Diapositivas Matematica Financiera (4)[1]

MATEMATICA FACULTAD DE DERECHO. UNSA

MATEMATICA FINANCIERA

ESTADISTICA

DR. PABLO JOSE QUICAÑO TREVIÑO

SOCIEDAD

G1 B

GK

B

MERCADO

B

B

G… B= bienes

Mercado: intercambio económico

G2

Estructura de Producción

MERCADO

G1 IEB

Introducción IEB

IEB

IEB

GK

G2 3

IEB

IEB

G… IEB= Intercambio económico de bienes

DIAGRAMA DE SISTEMA ECONOMICO

Ahorro

Gobierno

Impuestos Netos

G

Crédito al Gobierno

Familias

C

Mercado de Bienes

Mercado Financiero

Mercado de Factores

XN XN

Crédito Externo Resto del Mundo Crédito a las empresas

Ingresos

G

C

I

Empresas

MATEMATICA FINANCIERA •SISTEMA ECONOMICO. •INTERES SIMPLE E INTERES COMPUESTO. •DECUENTO BANCARIO. •ANUALIDADES. •AMORTIZACIONES Y BONOS. ESTADISTICA •ESTADISTICA DESCRIPTIVA. •ESTADISTICA INFERENCIAL.

INTERES SIMPLE

CAPITAL O PRINCIPAL (C) S/. 5 000

Periodos (t)

Monto o Valor futuro Capital S/. 5 000 Interés S/. 1 000 Total S/. 6 000

1M 5% 250

2M

3M

4M

5% 250

5% 250

5% 250 Interes (I) S/. 1 000

Tasa de Interés % (i) 5 % Mensual

Fórmulas de interés simple.

a) Interés (I): I = Cit b) Monto (M) o (S)

M=C+I M = C + Cit M = C (1 + it)

Ejemplo No.1: Encontrar el interés simple y el monto de S/. 10 000, al 4.5 % durante 1 año. Solución: I =? M =? C = 10 000 i = 4.5 % = 0.045 t = 1 año La tasa de interés se debe expresar en tanto por uno, es decir, 0.045 La formula de interés es: I = Cit, I = 10 000 x 0.045 x 1 = 450 soles La formula del monto es: M=C+I M = 10 000 + 450 = 10 450 soles. La formula del monto es: M = C (1 + it) M = 10 000 (1 + 0.045 x 1) = 10 450 soles

Ejemplo No. 2: Encontrar el interés simple y el monto de S/. 100 000 al 3 ½ % durante ½ año. Solución:

I =? M =? C = 100 000 i = 3 ½ % = 3.5 % t = ½ año La tasa de interés se debe expresar en tanto por uno, es decir, 0.035 La formula de interés es: I = Cit I = 100 000 x 0.035 x 0.5 = 1750 soles La formula del monto es: M=C+I M = 100 000 + 1750 = 101 750 soles. La formula del monto es: M = C (1 + it), M = 100 000 (1+0.035 x 0.5) =101 750 soles

Ejemplo No. 3: Encontrar el interés simple y el monto de S/. 500 000 al 5 ¼ % durante 2 años. Solución:

I =? M =? C = 500 000 i = 5 ¼ % = 5.25 % t = 2 años La tasa de interés se debe expresar en tanto por uno, es decir, 0.0525 La formula de interés es: I = Cit I = 500 000 x 0.0525 x 2 = 52 500 soles La formula del monto es: M=C+I M = 500 000 + 52 500 = 552 500 soles. La formula del monto es: M = C (1 + it) M = 500 000 (1 + 0.0525 x 2) = 552 500 soles

Ejemplo No. 4: Encontrar el interés simple y el monto de S/. 500 000 al 5 ¼ % durante 2 años. Solución:

I =? M =? C = 500 000 i = 5 ¼ % = 5.25 % t = 3 años La tasa de interés se debe expresar en tanto por uno, es decir, 0.0525 La formula de interés es: I = Cit I = 500 000 x 0.0525 x 3 = 78750 soles La formula del monto es: M=C+I M = 500 000 + 78750= 552 500 soles. La formula del monto es: M = C (1 + it) M = 500 000 (1 + 0.0525 x 3) = 578750 soles

Ejemplo No. 5: Encontrar el interés simple y el monto de S/. 500 000 al 5 ¼ % durante 2 años. Solución: I =? M =? C = 500 000 i = 5 ¼ % = 5.25 % t = 5 años La tasa de interés se debe expresar en tanto por uno, es decir, 0.0525 La formula de interés es: I = Cit I = 500 000 x 0.0525 x 5 = 131250 soles La formula del monto es: M=C+I M = 500 000 + 52 500 = 631250 soles. La formula del monto es: M = C (1 + it) M = 500 000 (1 + 0.0525 x 5) = 631250 soles

Ejemplo No. 6: Calcular el interés producido por un capital de 5000 $ colocado durante 3 años al 9 % anual. Solución: C = 5000 $ t = 3 años i=9% por lo tanto: I = 5000 . 9 . 3 = 1350 $ 100 ACLARACIÓN: la unidad de tiempo es el valor numérico de la frase que aparece en la razón. Ejemplo. Razón 4 % anual representa:1 año = 12 meses = 2 semestres = 3 cuatrimestres = 4 trimestres = 6 bimestres = 360 días

