Diferensial Eksak dan Tak Eksak ,Integral Diferensial Eksak dan Tak Eksak

One Day One Problem Termodinamika (Diferensial Eksak dan Tak Eksak Integral Diferensial Eksak dan Tak Eksak )

Hari / Tanggal / Pukul Sumber Buku

: Senin / 12 Januari 2015 / 21:15 : Richard B dan Gabriel B. Costa. 2006. Persamaan

Halaman Nomor Soal

Diferensial. Jakarta : Erlangga : 27 : 5.21

Soal Asli: 1. Konversikan

,

y =2 xy −x menjadi persamaan diferensial eksak.

Pembahasan : jika persamaan ini ditulis ulang dalam bentuk persamaan kita peroleh (-2xy+x) dx + dy = 0 δM δN =−2 x =0 Di sini M (x,y) = -2xy + x dan N(x,y) =1, karena dan δy δy Titik sebanding, (1) tidak eksak, tapi 1 δM δN (−2 x )−( 0 ) − =−2 x = N δy δx 1

(

)

Merupakan fungsi dari x saja. Kita memperoleh1 (x,y) =

e∫

−2 dx

2

2

=e−x , sebagai

−x faktor pengintegrasi. Dengan mengalikan (1) dengan e . Kita memperoleh: 2

2

2

( 2 xy e−x + x x−x ) dx+ e−x dy

= 0 yang adalah eksak.

Soal Modifikasi: 1. Konversikan y2 dx + xy dy = 0 menjadi persamaan diferensial eksak. Pembahasan : Di sini M (x,y) = y2 dan N (x,y) = xy. Karena ∂M ∂y

= 2y dan

∂N ∂x

=y

Tidak sebanding, (1) tidak eksak. Tapi : 1 M

(

∂M ∂y

-

∂N ∂x

)=

2 y− y y2

=

1 y

−ʃ

Merupakan fungsi dari y saja. Kita memiliki factor pengintegrasi I(x,y) = e −¿ y

= e

( 1y )dy

= 1/y

Dengan mengalikan persamaan diferensial yang diberikan dengan I(x,y) = 1/y, kkta memperoleh persamaan eksak y dx + x dy = 0 Hari / Tanggal / Pukul

: Selasa / 13 Januari 2015 / 21:40

Sumber Buku

: Richard B dan Gabriel B. Costa. 2006. Persamaan Diferensial. Jakarta : Erlangga

Halaman

: 24

Nomor Soal

: 5.2

Soal Asli : 2. Diketahui persamaan dp dan ( δp /δV ¿

T

, jelaskan bagaimana makna fisisnya?

Pembahasan : a. Dp mempunyai makna fisis, perubahan total dari tekanan gas dalam bejana = perubahan parsial tekanan gas karena adanya perubahan volume gas pada proses isotermis + perubahan parsial tekanan gas karena adanya perubahan temperatur pada proses isokhoris. b. ( δp /δV ¿ T mempunyai makna fisis: perubahan parsial tekanan gas karena adanya perubahan volume gas pada proses isotermis. Soal Modifikasi : 2. Diketahui persamaan dV dan ( δp /δV ¿

V.

Jelaskan bagaimana makna fisisnya?

Pembahasan : a. dV mempunyai makna fisis : perubahan volume gas dan dT= perubahan temperatur gas. b. ( δp /δV ¿ V mempunyai makna fisis: perubahan parsial tekan gas karena adanya perubahan temperatur pada proses perubahan isokhoris.

Hari / Tanggal / Pukul

: Rabu / 14 Januari 2015 / 20:55

Sumber Buku

: Richard B dan Gabriel B. Costa. 2006. Persamaan Diferensial. Jakarta : Erlangga

Halaman

: 24

Nomor Soal

: 5.9

Soal Asli : 3. Tentukan persamaan diferensial (2x2t-2x3) dt + (4x3- 6x2t + 2xt2) dx = 0 adalah eksak Pembahasan : Dari variabel t dan x, kita memperoleh : δ ( 2 x 2 t−2 x 3) dt=4 xt−6 x 2= δ (4 x 3−6 x 2 t+2 xt 2) δx δt Sehingga persamaan diferensial ini adalah eksak. Soal Modifikasi : 3. Tentukan apakah persamaan diferensial t( 1 + 2y ) dy + y (1 + y) dt = 0 adalah eksak. Pembahasan : Dari vatiabel t dan y, kita memperoleh : M = t ( 1 + 2y ) dan N = y ( 1 + y ) = ( y + y2 ) ∂M ∂N =( 1+2 y )= ∂t ∂y Adalah persamaan diferensial eksak

Hari / Tanggal / Pukul Sumber Buku

: Kamis / 15 Januari 2015 / 20:30 : Ness H.C. Van dan M.M.Abbott.1994.Termodinamika

Halaman Nomor Soal

Edisi Kedua.Jakarta:Erlangga : 85 : 3.1

Soal Asli :

ε dq

4. Hubungan sifat dasar untuk sel elektronika yaitu : dU t = t dSt – V dpt +

ε emf sel (tegangan sel reversibel ),dan q

dengan Ut, St, dan Vt sifat – sifat total sel,

muatan sel. Tuliskan dampak dan kriteria keeksakan. Pembahasan : Dengan pemeriksaan yang kita peroleh dari : δy δy δy xj , … , Cn= xj, … . , C1= xj Ct = δ x 1 δ xn δ x1

( )

( )

( )

Maka, δT Vt.q t δS

( )

