Diferencijalne Jednacine Prvog Reda Zadaci

www.matematiranje.com

1. Reši diferencijalnu jednačinu: x(1+y2) = y y` Rešenje: x(1+y2) = y y` dy x(1+y2) = y sve pomnožimo sa dx (dx ≠ 0) i podelimo sa 1+y2 dx ydy x dx = znači ovo je diferencijalna jednačina koja razdvaja promenljive! 1+ y2 ydy ∫ xdx = ∫ 1 + y 2 integral na levoj strani je tablični a za ovaj na desnoj strani uzimamo smenu. 1 + y 2 = t 1 dt 1 1 x2 ydy =∫ = = ∫ = ln t + c = ln 1 + y 2 + c 2 2 2 2 1+ y 2 ydy = dt 2 t

Dakle: x2 1 = ln 1 + y 2 + c 2 2

je opšte rešenje ove diferencijalne jednačine.

2. Reši diferencijalnu jednačinu: x2= 3y2y`

Rešenje:

x2= 3y2y` dy x2= 3y2 dx x2dx = 3y2dy

∫x

2

dx = ∫ 3 y 2 dy

sve pomnožimo sa dx (dx ≠ 0) diferencijalna jednačina koja razdvaja promenljive! oba su tablična

x3 y3 =3 +c 3 3 x3 = y3 + c 3

3. Reši diferencijalnu jednačinu: y`= Rešenje:

y`=

ovo je opšte rešenje

2x + y 2x

2x + y 2x 1

www.matematiranje.com y x(2 + ) x y`= 2x y 2+ x y`= ovo je homogena d.j. 2 y Uzimamo smenu : = z ⇒ y = zx ⇒ y`= z `x + z x 2+ z z `x + z = 2 2+ z z `x = −z 2 2 + z − 2z 2 2− z dz z `x = ovo je diferencijalna jednačina koja razdvaja promenljive z`= 2 dx dz 2− z x= dx 2 1 dx dz = 2− z 2 x dz 1 dx ∫ 2− z = ∫ 2 x 1 − ln 2 − z = ln x + ln c trik je da kada su sva rešenja po ln da se doda lnc umesto c 2 z `x =

1

ln 2 − z

−1

= ln x 2 + ln c

ln 2 − z

−1

= ln x 2 c

2− z

−1

1

antilogaritmujemo

1

= x 2c

y 1 =z = x c vratimo smenu x 2− z 1 = x c ovo je opšte rešenje, ako zahteva vaš profesor odavde izrazite y y 2− x 4. Reši diferencijalnu jednačinu: Rešenje:

xy2dy = (x3 + y3)dx

xy2dy = (x3 + y3)dx dy x 3 + y 3 = gore izvlačimo x3 2 dx xy

2

www.matematiranje.com y3 x (1 + 3 ) x y`= 2 xy 3

y`=

x 2 (1 + y2

(1 + y`=

y3 ) x 3 spustimo x2 dole ispod y2

y3 ) x3

y2 x2 y 1 + ( )3 x y`= jasno je da je ovo homogena d.j. y 2 ( ) x y Uzimamo smenu : = z ⇒ y = zx ⇒ y`= z `x + z x 1+ z3 z2 1+ z3 z `x = −z z2 1+ z3 − z3 z `x = z2 dz 1 z `x = 2 razdvaja promenljive z`= dx z 1 dz x= 2 dx z dx z 2 dz = x dx 2 ∫ z dz = ∫ x z `x + z =

3

z = ln x + c 3

vratimo smenu

y =z x

pa je

y ( )3 x = ln x + c 3

opšte rešenje

5. Reši diferencijalnu jednačinu: xy` - x2 +2y = 0

Rešenje:

xy` - x2 +2y = 0

3

www.matematiranje.com xy` + 2y = x2 y`+

2 y=x x

sve podelimo sa x ( x ≠ 0) ovo je linearna d.j. p(x)=

2 x

Opšte rešenje ove d.j. dato je formulom

Nađimo prvo rešenje integrala

2

p ( x ) dx

dx = ∫ xe

ln x 2

− p ( x ) dx p ( x ) dx (c + ∫ q ( x )e ∫ dx) y= e ∫

∫ p( x)dx

∫ p( x)dx = ∫ xdx =2 ln x = ln x ∫ ∫ q ( x )e

i q(x)= x

2

dx = ∫ xx 2 dx = ∫ x 3 dx =

x4 4

p ( x ) dx x4 x4 1 − ln x 2 ∫ (c + ∫ q ( x )e dx) = e [c + ] = 2 [c + ] dakle: 4 4 x 4 x 1 y = 2 [c + ] je opšte rešenje. 4 x

y= e ∫

− p ( x ) dx

6. Reši diferencijalnu jednačinu:

y` -2xy = (x – x3) e x

2

2

Rešenje: y` -2xy = (x – x3) e x ovo je linearna d.j. p(x)= - 2x i q(x)= (x – x3) e x

