Diferansiyel Denklemler - Yaşar Üniversitesi Ders Notları

Diferansiyel Denklemler Prof.Dr.Şaban EREN Yasar Üniversitesi Fen-Edebiyat Fakültesi Bölüm 1 1.1. Giriş 1.2. Diferansiyel denklem biçimleri 1.3.

eemdersnotlari.com

tipi

KAYNAKLAR 



 

Aydın, M., Gündüz, G., Kuryel, B. (1987). Diferansiyel Denklemler ve Uygulamaları. Ege Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Ders Kitapları Yayınları No: 14. Boyce, W.E., DiPrima, R.C. (1992). Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems. Fifth edition. John Wiley & Sons, Inc. Chirgwin, B.H., Plumpton, C. (1964). A course of Mathematics for Engineers and Scientists. Pergamon Press. Volume 2. Chirgwin, B.H., Plumpton, C. (1964). A course of Mathematics for Engineers and Scientists. Pergamon Press. Volume 5.

2 eemdersnotlari.com

KAYNAKLAR    

Er, U. (1985). Uygulamalı Diferansiyel Denklemler. Anadolu Üniversitesi. Lambe, C.G., Tranter, C.J. (1964). Differential Equations for Engineers and Scientists. The English Universities Press Ltd. Rainville, E.D., Bedient, P.E. (1989). Elementary Differential Equations. Seventh edition. Macmillan Publishing Company. Spiegel, M.R. (1965). Theory and Problems of Laplace Transforms. Schaum Publishing Company.

3 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler 1.1. Giriş 

Bu bölümde diferansiyel denklem kavramı açıklanacak ve konuya açıklık getirmek amacıyla bilinen bir örnek ele alınacak ve bu örnek yardımıyla diferansiyel denklem oluşturulması sağlanacaktır.

4 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler 1.2. Diferansiyel Denklem Biçimleri Bir x değişkeni ile onun fonksiyonu olan y ve bu fonksiyonun türevleri arasında mevcut olan F (x, y, y', ..., y(n)) = 0

(1.1)

denklemine diferansiyel denklem denir. Konuya açıklık getirmek için aşağıda sunulan örneği göz önüne alalım.

5 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Örnek: 1.1. Kütlesi m olan bir cisim yerçekimi etkisi altında serbest düşme yapmaktadır. Serbest olarak düşen bu kütlenin üzerine havanın direnci etki etmektedir. Havanın direnci düşen cismin hızının karesiyle doğru orantılıdır. Bir t zamanı düştüğünde cismin (v) hızını ve düştüğü mesafeyi bulunuz.

6 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Şekil 1.1.’den de görüleceği gibi kütlenin üzerine iki kuvvet etki etmektedir: Yerçekimi kuvveti : mg Havanın direnci : kmv2 Burada k bir sabit ve g yerçekimi kuvvetidir.

7 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

8 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Cisim yere doğru düştüğünden mg > kmv2’dir. Dolayısıyla cisme etki eden net kuvvet, F = mg – kmv2 (1.2) dir. F=ma (1.3) olduğundan (m, kütle ve a da ivmeyi belirtmektedir).

9 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

(1.4)

10 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

(1.4) ve dolayısıyla (1.5) elde edilir.

11 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

Bu denklemde (eşitlikte)

diferansiyel

katsayısı bulunduğundan denklem diferansiyel denklem olarak bilinmektedir. Bu diferansiyel denklemin çözümü sonucunda bir t anındaki v hızını elde etmek mümkün olacaktır.

12 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler s’in cismin t zaman kadar düşmesi sonucu alınan mesafeyi belirttiğini varsayalım. Bu mesafeyi bulmak için ifadesi (1.5) eşitliğinde yerine konursa bu eşitlik,

(1.6) şekline dönüşür.

13 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Bir diferansiyel denklemde en yüksek dereceden türev y(n) ise denkleme n’inci dereceden diferansiyel denklem denir. Örneğin, (1.5) eşitliğinde en yüksek türev birinci dereceden olduğundan bu eşitliğe birinci dereceden diferansiyel denklem ve (1.6) eşitliğinde en yüksek dereceden türev ikinci dereceden olduğundan bu dereceden diferansiyel denklem denir.

14 eemdersnotlari.com

eşitliğe

ikinci

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Verilen örnekte bağımlı değişkenler yol s, s = f (t) ve hız v, v = g (t) sadece tek bir t bağımsız değişkeninin fonksiyonları olduğundan

ordinary diferansiyel katsayılarından dolayı (1.5) ve (1.6) diferansiyel denklemleri adi (ordinary) diferansiyel denklemler olarak bilinmektedir.

