Dibujo Tecnico

DIBUJO TECNICO CARLOS BENIGNO BENITES ESTEVES DOCENTE

MECANICA DE PRODUCCION

INTRODUCCIÓN HISTÓRICA 

   Desde sus orígenes, el hombre ha tratado de comunicarse mediante grafismos o dibujos. Las primeras representaciones que conocemos son las pinturas rupestres, en ellas no solo se intentaba representar la realidad que le rodeaba, animales, astros, al propio ser humano, etc., sino también sensaciones, como la alegría de las danzas, o la tensión de las cacerías.           A lo largo de la historia, este ansia de comunicarse mediante dibujos, ha evolucionado, dando lugar por un lado al dibujo artístico y por otro al dibujo técnico. Mientras el primero intenta comunicar ideas y sensaciones, basándose en la sugerencia y estimulando la imaginación del espectador, el dibujo técnico, tiene como fin, la representación de los objetos lo más exactamente posible, en forma y dimensiones.           Hoy en día, se está produciendo una confluencia entre los objetivos del dibujo artístico y técnico. Esto es consecuencia de la utilización de los ordenadores en el dibujo técnico, con ellos se obtienen recreaciones virtuales en 3D, que si bien representan los objetos en verdadera magnitud y forma, también conllevan una fuerte carga de sugerencia para el espectador.

EL DIBUJO TÉCNICO EN LA ANTIGÜEDAD           La primera manifestación del dibujo técnico, data del año 2450 antes de Cristo, en un dibujo de construcción que aparece esculpido en la estatua del rey sumerio Gudea, llamada  El arquitecto, y que se encuentra en el museo del Louvre de París. En dicha escultura, de forma esquemática, se representan los planos de un edificio.           Del año 1650 a.C. data el papiro de Ahmes. Este escriba egipcio, redactó, en un papiro de de 33 por 548 cm., una exposición de contenido geométrico dividida en cinco partes que abarcan: la aritmética, la esteorotomía, la geometría y el cálculo de pirámides. En este papiro se llega a dar valor aproximado al numero p.           En el año 600 a.C., encontramos a Tales, filósofo griego nacido en Mileto. Fue el fundador de la filosofía griega, y está considerado como uno de los Siete Sabios de Grecia. Tenía conocimientos en todas las ciencias, pero llegó a ser famoso por sus conocimientos de astronomía, después de predecir el eclipse de sol que ocurrió el 28 de mayo del 585 a.C.. Se dice de él que introdujo la geometría en Grecia, ciencia que aprendió en Egipto. Sus conocimientos, le sirvieron para descubrir importantes propiedades geométricas. Tales no dejó escritos; el conocimiento que se tiene de él, procede de lo que se cuenta en la metafísica de Aristóteles.

EL DIBUJO TÉCNICO EN LA ANTIGÜEDAD 

 Del mismo siglo que Tales, es Pitágoras, filósofo griego, cuyas doctrinas influyeron en Platón. Nacido en la isla de Samos, Pitágoras fue instruido en las enseñanzas de los primeros filósofos jonios, Tales de Mileto, Anaximandro y Anaxímedes. Fundó un movimiento con propósitos religiosos, políticos y filosóficos, conocido como pitagorismo. A dicha escuela se le atribuye el estudio y trazado de los tres primeros poliedros regulares: tetraedro, hexaedro y octaedro. Pero quizás su contribución más conocida en el campo de la geometría es el teorema de la hipotenusa, conocido como teorema de Pitágoras, que establece que "en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa, es igual a la suma de los cuadrados de los catetos".           En el año 300 a.C., encontramos a Euclides, matemático griego. Su obra principal "Elementos de geometría", es un extenso tratado de matemáticas en 13 volúmenes sobre materias tales como: geometría plana, magnitudes inconmensurables y geometría del espacio. Probablemente estudio en Atenas con discípulos de Platón. Enseñó geometría en Alejandría, y allí fundó una escuela de matemáticas.

EL DIBUJO TÉCNICO EN LA ANTIGÜEDAD 

  Arquímedes (287-212 a.C.), notable matemático e inventor griego, que escribió importantes obras sobre geometría plana y del espacio, aritmética y mecánica. Nació en Siracusa, Sicilia, y se educó en Alejandría, Egipto. Inventó formas de medir el área de figuras curvas, así como la superficie y el volumen de sólidos limitados limitados por superficies curvas. Demostró que el volumen de una esfera es dos tercios del volumen del cilindro que la circunscribe. También elaboró un método para calcular una aproximación del valor de pi (p), la proporción entre el diámetro y la circunferencia de un circulo, y estableció que este número estaba en 3 10/70 y 3 10/71.           Apolonio de Perga, matemático griego, llamado el "Gran Geómetra", que vivió durante los últimos años del siglo III y principios del siglo II a.C. Nació en Perga, Panfilia (hoy Turquía). Su mayor aportación a la geometría fue el estudio de las curcas cónicas, que reflejó en su Tratado de las cónicas, que en un principio estaba compuesto por ocho libros.

EL DIBUJO TÉCNICO EN LA ERA MODERNA 

          Es durante el Renacimiento, cuando las representaciones

técnicas, adquieren una verdadera madurez, son el caso de los trabajos del arquitecto Brunelleschi, los dibujos de Leonardo de Vinci, y tantos otros. Pero no es, hasta bien entrado el siglo XVIII, cuando se produce un significativo avance en las representaciones técnicas.

          Uno de los grandes avances, se debe al matemático francés Gaspard Monge (1746-1818). Nació en Beaune y estudió en las escuelas de Beaune y Lyon, y en la escuela militar de Mézières. A los 16 años fue nombrado profesor de física en Lyon, cargo que ejerció hasta 1765. Tres años más tarde fue profesor de matemáticas y en 1771 profesor de física en Mézières. Contribuyó a fundar la Escuela Politécnica en 1794, en la que dio clases de geometría descriptiva durante más de diez años. Es considerado el inventor de la geometría descriptiva. La geometría descriptiva es la que nos permite representar sobre una superficie bidimensional, las superficies tridimensionales de los objetos. Hoy en día existen diferentes sistemas de representación, que sirven a este fin, como la perspectiva cónica, el sistema de planos acotados, etc. pero quizás el más importante es el sistema diédrico, que fue desarrollado por Monge en su primera publicación en el año 1799.



Finalmente cave mencionar al francés Jean Victor Poncelet (17881867). A él se debe a introducción en la geometría del concepto de infinito, que ya había sido incluido en matemáticas. En la geometría de Poncellet, dos rectas, o se cortan o se cruzan, pero no pueden ser paralelas, ya que se cortarían en el infinito. El desarrollo de esta nueva geometría, que él denominó proyectiva, lo plasmó en su obra "Traité des propietés projectivas des figures" en 1822.           La última gran aportación al dibujo técnico, que lo ha definido, tal y como hoy lo conocemos, ha sido la normalización. Podemos definirla como "el conjunto de reglas y preceptos aplicables al diseño y fabricación de ciertos productos". Si bien, ya las civilizaciones caldea y egipcia utilizaron este concepto para la fabricación de ladrillos y piedras, sometidos a unas dimensiones preestablecidas, es a finales del siglo XIX en plena Revolución Industrial, cuando se empezó a aplicar el concepto de norma, en la representación de planos y la fabricación de piezas. Pero fue durante la 1ª Guerra Mundial, ante la necesidad de abastecer a los ejércitos, y reparar los armamentos, cuando la normalización adquiere su impulso definitivo, con la creación en Alemania en 1917, del Comité Alemán de Normalización.

CLASIFICACIÓN DE LOS TIPOS DE DIBUJOS TÉCNICOS 

Veremos en este apartado la clasificación de los distintos tipos de dibujos técnicos según la norma DIN 199. Aclaramos que la utilización de una norma extranjera se debe únicamente a la carencia de una norma española equivalente.           La norma DIN 199 clasifica los dibujos técnicos atendiendo a los siguientes criterios:           - Objetivo del dibujo           - Forma de confección del dibujo.           - Contenido.           - Destino.

Clasificación de los dibujos según su objetivo: 

- Croquis: Representación a mano alzada respetando las proporciones de los objetos.           - Dibujo: Representación a escala con todos los datos necesarios para definir el objeto.           - Plano: Representación de los objetos en relación con su posición o la función que cumplen.           - Gráficos, Diagramas y Ábacos: Representación gráfica de medidas, valores, de procesos de trabajo, etc.              Mediante líneas o superficies. Sustituyen de forma clara y resumida a tablas numéricas, resultados de ensayos,              procesos matemáticos, físicos, etc.

Clasificación de los dibujos según la forma de confección:



- Dibujo a lápiz: Cualquiera de los dibujos anteriores realizados a lápiz.           - Dibujo a tinta: Ídem, pero ejecutado a tinta.           - Original: El dibujo realizado por primera vez y, en general, sobre papel traslúcido.           - Reproducción: Copia de un dibujo original, obtenida por cualquier procedimiento. Constituyen los dibujos utilizados             en la práctica diaria, pues los originales son normalmente conservados y archivados cuidadosamente, tomándose             además las medidas de seguridad convenientes.

Clasificación de los dibujos según su contenido:



- Dibujo general o de conjunto: Representación de una máquina, instrumento, etc., en su totalidad. - Dibujo de despiece: Representación detallada e individual de cada uno de los elementos y piezas no normalizadas que constituyen un conjunto. - Dibujo de grupo: Representación de dos o más piezas, formando un subconjunto o unidad de construcción. - Dibujo de taller o complementario: Representación complementaria de un dibujo, con indicación de detalles auxiliares para simplificar representaciones repetidas. - Dibujo esquemático o esquema: Representación simbólica de los elementos de una máquina o instalación.

Clasificación de los dibujos según su destino: 

          - Dibujo de taller o de fabricación: Representación destinada a la fabricación de una pieza, conteniendo todos los              datos necesarios para dicha fabricación.           - Dibujo de mecanización: Representación de una pieza con los datos necesarios para efectuar ciertas              operaciones del proceso de fabricación. Se utilizan en fabricaciones complejas, sustituyendo a los anteriores.           - Dibujo de montaje: Representación que proporciona los datos necesarios para el montaje de los distintos              subconjuntos y conjuntos que constituyen una máquina, instrumento, dispositivo, etc.           - Dibujo de clases: Representación de objetos que sólo se diferencian en las dimensiones.           - Dibujo de ofertas, de pedido, de recepción: Representaciones destinadas a las funciones mencionadas.