Nađimo prvo rešenje integrala

∫ p( x)dx

∫ p( x)dx = ∫ (−2 x)dx = −2∫ xdx = −2 ∫ ∫ q ( x )e

p ( x ) dx

x2 = −x2 2

dx = ∫ ( x − x 3 )e x e − x dx = ∫ ( x − x 3 )dx = 2

2

2

x2 x4 − 2 4

Sada je konačno rešenje : p ( x ) dx x2 x4 x2 ∫ (c + ∫ q ( x )e dx) = e [c + − ] 2 4 2 4 2 x x y = e x [c + − ] 2 4

y= e ∫

− p ( x ) dx

4

www.matematiranje.com

y` cos2x = tg x – y i nađi ono partikularno rešenje koje zadovoljava

7 . Reši diferencijalnu jednačinu: uslove : x=0 i y= 0

Rešenje: Najpre ćemo rešiti datu diferencijalnu jednačinu a zatim naći vrednost konstante za date uslove.

y` cos2x = tg x – y y` cos2x + y = tg x sve podelimo sa cos2x y` +

tgx 1 y= 2 cos x cos 2 x

p ( x) =

ovo je linearna d.j.

tgx 1 ..................q ( x) = 2 cos x cos 2 x

Nađimo, kao i obično, prvo rešavamo integral 1

∫ p( x)dx = ∫ cos ∫

2

x

p ( x ) dx q ( x )e ∫ dx =

dx = tg x

tgx tgx ∫ cos 2 xe dx =

t =u

e t dt = dv

dt = du

e =v t

∫ p( x)dx

tgx = t 1 = ∫ te t dt = parcija ln a...... int egracija = dx = dt cos 2 x

= te t − e t = tgxe tgx − e tgx

− p ( x ) dx p ( x ) dx y= e ∫ (c + ∫ q ( x )e ∫ dx) = e − tgx [c + tgxe tgx − e tgx ]

y = e − tgx c + tgx − 1

opšte rešenje

Menjamo ovde x=0 i y= 0 0= e − tg 0 c + tg 0 − 1 0=c–1 c=1

sad ovo vratimo u opšte rešenje y = e − tgx 1 + tgx − 1 = e − tgx + tgx − 1

8. Reši diferencijalnu jednačinu: Rešenje:

xy`−2 x 2 y = 4 y

xy`−2 x 2 y = 4 y

5

www.matematiranje.com xy`−4 y = 2 x 2 y 1

xy`−4 y = 2 x 2 y 2 1

y`−

4 y = 2 x y 2 ovo je Bernulijeva d.j. za koju je x

n=

1 pa je smena: 2

y 1− n = u 1

y2 = u −1

1

y`−

1 2 y y`= u ` 2 y` = 2u ` 1

1

4 y = 2 x y 2 sve podelimo sa y 2 x

y2

Vratimo se u jednačinu: y` y

1 2

−

4 y = 2x x 12 y

4 2u`− u = 2 x sve podelimo sa 2 x 2 u`− u = x x u(x) =

ovo je linearna d.j. po u

− p ( x ) dx p ( x ) dx e ∫ (c + ∫ q ( x ) e ∫ dx)

2

∫ p( x)dx = ∫ (− x )dx = −2 ln x = ln x ∫ ∫ q ( x )e

u(x) =

p ( x ) dx

dx = ∫ xe ln x dx = ∫ x −2

−2

= ln

1 x2

1 1 dx = ∫ dx = ln x 2 x x

2 − p ( x ) dx p ( x ) dx e ∫ (c + ∫ q ( x ) e ∫ dx) = e ln x [c + ln x ]

u(x) = x 2 [c + ln x ] y = x 2 [c + ln x ]

y = x 4 [c + ln x ] 2

rešenje linearne po u, vratimo smenu:

y =u

kvadriramo opšte rešenje 6

www.matematiranje.com 9. Odredi ono rešenje diferencijalne jednačine ( x 2 + y 2 + 2 x)dx + 2 ydy = 0 koje zadovoljava početni uslov y(0)=1

Rešenje: Najpre ćemo rešiti datu diferencijalnu jednačinu a zatim naći vrednost konstante za dati uslov.

