Didactica de la Matematica. Tomo I - Sergio Ballester Pedroso (Coordinador)

Dr. C. Sergio Ballester Pedroso (coordinador) Dr. C. Juan Enrique García la Rosa M. Sc. Bernardino Alfredo Almeida Carazo M. Sc. Hilario Francisco Santana de Armas Dr. C. Marta María Álvarez Pérez Dr. C. Maricela Rodríguez Ortiz Dr. C. Rosa Adela González Noguera Dr. C. Eduardo Víctor Villegas Jiménez M. Sc. Alberto Lorenzo Fonseca González Dr. C. Norly Ismael Puig Reyes Dr. C. Eloy Arteaga Valdés Dr. C. María de los Ángeles Valdivia Sardiñas Dr. C. Carlos Luis Fernández Peña

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DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA. Tomo I © Sergio Ballester Pedroso y otros, 2018 © Sobre la presente edición: Editorial Universitaria Félix Varela, 2018

ISBN 978-959-07-2296-7 Obra completa 978-959-07-2300-1 Tomo I

Edición y corrección: Lic. Carlos A. Andino Rodríguez Diseño de cubierta: Elvira M. Corzo Alonso Diseño interior y realización: Elvira M. Corzo Alonso Emplane digital: Yaneris Guerra Turró

EDITORIAL UNIVERSITARIA FÉLIX VARELA Calle A, no. 703, esq. a 29, Vedado, La Habana, Cuba [email protected] www.epfv.com.cu

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ÍNDICE

Capítulo 1. Antecedentes y objetivos de la enseñanza-aprendizaje de la matemática / 1 Antecedentes / 1 ¿Cuáles son las raíces de la Didáctica de la Matemática cubana? / 1 ¿Qué papel desempeña la Didáctica de la Matemática en la formación del Licenciado en educación? / 4 ¿Cuál es el Objeto de estudio y cuáles son las tareas de la Didáctica de la Matemática? / 7 ¿Qué relaciones existen entre la Didáctica de la Matemática y otras ciencias? / 13 Objetivos / 15 Aspecto instructivo de los objetivos en la asignatura Matemática / 15 Objetivos específicos / 27 Medios auxiliares / 27 Procedimientos de solución y las formas de trabajo y pensamiento de la Matemática / 30 Aspecto instructivo de los objetivos en la asignatura Matemática / 34 Aspecto educativo de los objetivos en la asignatura Matemática / 35 Filosófico-ideológico / 35 Político-moral / 40 Formulación de los objetivos en la asignatura Matemática / 42 ¿Cómo se formulan los objetivos para las clases de Matemática? / 43 Resumen / 46 Tareas para el trabajo independiente / 47 Capítulo 2. Contenido de enseñanza en la asignatura matemática / 53 ¿Qué se aprende y qué se enseña en la asignatura Matemática? / 53 Programas de la asignatura Matemática. Procedimientos de trabajo / 55 Corte vertical / 57 Corte horizontal / 61 Panorámica de conocimientos / 63

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Determinación del contenido matemático y su tratamiento metodológico / 65 ¿Qué elementos del contenido de la unidad se deben asimilar por los alumnos a partir del objetivo determinado? / 66 Líneas directrices de la enseñanza de la Matemática / 71 Dominios numéricos / 73 Trabajo con magnitudes / 75 Trabajo con variables, ecuaciones, inecuaciones y sistemas de ecuaciones e inecuaciones / 75 Correspondencias y funciones / 76 Geometría / 77 Combinatoria y probabilidades / 79 Tratamiento de datos/estadística / 79 Adiestramiento lógico lingüístico / 80 Transcurso de la línea directriz “Modelar” (precisar, matematizar o interpretar, realizar, validar, evaluar) / 83 Utilizar recursos y técnicas para la racionalización del trabajo mental / 83 Formular y resolver problemas / 84 Entrelazamiento de las líneas directrices en la enseñanza de la Matemática / 86 Resumen / 90 Tareas para el trabajo independiente / 91 Capítulo 3. Métodos del proceso de enseñanza-aprendizaje de la Matemática escolar / 95 Conceptualización de método del proceso de enseñanza-aprendizaje / 95 ¿Cómo puede el profesor desarrollar el proceso de enseñanza-aprendizaje para lograr que los estudiantes se apropien del contenido matemático y se cumplan los objetivos propuestos? / 95 ¿Cuáles son los aspectos que permiten caracterizar los métodos? / 96 Clasificación de los métodos de enseñanza / 97 ¿Cómo seleccionar los métodos más adecuados en función de los objetivos y el contenido? / 97 Caracterización de los métodos según la vía lógica del conocimiento / 98 Métodos analíticos, sintéticos y analítico-sintéticos / 108 Ejemplos de posibles tratamientos didácticos aplicando vías y razonamientos plausibles / 109 Métodos genético, constructivo y axiomático / 111 Ejemplos de posibles tratamientos didácticos aplicando vías y razonamientos plausibles / 112 Métodos según el tipo de proceso de comunicación en la enseñanza

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y el grado de independencia del trabajo de los alumnos / 113 Método expositivo / 114 Algunas indicaciones metodológicas que pueden contribuir a estimular la actividad mental de los alumnos cuando se utiliza el método expositivo / 116 Método de elaboración conjunta / 117 Método de dirección del trabajo independiente / 121 Métodos según las etapas de desarrollo de la experiencia creadora y la actividad cognoscitiva / 124 Métodos según la fuente de apropiación de los conocimientos / 130 Tareas para el trabajo independiente / 133 Capítulo 4. Planificación del proceso de enseñanza–aprendizaje por el profesor / 141 La clase, eslabón esencial del proceso de enseñanza-aprendizaje / 143 Introducción de la clase / 143 Desarrollo de la clase / 144 Conclusiones de la clase / 144 Bases de la planificación / 145 Planificación de unidades / 148 Planificación de sistemas de clases / 151 Planificación de la clase / 156 Resumen / 163 Tareas para el trabajo independiente / 169 Anexo / 173 Cifras esenciales y el cálculo con números aproximados / 173 Referencias bibliográficas / 179 Sobre los autores / 183

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PALABRAS A PROFESORES Y ESTUDIANTES

Este libro de texto de Didáctica de la Matemática fue confeccionado para apoyar el desarrollo del proceso de enseñanza-aprendizaje de la Matemática en la escuela cubana y la formación de Licenciados en Educación, que tienen en esta tarea su papel principal. Las exigencias de los nuevos planes de estudios, demandan el establecimiento de lazos interdisciplinarios durante todo el proceso de formación y estrechos vínculos entre la formación académica, laboral e investigativa, coordinados mediante la dirección estratégica de la disciplina integradora Formación Laboral Investigativa en cada especialidad. Por esta razón en este libro los fundamentos teóricos y ejemplos para su concreción en la práctica; las propuestas de tareas, ejercicios y problemas, así como las sugerencias para crear y desarrollar situaciones de aprendizaje, entre otras, tienen no solo el propósito de contribuir al dominio de los contenidos, sino también el de estimular el vínculo del componente académico de la formación con la práctica escolar. En este sentido, la consulta del texto también debe resultar útil a los profesores que asumen la función de acompañar a los estudiantes durante su práctica docente pre-profesional y los recién graduados durante su etapa de adiestramiento. En el texto se han incluido de forma explícita o se ha hecho referencia a resultados de experiencias de avanzada (obtenidas en el marco del trabajo científico metodológico); además de propuestas didácticas derivadas de diversos trabajos de investigación (trabajos científicos estudiantiles, tesis de maestrías y doctorado, o una de estas) con el propósito de evidenciar cómo la Disciplina Didáctica de la Matemática se enriquece a partir de la labor investigativa realizada en esta rama del saber. En estos casos se han utilizado referencias bibliográficas que revelan los autores y fuentes de información utilizadas. Ello tiene el propósito de estimular el interés por aprender y potenciar el alcance de niveles superiores (en atención a diferencias individuales), en relación con la investigación en la didáctica de la matemática. En cada caso, siempre será conveniente ampliar esta

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estimulación hacia la búsqueda de aún más información al respecto (en la región, el país u otras regiones del mundo según corresponda) y con el apoyo de otros recursos. Con esta finalidad, desde el texto, se promueve el uso de otros medios de enseñanza, como: recursos informáticos, textos de Metodología de la Enseñanza de la Matemática utilizados con anterioridad en la formación y otras fuentes literarias, así como publicaciones útiles al desarrollo del proceso de enseñanza-aprendizaje de la matemática. Los autores esperan que esta explicación contribuya a la mejor utilización de este texto, por profesores y estudiantes. De igual modo les exhorta a que nos comuniquen sus valoraciones para su posterior perfeccionamiento.

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Capítulo 1 ANTECEDENTES Y OBJETIVOS DE LA ENSEÑANZAAPRENDIZAJE DE LA MATEMÁTICA

Antecedentes ¿Cuáles son las raíces de la Didáctica de la Matemática cubana? Las raíces de lo que es hoy la Didáctica de la Matemática cubana en la formación de profesores, se encuentra en el trabajo desarrollado por un grupo de insignes pedagogos y maestros cubanos, entre los que se encuentran: José Martí (1853-1895), el presbítero José Agustín Caballero y Rodríguez (1762-1835), Félix Varela y Morales (1788-1853), José de la Luz y Caballero (1800-1862), Manuel Valdés Rodríguez (1849-1914), así como María Luisa Dolz y Arango (1854-1928). El estudio de sus ideas revela el tránsito hacia un pensamiento educativo propio en Cuba y la necesidad de modernizar la enseñanza, tomando como base su dirección, el logro de la comunicación profesor-alumnos y un método de enseñanza que conduzca a conocer la naturaleza. Este método se caracterizaba por su estudio mediante observaciones continuas y bien meditadas, interrogando la naturaleza por las experiencias, capaces de lograr la formación integral del hombre, centrado en sus valores éticos, en la formación de los valores morales y de los ideales políticos sustentadores de una conciencia libertaria. Durante todo este periodo se criticaron los métodos memorísticos, se clamó por acomodar la enseñanza a la edad y disposición de los discípulos y porque jamás repitan palabras, ni expresiones que no entiendan. Se defendió la unidad indisoluble entre el objetivo, el contenido y el método en el proceso de enseñanza de la instrucción y la educación; el empleo de métodos activos, la confianza en las posibilidades intelectuales de los alumnos, el papel decisivo de la autoactividad, así como enseñar a razonar durante el aprendizaje en el proceso de formación de las capacidades y habilidades. De este modo se aportó una teoría del aprendizaje, 1

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relacionada con el papel del método en el proceso de enseñanza, el empleo de métodos especiales para el trabajo educativo y criterios avanzados acerca de las didácticas particulares. El maestro Enrique José Varona y Pera (1849-1933) fue protagonista de una de las reformas de la enseñanza más significativas del principio de siglo, la flexibilidad del currículo, y el primero en prestar atención preferente a la manera en que aprende el alumno; en distinguir el verdadero aprendizaje de la enseñanza y reconocer al profesor el derecho a decidir la extensión e intensidad de sus programas, es decir, tenía una concepción muy bien definida sobre la enseñanza, los métodos y el papel que corresponde al maestro. En correspondencia con ello consideró:1* “(...) que nuestros profesores debían ser hombres dedicados a enseñar cómo se aprende, cómo se consulta, cómo se investiga; hombres que provoquen y ayuden al trabajo del estudiante; no hombres que den recetas y fórmulas al que quiera aprender en el menor tiempo de la menor cantidad de ciencias (…)”. Las enseñanzas de Varona en relación con el papel que corresponde al alumno, como ente activo en el proceso de aprendizaje, y al profesor, en su papel de dirigente de este aprendizaje y facilitador de las condiciones para su ocurrencia, constituyen bases permanentes de nuestras concepciones teóricas. La doctora Dulce María Escalona Almeida (1901-1976) se destacó por sus concepciones pedagógicas y didácticas, es decir: 1. Abogó por erradicar los métodos memorísticos y dogmáticos. 2. Criticó el tradicionalismo y el formalismo. 3. Defendió la combinación del estudio con el trabajo, convencida de la necesidad de crear el amor al trabajo y para el trabajo. 4. Defendió el trabajo independiente del alumno como forma fundamental para el aprendizaje y el autodesarrollo. 5. Su divisa era enseñar a los alumnos a aprender por sí mismos, a desarrollar sus capacidades creadoras y sus iniciativas propias. 6. Estaba convencida de que los aspectos educativos están indisolublemente unidos a los instructivos y practicaba la intransigencia ante los hábitos incorrectos de convivencia social, la indisciplina, la falta de respeto, la manera de hablar o conducirse y la presencia física inadecuada. La lectura de sus textos y la labor realizada por Dulce María Escalona Almeida reafirma la idea de desarrollar una ciencia pedagógica, la cual *

Referencias bibliográficas al final del libro (N. del E.).

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tome en cuenta la integración de la teoría con la práctica y la incorporación de aquellas contribuciones que hacen posible una enseñanza y aprendizaje más eficaces. Esta educadora cubana trabajó de manera activa en la elaboración de una Didáctica de la Matemática para la escuela primaria cubana. Su concepción didáctica se estructura desde las posiciones siguientes: 1. El aprendizaje matemático transcurre por fases, las cuales son: a) Presentación (comprensión, la cual ocupa un papel fundamental en el desarrollo de estas fases). b) Aplicación. c) Mecanización (habituación). 2. Hay un tránsito gradual del trabajo objetivo al abstracto. 3. La motivación no es la fase inicial del trabajo escolar, porque está íntimamente ligada a todo el proceso de aprendizaje. 4. La práctica de fijación de los conocimientos se asigna cuando el alumno ha comprendido el mecanismo operatorio. 5. El buen éxito de la aplicación depende de la: a) Preparación básica del alumno. b) Selección de los problemas propuestos. c) Habilidad del maestro para hacer comprender la situación planteada y dirigir el razonamiento del alumno en la búsqueda de la solución. 6. El éxito del maestro está en hacer trabajar simultáneamente a todos los alumnos. La doctora Dulce María Escalona Almeida fue partidaria de la utilización de juegos y entretenimientos en la enseñanza de la Matemática, con fines instructivos y educativos. Entre las tesis para optar por el grado de Doctor en Pedagogía, portadoras de las ideas pedagógicas y didácticas que nos antecedieron, las cuales reflejan algunos contenidos objeto de estudio en la Didáctica de la Matemática de aquella época, se encuentra la escrita por el maestro secundario Manuel Labra,2 en la cual se tienen en cuenta cuestiones de carácter general, tales como: 1. Conocimientos de los alumnos (psicología de los adolescentes). 2. Conocimientos de la enseñanza secundaria. 3. Fines que persigue la escuela en que enseña el profesor. 4. Relaciones que el profesor debe mantener con los alumnos, con los compañeros, con los padres y la sociedad. 5. Conocimientos del manejo rutinario del aula y de sus condiciones higiénicas. 3

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En relación con cuestiones de carácter específico, desde el punto de vista matemático, refirió: 1. Prejuicios y opiniones erróneas sobre las Matemáticas. 2. Opiniones sobre el valor educativo de las Matemáticas. 3. Las Matemáticas y sus relaciones con otras ciencias. 4. Preparación matemática de un profesor secundario. 5. Métodos, procedimientos y formas que se utilizan en la enseñanza de las Matemáticas. 6. Equipo necesario para el aprendizaje de las Matemáticas. 7. Planeamiento del curso y las unidades de instrucción. 8. Organización del trabajo con los alumnos. 9. Medidas de la labor o pruebas. 10. La motivación en el aprendizaje de las Matemáticas. 11. Mantenimiento del interés en el aprendizaje de las Matemáticas. Aún queda mucho por investigar y sistematizar sobre aspectos didácticos relacionados con las raíces de la Didáctica de la Matemática cubana; no obstante, los maestros referidos en este capítulo constituyen un grupo representativo, estos han laborado ininterrumpidamente en estudios, análisis, proyectos, planes y reformas a través de los cuales es posible apreciar un indicador de la evolución de las ideas didácticas, en particular, en relación con la Matemática.3 Corresponde a los futuros maestros y profesores de Matemática continuar perfeccionando esta obra, por la vía de la investigación y el trabajo científico-metodológico. El interés por la Matemática, la enseñanza de la resolución de ejercicios y problemas, el trabajo independiente de los alumnos, los métodos para la dirección del proceso de enseñanza-aprendizaje constituyen aún hoy temas de investigación para los educadores y didactas especializados en la matemática. A estos se agregan, el empleo de las tecnologías como medio de enseñanza e instrumento de trabajo, matizados de un enfoque desarrollador. A partir de estas raíces, mediante un proceso continuo de desarrollo de investigaciones y experiencias de avanzada sobre el proceso de enseñanza-aprendizaje de la Matemática, se desarrolla la Didáctica de la Matemática cubana, la cual constituye una fuente de conocimientos para la disciplina que lleva su nombre. ¿Qué papel desempeña la Didáctica de la Matemática en la formación del Licenciado en educación? La disciplina Didáctica de la Matemática tiene como objetivo general preparar a los estudiantes para la dirección del proceso de enseñanza4

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-aprendizaje de la asignatura Matemática en el nivel medio y medio superior, lo que constituye el principal problema profesional. Los problemas profesionales expresados como contradicciones estimulan la búsqueda de alternativas de solución que generan nuevos conocimientos, desarrollan habilidades y enriquecen el modo de actuación profesional pedagógico. La disciplina contribuye a la preparación de los docentes en formación para dar solución a los problemas profesionales declarados en el Modelo del Profesional, para lo cual se consideran, en la determinación de los objetivos y la selección del contenido, las interrogantes siguientes: 1. ¿Cómo derivar y formular los objetivos de sistemas de clases y clases, atendiendo a las exigencias de los programas de la asignatura Matemática vigentes en el nivel de enseñanza? 2. ¿Cómo realizar el diagnóstico individual y grupal para atender las diferencias individuales, tanto en la esfera cognitivo-instrumental. como en la afectivo-motivacional? 3. ¿Cómo determinar y seleccionar el contenido de la clase? 4. ¿Cómo determinar los métodos y medios más adecuados a utilizar? 5. ¿Cómo planificar, realizar y evaluar clases de Matemática en el nivel medio y medio superior, atendiendo a las exigencias del proceso de enseñanza-aprendizaje desarrollador, así como la estructuración didáctica y metodológica de las situaciones típicas de la enseñanza de la Matemática? 6. ¿Cómo elaborar, aplicar y procesar instrumentos de evaluación como parte de un adecuado diseño del sistema de evaluación, en aras de cumplir con sus funciones? 7. ¿Cómo orientar la educación de la personalidad de los alumnos en la ideología de la clase obrera y en la formación de convicciones, valores, sentimientos y gustos estéticos? 8. ¿Cómo contribuir a solucionar los problemas que se presentan en el proceso de enseñanza-aprendizaje de la Matemática, utilizando los métodos de la investigación educativa? Ofrecer una respuesta a las interrogantes anteriores, justifica la presencia de la disciplina Didáctica de la Matemática en el plan de formación del Licenciado en Educación especializado en la enseñanza de la Matemática. Esto a su vez exige el conocimiento de los profesores sobre la interrogante ¿cuál es el significado de la Matemática y su enseñanza en la escuela? El desarrollo histórico de la Matemática nos muestra que los conocimientos matemáticos, surgidos de las necesidades prácticas del hombre mediante un largo proceso de abstracción, tienen un gran valor para la 5

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vida. La aplicación de la Matemática desempeña un importante papel en la planificación de la economía, la dirección de la producción, el diagnóstico y tratamiento de enfermedades, el estudio del rendimiento de atletas (por mencionar solo algunos ejemplos), invade en síntesis todos los campos del saber de la sociedad socialista. En el transcurso del proceso del conocimiento de la Matemática hay que tener en cuenta particularidades esenciales. Estas se refieren al tipo específico de la abstracción matemática, al alto grado de generalización (diferente, según se trate de conceptos, teoremas y procedimientos matemáticos), el carácter de los métodos matemáticos (deductivos y reductivos), la multiplicidad y la relación de las teorías (función, probabilidades, medidas de tendencia central, divisibilidad, entre otras) y las disciplinas (Aritmética, Álgebra, Geometría y Estadística) dentro del marco de la ciencia Matemática. Los conceptos, teoremas, procedimientos, objetos del conocimiento matemático, no son objetos materiales de la realidad, sino imágenes ideales de hechos reales. No obstante, los hechos reales pueden motivar y guiar su idealización. La Matemática para investigar las propiedades de sus objetos y descubrir las relaciones entre estos, tiene que desarrollar un proceso de abstracción y determinar las características esenciales. La Matemática ha construido todo un sistema científico a partir de un pequeño número de conceptos básicos, axiomas, definiciones y teoremas:4 “Los axiomas matemáticos no tienen sentido efectivo sino en su significado matemático que como tal es ideal y concebible solo mentalmente; no cabe pues una confirmación estricta de las afirmaciones que ellos encierran con la realidad objetiva, son en todo caso apenas aproximaciones. En la medida que esas nociones matemáticas básicas capten situaciones concretas, mayor posibilidad de que las consecuencias lógicas dimanadas de ellas sean aplicables a objetos y acciones del mundo real”. Los axiomas de la Geometría son proposiciones cuya verdad fue confirmada en el transcurso del desarrollo histórico y mediante la experiencia. Lenin dijo:5 “La actividad práctica del hombre tuvo que guiar la conciencia del hombre miles de millones de veces a la repetición de las distintas figuras lógicas para que estas figuras pudieran tomar la significación de axiomas”. El estudio de la Matemática ofrece múltiples posibilidades para contribuir de manera decisiva al desarrollo multilateral de la personalidad. Durante el estudio de la Matemática se presentan, entre otras, exigencias para el uso y desarrollo del intelecto; por ejemplo, mediante la ejecución 6

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de deducciones y la representación mental de relaciones espaciales. La peculiaridad de los objetos matemáticos de ser entes abstractos, unido a la lógica de su estructura y la rigurosidad de su lenguaje, imprimen un reconocido respeto ante la complejidad de sus formas; de ahí que su estudio exige hábitos de disciplina, persistencia y el trabajar ordenadamente, entre otras cualidades de la personalidad. El estudio de las múltiples aplicaciones de la Matemática en diferentes esferas de la vida económica, cultural y social puede servir para comprender la necesidad del empleo de la Matemática en bien de la sociedad. La naturaleza misma de sus aplicaciones (vinculada a procesos productivos y otras ciencias) puede contribuir, mediante el enfoque y planteamiento de los problemas de aplicación, a fomentar la conciencia de producir y trabajar eficientemente para construir un mundo mejor para todos. La importancia de la enseñanza de la Matemática en la escuela cubana está fundamentada en tres elementos básicos: 1. El reconocido valor de los conocimientos matemáticos para la solución de los problemas que deben enfrentarse en la edificación de toda sociedad. 2. Las potencialidades que radican en el aprendizaje de la Matemática para contribuir al desarrollo del pensamiento. 3. La contribución que puede prestar la enseñanza de la Matemática al desarrollo de la conciencia y la educación de las nuevas generaciones. La enseñanza de la asignatura Matemática en la escuela transcurre como un proceso indisolublemente unido al aprendizaje de los alumnos. Este proceso acontece con objetivos bien determinados y según regularidades históricas comprobadas. De ahí que su dirección debe realizarse sobre bases científicas. La Didáctica de la Matemática es la ciencia que proporciona estas bases. ¿Cuál es el Objeto de estudio y cuáles son las tareas de la Didáctica de la Matemática? La Didáctica de la Matemática es una ciencia pedagógica, cuyo objeto es el proceso de enseñanza-aprendizaje de la Matemática en el que tienen lugar los procesos de transmisión y apropiación de los conocimientos, las habilidades, las capacidades matemáticas, las experiencias sociales, los modos de actuación, en el desarrollo de diversos aspectos afectivos, volitivos y conductuales (sentimientos, aspiraciones, gustos, anhelos, valores, actitudes, conductas y creencias), así como opiniones, principios, convicciones e ideales. 7

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La escuela cubana actual, en base a resultados de las investigaciones realizadas en el Instituto Central de Ciencias Pedagógicas (ICCP) y las universidades de ciencias pedagógicas de Cuba, asume un enfoque desarrollador para el proceso de enseñanza-aprendizaje escolar. En la Didáctica de la Matemática se entiende el proceso de enseñanza-aprendizaje de la Matemática desde un enfoque desarrollador, es decir, aquel que constituye un sistema en el cual, tanto la enseñanza y el aprendizaje son subsistemas que garantizan la apropiación activa, creadora, reflexiva, significativa y motivada del contenido, como parte de la cultura general integral, teniendo en cuenta el desarrollo actual, con el propósito de ampliar continuamente los límites de la zona de desarrollo próximo potencial. Ello implica una comunicación afectiva y el desarrollo de actividades intencionales, cuyo accionar didáctico genere estrategias de aprendizaje que permitan aprender a aprender Matemática (frase muy sugerente cuando se quiere subrayar que no solo es importante asimilar lo que se aprende, sino también cómo se aprende), como expresión del desarrollo constante de una personalidad integral y autodeterminada del estudiante. Se caracterizan las dimensiones en el proceso de enseñanza-aprendizaje desarrollador de la Matemática como:6 1. La activación-regulación está conformada por: a) La actividad intelectual productivo creadora en la Matemática se manifiesta en el aprendizaje de conceptos, proposiciones (en particular, teoremas, fórmulas, símbolos y propiedades), procedimientos (algorítmicos y heurísticos), de técnicas de trabajo mental y práctico, así como estrategias de aprendizaje generales y específicas, en estrecha armonía con la formación de sentimientos, actitudes de valores, además de la capacidad para aplicarlos a la formulación y resolución de problemas. b) La reflexión-regulación metacognitiva en el aprendizaje de la Matemática se revela en el reconocimiento del estudiante como aprendiz de Matemática, en el conocimiento de las tareas de aprendizaje y de las estrategias a desplegar que le permitan aprender y aprender a aprender Matemática, así como en el dominio de los mecanismos de monitoreo y control de la actividad, que le permiten la racionalización del trabajo mental y práctico, así como la evaluación y corrección de las tareas y de su proceso de aprendizaje. 2. La significatividad conformada por el establecimiento de relaciones significativas en el aprendizaje y su implicación en la formación de sentimientos actitudes y valores. En la enseñanza-aprendizaje de la 8

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Matemática la significatividad se expresa en la posibilidad del estudiante de establecer relaciones entre los nuevos conocimientos con los anteriores, con los de otras asignaturas del currículo, con sus experiencias prácticas y con su mundo afectivo motivacional. Se expresa, además, en la reconstrucción de las formas de pensar y actuar, lo que le permita aprender a aprender Matemática en diferentes contextos de aprendizaje, caracterizados por la implicación personal (mediante valoraciones, reflexiones; diferentes puntos de vista y perspectivas; análisis de consecuencias, entre otros) sobre cómo se vinculan los contenidos con su conducta, modo afectivo y necesidades auténticas de interacción con el medio circundante. 3. La motivación para aprender conformada por las motivaciones predominantemente intrínsecas hacia el aprendizaje y el sistema de autovaloraciones y expectativas positivas en relación con el aprendizaje escolar. En el proceso de aprendizaje de la Matemática se expresa cuando se favorece la motivación práctica o extramatemática y la motivación intramatemática en íntima conexión con los intereses, necesidades y motivos de los estudiantes de manera que identifiquen contradicciones, carencias, insuficiencias, necesidades internas de la Matemática, de la práctica, así como propias que los lleven a plantearse metas personales y colectivas de aprendizaje, a partir del conocimiento de sí como aprendiz de matemática, además de la seguridad necesaria para esforzarse y perseverar a pesar de los obstáculos que puedan surgir en las tareas de aprendizaje. El diseño del proceso de enseñanza-aprendizaje desarrollador de la Matemática abarca dialécticamente los componentes didácticos tradicionales reconocidos por diferentes autores (objetivo, contenido, método, medios, evaluación y formas de organización) y las relaciones entre los protagonistas (estudiante-profesor-grupo), incluye las relaciones de subordinación y coordinación que se establecen entre ellos, por tanto, se concibe que: 1. El estudiante como protagonista y beneficiario directo del proceso, enfrenta su aprendizaje como un proceso de búsqueda de significados y de problematización permanente, reflexiona, valora y controla su actividad, se propone metas de aprendizaje, establece planes de acción para lograrlas, toma decisiones, conoce sus deficiencias, limitaciones, fortalezas y capacidades, analiza sus fracasos y sus éxitos en función de aprender a aprender, tiene expectativas positivas en relación con su aprendizaje, es parte activa de los procesos de comunicación y cooperación que tienen lugar en el grupo. 9

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2. El grupo como sujeto protagónico es el espacio vital por excelencia donde se producen las intermediaciones que favorecen, tanto los interaprendizajes, como la formación de importantes cualidades de la personalidad de los estudiantes. Desde el punto de vista didáctico se debe tratar de utilizar el espacio grupal como una herramienta de atención a la diversidad (entendido como el aprendizaje que el estudiante es capaz de desarrollar en interacción y colaboración con los demás estudiantes, en la persecución de metas y objetivos comunes). 3. El profesor dirige el proceso de enseñanza-aprendizaje, actúa como coprotagonista del proceso, además este mediador indispensable entre la cultura y los estudiantes, planifica, orienta, promueve, estimula, así como controla el proceso de apropiación activa, creadora, reflexiva, significativa y motivada, para lo cual organizará situaciones de aprendizaje que amplíen la zona de desarrollo próximo y favorezcan el desarrollo de motivaciones intrínsecas hacia el aprendizaje de la matemática, así como diversas formas de evaluación de lo aprendido. 4. El objetivo, como el componente rector del proceso de enseñanza-aprendizaje en su función orientadora y determinante en relación con el resto de los componentes, en expresión de su intencionalidad política-ideológica alcanzable mediante la acción-valoración flexible, personal, colectiva, negociada, cognitiva, formativa y educativa, permite proyectarlo en función del aprender a aprender Matemática, como expresión del desarrollo integral de la personalidad. 5. El contenido,como aquella parte de la cultura y experiencia social que debe ser adquirida por los estudiantes se encuentra en dependencia de los objetivos propuestos. Responde a ¿qué enseñar?, ¿qué aprender? Exige la coordinación de los diferentes tipos de contenido que porta, en manifestación de su integridad para el logro de objetivos generales, que los estudiantes aprendan a: conocer, hacer, convivir y ser. De esta manera,se convierten en contenidos del proceso de enseñanza-aprendizaje de la matemática: los conceptos (expresados en forma de caracterizaciones o definiciones); las proposiciones matemáticas (en particular los teoremas, fórmulas, símbolos y propiedades); las estrategias de aprendizaje cognitivas y metacognitivas, los métodos, procedimientos algorítmicos y heurísticos; las habilidades para operar con estos; técnicas de trabajo mental y práctico, así como formas de pensamiento flexibles, las ideas filosóficas, políticas y morales relacionadas con la ciencia Matemática o que resulten directamente de esta; el desarrollo de intereses, sentimientos, convicciones y valores. 10

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El contenido matemático se introduce a partir del planteamiento y resolución de problemas intramatemáticos o prácticos de carácter político-ideológico, económico-laboral y científico-ambiental. Su tratamiento debe asegurar la comprensión de su significado y permitir su sistematización dentro de cada unidad y durante el nivel, la integración de diferentes ramas de matemática objeto de estudio en la escuela (Aritmética, Probabilidades y Estadística, Álgebra y Geometría, entre otras) como el sistema de recursos para resolver problemas, así como la integración con contenidos de otras asignaturas del currículo. 6. El método como componente dinámico del proceso de enseñanza-aprendizaje, es expresión del sistema de acciones de los estudiantes y el profesor; como regulador de la secuencia de actividades del profesor y los estudiantes en unidad e interrelación, dirigidas al logro de los objetivos. Responde a ¿cómo desarrollar el proceso? ¿cómo enseñar? y ¿cómo aprender? el contenido con arreglo a los objetivos declarados. Representan la síntesis de la función facilitadora, si existe una acertada selección y utilización de métodos productivos, en interacción dialéctica con los métodos expositivos y procedimientos o técnicas de apoyo (procedimientos heurísticos, procedimientos inductivos y deductivos), como expresión del aspecto interno del método, que reflejan la lógica interna del proceso de enseñanza-aprendizaje de la Matemática y condicionan los pasos didácticos que se dan para llegar al objetivo. En correspondencia con lo anterior son características del método: desarrollar el pensar activo, cooperado y flexible; formar y desarrollar valores; enseñar a aprender, buscar la independencia; desarrollar la comunicación, reflexión y valoración; transmitir cómo enseñar; permitir evaluar y calificar colectivamente y evidenciar la interdisciplinariedad y la autoevaluación, por considerar que favorecen el aprender a aprender Matemática.7 7. El carácter regulador de la evaluación, concebida como un proceso de comprobación del logro de los objetivos y valoración de los procesos parciales, mediante los cuales se llega al resultado. El ejercicio de sus funciones generales: diagnóstico, instructiva, educativa, desarrolladora y de control, sirve a los estudiantes para tomar conciencia de la realidad, descubrir la significatividad del aprendizaje al enfrentarse a nuevas situaciones, decisiones, motivaciones. Sus diferentes alternativas de realización: heteroevaluación, autoevaluación y coevaluación, permiten al profesor determinar en qué medida el aprendizaje está promoviendo el crecimiento personal de los estudiantes, 11

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su capacidad para aprender a aprender Matemática y su disposición para hacerlo permanentemente y sobre esta base ajustar y rediseñar el proceso de enseñanza-aprendizaje de la Matemática. 8. La función de los medios de enseñanza-aprendizaje como soporte material de los métodos en estricta dependencia de los objetivos propuestos y reveladores del aspecto interno del método, permiten utilizar con enfoque sistémico el libro de texto, cuadernos complementarios, videos vinculados a la enseñanza-aprendizaje de la matemática, la computadora, los programas, la calculadora, la televisión, láminas, los instrumentos de dibujo, periódicos y otras fuentes de información para estimular, visualizar, así como racionalizar el desarrollo de la actividad intelectual y su autorregulación, el establecimiento de relaciones significativas y las motivaciones por aprender a aprender Matemática. 9. Las formas de organización como componente integrador del proceso de enseñanza-aprendizaje reflejan las relaciones entre los estudiantes, su grupo y el profesor, en la dimensión espacial y temporal del proceso. Constituye la categoría en que se concretan y materializan las partes, características y relaciones del proceso de enseñanza-aprendizaje de la matemática. Las particularidades del aprendizaje desarrollador de la matemática no pueden apreciarse en un componente aislado. Para potenciar un aprendizaje desarrollador se necesita de formas organizativas con una estructuración adecuada, basadas en determinado sistema de relaciones estructurales y funcionales que garanticen el funcionamiento de los componentes del proceso de enseñanza-aprendizaje de la matemática como un todo sistémico. La clase, como forma fundamental de organización del proceso de enseñanza–aprendizaje de la matemática, debe ser concebida y estructurada como un sistema, que concreta y materializa los nexos, así como relaciones de coordinación y subordinación que se establecen entre los componentes del proceso de enseñanza-aprendizaje, las relaciones entre los protagonistas del proceso y las relaciones de cada clase, con las anteriores y posteriores, con la unidad y con el programa para promover el aprender a aprender Matemática, como expresión del desarrollo integral de la personalidad de los estudiantes. La Didáctica de la Matemática para la determinación de sus tareas, toma en cuenta las exigencias planteadas por la sociedad y las regularidades en que se fundamenta el proceso de enseñanza-aprendizaje en la asignatura Matemática. Aquí se consideran las categorías y leyes generales de la Pedagogía, la Didáctica General, las Teorías psicológicas del 12