FORMATOS 

 CONCEPTO           Se llama formato a la hoja de papel en que se realiza un dibujo, cuya forma y dimensiones en mm. están normalizados. En la norma UNE 1026-2 83 Parte 2, equivalente a la ISO 5457, se especifican las características de los formatos.

 DIMENSIONES 

            Las dimensiones de los formatos responden a las reglas de doblado, semejanza y referencia. Según las cuales: 1- Un formato se obtiene por doblado transversal del inmediato superior. 2- La relación entre los lados de un formato es igual a la relación existente entre el lado de un cuadrado y su diagonal, es decir 1/ . 3- Y finalmente para la obtención de los formatos se parte de un formato base de 1 m2.

Aplicando estas tres reglas, se determina las dimensiones del formato base llamado A0 cuyas dimensiones serían 1189 x 841 mm. El resto de formatos de la serie A, se obtendrán por doblados sucesivos del formato A0. La norma estable para sobres, carpetas, archivadores, etc. dos series auxiliares B y C. Las dimensiones de los formatos de la serie B, se obtienen como media geométrica de los lados homólogos de dos formatos sucesivos de la serie A.

Los de la serie C, se obtienen como media geométricas de los lados homólogos de los correspondientes de la serie A y B.

FORMATOS Serie A

Serie B

Serie C

A0

841 x 1189

B0

1000 x 1414

C0

917 x 1297

A1

594 x 841

B1

707 x 1000

C1

648 x 917

A2

420 x 594

B2

500 x 707

C2

458 x 648

A3

297 x 420

B3

353 x 500

C3

324 x 456

A4

210 X 297

B4

250 x 353

C4

229 x 324

A5

148 x 210

B5

176 x 250

C5

162 x 229

A6

105 x 148

B6

125 x 176

C6

114 x 162

A7

74 x 105

B7

88 x 125

C7

81 x 114

A8

52 x 74

B8

62 x 88

C8

57 x 81

A9

37 x 52

B9

44 x 62

A10

26 x 37

B10

31 x 44

Excepcionalmente y para piezas alargadas, la norma contempla la utilización de formatos que denomina especiales y excepcionales, que se obtienen multiplicando por 2, 3, 4 ... y hasta 9 veces las dimensiones del lado corto de un formato. FORMATOS ALARGADOS ESPECIALES A3 x 3

420 x 891

A3 x 4

420 x 1189

FORMATOS ALARGADOS EXCEPCIONALES A0 x 3

297 x 630

A4 x 4

297 x 841

A4 x 5

297 x 1051

1189 x 1682

A0 x 3

1189 x 2523

A1 x 3

841 x 1783

2)

A

A

A4 x 3

1)

A1 x 4

841 x 2378

2)

A

A2 x 3

594 x 1261

A2 x 4

594 x 1682

A2 x 5

594 x 2102

A3 x 5

420 x 1486

A3 x 6

420 x 1783

A3 x 7

420 x 2080

A4 x 6

297 x 1261

A4 x 7

297 x 1471

A4 x 8

297 x 1682

A4 x 9

297 x 1892

A

A

 PLEGADO 

La norma UNE - 1027 - 95, establece la forma de plegar los planos. Este se hará en zig-zag, tanto en sentido vertical como horizontal, hasta dejarlo reducido a las dimensiones de archivado. También se indica en esta norma que el cuadro de rotulación, siempre debe quedar en la parte anterior y a la vista.

PLEGADO

PLEGADO

INDICACIONES EN LOS FORMATOS Márgenes  Cuadros de Rotulación  Señales de Centrado  Señales de Orientación  Graduación Métrica de Referencia 

MÁRGENES: 

En los formatos se debe dibujar un recuadro interior, que delimite la zona útil de dibujo. Este recuadro deja unos márgenes en el formato, que la norma establece que no sea inferior a 20 mm. para los formatos A0 y A1, y no inferior a 10 mm. para los formatos A2, A3 y A4. Si se prevé un plegado para archivado con perforaciones en el papel, se debe definir un margen de archivado de una anchura mínima de 20 mm., en el lado opuesto al cuadro de rotulación.

CUADRO DE ROTULACIÓN 

Conocido también como cajetín, se debe colocar den de la zona de dibujo, y en la parte inferior derecha, siendo su dirección de lectura, las misma que el dibujo. En UNE 1035 - 95, se establece la disposición que puede adoptar el cuadro con su dos zonas: la de identificación, de anchura máxima 170 mm. y la de información suplementaria, que se debe colocar encima o a la izquierda de aquella.

SEÑALES DE CENTRADO: 

Señales de centrado. Son unos trazos colocados en los extremos de los ejes de simetría del formato, en los dos sentidos. De un grosor mínimo de 0,5 mm. y sobrepasando el recuadro en 5 mm. Debe observarse una tolerancia en la posición de 0,5 mm. Estas marcas sirven para facilitar la reproducción y microfilmado.

SEÑALES DE ORIENTACIÓN: 

Señales de orientación. Son dos flechas o triángulos equiláteros dibujados sobre las señales de centrado, para indicar la posición de la hoja sobre el tablero.

GRADUACIÓN MÉTRICA DE REFERENCIA: 

Graduación métrica de referencia. Es una reglilla de 100 mm de longitud, dividida en centímetros, que permitirá comprobar la reducción del origina en casos de reproducción.

INDICACIONES EN LOS FORMATOS

LÍNEAS NORMALIZADAS 

En los dibujos técnicos se utilizan diferentes tipos de líneas, sus tipos y espesores, han sido normalizados en las diferentes normas. En esta página no atendremos a la norma UNE 1-03282, equivalente a la ISO 128-82.

CLASES DE LÍNEAS 

          Solo se utilizarán los tipos y espesores de líneas indicados en la tabla adjunta. En caso de utilizar otros tipos de líneas diferentes a los indicados, o se empleen en otras aplicaciones distintas a las indicadas en la tabla, los convenios elegidos deben estar indicados en otras normas internacionales o deben citarse en una leyenda o apéndice en el dibujo de que se trate.           En las siguientes figuras, puede apreciarse los diferentes tipos de líneas y sus aplicaciones. En el cuadro adjunto se concretan los diferentes tipos, su designación y aplicaciones concretas.  

CLASES DE LÍNEAS   

Línea

Designación

A1 Contornos vistos A2 Aristas vistas

Llena gruesa

                     

B1 B2 B3 B4 B5 B6

Líneas ficticias vistas Líneas de cota Líneas de proyección Líneas de referencia Rayados Contornos de secciones abatidas sobre la superficie del dibujo B7 Ejes cortos

Llena fina (recta o curva

                                                    Llena fina a mano alzada Llena fina (recta) con zigzag

                                           

                             

Aplicaciones generales

(2)

Gruesa de trazos Fina de trazos

C1 Límites de vistas o cortes parciales o interrumpidos, si estos límites D1 no son líneas a trazos y puntos

E1 E2 F1 F2

Contornos ocultos Aristas ocultas Contornos ocultos Aristas ocultas

                     

                                                   

                   

Fina de trazos y puntos

G1 Ejes de revolución G2 Trazas de plano de simetría G3 Trayectorias

Fina de trazos y puntos, gruesa en los extremos y en los cambios de dirección

H1 Trazas de plano de corte

Gruesa de trazos y puntos

J1 Indicación de líneas o superficies que son objeto de especificaciones particulares

Fina de trazos y doble punto

K1 Contornos de piezas adyacentes K2 Posiciones intermedias y extremos de piezas móviles K3 Líneas de centros de gravedad K4 Contornos iniciales antes del conformado K5 Partes situadas delante de un plano de corte

                                      

                                                   

(1) Este tipo de línea se utiliza particularmente para los dibujos ejecutados de una manera automatizada (2) Aunque haya disponibles dos variantes, sólo hay que utilizar un tipo de línea en un mismo dibujo.

 ANCHURAS DE LAS LÍNEAS 

          Además de por su trazado, las líneas se diferencian por su anchura o grosor. En los trazados a lápiz, esta diferenciación se hace variando la presión del lápiz, o mediante la utilización de lápices de diferentes durezas. En los trazados a tinta, la anchura de la línea deberá elegirse, en función de las dimensiones o del tipo de dibujo, entre la gama siguiente:                                                     0,18 - 0,25 - 0,35 - 0,5 - 0,7 - 1 1,4 y 2 mm.           Dada la dificultad encontrada en ciertos procedimientos de reproducción, no se aconseja la línea de anchura 0,18.           Estos valores de anchuras, que pueden parecer aleatorios, en realidad responden a la necesidad de ampliación y reducción de los planos, ya que la relación entre un formato A4 y un A3, es aproximadamente de . De esta forma al ampliar un formato A4 con líneas de espesor 0,5 a un formato A3, dichas líneas pasarían a ser de 5 x = 0,7 mm.            La relación entre las anchuras de las líneas finas y gruesas en un mismo dibujo, no debe ser inferior a 2.           Deben conservarse la misma anchura de línea para las diferentes vistas de una pieza, dibujadas con la misma escala.

ESPACIAMIENTO ENTRE LAS LÍNEAS 

             El espaciado mínimo entre líneas paralelas (comprendida la representación de los rayados) no debe nunca ser inferior a dos veces la anchura de la línea más gruesa. Se recomienda que este espacio no sea nunca inferior a 0,7 mm.  

ORDEN DE PRIORIDAD DE LAS LÍNEAS COINCIDENTES 

          En la representación de un dibujo, puede suceder que se superpongan diferentes tipos de líneas, por ello la norma ha establecido un orden de preferencias a la hora de representarlas, dicho orden es el siguiente:                                         1 - Contornos y aristas vistos.                                         2 - Contornos y aristas ocultos.                                         3 - Trazas de planos de corte.                                         4 - Ejes de revolución y trazas de plano de simetría.                                         5 - Líneas de centros de gravedad.                                         6 - Líneas de proyección           Los contornos contiguos de piezas ensambladas o unidas deben coincidir, excepto en el caso de secciones delgadas negras.

