diferencijalne spuki

odnosno

Odavde primenom

Poglavlje 3a

tj.

(2)

ZADACI IZ DIFERENCIJALNIH JEDNACINA

pri cemu je C proizvoljna Dobijena jednaeina Ako se pritom jedDI naei inverzna funkcija G-

Cime resenje date diferenc:i

Zadatak 1. 1l

Pod diferencijalnom jednaeinom n-tog reda (n EN), podrazumevamo bilo koju jednaeinu oblika

(1)

F(x, y, yl, ... , y(n») = 0,

pri cemu je nepoznata funkcija y = y(x) n-puta diferencijabilna na nekom intervalu (a, b). Reiiiti ovakvu diferencijalnu jednaeinu znaei naei bilo kakvu funkciju y = y(x) koja je identicki zadovo­ Ijava. Broj n se tada naziva redom date diferencijalne jednaeine. Tako postoje diferencijalne jednaeine prvog, drugog, treeeg reda itd. U nastavku resavaeemo neke jednostavnije tipove diferencijalnih jednaeina i to pre svega diferencijalne jednaeine prvog reda koje osim promenljive x i nepoznate funkcije y = y(x) sadrze jos sarno prvi izvod y'(X) nepoznate funkcije y(x). Dakle to su jednaeine oblika

F(x, y, y')

= o.

i naci njeno partikular

Resenje. Ova di

pn cemu je f(x) = jednacinu kaja razdvaj Aka datu jednaei

1. Diferencijalna jednacina koja razdvaja promenljive integracijam leve i desr Pod diferencijalnom jednaeinom koja razdvaja promenljive podrazumevamo bilo koju jednaeinu oblika

(1)

y'

=

f(x-)g(V),

pri cemu je f(x) data neprekidna funkcija na nekorn intervalu (a,b) i g(y) je data neprekidna funkcija na nekom intervalu (c, d). Ovakva diferencijalna jednaeina pod pretpostavkom da je g(y) i' 0 na intervalu (c, d) moze se napisati u obliku

dy

d; = f(x)g(y), -152­

tj.

3. DIFERENCI.JALNE JEDNACINE

odnosno

153

dy = f(x)dx. g(y)

-

Odavde prirnenom integracije dobijamo da je

!~ g(y)

= !f(x)dx,

tj.

(2)

C(y)

=

+ C.

F(x)

pri cemu je C proizvoljna realna kOllstanta. Dobijena jednaeina (2) definise opste reiienje jednaeine (1) u implicitnom obliku. Ako se pritom jednaeina (2) moze eksplicitno reiiiti po y, tj. ako se iz nje eksplicitno moze naii inverzna funkcija C- l , dobijarno da je y = C-I(F(x)

+ C),

Cime resenje date diferencijalne jednaeine dobijamo u eksplicitnom obliku.

Zadatak 1.

inu

Resiti diferencijalnu jednacinu

, y y = --, X

siti

i naci njeno partikularno rdenje koje zadovoljava uslov y(l) = 2.

YO-

Resenje. Ova diferencijalna jednaCina moze se napisati u obliku

me

y' =

ega

-~y =

f(x)g(y),

X

IrZe

pn cemu je f(x) = -l/x; g(y) = y, pa oCigledno predstavlja diferencijalnu jednaCinu koja razdvaja promenljive. Ako datu jednaeinu napisemo u obliku: dy

1

X

X

.

-d = --y, tJ.

dy

dx

Y

X

integracijom leve i desne strane dobijamo da je

J -J

oju

dy = Y

dna l je

dX, .7:

tj.

lnlyl = -In Ixl + c,

Iyl = e- 1n jxl+C = eln Th+ c =

= c CC lll

I;',

=

_C(~\_C~ -

1

~ [xi) -

IX!

,C\

;>

0).

154

PREDAVANJA I VEZBE IZ MATEMATIKE 2

odnosno

C y= ­ (CyfO,xyfO). X

Kakoje Y = 0 takodje resenje ove jednatine, dobijamo sa je opste resenje posmatrane jednaCine y = C /x za proizvoljnu konstantu C E R i za svako x ;;eO. Iz ovog opsteg resenja date diferellcijalne jedllatine i iz uslova da je y(l) =,2, dobijamo da jc C = 2, pa traicno partikularuo resenjc date difcrencijaillc jcdnatillc glasi: 2 Yo(x) = -. x

patakodje Aka I

neposredIw

Zadatak 2. Resiti diferencijalnu jednacinu

tj.

Resenje. Data diferencijalna jednatina se moze napisati u obliku

Kako (1)

odnosno dy dx

dobijamo d

(y+ 1)2'

pa oCigledno predstavlja diferencijalnu jednaCinu koja razdvaja promenljive, pri cemu je 1

g(y) = (y + 1)2 Iz jednatine (1) integracijom nalazimo da je

j(Y+ 1)2dy = - j x 3 dx, Odav(

(y+ 1)3 3 =

(y + 1) y

3

+1=

Y = -1

x4

-4+ C , 3

3x

4

4

= -4 x + 3C = -4 + C I ,

(-3x 4 /4

+ (C -

+ C)I/3,

3x4 /4)1/3

(C

E

R).

Zadatak 3. Resiti diferencijalnu jednacinu ~

ydx

+ (x 2 -

4x) dy =

o.

Pod bo jfJdnKinu obIi (1)

155

3. DIFERENCIJALNE JEDNACINE

ReSenje. Data diferencijalna jednaeina moze se napisati u obliku

(x 2 - 4x) dy = -yd3J, dy _ Y / dx - - x 2 - 4x' /

je

I.

2. it'

pa takodje predstavIja diferencijalnu jednaeinu koja razdvaja promenIjive. Ako ovu jednaeinu napisemo u obliku

dy

dx x 2 - 4x'

Y

neposredno nalazimo da je

J

dy 11 =-

J

dx J dx x 2 - 4x = x(x - 4)'

tj. In Iyl

=-

J

dx

( )" xx-4

Kako je daIje 1

x - (x - 4)

x(x - 4)

4x(x - 4)

1

1

1

-----

4x-44x'

dobijamo da je In Iyl

)ri

= - -IJ -dx- + -IJdX - = 4

x-4

1

x

41 + -Inlxl 4

= --Inlx -

4

=

4 1

=

1 x -Inl-I +c= 4 x-4

Ixl ) 1/4

= In ( Ix _ 41

+ c.

Odavde najzad dobijamo da je

Iyl = C1

Vl xl: 141'

y=C2V1x:41

(C 1 > 0),

(x#4,

C2 E R).