Ejemplo No. 7 : Un capital de 4000 $ es colocado al 5 % mensual durante 3 bimestres, calcular el interés ganado. C = 4000 $ i = 5 % mensual t = 3 bimestres = 9 meses I = 4000 . 5 . 9 = 1800 $ 100

Ejemplo No. 8: Un capital de 5000 $ se coloca en un banco al 4% mensual durante 8 bimestres. Indicar el valor del interés y del monto. Primero se deben “arreglar” los tiempos: i = 4 % mensual t = 8 bimestres = 16 meses Luego si i = 4% entonces i = 0,04 Entonces: I = C. i. t = 5000. 0,04. 16 = 3200 $ El monto será: M = C + I = 5000 + 3200 = 8200 $ En este caso se podría hallar también con la otra fórmula: M = C (1 + i t) = 5000 (1 + 0.04 *16) = 5000 (1 + 0,64) = = 5000*1,64 = 8200 $

Ejemplo No. 9: Un capital de 800$ se transformó en 850 $ en 2 bimestres. Calcular la tasa mensual. C = 800 $ M = 850 $ por lo tanto I = 50 $ t = 2 bimestres = 4 meses. I = C .i .t 50 = 800. i. 4 50 = 3200. i 50 / 3200 = i 0,015 = i Significa que la tasa mensual es 0,015 o la razón 1,5 % mensual

Ejemplo No. 10: Un cierto capital se transformó en 25000 $ en dos trimestres, si se aplicó un 3 % mensual. ¿Cuál fue el capital inicial? C = x (hay que averiguar) M = 25000 $ t = 2 trimestre i = 3% i = 3 /100 = 0, 03 Con estos datos, en la formula se tiene: M = C. (1 + i . t ) 25 000 = x. ( 1 + 0,03 . 6 ) 25 000 = x. ( 1 + 0.18 ) 25 000 = x. 1,18 25 000 / 1,18 = x 21 186, 44 = x C = 21 186,44 $

Ejemplo No. 11: Indicar el tiempo en que estuvo colocado un capital de 3000 $ que al ser depositado con una tasa anual de 0,09 obtuvo una ganancia de 400 $. t=x C = 3000 $ i = 0,09 anual I = 400 $ Este problema puede resolverse con la fórmula: I = C . i . t 400 / 270 = t 400 = 3000 . 0,09 . t 1,4814 = t 400 = 270 . t Este número está expresado en años (ya que la tasa así lo indica), vamos a transformarlo en un tiempo real, para ello se debe interpretar lo siguiente: 1, 4814 años = 1 año + 0,4814 año = 1 año + 0,4814 x 12 meses = 1 año + 5,7768 meses = 1 año + 5 meses + 0,7768 meses = 1 año + 5 meses + 0,7768 x 30 días = 1 año + 5 meses + 23 días.

Ejemplo No. 12: Calcular a cuánto asciende el interés simple producido por un capital de 25 000 pesos invertido durante 4 años a una tasa del 6 % anual. Se ha de expresar el 6 % en tanto por uno, y se obtiene 0,06 I = 25 000·0,06·4 = 6 000 ? = C·i·t El interés es de 6 000 pesos

Ejemplo No. 13: Calcular el interés simple producido por 30 000 pesos durante 90 días a una tasa de interés anual del 5 %. I = Cit ? = C·i·t I = 30 000 *0.05 (90/360)= 375 I = 375 ptas.

EJERCICIOS DE INTERÉS SIMPLE 1) Un cierto capital se transformó en 4600 $ en 4 cuatrimestres, si se aplicó un 1% mensual. ¿Cuál fue el capital inicial y el interés ganado? 2) Hallar el porcentaje aplicado a un capital de 800 $ para transformarse en 700 $ 3) Indicar el valor del capital que al ser colocado al 5 % bimestral durante 3 años produjeron un monto de 6900 $. 4) Un capital de 640 $ sufre un aumento del 20 % y luego un descuento del mismo valor, hallar el monto final. 5) Un capital de 900 $ se transforman en 980 $ en un año. Calcular el interés, la razón y la tasa bimestral. 6) Un hombre coloca 500 $ en un banco que le paga un 4 % bimestral en un año, luego retira la cuarta parte del monto y lo coloca en otro banco al 5 % bimestral durante medio año, con la plata que le sobraba gasta un 40 % en pasajes y un 30 % en indumentaria. ¿Cuánta plata le queda para emprender el viaje? 7) Calcular el tiempo que estuvo depositado un capital de 500 $ si se obtuvo una ganancia de 30 $ al ser colocado al 6% bimestral.

