Diferansiyel Denklemler-Çalışma Soruları

2006-2007 Eğitim-Öğretim Yılı Güz Dönemi Diferansiyel Denklemler Dersi Çalışma Soruları 1

1) dy/dt +2y=sint

diferansiyel denklemini çözünüz.

2) (4+t)dy/dt +y= 6+2t diferansiyel denklemini çözünüz. 3) dy/dt-3y=7 diferansiyel denklemini y(0)=15 başlangıç koşulu için çözünüz. 4)

2 xy + 3 y 2 dy = dx 2 xy + x 2

5) xy-dy/dx= y 3 e − x

diferansiyel denklemini çözünüz. 2

6) xdy-ydx= x2exdx çözünüz

Bernoulli diferansiyel denklemini çözünüz. x’ e bağlı integrasyon çarpanı kullanarak diferansiyel denklemi

7) sinxcosydx+cosxsinydy=0 tam diferansiyel denklemini çözünüz 8) (yex+y)dx + (ex+x)dy=0 diferansiyel denklemini çözünüz 9) y = xy ' + y '

3

diferansiyel denklemi çözünüz.

10) y’=2tanxsecx-y2sinx Riccati diferansiyel denkleminin bir özel çözümü y1=secx dir genel çözümü bulunuz.

1) y’+2y=sint

diferansiyel denklemini çözünüz.

Çözüm: y’+P(t)y=Q(t) tipi µ(t)= e

∫P(t)dt

= e ∫2dt=e2t

[µ(t)y ]’=µ(t)Q(t) ile

[

e2t y ]’= e2t sint

e2t y=∫ e2t sint dt=1/5 e2t(2sint-cost)+c y=1/5 (2sint-cost)+ce-2t 2) (4+t)dy/dt +y= 6+2t diferansiyel denklemini çözünüz. dy/dt +1/(4+t )y= 6+2t /(4+t) µ(t)= e

:

y’+P(t)y=Q(t) tipi

∫P(t)dt

= e ∫(1/4+t)dt=eln(1/(4+t))=1/(4+t) 1/(4+t) y ]’= 6+2t

[µ(t)y ]’=µ(t)Q(t) ile

[

1/(4+t)y=6t+t2+c

y=6t+t2+c*(4+t)

3) dy/dt-3y=7 diferansiyel denklemini y(0)=15 başlangıç koşulu için çözünüz. Çözüm: y’+P(t)y=Q(t) tipi µ(t)= e

∫P(t)dt

= e ∫-3dt=e-3t e-3t y ]’= 7 e-3t

[µ(t)y ]’=µ(t)Q(t) ile

[

e-3t y=-7/3e-3t+c

y= -7/3+ce3t

y(0)=15 için

15=-7/3+c

c=52/3 bulunur.

y= -7/3+52/3e3t

4)

2 xy + 3 y 2 dy = dx 2 xy + x 2

diferansiyel denklemini çözünüz

Homojen diferansiyel denklem y= vx

dy=vdx+xdv

(2xy+3y2)dx-(2xy+x2)dy=0 yerlerine konup düzenlenirse; (v+v2)dx= x(2v+1)dv

dx 2v + 1 dv integral alınarak = x v + v2 lnx=ln(v+v2)+c

v=y/x idi.

Lnx=ln(y/x+(y/x)2)+c

c = ln

5) xy-dy/dx= y 3 e − x

2

x3 xy + y 2

ec =

x3 xy + y 2

diferansiyel denklemini çözünüz. y’+P(x)y=Q(x)yn bernoulli (n ≠ 0, n ≠ 1)

Çözüm: u=y1-n

değişken dönüşümü ile

du dy = −2 y 3 dx dx yerlerine konursa

u= y-2 olur.

dy 1 du = − y3 dx 2 dx

xy+

çekilerek verilen dif. denklemde

x2 1 3 du 1 y = y 3e − ile çarpalım. 2 dx y3

2 1 x 1 du + = e −x → 2 = u 2 2 dx y y

xu +

1 du =0 2 dx

ile homojen çözüm bulunur.

(1)

xu = −

1 du 2 dx

-2xdx=du/u

-2∫xdx=∫du/u

lnu-lnc= -x2

ln(u/c)= -x2

u=c e −

-x2+lnc=lnu

x2

(2)

bulunur. İkinci taraflı denklemin çözümü için c nin nasıl bir c(x) fonksiyonu olması gerektiğini araştıralım.(yani homjen çözümde c=c(x) koyalım türevleri alarak (1) yerlerine yazalım.

u=c(x) e −

x2

du/dx=u’=

2 dc − x 2 e − 2 xc( x)e − x dx

2 2 2 1 dc − x 2 ( e − 2 xc( x)e − x ) + xc( x)e − x = e − x 2 dx

2 1 dc − x 2 e = e−x 2 dx

dc=2dx

(3)

c=2x+c1

(3) nolu ifade (2) yerine konur ve u=y-2 olduğu dikkate alınarak

y-2=(2x+c1)

e−x

2

elde edilir. 2 1 du = e −x 2 dx

veya

xu +

µ(x)= e

∫P(x)dx

= e ∫2xdx= e x

[µ(x)y ]’=µ(x)Q(x) ile

6)

2

u ' + 2 xu = 2e − x ile 2

2

[ e x y ]’=

2

y=(2x+c)

xdy-ydx=x2exdx diferansiyel denklemini çözünüz.

