s   a    i    D    l   e   m   o    R  .    f   o   r    P

3.11.2- Pilar de Extremidade – P4 4- Dimensionamento das armaduras c) Taxa mecânica de armadura: Direção x:

d  x′ h x

=

4,0 25

= 0,16 ≅ 0,15

= 0,62 μ dx = 0,14

ν d 

Escolha do Ábaco: - Flexão composta normal; - Armadura distribuída paralela ao eixo y; - Escolhe-se inicialmente o Ábaco A-3 [Venturini, 1987] - Taxa de armadura:

   i   e    l   r   e    d   n   a    V   s   a    i    D    l   e   m   o    R  .    f   o   r    P

= 0,25

3.11.2- Pilar de Extremidade – P4  Ábaco A-3 [Venturini, 1987]

= 0,25

37

   i   e    l   r   e    d   n   a    V   s   a    i    D    l   e   m   o    R  .    f   o   r    P

3.11.2- Pilar de Extremidade – P4  Área das bar ras:  A s

= ω ⋅

 Ac ⋅  f  cd   f   yd 

= 0,25 ×

( 25 × 70) × 3,0 50

1,4

= 21,52cm 2

1,15

Escolha das barras: - 12 16 - A s,efe = 24,12cm 2; - 6 barras de cada lado, distribu ída paralela ao eixo y;

   i   e    l   r   e    d   n   a    V   s   a    i    D    l   e   m   o    R  .    f   o   r    P

3.11.2- Pilar de Extremidade – P4 4- Dimensionamento das armaduras c) Taxa mecânica de armadura: Direção y:

d  y

4,0

h y

70

d  x

4,0

h x

25

ν d 

0,62

μ dx

ν d 

μ dy

ν d 

0,06

0,05

0,16

0,15

e x h x e y h y

0,62 0,62

0,84 25 3,60 70

0,021

0,02

0,032

0,03

38

   i   e    l   r   e    d   n   a    V   s   a    i    D    l   e   m   o    R  .    f   o   r    P

3.11.2- Pilar de Extremidade – P4 4- Dimensionamento das armaduras c) Taxa mecânica de armadura:

Escolha do Ábaco: - Flexão oblíqua; - Armadura distribuída conforme adotado na direção x; - Como não há arranjo para 12 φ, escolhe-se os ábaco A-16 [20φ] e A-17 [8φ] de Pinheiro (1994) - Taxa de armadura:

   i   e    l   r   e    d   n   a    V   s   a    i    D    l   e   m   o    R  .    f   o   r    P

= 0,0

3.11.2- Pilar de Extremidade – P4  Ábaco A-16 [Pi nheiro, 1994]

= 0,0

39

   i   e    l   r   e    d   n   a    V   s   a    i    D    l   e   m   o    R  .    f   o   r    P

3.11.2- Pilar de Extremidade – P4 4- Dimensionamento das armaduras c) Taxa mecânica de armadura:

Como ωx = 0,25 > ωy = 0,0: - O arranjo para a direção “x” ( 12 16 ) atende as duas situações de cálculo da armadura;

   i   e    l   r   e    d   n   a    V   s   a    i    D    l   e   m   o    R  .    f   o   r    P

3.11.2- Pilar de Extremidade – P4 5- Detalhamento  Armadura Longitudinal a) Diâmetro das barras 10mm ≤ φ l  ≤

b 8

10mm < 16mm <

250 8

= 31,25mm

(OK)

40

   i   e    l   r   e    d   n   a    V   s   a    i    D    l   e   m   o    R  .    f   o   r    P

3.11.2- Pilar de Extremidade – P4 5- Detalhamento  Armadura Longitudinal b) Taxas mínimas e máximas de armadura longit udinal  ρ  =  ρ mín

 A s  Ac

=

=

24,12 25 × 70

 A s , mín  Ac

=

= 0,0138 = 1,38%

0,15 ⋅ N d   Ac ⋅  f   yd 

⎛  f    ⎞  f   ⋅ ⎜⎜ cd  ⎟⎟ = 0,15 ⋅ cd  ⋅ν  ≥ 0,4%  f   yd  ⎝  f  cd  ⎠

3,0  ρ mín

= 0,15 ⋅

 ρ máx

   i   e    l   r   e    d   n   a    V   s   a    i    D    l   e   m   o    R  .    f   o   r    P

1,4 50

8,0% 2

⋅ 0,62 = 0,46% > 0,4%

1,15

4,0%

3.11.2- Pilar de Extremidade – P4 5- Detalhamento  Armadura Longitudinal c) Número mínimo de barras: Uma barra em cada canto ou vértice do po lígono d) Espaçamentos p ara armadura long itudi nal