 TERMINACIÓN DE LAS LÍNEAS DE REFERENCIA  

             Una línea de referencia sirve para indicar un elemento (línea de cota, objeto, contorno, etc.).           Las líneas de referencia deben terminar:             1 - En un punto, si acaban en el interior del contorno del objeto representado           2 - En una flecha, si acaban en el contorno del objeto representado.           3 - Sin punto ni flecha, si acaban en una línea de cota.  

1                            2                                3        

 ORIENTACIONES SOBRE LA UTILIZACIÓN DE LAS LÍNEAS 1 - Las líneas de ejes de simetría, tienen que sobresalir ligeramente del contorno de la pieza y también las de centro de circunferencias, pero no deben continuar de una vista a otra.       2 - En las circunferencias, los ejes se han de cortar, y no cruzarse, si las circunferencias son muy pequeñas se dibujarán líneas continuas finas.       3 - El eje de simetría puede omitirse en piezas cuya simetría se perciba con toda claridad.       4 - Los ejes de simetría, cuando representemos media vista o un cuarto, llevarán en sus extremos, dos pequeños trazos paralelos.



      5 - Cuando dos líneas de trazos sean paralelas y estén muy próximas, los trazos de dibujarán alternados.       6 - Las líneas de trazos, tanto si acaban en una línea continua o de trazos, acabarán en trazo.       7 - Una línea de trazos, no cortará, al cruzarse, a una línea continua ni a otra de trazos.       8 - Los arcos de trazos acabarán en los puntos de tangencia.

 ORIENTACIONES SOBRE LA UTILIZACIÓN DE LAS LÍNEAS

GENERALIDADES, ELEMENTOS Y CLASIFICACIÓN DE LAS COTAS



 GENERALIDADES           La acotación es el proceso de anotar, mediante líneas, cifras, signos y símbolos, las mediadas de un objeto, sobre un dibujo previo del mismo, siguiendo una serie de reglas y convencionalismos, establecidos mediante normas.           La acotación es el trabajo más complejo del dibujo técnico, ya que para una correcta acotación de un dibujo, es necesario conocer,  no solo las normas de acotación, sino también, el proceso de fabricación de la pieza, lo que implica un conocimiento de las máquinas-herramientas a utilizar para su mecanizado. Para una correcta acotación, también es necesario conocer la función adjudicada a cada dibujo, es decir si servirá para fabricar la pieza, para verificar las dimensiones de la misma una vez fabricada, etc..           Por todo ello, aquí daremos una serie de normas y reglas, pero será la práctica y la experiencia la que nos conduzca al ejercicio de una correcta acotación.  

PRINCIPIOS GENERALES DE ACOTACIÓN             Con carácter general se puede considerar que el dibujo de una pieza o mecanismo, está correctamente acotado, cuando las indicaciones de cotas utilizadas sean las mínimas, suficientes y adecuadas, para permitir la fabricación de la misma. Esto se traduce en los siguientes principios generales: 

   

  

  

1.Una cota solo se indicará una sola vez en un dibujo, salvo que sea indispensable repetirla. 2.No debe omitirse ninguna cota. 3.Las cotas se colocarán sobre las vistas que representen más claramente los elementos correspondientes. 4.Todas las cotas de un dibujo se expresarán en las mismas unidades, en caso de utilizar otra unidad, se expresará claramente, a continuación de la cota. 5.No se acotarán las dimensiones de aquellas formas, que resulten del proceso de fabricación. 6.Las cotas se situarán por el exterior de la pieza. Se admitirá el situarlas en el interior, siempre que no se pierda claridad en el dibujo. 7.No se acotará sobre aristas ocultas, salvo que con ello se eviten vistas adicionales, o se aclare sensiblemente el dibujo. Esto siempre puede evitarse utilizando secciones. 8.Las cotas se distribuirán, teniendo en cuenta criterios de orden, claridad y estética. 9.Las cotas relacionadas. como el diámetro y profundidad de un agujero, se indicarán sobre la misma vista. 10.Debe evitarse, la necesidad de obtener cotas por suma o diferencia de otras, ya que puede implicar errores en la fabricación.

ELEMENTOS QUE INTERVIENEN EN LA ACOTACIÓN 

            En el proceso de acotación de un dibujo, además de la cifra de cota, intervienen líneas y símbolos, que variarán según las características de la pieza y elemento a acotar.           Todas las líneas que intervienen en la acotación, se realizarán con el espesor más fino de la serie utilizada.           Los elementos básicos que intervienen en la acotación son:



Líneas de cota: Son líneas paralelas a la superficie de la pieza objeto de medición. Cifras de cota: Es un número que indica la magnitud. Se sitúa centrada en la línea de cota. Podrá situarse en medio de la línea de cota, interrumpiendo esta, o sobre la misma, pero en un mismo dibujo se seguirá un solo criterio. Símbolo de final de cota: Las líneas de cota serán terminadas en sus extremos por un símbolo, que podrá ser una punta de flecha, un pequeño trazo oblicuo a 45º o un pequeño círculo.

Líneas auxiliares de cota: Son líneas que parten del dibujo de forma perpendicular a la superficie a acotar, y limitan la longitud de las líneas de cota. Deben sobresalir ligeramente de las líneas de cota, aproximadamente en 2 mm. Excepcionalmente, como veremos posteriormente, pueden dibujarse a 60º respecto a las líneas de cota.



Líneas de referencia de cota: Sirven para indicar un valor dimensional, o una nota explicativa en los dibujos, mediante una línea que une el texto a la pieza. Las líneas de referencia, terminarán: En flecha, las que acaben en un contorno de la pieza. En un punto, las que acaben en el interior de la pieza. Sin flecha ni punto, cuando acaben en otra línea. La parte de la línea de referencia donde se rotula el texto, se dibujará paralela al elemento a acotar, si este no quedase bien definido, se dibujará horizontal, o sin línea de apoyo para el texto.  



Símbolos: En ocasiones, a la cifra de cota le acompaña un símbolo indicativo de características formales de la pieza, que simplifican su acotación, y en ocasiones permiten reducir el número de vistas necesarias, para definir la pieza. Los símbolos más usuales son:

CLASIFICACIÓN DE LAS COTAS 

          Existen diferentes criterios para clasificar las cotas de un dibujo, aquí veremos dos clasificaciones que considero básicas, e idóneas para quienes se inician en el dibujo técnico.   



En función de su importancia, las cotas se pueden clasificar en: Cotas funcionales (F): Son aquellas cotas esenciales, para que la pieza pueda cumplir su función.  Cotas no funcionales (NF): Son aquellas que sirven para la total definición de la pieza, pero no son esenciales para que la pieza cumpla su función. Cotas auxiliares (AUX): También se les suele llamar "de forma". Son las cotas que dan las medidas totales, exteriores e interiores, de una pieza. Se indican entre paréntesis. Estas cotas no son necesarias para la fabricación o verificación de las piezas, y pueden deducirse de otras cotas.

 



En función de su cometido en el plano, las cotas se pueden clasificar en: Cotas de dimensión (d): Son las que indican el tamaño de los elementos del dibujo (diámetros de agujeros, ancho de la pieza, etc.). Cotas de situación (s): Son las que concretan la posición de los elementos de la pieza.

ESCALAS 

 CONCEPTO           La representación de objetos a su tamaño natural no es posible cuando éstos son muy grandes o cuando son muy pequeños. En el primer caso, porque requerirían formatos de dimensiones poco manejables y en el segundo, porque faltaría claridad en la definición de los mismos.           Esta problemática la resuelve la ESCALA, aplicando la ampliación o reducción necesarias en cada caso para que los objetos queden claramente representados en el plano del dibujo.           Se define la ESCALA como la relación entre la dimensión dibujada respecto de su dimensión real, esto es: E = dibujo / realidad          Si el numerador de esta fracción es mayor que el denominador, se trata de una escala de ampliación, y será de reducción en caso contrario. La escala 1:1 corresponde a un objeto dibujado a su tamaño real (escala natural).

 ESCALA GRÁFICA Basado en el Teorema de Thales se utiliza un sencillo método gráfico para aplicar una escala.           Véase, por ejemplo, el caso para E 3:5 

1º) Con origen en un punto O arbitrario se trazan dos rectas r y s formando un ángulo cualquiera. 2º) Sobre la recta r se sitúa el denominador de la escala (5 en este caso) y sobre la recta s el numerador (3 en este caso). Los extremos de dichos segmentos son A y B. 3º) Cualquier dimensión real situada sobre r será convertida en la del dibujo mediante una simple paralela a AB. .

 ESCALAS NORMALIZADAS 

          Aunque, en teoría, sea posible aplicar cualquier valor de escala, en la práctica se recomienda el uso de ciertos valores normalizados con objeto de facilitar la lectura de dimensiones mediante el uso de reglas o escalímetros.           Estos valores son:                     Ampliación: 2:1, 5:1, 10:1, 20:1, 50:1 ...                     Reducción: 1:2, 1:5, 1:10, 1:20, 1:50 ...            No obstante, en casos especiales (particularmente en construcción) se emplean ciertas escalas intermedias tales como:                     1:25, 1:30, 1:40, etc...

EJEMPLOS PRÁCTICOS EJEMPLO 1           Se desea representar en un formato A3 la planta de un edificio de 60 x 30 metros.           La escala más conveniente para este caso sería 1:200 que proporcionaría unas dimensiones de 40 x 20 cm, muy adecuadas al tamaño del formato. EJEMPLO 2:           Se desea representar en un formato A4 una pieza de reloj de dimensiones 2 x 1 mm.           La escala adecuada sería 10:1 EJEMPLO 3:           Sobre una carta marina a E 1:50000 se mide una distancia de 7,5 cm entre dos islotes, ¿qué distancia real hay entre ambos?           Se resuelve con una sencilla regla de tres:                              si 1 cm del dibujo son 50000 cm reales                               7,5 cm del dibujo serán X cm reales                              km.

