Didáctica de Las Matemáticas

Didáctica de matemáticas Aportes y reflexiones

Cecilia Parra e Irma Saiz (comps.)

ÍNDICE .................................................................. ............................................. ............................................. ....................................9 .............9 Lista de autor au tores es ........................................... .................................................................. .............................................. .............................................. .............................................11 ......................11 Prólogo ...........................................

Luis A. Santal Santa ló ............................................................21 1. Matemática Matemática para para no matemátic matemáti cos , por Luis Gálvez. ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ....... ... 39 2. La di di dáctic ácti ca de las la s matemáti matemáti cas, por Grecia Gálvez.....  Roland Charn ha rnay ay ........ .... ........ ........ ........ ....... ....... ....... ... 51 3.Aprende 3.Aprende r (por medio de de ) la resoluc resolu ción de prob problem lemas as, por  Roland Brousseau ...............................................................65 4. Los Los di feren ferentes tes role roless del del maestro m aestro, por Guy Brousseau Lerner y Patricia Sadovsky Sado vsky ........95 5. El sist si stem emaa de numer nume ración: un prob pro blema di dácti dácti co , por Delia Lerner Irm a Saiz ................................................185 6.Divid 6.Divi di r con con di ficulta ficultadd o la l a difi difi cultad ul tad de de di vidi vidi r, por Irm Parra .......................................................219 7.Cálculo 7.Cálculo mental mental en la esc es cuela primar primarii a, por Cecilia Parra

8.La geometrí geometrí a, la psicogénes sicogénesii s de l as noci noci ones ones es paciales y l a enseñan enseñanzz a de de l a geometrí geometrí a 27 3 Gálvez ........ .... ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ....... ....... ........ ........ ........ ........ ...... 273 en la esc es cuela elemental, por Grecia Gálvez

CAPÍTULO II. LA DIDÁCTICA DE LAS MATEMÁTICAS1 Grecia Grecia Gálvez  Nuestro trabajo se inscribe en una perspectiva t eórica ór ica que que propone propone el desarrollo desarrollo de una rama del conocimiento relativamente autónoma, designada como Didáctica de las Matemáticas. Esta propuesta tuvo su origen a raíz de la actividad desplegada, básicamente por matemáticos, en los Institutos de Investigación sobre la Enseñanza de las Matemáticas (IREM) creados en Francia luego de la Reforma Educativa de fines de los añ os 60, con la que que se impus imp uso o la enseñanza de la “Matem át ica ica moderna” moderna ”. Inicialmente, los IREM se dedicaron a complementar la formación matemática de los maestros, incidiendo tanto en el reciclaje de los maestros en servicio como en los programas y la preparación de nuevos maestros, en las escuelas normales. Otro ámbito importante de su actividad fue la producción de materiales de apoyo para el trabajo de los maestros en el aula: texto de matemáticas, fichas de trabajo para los alumno s, juegos juegos y juguetes juguetes didáctico s, colecci colec cion ones es de problemas y de ejercicio ejercicios, s, secuencias de lecciones, lec ciones, etcétera. La producción de estos materiales solía acompañarse de una experimentación rudimentaria, concebida como prueba de su factibilidad y como antecedente para introducir ajustes mínimos, antes de  pro ceder a su difusión difusión dent dent ro del sistema educat educat ivo, urgent urgent ement ement e requerida. requerida. Las prácticas descritas más arriba han sido rotuladas como “innovación”, término que genera  peligrosas confusiones, como lo advierte advierte Chevallar Chevallard d (1982), (1982), con los procesos procesos de socializaci socializac ión de adquisiciones científicas y técnicas que tienen lugar en otros campos de la actividad humana. En educación, cualquier transformación de las normas vigentes puede ser catalogada como “innovación”, aun cuando su único aval sea el prestigio social de quien la propone. Chevallard atribuye este fenómeno a la ausencia de una historia en el dominio educativo, de un tiempo endógeno que permita constituir en progresión la simple sucesión cronológica de los hechos, lo que equivale a mencionar la ausencia de tradición en la elaboración científica de la problemática. A partir de la reflexión sobre la validez de las acciones desarrolladas, en los propios IREM fue surgiendo otra clase de actividades, destinadas ya no a la producción de medios para actuar sobre la

Por otra parte, la investigación de los fenómenos relativos a la enseñanza de las matemáticas tampoco puede reducirse a la observación y análisis de los procesos que tienen lugar cotidianamente en las aulas, puesto que su objetivo es la determinación de las condiciones en las que se produce la apropiación del saber por los alumnos, y para esto necesita ejercer un cierto grado de control sobre ellas, lo que implica que el investigador debe participar en la producción (o diseño) de las situaciones didácticas que analiza. De aquí la necesidad de constit uir mont ajes experimentales o, en la terminología de Chevallard (1982), de desarrollar  una “ingeniería didáctica” subordinada a la investigación, en Didáctica de las Matemáticas:

El control de nuestro conocimiento del fenómeno pasa por el proyecto de su producción, y esta p roducción compromete nuestra teoría del fenómeno en una técnica de su producción. El objeto de estudio de la Didáct ica de Mat emáticas es la situación didáctica, definida por Brousseau (1982b) como

Un conjunto de relaciones establecidas explícita y/o implícitamente entre un alumno o un grupo de alumnos, un cierto medio (que comprende eventualmente instrumentos u objetos) y un sistema educativo (representado por el profesor) con la finalidad de lograr que estos alumnos se apropien de un saber constituido o en vía s de constitución. Estas relaciones se establecen a través de una negociación entre maestro y alumnos cuyo resultado ha sido designado como contrato didáctico. Este contrato, con componentes explícitos e implícitos, define las reglas de funcionamiento dentro de la situación: distribución de responsabilidades, asignación de plazos temporales a diferentes actividades, permiso o prohibición del uso de determinados recursos de acción, etcétera. La presencia de un contexto escolar no es esencial en la definición de una situación didáct ica; lo que sí es esencial es su carácter intencional, el haber sido construida con el propósito explícito de que alguien aprenda algo.

1. Las situaciones de acción, en las que se genera una interacción entre los alumnos y el medio físico. Los alumnos deben tomar las decisiones que hagan falta para organizar su actividad de resolución del problema planteado. 2. Las situaciones de formulación, cuyo objetivo es la comunicación de informaciones, entre alumnos. Para esto deben modificar el lenguaje que utilizan habitualmente, precisándolo y adecuándolo a las informaciones que deben comunicar. 3. Las sit uaciones de validación, en las que se t rata de convencer a uno o varios interlocutores de la validez de las afirmaciones que se hacen. En este caso, los alumnos deben elaborar pruebas para demostrar sus afirmaciones. No basta la comprobación empírica de que lo que dicen es cierto; hay que explicar que, necesariamente, debe ser así. 4. Las situaciones de institucionalización, destinadas a establecer convenciones sociales. En estas situaciones se intenta que el conjunto de alumnos de una clase asuma la significación socialmente establecida de un saber que ha sido elaborado por ellos en situaciones de acción, de formulación y de validación. Una parte importante del análisis de una situación didáctica lo constituye la identificación de las variables didácticas y el estudio, tanto teórico como experimental, de sus efectos. Lo que interesa son los intervalos de valores de estas variables que resultan determinantes para la aparición del conocimiento que la situación didáctica pretende enseñar. Se trata de precisar las condiciones de las que depende que sea ése el conocimiento que interviene y no otro. Entre las variables que intervienen en una situación hay algunas, denominadas variables de comando, que pueden ser manipuladas por el maestro para hacer evolucionar los comportamientos de los alumnos. Su identificación resulta particularmente importante. Artigue (1984) destaca el rol de la manipulación de variables en Didáctica, en relación con el estudio del desarrollo  psicogenético del niño:

Para el especialista en didáctica, determinar cómo el uso de variables de comando de la situación puede provocar, en la clase, cambios de estrategia, cómo se podría controlar en el seno de un proceso, por la manipulación de estos comandos, una génesis escolar del concepto, aparece

conocimientos. Hasta la fecha ha predominado una concepción según la cual basta con descomponer un saber, en su modalidad cultural, en pequeños trocitos aislados, y luego organizar su ingestión por los alumnos, en períodos breves y bien delimitados, según secuencias det erminadas sobre la base del análisis del  propio saber. Est a man era de organizar la enseñanza no atribuye importancia al contexto específico (situación) donde los conocimientos son adquiridos, ni a su significación y valor funcional, durante su adquisición. Brousseau ha mostrado la importancia de la situación para la actualización y funcionalización de los conocimientos escolares. Por ejemplo, hay niños que, al inicio de la escuela primaria, saben contar hasta determinado número y que, sin embargo, son incapaces de utilizar este conocimiento para constituir una colección de objetos equipotente a una colección dada, bajo una consigna del tipo: “Ve al fondo del salón a  buscar las tapas que hagan falta para t apar todas est as botellas” (de Villegas, 1983). Estos niños saben asignar un término de una serie ordenada a cada objeto de una colección, sin repetir ni omitir ninguno:  poseen un saber cult ural del cómputo numérico. No obst ante, no han aprendido a ut ilizar este saber como medio para controlar una sit uación o para resolver un problema (no lo han funcionalizado). Brousseau plantea que es p reciso diseñar situaciones didácticas que hagan funcionar el saber, a partir  de los saberes definidos culturalment e en los programas escolares. Este planteamiento se apoya en la t esis de que el sujeto que aprende necesita construir por sí mismo sus conocimientos mediante un proceso adapt ativo (Piaget, 1975) similar al que realizaron los productores originales de los conocimientos que se quiere enseñar. Se trata, entonces, de producir una génesis artificial de los conocimientos, de que los alumnos aprendan haciendo funcionar el saber o, más bien, de que el saber aparezca, para el alumno, como un medio de seleccionar, anticipar, ejecutar y controlar las estrategias que aplica a la resolución del problema  planteado por la situación didáct ica. Peres (1982) caracteriza esta génesis artificial de la siguiente manera:

El camino que hemos seguido consiste en construir un proceso de aprendizaje en el que el conocimiento no es ni directa ni indirectamente enseñado por el maestro, sino que debe aparecer   progresivamente en el niño a partir de múltiples condicionantes estructurales: es el resultado de confrontaciones con cierto tipo de obstáculos encontrados durante la actividad. Son las múltiples

•

Los alumnos establecen relaciones sociales diversas: comunicaciones, debates o negociaciones con otros alumnos y con el maestro, etcétera.

En síntesis, se trata de enfrentar a los alumnos a una situación que evolucione de tal manera que el conocimiento que se quiere que aprendan sea el único medio eficaz para controlar dicha situación. La situación proporciona la significación del conocimiento para el alumno, en la medida en que lo convierte en un instrumento de control de los resultados de su actividad. El alumno construye, así, un conocimiento contextualizado, a diferencia de la secuenciación escolar habitual, donde la búsqueda de aplicaciones de los conocimientos sucede a su presentación, descontextualizada. Un ejemplo de situación didáctica diseñada por Brousseau (1981) con las características que acabamos de enumerar es el siguiente:

ejemplo, que cuando un maestro conduce una misma situación didáctica durante varios años sucesivos, su gestión empeora debido a que realiza cambios sutiles en la situación para reproducir la historia de los comportamientos de los alumnos, obstaculizando así el curso natural de los procesos intelectuales subyacentes a estos comportamientos. Este fenómeno ha sido descrito con el término “obsolescencia”. Ultimamente se ha probado el recurrir a una microcomputadora para presentar una situación didáctica a los alumnos, con el propósito de facilitar la reproductibilidad de la situación. Un comentario que nos parece conveniente hacer se refiere a la difusión de los resultados de la Didáctica de las Matemáticas entre los maestros. Puesto que el est udio de las situaciones didácticas tiene por  finalidad conocer y controlar los fenómenos relativos a la enseñanza de las matemáticas, es la comunicación de sus resultados lo que permitirá al maestro de base una mayor comprensión de su práctica laboral y un incremento de su control. Sin embargo, es un hecho que la difusión pasa también por el intento de repetir las situaciones didácticas que han sido construidas con fines experimentales. Cabe aquí aludir a la distinción entre la experimentación de laboratorio, en física, y la innovación de los procesos productivos, en la industria. Nadie osaría criticar, en la actualidad, un diseño experimental realizado en un laboratorio, argumentando que eso no se puede llevar a la práctica en la industria. 2 En cambio, es frecuente pensar que todo lo que se hace en un salón de clases con carácter experimental debe poder repetirse en un “aula cualquiera”.  Nuestro punto de vista al respecto es impulsar la réplica de las sit uaciones “ broussonianas” en condiciones lo más cont roladas posibles y utilizarlas como modelo para fomentar la reflexión de los maestros sobre las condiciones que influyen en el aprendizaje de los alumnos. Evidentemente, estas situaciones coexistirán, durante un largo tiempo con otras, organizadas de una manera tradicional, que posibilitarán el cumplimiento de programas y normas instituidas oficialmente en el sistema educativo, independientemente de los juicios sobre su eficacia que podamos emitir, desde una perspectiva técnica.