15 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Eğer z bağımlı değişkeni x ve y gibi iki bağımsız değişkenin fonksiyonu ise örneğin, z = f (x, y) ise, z’nin x ve y değişkenlerine göre türevleri alınırsa, ve benzer şekilde, kısmi diferansiyel katsayıları elde edilir. Dolayısıyla bu tür katsayıları içeren diferansiyel denklemlere de kısmi diferansiyel denklemler denir.

16 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Örneğin, (1.7) ve (1.8) denklemleri kısmi diferansiyel olarak bilinmektedir.

17 eemdersnotlari.com

denklemler

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler 

Diferansiyel

denklemlerin

çözümünde

tümünün

çözümünü elde edebilecek standart bir yöntem mevcut değildir. Fakat belirli tipler için özel yöntemler vardır. Ele

alınacak

yöntemler

sonucunda

y

bağımlı

değişkeninin x bağımsız değişkeni cinsinden analitik çözümü elde edilecektir.

18 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler 

Ancak bazı durumlarda analitik çözümün elde edilmesi mümkün

olmamaktadır.

yöntemler

uygulanarak

Bu

durumlarda

bağımlı

Nümerik

değişkene

ilişkin

yaklaşık bir sonuç elde edilmektedir. 

İzleyen kısımlarda değişik tip diferansiyel denklemler için çözüm yöntemleri örneklerle açıklanmıştır.

19 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler 1.3. 

Bu tür diferansiyel denklemlerde ardarda integral işlemi bizi sonuca götürür.

20 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Örnek 1.2. (1.9) diferansiyel denkleminin çözümünü elde ediniz. a bir sabit değeri ifade etmektedir.

21 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler ifadesinin x’e göre integrali alınırsa,

22 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler ifadesinin x’e göre integrali alınırsa, (1.10) (A bir sabit) elde edilir. Bu ifadenin x’e göre integrali alınırsa,

23 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler ifadesinin x’e göre integrali alınırsa, (1.10) (A bir sabit) elde edilir. Bu ifadenin x’e göre integrali alınırsa, (1.11)

24

(B bir sabit) bulunur.

eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Elde edilen bu ifadenin x’e göre bir kez daha integrali alınırsa, (1.12) elde edilir. Bu ifade verilen (1.9) diferansiyel denkleminin çözümüdür ve bu çözüm A, B, C gibi sabitleri içerdiğinden genel çözüm olarak bilinir.

25 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler A, B, C sabitlerini elde etmek için x = 0 iken

şartları (başlangıç şartları) verilirse, bu değerler (1.10), (1.11) ve (1.12) nolu eşitliklerde yerine konursa, (1.13)

26 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler A, B, C sabitlerini elde etmek için x = 0 iken

şartları (başlangıç şartları) verilirse, bu değerler (1.10), (1.11) ve (1.12) nolu eşitliklerde yerine konursa, (1.13) (1.14)

27 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler A, B, C sabitlerini elde etmek için x = 0 iken

şartları (başlangıç şartları) verilirse, bu değerler (1.10), (1.11) ve (1.12) nolu eşitliklerde yerine konursa, (1.13) (1.14)

28 eemdersnotlari.com

(1.15)

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler eşitlikleri elde edilir. Bu eşitliklerden bulunur.

29 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler eşitlikleri elde edilir. Bu eşitliklerden bulunur. Elde edilen bu değerler (1.12) nolu eşitlikte yerine konursa, elde edilir. Bu (1.9) nolu diferansiyel denklemin özel çözümüdür. Özel çözüm olarak belirtilmesinin nedeni, başlangıç koşulları değiştirildiğinde A, B, C değerlerinin de bu koşullara göre değişmekte olmasından dolayıdır.

30 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Örnek 1.5.

Kısmi integral yöntemi uygulanırsa

31 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Örnek 1.5.

Kısmi integral yöntemi uygulanırsa

32 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Örnek 1.5.