T=

p=

δ Ut t ¿ S .q δVt

δUt t t ε= S .V δQ

( )

Dari persyaratan matematis yaitu: δ Ci δ Ck xj= xj δ Xk δ Xi

( ) ( )

Maka, δT t δp S . q=− Vt.q t t δV δS

( )

( δTδq ) s . v =−( δδεS )V . q

( )

t

t

t

t

( δpδp ) s v =( δδsv ) s . q t

t

t

t

Soal modifikasi : 4. Diketahui dWt = T dXt – Z dPt + ε dq , dengan Wt , Xt , Zt sifat-sifat total sel, ε emf sel (tegangan sel reversibel), dan q muatan sel. Tuliskan dampak dan kriteria keeksakan. Pembahasan : Dengan pemeriksaan kita peroleh dari : ∂Y ∂Y C1 = ∂ X 1 xj ,...., Cn = ∂ X n xj ,...., C1 =

( )

( )

Maka , ∂T ∂W t t ∂W t t t t Z . q P= X . q ε= X Z ∂q ∂ Xt ∂ Zt

( )

T=

( )

Dari persyaratan matematis yaitu : ∂ Cl ∂C k = ∂ X k xj ∂ X l xj

( )

Maka ,

( )

( )

∂Y ∂ X1

( )

xj

( ∂∂ ZT ) X .q=−( ∂∂XP ) Z . q( ∂∂T ) X . Z =( ∂∂Xε ) Z . q( ∂∂P ) X Z =−( ∂∂Zε ) X . q t

t

t

t

t

q

t

t

t

t

t

q

t

t

Hari / Tanggal / Pukul Sumber Buku

: Jum’at / 16 Januari 2015 / 19:35 : Bronson Richard dan Gabriel Costa.2007.Persamaan

Halaman Nomor Soal

Diferensial Edisi Ketiga.Jakarta: Erlangga : 24 : 5.7

Soal Asli : 5. Tentukan apakah persamaan diferensial y2 dt + (2yt+1) dy = 0 adalah eksak. Pembahasan : Ini adalah persamaan untuk fungsi y (t) yang di cari. Dalam suku t dan y , kita

memiliki M(t,y) = y2, N(t,y) = 2 yt +1 dan

∂M ∂ 2 = ( y )=2 y= ∂ ( 2 yt+1 )= ∂ N ∂y ∂ y ∂t ∂t

Sehingga persamaan diferensial ini adalah eksak. Soal Modifikasi : 5. Tentukan apakah persamaan diferensial y4 dt + (2yt + 1) dy = 0 adalah eksak. Pembahasan : Ini adalah persamaan untuk fungsi y (t) yang di cari. Dalam suku t dan y, kita memiliki M(t,y)= y4, N(t,y) = 4 yt + 1 dan ∂M ∂ 4 = ( y ) =4 y= ∂ ( 4 yt +1 )= ∂ N ∂y ∂ y ∂t ∂t Sehingga persamaan diferensial ini adalah eksak.

Hari / Tanggal / Pukul

: Sabtu / 16 Januari 2015 / 20:15

Sumber Buku

: Ness H.C. Van dan M.M.Abbott.1994.Termodinamika Edisi Kedua.Jakarta:Erlangga

Halaman

: 86

Nomor Soal

: 3.2

Soal Asli: 6. Carilah sebuah persamaan yang harus dipenuhi oleh sembarang faktor integrasi I (x,y) untuk pernyataan diferensial tidak eksak : ∂ z=M ( x , y ) dx + N ( x , y ) dy Jawab : I ∂ z=1 M dx +1 N dy

menjadi eksak,

∂(1 M ) ∂ (1 N ) = ∂y ∂x Ekspansi menurut aturan perkalian dan penyusunan ulang memberikan persamaan diferensial yang dicari untuk I : ∂I ∂I N −M ∂x ∂y

( ∂∂My − ∂∂Nx ) I

Soal Modifikasi 6. Carilah sebuah persamaan yang harus dipenuhi oleh sembarang faktor integrasi I (x,y) untuk pernyataan diferensial tidak eksak : I ∂ z=1 M dx +1 N dy menjadi eksak, ∂(1 M ) ∂ (1 N ) = ∂y ∂x Ekspansi menurut aturan perkalian dan penyusunan ulang memberikan persamaan diferensial yang dicari untuk I : ∂I ∂ I ∂ M ∂N N −M − I ∂x ∂ y ∂ y ∂x

(

)

Hari / Tanggal / Pukul

: Minggu / 18 Januari 2015 / 16:53

Sumber Buku

: Richard B dan Gabriel B. Costa. 2006. Persamaan Diferensial. Jakarta : Erlangga

Halaman

: 23

Nomor Soal

: 5.3

Soal Asli : 7. Tentukan apakah persamaan diferensial y dx – x dy = 0 adalah eksak. Pembahasan : Dengan M(x,y) = y dan N(x,y) = -x. Di sini ∂M ∂y

∂N ∂x

= 1 dan

= -1

Yang nilainya tidak sama, sehingga persamaan diferensial dalam bentuk yang diberikan ini tidak eksak. Soal Modifikasi : 7. Tentukan apakah persamaan diferensial –y dx + x dy = 0 adalah eksak. Pembahasan : Dengan M(x,y) = -y dan N(x,y) = x. Di sini ∂M ∂y

= -1 dan

∂N ∂x

=1

Yang nilainya tidak sama, sehingga persamaan diferensial dalam bentuk yang diberikan ini tidak eksak.