EJERCICIOS DE INTERÉS SIMPLE 8) Indicar el porcentaje de aumento final que sufre un producto si valía 400 $ y le fueron agregados tres aumentos consecutivos del 10 % cada uno. 9) Se depositan 4000$ el 1 de marzo y se retiran el 31 de julio. Si la razón era del 4 % bimestral. Calcular el interés y el monto. 10)Calcular el tiempo que estuvo depositado un capital de 4000 $ si se obtuvo una ganancia de 500$ al ser colocado al 6% anual. 11) Se colocan $7.800 durante 4 bimestres en una agencia financiera que ofrece el 6% semestral. ¿Cuánto ganarán de intereses y cuánto se acumulará al final del período? 12) Cierto capital gana Bs 157,50 de intereses al colocarlos durante 4 meses y medio en una institución que paga el 30% anual. Determine cuánto se invirtió y cuánto se acumula 13) Se adquiere una maquinaria por Bs 5 mil, dando al momento de la compra un 40% de inicial, financiando el resto durante 7 trimestres. De esta forma, terminan pagándose Bs 1.155 de intereses. ¿Qué tasa anual le fue aplicada? ¿Cuánto pagó en total por la maquinaria?. 14) ¿Cuántos meses deben transcurrir para que Bs 812 colocados al 2,2% bimensual se conviertan en Bs 910,252?. 15) Una empresa decide invertir Bs 6.300 durante 8 bimestres a una tasa que le garantice que ganará Bs 2.419,20. ¿A qué tasa trimestral deberá invertir

EJERCICIOS DE INTERÉS SIMPLE 16) El 24 de Marzo, el Sr. Dogone invierte $960 al 2,1% mensual y mantendrá su inversión hasta que su dinero se convierta en $1141,44. ¿Cuándo lo retirará?. 17) Una cuenta de ahorros ofrece el 0,05% diario. Decido guardar allí Bs 2.900 durante 5 meses y 10 días. ¿Cuánto retiraré al final del período? ¿Cuánto si lo dejo un año?. 18) Se adquiere un repuesto a crédito y el vendedor lo financia al 1,8% quincenal. La operación dura 7 meses y 18 días y se terminan pagando Bs 725,925 por el repuesto. Determine su valor de contado. 19) Un terreno se compra, pero a los dos años y 5 meses se vende por Bs 6.478,70, luego de ganar Bs 2.038,70 por inflación. ¿Qué tasa de inflación semestral se está usando? 20) Un capital de Bs 4.200 se invierte en dos bancos: 9/14 partes en el Banco Municipal, al 22% durante 10 meses, y el resto en el Banco Latino, al 20% durante 1 año y un mes. Determine: a) El monto final de su inversión. b) La tasa de interés que realmente aplicó a su inversión 21) El señor Moreno recibe Bs 55 mil como premio de una lotería y decide invertirlos de la siguiente manera: El 30% durante 5 trimestres en una institución financiera que le ofrece el 19% de interés simple anual y el resto durante 1 año y dos meses en un banco que le da el 23% anual simple. Determine el total de intereses que percibirá y el capital que tendrá al final de las inversiones. 22) Agropecuaria Palo Alto decide comprar un lote de maquinarias de siembra por un total de Bs 650 mil. Como inicial, la empresa aporta el 20%, dejando el resto para ser financiado en 2 años y medio por una agencia que cobra el 8% semestral simple. Determine de cuánto será el pago que deberá realizar la Agropecuaria para liquidar su deuda al final del período

EJERCICIOS DE INTERÉS SIMPLE 23) Una empresa decide colocar cierto capital durante 9 meses al 22,5% anual en un banco. Al final de ese período, tras ganar $810 de intereses, tiene un total de $5.610. Determine cuánto fue el capital colocado. 24) ¿A qué tasa de interés mensual hay que colocar Bs 500 para que, al pasar un semestre se conviertan en Bs 551? 25) El 4 de Abril coloqué Bs 7 mil en una cuenta de ahorro VIP que me ofrece el 2% simple mensual. Deseo retirar mi dinero cuando haya ganado Bs 616 de intereses. ¿Cuándo debo realizar el retiro? 26) Ud. recibe una asignación de Bs 8.250 y decide hacer la siguiente secuencia de inversiones: a) Coloca la mitad del capital en un plazo fijo durante 90 días al 4% trimestral y la otra mitad en una libreta de ahorros por el mismo tiempo que da el 1% mensual. b) Retira los intereses de las dos colocaciones y todo el capital lo coloca en otro plazo fijo por 180 días al 4,5% trimestral. ¿Cuánto tendrá Ud. al final de este último período? 27) Se coloca cierto capital al 20% anual. Determine cuánto tiempo pasará para que este capital se duplique. 28) Una persona debió pagar 800 000 por una deuda que se vencía en 8 meses; pero solo pagó 650 000 por el hecho de haber pagado la deuda 3 mese antes de su vencimiento: a) ¿Cuál es la tasa de interés mensual de la deuda? b) ¿A cuanto ascendía la deuda originalmente? 29) Una persona colocó un capital de 70 000 que se convirtió en 91 000 en t años; si hubiera colocado el capital durante 3 meses más, éste se hubiera convertido en 98 000. ¿A que tasa anual se colocó el capital?