⎧20mm ⎪ a ≥ ⎨φ l  = 16mm ⎪1,2 ⋅ d  máx, agre. = 1,2 × 1,9 = 2,28cm ≈ 23mm ⎩ a ≥ 23mm

amáx amáx

⎧2 ⋅ b = 2 × 25 = 50cm ≤⎨ ⎩40cm ≤ 40cm

41

   i   e    l   r   e    d   n   a    V   s   a    i    D    l   e   m   o    R  .    f   o   r    P

3.11.2- Pilar de Extremidade – P4 5- Detalhamento  Armadur a Transversal a) Diâmetro

⎧5mm ⎪ φ t  ≥ ⎨φ l  16 ⎪⎩ 4 = 4 = 4mm

⇒

φ t 

= 5mm

b) Espaçamentos para armadura t ransversal

⎧20cm ⎪  st  ≤ ⎨menor dimensão da seção = 25cm ⎪12 ⋅ φ  = 12 ×1,6 = 19,2cm l  ⎩  Ad otar 5 c/19

   i   e    l   r   e    d   n   a    V   s   a    i    D    l   e   m   o    R  .    f   o   r    P

⇒

 st 

= 19cm

3.11.2- Pilar de Extremidade – P4 5- Detalhamento  Armadur a Transversal c) Proteção contr a flambagem localizada das armaduras

20 φ t 

20 0,5

10,0cm

Verific ação do espaçamentos da armadura longitu dinal

− 2 ⋅ φ t  − n ⋅ φ l  n −1 70 − 2 ⋅ 2,5 − 2 ⋅ 0,5 − 6 ⋅1,6 = 10,9cm a= 6 −1 amín = 2,3cm < a = 10,9cm < a máx = 40cm a=

h − 2 ⋅ cnom

(OK)

42

   i   e    l   r   e    d   n   a    V   s   a    i    D    l   e   m   o    R  .    f   o   r    P

3.11.2- Pilar de Extremidade – P4 5- Detalhamento  Armadur a Transversal Como (a+ l ) =12,5cm > 20 t = 10cm, é necessário proteção contra flambagem em todas as barras centrais (estribos suplementares) d) Comprimento dos estribos

l t 

2 h

2 cnom

2 b

2 cnom

2 l  gt 

Onde: gt = comprimento d o gancho para estribo, podendo ser  • semicirculares ou em ângulo de 45 o (interno), com ponta reta de comprimento igual a 5 φ, porém não inferior a 5cm ; • em ângulo reto, com ponta reta de comprimento maior ou igual a 10φ, porém não inferior a 7cm (este tipo de gancho não deve ser utilizado para barras e fios lisos).

   i   e    l   r   e    d   n   a    V   s   a    i    D    l   e   m   o    R  .    f   o   r    P

3.11.2- Pilar de Extremidade – P4 5- Detalhamento  Armadur a Transversal d) Comprimento dos estribos

l t  = 2 ⋅ (h − 2 ⋅ cnom ) + 2 ⋅ (b − 2 ⋅ cnom ) + 2 ⋅ l  gt  l t  = 2 ⋅ (70 − 2 ⋅ 2,5) + 2 ⋅ (25 − 2 ⋅ 2,5 ) + 2 ⋅ 5,0 = 180cm e) Comprimento do s estribo s supl ementares

= (b − 2 ⋅ cnom ) + 2 ⋅ l  gt  l  s = (25 − 2 ⋅ 2,5) + 2 ⋅ 5,0 = 30cm l  s

43

   i   e    l   r   e    d   n   a    V   s   a    i    D    l   e   m   o    R  .    f   o   r    P

3.11.2- Pilar de Extremidade – P4 5- Detalhamento  Armadur a Transversal f) Número de estrib os  N  =

l o

+ hviga  st 

+1 =

460 19

+ 1 = 25

25φ 5 c / 19 (180)

e) Número de estr ibos suplementares

4

C/19

180

25φ 5 c / 19 30

C/19

   i   e    l   r   e    d   n   a    V   s   a    i    D    l   e   m   o    R  .    f   o   r    P

3.11.2- Pilar de Extremidade – P4 5- Detalhamento  Armadur a Transversal f) Desenho da seção transversal

44

   i   e    l   r   e    d   n   a    V   s   a    i    D    l   e   m   o    R  .    f   o   r    P

3.11.2- Pilar de Extremidade – P4 5- Detalhamento Comprimento das esperas l b

l b

= φ ⋅

 f   yd  2

1,35 ⋅  f  ck 3

= 1,6 ⋅

500 1,15 1,35 ⋅ 30

2

= 53,37cm ≈ 55cm

3

Logo:

⎧15φ  = 15 × 1,6 = 24cm l oc = l b = 55cm ≥ ⎨ ⎩200mm

   i   e    l   r   e    d   n   a    V   s   a    i    D    l   e   m   o    R  .    f   o   r    P

3.11.2- Pilar de Extremidade – P4 5- Detalhamento Comprimento total das barras longi tudinais l  = (l 0 l  =