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aprendizaje e indicaciones sobre el cuidado de la higiene mental de los alumnos, entre otros elementos. A partir de considerar estos aspectos, las tareas de la Didáctica de la Matemática son las siguientes: 1. Determinar y diferenciar los objetivos y contenidos de la enseñanza y el aprendizaje de la Matemática sobre la base de la orientación hacia las exigencias planteadas por la sociedad. Esto se refiere al planteamiento y la derivación de los objetivos, la precisión de las tareas de la enseñanza y aprendizaje de la Matemática, así como la selección de los contenidos adecuados para el cumplimiento de estos propósitos en la escuela. 2. Desarrollar métodos para la dirección del proceso de enseñanza-aprendizaje de la Matemática, es decir, la Didáctica de la Matemática tiene que elaborar, proponer vías y procedimientos que permitan la educación, así como la instrucción de los alumnos, a través de la enseñanza y el aprendizaje del contenido seleccionado, cuya secuencia, enfoque y estructuración debe determinar. 3. Investigar, así como presentar las regularidades del proceso pedagógico en la enseñanza y el aprendizaje de la Matemática. 4. Construir una teoría de la Didáctica de la Matemática. Esta teoría constituye la base fundamental para que los profesores puedan dirigir consciente y científicamente el proceso pedagógico en la enseñanza y el aprendizaje de la Matemática, a través del estudio de los documentos político-educacionales, así como docentes-metodológicos (planes de estudio, programas, libros de texto, entre otros), desterrando el empirismo y la improvisación, al tiempo que propicia el éxito de los resultados de la instrucción y educación de los alumnos. ¿Qué relaciones existen entre la Didáctica de la Matemática y otras ciencias? El proceso de enseñanza-aprendizaje debe dirigirse de modo que los alumnos sean entes activos en la asimilación de los conocimientos y el desarrollo de las habilidades y capacidades, enfrentándose a contradicciones que deben ser resueltas a través de su aprendizaje. Son estas contradicciones, que surgen en el desarrollo del proceso de enseñanza-aprendizaje de la Matemática, las que se erigen en fuerza impulsora del desarrollo de los alumnos para lograr conocimientos cualitativamente superiores. Así la teoría del conocimiento, que tiene en sus bases el principio del reflejo condicionado, constituye el fundamento filosófico de los conocimientos y métodos de la Didáctica de la Matemática. 13

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La Didáctica de la Matemática debe mostrar cómo se concretan en la clase de Matemática los principios pedagógicos y didácticos generales, también cómo se aplican los métodos educativos en la especialidad. De ahí que posea estrechos vínculos con la Pedagogía. La Matemática tiene un vínculo natural con la Didáctica de la Matemática. Para dirigir adecuadamente el proceso de enseñanza-aprendizaje de la Matemática el profesor debe tener sólidos conocimientos matemáticos, pero esto no es suficiente. Además, se debe amar al escolar, conocer el nivel alcanzado en sus conocimientos, habilidades y capacidades; profundizar en las causas que influyen en el aprendizaje efectivo de la Matemática (que incluso puede encontrarse en problemas ajenos a la Matemática); se deben dominar, sobre todo, los métodos para enseñar la Matemática. En la clase de Matemática hay que velar por el volumen de información que pueden asimilar los alumnos; la distribución de la carga de trabajo de modo que se evite el cansancio y la monotonía (algunas causas de la distracción); la ubicación de los alumnos, tomando en cuenta la visibilidad de la pizarra y la iluminación del local. Ello facilita el establecimiento de una asimilación más efectiva. Esto refleja los nexos existentes entre la Didáctica de la Matemática y las ciencias que estudian el desarrollo anatomofisiológico de niños, adolescentes y jóvenes, así como sus cuidados higiénicos. Desde el punto de vista psicológico se asumen las posiciones del Enfoque Histórico Cultural, asociado a L. Vigotsky, porque se reconoce el papel del desarrollo individual en el colectivo, del desarrollo integral de la personalidad y el papel preponderante de las condiciones sociales e históricas, así como el papel de la actividad en la conformación de la personalidad. La Didáctica de la Matemática requiere los conocimientos de la Psicología, entre otras razones, para despertar el interés y mantener la atención de los alumnos; evitar el olvido y propiciar la durabilidad de los conocimientos; elevar la efectividad en la formación y desarrollo de las habilidades y capacidades matemáticas; conducir el proceso de abstracción de los conocimientos matemáticos en los alumnos; seleccionar la materia de enseñanza y determinar los métodos adecuados para su enseñanza. La Didáctica de la Matemática no puede desarrollarse plenamente si no se encuentra en vínculo directo con la práctica escolar. Esta es la fuente de los problemas que deben ser analizados por esta ciencia, en la cual se comprueban los resultados de las teorías elaboradas, y en ella encuentran aplicación los resultados de sus investigaciones. Las ciencias informáticas proporcionan recursos en tecnología de la información y las comunicaciones que racionalizan el trabajo algorítmico, así como la ejecución de procesos vinculados a la Matemática y la 14

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investigación en esta, que constituyen valiosos recursos para la dirección del proceso de enseñanza-aprendizaje de esta asignatura en la escuela. De este modo la Didáctica de la Matemática se apoya para el tratamiento metodológico de los contenidos matemáticos (como medios de enseñanza) y la gestión en educación (como instrumento de trabajo) en las tecnologías de la información y la comunicación. La Didáctica de la Matemática tiene relaciones con la Filosofía, la Historia y Epistemología de la Matemática, que desde sus orígenes se han ocupado con la respuesta a interrogantes sobre cómo se forma el conocimiento (en particular el conocimiento científico), así como de comprender y explicar los requisitos, el objeto, el método y la naturaleza de las matemáticas. La Historia de la Matemática permite reconocer relaciones muy interesantes de las que se pueden generar numerosas propuestas didácticas y metodológicas para la enseñanza de esta disciplina. La Sociología como ciencia dedicada al estudio de las relaciones entre los seres humanos, constituye un punto de referencia importante para enseñar y aprender matemática, en particular, desde un enfoque desarrollador del proceso de enseñanza-aprendizaje. Te invitamos a elaborar un esquema que refleje las relaciones descritas anteriormente, acompañada de un resumen que revele los aspectos esenciales que caracterizan sus vínculos. Puedes consultar otras fuentes de información.

Objetivos El objetivo constituye el componente didáctico rector del proceso de enseñanza-aprendizaje de la Matemática y responde a las preguntas ¿para qué enseñar? y ¿para qué aprender?; refleja el estrecho vínculo entre la instrucción y la educación. Los objetivos de la enseñanza y el aprendizaje de la Matemática comprenden aspectos instructivos y educativos. Aspecto instructivo de los objetivos en la asignatura Matemática El aspecto instructivo en la asignatura Matemática incluye la: 1. Adquisición de sólidos conocimientos sobre: a) Conceptos importantes del curso escolar de Matemática. b) Proposiciones matemáticas (en particular teoremas, propiedades y criterios). c) Procedimientos de trabajo matemático. 15

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d) Símbolos y fórmulas matemáticas importantes, su aplicación y uso en el lenguaje matemático. 2. Formación y el desarrollo de hábitos y habilidades para: a) Realización de operaciones básicas de cálculo. b) Resolución de ecuaciones, inecuaciones y sistemas de ecuaciones. c) Trabajo con funciones. d) Representación y cálculo de objetos sencillos, en el plano y el espacio. 3. Formación y el desarrollo de capacidades para aplicar los conocimientos, hábitos y habilidades matemáticas, en la solución de ejercicios y problemas, por ejemplo: a) Fundamentar la validez de proposiciones matemáticas. b) Entender y realizar independientemente demostraciones matemáticas. c) Comprender la esencia de los conceptos y cómo llegar a su definición o caracterización. d) Aplicar correctamente la terminología, simbología y el lenguaje matemático. e) Reconocer, analizar, solucionar y formular problemas matemáticos. 4. Contribución que debe hacer la enseñanza y el aprendizaje de la Matemática al desarrollo del pensamiento en general, así como a diversas formas específicas del pensamiento matemático, todas estrechamente vinculadas entre sí, y en particular a: a) El desarrollo del pensamiento lógico-deductivo y creativo con fantasía. b) La formación lingüística. c) El desarrollo del pensamiento geométrico espacial, aritmético y algebraico. d) El desarrollo del pensamiento final o estratégico. e) El desarrollo del pensamiento algorítmico y heurístico. f ) El desarrollo del pensamiento combinatorio, estadístico y probabilístico. g) El desarrollo del pensamiento funcional matemático.8 h) La racionalización del trabajo mental de los alumnos y las alumnas. El desarrollo intelectual de los alumnos a través de la enseñanza de la Matemática se promueve porque: 1. Los conceptos, las proposiciones y los procedimientos matemáticos poseen un elevado grado de abstracción y su asimilación obliga a los alumnos a realizar una actividad mental rigurosa. 2. Los conocimientos matemáticos están estrechamente vinculados formando un sistema que encuentra aplicación práctica de diversas formas, lo cual permite buscar y encontrar vías de solución distintas, 16

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por su brevedad, por los medios utilizados o la ingeniosidad de su representación. Ello ofrece un campo propicio para el desarrollo de la creatividad y el pensamiento lógico. 3. Las formas de trabajo y de pensamiento matemático requieren de los alumnos una constante actividad intelectual, que exige analizar, comparar, fundamentar, demostrar y generalizar, entre otras operaciones mentales. Para desarrollar el pensamiento en general de los alumnos es necesario que la enseñanza de la Matemática contribuya a que estos realicen operaciones mentales, como: analizar y sintetizar, comparar y clasificar, generalizar y concretar, así como abstraer y particularizar. Estas operaciones están presentes, tanto durante el trabajo con el nuevo contenido, como en la resolución de ejercicios y problemas. Sin embargo, el desarrollo de los hábitos y habilidades correspondientes no es espontáneo, se requiere de la dirección por el profesor, generalmente mediante ’impulsos‘. Para desarrollar el pensamiento de los alumnos no basta con plantearles tareas que demanden la realización de las operaciones mentales, se requiere además: 1. Elevar sistemáticamente las exigencias, para la realización, de los ejercicios y problemas planteados. 2. En caso de no aparecer en los alumnos indicios de la ejecución de las operaciones deseadas, hay que propiciar su realización mediante estímulos adecuados. 3. Lograr que los alumnos tomen conciencia de las operaciones mentales ejecutadas. ¿En qué consisten las operaciones mentales y algunas situaciones concretas que encierran potencialidades para el desarrollo del pensamiento de los alumnos mediante su ejecución?, para esto se deben esclarecer los conceptos siguientes: 1. Analizar y sintetizar. 2. Generalizar y particularizar. 3. Comparar. 4. Interrelacionar clases. 5. Abstraer. 6. Concretar. Analizar y sintetizar Por analizar se entiende descomponer el todo en sus partes integrantes y destacar los elementos esenciales, contrario a sintetizar que consiste 17

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en reunir los hechos y buscar una nueva correlación de las partes en un todo. Ambas operaciones se encuentran con frecuencia integrando procesos mentales que tienen lugar al aprender nuevos conceptos, teoremas o procedimientos y también al aplicarlos en la solución de ejercicios y problemas. Demuestre que la altura h y el lado a de un triángulo equilátero (Fig. 1.1) satisfacen la relación: h =

a 3 2

Fig. 1.1

Análisis del ejercicio

Síntesis (nueva correlación)

Datos

Relaciones

AB AC BC C a = = =D

AC , AB, BC : Lados del triángulo

ABC equilátero de lado a

CD ⊥ AB; CD = h

CD : Altura h

ADC = 90º ∠CBD CDB =

a 3 PROBAR QUE: h = 2

AD B = D=

AB 2

Generalizar y particularizar El generalizar ocurre cuando a partir de la investigación de alguna propiedad, condición o relación en varios objetos matemáticos particulares se llega a establecer que esta propiedad, condición o relación se cumple de forma general en todos los objetos matemáticos de la clase que se 18

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investiga. Por ejemplo, al medir las amplitudes de los ángulos opuestos de varios casos particulares de paralelogramos se llega a suponer que, de manera general, para todos los paralelogramos se cumple que las amplitudes de sus ángulos opuestos son iguales. Los alumnos pueden llegar a suponer que la suma de los ángulos interiores de un polígono convexo de n lados es igual a 180° (n – 2) mediante una generalización (empírica), en la cual la idea principal radica en la posibilidad de descomponer en triángulos cualquier polígono convexo y tratar de expresar la suma S de sus ángulos interiores en función de sus lados (Tab.1.1). Tabla 1 Los polígonos sus lados y suma de ángulos interiores

Poligonos

Lados

S

Triángulo

3

180º

Cuadrilátero

4

2(180º)

Pentágono

5

3(180º)

Exágono

6

4(180º)

n-ágono

n

(n – 2)180º

El particularizar es algo que puede hacerse solo a partir de lo general, destacando los casos especiales. Por ejemplo, los alumnos aprenden el concepto de función y particularizan cuando indican las funciones lineales, cuadráticas o logarítmicas. Al referir el teorema específico a cada polígono se pone de manifiesto el particularizar. Comparar El comparar es atender a las diferencias y semejanzas entre objetos, hechos o fenómenos. Por ejemplo, al comparar las propiedades del rectángulo y el cuadrado se pueden determinar propiedades semejantes: sus ángulos rectos, sus diagonales iguales, entre otras; así como propiedades diferentes: las diagonales en el cuadrado siempre se cortan perpendicularmente y en el rectángulo no. Mediante comparación se buscan propiedades comunes a triángulos, cuadriláteros y polígonos. Por comparación de los gráficos de las funciones: y = x2; y = –x2; y = 2x2; así como y = –2x–2 los alumnos pueden aprender la influencia de los coeficientes en la posición de la parábola. El comparar es la base para establecer analogías. Sobre la base del comparar tiene lugar el clasificar, que consiste en asociar por lo menos un objeto a una clase o interrelacionar clases. En esto desempeña un papel 19

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importante la comprobación del sistema de características esenciales e invariantes de la clase a la cual se asocia el objeto o de las clases que se desean interrelacionar. Interrrelacionar clases Significa verificar si una excluye a la otra o la incluye total o parcialmente. Muchas veces su realización conduce a una generalización. Por ejemplo, al comparar los triángulos isósceles con los equiláteros se puede establecer que la clase de triángulos equiláteros pertenece a la clase de triángulos isósceles. Abstraer La operación mental abstraer, significa atender a los componentes y hechos esenciales y no tener en consideración aquellos de poca significación, bajo un criterio determinado. El abstraer tiene particular significación para la formación de conceptos. Al formar el concepto de función el abstraer conduce a obviar componentes no esenciales, como la naturaleza de los elementos que forman los conjuntos, la cantidad de elementos relacionados (finita o infinita) o la esfera del saber donde se establece la relación. Se pone en el centro de la atención los componentes esenciales, como la existencia de dos conjuntos a relacionar, la relación ordenada entre los elementos de ambos conjuntos (existencia de pares ordenados) y la aparición del primer elemento en un y solo un par (porque en la escuela se acostumbra a trabajar con funciones de dominio pleno). Concretar Se refiere a transformar y aplicar lo general en lo particular. Para la enseñanza de la Matemática resulta muchas veces asociada a la ejemplificación de conceptos, hechos y situaciones. Se realiza la operación concretar cuándo a partir de: 1. La definición de función pueden proponer ejemplos concretos de funciones, como: f(x) = senx, o g(x) = 3x2 – 5 2. Conocer que con ayuda de las variables es posible reflejar situaciones de la realidad objetiva, estos pueden buscar: a) Hechos que puedan describirse mediante una relación dada entre variables; así ’a‘ puede ser el salario mensual de un obrero; ‘b’ el total de horas laboradas en el mes y ’c‘ la cantidad de dinero a cobrar por cada hora de labor. 20

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b) Relaciones entre variables que reflejen una situación de la realidad objetiva determinada (modelación), como ocurre en la solución de problemas relacionados con la práctica que se resuelven mediante ecuaciones. En la práctica estas operaciones no transcurren aisladamente, sino una en estrecha relación con las otras, condicionadas recíprocamente y en diferentes niveles de jerarquización. Mediante la enseñanza y el aprendizaje de la Matemática se aspira a que los alumnos desarrollen generalizaciones, mediante reconocimiento de analogías y diferencias. Hay que educar a los alumnos en la movilidad de procesos del pensamiento, es decir, el paso fácil y libre de una a otra operación mental cualitativamente diferente y la reversibilidad del curso de las ideas. A este fin es importante que se propongan ejercicios a los alumnos donde se intercambien los elementos dados y los que deben hallarse, así como los dos ejercicios de nuevo tipo que se presentan a continuación:9 1. Considera las diferentes posiciones relativas de dos rectas en el plano. ¿Bajo qué condiciones puedes afirmar que dos rectas del plano son paralelas? En la respuesta a esta pregunta se pueden plantear diferentes posibilidades, como que dos rectas del plano son paralelas si: a) Son rectas cuyos puntos se encuentran a una distancia constante. b) Forman ángulos correspondientes (alternos internos o externos) iguales. c) Se pueden representar mediante ecuaciones lineales de igual pendiente; contienen los lados opuestos de un paralelogramo, entre otras. 2. Dada la función cuadrática g, que cumple g(0) = 2 y g(2) = g(–2) = 0. ¿Qué puedes afirmar en relación con la función g? En este caso se logra la sistematización a partir de vincular todos los conocimientos referidos a un objeto o contenido dado. Pensamiento y el lenguaje El desarrollo del pensamiento y el lenguaje marchan estrechamente unidos, por ello en la enseñanza de la matemática se contribuye a la formación lingüística de los alumnos cuando se les capacita para el uso correcto del lenguaje normado de la asignatura, para transferir formulaciones del lenguaje común al de la Matemática y viceversa. En toda clase de Matemática existen potencialidades para contribuir a la formación lingüística de los alumnos cuando estos deben expresar con sus

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propias palabras una suposición obtenida, las características esenciales de un concepto o la situación expresada en un problema, sus valoraciones sobre cómo halló las vías de solución utilizadas en ejercicios y problemas, qué errores cometió en este proceso, cómo podría erradicarlos, utilizando racionalmente la terminología y simbología matemática. El profesor debe acompañar siempre sus clases de la exigencia de una explicación, de una aclaración, o de una opinión que debe ser fundamentada por los alumnos. Los alumnos deben tener la oportunidad de exponer sus ideas, de cometer errores y de ser sometidos al enjuiciamiento crítico, primero por sus compañeros y en última instancia por el profesor. Una premisa para el logro de este propósito es que los profesores se expresen con claridad y precisión utilizando el lenguaje de la asignatura, exijan a sus alumnos igual proceder y realicen, en caso necesario, las correcciones pertinentes. La comprensión de la matemática por su carácter abstracto, demanda del empleo de diferentes formas de pensamiento, entre los que se encuentran el: 1. Lógico-deductivo. 2. Creativo y la fantasía. 3. Final o estratégico. 4. Geométrico espacial. Pensamiento lógico-deductivo La enseñanza y el aprendizaje de la Matemática deben contribuir al desarrollo del pensamiento lógico-deductivo. Para ello hay que hacer una utilización correcta de las operaciones lógicas y sus formulaciones correspondientes en las clases de Matemática. Este objetivo no se alcanza en nuestra escuela trasmitiendo un sistema de reglas sobre transformaciones lógicas o una estructura axiomática de la lógica. Para contribuir al desarrollo del pensamiento lógico hay que estructurar las clases de modo que los alumnos puedan: 1. Aprender a trabajar correctamente con variables, a ser flexibles en su selección, a cambiar la denominación de estas y a utilizarlas para elementos y conjuntos. 2. Utilizar correctamente las proposiciones compuestas clásicas, como la negación, conjunción, alternativa, implicación y equivalencia aplicando su sentido común. Los alumnos deben comprender las proposiciones compuestas correspondientes y utilizarlas en el lenguaje común, pero, sobre todo, en el lenguaje de la Matemática. 22

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3. Utilizar correctamente la particularización “existe un... tal que...”, la generalización “para todo... se cumple que...” y los artículos determinados e indeterminados. 4. Reformular proposiciones conocidas, saber negarlas y hallar su recíproco. Este trabajo está estrechamente vinculado al desarrollo del pensamiento deductivo al cual se contribuye de manera especial, mediante la realización de ejercicios de demostración (ver epígrafe Analizar y sintetizar), la deducción de nuevas proposiciones, así como la solución de problemas. Pensamiento creativo y la fantasía El pensamiento matemático requiere una alta dosis de creatividad y fantasía, por ello la enseñanza de la matemática en la escuela debe contribuir al desarrollo del pensamiento creativo y la fantasía. Entendemos aquí por creatividad un tipo de actividad humana compleja, encaminada a la obtención o reproducción de nuevos valores materiales o espirituales. Esta se manifiesta en la disposición y capacidad de los alumnos; para trabajar independiente e individualmente, en su originalidad y racionalidad para el análisis de situaciones, así como en soluciones a problemas, además de su capacidad para transferir los conocimientos, hechos y fenómenos conocidos a situaciones nuevas. La fantasía y la creatividad están relacionadas. La fantasía en esta disciplina está caracterizada por la posibilidad de transferir y modificar las ideas con originalidad; de interpretar hechos y fenómenos dando riendas sueltas a la imaginación de manera que se reflejen relaciones entre elementos y componentes aparentemente no vinculados. La enseñanza de la Matemática en la escuela contribuye al pensamiento creativo y la fantasía cuando los alumnos participan activamente en la búsqueda de nuevos conocimientos y relaciones entre ellos mediante la resolución de ejercicios y problemas, para los cuales no disponen de los métodos y conceptos adecuados en sus estructuras operacionales y cognoscitivas del pensamiento, porque las relaciones (ya conocidas en la ciencia matemática) aún son desconocidas para ellos y necesitan descubrirlas por sí mismos. Por ello hay que dar la oportunidad a los alumnos de buscar, analizar y discutir diferentes modos de proceder, diferentes vías de solución, diversas posibilidades de introducir variables y modelar situaciones. Para contribuir al desarrollo del pensamiento creativo del alumno en el proceso de enseñanza-aprendizaje de la matemática, pueden proponerse los tipos de tareas dirigidas a la:10 1. Identificación y formulación de nuevos problemas docentes. 23

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2. Búsqueda de nuevos conocimientos, y procedimientos de solución, o uno de estos. 3. Aplicación creadora de los nuevos conocimientos y habilidades adquiridas. Los problemas abiertos y de final abierto, constituyen un valioso recurso didáctico para desarrollar el pensamiento creativo con fantasía de los alumnos.11 Por ejemplo, se conoce que en una evaluación hubo 38 examinados y ¼ de los aprobados excede en dos a los suspensos. ¿Cuántos aprobados y cuántos suspensos hay? En este problema existen varias posibilidades para introducir las variables que permiten modelar la situación con ayuda de dos ecuaciones con dos variables. Algunas de estas posibilidades se exponen en la tabla 1.2. Tabla 1.2 Posibilidades para introducir variables en una modelación Posibilidades I

Aprobados x

Suspensos y

Ecuación x = y +2 4 x+y= 38

II

x

x  38  x +  − 2 = − 2 4 = 38 4 

+

III

x

38 – x

x 4

− 2 = 38 − x

En el epígrafe Generalizar y particularizar (referido a la suma de los ángulos interiores de un polígono convexo de n lados) se pueden plantear, para contribuir al desarrollo del pensamiento creativo y la fantasía de los alumnos, los impulsos siguientes: 1. ¿Para cuáles polígonos conocemos la suma de los ángulos interiores? ¿Cuál es el valor correspondiente y cómo se procedió para averiguarlo en cada caso? 2. ¿Conoces alguna fórmula que nos permita hallar la suma de los ángulos interiores para polígonos de más de cuatro lados? ¿Existirá tal fórmula? Si existiera, ¿qué se les ocurre podamos hacer para encontrarla? Una vez clara la idea de descomponer los polígonos en triángulos (Fig. 1.2), se debe dar libertad a los alumnos para hacerlo. 24

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B

B

B C

C A

A E 3 triángulos S = 3(180º)

C A

D

E

D

5 triángulos S = 5(180º) – 360º S = 3(180º)

D E 4 triángulos S = 4(180º) – 180º S = 3(180º)

Fig 1.2 Pensamiento final o estratégico La enseñanza de la Matemática debe contribuir también al desarrollo del pensamiento final o estratégico en los alumnos. Por pensamiento final o estratégico se entienden los procesos de pensamiento encaminados a un producto final determinado. Los ejercicios de construcción (que exigen la construcción de una figura, conocida, a partir de ciertas condiciones dadas) y de demostración (donde se conocen las premisas y la conclusión a que se debe arribar) resultan particularmente adecuados para contribuir al desarrollo de este tipo de pensamiento. En estos se aspira a descubrir un camino o vía de solución óptima para el logro del producto final deseado. Pensamiento geométrico-espacial Para la enseñanza de la Matemática tiene especial significación el desarrollo del pensamiento geométrico espacial en los alumnos. Los estudios realizados por Flórez A.12 caracterizan el pensamiento geométrico-espacial como un tipo de pensamiento matemático basado en el conocimiento de un modelo de espacio físico tridimensional, que constituye un reflejo generalizado y mediato de este. El pensamiento geométrico-espacial tiene una fuerte base senso-perceptual, que se inicia desde las primeras relaciones del niño con su medio y se sistematiza y generaliza a lo largo del estudio de los contenidos geométricos en la escuela. Por su significado didáctico se distinguen tres niveles en el pensamiento geométrico-espacial: 1. Conceptualización geométrico-espacial: Es la formación de un sistema de conceptos y relaciones esenciales que resultan de la abstracción inmediata de la imagen senso-perceptual del espacio real y constituye 25

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un modelo de este espacio físico tridimensional, denominado espacio euclideo tridimensional. El desarrollo del pensamiento geométrico espacial exige la elaboración teórica de las imágenes intuitivas del espacio físico, es decir, la formación de conceptos abstractos, la elaboración de las relaciones entre estos, la comprensión de los símbolos y el lenguaje técnico que se utiliza, así como las representaciones lógicas de situaciones geométricas, en particular las deductivas, el conocimiento del sistema de proposiciones fundamentales y el dominio de los métodos más importantes de resolución de problemas geométricos. 2. Representación geométrico-espacial: Este se logra mediante un sistema de capacidades que permite realizar una modelación de la realidad objetiva, ya sea en la mente del individuo o materializada a través del dibujo u otros objetos para destacar posiciones de relación (incidencia y paralelismo), relaciones de tamaño, de orden, de continuidad y de convergencia-movimiento de cuerpos en el espacio. Esta se realiza en dos niveles: a) Mental (la representación ideal en la mente del hombre). b) Material (la representación materializada mediante dibujos en un plano o por modelos tridimensionales simples). En ambos casos se deben desarrollar relaciones complejas entre el espacio físico y su representación (mental o material) de modo que el hombre pueda partir de la realidad y llegar al modelo o partir del modelo y componer los objetos, así como sus características. La representación mental permite al hombre prever situaciones, estimar distancias y tamaños, además de orientarse en el espacio físico. Por ejemplo, mediante esta el hombre puede establecer cualidades como: está encima, está debajo, está a la derecha, está a la izquierda, está en tal dirección o sentido, al analizar un proyecto dibujado en un plano, al observar una fotografía, o al estudiar la realidad. 3. Imaginación geométrico-espacial: Es una representación ideal en la mente del hombre de cuerpos y relaciones geométricas en el espacio que él no ha observado con anterioridad. Tiene un sentido relativo en relación con la situación objeto de estudio; no obstante, estas situaciones pueden ser muy variadas y que se pueden suceder muchas de estas, transformando y complicando las circunstancias. Sin embargo, es un elemento necesario de la actividad creadora del hombre en el estudio y comprensión del espacio euclídeo tridimensional. Contribuye a la creación de un modelo síquico de resultados finales e intermedios de propiedades geométrico espaciales. 26

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En la imaginación geométrico-espacial se pueden distinguir dos niveles: a) Primer nivel: Donde las imágenes son creadas a partir de representaciones y relaciones conocidas mediante la realización de transformaciones. Corresponde al primer nivel de la imaginación geométrico-espacial imaginar la posición de un cuerpo (o de alguno de sus elementos) luego de aplicárseles simetrías, traslaciones, rotaciones o, en general, una combinación de movimientos, lo que nos posibilita una representación mental anticipada de los posibles cambios de un cuerpo. También nos permite comprender los cambios que se pueden dar en un cuerpo al ser sometido a distintas operaciones de carácter geométrico o topológico. b) Segundo nivel: Opera con imágenes que son creadas sin una relación directa con otras conocidas por el sujeto, este nivel se corresponde con el pensamiento creador y está directamente asociado a la fantasía del individuo. Esta imaginación creadora supone exigencias elevadas en el dominio de la conceptualización geométrico espacial, del desarrollo de la representación geométrico-espacial y del primer nivel de la imaginación geométrico-espacial. Objetivos específicos La enseñanza de la Matemática debe preparar a los alumnos para trabajar de modo racional, planificado y orientado hacia el cumplimiento de objetivos específicos. Un trabajo de este tipo tiene como componentes esenciales el: 1. Conocimiento seguro de conceptos, teoremas y procedimientos de trabajo matemáticos. 2. Empleo razonable de medios auxiliares de cálculo. 3. Dominio de los procedimientos de solución y formas de trabajo matemáticos. 4. Dominio de acciones para el control del proceso de solución. Medios auxiliares Entre los medios auxiliares para la racionalización del trabajo mental se encuentran: 1. El libro de texto. 2. Las plantillas. 3. Las tablas. 27

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4. Los formularios. 5. Las calculadoras. 6. Los recursos informáticos utilizados como medios de enseñanza-aprendizaje. Libro de texto En el libro de texto se ofrece una representación de los contenidos del grado, en correspondencia con el programa. Además con la ayuda de este libro los alumnos pueden realizar tres grupos de actividades fundamentales: actividades de búsqueda, procesamiento y de elaboración o transformación de la información. De esta manera, los alumnos pueden repasar los contenidos tratados en la clase o aprender otros independientemente; adquirir una visión general del contenido en un tiempo breve; ubicarse con rapidez en los ejercicios a resolver y comparar la respuesta obtenida con la ofrecida en el texto y disponer de ejemplos de ejercicios resueltos; todo lo cual lo hace un excelente medio auxiliar para la racionalización del trabajo. El profesor debe estar capacitado para trabajar con el libro de texto y de este modo contribuir a la preparación de sus alumnos. Para ello debe mostrarles su manejo correcto y paulatinamente tratar de lograr su independencia mediante ejercitaciones especiales, que formen parte del normal desarrollo de las clases y puedan llevarse a cabo a través de impulsos como los siguientes: 1. Busca en el libro de texto el epígrafe donde se estudia la semejanza. 2. Resume, con ayuda del texto, las propiedades de las potencias. 3. Haz un análisis comparativo de las propiedades de los movimientos con ayuda del texto. 4. Elabora un mapa conceptual sobre los diferentes tipos de ecuaciones estudiadas con ayuda del texto. Plantillas La racionalización del trabajo mental se puede lograr también mediante el uso de plantillas para la construcción de figuras y para el trazado del gráfico de funciones elementales. La construcción del gráfico de las funciones cuadráticas, por ejemplo, exige mucho tiempo, pero a menudo el dibujo no es limpio y la curva no adquiere su forma verdadera producto de los errores cometidos. Este tiempo puede ser ahorrado para emplearlo en la actividad mental y creativa de los alumnos, si estos disponen de un juego de plantillas que pueden ser confeccionadas por ellos. 28

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Formularios Los formularios y las tablas de valores funcionales tienen un carácter eminentemente racionalizador. Con su ayuda se puede, en breve tiempo, precisar fórmulas, conceptos, teoremas, gráficos, valores para funciones potenciales, exponenciales, logarítmicas, entre otros, que resulten necesarias para la solución de un problema dado. Para que los alumnos puedan aprovechar al máximo estos medios, deben saber cuál es su contenido (valores que contiene) y cómo trabajar con estos. El propio profesor debe ser ejemplo de su utilización, no solo en el momento de su enseñanza. Los alumnos requieren de un entrenamiento para dominar las técnicas del uso de los medios auxiliares del trabajo mental. Es lógico que al inicio se presenten dificultades y el resultado esperado se obtenga mediante un trabajo sistemático a largo plazo que considere la dialéctica de las exigencias del trabajo racional. Es racional que el alumno no conserve todas las fórmulas en su memoria, sino que las extraiga de un formulario, así la capacidad de memoria se descarga y libera para la actividad creativa. A este fin también resultan de utilidad ciertos recursos nemotécnicos, apoyados en razonamientos lógicos y conocimientos matemáticos precedentes; por ejemplo, El trazado de un esbozo de un triángulo equilátero y una de sus alturas (Fig. 1.3), constituye un recurso nemotécnico interesante para no olvidar los valores de las razones trigonométricas de los ángulos de 30º y 60º.