Kısmi integral yöntemi uygulanırsa

33 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

34 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

35 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

36 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

37 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

38 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

39 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

40 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

41 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler dy  e  x ( x  1)  e  x  Ax  B dx  e  x ( x  2)  Ax  B x  dy e     ( x  2)  Ax  B  dx

42

2 x y  ( x  2)(e  x )  e  x  A  Bx  C 2 2 x y  ( x  3)(e  x )  A  Bx  C 2

eemdersnotlari.com

Diferansiyel Denklemler Prof.Dr.Şaban EREN Yasar Üniversitesi Fen-Edebiyat Fakültesi Bölüm 1 1.4.Değişkenlerine ayrılabilir diferansiyel denklem tipi:

eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler 1.4.Değişkenlerine ayrılabilir diferansiyel denklem tipi:

2 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler 1.4.Değişkenlerine ayrılabilir diferansiyel denklem tipi: (1.17) f(y) sadece y’nin, g(x) ise sadece x’in bir fonksiyonudur.

3 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler 1.4.Değişkenlerine ayrılabilir diferansiyel denklem tipi: (1.17) f(y) sadece y’nin, g(x) ise sadece x’in bir fonksiyonudur. Yukarıdaki ifade f (y) dy = g (x) dx şeklinde de yazılabilir.

4 eemdersnotlari.com

(1.18)

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler (1.18) eşitliğinin her iki tarafının integrali alınırsa,

5 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler (1.18) eşitliğinin her iki tarafının integrali alınırsa,

elde edilir.

6 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Örnek 1.8. (1.19) diferansiyel denkleminin özel çözümünü x = 0, y = 0 şartı için elde ediniz.

7 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Örnek 1.8. (1.19) diferansiyel denkleminin özel çözümünü x = 0, y = 0 şartı için elde ediniz. Verilen eşitliği değişkenlerine ayrılabilir diferansiyel denklem türüne dönüştürmeye çalışalım. (1.19) eşitliği düzenlenirse elde edilir.

8 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Görüldüğü gibi y değişkeni bir tarafta, x değişkeni diğer tarafta yer almaktadır. Her iki tarafın integrali alınırsa,

(1.20) genel çözümü elde edilir. Burada y direk olarak x’in bir fonksiyonu şeklinde ifade edilmemektedir (y, x’in kapalı (implicit) bir fonksiyonudur).

9 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler x = 0, y = 0 (1.20) nolu eşitlikte yerine konursa, -1 =1 + A eşitliğinden A = -2 elde edilir. Bu değer (1.20)’de yerine konursa özel çözüm,

e

y

 (1  x )

olarak bulunur.

10 eemdersnotlari.com

2

1

2

2

(1.21)

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler x = 0, y = 0 (1.20) nolu eşitlikte yerine konursa, -1 =1 + A eşitliğinden A = -2 elde edilir. Bu değer (1.20)’de yerine konursa özel çözüm,

e

y

 (1  x ) 2

1

2

2

(1.21)

olarak bulunur. (1.21) nolu ifade düzenlenirse özel çözüm,

şeklinde elde edilir.

11 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Değişkenlerine ayrılabilen diferansiyel denklem türüne ilişkin örnekler aşağıda sunulmuştur. Örnek: 1.9.

diferansiyel denkleminin x = 1, y = 0 şartı için özel çözümünü elde ediniz.

12 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

eşitliğini önce değişkenlerine ayrılabilen tür haline dönüştürelim.

13 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Her iki tarafın integrali alınırsa,

14 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Her iki tarafın integrali alınırsa,

15 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Her iki tarafın integrali alınırsa,

16 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Her iki tarafın integrali alınırsa,

17 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Her iki tarafın integrali alınırsa,

18 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Her iki tarafın integrali alınırsa,

19 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler olduğundan,

20 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler olduğundan,

21 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler olduğundan,

22 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler du u  1  x , du  2 xdx, xdx  2 2

1  1  y  1 du 1    ln  ln u 2 1 y  2 u 2 1 1 y  1   ln(1  x 2 )  A ln 2 1 y  2 23 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler x = 1 için y = 0 koşulu kullanılırsa

24 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler x = 1 için y = 0 koşulu kullanılırsa

25 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler x = 1 için y = 0 koşulu kullanılırsa

elde edilir.

26 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Bu değer genel çözümde yerine konursa,

27 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Bu değer genel çözümde yerine konursa,

28 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Bu değer genel çözümde yerine konursa,

29 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

30 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

31 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

32 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

33 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

34 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

özel çözümü elde edilir.

35 eemdersnotlari.com

Diferansiyel Denklemler

Prof.Dr.Şaban EREN Yasar Üniversitesi Fen-Edebiyat Fakültesi

Bölüm 1 1.5.Homojen Eşitlikler:

eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler 1.5.Homojen Eşitlikler: tipindeki birinci dereceden diferansiyel denklemler Homojen Eşitlikler olarak sınıflandırılmıştır.