+ hviga ) + l oc + 55 = 515cm 460

45

   i   e    l   r   e    d   n   a    V   s   a    i    D    l   e   m   o    R  .    f   o   r    P

3.11.2- Pilar de Extremidade – P4 5- Detalhamento Desenho d o Pilar P4:

      5       1       5       9       1       /       C

C/19

180

C/19

   i   e    l   r   e    d   n   a    V   s   a    i    D    l   e   m   o    R  .    f   o   r    P

3.11.3- Pilar de Canto – P1 Dados iniciais:

46

   i   e    l   r   e    d   n   a    V   s   a    i    D    l   e   m   o    R  .    f   o   r    P

   i   e    l   r   e    d   n   a    V   s   a    i    D    l   e   m   o    R  .    f   o   r    P

3.11.3- Pilar de Canto – P1 Dados iniciais:

3.11.3- Pilar de Canto – P1 Dados iniciais: Nk = 1.230kN Nd = 1,4 x 1.230 = 1.722kN

Momentos Fletores Atuantes no Tramo do Pilar  a) Característic as Geométricas ⎧l 0 + h  Comprimentos equivalentes do Pilar: l e ≤ ⎨ ⎩l  l  460 62 398cm 0 x

Na direção x:

l 0 x

h x

l  x

460cm

l ex

398 25

l 0 x

h x

l  x

460cm

423cm

423cm

l ex

423cm

47

   i   e    l   r   e    d   n   a    V   s   a    i    D    l   e   m   o    R  .    f   o   r    P

3.11.3- Pilar de Canto – P1 

Comprimentos equivalentes do Pilar:

Na direção y:

l 0 y

460 52

l 0 y

h y

l  y

460cm

l ey

   i   e    l   r   e    d   n   a    V   s   a    i    D    l   e   m   o    R  .    f   o   r    P

408cm 468cm

408 60

l 0 y

h y

468cm

l  y

460cm

l ey

460cm

3.11.3- Pilar de Canto – P1 Vão efetivo das Vigas V1 e V4: a) Viga V1: 

l ef  ,V 1

l o ,V 1

l 0,V 1

600

a1

a2

25

60

2

2

557,5cm

A medida a 1 relativa ao pilar P1: a1 a1

h x , P 1

25

12,5cm 2 2 0,3 hV 1 0,3 62 18,6cm

a1

12,5cm

48

   i   e    l   r   e    d   n   a    V   s   a    i    D    l   e   m   o    R  .    f   o   r    P

3.11 3.11.3 .3-- Pila Pilarr de de Can Canto to – P1 a) Viga V1: A medida a 2 relativa ao pilar P2:

h x , P 2

a2

60

30,0cm 2 2 0,3 hV 1 0,3 62 18,6cm

a2

a2

18,6cm

Vão efetivo da viga V1:

   i   e    l   r   e    d   n   a    V   s   a    i    D    l   e   m   o    R  .    f   o   r    P

l ef  ,V 1

l o ,V 1

a1

a2

l ef  ,V 1

557,5 12,5 18,6

588,6cm

3.11 3.11.3 .3-- Pila Pilarr de de Can Canto to – P1 b) Viga Vig a V4: V4: l ef  ,V 4

l o,V 4

l 0,V 4

400

a1 20 2

a2 60

70 2

315,0cm

A medida a 1 relativa ao pilar P1: a1 a1

h y , P 1

60

30,0cm 2 2 0,3 hV 4 0,3 52 15,6cm

a1

15,6cm

49

   i   e    l   r   e    d   n   a    V   s   a    i    D    l   e   m   o    R  .    f   o   r    P

3.11 3.11.3 .3-- Pila Pilarr de de Can Canto to – P1 b) Viga Vig a V4: V4: A medida a 2 relativa ao pilar P4:

a2 a2

h y , P 4

70

35,0cm 2 2 0,3 hV  4 0,3 52 15,6cm

a2

15,6cm

Vão efetivo da viga V4:

   i   e    l   r   e    d   n   a    V   s   a    i    D    l   e   m   o    R  .    f   o   r    P

l ef  ,V  4

l o ,V 4

a1

a2

l ef  ,V  4

315,0 15,6 15,6

346,2cm

3.11 3.11.3 .3-- Pila Pilarr de de Can Canto to – P1 Momento Momento fletor relativo relativo a viga V1: V1: Eixo “x”: Modelo Simplificado Simplificado NBR 6118:2003

50

   i   e    l   r   e    d   n   a    V   s   a    i    D    l   e   m   o    R  .    f   o   r    P

3.11 3.11.3 .3-- Pila Pilarr de de Can Canto to – P1 Momento Momento fletor relativo relativo a viga V1: V1: Rigidez no tramo do pilar: r sup

 