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CAPÍTULO III. APRENDER (POR MEDIO DE) LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS*  Roland Charnay  Para un espíritu científico todo conocim iento es una respuesta a una pregunta. Si no ha habido  pregunta no puede haber conocimiento científico. Nada viene solo, nada es dado. Todo es construido.  BACHELARD, La formación del espíritu científico

¿Lecciones de la historia? La historia de la matemática, en la complejidad de su evolución y de sus revoluciones, ilustra bien esta cita de Bachelard. Las matemáticas se han construido como respuesta a preguntas que han sido traducidas en otros tantos problemas. Estas preguntas han variado en sus orígenes y en sus contextos:  pro blemas de orden doméstico (división de tierras, cálculo de créditos ... ); problemas planteados en estrecha vinculación con otras ciencias (astronomía, física ... ); especulaciones en apariencia “gratuitas” sobre “objetos” pertenecientes a las matemáticas mismas, necesidad de organizar elementos ya existentes, de estructurarlos, por ejemplo, por las exigencias de la exposición (enseñanza ... ), et cétera. De más está decir que la actividad de resolución de problemas ha estado en el corazón mismo de la elaboración de la ciencia matemát ica. “¡Hacer matemática es resolver problemas!”, no t emen afirmar  algunos. Pero esta elaboración no se realiza sin dificultad. Los problemas a menudo ofrecen resistencia; las soluciones son casi siempre parciales, aun si destellos geniales provocan avances espectaculares... que a veces no son reconocidos desde el principio. “En el uso frecuente de textos originales y también en el de obras generales –suma de saberes históricamente acumulados en este dominio– hemos descubierto un tejido complejo y difuso hecho de conjeturas, de dudas, de  gaffe, de modelos concurrentes, de intuiciones fulgurant es y también de momentos de axiomatización y síntesis”, escriben A. Dahan-Dalmedico y J. P eiffer 

Agreguemo Agreguemo s que que la construcción co nstrucción de la significación de un conocimiento debe debe ser considerada considerada en dos niveles: un niv el “ externo”: ¿cuál es el campo de ut ut ilización de est est e conocimient conocimient o y cuáles son los límites límites • de este campo? •

un nivel “interno”: ¿cómo y por qué funciona tal herramienta? (por ejemplo, ¿cómo funciona un algoritmo y por p or qué qué co nduce al result resultado ado buscado?). buscado?).

 La cuestión esencia esenciall de la enseñanza nseñ anza de la matemá tica tica es entonces: ¿cómo hacer ha cer para pa ra que los conocimientos enseñados tengan sentido para el alumno? El alumno debe ser capaz no sólo de repetir o rehacer, sino también de resignificar en situaciones nuevas, de adapt adapt ar, de t ransferir sus sus conocimien co nocimientt os para resolver nuevos problemas. Y es, en principio, haciendo aparecer las nociones matemáticas como herramientas para resolver   pro blemas como se permit permit irá a los alumnos const const ruir el sentido. sentido. Sólo después estas herramient herramient as po drán ser  estudiadas por sí mismas.

Estrategia strategi a de aprendiz aprendizaj ajee Se plantea entonces al docente la elección de una estrategia de aprendizaje. Esta elección (que cada uno hac h acee al menos implícitam implícitam ente) est est á inf influid luidaa por numerosas variables: el punto de vist a del docente sobre la disciplina enseñada (¿qué es la matemática?, ¿qué es hacer matemática?), su punto de vista sobre los objetivos generales de la enseñanza y sobre aquellos específicos de la matemática, su punto de vista sobre los alumnos (sus posibilidades, sus expectativas), la imagen que el docente se hace de las demandas de la institución (explícitas, implícitas o supuestas), de la demanda social o también de la de los padres... Para describir algunos modelos de aprendizaje, se puede apoyar en la idea de “contrato didáctico”, tal como Brousseau lo ha definido: conjunto de comportamientos (específicos) del maestro que son esperados por el alumno, y

 –  El saber ya está acabado, ya construido. Se reconocen allí los métodos a veces llamados dogmáticos (de la regla a las aplicaciones) o mayeúticos (preguntas/respuestas). 2.  El modelo llamado llamado “incita tivo” tivo” (c ( centrado en el e l alum alum no) Al principio se le pregunta al alumno sobre sus intereses, sus motivaciones, sus propias necesidades, su entorno.  – El E l maestro maestr o escucha escucha al alumn alumno, o, suscit suscitaa su curiosidad, curiosidad, le ayuda a utilizar fuentes de información, responde a sus demandas, lo remite a herramientas de aprendizaje (fichas), busca una mejor motivación (medio: (me dio: cálculo vivo de Frei Fre inet, centros cent ros de interés de Decroly).  – El alumno alumno busca, busca, organiz organiza, a, luego estud est udia, ia, aprende (a m enudo de manera p róxima róxima a lo que que es la enseñanza programada).  – El E l saber est est á ligado a las necesidades necesidades de la vida, del entorno (la estruct estruct ura propia pr opia de est est e saber pasa p asa a un segundo plano). Se reconocen allí las diferentes corrientes llamadas “métodos activos”. 3.  El m odelo llamado llamado “apr “ap roxima tivo” tivo” construcción del saber por el alumno)

(centrado (centrado

en

la

Se propone partir de “modelos”, de concepciones existentes en el alumno y “ponerlas a prueb pr ueba” a” par mejorarlas, modificarlas o cons on st ruir  nuevas.  – El maestro propone y organiza una serie de situaciones con distintos obstáculos (variables didácticas dentro de estas situaciones), organiza las diferentes fases (investigación, formulación, validación,

sentidos

  problemas (utilización de los conocimientos para el alumno, control para el maestro)

•

 – lo que que conduce conduce a menudo menudo a est est udiar udiar t ipos po s de problemas: pr oblemas: confrontado a un nuevo problema, el alumno busca busca si y a ha resuelt resuelt o uno del mismo t ipo.  – es el modelo m odelo de referencia de numerosos manuales, siendo la idea subyacent subyacentee que que es necesa nece sario rio  partir  part ir de lo fácil, de lo simp simple, le, para para acceder ac ceder a lo comp lejo, lejo, y que que un conocimiento complejo puede ser, p ara el aprendizaje, descompuesto en una serie de conocimientos fáciles de asimilar y que, finalmente, todo aprendizaje debe ir de lo concreto a lo abstracto. 2) El problema como móvil del aprendizaje (modelo llamado “incitativo”) motivación

•

 sit uación basada basada en lo vivido vivido

mecanismo

 aporte de conocimientos • práctica, ejercicios

resignificación

•

•

 problemas

 – al principio, pr incipio, se desea que que el alumno sea un “ demandante demandante act ivo, ávido de conocimientos funcionalmente útiles”.  – pero las situaciones “ nat nat urales” son a menudo menudo demasiado complejas para permitir al alumno alumno construir por sí mismo las herramientas y, sobre todo, demasiado dependientes de “lo ocasional” para que sea tenida en cuenta la preocupación por la coherencia de los conocimientos. 3)  El problema problema como recurso d e apren aprendiz dizaje aje (modelo llamado llamado “apr “ap ropia op iatt ivo” vo ”)

Así, un nuevo saber puede cuestionar las concepciones del alumno originadas por un saber anterior:  por ejemplo, el est udio de los decimales debería conducir al alumno a cuestionar la idea de que la multiplicación “agranda” siempre (idea que él ha podido elaborar estudiando los naturales). Del mismo modo, un saber adquirido puede hacerse fracasar fácilmente aun ante mínimas modificaciones de las variables de la situación: así, G. Vergnaud (1981) ha mostrado que la “noción de adición” o las estructuras aditivas no son totalmente dominadas hasta muy tarde... 2) El rol de la acción en el aprendizaje Piaget también ha subrayado el rol de “la acción” en la construcción de conceptos. Por supuesto, se trata de la actividad propia del alumno que no se ejerce forzosamente en la manipulación de objetos materiales, sino de una acción con una finalidad, problematizada, que supone una dialéctica pensamientoacción muy diferente de una simple manipulación guiada, t endiente a menudo a una tarea de constatación por   parte del alumno... Hay que subrayar aquí el rol de la anticipación: la actividad matemática consiste a menudo en la elaboración de una estrategia, de un procedimiento que permite anticipar el resultado de una acción no realizada todavía o no actual sobre la cual se dispone de ciertas informaciones. 3) Sólo hay aprendizaje cuando el alum no percibe un problem a para resolver... ... es decir cuando reconoce el nuevo conocimiento como medio de respuesta a una pregunta. Aquí también podemos recurrir a Piaget, para quien el conocimiento no es ni simplemente empírico (constataciones sobre el medio) ni preelaborado (estructuras innatas), sino el resultado de una interacción sujet o-medio (cf. arriba punto 2). Lo que da sentido a los conceptos o teorías son los problemas que ellos o ellas permiten resolver. Así, es la resistencia de la situación la que obliga al sujeto a acomodarse, a modificar o percibir los límit es de sus conocim iento s anter iores y a elaborar nuevas herramientas (idea de conflicto cognitivo). Habrá que tener esto en cuenta para la elección de las situaciones. En la misma perspectiva, se tiende a preferir la motivación propia de la actividad propuesta (dificultad que se desea salvar, franquear) a la motivación externa (necesidades de la vida corriente, observaciones) cuyo interés, sin embargo, no se debe descartar: el problema es entonces percibido como un

 – Debe permitir al alumno utilizar los conocimientos anteriores...., no quedar desarmado frente a ella.  – Pero, sin embargo, debe ofrecer una resistencia suficiente  para llevar al alumno a hacer  evolucionar los conocimientos anteriores, a cuestionarlos, a elaborar nuevos (problema abierto a la investigación del alumno, sentimiento de desafío intelectual).  – Fin almente, es deseable que la  sanción (la validación) no venga del maestro, sino de la situación misma.  Relación docente-alumno

¿Qué percepción tiene el alumno de las expectativas del maestro? Las relaciones pedagógicas deben conducir a los alumnos a percibir que les es más conveniente establecer ellos mismos la validez de lo que afirman que solicitar pruebas a los otros.  – Una distinción neta debe ser establecida entre los aportes del docente y las pruebas que los alumnos aportan.  Relación maestro-situación

 – Le co rresponde al maest ro ubicar la situación propuest a en el cuadro del aprendizaje apuntado, distinguir el objetivo inmediato de los objetivos más lejanos, elegir ciertos parámetros de la situación (idea de “variables didácticas” de la situación).  – El conocim iento considerado debe ser el m ás adaptado para resolver el problema propuesto (desde el punto de vista de los alumnos).  – Le corresponde t ambién observar las incomprensiones, los errores significativos, analizarlos y tenerlos en cuenta para la elaboración de nuevas situaciones.  – Le corresponde, en fin, provoca r o hacer la síntesis.

¿Qué

mas elegir? ¿Qué

ha pedagógica?

interés por movilizar una nueva herramienta. La elección es difícil: es necesario no desmovilizar al alumno con una dificultad demasiado grande ni dar la impresión de “ derribar puert as abiertas con una excavadora”.  – Elección de una p uesta en marcha pedagógica. No h ay soluciones tipo, pero se p uede anticip ar con la mayor parte de los didactas actuales una estrategia de referencia que comprenda varias etapas: investigar  individualmen te y/o en grupos, formular oralmente o por escrito, validar, instit ucionalizar (identificación del saber, convenciones para el lenguaje, las notaciones), evaluar, proceso que puede extenderse en varias sesiones e incluso utilizar varias situaciones problemas.

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CAPÍTULO IV. LOS DIFERENTES ROLES DEL MAESTRO 1 Guy Brousseau

Contextualización y descontextualización del saber El matemático no comunica sus resultados tal como los ha hallado; los reorganiza, les da la forma más general posible; realiza una “didáctica práctica” que consiste en dar al saber una forma comunicable, descontextualizada, despersonalizada, atemporal. El docente realiza primero el trabajo inverso al del científico, una recontextualización y repersonalización del saber: busca situaciones que den sentido a los conocimientos por enseñar. Pero, si la fase de personalización ha funcionado bien, cuando el alumno ha respondido a las situaciones propuestas no sabe que ha “producido” un conocimiento que podrá utilizar en otras ocasiones. Para transformar sus respuestas y sus conocimientos en saber deberá, con la ayuda del docente, redespersonalizar y redescontextualizar el saber que ha producido, para poder reconocer en lo que ha hecho algo que tenga carácter universal, un conocimiento cultural reutilizable. Se ven bien las dos partes, bastante contradictorias, del rol del maestro: hacer vivir el conocimiento, hacerlo producir por los alumnos como respuesta razonable a una situación familiar y, además, transformar  esa “respuesta razonable” en un “hecho cognitivo extraordinario, identificado, reconocido desde el exterior”. Para el docente, es grande la tentación de saltar estas dos fases y enseñar directamente el saber como objeto cultural evitando este doble movimiento. En ese caso, se presenta el saber y el alumno se lo apropia como puede.

Devolución del problema y desdidactificación Considerar al aprendizaje como una modificación del conocimiento que el alumno debe producir por  sí mismo y que el maestro sólo debe provocar, nos lleva a los siguient es razonamientos.

 No basta “comunicar” un problema a un alumno para que ese problema se convierta en su  problema y se sienta el único responsable de resolverlo. Tampoco basta que el alumno acepte esa responsabilidad para que el problema que resuelva sea un problema “universal”, libre de presupuesto s subjetivos. Denominamos “devolución” a la actividad mediante la cual el docente intenta alcanzar ambos resultados. Un ejemp lo de la devolución de una situació n a-didáctica

En un juego de microcomputadora, niños pequeños (5 años) deben conducir con el lápiz óptico, uno a uno, conejos a un prado y patos a una laguna. Las reglas de tal manipulación no presentan dificultades insuperables para la edad. Los niños pueden interpretar que la desaparición y luego la reaparición de un animal en otro sitio corresponden a un desplazamiento. Pero pronto se plantea algo más que una manipulación según las reglas del juego: el maestro quiere que el alumno señale todos los conejos, uno tras otro y una sola vez, antes de dirigirlos hacia el prado para desarrollar en él la enumeración de una colección. La serie de operaciones a realizar no está dada en la consigna; queda a cargo del alumno. La devolución de esta tarea se lleva a cabo por etapas. Primera etapa: Aproxima ción puramente lúdica

Los alumnos aún no han comprendido que, entre los resultados del juego, algunos son deseables –  todos los conejos van al prado y bailan en una pequeña ronda– y otros no –los conejos olvidados se ponen rojos y emiten un gruñido–. Los niños juegan, “pinchan” los conejos y están contentos de provocar un efecto, cualquiera que sea. 2

Segunda etapa: Devolución de una preferencia

Los alumnos comprendieron bien cuál es el efecto deseado (por ejemplo, se ha suprimido to do efecto de falsas manipulaciones) ribu l ltados, b los, a una especie de fa alidad o azar.