2. Homogena diferencijalna jednaCina Pod homogenom diferencijalnom jednaeinom podrazumevamo bilo koju diferencijalnu jednatinu oblika (1)

y'

= !(x,y),

156

PREDAVANJA 1 VEZBE 12 MATEMATIKE 2

pri cemu je f(x, y) homogena funkcija stepena k (k E No), tj. ima osobinu

P, vaja pl'l

f(tx, ty) = t k f(x, y). Svaka takva jednaeina se uvodjenjem smene y = xz, pri cemu je z = z(x) = y/x nova nepoznata funkcija, svodi na diferencijalnu jednaeinu koja razdvaja promenljive (sa nepoznatom

odakle j

funkcijom z(x».

Zadatak 4. Rditi dijerencijalnu jednacinu (2x

Resenje. Data

+ 3y) dx + (y -

difcrenc~jalnajednaNna

K :.1:) dy = O.

se maze napisati u oblikll

pri Cem 2x + 3y y-x

dy dx odnosno

dobij3111

y' = j(x, y), pri cemu je j(x, y) = 2x + 3y. x-y Kako je pritom funkcija j(x, y) homogena funkcija stepena 0 jer je _ 2tx + 3ty. -_. _ 2x + 3y _ 0j( - t x, Y ) , j(tx, ty ) tx - ty x - Y data diferencijalna jednaeina predstavlja homogenll diferencijalnu jednaCinu. Ako sOOa uvedemo smenu y = xz, dobijamo da je y'

= (xz)' = z + xz',

odaklc zamenom u datoj jednaCini oua postaje , 2x + 3xz 2 + 3z z+xz= =---, x - xz 1- z , 2 + 3z - z + z2 + 2 + 3z xz = -z + - - - = - - - - - - ­

1-z

, Z2 + 2z + 2 xz - - - - - ­

-

odnosno

l--;z

1-z

'

, 1 z2 + 2z + 2 z =-----­ x 1- z

ij.

157

3. DIFERENCIJALNE JEDNACINE

Poslednja jednaeina oCigledno predstavlja diferencijalnu jednaeinu koja razd­ vaja promenljive. Ona se moze napisati u obliku 1- z

+ 2z + 2

z2

odakle je integracijom

dz _ dx - x'

1-z d JdX J z2 + 2z + 2 z ~. =

Kako je daljc

1-z

Z2

pri cemu je t = z

+ 2z + 2

2­

(z + 1)

(z

+ 1)2 + 1

2-t

t2

+ l'

+ 1, i pritom je 2-t t2 + 1

2

t

t 2 + 1 - t 2 + l'

dobijamo da je integral sa leve strane poslednje jednaeine jednak

J

1

= 2arctgt - 2ln (t 2 + 1) = = 2arctg (z

1

+ 1) - 2"ln ((z + 1)2 + 1).

Odavde dobijarno da jednaCina po z postaje 2arctg (z

+ 1) - ~ln ((z + 1)2 + 1)

= lnx

+ C (C E R),

tj. 2arctg (~+ 1) - ~ln x 2

((~x + 1)2 + 1)

= lnx + C

(C E R).

Zadatak 5. Resiti diferencijalnu jednacinu

(x - y)ydx - x 2 dy = O.

Resenje. Data diferencijalna jednaCina se moze napisati u ohliku x 2 dy = (x - y)ydx,

tj. dy (x-y)y = dx x2

158

PREDAVANJA I VEZBE IZ MATEMATIKE 2

Za

Kako funkcija

f( x,y )

=(X-y)y 2

X

ima osobinu da je

R.e

- (tx - ty)ty _ f( tx, ty ) (tX)2 ­ (X - y)y

t 2(x - y)y t 2x 2 x2 = f(x,y) (t =I- 0), zakljucujemo da je f(x,y) homogena funkcija stepena 0, pa data diferencijalna jednacina predstavlja homogenu diferencijalnu jednaCinu. Ako sada uvedcmo smcnu y = XZ, dobijamo da je y' = Z + xz', pa zamcnom u oatoj jeonaCini ova jeonaCina postaje

, (x - xz)xz z + xz = = (1 - z)z = x 2

= Z - z2,

tj.

Kal

hOfiogeDJ

stavlja hL daje y' =

tj.

odnosno

1

dz

-=--z dx x

2

Poslednja jednaeina predstavlja diferencijalnu jednacinu koja razdvaja pro­ menljive. Iz ove jednaCine dobijamo redom da je dz

dx

Z2

X

J -J =

dz

z2

pa integrl

dX, X

1

-- = -lnlxl + C, z

1 - = lnlxl

z

Z=

+ C1 ,

(C1 E R),

1 In Ixl

+ CJ

.

Stat

Odavde konaeno dobijamo da je y

= xz =

x In Ixl + C

(C E R).

pri refiu,

159

3. DlFERENCIJALNE JEDNACINE

Zadatak 6. Resiti diferencijalnu jednacinu

Vx 2 + y2 dx.

=

x dy - y dx

Resenje. Ova diferencijalna jednaeina moze se napisati u obliku x

:~

= y + Vx 2 + y2,

tj. y'

=

y

+ J x 2 + y2 X

Kako se daIje neposredno moze videti da je fnnkcija =y+vx2+y2 , x homogena funkcija o-tog stepena, data diferencijalna jednaeina takodje pred­ stavIja homogenu diferencijalnu jednaeinu. Ako uvedemo smenu y = xz, dobijamo da je y' = z + xz', pa zamenom n datoj jednaeini dobijamo jednacinn

f( x,y )

Z + xz

,

xz

+ v'x 2 + x 2Z2

= ------­ x

=xz+x~ =z+~. x

Odavde je

xz'=~, xdz - = ~ 1 + z2 dx ' dz dx v'1 + Z2 x pa integracijom dobijamo In (z

+ ~) = In Ixl + c,

= elnlxl+C = C1 1xl, C 1 1xl - z.

z +)1 + Z2

VI + z2 =

(C 1 > 0),

Odavde kvadriranjem nalazimo da je

1 + Z2 = (C 1x - Z)2

2C1xz

= C~X2 -

1,

= C~X2 - 2C1xz + Z2, z

=

C 2 X 2 -1 1

2C1x

' .

Stoga neposredno sledi da je opste resenje date diferencijalne jednaeine: y

=

xz(x)

=

C2 x 2 -1 1 ' 2C1

pri cemu je C 1 proizvoIjna realna konstanta.

160

PREDAVANJA I VEZBE IZ MATEMATIKE 2

3. Linearna diferencijalna jednaCina prvog reda

Za

Pod linearnom diferencijalnom jednacinom prvog reda podrazumevamo bilo koju diferen­ cijalnu jednaCinu oblika

(1)

y'

Be

+ p(x)y = q(x),

Cemu

SU 1

pri cemu su funkcije p(x), q(x) definisane i neprekidne na nekom intervalu (a,b). Ako uvcdcmo funkcije

u(x) =e-fp(xldx, vex)

=

!cfp(;CldXq(x)dx

=!

q(x) dx, u(x)

KaI

tada je opste resenje ove diferencijalne jednaCine dato sa

y(x) = u(x)[C + vex)], pri (,emu je C proizvoljna realna konstanta.

