Dibujo Basico y Geometria Plana PDF

 

DOCUMENTO DE APOYO GEOMÉTRIA BÁSICA

JUSTIFICACIÓN1

 

 

l dibujo como una forma de lenguaje proporciona la libre expresión de ideas de una forma creativa, lúdica, experimental, lo que conlleva a la creación y desarrollo de nuevos artefactos útiles para el ser humano, generando nuevas alternativas de vida.

E

Con esta guía te proponemos introducirte en el fantástico mundo de la creatividad como un paso de entrada a la transformación del medio en que vives, además te generara pautas para que crees o mejores algunos artefactos que puedan darle una solución económica y/o social viable a tus proyectos. OBJETIVOS GENERALES 1. Estimular media mediante nte las actividade actividadess creativas el desarrollo de de destrezas y habilidades en el campo tecnológico de acuerdo con los intereses grupales e individuales individual es de los dicentes del SENA. 2. Fomentar la práctica de actividades tecnológicas integrándolas creativamente al quehacer cotidiano. 3. Desarrollar elementos de identidad con el dibujo de modo tal que los dicentes comprendan la importancia del dibujo de ingeniería, así como los fundamentos del dibujo a través de la computadora y software CAD, CAM, CIM entre otros.

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 Documento preparadp por MARUBOGA. MARUBOGA. Inga metalurgica especialista especialista en gerencia

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INTRODUCCIÓN

 

esde tiempos remotos el hombre a empleado el dibujo para comunicar sus ideas a los congéneres, así como almacenar sus ideas a fin de no olvidarlas. Las formas formas más primiti primitivas vas de escritu escritura, ra, tales como los je jeroglíficos roglíficos egipcios, fueron formas pictóricas. Inicialmente estos dibujos cumplieron con una necesidad elemental de expresión mucho antes del desarrollo de la escritura. Sin embargo, el dibujo se libero gradualmente de su uso primitivo cuando se desarrolló la escritura y vino a ser utilizado principalmente por artistas y diseñadores de ingeniería como un medio para dar a conocer ideas sobre la construcción de trabajos terminados como las pirámides, carros de guerra, entre otros. La palabra GRÁFICO significa “comunicación de ideas por medio de líneas o signos impresos sobre una superfic superficie”. ie”. Un dibujo es una representación gráfica de una cosa real. Por consiguiente el dibujoe es un lenguaje ya que emplea imágenes para comunicar pensamientos ideas. Debido gráfico, a que estas imágenes las entienden todas las personas de diferentes nacionalidades, se dice que el dibujo es un “Lenguaje universal”. El dibujo se ha desarrollado en dos formas diferentes, cada una de las cuales sirve a un propósito diferente. Al dibujo artístico le concierne la expresión de ideas, historias y emociones emociones en form forma a pictórica, utilizando utilizando colo colorr y línea para produ producir cir imágenes. El dibujo de ingeniería se ocupa principalmente de reproducir con precisión ideas técnicas de naturaleza práctica. Este método de dibujo se utiliza en muchos campos de la ingeniería, como la mecánica, la civil, la eléctrica, la electrónica, la arquitectónica arquitectónic a y la construcc construcción. ión. Por esta razón, el dibujo de ingeniería ingenier ía se considera como eell LENGUAJE DE LA INDUSTRIA. Para el dibujo de ingeniería además de la capacidad de dibujar, es necesario poseer fundamentos sólidos de tecnología, matemáticas y ciencias físicas, cierto grado de habilidad creativa, conocimientos especializados y adiestramiento en el área particular en la empresa.

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 ÁREA S  ÁREAS REPRESENTATIVA  ACTIVIDADES  ACTIVIDA DES S DEL DIBUJO DE INGENIERÍA MECÁNICO

Diseño Pruebas Manufactura Mantenimiento Construcción

 

PRODUCTOS

 ÁREA S DE  ÁREAS ESPECIALIZACIÓN

Materiales Máquinas Dispositivos

Transporte Manufactura Energía

Edificios Medio ambiente Paisaje

Formas espaciales

Computadoras Electrónica

Energía Transporte Iluminación Comunicaciones Instrumentación

ARQUITECTÓNICO

Planeación Diseño Supervisión

ELÉCTRICO

AEROESPACIAL

Diseño Desarrollo Supervisión Programación

Planeación Diseño Pruebas

Energía

Aviones Satélites Proyectiles

Aerodinámica Diseño estructural Instrumentación Sistemas de propulsión materiales pruebas de confiabilidad métodos de producción.

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 ÁREA S  ÁREAS REPRESENTATIVA  ACTIVIDADES  ACTIVIDA DES S DEL DIBUJO DE INGENIERÍA ILUSTRACIÓN

 

PRODUCTOS

 ÁREA S DE  ÁREAS ESPECIALIZACIÓN

Catálogos Revistas Escarapelas

Productos nuevos Instruccioness de Instruccione ensamble Presentaciones Proyectos comunales Programas de renovación

TÉCNICA

20

10

Promoción Diseño Ilustración

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  En general el dibujo como una forma de lenguaje proporciona la libre expresión de ideas de una forma creativa, lúdica, experimental, lo que conlleva a la creación y desarrollo de nuevos artefactos útiles para el ser humano, generando nuevas alternativas de vida.

CONTENIDO   1. 1.1

GEOMETRÍA BÁSICA PERPENDICULARIDAD

1.2 PARALELISMO 1.3 ÁNGULOS 1.4 TRIÁNGULOS 1.5 CUADRILÁTEROS 1.6 CIRCUNFERENCIA 1.7 POLÍGONOS REGULARES 2. CONSTRUCCIÓN DE EMPALMES 3. CONSTRUCCIÓN DE CURVAS ESPECIALES BIBLIOGRAFÍA

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GEOMETRÍA BÁSICA 

1

En general se distinguen dos clases de líneas: la línea recta y la línea curva   Línea recta

Línea curva

Dos rectas que estén ubicadas en un mismo plano pueden ocupar diferentes posiciones relativas a saber:   Si

tienen un punto en común, están generando una intersección, donde los ángulos pueden ser diferentes o iguales. Si los ángulos son iguales a 90º las rectas reciben el nombre de perpendiculares C A

P

Punto en común

D

B

 

Si no tienen un punto en común, las rectas reciben el nombre de paralelas.