3  I pilar  1

2

3

l sup

60 253 12 1 423 2

1.108cm 3

r inf  = r sup = 1.108cm3 Rigidez da viga: r viga

   i   e    l   r   e    d   n   a    V   s   a    i    D    l   e   m   o    R  .    f   o   r    P

4

4  I viga l viga

20 623 12 588,6

2.699cm3

3.11 3.11.3 .3-- Pila Pilarr de de Can Canto to – P1 Momento Momento fletor relativo relativo a viga V1: V1: Momento de engastamento perfeito na viga:  M eng 

2 ( g  q) l viga  

20 5,886 2

12

12

57,74kNm

5.774kN  cm

Momento fletor fletor no tramo do pilar: pilar:

 M sup

 M inf 

 M eng 

r sup r viga

r sup

r inf 

5.774

1.108 2.699 1.108 1.108

1.302kN  cm

51

   i   e    l   r   e    d   n   a    V   s   a    i    D    l   e   m   o    R  .    f   o   r    P

3.11.3- Pilar de Canto – P1 Momento fletor relativo a viga V4: Eixo “y”: Modelo Simplificado NBR 6118:2003

   i   e    l   r   e    d   n   a    V   s   a    i    D    l   e   m   o    R  .    f   o   r    P

3.11.3- Pilar de Canto – P1 Momento fletor relativo a viga V4: Rigidez no tramo do pilar: r sup

 

3  I pilar  1

2

l sup

3

25 603 12 1 460 2

5.870cm3

r inf  = r sup = 5.870cm3 Rigidez da viga: r viga

4  I viga l viga

4

12 523 12 346,2

1.625cm3

52

   i   e    l   r   e    d   n   a    V   s   a    i    D    l   e   m   o    R  .    f   o   r    P

3.11.3- Pilar de Canto – P1 Momento fletor relativo a viga V4: Momento de engastamento perfeito na viga:  M eng 

2 ( g  q ) l viga  

16 3,4622

12

12

15,98kNm

1.598kN  cm

Momento fletor no tramo do pilar:

 M sup

   i   e    l   r   e    d   n   a    V   s   a    i    D    l   e   m   o    R  .    f   o   r    P

 M inf 

 M eng 

r sup r viga

r sup

r inf 

1.598

5.870 1.625 5.870 5.870

702 kN  cm

3.11.3- Pilar de Canto – P1 Momentos Fletores Atuantes no Tramo do Pilar P1

53

   i   e    l   r   e    d   n   a    V   s   a    i    D    l   e   m   o    R  .    f   o   r    P

3.11.3- Pilar de Canto – P1 

Índices d e Esbeltez: Na direção x:

l ex

λ  x

12

l ex

i x

423

12

25

h x

58,6

Na direção y:

l ey

λ  y

   i   e    l   r   e    d   n   a    V   s   a    i    D    l   e   m   o    R  .    f   o   r    P

l ey

i y

12 h y

460

12

60

26,6

3.11.3- Pilar de Canto – P1 2- Excentricidades:  Excentricidade Inicial Na direção x: eix ,topo eix ,base

 M d , A

1,4 1.302

 N d 

1.722

eix ,meio 0,6 eix ,max

0,4 eix ,min

eix ,meio 0,6 1,06 0,4 ( 1,06)

1,06cm

0,4 eix ,max 0,21cm

0,4 1,06

0,42cm

eix ,meio 0,42cm

54

   i   e    l   r   e    d   n   a    V   s   a    i    D    l   e   m   o    R  .    f   o   r    P

3.11.3- Pilar de Canto – P1 2- Excentricidades:  Excentricidade Inicial Na direção y: eiy ,topo eiy ,base

 M d , A

1,4 702

 N d 

1.722

0,57cm

eiy ,meio 0,6 eiy ,max

0,4 eiy ,min

0,4 eiy ,max

eiy ,meio 0,6 0,57

0,4 ( 0,57)

0,11cm

0,4 0,57

0,23cm

eiy ,meio 0,23cm

   i   e    l   r   e    d   n   a    V   s   a    i    D    l   e   m   o    R  .    f   o   r    P

3.11.3- Pilar de Canto – P1 2- Excentricidades:  Excentricidades acidentais:

Sendo: θ 1x

=

θ 1y

=

1 100 l ex 1 100 l ey

= =

eax

θ 1 x

eay

θ 1 y

1 100 4,23 1 100 4,60

l ex 2 l ey 2

= 0,00486 rad  = 0,00466 rad 

55

   i   e    l   r   e    d   n   a    V   s   a    i    D    l   e   m   o    R  .    f   o   r    P

3.11.3- Pilar de Canto – P1 Excentricidades acidentais: Onde: 1 

θ 1

θ 1,min

300

0,00333rad 

= 0,00486 rad  > θ 1,min θ 1y = 0,00466 rad  > θ 1,min θ 1x

Logo:

   i   e    l   r   e    d   n   a    V   s   a    i    D    l   e   m   o    R  .    f   o   r    P

l ex

eax

= θ 1 x ⋅

eay

= θ 1 y ⋅

2 l ey 2

(OK) (OK)