Cuarta etapa: Devolución de la anticipación

La relación entre la decisión y el resultado debe ser pensada antes de la decisión. El alumno se hace cargo entonces de las anticipaciones, que excluyen toda intervención oculta. Aun cuando todavía no haya sido totalmente dominada, esta anticipación es considerada como responsabilidad cognit iva del jugador, y no sólo como su responsabilidad social. Quinta etapa: Devolución de la situación a-didáctica

Para tener éxito en el juego de los conejos, el alumno debe enumerar una colección. Pero no basta con que lo haga una vez “por azar”. Debe saber reproducirlo a voluntad en circunstancias variadas. Es necesario que sea consciente de este poder de reproducción y conozca, al menos intuitivamente, las condiciones que le permiten buenas posibilidades de éxito. El alumno debe reconocer los juegos a los que acaba de aprender a jugar. Pero lo que sabe hacer no le ha sido nombrado, identificado ni, sobre todo, descrit o como un procedimiento “establecido”. Así, la devolución no se realiza sobre el objeto de enseñanza sino sobre las situaciones que lo caracterizan. Este ejemplo ha sido escogido para distinguir bien los diferentes componentes de la devolución. La enumeración no es un concepto matemático de mucho peso cultural. Sólo interviene en la enseñanza mucho más tarde, con lenguajes y problemáticas diferentes. Ni el vocabulario ni los conocimientos formales vienen, pues, a perturbar el objeto de enseñanza. El niño, antes de este aprendizaje, podía “contar” colecciones desplazando los objetos o marcándolos de modo de tener siempre una materialización cómoda del conjunto que queda por enumerar. Pero aquí debe realizar la misma tarea mentalmente. Sus representaciones deben ampliarse a un control intelectual mucho más complejo: buscar un conejo fácil de señalar, luego otro, de modo tal de recordar que esos dos ya han sido tomados; buscar otro, bastante cercano a los primeros y que forme con ellos una disposición (pequeño grupo, línea, etc.) que permita no perderlos de vista mientras busca un cuarto, que a su vez entra en la estructura para no volver a tomar un conejo ya tomado y poder saber que aún quedan..., etcétera.

 pero ¿qué barco?”; “Un barco amarillo”; “Bien, ¿quién tiene el barco amarillo? Trae el barco amarillo”. ¿Qué es lo que ha hecho el alumno? ¿Ha anticipado un resultado? ¿Ha hecho funcionar la conjunción? ¿Propiedades? ¿Quién ha realizado el trabajo? Si una situación lleva al alumno a la solución como por un carril, ¿cuál es su libertad de construir su conocimiento? Ninguna. La situación didáctica debe conducir al alumno a hacer lo que se busca pero, al mismo tiempo, no debe conducirlo. Porque si la respuesta se debe exclusivamente a las virtudes de la situación, nada debe a las “virtudes” del alumno. Dicho de otro modo, se debe definir la distancia que hay entre la determinación, por parte de la situación, de lo que el alumno debe hacer y la determinación, por parte del alumno, de lo que debe ocurrir. Será necesario que el conocimiento intervenga como anticipación y no progresivamente como respuesta. A la inversa, si el maestro no tiene intención, proyecto, problema o situación elaborada, el niño no hará ni aprenderá nada; ¿y se verá por ello liberado del peso del deseo del maestro? La didáctica no consiste en ofrecer un modelo para la enseñanza, sino en producir un campo de cuestiones que permita poner a prueba cualquier situación de enseñanza, y corregir y mejorar las que se han  producido, formular interrogantes sobre lo que sucede. Los primeros trabajos permitieron distinciones, que considero muy útiles, para aproximarse a los  problemas de enseñanza en función de un carácter del conocimiento (el carácter “explícito” o no). Esto ha dado la presentación en términos de situaciones de acción, formulación y prueba. La teoría de las situaciones organiza una lectura de los hechos didácticos, permite perfeccionar las clases. Sin embargo, hay casos en los que organizar una situación de acción para un problema creará un obstáculo para su resolución. No es necesario organizar acciones siempre y para cualquier conocimiento. Una situación de acción no es automáticamente beneficiosa para hacer avanzar la reflexión del alumno. No rechazo en absoluto esta teoría,  pero no quisiera que se la utilice de forma mecánica.

Institucionalización  a) Los conocim ientos

fabricado situaciones a-didácticas de todo tipo. El maestro estaba allí para hacer funcionar la máquina pero, en relación con el conocimiento mismo, sus intervenciones estaban prácticamente anuladas. Teníamos allí situaciones de aprendizaje en el sentido de los psicólogos, y se podía pensar que habíamos reducido la enseñanza a sucesiones de aprendizajes. Ahora bien, estábamos obligados a preguntarnos qué era lo que  justificaba esa resistencia de los maestros a reducir totalmente el aprendizaje a los procesos que habíamos  pensado. No se trataba de juzgarlos ni a ellos ni a los métodos, sino de comprender lo que legítimamente tenían necesidad de hacer y por qué necesitaban hacerlo con un cierto ocultamiento frente a los investigadores. Fue así como “descubrimos” (!) lo que hacen todos los docentes en sus clases pero que nuestro esfuerzo de sistematización había hecho inconfesable: deben tomar nota de lo que han hecho los alumnos, describir lo que ha sucedido y lo que tiene una relación con el conocimiento al que se apunta, dar un status a los acontecimientos de la clase, como resultado de los alumnos y como resultado del docente, asumir un objeto de enseñanza, identificarlo, relacionar esas producciones con los conocimientos de los otros (culturales, o del programa), indicar que ellos pueden ser reutilizados. El docente tenía que constatar lo que los alumnos debían  hacer (y rehacer) o no, habían aprendido o debían aprender. Esta actividad es ineludible: no se puede reducir la enseñanza a la organización de aprendizajes. La consideración “oficial” del objeto de enseñanza por parte del alumno, y del aprendizaje del alumno por parte del maestro, es un fenómeno social muy importante y una fase esencial del proceso didáctico: este doble reconocimiento constituye el objeto de la INST ITUCIONALIZACIÓN. ¡El rol del maestro también consiste en institucionalizar! La institucionalización se realiza tanto sobre una situación de acción –se reconoce el valor de un procedimiento que se convertirá en un recurso de referencia– como sobre una situación de formulación. Hay formulaciones que se conservarán (“Esto se dice así”, “Aquéllas merecen ser recordadas”). Lo mismo sucede con las pruebas: es necesario identificar lo que se retendrá de las propiedades de los objetos que hemos encontrado. Por supuesto, todo puede reducirse a la institucionalización. Las situaciones de enseñanza tradicionales son situaciones de institucionalización pero sin que el maestro se ocupe de la creación del sentido: se dice lo que se desea que el niño sepa, se le explica y se verifica que lo haya aprendido. Al

acción, formulación o prueba si no hallamos un recurso que les permita negociar el contrato didáctico vinculado a esta actividad; es decir, si no podemos negociar en términos utilizables esta acción de enseñanza. Por ejemplo, en geometría, supongamos que queremos favorecer el dominio por parte del alumno de sus relaciones con el espacio. Será difícil negociar este objetivo, si no es en las clases de los más pequeños,  porque no existe como objeto de saber. Se confunde con la enseñanza de la geometría que, no obstante, no tiene nada que ver: no es cierto que la geometría se refiera a las relaciones con el espacio. Hay un cierto número de conceptos matemáticos que no son de interés para los matemáticos –pero sí lo serían para la didáctica– y no tienen, por ello, status cultural o social: por ejemplo, la enumeración de una colección no es un concepto matemático importante y, sin embargo, es un concepto importante para la enseñanza. ¿La didáctica tiene derecho a introducir en el campo de las matemáticas conceptos que le serían necesarios? Es un tema que habrá que debatir con la comunidad matemática y con otras comunidades científicas. La negociación, por parte de los maestros, de la enseñanza de la comprensión y del sentido plantea un verdadero problema didáctico: problema técnico y teórico de contrato didáct ico. ¿Cómo definir, negociar el objeto de la actividad, con el público, con el maestro, con el alumno, con los otros maestros? Por ejemplo, ustedes saben que hay varias divisiones pero sólo poseemos una única palabra para referirnos a ellas. De hecho, la división en los enteros y la división en los decimales... dependen de concepciones diferentes, lo que plantea muchos problemas. Los maestros carecen de la posibilidad de tener  un objeto que se denominaría “el sentido de la división’ sobre el cual puedan decir que están trabajando. Intentamos ofrecer un modelo didáctico del sentido, negociable entre el maestro y el alumno, y que  permita hacer trabajar al alumno sobre el sentido de la división con un vocabulario, con conceptos que sean aceptables y desarrollen realmente su conocimiento; es decir, situaciones donde realice divisiones. Ese sentido implica clasificaciones, recursos, terminología. Pero existe un peligro en un trabajo de este tipo: desarrollar una especie de seudoconocimiento o desconocimiento ridículo e inútil.  No debemos pensar que la didáctica sólo consiste en presentar como descubrimientos lo que hacen los niños pequeños. Es necesario resolver problemas mediante conocimientos teóricos y recursos técnicos. Es necesario proponer algo para actuar sobre algunos fenómenos de enseñanza; pero primero es necesario

mayoría de las actividades matemáticas en la escuela primaria hacen un pasaje por la realidad o la ficción de una medición. Es, pues, una noción importante para la escolaridad obligatoria. Ahora bien, la medición efectiva es una práctica compleja donde las manipulaciones de instrumentos, el empleo de las estructuras numéricas y los conocimientos matemáticos elementales necesarios sólo pueden justificarse realmente elucidando problemas mucho más complejos como, por  ejemplo, la aproximación y los cálculos de errores. La solución clásica consiste en no evitar a la relación didáctica dificultades ajenas al conocimiento, que finalmente debe ser aprendido en un momento dado. Habrá que enseñar, pues, sucesiva y, sobre todo, separadamente los diferentes conocimientos necesarios comenzando por los “más simples”. Por ello, ninguno podrá ser justificado en el momento del aprendizaje por el problema de conjunto por resolver. Las  justificaciones provisorias o parciales, aun incompatibles, se yuxtapondrán, se contaminarán sin modificarse ni adaptarse realmente. Si bien los conocimientos explícitos mismos pueden permanecer bajo la vigilancia epistemológica de los matemáticos, su sentido, en particular sus posibilidades de empleo (por parte del alumno), se verá profundamente afectado, así como también el rol del saber en la actividad del alumno. Al respecto de esta hipótesis, la opción tomada, sin control de la fragmentación de los conocimientos, conduce a privarlos de sus posibilidades de funcionamiento. La noción de medida se introduce con el único ejemplo de la medida de los cardinales finitos, ilustrada con diversas medidas discret as. Si un alumno considera que 3 + 4 = 6, el maestro no le dice que no ha errado por mucho sino que su resultado es comprobablemente falso. Para cada medición existe un valor verdadero para una medida exacta y única. El resultado calculado coincide perfectamente con el resultado “observado”. La construcción de las estructuras numéricas en (Q+, D+, R+) se realiza de modo tal de no cuestion ar ese modelo. Entonces, las mediciones efectivas deben ralearse. Para no contradecirse, el maestro debe evitar  algunas confrontaciones entre el cálculo y la realidad, y debe acondicionar especialmente las otras. Por ejemplo: ¿el cálculo ofrece una precisión ridícula frente a las posibilidades de medición efectiva? Entonces, el maestro impone una convención de precisión estándar (retorno implícito a los naturales) o bien elige los datos para que el cálculo resulte exacto.