Çözüm:

e−x

2

-(y+x2ex)dx+xdy=0

M(x,y)dx+N(x,y)dy=0

M(x,y)= -(y+x2ex) N(x,y)= x

∂N =1 ∂x

∂M = −1 ∂y ∂M ∂N ≠ ∂y ∂x

Tam diferansiyel değil.

x’ e bağlı integrasyon çarpanı: ∂ ln µ M y − N x − 1 − 1 − 2 = = = N ( x, y ) x x ∂x

yardımıyla integrasyon çarpanı

µ = 1/ x 2 elde edilir. Verilen diferansiyel denklemle çarpılarak yani, 1 / x 2 (-(y+x2ex)dx+xdy=0) -(y/x2+ex)dx+1/x dy=0 elde edilir. Bu durumda M(x,y)= -(y/x2+ex) N(x,y)= 1/x

∂M ∂N 1 =− 2 = ∂x ∂y x tam diferansiyal denklem elde edilir.

∂F = M ( x, y ) ∂x

F=

y − e x + g ( y) x dF=0 F=c

∂F = N ( x, y ) ∂y

F=

y + m(x) x

7) sinxcosydx+cosxsinydy=0

c=

y − e x veya y=cx+xex x

M(x,y)= sinxcosy

∂M ∂N = = − sin x sin y ∂y ∂x

Tam diferansiyel

N(x,y)= cosxsiny

dF= M(x,y)dx → F= -cosxcosy+g(y) c=-cosxcosy dF= N(x,y)dy → F= -cosxcosy +m(x) 8) (yex+y)dx+(ex+x)dy=0

diferansiyel denklemini çözünüz.

x

M(x,y)= ye +y

∂M ∂N = = ex +1 ∂y ∂x

Tam diferansiyel

x

N(x,y)= e +x

dF= M(x,y)dx → F= yex+yx +g(y)

c= yex+yx

dF= N(x,y)dy → F= yex+yx +m(x)

9) y = xy ' + y '

3

diferansiyel denklemi çözünüz.

y = xy ' + ϕ ( y ' ) şeklinde

(Claıraut dif. denklemi)

Genel çözüm için y ' =c yazılırsa ygenel=xc+c3 tekil çözüm için c’ye türev alınıp sıfıra eşitlenerek c ifadeden çekilerek parametrik denklemler elde edilir. Yani; x+3c2=0

x=-3c2

y=(-3c2)c+c3=-2c3

c2=-x/3 c nin karşılığı y=-2c3 de yerine konarak

x −x − x3 y= − 2(− ) = −2 3 3 27

veya

y 2 = −4

x3 27

10) y’=2tanxsecx-y2sinx Riccati diferansiyel denkleminin bir özel çözümü y1=secx dir genel çözümü bulunuz.

Q(x)= 2tanxsecx, R(x)= -sinx P(x)=0 olmak üzere riccati tipi diferansiyel denklemdir. (y’=P(x)y+R(x)y2+Q(x) tipi) y=y1+1/u dönüşümü kullanılarak türevler alınıp verilen diferansiyel denkleminde (y’=2tanxsecx-y2sinx)yerlerine konursa , yani; y=secx+1/u y’=sinx/cos2x- u’/u2= tanxsecx- u’/u2 tanxsecx- u’/u2=2tanxsecx- (secx+1/u) 2sinx

tanxsecx- u’/u2=2tanxsecx-sec2xsinx-2secx(1/u)sinx-1/u2sinx tanxsecx- u’/u2=2tanxsecx-tanxsecx-2secx(1/u)sinx-(1/u2)sinx -u’/u2=(-2/u ) tanx-(1/u2)sinx u’=2utanx+sinx u’-2utanx=sinx

1.mertrebeden lineer dif denklem haline gelir.

u=c/cos2x c’=cos2xsinx c=- cos3x /3 +c1 u=(- cos3x /3 +c1)1/cos2x=(-1/3)cosx+c1/cos2x u= (-cos3x+c1 ) / 3cos2x bulunur y=secx+1/u de yerine konarak genel çözüm ygenel =secx+1/(-cos3x+c1 ) / 3cos2x veya ygenel = secx+3cos2x /(-cos3x+c1 )