 

Debemos además tener en cuenta los siguientes conceptos:

a. La mínima distancia entre dos puntos es la línea recta. b. Dos puntos definen una recta, ya que sólo hay una recta que pasa por dichos puntos. c. La porción de recta comprendida entre dos puntos se denomina segmento.

r

A s

B t u

5

 

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A

d. La mínima distancia, o la distancia un punto a una recta, es de la perpendicular a dicha recta que pasa por el punto dado.

u

o r s

t m

e. Por un punto sólo pasa una perpendicular a una recta dada.

90º

f. Si una recta es perpendicular a otra recta, también lo es a su paralela.

r P

g. La distancia entre rectas paralelas es la perpendicular trazada a ambas por un punto cualquiera

h. La distancia entre arcos concéntricos, es la normal (radio) trazada a ambos por un punto cualquiera.

s

s

s-r

r  C

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i. La mínima distancia de un

C

r

P

punto a una está sobre la circunferencia, recta que une dicho punto con el centro de la circunferencia, esta recta, es la normal o perpendi perpendicular cular trazada desde el punto (P) a la circunferencia. circunferencia.  j. Por un pu punto nto sólo pa pasa sa una no normal rmal o per perpendicular pendicular a una circunferencia circunferencia k. La mínima distancia del centro de una circunferencia o arco a una recta es la perpendicular trazada desde el centro a la recta, realizando todas las deducciones podemos obtener la mínima distancia entre la circunferencia y la recta.

C

r t A

B

7

 

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1.1

PERPENDICULARIDAD C

PERPENDICULAR PERPEN DICULAR A UNA RECTA POR EL PUNTO MEDIO MEDIO DE LA MISMA El conjunto de puntos cuyas distancias a los extremos de un segmento es la misma, es una línea recta perpendicular al segmento. Esta recibe el nombre de MEDIATRIZ. Como la mediatriz de un segmento es perpendicular a dicho segmento y pasa por su punto medio, la podemos definir también como la perpendicular de un segmento trazado por su punto medio. Y se construye así:

E A

B

D

1. Se traza la recta deseada y se nombra. 2. Con centros en los extremos de la recta y un mismo radio, trazar arcos que se corten en dos puntos exteriores a ella. 3. Unir estos dos centro de marca y dará como resultado la perpendicular en el punto medio de la recta inicial. TRAZAR LA PERPENDICULAR POR UN PUNTO CUALQUIERA DE UNA RECT RE CTA A “ r”

1. Se traza la recta deseada y se nombra. 2. Se ubica un punto cualquiera (por donde se desea que pase la perpendicular) 3. Con centro en el punto elegido y con un radio cualquiera trazar un arco que corte la recta (nombrar los puntos) 4. Con el mismo radio y con centro en los punto de corte, trace un arco que corta en un punto (marcarlo), el arco anteriormente realizado. 5. Con centro en el punto anterior y el mismo radio trazar una marca de arco. 8

 

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6. Realizar la misma operación al lado contrario. 7. Unir estos dos centro de marca y dará como resultado la perpendicular a la recta inicial. G

G

F

F

E

E

C

A

B

A

B

PERPENDICULAR A UNA RECTA POR UN PUNTO EXTERIOR C  

   

 

 

Trazar la línea deseada. Ubicar el punto exterior a la recta y nombrarlo nombrarlo.. Con centro en el punto exterior trazar un arco que corte la recta en dos puntos y nombrarlos. Con centro en los puntos de corte (entre el arco y la recta) y con radio mayor que la r distancia AB, trazar marcas y nombrar el punto (P). La recta que une el punto C y el Punto P será la perpendicular pedida.

B

s

t A t P

PERPENDICULAR POR EL EXTREMO DE UN SEGMENTO

Conocido un segmento “AB”, se puede trazar una perpendicular por uno de sus puntos extremos “A” o “B”, o sea, una recta que forme un ángulo recto con el segmento dado. 9

 

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Sabiendo que cualquier ángulo que tenga su vértice en la circunferencia

D

ydelos pasen por90º. los extremos un lados diámetro, mide  

Trazar una circunferencia de cualquier diámetro que pase por el extremo donde se desee la perpendicular (“A” o “B”).

C A E

B Se traza un diámetro que una el centro “C” con la intersección de la circunferencia y el segmento “AB”, (se nombran los puntos extremos) se obtiene el diámetro “DCE”,   Se traza un segmento que una al diámetro generado y la línea AB, siendo el segmento “AD” perpendicular al “AB”  

1.2

PARALELISMO

TRAZAR LA PARALELA A UNA ENTRE ENT RE ELL ELLAS AS

REC RECTA TA “ r” CONOCI CONOCIDA DA LA DI DISTANCI STANCIA A G

F

A

C

D

B

1. Se traza la recta deseada y se nombra. 2. Se ubican dos puntos cualquiera (nombrar los puntos). 3. Con centro en los puntos elegidos y con un radio igual a la separación entre las dos líneas a construir, trazar dos arcos que corten la recta. 4. La recta tangente a los arcos trazados anteriormente será la paralela pedida.

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PARALELA A UNA RECTA Y QUE PASE PO POR R UN PUNTO PUNTO “ C” EXTE EXTERIO RIOR RA ELLA.

Primer método:  

 

 

Con centro en el punto C y con un radio arbitrario, trazar un arco que corte le recta AB en un punto D.

E

C

Trazar la recta y uubicar bicar el punto exterior por donde a de pasar la paralela.

 

r r F

D

A

B

Con centro en el punto D y con el mismo radio anterior, trazar un arco que corte le recta AB en un punto F.



  A del FC punto D, sobre el arco respectiv respectivo, o, trasladar la distancia DE igual a la partir distancia

 

La recta que pasa por los puntos C y E, será la paralela pedida.

Segundo método:  

 

Trazar la recta y uubicar bicar el punto exterior por donde a de pasar la paralela.

Q

P

Con centro en un punto cualquiera (C) perteneciente a la recta r, trazar un arco que corte la recta en los puntos A y B.

 

Sobre el arco y a partir de A, pasar la distancia PB igual a la distancia AQ.   La recta que pasa por los puntos P y Q, será la paralela pedida.

r A

C

B

EN GENERAL : Si se tiene la recta “r” y el punto “P” y se traza un arco de circunferencia circunferenc ia cualquiera con centro sobre la recta “r” y que pase por el punto “P”

y “Q”, determinamos los puntos “A” y “B”. 11

 

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La distancia “PB” debe ser igual a la distancia “QA”, ya que en una circunferencia a arcos iguales corresponden cuerdas iguales, por lo que tomando dicha distancia con el compás buscamos el punto “Q”, que unido con el punto “P”, nos definirá la paralela. También lo podemos hacer por el procedimiento anterior, teniendo en cuanta que el punto “B” de la figura anterior es, en esta caso, un dato. DIVIDIR UNA RECTA AB EN UN NÚMERO CUALQUIERA DE PARTES IGUALES

Existen 2 métodos a saber: Primer método:   Trazar la recta a dividir.   Trazar dos rectas paralelas entre sí, formando un ángulo cualquiera (diferente de 0º) en los extremos de la recta a dividir.   Dividir las rectas paralelas en tantos segmentos iguales y consecutivos como divisiones se desee obtener sobre la recta.

 b 5 4 3 2 1 A

C

D

E

F

G

B 5

4 3 2

 

 

12

Numerar los extremos de los segmentos

1 a

Unir entre sí los puntos de igual número, por medio de rectas para localizar los puntos de corte que dividirán a la recta dada en partes iguales y proporcionales.

