Dibujo Tecnico 2 Bachillerato

 

DIBUJO TÉCNICO 2º Bachillerato

Rafael Ciriza Roberto Galarraga Mª Angeles García José Antonio Oriozabala

erein

 

Diseño de portada: Iturri Diseño y maquetación: IPAR Dibujos: Rafael Ciriza, Roberto Galarraga, Mª Angeles García, José Antonio Oriozabala © Texto: Rafael Ciriza, Roberto Galarraga, Mª Angeles García, José Antonio Oriozabala © EREIN 2005. Tolosa Etorbidea 107 - 20018 Donostia ISBN: 84-9746-124-X D.L.: Imprime: Grafman S.A. Gallarta (Bizkaia)

 

Dibujo técnico 2º Bachillerato Rafael Ciriza Roberto Galarraga Mª Angeles García  José Antonio Oriozabala

EREIN

 

ÍNDICE

1.- Nociones de geometría proyectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Elementos fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Formas geométricas fundamentales. Clasificación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Transformaciones geométricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Producto de transformaciones. Transformación involutiva . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Congruencia. Igualdad e isomería . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Relaciones de incidencia o determinación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Relaciones de ordenación y separación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Operaciones proyectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Perspectividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Proyectividad entre formas form as de primera categoría . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.- Homología, afinidad homológica y homotecia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Homología . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  Afinidad homológica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Homotecia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.- Potencia e inversión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Potencia de un punto respecto de una circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Eje radical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Centro radical de tres circunferencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Inversión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 4.- Tangencias como aplicación de los conceptos de potencia e inversión. . . . . . . . . . . . 34 Resolución de tangencias aplicando el concepto de potencia. . . . . . . . . . . . . . . 34 Resolución de tangencias aplicando el concepto de inversión . . . . . . . . . . . . . . 36 5.- Curvas cíclicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 Curvas cíclicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 6.- Métodos del sistema diédrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53  Vistas auxiliares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53  V  Verdadera erdadera magnitud 56 Posiciones favorables. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 57  Abatimientos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 Giros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 7.- Paralelismo y perpendicularidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 Paralelismo. Condiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 Perpendicularidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 8.- Intersecciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 Recta con recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 Recta con plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 Plano con plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 9.- Distancias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 Distancia entre dos puntos. Verdadera magnitud de un segmento . . . . . . . . . . . 95 Distancia de un punto p unto a un plano p lano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 95 Distancia de un punto p unto a una recta r ecta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 96 Distancia entre dos rectas paralelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 96 5

 

Mínima distancia entre rectas que se cruzan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 Distancia entre planos paralelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 10.- Sólidos, superficies y sombras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 Clasificación de las superficies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 Poliedros regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Representación de sólidos limitados por superficies radiadas . . . . . . . . . . . . . 105 Representación de superficies de revolución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 Sombras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 11.- Secciones y desarrollos de superficies s uperficies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 Secciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 Desarrollos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 12.- Sistema axonométrico ortogonal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 Fundamentos. Ángulos y coeficientes de reducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 Tipos de perspectiva perspect iva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 Representación del punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 Representación de la recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 Representación del plano p lano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 Puntos y rectas sobre el plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 Paralelismo y perpendicularidad entre rectas y planos p lanos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 Intersecciones entre rectas y planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 13.- Representación de cuerpos poliédricos y de revolución en axonometría ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 Figuras planas sobre las caras c aras del triedro trirrectángulo. . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 Trazado de los ejes en la perspectiva isométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 Cuerpos prismáticos, piramidales, cilíndricos y cónicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 Secciones generadas por p or planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155  Verdaderas  V erdaderas magnitudes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 14.- Sombras en la axonometría ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 Fundamentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 Luz natural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 Luz artificial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 15.- Sistema axonométrico oblicuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 Fundamentos. Ángulos y coeficientes de reducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 Representación del punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 Representación de la recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 Representación del plano p lano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 Puntos y rectas sobre el plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 Paralelismo, perpendicularidad, intersecciones, secciones y sombras . . . . . . . . 171 171 Cuerpos prismáticos, piramidales, cilíndricos y cónicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171  Verdaderas  V erdaderas magnitudes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 16.- Sistema cónico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 173 Fundamentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 Tipos de perspectiva. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 6

 