Zadatak 7. Re§iti diferencijalnu jednacinu

y' - (tgx) Y = cosx.

Resenje. Data diferencijalna jednaCina je ocigledno linearna diferencijalna jednaCina prvog reda pri cemu je

u(x) = e===

Sinxdx

ef

= eftgxdx =

fp(x)dx cos x

== e _fd(.C08:r) cos x == 1 , cosx

v(x)

= = =

f ~~~~ f f f f + f COS~XdX dx

=

2

cos x dx

(cos x) cosx dx

=

1+COS2X 2 dx

=

=

d;'

x

=

sin2x

= '2+ -4-' Odavde dobijamo da jc opste rcsenje date diferencijalne jednaCine: _

1 cos x

f(C +-+--, x sin 2X)

yx ( ) ---

pri cemu je C proizvoljna realna konstanta.

2

4

161

3. DIFERENCIJALNE JEDNACINE

Zadatak 8. Resiti diferencijalnu jednacinu

,

1

y

= + x.

Y - 1- x 2

Resenje. Ova diferencijalna jednaeina je takodje linearna i prvog reda, pri cemu su njeni koeficijenti 1

1

p(x) = --1--2 = -2--1' -x

q(x) = x

x-

+ l.

Stoga je

u(x)

=

c-

fp(x)dx =

c f 1~:2.

Kako je daIje

l+x+(I-x) 2(1 - x 2 )

1 1- x 2

1

1

2(1 - x)

=

+ -=-2("-'-I-+-x--'-) '

dobijamo da je

dX IjdX j 1 - x2 = 2 1 - x

IjdX

1 + x =

+2

1

= In .JT=X + In vT+X = I-x

=InJl+X. I-x Odavdc jc

/fg+x 1l(x) = CInJ'+x I-x = --. I-x DaIje je:

v(x) =

j

q(X)dX u x

-(-)- =

j~-X --(1 + x) dx = 1 +x

= j VI=XvT+Xdx= j

~dx.

Kako je sada podintegralna funkcija definisalla samo za vrednosti mozemo da llvedcmo smenu x = sin t, hme dobijamo sIcdece:

j

~dx =

j

Vl- sin

2

t costdt =

= j (cos t)(cos t) dt = j 1 + ~os 2t dt t

=

=

=

j cos 2 t dt =

j ~t

sin 2t

2+-4-

=

arcsin x

sin t cos t

2

2

---+---­ =

arcsin x 2

+

x~ 2 .

+j

cos ~t dt =

Ixl <

1

162

PREDAVANJA I VEZBE IZ MATEMATIKE 2

Odavde sledi da je resenje date diferencijalne jednacine

y(x) = u(x)(C + v(x)) = =

J

1 + x (C I-x

+

I

xv'f=X2 2

+

arcsin 2

.T)

~

'

pri cemu je C proizvoljna realna konstanta.

Zadatak 9. Nab opste resenje diferencijo,lne jednacine y'

X

+y -

eX =

0,

kao i parlikulamo rdenje koje zadovoljava uslov y(l)

=

1.

Resenje. Kako se data diferencijalna jednaCina moze napisati u obliku y

,

I

ex

x

x

+ -y=-,

ona je ocigledno linearna diferencijalna jednacina prvog reda, pri cemu je eX

1

q(x) = - . x

p(x) = -, x Odavde je:

u(x)

=e-!p(x)dx =e-!~dx =

= e -In X = e 1n

I

v(x)=.

~

=

I

q(x) u(x)dx=.

~,

I

X

eX

x-;;dx=.

eXdx=e

pa je opste reSenje date diferencijalne jednaCine:

y(x) =u(x)[C+v(x)] =

~[C+eX].

x

Najzad iz uslova da je y(l) = 1 dobijamo da je

C

+e =

pa je traZeno partikularno resenje

1,

C

=1-

e,

x ,

163

3. DIFERENCIJALNE JEDNACINE

4. Bernulijeva diferencijalna jednaCina Pod Bernulijevom difercncijalnotl\ jedml.i;iuotl\ podrazunwvamo bilo koju diferencijalnu jcdnaCinu oblika y' + p(x) y = q(x) y"', pri cemu su p(x), q(x) date neprekidne funkcije na nekom intervalu (a,b) i Q # 0; 1 (broj Q nije jednak ni 0 niti 1). Ova diferencijalna jednacina se svodi na linearnu diferencijalnu jednacinu prvog reda smenom 1 Z T"=""0 = Q + i ,8 ({3 # 0) kompleksan koren jedna6ne (2) algebarske visestrukosti m, onda je odgovarajuCi deo fundamentalnog sistema reSenja formiran od funkcija e"'''' cos{3x,

e"'''' sin{3x,

xe"'''' cos{3x,

xe"'''' sin{3x, ... ,

x

m

-

1

ReSenje. 4 'jalna jednaCil karakteristiCm

e"'''' cos{3x,

xm-1e"'''' sin{3x. Opste resenje jednaeine (1) dobija se onda kao linearna kombinacija funkcija iz fundalllen­ talnog sistema resenja imajucu u vidu sve korene karaketristicne jednaeine (2).

Zadatak 22. Naci opste resenje diferencijalne jednacine y" + y' - 2 y

= O.

Resenje. Data difcrcllcijalna jedllaCilla jc oeigledno hOlllogclla lillearna diferencijalna jednaeina drugog reda sa konstantnim koeficijentima. Njcna odgova­ rajuca karakteristicna jednacina glasi:

>.2 + >. _ 2 = 0,

Iii-

A2

= -4. Oda Stoga je od.t! {cos 2%, sin 2:

Zadatak

3. DIFERENCIJALNE JEDNACINE

175

odnosno (A + 2)(A - 1) = O. Kako su resenja karakteristicne jednaCine Al = -2, A2 = 1, dakle re­ alna i razliCita, odgovarajuci fundamenatlni sistem resenja date jednacine bice {e- 2x , eX}, a odgovarajuce opste resenje

() C Ie -2x yx=

x + C2C,

. pri cemu su C 1 ,C2 proizvoljne realne konstante.

Zadatak 23.

Naci opste resenje diferencijalne jednacine y" - 6y'

+ 9y = O.

Resenje. I ova diferencijalna jednaCina je hOlllogena linearna diferencijalna jednacina drugog reda sa konstalltnilll kodicijentillla. Njena odgovarajuca karak­ teristicna jednacina glasi A2 - 6A + 9 = 0, odnosno (A - 3)2 = O. Stoga su resenja ove karakteristicne jednaCinc Al = A2 = 3, dakle realna i jednaka. Odavde sledi da je odgovarajuCi fundamentalni sistem resenja {e 3x , x e 3x }, a opste resenje date jcdnacine

Zadatak 24.

Nati opste rcSenje difeTencijalnc jcdna(:inc y"

+ 4y =

O.