 

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Segundo método:  

Trazar la recta a dividir y nombrar sus extremos.

 

Con centro en A y B, respectivamente respectivamen te y con radio AB trazar dos arcos (nombrar el punto resultante C).

 

Unir los puntos A y B con el punto C.

 

A part partir ir de C, sobre las rectas CA y CB o sus prolongaciones, llevar tantos segmentos iguales y consecutivos como divisiones se deseen obtener en la recta AB.

C

A

1

2

3

D

4

5

B

E

 

Unir los ext extremos remos DE. Sobre dicha reta transportar transportar en en fo forma rma consecutiva los segmentos iguales iguales a los trazados en DC y EC.   Unir cada uno de los puntos de división de la recta DE con el punto C, quedando así la recta dada en la forma solicitada. 1.3

ÁNGULOS 

BISECTRIZ DE UN ÁNGULO

a. El conjunto de puntos cuyas dista distancias ncias a los lados de dell ángulo es la misma misma,, es una línea recta que recibe el nombre de BISECTRIZ del ángulo. b. Como la BISECTRIZ equidista de los lados del ángulo, también podemos definirla como la recta que divide al ángulo en dos partes iguales. Para trazar una bisectriz de un ángulo dado se procede así:

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 

D

Con un radio mayor que la distancia ED, y haciendo centro en los puntos E ylos D respectivamente, trazar arcos que se cortan en el punto F

 

 

Con centro en V Trazar el arco ED con radio arbitrario.

F V

La recta que une los puntos V y F, será la bisectriz del ángulo dado.

E

BISECTRIZ DE UN ÁNGULO DE VÉRTICE INACCESIBLE  

 

 

14

A distan distancias cias igu iguales ales y paralelas a los lados del ángulo (método ya conocido), trazar dos rectas que se corten en un punto M interior del ángulo.

r

Realizando el pr proceso oceso para llaa construcción de la bisectriz se procede a determinar la bisectriz del ángulo interior formado. La bisectriz resultante será la misma, ya que si equidista de “t” y de “u” también equidistará de “r” y “s”, que son paralelos y situados a la misma distancia.

t

u s

 

DOCUMENTO DE APOYO GEOMÉTRIA BÁSICA   C

TRAZAR UN ÁNGULO IGUAL A OTRO DADO  

el ángulo.   Con centro en A y A’, con igual radio arbitrario, trazar los arcos DE y D’E’, respectivamente.  

 

E

Sea BAC el ángulo dado y A’B’ el lado a partir del cual se desea trazar

B

A D

C’ E’

Desde el punto E’ y sobre el arco respectivo, marcar la distancia D’E’ igual a DE.

B’

A’

La recta A’E’ fo formará, rmará, con la recta A’B’, un ángulo igual al dado.

D’

DIVIDIR DIVID IR UN ÁNGULO RECTO EN TRES ÁNGULOS IGUALES  

Con centro en el ángulo recto, trazar el arco ED con radio arbitrario.

 

Con centro en E y D, respectivamente y con el mismo radio utilizado en el paso anterior, trazar los arcos que cortan el arco DE en los puntos F y G.

 

Trazar la lass rectas Desde el vértice a G y a F que dividirán el ángulo en tres ángulos iguales.

E G

F V

D

DIVIDIR DIVID IR UN ÁNGULO CUAL CUALQUIER QUIERA A EN TRES PARTES IGUAL IGUALES ES  

Construir el ángulo y nombrar sus puntos extremos.

 

Trazar la bi bisectriz sectriz del del án ángulo gulo BAC.

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 

Sobre la bisectriz trazada AG y a partir del vértice pasar la distancia AG igual a la distancia DE

 

Con centro en el vértice, trazar la semicircunferencia semicirc unferencia EFD con radio arbitrario.

 

Trazar la recta DG que corta a la semicircunferenc semicircunferencia ia en el punto I.   Sobre el arco FE, a partir de I, pasar la distancia IJ igual a FI.  

Trazar las rectas AJ y AI, que dividen el ángulo BAC en tres ángulos, aproximadamente iguales G C

F

I

J

D

A

E

B

 ÁNGULOS  ÁNGUL OS CENTRAL CENTRALES ES E INSCRITOS

16

 

 ÁNGUL O CENTRAL :   Es el que tiene su vértice en el centro de una  ÁNGULO circunferencia, circunferenc ia, su media es la misma que la del arco correspondiente. correspondient e. Todo ángulo central mide lo mismo que el arco limitado por sus lados.

 

 ÁNGUL O INSCRITO: Es el que tiene su vértice en una circunferencia, su media es la mitad que la del arco que abarca sus lados. Todo ángulo inscrito en la misma circunferenc circunferencia ia y que abarque el mismo arco medirá lo mismo. 

 

 ARCO CAPA CAPAZ: Z: Es el arco que contiene todos los vértices de los ángulos inscritos cuyos lados lados abarcan el mismo aarco. rco. En una misma circun circunferencia, ferencia, a ángulos centrales o inscritos iguales corresponden arcos y cuerdas iguales. 

 

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1.4

 

TRIÁNGULOS 

a. Triángulo es la figura formada por tres ángulos. b. Los se letra designa designan n con let letra ra mayúscula los lado lados con vértices la misma que el vértice opuesto, ypero cons minúscula. c. Cuando mayor es un ángulo, mayor es el lado opuesto a este ángulo y viceversa. d. La suma de los ángulos internos de un triángulo es 180º. e. Los triángulos que tienen tres lados iguales reciben el nombre de EQUILÁTEROS. f. Los triángulos que tienen dos lados iguales reciben el nombre de ISÓSCE ISÓSCELES. LES. g. Los triángulos que NO tienen ESCÁLENOS.

lados iguales reciben el nombre de

h. Los triángulos que tienen un ángulo obtuso reciben el nombre de OBTUSÁNGULOS. i. Los triángulos que tienen un ángulo recto reciben el nombre de RECTÁNGULOS.  j. Los triángulos triángulos que tienen los tres ángulos agudos reciben el nombre de ACUTÁNGULOS.