X = 7,5 x 50000 / 1 ... y esto da como resultado 375.000 cm, que equivalen a 3,75

USO DEL ESCALÍMETRO           La forma más habitual del escalímetro es la de una regla de 30 cm de longitud, con sección estrellada de 6 facetas o caras. Cada una de estas facetas va graduada con escalas diferentes, que habitualmente son:                     1:100, 1:200, 1:250, 1:300, 1:400, 1:500           Estas escalas son válidas igualmente para valores que resulten de multiplicarlas o dividirlas por 10, así por ejemplo, la escala 1:300 es utilizable en planos a escala 1:30 ó 1:3000, etc.           Ejemplos de utilización: 1º) Para un plano a E 1:250, se aplicará directamente la escala 1:250 del escalímetro y las indicaciones numéricas que en él se leen son los metros reales que representa el dibujo. 2º) En el caso de un plano a E 1:5000; se aplicará la escala 1:500 y habrá que multiplicar por 10 la lectura del escalímetro. Por ejemplo, si una dimensión del plano posee 27 unidades en el escalímetro, en realidad estamos midiendo 270 m.          Por supuesto, la escala 1:100 es también la escala 1:1, que se emplea normalmente como regla graduada en cm.

OBTENCIÓN DE LAS VISTAS DE UN OBJETO  

     GENERALIDADES           Se denominan vistas principales de un objeto, a las proyecciones ortogonales del mismo sobre 6 planos, dispuestos en forma de cubo. También se podría definir las vistas como, las proyecciones ortogonales de un objeto, según las distintas direcciones desde donde se mire.           Las reglas a seguir para la representación de las vistas de un objeto, se recogen en la norma UNE 1-032-82, "Dibujos técnicos: Principios generales de representación", equivalente a la norma ISO 128-82.

DENOMINACIÓN DE LAS VISTAS 

          Si situamos un observador según las seis direcciones indicadas por las flechas, obtendríamos las seis vistas posibles de un objeto.

 

                  

                                          

Estas vistas reciben las siguientes denominaciones: Vista A: Vista de frente o alzado Vista B: Vista superior o planta Vista C: Vista derecha o lateral derecha Vista D: Vista izquierda o lateral izquierda Vista E: Vista inferior Vista F: Vista posterior

POSICIONES RELATIVAS DE LAS VISTAS 

          Para la disposición de las diferentes vistas sobre el papel, se pueden utilizar dos variantes de proyección ortogonal de la misma importancia:                     - El método de proyección del primer diedro, también denominado Europeo (antiguamente, método E)                     - El método de proyección del tercer diedro, también denominado Americano (antiguamente, método A)           En ambos métodos, el objeto se supone dispuesto dentro de un cubo, sobre cuyas seis caras, se realizarán las correspondientes proyecciones ortogonales del mismo.



La diferencia estriba en que, mientras en el sistema Europeo, el objeto se encuentra entre el observador y el plano de proyección, en el sistema Americano, es el plano de proyección el que se encuentra entre el observador y el objeto.

SISTEMA EUROPEO

SISTEMA AMERICANO



Una vez realizadas las seis proyecciones ortogonales sobre las caras del cubo, y manteniendo fija, la cara de la proyección del alzado (A), se procede a obtener el desarrollo del cubo, que como puede apreciarse en las figuras, es diferente según el sistema utilizado.

SISTEMA EUROPEO

SISTEMA AMERICANO



El desarrollo del cubo de proyección, nos proporciona sobre un único plano de dibujo, las seis vistas principales de un objeto, en sus posiciones relativas.           Con el objeto de identificar, en que sistema se ha representado el objeto, se debe añadir el símbolo que se puede apreciar en las figuras, y que representa el alzado y vista lateral izquierda, de un cono truncado, en cada uno de los sistemas.

SISTEMA EUROPEO

SISTEMA AMERICANO

CORRESPONDENCIA ENTRE LAS VISTAS         Como se puede observar en las figuras anteriores, existe una correspondencia obligada entre las diferentes vistas. Así estarán relacionadas:          a) El alzado, la planta, la vista inferior y la vista posterior, coincidiendo en anchuras.           b) El alzado, la vista lateral derecha, la vista lateral izquierda y la vista posterior, coincidiendo en alturas.           c) La planta, la vista lateral izquierda, la vista lateral derecha y la vista inferior, coincidiendo en profundidad.          Habitualmente con tan solo tres vistas, el alzado, la planta y una vista lateral, queda perfectamente definida una pieza. Teniendo en cuenta las correspondencias anteriores, implicarían que dadas dos cualquiera de las vistas, se podría obtener la tercera, como puede apreciarse en la figura:



También, de todo lo anterior, se deduce que las diferentes vistas no pueden situarse de forma arbitraria. Aunque las vistas aisladamente sean correctas, si no están correctamente situadas, no definirán la pieza.

ELECCIÓN DE LAS VISTAS DE UN OBJETO, Y VISTAS ESPECIALES  

   ELECCIÓN

DEL ALZADO

          En la norma UNE 1-032-82 se especifica claramente que "La vista más característica del objeto debe elegirse como vista de frente o vista principal". Esta vista representará al objeto en su posición de trabajo, y en caso de que pueda ser utilizable en cualquier posición, se representará en la posición de mecanizado o montaje.           En ocasiones, el concepto anterior puede no ser suficiente para elegir el alzado de una pieza, en estos casos se tendrá en cuenta los principios siguientes:           1) Conseguir el mejor aprovechamiento de la superficie del dibujo.           2) Que el alzado elegido, presente el menor número posible de aristas ocultas.           3) Y que nos permita la obtención del resto de vistas, planta y perfiles, lo más simplificadas posibles.



Siguiendo las especificaciones anteriores, en la pieza de la figura 1, adoptaremos como alzado la vista A, ya que nos permitirá apreciar la inclinación del tabique a y la forma en L del elemento b, que son los elementos más significativos de la pieza.  



En ocasiones, una incorrecta elección del alzado, nos conducirá a aumentar el número de vistas necesarias; es el caso de la pieza de la figura 2, donde el alzado correcto sería la vista A, ya que sería suficiente con esta vista y la representación de la planta, para que la pieza quedase correctamente definida; de elegir la vista B, además de la planta necesitaríamos representar una vista lateral.

 ELECCIÓN DE LAS VISTAS NECESARIAS 

          Para la elección de las vistas de un objeto, seguiremos el criterio de que estas deben ser, las mínimas, suficientes y adecuadas, para que la pieza quede total y correctamente definida. Seguiremos igualmente criterios de simplicidad y claridad, eligiendo vistas en las que se eviten la representación de aristas ocultas. En general, y salvo en piezas muy complejas, bastará con la representación del alzado planta y una vista lateral. En piezas simples bastará con una o dos vistas. Cuando sea indiferente la elección de la vista de perfil, se optará por la vista lateral izquierda, que como es sabido se representa a la derecha del alzado.           Cuando una pieza pueda ser representada por su alzado y la planta o por el alzado y una vista de perfil, se optará por aquella solución que facilite la interpretación de la pieza, y de ser indiferente aquella que conlleve el menor número de aristas ocultas.



  En los casos de piezas representadas por una sola vista, esta suele estar complementada con indicaciones especiales que permiten la total y correcta definición de la pieza:           1) En piezas de revolución se incluye el símbolo del diámetro (figura 1).



          2) En piezas prismáticas o tronco piramidales, se incluye el símbolo del cuadrado y/o la "cruz de San Andrés" (figura 2).           3) En piezas de espesor uniforme, basta con hacer dicha especificación en lugar bien visible (figura 3).

 VISTAS ESPECIALES 

            Con el objeto de conseguir representaciones más claras y simplificadas, ahorrando a su vez tiempo de ejecución, pueden realizarse una serie de representaciones especiales de las vistas de un objeto. A continuación detallamos los casos más significativos:



VISTAS DE PIEZAS SIMÉTRICAS           En los casos de piezas con uno o varios ejes de simetría, puede representarse dicha pieza mediante una fracción de su vista (figuras 1 y 2). La traza del plano de simetría que limita el contorno de la vista, se marca en cada uno de sus extremos con dos pequeños trazos finos paralelos, perpendiculares al eje. También se pueden prolongar las arista de la pieza, ligeramente más allá de la traza del plano de simetría, en cuyo caso, no se indicarán los trazos paralelos en los extremos del eje (figura 3).



VISTAS CAMBIADAS DE POSICIÓN           Cuando por motivos excepcionales, una vista no ocupe su posición según el método adoptado, se indicará la dirección de observación mediante una flecha y una letra mayúscula; la flecha será de mayor tamaño que las de acotación y la letra mayor que las cifras de cota. En la vista cambiada de posición se indicará dicha letra, o bien la indicación de "Visto por .." (figuras 4 y 5).



VISTAS DE DETALLES           Si un detalle de una pieza, no quedara bien definido mediante las vistas normales, podrá dibujarse un vista parcial de dicho detalle. En la vista de detalle, se indicará la letra mayúscula identificativa de la dirección desde la que se ve dicha vista, y se limitará mediante una línea fina a mano alzada. La visual que la originó se identificará mediante una flecha y una letra mayúscula como en el apartado anterior (figuras 6).           En otras ocasiones, el problema resulta ser las pequeñas dimensiones de un detalle de la pieza, que impide su correcta interpretación y acotación. En este caso se podrá realizar una vista de detalle ampliada convenientemente. La zona ampliada, se identificará mediante un círculo de línea fina y una letra mayúscula; en la vista ampliada se indicará la letra de identificación y la escala utilizada (figuras 7).



VISTAS LOCALES           En elementos simétricos, se permite realizar vistas locales en lugar de una vista completa. Para la representación de estas vistas se seguirá el método del tercer diedro, independientemente del método general de representación adoptado. Estas vistas locales se dibujan con línea gruesa, y unidas a la vista principal por una línea fina de trazo y punto (figuras 8 y 9).



VISTAS GIRADAS           Tienen como objetivo, el evitar la representación de elementos de objetos, que en vista normal no aparecerían con su verdadera forma. Suele presentarse en piezas con nervios o brazos que forman ángulos distintos de 90º respecto a las direcciones principales de los ejes. Se representará una vista en posición real, y la otra eliminando el ángulo de inclinación del detalle (figuras 10 y 11).