17.- Procedimientos de trazado en el sistema cónico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 Procedimiento Directo o de las Visuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 Características fundamentales de la Perspectiva Cónica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 Procedimiento de los Puntos deplanas Fuga .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 182 Trazado de figuras poligonales 185 Escala de anchuras para segmentos paralelos a la línea de tierra . . . . . . . . . . 186 Escala de alturas para segmentos perpendiculares al plano geometral . . . . . . . 187 Escala de profundidades para segmentos perpendiculares al plano del cuadro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 Procedimiento de los Puntos de Distancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 Escala de profundidades para segmentos horizontales oblicuos al plano del cuadro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 Procedimiento de los Puntos Métricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 Influencia de diferentes parámetros en la perspectiva cónica . . . . . . . . . . . . . 198 Planos inclinados y rectas límite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 Trazado de curvas planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 18.- Sombras en el sistema 209 Generalidades . . .cónico . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 209 Luz natural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 Luz artificial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 19.- Acotación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 Principios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 Clasificación de cotas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219  Acotación de piezas según sus formas for mas y dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 Normas de acotación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 20.- Acabados superficiales super ficiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 Diferentes errores superficiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 Medición de la rugosidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 Indicaciónsuperficiales de acabadosrecomendados superficiales en  Acabados . . los . . .planos . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 236 238 21.- Tolerancias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 Introducción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 Tolerancias dimensionales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240  Ajustes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 Tolerancias geométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 22.- Representación normalizada de elementos mecánicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 Elementos de unión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 Rodamientos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266 Ruedas dentadas y engranajes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270 Muelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

7

 

Nociones ones de geome geometri tria a 1. Noci proyectiva

Dibujo Dib ujo técn técnico  ico 

Elementos fundamentales

Cualquier figura geométrica está formada por un conjunto de elementos fundamentales, ligados entre si por una serie de relaciones, denominadas propie propiedades dades geométricas. geométricas. Entre las propie propiedades dades geométricas geométricas con viene destacar las métricas y las gráficas. Las propiedades métricas cuyo estudio corresponde a la Geometría Métrica, se refieren al concepto de medida y las propiedades gráficas, en las cuales no interviene el concepto de medida se refieren a la posición relativa de puntos, rectas y planos dando su estudio origen a la Geometría Proyectiva. Los elementos que componen figuras espaciales pueden deducirse uno a partir de otros, pero siempre algunos de ellos han de definirse como fundamentales. Los elementos fundamentales de la Geometría son el punto, la recta y el plano. Estos elementos fundamentales, tienen en la Geometría Proyectiva un concepto más amplio que en la Geometría Métrica, ya que aquellos reciben ahora los nombres particulares de puntos, rectas y planos propios al admitir la existencia de los llamados elementos impropios o del infinito. Llamaremos punto impropio o del infinito a la dirección de una recta y  diremos, por tanto, que todas las rectas paralelas tienen común su punto impropio. El conjunto de los puntos impropios de un plano recibe el nombre de recta impropia o del infinito, y es el elemento común al conjunto de planos paralelos al primero. El conjunto de las rectas impropias del espacio recibe el nombre de plano impropio o del infinito, que contiene también, por tanto, a todos los puntos impropios del espacio.

Formas geométricas fundamentales. Clasificación

Se llama forma geométrica fundamental al conjunto continuo de infinitos elemen elementos tos funda fundamental mentales es (punt (puntos, os, rectas rectas,, plano planos) s) que cumpl cumplen en determinadas condiciones de pertenencia respecto a otros elementos fundamentales.  Atendiendo a los elementos geométricos fundamentales, las formas geométricas se clasifican en tres grupos:

9

 

Formas fundamentales de primera categoría

Son las constituidas por elementos de una sola especie (puntos, o rectas, o planos). Tres son las formas fundamentales de primera categoría: Serie rec Serie rectil tilíne ínea  a , constituida por los infinitos puntos de una recta. A dicha recta se le denomina base de la serie. Fig 1 r  A B C D

fig. 1

Haz de re Haz rect ctas as también llamado haz de rayos y radiación plana, constituida por las infinitas rectas de un plano que pasan por un punto V de dicho plano. El plano que las contiene se llama base del haz, y el punto común V, vértice o centro de l haz. Fig 2

r

 

V 

q s

m p

fig. 2

n

Haz de pl Haz plan anos os, constituida por los infinitos planos que pasan por una recta denominada arista del haz. Fig 3

γ β r α

λ

fig. 3

Formas fundamentales de segunda categoría

10

Son las constituidas por elementos de dos especie solamente (puntos y  rectas, o rectas y planos). Las formas fundamentales de este grupo son:

 

1. Noc Nocion iones es de geo geomet metria ria proy proyect ectiva  iva 

m

La forma plana:  e s e l conjunto de todos los puntos y rectas que constitu yen un plano. Fig 4

α

β  A

λ n

D

n q m

 V 

La ra radi diac ació ión n. Es el conjunto de las infinitas rectas  y planos que que pasan por un punto V, llamado vértice o

C

centro de radiación. Fig 5

B 

q

fig. 4

fig. 5

Es el conjunto de los infinitos puntos, rectas y planos del espacio.