2 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler 1.5.Homojen Eşitlikler: tipindeki birinci dereceden diferansiyel denklemler Homojen Eşitlikler olarak sınıflandırılmıştır.Diferansiyel denklemin çözümü için y = vx

(1.22)

diyelim. Burada y ve v değişkenleri x’in fonksiyonlarıdır.

3 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler 1.5.Homojen Eşitlikler: tipindeki birinci dereceden diferansiyel denklemler Homojen Eşitlikler olarak sınıflandırılmıştır.Diferansiyel denklemin çözümü için y = vx

(1.22)

diyelim. Burada y ve v değişkenleri x’in fonksiyonlarıdır. Her iki tarafın x’e göre türevi alınırsa, (1.23) elde edilir.

4 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler (1.22) ve (1.23) nolu ifadeler

eşitliğinde

yerine konursa (1.24) bulunur.

5 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler (1.22) ve (1.23) nolu ifadeler

eşitliğinde

yerine konursa (1.24) bulunur. (1.24) nolu ifade düzenlenirse (1.25) elde edilir.

6 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler (1.22) ve (1.23) nolu ifadeler

eşitliğinde

yerine konursa (1.24) bulunur. (1.24) nolu ifade düzenlenirse (1.25)

7

elde edilir. Bunun sonucu olarak değişkenlerine ayrılan eşitliği elde edilir. Her iki tarafın integrali alınır ve ilgili değişkenler yerine konursa verilen homojen diferansiyel denklemin genel çözümü bulunur. eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Örnek 1.12. diferansiyel denkleminin çözümünü elde ediniz.

8 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Örnek 1.12. diferansiyel denkleminin çözümünü elde ediniz. Önce bu diferansiyel denklem türünü belirlemeye çalışalım.

9 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler olduğundan bu homojen diferansiyel türüdür.

10 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler olduğundan bu homojen diferansiyel türüdür.

ifadesinin x’e göre türevi alınırsa (v, x’in bir fonksiyonudur) elde edilir.

11 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Bu eşitlik verilen diferansiyel konursa,

12 eemdersnotlari.com

denklemde yerine

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Bu eşitlik verilen diferansiyel konursa,

13 eemdersnotlari.com

denklemde yerine

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Bu eşitlik verilen diferansiyel konursa,

denklemde yerine

(1.26) bulunur.

14 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Bu ifadeyi değişkenlerine ayrılabilen diferansiyel denklem türüne dönüştürmeye çalışalım. (1.27)

15 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Bu ifadeyi değişkenlerine ayrılabilen diferansiyel denklem türüne dönüştürmeye çalışalım. (1.27) eşitliğinin her iki tarafının integrali alınırsa, (1.28) elde edilir.

16 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Bu ifadeyi değişkenlerine ayrılabilen diferansiyel denklem türüne dönüştürmeye çalışalım. (1.27) eşitliğinin her iki tarafının integrali alınırsa, (1.28) elde edilir. Bu eşitlikte

konursa, (1.29)

17

elde edilir. (1.29) nolu eşitlik verilen diferansiyel denklemin genel çözümüdür.

eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Örnek 1.13. diferansiyel denkleminin çözümünü elde ediniz.

18 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Örnek 1.13. diferansiyel denkleminin çözümünü elde ediniz. (1.30)

olduğundan, y = v x diyelim. ifadesi (1.30) nolu eşitlikte yerine konursa,

19 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

20 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

21 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

22 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

23 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler elde edilir. Her iki tarafın integrali alınırsa,

24 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Her iki tarafın integrali alınırsa,

25 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Her iki tarafın integrali alınırsa,

26 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Her iki tarafın integrali alınırsa,

27 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

28 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

29 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

bu son eşitlikte yerine konursa,

30 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

31 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

32 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

elde edilir. Bu ifade verilen diferansiyel denklemin genel çözümüdür.

33 eemdersnotlari.com

Diferansiyel Denklemler Prof.Dr.Şaban EREN Ege Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Bilgisayar Mühendisliği Bölümü

Bölüm 1 1.6.

eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler 1.6. 



Verilen diferansiyel denklemde c veya c sabitlerinden en az birinin sıfır olmadığı varsayılmaktadır. Her ikisinin sıfır olduğu durumda eşitlik homojen diferansiyel türüne dönüşür. Bu diferansiyel denklemin çözümünde iki durumun gözönüne alınması gerekir.