EJERCICIOS DE INTERÉS SIMPLE 30) Una persona puede cancelar dentro de 6 meses una deuda con 390 000 o cancelar dentro de 6 meses una deuda de 390 000 o cancelar la misma deuda dentro de un año con 480 000. ¿Qué tasa anual se interés se está cargando?. 31) Una persona debe pagar una deuda que gana una tasa de 50 % anual dentro de 9 meses. Se compromete pagar un porcentaje adicional del 10% sobre el monto de la deuda que se vence en los 9 meses, con tal de que se postergue el pago. ¿Cuanto tiempo más podrá postergar el pago asumiendo que el capital prestado mantiene su tasa de interés del 50%?.

32) Una persona se presta el día de hoy 700 000, debiendo pagar en la fecha de vencimiento de la deuda una cantidad M; sin embargo se le hace una concesión especial y se posterga el pago de la deuda por 3 meses, debiendo pagar en la nueva fecha de vencimiento el mismo monto M sin recargo alguno. ¿Cuanto disminuye la tasa de interés si se sabe que la deuda originalmente vencía en 5 meses?

Monto o Capital acumulado (M) o ( S)

INTERES COMPUESTO

Continuo

1 + ni

1 +4 i

1 +3 i

1 +2 i

1+i

Discreto

n

0

1

2

3

4

FUNCION DE TIEMPO

n

Periodo de capitalización

Monto o Capital acumulado (M) o ( S)

1611

1464

1331

1210

1100

1000

INTERES COMPUESTO

n

0

1

2

3

4

5

FUNCION DE TIEMPO

Periodo de capitalización

Periodo de Capital en capitalizacion. funcion del (n) periodo

i

Intereses

1

1000.00

10%

100.00

Monto Capital mas intereses a final del periodo 1100.00

2

1100.00

10%

110.00

1210.00

3

1210.00

10%

121.00

1331.00

4

1331.00

10%

133.10

1464.10

5

1464.10

10%

146.41

1610.51

FÓRMULAS DE INTERÉS COMPUESTO PER. 1 2 3 … n

CAP INICIAL INT. Co Co i Co(1+ i) Co(1+i) I Co (1+i)2 i Co(1+i)2 ----Co(1+i)n-1 Co(1+i)n-1i

MONTO AL CABO DEL PERIO. Co + Co I = Co (1+ i) Co(1+ i) + Co(1+i) i = Co (1+ i)(1+i) = Co (1+i)2 Co (1+ i)2 + i Co(1+ i)2 = Co(1+ i)2 (1 + i) = Co (1+i)3 --Co(1+ i)n-1 + Co(1+ i)n-1i = Co(1+ i)n-1(1+ i) = Co(1+i)n

En general:

Cn = C o

n (1+i)

FÓRMULAS DE INTERÉS COMPUESTO

a) Monto (M) o (S) n

S=C(1+i) ; “n”es entero. b) Monto (M) o (S) n

S=C(1+i) *(1+it); donde “n” es entero y “t” es fracción.

FÓRMULAS DE INTERÉS COMPUESTO S1 = 1000 (1+0.10)1 = 1100 ; S = C(1 + i)1 S2 = 1100 (1+0.10)2 = 1210 ; S = C(1 + i)2 S3 = 1210 (1+0.10)3 = 1331 ; S = C(1 + i)3

… Sn =

…

… ; S = C(1 + i)n

INTERÉS COMPUESTO Ejemplo de Interés simple y compuesto Calcular el Interés simple y compuesto para un monto de S/. 1000 por 3 años al 5 %. a) Interés simple I = C. i. t ; 1000*0.05*3 = 150 M = C + I = 1150 b) Interés compuesto 1 año ; I = C. i. t = 1000*0.05*1 = 50 M = C + I = 1000 + 50 = 1050 2 año ; I = C. i. t = 1050*0.05*2 = 52.50 M = C + I = 1050 + 52.50 = 1102.50 3 año ; I = C. i. t = 1050*0.05*3 = 55.12 M = C + I = 1102.50 + 55.12 = 1157.62

INTERÉS COMPUESTO Por la formula general S = C(1 + i)n se tiene: S = C(1 + i)n = 1000(1 + 0.05)3 = 1157.62 TASA NOMINAL Y TASA EFECTIVA DE INTERES

La tasa nominal es el interés que capitaliza más de una vez por año. Esta tasa convencional o de referencia lo fija el Banco Federal o Banco Central de un país para regular las operaciones activas (préstamos y créditos) y pasivas (depósitos y ahorros) del sistema financiero. Interés = Capital x tasa% x plazo en días 100 365

INTERÉS COMPUESTO La tasa efectiva es aquella a la que efectivamente está colocado el capital. La capitalización del interés en determinado número de veces por año, da lugar a una tasa efectiva mayor que la nominal. Esta tasa representa globalmente el pago de intereses, impuestos, comisiones y cualquier otro tipo de gastos que la operación financiera implique. La tasa efectiva es una función exponencial de la tasa periódica.