Formas fundamentales de tercera categoría

El concepto de transformación equivale a los de operación, relación, correspond corre spondencia encia,, etc. En toda transformación transformación,, a cada punto A de una forma  f  ,  , le corresponde uno A´ y solo uno, de  f´  y  y recíprocamente. Son transformaciones geométricas entre otras, la traslación (fig 6), el giro (fig 7), las simetrías central y axial (figs 8 y 9). O

Trasformaciones geométricas

B’

B 

B  A’  A C’ C

 A

C

B’

fig. 6

C’

fig. 7

a

 A’

C’ B’

B B

 A’ O

 A  A

 A’

B’ C

fig. 8

C

C’

fig. 9

11

 

1. Noc Nocion iones es de geo geomet metria ria pro proyec yectiv tiva  a 

 Definiciones:

• La transformación de una forma  f  en   en otra  f´ , en la que a cada elemento A de  f  le   le corresponde uno A´de  f´ , se llama univoca. Si también se verifica que cada elemento A´de  f´  es  es el transformado de uno solo A de  f , se llama biunívoca. La transformación de  f´ en en  f  se  se llama inversa o reciproca y los puntos, rectas , etc., de  f  y   y  f´   que se corres f´  que ponden, homólogos. La traslación, el giro, la simetría son transformaciones biunívocas. • Si una forma se transforma en ella misma y si los elementos transformados tienen el mismo sentido u orientación que los primitivos, la transformación se llama acorde. Si tiene distinto sentido u orientación que los primitivos se llama discorde. La traslación, el giro y la simetría central son transformaciones acordes. La simetría axial, discorde. • El elemento que coincide con su transformado se llama doble. En la simetría central, el punto O es punto doble y en la simetría axial son dobles los puntos del eje e. • Si todos los puntos son dobles se dice que la transformación es una identidad. El giro de 360º es una identidad. Si por medio de una transformación de elementos homólogos A y A´

Producto de transformaciones. Transformación involutiva

una forma  f   se convierte  se otra  f´  y  y sihomólogos por medioA´ deyuna transformación geométrica deen elementos A´´,segunda  f´  se  se convierte en otra  f´´ , la transformación de elementos homólogos A y A´´ que convierte  f   en  f´´  se  se llama producto de ambas transformaciones. Si al aplicar sucesivamente dos transformaciones iguales se obtiene una figura idéntica a la primera, la transformación producto se llama involutiva. En la simetría central de la figura 10 al aplicar dos simetrías respecto del centro O, en la primera, el punto A se convierte en A´ y en la segunda el punto A´se convierte en A´´ coincidente con A por lo que es involutiva. 1 O

 A

 

A’

 A’’ 2

fig. 10

Congruencia. Iguald Congruencia. Igualdad ad e isomería

Se dice que dos figuras rígidas son congruentes si al superponerse mediante un movimiento coinciden. Dos figuras congruentes son iguales pero dos figuras iguales pueden no ser congruentes si no existe ningún movimiento en el plano o en el espacio que las haga coincidir. La simetría axial es un ejemplo de figuras iguales pero no congruentes en el plano. Otro tanto ocurre con las manos. Son iguales pero no son congruentes. Teniendo en cuenta la palma y el revés de la mano, no existe ningún movimiento que las haga coincidir. Si en una transformación entre puntos homólogos mantiene, es decir se verificalas la distancias igualdad de segmentos AB=A´B´ lasetransformación se llama isomería. Si además conserva el sentido, se llama isomería acorde y si no discorde.

12

 

Relaciones de incidencia o determinación

La palabra incidencia es sinónima de pertenencia o determinación. Diremos que dos elementos de distinto nombre se pertenecen cuando el primero está sobre el segundo, o el segundo pasa por el primero. Por ejemplo, decir que una recta pertenece a un plano significa que la recta está en el plano o que el plano contiene o pasa por la recta. Las relaciones de incidencia son las siguientes: • Dos puntos distintos determinan una recta que contiene a ambos. • Dos rectas distintas determinan un punto que pertenece a ambas. • Dos planos distintos determinan una recta que pertenece a ambos. • Tres puntos no pertenecientes a una misma recta, determinan un plano que contiene a los tres puntos. • Tres planos no pertenecientes al mismo haz determinan un punto que pertenece a los tres planos. • Un punto y una recta que no se pertenezcan determinan un plano que contiene a ambos. • Un plano y una recta que no se pertenezcan determinan un punto que pertenece a ambos.