2 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Durum-I: ax + by + c = 0 ve ax + by + c = 0 doğrularının kesişmesi durumu. Bu durum Şekil:1.2’de görülmektedir. Şekilden de görüldüğü gibi P noktasının koordinatları Oxy koordinat sistemine göre P(x,y) ve OXY koordinat sistemine göre P(X,Y)’dir. O noktasının bu iki doğrunun kesim noktası ve koordinatlarının (h, k) olduğunu varsayalım.

3 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

4

Şekil: 1.2. P noktasının Oxy ve O’XY koordinat eksenlerine göre pozisyonu.

eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler (1.31) diferansiyel denkleminde, x = h + X, y = k + Y konursa denklem

5 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler (1.31) diferansiyel denkleminde, x = h + X, y = k + Y konursa denklem (1.32)

şekline dönüşür.

6 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler (1.31) diferansiyel denkleminde, x = h + X, y = k + Y konursa denklem (1.32)

şekline dönüşür.

7 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler (h, k) iki doğrunun kesim noktası olup doğru denklemlerinde yerine konduğunda ah + bk + c = 0 ve ah + bk + c = 0 olacağından (1.32) nolu eşitlik, (1.33) homojen denklem türüne dönüşür. Bu tür denklemlerin çözümü bir önceki bölümde açıklanmış idi.

8 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Örnek 1.17. diferansiyel denkleminin çözümünü elde ediniz.

9 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Örnek 1.17. diferansiyel denkleminin çözümünü elde ediniz. Pay ve paydadaki doğruların eğimleri eşit olmadığından doğrular kesişir. Kesim noktasının koordinatlarının (h, k) olduğu varsayılırsa, 2x + 3y –1 doğrusundan x – 2y – 4 doğrusundan eşitlikleri elde edilir.

10 eemdersnotlari.com

2h + 3k – 1 = 0 h – 2k – 4 = 0

ve

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Bu eşitliklerden h = 2 ve k = -1 değerleri bulunur. Verilen diferansiyel denklemde, x = X + h ve y = Y + k konursa diferansiyel denklem (1.34) homojen denklem türüne dönüşür.

11 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler (1.34) nolu eşitlikte,

konursa

12 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler (1.34) nolu eşitlikte,

konursa (1.34) nolu eşitlik

şekline dönüşür ve buradan,

13 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

14 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

15 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

16 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

17 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

18 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

elde edilir.

19 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

(1.35) değerleri (1.35) nolu eşitlikte yerine konursa genel çözüm

20 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

(1.35) değerleri (1.35) nolu eşitlikte yerine konursa genel çözüm

şeklinde olur.

21 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Örnek 1.18. diferansiyel denkleminin çözümünü elde ediniz.

22 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Eğimleri eşit olmadığından pay ve doğruların kesim noktası(h, k) olsun. h–k=0 h – 8k + 7 = 0 eşitliklerinden h = 1, k = 1 elde edilir.

23 eemdersnotlari.com

paydadaki

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Eğimleri eşit olmadığından pay ve doğruların kesim noktası(h, k) olsun.

paydadaki

h–k=0 h – 8k + 7 = 0 eşitliklerinden h = 1, k = 1 elde edilir. Dolayısıyla x = X + h den X = x – h = x– 1 y = Y + k dan Y = y – k = y – 1 elde edilir.

24 eemdersnotlari.com

ve

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler x = X + h ve Y = Y + k eşitlikleri verilen diferansiyel denklemde konursa, diferansiyel denklemimiz

yerine

(1.36) homojen denklem türüne dönüşür.

25 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler x = X + h ve Y = Y + k eşitlikleri verilen diferansiyel denklemde konursa, diferansiyel denklemimiz

yerine

(1.36) homojen denklem türüne dönüşür. Y = VX ifadeleri (1.36)’da yerine konursa,

26 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

27 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

28 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

29 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

30 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

31 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

32 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

33 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

34 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

35 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

36 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

37 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

38 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

bulunur.

39 eemdersnotlari.com

(1.37)

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler X = (x – 1), Y = (y – 1) değerleri (1.37)’de yerine konursa

40 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler X = (x – 1), Y = (y – 1) değerleri (1.37)’de yerine konursa

genel çözümü elde edilmiş olur.

41 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Örnek 1.19. diferansiyel denkleminin çözümünü elde ediniz.