Interés = Capital x [ (1+ i)

n

- 1]

INTERÉS COMPUESTO La tasa equivalente es aquella en la que la tasa nominal y la tasa efectiva tienen el mismo rendimiento, es decir producen la misma cantidad de intereses en un mismo período. Como la tasa efectiva es el producto de la capitalizaciones de la tasa nominal, la equivalencia entre las tasas estaría dada por:

(1+ iN )

n

= 1 + ie

EJEMPLOS DE INTERÉS COMPUESTO 1. Calcular la tasa nominal convertible mensualmente y que sea equivalente a la tasa efectiva anual del 101.22 %.

iN = ?

ie = 1.0122 n = 12

12

(1+ iN ) = 1 + 1.0122 1+ iN = (2.0122) 1/12 iN = 0.06 mensual iN = 0.06 *12 = 0.72 convertible mensualmente iN = 72 % convertible mensualmente

EJEMPLOS DE INTERÉS COMPUESTO 2. Calcular el monto de S/. 500 en 2 años a una tasa del 4%, convertible trimestralmente. C= 500 t = 2 años n = 8 trimestres i = 4% = 0.04 anual i = 0.04/4 = 0.01 por trimestre M = C(1+i)n ; M = 500 (1 +0.01) 8 M = 541.5

EJEMPLOS DE INTERÉS COMPUESTO 3. Calcular el monto compuesto de S/. 8 500 000 por 6 años 3 meses al 75% anual. C= 8 500 000 i = 0.75 n = 6 años t = 3 meses/ 12 meses = ¼ años = 0.25 años M = C(1+i)n (1 + it); M = 8 500 000 (1 +0.75)6 (1 + 0.75*0.25) M = 289 921 772

EJEMPLOS DE INTERÉS COMPUESTO 4. A qué tasa de interés convertible trimestralmente, un capital de 50 000 se convertirá en 3 000 000 en 5 años y 2 meses. C= 50 000 M = 3 000 000 i= ? n = 5 años = 20 trimestres. t = 2 meses/ 3 meses = 2/3 trimestres M = C(1+i)n (1 + it); 3 000 000 = 50 000 (1 + i)20 (1 + i*2/3) La solución aproximada en M = C(1+i)n con n= 20*2/3 = 62/3 3 000 000 = 50 000 (1 + i)62/3

EJEMPLOS DE INTERÉS COMPUESTO 5. En cuanto tiempo un capital de 800 000 se convertirá en 12 000 000 a una tasa del 60% convertible semestralmente. C= 800 000; M= 12 000 000; i = 60%=0.60/2=0.30 por semestre t=? M = C(1+i)n ; 12 000 000 = 800 000 (1 + 0.3)n n = 10.3217 semestres. t = 10 semestres 1mes 28 días considerando interés ordinario. Considerando la fracción de tiempo se tiene: M = C(1+i)n (1+ it); 12 000 000 = 800 000 (1 + 0.3)10(1+ 0.6t) t = 0.1468 años = 53 días. Luego t = 10 semestres 1 mes 23 días.

EJERCICIOS DE INTERÉS COMPUESTO 1. Calcular el monto que se obtendrá depositando $ 3.000 durante 90 días, al 5 % de interés cada 30 días, con capitalización cada 30 días. 2. En diciembre de 19x3 se efectuó una inversión de $ 5.000 al 5 % anual capitalizable anualmente. Cuánto podrá retirarse en diciembre de 19x7?. 4. ¿ Cuál fue el depósito original que a la tasa del 12 % mensual, produjo un monto de $ 1.973,82 al cabo de 6 meses?. 5. Se desea conocer que tasa de interés, ha redituado un capital de $ 1.000 que colocado durante 6 meses permitió obtener $1.973,82 de monto. 6. Durante cuánto tiempo habrá estado colocado un capital de $ 700 si produjo un monto de $ 911,58 a la tasa del 4,5 % mensual ?. 7. ¿ Cuál fue el interés ganado en una colocación al 5 % mensual, durante un año; si el monto obtenido es de $ 2.693,78 ?. 8. Hallar la cantidad que es necesario colocar en una cuenta que paga el 15% con capitalización trimestral, para dispones de 20.000 al cabo de 10 años. 9. ¿Cuántos meses deberá dejarse una póliza de acumulación de $2.000 que paga el 3% anual, para que se convierta en %7.500?

EJERCICIOS DE INTERÉS COMPUESTO 10. Hallar el valor futuro a interés compuesto de $100, para 10 años: a. al 5% efectivo anual b. al 5% capitalizable mensualmente c. al 5% capitalizable trimestralmente d. al 5% capitalizable semestralmente 11. Hallar el valor futuro de $20.000 depositados al 8%, capitalizable anualmente durante 10 años 4 meses. 12. ¿Qué tasa capitalizable semestralmente es equivalente al 8%, capitalizable trimestralmente? 13. Hallar la tasa nominal convertible semestralmente, a la cual $10.000 se convierten en $12.500, en 5 años. 14. ¿Cuántos años deberá dejarse un depósito de $6.000 en una cuenta de ahorros que acumula el 8% semestral, para que se conviertan en $10.000? 15. ¿Qué es más conveniente: invertir en una sociedad maderera que garantiza duplicar el capital invertido cada 10 años, o depositar en una cuenta de ahorros que ofrece el 6% capitalizable trimestralmente? 16. Una inversionista ofreció comprar un pagará de $120.000 sin interés que vence dentro de 3 años, a un precio que le produzca el 8% efectivo anual; calcular el precio ofrecido. 17. Hallar el VF a interés compuesto de $20.000 en 10 años, a la tasa del 5% de