Fig. 1.3

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En este caso se puede asignar a cada lado del triángulo equilátero la longitud de dos unidades y a los segmentos que determina la altura, la amplitud de una unidad (esto se debe a que las alturas relativas a los lados del triángulo equilátero son también medianas, por tanto, los puntos de intersección de las alturas con los lados coinciden con los puntos medios de estos). Como se conoce que los ángulos de un triángulo equilátero son iguales y miden 60º y las alturas coinciden con las bisectrices, entonces la altura trazada divide al triángulo en dos triángulos rectángulos iguales y es fácil determinar su longitud aplicando el teorema de Pitágoras, como se muestra en la figura 1.3. Estos elementos son fáciles de memorizar y permitirá a los estudiantes poder, de una forma más racional, recordar los valores de las razones trigonométricas de los ángulos de 30º y 60º. También el círculo trigonométrico unitario facilita recordar importantes relaciones y propiedades trigonométricas vinculadas a ángulos de 0º a 360º y de diferentes cuadrantes, o uno de estos, y sus coterminales. En determinadas situaciones, puede ser muy irracional que los alumnos no memoricen determinadas fórmulas simples, de uso frecuente, y que siempre deban apoyarse en estos medios auxiliares. Es un error no dar ningún valor a la memorización racional de estos conocimientos fundamentales. En el curso de Matemática los alumnos se enfrentan sistemáticamente a ejercicios y problemas que deben aprender a resolver con un mínimo de esfuerzo y la máxima probabilidad de éxito, con un uso racional de su labor intelectual. Procedimientos de solución y las formas de trabajo y pensamiento de la Matemática En la enseñanza de la Matemática son muy utilizados los procedimientos que tienen como base un algoritmo, en cálculos aritméticos y algebraicos; así como los procedimientos de carácter heurístico en la solución de ejercicios de aplicación a la práctica y de demostración. El conocimiento de los procedimientos de solución, las formas de trabajo y pensamiento de la Matemática permite a los alumnos encontrar ideas de solución, así como resolver problemas con racionalidad. Las formas de trabajo y de pensamiento en la Matemática son: 1. Variación de condiciones: Por ejemplo, al tratar los cuadriláteros se varían sistemáticamente la posición de los lados opuestos en relación con el paralelismo y se obtienen los paralelogramos, trapecios y trapezoides. 30

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2. Búsqueda de relaciones: Por ejemplo, una vez conocida la definición de sistema de ecuaciones y su conjunto solución, es posible preguntar por la relación entre los coeficientes y la cantidad de soluciones del sistema. 3. Consideraciones de analogía: Una vez que los alumnos conocen que la suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero fue hallada mediante la descomposición en triángulos, por analogía puede hallarse la suma de los ángulos interiores de cualquier otro polígono convexo. Los alumnos deben aprender las formas de trabajo y pensamiento matemático; de este modo ellos se familiarizan con formas importantes de arribar a nuevos conocimientos matemáticos y podrían aprender con mayor racionalidad. Para ello no es suficiente que el profesor utilice en su clase estas formas de trabajo. Hay que hacer participar a los alumnos activamente de estas mediante impulsos a su actividad intelectual, tales como: ¿se nos ha presentado este caso antes?, ¿cómo eran las condiciones?, varían las condiciones; varían las magnitudes; ¿existe algún nexo entre estos elementos?, mide y compara; prueba con otros números, entre otros. A estas formas de trabajo y pensamiento matemáticos se puede contribuir mediante el uso de asistentes matemáticos, los cuales permiten un enfoque dinámico del tratamiento de los contenidos; por ejemplo, realice los pasos siguientes y obtendrás una pequeña muestra de lo que podemos hacer utilizando el GeoGebra: Pasos

Acciones a realizar

1

Abre el GeoGebra . Antes de continuar, preparemos las condiciones para ejecutar la tarea. Asegúrate que están activadas las vistas algebraica y geométrica. En este caso no se requiere activar los ejes. Con ayuda de la opción ’Vistas‘ en el menú principal puedes preparar las condiciones necesarias para ejecutar la tarea.

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Construye una circunferencia dado su centro y uno de sus puntos . Observa que si mueves el punto sobre la circunferencia esta aumenta o disminuye de tamaño.

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Con ayuda de ubica el centro de la circunferencia aproximadamente en el centro del espacio disponible en la vista geométrica, y el diámetro que casi sea 1/3 del ancho. Localiza el centro de la circunferencia y con un clic derecho, abre una ventana que permite hacer modificaciones sobre el punto. Toma la opción ‘Propiedades’ y en la pestaña ‘Básico’ márcalo como objeto fijo y cierra la ventana. ¿Es posible ahora mover el punto centro?

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Ubica sobre la circunferencia otros dos puntos; el segundo punto a la izquierda del primero y un tercero en la parte superior.

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Con ayuda del menú desplegable en traza los segmentos que unen los puntos sobre la circunferencia.

6

Por último, con ayuda de mide la amplitud del ángulo interior al triángulo que se formó en la parte superior de la figura. Este ángulo es un ángulo inscrito en la circunferencia, sobre la cuerda que en este caso se identifica con el lado que le queda opuesto en el triángulo formado.

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¡Observa, haz la figura movible, observa, reflexiona y extrae tus propias conclusiones! a) Observa detenidamente la figura, identifica cada una de sus partes integrantes y descríbela en todo su conjunto. b) Desplaza el vértice del ángulo de la parte superior a otra posición y presta atención a la amplitud del ángulo medido. Repite el desplazamiento a otros puntos sobre la circunferencia y observa en cada caso la amplitud del ángulo, ¿qué ocurre? c) Reflexiona ¿a qué se debe lo que ocurre?

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No siempre es posible hallar una respuesta acertada a partir de un primer análisis de lo observado, por tanto, se sugiere: a) Desplazar ligeramente el punto ubicado más a la derecha y abajo a otra posición y observar la amplitud del ángulo, ¿qué ocurrió? b) Repite el paso 7, inciso b. c) Redacta en forma breve la conclusión a que llegaste en relación con la amplitud del ángulo inscrito en una circunferencia. 32

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Este es un ejemplo de cómo la variación de condiciones (haciendo la figura movible), apoyada de la observación cuidadosa y la reflexión orientada hacia un objetivo específico, facilita buscar y hallar relaciones o dependencias que nos conducen a nuevas conjeturas, hipótesis o descubrimientos, requieren de una demostración que asegure su validez. Acciones para el control del proceso de solución A la actividad racional pertenecen también las acciones para el control del proceso de solución. No basta controlar el resultado final, es necesario revisar todo el proceso de realizado para evitar arrastrar un error de principio a fin del trabajo desarrollado. Hay que verificar si el proceso real de solución coincide con el plan de solución desarrollado durante el análisis, para ello: 1. Se debe hacer consciente al alumno sobre las posibilidades para el control que están dadas por la propia materia. 2. Los resultados del cálculo pueden ser controlados, por ejemplo, mediante la aplicación de la operación inversa. 3. Adiciones y multiplicaciones pueden ser controladas reuniendo sumandos o factores en diferentes órdenes. 4. Los cálculos aproximados sirven para prevenir errores graves en el cálculo. 5. Las soluciones de las ecuaciones se controlan mediante la sustitución y evaluación en las ecuaciones originales. 6. La determinación gráfica de los ceros de una función, puede ser controlada por la vía del cálculo y viceversa. 7. La validez de una proposición universal, en un dominio dado, puede ser controlada para valores dudosos, sustituyendo y evaluando en estos valores. Si se obtiene en el dominio ℜ que (a + b)2 = a2 + b2, basta evaluar para a = 1 y b = 1, para comprobar que esta no es correcta. 8. Cuando se trabaja con magnitudes una forma de controlar el trabajo radica en verificar que se encuentran en las mismas unidades y en el mismo sistema. Se debe educar a los alumnos en una actitud crítica ante los resultados de su trabajo y equiparlos con medios para el control efectivo de su aprendizaje. Estrategias de aprendizaje Otra de las formas que se puede contribuir a la racionalización del trabajo mental de los alumnos, es la aprehensión de estrategias de aprendizaje, las cuales están conformadas por el conjunto de los conocimientos, procedimientos, procesos, acciones, actividades que los estudiantes despliegan 33

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intencionalmente para enfrentar, dominar, apoyar y mejorar su aprendizaje a lo largo de su actividad e historia escolar, como por ejemplo: 1. Estrategias para resolver las tareas, dirigidas a: a) Identificar las exigencias de la tarea escolar. b) Establecer relaciones de analogía. c) Definir o caracterizar un concepto matemático. d) Buscar una proposición matemática. e) Buscar un procedimiento matemático (algorítmico o cuasialgorítmico). f ) Resolver problemas matemáticos. 2. Estrategias metacognitivas para pensar en el proceso de enseñanza aprendizaje de la matemática que se organizan en atención con: a) La identificación de las exigencias de la tarea escolar. b) La determinación de la vía, los recursos y los medios para su solución, así como ante los análisis de los compañeros, el profesor o los propios. c) El procedimiento seguido en la solución de la tarea escolar. d) La evaluación del proceso de solución de la tarea escolar y los resultados.

Aspecto instructivo de los objetivos en la asignatura Matemática El aspecto instructivo de los objetivos constituye la base para la formación matemática futura de los alumnos y un instrumento intelectual para solucionar los variados problemas que se presentan en la vida, ante todo, los relacionados con las ciencias, la técnica, los servicios y la producción. Estos también son la base de la formación politécnica de los alumnos. Esto solo es posible con una enseñanza de la Matemática científica y relacionada con la vida, estructurada sistemáticamente en la aplicación de los conocimientos, que en su esencia se caracterice por: 1. Una planificación de la enseñanza orientada hacia el desarrollo y tendencias de la ciencia Matemática y sobre la base de los conocimientos adquiridos. 2. Una ampliación y profundización sistemática de los conocimientos, habilidades y capacidades de los alumnos, sin que sea necesario hacer correcciones a los conocimientos anteriores. 3. La elaboración de los conocimientos haciendo evidentes las formas de trabajo y de pensamiento específicas de la matemática. 34

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El aspecto instructivo de los objetivos específicos de la enseñanza y del aprendizaje de la Matemática sufre variaciones y precisiones con el perfeccionamiento continuo de los planes de estudio y programas. Esta es una consecuencia lógica de los adelantos científico-técnicos y los que se operan en la ciencia Matemática, así como de la orientación que tiene la asignatura Matemática hacia esta.

Aspecto educativo de los objetivos en la asignatura Matemática La personalidad socialista del hombre contemporáneo debe caracterizarse no solo por la solidez de sus conocimientos, habilidades, capacidades y su desarrollo intelectual, además poseer claridad sobre los fines de la utilización de estos medios necesarios para preservar la vida en el Planeta (ahorro de energía, cuidado del medio ambiente y, desarrollo sostenible), para la transformación y perfeccionamiento de la sociedad. En toda asignatura pueden reconocerse dos niveles para contribuir a la educación de los alumnos: 1. General: El cual abarca las potencialidades educativas que resultan de la situación de la enseñanza, de la ubicación de la escuela, de la relación profesor-alumno, de la organización escolar, así como del colectivo de profesores y alumnos. 2. Específico: Este abarca las potencialidades específicas de la asignatura Matemática. El aspecto educativo de los objetivos de la enseñanza-aprendizaje de la Matemática se orienta hacia la formación de nociones, convicciones, actitudes y normas de conducta, así como de cualidades morales acordes con los fines y objetivos de la educación. En los documentos para la enseñanza de la matemática, se destacan, entre otros, aspectos de la educación político-ideológica, económico-laboral, científico-ambiental y estética. En el aspecto educativo se pueden diferenciar dos componentes: 1. Filosófico-ideológico. 2. Político-moral. Ambos componentes se relacionan estrechamente. Filosófico-ideológico El componente filosófico-ideológico incluye la contribución de la enseñanza de la Matemática a la consolidación de la concepción científica 35

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del mundo en los alumnos. Se trata de planificar y aprovechar oportunamente las potencialidades del contenido de las clases, para consolidar la educación filosófica de los alumnos. A través de las clases de Matemática se puede contribuir a formar en los alumnos la idea de que: el mundo es cognoscible; la Matemática se originó con la abstracción de la realidad objetiva; hay nexos entre el desarrollo de la Matemática y el desarrollo de la sociedad; la Matemática se desarrolla dialécticamente. El profesor de Matemática puede ejercer una influencia educativa en sus alumnos para contribuir al logro de estos propósitos mediante consideraciones genético-históricas, así como consideraciones filosóficas y científico-teóricas. Genético-históricas Las consideraciones genético-históricas tienen lugar mediante observaciones sobre el surgimiento y desarrollo histórico del contenido matemático; sobre las ciencias a las cuales se encuentran vinculadas; sobre el significado de un descubrimiento o el desarrollo alcanzado por la sociedad a partir de este hecho; unido al papel desempeñado por las personalidades que hicieron estos aportes a través de sus datos biográficos; por ejemplo: 1. Las órbitas de los planetas y cometas en su rotación alrededor del Sol son cónicas; los faros de los coches tienen sección parabólica, al igual que los hornos solares y las antenas de seguimiento de satélites, porque en la parábola los rayos que pasan por el foco salen paralelos al eje y viceversa. En la antigua Grecia, el estudio más completo de las secciones cónicas se realizó por Apolonio de Perga, quien enseñó en Alejandría y en Pérgamo en la segunda mitad del siglo iii antes de Cristo y es considerado el segundo gran matemático de la antigüedad, después de Arquímedes. Apoyándose en este estudio, Johannes Kepler (1571-1630), astrónomo y filósofo alemán, formuló y verificó las tres leyes del movimiento planetario conocidas como leyes de Kepler. Sus aportaciones incrementaron espectacularmente el conocimiento de los científicos sobre el movimiento planetario. 2. El cálculo de la longitud de la circunferencia terrestre que pasa por los polos, o sea, de un meridiano, se obtuvo como una aplicación de las propiedades de los arcos y ángulos en la circunferencia (Fig. 1.4), por el trabajo desarrollado por Eratóstenes. 36

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Fig. 1.4

Filosóficas y científico-teóricas Las consideraciones filosóficas y científico-teóricas tienen lugar mediante explicaciones sobre el carácter abstracto de la Matemática, su surgimiento y desarrollo; así como sobre las problemáticas referidas a Matemática y verdad, Matemática y dialéctica, y los métodos de la Matemática. Al analizar más detenidamente estas consideraciones se llega a la conclusión que aunque la Matemática y la Filosofía se ocupan ambas de relaciones generales, de la esencia de fenómenos y de la obtención de proposiciones universales, estas se diferencian en su objeto de estudio y sus métodos de trabajo. La Filosofía se ocupa de los fenómenos de la naturaleza, la sociedad y el pensamiento. La Matemática tiene su origen en los fenómenos de la realidad objetiva y mediante abstracciones, idealizaciones, generalizaciones, u otros procedimientos específicos, conduce a conceptos, proposiciones, estructuras, sistemas de ideas, que a menudo están muy lejos de su origen en la realidad. Esta particularidad puede conducir al desarrollo de ramas de la Matemática, cuya aplicación en la realidad no está asegurada desde un inicio. De esto fue un ejemplo la geometría no-euclidiana. La Matemática es portadora de un lenguaje que integra un pensamiento, una terminología y simbología, que permite representar en forma ventajosa (mediante modelos y métodos matemáticos) proposiciones de otras ciencias. El cálculo vectorial, por ejemplo, ha encontrado aplicación en múltiples problemas de la Física (representación y cálculo de magnitudes); los estudios sobre coordenadas han encontrado aplicaciones en la Geografía y la Astronomía, entre otras. La enseñanza y el aprendizaje de la Matemática en la escuela deben hacer a los alumnos tomar conciencia de esta situación. A través de la enseñanza de la Matemática debe esclarecerse a los alumnos la problemática sobre la Matemática y verdad. En la ciencia matemática, al igual que en otras ciencias, la práctica es el criterio de la verdad. La validez de las teorías matemáticas se confirma mediante la posibilidad de aplicarlas en procedimientos técnicos, económicos, sociales u otras ramas del saber humano. Sin embargo la veracidad de una proposición matemática en particular, dentro del marco de una teoría matemática se afirma exclusivamente mediante demostraciones deductivas, sobre la base de reglas de la lógica (reglas de inferencia). Una proposición es verdadera cuando es posible deducir su validez por medio de otras proposiciones ya reconocidas como verdaderas. Los axiomas de la teoría se establecen como proposiciones verdaderas. 38

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Estas son ideas que deben ser trasmitidas a los alumnos en momentos adecuados del curso escolar de Matemática. Además se realiza una contribución en este sentido cuando en las clases se somete al análisis de los alumnos la validez de proposiciones (verdaderas y falsas); la forma en que se obtienen nuevas proposiciones y la necesidad de su demostración para asegurar su validez. La educación de los alumnos en la confirmación o refutación de suposiciones (en particular proposiciones) trasciende el campo de la Matemática y no puede ser obviada en su formación integral. A través de la enseñanza y el aprendizaje de la Matemática los alumnos deben comprender cómo se pone de manifiesto la dialéctica. El pensamiento matemático tiene la posibilidad de construir a voluntad contradicciones (que pueden ser antagonismos o no). Por ejemplo, se habla de números positivos y negativos, de números pares e impares, de figuras regulares e irregulares, de funciones monótonas (crecientes y decrecientes) y no monótonas, de operaciones conmutativas y no conmutativas, pero esto es formal, no es dialéctico en el mismo sentido que se interpreta para la naturaleza y la sociedad, donde las contradicciones existen objetiva y realmente. La dialéctica de la Matemática es más bien visible en su aplicación y su desarrollo. La dialéctica en la Matemática se expresa en: 1. Reconocer los límites y perspectivas de la matematización: Puesto que el reconocimiento de las múltiples aplicaciones que tiene la matemática puede conducir a la falsa ilusión de que toda discusión de un problema científico tiene que partir de ciertos presupuestos teóricos con el carácter formal de los axiomas matemáticos. La Matemática es una ciencia particular, aunque ha mostrado históricamente una enorme capacidad para aportar a otras ramas del saber nuevos métodos para profundizar en su estudio y continua evolucionando y robusteciéndose en este sentido. 2. La aplicación de la Matemática a la solución de problemas: En tales casos no siempre es fácil encontrar la vía de solución sin fracasos y errores. Con frecuencia la vía seleccionada no conduce a la solución, por diferentes razones (las inferencias no son correctas, se utilizaron condiciones no dadas en el problema, se dejó de considerar alguna condición dada, etc.), entonces es necesario retornar al punto de partida, hasta que una vez hallada la idea de la solución, esta se desarrolla en forma segura dentro del marco del formalismo matemático. Estas peculiaridades deben ser reflejadas en las clases de Matemática. Es necesario que el profesor dirija la clase de modo que los alumnos comprendan y puedan llevar a cabo los procesos que permiten 39

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‘encontrar‘, ’reconocer‘, ’formular‘ y ’resolver‘ problemas, que se les permita encontrar inconvenientes que les hagan comprender la necesidad de buscar otra vía de solución y enfrentar problemas que no tengan solución según las condiciones planteadas. Todo ello hace evidente la dialéctica de la Matemática. 3. El nexo del proceso individual y social de conocimiento matemático: A la dialéctica del proceso individual del conocimiento, corresponde una dialéctica en el proceso social del conocimiento. En la historia de la Matemática pueden señalarse períodos en los que se reconocieron problemas (precursores del cálculo diferencial, Arquímedes y Kepler) y períodos en que se resolvieron problemas (Newton, Leibniz, así como Bernoulli, Euler). Es valioso destacar también la dialéctica entre la rapidez del desarrollo de la Matemática y las relaciones sociales existentes. La Matemática se estancó durante el feudalismo bajo la influencia ideológica de la iglesia, floreció con el surgimiento del capitalismo temprano en Europa, se desarrolló rápidamente con las revoluciones burguesas. Las consideraciones genético-históricas en las clases de Matemática constituyen una vía adecuada para mostrar este aspecto de la dialéctica a los alumnos. 4. La dialéctica de lo general y lo particular: Esta debe ser comprendida por los alumnos desde dos puntos de vista. Por una parte los alumnos deben comprender que los conocimientos matemáticos son adquiridos mediante un tipo y forma de abstracción peculiar, de la cual resulta que situaciones muy diferentes, pueden expresarse por una misma estructura Matemática (ver acápite Concretar, ejercicio de nuevo tipo 1a) o ser resuelta mediante su aplicación. Las funciones trigonométricas pueden aplicarse al cálculo de cuerpos o en Física para calcular el trabajo realizado por la fuerza que no actúa en la dirección del movimiento. Por otra parte los alumnos deben comprender que para adquirir nuevos conocimientos matemáticos es típico investigar lo particular para descubrir lo general sobre suma de los ángulos interiores de un polígono convexo (Tab. 1.1); pero también es lícito aplicar lo general para investigar lo particular. Por ejemplo a partir del concepto de función se investigan y hallan funciones particulares, así como sus propiedades. Político-moral Este componente incluye la contribución de la enseñanza de la Matemática a la formación de convicciones, normas de conducta y actitudes 40

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acordes con los principios heredados por nuestra tradición de lucha, enriquecido por el ideario martiano y por el marxismo-leninismo. A través de las clases de Matemática se puede contribuir a formar en los alumnos la idea de que: 1. La salvación de la humanidad y del Planeta está en el socialismo, como alternativa socioeconómica y política. 2. Solo podremos tener y disfrutar, lo que seamos capaces de producir, construir y cuidar, luego es necesario amar al trabajo constante y diligente bajo la dirección de nuestro partido. 3. El amor a la patria, a la verdad, y la lucha inclaudicable por las causas justas. Se puede ejercer una influencia educativa en esta dirección mediante el trabajo con ejercicios y problemas relacionados con la vida, que se resuelven con medios matemáticos. Para aprovechar las potencialidades educativas de los problemas es necesario discutir sobre su contenido, valorar la situación planteada o lo que de esta pueda inferirse y en lo posible acompañarla de datos adicionales que aporten elementos para la toma de posiciones por los alumnos. La educación político-moral se realiza también mediante el ejemplo y el modelo del profesor, por su posición, opinión y actitud ante cuestiones actuales. Esta incluye la educación en el trabajo planificado, consciente y creador, la exactitud, el cuidado, el esmero y la limpieza. El profesor tiene que plantear exigencias claras a sus alumnos sobre cómo ellos deben llevar sus cuadernos, realizar sus tareas y expresarse en forma oral y escrita. El trabajar con cuidado, orden y limpieza, son propiedades de la personalidad y formas de conducta que se logran de acuerdo a la ejemplaridad del profesor. La labor del profesor en la pizarra, puede influir significativamente en la manera que el estudiante trabaja en su cuaderno. La ejemplaridad del profesor es de un alto valor educativo. Además hay que considerar: 1. La perseverancia, la disciplina y el aprendizaje consciente: Estas cualidades, al igual que la constancia y la concentración, se alcanzan mediante la impartición de técnicas de trabajo; la elevación progresiva de las exigencias a los alumnos; la solución de ejercicios de mayor dificultad; el reconocimiento de los rendimientos alcanzados y la aclaración de la significación de los resultados que se alcanzan con el trabajo realizado. 2. La sinceridad, la crítica y la autocrítica: Estas cualidades se alcanzan mediante el planteamiento de exigencias a los alumnos para evaluar el rendimiento de sus compañeros; para discutir soluciones verdaderas y falsas; para juzgar propuestas (soluciones a ejercicios) y asumir 41

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posiciones, unido al autocontrol y la autoevaluación (o la evaluación por el colectivo). Es necesario también aclarar a los alumnos sobre las consecuencias que pueden derivarse de conclusiones precipitadas. 3. El compañerismo, la bondad, la amabilidad y la conducta colectiva: Estas formas de conducta se favorecen mediante la aplicación de medidas pedagógicas y organizativas, como: a) Organización del estudio en colectivo y del apoyo a los alumnos de menor rendimiento por los más aventajados. b) Crítica al esfuerzo personal egoísta, a la indiferencia y la falta de interés por el grupo, con vistas a su eliminación. c) Valoración del comportamiento de los alumnos en el colectivo de estudio, estimulando las actitudes positivas y señalando las que aún deben ser mejoradas. Entre la estructuración pedagógica y metodológica de la enseñanza y el desarrollo del colectivo existe una estrecha relación. Los malos rendimientos en el aprendizaje, como consecuencia de un insuficiente trabajo pedagógico y metodológico del profesor, frenan también la formación del colectivo en el grupo y llevan a la falta de interés, así como la indisciplina en la clase. Por otra parte, un fuerte colectivo de alumnos ofrece al profesor la posibilidad de probar nuevas variantes de la estructuración de la enseñanza, especialmente, aplicar en mayor o menor medida formas de trabajo independiente de los alumnos. Al aspecto político-moral pertenece también la educación patriótico-militar. El proceso de enseñanza-aprendizaje de la Matemática debe contribuir a la formación para la defensa aportando condiciones previas necesarias para el dominio de la técnica militar (habilidades de cálculo, solución de problemas, técnicas para el trabajo mental, entre otras) y mediante el desarrollo de la conciencia para la defensa. Para esto el planteamiento y la valoración de ejercicios y problemas en relación con la esfera militar puede tener los propósitos educativos siguientes: despertar el interés y la comprensión por problemas militares; propiciar el respeto y reconocimiento por los miembros de las fuerzas armadas, así como lograr la convicción de que nuestra sociedad socialista hay que defenderla hasta las últimas consecuencias.

Formulación de los objetivos en la asignatura Matemática En primer lugar se debe destacar que los objetivos para las clases de Matemática se obtienen como resultado de un largo proceso de derivación gradual, que comienza con el encargo social, se precisa en los 42

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modelos de escuela en cada nivel de enseñanza y su concreción en los objetivos por grados y unidades temáticas. Es parte de la labor creativa de los colectivos pedagógicos continuar este proceso de derivación gradual en sistemas de clases y concretarlos en cada una de las clases que lo integran. ¿Cómo se formulan los objetivos para las clases de Matemática? Para dar respuesta a esta interrogante es necesario precisar cuáles son sus componentes esenciales. Componentes esenciales que conforman un objetivo Para la formulación de los objetivos para las clases de Matemática se deben tener en cuenta los aspectos instructivo y educativo en interrelación dialéctica. El aspecto instructivo debe revelar: 1. Habilidad matemática: Es lo que debe saber hacer el alumno y la alumna con los conocimientos matemáticos adquiridos; por ejemplo, descubrir y formular nuevas proposiciones, procedimientos, problemas, ideas de solución, modelar, interpretar, demostrar, fundamentar, definir, comparar, ordenar, algoritmizar, calcular, resolver, valorar, entre otras. 2. Conocimiento matemático: Son los conceptos, los procedimientos y las proposiciones matemáticas, bases para la formación y desarrollo de habilidades, hábitos y capacidades matemáticas, así como las formas de trabajo y pensamiento matemático, las estrategias de aprendizaje correspondientes). 3. Nivel de profundidad y asimilación: Se refiere al contenido teórico exigido para asimilar los conocimientos y evidenciar el desarrollo de las habilidades y capacidades matemáticas. Por ejemplo, calcular con radicales aplicando las propiedades de las potencias con exponente fraccionario, tiene un menor nivel de profundidad que calcular con radicales con diferentes índices, donde hay que ampliar o reducir los índices de los radicales. En estos casos el nivel de profundidad está dado por el conocimiento de las propiedades de los radicales. El nivel de asimilación de la habilidad reflejará la exigencia planteada a la actividad intelectual y práctica de los alumnos (reproductiva, productiva, creativa). El nivel de asimilación destaca si los alumnos se familiarizan con el procedimiento de cálculo, están perfeccionando el procedimiento de cálculo mediante situaciones similares o aplicándolo a situaciones nuevas; por ejemplo, la resolución de ecuaciones con 43

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radicales. La rapidez y seguridad también constituyen criterios cualitativos a valorar en el nivel de asimilación. El nivel de profundidad y asimilación en la formulación de los objetivos de las clases depende del lugar que estas ocupen dentro del sistema de clases al que pertenecen. Las exigencias deben transitar desde la familiarización con el contenido, su conocimiento, su reproducción a través de situaciones similares, su aplicación en contextos relativamente nuevos, hasta la creatividad, acompañadas cada vez de mayor independencia y relación con contenidos de las demás asignaturas). El aspecto educativo debe revelar la intencionalidad en las esferas filosófico-ideológica y político-moral, que es el efecto que se quiere alcanzar en la formación integral del alumno (nociones, convicciones, actitudes y normas de conducta, así como de cualidades morales, atendiendo a las potencialidades del contenido matemático), a través de las actividades docentes y extraclases. Por ejemplo, al estudiar las funciones lineales y conducir el análisis de los alumnos hacia la determinación del espacio recorrido por un móvil conocida la velocidad constante de desplazamiento y el tiempo trascurrido, se puede contribuir a fortalecer la idea sobre cómo la Matemática modela y permite profundizar en el estudio de los fenómenos de la realidad objetiva. Los aspectos instructivos y educativos aparecen interrelacionados en la formulación de los objetivos de la clase de Matemática; lo más importante es que los profesores lo tomen en cuenta al determinar el objetivo de su clase, se evidencie durante su desarrollo y se produzca una influencia natural en los alumnos al respecto, que preferiblemente se obtenga mediante la participación activa que promueve el análisis e intercambio de criterios. La enseñanza de la matemática debe contribuir a que los estudiantes trabajen de forma ordenada, limpia, con un uso correcto de su lenguaje normado, la perseverancia, honestidad, entre otras cualidades deseadas. Este propósito está prácticamente implícito en la intencionalidad del objetivo de cualquier clase, pero ello no impide que situaciones concretas y momentos adecuados del desarrollo de proceso docente exijan su formulación explícita, en momentos adecuados, y sobre todo, en atención a los resultados del diagnóstico sistemático. Un ejemplo de objetivo de una clase de Matemática en el nivel de secundaria básica puede ser el siguiente: Resolver problemas que conducen al planteamiento de ecuaciones que se reducen a una ecuación lineal donde; a, b y c∈Q+ relacionados con el ahorro de energía eléctrica en la escuela, que contribuya a la formación de una cultura económica en los educandos. 44

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Los actuales programas de Matemática para la escuela cubana declaran los objetivos formativos generales del nivel de enseñanza y derivados de ellos, los objetivos formativos generales de la asignatura en el grado y los de cada unidad. Es responsabilidad de los profesores, como parte de su trabajo metodológico, la derivación gradual de los objetivos que corresponden a los sistemas de clases y a las clases que los conforman. ¿Cómo derivar los objetivos para los sistemas de clases y las clases? El sistema de clases lo conforman un grupo de clases estrechamente vinculadas entre sí por la lógica interna de su contenido y potencialidades para el cumplimiento de uno o más objetivos parciales de una unidad. Cada clase está relacionada con las otras de su sistema y con el contenido general de la unidad y asignatura en el grado, por ello para realizar la derivación gradual de los objetivos de las clases, es necesario: 1. Dosificar cada sistema de clases en la unidad y determinar para estos los objetivos correspondientes. 2. Tomar en consideración el aumento gradual de los niveles de asimilación (reproductivo, productivo y creativo) según corresponda. 3. Derivar de estos los objetivos de cada clase, tomando en consideración los aspectos instructivos y educativos de los objetivos específicos del proceso de enseñanza-aprendizaje de la Matemática. Consideremos como ejemplo en la unidad 1, “Los números racionales” de séptimo grado, tiene los objetivos siguientes: 1. Recopilar, organizar, representar e interpretar datos extraídos de diferentes fuentes sobre la obra económica y social de la Revolución e indicadores económicos y sociales del capitalismo mundial, para comprender sus tendencias, aplicando el orden, el cálculo con números racionales y conceptos y procedimientos básicos de la estadística descriptiva, incluyendo medidas representativas, como la media y de la moda. 2. Realizar estimaciones y compararlas con los cálculos correspondientes en distintas situaciones, utilizando las operaciones básicas con números racionales en sus diferentes representaciones y sus propiedades, aplicando el Sistema Internacional de Unidades (SIU) y sus conversiones hacia otras unidades de uso común. 3. Argumentar las relaciones entre los dominios numéricos y sus limitaciones, las propiedades de los números naturales, fraccionarios, enteros y racionales, del orden y las operaciones con estos, haciendo una adecuada utilización de la terminología y simbología matemática, así como de la lengua materna. 45

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4. Formular y resolver problemas intra- y extramatemáticos, relacionados con la vida económica y social del país, así como con los contenidos de otras asignaturas, aplicando de forma integradora los conocimientos y habilidades sobre el orden, y las operaciones con números racionales, el tanto por ciento, el trabajo con magnitudes, los conocimientos básicos de estadística descriptiva, las propiedades y relaciones de las figuras geométricas. Se trata de la derivación de los objetivos correspondientes a las operaciones con números racionales, en lo relativo al sistema de 12 clases, referido a la adición y sustracción de números racionales. Una de las primeras clases dedicadas a la adición y sustracción con números racionales puede tener el siguiente objetivo: Calcular con números racionales utilizando los procedimientos algorítmicos en operaciones simples de adición y sustracción, expresados en diversas formas de representación, que contribuya a la racionalización del trabajo mental y a la interpretación de situaciones de la vida práctica, reflejando un trabajo organizado, limpio y ordenado. Resumen Los objetivos declarados en los programas de Matemática para el sistema de clases de una unidad o unidad temática constituyen el punto de partida para determinar los objetivos de cada clase y reflexionar en relación con la estrategia a seguir para el cumplimiento de los aspectos instructivos y educativos. En primer lugar, hay que determinar dónde radican las potencialidades para contribuir a la instrucción y la educación de los alumnos. Con estos elementos, el conocimiento de las características del grupo, las condiciones de la escuela y el aula, entre otras, se determina en relación con qué componentes esenciales se llevará a cabo la influencia educativa en cada clase y el modo de proceder para su cumplimiento. Hay que dar preferencia a aquellos componentes esenciales para los cuales existen menos posibilidades de ejercer una influencia educativa sistemática. Para el logro de una influencia educativa en el proceso de enseñanza-aprendizaje de la Matemática, hay que ver al alumno como una personalidad que trabaja activamente como sujeto de su instrucción y educación; ver la enseñanza como un proceso colectivo, establecer las relaciones entre alumnos, el grupo y el profesor de forma que cada alumno, así como el colectivo se desarrollen sistemáticamente.