Relaciones de ordenación y separación

La definición de punto impropio por la cual una recta AB tiene un solo punto impropio I∞, nos hace concebir a la recta como una línea (curva de radio infinito) cerrada por su punto del infinito, de tal modo que, dado un punto A en ella, se pueda recorrer íntegramente pasando por el punto impropio y volver a A de nuevo. Esta es la llamada disposición natural o circular de los puntos en la recta proyectiva. En la figura 11, se puede comprobar que fijado un punto A y un sentido como origen, queda determinada la ordenación de cualquier par de puntos M y N de la recta. En el sentido de la flecha M precede a N ó N sigue a M. Si cortamos la recta por dos puntos A y B, figura 12 , aparecen en ella dos segmentos: el segmento finito de extremos A y B, y el segmento infinito de extremos también A y B. El primero solo contiene puntos propios y el segundo contiene puntos propios y el impropio de la recta. Para diferenciar los dos segmentos, será necesario marcar un tercer punto en cada segmento; así en la figura 13, el segmento ACB (ó BCA) es el segmento finito y el ADB (ó BDA) el infinito. Uno cualquiera de ellos se llama complementario del otro. Por último, si los elementos C y D están respectivamente, en los dos segmentos complementarios, figura 13, se dice que los pares AB y CD se separan, y si C y D estuvieran en el mismo segmento, se dice entonces que los dos pares no se separan.  A

 

B M  

 A I

 

•

N

B I

•

fig. 12

 A I

•

I

•

fig. 11

C  

B

D I

•

fig. 13

13

 

Las operaciones fundamentales de la geometría proyectiva son proyectar desde un punto o una recta y cortar por una recta o un plano.

Operaciones proyectivas Proyección desde un punto V

• Proyectar un punto A desde V es trazar la recta VA llamada recta pro yectante. Fig 14 • Proyectar una recta s desde V es trazar el plano α determinado por V 

 y s llamado plano proyectante. Fig 15 • Proyectar una figura formada por puntos y rectas desde V es trazar las rectas y planos Que determina V con los puntos y rectas de la figura. La radiación formada se llama proyección o perspectiva de la figura. Fig 16  V 

M

 V 

 A

 

a

b

 

c

N

 V 

fig. 14

fig. 15

Sección por un plano plano   λ

fig. 16

• Cortar una recta s por un plano es hallar la intersección I también llamada traza de s con λ. Fig 17 • Cortar un plano α por otro λ es hallar la intersección o traza i de α con λ. Fig 18 • Cortar una figura formada por planos y rectas, por un plano λ   es hallar las trazas de dichas rectas y planos con λ formando lo que se denomina una sección. Fig 19

s

B

c

a b

i

m  A

I 

λ



α

fig. 17

γ



β n

fig. 18

14

fig. 19

 

• Proyectar un punto A desde r es trazar el plano α determinado por r   y A. Es el mismo caso que la fig. 15 • Proyectar una recta a desde otra r , coplanaria con ella, es trazar el plano α que determinan. Fig 20 • Proyectar desde r una figura formada por los puntos A, B y C es trazar los planos α, β y γ, determinados por r y cada uno de los puntos de la figura. Fig 21

Proyección desde una recta r 

r C a

B r γ

 



A

β

fig. 20

 coplanaria con ella es hallar la intersec• Cortar una recta a por otra s  coplanaria ción I de ambas. Fig 22. s

I

fig. 22

• Cortar una figura formada por planos, por una recta s  es  es hallar las intersecciones o trazas de s  con   con cada uno de los planos. Fig 23

Para terminar podemos decir que proyectar una figura sobre un plano es lo mismo que cortar la proyección por dicho

β γ

α

C B  A s

plano.