RECTAS NOTABLES DEL TRIÁNGULO  ALTURA  A LTURAS. S. ORTOCENTRO:   La altura de un triángulo, es la perpendicular trazada a la base desde el vértice opuesto. Dado que cada uno de los lados puede ser considerado base, todos los triángulos tienen tres bases y tres alturas. Las alturas de un triángulo, siempre se cortan en un punto llamado ORTOCENTRO, ORTOCEN TRO, que puede estar situado dentro o fuera del triángulo, según este 17

 

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sea acutángulo u obtusángulo; en el caso del triángulo rectángulo, el ortocentro coincidirá con el vértice del ángulo recto.

BISECTRICES. INCENTRO: INCENTRO: Si

B

trazamos las bisectrices de los tres ángulos de un triángulo, siempre se cortarán en un punto interior del triángulo llamado INCENTRO, porque es el centro de un circunferencia inscrita en el triángulo.

Q P

Recordemos que la bisectriz es el conjunto de puntos que equidistan de los lados del ángulo; el valor de la distancia entre PI, QI y IR es el valor del radio de la circunferencia inscrita.

C R A

MEDIATRICES. CIRCUNCENTRO:   Si trazamos CIRCUNCENTRO: las mediatrices de los tres lados del triángulo, siempre se cortarán en un punto interior o exterior del triángulo llamado CIRCUNCENTRO, porque

F C

es el centro de uno.circunferencia circunscrita al triángul triángulo. Recordemos que la Mediatriz es el conjunto de puntos que equidistan de los extremos de un segmento del ángulo; el valor de la distancia entre CD, CE y CF son iguales entre si, siendo el valor de esta distancia el radio de la circunferencia circunscrita.

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E D

 

 

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F

MEDIANAS.

BARICENTRO:

La recta que une el punto medio de un lado con el vértice opuesto se llama MEDIANA MEDIANA.. Un triángulo tiene tres medianas que se cortan en un punto llamado BARICENTRO, que es el centro de gravedad del triángulo.

P Q B

El BARICENTRO está ubicado a 2/3 de la mediana a partir del vértice D correspondiente, así la distancia DB es 2/3 de DQ, EB = 2/3 EP y FB = 2/3 FR.

R

E

TRAZAR UN TRIÁNGULO TRIÁNGUL O EQUILÁTERO CONOCIENDO CONOCIENDO UN LADO  

Trazar el la lado do conocido y nombrar sus puntos finales.

 

Con centro en los puntos finales (A y B), respectivamente, y con radio

C

igual la distancia dos arcos aque se cortanAB, en trazar un tercer punto (C).  

Trazar las re rectas ctas AC y BC, con lloo cual se obtiene la figura pedida. A

B

19

 

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TRAZAR UN TRIÁNGULO EQUILÁTERO CONOCIENDO LA ALTURA

E

A

G

E

 

F

 

Trazar extremos. la altura conocida y nombrar sus puntos

 

Por los pun puntos tos A o B traza trazarr una recta perpendicular a la altura dada.

 

Por el otro punto A o B trazar una paralela a la perpendicular antes trazada.

 

Con centro en A y radio arbitrario, trazar la semicircunferencia EF.

 

Con centro en los pun puntos tos EF y con el mismo radio anterior trazar marcas de arcos que cortarán la semicircunferencia en los puntos G y H.

H

B

D

Trazar la recta AG prolongándola hasta C y AH prolongándola hasta D, con lo cual se obtiene el ángulo pedido.

TRAZAR UN TRIÁNGULO CONOCIEN CONOCIENDO DO SUS TRES LADOS LA DOS C

20

 

Trazar el lado de mayor valor, nombrandoo ssus nombrand us extremos.

 

Con centro en A y radio igual a la distancia del lado menor trazar un arco.

 

Con centro en B y radio igual a la distancia del tercer lado, trazar un arco que corte al anterior y marcar el punto.

A

B

 

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Trazar las rectas AC y CB, obteniendo así el triángulo pedido.

TRAZAR UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO CONOC CONOCIENDO IENDO SUS CATETOS   Sean AB y AC los catetos dados. C

A

 

Trazar el cateto AB y, por el extremo A, levantar una perpendicular a la recta.

 

A partir de A, sobre la perpendicular anteriormente trazada, marcar la distancia AC.

 

Trazar la recta CB, obteniendo así el triángulo pedido.

B

TRAZAR UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO CONOCIENDO LA HIPOTENUSA Y UN CATETO  

Sean AB la hip hipotenusa otenusa y Ac el cateto conocido.

 

Trazar la hipotenusa y determinar en ella su punto medio (método ya visto).

 

Con centro en el punto P, trazar la semicircunferencia AB

 

Con centro en A y radio igual a la distancia del cateto AC, trazar un arco que corte al anterior y marcar el punto.

 

Trazar las rectas AC y CB, obteniendo así el triángulo pedido

C

A

P

B

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TRAZAR UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO CONOCIENDO LA HIPOTENUSA Y UN ÁNGULO AGUDO  

Sean AB la hipotenusa del triángulo y A el ángulo dado.

 

Trazar la hipotenusa AB y determinar en ella su punto medio (método ya visto).

 

Con centro en el punto medio y radio igual a la distancia media de la hipotenusa (PA) trazar la semicircunferencia semicircunfer encia AB

C

A

P

 

B

En el extremo A de la hipotenusa trazar un ángulo igual al dado (método ya

visto), prolongando el lado hasta cortar en C la semicircunferencia.  Trazar la recta CB, obteniendo así el triángulo pedido.

1.5 CUADRILÁTEROS

a. Toda figura plana limitada por cuatro lados es un cuadrilátero. b. Los cuadriláteros se dividen en: Paralelogramos Paralelogramos,, trapecios, y trapezoides. c. PARALELOGRAMO, es aaquel quel cuadri cuadrilátero látero que tiene sus lado ladoss paralelo paraleloss dos a dos. d. TRAPECIO, es aquel cuadrilátero que sólo tienen una pareja de lados paralelos entre sí. Los lados paralelos se denominan bases. e. TRAPEZO TRAPEZOIDE, IDE, es aquel cuadrilátero que NO tiene ningún lado paralelo.