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Tareas para el trabajo independiente 1. Estudie los epígrafes referidos a los objetivos de la enseñanza-aprendizaje de la Matemática. a) Elabore un cuadro resumen de sus aspectos esenciales. b) Confeccione una guía para el análisis y valoración de la formulación de objetivos para las clases de Matemática. c) Durante la realización de su práctica laboral en la escuela valore, a partir de la guía confeccionada, la formulación de los objetivos en los planes de clases de una muestra de profesores. d) Prepare una ponencia y una exposición de aproximadamente 5 min para comunicar los resultados obtenidos en su investigación. 2. Analice en los programas de Matemática para la enseñanza media los objetivos planteados para el octavo y décimo grado a) Precisa en cada uno de estos los aspectos instructivos y educativos. b) Selecciona un sistema de clases y efectúa una propuesta de derivación gradual de los objetivos correspondientes. 3. Analice en los programas de Matemática para la enseñanza media, las unidades donde se trabajen las funciones lineales y las funciones exponenciales. a) Precisa, en cada caso, los objetivos correspondientes de la unidad, la cantidad de horas clases para cada contenido, la representación del contenido en el libro de texto y las orientaciones para su desarrollo. b) Seleccione de cada unidad uno de sus sistemas de clases y elabore una propuesta de objetivos. c) En cada sistema de clases del inciso anterior, seleccione una clase y elabore una propuesta de objetivos. Argumente su propuesta. 4. Resuelva los tres incisos que aparecen a continuación, determine y explique en cada uno de estos las operaciones mentales que se pueden poner de manifiesto en su solución, así como sus potencialidades para ejercer influencias educativas en los alumnos: a) Una de las técnicas utilizadas en el tratamiento del cultivo del tabaco, consiste en protegerlo con una tela que se coloca sobre el campo, de modo semejante a un mosquitero. ¿Qué cantidad de esta tela será necesaria para cubrir el cultivo de un campo de 104 m de largo y 74 m de ancho, si la tela debe alcanzar una altura uniforme de 2,5 m? b) Demuestra que la distancia entre dos puntos del plano P1 = (x1;y1) y P2 = (x2;y2) está dada por la fórmula: d ( P1 ; P2 ) =

2

( x1 - x 2 )

2

+ ( y1 - y 2 )

2

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c) En la figura 1.5 se tiene el triángulo ABC para el que se cumple AB = AC y ∠DBC = ∠DCB Prueba que AD es bisectriz de ∠BAC . C

B A Fig. 1.5

5. Lee los problemas siguientes, analiza sus potencialidades para contribuir a la educación de los alumnos y explica cómo procederías en una clase con cada uno de ellos para aprovechar sus potencialidades instructivas y educativas. a) Durante un ejercicio de las FAR un observador ve dos nidos de ametralladoras A y B bajo un ángulo de 130º. Escucha un disparo procedente de A, 7 s después de ver el fogonazo y otro procedente de B, 8 s después. ¿Qué distancia separa los nidos? b) El precio del barril de petróleo aumentó en la década del setenta, del siglo xx. El costo del barril en 1973 era de $ 0,06 menos que la décima parte de lo que llegó a costar en 1982. ¿Cuál fue el costo del barril en 1982, si en 1983 era de $3,22? Investigue sobre la situación actual del precio del petróleo y realice una valoración al respecto. c) En una fábrica de productos químicos se deben producir, a partir de ácido sulfúrico a 96 % y a 70 %, 5 t de ácido sulfúrico a 84 %. ¿Cuáles son las cantidades iniciales necesarias? 6. Resuelva y argumente cómo a través de estos ejercicios se potencia el desarrollo del pensamiento creativo con fantasía y las características desarrolladoras del aprendizaje: a) Observa detenidamente la esfera de un reloj y luego divídela en seis partes de manera que en cada una de estas la suma de los números sea la misma. ¿Cómo procediste para hallar la solución? 48

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b) Construya un rombo en el que una de sus diagonales sea igual a uno de sus lados. ¿Qué puedes afirmar sobre la amplitud la amplitud de sus ángulos? c) Esteban ya ganó 50 de 75 juegos contra su computadora. Si quiere efectuar en total 105 juegos. ¿Cuántos juegos más tiene que ganar para que al final de la jornada le haya ganado a su computadora 60 % de los juegos? 7. Realiza la tarea siguiente utilizando el GeoGebra y, a partir de su ejecución, argumenta cómo a través de esta se manifiestan las formas de trabajo y pensamiento matemáticos y se pueden ejercer influencias educativas en los alumnos. Tarea: Analizar si existe alguna relación entre las ecuaciones de las funciones lineales y las características de las rectas que las representan, utilizando el GeoGebra. Ahora comienza a representar las funciones lineales y aprovechar el dinamismo que nos ofrece el GeoGebra. Si requieres ayuda para conocerlo mejor y encontrar nuevas relaciones entre las ecuaciones y las características de los gráficos de las funciones lineales, sigue los pasos siguientes. Pasos

1

2 3

4

5

Acciones a realizar Comenzaremos preparando las condiciones para la representación de funciones en los ejes de coordenadas cartesianos . En el menú principal, despliega Vista, y activa los ejes y las cuadrículas, uno tras el otro. Construye el gráfico de la función f definida por f(x) = x a) Construye el gráfico de la función g definida por g(x) = 3,7x b) Con ayuda de ubica la recta que representa la función g(x), y con un clic derecho, abre la ventana que permite hacer modificaciones. Toma la opción Propiedades y en la pestaña Color selecciona un color azul oscuro y cierra la ventana. a) Construye el gráfico de la función h, definida por h(x) = 3,7x + 5 b) Selecciona un color verde oscuro para la recta que representa esta función. a) Observa cuidadosamente los términos que integran las ecuaciones de las funciones f; g y h. 49

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b) Reflexiona sobre la respuesta a las interrogantes siguientes: – ¿Qué efecto produce en el gráfico de la función f multiplicar por 3,7 la variable x? – ¿Qué efecto produce en el gráfico de la función g, adicionar 5? Ya sabemos que no siempre es posible hallar una respuesta acertada a partir de un primer análisis de lo observado. Te sugerimos: a) Construir los gráficos de otras funciones lineales tratando de obtener una mayor precisión sobre el efecto que produce en el gráfico el coeficiente de la variable y el término independiente. b) Redacta en forma breve la conclusión a que llegaste.

8. La situación problémica siguiente conocida como “La reproducción de amebas”13 resulta generalmente interesante para trabajar en las clases de matemática, por las respuestas que proporcionan los alumnos. En una cubeta con solución nutriente se introduce una ameba. Al cabo de 1 min, esta se reproduce y se tienen dos amebas. Al efectuarse una nueva reproducción, 1 min más tarde, la cantidad de amebas es cuatro y así sucesivamente. Si al cabo de 1 h el recipiente está totalmente lleno. ¿A los cuántos minutos estuvo por la mitad? a) Primero resuelve el ejercicio y reflexiona detenidamente sobre los conocimientos matemáticos y las formas de razonamiento que resultan necesarios para su solución. b) Busca en los programas y textos de matemática escolar de la secundaria básica y el preuniversitario, y precisa las respuestas a las interrogantes siguientes: ¿Qué conocen los alumnos en relación con el contenido matemático requerido para la solución del problema y qué objetivos se plantearon al aprendizaje en la secundaria básica y en el preuniversitario? c) Selecciona una clase (en la secundaria básica o el preuniversitario) y explica cómo procederías con los alumnos en esta, durante el planteo y el proceso de resolución del problema, para aprovechar sus potencialidades instructivas y educativas. 9. En 1812 había en Cuba 9,9 millones de hectáreas boscosas. Elabora un ejercicio para alumnos de la secundaria básica, basado en los datos del estudio realizado sobre el patrimonio forestal de Cuba sobre el porcentaje de área boscosa desde el año 1492 hasta el 2010 mostrado a continuación. Fundamenta tu propuesta. 50

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Año 1492 1812 1900 1959 1995 1998 2003 2008 2009 2010

Área boscosa (%) 95 89 54 13,4 19,9 21 23,4 25,7 26,2 27

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Capítulo 2 CONTENIDO DE ENSEÑANZA EN LA ASIGNATURA MATEMÁTICA

¿Qué se aprende y qué se enseña en la asignatura Matemática? Al reflexionar sobre esta interrogante se requiere pensar en la relación objetivo-contenido, porque las exigencias de los objetivos en esta asignatura determinan qué transformación lograr en el desarrollo de la personalidad de los educandos y qué parte de la cultura matemática estos deben asimilar para alcanzar los propósitos de la formación en el nivel educativo dado. La materialización de estas exigencias se refleja en la asimilación de conocimientos y el desarrollo de habilidades, hábitos, capacidades, puntos de vista, convicciones, actitudes, cualidades y sentimientos por parte de los educandos. Los objetivos declarados para la enseñanza de la Matemática determinan la necesidad de considerar un concepto amplio de la categoría contenido de enseñanza, como parte esencial de la cultura, específica en diferentes profesiones y especialidades. Según Danilov y Skatkin,14 la categoría contenido incluye: 1. El sistema de conocimientos, sobre la naturaleza, la sociedad, el pensamiento, la técnica y los modos de actuación. 2. El sistema de hábitos, así como habilidades generales intelectuales y prácticos. 3. Las experiencias de la actividad creadora, los rasgos fundamentales gradualmente acumulados por la humanidad en el desarrollo de su actividad social práctica. 4. El sistema de relaciones con el mundo y de unos con otros. En la asignatura Matemática se puede considerar incluidos en el sistema de conocimientos: 1. Conceptos de objetos, relaciones y operaciones, determinados por su contenido, extensión, significado(s) y formas de representación. 53

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El contenido de los conceptos se expresa en forma de descripciones, caracterizaciones o definiciones. 2. Proposiciones expresadas en forma de axiomas, conjeturas, teoremas y demostraciones. 3. Procedimientos de identificación, construcción, realización y transformación, como reglas de cálculo, algoritmos para la identificación de conceptos, la realización de construcciones, la transformación de ecuaciones, entre otros, que podrían expresarse como sucesiones de indicaciones de carácter heurístico o algorítmico. Dentro del sistema de habilidades y hábitos se encuentran: 1. Habilidades que se derivan del dominio de las acciones y operaciones requeridas para la ejecución de los procedimientos matemáticos; habilidades lógicas e intelectuales, las cuales permiten interpretar, elaborar y comunicar ideas matemáticas, aprender a aprender con ayuda de la terminología y simbología matemáticas; valorar cada inferencia y conceptuación que se realice, así como detectar posibles errores. 2. Hábitos de planificación, organización, ejecución, monitoreo, así como control del trabajo práctico y mental, de utilización de recursos que le permiten racionalizar su trabajo mental para obtener nuevos conocimientos, métodos de búsqueda de las posibles vías de solución a problemas, de forma ordenada y pulcra, entre otros. Como parte de la experiencia de la actividad creadora se pueden mencionar: 1. Métodos para la resolución de problemas: Son las formas de trabajo y pensamiento matemático de naturaleza inductiva, deductiva y por analogía (acompañados de sus técnicas de trabajo mental y práctico, entre otros), que requieren de un adiestramiento lógico lingüístico, una instrucción heurística, el desarrollo de capacidades cognitivas diversas, así como de estrategias de aprendizaje de carácter cognitivo, metacognitivo y auxiliares. 2. Situaciones significativas: Donde el contenido matemático adquiere sentido para los alumnos, les permite comprender el papel de la Matemática en el desarrollo científico técnico de la humanidad y que en muchos casos son portadoras de un mensaje educativo. Dentro del sistema de relaciones con el mundo se incluyen: 1. Convicciones filosóficas, políticas, morales e ideológicas relacionadas con la ciencia matemática o que resultan directamente de esta, como la convicción de que la matemática tiene su origen en la realidad objetiva y que la práctica es fuente, medio y fin para la obtención de nuevos 54

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conocimientos; convicción del carácter instrumental de esta ciencia y de su utilidad para beneficio de nuestra sociedad socialista; convicción de ser revolucionario a través de orientaciones valorativas, como: la incondicionalidad, el patriotismo, el antiimperialismo, la justicia, la dignidad, la honestidad y otras actitudes consecuentes con los principios de nuestra sociedad; convicción de la posibilidad de aprender y ser mejores, así como de contribuir a la transformación del medio natural y social en que se desarrolla a través del esfuerzo, la laboriosidad, la perseverancia, la responsabilidad, la solidaridad, el espíritu crítico y auto-crítico; la confianza en las propias potencialidades y el trabajo cooperado, sobre la base del respeto a la opinión ajena, la apertura a otras ideas y el intercambio con otros con un sentido ético, entre otras. 2. Cualidades de la personalidad, en correspondencia con el ideal de nuestra sociedad, reflejadas en la laboriosidad, honestidad, el respeto, la actitud crítica y autocrítica, manifestadas en el proceso de aprendizaje de la matemática por la constancia en la consecución de los objetivos, en el carácter analítico, reflexivo, racional y planificado en la ejecución de los procesos mentales, en el interés por buscar regularidades, así como causas de los fenómenos y procesos, en el monitoreo y control de lo que se hace para el desarrollo de una apreciación estética de la realidad, entre otras. A la escuela corresponde formar, junto con los demás agentes educativos, convicciones y cualidades de la personalidad que tengan en su base los valores que la sociedad anticipa como ideal para sus ciudadanos. Estas se deben traducir en actitudes y normas de conducta acordes con el modelo de hombre que se aspira en las situaciones concretas de la vida presente y futura de los alumnos. En consecuencia, la asimilación del contenido matemático refuerza la instrucción, el desarrollo y la educación de los alumnos, en consonancia con los objetivos que se plantean en los programas. El concebir el contenido de enseñanza en un sentido amplio, es una premisa importante para contribuir de manera efectiva al logro de los objetivos de la enseñanza de la Matemática, por tanto, es objeto de apropiación y base para el desarrollo de la personalidad de los educandos.

Programas de la asignatura Matemática. Procedimientos de trabajo Desde el triunfo de la revolución cubana se han ido perfeccionando los programas de la asignatura Matemática para la escuela media. En la 55

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actualidad se considera que el programa de la asignatura Matemática es un documento estatal de carácter legal y, por tanto, de obligatorio cumplimiento para todo profesor. Su contenido esencial consiste en un arreglo de objetivos, contenidos y actividades de aprendizaje de varias unidades de enseñanza correspondientes a un grado, que contribuyen a la formación integral de la personalidad de los alumnos en un momento del desarrollo histórico. También, incluye de modo general, cómo lograr esta formación y cómo evaluarla, por lo cual es punto de partida para la orientación, planeación, ejecución y control del proceso de enseñanza aprendizaje en la asignatura. Existe consenso sobre el contenido de los programas, aunque su estructura ha sufrido cambios. De esta manera, los programas de matemática vigentes a partir de la primera mitad del 2000 constan de las partes siguientes: 1. Características psicológicas del desarrollo de la personalidad del estudiante. 2. Fin y objetivos generales del nivel de educación 3. Objetivos generales de la asignatura en el plan de estudio. 4. Objetivos generales para el grado. 5. Objetivos generales de la asignatura en el grado y las unidades. 6. Caracterización del contenido y de la concepción metodológica de la asignatura. 7. Plan temático. 8. Indicaciones generales por unidades. 9. Exigencias para la evaluación de los estudiantes en la asignatura 10. Bibliografía para el docente. El programa de la asignatura, junto con el plan de estudio, forma parte del diseño del currículo básico o general y contiene, lo que es obligatorio en el sistema, porque posibilita concretar la unidad del proceso educativo. Sin embargo, se requiere dejar en su concepción, posibilidades para la atención a su necesaria contextualización en la escuela, en lo que se ha dado en llamar currículo escolar, de modo que esta pueda atender más específicamente a las diversas necesidades de formación de cada alumno, atendiendo a sus características individuales y de acuerdo con las condiciones de cada comunidad o territorio, sin que se pierda la unidad del sistema. El programa, además incluye la idea esencial de cómo contribuir a la formación del alumno. Es muy importante para el proceso de planeación educativa que propone, reflexionar acerca de los fundamentos teórico-metodológicos generales que lo sustentan. Este documento estatal 56

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contiene la concepción metodológica para alcanzar esta formación. El maestro o profesor es el encargado de moldear, enriquecer en la práctica y en sus condiciones específicas, tales aspiraciones de conjunto con sus estudiantes. Para que el profesor de la asignatura Matemática pueda lograr en sus alumnos la formación exigida en su contexto de actuación, debe conocer a profundidad las vías y estrategias que debe implementar eficientemente para cumplir los objetivos formativos que declara el programa. Esto exige el estudio minucioso de los programas, para lo cual existen procedimientos para apropiarse de su concepción didáctico–metodológica. Estos procedimientos son conocidos como corte vertical y corte horizontal del contenido y panorámica del contenido de una unidad.

Corte vertical El corte vertical consiste en confeccionar un resumen por grado que contenga aquellos conocimientos y habilidades principales, objeto de apropiación por los alumnos, que se agrupan en torno a un núcleo esencial de contenido. Se emplea por el profesor con el objetivo de adquirir una visión global de los contenidos, sus relaciones mutuas y su distribución en los programas de la asignatura de los diferentes grados, obtener información sobre las condiciones previas que se requieren y las que deben ser creadas al tratar una unidad determinada. La importancia de esto último es crucial, porque así el profesor puede determinar qué han aprendido los alumnos en el nivel precedente, qué es lo nuevo a lograr en la unidad a estudiar y de qué contenidos se apropiarán los alumnos en el nivel subsiguiente. Es recomendable que este procedimiento se utilice cuando el profesor inicie su labor en un nivel en el que no posee experiencia o en el cual se han producido transformaciones curriculares. Para confeccionar un corte vertical se requiere que el profesor: 1. Decida los grados que incluirá, según los objetivos que persiga. 2. Determine (con ayuda de los programas correspondientes) las unidades que abarcará en cada grado, por ejemplo las unidades por grados:

…

Nombre de las unidades y horas clases

…

Grados

3. Precise una síntesis para cada grado de los contenidos correspondientes y determine regularidades. 57

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Un ejemplo de corte vertical del programa es el siguiente: Si el profesor debe tratar las ecuaciones con radicales en décimo grado, necesita conocer qué contenidos aprendieron los alumnos en el nivel precedente y cuáles deben ser asimilados en los grados posteriores. Conocimientos

Hábitos, habilidades y capacidades 7mo. grado Definición de ecuación, domi- Calcular el valor numérico de expresiones alnio básico de una ecuación, gebraicas. solución de una ecuación, Traducir del lenguaje común al algebraico y conjunto solución. viceversa situaciones de la vida cotidiana Ecuaciones equivalentes, y de la realidad en sentido general. transformaciones que pueden Construir ecuaciones lineales que satisfagan realizarse en una ecuación. determinadas condiciones, por ejemplo, que Procedimiento para resolver tengan el conjunto solución que se indica. ecuaciones lineales de la for- Reconocer cuáles son las transformaciones ma ax + b = c, con a ≠ 0, b, y equivalentes mediante las cuales se transforc números racionales. Despejo ma una ecuación lineal en otra. de fórmulas. Identificar ecuaciones lineales equivalentes. Resolución de problemas Comprobar si determinados valores son soque conduzcan a ecuaciones lución de una ecuación lineal. lineales relacionados con la Resolver ecuaciones lineales aplicando los vida económica, política y so- procedimientos algebraicos estudiados. cial del país, de su hogar y su Despejar según la variable que se indica en escuela. ecuaciones lineales. Determinar parámetros de una ecuación lineal, conocidas algunas de sus propiedades. Formular y resolver problemas que conducen al planteamiento de ecuaciones lineales. 8vo. grado Expresión en lenguaje al- Se profundiza en las habilidades ya logradas y gebraico de las relaciones se trabaja en: entre datos dados en el len- –– Calcular mediante cálculo algebraico y aritguaje común. Interpretación mético el valor numérico de expresiones en el lenguaje común de las algebraicas en el dominio de los números relaciones entre números racionales. expresadas en el lenguaje –– Realizar las operaciones de adición, susalgebraico. tracción, multiplicación y división de poliLos conceptos de términomios. no, variable, valor numérico, –– Resolver operaciones combinadas con polimonomio, polinomio y exnomios utilizando los signos de agrupación presión algebraica. superpuestos.

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–– Identificar cuáles sucesiones de símbolos son ecuaciones y cuáles no. –– Resolver ecuaciones lineales aplicando los procedimientos algebraicos estudiados. –– Despejar fórmulas. –– Formular y resolver problemas que conducen al planteamiento de ecuaciones lineales. –– Construir ecuaciones lineales que satisfagan determinadas condiciones. –– Identificar ecuaciones lineales equivalentes. –– Reconocer cuáles son las transformaciones equivalentes mediante las cuales se transforma una ecuación lineal en otra. –– Comprobar si determinados valores son solución de una ecuación lineal. –– Determinar parámetros de una ecuación lineal, conocidas algunas de sus propiedades. 9no. grado

Operaciones con monomios y polinomios. Procedimiento para resolver ecuaciones lineales y que conducen a lineales que requieren de las operaciones con polinomios y el empleo de signos de agrupación. Despejar fórmulas. Resolución de problemas relacionados con la vida económica, política y social del país, de su hogar y su escuela.

Ecuaciones lineales con dos variables, solución y conjunto solución de estas ecuaciones. Concepto de par ordenado. Interpretación gráfica de las soluciones de ecuaciones lineales con dos variables. Procedimiento gráfico para resolver sistemas de dos ecuaciones lineales con dos variables. Procedimientos analíticos para resolver sistemas de dos ecuaciones lineales con dos variables. Problemas. Los productos notables. Introducción a la descomposición factorial: Extracción del factor común, diferencia de dos cuadrados (trinómios cuadrados perfectos), de la forma: x2 + px + q y mx2 + px + q (m, p, q números racionales con m ≠ 0 y m ≠ 1) Ejercicios combinados de descomposición factorial con el factor común y trinomios bicuadráticos.

–– Interpretar geométricamente el conjunto solución de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables. –– Determinar la solubilidad y cantidad de soluciones de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables, mediante las razones de los coeficientes de las ecuaciones que lo conforman. –– Identificar sistemas de dos ecuaciones lineales con dos variables equivalentes (reconociendo que no solo tienen el mismo conjunto solución, sino que tienen el mismo dominio de variación de las variables). –– Resolver sistemas de dos ecuaciones lineales con dos variables, aplicando los procedimientos gráficos y analíticos estudiados. –– Formular y resolver problemas que conducen al planteamiento, así como resolución de sistemas de dos ecuaciones lineales con dos variables. –– Formar sistemas de dos ecuaciones lineales con dos variables que satisfagan determinadas condiciones, por ejemplo que tengan el conjunto solución que se indica. –– Identificar productos notables y aplicarlos a la simplificación de expresiones algebraicas.

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Definición de los conceptos ecuación de segundo grado, solución y conjunto solución. Enunciado de la propiedad a · b = 0 si y solo si a = 0 o b = 0 con a = 0 (a, b є ℜ). Resolución de ecuaciones mediante descomposición factorial. Deducción de la fórmula de resolución de la ecuación de segundo grado. Discriminante. Relación del discriminante con la cantidad de soluciones de una ecuación de segundo grado. Resolución de ecuaciones empleando la fórmula general. Despejo en fórmulas donde la variable que se va a despejar puede tener como exponente 2. Ejercicios y problemas relacionados con la vida económica, política y social del país, que conduzcan a la resolución de ecuaciones cuadráticas.

–– Identificar diferencias de cuadrados, trinomios cuadrados perfectos y trinomios de las formas: x2 + px+ q; mx2 + px + q (donde m, p y q son números racionales con m ≠ 0 . –– Descomponer en factores. –– Resolver ecuaciones cuadráticas aplicando los procedimientos algebraicos estudiados y la fórmula de resolución de ecuaciones de segundo grado. –– Despejar fórmulas en las que la variable a despejar esté elevada al cuadrado. –– Formular y resolver problemas que conducen al planteamiento de ecuaciones cuadráticas. –– Reconocer que una función cuadrática se define por una ecuación de la forma: y = f(x) = ax2 + bx + c (donde a, b y c son números reales con a ≠ 0, y la indicación de su dominio de definición), con lo cual queda determinado su conjunto imagen y que su gráfico es una parábola.

Este análisis se continúa para el resto de los grados del preuniversitario de manera similar, lo cual evidencia que al estudiar las ecuaciones con radicales en el décimo grado, en secundaria básica, se logró: 1. Definir el concepto de ecuación (lineal, cuadrática y sistema de ecuaciones lineales de dos ecuaciones con dos variables), dominio básico de una ecuación, solución de una ecuación y conjunto solución. 2. Ecuaciones equivalentes, transformaciones que pueden realizar en una ecuación. 3. Procedimiento para resolver ecuaciones (lineal, cuadrática y sistema de ecuaciones lineales de dos ecuaciones con dos variables). Despejar fórmulas. 4. Construir ecuaciones lineales que satisfagan determinadas condiciones, por ejemplo, que tengan el conjunto solución que se indica. 5. Traducir del lenguaje común al algebraico y viceversa, situaciones de la vida cotidiana y de la realidad en sentido general. 60

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6. Resolución de problemas que conduzcan a ecuaciones (lineal, cuadrática y sistema de ecuaciones lineales de dos ecuaciones con dos variables) relacionados con la vida económica, política y social del país, de su hogar y su escuela. El profesor con esta información puede diagnosticar el nivel real de sus alumnos en la resolución de ecuaciones lineales y cuadráticas, decidir la estrategia que debe instrumentar al desarrollar la temática de ecuaciones con radicales, porque son estas condiciones previas indispensables para el nuevo procedimiento de resolución de estos tipos de ecuaciones, puesto que se transforman en una ecuación lineal o cuadrática, reduciéndose el problema a uno ya resuelto. También se infiere que al estudiar las nuevas ecuaciones en el preuniversitario (fraccionarias, trigonométricas, exponenciales y logarítmicas), tras haber creado motivos acerca de la necesidad de su estudio por medio del análisis de situaciones problemáticas, es necesario definirlas, lo que requiere en cada ocasión determinar un dominio de definición de la variable, buscar un procedimiento para su resolución, aplicarlo al despejo de fórmulas y a la resolución de problemas que conducen a ecuaciones conocidas. Es preciso esclarecer que en los programas, dentro de la descripción del sistema de conocimientos de una unidad, muchas veces aparece al final la palabra ’problemas‘, pero ello no significa que estos se traten al final de la unidad, porque debe ser todo lo contrario; la problematización del contenido y los problemas, o uno de estos, deben estar presentes en todas las clases. Por medio de la confección de un corte vertical, el profesor de Matemática estudia los objetivos, contenidos y métodos a utilizar para el tratamiento del contenido seleccionado, logrando profundizar en el conocimiento de los programas de la asignatura Matemática y autoprepararse para la planificación, organización, ejecución y evaluación del proceso de enseñanza-aprendizaje de la Matemática.

Corte horizontal Si el profesor de Matemática requiere obtener información del programa sobre la distribución del contenido de enseñanza de una unidad o parte de esta (dosificación), según los días clases de la semana, debe confeccionar para ello un corte horizontal. La realización del corte horizontal aporta al profesor conocimientos sobre la estructura interna de la unidad que seleccione del programa; los nexos entre los contenidos de las diferentes clases de un sistema; el 61

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tiempo disponible para clases de nuevo contenido, clases de fijación, clase de evaluación y otras actividades de la asignatura; para asignar horas de reserva (si se requiere); considerar días feriados u otras afectaciones previamente indicadas y, posteriormente, considerarlo en la planificación del proceso de enseñanza-aprendizaje de estos contenidos. Para confeccionar un corte horizontal se requiere: 1. Determinar la semana que se inicia el tratamiento del contenido de enseñanza de la unidad. 2. Fijar el orden en que se desarrollaran las unidades o unidades temáticas. 3. Determinar el tiempo disponible para toda la unidad, cada una de las unidades temáticas y clases que la conforman, así como las afectaciones y otras actividades de la etapa que se planifica. 4. Distribuir o dosificar ordenadamente, por semanas y según la frecuencia que corresponda, los contenidos de las clases de nuevo contenido y las de fijación del contenido tratado, incluir los momentos evaluativos y otras actividades inherentes al desarrollo del proceso de enseñanza-aprendizaje de la Matemática. Un ejemplo de corte horizontal del programa es el siguiente: Dosificación) para cinco semanas de la unidad “Curvas de segundo grado. Secciones Cónicas”. Tiempo: 23 h/clases (Tab. 2.1). Tabla 2.1 Corte horizontal (dosificación) para cinco semanas de la unidad “Curvas de segundo grado. Secciones Cónicas.” Tiempo: 23 h/clases Semana

Número de clase

1

2

Contenidos

20

Ecuación de la circunferencia

21

Ecuación cartesiana de la circunferencia

22

Ejercitación sobre la circunferencia

23

Posiciones relativas entre recta y circunferencia.

24

Ejercitación sobre posición relativa entre recta y circunferencia

25

Ejercitación

26

Ecuación cartesiana de la parábola

27

Ejercitación ecuación de la parábola

28

Posiciones relativas entre recta y parábola

29

Ejercitación sobre posiciones relativas entre recta y parábola

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3

30 31 32 33 34

4

35 36 37 38 39

5

40 41 42

Ejercitación Ecuación cartesiana de la elipse Ejercitación sobre la elipse Posiciones relativas entre recta y elipse Ejercitación sobre posiciones relativas entre recta y elipse Ejercitación Ecuación cartesiana de la hipérbola Ejercitación sobre la ecuación de la hipérbola Posiciones relativas entre recta e hipérbola Ejercitación sobre posiciones relativas entre recta e hipérbola Ejercitación Ejercitación variada Ejercitación variada

El contenido de la unidad se dosifica en cinco semanas, no hubo días feriados, ni corresponden evaluaciones parciales, aunque debe evaluarse sistemáticamente el dominio de los objetivos de la unidad en el desempeño de los alumnos mediante tareas, preguntas escritas, orales y otras formas que decida el profesor. Sin embargo, se observa que hay nueve clases de tratamiento de nuevo contenido y 14 de ejercitación. En la unidad predomina el tratamiento de conceptos de cada curva y sus elementos, así como los procedimientos de solución para determinar las relaciones entre rectas y curvas. En la estructura de la unidad se observa una analogía en el tratamiento de los contenidos, se define la cónica, se estudian sus elementos, su ecuación y gráfica, así como se procede a determinar las relaciones de posición con la recta.

Panorámica de conocimientos La panorámica de conocimientos (este procedimiento de trabajo con los programas fue aplicado durante el perfeccionamiento anterior al año 2000),15 se emplea para obtener información de los programas sobre los contenidos esenciales que deben dominar los alumnos en una unidad o unidad temática, así como sobre los hábitos, las habilidades y capacidades fundamentales correspondientes. Para realizar la panorámica del contenido es necesario: 1. Decidir en qué unidad se hará la panorámica. 63

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2. Determinar qué nuevos conocimientos adquieren los alumnos en la unidad y si estos se refieren a conceptos, proposiciones o procedimientos. 3. Determinar qué hábitos, habilidades y capacidades se deben formar o continuar desarrollando en la unidad, así como a qué nivel de generalidad y profundización. 4. Precisar lo esencial del trabajo en la unidad, tomando como base los objetivos generales del grado y los específicos de la unidad. Por ejemplo, dentro de la unidad destinada al estudio de la geometría en décimo grado se incluye la unidad temática “Circunferencia trigonométrica”. Una panorámica de los conocimientos que se abordan en esta unidad puede ser obtenida por medio del diagrama de la figura 2.1, el cual ilustra los conceptos, relaciones y procedimientos que se tratan, así como sus relaciones mutuas. Debe observarse que los conocimientos que aparecen por encima de la línea punteada son los ya adquiridos por los alumnos en la Secundaria Básica y constituyen condiciones previas necesarias para la asimilación de lo nuevo. Se han encerrado en un rectángulo (Fig. 2.1) los puntos esenciales a asimilar por los alumnos en la unidad temática, una relación (fórmulas de reducción de un ángulo cualquiera a su coterminal en el primer cuadrante) y el procedimiento de calcular amplitudes de ángulos cualesquiera.

Fig. 2.1

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En esta unidad temática deben desarrollarse habilidades para: 1. Aplicar al cálculo y a la transformación de expresiones la definición de las razones trigonométricas (en el triángulo rectángulo y en la circunferencia trigonométrica) y las relaciones fundamentales, entre estas:

2. Calcular dada una de las razones trigonométricas de un ángulo las restantes, aplicando correctamente las reglas del cálculo aproximado. 3. Aplicar las fórmulas de reducción al cálculo y la resolución de ecuaciones trigonométricas. 4. Explicar la ampliación del concepto de ángulo y a qué se denomina ángulos coterminales y aplicar estos conocimientos al cálculo de razones trigonométricas de ángulos cualesquiera. 5. Deducir las fórmulas de reducción y demostrar las leyes de los senos y los cosenos. 6. Resolver triángulos cualesquiera y aplicar estos conocimientos a la resolución de ejercicios con texto y problemas de aplicación a la física y a la geometría. Las situaciones problemáticas en las que se aplicarán estos contenidos estarán vinculadas en lo fundamental al cálculo de valores de posición, velocidad o aceleración en un momento determinado, a la determinación de la amplitud o fase de una onda y al cálculo del módulo de la componente de una fuerza en una dirección determinada. De igual forma, estarán relacionadas con la determinación del perímetro y área de polígonos, al área lateral y total, así como al volumen de figuras geométricas en el espacio. En resumen, a través de esta unidad temática los alumnos deben ampliar el concepto de ángulo y ser capaces de determinar las razones trigonométricas de ángulos cualesquiera para poder utilizarlas en la resolución de ejercicios y problemas de aplicación, fundamentalmente a la física y la geometría.

Determinación del contenido matemático y su tratamiento metodológico Sobre la base de lo explicado en el acápite ¿Cómo derivar los objetivos para los sistemas de clases y las clases? del capítulo 1 de este libro, acerca de la derivación gradual de los objetivos se determinan los objetivos de cada unidad, sistema de clases y clase. Sin embargo, ¿cómo determinar el contenido de un sistema de clases y de una clase?; por ejemplo, un 65

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objetivo para un subsistema de clases del sistema de clases referido a la unidad temática “Operaciones con números racionales” de la unidad “Los números racionales” de séptimo grado, con el propósito de ilustrar la relación objetivo-contenido. Como objetivo del subsistema de clases, los alumnos deben aprender a calcular con números racionales, utilizando los procedimientos algorítmicos para las operaciones de adición y sustracción, de manera que se contribuya a la racionalización del trabajo mental en situaciones de la vida práctica.

¿Qué elementos del contenido de la unidad se deben asimilar por los alumnos a partir del objetivo determinado? Para lograr esto se debe partir de la caracterización de los diferentes componentes de la categoría contenido de enseñanza en la asignatura Matemática, lo cual permite una visión general, panorámica y diferenciada, de los contenidos que abarca el subsistema de clases. Para esto es recomendable y conveniente auxiliarse de: Contenidos

Significado

Conceptos

Opuesto de un número fraccionario, número racional, módulo de un número racional, comparación y orden de números racionales, números racionales positivos y negativos, números racionales no negativos y no positivos, adición y sustracción de números racionales, de manera de dejar invariantes las operaciones definidas anteriormente para números naturales y fraccionarios.

Proposiciones

Relación de inclusión entre los conjuntos numéricos, relación de pertenencia, posibilidad de la representación de los números racionales como expresiones decimales cuyo desarrollo es finito o infinito periódico, relación entre los módulos de dos números racionales opuestos, relación entre el orden de los números y el de sus módulos, relaciones entre las operaciones, propiedades de las operaciones, proposición sobre la suma de dos números racionales opuestos.

Procedimientos

Representar de diferentes formas números racionales, ordenar y comparar números racionales dados en diferentes representaciones, calcular la suma de números racionales en diferentes representaciones, calcular la diferencia de números racionales en diferentes representaciones, calcular sumas algebraicas, estimar cálculos, evaluar fórmulas

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donde intervienen cantidades de magnitud, resolver ecuaciones, interpretar tablas y gráficos, interpretar expresiones en que intervienen variables que pueden tomar valores en un conjunto de números racionales, determinar términos próximos, lejanos, y la regularidad en sucesiones numéricas de números racionales aplicando las operaciones de adición y sustracción. Habilidades

Operaciones mentales y prácticas que resultan del dominio de los procedimientos matemáticos anteriores, habilidad para explicar los procedimientos de cálculo, fundamentar regularidades, valorar diferentes vías de solución y sus resultados.