Resenje. Ova diferencijalna jedllaCina je takodje homogcna linearna difer­ encijalna jednaCina drugog reda sa konstantnim koeficijentima. Njcna odgovaraju­ ca karakteristicna jednacina glasi:

tj. A2 = -4. Odavde je Al = 2i, A2 = -2i. Stoga je odgovarajuci fundamentalni sistem resenja date diferencijalne jP'l!u­ cine {cos 2x, sin 2x}, pa je opstc resenje date difl~ren('ijalne jednaCine

Zadatak 25.

Naci opste 'T-eSenJc ddcr-eru:ijalne jcdna(:inc y" ~ 2y'

+ 2y =

O.

I

176

PREDAVANJA I VEZBE IZ MATEMATIKE 2

Resenje. I ova diferencijalna jednaeina je oCigledno homogena linearna diferencijalna jednacina drugog reda sa konstantnim koeficijentima. Njena odgo­ varajuca karakteristicna jednacina glasi:

prif pa su njcna resenja A1,2 = 1 ± i. Stoga je a = 1, f3 = 1, pa je odgovarajuCi fundamentalni sistem reSenja {eX cos x, eX sin x}, a opste rescllje date jednaCiue: y = C 1 eX cos x

+ C 2 eX sin x

= eX (C 1 cos X

+ C2

sin x)

Zadatak 26. NaCi opste nosenje difer'encijalne jednacine

y'" - 2y" - 3y' =

o.

tj. A

funru Resenje. Odgovarajuca karakteristicna jednaCina glasi

aopS

odnosno A (A 2 - 2A - 3) = 0, tj. A(A - 3)(A + 1) = 0. Odavde je Al = -1, A2 = 0, A3 = 3. Kako su sva tri resenja ove jednaCine realna i razlihta, odgovarajuCi fundamentalni sistem resenja glasife:

a opste resenje date diferencijalne jednaCine

Zadatak 27. Naci opste resenje diferencijalne jednacine ylll

+ 2y" + y' = 0.

Resenje. Karakteristicna jednaCina date diferencijalne jednaeine glasi:

tj. A(A 2 + 2A + 1) = 0, tj. A(A + 1)2 = O. Odavde je Al odgovarajuCi fllndamentalni sistem resenja e -X ,

= A2 = -1 i A3 = 0, paje

I

177

3. DIFERENCIJALNE JEDNACINE

Stoga je opste resenje date diferencijalne jednacine:

pri i'pmu su C 1 , C 2 , C3 proizvoljne realne kOllstante.

jOCi

Zadatak 28. Naci opste resenje diferencijalne jednacine

inc:

yl1l

+ 4 y" + 13 y'

=

o.

Resenje. Odgovarajub:t karakteristicna jednai':iua glasi:

tj. ,\ (,\2 + 4,\ + 13) = 0, odakle je '\1 = 0, '\2,3 fundamentalni sistem resenja ove jednaCine {1,

e ~ 2x cos 3x,

e-

= -2 ± 3i. 2x

Stoga je odgovarajuci

sin 3x} ,

a opste resenje date jednaCine:

= 0, jufi

Zadatak 29. Nafi aplite resenje diferenriJalne jednarine

yiV

+ 4 yl1l + 8y" + 8y' + 4y = o.

Resenje. Karakteristicna jednai'ina date diferencijalne jednaCinc glasi:

odnosno (,\2 + 2,\ Odavde je

+ 2)2

=

o.

'\1 ='\2 = -1

+ i,

'\3 ='\4 = -1 - i.

Stoga je a + i (3 = -1 + i dvostruki kompleksan koren karakteristicne jedna­ Cine, pa je opste resenje ove jednacine:

>a je

pri cemu su C 1 , C 2 , C3 , C4 proizvoljne realne konstante.

Zadatak 30. Naci opste resenje diferenrijalne jednacine

yV _ 2 y iv

+ 2y

lll _

4y"

+ y' - 2y = o.

178

PREDAVANJA I VEZBE IZ MATEMATIKE 2

OdavdE

Resenje. Odgovarajuca karakteristicna jednaCina glasi:

A5 - 2A 4 + 2A 3 - 4A 2 + A - 2 (A -- 2)(A 4 + 2A 2 + 1) = 0,

(A - 2)(A 2 + 1)2 Odavdc jc Al = 2, A2 difercllcijallle jedlla(;iue:

y = Cl c

2x

Zadatak 31.

+ C2

= A3 =

=

I"eSenje = 0,

O.

i, A4

cosx + C:~ sin x

10. 1

= A5

-1"

pa je opste resellje date

+ x(C4 cosx + C 5

sin x),

Naci opgte 1denje diferencijalne jednacine

yll/ - 3y" + 3y' - y

= 0,

kao i paTiikularno resenje Yo koje zadovoljava Kosijeve uslove

y(O) = 1,

y'(O) = 2,

y"(O) = 3.

Resenje. Karakteristiclla jednacilla date diferencijalne jedllacine glasi:

- 3A 2 + 3A - 1 = 0, (A - 1)(A 2 - 2A + 1) = 0,

A:~

(A _l)a = 0, odaklc jc Al

= A2 =

A:~

=

1. Stoga je opste wsellje date diferellcijallle jedlla(;ille

pri cemu su C l , C 2 , C 3 proizvoljne realne konstante. Odavde diferenciranjem dobijamo da je

+ C 2 eX + C 2xe x + 2C3 xe x + C 3x 2ex = [C l + C 2 + (C2 + 2C3 )x + C:3x 2 Je x , [C2 + 2C3 + 2C3 xJe x + [C 1 + C 2 + (C2 + 2C3 )x + C 3 X 2]eX [C l + 2C2 + 2C3 + (C2 + 4C3 )x + C 3 x 2Je x .

y' = C l eX =

y" = =

Ako sada iskoristimo uslove da je b(O) daje

=

1, y'(O)

=

2, y"(O)

=

=

3, dobijamo

179

3. DIFERENCIJALNE JEDNACINE

1, C 3 = 0, pa je trazeno partikularno

Odavde nalazimo da je C I resenje

10. Nehomogena linearna diferencijalna jednaCina sa konstantnim koeficijentima Pod nehomogenom linearnolll diferencijalnom jednacinom n-tog reda sa konstantnim ko­ eficijentima podrazumevamo bilo koju diferencijalnu jednafinu oblika

(1)

yen)

+ aI

yen-I)

+ ... + anY =

j(x),

pri cemu su koeficijenti f11, . .. , an dati realui brojevi i funkcija j(x) nije identicki jednaka nuh ua posmatrauolll intervalu (a, b). Resavanje ovakve diferencijalne jednacine je veoma te,mo povezano sa reSavanjem odgo­ varajuce homogene linearne diferencijalne jednaCine

(2)

yen)

+ al

y(n-l)

+ ... + anY =

O.