Perspectividad

fig. 21

α

• Cortar un plano α por una recta s , es hallar la intersección o traza I entre ambas. Fig 17

Sección por una recta s

a

 

fig. 23

Se dice que dos formas son perspectivas, o que están relacionadas perspectivamente, cuando una es sección de la otra o cuando las dos son proyección o sección de una forma de primera categoría y existe un elemento común a ambas.  V 

Perspectividad entre una forma y su sección o proyección

m D C B

• Si cortamos un haz de rectas a, b, c... por otra recta m  que  que no pase por V, la serie rectilínea A,B, C... de base m  que se forma como sección, es perspectiva con el haz de rectas. Fig 24

 A d c

a b

fig. 24

15

 

1. Nociones de geometria proyectiva 

• Si seccionamos un un haz de planos de arista r  con   con otra recta m  no  no coplanaria con r , la serie rectilínea A, B, C... que se forma como sección es perspectiva con el haz de planos. Fig. 25 • Si cortamos un haz de rectas a, b, c... por un plano π que no pase por  V,, el conjunto de puntos A, B, C... sección del haz de rectas, es pers V pectiva con ésta. Fig. 26 • Si cortamos una radiación de planos α, β, γ... por un plano π, el conjunto de rectas a, b, c... sección de la radiación de planos, es perspectiva con ésta. Ver Fig. 19

m

 por un plano π, el • Si cortamos el haz de planos α, β, γ... de arista r  por haz de rectas que pasa por V que se forma como sección, es perspectiva con el haz de planos. Fig. 27

 A

r  V 

α

γ

B

β β α

r

E

 A D

c

 V 

B C

C γ

fig. 25

b

e

a d

b

c a π

fig. 26

Perspectividad entre secciones de la misma forma

fig. 27

• Dos series rectilíneas de base m  y  y n , figura 28, son perspectivas por ser secciones del haz de rectas que pasan por V, siendo V el centro perspectivo de las series. • Si cortamos un haz de planos de arista r  por  por dos planos α y β que pasan por un mismo punto de la arista, figura 29, las dos secciones resultantes de ambos planos son dos haces de rectas perspectivos. La arista r  del  del haz de planos se llama eje perspectivo de los haces de rectas. α r

 V 

 V 

β

m

n

fig. 28

16

fig. 29

 

Perspectividad entre proyecciones de la misma forma

• Dos haces de rectas de vértices V y V´, de una misma serie rectilinea  A, B, C, D de base r , figura 30, son perspectivos por p or ser proyecciones de la serie r . La base de la serie se llama eje perspectivo de los haces. • Dos haces de planos, proyecciones de un mismo haz de rectas a, b, c, d, desde dos rectas distintas m  y  y n  que  que pasan por el vértice V del haz de rectas, figura 31, son perspectivos por ser proyecciones del haz de rectas. El plano del haz se llama plano central perspectivo.  V’  V  d c b a

 A

 

B

C

D

r

n m  V 

fig. 31 fig. 30

De entre las definiciones sobre proyectividad, la Chasles, la Staudt y la de Poncelet, todas ellas equivalentes, nos quedamos con la de Poncelet por ser la más sencilla de interpretar: “Dos formas de primera categoría son proyectivas si pueden obtenerse una de otra por medio de una cadena finita de proyecciones y secciones”.

Proyectividad entre formas de primera categoría

δ α

r

γ

β

 A

B

m

C

D

 V  n

a

fig. 32

 A’

b

 

 

B’

 

C’

 

D’

c

d

En el ejemplo de la figura 32, dada la serie rectilínea A, B , C y D de base m  y   y la recta r, proyectando desde r, se obtiene el haz de planos α, β, γ   y δ   de arista r . Cortando este haz de planos por otro plano π, se obtiene el haz de rectas a, b, c   y d   de vértice V. Cortando este haz de rectas con una recta n obtenemos la serie rectilínea A´, B´, C´ y D´. Estos haces y series, y los obtenidos de ellos por proyección y sección, son proyectivos entre si.

π

Clasificación de la proyectividad

Según la especie de los elementos que se correspondan, la proyectividad se clasifica en: • Homografía: Si recta los elementos homólogos punto y punto; y recta ó plano y plano.son de la misma especie: • Correlación: Si son de distinta especie: Punto y recta, punto y plano... 17

 

Homolo ología gía,, afin afinida idad d hom homológ ológica ica 2. Hom y homotecia

Dibujo técnico 

La   homología   en el espacio es la correspondencia existente entre dos figuras resultantes de seccionar un haz de rectas por dos planos no paralelos.

Homología

En la figura 1 observamos que las tres rectas que parten del punto V son seccionadas por los planos   α   y   β  obteniéndose unos puntos de corte, de forma que a cada punto A 1  le corresponde otro homólogo A’, a cada recta   r 1  otra homóloga   r’ , y a cada figura S1  otra homóloga S’.