Hábitos

Analizar previamente las características de los ejercicios de cálculo para determinar el proceder más racional, de estimar los resultados de los cálculos con anterioridad a su realización, de controlar lo realizado durante el proceso y al final de este.

Métodos para la resolución de problemas

Variar condiciones para obtener ejercicios de adición y sustracción de números racionales que cumplan determinadas condiciones, transferir de una forma de representación a otra de los números de acuerdo con las demandas de la situación planteada, buscar y establecer relaciones para argumentar y, más particularmente, para demostrar propiedades, así como relaciones de las operaciones, racionalizar cálculos mediante la aplicación de las propiedades de las operaciones.

Situaciones significativas

Movimientos de masas en sentidos opuestos para determinar sus posiciones y distancias, altitudes y profundidades para conocer aspectos importantes de la geografía física a nivel local, nacional, regional o mundial, ganancias y déficits para analizar la crisis económica en el mundo, variación de temperaturas expresadas en grados centígrados para valorar problemas relacionados con el cambio climático, variación de indicadores económicos, demográficos y de diversa índole para realizar inferencias de naturaleza política y social, interpretación de husos horarios para calcular diferencias horarias.

Convicciones

Contribución al desarrollo de la convicción acerca de la potencialidad de los métodos y procedimientos matemáticos para comprender fenómenos, así como procesos de la realidad, de la convicción sobre la desigualdad e inequidad que genera el capitalismo, su incapacidad para garantizar un desarrollo sustentable y sostenible, de la convicción acerca

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de la necesidad de ser protagónico en su proceso formativo y solidario con sus compañeros de grupo, a la vez que crítico consigo mismo y para con los demás. Cualidades de la personalidad

Desarrollo de una orientación positiva hacia el aprendizaje, promoción de rasgos del carácter como ser reflexivo, flexible, tenaz, laborioso, responsable, preocupado por la calidad del producto de su actividad, moderado y respetuoso en su relación con los otros, cooperativo, valorativo de su actuación y la de sus compañeros, entre otras.

¿Cómo se desarrolla con los alumnos el tratamiento del contenido matemático determinado en los programas de la asignatura? El profesor debe reflexionar sobre: 1. ¿Cómo es el objeto de conocimiento del cual deben apropiarse los alumnos? 2. ¿Cómo se puede representar? 3. ¿Qué relaciones y propiedades posee? 4. ¿Qué relaciones posee con otros conocimientos? 5. ¿Cómo se verifican estas propiedades y relaciones? 6. ¿Qué se puede hacer con él? 7. ¿Para qué sirve? 8. ¿Cómo se pueden variar condiciones en el objeto? 9. ¿Qué formas de trabajo y pensamiento fundamentales de la ciencia matemática se emplean en su tratamiento? En el tratamiento del contenido referido a la apropiación de las operaciones de adición y sustracción con números racionales en séptimo grado, estas preguntas se contextualizarían de la manera siguiente: 1. ¿Cómo son las operaciones de adición y sustracción con números racionales? Son operaciones similares a las de adición y sustracción de números fraccionarios, pero los números son racionales (poseen un signo). El resultado obtenido al efectuar las operaciones con números racionales es un número racional, por tanto, son operaciones racionales. 2. ¿Cómo se pueden representar estas operaciones? De forma verbal, numérica, gráfica y simbólica. 3. ¿Qué relaciones y propiedades pueden tener? La adición y la sustracción son operaciones inversas; satisfacen la propiedad asociativa, conmutativa de la adición, de distributividad de la multiplicación en relación con la adición. 4. ¿Con qué otros conocimientos se relacionan estas operaciones? Se relacionan con el resto de las operaciones aritméticas, con la resolución 68

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de ecuaciones, con la descripción de datos mediante tablas, gráficos y medidas estadísticas, con la determinación de relaciones métricas en las figuras geométricas y en distintos ámbitos de la realidad. 5. ¿Cómo podemos verificar estas propiedades y relaciones? A través de su demostración para números arbitrarios con el auxilio de variables. 6. ¿Qué podemos hacer con estas operaciones? Identificarlas, representarlas, leerlas/describirlas, construirlas, calcular con ellas, 7. ¿Para qué nos sirven? Nos sirven para calcular, medir cantidades de magnitud, resolver ecuaciones, describir datos, así como para modelar, argumentar y generalizar situaciones. Sobre la base del objetivo del sistema de clases, de los elementos de contenido que se derivan de este y de estas consideraciones, se determinan las clases de tareas que se deben tratar en el sistema de clases. En el ejemplo tratado tales clases de tareas pudieran ser las siguientes: 1. Resolver ejercicios de cálculo de forma racional aplicando las propiedades y relaciones de las operaciones de adición y sustracción, previa estimación de los resultados: a) –1,52 + 2,07 – 2,48 = 29 1 b) – – 24,3 +14 – 24,3 = 2 2 c) La diferencia de dos números es –2 007,85. Si el sustraendo es 309, halle el minuendo. 2. Elaborar ejercicios de adición y sustracción con números racionales que cumplan determinadas condiciones: a) Construye varios ejercicios donde aparezcan tres operaciones combinadas de adición y sustracción de números racionales con diferentes representaciones, de forma que el resultado sea el número –8,2. b) Explica cómo aprovechaste las propiedades y relaciones de las operaciones para construir estos ejercicios. 3. Argumentar propiedades y relaciones de las operaciones de adición y sustracción con números racionales: a) Represente las operaciones de cálculo siguientes en la recta numérica y argumente tu respuesta: 2 –3,25 – 5 = – 5, 4 = 5 4 1 23 + 13 = – 1,2 = 9 5 b) Determine si el resultado de adicionar dos números racionales es siempre mayor que cada uno de los sumandos. Argumente tu respuesta. 69

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c) Compara tu respuesta con la dada por otros compañeros de aula. 4. Completa la oración de modo que se obtenga una proposición verdadera y argumenta tu respuesta en cada caso: a) La suma de dos sumandos es igual a uno de los sumandos cuando _________________________. b) La suma de cualquier número racional y su opuesto es: _________. c) El número que se debe restar del número a (a≠0) para obtener su opuesto es: ________. 5. Justifica con las propiedades de la operación de adición en el conjunto de los números racionales, cada uno de pasos dados en la transformación del término (a + b) + (–a); donde a, b ∈ Q: a) (a + b) + (–a) = (–a) + (a + b) = [(–a) + a ] + b =0+b =b b) Enuncie la propiedad que obtuvo. 6. Demuestra que |a + b | ≤ |a| + |b|, a ∈ Q, b ∈ Q teniendo en cuenta que para todo número racional a se cumple: –|a| ≤ a ≤ |a|. 7. Indaga qué nombre recibe esta desigualdad y por qué la recibe. a) Busca información acerca de los orígenes de esta desigualdad. b) ¿Cuándo |a + b| < |a| + |b|, a є Q, b є Q? 8. Resolver ecuaciones cuyo dominio de definición sea el conjunto de los números racionales, aplicando el conocimiento ya adquirido, es decir, la adición y la sustracción son operaciones inversas; por ejemplo, determina para qué número racional se transforma en una igualdad en cada una de las ecuaciones siguientes: 17 a) x + 7, 4 = – 5 b) 0,000 1 – a = 0,999 9 9. Plantear ecuaciones cuyo dominio de definición sea el conjunto de los números racionales y que satisfagan determinadas condiciones: b+ b = 0 b∈Q ? a) ¿Cuáles y cuántas raíces posee la ecuación 2 b) Sea la ecuación x + b = –5,3. Determina el valor de b, de manera tal que x = –21,54 sea solución de esta ecuación. 10. Plantear y efectuar operaciones de adición y sustracción a partir de las exigencias de una situación descrita en el lenguaje común, una tabla o un gráfico: a) ¿Cuál es la distancia entre los puntos A y B? Determine esta distancia utilizando el concepto módulo de un número. 70

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A B –2

–1,5

–1

– 0,5

0

0,5

1

1,5

b) Completa la tabla 2.216 y escribe tus valoraciones en relación con la información que te ofrece: Tabla 2.2 Escolaridad Niños fuera de la Niños fuera de escuela en el 2010 la escuela en el (en miles) 1999 (en miles) Países de ingresos bajos 22 244 39 025 Países de ingresos medio bajo 29 362 55 400 Países de ingresos medio 7 230 superior Países de ingresos altos 1 848 2 254 Mundo 60 684 108 364 Ingresos

Variación desde 1999 -16 781 -3 248 -47 680

c) Indage sobre la situación actual y comparte valoraciones con tus compañeros de aula. 11. Determinar términos próximos, lejanos y la regularidad presente en una sucesión de números racionales: a) Determina la regularidad en la siguiente sucesión de números racionales ..., – 3, 0; 2; –1; 1; – 2,…

Líneas directrices de la enseñanza de la Matemática Los objetivos y contenidos que son objeto de enseñanza en la asignatura Matemática se pueden agrupar, a pesar de su variedad, en torno a determinados núcleos esenciales de contenido. Con la finalidad de garantizar la continuidad y sistematicidad del tratamiento del contenido matemático en el transcurso de los diferentes grados alrededor de estos núcleos esenciales, los cuales se determinan para cada uno de estos las llamadas líneas directrices de la enseñanza de la Matemática (Fig. 2.2). Ellas actúan como lineamientos que permiten reconocer lo esencial a lograr desde el punto de vista de los objetivos, el ordenamiento de los contenidos y la orientación didáctica de su tratamiento, en atención a los criterios siguientes: 1. Lógica y sistemática de la ciencia matemática. 2. La necesidad de concentrarse en lo esencial en virtud de las limitaciones de tiempo durante la etapa de tránsito por el subsistema de educación general. 71

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3. Valoración de la aplicación de los contenidos en la vida cotidiana y profesional o la trascendencia de estos para la orientación en los hechos y fenómenos de la sociedad. 4. Preparación a tiempo de las condiciones necesarias para introducir, ampliar y profundizar el contenido matemático y el de otras asignaturas (entrelazamiento de los contenidos). 5. Características psicológicas de los alumnos, según su edad, para asimilar los contenidos y contribuir al desarrollo de su personalidad. 6. Criterios pedagógicos para favorecer la educación de los alumnos. LÍNEAS DIRECTRICES

Actúan como lineamientos que atraviesan el curso de Matemática para asegurar la continuidad y sistemática del tratamiento del contenido en torno a ciertos núcleos esenciales

Explicitan lo esencial a lograr desde el punto de vista de los objetivos en los niveles, grados y en el subsistema de Educación General, posibilitan hacer inferencias en relación con la selección, así como el ordenamiento de los contenidos y la orientación didáctica de su tratamiento.

Tienen carácter operativo y permiten la dirección del proceso de enseñanza-aprendizaje

Fig. 2.2

Las líneas directrices resultan de utilidad al profesor, porque contribuyen, entre otros aspectos, a: 1. Reconocer lo esencial de los contenidos a tratar y comprender su contribución a los objetivos de la asignatura del grado, del nivel y de la formación en el subsistema de Educación General. 2. Ordenar los contenidos en forma de espiral, con lo que se garantiza la integración y la sistematización continua de lo aprendido por los estudiantes. 3. Conocer las condiciones previas que se deben garantizar para la asimilación de los nuevos contenidos. 4. Comprender los nexos existentes entre los diferentes contenidos. 5. Orientarse acerca de cómo tratar un determinado contenido, teniendo en consideración las líneas directrices que se entrelazan con este y las exigencias que emanan de los métodos, así como las formas de trabajo de la propia ciencia matemática. 72

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Sobre la base de la experiencia acumulada y el resultado de estudios realizados, se han determinado para la enseñanza de la Matemática en nuestro país las líneas directrices siguientes: 1. Líneas directrices relativas a conocimientos, habilidades y formas de pensamiento matemático específicas: a) Dominios numéricos. b) Trabajo con magnitudes. c) Trabajo con variables, ecuaciones, inecuaciones y sistemas de ecuaciones e inecuaciones. d) Correspondencias y funciones. e) Geometría. f ) Combinatoria y probabilidades. g) Tratamiento de datos/Estadística. 2. Líneas directrices relativas a habilidades, capacidades (posibilidad funcional de los procesos cognoscitivos que mediante el análisis, la síntesis y la generalización pueden engendrar nuevos hábitos, conocimientos y habilidades) y hábitos matemáticos de carácter más general, que requieren también del desarrollo de cualidades, convicciones y actitudes: a) Adiestramiento lógico-lingüístico: –– Argumentar matemáticamente (conjeturar y demostrar). –– Operar con conceptos matemáticos. –– Comunicarse utilizando la terminología y simbología matemáticas. –– Trabajar con representaciones de objetos matemáticos. b) Modelar (precisar, matematizar o interpretar, realizar, validar y evaluar). c) Utilizar recursos y técnicas para la racionalización del trabajo mental. d) Formular y resolver problemas.

Dominios numéricos Esta línea directriz posee especial significación para el desarrollo de la personalidad de los alumnos, porque sobre la base de la comprensión del sistema de posición decimal los alumnos se capacitan para comparar, ordenar, representar números en la tabla de posición decimal o en el rayo o recta numérica, escribir y leer números, contar, calcular y formular, así como resolver problemas vinculados a su entorno más cercano o a disímiles hechos y fenómenos de la realidad objetiva, que les permiten hacer valoraciones de carácter económico, político y social, particularmente, en los que se demuestra la obra de la Revolución Cubana. 73

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En la Educación Preescolar, en el área de “Conocimiento del mundo de los objetos y sus relaciones”, se trabajan desde los primeros años de vida las relaciones cuantitativas de 'mucho-ninguno', 'más y menos cantidad’, e 'igual cantidad' o 'tantos como', al establecer la comparación de cardinales de conjuntos. En el sexto año de vida (grado preescolar), dentro del área “Nociones elementales de Matemática”, reconocen las cantidades correspondientes a los diez primeros números naturales (del 1 al 10), comienzan a operar con estas para dar respuesta a tareas cada vez más complejas, conocen el orden de las cantidades por percepción directa y mediante la vía del sucesor, pueden formar, descomponer cantidades y solucionar problemas sencillos. Mientras que en los primeros dos grados de la Educación Primaria se trabaja con el cálculo mental, en tercer grado, los niños aprenden los procedimientos escritos de cálculo con números naturales. Además, se familiarizan con el concepto de fracción como parte de una unidad y como parte de un conjunto. En los grados subsiguientes de la primaria profundizan los conocimientos sobre la numeración hasta llegar al concepto de número fraccionario y dominar las operaciones básicas con estos. En séptimo grado se introducen los números racionales y en octavo, los números reales. El trabajo con números reales se continúa en grados superiores a través del trabajo con radicales y logaritmos, en el último grado o año de su preparación matemática en la educación media superior se introducen los números complejos. Desde sexto grado se les hace comprender a los alumnos la necesidad de introducir procedimientos de aproximación ilimitada en problemas aritméticos, por ejemplo, cuando dividen expresiones decimales y más adelante al conocer la existencia de números irracionales. En la escuela el tratamiento de los dominios numéricos (Fig. 2.3) transcurre del primero al duodécimo grado. G1

G2

G3

G4

G5

G6

G7

G8

G9

G10

G11

G12

Fig. 2.3

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Trabajo con magnitudes En la actualidad el hombre se enfrenta a la necesidad de comparar cuantitativamente objetos, procesos o situaciones en relación con una propiedad, como la longitud, la masa, el peso, el tiempo de duración, el costo, etc. El aprendizaje de las magnitudes, su medición, conversión, estimación, cálculo y aplicación son objetivos de la enseñanza de la Matemática en los diferentes niveles y grados. En preescolar los niños comparan y miden longitudes, utilizando unidades de medida no convencionales. En los primeros cuatro grados los alumnos se familiarizan con la realización de procesos de estimación y medición para resolver problemas sencillos, utilizando unidades de medida no convencionales hasta incorporar de manera intuitiva algunas unidades del Sistema Internacional de Unidades (longitud, masa, tiempo y unidades monetarias), a la vez que construyen figuras de tamaño dado, establecen relaciones entre unidades de la misma magnitud y realizan conversiones sencillas. De quinto a sexto grados amplían el estudio de las magnitudes (área, volumen y capacidad), profundizan en los procesos de medición, estimación y conversión, utilizando los conocimientos sobre los dominios numéricos y la estructura del Sistema Internacional de Unidades, obtienen fórmulas; por ejemplo, para el cálculo de perímetros, áreas y volúmenes de figuras, así como cuerpos geométricos y las aplican a la resolución de problemas. En el nivel medio básico y superior profundizan en los procesos de medición, estimación y conversión, utilizando los conocimientos sobre los dominios numéricos y la estructura del Sistema Internacional de Unidades y de otras unidades de uso frecuente en nuestro país, se obtienen fórmulas para el cálculo de perímetros, áreas y volúmenes de figuras y cuerpos geométricos más complejos, las cuales se aplican en la resolución de problemas, donde intervienen magnitudes no solo geométricas, sino también físicas y químicas.

Trabajo con variables, ecuaciones, inecuaciones y sistemas de ecuaciones e inecuaciones Las variables permiten desarrollar algoritmos, modelos y, en resumen, exponer ideas matemáticas de forma breve, clara y precisa, lo cual no se podría realizar o se haría de forma muy compleja de no contar con el tecnicismo algebraico. En consecuencia, desempeñan una función esencial dentro del lenguaje matemático. 75

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Las variables se utilizan en la educación primaria con diferentes propósitos, como: letra a la que se le asigna un valor fijo, nombre para denotar objetos, para generalizar propiedades y leyes e incógnita en ecuaciones e inecuaciones. Los niños hallan el valor que satisface una determinada igualdad mediante reflexiones lógicas, mientras aprenden el significado y las propiedades de las operaciones de cálculo. En sexto grado desarrollan un procedimiento algorítmico para resolver ecuaciones lineales elementales, donde el dominio de definición de las variables es el dominio de los números fraccionarios o un subconjunto de este. En la secundaria básica se consolidan, sistematizan los conocimientos y habilidades matemáticas sobre el trabajo con variables que poseen los alumnos de la escuela primaria y se estudian los elementos del tecnicismo algebraico, que permiten ampliar su utilización, en tanto estas se utilizan como: símbolos (con los cuales se operan, letras que permiten traducir situaciones del lenguaje común al algebraico y viceversa), parámetros y cantidades variables en una función. Desde sexto grado los alumnos son capaces de resolver problemas que conducen a ecuaciones lineales; en octavo, plantean ecuaciones lineales más complejas y sistemas de ecuaciones lineales para modelar situaciones dadas y en noveno grado, pueden hacer otro tanto mediante el desarrollo de procedimientos que les permiten determinar las soluciones reales de ecuaciones cuadráticas. En décimo grado o el primer año de la formación media superior aprenden, primeramente, a formular y resolver problemas que conducen a algunos tipos de ecuaciones e inecuaciones algebraicas en una variable. Este trabajo continúa con el tratamiento de las ecuaciones e inecuaciones trascendentes. En el duodécimo grado conocen el teorema fundamental del Álgebra, es decir, conocen que en el dominio de los números complejos toda ecuación algebraica de grado n tiene n raíces complejas y pueden por ende hallar los ceros de un polinomio de grado n en C.

Correspondencias y funciones Para la enseñanza de la Matemática las correspondencias y funciones tienen un significado especial, atendiendo al que poseen en la propia ciencia. Esto se evidencia en el desarrollo del pensamiento funcional desde los primeros grados por su importancia en la explicación de procesos de cambio, lo que justifica su presencia en todos los niveles y grados. Los trabajos preparatorios para el tratamiento de las funciones se inician en prescolar, desde que los niños asocian a un conjunto su cardinal, a un par de números el resultado de una operación aritmética, 76

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a un punto del rayo numérico un número, a un segmento su longitud, a una figura su imagen por un movimiento, entre otros ejemplos que se pudieran nombrar. Se capacitan en todos los grados para identificar el término próximo, lejano o la regularidad en sucesiones de carácter numérico y geométrico e interpretar informaciones dadas mediante gráficos y tablas. Ellos desarrollan poco a poco su pensamiento proporcional, que se consolida con el estudio de las relaciones de proporcionalidad directa e inversa en sexto grado, lo que se continúa en séptimo grado. En octavo grado comienza el tratamiento sistemático de las funciones, porque se exige que los alumnos identifiquen y representen de forma descriptiva, mediante una tabla, un gráfico o una ecuación, relaciones donde a diferencias iguales de una variable corresponden diferencias iguales de otra, luego son capaces de modelar situaciones mediante funciones lineales. En noveno adquieren nuevas herramientas de trabajo asociadas a la función cuadrática. En décimo o primer año de la formación media superior amplían su espectro a las funciones potenciales y sus inversas, la función modular y las funciones racionales, así como más adelante, a las funciones trascendentes elementales, de modo que pueden describir o interpretar fenómenos y procesos de la realidad que se dejan modelar con estos recursos. En el último año de la formación media superior realizan el estudio más formal de las sucesiones.

Geometría La geometría escolar es el modelo matemático del espacio físico en que el hombre se desarrolla, porque el centro de su atención es el estudio de las propiedades que determinan la forma, el tamaño y las relaciones de posición entre los objetos. La geometría prepara a los alumnos para orientarse en el entorno espacial, percibir sus proporciones y dimensiones, confeccionar esbozos, captar semejanzas y diferencias, así como manipular mentalmente figuras geométricas, lo que debe servirles para la apreciación estética de la realidad, desenvolverse en su medio natural y productivo. Además de proporcionarles conocimientos y habilidades específicas, contribuye al desarrollo de un sentido geométrico además de un pensamiento lógico y abstracto, así como de la imaginación y un pensamiento espacial que les ayuda al logro de los anteriores objetivos. En concreto, les permite resolver problemas de naturaleza geométrica de la práctica social sobre la base de la comparación, el cálculo de cantidades de magnitud, la construcción de 77

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figuras geométricas con los instrumentos tradicionales de dibujo o con asistentes matemáticos, vinculada a la argumentación (incluida la demostración) de propiedades y relaciones. En la Educación Preescolar los alumnos identifican las formas geométricas círculo, cuadrado, triángulo, rectángulo y óvalo, así como sus variaciones, atendiendo a su tamaño y color. Utilizan estas formas geométricas en el trabajo con conjuntos y reproducen figuras con y sin modelos, ubican figuras en el espacio, determinan semejanzas y diferencias, además hallan regularidades en series de figuras, entre otras capacidades. En el sexto año de vida miden longitudes (largos y alturas), de forma global utilizando la modelación y de forma detallada, introduciendo la acción de medir con unidades de medida no convencionales, en espacio amplio primero, así como restringido después. Resuelven también problemas sencillos de comparación de longitudes, al establecer relaciones cuantitativas, utilizando las cantidades conocidas (1-10). En la Educación Primaria, de primero a cuarto grados, los niños conocen progresivamente las propiedades de figuras geométricas elementales del plano y el espacio y las relaciones entre estas. Utilizan los instrumentos de trazado para transportar figuras y realizar construcciones diversas. Además realizan ejercicios de ubicación en el plano. De manera intuitiva en este nivel se introduce el concepto de movimiento. En quinto y sexto grados profundizan en las propiedades esenciales de las figuras geométricas estudiadas y de los movimientos del plano. Se continúa el trabajo iniciado en cuarto grado con el tratamiento de los ángulos, los tipos de ángulos y se estudian las relaciones entre pares de ángulos. En el caso del triángulo se estudian las relaciones entre lados, así como entre lados y ángulos. Profundizan en los procesos de medición, estimación y conversión de magnitudes al ampliar su estudio a las de área, volumen y capacidad. Obtienen fórmulas, por ejemplo, para el cálculo de perímetros y áreas de figuras geométricas, así como del área lateral y el volumen del ortoedro, las cuales aplican a la resolución de problemas. En la Educación Secundaria Básica se sistematizan los contenidos geométricos adquiridos por los alumnos en la educación precedente. Se estudia la circunferencia, sus propiedades y las relaciones entre sus elementos, así como la relación entre circunferencias. Se profundiza en el tratamiento de los movimientos al estudiar los criterios de igualdad de triángulos, se trata el teorema de las transversales y se introduce la semejanza de figuras, en particular, la de triángulos. Estos contenidos se aplican a la resolución de ejercicios de cálculo, construcción y demostración de nuevas propiedades de figuras ya conocidas y a la obtención de las razones trigonométricas en el triángulo rectángulo. Se continúa 78

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el trabajo con los cuerpos geométricos y sus esbozos, se introducen sus relaciones métricas y la representación en perspectiva caballera de estos cuerpos. Se profundiza en los procesos de medición, estimación y conversión, se introducen otras unidades de uso frecuente en nuestro país, se obtienen fórmulas para el cálculo de perímetros, áreas y volúmenes de figuras y cuerpos geométricos más complejos y las aplican a la resolución de problemas. En la Educación Media Superior se profundiza en la geometría elemental al introducir el grupo de teoremas de Pitágoras y la resolución de triángulos cualesquiera. La trigonometría se aplica al cálculo de cuerpos. Se realiza el estudio de la geometría analítica de la recta, de las secciones cónicas y se cierra con una introducción a la axiomática del espacio, donde se extraen primeras consecuencias de los axiomas de incidencia, orden y paralelismo para estudiar las posiciones relativas entre rectas, así como entre rectas y planos.

Combinatoria y probabilidades El pensamiento combinatorio y probabilístico es un componente esencial de la formación matemática de los alumnos, porque los prepara para planificar, organizar diferentes tareas que requieran técnicas de conteo y distribución, además los entrena para tomar decisiones en situaciones de la realidad donde interviene el azar. Desde la primaria los alumnos ordenan y reordenan conjuntos finitos, seleccionan elementos de estos atendiendo a determinadas condiciones, resuelven problemas sencillos de conteo y distribución de naturaleza aritmética o geométrica aplicando de manera intuitiva el principio de Dirichlet, o de los cajones, el de la multiplicación, el de las inclusiones y exclusiones o determinando mediante el tanteo inteligente permutaciones, combinaciones y variaciones. Este trabajo continúa estimulando estas formas de pensamiento a través de los contenidos de las diferentes unidades en todos los grados, hasta que en duodécimo grado se familiarizan con elementos básicos de la teoría combinatoria, lo que les permite abordar problemas más complejos y aplicar estos conocimientos al cálculo de probabilidades, aplicando el teorema de Laplace.

Tratamiento de datos/estadística En la sociedad actual se multiplica cada día la información, por lo que resulta esencial la capacitación de los alumnos para la recolección, organización, representación, interpretación y valoración de datos. Ello 79

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le permite, el análisis de tendencias y la realización de predicciones en relación con la evaluación de hechos, fenómenos de la vida económica, política y social, incluida el enjuiciamiento de argumentos dados por otros para adoptar con conocimiento de causa una posición en relación con un problema específico. Desde tercer grado los alumnos recolectan y describen datos mediante tablas, gráficos de barras y el cálculo de promedios. Estos contenidos se repasan y amplían en los grados sucesivos, al introducir medidas de tendencia central con los gráficos circulares o de pastel. En sexto grado se profundiza en estos contenidos, con la introducción del tanto por ciento. A partir de séptimo grado se sistematizan los conceptos propios de la estadística descriptiva para el trabajo con datos simples. Desde noveno, los alumnos aprenden a trabajar con tablas, gráficos y estadígrafos para datos agrupados. En la educación media superior se trabajan los tipos de escala y se introducen las medidas de dispersión. Hasta aquí se han caracterizado las líneas directrices relativas a conocimientos, habilidades y formas de pensamiento matemático específicas. Sin embargo, aunque todas las asignaturas contribuyen al desarrollo integral de la personalidad de los alumnos y, por ende, a su desarrollo intelectual, motivacional-afectivo y volitivo, la asignatura Matemática realiza una aportación especial en esta dirección. Por esto, se hace necesario caracterizar las líneas directrices relativas a habilidades, capacidades y hábitos matemáticos de carácter más general, que requieren también del desarrollo de cualidades, convicciones y actitudes. Estas líneas directrices no se realizan a través de un contenido particular, sino de todos lo que se tratan en las diferentes áreas matemáticas en los diferentes grados y niveles de educación.

Adiestramiento lógico lingüístico El adiestramiento lógico lingüístico tiene gran influencia en un conjunto de elementos significativos de la formación y desarrollo de la personalidad del alumno, porque contribuye a lograr una interrelación apropiada entre la dirección racional y emocional del comportamiento de este, desarrolla rasgos del carácter y hábitos del pensar, estimula la movilidad de los procesos del pensamiento, favorece la coherencia, precisión al expresar una idea del lenguaje común al matemático y viceversa, así como capacita para la valoración crítica del trabajo, tanto propio, como de sus condiscípulos. La construcción del lenguaje, las técnicas y los procedimientos matemáticos, requiere de la asimilación de procedimientos lógicos y elementos de la teoría de conjuntos subyacentes a todos los 80

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contenidos matemáticos. Es por ello que el transcurso de esta línea directriz está estrechamente vinculada con: 1. Operar con conceptos matemáticos. 2. Argumentar matemáticamente (explicar, fundamentar, conjeturar y demostrar). 3. Comunicarse utilizando la terminología y simbología matemáticas. 4. Trabajar con representaciones de objetos matemáticos. Operar con conceptos En la Educación Preescolar, la formación dentro del área “Conocimiento del mundo de los objetos y sus relaciones”, está dirigida fundamentalmente al desarrollo de capacidades mentales generales, en particular, de análisis, síntesis, abstracción y generalización, que le permitirán la formación de habilidades intelectuales generales de identificación, comparación, seriación y clasificación. Además de desarrollar capacidades para percibir, establecer relaciones, adquirir un desarrollo de la percepción visual que le permita al niño establecer similitudes y diferencias entre la forma, el color y el tamaño de los objetos, por citar algunas. En el área de “Conocimiento del mundo de los objetos y sus relaciones”, los niños se familiarizan con los procedimientos conjuntistas por el enfoque cualitativo, como son: la formación, el reconocimiento de conjuntos, la descomposición, la unión de conjuntos y la comparación global de conjuntos. En la Educación Primaria se opera con conceptos, primero mediante descripciones, explicaciones y caracterizaciones, hasta llegar posteriormente a la definición. Los niños identifican si un objeto o relación representa un concepto, construyen ejemplos y contraejemplos. Más adelante comparan y clasifican conceptos, derivan consecuencias de una definición, así como distinguen entre conceptos supra y subordinados para relacionar conceptos. En Secundaria Básica los alumnos continúan desarrollando destrezas en el trabajo con conceptos, a la par reflexionan acerca de la posibilidad de transferir las estrategias utilizadas para definir conceptos a otras situaciones. Se capacitan para reformular definiciones y evaluar críticamente otras, así como para relacionar conceptos con el propósito de integrarlos en un sistema, mediante generalización o diferenciación. En el nivel medio superior se elevan las exigencias en relación con la formulación independiente de definiciones. Los alumnos aprecian cómo conceptos abstractos, elaborados sin relación directa con la realidad, sirven para modelar situaciones de esta. Son capaces de limitar y generalizar conceptos, así como de identificar errores que se cometen al definir. 81

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Argumentar matemáticamente Para lograr que los estudiantes argumenten matemáticamente sus ideas desde los primeros grados se requiere adiestrarlos para que expliquen la vía de solución elegida de un problema, fundamenten sus respuestas, elaboren conjeturas y comprendan, poco a poco, por qué un ejemplo único o la ejemplificación no es una forma de justificación en la matemática. Desde los grados superiores de la Educación Primaria se capacitan para negar y transformar proposiciones mediante la formación de recíprocos y contra recíprocos. Además, aprenden a relacionar sus ideas paso a paso mediante la realización de ejercicios sencillos de demostración y a comprender, así como evaluar cadenas de razonamientos matemáticos. Al ingresar en la Educación Media Básica se capacitan para expresar argumentos con mayor rigor, claridad y coherencia, haciendo un adecuado uso de la terminología y simbología matemáticas. Distinguen entre varios tipos de afirmaciones (teoremas, conjeturas y ejemplos), profundizan en qué es una demostración matemática y en qué difiere de otros tipos de razonamiento, así como reproducen y realizan demostraciones, incrementando su conocimiento sobre los métodos matemáticos que existen para ello. Comunicarse utilizando la terminología y la simbología matemáticas Desde los primeros grados de la educación primaria los alumnos expresan con sus propias palabras o en símbolos, una suposición obtenida, las características esenciales de un concepto, la vía de solución y el resultado de un problema o la situación expresada en un texto. De igual forma, aprenden a formular problemas auxiliares o nuevos problemas y a comprender las afirmaciones hechas por otros, al escuchar las aclaraciones, explicaciones y fundamentaciones dadas en la clase. A medida que transcurren los grados, hacen un uso más adecuado de la lengua materna y del aparato simbólico, así como de la terminología matemáticas para traducir del lenguaje común al algebraico e interpretar expresiones con símbolos, para hacer preguntas, aclarar dudas, contrastar y evaluar ideas, indagar sobre las causas de posibles errores y fundamentar sus acciones. Esto les ayuda a desarrollar habilidades comunicativas, eliminar inhibiciones, reaccionar de forma objetiva y mesurada ante preguntas y críticas, además de ser respetuoso con los demás. Trabajar con representaciones de objetos matemáticos En la primaria los niños aprenden la conveniencia de representar números, sus relaciones y las operaciones entre estos de diferentes maneras. 82

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Además, adquieren experiencias en el trabajo con objetos geométricos, que aun perteneciendo a una misma clase, se representan de distinta forma. Con el transcurso del tiempo distinguen dentro de las distintas representaciones de un objeto la más conveniente, según la situación planteada; por ejemplo, cuando pasa de la representación de un número como fracción a expresión decimal para compararlo con otro. También aprenden a construir sus propias representaciones y evaluar las de otros. En grados superiores se capacitan para comprender representaciones no familiares y evaluar su pertinencia.

Transcurso de la línea directriz “Modelar” (precisar, matematizar o interpretar, realizar, validar, evaluar) La actividad de modelación es parte de la esencia del quehacer matemático, por lo que debe ser objeto de enseñanza y aprendizaje por parte de los alumnos. En este sentido se debe diferenciar la modelación “externa” que conduce a cálculos, de la modelación “interna”, conducente a una cadena de inferencias. El diseño, aplicación y evaluación de modelos matemáticos es lo que ha permitido que la ciencia matemática tenga un rango de aplicación tan amplio y sea trascendente en la construcción de las relaciones entre ciencia, tecnología, sociedad y ambiente. Esta actividad de modelación permite que los alumnos se adiestren en la utilización de formas de trabajo matemático para obtener nuevos conocimientos matemáticos. Incluso en la Educación Preescolar los niños realizan modelaciones de situaciones en tanto introducen figuras geométricas para representar las relaciones presentes en esta (modelos pictográficos). Desde los primeros grados los alumnos identifican las relaciones presentes en situaciones intra- o extramatemáticas y las representan por medio de modelos típicos para estas. A la vez, interpretan dibujos, diagramas y modelos lineales que les permiten aprehender las relaciones presentes en la situación descrita a través de estos modelos. En el transcurso de los grados interpretan modelos más complejos, modifican y crean otros nuevos para representar situaciones abstractas o de la realidad, evalúan su pertinencia, determinan los más racionales en función de la resolución de un problema dado y valoran la posibilidad de transferirlos a otras situaciones.