Posehno, pod karakteristicnom jednai:inom diferencijalne jednacine (1) podrazumevamo odgovarjucu karakteristicnu jednai:inu diferencijalne jednaeine (2). Dakle joona(-inu An

+ aIA,,-1 + ... + an

= O.

Kao najvazniji korak u resavanju jednacine (1) pokazuje se da je. ako mozcmo da (· resenj(' jcdnaCine (1) dato sa Y = YH -1- Yo-

Partikularno resenjc jednadne (1) moze se odrooiti u nekim posehnim sIui":ajcvima koji s," odnose na funkciju j(;c). Naprimcr, ako funkcija j(.T) ima oblik

(*)

j(x) = e Ox [Pm (:1:) cos{3x

pri remu je Pm(x) polinom stepena m (m je '"Y = Q + i 13, razlikujemo dva sIucaja.

+ Qn(:D)

2: 0) i Qn(x)

siuiJx],

polinom stepena n (n

2: 0).

Tlda, ako

(10). Ako kompleksan broj '"Y nije reSenje karakteristicne jednafine homogene jednahne

(2), tada partikularno reSenje Yo trazimo u ohliku:

pri cemu su Rl(X), 51 (x) polinomi stepena I

= max{m, n}

.

(2°). Ako kompleksau broj ') jeste resenje karakteristicne jednacine odgovarajure hOlllo-, gene jednaeine algebarske visestrukosti 8 (82: 1), tada partikularno reSenje Yo trazimo 11 obliku

Pritom koeficijentc polinoma R l , 51 odredjujemo iz pretpostavke da je Yo partikularno reSenje date diferencijalne jednaeine.

180

PREDAVANJA I VEZBE IZ MATEMATIKE 2

Zadatak 32. Naci opste resenje diferencijalne jednacine y"' - y"

+ y' -

+ x.

Y = x2

Resenje. Karakteristifna jednaCina date difcreacijalne jcdnaCinc glasi:

R.eil jednatine

tj. (A - 1)(A 2 + 1) = O. Odavde je Al odgovarajuce hOlllogene jednaCine:

Kako je f(x)

= 1, A2,3 = ±i. Stoga je opste resenje

= x 2 + x, funkcija f(x) je oblika (*) pri cemu je 0:

= (3 =

0,

'I

=

0:

+ i(3 = 0,

n = 2.

Kako pritolll broj 'I = 0 nije resenje karakteristicne jednacine, partikularno resenje yo(x) date nehomogene jednaCine trazimo u obliku

pri remu

Sll

ao, aI, a2 7.a sada neodwdjeni kocficijenti. Odavde je Yo' = 2aox + aI,

YOIll == 0,

yO" = 2ao,

pa zamenom u datu diferencijalnu jednaCinu dobijamo

Drugim reCima dobijamo da je

Odavdc i7.jednaravanjcm koeficijenata dobijamo jednaCinc:

-ao = 1,

2ao - al = 1,

-2ao

+ al

-

a2 = 0,

tj. ao = -1, al = -3, a2 = -1. Stoga je

Yo = _x 2 - 3x - 1, pa je opste resenje date nehomogene d{ferencijalne jednacine:

y

= YH + Yo

=

C 1 eX

+ C2

cos X

+ C3 sin x -

x2

-

3x - 1.

njeni kOmi homogene I

Kallo

Kako je hi traZimo u (

3. DIFERENCIJALNE JEDNACINE

181

Zadatak 33. Naci opste resenje diferencijalne jednacine

ylll - y" = 12 x 2 + 6x.

Resenje. Kako je odgovarajuca karakteristiclla jedllacilla date diferellcijalne jednaeine njeni koreni su Al = A2 = 0 i A3 homogene diferellcijalne jednaeine

=

Stoga je opste resellje odgovarajuce

1.

Kako je dalje funkcija f(x) = 12x 2 + 6x, dobijamo da je a = (3 = 0, 'Y = o. Kako je broj 'Y = 0 dvostruko resenje karakteristicne jednaCine, funkciju yo(x) trazimo u obliku

Odavde je

Yo'

= 4aox3 + 3a1x2 + 2a2x, Yo" = 12aox2 + 6a1x + 2a2,

YOIll

=

24aox + 6a1,

pa zamenom u datoj diferencijalnoj jedllahni dobijamo da je

+ 6a1) - (12aox:.! + 6a1x + 2a2) = 12x 2 + 6x, I2aox2 + 6(4ao - adx + 6a1 - 2a2 = I2x 2 + 6x.

(24aox -

Odavde nalazimo da jc

-I2ao = 12,

= 1,

4ao - a1

6al - 2a2 = 0,

odnosno

ao = -1,

a1 = -5,

a2 = -15.

Stoga je

Yo

=

x 2 ( ~X2

-

5x - 15),

pa je opste resenje date nehomogene jedllfthllf'

Zadatak 34. Naci opste resenje diferencijalne jednacine

182

PREDAVANJA I VEZBE IZ MATEMATIKE 2

Resenje. Karakteristicna jednaCina date diferencijalne jednaCine glasi:

A2 odakle je Al jednaCine:

-1.

odakle je Al

=

+ A = A(A + 1) = 0, Stoga je opste resenje odgovarajuce homogene

Kako jc j(x) = 4x 2 e dobijamo da jc a = 1, fJ = 0, 'Y = 0: + i fJ = 1. Kako daljc komplcksan broj 'Y = 1 llije koren odgovarajucc karakteristicllC jedllaCinc, partikularno resenje yo(x) trazimo 11 obliku:

Kako je. dalje broj 'Y = . rcsenje Yo date

Odavde sI

Yo' Odavde diferenciranjem llalazimo da je

Zamenom

= (2aox + ad eX + (aox 2 + alx + 0,2) eX = = [aox 2 + (0,1 + 2ao)x + 0,1 + 0,2] e Yo" = [2aox + 0,1 + 20,0] eX + [aox 2 + (0,1 + 2ao)x + 0,1 + 0,2] eX = = [aox 2 + (0,1 + 4ao)x + 20,0 + 20,1 + 0,2] eX, Yo'

T

,

pa zamenOlIl u datoj difewncijalnoj jcdnaCini, posle skracivallja sa da jc 2aox2 + (60,0 + 2adx + 20,0 + 30,1 + 20,2 = 4x 2.

e,

odakle je B jedniltine:

=:

dobijamo

Zadatal

Odavde izjednacavanjem koeficijenata sledi da je

20,0 odakle je 0,0

= 4,

60,0

+ 20,1

= 0,

20,0

+ 30,1 + 20,2 = 0,

= 2, 0,1 = -6, 0,2 = 7. Stoga je Yo = (2x 2

-

6x

+ 7) eX, Odavde je

pa je opste resenje date diferencijalne jednaCine

Zadatak 35. Naci opste rdenje dijerencijalne jednacine

y"

Kakoje !( ·.,=l+inije" . ahIiku

+ lOy' + 25y = 4e- 5x .