 –  “la actividad, la efectividad, hacen comprender y aprender mejor” (la mano forma al cerebro);  –  “la realidad evita los errores de comprensión” (empirismo/realismo);  –  “la utilidad, lo concreto, motivan  al alumno”. Sostengo que el efecto de esos movimientos ha sido el opuesto a lo esperado: el conflicto teoría/práctica nunca se ha visto más exacerbado. Se ha profundizado el abismo entre los docentes y el saber. Muchos maestros de enseñanza primaria están convencidos de que la teoría, el “saber oficial”, es un discurso, una convención, de una eficacia relativa o dudosa a la cual podemos aportar todos los acondicionamientos personales o sustituir por otros saberes “paralelos”. La oposición de la racionalidad, la ciencia, y aun el saber como medio para aprehender la realidad se desarrollaron al mismo tiempo y en los mismos ambientes que esos movimientos pedagógicos. Para fundamentar la relación causa-efecto entre estos dos fenómenos se hace necesario un breve análisis didáctico. En primer lugar, “la realidad” es mucho más difícil de “comprender” que una teoría. Sólo puede suscitar conocimientos precisos, o corregir errores, a través de una organización específica y muy estricta de la act ividad del alumno. El conocimiento de las situaciones didácticas y la epistemología son indispensables. Sin técnica didáctica, “consume” naturalmente más motivación que la que produce. La utilidad inmediata sólo es un factor de motivación entre otros, sin más. La utilidad a largo plazo (como “las matemáticas” para la física) es una motivación muy débil. Sin mediación epistemológica y didáctica, las declaraciones fundamentales resultan falsas. Sin embargo, los maestros que multipliquen las experiencias, las mediciones efectivas, no estarán mejor preparados para tratar sus consecuencias. Al contrario, esperarán mayor comprensión por parte de los alumnos pero en situaciones en realidad más oscuras (“Observa..., ¿no ves?”). Los alumnos multiplican las mediciones pero, si sólo “debe haber” un único valor, habrá que elegirlo finalmente como una convención social (por lo tanto, dudosa) o como una verdad garantizada por el maestro. A cada momento, el docente debe violar subrepticiamente las relaciones teoría/práctica que sus convicciones pedagógicas le hacen profesar. Debe forzar a la teoría a surgir, toda armada, de una realidad, y debe de hecho falsear o negociar su utilización, manipular las motivaciones del alumno para obtener 

Maestra: “Continuemos, pongo un tercer vaso de agua”. Esta vez, ya unos diez alumnos restan el  primer resultado del segundo y le agregan la diferencia: 282 – 225 = 57; 57 + 282 = 339 Otros manipulan sus números, dos o tres multiplican imperturbablemente por tres el primer valor. Otro alumno pasa a realizar el doble pesaje: 351 gramos... Asombro, decepción y sentimiento de injusticia en aquellos que habían hecho el cálculo anterior. La maestra permanece neutra. Un alumno ha propuesto el valor exacto. Los demás lo presionan para que diga cómo lo hizo: “Vi que la aguja estaba más bien hacia allá, entonces pensé...”. El niño alardea; es el mejor y, además, se da cuenta realmente de que tiene suerte.... ¿qué gana? La maestra se resiste al deseo de imponerle la “explicación”. El juego de adivinanza continúa: los alumnos comprenderán de manera progresiva que el cálculo no ofrece necesariamente el valor hallado con la  balanza. Los alumnos que utilizaron este método de previsión se acercan a explicarlo y se rebelan al verlo fracasar. Ese método toma en cuenta todos los elementos esenciales del problema de un modo que parece racional, y se comunica bien. Los alumnos que no lo habían inventado lo utilizan para comparar..., lo comprenden. Maestra: “¿Cuál es el peso del agua de un vaso?... No, no, no pesaremos mi vaso.... calcúlenlo”. Según las experiencias escogidas para calcular las diferencias, ¡los pesos varían!... La discusión se aclara... “El vaso no está lleno exactamente del mismo modo cada vez... No podemos estar seguros. La maestra debe manipular  con cuidado...”. Primera conclusión: la maestra debe manipular con cuidado, mostrar que el vaso está bien lleno, esperar que el agua se calme... Si las diferencias subsisten, los alumnos pueden ser llevados a pensar que varios pesajes de un mismo objeto no ofrecen el mismo valor... Así, llegarán más o menos lejos en el análisis de los errores de medida. Existen maneras de detener esta cadena de razonamientos; basta, por ejemplo, reemplazar el agua  por arena bien seca y la balanza Roberval por una balanza de resorte: la precisión de la lectura llega al nivel de los gramo el peso de los vasos de arena, de un pesaje a o ro, varía mucho menos que un gramo.

conocidos. Les hace cometer errores que podemos inventariar y observar regularmente. Algunos de esos conocimientos pueden constituirse en obstáculos (¿didácticos?, ¿ontogenéticos?, ¿epistemológicos?) y dar  lugar a conflictos cognitivos. ¿Qué lugar, qué status, qué función dar a esas repr representacio esentaciones? nes? ¿Es necesario (¿es posible? y ¿cómo?):  –   –   –   –   –   – 

rechazarlas implícitamente cada vez? ignorarlas? aceptarlas sin reconocerlas? maneja man ejarr su evo lución lución sin que que los alumnos alumn os lo sepan? analizarlas con los alumnos? reconocerlas, recono cerlas, expon exponerlas erlas y darles explícitamente un lugar lugar en el proyecto de enseñanza?

Sa bemos que el sujeto cognitivo utiliza predicados amalgamados, conectivos prelógicos, metáforas, metonimias... Sabemos que el desarrollo del pensamiento lógico del alumno consiste en evoluciones discontinuas donde las contradicciones entre los componentes contextuales van a la par con la extensión de los prefunctores y la decantación de los predicados, y donde la sintaxis y la semántica están implicadas al mismo t iempo. iempo. Estas Est as se separ separaan lentam lentameente, en períodos diferentes diferent es según según los sector sectores.. es.... La didáctica ingenua sólo permite proponer al alumno ejercicios lógicos (matemáticos) sobre componentes decantados. Conocer al sujeto cognitivo, ¿basta para resolver los problemas del alumno? No creo: la creación y la gestión de las situaciones de enseñanza no son reductibles a un arte que el maestro  podría  po dría desarrollar desarrollar espontán espontáneeament ament e con buenas actit actit ud udes es (escuchar al niño, n iño, etc.) etc. ) en torno a simples t écnicas cnica s (utilizar (utiliza r juegos, material mater ial o el e l conflicto cognitivo, por ejemplo). La didáct didáct ica ica no se reduce reduce a una t ecnología, y su teoría no es la del aprendizaje sino la de la organización de los aprendizajes de otro o, más generalmente, la de la difusión difusión y la t ransposición ransposición de los los conoci cono cimientos. mientos. La discusión propuesta arriba no tiene marco teórico ni fundamento experimental ni solución fuera de la didáctica. El r miento del alumno es un pun o ciego de la didáct didáct ica “ ingenua”, p ratamiento exige ex ige

Que mis palabras no parezcan demasiado pesimistas. Las investigaciones avanzan a medida que los  problemas  pro blemas se plant plant ean mejor: en geomet geomet ría, el t ratamiento de la representación representación del espacio es est est ud udiado iado como un proyec pr oyecto to didáct didáct ico ico dist dist into de la enseñanza de la geom geomeet ría. Algunos trabajos de estos últimos años muestran la posibilidad de tratar, en la relación didáctica, el  pensamien  pen samientt o lógico del niño. Se t rata de situaci sit uacion ones es y contra contr atos que permit permit en hacerse cargo explícitam explícitameente de la evo evolució luciónn y el rol de esos modos de pensamiento no sólo en la elaboración de los medios de prueba sino también en la formación del juicio y la regulación de las conductas sociales (juegos de coalición, admisión de datos, etcétera). En estos dos ejemplos vemos cómo, llegado el caso, la consideración del sujeto psicocognitivo pasa  por  po r una definición del alumno  que reclama en realidad una transformación de la organización del saber  mismo en una transpo transposició siciónn didáct didáct ica y un cambio de de contra contr at o. Vimos ese mismo fenómeno, por ejemplo, en relación con la enumeración: esta actividad cognitiva es indispensable para el alumno en el aprendizaje del número, y le resulta útil a lo largo de toda la escolaridad, pero no existe en tanto objeto de conocimiento matemático. Entonces, nunca ha podido ser  enseñada enseñ ada cor correctame rectamente nte y la “prác “pr áctt ica” no no ha podido podido toma tom ar en cuenta las dificultades de los alumnos con est est a noción. e) La memoria, el tiempo

Lo que el alumno tiene en su memoria parece ser el objetivo final de la actividad de enseñanza. Las caracterís caracte rístt icas de la memoria del sujeto, sujeto, en particular su modo modo de funcion funcionaamiento y su desarr desarrollo, ollo, ha h an podid po didoo aparecer como la base teórica de la didáctica. De modo tal que se ha podido reducir así la enseñanza a la organizaci organ ización ón del aprendizaje aprendizaje y de las adquisicione adquisicioness del alumno-individuo. alumno -individuo. Varios trabajos muestran la insuficiencia (los inconvenientes) de esta concepción que ignora especialme especialm ente las relaciones relaciones entre la organización del del saber (y ( y sus sus modificaciones mo dificaciones en la rel r elación ación didáctica), didáctica ), la organizaci organ ización ón del medio y sus exigencias ins in st it ucionales y temporales para gener generaar tal ta l o cual memorización, y la reorganización y las transformaciones de los conocimientos que el sujeto opera. Algunos fenómenos de

A título introductorio y puramente sugerente, la figura 2 indica esos diferentes roles del maestro y del alumno. El maes m aestt ro cumple roles difer diferentes entes y el alumno t ambién. Intento de Enseñanza

 No reconocido reconocido  por el maestro

Fracaso  percibido  percibido

 Nuevo  Nuevo intento i ntento “independiente”

 No identifica identificado do (por el alumno)

Ilusión em iris irista ta

Efecto

Identificado, reconocido

Efecto de Analogía

Reconocido por  el maestro

Implícitamente

Recuperación del intento “ reducie reduciendo” ndo” el problema

Ante el alumno Explícitamente Justificación Justificación o recuperación del nuevo intento. Explicación

Responsabilidad or los errores

Responsabilidad del alumno Reducción no reconocida reconocida

Reducción reconocida reconocida

Responsabilidad del conocimiento Responsabilidad Responsabilidad

los sujetos que se encuentran dentro del problema: por ejemplo, “Tres personas se dividen...”. El alumno  puede ident ificarse con este sujeto pero no hay intrusión del alumno en este nivel. El alumno puede identificarse en las diferentes posiciones del sujeto. El status del conocimiento no es algo fijo: cambia en los diferentes niveles. Los diferentes tipos de situaciones, didácticas y a-didácticas, que se evidencian son los siguientes: situación a-didáctica objetiva situación de referencia adidáctica situación de aprendizaje adidáctica situación de enseñanza (situación didáctica) situación metadidáctica Se incluyen entre sí según una relación de “situación actuada” a “situación como objeto de análisis”, siendo su esquema global el siguiente:

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CAPÍTULO V EL SISTEMA DE NUMERACIÓN: UN PROBLEMA DIDÁCTICO  Delia Lerner y Patricia Sadovsky, con la colaboración de Susana Wolman

Donde se expresa nuestro reconocimiento hacia:  – Emilia Ferreiro, porque sus investigaciones pioneras – aunque ya clásicas – sobre el sistema de

escritura permitieron vislumbrar la reconstrucción de otros sistemas de representación por parte de los niños.

 – Guy Brousseau, porque sus investigaciones nutren nuestro trabajo y nos obligan a repensar una

y otra vez la didáctica de la matemática.  – Todos aquellos que – como G. Sastre, M. Moreno y, sobre todo, Anne Sinclair – estudiaron la

representación numérica desde una perspectiva psicogenética.

 – Los maestros y los chicos que,

con sus afirmaciones y sus interrogantes, hacen crecer día a día la propuesta que llevamos a la práctica.

 – Las escuelas que albergan nuestro trabajo: Aequalis, Martin Buber, Numen, jardín de Infantes

Municipal de Wilde.

 – Raquel Gutman, por su colaboración en la primera etapa de esta investigación.

indagación infantil desde las páginas de los libros, las listas de precios, los calendarios, las reglas, los talonarios de la panadería, las direcciones de las casas... ¿Cómo se aproximan los niños al conocimiento del sistema de numeración? Averiguarlo era un paso necesario para diseñar situaciones didácticas que dieran oportunidad a los chicos de poner en juego sus propias conceptualizaciones y confrontarlas con las de los otros, que les permitieran elaborar diversos procedimientos y explicitar argumentos para justificarlos, que los llevaran a descubrir lagunas y contradicciones en sus conocimientos, que brindaran elementos para detectar los propios errores, que  – en suma –  los obligaran a cuestionar y reformular sus ideas para aproximarse progresivamente a la comprensión de la notación convencional. Era necesario entonces  – antes de elaborar una propuesta didáctica y someterla a prueba en el aula – emprender un estudio que permitiera descubrir cuáles son los aspectos del sistema de numeración que los niños consideran relevantes, cuáles son las ideas que han elaborado acerca de ellos, cuáles son los problemas que se han planteado, cuáles son las soluciones que han ido construyendo, cuáles son los conflictos que pueden generarse entre sus propias conceptualizaciones o entre éstas y ciertas características del objeto que están intentando comprender. Las entrevistas clínicas que realizamos con parejas de niños de cinco a ocho años 1 no sólo confirmaron nuestras expectativas  – al poner de manifiesto la relevancia de los conocimientos construidos por los chicos sobre la numeración escrita – , sino que además nos depararon una agradable sorpresa: desde un principio fue posible establecer regularidades al analizar los datos que obteníamos. La aparición y reaparición de ciertas respuestas  – ideas, justificaciones, conflictos –  fue el disparador que nos llevó a esbozar, antes de lo previsto, posibles líneas de trabajo didáctico. Es por eso que, mientras continuábamos realizando entrevistas clínicas, empezamos a poner a prueba en el aula algunas actividades. Como suele suceder, cuando llevábamos a la práctica cada una de estas actividades, la propuesta se iba ajustando y enriqueciendo: por una parte,

Suponíamos que los niños construían tempranamente criterios para comparar números; pensábamos que  – mucho antes de sospechar la existencia de centenas, decenas y unidades –  alguna relación debían establecer entre la posición de las cifras y el valor que ellas representan; creíamos que los chicos detectaban regularidades al interactuar con la escritura de fragmentos de la serie. Algunas producciones no convencionales que habíamos visto reiteradamente en las aulas nos llevaron a formular dos suposiciones: que los chicos elaboran criterios propios para producir representaciones numéricas y que la construcción de la notación convencional no sigue el orden de la serie, aunque ésta desempeñe un papel importante en esa construcción. Para verificar  – y también para precisar –  estas suposiciones, diseñamos una situación experimental centrada en la comparación de números y otra centrada en la producción. La primera era una variante del juego de la guerra: utilizamos un mazo de veinte cartas con números comprendidos entre el 5 y el 31 y con un único dibujo en cada carta  – el que identificaba el palo – , de tal modo que la comparación se basara exclusivamente en la escritura numérica. Al finalizar cada mano, pedíamos a los niños que justificaran las decisiones tomadas durante el juego. La consigna que daba inicio a la segunda situación era: “Piensen un número muy alto y escríbanlo”. Comenzaba luego una discusión en la que los niños opinaban sobre la escritura de l

compañero y decidían cuál de los dos había escrito un número mayor. Lo que ocurría después dependía mucho de las respuestas y argumentos proporcionados por los chicos y, aunque tomaba la apariencia de un “dictado de cantidades”, se trataba de un dictado cuya característica central era el debate sobre las escrituras producidas. Los datos que recogimos mostraron una alentadora coincidencia con los obtenidos en el marco de la investigación que están realizando Bressan, Rivas y Scheuer, y nos permitieron delinear el recorrido de los chicos en su intento por conocer el sistema de numeración. Intentaremos explicitar los aspectos esenciales de ese recorrido.