Utilizar recursos y técnicas para la racionalización del trabajo mental El trabajo racional crea condiciones para el desarrollo de la actividad creadora y exige de los alumnos una planificación, organización, ejecución 83

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y control adecuados de la actividad, condicionada por el dominio de los contenidos matemáticos que se deben aplicar. Para ello se requiere aprovechar determinados medios, algoritmos y formas de trabajo y pensamiento que racionalizan el esfuerzo mental y práctico y contribuyen a que el tiempo disponible se utilice con efectividad. En la escuela primaria los alumnos trabajan con objetos materiales o materializados para apoyar los procesos mentales, en lo cual es una ayuda también las técnicas de la informática y la comunicación. Aprenden a buscar informaciones a partir de diversas fuentes, incluyendo las electrónicas, y seleccionan y utilizan algoritmos para sus cálculos. Bajo la guía del maestro aprenden a utilizar el programa heurístico general y otros procedimientos que le ayudan en la búsqueda de soluciones a los problemas que se les presentan. A medida que transcurren los grados utilizan otras ayudas y herramientas sin necesidad de que les sea sugerido, como medios auxiliares heurísticos que facilitan su razonamiento, lo cual debe llevarles paulatinamente a comprender, que son medios esenciales para la ilustración, el apoyo de los razonamientos, más no para la demostración. Son capaces de modificar y crear algoritmos y de utilizar conscientemente procedimientos heurísticos. Para lograr la racionalización del trabajo mental los alumnos deben constantemente verificar si el proceso real de solución coincide con el plan de solución desarrollado durante el análisis. Por lo tanto, a la actividad racional pertenecen también las acciones para el control del proceso de solución. Para esto no basta controlar el resultado final, es necesario controlar todo el proceso de solución para evitar arrastrar un error de principio a fin del trabajo en la solución.

Formular y resolver problemas El aprendizaje de la Matemática se realiza por medio de la actividad de resolución de problemas (formulación de problemas es entendida a su vez como una actividad de resolución de problemas), de modo que estos no se utilicen solo para la fijación de los contenidos, sino también para aprender otros nuevos, lo cual subyace a una enseñanza basada en problemas según se aspira en nuestro país. En la Educación Preescolar los niños aprenden a resolver problemas sencillos en que intervienen cantidades, se aplica la relación parte-todo y se requiere la medición de longitudes. Los niños aprenden a resolver problemas matemáticos en sentido amplio desde su entrada a la institución escolar, incitándoles a que 84

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planteen sus dudas y sus preguntas y ya en tercer grado se les exige que elaboren problemas sencillos, los discutan y evalúen para ir desarrollando poco a poco esta capacidad. La evaluación del proceso y la vía, así como de los resultados debe ser una constante en todos los grados, de modo que aprendan a utilizar conscientemente procedimientos heurísticos y puedan transferir los métodos de trabajo aprendidos a nuevas situaciones. Los alumnos deben adquirir conciencia de sus propios conocimientos y capacidades para que desarrollen su autoestima, así como hagan atribuciones correctas de sus éxitos y fracasos para poder perfeccionar su propio desempeño. Enseñar a resolver problemas, potencia el desarrollo de la autorregulación del aprendizaje, favoreciendo en los estudiantes el autoconocimiento de sus potencialidades y particularidades para aprender, los motiva por la actividad de estudio y su propio desarrollo, al plantearse objetivos y metas, elegir una u otra vía de solución, confeccionar el plan a seguir y ejecutarlo en la práctica, para obtener la solución del problema. Una vez obtenido un resultado debe realizar el control para verificar si satisface los objetivos y metas de aprendizaje planteados. Este proceso de avances y retrocesos en la búsqueda de la solución de la tarea perfecciona sus estilos de aprendizaje, se apropia de estrategias de aprendizaje efectivas, intercambiando ideas y puntos de vista con sus compañeros, fomentando el trabajo cooperado (maestro–alumno, alumno–alumno, maestro–grupo y alumno–grupo) en un clima que inspire confianza, seguridad y franqueza para preguntar, dar opiniones, expresar ideas y puntos de vista e intercambiar criterios, lo que favorece el proceso de autorregulación. Los estudiantes de grados superiores deben tener un mayor control de sus realizaciones, a través del autoconocimiento, autocontrol, autoevaluación y la autovaloración. Las líneas directrices no transcurren en el curso de Matemática desvinculadas unas de otras. Estas se realizan interrelacionándose en las diferentes unidades que se desarrollan en los grados y niveles. Esto se evidencia; por ejemplo; en el tratamiento de la estadística descriptiva en noveno grado, por cuanto, para investigar una situación problemática (formulación y resolución de problemas) de la realidad se recogen datos en una muestra aleatoria (combinatoria y probabilidades) que muchas veces son cantidades de magnitud (dominios numéricos y magnitudes) y se describen a través de tablas, gráficos (funciones y geometría) y estadígrafos que se deben determinar (dominios numéricos y ecuaciones). Por otra parte, para este propósito se requiere un adiestramiento lógico lingüístico en tanto se opera con conceptos (frecuencia absoluta, media, histograma, entre otros), se elaboran argumentos a partir de la 85

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interpretación y valoración de los resultados, se hace uso de la terminología y simbología matemáticas para representar la información, comunicar los resultados de su procesamiento y transferir de una forma de representación a otra, según las necesidades del problema. Se elabora un modelo al describir las características esenciales de la distribución empírica de probabilidad que subyace al fenómeno o proceso investigado; se aplican medios, unidos a recursos para la racionalización del trabajo mental y práctico desde el momento en que se eligen las herramientas estadísticas más útiles para el tipo de investigación que se desea llevar a cabo. Se utilizan recursos como Excel o paquetes estadísticos para abreviar el trabajo de cálculo y representación.

Entrelazamiento de las líneas directrices en la enseñanza de la Matemática Las líneas directrices en la asignatura Matemática, se realizan de primero a duodécimo grado, al desarrollar las unidades que conforman el programa, porque estas son lineamientos que atraviesan todo el curso de la asignatura, para lograr continuidad y orden consecuente del tratamiento del contenido alrededor de ciertos núcleos esenciales. En la realización de una línea directriz, en determinadas unidades temáticas existe contacto con otras, esta interrelación se denomina entrelazamiento de las líneas directrices. Se mostrará en una unidad temática seleccionada, cómo en su tratamiento debe atenderse al entrelazamiento de las diferentes líneas directrices; por ejemplo: Unidad temática “Aplicaciones de la trigonometría” que se estudia en el preuniversitario. En esta temática es objeto de estudio la resolución de triángulos cualesquiera, aplicando las leyes de los senos y de los cosenos, que expresan el área de un triángulo en función de las medidas de dos de sus lados y el ángulo comprendido entre estos, polígonos regulares, resolución de ejercicios y problemas donde se incluirán ejercicios de aplicación a la Geometría, la Física y el cálculo de cuerpos. En esta unidad temática está de manera explícita la realización de la línea directriz Geometría, porque se profundiza en el estudio de los objetos de la geometría elemental al introducir los recursos de la trigonometría, para aplicarlos a la resolución de triángulos cualesquiera y al cálculo de cuerpos. Para el tratamiento de la “Ley de los senos” debe plantearse un problema práctico que relacione lados y ángulos en un triángulo cualquiera para la búsqueda del nuevo teorema, por ejemplo, un barco estacionado en una posición B pide socorro, recibiéndose las señales en dos estaciones 86

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de radio situadas en las posiciones A y C, que distan entre sí 50 km. Desde cada estación se miden los ángulos BAC y ACB que poseen 53º y 46º respectivamente, ¿a qué distancia de cada estación se encuentra ubicado el barco? Se trata de un problema cuya solución exige hallar las distancias de dos segmentos que representan lados de un triángulo cualquiera y se conoce un lado y dos ángulos. Es conveniente realizar un esbozo de la situación descrita en el texto del problema para apoyar su comprensión (como el que muestra la figura 2.4), además separar lo dado y lo que se pide hallar. Con lo conocido se puede hallar de inmediato el otro ángulo β = 81º (teorema de la suma de los ángulos interiores), pero como el triángulo no es rectángulo (Fig. 2.4), no es posible aplicar razones trigonométricas. B

c=?

a=?

A

C b = 50 km Fig. 2.4

Dado: α = 53º , γ = 46º , AC = b = 50 km Hallar: a = BC y c = AB Se necesita buscar una nueva relación entre lados y ángulos de un triángulo cualquiera. Mediante el aprovechamiento de los conocimientos de los estudiantes, se establece la relación de la ley de los senos y se resuelve el problema en elaboración conjunta. a b = Para este triángulo se cumple que luego, sustituyensen α sen β a 50 do los valores conocidos se tiene = . Al despejar el lado a º sen 53 sen 81º 87

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en la expresión obtenida se tiene: , utilizando la tabla de senos y cosenos se determinan los valores para los ángulos y se tiene: 50 ⋅ 0,798 6 40,440 4 40km = 40, 0, 9877 El barco se encuentra a 40 km de la estación C, de manera análoga se determina la distancia c = AB . Una vez resuelto el problema usando el libro de texto se hace un análisis del teorema, determinándose premisa, tesis y el significado de 2R. ¿Qué líneas directrices se entrelazan en esta unidad temática? En esta unidad temática se entrelazan las diferentes líneas directrices, apoyándonos en el ejemplo presentado y en los contenidos que se estudian en esta, se ejemplifica su realización para cada una. En relación con las líneas directrices relativas a conocimientos, habilidades y formas de pensamiento matemático específicas se observa:

= α

1. Dominios Numéricos: El cálculo con números reales se realiza para determinar las longitudes de segmentos, amplitudes de ángulos, áreas de polígonos y volúmenes de cuerpos, apoyándose en el empleo de fórmulas y tablas. 2. Trabajo con magnitudes: Se profundiza en los procesos de medición, estimación y conversión, utilizando los conocimientos sobre los dominios numéricos y la estructura del Sistema Internacional de Unidades, se obtienen fórmulas para el cálculo de área de un triángulo, así como para el cálculo de volúmenes de cuerpos geométricos más complejos y las aplican a la resolución de problemas, donde intervienen magnitudes no solo geométricas, sino también físicas. 3. Trabajo con variables, ecuaciones, inecuaciones y sistemas de ecuaciones e inecuaciones: Las variables se emplean para denotar los objetos geométricos, así como en las relaciones que expresan las leyes empleando fórmulas. Estas expresiones con variables representan ecuaciones, en las que se realizan despeje y cálculo de diferentes variables, según las magnitudes que se requiere calcular. 4. Correspondencias y funciones: Se establecen correspondencias entre objetos geométricos y números, a cada lado de un polígono le corresponde una longitud, a cada ángulo una amplitud. El cálculo está sustentado en las funciones seno y coseno, porque según el valor de la amplitud del ángulo se tiene un valor único en cada caso. 5. Combinatoria y probabilidades: Los alumnos continúan preparándose en planificar y organizar información en las diferentes tareas que enfrentan; ordenan y reordenan conjuntos numéricos finitos (longitudes de 88

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lados y amplitudes de ángulos de polígonos), seleccionan elementos de estos atendiendo a determinadas condiciones, seleccionan relaciones y fórmulas convenientes para resolver problemas sencillos de aplicación a la Geometría, la Física y el cálculo de cuerpos que requieren de conteo, así como distribución de naturaleza aritmética y geométrica. 6. Tratamiento de datos/estadística: Cada tarea de esta unidad temática requiere procesar información, organizarla separando lo conocido y desconocido, usando en ocasiones tablas, figuras, esbozos, entre otros. Representar convenientemente con símbolos, variables las magnitudes conocidas y desconocidas, interpretarlas en el contexto dado para decidir qué medios matemáticos emplear en el proceso de resolución, de manera que se pueda adoptar con conocimiento de causa una posición en relación con la vía de solución a utilizar y la solución obtenida del problema específico. Referente a las líneas directrices relativas a habilidades, capacidades y hábitos matemáticos de carácter más general, que requieren también del desarrollo de cualidades, convicciones y actitudes se tiene: 1. Adiestramiento lógico-lingüístico: El estudiante en la resolución de ejercicios y problemas debe argumentar matemáticamente la vía de solución escogida, demostrar y suponer regularidades en los razonamientos realizados. Ese proceso exige que opere con conceptos matemáticos, los sustituya por su definición, así como los aplique en la resolución de problemas y obtención de nuevos resultados. Además, se requiere que constantemente comunique los resultados, opiniones y puntos de vista sobre un el proceso realizado, utilizando la terminología y simbología matemáticas, apoyándose en ocasiones en la construcción de representaciones de objetos matemáticos, evidenciando orden y pulcritud en su labor. En el problema referido en el ejemplo, requirió de construir un esbozo que representara la posición del barco y de cada estación a la que transmite la señal. 2. Modelar: El trabajo en esta unidad temática exige asociar modelos matemáticos que corresponden a las leyes estudiadas, fórmulas y operaciones de cálculo a diferentes situaciones vinculadas a ejercicios de aplicación a la Geometría, la Física y el cálculo de cuerpos. 3. Utilizar recursos y técnicas para la racionalización del trabajo mental: El trabajo en esta unidad temática tiene potencialidades para el desarrollo de la actividad creadora y exige de los alumnos una planificación, organización, ejecución y control adecuados de la actividad de resolución de problemas, determinada por el dominio de los contenidos matemáticos que se deben aplicar de las diferentes áreas de la Matemática. 89

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Se requiere para ello aprovechar medios, algoritmos, formas de trabajo y pensamiento, que racionalizan el esfuerzo mental y práctico, así como contribuyen a que el tiempo disponible se utilice con efectividad. La resolución de problemas exige el empleo de medios auxiliares heurísticos que facilitan su razonamiento, lo cual debe llevarles paulatinamente a comprender, que son medios esenciales para la ilustración y el apoyo de los razonamientos. 4. Formular y resolver problemas: Esta temática de aplicaciones de la trigonometría a la resolución de ejercicios y problemas, brinda amplias posibilidades para continuar enseñando a resolver problemas, porque se requiere enfrentar al estudiante a variados ejercicios con carácter de problemas que se exige buscar un plan de solución, estableciendo relaciones y dependencias entre lo dado y buscado, buscando analogías con otros problemas ya resueltos, variando ciertas condiciones dadas en lo dado, construyendo esquemas, tablas, diagramas y además autocontrolando el resultado obtenido. Este proceso, requiere precisar el problema planteado, interpretar las relaciones dadas, buscar una vía de solución para obtener lo que se pide, realizar cálculos y transformaciones convenientes, evaluar la solución obtenida y validar la vía utilizada en el proceso de solución. Ello potencia el desarrollo de la autorregulación del aprendizaje, favoreciendo en los estudiantes el autoconocimiento de sus potencialidades y particularidades para aprender, los motiva por la actividad de estudio y su propio desarrollo, al plantearse objetivos y metas, elegir una u otra vía de solución, confeccionar el plan a seguir y ejecutarlo en la práctica, para obtener la solución del problema. Una vez obtenido un resultado debe realizar el control para verificar si satisface los objetivos y metas de aprendizaje planteados.

Resumen La enseñanza de la asignatura Matemática no se reduce a que los alumnos puedan adquirir conocimientos, habilidades y métodos de trabajo particulares. Esta tiene funciones instructivas, desarrolladoras y educativas, que deben garantizar la formación de una concepción científica del mundo en los alumnos. Esto implica, contribuir al desarrollo de sus capacidades mentales, así como a sus recursos heurísticos y metacognitivos, aportar puntos de vista diferentes en el análisis de los fenómenos y procesos de la realidad, y desarrollar en ellos normas de conducta, sentimientos, convicciones, valores y actitudes en consonancia con los ideales de nuestra sociedad. Visto así, el contenido de la enseñanza de la Matemática es tanto 90

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objeto de apropiación por los alumnos, como base del desarrollo de su personalidad en todos sus aspectos. Los programas de la asignatura Matemática desempeñan un papel fundamental para asegurar que el contenido de la enseñanza sea aprovechado al máximo en el cumplimiento de estas funciones. Con esta finalidad, los procedimientos de trabajo con los programas y la profundización en el conocimiento de las líneas directrices constituyen aspectos esenciales a considerar. El adiestramiento lógico-lingüístico constituye una tarea que debe estar presente en todas las unidades que integran el plan de estudio de la asignatura Matemática, aunque ello no se haga explícito en los programas correspondientes. En la Secundaria Básica los alumnos profundizan en los elementos anteriores, adquieren una mayor conciencia de la ciencia matemática como herramienta para resolver múltiples problemas, de la metodología y de las formas de pensar propias de la concepción dialéctico-materialista del mundo. En la Educación Media Superior esta visión se profundiza con el fortalecimiento de relaciones interdisciplinarias y el trabajo en grupo. Hay que aprovechar todas las potencialidades del planteo y la resolución de problemas que permitan a los alumnos analizar, profundizar y hacer valoraciones sobre hechos, así como fenómenos de interés sociocultural; problemas mediante los cuales se fomenten valores, convicciones, puntos de vista y actitudes importantes para actuar e interactuar con otros, manteniendo un alto sentido ético; así como para comprender los valores, la obra y conquistas de la Revolución.

Tareas para el trabajo independiente 1. Seleccione una unidad de contenido geométrico (de preuniversitario) y otra de contenido algebraico (de secundaria básica). a) Realice una panorámica de conocimientos sobre una de sus unidades temáticas y sobre esta base: - Determine qué conocimientos han adquirido los alumnos que constituyen condiciones previas. - Precise qué conocimientos nuevos adquieren los alumnos sobre conceptos, proposiciones y procedimientos. - Determine qué habilidades se deben formar o continuar desarrollando en la unidad, así como con qué nivel de generalidad y profundización. - Precise lo esencial del trabajo en la unidad, tomando como base los objetivos generales del grado y los específicos de la unidad. 91

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b) Confeccione un corte horizontal de la unidad seleccionada de la secundaria básica. Realice un comentario de las características de la unidad según el tiempo dosificado para su desarrollo en el grado c) Realice un corte vertical para la unidad seleccionada de preuniversitario, considerando los grados que le anteceden de secundaria básica y preuniversitario. d) Explique cómo se entrelazan las líneas directrices en una de las unidades seleccionadas. 2. Seleccione una unidad de contenido aritmético correspondiente a la secundaria básica y sobre esta ejecute las tareas indicadas en los incisos siguientes: a) ¿Qué elementos del contenido (en sentido amplio) deben ser asimilados por los alumnos durante su desarrollo en el grado? b) Seleccione un contenido de la unidad y ejemplifique cómo se desarrolla con los alumnos su tratamiento, a partir de las reflexiones siguientes: –– ¿Cómo es el objeto de conocimiento del cual deben apropiarse los alumnos? –– ¿Cómo se puede representar? –– ¿Qué relaciones y propiedades posee? –– ¿Qué relaciones posee con otros conocimientos? –– ¿Cómo verificar estas propiedades y relaciones? –– ¿Qué se puede hacer con él? –– ¿Para qué sirve? (destaque posibles situaciones significativas). –– ¿Y qué sucede si se varían ciertas condiciones en el objeto? –– ¿Qué formas de trabajo y pensamiento fundamentales de la ciencia matemática se emplean? c) Ejemplifique las posibilidades que brinda el desarrollo de la unidad en la secundaria básica para la realización de las líneas directrices:17 –– Adiestramiento lógico-lingüístico. –– Modelar. –– Utilizar recursos y técnicas para la racionalización del trabajo mental. 3. Consulte los programas de Matemática para la secundaria básica e investigue en la caracterización de la asignatura en el nivel, los lineamientos de la asignatura para el enfoque metodológico general que se requiere en la dirección del proceso de enseñanza aprendizaje. a) Explique la incidencia de cinco lineamientos en el tratamiento del contenido en una unidad de séptimo grado. b) Seleccione y resuelva problemas de diferentes grados de la secundaria básica que conducen al planteamiento de ecuaciones que se 92

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reducen a una ecuación lineal de la forma ax + b = c, donde a, b y c son números racionales con a ≠ 0 con potencialidades para estimular la formación de una cultura económica en los educandos. c) Consulte datos e informaciones publicadas recientemente en la prensa escrita (periódicos, revistas, entre otras) y confeccione una tarea o problema relacionada con los contenidos de la secundaria básica. Desarrolle su solución, explique su incidencia con los lineamientos de la asignatura y el desarrollo de las líneas directrices. 4. En la figura 2.5 se representa la circunferencia de centro O y radio OC, diámetro CD , A y B puntos de la circunferencia, donde ∠DOB = 62º . ¿Qué se cumple en la figura, a partir de los datos disponibles?

Fig. 2.5

a) Determine según el programa de la asignatura qué contenidos constituyen conocimientos previos de los alumnos de séptimo, octavo y noveno grados, para poder realizar con éxito este ejercicio. b) ¿Qué debería poder afirmar un alumno con noveno grado concluido en relación con los elementos geométricos que intervienen en la figura, a partir de las condiciones dadas en el ejercicio 4? c) ¿Qué posibilidades brinda la resolución de este ejercicio para el entrelazamiento de las líneas directrices? 5. En la recta numérica (con todas las subdivisiones iguales), ver figura 2.6, se han representado los números 0, a, b y c. ¿Cuáles de las proposiciones son falsas y cuáles verdaderas? b

c

0

a

Fig. 2.6

93

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1. ____ − b < 0 2. ____ − c = a 3. ____ |b| > a 4. ____ c < b a) Ubique en los programas de matemática un momento adecuado para proponer este ejercicio a los alumnos, e identifique las líneas directrices que tienen incidencia de forma entrelazada en su proceso de solución. 6. La tabla 2.3 muestra la velocidad media del viento (km/h) en Cuba por meses durante el año 2011. Tabla 2.3 Velocidad media del viento en Cuba Meses

Ene

Veloci8,7 dad

Feb Mar Abr May Jun

Jul

Ag

Sep

Oct Nov

Dic

9,2

6,8

6,0

5,5

6,8

8,9

9,8

9,2

7,8

6,8

8,6

a) ¿Cuáles son los meses de mayor y menor velocidad del viento? ¿En cuánto se diferencian? b) ¿Cuál es la velocidad media más frecuente? c) ¿Qué porcentaje representan los meses del año que tienen una velocidad media por debajo de 8,7 km/h? d) ¿Cómo se denomina la energía producida por el viento? Valora la importancia del uso de esta energía para el país y para el mundo.

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CAPÍTULO 3 MÉTODOS DEL PROCESO DE ENSEÑANZAAPRENDIZAJE DE LA MATEMÁTICA ESCOLAR

Conceptualización de método del proceso de enseñanza-aprendizaje ¿Cómo puede el profesor desarrollar el proceso de enseñanza-aprendizaje para lograr que los estudiantes se apropien del contenido matemático y se cumplan los objetivos propuestos? Como se ha hecho referencia en los capítulos 1 y 2, los objetivos responden a las interrogantes ¿para qué enseñar? y ¿para qué aprender?, así como el contenido corresponde a ¿qué se aprende? y ¿qué se enseña? De igual forma los métodos del proceso de enseñanza-aprendizaje responden a las preguntas ¿cómo desarrollar el proceso? ¿cómo enseñar? y ¿cómo aprender? La conceptualización de método ocupa desde hace mucho tiempo a los didactas y metodólogos. Existen varias definiciones en la literatura pedagógica y diversos cuestionamientos y criterios al respecto, pero las interrogantes anteriores se manifiestan como una generalidad, que se refleja, en particular, en la Didáctica de la Matemática. En un sentido amplio del concepto, el método es el sistema de acciones previstas como vías y modos de planificar y organizar la actividad cognoscitiva de los estudiantes, con la finalidad de contribuir a la conducción efectiva y planificada del proceso de enseñanza-aprendizaje para lograr el objetivo. Dentro del proceso de enseñanza aprendizaje el método se interrelaciona, de manera armónica con los demás componentes del proceso. Es importante resaltar su papel en la conocida relación objetivo-contenido-método, estudiada en la Didáctica General. En esta relación el método tiene carácter dinámico, porque aunque está indisolublemente unido con el objetivo, ambos tienen personalidad 95

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propia; el objetivo como inductor es la aspiración a alcanzar con los alumnos, y el método es el ente ejecutor para alcanzarlo. En esta relación, si el objetivo responde a un nivel de asimilación productivo, los métodos, en correspondencia, propiciarán la actividad productiva de los estudiantes. La relación del contenido matemático con el método expresa el vínculo entre el objeto de estudio de esta ciencia y el sujeto que aprende. Es mediante esta relación que se establece la escala de valores con la cual el contenido matemático adquiere un significado para el estudiante, lo que es consecuencia de las relaciones afectivas que se alcanzan con este. Es justamente en el método donde se desarrolla la contradicción que posibilita el dominio del contenido. En tal sentido la relación contenido-método expresa en los planos pedagógico y psicológico el vínculo de la esfera cognitiva con la afectiva-motivacional. En correspondencia con el método, con el modo en que el profesor destaque la significación del contenido matemático para el alumno, se establecerá la relación afectiva y, en consecuencia, el valor que este le asigna a lo que aprende. En una didáctica centrada en el alumno no se puede dejar a un lado el papel del método de conjunto con el contenido en el establecimiento de otras relaciones, como son las del profesor con el grupo y con los alumnos en particular, así como las de los alumnos entre ellos. ¿Cuáles son los aspectos que permiten caracterizar los métodos? En la respuesta a esta interrogante es necesario destacar los aspectos externos e internos del método, que aunque no son los únicos, son los más importantes por su papel en la consecución del objetivo. Lo externo se observa de inmediato, porque es el modo visible de las relaciones que se establecen entre los sujetos que participan en el proceso de enseñanza-aprendizaje, y de estos con el contenido. En este sentido, según estas relaciones, es posible distinguir tres formas metodológicas con sus características y variantes específicas: exposición del profesor, elaboración conjunta y dirección del trabajo independiente. Cuando se observa el predominio de la actividad del profesor sobre los alumnos se habla de la exposición del profesor; si se establece cierto equilibrio entre la participación activa del profesor y de los alumnos, se identifica la elaboración conjunta; y cuando prevalece la actividad de los alumnos, estamos en presencia de la dirección del trabajo independiente. El aspecto interno del método es expresión de procesos más profundos, que están determinados por la lógica interna del proceso de enseñanza-aprendizaje y que le imprimen al método una estructura interna peculiar. A diferencia del aspecto externo no se puede advertir 96

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fácilmente, porque requiere de una observación minuciosa de las vías que se utilizan para contribuir a desarrollar el pensamiento de los alumnos y las actividades que se realizan durante el aprendizaje. La realización de procedimientos y operaciones lógicas del pensamiento como la deducción, la inducción, el análisis, la síntesis, la abstracción, la concreción y la generalización, que transcurren en el proceso de aprendizaje, constituyen la base del aspecto interno del método de enseñanza. Los procedimientos y operaciones lógicas pertenecen a la lógica intrínseca de la matemática como ciencia, así como a sus métodos de trabajo y pensamiento, los cuales deben reflejarse en los métodos de enseñanza, buscando una lógica adaptación didáctica y cierta analogía con el proceso de investigación de esta ciencia.

Clasificación de los métodos de enseñanza ¿Cómo seleccionar los métodos más adecuados en función de los objetivos y el contenido? Aunque en la práctica los métodos se presentan muy pocas veces en su forma ’pura‘, en la selección de estos, en el proceso de enseñanza-aprendizaje de un contenido matemático específico, hay que tener en cuenta los criterios de clasificación para que su selección se corresponda con las exigencias del objetivo y el contenido que se tratará. En la clasificación de los métodos, en ocasiones, se atiende al aspecto externo y en otras al interno, en los últimos años se han incluido los que tienen en cuenta el desarrollo de la experiencia creadora y de la actividad cognoscitiva, en la que se conjugan ambos aspectos. La Didáctica de la Matemática en Cuba, ha asumido las clasificaciones según: 1. La vía lógica del conocimiento (método inductivo, deductivo, genético, analítico y sintético). 2. La comunicación en el proceso de enseñanza-aprendizaje y el grado de independencia del trabajo de los alumnos (método expositivo, método de elaboración conjunta y de dirección del trabajo independiente). Estos métodos se corresponden con las formas metodológicas referidas en el aspecto externo del método. 3. Las etapas de desarrollo de la experiencia creadora y la actividad cognoscitiva (método receptivo de información, método reproductivo, método de exposición problémica, método heurístico y método investigativo). 4. Las formas de organización de la enseñanza (método de enseñanza frontal, método de trabajo diferenciado, método de excursiones, entre otros). 97

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5. La fuente de apropiación de los conocimientos (métodos de trabajo con el libro de texto, método de empleo de los medios audiovisuales, método de empleo de juegos, de técnicas participativas, etc.). 6. Las funciones didácticas (método para el aseguramiento del nivel de partida, la motivación y la orientación hacia el objetivo, método para el tratamiento del nuevo contenido, para la fijación de lo aprendido y para la evaluación). 7. Al igual que la segunda clasificación, referida a la comunicación en el proceso de enseñanza-aprendizaje, las otras referencias a clasificaciones según las formas de organización de la enseñanza, la fuente de adquisición de los conocimientos y las etapas de desarrollo de la experiencia creadora, así como la actividad cognoscitiva, son manifestaciones del aspecto externo del método. Caracterización de los métodos según la vía lógica del conocimiento La vía lógica del pensamiento se eleva de lo concreto a lo abstracto y de este nuevamente a lo concreto. Semejante camino del conocimiento matemático tiene lugar cuando se resuelven problemas prácticos mediante la elaboración de modelos matemáticos (Fig. 3.1). Modelo matemático Deducción lógica

Abstracción

Interpretación

Realidad Fig. 3.1

¿Cómo se pueden concretar los procesos lógicos del pensamiento en el desarrollo del proceso de enseñanza-aprendizaje de la Matemática escolar? La abstracción se realiza cuando, en el estudio de algún suceso o fenómeno de la realidad se identifican los elementos esenciales y mediante una deducción lógica se obtiene el modelo matemático que es en sí una abstracción de la realidad. En la interpretación de este modelo se regresa a la realidad de la cual partió. Tanto el origen, como el destino del razonamiento matemático es la actividad práctica concreta con proyecciones sociales. 98

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La vía del pensamiento matemático mostrada e incluida en la vía dialéctica del conocimiento se refleja también, en la estructuración del proceso de enseñanza-aprendizaje de la Matemática. En este sentido la intuición puede servir como base para la abstracción o como medio para la búsqueda del conocimiento, por ello es un fundamento del conocimiento en el proceso de enseñanza-aprendizaje. Por ejemplo, la búsqueda de la fórmula del volumen de la pirámide se puede iniciar con la intuición que realiza el alumno a partir de la observación de un prisma de igual base e igual altura; en este sentido él puede percibir que el volumen de la pirámide es una parte del volumen del prisma e incluso hacer conjeturas de la razón entre estos. En este caso se ocupa de la comprensión, más que de la prueba formal. Mediante la intuición se puede además formar una hipótesis sobre una relación determinada, ello ocurre con mucha frecuencia en la obtención de teoremas geométricos. Por ejemplo, para obtener el teorema de las transversales. En la figura 3.2, AB es el diámetro de la circunferencia C (O, r). C2

C1 C

A

B O

Fig. 3.2

Traza el ∠ABC inscrito sobre el diámetro AB y mide su amplitud con un semicírculo. ¿A qué primera conclusión puedes llegar? Si mantenemos fijos los puntos A, B y movemos el punto C, ¿cuántos ángulos inscritos sobre el diámetro podemos trazar? ¿qué observas respecto a su amplitud? ¿qué resulta como suposición en relación con el dibujo? Tiene cierto valor que los alumnos lleguen a determinadas suposiciones utilizando la especulación sobre lo que se está estudiando y tratar de hacer sus propias conclusiones empíricas, porque las proposiciones matemáticas en sí mismas tuvieron su origen en la especulación; pero habrá que aclarar una y otra vez que las percepciones sensoriales o intuitivas no son concluyentes en la matemática. 99

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Un aspecto que desempeña un papel importante en la obtención de ideas intuitivas es la visualización. Se realiza a través de objetos concretos materiales (láminas, películas y simulaciones), esquemas y representaciones gráficas mediante la utilización de un lenguaje comprensivo, así como los diferentes tipos de interpretaciones de una situación matemática. La visualización está en estrecha vinculación con la asequibilidad. La visualización es, por una parte, una propiedad de la representación de objetos materiales que debe trasmitir al alumno una imaginación real del objeto dado. Por otra parte, visualización es una propiedad de la enseñanza, efectuada por una representación sistemática del contenido, por un lenguaje comprensible, por un cuadro ilustrativo de la pizarra, que trasmita a los alumnos una imagen del objeto a reconocer, como se requiere para el logro del objetivo de la enseñanza.18 Por ejemplo, en la formación de conceptos de figuras geométricas (el de recta) se puede realizar la visualización a partir de una cuerda tirante, el borde de una regla, la línea trazada mediante esta regla. Se debe tener en cuenta la longitud de la cuerda, la aspereza inevitable del borde de la regla, así como el ancho y el grosor de la línea trazada, para obtenerla imagen geométrica de la recta. La visualización tiene también una función auxiliar en la comprensión de relaciones más abstractas ’no intuitivas‘, por ejemplo, para la interpretación geométrica del teorema de Pitágoras (Fig. 3.3) se puede observar gráficamente el cuadrado cuyo lado es igual a la longitud de la hipotenusa y los que se forman con las longitudes de los catetos, para de esta forma calcular sus áreas y compararlas, lo que permite realizar una interpretación de este teorema desde otra mirada.

A1 = a2 A2 = b2 b

a c A3 = A1 + A2 c2 = a2 + b2

Fig. 3.3

100

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El trabajo en la apropiación de nuevos conocimientos trascurre esencialmente en dos etapas: la fase de la búsqueda del conocimiento y la de su aseguramiento, ambas pueden mostrarse en el desarrollo histórico de determinados conocimientos matemáticos. En la fase de búsqueda, el descubrimiento y empleo de los conocimientos matemáticos que desempeñan un papel fundamental tanto en la ciencia, como en la enseñanza, generalmente exigen intuición e imaginación, así como procedimientos que animen y estimulen la indagación. En la fase de aseguramiento es necesario educar a los alumnos para que adquieran una actitud crítica ante las situaciones ‘intuitivas‘ y la argumentación ’plausible‘, para que sientan la necesidad de fundamentar su razonamiento y aprender a elaborar demostraciones matemáticas. Más adelante en el proceso de formación como profesor de Matemática estudiarás el tratamiento metodológico de conceptos, teoremas y procedimientos, delimitarás ambas fases y reconocerás su utilidad. En el proceso de enseñanza-aprendizaje de la Matemática estos métodos (deductivos en aseguramiento del conocimiento y reductivos) se aplican de la misma forma que en la ciencia Matemática; generalmente, en la búsqueda de nuevos conocimientos. La comparación entre los aspectos esenciales de ambos métodos se muestra a continuación: Deductivos

Reductivos

Se parte de determinados conceptos fundamentales y axiomas, lo cual se obtiene con ayuda de distintas reglas de inferencia lógica, así como otros teoremas y conceptos.