VISTAS DESARROLLADAS En piezas obtenidas por doblado o curvado, se hace necesario representar el contorno primitivo de dicha pieza, antes de su conformación, para apreciar su forma y dimensiones antes del proceso de doblado. Dicha representación se realizará con línea fina de trazo y doble punto (figura 12).



VISTAS AUXILIARES OBLICUAS           En ocasiones se presentan elementos en piezas, que resultan oblicuos respecto a los planos de proyección. Con el objeto de evitar la proyección deformada de esos elementos, se procede a realizar su proyección sobre planos auxiliares oblicuos. Dicha proyección se limitará a la zona oblicua, de esta forma dicho elemento quedará definido por una vista normal y completa y otra parcial (figuras 13). En ocasiones determinados elementos de una pieza resultan oblicuos respecto a todos los planos de proyección, en estos casos habrá de realizarse dos cambios de planos, para obtener la verdadera magnitud de dicho elemento, estas vistas se denominan vistas auxiliares dobles.           Si partes interiores de una pieza ocupan posiciones especiales oblicuas, respecto a los planos de proyección, se podrá realizar un corte auxiliar oblicuo, que se proyectará paralelo al plano de corte y abatido. En este corte las partes exteriores vistas de la pieza no se representan, y solo se dibuja el contorno del corte y las aristas que aparecen como consecuencia del mismo (figura 14).



REPRESENTACIONES CONVENCIONALES Con el objeto de clarificar y simplificar las representaciones, se conviene realizar ciertos tipos de representaciones que se alejan de las reglas por las que se rige el sistema. Aunque son muchos los casos posibles, los tres indicados, son suficientemente representativos de este tipo de convencionalismo (figuras 15, 16 y 17), en ellos se indican las vista reales y las preferibles.

INTERSECCIONES FICTICIAS 

          En ocasiones las intersecciones de superficies, no se produce de forma clara, es el caso de los redondeos, chaflanes, piezas obtenidas por doblado o intersecciones de cilindros de igual o distinto diámetro. En estos casos las líneas de intersección se representarán mediante una línea fina que no toque los contornos de la piezas. Los tres ejemplos siguientes muestran claramente la mecánica de este tipo de intersecciones (figuras 18, 19 y 20).

CORTES, SECCIONES Y ROTURAS 

  INTRODUCCIÓN           En ocasiones, debido a la complejidad de los detalles internos de una pieza, su representación se hace confusa, con gran número de aristas ocultas, y la limitación de no poder acotar sobre dichas aristas. La solución a este problema son los cortes y secciones, que estudiaremos en este tema.           También en ocasiones, la gran longitud de determinadas piezas, dificultan su representación a escala en un plano, para resolver dicho problema se hará uso de las roturas, artificio que nos permitirá añadir claridad y ahorrar espacio.           Las reglas a seguir para la representación de los cortes, secciones y roturas, se recogen en la norma UNE 1-032-82, "Dibujos técnicos: Principios generales de representación", equivalente a la norma ISO 128-82.

GENERALIDADES SOBRE CORTES Y SECCIONES           Un corte es el artificio mediante el cual, en la representación de una pieza, eliminamos parte de la misma, con objeto de clarificar y hacer más sencilla su representación y acotación.           En principio el mecanismo es muy sencillo. Adoptado uno o varios planos de corte, eliminaremos ficticiamente de la pieza, la parte más cercana al observador, como puede verse en las figuras



          Como puede verse en las figuras siguientes, las aristas interiores afectadas por el corte, se representarán con el mismo espesor que las aristas vistas, y la superficie afectada por el corte, se representa con un rayado. A continuación en este tema, veremos como se representa la marcha del corte, las normas para el rayado del mismo, etc..



Se denomina sección a la intersección del plano de corte con la pieza (la superficie indicada de color rojo ), como puede apreciarse cuando se representa una sección, a diferencia de un corte, no se representa el resto de la pieza que queda detrás de la misma. Siempre que sea posible, se preferirá representar la sección, ya que resulta más clara y sencilla su representación.

LÍNEAS DE ROTURA EN LOS MATERIALES

          Cuando se trata de dibujar objetos largos y uniformes, se suelen representar interrumpidos por líneas de rotura. Las roturas ahorran espacio de representación, al suprimir partes constantes y regulares de las piezas, y limitar la representación, a las partes suficientes para su definición y acotación.



Las roturas, están normalizadas, y su tipos son los siguientes:           a) Las normas UNE definen solo dos tipos de roturas (figuras 1 y 2), la primera se indica mediante una línea fina, como la de los ejes, a mano alzada y ligeramente curvada, la segunda suele utilizarse en trabajos por ordenador.           b) En piezas en cuña y piramidales (figuras 3 y 4), se utiliza la misma línea fina y ligeramente curva. En estas piezas debe mantenerse la inclinación de las aristas de la pieza.

 

 c) En piezas de madera, la línea de rotura se indicará con una línea en zig-zag (figura 5).           d) En piezas cilíndricas macizas, la línea de rotura de indicará mediante las característica lazada (figura 6).           e) En piezas cónicas, la línea de rotura se indicará como en el caso anterior, mediante lazadas, si bien estas resultarán de diferente tamaño (figura 7).           f) En piezas cilíndricas huecas (tubos), la línea de rotura se indicará mediante una doble lazada, que patentizarán los diámetros interior y exterior (figura 8).           g) Cuando las piezas tengan una configuración uniforme, la rotura podrá indicarse con una línea de trazo y punto fina, como la las líneas de los ejes (figura 9).

SISTEMAS DE REPRESENTACIÓN 

GENERALIDADES           Todos los sistemas de representación, tienen como objetivo representar sobre una superficie bidimensional, como es una hoja de papel, los objetos que son tridimensionales en el espacio.             Con este objetivo, se han ideado a lo largo de la historia diferentes sistemas de representación. Pero todos ellos cumplen una condición fundamental, la reversibilidad, es decir, que si bien a partir de un objeto tridimensional, los diferentes sistemas permiten una representación bidimensional de dicho objeto, de igual forma, dada la representación bidimensional, el sistema debe permitir obtener la posición en el espacio de cada uno de los elementos de dicho objeto.           Todos los sistemas, se basan en la proyección de los objetos sobre un plano, que se denomina plano del cuadro o de proyección, mediante los denominados rayos proyectantes. El número de planos de proyección utilizados, la situación relativa de estos respecto al objeto, así como la dirección de los rayos proyectantes, son las características que diferencian a los distintos sistemas de representación.



SISTEMAS DE PROYECCIÓN           En todos los sistemas de representación, la proyección de los objetos sobre el plano del cuadro o de proyección, se realiza mediante los rayos proyectantes, estos son líneas imaginarias, que pasando por los vértices o puntos del objeto, proporcionan en su intersección con el plano del cuadro, la proyección de dicho vértice o punto.           Si el origen de los rayos proyectantes es un punto del infinito, lo que se denomina punto impropio, todos los rayos serán paralelos entre sí, dando lugar a la que se denomina, proyección cilíndrica. Si dichos rayos resultan perpendiculares al plano de proyección estaremos ante la proyección cilíndrica ortogonal, en el caso de resultar oblicuos respecto a dicho plano, estaremos ante la proyección cilíndrica oblicua.           Si el origen de los rayos es un punto propio, estaremos ante la proyección central o cónica.

 

  

 

                                                                                                                                                                                                                                                                       

                           Proyección cilíndrica ortogonal                   Proyección cilíndrica oblicua              Proyección central o cónica   

TIPOS Y CARACTERÍSTICAS 

          Los diferentes sistemas de representación, podemos dividirlos en dos grandes grupos: los sistemas de medida y los sistemas representativos.           Los sistemas de medida, son el sistema diédrico y el sistema de planos acotados. Se caracterizan por la posibilidad de poder realizar mediciones directamente sobre el dibujo, para obtener de forma sencilla y rápida, las dimensiones y posición de los objetos del dibujo. El inconveniente de estos sistemas es, que no se puede apreciar de un solo golpe de vista, la forma y proporciones de los objetos representados.           Los sistemas representativos, son el sistema de perspectiva axonométrica, el sistema de perspectiva caballera, el sistema de perspectiva militar y de rana, variantes de la perspectiva caballera, y el sistema de perspectiva cónica o central. Se caracterizan por representar los objetos mediante una única proyección, pudiéndose apreciar en ella, de un solo golpe de vista, la forma y proporciones de los mismos. Tienen el inconveniente de ser mas difíciles de realizar que los sistemas de medida, sobre todo si comportan el trazado de gran cantidad de curvas, y que en ocasiones es imposible tomar medidas directas sobre el dibujo. Aunque el objetivo de estos sistemas es representar los objetos como los vería un observador situado en una posición particular respecto al objeto, esto no se consigue totalmente, dado que la visión humana es binocular, por lo que a lo máximo que se ha llegado, concretamente, mediante la perspectiva cónica, es a representar los objetos como los vería un observador con un solo ojo.

  En el siguiente cuadro pueden apreciarse la características fundamentales de cada unos de los sistemas de representación.

 

Sistema

Tipo

Planos de proyección

Sistema de proyección

Diédrico

De medida

Dos

Proyección cilíndrica ortogonal

Planos acotados

De medida

Uno

Proyección cilíndrica ortogonal

Perspectiva axonométrica

Representativo

Uno

Proyección cilíndrica ortogonal

Perspectiva caballera

Representativo

Uno

Proyección cilíndrica oblicua

Perspectiva militar

Representativo

Uno

Proyección cilíndrica oblicua

Perspectiva de rana

Representativo

Uno

Proyección cilíndrica oblicua

Perspectiva cónica

Representativo

Uno

Proyección central o cónica

TRIÁNGULOS DEFINICÓN, NOMENCLATURA, CLASIFICACIÓN Y PROPIEDADES   

DEFINICIÓN      El triángulo es el polígono de menor número de lados, y a pesar de ello es el más importante, tanto por la gran cantidad de construcciones que se pueden plantear, como por tratarse de la figura que servirá de base para la construcción de otras más complejas, tanto planas como espaciales.      Se define como la porción de plano delimitada por tres rectas que se cortan dos a dos, o como la porción común de tres semiplanos pertenecientes a un mismo plano.