DESCUENTO BANCARIO

La operación financiera de descuento es la inversa a la operación de capitalización. Con esta operación se calcula el capital equivalente en un momento anterior de un importe futuro. Mientras que la ley de capitalización calcula unos intereses que se les añade al importe principal, compensando el aplazamiento en el tiempo de su disposición. En las leyes de descuento es justo al contrario: se calculan los intereses que hay que pagar por adelantar la disposición del capital. Dentro de las leyes de descuento, se pueden distinguir tres modelos: A) Descuento comercial B) Descuento racional C) Descuento compuesto

DESCUENTO BANCARIO A) DESCUENTO COMERCIAL

La ley financiera del descuento comercial, que permite calcular el importe del descuento, es la siguiente:

D = Co * d * t

Donde: " D " son los intereses que hay que pagar " Co " es el capital inicial (en el momento t=0) " d " es la tasa de descuento que se aplica " t " es el periodo que dura la inversión. El capital final Cf es

Cf = Co - D Cf = Co - ( Co * d * t ) Cf = Co * ( 1 - ( d * t ))

DESCUENTO BANCARIO A)DESCUENTO COMERCIAL Ejemplo Calcular los intereses de descuento que generan 2 millones de soles, descontados a un tipo del 15%, durante un plazo de 1 año. D = 2 000 000 * 0,15 * 1 = 300 000

El capital final " Cf " es Cf = Co – D = 2 000 000 – 300 000 = 1 700 000 Cf = Co * ( 1 - ( d * t )) = 2 000 000 ( 1 – 0,15 * 1) = Cf = 1 700 000

DESCUENTO BANCARIO A)DESCUENTO COMERCIAL Al igual que ya hemos visto con las leyes de capitalización, es importante tener en cuenta que el tipo de interés y el plazo deben referirse a la misma medida temporal. La tasa de interés equivalente se calcula como en la capitalización simple. Ejemplos de tipos equivalentes a una tasa anual del 15%. /Día 15 / 365 0,041 Calculo Tipo Tipo resultante Año 15 / 1 Base %Base temporal temporalCalculo resultante 15 % Semestre 15 / 2 7,5 % Cuatrimestre 15 / 3 5 % Trimestre 15 / 4 3,75 % Mes 15 / Año 12 1,25 % Día 1515// 1365 0 15 %

,041 %

Semestre Cuatrimestre Trimestre Mes Día

15 / 2 15 / 3 15 / 4 15 / 12 15 / 365

7,5 % 5% 3,75 % 1,25 % 0,041 %

DESCUENTO COMERCIAL Ejemplo Calcular los intereses de descuento de un capital de 600 000 soles al 15% anual durante 3 meses: Co = 600 000 soles. d = 15% anual; (d = 15/12 mensual) D = Co * d + t D = 600 000 * 0,0125 * 3 = 22 500 soles La ley de descuento comercial, al igual que la de capitalización simple, sólo se utiliza en el corto plazo (operaciones a menos de 1 año).

DESCUENTO COMERCIAL

Descuento comercial: Ejercicios. Ejercicio 1: Calcular el descuento por anticipar un capital de 800 000 soles por 7 meses a una tasa de descuento del 12% anual. Ejercicio 2: Calcular el capital final que quedaría en la operación anterior. Ejercicio 3: Se descuentan 200 000 soles por 6 meses y 900 000 soles por 5 meses, a una tasa de descuento del 15% anual. Calcular el capital actual total de las dos operaciones. Ejercicio 4: ¿ Qué importe actual es más elevado: el que resulta de descontar 1 000 000 soles por 6 meses al 12% anual, o el de descontar 1 200 000 soles por 9 meses al 15% anual? Ejercicio 5: Se descuentan 800 000 soles por un plazo de 4 meses, y los intereses del descuento son 40 000 soles. Calcular la tasa de descuento.

DESCUENTO COMERCIAL Solución ejercicio 1: D=C*d*t Si t = meses ; d = 12%, d(12) = 12 / 12 = 1,0 mensual. D = 800 000*0,01*7 = 56 000 soles Si d = anual ; t = 7 meses ; t = 7 meses / 12 meses = 0.538 años D = 800 000*0,01* 0.538 = 56 000 soles

Solución ejercicio 2: Cf = Co - D Cf = 800 000 – 56 000 Cf = 744 000 soles.

DESCUENTO COMERCIAL

Solución ejercicio 3: Tenemos que calcular el capital final de ambas operaciones 1er importe: Cf = Co - D D = Co * d * t D = 200 000 * 0,15 * 0,5 D = 15 000 soles Cf = 200 000 – 15 000 = 185 000 soles. 2do importe: Cf = Co - D D = Co * d * t D = 900 000 * 0,15 * 0,4166 (5 meses equivale a 0,4166 años). D = 56 241 soles. Cf = 900 000 – 56 241 = 843 759 soles. El Capital final de ambas operaciones es: Cf = 185 000 + 843 759 = 1 028 759 soles.