Se parte de proposiciones verdaderas y se llega a nuevas proposiciones, cuya verdad no está aún asegurada. Se necesita una prueba deductiva para confirmar la verdad de la proposición hallada.

De proposiciones verdaderas se llega a proposiciones verdaderas con seguridad.

Se diferencian dos formas principales: –– Método inductivo: De la investigación de casos particulares se formula una proposición general. –– Método no inductivo: Utilización de inferencias por analogías, generalización de proposiciones mediante determinadas condiciones e inversión de teoremas.

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Aplicaciones En la representación de disciplinas parciales (cálculo vectorial y teoría de las probabilidades). En la aplicación de teoremas y teorías matemáticas. En la demostración de teoremas matemáticos. En el aseguramiento de la veracidad de nuevos conocimientos sobre proposiciones.

Búsqueda de nuevos conocimientos. En el desarrollo de nuevas disciplinas parciales de la Matemática. Cuando se busca la solución de un problema determinado.

Estos métodos estimulan la imaginación y el uso de la intuición en el planteamiento de las hipótesis durante la búsqueda de los nuevos conocimientos, son un resorte importante para fomentar la necesidad de la renovación incesante de los conocimientos matemáticos, aunque su uso es relativo, porque no siempre se arriba a nuevos conocimientos a través de las reducciones. En el proceso de enseñanza-aprendizaje de los conocimientos matemáticos que se estudian en la escuela, al igual que en la ciencia matemática, los procedimientos principales en la etapa de búsqueda son la inducción y la analogía. La inducción y la analogía se sustentan en las formas empíricas y en la experiencia, lo que ofrece la posibilidad de adiestrar a los alumnos en el trabajo empírico-inductivo, encaminado a un objetivo determinado, por ejemplo: 1. Formular suposiciones en la búsqueda de teoremas matemáticos sencillos. 2. Probar conjeturas, mediante el análisis de todos los casos posibles. 3. Realizar mediciones que conduzcan al planteo y formulación de problemas. El método deductivo corresponde a la especificidad de la ciencia matemática, la cual debe transmitir conocimientos ya asegurados por la propia ciencia. La deducción se realiza a partir de proposiciones verdaderas, aplicando reglas de inferencia para obtener una nueva proposición cuya veracidad está asegurada. En esta vía lógica del conocimiento la obtención y el aseguramiento transcurren simultáneamente. De la misma forma que en el desarrollo, representación y aplicación de la matemática, ambos métodos forman una unidad en el proceso de enseñanza-aprendizaje, y ambos deben aplicarse respetando esta unidad. 102

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Ejemplos sobre el tratamiento de contenidos matemáticos aplicando las vías deductiva y reductiva se presentan a continuación: 1. Vía deductiva: a) Tratamiento del teorema de las alturas: - Se puede partir de analizar con los alumnos las relaciones conocidas entre los lados de un triángulo rectángulo. Luego, recordarse mediante una conversación de clase, que al estudiar el triángulo rectángulo se encontraron relaciones interesantes entre sus lados, alturas y segmentos determinados por estas en los lados. A continuación, mediante consideraciones de analogía en relación con el triángulo rectángulo, estimular a los estudiantes para que se formulen interrogantes como las siguientes: • ¿Cuáles segmentos determinan las alturas en un triángulo rectángulo? • ¿Existe algún tipo de relación entre estos segmentos? A partir de este momento, hay que estimular la participación cada vez más activa y consciente de los estudiantes. Estos deben reconocer que se encuentran ante un problema y la necesidad de esclarecer, qué es todo lo que se conoce en relación con la situación planteada y qué se quiere hallar, encontrar, así como determinar; por ejemplo, ¿qué relaciones existen entre los lados y los segmentos que determinan las alturas en un triángulo rectángulo? En el caso de estudiantes de rendimiento medio y bajo podría ser útil proceder de la forma siguiente: –– Resulta conveniente partir de un triángulo rectángulo ABC (Fig. 3.4) y expresar la fórmula que establece la relación entre la longitud de la hipotenusa y las longitudes de los catetos. C

b

a h

A

c

D

B

Fig. 3.4 103

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• Luego trazar la altura CD = h relativa al lado c y expresar las relaciones conocidas entre los segmentos de la figura (Teorema de Pitágoras): c2 = a2 + b2 (3.1) • ¿Qué cambios se producen en la figura?, ¿cuántos segmentos determina la altura h sobre el lado c? Denótalos por p y q. • ¿Qué nuevas relaciones pueden establecerse en los triángulos parciales ADC y BDC? a2 = h2 + q2 (3.2) b2 = h2 + p2 (3.3) • Hasta ahora se disponen de dos nuevas relaciones (3.2 y 3.3). ¿Podrías expresarlas con tus propias palabras de forma similar a como ya lo ha hecho con el caso del teorema de Pitágoras?, ¡inténtalo! ¿Hemos logrado establecer todas las relaciones posibles entre los lados del triángulo rectángulo (a, b, c) y los segmentos que determinan sus alturas (p, q)? Observa que: p + q = c (3.4) • ¿Has tomado esto en consideración? Si no es así, entonces intenta encontrar nuevas relaciones. • Por último, una indicación para promover la actividad sugerida, podría ser la siguiente: Sustituye en Teorema de Pitágoras (ecuación 3.1), las expresiones 3.2, 3.3 y 3.4. Al culminar los cálculos con variables, se obtiene una expresión que relaciona a la altura con los dos segmentos que ella determina en el lado correspondiente. • Es necesario trazar las alturas relativas a los otros dos lados del triángulo para ver qué obtienes. • Expresa con tus palabras a qué conclusión llegaste. Este ejemplo es conveniente para utilizar el GeoGebra, así como que los alumnos construyan sobre la altura el cuadrado de lado h y sobre el lado c, el rectángulo de dimensiones p y q. Al variar las dimensiones del triángulo rectángulo y comparando las áreas de las figuras construidas, se llega a la relación que establece el teorema de las alturas. La vía deductiva utilizada y desarrollada algebraicamente, se complementa con la visualización mediante la utilización de asistentes matemáticos como el GeoGebra. b) Obtención de la fórmula para resolver ecuaciones de segundo grado: –– Se presentan ecuaciones de segundo grado para que los estudiantes comprendan que no siempre es posible utilizar el procedimiento 104

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de descomposición en factores para resolver ecuaciones de segundo grado y que estas ecuaciones no siempre tienen solución en el conjunto de los números reales, por lo que es necesario investigar si tienen solución y cómo determinarla en el caso de que exista. –– Se puede comenzar comentando con los alumnos que cuando resuelven ecuaciones cuadráticas por el método de la descomposición factorial, estas se reducen a la resolución de una o dos ecuaciones lineales. Se pueden poner ejemplos ilustrativos para recordar este proceder y formular interrogantes como las siguientes: • ¿Es posible transformar el miembro izquierdo de modo que contenga un trinomio cuadrado perfecto (TCP)? • ¿Cuándo un trinomio es cuadrado perfecto?, ¿ayudaría esto en algo para determinar la solución en el caso de que exista? Estos elementos motivan a los estudiantes a la búsqueda de un procedimiento general que permita dar respuesta a las situaciones problémicas anteriores. –– Luego, se les presenta una ecuación cuadrática que no se pueda descomponer en factores por los casos estudiados y se les pregunta si no será posible también reducir esta ecuación a una o dos ecuaciones lineales. –– Acto seguido, se comienza a investigar esta posibilidad y a proceder en la reducción a ecuaciones lineales tal y como se muestra a continuación: • Como se procede por la vía deductiva se presenta la forma general de una ecuación cuadrática (con a ≠ 0)



ax2 + bx + c = 0 • Entre el profesor (P) y los alumnos (A) se entabla la conversación siguiente: P: ¿Es posible transformar el trinomio ax2 + bx + c a la forma x2 + px + q?, ¿qué debe hacer para que el coeficiente de la variable x2 sea 1? A: Dividir ambos miembros de la ecuación por el coeficiente de x2: x2 +

b c x+ = 0 a a

(3.5) P: ¿Es posible transformar el miembro izquierdo de modo que contenga un TCP?, ¿cuándo un trinomio es TCP? Comparemos el trinomio del miembro izquierdo con el TCP 2m 2 + 2mn + n . 105

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b 2 A: Al hacer x 2 = m= ; x 2= mn y q n2 a P: De la igualdad de los primeros términos se obtiene que x2 = m2; b b de la segunda igualdad x = 2mn se obtiene que n = y, a 2a 2 b por tanto, n2 = 2 . 4a Sumemos a ambos miembros de la ecuación 3.5 la expresión b2 n2 = 2 , es decir: 4a A: x 2 +

b b2 c b2 x+ 2 + = 2 a 4a a 4a

2 P: x +

b b2 c b2 0 x+ 2 + − 2 = a 4a a 4a 2



 2 b b2  b2 c b  b 2 − 4 ac  + + − + = + = 0 (3.6) x x 0; x     − a 4 a2  4 a2 a 2a  4 a2  

La expresión 3.6 es una diferencia de cuadrados, por lo que se puede descomponer de la forma siguiente:



 b b2 − 4 ac x+ −  2a 2a 

  b b2 − 4 ac − x + +   2a 2a  

 0 =  

De esta forma se obtienen las ecuaciones lineales:





x+

b b2 − 4 ac − = 0 2a 2a

x+

b b2 − 4 ac + = 0 2a 2a

Así se obtiene la fórmula general para la resolución de ecuaciones cuadráticas cualesquiera:



x1,2 =

−b ± b2 − 4 ac 2a

P: ¿Serán siempre números reales las soluciones de las ecuaciones cuadráticas? 106

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A: Duda. P: Si se percatan en la fórmula de la ecuación general aparece la expresión b2 − 4 ac , la cual está definida en el conjunto de los números reales solo cuando b 2 – 4ac ≥ 0. En el caso de que b 2 – 4ac < 0, la ecuación no tiene solución en este conjunto numérico. 2. Vía reductiva: La esencia de esta vía es, a partir de proposiciones verdaderas, llegar a nuevas proposiciones, cuya validez no ha sido probada, de ahí que se requiera de una prueba deductiva para demostrar la veracidad de las nuevas proposiciones. Para esta vía se estudiaran dos variantes que son utilizadas con mayor frecuencia en el proceso de enseñanza-aprendizaje de la Matemática, estas son: a) Variante inductiva: Se fundamenta en una de las vías generales de la obtención de conocimientos en la que, de la investigación de casos particulares se llega a una proposición general; por ejemplo, la relación entre el ángulo central y sus ángulos inscritos correspondientes, donde se le presenta a los alumnos en una o varias circunferencias, ángulos inscritos y sus ángulos centrales correspondientes, mediante la medición de estos ángulos con un semicírculo, estos pueden inferir la relación que se establece entre sus amplitudes. b) Vías no inductivas: Se utilizan en la búsqueda de recíprocos de teoremas, en la realización de inferencias por analogía, en la generalización de proposiciones mediante determinadas condiciones, estas son: – Variante por generalización para la obtención del área del círculo: El profesor parte de recordar que, en general, para un polígono de lados el área se calcula aplicando la fórmula nla . Acto seguido, propone a sus alumnos inscribir en Ap = 2 una circunferencia un polígono de tres lados; luego, les pide que inscriban polígonos de seis lados. Hace observar a los alumnos que si se continúa este proceso el perímetro nl” del polígono se aproxima cada vez más a la longitud L” de la circunferencia, la apotema al radio y el área del polígono al área del círculo, por lo que para un valor grande de n”, se puede sustituir por nl” (perímetro del polígono), por 2πr (longitud de la circunferencia) y por a (apotema del polígono) por r (radio de nla 2π rr la circunferencia). Por tanto, Ap = quedaría= Ac = π r 2 . 2 2 107

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– Variante de analogía para determinar la suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero convexo: En este caso se parte de recordar a los alumnos que para hallar la suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero convexo, este se descompuso en dos triángulos y se recuerda cómo se procedió. Luego se les presentan diferentes polígonos convexos y se les pregunta ¿cómo podrían calcular la suma de sus ángulos interiores? Los alumnos podrían plantear que se puede realizar el mismo procedimiento que con el cálculo de la suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero convexo, es decir, descomponiéndolos en triángulos. El profesor entonces puede incitar a aplicar este procedimiento y de esta forma algunos alumnos pueden llegar a calcular la suma de los ángulos interiores de un pentágono, otros la de un hexágono, así como los más aventajados del aula, incluso arribar a la fórmula general para hallar la suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero convexo cualquiera. – Variante del recíproco de un teorema: Luego de planteado el teorema de Pitágoras, el profesor solicita a los alumnos construir su recíproco y formularlo. Una vez construido el recíproco les pregunta si será cierta o falsa la nueva proposición formulada, la cual evidentemente tendrán que demostrar. Es necesario subrayar que en todos los ejemplos expuestos donde se han mostrado distintas variantes reductivas hay que demostrar las suposiciones (generalizaciones empíricas) obtenidas. Cuando esto no es posible, porque los alumnos aún no disponen de los conocimientos necesarios para ello, es necesario explicar esta situación y señalar que se realizará posteriormente.

Métodos analíticos, sintéticos y analítico-sintéticos El análisis y la síntesis son métodos de investigación científica, estos desempeñan un papel especial en el proceso de la cognición que tiene lugar en la matemática, por lo que tiene que reflejarse también en el proceso de enseñanza-aprendizaje. El análisis y la síntesis como métodos para la búsqueda de ideas de una demostración, la formulación y solución de problemas matemáticos o la construcción de un ejercicio, son ampliamente utilizadas en el proceso de enseñanza-aprendizaje de la Matemática. El método analítico-sintético es parte del método deductivo. El sintético, en particular, es fundamental en la exposición de la materia que se estudia. 108

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En general, las vías lógicas según la teoría del conocimiento (análisis, síntesis, abstracción, concreción y generalización) se utilizan como métodos (siguiendo la tendencia generalizada). Sin embargo, en el proceso de enseñanza-aprendizaje de la Matemática estas vías lógicas se utilizan como procedimientos. Ejemplos de posibles tratamientos didácticos aplicando vías y razonamientos plausibles Uso de la vía analítica (análisis ascendente)

(

)

En la figura 3.5 C O , BO , A punto interior a la circunferencia, BC diámetro que pasa por A, DE cuerda que pasa por A. Probar que: (AB ) ∙ (AE ) = (AB ) ∙ (AC ) (3.7) D

C A O

E

B

Fig. 3.5 Para hallar la idea de la solución de este ejercicio se debe partir de lo que se quiere probar (ecuación 3.7). Para que esto se cumpla ¿debe probar que? AD/AC = AB /AE (3.8) Si estos segmentos pertenecieran a triángulos semejantes, bastaría probar: ΔABD~ΔACE (3.9) Pero, ¿tenemos estos triángulos?; ¿es posible trazarlos? Una posibilidad es el trazado de las cuerdas BD y CE (construcción auxiliar). Analicemos los datos y de acuerdo con estos podemos probar: 1. ∠BAD = ∠EAC por ser opuestos por el vértice A. 2. ∠BDE = ∠BCE por ser ángulos inscritos correspondientes con el arco . 109

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 BC ∠BCE =. De las igualdades de los puntos 1 y 2 se tiene que ∠BDE = 2 Si se invierte el proceso se cumplen igualmente los puntos 1 y 2, luego se cumple lo planteado en las ecuaciones 3.9, 3.8 y, por tanto, 3.7. A partir de aquí se formula la propiedad que hemos hallado y demostrado: “Si por un punto interior a un círculo trazamos un diámetro y una cuerda, entonces el producto de las longitudes de los segmentos determinados sobre la cuerda, es igual al producto de las longitudes de los segmentos determinados sobre el diámetro”. En este ejemplo el punto de partida es lo que se quiere probar, el razonamiento se desarrolla en dirección hacia lo conocido, los datos. Todo el proceso de razonamiento se caracteriza por el paso de la tesis hasta la hipótesis. Este análisis contiene la síntesis y al final se hace reversible el proceso, por lo que no requiere demostración sintética. Por otra parte, es muy útil presentar algunos teoremas como problema que hay que resolver, así se considera de forma más natural y se consolida el conocimiento al obtener y luego formular el teorema. Síntesis como método para obtener la idea de la demostración de una propiedad de los paralelogramos En todo paralelogramo los lados opuestos son iguales (Fig. 3.6) se puede reformular de la manera siguiente: Si ABCD es un paralelogramo, entonces AB = CD y AD = BC . D

C

A

B

Fig. 3.6 Hipótesis: Sea ABCD un paralelogramo. Tesis: AB = CD y AD = BC ¿Cómo se desarrolla este proceso de síntesis? Se debe comenzar con el análisis de la tesis: ¿qué significa que AB = CD y AD = BD? Esto significa que estos pueden ser lados de triángulos iguales (medio de demostración). Al partir de esta premisa se tiene que si ABCD es un paralelogramo, los lados opuestos son paralelos y si trazamos una de las diagonales, por ejemplo AC (Fig. 3.7), se obtienen los triángulos ABC y ACD, en 110

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los cuales el lado AC es lado común y los ángulos BAC y ACD son alternos entre paralelas, asimismo sucede con los ángulos DAC y ACB. Por tanto, estos pares de ángulos son iguales y por el criterio a. l. a. se infiere que los triángulos ABC y ACD son iguales. Por consiguiente se llega a la tesis del teorema sobre la igualdad de los lados opuestos del paralelogramo. D

C

A

B Fig. 3.7

En el ejemplo, el razonamiento lógico comienza en la hipótesis, la que se va transformando en cada paso hasta llegar a la tesis del teorema que se demuestra. Con estos ejemplos se pretende demostrar cómo el análisis y la síntesis se elevan a la categoría de método. Más adelante, cuando estudien los métodos problémicos, los procedimientos heurísticos y el tratamiento de las llamadas situaciones típicas del proceso de enseñanza-aprendizaje de la Matemática se estudiarán distintas formas de estos métodos, que en su realización concreta aparecen en el sistema de procedimientos que utilizan, por ejemplo, el método heurístico, el investigativo y otros.

Métodos genético, constructivo y axiomático Para el tratamiento del contenido referido a conceptos, proposiciones, en general teorías matemáticas, se aplican distintos métodos que en determinadas ocasiones se utilizan como métodos de enseñanza, entre estos el método genético, constructivo y axiomático. El término genético proviene de la palabra “gen” que significa origen, nacimiento. En la naturaleza se asocia a la herencia biológica, por lo que la esencia del método radica en que para el tratamiento del contenido en el proceso de enseñanza-aprendizaje, es necesaria la búsqueda del origen de ese contenido en el desarrollo histórico de la ciencia. La utilización del método genético adquiere valor y significado si el desarrollo y la aplicación de una u otra teoría matemática se relaciona con la resolución de problemas prácticos, con las demandas de la producción y 111

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los problemas técnicos, por lo que constituye una posibilidad de motivación intra y extramatemática, así como una contribución a la educación de los alumnos. Ejemplos de posibles tratamientos didácticos aplicando vías y razonamientos plausibles Construcción de los dominios numéricos Un ejemplo ilustrativo es la representación de la construcción de los dominios numéricos, que sigue el desarrollo histórico de la matemática como ciencia. Esta vía genética N → Q+ → Q → R → C, que se sigue en la escuela cubana permite al profesor mostrar con más claridad, qué situaciones reales y qué exigencias sociales hacen necesaria la introducción de nuevos números y el cálculo con estos. Al aplicar el método genético se citan hechos históricos que revelan las causas de la aparición de las teorías matemáticas; se pretende que los alumnos, con ayuda del profesor, descubran cómo surgieron las definiciones, los teoremas, los procedimientos esenciales y comprendan, por ejemplo, en la estructuración de un grupo de teoremas, cómo se deducen unos de los otros. El método constructivo se utiliza principalmente en el trabajo con conceptos. En su aplicación se introducen definiciones constructivas, en las que se expresan las operaciones a realizar para obtener un representante del concepto. Al determinar conceptos geométricos como rotación, traslación, homotecia, se introducen a través de la vía constructiva. También algunas de las operaciones aritméticas de cálculo que se definen en la escuela reciben un tratamiento similar, es decir, se elabora un procedimiento para el cálculo. En resumen, este método se asocia al tratamiento de conceptos de operación y de relación. Concepto de número racional La elaboración del concepto de número racional se realiza de forma constructiva. El rayo numérico empleado para representar los números fraccionarios resulta insuficiente. ¿Dónde ubicar a sus opuestos? La construcción de los opuestos de los números fraccionarios se obtiene mediante una simetría en relación con el origen correspondiente al número fraccionario cero y la asociación de estos a puntos de la recta numérica que constituyen las imágenes por esta simetría de los números fraccionarios. El método axiomático consiste en que, a partir de conceptos básicos (no necesitan ser definidos) y un sistema de axiomas (proposiciones que no se 112

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demuestran) se representa todo el sistema de los conceptos y teoremas que se deducen de estos. Este método tiene su génesis en el propio desarrollo histórico de algunas de las ramas de la ciencia matemática. Teoría Geométrica Euclideana La construcción de la Teoría Geométrica Euclideana que se estudia en la escuela cubana se basa en una construcción axiomática, que parte del estudio de los conceptos básicos (puntos, recta y plano) y algunos axiomas (proposiciones matemáticas que se reconocen como verdaderas) para, a partir de estos, arribar a nuevos conceptos y relaciones más complejas que completan la teoría geométrica. Es importante significar que, de manera general, los métodos genéticos y axiomáticos no permiten construir el conocimiento en una clase, sino que sirven de enfoque general durante un sistema de clases que puede abarcar desde una unidad temática hasta un nivel de enseñanza. En el caso de los elementos básicos de la Geometría Euclideana llega hasta noveno grado.

Métodos según el tipo de proceso de comunicación en la enseñanza y el grado de independencia del trabajo de los alumnos Esta clasificación de los métodos (Tab. 3.1), refleja el aspecto externo del método, donde se distingue las tres formas básicas: 1. Exposición (receptivo). 2. Elaboración conjunta (dirigido y productivo). 3. Dirección del trabajo independiente (productivo). TABLA 3.1 Métodos según el tipo de proceso de comunicación en la enseñanza y el grado de independencia del trabajo de los alumnos Forma básica 1

Razón de uso

Cuando se quiere dar mucha información. Cuando existen muchas diferencias individuales. Cuando se quieren despertar emociones.

Procedimientos que apoyan el uso del método Explicación. Aclaración. Ejemplificación. Ilustración. Demostración. Orientación.

Actividad del alumno

Observa. Escucha. Toma notas.

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Forma básica

Razón de uso

2

Cuando se elabora un nuevo conocimiento. Cuando se quiere que los alumnos aprendan a resolver ejercicios independientemente (el profesor tiene que saber preguntar). Cuando se quiere estudiar gran cantidad de contenido. Cuando se quiere desarrollar la independencia cognoscitiva.

3

Procedimientos que apoyan el uso del método Conversación socrática. Conversación heurística. Discusión.

Actividad del alumno

Participa en la conversación de clase. Resuelve ejercicios. Hace proposiciones.

Trabajo individual. Investiga fuentes Trabajo en bibliográficas. equipos. Propone nuevas soluciones (debe tener la disposición de hacer un gran esfuerzo).

Es fundamental destacar que en el desarrollo de cada una de estas formas metodológicas el profesor debe promover una conducta reflexiva en los alumnos. Durante la exposición, la actividad del alumno debe ser completamente reflexiva; mientras que en la elaboración conjunta las formas productivas y reflexivas se suceden una tras otra, se penetran mutuamente; y la dirección del trabajo independiente fomenta y exige esencialmente la actividad productiva de los alumnos. Método expositivo El uso de este método en el proceso de enseñanza-aprendizaje de la matemática presupone que el papel más activo y protagónico está, fundamentalmente, en el profesor, lo que no implica que la actividad del alumno sea del todo receptiva y pasiva, sino que en el transcurso de la exposición debe razonar y reflexionar acerca de lo que debe aprender. La exposición es una manera racional de transmisión del contenido que permite al profesor manejar el tiempo disponible, atendiendo a los objetivos y condiciones específicas de la enseñanza. Aunque son conocidas las razones que hacen que en el proceso de enseñanza-aprendizaje de la matemática prime la actividad del alumno, en muchos casos es conveniente que se utilice este método. La utilización de los métodos expositivos constituye una vía para concretar en la práctica la función de orientación educativa en la labor del profesor, porque permite brindar ayudas en el proceso de desarrollo de 114

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la personalidad de los educandos, contribuir a la orientación adecuada de las técnicas de estudio, a la orientación vocacional, así como, además, a la solución de problemas de los estudiantes y el grupo Los métodos expositivos están presentes, fundamentalmente, como una forma dialógica donde prima la intervención del profesor o de alguien en su lugar y se ofrecen indicaciones para alcanzar un objetivo específico. Es por ello que también está presente cuando se plantea el objetivo de la clase, en la proposición de un sistema de ejercicios y al ofrecer las indicaciones sobre las formas de trabajo en una actividad en particular o de la clase en general. En las ocasiones, donde en el programa aparecen contenidos que requieren de una amplia información o cuando el conocimiento matemático debe completarse mediante otros de relativa dificultad se emplea este método. El método expositivo toma el carácter de una demostración ante la clase, cuando se necesita exponer un modelo sobre cómo actuar, reflexionar o presentar (de manera oral o escrita) formas de trabajo en la matemática, los cuales resultan útiles para resolver ejercicios posteriores. Es conveniente su utilización en la introducción de conceptos, símbolos y formas de escritura (frase conceptual); en la deducción de teoremas y reglas; en la fundamentación de los diferentes pasos de una demostración o construcción; en la explicación de leyes y la aclaración de vías de solución para un ejercicio o problema. El trabajo con este método, de forma general, ocurre como una combinación armónica de procedimientos dentro de los que se encuentran la aclaración que permite representar todo el contenido referente a un tema y contribuye al adiestramiento lógico lingüístico de los alumnos. Su aplicación mediante ejemplos en las clases resulta ventajosa: En los pequeños experimentos de Geometría donde se utilizan modelos de cuerpos geométricos en la obtención intuitiva de fórmulas para el volumen del cono, del cilindro, se utiliza la ilustración como parte de la exposición. Cuando se trabaja el procedimiento para el uso de los criterios de igualdad de triángulos en solución de ejercicios y problemas, se utiliza la ejemplificación como un caso especialmente importante de exposición, la cual permite mostrar el procedimiento, las formas de trabajo y pensamiento de la matemática, por lo que es común su empleo en situaciones como la introducción de procedimientos de construcción. Para ofrecer niveles de ayuda en la realización de construcciones geométricas (manejar instrumentos de dibujo), la exposición es utilizada como una forma de demostración; lo mismo sucede con la demostración 115

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de la utilización de calculadoras, programas y otros medios, en que los alumnos deben aprender cómo funcionan. El carácter abstracto del contenido matemático y las peculiaridades de su lenguaje, determinan que la utilización del método expositivo requiera la compañía de los medios de enseñanza y, por tanto, la preparación del profesor para su uso adecuado y correcto; de forma peculiar en el caso de la ilustración y la demostración. Es conveniente destacar que la introducción en el proceso de enseñanza-aprendizaje de las tecnologías de la información y las comunicaciones (TIC), contribuye a convertir la escuela en una comunidad de aprendizaje orientada a la cooperación, a transformar el modo de actuación del profesor y a desarrollar nuevas estrategias de aprendizaje en los alumnos. Ello constituye una fuerte razón, para que en la selección de los métodos el profesor no pierda de vista la relación con los medios de enseñanza y aprendizaje en general, en particular con las TIC, por lo que pueden aportar a la elevación de la calidad del aprendizaje.

Algunas indicaciones metodológicas que pueden contribuir a estimular la actividad mental de los alumnos cuando se utiliza el método expositivo Con el método expositivo los alumnos escuchan y reflexionan, pero las oportunidades de elaborar ideas por sí mismos y expresarlas son pocas, lo que hace difícil al profesor controlar el desarrollo de sus pensamientos. En tal sentido se impone preguntarse: ¿cómo enfocar estos procedimientos expositivos de manera que el aprendizaje del alumno alcance carácter productivo?, ¿cómo elevar el grado de estimulación que reciben los alumnos para su actividad mental? Para contribuir a estas ideas, la exposición del profesor debe desarrollarse de forma coherente, auxiliándose de medios que propicien que el tratamiento del contenido de la enseñanza aprendizaje sea significativo para el alumno. Es por ello que se sugiere tener en cuenta con el método expositivo los aspectos siguientes: 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Utilización de medios de enseñanza que hagan interesante el contenido. Trabajo por niveles, teniendo en cuenta el diagnóstico. Generalización de los aspectos esenciales, en momentos determinados. Resumen después de cada paso lógico. Atención a la actividad del alumno. Estructuración de una forma coherente y comprensible, velando por la exactitud y asequibilidad en la formulación y una buena expresión oral apoyada en el correcto uso de la terminología y simbología matemática. 116

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7. Utilización adecuada del pizarrón19 para la elaboración de esquemas, resúmenes y construcciones. Son igualmente importantes los aspectos relacionados con el control de la conducta receptiva de los alumnos, entre estos se encuentran: 1. El planteamiento de preguntas intermedias o preguntas al final de la exposición, que el alumno debe responder oralmente o por escrito. 2. El planteamiento de tareas en los que se requiere la interpretación de los conocimientos tratados en la exposición. 3. La exigencia de ofrecer ejemplos y resúmenes sobre el contenido de la exposición. Una forma superior de la exposición es aquella en que el profesor trasmite los conocimientos científicos de manera inacabada, es decir, que muestra en cierta medida la vía del descubrimiento de la verdad correspondiente, planteando al alumno un problema ante el cual se encontraba la sociedad e indica las contradicciones entre el saber actual y la nueva problemática. Método de elaboración conjunta Este método adopta distintas formas de conversación durante la clase, de estas tres se consideran esenciales en el proceso de enseñanza-aprendizaje de la matemática, estas son: 1. La conversación socrática: Está caracterizada por pasos cortos en la actividad mental de los alumnos, que promueven la autoreflexión. Fue utilizada probablemente por primera vez por Sócrates (346-399), con preguntas atractivas y alternativas. Se utiliza en el aseguramiento del nivel de partida, en la elaboración conjunta de ideas de solución y en preguntas de control orales durante la clase. 2. La conversación heurística: Se caracteriza por orientar y estimular el pensamiento de los alumnos para que encuentren o descubran, por sí mismos, determinados cuestionamientos matemáticos encaminados a: fundamentar, definir, explicar relaciones, formular y demostrar proposiciones, encontrar un procedimiento o resolver un problema. En la enseñanza de la Matemática los nuevos contenidos a elaborar se apoyan en la mayoría de los casos en lo conocido, y a veces resulta relativamente reducido el tiempo necesario para exponer directamente el material concreto que se debe tratar en la clase, por ello es siempre posible utilizar la conversación heurística en todos sus aspectos. 3. La discusión: En la búsqueda común de vías de solución en que se analizan distintas proposiciones, la conversación de clase puede obtener 117

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el carácter de discusión en la que participan muchos alumnos que presentan sus opiniones, criterios e intercambian ideas. Es considerada la forma superior de conversación de clase. La conversación de clase puede ser empleada en la enseñanza de la Matemática con variadas intenciones didácticas (Tab. 3.2). Tabla 3.2 Variadas intenciones didácticas de la conversación de clase en la enseñanza de la Matemática Conversación socrática

Conversación heurística

Discusión

Ejercitaciones diarias de todo tipo: cálculo oral, propiedades de objetos geométricos, trabajo con variables. Controles breves con preguntas sobre fórmulas de cálculo.

Elaboración de nuevos conocimientos sobre la base del saber y el poder ya adquiridos. Ordenamientos de nuevos conocimientos en sistemas de conocimientos ya existentes. Resúmenes de generalizaciones.

Búsqueda común de vías de solución. Análisis de problemas. Trabajo en el problema. Discusión de posibilidades de solución.

Preparación de conceptos conocidos, definiciones, teoremas para el trabajo siguiente.

Descubrimiento del núcleo matemático de una situación dada. Solución por pasos de ejercicios. Interpretación de expresiones matemáticas.

Valorización y evaluación de soluciones ofrecidas. Contraposición con problemas actuales.

Conducción de la conversación de clase por parte del profesor Para la conducción de la conversación de clase y su preparación, se sitúan grandes exigencias al profesor, estas se relacionan con: 1. Dominio del contenido sin imprecisiones. 2. Conocimiento del objetivo a lograr. 3. Disposición de una buena técnica para preguntar. 4. Conocimiento de los impulsos que se pueden ofrecer para activar el pensamiento de sus alumnos. El éxito de la conversación de clase depende en gran medida de la forma de preguntar del profesor, por lo que se ofrecen algunas indicaciones metodológicas referidas a este aspecto: 1. Formular las preguntas con claridad y precisión, sin adelantar el núcleo de la respuesta, ni realizar gestos sugerentes. 118

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2. Fijar, en la preparación de la clase, las preguntas y respuestas sin limitar las iniciativas de los alumnos, para cada una de las acciones que este debe realizar. 3. Realizar las preguntas a todos los alumnos, dejar tiempo suficiente para que reflexionen y, por último, escoger al que debe responder. De esta manera, cada alumno se siente interrogado y con la responsabilidad de responder rápida y cuidadosamente, concentrándose en lo que debe decir. 4. Valorar rápidamente la calidad de la respuesta, analizando su núcleo positivo, e invitando a otros alumnos para completarla. Si contiene errores utilizar contraejemplos. 5. Hacer preguntas adicionales, si la pregunta es difícil, combinarla con impulsos o ilustraciones y hacer así una presentación más inteligible de lo que había preguntado. 6. Combinar la pregunta con impulsos adecuados en cada momento de la conversación (de análisis, analogía, etc.) para lograr que el alumno llegue a determinar cuál debe ser su próxima acción. Resulta provechoso que los estudiantes en la práctica laboral observen clases a profesores de mayor experiencia y evalúen críticamente estas observaciones para mejorar la técnica de preguntar y la conducción de la conversación de clase, Un ejemplo de conversación heurística en la que pueden observarse las preguntas, impulsos y posibles respuestas de los alumnos se presenta a continuación: Se inicia proponiendo a los estudiantes el ejercicio siguiente: Trace la circunferencia que pasa por tres puntos no alineados A, B y C (Fig. 3.8).