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CLASIFICACIÓN DE LOS PARALELOGRAMOS

90º

Tienen rectos, los cuatro lados iguales, cuatro ángulos diagonales CUADRADO: iguales que se cortan perpendicularmente en su punto medio, además dichas diagonales son bisectrices de sus ángulos.  

l l

l 45º l

90º

RECTÁNGULO: Tienen losrectos, lados iguales dos m a dos, cuatro ángulos diagonales iguales que se cortan en un punto medio.   

m

l

A/2

ROMBO: Tienen los cuatro lados iguales

l

entre sí, ángulos iguales dos a dos, diagonales perpendiculares que se cortan en un punto medio y que también son bisectrices de sus ángulos.

l

A/2 l

l

m

ROMBOIDE:  Tienen los lados iguales dos a dos, ángulos iguales dos a dos, y sus diagonales se cortan en su punto medio.  

l

l

m

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CLASIFIC CLA SIFICACIÓN ACIÓN DE LOS L OS TRAPECIOS Se llama base media de un trapecio a la paralela que equidista de las bases, su magnitud es la media aritmética de las mismas, es decir, la mitad de la suma de las bases mayor y menor.

Base media

Cuando no esta clasificado en las dos categorías siguientes puede sólo nombrarse como trapecio.

A

A

Es ellasque tienen los lados no paralelos iguales, diagonales también ISÓSCELES: son iguales entre sí, así como los ángulos contiguos de la base mayor y los de la base menor.  B

RECTÁNGULO: Es el que tienen dos ángulos rectos.

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B

 

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1.6

CIRCUNFERENCIA  

Comúnmente el término circulo y circunferencia se utilizan como sinónimos, pero esto es un error, distingámoslos:

Circunferencia

Circulo

Como puedes observar LA CIRCUNFERENCIA es una línea curva cuyos puntos equidistan de un punto interior llamado centro. El CÍRCULO es la superficie plana limitada por la circunferencia. En la circunferen circunferencia cia distinguimos básicamente los siguiente siguientess elementos: a. Diámetro: es la recta que une dos puntos de la circunferencia y la divide en dos partes iguales. “d”. b. Radio: Es la recta trazada desde el centro del circulo, a cualquier punto de la circunferencia. “r”. c. Cuerda: Es la recta que sin pasar por el centro del circulo, une dos puntos de la circunferencia. “c”. d. Sagita: Es el segmento perpendicular trazado desde la mitad de un arco a la cuerda que lo limita. “s”

a

se r T

d

c s

 

25

 

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e. Arco: Es una parte cualquiera de la circunferen circunferencia, cia, comprendida entre dos puntos. “a”. f. Secante: Es la recta que corta una circunfer circunferencia encia en dos puntos. “se”. g. Tangente: Es la recta que toca una circunferenc circunferencia ia en un solo punto. “T”. h. Longitud de circunferencia, como la longitud del segmento de recta que corresponde a la circunferencia extendida sobre un plano.

SUPERFICIES CIRCULARES SEMICIRCULO

SEGMENTO CIRCULAR: Es la porción del circulo limitada por una cuerda y el arco respectivo. El diáme diámetro tro di divide vide al círculo een n dos dos segmentos circulares iguales llamados semicírculos.

SECTOR CIRCULAR:   Es la porción de círculo comprendida entre dos radios consecutivos y el arco correspondiente.

CUADRANTE CIRCULAR: Es la porción de círculo comprendida entre dos radios consecutivos perpendiculares perpendiculares y el arco correspondiente. correspondiente.

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SEMICIRCULO

SECTOR CIRCULAR

CUADRANTE CIRCULAR

 

 

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  CORONA CIRCULAR:   Es la porción de círculo comprendida entre dos

circunferencias circunferen cias que tienen el mismo centro.

CORONA CIRCULAR 

  TRAPECIO CIRCULAR:   es una porción de la corona circular limitada por dos radios.

TRAPECIO CIRCULAR 

CIRCUNFERENCIAS CONCÉNTRICAS:   Tienen el mismo centro

CIRCUNFERENCIAS EXCÉNTRICAS:   son las que estando una dentro de la otra tienen centros diferente diferentes. s.

TRAZAR UNA CIRCUNFERENCIA DE RADIO CONOCIDO R QUE PASE POR DOS PUNTOS DADOS

A

 

sean A y B los pu puntos ntos ddados. ados.

 

Con centros en A y en B y con ra radio dio R, tra trazar zar arcos que se cortan, marcar el punto.

 

Con centro en el punto y con radio R, trazar la circunferencia pedida.

B 27

 

DOCUMENTO DE APOYO GEOMÉTRIA BÁSICA

TRAZAR UNA CIRCUNFERENCIA QUE PASE POR TRES PUNTOS NO COLINEAL COLINEALES ES  

Sean A, B y C los puntos dados.

 

Trazar las rectas AB y BC.

 

Por los puntos me medios dios de las rectas anteriormente trazadas levantar las respectivas perpendiculares, perpendiculares, que se cortarán en un punto, marcarlo.

 

Con centro en O y radio OA trazar la circunferencia pedida.

A

 

C

O

B

DETERMINAR EL CENTRO DE UNA CIRCUNFERENCIA

A

C O

 

Determinar tres pun puntos tos cualesqu cualesquiera iera A, B y C sobre la circunferencia dada.

 

Trazar las rrectas ectas AB y BC.

 

Por los pu puntos ntos medi medio o de las las rectas AB y BC, levantar las respectivas perpendiculares que se cortan en el punto O, centro de la circunferencia dada.

B

TRAZAR TRAZA R LA RECTA TANGENTE A UNA CIRCUNFER CIRCUNFERENCIA ENCIA EN UN PUNTO DADO DADO A

28

 

Trazar la línea radial OA.

 

Por el extremo A de la recta OA, trazar la perpendicular AD, que será la tangente pedida.

O B

A C

 

DOCUMENTO DE APOYO GEOMÉTRIA BÁSICA  

TRAZAR LA L A RECTA TANGENTE A UN ARCO A RCO EN UN UN PUNTO DADO DADO  A   D

S

 

Desde un punto cualquiera B, perteneciente al arco y con radio BA, trazar el arco RS, que corta al arco en un punto C.

 

Desde A y con radio AC, trazar un arco que corta el arco RS en el punto D.

C B R

A



  obtener Trazar lalatangente recta pedida. DA para

1.7 POLÍGONOS REGULARES

a. Un polígono regular es aquel que tiene todos sus lados y ángulos iguales. b. Pueden nombrarse según la cantidad de lados. c. El perí perímetro metro eess la su suma ma de sus lados. d. Cualquier polígono regular se puede dividir en triángulos isósceles iguales, uniendo el centro del polígono con cada uno de sus vértices. e. Apotema es la altura de todos y cada uno de los triángulos isósceles obtenidos al dividir el polígono. f. Cualquier polígono regular lo podemos inscribir o circunscribir circunsc ribir en una circunferencia.