   NOMENCLATURA      En la figura siguiente se puede apreciar la nomenclatura a utilizar, para designar los diferentes elementos de un triángulo.      Los vértices se designarán mediante letras mayúsculas, y los ángulos correspondientes, mediante la misma letra mayúscula, pero con acento circunflejo, o un pequeño ángulo sobre la letra. Los lados se designarán mediante la misma letra del vértice opuesto, pero en minúscula.      El orden de las letras será el inverso a las agujas del reloj, y cuando se trate de triángulos rectángulos, la hipotenusa se designará con la letra "a".



CLASIFICACIÓN Los triángulos se clasifican en función de la longitud de sus lados, o del valor de sus tres ángulos internos. Teniendo en cuenta la longitud de sus lados, los triángulos se denominan: Equiláteros si tienen sus tres lados iguales, Isósceles si tienen dos lados iguales y uno desigual, y Escálenos si tienen los tres lados desiguales. Teniendo en cuenta el valor de sus tres ángulos internos, los triángulos se denominan: Acutángulos si tienen sus tres ángulos agudos, Rectángulos si tienen un ángulo recto, y obtusángulos si tienen un ángulo obtuso.



PROPIEDADES 1. Los ángulos interiores de un triángulo, siempre suman 180º. Como consecuencia de esta propiedad, se cumple que: -Un triángulo no puede tener más de un ángulo obtuso o recto. -En un triángulo rectángulo los dos ángulos agudos suman 90º. -Un ángulo exterior de un triángulo, es igual a la suma de los otros dos ángulos interiores no adyacentes.

2. Cualquier lado de un triángulo, es menor que la suma de los otros dos, y mayor que su diferencia      3. En todo triángulo, a lados iguales se oponen ángulos iguales.      4. En un triángulo rectángulo, la hipotenusa es mayor que cualquiera de los catetos.      5. Si los tres lados de un triángulo son iguales, y por consiguiente sus ángulos, el triángulo es regular y se denomina isosceles.

ELEMENTOS NOTABLES DEL TRIÁNGULO 

MEDIATRICES Y CIRCUNCENTRO      Si trazamos las mediatrices de los tres lados de un triángulo, estas se cortarán en un mismo punto, que se denomina Circuncentro(Oc), y que resulta ser el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo.



  BISECTRICES, INCENTRO Y EXICENTRO      Si trazamos las bisectrices de los tres ángulos internos de un triángulo, estas se cortarán en un mismo punto, que se denomina Incentro(Oi), y que resulta ser el centro de la circunferencia inscrita al triángulo.      Si trazamos las bisectrices de los ángulos formados por un lado y la prolongación de los otros dos, ambas bisectrices se cortan en un punto, por el que también pasa la bisectriz del ángulo interno, opuesto al lado elegido, dicho punto se denomina Exicentro(Oe), y que resulta ser el centro de una circunferencia tangente exterior al triángulo. Según la pareja de lados del triángulo que se prolonguen, podremos obtener hasta tres Exicentros.



ALTURAS, ORTOCENTRO Y TRIÁNGULO ÓRTICO      Las Alturas de un triángulo, son las tangentes trazadas desde cada vértice al lado opuesto, o su prolongación.      Las tres alturas de un triángulo se cortan en un mismo punto, que se denomina Ortocentro (Oo). El triángulo resultante de unir las tres bases de las alturas (Ha,Hb,Hc), se denomina triángulo órtico, y el Ortocentro (Oo) resulta ser el incentro de dicho triángulo órtico.



Si por cada unos de los vértices de un triángulo, trazamos rectas paralelas al lado opuesto, dichas rectas determinan un triángulo, que se denomina triángulo circunscrito del dado, siendo ambos triángulos semejantes, y como vemos en la figura, el Ortocencentro(Oo) del triángulo dado es el centro de la circunferencia circunscrita del triángulo circunscrito.



MEDIANAS Y BARICENTRO      Las medianas de un triángulo, son las rectas que unen cada vértice con el centro del lado opuesto.      Las tres medianas de un triángulo se cortan en un mismo punto, que se denomina Baricentro(Ob). El segmento de mediana que va desde cada vértice al baricentro es 2/3 de la mediana, y en consecuencia, el segmento de mediana restante será 1/3 de la misma.



Si por los pies de las medianas, trazamos rectas paralelas a las otras dos medianas, veremos como se dibuja un hexágono. Dicho hexágono está compuesto por seis triángulos, cuyos lados son 1/3 de cada mediana.



SEGMENTO Y CIRCUNFERENCIA DE EULER O FEUERBACH      En todo triángulo, el Ortocentro, el Baricentro y el Circuncentro están alineados, y el segmento que definen se denomina segmento de Euler.        El centro del Segmento de Euler, es el centro(Oe) de la Circunferencia de Euler. La Circunferencia de Euler tiene la propiedad de pasar por nueve puntos:                - Los 3 pies de las alturas                - Los 3 pies de las mediatrices de los lados                - Los 3 puntos medios de los segmentos A-Oo, B-Oo y C-Oo



RECTA DE SIMPSON      Las Rectas de Simpson son las rectas que une los pies de las perpendiculares trazadas desde un punto de la circunferencia circunscrita, a los tres lados del triángulo o sus prolongaciones.



CIRCUNFERENCIA DE TAYLOR      La Circunferencia de Taylor es la circunferencia que pasa por los pies de las perpendiculares trazadas desde los pies de las alturas a los lados del triángulo. Y es una circunferencia de Tucker.

POLÍGONOS REGULARES 

CONSIDERACIONES GENERALES           Un polígono se considera regular cuando tiene todos sus lados y ángulos iguales, y por tanto puede ser inscrito y circunscrito en una circunferencia. El centro de dicha circunferencia se denomina centro del polígono, y equidista de los vértices y lados del mismo.



Se denomina ángulo central de un polígono regular el que tiene como vértice el centro del polígono, y sus lados pasan por dos vértices consecutivos. Su valor en grados resulta de dividir 360º entre el número de lados del polígono (ver figura). Se denomina ángulo interior, al formado por dos lados consecutivos. Su valor es igual a 180º, menos el valor del ángulo central correspondiente. Si unimos todos los vértices del polígono, de forma consecutiva, dando una sola vuelta a la circunferencia, el polígono obtenido se denomina convexo. Si la unión de los vértices se realiza, de forma que el polígono cierra después de dar varias vueltas a la circunferencia, se denomina estrellado. Se denomina falso estrellado aquel que resulta de construir varios polígonos convexos o estrellados iguales, girados un mismo ángulo, es el caso del falso estrellado del hexágono, compuesto por dos triángulos girados entre sí 60º. Para averiguar si un polígono tiene construcción de estrellados, y como unir los vértices, buscaremos los números enteros, menores que la mitad del número de lados del polígono, y de ellos los que sean primos respeto a dicho número de lados. Por ejemplo: para el octógono (8 lados), los números menores que la mitad de sus lados son el 3, el 2 y el 1, y de ellos, primos respecto a 8 solo tendremos el 3, por lo tanto podremos afirmar que el octógono tiene un único estrellado, que se obtendrá uniendo los vértices de 3 en 3 (ver figura).

En un polígono regular convexo, se denomina apotena a la distancia del centro del polígono al punto medio de cada lado (ver figura). En un polígono regular convexo, se denomina perímetro a la suma de la longitud de todos su El área de un polígono regular convexo, es igual al producto del semiperímetro por la apotema.

CONSTRUCCIONES DE POLÍGONOS REGULARES DADA LA CIRCUNFERENCIA CIRCUNSCRITA 

La construcción de polígonos inscritos en una circunferencia dada, se basan en la división de dicha circunferencia en un número partes iguales. En ocasiones, el trazado pasa por la obtención de la cuerda correspondiente a cada uno de esos arcos, es decir el lado del polígono, y otras ocasiones pasa por la obtención del ángulo central del polígono correspondiente. Cuando en una construcción obtenemos el lado del polígono, y hemos de llevarlo sucesivas veces a lo largo de la circunferencia, se aconseja no llevar todos los lados sucesivamente en un solo sentido de la circunferencia, sino, que partiendo de un vértice se lleve la mitad de los lados en una dirección y la otra mitad en sentido contrario, con objeto de minimizar los errores de construcción, inherentes al instrumental o al procedimiento.

TRIÁNGULO, HEXÁGONO Y DODECÁGONO (construcción exacta) 

Comenzaremos trazando dos diámetros perpendiculares entre sí, que nos determinarán, sobre la circunferencia dada, los puntos A-B y 1-4 respectivamente. A continuación, con centro en 1 y 4 trazaremos dos arcos, de radio igual al de la circunferencia dada, que nos determinarán, sobre ella, los puntos 2, 6, 3 y 5. Por último con centro en B trazaremos un arco del mismo radio, que nos determinará el punto C sobre la circunferencia dada. Uniendo los puntos 2, 4 y 6, obtendremos el triángulo inscrito. Uniendo los punto 1, 2, 3, 4, 5 y 6, obtendremos el hexágono inscrito. Y uniendo los puntos 3 y C, obtendremos el lado del dodecágono inscrito; para su total construcción solo tendríamos que llevar este lado, 12 veces sobre la circunferencia. De los tres polígonos, solo el dodecágono admite la construcción de estrellados, concretamente del estrellado de 5. El hexágono admite la construcción de un falso estrellado, formado por dos triángulos girados entre sí 60º. NOTA: Todas las construcciones de este ejercicio se realizan con una misma abertura del compás, igual al radio de la circunferencia dada.