42 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Pay ve paydadaki doğruların eğimi eşit değildir. Dolayısıyla bu doğrular kesişir ve kesim noktasının (h, k) olduğunu varsayalım. 2h – k = 0 h +2k – 5 = 0 eşitliklerinden h = 1, k = 2 bulunur. Dolayısıyla X = x – 1 ve Y = y – 2’dir.

43 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler x = X + h ve y = Y + k eşitlikleri verilen diferansiyel denklemde yerine konursa diferansiyel denklemimiz, (1.38) homojen denklem türüne dönüşür.

44 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Y = VX eşitlikleri yardımıyla denklemimiz,

45 eemdersnotlari.com

(1.38)

nolu

diferansiyel

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Y = VX eşitlikleri yardımıyla denklemimiz,

46 eemdersnotlari.com

(1.38)

nolu

diferansiyel

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Y = VX eşitlikleri yardımıyla denklemimiz,

47

şekline dönüşür.

eemdersnotlari.com

(1.38)

nolu

diferansiyel

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Buradan,

48 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Buradan,

49 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Buradan,

50 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Buradan,

51 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

52 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

53 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

54 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

55 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

56 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

57 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

genel çözümü elde edilir.

58 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Durum II. Doğruların paralel olması durumu. diferansiyel denkleminde pay ve paydadaki doğruların eğimleri eşit yani doğrular paralel ise denklemin çözümü için aşağıdaki adımlar uygulanır.

59 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Durum II. Doğruların paralel olması durumu. diferansiyel denkleminde pay ve paydadaki doğruların eğimleri eşit yani doğrular paralel ise denklemin çözümü için aşağıdaki adımlar uygulanır. dersek

60 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Durum II. Doğruların paralel olması durumu. diferansiyel denkleminde pay ve paydadaki doğruların eğimleri eşit yani doğrular paralel ise denklemin çözümü için aşağıdaki adımlar uygulanır. dersek olur.

61 eemdersnotlari.com

(1.39)

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler eşitliğinden

62 eemdersnotlari.com

elde edilir.

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler eşitliğinden

elde edilir.

eşitliği (1.39)’da yerine konursa

63 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler eşitliğinden

elde edilir.

eşitliği (1.39)’da yerine konursa

(1.40)

64 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler ve bu eşitliğin düzenlenmesi sonucunda (1.41) bulunur.

65 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler ve bu eşitliğin düzenlenmesi sonucunda (1.41) bulunur. Görüldüğü gibi verilen diferansiyel denklem değişkenlerine ayrılmış olduğundan

eşitliğinin integrali alınarak sonuca gidilir.

66 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Örnek 1.20. diferansiyel denkleminin çözümünü elde ediniz.

67 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

olduğundan doğrular paraleldir.

68 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

olduğundan doğrular paraleldir. z = x – 2y dersek Dolayısıyla,

69 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

olduğundan doğrular paraleldir. z = x – 2y dersek Dolayısıyla,

70

olur.

eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Bu eşitlik verilen diferansiyel denklemde yerine konursa

71 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Bu eşitlik verilen diferansiyel denklemde yerine konursa

ve bu eşitliğin düzenlenmesi sonucunda (1.42) elde edilir.

72 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler (1.42) nolu eşitlik değişkenlerine ayrılabilir duruma düzenlenebilir.

Bu eşitliğin her iki yanının integrali alınırsa,

ifadesinden

73 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

eşitliği bulunur. Bu eşitlikte z = x – 2y konursa

(1.43) genel çözümü elde edilir.

74 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Örnek 1.21. diferansiyel denkleminin çözümünü elde ediniz.

75 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Eşitlikten de görüldüğü gibi olduğundan doğrular paraleldir.

76 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Eşitlikten de görüldüğü gibi olduğundan doğrular paraleldir. Verilen denklemde,

77 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Eşitlikten de görüldüğü gibi olduğundan doğrular paraleldir. Verilen denklemde,

78 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Eşitlikten de görüldüğü gibi olduğundan doğrular paraleldir. Verilen denklemde,

79 eemdersnotlari.com

konursa,

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler eşitlik

80 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler eşitlik

81 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler eşitlik

(1.44) şekline dönüşür.

82 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Her iki tarafın integrali alınırsa,

83 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Her iki tarafın integrali alınırsa,

84 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Her iki tarafın integrali alınırsa,

85 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

86 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

87 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

88 eemdersnotlari.com

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

(1.45) genel çözümü bulunur.

89 eemdersnotlari.com