29

 

DOCUMENTO DE APOYO GEOMÉTRIA BÁSICA

DIVIDIR UNA CIRCUNFERENCIA EN CUALQUIER NÚMERO DE PARTES IGUALES IGUAL ES (MÉTODO (MÉTODO GENERAL GENERAL))

 

 

Trazar el diámetr diámetro o de la circunferencia, circunferencia, nombrar sus extrem extremos os y dividirlo en tantas partes iguales como divisiones se quieran obtener (por ejemplo, 10 partes).

 

Con centro en lo loss extremos y el mismo radio dde e la circunferencia, circunferencia, trazar los arcos que se cortarán en un punto cualquier C. A 1 2

 

3 4 5 6 7

C

Unir el punto C, con la segunda división del diámetro prolongando la recta hasta interceptar la circunferencia en el punto D.

8 9

B

 

La distancia AD, llevada en forma sucesiva a partir del punto A, divide la circunferencia en el número de partes pedidas.

NOTA : Si lugar deinscrita, conocero el radio de la circunferencia sabemos, el en radio de la sea, apotema del polígono, locircunscrita, podemos hacer todo igual, pero en ves de unir las divisiones de la circunferencia, trazar por estas divisiones perpendiculares a las apotemas.

También podemos hacer la división de la circunferencia; en partes iguales; dividiendo sus 360º entre el número de lados del polígono, construyendo sus ángulos centrales una vez obtenido el valor de los mismos, estos ángulos los podemos trazar con el transportador de ángulos.

30

 

DOCUMENTO DE APOYO GEOMÉTRIA BÁSICA

DIVIDIR UNA CIRCUNFERENCIA EN TRES PARTES IGUALES E INSCRIBIR INSC RIBIR EN ELLA ELL A UN TRIÁNGULO TRIÁNGULO EQUILÁTERO EQUILÁ TERO  

Trazar el diámetro de la circunferencia y nombrar sus extremos.

 

Con centro en D y el mismo radio de la circunferencia, trazar el arco que corta la circunferencia en los puntos B y C.

 

A

O B

Los puntos A, B y C así localizados, dividen la circunferencia en tres partes iguales, que determinan los vértices del triángulo pedido.

 

C

D

DIVIDIR UNA CIRCUNFERENCIA EN CUATRO PARTES IGUALES E INSCRIBIR INSCRIBIR EN ELLA UN CUADRADO A

O

B

 

Trazar un diámetro de la circunferen circunferencia cia y nombrar sus extremos.

 

Trazar la perpendicular (método ya visto) por el punto medio del diámetro y cortar la circunferencia en dos puntos B y C.

 

Los puntos A, B, C y D aasí sí lo localizados, calizados, dividen la circunferencia en cuatro partes iguales, que determinan los vértices del cuadrado pedido.

C

D

31

 

DOCUMENTO DE APOYO GEOMÉTRIA BÁSICA

DIVIDIR UNA CIRCUNFERENCIA EN CINCO PARTES IGUALES E INSCRIBIR INSC RIBIR EN ELLA ELL A UN PENTÁGONO PENTÁGONO REGULA REGULAR R

 

A  

 

 

Trazar dos diámetro de la circunferencia, perpendiculares entre si (método ya visto) y nombrar sus extremos. Dividir el radio OC en dos partes iguales (método ya visto), nombrar el punto de intercesión.

H O C

F

B

E

Con centro en E y radio EA, tr trazar azar el arco AF. J



  Con A y radio AF, trazarcentro el arcoenGFH.

 

G

I D

En forma consecutiva y a partir de A, marcar sobre la circunferencia la distancia AH, determinando así los puntos A, G, J, I y H que dividen la circunferencia en cinco partes iguales y son los vértices del pentágono regular.

DIVIDIR UNA CIRCUNFERENCIA EN SEIS PARTES IGUALES E INSCRIBIR INSCR IBIR EN ELLA ELL A UN HEXÁGONO HEXÁGONO REGULA REGULAR R

A

B

F

 

Trazar un diámetro de la circunferen circunferencia cia y nombrar sus extremos.

 

Con centros en A y D, ttrazar razar dos arcos de radio igual al de la circunferencia, estos arcos cortarán la circunferencia en 4 puntos diferentes.

 

Los punt puntos os A, B, C, D, E y F así localizados, dividen la circunferencia en seis partes iguales, que determinan los vértices del hexágono regular.

O

E

C

D 32

 

DOCUMENTO DE APOYO GEOMÉTRIA BÁSICA

DIVIDIR UNA CIRCUNFERENCIA EN SIETE PARTES IGUALES E INSCRIBIR INSC RIBIR EN ELLA ELL A UN HEPTÁGONO HEPTÁGONO REGULA REGULAR R A

I

   

Trazar el diámetro de la circunferencia, y nombrar sus extremos.

 

Con centro en D y radio igual al de la circunferencia, trazar el arco que corta a la misma en dos puntos C y B.

 

Trazar la cuerda BC que corta el diámetro en el punto R.

 

H

J

G

O

R

B

C

F E D

 

A partir de B, marcar la dista distancia ncia CP en forma sucesiva sobre la circunferencia, determinando así los puntos B, E, F, G, H, I y J que dividen la circunferencia en siete partes iguales y son los vértices del heptágono regular.

DIVIDIR UNA CIRCUNFERENCIA EN OCHO PARTES IGUALES E INSCRIBIR INSC RIBIR EN ELLA ELL A UN OCTÁGONO OCTÁGONO REGULA REGULAR R

A

 

Trazar los diámetros de la circunferencia y nombrar sus extremos. circunferencia

 

Trazar las bi bisectrices sectrices de los cu cuatro atro ángulos centrales, quedando así la circunferencia dividida en 8 partes iguales los puntos A, B, C, D, E, F, G y H localizados, dividen la circunferencia en ocho partes iguales, que determinan los vértices del octágono regular.

B H

O

C

D

G

F E 33

 

DOCUMENTO DE APOYO GEOMÉTRIA BÁSICA  

DIVIDIR UNA CIRCUNFERENCIA EN NUEVE PARTES IGUALES E INSCRIBIR INSC RIBIR EN ELLA ELL A UN ENEÁGONO ENEÁGONO REGULA REGULAR R A

 

Trazar el diámetro de la circunferencia, y nombrar sus extremos.