( x 2 + y 2 + 2 x)dx + 2 ydy = 0 podelimo sve sa dx x 2 + y 2 + 2 x + 2 yy`= 0 podelimo sve sa 2y x 2 + 2x 1 + y + y`= 0 2y 2

y`+

1 x 2 + 2 x −1 y= y ovo je Bernulijeva d.j. za koju je 2 2

n=-1

y 1− n = u

smena je : y 2 = u 2 yy`= u `

y`+

1 x 2 + 2 x −1 y= y sve pomnozimo sa 2 y 2 2

2 yy`+ y 2 = x 2 + 2 x u`+u = x 2 + 2 x u(x) =

ovo je linearna po u

− p ( x ) dx p ( x ) dx e ∫ (c + ∫ q ( x ) e ∫ dx)

∫ p( x)dx = ∫ 1dx = x

7

www.matematiranje.com ∫ ∫ q ( x )e

p ( x ) dx

dx = ∫ ( x 2 + x)e x dx =

e x ( x 2 + x) − ∫ e x (2 x + 1)dx =

x2 + x = u e x dx = dv = (2 x + 1)dx = du ex = v

2 x + 1 = u e x dx = dv = 2dx = du ex = v

e x ( x 2 + x) − [e x (2 x + 1) − ∫ 2e x dx] e x ( x 2 + x) − e x (2 x + 1) + 2e x = e x ( x 2 + x − 2 x − 1 + 2) = e x ( x 2 − x + 1) − p ( x ) dx p ( x ) dx (c + ∫ q ( x ) e ∫ dx) u(x) = e ∫ u(x) = e − x [c + e x ( x 2 − x + 1)] = e − x c + x 2 − x + 1 u(x) = e − x c + x 2 − x + 1 vratimo smenu y2 = e − x c + x 2 − x + 1

i evo ga opšte rešenje . Stavimo x = 0 i y = 1

1 = c + 1, pa je odavde c = 0 i partikularno rešenje je : y2 = x 2 − x + 1

10. Reši diferencijalnu jednačinu:

(2 xy + 3 y 2 )dx + ( x 2 + 6 xy − 3 y 2 )dy = 0

Rešenje: Proverimo da li je ovo jednačina sa totalnim diferencijalom:

P(x,y)= 2xy+3y2 Q(x,y) = x2 + 6xy – 3y2 ∂P = 2x + 6 y ∂y

i

∂Q = 2x + 6 y ∂x

∂P ∂Q = , ovo jeste d.j.sa totalnim diferencijalom. ∂y ∂x ∂ Rešavamo je preko formule : C= ∫ P( x, y )dx + ∫ [Q − ∫ P( x, y )dx]dy ∂y

Pošto je

x2 2 2 2 ∫ P( x, y)dx = ∫ (2 xy + 3 y )dx = 2 y 2 + 3 y x = yx + 3 y x 2

8

www.matematiranje.com

∂ ( yx 2 + 3 y 2 x) = x 2 + 6 xy ∂y

c = yx 2 + 3 y 2 x + ∫ [ x 2 + 6 xy − 3 y 2 − x 2 − 6 xy ]dy c = yx 2 + 3 y 2 x + ∫ [−3 y 2 ]dy c = yx 2 + 3 y 2 x − y 3 je opšte rešenje

11. Reši diferencijalnu jednačinu: (3x + 2 y + y 2 )dx + ( x + 4 xy + 5 y 2 )dy = 0 znajući da je njen integracioni faktor oblika λ = λ ( x + y 2 ) .Odrediti zatim onu integralnu krivu koja prolazi kroz tačku M(-2,1) Rešenje:

Ako je μ (x,y)= μ (w(x,y)) (pogledaj teoretski deo) onda je : ∂Q ∂P − dμ ∂x ∂y ∫ μ = ∫ ∂w ∂w dw −Q P ∂y ∂x

upotrebljavamo ovu formulu da nadjemo integracioni faktor

(3x + 2 y + y 2 )dx + ( x + 4 xy + 5 y 2 )dy = 0 odavde je P(x,y)= 3x + 2 y + y 2