Experimentador

Alan un número solo.

¿Se forma un número solo?

Y sí, por ejemplo, algo de cien son tres números y  forman un número solo.

En el caso de Jonathan y Sebastián (primer grado), la hipótesis que vincula la cantidad de cifras a la magnitud del número no se refiere sólo a los números de una y dos cifras, sino que se ha generalizado a la comparación de números más grandes: Experimentador Jonathan Sebastián Ahora les voy a pedir a los dos que (Ambos escriben convencionalmente 1005) escriban el mil cinco. lo escribimos los dos igual. (A Sebastián.) Fíjate cómo lo escribió Jonathan. ¿Y por qué escribiste así el mil No sé. cinco? Si se lo tuvieras que explicar a otro Le diría que es con un uno, un cero, chico, ¿qué le dirían? otro cero y un cinco. El otro día un nene me dijo que el mil cinco se escribía así:1000 5 Mil cinco

Porque éste (1000) es mil y éste es cinco.

utilizaban también para comparar números compuestos por más cifras – 3 no se generaliza de forma inmediata a todos los casos. Fue uno de nuestros sujetos el que nos mostró algunas de las dificultades por las que debe atravesar esta generalización: Pablo (6 años, primer grado), después de haber afirmado  –  como los niños anteriormente citados – que es mayor “el que tiene más números” siempre que se trataba de comparar un número de una cifra con otro de dos y también en algunas situaciones donde se comparaban números de dos y tres cifras (824 y 83, 138 y 39, etc.), hace afirmaciones contradictorias cuando se trata de comparar 112 y 89. En efecto, él dice en primer término que 112 es mayor que 89 (señalándolos, no conoce las denominaciones) “porque tiene más números”, pero luego cambia de opinión: “No, es más grande éste (89), porque 8 más 9 es 17, y entonces es más”.

Dado que en los otros casos Pablo no había apelado para nada a la suma de los valores absolutos de las cifras y había tomado la cantidad de cifras como criterio único para establecer la comparación, pensamos que es la gran diferencia entre los valores absolutos de las cifras de ambos números lo que lo lleva a poner en tela de juicio el criterio de comparación que había utilizado consistentemente en todos los casos anteriores, a renunciar a él y a elaborar otro específico para esa situación. Cabe preguntarse por qué Pablo no apela explícitamente al valor de los dígitos que componen esos números, sino al resultado que se obtiene al sumarlos.4 Aunque Pablo fue el único de los sujetos entrevistados que puso en juego otro criterio de comparación además del basado en la cantidad de cifras, consideramos significativa la información que él aporta porque confirma que  – como ocurre con otros objetos de conocimiento –  la generalización está lejos de ser inmediata. Además, el criterio alternativo utilizado por Pablo da cuenta de un problema que probablemente se planteen todos los chicos en determinado momento de la construcción: ¿cómo se puede explicar que un número cuyas cifras son todas “bajitas” (1110, por ejemplo) sea mayor que otro formado por cifras “muy altas” (999,

por ejemplo)?

ver? ¿Y por que será que se diferencia por el primero? ¿No hay una razón? ¿Vos sabés qué número es éste? ¿Y éste? ¿Y de ahí podés sacar algo para darte cuenta de cuál es más alto? ¿Dónde está primero?

De acuerdo. Ahora me convenciste

Tiene que ver mucho. Este (el 2 de 21) es más alto que éste (el 1 de 12) y se diferencia por el primero Porque sí. ¡Yo qué sé! Veintiuno Doce. Sí, porque éste (21) esta después y éste(12) está primero. Hacemos la cuenta Mira: uno, dos, tres... (sigue contando hasta doce) acá esta el doce... trece, catorce... (sigue contando hasta veintiuno) veintiuno. ¿Viste? ¿Hicimos la cuenta? (Luego, al comparar 21 y 23, Ariel dice que este último es mayor, porque tres es más que uno y, ante una pregunta del experimentador, aclara que en este caso se fija en el segundo número “porque en el primero hay un dos y un dos”.)

Llama la atención el hecho de que para muchos niños los argumentos estrictamente referidos a la numeración escrita tengan prioridad sobre los vinculados a la serie numérica oral. Alina y Ariel, por ejemplo, justifican originalmente sus afirmaciones apelando a la posición de las cifras en los números escritos (“Están al revés”, “Se diferencia por el primero”), y sólo aportan argumentos referidos a la serie oral (“Sí, porque ést e [21] está después y éste [12] está  primero”) cuando el experimentador los insta a hacerlo.

Ahora bien, tal como lo observáramos en relación con la hipótesis referida a la cantidad de cifras, el criterio de comparación basado en la posición de las cifras está lejos de construirse de una vez y para siempre, ya que su generalización requiere también la superación de algunos obstáculos. Es lo que nos muestra Alina, quien – a pesar de haber aplicado consistentemente este criterio en casi todos los casos – tropieza con una dificultad cuando se trata de comparar 25 y 16: (La situación se produce durante el Juego. La carta de Alina tiene el número 25, la de Ariel el número 16.) Experimentador Alina Ariel ¿ Quién ganó? Ganó Ariel. No, ganó ella. El, porque éste (25) tiene un dos y un cuatro (!), y éste (16), un uno y un seis [...]).Este (25) tiene un número menos, y éste (señalando el 6 de 16), un número más. ¡No! Pero se cuenta con el primero. Alina parece sostener aquí que es mayor el número que contiene la cifra más alta, independientemente del lugar en que ella esté ubicada. Parece que, también en este caso, el valor absoluto de los números puede hacer dudar de la validez de un criterio que se consideraba

Experimentador

Guillermo

Yael

porque acá tres y acá (2 de 25) dos. Dos es menos que tres. Esto es treint iuno y esto es veinticinco, no treinticinco. (A Yael) ¿Qué te parece lo que él dice? ¿Lo entendés? Explicále mejor, Guillermo.

No (riéndose). Mirá, primero viene el diez y segundo saltás diez, diez, diez, así  ¿no? Entonces se cuenta, diez, veinte, treinta... entonces al treinta le sacamos cinco y nos queda veinticinco y, acá (31) al treinta le agregamos uno, nos queda treinta y uno.

Guillermo no ha oído aún hablar de “decenas” (acaba de ingresar en primer grado); ni siquiera afirma que la primera cifra de un número de dos cifras se refiere a “dieces”. Pero él sabe muy bien que esa primera cifra se refiere a algo del orden de los “veinti”, “treinti” o “cuarenti” en lugar de representar simplemente “dos”, “tres” o “cuatro”, y sabe también que esos números – veinte, treinta, etc. – se obtienen contando de a diez en el orden de la serie.

Sin disponer del extraordinario manejo operatorio que refleja el último argumento de Guillermo, otros niños han proporcionado argumentos similares al primero que él aporta. Seguramente, este tipo de justificación se hace posible cuando los niños logran coordinar lo que

Experimentador

 Loli

Alan

decenas. ¿Por qué introduce Alan el término “decena”? Tal vez porque sospecha la existencia de alguna relación entre ese término y el valor de la cifra que aparece ubicada “adelante” en los

números de dos cifras. Pero esta sospecha es suficientemente vaga como para que él pueda afirmar que 21 “no tiene ninguna decena, el uno no es ninguna decena y el dos tampoco”.

En el caso de Loli, ocurre algo diferente: aunque ella no acude espontáneamente al concepto de decena  – sino a la posición de las cifras – para explicar por qué 21 es mayor que 12, parece comprender que el 2 de 21 representa dos decenas. Su respuesta final muestra claramente cómo llegó a comprenderlo: puede entender que en 21 hay dos decenas porque ese 2 no significa para ella “dos” sino “veinti”.

Cabe preguntarse entonces: ¿aprender el concepto de decena ayuda realmente a conocer los números? ¿O es más bien el conocimiento de los números  – y de su escritura – lo que ayuda a comprender el concepto de decena?  Algunos números privilegiados: el rol de los nudos

La apropiación de la escritura convencional de los números no sigue el orden de la serie numérica: los niños manejan en primer lugar la escritura de los nudos  – es decir de las decenas, centenas, unidades de mil..., exactas – y sólo después elaboran la escritura de los números que se ubican en los intervalos entre nudos. Veamos ante todo las respuestas de los niños:  Experimentador

Escribí un número, el que tengas

Gisela

pienses que es muy alto Sí.

¿Muy alto? Voy a escribir como máximo mil (escribe 900).

¿Cuál es?

Novecientos.

¿Y mil cómo es?

(Escribe 1000.)

¿Cómo te parece que será dos mil?

(Escribe 2000.)

¿Y cuatro mil ?

(Escribe 4000.)

¿ Nueve mil ?

(Escribe 9000.)

¿ Diez mil ?

(Escribe 10000.)

Y decíme... Mil cien, ¿cómo te parece que es?

(Muy sorprendida.) ¿Mil cien? Para mí ese número no existe.

¿ No existe ¿ (Piensa un largo rato y luego escribe, 1000100.) ¿Mil quinientos? (Escribe 1000500.) Si bien la mayoría de los niños entrevistados escribían ya en forma convencional los nudos de las decenas, las centenas y las unidades de mil, obtuvimos algunas respuestas que

 Experimentador

Christian

Rubén

primero.) Sí..., no, porque éste (señalando el primer 100) tiene el cero más chiquito y éste (marcando el segundo) tiene el cero más grande. Ah! ¿ El que tiene el cero más grande es ciento uno? (Es cierto!!) Sí, y el uno también es más grande. Ajá...¿Y ciento cinco, cómo sería? Esperá que quiero escribir desde el uno hasta donde termina el cien. (Escribe 105.) Bueno, cuando termines, avisános. (Mientras tanto, se pide a Rubén que escriba ciento treinta, ciento treinta y ocho, doscientos veintitrés, quinientos.) (Christian ha escrito: 100 100 200 (Escribe: 3000 400) 130 138 223 500.) Y vos, Christian , ¿podrías escribir ¿ Quién no lo sabe al quinientos? quinientos? Espero que me salga bien el cinco. (Escribe 500.) Bueno, explícame lo que (Lee) 100 100 200 300 400

 Experimentador

Christian

Rubén

¿Con raya cuál es? ¿Y sin raya?

Quinientos. Ciento cinco.

¿Y mil?

Yo lo sé escribir.

A ver, ¿cómo lo escribirían?

(Escribe 1000.) Cómo no voy a saber escribir el mil si antes escribí  el cien mil! (Efectivamente, lo 1000 había escrito así: 1001000.)

(Ha escrito mientras tanto, a pedido del experimentador siempre en forma convencional: 110, 900,932,907)

Christian maneja ya la escritura convencional de la segunda y la tercera potencia de la base (100 y 1000). ¿Cómo utiliza el conocimiento de la escritura de cien para producir los números siguientes? Parece que no la utiliza como base para producir los otros nudos de las centenas  – él dice que no sabe escribir doscientos, y quinientos parece ser una forma fija, probablemente conocida a través del billete de 500 australes – ,5 sino para hipotetizar acerca de la escritura de los números comprendidos entre cien y ciento diez. El supone que estos números tendrán dos ceros – como cien – y que se diferenciarán de cien por la cifra inicial. El problema es que esta hipótesis no le permite diferenciar – utilizando números distintos – cien de ciento uno, y seguramente es por eso que apela al tamaño para diferenciarlos. Resulta además impactante constatar que el hecho de conocer la escritura convencional de quinientos no lo lleva a dudar de su hipótesis  – en efecto, sigue afirmando que 500 representa ciento cinco – , sino a emplear un recurso no numérico para diferenciar las dos escrituras.6 Ahora bien, varios niños nos proveyeron  – trabajando en el aula –  escrituras

Para producir los números de cuya escritura convencional no se han apropiado aún, los chicos yuxtaponen los símbolos que conocen disponiéndolos de modo tal que se correspondan con el orden de los términos en la numeración hablada. Veamos algunas escrituras y justificaciones de los sujetos entrevistados que ilustran claramente lo que intentamos decir:  – Lucila y Santiago (los dos tienen cinco años y asisten al jardín de infantes) escriben:

108

109

Los dos interpretan sus escrituras como “dieciocho” y “diecinueve” respectivamente.  – Yael hace algo similar, pero además nos lo explica:

Mientras está registrando su puntaje en el juego de la guerra, anota “dieciocho” como 108 y justifica diciendo que dieciocho se escribe así “porque hay un diez, que es un uno y un cero, entonces se ponen los dos con el ocho”. Guillermo  – su compañero, que escribe convencionalmente los números de dos cifras –  objeta: “¡No! Por que es como pasa con el veinte o con el treinta... Porque el cero se usa para el

treinta, pero no se usa para el treinta y uno, ni para el treinta y dos, ni para el treinta y tres. [ ... ] De tres números no se puede, no se puede [ ... ] porque el cien se escribe así [ 100 ]”. Yael lo escucha atentamente, pero un rato después escribe treinta y cuatro como 304 y  – al mirar la escritura convencional de Guillermo (34) – afirma: “Para mí, se puede hacer de las dos maneras”.  – Martín (6 años, primer grado) escribe:

700 Setecientos

25 veinticinco

1000 mil

800 ochocientos

32 treinta y dos

8000

200

6000

300

45

cien mil”. Pero en seguida señala: “También sé escribir un millón diez” y escribe: 100000010. “Cuando escribís un millón diez –agrega    –  no podés sacarle el uno (el de diez), porque no sabés si es ése. Y entonces, ¿cómo adivinás qué número es? No sabés que es diez”.