Resenje. Karakteristicna jednaCina date diferencijalne jednaeine glasi

A2

~1 =

+ lOA + 25 = 0,

(A

+ 5)2 = 0,

Am . . . . ........ PA._

L::...~.~

3. DIFERENCIJALNE JEDNACINE

odakle je >'1

183

= >'2 = -5. Stoga je

Kako je f(x) = 4e- 5x dobijamo da je a = ~5, (3 = 0, -y = ~5. Kako je daljc broj -y = -fi koren karakteristicne jedna6ne visestrukosti s = 2, partikularno resenje Yo date diferencijalne jednacine trazimo U oblikll

Ie,

Odavde sledi da je

Zamenom u datoj jednafini sledi da je

odakle je B jednlj.Cine:

= 2,

dakle Yo

= 2x 2 e- 5x .

Stoga je opste reSenje date diferencijalne

no

Zadatak 36.

NaCi opste 'T'!'senje diferencijalne jednacine

y" .- 6y' + 9y = 25 eX sin x.

Resenje. Karakteristicna jednaCina date diferencijalne jednaCine glasi:

>.2 _ 6>' + 9 = 0,

(>' - 3)2 = 0.

Odavde je >'1 = >'2 = 3, pa je

Kako je f(x) = 25 eX sinx, sledi da je 0: = 1, (3 = 1, -y = 1 + i. Kako pritom -y = 1 + i nije koren karakteristicne jeduaCine, partikularuo rescllje Yo tra~il1l() u obliku Yo = eX(a cos x + b sin:r). Ako sada nadjemo Yo', Yo" i zamenimo u datoj diferencijalnoj jednaCini, do­ bijamo jednacinu

(3a - 4b) cos x

+ (4a+ 3b)

sinx = 25 sinx.

184

PREDAVANJA I VEZBE IZ MATEMATIKE 2

Odavde nalazimo

U

3a - 4b

= 0,

4a

OVOII

~

konstantnim

+ 3b = 25,

Nepozn

dakle a = 4, b jednacine:

3.

Stoga je traieno partikularno relienje date diferencijalne

Zada Yo = eX (4 cos x

+ 3 sin x) ,

nih jednacir.

i oplite resenje posmatrane diferencijalne jednaeine

Zadatak 37.

Naci opste resenje diferencijalne jednacine

y"

+ 2y' + 5y =

(a)

x

(b)

x

(c)

x

ReSeD

e- X cos 2x.

Resenje. Karakteristicna jednaCina date diferencijalne jednaeine glasi:

Odgovarajuc

>.2 + 2>' + 5 = 0, pa su njeni koreni

>'1,2 =

-1

± 2i.

Stoga je

i ima reilenja Za >. = linearnih jedJ

Kako je dalje f(x) = e- x cos2x, sledi da je a = -1, (3 = 2, 'Y = -1 + 2i. Kako je 'Y koren karakteristicne jednaCine visestrukosti s = 1, partikularno reSenje yo(x) traiimo u obliku Yo

= xe-X(A cos 2x + B sin 2x).

Ako sada nadjemo Yo', Yo II , zamenimo u datoj jednaeini i skratimo sa e- x , dobijamo uslov -4A sin 2x + 4B cos 2x = cos 2x. Odavde je A

= 0, B = 1/4, dakle

odnosno dakle iz jedm da je q2 = - ]

Za

yo(x) =

.

~e-x 4

>.

jednaeina sin2x. odnosno ql =

Stoga je opste resenje date diferencijalne jednacine:

y(x) = (C1 cos 2x + C 2 sin 2x) e- x

1

+ 4x e- x

sin2x,

pri cenu su C 1 , C 2 proizvoljne realne konstante.

11. Sistemi diferencijalnih jednacina prvog reda

Stoga je opStA

X(t)

=(

185

3. DIFERENCIJALNE JEDNACINE

U ovorn delu posrnatraeerno sarno linearne sisterne diferencijalnih jednaCina prvog reda sa konstantnirn koeficijentirna. Nepoznate funkcije cerna obicno oznacavati sa x(t), y(t) (a

< t < b).

Zadatak 38. NaCi opste resenje sledeeih homogenih sistema diferencijal­ nih jednacina sa konstantnim koeficijentima.

= x+ 2y, y' = 2x + y; (b) x' = 2x - y, y' = x + 4y; (c) x' = 2x + 5y, y' = -2x. (a)

x'

Resenje. (a) Dati sistem u matricnom obliku glasi:

Odgovarajuca karakteristiclla jednaCilla glasi: 1

-2

A

1 _2 A I

=

(1 - A) 2 - 4

= A2 - 2A -

3

= (A - 3)(A + 1) = 0,

1

i ima resenja Al = -1, A2 = 3, dakle ima realna i medjusobno razliCita resenja. Za A = -1 odgovarajuCi sopstveni vektor nal~illlo i:l hOlllogenog sistema lincarnih jedllaCilla 2 ) (ql) = 0 I-A q2 '

odnosno dakle i:l jednaCine ql +q2 = O. Ako u ovoj jednacini stavimo da je ql = 1, dOJijamo da je q2 = -1, pa jc odgovarajllCi sopstveni vcktor

Za A jednaCina

odnosno ql

3, odgovarajuCi sopstveni vcktor Q nalazimo iz sistema lincarnih

= q2·

Odavde za ql

=

1 dobijamo da je q2

Stoga je opste resenje datog sistema:

X(t) = (X(t)) = y(t)

C I

e- t (

1) + C (1)

-1

2

e3t

1

=

1, pa je

186

PREDAVANJA I VEZBE IZ MATEMATIKE 2

odnosno:

Ako vekt skraCivanjem s

pri cemu su C I , C 2 proizvoljne realne konstante. (b) Odgovarajl1Ci sistem

11

matricnom obliku glasi:

Odavde, sistem lineamil

Stoga je odgovarajnca karakteristicna jednaCina: 2- A

1

4 -1 _ A I = (2 - A)(4 - A) + 1 = A2 - 6A + 8 + 1 = A2 - 6A + 9 = 0, odnosno

1

dakle (A - 3)2 = O. Stoga ona ima realno i dvostruko resenje Al = A2 = 3. Za A = 3 jedan njen sopstveni vektor nalazimo iz sistema linearnih jednaCina

Diskusijol

-qI - q2 = 0,

qI + q2 = 0,

oaprimer qI, 92 Be proostale dw

odakle je q2 = -qI. Ako ovde stavimo qI = 1, dobijamo da je q2 = -1. Stoga je jedan njen sopstveni vektor

Odavdc slcdi da je opste resenje datog sistema difcfellcijalnih jednatilla:

X(t) =

(x(t)) =C 3t ( 1 ) C t 31( 1)' = y(t) Ie -1 + 2 e -1

X(t) : (Cle3t+C2te3t) --CI e3t - C 2 te3t

,

odllosno: pri cemu su C I , C 2 proizvoljne realne konstante. (c) Odgovaraj uca matrica datog sistema glasi

a odgovarajuca karakteristicna jednacina 2- A 1

-2

5

-A

I

= A2 - 2A + 10 = O.