∂P = 2 + 2y ∂y

Q(x,y)= x + 4 xy + 5 y 2

∂Q = 1+ 4y ∂x

∫ ∫ ∫

dμ

μ dμ

μ dμ

μ

=∫

1+ 4y − 2 − 2y dw (3x + 2 y + y 2 )2 y − ( x + 4 xy + 5 y 2 )

=∫

2y −1 dw 2 xy − x + 2 y 3 − y 2

=∫

2y −1 dw x(2 y − 1) + y 2 (2 y − 1)

w=x+y2

∂w =1 ∂x

∂w = 2y ∂y

9

∫ ∫

dμ

μ dμ

μ

www.matematiranje.com

=∫

2y −1 dw (2 y − 1)( x + y 2 )

=∫

1 dw (x + y 2 )

w=x+y2

ln μ =ln(x+y2) +ln c , pa je

ln μ =ln(x+y2)c to jest za c=1

μ = x+y2

Dakle ,traženi integracioni faktor je μ = x+y2 kojim množimo celu jednačinu

( x + y 2 )(3 x + 2 y + y 2 )dx + ( x + y 2 )( x + 4 xy + 5 y 2 )dy = 0 (3x 2 + 2 xy + xy 2 + 3xy 2 + 2 y 3 + y 4 )dx + ( x 2 + 4 x 2 y + 5 xy 2 + xy 2 + 4 xy 3 + 5 y 4 )dy = 0 (3x 2 + 2 xy + 4 xy 2 + 2 y 3 + y 4 )dx + ( x 2 + 4 x 2 y + 6 xy 2 + 4 xy 3 + 5 y 4 )dy = 0 ∂P = 2 x + 8 xy + 6 y 2 + 4 y 3 ∂y

C=

∂Q = 2 x + 8 xy + 6 y 2 + 4 y 3 ∂x

∂

∫ P( x, y)dx + ∫ [Q − ∂y ∫ P( x, y)dx]dy

2 2 3 4 ∫ P( x, y)dx = ∫ (3x + 2 xy + 4 xy + 2 y + y )dx =

3

x3 x2 x2 + 2y + 4y2 + 2y3x + y4 x 3 2 2

x3 x2 x2 ∂ (3 + 2 y + 4y2 + 2 y 3 x + y 4 x) =x2+4x2y+6xy2+4xy3 3 2 2 ∂y C= x 3 + x 2 y + 2 y 2 x 2 + 2 y 3 x + y 4 x + ∫ [ ( x 2 + 4 x 2 y + 6 xy 2 + 4 xy 3 + 5 y 4 ) -( x2+4x2y+6xy2+4xy3)]dy C= x 3 + x 2 y + 2 y 2 x 2 + 2 y 3 x + y 4 x + ∫ 5 y 4 dy

C= x 3 + x 2 y + 2 y 2 x 2 + 2 y 3 x + y 4 x + y 5 ovo je opšte rešenje Integralna kriva koja prolazi kroz tačku M(-2,1) je : C= -8 + 4 + 4 – 4 – 2 + 1= - 5 pa je

x3 + x2 y + 2 y 2 x2 + 2 y3 x + y 4 x + y5 = - 5

12. Reši diferencijalnu jednačinu: y`=

3 y 3 − 2 xy 2 ako se zna da je integracioni faktor u funkciji od y 7 − 3 xy 2

Rešenje:

10

www.matematiranje.com 3 y 3 − 2 xy 2 y`= 7 − 3 xy 2 dy 3 y 3 − 2 xy 2 = dx 7 − 3 xy 2 (7 − 3 xy 2 )dy = (3 y 3 − 2 xy 2 )dx (7 − 3xy 2 )dy − (3 y 3 − 2 xy 2 )dx = 0 (2 xy 2 − 3 y 3 )dx + (7 − 3xy 2 )dy = 0 ∂P = 4 xy − 9 y 2 ∂y

∂Q = −3y 2 ∂x

Kako je integracioni faktor u funkciji od y to ćemo koristiti formulu:

μ (x,y)= μ (y)

∫ ∫ ∫

∫ ∫

dμ

1 ∂Q ∂P =∫ ( − )dy P ∂x ∂y μ

dμ

μ dμ

μ

dμ

μ dμ

μ

=∫

1 (−3 y 2 − 4 xy + 9 y 2 )dy y (2 x − 3 y )

=∫

1 (−4 xy + 6 y 2 )dy y (2 x − 3 y )

=∫

1 2 y (3 y − 2 x)dy y (2 x − 3 y )