= 0,00486 ⋅

423

= 0,00466 ⋅

460

2 2

= 1,03cm = 1,07cm

3.11.3- Pilar de Canto – P1 Excentricidades acidentais: Excentricidades mínimas: 

 M 1d ,min

Logo:

=  N d  ⋅ (0,015 + 0,03h ) =  N d  ⋅ ei ,min (e1, min ) x

0,015 0,03h x

(e1, min ) y

0,015 0,03h y

(e1,min ) x

0,015 0,03h x

0,015 0,03 0,25

2,25cm

(e1,min ) y

0,015 0,03h y

0,015 0,03 0,60

3,30cm

56

   i   e    l   r   e    d   n   a    V   s   a    i    D    l   e   m   o    R  .    f   o   r    P

   i   e    l   r   e    d   n   a    V   s   a    i    D    l   e   m   o    R  .    f   o   r    P

3.11.3- Pilar de Canto – P1 Excentricidades acidentais: Momentos mínimos: 

 M 1dx ,min

 N d  (ei ,min ) x

1.722 2,25

3.874,5kNcm

 M 1dy ,min

 N d  (ei , min ) y

1.722 3,30

5.682,6kNcm

3.11.3- Pilar de Canto – P1 Excentrici dades de 1ª ordem totais: Seções de extremidades (topo e base) e1 x = eix,topo = 1,06cm < (e1, min ) x = 2,25cm e1 x = 2,25cm e1 y = eiy ,topo = 0,57cm < (e1, min ) y = 3,30cm e1 y = 3,30cm 

Seção int ermediária: e1 x = eix ,meio + eax = 0,42 + 1,03 = 1,45cm < (e1,min ) x = 2,25cm e1 y = eiy ,meio + eay = 0,23 + 1,07 = 1,30cm < (e1,min ) y = 3,30cm e1 x e1 y

= 2,25cm = 3,30cm

57

   i   e    l   r   e    d   n   a    V   s   a    i    D    l   e   m   o    R  .    f   o   r    P

3.11.3- Pilar de Canto – P1 Necessidade de excentric idade de 2ª ordem: e Esbeltez Limite: 25 + 12,5 ⋅ 1 35 h λ 1 = e ≤ λ 1 ≤ 90 

α b

25 + 12,5 ⋅

Na direção x: λ 1, x =

α  b

ei , x h x

onde : ei , x

α b, x

= 1,06

h x

α b, x = 1,0

como MA,d = 1.822,8kNcm < M1dx,mín = 3.874,5kNcm 25 + 12,5 ⋅ λ 1, x =

ei , x h x

α b , x

1,06

25 + 12,5 ⋅

=

= 25cm

25

1,0

= 25,5 sendo que 35 ≤ λ 1 ≤ 90

λ 1, x = 35

   i   e    l   r   e    d   n   a    V   s   a    i    D    l   e   m   o    R  .    f   o   r    P

3.11.3- Pilar de Canto – P1 Necessidade de excentric idade de 2ª ordem: Esbeltez Limite: 

25 + 12,5 ⋅

Na direção y: λ 1, y =

ei , y h y

onde : ei , y

α b, y

como MA,d = 982,8 < M1dy,mín = 5.682,6kNcm

25 + 12,5 ⋅ λ 1, y =

α b, y

ei , y h y

25 + 12,5 ⋅

=

1,0

= 0,57

h y

= 60cm

α b , y = 1,0

057 60

= 25,1

sendo que 35 ≤ λ 1

≤ 90

λ 1, y = 35

58

   i   e    l   r   e    d   n   a    V   s   a    i    D    l   e   m   o    R  .    f   o   r    P

3.11.3- Pilar de Canto – P1 

Necessidade de excentric idade de 2ª ordem:

λ  x = 58,6 > λ 1, x

= 35

λ  y = 26,6 < λ 1, y

= 35

Pilar medianamente esbelto, é necessário c onsiderar o efeito d e 2ª ordem na direção x. Pilar curto, não é necessário considerar o efeito de 2ª ordem na direção y.