DESCUENTO COMERCIAL

Solución ejercicio 4:

1er importe:

Cf = Co - D D = Co * d * t D = 1 000 000 * 0,12 * 0,5 D = 60 000 soles Cf = 1 000 000 – 60 000 = 940 000 soles

2do importe:

Cf = Co - D D = Co * d * t D = 1 200 000 * 0,15 * 0,75 D = 135 000 ptas. Cf = 1 200 000 – 135 000 = 1 065 000 soles.

Por lo tanto, la opción 2ª es mayor.

DESCUENTO COMERCIAL Solución ejercicio 5: D=C*d*t 40 000 = 800 000 * d * 0,333 d = 40 000 / 266 400 (ya que 266 400 = 800 000 * 0,333) d = 0,1502 La tasa anual de descuento es del 15,02%

DESCUENTO RACIONAL La ley financiera de descuento racional viene definida de la siguiente manera:

D = ( Co * d * t ) / (1 + d * t)

" D " son los intereses que hay que pagar " Co " es el capital inicial (en el momento t=0) " d " es la tasa de descuento que se aplica " t " es el periodo que dura la inversión

Capital final:

Cf = Co - D

Cf = Co - (( Co * d * t ) / (1 + d * t)) Cf = Co * ( 1 - ( d * t ) / (1 + d * t)) Cf = Co * ( ( 1 + d * t - d * t ) / (1 + d * t)) luego, Cf = Co / (1 + d * t); " Cf " es el capital final

DESCUENTO RACIONAL Ejemplo 1: Calcular los intereses de descuento por anticipar un capital de 1 200 000 soles, durante 8 meses, a una tasa de interés del 14%. D = ( Co * d * t ) / (1 + d * t) D = (1 200 000*0,14*0,666) / (1+0,14*0,666) D = 102 345 soles Calcular el capital final. Lo vamos a calcular de dos maneras: a) Aplicando la fórmula Cf = Co – D Cf = 1 200 000 – 102 345 = 1 097 655 soles b) Aplicando la fórmula Cf = Co / (1 + d * t) Cf = 1 200 000 / (1 + 0,14 * 0,666) Cf = 1 097 655 soles

DESCUENTO RACIONAL La ley de descuento racional es el equivalente, en sentido inverso, de la ley de capitalización simple, y, al igual que ésta, sólo se suele utilizar en operaciones a menos de 1 año. Esta relación de equivalencia no se cumple con la ley de descuento comercial.

Con el término equivalente nos referimos al hecho de que descontando un capital a un tipo de interés, y capitalizando el capital resultante con el mismo tipo de interés, volvemos al capital de partida.

DESCUENTO RACIONAL Ejemplo 2: Descontar un capital de 1 000 000 soles, por un plazo de 6 meses al 10%, y el importe resultante capitalizarlo (capitalización simple) por el mismo plazo y con el mismo tipo de interés. a) Aplicando el descuento racional; b) Aplicando el descuento comercial. a) Aplicando el descuento racional Cf = Co / (1 + d * t) Cf = 1 000 000 / (1 + 0,1 * 0,5) = 952 381 soles El capital descontado, 952 381 soles, pasa a ser ahora "Co“ Cf = 952 381*(1+(0,1*0,5)) = 1 000 000 soles Vemos que se ha cumplido la ley de equivalencia, y que hemos vuelto al capital de partida

DESCUENTO RACIONAL

b) Aplicando el descuento comercial Descuento aplicando la fórmula Cf = Co*(1– (d*t)) luego, Cf = 1 000 000 * (1 - 0,1 * 0,5) luego, Cf = 950 000 soles Ahora capitalizo Cf = Co * (1 + (i * t)) luego, Cf = 950 000 * (1 + (0,1 * 0,5)) luego, Cf = 997 500 soles No se cumple, por tanto, la relación de equivalencia como se ha podido ver en el ejemplo, el

descuento que se calcula aplicando la ley de descuento racional es menor que el que se calcula aplicando la ley de descuento comercial

EJERCICIOS DESCUENTO RACIONAL

Ejercicio 1: Calcular el descuento por anticipar un capital de 500 000 soles por 4 meses a un tipo de descuento del 12%; a ) aplicando el descuento racional, b) aplicando el descuento comercial. Ejercicio 2: Se ha descontado un capital de 1 000 000 soles por 3 meses, y los intereses de descuento han ascendido a 40 000 soles. Calcular el tipo de interés aplicado (descuento racional). Ejercicio 3: Se descuentan 200 000 soles al 12% y los intereses de descuento ascienden a 15 000 soles. Calcular el plazo del descuento (descuento racional). Ejercicio 4: Los intereses de descuento de anticipar un capital por 8 meses, al 10%, ascienden a 120 000. Calcular el importe del capital inicial (descuento racional). Ejercicio 5: Se descuentan 2 000 000 soles por un plazo de 4 meses, a un tipo del 10% (descuento racional). Calcular que tipo habría que aplicar si se utilizara el descuento comercial, para que el resultado fuera el mismo.