(En otros términos, este uno no puede reemplazarse por un punto, como ocurre con el 1 de 1000 en cien mil). La hipótesis según la cual la escritura numérica resulta de una correspondencia con la numeración hablada conduce a los niños a producir notaciones no convencionales. ¿Por qué ocurre esto? Porque, a diferencia de la numeración escrita, la numeración hablada no es posicional. En efecto, si la organización de la numeración hablada fuera posicional, la denominación oral correspondiente a 4705, por ejemplo, sería “cuatro, siete, cero, cinco”; sin

embargo, la denominación realmente utilizada para ese número explicita, además de las cifras cuatro, siete y cinco, las potencias de diez correspondientes a esas cifras (cuatro mil setecientos cinco). Otra cuestión que debe ser tomada en cuenta es la de las operaciones involucradas en la numeración hablada y en la numeración escrita. En la numeración hablada, la yuxtaposición de palabras supone siempre una operación aritmética, operación que en algunos casos es una suma (mil cuatro significa 1000 + 4, por ejemplo) y en otros una multiplicación (ochocientos significa 8 x 100, por ejemplo). En la denominación de un número, estas dos operaciones aparecen en general combinadas (por ejemplo, cinco mil cuatrocientos significa 5 * 1000 + 4 - *100) y  – como para complicarle la existencia a quien intente comprender el sistema – un simple cambio en el orden de enunciación de las palabras indica que ha cambiado la operación aritmética involucrada: cinco mil (5 - 1000) y mil cinco (1000 + 5), seiscientos (6 - 100) y ciento seis (100 + 6). Para colmo de males, la conjunción “y” -que representa lingüísticamente la adición- sólo aparece cuando se trata de reunir decenas y unidades.

y la notación del número hacia la comprensión de las relaciones aditivas y multiplicativas involucradas en la numeración hablada. Las escrituras numéricas no convencionales producidas por los niños están hechas entonces a imagen y semejanza de la numeración hablada. Ahora bien, quien adhiere a la escritura no convencional ¿lo hace en forma absoluta o es simultáneamente partidario de la notación convencional? En las escrituras numéricas realizadas por cada niño en el curso de una entrevista, coexisten modalidades de producción distintas para números ubicados en diferentes intervalos de la serie. En efecto, niños que escriben convencionalmente cualquier número de dos cifras (35, 44, 83, etc.) producen escrituras en correspondencia con la numeración hablada cuando se trata de centenas (10035 para ciento treinta y cinco, 20028 para doscientos veintiocho, etc.). Del mismo modo, niños que escriben convencionalmente números de dos y tres cifras apelan a la correspondencia con lo oral cuando se trata de escribir miles: escriben – por ejemplo – 135, 483 o 942 en forma convencional, pero representan mil veinticinco como 100025 o mil trescientos treinta y dos como 100030032 o 1000332. Sin embargo, la coexistencia de escrituras convencionales y no convencionales puede aparecer también para números de la misma cantidad de cifras: algunos chicos escriben convencionalmente números entre cien y doscientos (187,174, etc.), pero no generalizan esta modalidad a las otras centenas (y anotan entonces 80094 para ochocientos noventa y cuatro o 90025 para novecientos veinticinco). Por otra parte, muchos niños producen algunas escrituras convencionales y otras que no lo son en el interior de una misma centena o de una misma unidad de mil: 804 (convencional), pero 80045 para ochocientos cuarenta y cinco; 1006 para mil seis, pero 1000324 para mil trescientos veinticuatro. Señalemos, finalmente, que la relación numeración hablada numeración escrita no es unidireccional: así como la información extraída de la numeración hablada interviene en la conceptualización de la escritura numérica, recíprocamente, los conocimientos elaborados sobre

también para la numeración hablada y es esta suposición de una coherencia mayor que la existente la que lo induce a error. Evidentemente, no es tarea fácil descubrir qué es lo que está oculto en la numeración hablada y qué es lo que está oculto en la numeración escrita, aceptar que lo uno no coincide siempre con lo otro, detectar cuáles son las informaciones provistas por la numeración hablada que resulta pertinente aplicar a la numeración escrita y cuáles no, descubrir que los principios que rigen la numeración escrita no son directamente trasladables a la numeración hablada... Y, sin embargo, a pesar de todas estas dificultades inherentes al objeto de conocimiento, los niños se apropian progresivamente de la escritura convencional de los números que antes producían a partir de la correspondencia con la numeración hablada. ¿Cómo lo hacen? Es lo que trataremos de mostrar en el próximo punto.  Del conflicto a la notación convencional 

Dos de las conceptualizaciones que hemos descrito en los puntos anteriores llevarán a los niños a conclusiones potencialmente contradictorias:  – por una parte, ellos suponen que la numeración escrita se corresponde estrictamente con la numeración hablada,  – por otra parte, ellos saben que en nuestro sistema de numeración la cantidad de cifras está vinculada a la magnitud del número representado. La primera de estas conceptualizaciones se aplica fundamentalmente a la escritura de números ubicados en los intervalos entre nudos, en tanto que estos últimos son representados en forma convencional. En consecuencia, las escrituras producidas por los niños para los números ubicados a entre dos nudos determinados tendrán más cifras que las que representan a los nudos mismos: ellos escribirán convencionalmente, por ejemplo, 2000 y 3000, pero dos mil setecientos ochenta y dos será representado como 200070082 (o, eventualmente, como

 Experimentador

Christian

Rubén

Y el cinco mil, ¿cómo es?

su escritura). 51000

5000 (el cinco lo escribe en espejo)

Vamos a discutir cuál es la diferencia entre lo que pusieron los dos. (Para Christian es lo mismo.) (Según Rubén no hay que poner el ¿No te acordás de que antes uno.) dijimos que podíamos poner el mil con uno o sin uno? ¿No te acordás? Parece que él no está de acuerdo Entonces, entre cuatro mil ciento tres y cinco mil, ¿Cuál es más? Siempre es más éste. (410001003). Cuatro mil ciento tres. ¿Cuatro mil ciento tres es más que cinco mil? No...., éste...., sí. Sí, éste es más, porque mirá qué diferencia: tres ceros acá, y acá... ¿Cuántos ceros? 0 sea que..... (Interrumpe) ¡Ah!, pero eso sí, una cosita, más que un millón NO es esto, no te creas que es el último número infinito.

No, no me lo creo. ¿Me pueden explicar un poco más por qué el

 Experimentador

Gisela

¿Qué números te parece que tiene mil quinientos? ¿Tendrá uno? ¿Y cinco? ¿Y cero? Bueno, escribílo como a vos te parece que es.

[...] Sí. Sí. Sí. (Escribe 1000500.) Es muy largo.

¿Te parece muy largo para ser mil quinientos? ¿Será o no será mil quinientos?

Sí. Sí, es.

Ajá. ¿Cómo escribirías dos mil quinientos? (Escribe 2000500.) Escucháme una cosa. ¿Cuál es más, dos mil quinientos o tres mil? (Señalando 3000, que Gisela había escrito antes convencionalmente). Dos mil quinientos. Formá tres mil con la plata.

(Toma tres billetes de mil.)

¿Y dos mil quinientos?

(Toma dos billetes de mil y, uno de quinientos.)

¿Y qué es más: dos así y uno así (dos de mil y uno de quinientos) o tres así (tres de mil)? Tres así (señalando los tres billetes de mil). Ahora fijáte cómo están escritos. Vos dijiste que éste

 Experimentador

Dany (6 años, primer grado)

concreto.) ¿Cuál será más grande, ochocientos o setecientos cincuenta? Ochocientos es más grande. ¿Cómo escribirías ochocientos? (Escribe 800.) ¿Y setecientos cincuenta? (Escribe 70050.) (Se queda perplejo, contemplando los números que ha escrito.)  – Otros niños, después de haber producido escrituras en correspondencia con la numeración hablada, señalan de inmediato que “son demasiados números” y – lejos de limitarse a señalarlo, como lo había hecho Gisela –  hacen reiterados intentos de modificar su producción

para lograr reducir la cantidad de cifras. Es lo que hacen, por ejemplo, Martín y Dan (citados en el punto anterior) cuando transforman su escritura original para seis mil trescientos cuarenta y cinco (600030045) en 630045 y 63045 respectivamente. Ante cada pedido del experimentador, estos niños vuelven a producir una escritura en correspondencia con la numeración hablada, pero se muestran insatisfechos con el resultado y lo corrigen, suprimiendo uno o más ceros de la escritura original. Sin embargo, el resultado de estas correcciones coincide sólo en algunos casos con la escritura convencional, porque los niños siempre dejan  por lo menos un cero: mil treinta y seis, por ejemplo, llega a ser escrito como 1036 (a partir de 100036), en tanto que la versión final de mil quinientos treinta y seis es 10536.  – Luciana también advierte el conflicto, pero intenta resolverlo modificando la lectura del número, en lugar de corregir su escritura:

El proceso evidenciado por Nadia a lo largo de las dos entrevistas que tuvimos con ella, con un intervalo de quince días entre ambas, nos ayudará a responder a esta pregunta. Durante el primer encuentro, sus respuestas son similares a las de algunos sujetos que ya hemos citado:  Experimentador

Nadia

(Ella ha escrito antes convencionalmente 2000-40009000-10000, y ha producido otras escrituras 1000100 para mil cien y 1000500 para mil quinientos –  estableciendo correspondencia con la numeración hablada.) ¿Y novecientos cincuenta, ¿cómo lo escribirías?

(Se queda pensando, escribe 90050, mira largo rato su escritura.) ¡Me equivoqué!

¿Cómo es? No sé. ¿Y novecientos cinco, cómo lo escribís? ¿De las dos maneras?

Así (9005) o así (905). Para mí es así (señala 905).

¿Por qué a novecientos cinco le dejás un cero y a novecientos cincuenta le dejás dos? Porque acá (90050) me equivoqué...Tiene que ser así: 9050. ¿Y novecientos cuarenta y ocho? (Escribe 9048.) Entre novecientos cuarenta y ocho y mil, ¿cuál es más? Mil.

 Experimentador

Nadia

lo escribo así. Entonces a vos te parece que no es así, pero como no tenés otra forma, lo escribís así. Claro. ¿Y cómo te parece que será? ¿Con más números o con menos? Con menos. ¿Con cuántos números te parece? Tres... cuatro... algo así. ¿Más o menos como cuál? Como éste (señala 9000, después de haber revisado sus escrituras anteriores). Puede observarse que Nadia ha comenzado a “achicar” sus escrituras: en el caso de

novecientos cinco, ella propone desde el comienzo dos posibilidades, una de las cuales está en correspondencia con la numeración hablada, en tanto que la otra  – la que finalmente elige y que coincide con lo convencional – tiene un cero menos. Después de corregir en este mismo sentido su escritura original de novecientos cincuenta, ella produce directamente 9048 para novecientos cuarenta y ocho, omitiendo esta vez en  forma anticipatoria el otro cero (de novecientos) que seguramente hubiera incluido si no estuviera tratando de controlar sus escrituras para que incluyeran menos cifras de las que resultan al establecer correspondencia con la numeración hablada. Sin embargo, la anticipación con respecto a la supresión de ceros deja de operar cuando se trata de escribir dos mil trescientos cincuenta. Es más: aunque acaba de afirmar (en relación con los australes) que tres mil es mayor que dos mil trescientos cincuenta, ella parece “olvidar” esta afirmación cuando el experimentador la vincula a la cantidad de cifras de sus escrituras y pregunta sorprendida: “¿Cómo que es menos?”. A pesar de ese “olvido”, Nadia está en condiciones de reconocer que se está enfrentando

 Experimentador

Nadia

¿Y novecientos cinco?

(Escribe 9050, lo tacha, luego escribe 900 y pone un cinco sobre el último cero.) 905

¿Por qué acá (905) sí lleva cero y acá (958) no lleva cero? Porque acá (905) es cinco y acá (958) cincuenta y ocho... Porque cincuenta y ocho son dos números y cinco es uno. ¿Y qué pasa si a éste (905) no le pongo ningún cero? Si no le pongo ningún cero, es noventa y cinco. Hay que ponerlo para que se sepa que es novecientos cinco. [ ... ] Y el dos mil quinientos, ¿cómo será? 2500. (Escribe primero 2000 y luego el 5 sobre el primer cero.) Contáme cómo lo pensaste. No sé. ¿Y el dos mil quinientos cincuenta y ocho? 2058 (escribe primero 2000 y luego, sobre los ceros, 5-5 y 8). ¡Qué bárbaro! Explícame cómo lo hacés, así yo se lo cuento a otros nenes. Ese método que usaste puede servirles a otros chicos. Primero pongo dos mil, y después voy poniendo... Pongo. quinientos cincuenta y ocho, porque si me equivoco y pongo un cero me queda suelto. Nadia ha elaborado una estrategia que le permite superar el conflicto planteado: ella

Hemos intentado describir los rasgos esenciales del proceso a través del cual los niños se aproximan a comprender la naturaleza de nuestro sistema de numeración; hemos mostrado que los chicos producen e interpretan escrituras convencionales mucho antes de poder  justificarlas apelando a la ley del agrupamiento recursivo; hemos puesto en evidencia conceptualizaciones y estrategias que los chicos elaboran en relación con la notación numérica. Es una opción didáctica tener en cuenta o no lo que los chicos saben, las preguntas que se hacen, los problemas que se plantean y los conflictos que deben superar. Es también una decisión didáctica tomar en consideración la naturaleza del objeto de conocimiento y valorar las conceptualizaciones de los chicos a la luz de las propiedades de ese objeto. La posición que en tal sentido hemos asumido inspira tanto el análisis de la relación existente entre las conceptualizaciones infantiles y el sistema de numeración como la crítica a la enseñanza usual y el trabajo didáctico que proponemos. De todas estas cuestiones hablaremos en los puntos siguientes.