Fig. 3.8

También puede formularse el ejercicio de otra manera: Trace la circunferencia circunscrita al triángulo ABC. El planteamiento del ejercicio por sí mismo, constituye una invitación a los alumnos para trabajar en su solución. Si existen alumnos que no 119

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tienen ideas sobre cómo comenzar, entonces mediante un diálogo el profesor propone esbozar una figura de análisis y realiza las preguntas siguientes: Profesor ¿Qué es lo dado? ¿Qué es lo buscado? ¿Qué es la circunferencia? ¿Qué necesitamos para trazar una circunferencia? ¿Los conocemos? ¿A qué se reduce el problema? Dibuje la figura de análisis correspondiente. Sugerencia: Unir los puntos.

Alumnos Tres puntos diferentes. Una circunferencia que pase por estos tres puntos. El conjunto de puntos que equidistan de un punto fijo que es el centro. El centro y el radio. No. A buscar el centro y el radio. El alumno realiza la figura con ayuda del profesor, si es necesario. A

Analicemos primeramente si podemos encontrar un punto que equidiste de B y C. ¿Conocen ese punto? ¿Qué lugar geométrico está compuesto por los puntos que equidistan de los extremos de un segmento? Recuerda el trazado de la mediatriz Se han encontrado puntos que equidistan de B y C, pero ¿basta con esto? ¿Qué debemos hacer?

B

C

La mediatriz del segmento.

Trazan la mediatriz. No, tiene que equidistar también de A.

Trazan la mediatriz de AB o del segmento AC . ¿Qué observan? Las mediatrices se cortan en un punto. ¿Qué propiedad cumple ese punto y Equidista de A, B y C y se llama cómo se llama? circunscentro. Si equidista de A, de B y de C, Si. ¿equidista también de todos los puntos de la circunferencia? Ya tenemos el centro de la circunferencia buscada. ¿Qué otro El radio. Tomando la distancia del centro a elemento nos falta y cómo hallarlo? uno cualquiera de los puntos A, B, C.

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Profesor Si tenemos el centro y el radio, ¿Pueden trazar la circunferencia? ¿Qué nombre recibe en particular esta circunferencia?

Alumnos La circunferencia circunscrita al triángulo ABC.

La aplicación de la conversación heurística en el proceso de solución de este ejercicio no solo se refiere a las construcciones geométricas, también se recuerdan conceptos y propiedades ya estudiadas. Durante el proceso de solución, es necesario hacer énfasis en el uso correcto de los instrumentos de dibujo (en la pizarra y en los puestos de trabajo de los alumnos). Se puede orientar como tarea para la casa (individual o en equipos), la solución del ejercicio utilizando el GeoGebra. En el ejemplo se pretendió mostrar que con una adecuada selección de preguntas e impulsos, se puede lograr en la conversación de clase que el alumno sea más activo, desarrolle más su pensamiento independiente y sea más productivo desde el punto de vista mental. En este sentido nunca debe olvidar las adecuaciones necesarias a los resultados del diagnóstico y las características del grupo. Método de dirección del trabajo independiente Este es un método en que predomina la actividad productiva de los alumnos en el proceso de solución de tareas cada vez más complejas, apoyándose en sus habilidades, estrategias de aprendizaje y otros recursos intelectuales en general. En el trabajo independiente debe predominar el aprendizaje productivo, que tiene lugar cuando el alumno interactúa con diversas fuentes de información o en la solución de tareas orientadas de antemano por el profesor. Este puede ser organizado de forma individual y en equipos, o uno de estos, el cual se realiza tanto en el aula, como fuera de esta. Los alumnos se apoyan en diversos recursos como son los programas, los asistentes y la computadora como fuentes de información, así como las fuentes impresas (libros de textos, cuadernos de trabajo, revistas y periódicos). También pueden recopilar datos mediante entrevistas y visitas a centros de producción (o una de estas) o servicios, entre otros. Es necesario distinguir entre trabajo independiente y trabajo individual, entre trabajo independiente y estudio individual, estos son conceptos parecidos que tienen distinta significación. Trabajo individual Este trabajo tiene que ver con la forma en que se organiza la actividad del alumno durante el trabajo independiente, en tanto el estudio individual 121

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es utilizado en la didáctica para referirse a aquella actividad que realiza el alumno a partir de sus necesidades propias. Con la utilización del método de dirección del trabajo independiente, la actividad del profesor se basa en la conducción indirecta de la actividad del alumno, fundamentalmente de apoyo, para dar recomendaciones relacionadas con el manejo de las fuentes de información o la interacción con el contenido. Son muchas sus posibilidades de utilización en las clases de Matemática, entre otras se identifican, el descubrimiento de determinadas leyes matemáticas, la apropiación de nuevos conocimientos sobre conceptos, definiciones o teoremas, la ejercitación de procedimientos de solución, en las que se encuentran ejercicios geométricos de demostración, de construcción o de cálculo y la sistematización. También deben incluirse tareas de investigación mediante recopilación y procesamiento de datos sobre la situación de determinados problemas (sociales, ambientales, de salud, productivos, entre otros) en la comunidad. Trabajo independiente Este trabajo no se limita a la simple indicación formal del profesor de una tarea o la de seguir determinadas medidas o reglas metodológicas, o ayudar a los alumnos mediante indicaciones de la bibliografía, de la disposición y de posibilidades de ilustración, sino que va más allá, se dirige al desarrollo de la independencia cognoscitiva y la actividad creadora en los alumnos. El método de dirección del trabajo independiente tiene tres momentos fundamentales y tres procedimientos. 1. Momentos: a) La orientación del trabajo independiente: es un momento muy importante de la actividad donde el profesor explica el objetivo, en qué consisten las tareas, con qué recursos trabajarán y cómo se manejan estos, cuándo y de qué tiempo disponen para desarrollarlas y cómo se evaluarán los resultados. b) El seguimiento de la realización del trabajo independiente: tiene que ver con el ofrecimiento de impulsos, recomendaciones, aclaraciones, reorientaciones, que permitan lograr el éxito en la tarea. Cuando el trabajo independiente se realiza fuera del aula, el seguimiento se hace a partir de consultas formales o informales. c) El control del trabajo independiente verifica en qué medida se cumplió el objetivo, es necesario verlo en el sentido amplio, tener en cuenta no solo los resultados, sino el proceso, cómo se llegó a estos, es decir, el manejo de las fuentes, el grado de independencia, 122

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la colaboración y el intercambio, la forma en que se exponen los resultados. El profesor no debe perder la oportunidad de realizar recomendaciones al alumno en relación con el modo de enfrentar las tareas, de autoevaluar su actividad y, por último, hacer una valoración general de la labor desarrollada en el cumplimiento de trabajo independiente orientado. 2. Procedimientos: Estos contribuyen a que la actividad orientada tenga el éxito esperado y atienden a la forma en que se organizan los alumnos para desarrollarlas. a) Trabajo individual: Se basa en la ejecución individualizada por el alumno de una tarea orientada por el profesor, independientemente de que pueda consultar al profesor, a otros alumnos, a los padres u otras personas que puedan ofrecer determinada información. b) Trabajo frontal o de grupo completo: Ocurre cuando se dan las tareas para todo el grupo. En este caso, aunque frecuentemente exista alguna diferenciación teniendo en cuenta el diagnóstico, las actividades orientadas deben cumplirse por todos los integrantes del grupo. c) Trabajo en pequeños grupos o equipos: .Este debe planificarse de manera que en cada grupo o equipo cada alumno tenga que resolver una tarea específica, la cual contribuirá a solucionar la tarea colectiva. Se trata de este modo que cada alumno tenga participación y protagonismo en la solución de la tarea general planteada a todos los integrantes. Ejemplos del uso del método de dirección del trabajo independiente de los alumnos. 1. Trabajo individual: a) Exposición de los alumnos. –– Hacer cálculos en la pizarra, realización de construcciones en la pizarra y realización de demostraciones. –– Controles orales de los resultados. –– Solución de tareas. 2. Trabajo individual frontal: a) Ejercicios para la realización de cálculo, resolución de ecuaciones y de problemas. b) Solución de ejercicios de demostración y realización de descripciones de construcciones. c) Elaboración de resúmenes. d) Sistematización del saber adquirido. 123

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e) Elaboración independiente de nuevos conocimientos con el libro de texto. f ) Empleo de hojas de trabajo para la adquisición de nuevos conocimientos. g) Controles escritos de los resultados. 3. Trabajo en equipos: a) Solución conjunta de todas las tareas que se pueden hacer en el trabajo frontal. b) Trabajo en proyectos estadísticos para la búsqueda, procesamiento, interpretación y comunicación de resultados de investigaciones. En el éxito del trabajo independiente en la clase de Matemática intervienen muchos factores que deben ser dominados por el profesor como parte del diagnóstico que tiene del grupo de alumnos. Dentro de estos es imprescindible el desarrollo del pensamiento de los alumnos, el dominio de operaciones lógicas, tales como: analizar, sintetizar, abstraer y generalizar procedimientos; inducir y deducir, así como las habilidades para resolver problemas. Otros factores están relacionados con el entrenamiento para el trabajo en silencio, para el trabajo en grupos, para el trabajo con notas de clases, el libro de texto, libros de consulta en la biblioteca y la realización independiente de tareas que incluye la habilidad para exponer y hacer valoraciones críticas en cuanto a la comprensión, la utilización y representación de relaciones matemáticas. Métodos según las etapas de desarrollo de la experiencia creadora y la actividad cognoscitiva Esta clasificación de métodos tiene su sustento teórico en una concepción de la enseñanza que los didactas han denominado Enseñanza Problémica, cuyo enfoque se estudiará con mayor profundidad en el tomo dos de este texto. En el proceso de enseñanza-aprendizaje de la Matemática se debe priorizar que los métodos promuevan la reflexión y la actividad productiva de los estudiantes, a partir de un enfoque problematizador, que propicie el desarrollo del pensamiento creador de los alumnos y con ello la posibilidad de lograr la independencia cognoscitiva. Entre los métodos que favorecen el logro de estos propósitos se encuentran los denominados métodos problémicos. Las acciones y formas de proceder que encierran estos métodos exigen de los alumnos la asimilación del contenido a niveles productivo y creador, por tanto, sirven para provocar la actividad de búsqueda científica de estos en la clase, 124

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sobre la base de la revelación de contradicciones inherentes al proceso de aprendizaje. Los métodos problémicos se basan en la utilización de un sistema de procedimientos de búsqueda del conocimiento, conocidos como procedimientos heurísticos. La clasificación de los métodos problémicos no está ajena a la diversidad de definiciones para conceptualizar a los métodos del proceso de enseñanza-aprendizaje. En este texto se asume una clasificación propuesta por la mayoría de los especialistas que han incursionado en esta temática; a saber: 1. La exposición problémica. 2. El método de búsqueda parcial. 3. El método Investigativo. Método de exposición problémica Con la utilización de este método el profesor pretende familiarizar a los alumnos con la lógica contradictoria de la búsqueda de las soluciones de los problemas formulados en la clase. El profesor desarrolla en forma de diálogo mental el hilo conductor del razonamiento que lleva a la resolución de los problemas originados por el planteamiento de situaciones problémicas. El profesor presenta los conocimientos científicos de forma incompleta, no terminada; muestra en cierta medida la vía del descubrimiento de la verdad correspondiente, hace conocer a los alumnos un problema frente al cual se encontraba la sociedad o un investigador, en una situación concreta determinada. Estructura de la exposición problémica: 1. Planteamiento de la solución y su lógica. 2. Desarrollo de la solución y su lógica. 3. Proceso de solución, dificultades y contradicciones. 4. Solución y demostración de que es correcto. 5. Revelación de la importancia de la solución para continuar desarrollando el pensamiento en la esfera de la actividad. Un ejemplo de la estructura de la exposición problémica se muestra a continuación: Para la obtención del teorema de Pitágoras. Se les orienta que construyan los cuadrados correspondientes sobre cada lado de los catetos y que determinen gráficamente su área. Con posterioridad se les pide que midan la hipotenusa y que construyan a partir de esta el cuadrado correspondiente. 125

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Fig. 3.10

52 = 32 + 42 32 = 52 – 42 42 = 52 – 32 simbólicamente a2 = b2 + c2 En la exposición el profesor plantea que no se sabe si existe para cualquier triángulo rectángulo una relación de este tipo que se ha hallado prácticamente, por lo que es necesario demostrar esta relación para que conocidos dos lados cualesquiera de un triángulo rectángulo, se pueda determinar la longitud del tercero. El filósofo y matemático griego Pitágoras (¿580-500?) encontró y formuló esta relación de manera práctica; pero no pudo probarla matemáticamente, al no disponer de los conocimientos necesarios. Euclides de Alejandría halló una vía para demostrarlo, que fue la primera demostración de este teorema que ha registrado la historia. Esta vía requería de la construcción de cuadrados sobre los catetos y la hipotenusa y el trazado de líneas auxiliares (Fig. 3.11) para formar cuatro triángulos. El razonamiento realizado por Euclides se dirigió a hallar el área de cada uno de los triángulos y probar la igualdad de los triángulos FAC = BAF y BCD = ACG. Al final utilizando estas igualdades, llegó a la conclusión: a2 = b2 + c2 Otra vía de demostración la realizó el indio Baskara en el año 1150 d.n.e, que consistió en descomponer el triángulo rectángulo de catetos b y c, e hipotenusa a (Fig. 3.12 y 3.13). El razonamiento de este matemático se basó en la comparación de áreas. 126

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D

Fig. 3.11

Fig. 3.12

Fig. 3.13

Método de búsqueda parcial Con el método de búsqueda parcial el profesor procura, sobre la base de un enfoque problémico de la enseñanza y la participación activa y consciente de los alumnos en la búsqueda del conocimiento, la asimilación de los elementos de la actividad creadora a través del dominio de algunas etapas de solución independiente de problemas y del desarrollo de sus habilidades investigativas. 127

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Otra variante del método de búsqueda parcial consiste en descomponer una tarea compleja en otras tareas más simples que conducen a la solución de una tarea principal; por ejemplo, para la obtención del teorema de Pitágoras mediante el método de comparación de áreas se analizan las tareas parciales siguientes: Sea ABCD un cuadrado. Sobre los lados AB , BC , CD y DA sitúe respectivamente los puntos M, N, P y Q, de manera que AM = BN = CP = DQ . a) Analice si son congruentes los segmentos MB, NC, PD y QA . b) Trace el cuadrilátero MNPQ y fundamente que este es un cuadrado. c) Designe la longitud del segmento por c y la longitud del segmento por b y plantee el área del cuadrado ABCD en función de b y c. d) Designe la longitud del segmento por a y plantee el área del cuadrado ABCD en función de las áreas de las cinco figuras obtenidas en los incisos b y c y después reduzca términos semejantes. e) De una formulación verbal del resultado. Método investigativo La esencia de este método radica en que los alumnos resuelven problemas nuevos para ellos, aunque ya hayan sido resueltos para la ciencia. Mediante el método Investigativo el profesor organiza el proceso de aprendizaje problémico de manera que los alumnos deban atravesar independientemente todas o la mayoría de las fases del proceso de investigación. La función del profesor en este caso consiste en el control del proceso de solución, reorientando el trabajo de los alumnos en casos de desvíos. Está claro que es el método principal para el dominio de la experiencia de la actividad creadora, pero a la vez el más exigente para los alumnos. En su aplicación se requiere de más tiempo que el que se dedica a una clase, principalmente si los estudiantes no han alcanzado un nivel elevado de desarrollo de las habilidades investigativas. El profesor presenta los problemas para que los alumnos los investiguen independientemente, pero él conoce cuál es el resultado, cómo llegar a la solución y los rasgos de la actividad creadora que deben manifestarse en el proceso de solución. El alumno desarrolla independientemente el proceso del conocimiento. Existen diferentes posibilidades de organizar la actividad de los alumnos con este método (como tareas a resolver en la clase o para la casa o utilizando más tiempo), pero en todos los casos el papel del profesor consiste en seleccionar y organizar las tareas que aseguren la aplicación creadora del conocimiento, así como la dosificación de estas. Para ello es necesario enseñar a los alumnos: 128

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1. Cómo concretar el problema que se quiere resolver. 2. Cómo valorar todos los elementos que intervienen. 3. Cómo valorar una suposición o hipótesis. 4. Cómo llegar a conclusiones. Una de las posibilidades de aplicar este método es trabajando con problemas que pueden resolverse por diferentes vías, como el caso que se presenta a continuación: “Demostrar que si se unen los puntos medios de dos lados de un triángulo (Fig. 3.14), el segmento formado es paralelo a la base y su longitud es la mitad de la longitud de la base”.

Fig. 3.14

Este problema puede intentar resolverse por varias vías: 1. Utilizando el teorema de las transversales o el de la semejanza. 2. Utilizando conocimientos sobre paralelogramos e igualdad de triángulos. 3. Reduciéndolo a un problema de cálculo vectorial, interpretando los conceptos y relaciones geométricas mediante vectores. 4. Utilizando la definición de pendiente y distancia entre dos puntos. Este ejercicio puede presentarse a los alumnos mediante diferentes tareas problémicas; por ejemplo: 1. Resolver el siguiente ejercicio geométrico de demostración. 129

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2. Resolver (conocida ya una vía) el siguiente ejercicio geométrico de demostración por una vía diferente a la anterior. 3. Resolver el siguiente ejercicio de demostración por una vía diferente. También pudiera no darse el enunciado completo, sino plantear solamente: si se unen los puntos medios de dos lados de un triángulo, investigue si existe una relación entre el segmento así formado y el tercer lado, de existir demuéstrela. Métodos según la fuente de apropiación de los conocimientos El pizarrón o pizarra, juntamente con el libro de texto, es el medio de enseñanza más utilizado en la escuela y ambos son los más antiguos. Aún en estos días, en que la ciencia avanza en las diferentes esferas de la sociedad y las tecnologías han potenciado el proceso de enseñanza-aprendizaje, el pizarrón sigue siendo en cada clase, un medio básico de presentación de ideas. Este medio tiene múltiples usos en el desarrollo de una clase, para la asignatura Matemática se señalan entre los más frecuentes los siguientes: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13.

Preparación previa al iniciar la clase. Obtención de un procedimiento de solución. Búsqueda (demostración, deducción) de un teorema o fórmula. Definición de un nuevo concepto. Planteamiento y resolución de ejercicios y problemas. Análisis de ejercicios para encontrar regularidades. En el planteamiento y en la revisión de tareas para el estudio independiente. Realización de cuadros resúmenes y tablas. Para actividades evaluativas. Resumen de ideas esenciales. Confección de esquemas lógicos. Ofrecer orientaciones sobre la realización del estudio independiente de los alumnos. Escribir el asunto o sumario de la clase.

Se realizan en diferentes momentos de la clase anotaciones incidentales, para las cuales es prudente reservar un espacio en la pizarra, entre las que se pueden señalar: 1. Significado de términos, símbolos y palabras desconocidas, así como su escritura y notación correcta. 130

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2. Trazos a mano alzada (dibujos y esquemas) que hagan más asequibles las ideas que se explican (Almeida, B. 2000).19 La enseñanza-aprendizaje de la Matemática se ha nutrido de las ventajas de las TIC como novedoso medio de enseñanza-aprendizaje, con su vertiginoso desarrollo y cualidades para la motivación. A nivel internacional se ha potenciado la creación de diferentes herramientas y programas con las TIC (programas televisivos, video clases, asistentes matemáticos, tutoriales, simuladores, entornos virtuales de enseñanza-aprendizaje y sitios interactivos) que soportan los contenidos. El uso de las TIC en el proceso de enseñanza-aprendizaje, facilita a los alumnos la aplicación de procedimientos lógicos para hacer conjeturas, generar ideas, experimentar y poder nutrirse de relaciones sociales virtuales interactivas en grupos con un fin común. Autores como Ballester, S.; Gibert, M.; Rodríguez, J. B.; Lima, S.; entre otros, muestran en sus investigaciones la efectividad que se adquiere en el aprendizaje cuando se hace uso de herramientas como Derive, Exe-Learning, HotPotatoes, Moodle, Cmaptools. En la última década se han implementado en Cuba las colecciones de hiperentorno de aprendizaje “El navegante” y “Futuro” que contienen el programa educativo para la enseñanza-aprendizaje de la Matemática (Elementos Matemáticos, Eureka, Fismat y Sophía). En estos se encuentran los contenidos matemáticos de Secundaria Básica y Preuniversitario con un carácter curricular extensivo, esto significa que el programa constituye un soporte informático pleno para el proceso docente. Estos recursos también posibilitan la aplicación de métodos para el empleo de juegos didácticos y técnica participativas, con ello se propicia la participación activa de los estudiantes en la clase, el trabajo independiente, así como la socialización del conocimiento. Un ejemplo típico es el empleo del Geometra, el cual resulta útil para el estudio de las propiedades de los triángulos y su demostración a partir del reconocimiento de sus elementos; la falta de dominio de estas propiedades constituye una de las causas de las dificultades que tienen los alumnos para resolver los ejercicios geométricos (Fig 3.15). En este ejemplo se trata de que el alumno, a partir de impulsos, logre formular las relaciones entre los ángulos de un triángulo, sin que sea el profesor el que se las enuncie (método expositivo), es decir potenciando los métodos productivos, que desarrollan la independencia, profundidad, logicidad o racionalidad, flexibilidad, originalidad, fluidez, así como su economía al desplegarse en la solución de problemas y tareas intelectuales diversas.

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Fig. 3.15 El Geometra. Tomado de Fernández, H. y otros, artículo “El Geómetra: un asistente para un aprendizaje desarrollador”. 24/10/2018 03:35:19 p.m.

Tareas para el trabajo independiente 1. Se afirma que los métodos de enseñanza y aprendizaje no se presentan en forma ’pura’ en una clase. Seleccione una de las clases de Matemática observadas o impartidas por usted e identifique los métodos que se entrelazan en esta. 2. Redacte por escrito cómo usted procedería en una clase de Matemática donde prevalezca uno de los métodos de la enseñanza problémica y explique a través de esta: a) De la situación problémica que le plantea a sus alumnos, cómo plantea el problema docente, las tareas y las preguntas problémicas. b) Las acciones que despliega usted y sus estudiantes para materializar este método. c) La realización de las funciones didácticas. d) La utilización de otros métodos de enseñanza y aprendizaje que se entrelazan con el método problémico seleccionado. 3. Redacte por escrito cómo usted procedería en una clase de Matemática donde prevalezca uno de los métodos lógicos y explique a través de esta: a) Las acciones que despliega usted y sus estudiantes para materializar este método. b) La realización de las funciones didácticas. c) La utilización de otros métodos de enseñanza y aprendizaje que se entrelazan con el método problémico seleccionado. 4. Proponga una estructuración problémica (situación problémica, problema docente, tareas y preguntas problémicas) para la deducción de la fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas. 5. Proponga una conversación heurística para el tratamiento del área de un trapecio. 6. Establezca a través de un ejemplo de contenido estadístico la relación entre la motivación y la orientación hacia el objetivo. 7. Euler trató de encontrar las fórmulas que le permitieran obtener los números primos. Con este fin examinó el trinomio de segundo grado x2 + x + 41. Sustituyó x por valores naturales y obtuvo los números primos consecutivos 41, 43… Pudo haber llegado a la conclusión de que el valor numérico del trinomio dado es un número primo para cualquier valor natural x; pero ¿es verdadera esta conclusión? ¿Podrías encontrar alguna razón que hiciera a Euler descartar que esta fórmula permite hallar solamente números primos? Si lo requieres, puedes auxiliarte de algún recurso informático. 8. La resolución de sistemas de ejercicios puede constituir una vía fundamental en el tratamiento metodológico de los contenidos 133

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matemáticos en la escuela. Desde este punto de vista se requiere profundizar en las recomendaciones metodológicas relacionadas con: a) La clasificación de los ejercicios. b) Las funciones de la ejercitación en la enseñanza de la matemática. c) La elaboración de sistemas de ejercicios, cuyo objetivo fundamental es la asimilación de los conocimientos matemáticos. 9. Problemas de la semana:20 Un profesor de matemática tomó la iniciativa de confeccionar una hoja de trabajo vinculada a la resolución de problemas que cada primera semana del mes, se coloca en el mural del aula. Los alumnos disponen de dos semanas para resolverlos y entregar las respuestas de aquellos que logren resolver en un buzón destinado a tal efecto. En una tarde de la cuarta semana, se reúnen el profesor, sus alumnos y todos los que desean participar, a debatir las respuestas, y explicar cómo fue que llegaron a obtenerlas. Hoja de trabajo sobre resolución de problemas: Lunes A la hora de la formación en el cuartel “Andrade”, los soldados se colocan usualmente, en filas de ocho personas. Hoy el nuevo teniente les indica se organicen en filas de siete, lo cual da origen a dos filas más. ¿Cuántos soldados hay en este cuartel? Miércoles Una llave llena un tanque de agua de 2 m de alto en 10 h, otra lo hace en 12 h y una tercera lo hace en 15 h. ¿A qué altura llega el agua en el tanque cuando las tres llaves están abiertas simultáneamente durante 1 h? Viernes En un programa educativo de la TV se realiza el concurso de cultura siguiente: se proponen a cada participante 20 preguntas-problema. Por cada pregunta respondida correctamente se le anotan cinco puntos positivos.

Martes Un grupo de alumnos de séptimo grado debe hacer, para un juego, 16 fichas circulares de 2 cm de diámetro. Disponen de una cartulina rectangular que mide 28 cm de largo por 22 cm de ancho. ¿Qué porcentaje de la cartulina utilizan haciendo las fichas? Jueves En una escuela de idiomas, en el grupo A hay 20 alumnos; si ocho de ellos hablan Inglés, 11 hablan Francés; ocho hablan español y cinco ninguno de los idiomas indicados. ¿Cuántos alumnos hablan los idiomas Inglés, Francés y Español? Sábado Las seis caras de un cubo de madera se pintan de negro. Si el cubo de madera se divide en 27 cubos iguales, ¿Cuántos de los cubos pequeños quedan con tres caras pintadas de negro? y ¿cuántos con dos caras pintadas de negro?

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Por cada pregunta respondida incorrectamente se le anotan cinco puntos negativos. Por cada pregunta no respondida se le anotan 0 puntos. El ganador del concurso Iván López sacó 70 puntos. Se desea saber: ¿cuántas preguntas respondió correctamente?, ¿cuántas respondió incorrectamente? y ¿cuántas no respondió?

Domingo En un triángulo equilátero la mediana mide 5 cm y su área 10 cm2. ¿Cuánto mide el perímetro del triángulo?

a) Consulta los programas de matemática escolar, valora en qué grados y niveles de enseñanza podrían proponerse estos problemas a los alumnos. b) Resuelve los problemas propuestos en la hoja de trabajo, explica cómo hallaste su solución y analiza que aspectos se deben considerar para asegurar el nivel de partida que permita resolverlos. c) Analiza con tu tutor de la práctica laboral, la posibilidad de realizar una experiencia similar en tu centro de práctica y valora los métodos que podrían utilizarse en el caso que los alumnos no puedan encontrar por si solos, las ideas necesarias para hallar la vía de solución correspondiente. 10. Experimentados profesores de matemática cubanos propusieron a sus alumnos las hojas de trabajo no. 1 y no. 2 como una tarea para la casa, con el objetivo de repasar el nuevo contenido tratado en su última clase: las operaciones con expresiones algebraicas. Después, mediante la revisión de la tarea y análisis de los resultados lograron nuevos aprendizajes.15 Hoja de trabajo no. 1

Hoja de trabajo no. 2

1. Efectúa los productos siguientes: 1. Halla el resultado de: a) (x + 3)2 =

a) (x + 3) (x – 3) =

b) (2p + q)2 =

b) (3t + w) (3t – w) =

c) (½ c + 3)2 =

c) (4y – 0,5) (4y + 0,5) =

d) (a + b)2 =

d) (a – b) (a + b) =

2. Calcula:

2. Determina los productos siguientes:

a) (y – 4)2 =

a) (x + 8) (x + 3) =

b) (3m – n)2 =

b) (c – 7) (c – 5) =

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Hoja de trabajo no. 1

Hoja de trabajo no. 2

c) (0,4t – 5)2 =

c) (m + 6) (m – 2) =

d) (a – b)2 =

d) (x + a) (x + b) =

a) Resuelve los ejercicios propuestos en las hojas de trabajo y reflexiona sobre ¿qué nuevo aprendizaje podrían alcanzar los alumnos mediante la revisión de la tarea y el análisis de sus resultados? b) Es de suponer que los alumnos no fueron capaces de lograr por sí solos estos nuevos aprendizajes. Elabora un plan de conversación de clase, que permita orientar el proceso de búsqueda de un nuevo aprendizaje capaz de agilizar cálculos posteriores. c) Las ideas geométricas deben estar siempre presentes como un aspecto fundamental de la enseñanza de la matemática, el significado geométrico de lo aprendido debe ocupar un plano principal siempre que sea posible, pues contribuye al logro de una representación mental clara de lo aprendido.21 Explica una posible representación geométrica para el primer ejercicio de ambas hojas de trabajo y argumenta tu respuesta. 11. Los problemas interesantes y los acertijos matemáticos pueden resultar de interés para desarrollar en la escuela con el objetivo de consolidar y profundizar en los contenidos de la matemática que aparecen en los programas de la asignatura de los diferentes grados y niveles de enseñanza. a) Resuelve los problemas13 que se presentan a continuación, explica cómo podrían ser utilizados en el trabajo correspondiente a la diferenciación interna y externa, o uno de estos, en el proceso de enseñanza–aprendizaje de la Matemática. b) Fundamenta cómo con su utilización se podría contribuir al cumplimiento de los objetivos planteados a la enseñanza de la matemática en la escuela cubana: –– Campanadas: Un reloj demora 6 s en tocar cuatro campanadas, ¿Cuántos segundos demorará en tocar 12 campanadas? –– Pintura problemática: Romelio y Armando estaban pintando una casa. Como socios debían repartirse el dinero a cobrar. Al transcurrir los días, desafortunadamente, Romelio detectó señales de haraganería en su socio, porque mientras él pintaba 12 m2 Arnaldo solo pintaba 8 m2. El trabajo lo hicieron en 24 días, pero ¿cuántos días hubiera dedicado cada uno trabajando por separado? 136

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–– Triángulos con fósforos (todos los fósforos son iguales):¿Puede usted formar seis triángulos equiláteros con 12 fósforos?, ¿podría formar cuatro con solo seis fósforos? –– Uno más dos no es tres: Si se sustituye cada letra por un dígito y estos no están representados por más de una letra. ¿Puede usted decir por qué es imposible la suma siguiente?

U N O + D O S ___________ T R E S 12. Investigar es una tarea inherente a los profesores de matemática, en particular sobre la elevación de la calidad el proceso de enseñanza-aprendizaje y de los resultados obtenidos por los alumnos en esta asignatura. Según la opinión un grupo de investigadores del ICCP:22 Al decir de G. Grama “(…) hay un mundo donde la competitividad, la capacidad de conocer es un problema central, y porque hay un mundo competitivo (…) es que las unidades educativas se evalúan por lo que se aprende en ellas”. Por esta, entre otras razones, los profesores de matemática deben conocer el organismo que desarrolla estudios relacionados con la evaluación de la calidad educativa en nuestro país, cómo lo hacen y qué investigaciones se han realizado hasta el momento. Sobre todo aquellas que incluyen el aprendizaje de la matemática. También resultaría muy interesante disponer de información sobre los organismos internacionales que priorizan esta actividad. ¿Qué información tienes al respecto?, por tanto, te proponemos: a) Formar un equipo para investigar en esta temática y sobre todo profundizar en las características generales de las evaluaciones de la calidad en la asignatura matemática (especialmente los test utilizados), los resultados obtenidos, así como las semejanzas y diferencias en los estudios que realizan. b) Organizar un foro sobre esta temática con los participantes, para el intercambio continuo de información y opiniones. c) Elaborar en equipo un test para evaluar la calidad del aprendizaje de la matemática en un grado antes determinado, aplicarlo a un grupo de estudiantes que voluntariamente se disponga para ello y efectuar el análisis de los resultados obtenidos. 137

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Sugerencia: Busque asesoramiento con su profesor de Didáctica de la Matemática y el grupo de investigación a cargo de esta temática en su universidad. 13. Consulte las Conferencias 11 y 12, relacionadas con la elaboración y consolidación de la nueva materia, escrito por Werner Jungk18 y responda los incisos siguientes: a) Elabore un resumen de las principales recomendaciones didácticas que ofrece el autor en relación con la función didáctica elaboración de los nuevos contenidos matemáticos. b) Exprese en síntesis la opinión del autor sobre las respuestas a las preguntas siguientes, acompañada de una valoración personal y un ejemplo en cada caso: • ¿Qué aspectos didácticos esenciales deben ser considerados para el desarrollo de las clases en que predomina la ejercitación en la asignatura matemática? • ¿Qué tiene de común y qué tiene de diferente la profundización de reglas o fórmulas, operaciones de cálculo, teoremas y conceptos matemáticos? c) Werner plantea:18 “En relación con los objetivos de la enseñanza de la matemática uno de los más importantes consiste, en desarrollar en el alumno capacidades para aplicar sus conocimientos matemáticos y sus habilidades en la resolución de problemas.” Si esto es así, ¿tiene sentido entonces hablar explícitamente de una profundización en relación con la capacitación de los alumnos para la solución independiente de problemas? d) Desde su punto de vista, ¿qué de los contenidos didácticos hasta ahora estudiados podría vincularse con la “profundización respecto la solución independiente de problemas por los alumnos”? Argumente su respuesta. 14. Mediatriz de un segmento: Resuelve los dos ejercicios siguientes, analiza todos los conocimientos y habilidades que debe tener un alumno para resolverlo, con la mayor independencia posible y explique sus criterios: a) ¿A partir de qué grado y en qué unidad de enseñanza de la escuela podría proponerse a los alumnos? b) ¿Cuáles son las potencialidades de estos ejercicios para contribuir al logro de los objetivos de la enseñanza de la matemática? c) ¿qué métodos utilizarías durante el proceso de enseñanza-aprendizaje y cómo procederías en cada caso? Ejercicio 1. Construye utilizando el GeoGebra y extrae tus propias conclusiones: 138

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a) Construye la mediatriz de un segmento AB de 3 cm de longitud. b) Denota un punto C que pertenezca a la mediatriz de AB c) Traza los segmentos AC y BC ; mide sus longitudes. d) Desplaza el punto C a diferentes posiciones, observa lo que ocurre en cada caso y expresa tu opinión al respecto. e) ¿Qué pudieras decir en relación con los puntos que no pertenecen a la mediatriz del segmento AB ? f ) Escribe tus conclusiones y comparte el resultado con tus compañeros. g) Investiga qué ocurre con los ángulos ∠CAB y ∠CBA. Ejercicio 2. En el triángulo, C es un punto de la mediatriz de AB , y D es el punto de intersección de la mediatriz con AB . Demuestra que: a) ΔADC = ΔBDC b) CA = CB c)