CUADRADO Y OCTÓGONO (construcción exacta) 

Comenzaremos trazando dos diámetros perpendiculares entre sí, que nos determinarán, sobre la circunferencia dada, los puntos 1-5 y 3-7 respectivamente. A continuación, trazaremos las bisectrices de los cuatro ángulos de 90º, formados por la diagonales trazadas, dichas bisectrices nos determinarán sobre la circunferencia los puntos 2, 4, 6 y 8. Uniendo los puntos 1, 3, 5 y 7, obtendremos el cuadrado inscrito. Y uniendo los puntos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8, obtendremos el octógono inscrito. El cuadrado no admite estrellados. El octógono sí, concretamente el estrellado de 3. El octógono también admite la construcción de un falso estrellado, compuesto por dos cuadrados girados entre sí 45º. NOTA: De esta construcción podemos deducir, la forma de construir un polígono de doble número de lados que uno dado. Solo tendremos que trazar las bisectrices de los ángulos centrales del polígono dado, y estas nos determinarán, sobre la circunferencia circunscrita, los vértices necesarios para la construcción.

PENTÁGONO Y DECÁGONO (construcción exacta) 

Comenzaremos trazando dos diámetros perpendiculares entre sí, que nos determinarán sobre la circunferencia dada los puntos A- B y 1-C respectivamente. Con el mismo radio de la circunferencia dada trazaremos un arco de centro en A, que nos determinará los puntos D y E sobre la circunferencia, uniendo dichos puntos obtendremos el punto F, punto medio del radio A-O Con centro en F trazaremos un arco de radio F-1, que determinará el punto G sobre la diagonal A-B. La distancia 1-G es el lado de pentágono inscrito, mientras que la distancia O-G es el lado del decágono inscrito. Para la construcción del pentágono y el decágono, solo resta llevar dichos lados, 5 y 10 veces respectivamente, a lo largo de la circunferencia. El pentágono tiene estrellado de 2. El decágono tiene estrellado de 3, y un falso estrellado, formado por dos pentágonos estrellados girados entre sí 36º.

HEPTÁGONO (construcción aproximada) 

Comenzaremos trazando una diagonal de la circunferencia dada, que nos determinará sobre ella puntos A y B. A continuación, con centro en A, trazaremos el arco de radio A-O, que nos determinará, sobre la circunferencia, los puntos 1 y C, uniendo dichos puntos obtendremos el punto D, punto medio del radio A-O. En 1-D habremos obtenido el lado del heptágono inscrito. Solo resta llevar dicho lado, 7 veces sobre la circunferencia, para obtener el heptágono buscado. Como se indicaba al principio de este tema, partiendo del punto 1, se ha llevado dicho lado, tres veces en cada sentido de la circunferencia, para minimizar los errores de construcción. El heptágono tiene estrellado de 3 y de 2. NOTA: Como puede apreciarse en la construcción, el lado del heptágono inscrito en una circunferencia, es igual a la mitad del lado del triángulo inscrito.

ENEÁGONO (construcción aproximada) 

Comenzaremos trazando dos diámetros perpendiculares, que nos determinarán, sobre la circunferencia dada, los puntos A-B y 1-C respectivamente. Con centro en A, trazaremos un arco de radio A-O, que nos determinará, sobre la circunferencia dada, el punto D. Con centro en B y radio B-D, trazaremos un arco de circunferencia, que nos determinará el punto E, sobre la prolongación de la diagonal 1-C. Por último con centro en E y radio E-B=E-A, trazaremos un arco de circunferencia que nos determinará el punto F sobre la diagonal C-1. En 1-F habremos obtenido el lado del eneágono inscrito en la circunferencia. Procediendo como en el caso del heptágono, llevaremos dicho lado, 9 veces sobre la circunferencia, para obtener el heptágono buscado. El eneágono tiene estrellado de 4 y de 2. También presenta un falso estrellado, formado por 3 triángulos girados entre sí 40º.

DECÁGONO (construcción exacta) 

Comenzaremos trazando dos diámetros perpendiculares, que nos determinarán, sobre la circunferencia dada, los puntos A-B y 1-6 respectivamente. Con centro A, y radio A-O, trazaremos un arco que nos determinará los puntos C y D sobre la circunferencia, uniendo dichos puntos, obtendremos el punto E, punto medio del radio AO. A continuación trazaremos la circunferencia de centro en E y radio E-O. Trazamos la recta 1-E, la cual intercepta a la circunferencia anterior en el punto F, siendo la distancia 1-F, el lado del decágono inscrito. Procediendo con en el caso del heptágono, llevaremos dicho lado, 10 veces sobre la circunferencia, para obtener el decágono buscado. El decágono como se indicó anteriormente presenta estrellado de 3, y un falso estrellado, formado por dos pentágonos estrellados, girados entre sí 36º.

PENTADECÁGONO (construcción exacta) 

Esta construcción se basa en la obtención del ángulo de 24º, correspondiente al ángulo interior del pentadecágono. Dicho ángulo lo obtendremos por diferencia del ángulo de 60º, ángulo interior del hexágono inscrito, y el ángulo de 36º, ángulo interior del decágono inscrito. Comenzaremos con las construcciones necesarias para la obtención del lado del decágono (las del ejercicio anterior), hasta la obtención del punto H de la figura. A continuación, con centro en C trazaremos un arco de radio CH, que nos determirá sobre la circunferencia el punto 1. de nuevo con centro en C, trazaremos un arco de radio C-O, que nos determinará el punto 2 sobre la circunferencia. Como puede apreciarse en la figura, el ángulo CO1 corresponde al ángulo interior del decágono, de 36º, y el ángulo CO2 corresponde al ángulo interior del hexágono, de 60º, luego de su diferencia obtendremos el ángulo 1O2 de 24º, ángulo interior del pentadecágono buscado, siendo el segmento 1-2 el lado del polígono. Solo resta llevar, por el procedimiento ya explicado, dicho lado, 15 veces sobre la circunferencia dada. El pentadecágono presenta estrellado de 7, 6, 4 y 2, así como tres falsos estrellados, compuesto por: tres pentágonos convexos, tres pentágonos estrellados y 5 triángulos, girados entre sí, en todos los casos, 24º.

PROCEDIMIENTO GENERAL (construcción aproximada) 

Este procedimiento se utilizará solo cuando el polígono buscado no tenga una construcción particular, ni pueda obtenerse como múltiplo de otro, dado que este procedimiento lleva inherente una gran imprecisión. Comenzaremos con el trazado del diámetro A-B, que dividiremos, mediante el Teorema de Tales en tantas partes iguales como lados tenga el polígono que deseamos trazar, en nuestro caso 11. Con centro en A y B trazaremos dos arcos de radio A-B, los cuales se interceptarán en los puntos C y D. Uniendo dichos puntos con las divisiones alternadas del diámetro A-B, obtendremos sobre la circunferencia, los puntos P, Q, R, .. etc., vértices del polígono. Igualmentre se procedería con el punto D, uniendolo con los puntos 2, 4, etc., y obteniendo así el resto de los vértices del polígono. Solo restaría unir dichos puntos para obtener el polígono buscado.

CONSTRUCCIONES DE POLÍGONOS REGULARES DADO EL LADO DEL CONVEXO, EL LADO DEL ESTRELLADO O LA DISTANCIA ENTRE CARAS

PENTÁGONO DADO EL LADO DEL CONVEXO (construcción exacta) 

Dividiendo el lado del pentágono en media y extrema razón, obtendremos la diagonal del pentágono buscado, solo restará construirlo por simple triangulación. Comenzaremos trazando la perpendicular en el extremo 2 del lado, con centro en 2 trazaremos un arco de radio 1-2, que nos determinará sobre la perpendicular anterior el punto A, y trazaremos la mediatriz del segmento A-2, que nos determinará su punto medio B. A continuación, con centro en B, trazaremos la circunferencia de radio A-B. Uniremos el punto 1 con el punto B, la prolongación de esta recta, interceptará a la circunferencia anterior en el punto C, siendo 1-C el lado del estrellado, o diagonal del pentágono buscado. Por triangulación obtendremos los vértices restantes, que uniremos convenientemente, obteniendo así el pentágono buscado.

PENTÁGONO DADO EL LADO DEL ESTRELLADO (construcción exacta) 

Operaremos como en el caso anterior, obteniendo en la media razón del lado del estrellado, el lado del convexo. Como en el caso anterior, trazaremos la perpendicular en el extremo A del lado, con centro en A, trazaremos un arco de radio A-1, que determinará el punto B, sobre dicha perpendicular, y trazaremos la mediatriz del segmento A-B, que nos determinará punto medio C. A continuación, con centro en C trazaremos una circunferencia de radio A-C. Uniendo el punto 1 con el punto C, esta recta determinará sobre la circunferencia anterior el punto 5, siendo el segmento 1-5, el lado del convexo del pentágono buscado. Completaremos el trazado por triangulación, obteniendo así los vértices restantes, y uniéndolos convenientemente.

HEPTÁGONO DADO EL LADO DEL CONVEXO (construcción aproximada) 

Siendo el segmento 1-2 el lado del heptágono, comenzaremos trazando la mediatriz de dicho lado, y trazaremos la perpendicular en su extremo 2. A continuación, en el extremo 1 construiremos el ángulo de 30º, que interceptará a la perpendicular trazada en el extremo 2, en el punto D, la distancia 1-D, es el radio de la circunferencia circunscrita al heptágono buscado, con centro en 1 y radio 1-D, trazamos un arco de circunferencia que interceptará a la mediatriz del lado 1-2 en el punto O, centro de la circunferencia circunscrita. Solo resta construir dicha circunferencia circunscrita, y obtener los vértices restantes del heptágono, que convenientemente unidos, nos determinarán el polígono buscado.

OCTÓGONO DADO EL LADO DEL CONVEXO (construcción exacta) 

Siendo el segmento 1-2 el lado del octógono, comenzaremos trazando un cuadrado de lado igual al lado del octógono dado. A continuación, trazaremos la mediatriz del lado 1-2, y una diagonal del cuadrado construido anteriormente, ambas rectas se cortan en el punto C, centro del cuadrado. Con centro en C trazaremos la circunferencia circunscrita a dicho cuadrado, dicha circunferencia intercepta a la mediatriz del lado 1-2, en el punto O, centro de la circunferencia circunscrita al octógono buscado. Solo resta construir dicha circunferencia circunscrita, y obtener los vértices restantes del octógono, que convenientemente unidos, nos determinarán el polígono buscado.