CAPÍTULO VI. DIVIDIR CON DIFICULTAD O LA DIFICULTAD DE DIVIDIR  Irma Saiz 1

“Dura cosa é la partita” (Antiguo refrán italiano)

Introducción En la Antigüedad sólo los hombres sabios sabían dividir.  Los métodos de resolución eran numerosos. Métodos difíciles que se asimilaban con gran trabajo y solamente después de una prolongada práctica; para resolver con rapidez y exactitud la multiplicación y la división de números con varias cifras significativas era necesario un talento natural especial, capacidad excepcional: sabiduría que para los hombres sencillos era inaccesible...  Nuestros antepasados emplearon métodos mucho más lentos y engorrosos, y si un escolar del siglo  XX pudiera trasladarse tres o cuatro siglos atrás, sorprendería a nuestros antecesores por la rapidez y exactitud de sus cálculos aritméticos. El rumor acerca de él recorrería las escuelas y monasterios de los alrededores, eclipsando la gloria de los más hábiles contadores de esa época, y de todos lados llegarían gentes a aprender del nuevo gran maestro el arte de calcular.

Estos párrafos extraídos del interesante libro de Y. Perelman,  Aritmética recreativa, nos hablan de un escolar actual poseedor del gran arte de saber calcular una división, utilizando un método rápido, eficaz, elegante, útil para la división de todos los números posibles... Es verdad que los algoritmos han evolucionado y mucho, desde el “método de la galera” que también incluye Perelman en su libro, hasta el algoritmo actual.

Seguramente todos los docentes encuentran 17 en el primer caso; en el segundo ya pueden aparecer dos respuestas: 2,5 o bien 2, aclarando a veces que se trata del cociente entero. En el tercer caso muchos docentes dan por respuesta 0,4. Otra respuesta mucho más rara es cociente 0 y resto 2. Para 47 ÷ 6 hay gran variedad: – no es divisible – el cociente entero es 7, el resto es 5 – o bien otras respuestas como: 7,83; 7,833; y “no se termina nunca” – el cociente es 47 / 6 Finalmente para 35 ÷ 16 las respuestas son aún más numerosas: – – –

35/16; treinta y cinco dieciseisavos el cociente entero es 2, el resto 3 se plantea la operación y el cálculo es prolongado hasta obtener 1, 2 o más decimales de ahí los resultados: 2, 1; 2, 18; 2, 187; 2, 1875; o “2,1875 y terminé” (Este análisis fue extraído de ERMEL CMI, 1982.) Lo anterior muestra que “dividir un número por otro” en realidad es una expresión vaga; hace aparecer diferentes tipos de cocientes (enteros, decimales no enteros, etc.). En muchos problemas se busca distribuir objetos a personas, respetando las condiciones siguientes: – – – –

no se distinguen los objetos, unos en relación con otros; sólo importa su número, lo mismos sucede con las personas, las partes tienen todas el mismo número de objetos, este último número es el más grande posible, lo que equivale a decir que restará la menor cantidad posible de objetos no distribuidos (eventualmente, puede no sobrar ninguno). Si bien esta caracterización permite abarcar una serie de problemas, no los incluye a todos, no

c) “Cociente exacto”. Puede criticarse como en el caso a), y en lugar de la expresión “5 es el cociente exacto de 15 por 3”, puede decirse: “5 es el cociente de 15 por 3” y, si es necesario, aclarar que el resto es nulo. Estos términos tal vez se originaron en la clasificación que se realizaba tradicionalmente en la escuela de los distintos casos de división: división de un entero por un entero; de un decimal por un entero; de dos decimales entre sí; de dos enteros con cociente decimal, etcétera. Todo lo anterior va dando una primera idea de las dificultades a las que se enfrentan los niños cuando inician el aprendizaje de la división, y también a lo largo de éste cuando se van encontrando, uno atrás del otro, con los diferentes significados de la división. En este capítulo se presentarán primero algunas consideraciones teóricas sobre el significado de la división, en segundo término un análisis de la resolución de problemas, en particular en relación con los planteos y, finalmente, un análisis de los algoritmos utilizados por los alumnos.

Acerca del significado de la división Como menciona Roland Charnay (1988) en el capítulo 3 de este libro, uno de los desafíos esenciales, y al mismo tiempo una de las dificultades principales de la enseñanza de la matemática, es precisamente que lo enseñado esté cargado de significación, que tenga un sentido para el alumno. Y continúa señalando que “La construcción de la significación de un conocimiento debe ser pensada a dos niveles: un nivel externo: cuál es el campo de utilización de este conocimiento, y cuáles son los límites de ese campo... y un nivel interno: cómo funciona tal recurso y por qué funciona.” Guy Brousseau (1987) habla de estos dos niveles como de las dos componentes de la comprensión : – –

una se expresa más bien en términos de semántica. “Comprender” es ser capaz de reconocer las ocasiones de utilizar el conocimiento y de invertirlo en nuevos dominios; la otra se expresa en términos de necesidades lógicas o matemáticas o, de forma más general, sintácticas. El alumno que puede comprender puede “razonar” sobre su saber, analizarlo o

Todos estos problemas se relacionan de una u otra manera con la división 47 ÷ 6, si bien se trata de situaciones muy diferentes entre sí. En la práctica escolar, en general los docentes realizan una distinción entre (Brousseau, 1987): – –

aquellas actividades que apuntan a la adquisición de los saberes institucionalizados, tales como los algoritmos de cálculo, las definiciones canónicas o las propiedades fundamentales, y aquellas que apuntan a la comprensión y al uso de esos saberes.

La enseñanza de los conocimientos tales como algoritmos, propiedades o definiciones son fácilmente organizables en el salón de clase; son identificables, descriptibles y su adquisición es verificable de forma simple. Así, para evaluar si los alumnos “saben dividir” es suficiente plantearles varias cuentas y verificar sus resultados. Además, se trata de técnicas conocidas por la sociedad. Los padres también pueden saber si sus hijos aprendieron a dividir o no. En cambio, al hablar de reconocimiento de situaciones de división, de significados del concepto, se entra en un terreno mucho más ambiguo y difícil de identificar. Tanto los docentes como los padres quisieran que la enseñanza lograra en los alumnos no sólo el conocimiento de los saberes institucionales, sino también la comprensión, pero ante la falta de una solución evidente, el aprendizaje de los algoritmos termina por eliminar la búsqueda de la comprensión. La enseñanza, en general, de las operaciones matemáticas está basada en la comunicación de un procedimiento de cálculo asociado posteriormente a un pequeño universo de problemas que se supone “cargarán” de significado al concepto. Pero, aislados de su contexto, los algoritmos se convierten en respuestas adquiridas para preguntas “a venir” sobre las cuales no se sabe mucho. Los algoritmos se aprenden sabiendo que servirán para resolver problemas, pero se ignora de qué problemas se trata. En el nivel de la investigación y resultados de la Didáctica de la Matemática, pueden señalarse dos períodos diferentes; en sus inicios se planteaba que la adquisición del sentido quedaba totalmente a cargo del profesor, quien, con una apropiada selección de situaciones de aprendizaje y de su encadenamiento, debía

1. Los números: tanto la estructura movilizada (naturales, decimales, etc.) como su expresión (fraccionaria o decimal), el tamaño de los números (menores que 1, entre 1 y 2, etc.) así como su función matemática (cardinal, medida, etc.). 2.  Los tipos de magnitudes: dominios físicos, dimensiones, etc. 3.  Las técnicas de cálculo  enseñadas precedentemente (manipulaciones de reparto, sustracciones repetidas, productos, ensayo y error, adivinanza, encuadramiento sistemático, transformación a los naturales, presentación de los cálculos, etcétera.).  Análisis de los problemas

En este estudio realizado para analizar, junto a los maestros, las dificultades de los niños en el tema de división, se presentaron cinco problemas, seleccionados entre los habituales, de 4º o 5º grado. El listado de los problemas se incluye en el Anexo (pág. 216). Como se mencionó en el apartado anterior, pueden determinarse para los diferentes conocimientos variables pertinentes, es decir, caracteres cuyo valor, ausencia o presencia, por ejemplo en los enunciados de los problemas, influyen en las posibilidades de reconocimiento o de resolución de un problema de división, provocando un bloqueo del reconocimiento o un cambio neto del modo de resolución o una modificación. Entre las variables pertinentes señaladas por Brousseau, se tuvieron en cuenta sólo algunas: 1) En relación con los números involucrados: – Se tornaron números naturales en los enunciados de los problemas I, II, IV y V, y números decimales en el III. – Divisores de 1, 2 o 3 cifras (problemas III y V; problemas I y II; problema IV, respectivamente). – Resto nulo o no (problemas II, III, IV y V; problema I, respectivamente), 2) En relación con los tipos de magnitudes: – utilización de las magnitudes: longitud (problema III) y tiempo (problema V), y cantidades discretas en los otros tres problemas. 3) Las técnicas de cálculo enseñadas precedentemente no fueron tomadas en cuenta, ya que en

las masas, el 67,80 % la realiza correctamente y el 14,60 % incorrectamente. Es decir, la suma de las columnas 4) y 5) corresponde a los totales de la columna 2). “Diferencias notables”

Un primer análisis de los trabajos de los niños nos brinda una información que podríamos considerar sorprendente. No se puede, por lo menos en este grupo de niños, hablar en términos generales, diciendo, por ejemplo: “En 6º grado los alumnos saben tal o cual cosa”; “En 5º aún no son capaces de utilizar correctamente tal procedimiento, pero en 6º sí”, etc., dado que hay grandes diferencias entre grupos del mismo grado y entre los 5º y 6º, inclusive dentro de un mismo establecimiento escolar. Por ejemplo, en el problema sobre longitudes, en un 5º grado se encuentra 56 % de respuestas correctas y 21 % de problemas sin resolver, mientras que en un 6º grado sólo 3 % de respuestas correctas  junto a 85 % sin realizar, con la indicación “No entiendo”.

Aclaración Las condiciones de aplicación de los problemas y ejercicios quedaron bajo la entera responsabilidad de cada maestro y no fueron discutidas en el curso. Algunos maestros seguramente dieron como consigna que, ante un problema que no comprendían, siguieran adelante con los demás, lo que puede explicar tan alto porcentaje de “no entiendo” en uno de los grupos. “Reconocimiento y resolución”

Consideramos que un alumno reconoce que un problema es de división cuando plantea resolver una operación de este tipo, aunque su resultado no sea correcto. En el grupo de 300 alumnos, sólo 3 de ellos intentan la resolución con algún procedimiento distinto de la utilización del algoritmo clásico, adicionando

4) tiempo (problema V) 5) longitud (problema III)

5,05 % 4,04 %

Los dos problemas referidos a la búsqueda del número de iteraciones posibles, o, lo que es lo mismo, búsqueda del número de partes, es decir, ¿cuántas bandejas se necesitan?, ¿y cuántos collares ... ?, se encuentran entre los que provocan un mayor número de procedimientos inadaptados. Estos problemas no son reconocidos de la misma manera que los “de reparto”, es decir, aquellos donde se busca el valor de cada una de las partes. De todos modos, el problema sobre longitud, que involucra números decimales, a pesar de tratarse de un problema de reparto no es reconocido como tal. No se reparten horas de la misma manera que se reparten botellas.... Entre los procedimientos inadaptados el más frecuente es sin duda la multiplicación, que lleva el 80 % de ellos. Encontrarnos nuevamente diferencias notables entre los grupos; por ejemplo en el problema de la longitud, en 5º grado, los porcentajes de reconocimiento de la división van desde 12,5 hasta 96,66 % y en 6º desde 22,2 hasta 93,93 %, incluyendo nuevamente secciones de la misma escuela. “Resoluciones correctas”

En el cuadro también pueden observarse los porcentajes de respuestas correctas e incorrectas dentro del porcentaje de niños que reconocieron la división como operación pertinente a realizar en estos problemas. Ordenados los problemas de su mayor o menor porcentaje de cálculo correcto se obtiene: 1) masas 2) tiempo 3) perlas

67,8 % 62,6 % 51,0 %

sobre el procedimiento y sin involucrarse en el problema, lo que permitiría al niño al menos comprobar si el número dado corresponde a la respuesta del problema o no. La mayor parte de los niños realiza la prueba de la división (prueba del 9) pero nadie hace la “prueba del problema” es decir, nadie verifica si el resultado obtenido es la solución del problema planteado. Como veremos más adelante al analizar los algoritmos, la falta de control sobre las producciones se extiende a los diferentes pasos del algoritmo. Los tres problemas restantes obtienen un porcentaje de respuestas correctas del 51 %, 38,5 % y 19,2 %. Claramente, estos porcentajes indican un muy bajo nivel de aprendizaje. El problema del vino es reconocido como problema de división por el 88,88 % de los alumnos; sin embargo, sólo el 19,2 % del total de alumnos da una respuesta correcta, debido a las dificultades en el algoritmo de la división por tres cifras. El problema de la longitud es un problema esclarecedor del tipo de resultados que se encuentran. De los 275 alumnos a quienes fue planteado, el 32 % no lo resolvió, el 9,81 % utilizó procedimientos inadaptados, el 38,5 % lo resolvió correctamente y el 19,68 % incorrectamente. Es decir, si suponemos que los alumnos no lo resolvieron por falta de conocimientos apropiados, llegamos a 61,5 % de alumnos, entre 5º y 6º grado, que no pueden resolver este tipo de problemas que involucran medidas de longitud. Más aún, expresar la respuesta sin indicar la unidad correspondiente no fue, en este caso, considerado incorrecto.  En resumen