β

 V 

Los elementos que intervienen en una  homología  son:   son:  – El  centro de homología : punto V de donde parten el haz de rectas.  – El  eje de homología : recta intersección entre los dos planos.

 A1 s1

r1

Por otro lado, diremos que tres puntos A 1  B 1  C 1  son  homólogos  de A’ B’ C’ cuando cumplan las siguientes condiciones:

B1

 

C’ S’

 – Estar en línea recta, con el centro de homología punto V.  – Que las rectas homólogas, por ejemplo A 1 B1  y A’ B’, se corten en puntos del eje de homología.

C1

 A’

 

r’

1 2

Esta última condición nos lleva a definir el   eje de homología  como el lugar geométrico de los  puntos dobles , es decir, de los puntos que son  homólogos de sí mismos .

B’

α

Eje de homología

fig. 1

3

Se llama  recta límite  al   al lugar geométrico de los puntos homólogos de los  puntos del infinito .

Rectas límites β

ML

 V  M’L’

N1 M1 α'

K' T' α

18

fig. 2

β'

Como sabemos, si dos rectas son paralelas, o un plano y una recta son paralelos, estos se cortan en el infinito. Pues bien, si en la figura 2 tra traza zamos mos rec rectas tas par paral alela elass al plano   α   por el punto V en diferentess direc rente direccion ciones, es, sign significa ifica que dichas rectas se cortarán con  α  en el infinito según esas direcciones. Sin embargo, estas mismas rectas cortan cor tan al pla plano no   β   en los puntos M1, N1… formando una recta. Esta recta es la llamada  recta límite  RL.  RL. El punto M1  tendrá su homólogo M’ sobre el plano   α  en el infinito

 

2. Homología, afinidad homológica y homotecia 

ML

según la dirección VM1, al igual que todos los puntos que conforman esta  recta límite .

 V  ω

C1

β

M’L’ B1

1

 A1 B'

ML

T

 V 

B

2

De igual manera hallaremos la  recta límite  R’L’.   R’L’. Por V se trazan paralelas al plano   β  y los puntos de corte con el plano  α  formarán la R’L’. Así, diremos que el homólogo del punto K’ perteneciente al plano   α   estará en el infinito sobre el plano   β. Según la dirección VK’.

C  A

En la figura 3 podemos observar cómo se realiza el paso de la homología espacial a la plana.

C'  A'

Z 3

α

fig. 3

 V  M

 

N

Z

K B

Z

 A C

N'

M'

2

1 C'

Para ello se abate el plano   β   sobre el plano   α girándolo sobre el propio  eje de homología  obte obteniendo A, B, C y RL. Para abatir el punto V se traza por dicho punto un plano  ω   perpendicula perpendicularr a los plano  α  y   β  obteniéndose el punto T intersección del plano   ω   con R’L’. Haciendo centro en T y con radio TV hallamos V sobre el plano α. En la mi mism smaa fi figu gura ra po pode demo moss ve verr qu que e la lass direcciones de las rectas A’B’ y VZ son paralelas. En la figura 4 tenemos la homología dibujada en el pl plan ano o y po pode demo moss ob obse serv rvar ar qu que e la lass   rectas  límites    son son pa para rale lela lass al   eje de ho homol molog ogía  ía .  Además, las distancias de las  rectas limites  R’L’   R’L’ y  RL al  eje de homología  y  y al  centro de homología  respectivamente son iguales. Puede darse el caso de que las dos rectas límites sean exteriores a la parte del plano comprendido entre V y el   eje , tal como indica la figura 5. También puede ocurrir que las dos  rectas lími-  tes  se confundan, es decir, coincidan, tal como indica la figura 6. La homología se llama entonces  homología involutiva .

 A'

B'

 V 

Z'

K'

fig. 4 ML        d

       d

 V 

ML  ≡  M’L’

Homologia-ardatza        d

       d

M’L’

fig. 5

Homologia-ardatza

fig. 6

19

 

  queda definida conociendo los elementos siguientes: Una  homología  queda

Formas de definir  una homología

1.El   centro , el  eje,  y dos  puntos homólogos . 2.El  centro , el  eje, y la  recta límite  de   de la figura homóloga que se busca.