Odavde nalazimo da je AI,2 = 1 ± 3i. Stoga opstc rcsenje datog sistema trazimo obliku ~

x (t) = et cos 3t

t t (PI) + e t sin 3t (qI) = (PI e cos 3t + qI e t s~n 3t) . P2 q2 P2et cos 3t + q2 c sm 3t

11

187

3. DlFERENCIJALNE JEDNACINE

Ako vektorsku funkciju X(t) diferenciramo i zamenimo u dati sistem, tada skraCivanjem sa e t , dobijamo sistem jednaCina

+ 3qI) (P2 + 3q2)

(PI

cos 3t + (qI - 3pd sin 3t = (2pI cos3t

+ (q2

- 3p2) sin3t

+ 5p2)

cos 3t

+ (2qI + 5q2)

sin 3t,

= -2PI cos3t - 2q2 sin3t.

Odavde, izjednacavanjem koeficijenata uz funkcije cos 3t i sin 3t, dobijamo sistem linearnih jednaCina po PI, P2, qI, q2:

+ 3qI = 2PI + 5P2, qI P2 + 3q2 = -2PI, qz - 3P2

PI

odnosno

+ 5P2 = 3qI, 2PI + P2 = -3qz,

PI

qI

3PI

= 2qI + 5q2,

= -2qI,

+ 5q2 = - 3PI , 2qI + q2 = 3p2.

Diskusijom dobijenog sistema jednacina sledi da se dye njegove nepoznate, naprimer qI, q2 mogu uzeti potpuno proizvoljno, recimo qI = 3CI , q2 = 3C2 , dok se preostale dye PI, P2 mogu izraziti pomocu njih, tj.

Odavde dobijamo da je opste resenje datog sistema diferencijalnih jednaCina: X( t )

= et cos3t -_ C Ie t

I 2 (-C 2C -+ 5C C I 2

(-

)

· + c tsm3t

cos 3t + 3 sin 3t ) 2 cos 3t

+ C 2e t

I (3C 3C ) 2 (

=

-5 cos 3t. ) cos 3t + 3 sm 3t '

pri cemu su C I , C 2 proizvoljne realne konstante.

Zadatak 39.

Naci opste resenje homogenog sistema diferencijalnih jc(ba­

(n

tina

(~1 ~

T) m

Zadatak sc ostavlja za samostalan rad.

Zadatak 40.

Odrediti opste re.~enje nehomogenog sistema diferenri)abih

jednaCina

x/(t) = yet)

+ e 2t , y/(t) = x(t) -

ako se zna da on ima parczkulamo resenje oblika

xa =

(x) = _ ~3 e (p) y q' 2t

4e 2t ,

188

PREDAVANJA I VEZBE IZ MATEMATIKE 2

iz koga stavljI

pri cemu su p i q izvesne konstante.

Resenje. Iz datog uslova sledi da je

y(t) = _~e2t 3

Odavde

partikularno resenje datog sistema, odakle dobijamo da je

odnosno: Odavde skraeivanjem sa e2t dobijamo sistem linearnih jednacina

-2p/3 = -q/3 + 1,

-2q/3

= -p/3 -

4,

odnosno

= q- 3,

2p

2q = p+ 12.

Stoga je p = 2, q = 7, pa trazeno partikularno reSenje glasi

Dalje uocimo odgovarajuci homogeni sistem diferendjalnih jednaCina:

x'(t)

= y(t),

y'(t)

= x(t),

tj.

Odgovarajuca karakteristicna jeduaCina glasi

odnosno ,\2 - 1 = 0, odakle je ,\) = 1 i >'2 = -1. odgovarajuCi homogcni sistem linearnih jednaCina -ql

odakle je ql

Za ,\

+ q2= 0,

ql - q2

Za,\

1, posmatramo

= 0,

= q2, pa je jedan odgovarajuci sopstveni vektor

= -1, posmatramo odgovarajuCi homogeni sistem linearnih jednaCina q)

+ q2 =

0,

ql

+ q2 = 0,

189

3. DIFERENCIJALNE JEDNACINE

iz koga stavljajuCi ql = 1 nalazimo da je odgovarajuCi sopstveni vektor

Odavde najzad dobijamo da je opste resenje datog nehomogenog sistema:

x(t)) X () t = ( y(t) = Gle

t(l) _t(l) 12t (2) 1 +G e -1 - 3e 7 2

1

odnosno: t G -t 7 21 Y (t) = GIe - 2 e - 3e ,

pri cemu su GIl G2 proizvoljne realne kOllstante.

12. Parcijalne diferencijalne jednaCine U ovom delu posmatraeemo najpre homogene linearnc pardjalne jednaeine prvog wda

oblika (1)

XIPI

+ ... + XnPn = 0,

pri cemu su Xl = Xl (Xl, ... , x n ), .. . , X n = X,,(XI, ... , Xn) (n 2 2) date funkcije promenljivih XI,oo.,Xn ((XI,.",Xn ) E D ~ Rn), z = Z(XI, .. "X n ) je nepoznata funkcija, i Pi = az/th;, (i = 1, ... , x n ) 8U njeni parcijalni izvodi. Homogenoj jednadni (1), pridruzuje se pomocni Lagranzov sistem ohicnih difl'rcncijalnih jednaeina dXn

d."l:l

(2)

-=.":=--, Xl Xn

pri cemu pretpostavljamo da je u celoj posmatranoj ohlasti X I, ... , X n i' O. Ako su 'Pi (Xl, ... , X n ) = Ci (i == 1, ... , n - 1) njegovih n - 1 nezavisnih integrala, tada 8e pokazuje da je opste reilcnje pardjalnc jedna(;ine (1) dato sa

o

pri ccmu je F == F( iLL, ... , U n -

Il

proizvoljna diferencijabilna funkcija.

Osim jednaeine (1) posmatraeemo i tzv. nehomogenc iii kvazilinearne parcijallJe diferell­ cijalne jednaeine oblika (3)

XIPI

+ ... + XnPn = R,

pricemusu Xi == Xi(XI, ...

,X n , z),R == R(:Cl, ... ,Xn,Z) (i = 1, ... ,n)datefllIlkcijepromellIjivilJ XI,".,Xn,z ((XI,oo.,Xn,z) E D ~ R n + 1 ), Z == Z(XI,oo.,X n ) je nepozIlata funkcija, i Pi aZ/aXi (i 1, ... , n) su njeni parcijalni izvodi.