Para pilares sob flexão oblíqua, se em pelo menos uma direção for n ecessário co nsiderar o efeito de 2ª ordem, deve-se consi derar o efeito de 2ª ordem nas duas direções principais.

   i   e    l   r   e    d   n   a    V   s   a    i    D    l   e   m   o    R  .    f   o   r    P

3.11.3- Pilar de Canto – P1 Efeitos de 2ª ordem: Método do Pilar Padrão com ri gidez aprox imada α b ⋅ M 1d , A ⎧ ⎛   M d ,tot  ⎞ ⎪ M 1d , A ⎫⎪ ⎜⎜1 + 5 ⎟⎟ ⋅ν  ≥  M d ,tot  = 32 = ⋅ κ  ⎨ ⎬ ⋅ ⎪⎩ M 1d ,min ⎪⎭ h  N  λ 2 d   ⎠ ⎝  1− 

120 ⋅

κ 

ν 

Solução única:

 M d ,tot  =

a =1 b = 0,2 ⋅ h ⋅ N d  −

λ 2 ⋅ h ⋅ N d 

19200 c = −0,2 ⋅ α b ⋅ h ⋅ N d  ⋅ M 1d , A

−b+

b2 − 4 ⋅ a ⋅ c 2⋅a

− α b ⋅ M 1d , A

59

   i   e    l   r   e    d   n   a    V   s   a    i    D    l   e   m   o    R  .    f   o   r    P

3.11.3- Pilar de Canto – P1 Efeitos de 2ª ordem: Método do Pilar Padrão com ri gidez aprox imada 

Direção x:

   i   e    l   r   e    d   n   a    V   s   a    i    D    l   e   m   o    R  .    f   o   r    P

= 1,0 λ  x = 58,6 h x = 25cm = 0,25m  N d  = 1.722kN   M 1dx , A = 1.823,0kN  ⋅ cm = 18,23kN  ⋅ m  M 1dx , mín = 3.875,0kN .cm = 38,75 Kn ⋅ m α bx

3.11.3- Pilar de Canto – P1 Efeitos de 2ª ordem: Método do Pilar Padrão com ri gidez aprox imada 

Direção x:

a =1 b = 0,2 ⋅ h x ⋅ N d  −

λ  x2 ⋅ h x ⋅ N d  19200

b = 0,2 ⋅ 0,25 ⋅1.722 −

− α bx ⋅ M 1dx, A

58,6 2 ⋅ 0,25 ⋅1.722 19200

− 1,0 ⋅18,23 = −9,126

c = −0,2 ⋅ α bx ⋅ h x ⋅ N d  ⋅ M 1dx, A c = −0,2 ⋅1,0 ⋅ 0,25 ⋅1.722 ⋅18,23 = −1.569,6

60

   i   e    l   r   e    d   n   a    V   s   a    i    D    l   e   m   o    R  .    f   o   r    P

3.11.3- Pilar de Canto – P1 Efeitos de 2ª ordem: Método do Pilar Padrão com ri gidez aprox imada 

Direção x:  M dx,tot  =

−b+

b2

− 4⋅a⋅c

2⋅a

− (− 9,126) + (− 9,126)2 − 4 ⋅1,0 ⋅ (− 1.569,6)  M dx,tot  = 2 ⋅1,0 ⎧⎪ M 1dx, A = 1.823kN  ⋅ m  M dx,tot  = 44,443kN  ⋅ m = 4.444,3kN  ⋅ cm > ⎨ ⎪⎩ M 1dx,min = 3.875kN  ⋅ m etot , x

   i   e    l   r   e    d   n   a    V   s   a    i    D    l   e   m   o    R  .    f   o   r    P

=

 M dx ,tot   N d 

=

4.444,3 1.722

= 2,58cm

3.11.3- Pilar de Canto – P1 Efeitos de 2ª ordem: Método do Pilar Padrão com ri gidez aprox imada 

Direção y:

= 1,0 λ  y = 26,6 h y = 60cm = 0,60m  N d  = 1.722kN   M d 1 y , A = 983kN  ⋅ cm = 9,83kN  ⋅ m  M d 1 y , mín = 5.683kN .cm = 56,83 Kn ⋅ m α bx

61

   i   e    l   r   e    d   n   a    V   s   a    i    D    l   e   m   o    R  .    f   o   r    P

3.11.3- Pilar de Canto – P1 Efeitos de 2ª ordem: Método do Pilar Padrão com ri gidez aprox imada 

Direção y:

a =1 2

b = 0,2 ⋅ h y ⋅ N d  −

λ  y ⋅ h y ⋅ N d  19200

− α by ⋅ M 1dy, A

26,6 2 ⋅ 0,60 ⋅1.722

b = 0,2 ⋅ 0,60 ⋅1.722 −

19200

− 1,0 ⋅ 9,83 = 158,73

c = −0,2 ⋅ α bx ⋅ h x ⋅ N d  ⋅ M 1dx , A c = −0,2 ⋅1,0 ⋅ 0,60 ⋅1.722 ⋅ 9,83 = −2.031,3

   i   e    l   r   e    d   n   a    V   s   a    i    D    l   e   m   o    R  .    f   o   r    P

3.11.3- Pilar de Canto – P1 Efeitos de 2ª ordem: Método do Pilar Padrão com ri gidez aprox imada 

Direção y:  M dy,tot  =  M dy,tot  =

−b+

b2

− 4⋅a ⋅c

2⋅a

− 158,73 +

158,73 2

− 4 ⋅1,0 ⋅ (− 2.031,3)