EJERCICIOS RESUELTOS 1. Dad Dados os los los datos datos de la la figura figura 7 hall hallaa el  polígono homólogo  al dado.  V 

B

 A C

D

 A'

fig. 7

Solución: Para hallar el homólogo del punto B, por ejemplo, unimos B con A y alargamos hasta cortar al  eje  de homología  en   en el punto 1. El homólo V 

go 1’ del punto 1 es el mismo punto por pertenecer al   eje . Unimos 1’ con A’ y V  con B. Estas dos rectas se cortarán en B’ homólogo de B. Repitiendo esta operación obtendremos los demás puntos.

Z

ML

Para obtene Para obtenerr las   rectas límit límites  es   tomaremoss un punt mo punto o si situ tuad ado o en el in infi fini nito to según segú n un unaa di dire recc cció ión n cu cual alqu quie iera ra;; po porr ejemplo el punto Z’ del infinito situado sobre la recta A’B’. Si este punto Z’ del infinito infi nito está sobre la recta A’B’ su homó homó-logo estará sobre la recta AB. Trazando por V una recta paralela a la recta A’B’, ésta és ta se co cort rtar aráá co con n la re rect ctaa AB en el punto Z perteneciente a la   recta límite  RL. Una vez hallado Z, y sabiendo la propiedad que tienen las   rectas límites   de equidis equ idistanc tancia ia resp respecto ecto al   centro centro de  homología,   y    eje de hom homolo ología  gía   y de paralelismo respecto del   eje de homolo-  gía , trazaremos RL y R’L’.

B

M’L’  A

C

D 1 ≡  1'

2

3 C'

 A'

B'

Z'

20

4

D'

 

2. Homología, afinidad homológica y homotecia 

2. Dados los los datos de la la figura 8 halla halla el polígono polígono homólogo homólogo al dado dado..  V 

ML

B

 A C  V 

D

1

Solución:Para hallar por ejemplo el homólogo del punto B, se traza una recta cual cu alqu quie iera ra qu que e pa pase se po porr B, po porr

 A C r

D  

fig. 8

ML

B

4  ≡  4’

Homologia-ardatza

2  ≡  2’ Homologia-ardatza

 

3  ≡  3’ D’

r’ C’

 A’

sencillez sencil lez cog cogemo emoss la rec recta ta BC, la cual corta en 1 a la RL y en 2 al  eje . La recta homóloga de la 1-2, recta r, deberá pasar por el punto 2’ y  serr pa se para rale lela la a la V 1   recta   r’ . El punto de corte entre la recta  r’  y la recta VB nos dará B’ homólogo de B. Pa Para ra ha hall llar ar lo loss de demá máss pu punt ntos os procederemos como en el ejercicio anterior.

B’

 V 

Casos particula particulares res 3 B 

C 2

 Afinitate-ardatza

 A B'

1

 A'

En la figura 9 vemos que el  centro  de homol homología  ogía   está está en el inf infini inito. to. En este caso obtenemos una  afini-  dad homológica.

C'



Dependiendo de que el  centro de  homología   y el   eje de homología  sean  propios  o  o   impropios , es decir, que sean conocidos o estén en el infinito, infin ito, obten obtendremo dremoss caso casoss part partiiculares de homología.

fig. 9

En la figura 10 observamos que el eje de homología  está   está en el infinito por ser los dos pla planos nos pa paral ralelo elos, s, obteniéndose una  homotecia . 21

 

2. Homología, afinidad homológica y homotecia 

 Yaa en la figura 11 tenemos que tanto el   eje  como  Y   como el  centro de homolo-  gía  están   están en el infinito, obteniéndose una  traslación .  V 

 V 

B B C



 A



C

B'  A 

B'

C' 

C'

 A'

 A'

fig. 10 fig. 11

 Ya hemos visto que la  afinidad  es  Ya   es un caso particular de la  homología ,  y la consecuencia de que el  centro de homología   sea   impropio  es   es que las rectas que unen puntos homólogos sean paralelas. A la dirección de éstas se le denomina  dirección de afinidad , pudiendo ser ésta oblicua al  eje de afinidad  (fig. 12) o perpendicular al mismo (fig. 13). Las  rec-  tas límites  serán   serán   impropias , es decir, estarán en el infinito.

Afinidad homológica

B

B

K0. (fig. 14)

Co

 

2

fig. 14

22

fig. 13

Si las figuras afines están una a cada lado del  eje de  afinidad   la   razón de afinidad   será negativa, K < 0 (figs. 12 y 13). Si las dos figuras están al mismo lado

 A'

 Ao

B'

En la relación K = A 0 A /A0 A’ = B0B / B0B’ = C0C /C0C’, a la constante K se le denomina  razón de afinidad .