ENEÁGONO DADO EL LADO DEL CONVEXO (construcción aproximada) 

Dado el lado 1-2 del eneágono, construiremos un triángulo equilátero con dicho lado, hallando el tercer vértice en A. A continuación, trazaremos la mediatriz del lado A-2, de dicho triángulo, que pasará por el vértice 1, y la mediatriz del lado 1-2, que pasará por A. Con centro en A y radio A-B, trazaremos un arco, que determinará sobre la mediatriz anterior el punto O, que será el centro de la circunferencia circunscrita al eneágono buscado. Solo resta trazar dicha circunferencia circunscrita, y determinar sobre ella los vértices restantes del polígono, que convenientemente unidos nos determinarán el eneágono buscado.

DECÁGONO DADO EL LADO DEL CONVEXO (construcción exacta) 

Dividiendo el lado del decágono en media y extrema razón, obtendremos el radio de la circunferencia circunscrita al polígono. Comenzaremos trazando la perpendicular en el extremo 2 del lado, con centro en 2 trazaremos un arco de radio 1-2, que nos determinará sobre la perpendicular anterior el punto A, trazaremos la mediatriz del segmento A-2, que nos determinará su punto medio B, y con centro en B trazaremos la circunferencia de radio B-A. Uniendo el punto 1 con el B, en su prolongación obtendremos el punto C sobre la circunferencia anterior, siendo 1-C, el radio de la circunferencia circunscrita al polígono. A continuación, trazaremos la mediatriz del lado 1-2, y con centro en 1 un arco de radio 1-C, que determinará sobre la mediatriz anterior, el punto O, centro de la circunferencia circunscrita. Solo resta trazar dicha circunferencia circunscrita, y determinar sobre ella los vértices restantes del polígono, que convenientemente unidos nos determinarán el decágono buscado.

DECÁGONO DADO EL LADO DEL ESTRELLADO (construcción exacta) 

Dividiendo el lado del decágono en media y extrema razón, obtendremos el radio de la circunferencia circunscrita al polígono y el lado del convexo. Comenzaremos trazando la perpendicular en el extremo 2 del lado, con centro en 2 trazaremos un arco de radio 2-A, que nos determinará sobre la perpendicular anterior el punto B, trazaremos la mediatriz del segmento B-2, que nos determinará su punto medio C, y con centro en C trazaremos la circunferencia de radio C-B. A continuación, uniremos A con C, determinando el punto D, sobre la circunferencia anterior, siendo A-D el radio de la circunferencia circunscrita. Trazando un arco con centro en A, y radio A-D, determinaremos sobre el lado del estrellado dado el punto 1, resultando en 1-2 el lado del decágono convexo correspondiente. Con centro en 1 y 2 trazaremos dos arcos, de radio igual R, que nos determinarán en O, el centro de la circunferencia circunscrita al polígono. Solo resta trazar dicha circunferencia circunscrita, y determinar sobre ella los vértices restantes del polígono, que convenientemente unidos nos determinarán el decágono buscado.

HEXÁGONO DADA LA DISTANCIA ENTRE CARAS (construcción exacta) 

Comenzaremos trazando dos rectas paralelas, r y s, y trazaremos una perpendicular a ambas rectas, que nos determinará los puntos 1 y 3. Con vértice en 1, construiremos un ángulo de 30º, que nos determinará sobre la recta s el punto 4, por dicho punto trazaremos una perpendicular que nos determinará el punto 6 sobre la recta r. En los segmentos 3-4 y 1-6, habremos obtenido el lado del hexágono buscado, la obtención de los dos vértices restantes, se hará por simple triangulación. Solo nos resta unir todos los vértices, para obtener el hexágono buscado.

OCTÓGONO DADA LA DISTANCIA ENTRE CARAS (construcción exacta) 

Dada la distancia entre caras d, con dicha distancia construiremos un cuadrado de vértices A, B, C y D, mediante el trazado de sus diagonales obtendremos su centro en O. Con centro en los cuatro vértices del cuadrado anterior, trazaremos arcos de radio igual a la mitad de la diagonal del cuadrado, arcos que pasarán por O, y que nos determinarán sobre los lados del cuadrado, los puntos 1, 2, 3, ... y 8, vértices del polígono. Solo nos resta unir todos los vértices, para obtener el octógono buscado.

CONSTRUCCIÓN POR SEMEJANZA DE UN POLÍGONO REGULAR DADO EL LADO DEL CONVEXO 

Aunque en este caso, se trata de la construcción de un decágono, el procedimiento es aplicable a cualquier otro polígono. Comenzaremos por la construcción de un decágono inscrito en una circunferencia cualquiera, por el procedimiento ya visto en el tema anterior, obteniendo en este caso, uno de sus lados en 1'-2'. A partir del vértice 1', y sobre la prolongación del lado 1'-2', llevaremos la longitud del lado del decágono buscado, obteniendo el punto G. Prolongaremos los radios O-1' y O-2'. Por G trazaremos una paralela al radio O-1', que determinará sobre la prolongación del radio O-2', el punto 2, siendo este uno de los vértices del polígono buscado, y resultando la distancia O-2, el radio de la circunferencia circunscrita a dicho polígono. Trazaremos dicha circunferencia con centro en O, que interceptará a la prolongación del radio O-1' en el punto 1, otro vértice del polígono buscado, obteniendo en la cuerda 1-2 el lado del polígono buscado. Solo resta determinar sobre la circunferencia circunscrita, los vértices restantes del polígono, que convenientemente unidos nos determinarán el decágono buscado.

CONSTRUCCIÓN POR SEMEJANZA DE UN POLÍGONO REGULAR DADO EL LADO DEL ESTRELLADO 

Como en caso anterior, aunque se trata de la construcción de un decágono, el procedimiento es aplicable a cualquier otro polígono. Procederemos, como en el caso anterior, construyendo un decágono inscrito en una circunferencia cualquiera, por el procedimiento ya visto en el tema anterior, obteniendo en este caso, uno de los lados del estrellado en 1'-4'. A partir del vértice 1', y sobre la prolongación del lado 1'-4', llevaremos la longitud del lado del estrellado dado, obteniendo el punto G. Prolongaremos los radios O-1' y O-4'. Por G trazaremos una paralela al radio O-1', que determinará sobre la prolongación del radio O-4', el punto 4, siendo este uno de los vértices del polígono buscado, y resultando la distancia O-4, el radio de la circunferencia circunscrita a dicho polígono. Trazaremos dicha circunferencia con centro en O, que interceptará a la prolongación del radio O-1' en el punto 1, otro vértice del polígono buscado, obteniendo en la cuerda 1-4 el lado del estrellado buscado. Solo resta determinar sobre la circunferencia circunscrita, los vértices restantes del polígono, que convenientemente unidos nos determinarán el decágono buscado.

Historia del Dibujo Técnico 

Introducción Desde sus orígenes, el hombre ha tratado de comunicarse mediante grafismos o dibujos. Las primeras representaciones que conocemos son las pinturas rupestres, en ellas no solo se intentaba representar la realidad que le rodeaba, animales, astros, al propio ser humano, etc., sino también sensaciones, como la alegría de las danzas, o la tensión de las cacerías. A lo largo de la historia, este ansia de comunicarse mediante dibujos, ha evolucionado, dando lugar por un lado al dibujo artístico y por otro al dibujo técnico. Mientras el primero intenta comunicar ideas y sensaciones, basándose en la sugerencia y estimulando la imaginación del espectador, el dibujo técnico, tiene como fin, la representación de los objetos lo más exactamente posible, en forma y dimensiones. Hoy en día, se está produciendo una confluencia entre los objetivos del dibujo artístico y técnico. Esto es consecuencia de la utilización de los ordenadores en el dibujo técnico, con ellos se obtienen recreaciones virtuales en 3D, que si bien representan los objetos en verdadera magnitud y forma, también conllevan una fuerte carga de sugerencia para el espectador.

INTRODUCCIÓN 



Es importante conocer como el hombre ha sentido la necesidad de comunicarse a través de trazos a partir de dibujos, desde la Época Primitiva y Antigua, se han logrado avances, en la Época Clásica y Edad Media, el investigador empieza a lograr mejores conocimientos creando nuevas técnicas en la expresión gráfica y trazo con mayor precisión es como se inicia le Época del Renacimiento y Contemporánea, auxiliando al alumno el conocimientos en sus estudios, es base fundamental en las áreas como Matemáticas, Física, Química, Biología... Encontrándose relacionada la materia de Dibujo Técnico con todas las materias que marca el mapa curricular y aquellas otras que de manera indirecta tienen relación con la expresión gráfica. Auxiliando al alumno en sus estudios que requieran de ilustraciones, esquemas y diagramas para visualizar, analizar y comparar correctamente comprendiendo los conceptos técnicos científicos.

CONCEPTOS TEORICOS ÉPOCA PRIMITIVA Y ANTIGUA 







PRIMITIVA: El origen del ser humano o su aparición sobre la. Tierra es, hasta nuestros días, una incógnita, Ejemplo: Los antropólogos mencionan teorías contradictorias acerca del origen del ser humano. A través de su historia, el ser humano ha desarrollado diversas capacidades para resolver problemas de distinta índole.  En su primera época el ser humano veía con terror los fenómenos de la naturaleza, fenómenos que no lograba explicarse por los reducidos conocimientos de carácter científico que poseía. Para lograr la supervivencia en un medio que le era hostil, su intuición, movida esta por sus necesidades, lo llevó ala formación de las hordas, las tribus, los pueblos, y el conjunto de estos a las grandes ciudades.  Según las experiencias a que sé vio sometido, fue logrando resultados positivos que se transmitieron a las generaciones posteriores. En la edad primitiva, la escuela era el hogar y la tribu; ya que los componentes de esta aportaban los conocimientos. Los teóricos del lenguaje afirman que el hombre primitivo para que pudiera entenderse con sus semejantes, inicialmente se valió de sonidos inarticulados, acompañados de ademanes o mímica; Posteriormente, utilizó sonidos articulados y se auxilió de la expresión gráfica. Como un medio más de comunicación. Prueba de ellos son las representaciones de animales y de cacerías que existen en Francia en la cueva de la Dordoña (30 000 - años A. C.) y en España en la, cueva de Altamira.