 

Con centro en D y radio igual al de la circunferencia, trazar el arco que corta a la misma en dos puntos C y B.

O

F

R

B

C



  Trazar BCR.que corta el diámetrolaencuerda el punto

 

34

Con centro en R y radio igual al de la circunferencia, trazar un arco que corte la prolongación de la recta BC en el punto F.

E D

G

 

Con centro en F y el mismo radio, trazar un arco que corte el anterior en el punto G.

 

Unir con una recta el punto G y el centro de la circunferenc circunferencia ia que corta a la misma en el punto E.

 

A partir de B, marcar la distancia BE en forma sucesiva sobre la circunferencia, determinando así los puntos que dividen la circunferencia en nueve partes iguales y son los vértices del eneágono regular.

 

DOCUMENTO DE APOYO GEOMÉTRIA BÁSICA  

DIVIDIR UNA CIRCUNFERENCIA EN DOCE PARTES IGUALES E INSCRIBIR INSC RIBIR EN ELLA ELL A UN DODECÁGONO DODECÁGONO REGULA REGULAR R A L

B

C

 

Trazar los diámetros perpendiculares entre sí.

 

Con cen centros tros en los extremo extremoss de los vértices y con radio igual al de la circunferencia, circunferen cia, trazar arcos que cortan a la misma, quedando esta dividida en doce partes iguales, que determinan los vértices del dodecágono regular.

K

O

D

J

E

I

H F

2  

G

EMPALMES Y CONSTRUCCIÓN DE CURVAS 

EMPALMAR DOS RECTAS PERPENDICULARES MEDIANTE

UN ARCO DE RADIO “r” Se traza las rectas perpendiculares deseadas y se nombran. Con centro en el vértice del ángulo recto y radio igual a “r”, trazar el arco que cortara las dos rectas anteriores. Con centro en los puntos de corte y con el mismo radio, trazar arcos que se corten en el centro de marca. Con centro en la marca de arco y el mismo radio, trazar el arco de empalme

C r D

r r

r

A

E

B

35

 

DOCUMENTO DE APOYO GEOMÉTRIA BÁSICA    

EMPALMAR DO DOS S RECTAS QUE FORMAN UN ÁNGULO MENOR DE 90º MEDIANTE UN ARCO DE RADIO “r”

Se traza las rectas formando el ángulo deseado y se nombran. A una distancia igual al radio de empalme trazar dos rectas paralelas a las anteriores, utilizando el método anteriormente visto para paralelas. Con centro en el vértice del ángulo formado por las paralelas y radio igual a “r”, trazar el arco que cortara las dos rectas C D

r r A

r

E r F

r B  

EMPALMAR DOS RECTAS QUE FORMAN UN ÁNGULO MAYOR DE 90º MEDIANTE UN ARCO DE RADIO “r”

Se traza las rectas formando el ángulo deseado y se nombran. Con el método visto para el trazado de perpendiculares realizar el trazo de la bisectriz A una distancia igualrecta al radio de empalme, trazar una paralela (método visto) a uno de los lados del ángulo, esta recta paralela cortara la bisectriz en un punto dado.

A r r

r B

D C

Con centro en este punto de intersección y con igual radio, trazar el arco de empalme.

36

 

DOCUMENTO DE APOYO GEOMÉTRIA BÁSICA  

 

EMPALMAR DOS REC RECTAS TAS PARALELAS MEDIANTE DOS ARCOS DE IGUAL RADIO “r”

Se traza las rectas deseadas deseadas y se nombran AB, CD respectivamente. respectivamente. Trazar la recta que une los puntos de empalme BC. Determinar el punto medio de la recta de empalme (E). Determinar los puntos medios entre los segmentos (BE y EC) formados y trazar las perpendiculares perpendiculares respectivas. Por los puntos finales (B y C) de la recta de empalme, trazar perpendiculares a las rectas trazadas en el numeral 1 (AB y CD). Con radio igual a la distancia de la perpendicular del numeral anterior y centro en los puntos de intersección (H y K), trazar los arcos de empalme.

D

K E

G

F

C

B H

A

 

CONECTAR LLOS OS EXTREMOS DE DOS RECTAS MED MEDIANTE IANTE UN ARCO DE RADIO “r”

Los puntos puntos extr extremos emos de de dos rectas se pue pueden den co conectar, nectar, bien se sea, a, con arcos cóncavos o convexos. NOTA: la conexión de dos rectas mediante un arco, no implica que el arco sea necesariamente tangente a las mismas. Se traza las rectas deseadas deseadas y se nombran AB, CD respectivamente. respectivamente. Hacer centros en los puntos extremos de las rectas y con radio “r”, trazando centros de marca, para determinar el centro de conexión. 37

 

DOCUMENTO DE APOYO GEOMÉTRIA BÁSICA  

r

D

C

r

r r

r

r

A

 

B

TRAZAR LOS ARCOS DE EMPALME CONTINUO POR LOS VÉRTICES D DE E UNA POLIGONAL DADA.

Sean A, B, C, D, E y F los vértices de la poligonal. Trazar las perpendiculares a los puntos medios de los segmentos AB, BC, CD, DE, EF (recordar el método visto). Marcar la intersección entre las rectas perpendiculares perpend iculares de los segmentos AB, BC (punto 1), centro del arco ABC. A partir del punto 1 trazar una recta que una, este punto con el punto C y que intercepte la perpendicular del segmento CD (punto 2), centro del arco CD. Trazar la recta desde D al punto 2, hasta cortar la perpendicular que pasa por el

A

1

B

3

C 2 D

E 4

segmento intersección las dos rectas DE, dará laorigen al punto entre 3, centro del arco DE De igual forma se procede para empalmar los demás tramos de la poligonal  

EMPALMAR UN ARCO DE CIRCUNFERENCI CIRCUNFERENCIA A Y UNA RECTA MEDIANTE UN ARCO DE RADIO CONOCIDO.

Trazar la recta y el arco deseado, nombrarlas 38

F

 

DOCUMENTO DE APOYO GEOMÉTRIA BÁSICA

Sea C el centro del arco de radio R1 AB la recta da y R el radio de empalme. Trazar una paralela a la recta AB (método visto) a una distancia igual al R. Con centro en A y radio igual a la diferencia entre los radios R 1 y R, trazar un arco que corte la paralela en un punto (D). Con centro en D y con radio R, trazar el arco de empalme.