=∫

−2 dy y

2

2

2

ln μ = −2 ln y + ln c

μ=

ln μ = ln y

−2

+ ln c za c=1 je

1 traženi integracioni faktor y2 11

www.matematiranje.com 1 1 (2 xy 2 − 3 y 3 )dx + 2 (7 − 3xy 2 )dy = 0 2 y y (2 x − 3 y )dx + (

7 − 3 x)dy = 0 y2 ∂Q = −3 ∂x

∂P = −3 ∂y

∫ P( x, y)dx =∫

(2x – 3y)dx = x2 – 3yx

∂ ( x2 – 3yx) = - 3x ∂y C=

∂

∫ P( x, y)dx + ∫ [Q − ∂y ∫ P( x, y)dx]dy

7 − 3 x + 3x)dy y2 7 C= x2 - 3xy + ∫ ( 2 )dy y

C= x2 - 3xy + ∫ (

C = x 2 − 3xy −

7 y

ovo je opšte rešenje

13. Rešiti diferencijalnu jednačinu: y` = ln(xy` - y) Rešenje: Uvodimo smenu y`= p

dy = p ⇒ dy = pdx dx

y` = ln(xy` - y) p = ln( xp – y ) ep = xp – y y = px - ep dy =

odavde izrazimo y

diferenciramo

∂ ( xp − e p ) ∂ ( xp − e p ) dx + dp ∂x ∂p

12

www.matematiranje.com dy = pdx + ( x − e p )dp pdx = pdx + ( x − e p )dp ( x − e p )dp = 0

∫ (x − e

p

)dp = 0

xp − e p + c = o x=

ep −c p

y = xp − e p ep −c p −ep p y = −c

y=

ep −c p y = −c

x=

opšte rešenje u parametarskom obliku

14. Rešiti diferencijalnu jednačinu: y`+ y = xy`2 Rešenje:

I ovde ćemo kao i u prethodnom primeru upotrebiti metod parametra

y`= p

dy = p ⇒ dy = pdx dx

y`+ y = xy`2 p + y = xp 2 y = xp 2 − p

diferenciramo dy = p 2 dx + (2 px − 1)dp pdx = p 2 dx + (2 px − 1)dp ( p − p 2 )dx = (2 px − 1)dp sve podelimo sa dp ( p − p2 )

dx = (2 px − 1) dp

( p − p 2 ) x`= (2 px − 1)

13

www.matematiranje.com ( p − p 2 ) x`−2 px = −1 pomnožimo sa -1

p ( p − 1) x`+2 px = 1 sve podelimo sa p(p – 1) x`+

2p 1 x= p ( p − 1) p ( p − 1)

x`+

2 1 x= p( p − 1) ( p − 1)

ovo je linearna d.j. po x, x=x(p)

Rešavamo je upotrebom poznate formule: − p ( p ) dp p ( x ) dp x(p)= e ∫ (c + ∫ q ( p )e ∫ dp ) i dobijemo:

1 [c + p − ln p ] ovo rešenje zamenimo u y = xp2- p 2 ( p − 1) 1 [c + p − ln p p2- p y(p)= 2 ( p − 1) x(p) =

I ovo je opšte rešenje u parametarskom obliku. 14. Pokazati da diferencijalna jednačina ( x 2 + x) y`+ y 2 + (1 − 2 x) y − 2 x = 0 ima partikularno rešenje y1 = a gde je a konstanta koju treba odrediti. Naći njeno opšte rešenje. Rešenje:

( x 2 + x) y`+ y 2 + (1 − 2 x) y − 2 x = 0

ima jedno rešenje y1 = a ⇒ y1` =0 zamenimo u d.j.

0 + a 2 + (1 − 2 x)a − 2 x = 0 a 2 + a − 2ax − 2 x = 0 x(−2a − 2) + (a 2 + a) = 0

Odavde mora biti : -2a-2 = 0 -2a = 2 a= - 1

i

a2 + a = 0 a(a + 1)= 0 a=0 ili a = - 1 14

www.matematiranje.com

pa je jedno rešenje y1 = −1

Dakle,zaključujemo da je a= - 1

Ovo je Rikatijeva diferencijalna jednačina , oblika je y` = P(x) y2 + Q(x)y + R(x) Ako je poznato jedno partikularno rešenje y1(x) , onda uzimamo smenu y(x) = y1(x)+

1 i posle sredjivanja z ( x)

dobijamo linearnu d.j.