Los alumnos no atribuyen significado al algoritmo que ponen en juego, por lo tanto no pueden interpretar lo que obtuvieron en las distintas etapas del cálculo en términos del problema planteado. El algoritmo enseñado aparece como un puro trabajo sobre los números, independiente de los datos de la situación planteada. Muestran una relación superficial con el conocimiento. Ponen distancia entre ellos y la situación

El planteo tenía en sus orígenes un objetivo de claridad en el razonamiento, de identificar correctamente los datos y “ayudar” al alumno a resolver el problema. Se trata, en general, de problemas con una estructura bastante rígida, con 3 datos y donde es necesario encontrar el cuarto, es decir, básicamente, un problema de “regla de tres”, que se inicia con la multiplicación y división en 2º y 3º grado, continuando con la proporcionalidad simple en 4º o 5º y finalmente con la proporcionalidad compuesta en 6º y 7º grado, donde el número de datos se eleva a 5 y es necesario obtener el sexto. Algunos maestros llevaron la exigencia del planteo también a otros problemas, por ejemplo los de suma y resta, donde en realidad se trata de resumir los datos del problemas en un formato especial. Por ejemplo, en el problema: María tiene ahorrados 20 $ para el Día de la Madre, pero el regalo que quiere comprar cuesta $ 35; ¿cuánto le falta ahorrar?

el planteo en principio se reduce a escribir una síntesis del problema: tiene........$ 20 quiere......$ 35 o bien le faltan 35 - 20 = 15 le falta

quiere........ 35 tiene.......... 20 le falta....... 35 - 20 = 15

Por supuesto, puede haber otras versiones. Clásicamente los planteos poseen dos líneas: en una los datos y en la otra la incógnita, formato que se presta muy bien para los problemas clásicos de multiplicación o división: 1 caja........................ 12 bombones 8 cajas...................... 12 x 8 = 96 bombones En el caso de los problemas de proporcionalidad, suele incluirse una “x” en el lugar de la incógnita, especialmente en los grados del 3º ciclo, y entonces se separa el planteo de la solución, que a su vez sigue

1872 ÷ 104 = 18 1872 botellas ...................................... quiere poner en 104 cajas 1 botella ............................................. 1872 ÷ 104  Dato unitarios

En el caso de los problemas donde es necesario encontrar el valor unitario (problemas III, IV y V), los planteos no reflejan tal búsqueda: 29 ..........................horas 4 ............................días

29 horas ........................... toda la semana quiere trabajar .................. 4 días = 29 ÷ 4 = 7,25 horas

Tampoco en los problemas en que el valor unitario es un dato (problemas I y II) éste aparece en los planteos: bandejas ..................... 24 masas masas ......................... 293 + 24 = o es colocado erróneamente: 1 bandeja ........................... 24 masas 293 masas ......................... 293 + 24 = En resumen, la demanda o la información sobre el valor unitario no parecen ser percibidos como tal a partir de las expresiones: “cada caja” en el problema del vino; “por día” en el problema del tiempo; “cada

 Reducción a una cifra

Frecuentemente una división de 2 o 3 cifras es resuelta erróneamente, utilizando un algoritmo “inventado” que la reduce a una división de 1 cifra, reencontrando de esta manera esquemas conocidos anteriormente. Trataremos de reproducir el pseudoalgoritmo, tal como es realizado: 293 09 13 1

24 126

“2 dividido 2 da 1 y sobra 0; bajo el 9, 9 dividido por 4, da 2 y sobra 1; bajo el 3, 13 dividido 2 da 6 y sobra l.” Dividiendo alternativamente por 2 y por 4 se obtiene entonces: 126 como cociente y 1 como resto. Este razonamiento y algunos otros fueron confirmados en entrevistas orales a sus autores, o por los “numeritos” auxiliares que colocan para ayudarse en los cálculos mentales. Se trata, en general, de alumnos que lo utilizan para todas las divisiones que realizan, aunque un mismo alumno puede realizar un tipo de algoritmo en una de las divisiones o problemas y utilizar otro diferente en otro cálculo. Puede considerarse que las variables que influyen en el reconocimiento del problema como un problema de división también influyen en el tratamiento y en la resolución del algoritmo. La operación citada anteriormente y el mismo recurso puede por supuesto proveer un resultado diferente, por ejemplo 125, y en ese caso el resto es 3; o 123 si la última división se realiza por 4 en lugar de dividir por 2; por lo tanto este tipo de algoritmo ni siquiera asegura un resultado unívoco. A veces se combina con resabios de propiedades matemáticas. En 1872 ÷ 104 = tachan primero el 0 de 104 (¿no tiene valor?), y realizan luego la división por 14, alternando entre dividir por 1 y por 4.

un niño realiza correctamente los dos primeros pasos del algoritmo, dividir 187 por 104 y bajar el 2, pero al dividir 832 por 104 coloca como cociente 7 (en lugar de 8) y obtiene como resto 104, que vuelve a dividir por 104, obteniendo como cociente final 171, en lugar de 18.

1872 0832 104 0

104 171

La falta de control sobre el algoritmo provoca una gran duda en los cálculos intermedios: saber si la cantidad a dividir es menor que el divisor y entonces “se agrega 0 en el cociente” o si se trata del resto que es necesariamente menor que el divisor. Por ejemplo:

1872 0832 634 530 322 10

104 12123

La operación es correcta hasta obtener 832 como resto, pero al dividirlo por 104 coloca como cociente 2 en lugar de 8; los restos siguientes, todos mayores que 104, son divididos sucesivamente. Sin llegar a casos tan extremos, veamos otro ejemplo: 1872

104

34φ 04 0

1φ

y aun hay 7 más que no tachan los ceros; encuentran el resultado correcto (34) pero realizando completamente el algoritmo: 340 040 00

10 34

Los 7 alumnos restantes encuentran resultados diferentes de 34. Otro de los problemas provocados por los ceros puede observarse en el cálculo de: 70 + 30 = Este ejercicio fue planteado a 215 alumnos de 7 grupos escolares de 5º y 6º grado. Los porcentajes de logros van desde 18 %, el menor, hasta casi 87 %, el mayor. La disparidad entre los grupos es muy grande, disparidad que se encuentra en casi todos los ejercicios presentados, y que ya fue comentada. En otro de los 6 os grados, 31 alumnos entre los 37 del salón tachan los dos ceros, efectúan la división y obtienen 2 como cociente y 1 como resto en lugar de 10 como obtendrían con el cálculo correcto. En este caso también encontramos los errores anteriores. Por ejemplo, 70 10 1

30 23

En el cuadro de porcentajes incorporados anteriormente puede observarse la influencia negativa que ejerce la necesidad de resolver el algoritmo, en los porcentajes de resolución correcta. Así, en la división por 3 cifras (agravada por la presencia de un cero intermedio) el porcentaje de resolución correcta del algoritmo es de 19,2 %, el más bajo entre todos los problemas. En la división por 2 cifras, los porcentajes son mejores pero de todos modos hay aún 26,5 % de respuestas incorrectas. “El algoritmo en los libros de texto”

El algoritmo tradicional de la división ha pasado a constituirse en la actualidad en un ejemplo de transmisión oral. Es muy difícil encontrar en los libros o manuales de matemática los diferentes pasos del algoritmo. Una redacción que muestra en toda su complejidad los pasos del algoritmo puede leerse en el libro de Díaz de Rueda (1850). Este libro, a partir de preguntas, pretende dar a conocer todos los temas de todas las materias de la primera enseñanza. En el capítulo de “Aritmética” se plantea, entre otras, la pregunta: ¿Cómo se divide un número compuesto 2 por un dígito? se lee:  Después de colocar el divisor a la derecha del dividendo separados por medio del correspondiente signo, se averigua cuántas veces el primer guarismo de éste, empezando por la izquierda y separándolo con una coma, contiene a aquél o si dicho guarismo es menor, las veces que los dos primeros están contenidos en el divisor; y el resultado se pone debajo de éste. Después se multiplica dicho resultado por el divisor, y colocando el producto debajo del dividendo parcial se restan entre sí. Luego se separa con una coma otro guarismo en el dividendo, y uniéndolo al residuo de la resta, si lo hay, se ve igualmente las veces que contiene al divisor, y se procede de la misma manera que en el caso anterior y sucesivamente hasta concluir la operación. Finalmente, si hubiera algún residuo por no salir cociente exacto, se escribe delante de éste en forma de quebrado.

Mientras que el algoritmo dado por el libro español haría el producto del 6 por 28, escribiría el resultado 168 debajo del 189 y procedería a efectuar la resta. Incluso el algoritmo abreviado que propone, consiste en recordar en la memoria el número 168 y restarlo mentalmente del 189. (Fácil en este caso...) 1898 168

128 67

218 196 22 Algunos libros actuales como  Así aprendemos de Editorial Hachette para 4º grado,  Matemática 4 de Editorial Aique, Objectif Calcul  de CMl (4º grado) o  Apprentissages mathématiques à l’école élémentaire CM, proponen llegar al algoritmo de la división a partir de la evolución de procedimientos espontáneos de los niños, pero conservando, como en el caso del libro español, la multiplicación por el divisor en su totalidad y no como dos cifras yuxtapuestas que se operan independientemente. En general, relacionan el algoritmo con el sistema de numeración decimal, aclarando en cada momento si se están dividiendo centenas, decenas o unidades. En algunos de esos libros se insiste en el cálculo previo del número de cifras del cociente, que posibilita el control del cálculo efectuado, pero además insisten en la necesidad de dominar el cálculo mental, con ejercicios de encuadramiento, de aproximación y de estimación, así como en el dominio de los resultados elementales concernientes a la multiplicación. En general se trata de algoritmos más lentos, menos económicos, menos elegantes, pero que exigen una carga mental menor, y sobre todo que permiten mantener el significado del cálculo a través de los pasos sucesivos y de cierto control sobre la producción. El algoritmo clásico no aparece en la escuela como el último paso de un proceso de evolución de

obligándolos a asumir una actitud reflexiva y comprometida en la búsqueda de la solución de las situaciones planteadas. El cálculo mental (véase el capítulo 7 de C. Parra, 1993) puede también ayudar a los alumnos a contar con herramientas de estimación de resultados, de aproximación y de utilización de propiedades de las operaciones. Existe una fuerte correlación entre las dificultades presentadas por los niños en cálculo mental y las encontradas durante la resolución de problemas. En particular, si los alumnos no logran calcular mentalmente, no pueden tener una idea del orden de magnitud de los números que van a intervenir. La atribución de un significado a cada una de las etapas del cálculo en términos de la situación de referencia les permitirá resolver los problemas con el control suficiente para determinar su validez. Las dificultades de los alumnos con los algoritmos, reiteradamente constatadas, deberían obligar a los docentes a “enfrentarlas” en clase, analizarlas y corregirlas. Los errores que aparecen, como “reducir a una cifra”, “dividir el resto nuevamente”, etc., deben ser rechazados por los alumnos explícitamente e incluir este rechazo dentro de sus conocimientos. No puede dejarse de lado con un “Debés ejercitar más las divisiones” o bien “Debés prestar más atención”...; estos errores se constituyen en obstáculos que impiden el aprendizaje, obstáculos que no se levantan solamente con más atención ni con más ejercitación.

Anexo  Problemas:

I. El panadero hornea masas en bandejas de 24 masas cada una. Hoy amasó 293. ¿Cuántas bandejas tiene que preparar para hornearlas todas? II. Para Carnaval se hicieron collares de 17 perlas cada uno. ¿Cuántos collares iguales se pueden hacer con 221 perlas? III. Con un hilo de 8,70 m de largo se cortan 6 pedazos de la misma longitud. ¿Podés decir cuál es

BIBLIOGRAFÍA A.P.M.E.P. (Asociación de profesores de matemáticas de la Enseñanza Pública)  (1975): Mots, réflexions sur quelques mots-clés pour l'école élémentaire , tomo II, Lyon. Bergada, M. y Musante, M.  (1989): Así aprendemos. Matemática 4, Buenos Aires, Editorial Hachette. Brousseau, Guy (1988): "Los diferentes roles del maestro" , ponencia presentada en la UQAM de Quebec,

Canadá (corresponde al capítulo 4 de este libro). –(1987): "Representations et didactique du sens de la division",  en Didactique et Acquisitions des connaissances scientifiques, París, Actes du Colloque de Sévres. –(1986): “Teorización de los fenómenos de enseñanza de la Matemática”,  tesis de graduación, Universidad de Burdeos. Charnay, Roland  (1988): "Aprender (por medio de) la resolución de problemas", Grand N  Nº 42, Grenoble. (Corresponde al capítulo 3 de este libro.) Clavier, Y, Bia, J. y Marechal, C.  (1987): Objectif calcul CM1, París, Editorial Hatier. Díaz de Rueda, R. (1850): La escuela de instrucción primaria , Imprenta de Cuesta y Compañía, Valladolid, España. Douady, R. (1984): “Jeux de cadres et dialectique outil-objet dans 1' enseignement des mathématiques. Une réalization dans tout le cours primaires” . Tesis de graduación, Universidad de París VII. ERMEL (1982): Apprentisages mathématiques á l' école elementaire. Cycle Moyen, tomo I, Editorial Sermap-Hatier, París. INRP (1986): “En mathématiques peut mieux faire... L' éleve face á la difficulté en mathématiques” , Rencontres pédagogiques, Nº 12, París. –(1987): "Apprentissage et resolution de problémes: la division au CMI" , Rapport de Recherches, Nº. 12, París. IREM (1988): "Didactique des Mathématiques et Formation. Evaluation des apprentissages", Actes du Colloque de Rouen, Ruán. Peault, H. (1988): "Division en formation initiale", Actes du Colloque de Rouen, Ruán.