2 ⋅1,0

⎧⎪ M 1dx, A = 983kN  ⋅ cm  M dy,tot  = 11,904kN  ⋅ m = 1.190,4kN  ⋅ cm ≥ ⎨ ⎪⎩ M 1dx, min = 5.683kN  ⋅ cm  M dy,tot  = 5.683kN  ⋅ cm

etot , y

=

 M dy ,tot   N d 

=

5.683 1.722

= 3,30cm

62

   i   e    l   r   e    d   n   a    V   s   a    i    D    l   e   m   o    R  .    f   o   r    P

3.11.3- Pilar de Canto – P1 4- Dimensionamento das armaduras a) Situação de cálculo: Seção Intermediária – Flexão obíqua

= 1.722kN  Situação mais desfavor ável e x = 2,58cm e y = 3,30cm

 N d 

Seção Extremidade – Flexão oblíqua Direção x: Direção y:  N d  = 1.722kN   N d 

= 1.722kN  e x = 1,06cm e y = 3,30cm

= 2,25cm e y = 0,57cm e x

   i   e    l   r   e    d   n   a    V   s   a    i    D    l   e   m   o    R  .    f   o   r    P

3.11.3- Pilar de Canto – P1 4- Dimensionamento das armaduras b) Equações adimensionais: ν d 

=

 N d   Ac ⋅  f  cd 

μ dx

= νd  ⋅

μ dy

= νd  ⋅

e x h x e y h y

=

1.722 25 × 60 ×

3,0

= 0,54

1,4

= 0,54 ×

2,58

= 0,54 ×

3,30

25 60

= 0,06 = 0,03

63

   i   e    l   r   e    d   n   a    V   s   a    i    D    l   e   m   o    R  .    f   o   r    P

3.11.3- Pilar de Canto – P1 4- Dimensionamento das armaduras c) Taxa mecânica de armadura: d  y′ h y d  x′ h x

= =

4,0 60 4,0 25

ν d 

= 0,07 ≅ 0,05 = 0,16 ≅ 0,15

= 0,54

μ dx

= ν d  ⋅

μ dy

= ν d  ⋅

Escolha do Ábaco:

e x h x e y h y

= 0,54 ⋅

2,58

= 0,54 ⋅

3,30

25 60

= 0,06 = 0,03

- Flexão oblíqua; - Armadura distribuída paralela ao eixo y; - Escolhe-se inicialmente o Ábaco A-17 [Pimheiro, 1994] - Taxa de armadura:

   i   e    l   r   e    d   n   a    V   s   a    i    D    l   e   m   o    R  .    f   o   r    P

= 0,0

3.11.3- Pilar de Canto – P1  Ábaco A-16 [Pi nheiro, 1994]

= 0,0

64

   i   e    l   r   e    d   n   a    V   s   a    i    D    l   e   m   o    R  .    f   o   r    P

3.11.3- Pilar de Canto – P1  Área das bar ras:

= ω ⋅

 A s

 Ac ⋅  f  cd   f   yd 

= 0,0cm 2

 A seção prec isa ser arm ada com armadura m íni ma.

   i   e    l   r   e    d   n   a    V   s   a    i    D    l   e   m   o    R  .    f   o   r    P

3.11.3- Pilar de Canto – P1 5- Detalhamento  Armadura Longitudinal a) Taxas mínimas e máximas de armadura long itudinal  A s , mín

= 0,15 ⋅

 A s

 N d   f   yd 

= 0,15 ⋅

1.722 50 1,15

= 5,94cm 2 ≥ 0,4% Ac = 0,004 × 25 × 60 = 6,00cm 2

= 6,0cm 2

Escolha das barras: - 6 12,5 - A s,efe = 7,36cm 2; - 3 barras de cada lado, distribu ída paralela ao eixo y;  ρ  =

 A s  Ac

=

7,36 25 × 60

= 0,5% <  ρ máx =

8,0% 2

= 4,0%

65

   i   e    l   r   e    d   n   a    V   s   a    i    D    l   e   m   o    R  .    f   o   r    P

3.11.3- Pilar de Canto – P1 5- Detalhamento  Armadura Longitudinal b) Diâmetro das barras 10mm ≤ φ l  ≤

b 8

10mm < 12,5mm <

   i   e    l   r   e    d   n   a    V   s   a    i    D    l   e   m   o    R  .    f   o   r    P

250 8

= 31,25mm (OK)

3.11.3- Pilar de Canto – P1 5- Detalhamento  Armadura Longitudinal c) Número mínimo de barras: Uma barra em cada canto ou vértice do po lígono d) Espaçamentos p ara armadura long itudi nal