y(x) = y1(x)+

1 z ( x)

pa je

y = −1 +

1 z` ⇒ y`= − 2 z z

( x 2 + x) y`+ y 2 + (1 − 2 x) y − 2 x = 0 z` 1 1 ) + ( − 1) 2 + (1 − 2 x)( − 1) − 2 x = 0 sredimo... 2 z z z 2x + 1 1 z= 2 z `+ 2 ovo je linearna d.j. po z x +x x +x

( x 2 + x)(−

− p ( x ) dx p ( x ) dx (c + ∫ q ( x ) e ∫ dx ) z(x) = e ∫

∫ p( x)dx = ∫

x2 + x = t 2x + 1 dt dx = = ∫ = ln t = ln x 2 + x 2 t x +x (2 x + 1)dx = dt

∫ ∫ q ( x )e

dx = ∫

z ( x) =

p ( x ) dx

c+x x2 + x

ln x 2 + x 1 e dx = x x +x 2

pa je

vratimo smenu

1 c+x a odavde je = 2 y +1 x + x

y=

x2 − c opšte rešenje x+c

15. Data je diferencijalna jednačina xy`= y 2 − (2 x + 1) y + x 2 + 2 x Odrediti realne brojeve a i b tako da je y = ax+ b partikularno rešenje date jednačine a zatim naći njeno opšte rešenje.

Rešenje:

15

www.matematiranje.com y = ax + b ⇒ y`= a zamenimo u datu d.j. xy`= y 2 − (2 x + 1) y + x 2 + 2 x xa = (ax + b) 2 − (2 x + 1)(ax + b) + x 2 + 2 x 0 = a 2 x 2 + 2abx + b 2 − 2ax 2 − 2bx − ax − b + x 2 + 2 x − ax “spakujemo” uz x2, pa uz x, pa slobodne članove x 2 (a 2 − 2a + 1) + x(2ab − 2b − 2a + 2) + b 2 − b = 0 odavde mora biti: a 2 − 2a + 1 = 0

i

2ab − 2b − 2a + 2 = 0

(a-1)2= 0

(2b-2)(a-1) = 0

a=1

a= 1 ili b= 1

i

b2 − b = 0 b(b – 1)= 0 b= 0 ili b= 1

Na ovaj način smo dobili dva moguća partikularna rešenja: y = x i y = x+1 Mi ćemo naravno odabrati lakše, odnosno y = x za drugi deo zadatka. xy`= y 2 − (2 x + 1) y + x 2 + 2 x ovo je Rikatijeva diferencijalna jednačina, smena je: y(x) = y1(x)+

1 z` 1 pa je y = x + ⇒ y`= 1 − 2 zamenimo u d.j. z ( x) z z

xy`= y 2 − (2 x + 1) y + x 2 + 2 x x(1 −

z` 1 1 ) = ( x + ) 2 − (2 x + 1)( x + ) + x 2 + 2 x sredimo.... 2 z z z

1 1 z `− z = − ovo je linearna po z x x − p ( x ) dx p ( x ) dx (c + ∫ q ( x ) e ∫ dx ) sredimo…. z(x) = e ∫

z(x) = xc+1 vratimo smenu y = x +

1 1 1 ⇒ = y−x⇒ z = z z y−x

1 = xc + 1 y−x 1 y−x= xc + 1 16

www.matematiranje.com 1 y = x+ je opšte rešenje xc + 1 16. Rešiti diferencijalnu jednačinu: x 2 y`= x 2 y 2 + xy + 1 Rešenje:

x 2 y`= x 2 y 2 + xy + 1 y`= y 2 +

sve podelimo sa x2

1 1 y + 2 ovo je Rikatijeva diferencijalna jednačina y` = P(x) y2 + Q(x)y + R(x) x x

Uvodimo smenu z=yx gde je z=z(x) z = yx ⇒ z `= y`x + y ⇒ y`=

y`= y 2 +

(pogledaj teorijske napomene...)

z `− y x

1 1 y+ 2 x x

1z 1 z `− y z `= ( ) 2 + + 2 sve pomnozimo sa x2 x x xx x x( z `− y ) = z 2 + z + 1 xz`− xy = z 2 + z + 1 zamenimo da je yx = z

xz`− z = z 2 + z + 1 xz`= z 2 + 2 z + 1 ov je d.j koja razdvaja promenljive z` =

dz dx

x

dz = z 2 + 2z + 1 dx

−

1 1 = ln x + c = ln x + c vratimo smenu z = xy i dobijamo opšte rešenje: − yx + 1 z +1

pa je

dz dx = integralimo... 2 x ( z + 1)

17