Diapositivas - Transformada de Laplace

 

Estrategias de Control Automático

PEPP: Instrumentación Automatización y Control de Procesos  ______________________  _____________________________  _______  Curso: Estrategias de Control Automático

 

Estrategias de Control Automático

Transformada de Laplace

 

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Motivación: La forma más sencilla de caracterizar un sistema es a través de su relación Salida / Entrada. En este tipo de enfoque no es tan importante conocer internamente el sistema. Caracteriz ación del  sistema

=

Salida

Entrada

Sistema

Salida

 Entrada

Cuando el sistema no posee una dinámica interna. Es decir, su respuesta ante una entrada es instantánea o si existe dinámica pero es despreciable. La relación salida/entrada es caracterizada por una expresión algebraica.

i (t ) V (t )

=

1  R

v (t )

i (t )

R 

 

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Sin embargo, cualquier sistema interesante, por más sencillo que sea, es de naturaleza dinámica y consecuentemente para su representación es necesario el uso de ecuaciones diferenciales. i (t ) V (t )

para

=

V (t   ) =  L

?

caracterizar

los

di dt 

comportamientos

i (t )

v (t )

de

los

L

sistemas

dinámicos

frecuentemente se usa la transformada de Laplace. Cualquier sistema que frecuentemente pueda pued a descri describirse birse por ec ecuacion uaciones es dif diferenc erenciales iales line lineales ales invari invariante antes s en el el tiempo tiem po puede ser an analizad alizado o en el métod método o operaci operacional onal de Lapl Laplace. ace. El método de la transformada de Laplace convierte las ecuaciones diferencial difer enciales es lineales de “difícil” “difícil” soluc solución ión en ecuaciones ecuaciones algebraicas algebraicas simples. simples.

 

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La transformada de Laplace La transform transformada ada de Laplace Laplace es un operador operador lineal lineal pertenecien perteneciente te a la familia familia de las integrales de transformación, transformación, es especialmente útil para resolver ecuaci ecu acione ones s dif difere erenci nciale ales s lineale lineales s ordina ordinaria rias. s. Se pue puede de dec decir ir qu que e es la segunda transformación más utilizada para resolver problemas físicos, después de la transformación de Fourier. La transformada de Laplace unilateral se define como:  

∞

− st  F ( s ) = L { f (t )}  =  ∫  f (t ) e dt 

0

donde:  f  (t ) es una función en el tiempo F ( s ) es la transformada de Laplace de  f  (t )

s

L

es una variable compleja es el operador lineal de Laplace

 

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La transformada de Laplace Aplicando la transformada de Laplace a una ecuación diferencial, se tiene una ecuación algebraica cuya solución se obtiene a partir de operaciones bási bá sica cas s d del el ál álge gebr bra. a. Esta Esta so solu luci ción ón est está á en fu func nció ión n de de s y para transformarla a una función en el tiempo se necesita de La Transformada inversa de Laplace. La transformada inversa de Laplace 

La transformada inversa de Laplace formalmente se define por la siguiente integral de inversión:  f (t ) =

1

 

2π    j

c +  j∞ st  F  ( s ) e ds −  j∞

∫c

donde   c es una constante mayor que cualquier punto singular de F ( s ) . Esta integral de inversión rara vez se usa, ya que existen otros métodos más directos directos y simple simples. s. Como por ejemplo ejemplo ta tablas blas de transforma transformadas das o fracciones parciales.

 

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La transformada de Laplace

Ecuación diferencial   n ' a 0 f  (t ) +   a1 f    (t )

=

L transformada

Ecuación algebraica a 0 s n F ( s ) +  a1 sF    (s)

0

L

-1

 f  (t )

Solución en F ( s ) transformada transformad a inversa

Transformada de Laplace

=

0

 

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La transformada de Laplace

 

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Propiedades de la Transformada de Laplace Sean tres tre s fun funcio cione nes s cuy cuyas as Tra Transf nsform ormada adas s de La Lapla place ce so son, n, respe respecti ctivam vament ente e

y

un esc escala alarr (re (real al o com comple plejo) jo).. Se cum cumple plen n las sig siguie uient ntes es pro propie pieda dade des: s:

Linealidad:

Diferenciación:

 

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Propiedades de la transformada de Laplace

Desplazamiento Desplazamie nto en la Frecuencia:

Multiplicación por :

Teorema de valor Inicial:

 

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Propiedades de la transformada de Laplace Teorema de valor final:

Convolución:

 

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󰁅󰁪󰁥󰁭󰁰󰁬󰁯 󰀱 󰁈󰁡󰁬󰁬󰁥 󰁬󰁡 󰁴󰁲󰁡󰁮󰁳󰁦󰁯󰁲󰁭󰁡󰁤󰁡 󰁤󰁥 󰁌󰁡󰁰󰁬󰁡󰁣󰁥 󰁤󰁥 󰁬󰁡 󰁳󰁩󰁧󰁵󰁩󰁥󰁮󰁴󰁥 󰁥󰁣󰁵󰁡󰁣󰁩󰃳󰁮 󰁤󰁩󰁦󰁥󰁲󰁥󰁮󰁣󰁩󰁡󰁬󰀮 󰁃󰀮󰁩󰀮 󰁮󰁵󰁬󰁡󰁳󰀮 󰀱󰀵 󰁤󰀲󰁹(󰁴) 󰀫 󰀸 󰁤󰁹(󰁴) 󰀫 󰁹(󰁴) 󰀽 󰀴 󰁸(󰁴) 󰁤󰁴󰀲

󰁤󰁴

󰁓󰁯󰁬󰁵󰁣󰁩󰃳󰁮󰀺 󰀱󰀵 󰁌 󰁛 󰁤󰀲󰁹(󰁴) 󰁝󰀫 󰀸 󰁌 󰁛 󰁤󰁹(󰁴) 󰁝󰀫 󰁌 󰁛 󰁹(󰁴) 󰁝 󰀽 󰀴 󰁌 󰁛󰁸(󰁴) 󰁝 󰁤󰁴󰀲

󰁤󰁴

󰀱󰀵 󰁳󰀲 󰁙(󰁳) 󰀫 󰀸 󰁳 󰁙(󰁳) 󰀫 󰁙(󰁳) 󰁙 (󰁳) 󰀽 󰀴 󰁘(󰁳) 󰁙(󰁳) 󰀽

󰀴 󰀱󰀵󰁳󰀲 󰀫 󰀸󰁳 󰀫 󰀱

21/10/2010

󰁘(󰁳)

 

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󰁅󰁪󰁥󰁭󰁰󰁬󰁯 󰀲󰀺 󰁅󰁳󰁣󰁡󰁬󰃳󰁮 󰁵󰁮󰁩󰁴󰁡󰁲󰁩󰁯 󰁈󰁡󰁬󰁬󰁥 󰁬󰁡 󰁴󰁲󰁡󰁮󰁳󰁦󰁯󰁲󰁭󰁡󰁤󰁡 󰁤󰁥 󰁌󰁡󰁰󰁬󰁡󰁣󰁥 󰁤󰁥 󰁬󰁡 󰁳󰁩󰁧󰁵󰁩󰁥󰁮󰁴󰁥 󰁥󰁣󰁵󰁡󰁣󰁩󰃳󰁮 󰁵(󰁴) 󰀽

󰀰󰀬 󰁴