⎧20mm ⎪ a ≥ ⎨φ l  = 12,5mm ⎪1,2 ⋅ d  máx, agre. = 1,2 × 1,9 = 2,28cm ≈ 23mm ⎩ a ≥ 23mm

amáx amáx

⎧2 ⋅ b = 2 × 25 = 50cm ≤⎨ ⎩40cm ≤ 40cm

66

   i   e    l   r   e    d   n   a    V   s   a    i    D    l   e   m   o    R  .    f   o   r    P

3.11.3- Pilar de Canto – P1 5- Detalhamento  Armadur a Transversal a) Diâmetro

⎧5mm ⎪ φ t  ≥ ⎨φ l  12,5 ⎪⎩ 4 = 4 = 3,1mm

⇒

φ t 

= 5mm

b) Espaçamentos para armadura t ransversal 20cm  st 

menor dimensão da seção 12 φ l 

25cm

 st 

15cm

12 1,25 15cm

 Ad otar 5 c/15

   i   e    l   r   e    d   n   a    V   s   a    i    D    l   e   m   o    R  .    f   o   r    P

3.11.3- Pilar de Canto – P1 5- Detalhamento  Armadur a Transversal c) Proteção contr a flambagem localizada das armaduras

20 φ t 

20 0,5

10,0cm

Verific ação do espaçamentos da armadura longitu dinal

− 2 ⋅ φ t  − n ⋅ φ l  n −1 60 − 2 ⋅ 2,5 − 2 ⋅ 0,5 − 3 ⋅1,25 = 25,13cm a= 3 −1 a mín = 2,3cm < a = 25,13cm < a máx = 40cm a=

h − 2 ⋅ cnom

(OK)

67

   i   e    l   r   e    d   n   a    V   s   a    i    D    l   e   m   o    R  .    f   o   r    P

3.11.3- Pilar de Canto – P1 5- Detalhamento  Armadur a Transversal Como (a+ l ) =26,4cm > 20 t = 10cm, é necessário proteção contra flambagem na barra central (estribo suplementar) d) Comprimento dos estribos

l t 

2 h

2 cnom

2 b

2 cnom

2 l  gt 

Onde: gt = comprimento d o gancho para estribo, podendo ser  • semicirculares ou em ângulo de 45 o (interno), com ponta reta de comprimento igual a 5 φ, porém não inferior a 5cm ; • em ângulo reto, com ponta reta de comprimento maior ou igual a 10φ, porém não inferior a 7cm (este tipo de gancho não deve ser utilizado para barras e fios lisos).

   i   e    l   r   e    d   n   a    V   s   a    i    D    l   e   m   o    R  .    f   o   r    P

3.11.3- Pilar de Canto – P1 5- Detalhamento  Armadur a Transversal d) Comprimento dos estribos

l t  = 2 ⋅ (h − 2 ⋅ cnom ) + 2 ⋅ (b − 2 ⋅ cnom ) + 2 ⋅ l  gt  l t  = 2 ⋅ (60 − 2 ⋅ 2,5) + 2 ⋅ (25 − 2 ⋅ 2,5 ) + 2 ⋅ 5,0 = 160cm e) Comprimento do s estribo s supl ementares

= (b − 2 ⋅ cnom ) + 2 ⋅ l  gt  l  s = (25 − 2 ⋅ 2,5) + 2 ⋅ 5,0 = 30cm l  s

68

   i   e    l   r   e    d   n   a    V   s   a    i    D    l   e   m   o    R  .    f   o   r    P

3.11.3- Pilar de Canto – P1 5- Detalhamento  Armadur a Transversal f) Número de estrib os  N  =

l o

+ hviga  st 

+1 =

32φ 5 c / 15 (160)

460 15

   5    5

+ 1 = 32

N2 - 32 5,0 c/15 C = 160

e) Número de estr ibos suplementares

32φ 5 c / 15 (30)

N3 - 32 5,0 c/15 C = 30

   i   e    l   r   e    d   n   a    V   s   a    i    D    l   e   m   o    R  .    f   o   r    P

3.11.3- Pilar de Canto – P1 5- Detalhamento  Armadur a Transversal

6 φ 12,5 mm

f) Desenho da seção transversal

26,4 cm

69

   i   e    l   r   e    d   n   a    V   s   a    i    D    l   e   m   o    R  .    f   o   r    P

3.11.3- Pilar de Canto – P1 5- Detalhamento Comprimento das esperas l b

= φ ⋅

 f   yd  2

1,35 ⋅  f  ck 3 500

l b

Logo:

= 1,25 ⋅

1,15

1,35 ⋅ 30

2

= 41,70cm ≈ 45cm

3

⎧15φ  = 15 ×1,25 = 18,75cm 45 l oc = l b = cm ≥ ⎨ ⎩200mm

   i   e    l   r   e    d   n   a    V   s   a    i    D    l   e   m   o    R  .    f   o   r    P

3.11.3- Pilar de Canto – P1 5- Detalhamento Comprimento total das barras longi tudinais l  = (l 0 l  =

+ hviga ) + l oc 460 + 45 = 505cm

70