=

I jednaeini ovakvog tipa se, pod pretpostavkom da je u eeloj posmatranoj obhwti X I, . X n , R i' 0, pridruzuje sJii~an pomocni Lagranzov sistem obicnih difereneijalnih jednaCina oblika

(4)

dxn

dz

Xn

R

190

PREDAVANJA 1 VEZBE 12 MATEMATIKE 2

Ako pretpostavimo da BU 'Pi(Xl, .. ·,Xn,z) = Ci (i = l, ... ,n) njegovih n nezavisnih integrala, tada se moze pokazati da je reSenje jednatine (3) dato u implicitnom obliku sa

pri cemu je F = F(Ub"" un) proizvoljna diferencijabilna fllnkcija.

Zadatak 41. Naci opste resenje parcijalnih diferencijalnih jednaCina (a)

xp + yq = 0;

(b)

xp + yq = 3z,

ako je z = z(x, y) nepoznata funkcija, i p = 8z/8x, q = 8z/8y.

Resenje. (a) Data parcijalna jcduaCilla je ol':igledllo hOIUogella lillearua parcijalna prvog reda po ncpoznatoj funkciji z = z(x, y). OdgovarajuCi POlllOCIli sistcm obicnih difercncijalnih jcdnaeina svodi se samo na jednu jcdnaCinll i glasi:

dx x

dy y

Odavde integracijom neposrcdno dobijamo da jc jedan njegov integral y/x Stoga je opste resenje posmatranc jcdnaeinc dato sa

z pri cemu je F

= F( u)

= C.

= F(y/x),

proizvoljna diferencijabilna fUllkcija.

(b) Posmatrana parcijalna jednaeina je oCigledno kvazilinearna jednaCina prvog reda sa nepoznatom funkcijom z = z(x, y). OdgovarajuCi sistem obicnih diferencijalnih jedIlaCiIla glasi: dx x

dxjx

dy

dz

y

3z

Iz jednaeine dx/x = dy/y dobijamojedan njen integral y/x = Ct. Iz jednaine = dz/3z dobijamo drugi njen integral z/x 3 = C2. Stoga opste reSenje date

jednaeine dobijamo u eksplicitnom obliku iz jednaeine

F(y/x,zjx 3 ) pri cemu je F i v.

= 0,

= F( u, v) proizvoljna diferencijabilna funkcija dveju promenljivih u

Dalje cemo navesti jednu jednostavnu osol.>inu tzv. produzellih jednakosti, koja se lako dokazuje, a moze veoma korisno da posluzi kod resavanja pridruzenih sistema obicnih diferenci­ jalnih jednatina koje smo pomimuli prethodno. Ova osobina gtasi: ~ Ako vaZi produzena jednakost

191

3. DIFERENCIJALNE JEDNACINE i postoje brojevi AI, ... , An takvi da je Albl

... + Anan =

+ ... + Anbn

= 0, tada takodje vazi i da je Alai

+

O.

Zadatak 42. Naci opste resenje sledeeih parcijalnih diferencijalnih jedna­ cina prvog reda.

pri

y2zp-x2zq = x 2y;

(a)

2p+3q = 1;

(d)

ap+bq+cz=O(a,b,c#O);

(b)

cemu je p = au/ax, q = au/ay, r

=

(e)

(c)

(y-z)p+(x-y)q = z-:r;

xp+yq+zr=xyz,

au/az.

Resenje. Primetimo najpre da su I've posmatrane parcijalnc jedllacille 110­ mogelle ili kvazilinearne jednacine. Stoga se moze primeniti prethodni metod resavanja. (a) U ovom slucaju odgovarajuCi pomocni sistem obicnih diferencijalnih jednaCina glasice: dx dy dz 231 Iz dx/2 = dz/l integracijom dobijamo da je x - 2z = C I , a iz dx/2 ,= dy/3 dobijamo da je 3x - 2y = C2 . Stoga je opste resenje ove jednacine dato sa

F(x - 2z,3x - 2y) = 0, pri cemu je F = F(u, v) proizvoljna difcrcncijabilna funkcija promcnljivih

/1

i v.

(b) OdgovarajuCi sistem obicnih diferencijalnih jednCina glasi dx y2 z

dy -x 2z

dz x 2y'

Izjeduaeinc dz/x 2y = dy/( -x 2z), odnosno z dz+ydy = 0, nalazimo dajc y2+ z 2 =, C\. Dalje iz dx/(y2 z ) = dy/( -x 2z) nalazimo da je x 3 + y3 = C 2. Stoga jl' opst(' resenje ove jednacine dato sa

pri cemu je F = F( u, v) proizvoljna diferencijabilna funkcija dveju promenjjivih. (c) U ovom slucaju odgovarajuCi sistem obicnih diferencijalnih jed 'lacina glasi: dx y-z

dy x-y

dz z-x

Kako je (y - z) + (x - y) + (z - x) = 0, iz osobina produzene jednakosti dobijamo da je takodje i dx + dy + dz = 0, odnosno x + y + z = C\. Dalje, kako je x(y - z)

+ z(x -

y)

+ y(z -

x) = 0,

192

PREDAVANJA I VEZBE IZ MATEMATIKE 2

slieno sledi da je x dx + z dy + y dz = 0, odakle je X 2 + 2yz resenje date jednaeine F(x 2 + 2yz, x + Y + z) = 0, pri eernu je F

= C 2 . Stoga je opste

= F( u, v) proizvoljna diferencijabilna funkcija dveju prornenljivih.

(d) U ovorn slllcajll odgovarajllCi pornor.ni sistern glasi: dx

dy b

a

Pogla

dz -cz

h dz/(-cz) = dx/a dobijamo daje z = Cle-ex/a. Iz dx/a = dy/b dobijalllo daje ay - bx = C2 . Stoga je opste resenje date parcijalne jednaCine

DIFE

z = e- cx / a f(ay - bx), pri cernu je f

= f(u)

proizvoljna diferencijabilna funkcija.

(e) U ovorn slueaju su x, y, z nezavisne promenljive, a nepoznata funkcija je u = u(x, y, z). Pritorn je p = By/Bx, q = Bu/By, r = Bu/Bz. OdgovarajuCi sistern diferencijalnih jednaCina glasi: dx X

dy Y

dz z

d'U xyz

~inisllDOl

Odavde neposredno dobijamo dva njegova prva integrala x/V = C J i z/y = C 2 . TreCi nezavisni integral nalazirno koriScenjern faktora yz, xz, xy i -3. Nairne, kako je x(yz) + y(xz) + z(xy) + xyz( -3) = 0, iz osobine produzene jednakosti sledi da je takodje i yzdx

Odavde je d(xyz - 3u) parcijalne jednaCine

+ xzdy + xydz -

3du

= 0.

= 0, odnosno xyz - 3u = C 3 . Stoga je opste resenje date F(x/y, z/y, xyz - 3u) = 0,

pri sernu je F

= F(u,v,w)

proizvoljna diferencijabilna funkcija tri prornenljive.