 A B'

3

C'

C'

B

Co

3

 

2. Homología, afinidad homológica y homotecia 

EJERCICIOS RESUELTOS 1. Dad Dados os los los datos datos de la la figura figura 15 hall hallaa el  polígono afín  al dado. B

B

C

C

 A  A 1

D

2  

3

D  

4 D'

 A'

 A'

C' B'

fig. 15

Solución :En :En la figura se puede observar cómo obtenemos los  puntos afines  del polígono dado, de forma

similar a como lo hacíamos en una homología normal. 2. Dad Dados os los dato datoss de la figura figura 16 y sabien sabiendo do que la la  razón de afinidad  es   es K = -1 halla el  polígono afín  al dado. B

B

 A

C

 A

C

E E

 

 

D

D 1

 

 Ao

2

4

3

d E'

 A'

fig. 16

D'

 

C'

B'

Solución: Aplicando la definición de la razón de afinidad, tenemos:

K = AA0 /A’A0   -1 = AA0 /A’A0

 

A’A0  = -AA0

El signo menos (–) indica que las   figuras afines   están una a cada lado del  eje de afinidad . Si nos fijamos en el resultado del ejercicio comprobaremos que las dos figuras son  simétricas  respecto   respecto del  eje de afinidad. Por tanto, podemos decir que la  simetría axial  es   es un caso particular de la  afinidad homológica .

Homotecia

La  homotecia  también   también es un caso particular de la  homología . En esta relación geométrica el   eje de homología   es   impropio   y como consecuencia de ello no existen   rectas límites . En la figura 17 el homólogo del triángulo ABC es el triángulo A’B’C’,  y se cumple que OA’/OA = OB’/OB = OC’/OC = K, siendo K la  razón  de homotecia . Si ésta es positiva, K > 0, los puntos homólogos están a un mismo lado del  centro de homotecia  (fig.   (fig. 17), y si es negativa, K < 0, los puntos homólogos están a distinto lado del  centro de homotecia . (fig. 18) 23

 

2. Homología, afinidad homológica y homotecia 

En toda  homotecia  se   se cumple que: 1. Las rectas homóloga homólogass que no pasan por el centr centro o son para paralela lelas. s. 2. Los segm segmentos entos homólogos homólogos son para paralelos lelos y prop proporcio orcionales nales.. 3. Los ángulos homólogos homólogos son igua iguales. les. C'

 A'

KO

B

B' B

O

O

 A

 A'

C

B'

C C'

fig. 17

fig. 18

En la figura 19 tenemos dos circunferencias  homotéticas . Se cumple que:

R/r = OC’/OC = K También: R=r·K

OC’ = K · OC T' B'

T

B

 A'

     R 

     r

 A C'  

O

C

D

fig. 19

D'

EJERCICIOS RESUELTOS 1. Dad ado o el  centro de homotecia  O, la   razón de homotecia  K = 2,5 y una circunferencia de centro C y radio 10 mm, calcula su homotética sabiendo que OC = 25 mm.

    5     2    0    1

O

En la figura 20 se observa que la homotética es otra circunferencia de centro C’ situada en la recta OC tal que:

C'

C

OC’ = K · OC = 2,5 · 25 = 62,5 mm R = K · r = 2,5 · 10 = 25 mm

25 62,5

24

fig. 20

 

2. Homología, afinidad homológica y homotecia 

2. Dad Dados os los los datos datos de la figur figuraa 21 y la razón de homotecia  K = –1 halla el  homotético  del polígono dado ABDC. B

C'

En el ejercicio resuelto podemos observar que la  homotecia  así definida es una  simetría central .

O  A

 

D'

D

C

A'

fig. 21

B'

EJERCICIOS 1. Ha Hall llaa el homólogo  del punto B en la  homología  definida en la siguiente figura. B  V 

 A

 A'

2. Ha Hall llaa la lass  figuras homólogas  de las dadas.  V   V 

P  A  A

D C P'

B

 

C

B

3. Ha Hall llaa la lass  figuras afines  de las dadas. B'  A'

 A B

 A

B P

C D

 

C

25

 

2. Homología, afinidad homológica y homotecia 

4. Hall Hallaa la figura homotética  del polígono dado, siendo el  centro de homotecia  el punto 0 y la  razón de homotecia  K = 1/3. C D

B

 A

O

E

H

 

F

G

5. Hall Hallaa la la  figura homotética  del triángulo ABC siendo O el  centro de homotecia  y K = 2 la  razón de homotecia.

K

 A B

O

26

C