 

R 

R  R 

R 1 - R

R 1

 

EMPALMAR UNA CIRC CIRCUNFERENCIA UNFERENCIA Y UNA RECTA MEDI MEDIANTE ANTE UN ARCO DE RADIO CONOCIDO.

R 1  R A R 1 + R R

R

Trazar la circunferencia circunferencia y la recta desea deseada. da. Nombrarlas. Sea A el centro de la circunferencia, R 1 su radio y R el radio de empalme. Trazar una paralela a la recta a una distancia igual al radio del empalme. Con centro en A y con un radio igual a la suma de R 1 y R, trazar un arco que corte a la paralela en un punto. 39

 

DOCUMENTO DE APOYO GEOMÉTRIA BÁSICA  

Con centro en este punto y radio igual al del empalme, trazar el arco de empalme.

 

EMPALMAR DOS ARCOS DE CIRCUNFERENCIA MEDIANTE UN ARCO DE RADIO CONOCIDO.

D A

R 1 - R

R

R 1 E

R 2

R 2 - R

B

Trazar los los arcos de circunferen circunferencia cia dese deseados. ados. Nombrar sus centro centros. s. Sea A el centro de la circunferencia, R 1 y B el centro de la circunferencia R2. Con centro en A y radio igual a la diferencia entre R1 y R, trazar la marca de arco. Con centro en B y radio igual a la diferencia entre R 2 y R, trazar la marca de arco que corta al arco generado anteriormente. Trazar las rectas prolongadas AC y BC, que determinan sobre los arcos los puntos de tangencia E y D. Con centro en C y radio igual a R, trazar el arco de empalme.

40

 

DOCUMENTO DE APOYO GEOMÉTRIA BÁSICA  

   

EMPALMAR DOS CIRCUNFERENCIA DE RADIO RADIO R1  y R2  MEDIANTE UN ARCO EXTERIOR DE RADIO CONOCIDO.

R F R 1

G R 2

A

B

D C

R – R 1 R – R 2

E

CASO Nº 1: R mayor o igual que la mitad de la distancia entre los puntos extremos de las circunferencias circunferencias A y D Trazar las circunferencias circunferencias desead deseadas. as. Nombrar sus centr centros os (B y C). Con centro en B y radio igual a la diferencia entre R y R1, trazar la marca de arco. Con centro en C y radio igual a la diferencia entre R y R2, trazar la marca de arco. Ubicadas en la intersección de las marcas de arco trazar las rectas prolongadas EB y EC para determinar los puntos de empalme F y G. Desde la misma intersección trazar el arco con radio R entre los dos puntos de empalme. En este caso las circunferencias dadas son tangentes interiores al arco de empalme.

41

 

DOCUMENTO DE APOYO GEOMÉTRIA BÁSICA  

CASO Nº 2: R menor o igual qu quee la mitad de la dista distancia ncia entre los puntos puntos extremos de las circunferencias circunferencias A y D

R 1 R 2 A

B C

D

G

R + R 1

R

F

R + R 2

E

1. 2. 3. 4.

Trazar las circun circunferencias ferencias deseadas. Nombrar sus cent centros ros (B y C). Con centro en B y radio igual a la suma entre R y R1, trazar la marca de arco. Con centro en C y radio igual a la suma entre R y R2, trazar la marca de arco. Ubicadas en la intersección de las marcas de arco trazar las rectas prolongadas EB y EC para determinar los puntos de empalme F y G. 5. Desde la misma intersección tr trazar azar el arco con radio R entre los los dos puntos de empalme.

En este caso las circunferencias dadas son tangentes exteriores al arco de empalme.

42

 

DOCUMENTO DE APOYO GEOMÉTRIA BÁSICA

CASO Nº 3: R menor o igual que la semisuma de la distancia HK (separación

⎛ 

entre circunferencias) y el diámetro de la circunferencia menor. ⎜ R ≤

⎝ 

 

  HK  +  R 2  ⎞ ⎟  2  ⎠

G R 1

R 2 D

A

B

H

K C

F

R

R  - R 2 R + R 1

E

1. Trazar las circun circunferencias ferencias deseadas. Nombrar sus cent centros ros (B y C). 2. Con centro en B y radio igual a la suma entre R y R1, trazar la marca de arco. 3. Con centro en C y radio igual a la diferencia entre R y R2, trazar la marca de arco. 4. Ubicadas en la intersección de las marcas de arco trazar las rectas prolongadas EB y EC para determinar los puntos de empalme F y G. 5. Desde la misma intersección tr trazar azar el arco con radio R entre los los dos puntos de empalme. En este caso las circunferencias dadas B y C serán tangentes exterior e interior respectivamente al arco de empalme.

3

CURVAS ESPECIALES 

Las líneas curvas que se presentan en un plano pueden ser abiertas o cerradas. Son curvas cerradas especiales:  

La circunferenc circunferencia. ia. 43

 

DOCUMENTO DE APOYO GEOMÉTRIA BÁSICA  

 

El ovoide.   El ovalo. A. TRAZAR UN OVOIDE C CONOCIENDO ONOCIENDO LOS EJES MAYOR Y MENOR Un ovoide es una curva plana, continua y cerrada, posee dos ejes, uno mayor y uno menor, es más ancha en un extremo del eje mayor y esta parte corresponde a una semicircunferencia. La parte angosta del ovoide se construye por el empalme de tres arcos de circunferencia. 1. Trazar las dos rectas rectas (eje mayor AB, eje menor CD) perpendiculares entre sí. Marcar el punto de corte E. 2. Con radio igual a la mitad del eje menor CD y ubicadas en el punto E, trazar la circunferencia que determina sobre los ejes los puntos D, A, C y F. 3. Tomar la medida entre F y B. Trazar las rectas CB y DB, con la medida FB dividir el segmento CB y DB partiend partiendoo de los puntos C y D, los puntos resultantes de la división serán G y H. 4. Trazar las perpendiculares prolongadas a los puntos medios (método ya visto) de los

A

E

C

D J

K R

R F

G

M

O R 1

L

segmentos y HG respectivamente,GBel punto de intersección será O. B 5. Prolongar el eje menor e interceptar con las prolongaciones anteriores, los puntos originados serán J y K. 6. Con centro en O y radio igual al segmento OB (R1), trazar el arco entre las prolongaciones del numeral 4. Los puntos generados serán M y L 7. Con centros en lo loss puntos J y K, y radio igual a la distancia CJ, trazar los arcos CM y DL. 44

 

DOCUMENTO DE APOYO GEOMÉTRIA BÁSICA  

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San

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DOCUMENTO DE APOYO GEOMÉTRIA BÁSICA

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