EJERCICIOS DESCUENTO RACIONAL Solución ejercicio 1: a) Aplicando el descuento racional: D = ( Co * d * t ) / (1 + d * t) Luego, D = ( 500 000 * 0,12 * 0,333 ) / (1 + 0,12 * 0,333) Luego, D = 19 212 soles Aplicando el descuento comercial: D = Co * d * t Luego, D = 500 000 * 0,12 * 0,333 Luego, D = 19 980 soles

Solución ejercicio 2:

La formula aplicada ha sido D = ( Co * d * t ) / (1 + d * t) Luego, 40 000 = (1 000 000 * d *0,25 ) / (1 + d * 0,25) Luego, 40 000 = (250 000 * d) / (1 + d * 0,25) Luego, 40 000 + 10 000 * d = 250 000 * d Luego, d = 40 000 / 240 000 Luego, d = 0,1666. Por lo tanto, el tipo de descuento aplicado es el 16,66%

EJERCICIOS DESCUENTO RACIONAL

Solución ejercicio 3: La formula aplicada ha sido D = ( Co * d * t ) / (1 + d * t) Luego, 15 000 = (200 000 * 0,12 * t ) / (1 + 0,12 * t) Luego, 15 000 = (24 000 * t) / (1 + 0,12 * t) Luego, 15 000 + 1 800 * t = 24 000 * t Luego, t = 15 000 / 22 200 Luego, t = 0,67567 Por lo tanto, el plazo de descuento ha sido 0,67567 años, o lo que es lo mismo, 8,1 meses. Solución ejercicio 4: La formula aplicada ha sido D = ( Co * d * t ) / (1 + d * t) Luego, 120 000 = (Co * 0,10 * 0,666 ) / (1 + 0,10 * 0,666) Luego, 120 000 = (Co * 0,0666) / 1,06666 Luego, Co = 120 000 * 1,06666 / 0,0666 Luego, Co = 1 920 000 soles

EJERCICIOS DESCUENTO RACIONAL Solución ejercicio 5:

D = ( Co * d * t ) / (1 + d * t) Luego, D = ( 2. 000 000 * 0,1 * 0,333 ) / (1 + 0,1 * 0,333) Luego, D = 64 516 soles. La fórmula del descuento comercial D = Co * d * t Luego, 64 516 = 2 000 000 * d * 0,333 ; d = 0,096774 Por lo tanto, el tipo de interés que habría que aplicar en descuento comercial sería el del 9,6774%. Dado que, para un mismo tipo de interés, el importe de los intereses del descuento comercial son mayores que los del racional. Para obtener el mismo resultado, el tipo de interés del descuento comercial tendrá que ser menor.

DESCUENTO COMPUESTO La ley financiera de descuento compuesto viene definida de la siguiente manera: D = Co * [ 1 - (1 + d) – t ]

" D " son los intereses de descuento " Co " es el capital inicial (en el momento t=0) " d " es la tasa de descuento que se aplica " t " es el periodo que dura la inversión

El capital es: Cf = Cf = Cf = Cf =

Co Co Co Co

-D - ( Co * (1 - (1 + d) - t )) * (1 - (1 - (1 + d) - t )) * ( 1 + d ) –t

DESCUENTO COMPUESTO Ejemplo 1: Calcular los intereses de descuento por anticipar un capital de 900 000 soles, durante 8 meses, a un tipo de interés del 14%. D = Co*(1-((1+d) - t )) D=900 000*(1-(1,14)-0,666)=75 281 soles El capital final es: a) Cf = Co – D Cf = 900 000 – 75 281 = 824 719 soles b) Cf = Co * ( 1 + d ) – t Cf = 900 000 * (1,14) - 0,666 Cf = 1 200 000 * 0,9164 = 824 719 soles

DESCUENTO COMPUESTO

La ley de descuento compuesto es inversa de la ley de capitalización compuesta: si descontamos un capital utilizando el descuento compuesto, y el importe obtenido lo capitalizamos (capitalización compuesta), aplicando el mismo tipo de interés y plazo, obtenemos el importe inicial. El descuento compuesto, al igual que la capitalización compuesta se puede utilizar tanto en operaciones de corto plazo (menos de 1 año), como de medio y largo plazo. En este sentido contrasta con el descuento comercial y el racional, que sólo se utilizan en operaciones a corto plazo.

DESCUENTO COMPUESTO Ejemplo 2: Descontar un capital de 2 000 000 soles, por un plazo de 6 meses al 15%, y el importe resultante capitalizarlo (capitalización compuesta) por el mismo plazo y con el mismo tipo de interés. Cf = Co * ( 1 + d ) – t Cf = 2 000 000 * (1 + 0,15) - 0,5 = 1 865 010 soles Capitalización compuesta Cf = Co * ( 1 + i) t Cf = 1 865 010 * (1 + 0,15) 0,5 = 2 000 000 soles Se cumple la ley de equivalencia. Se puede utilizar tanto en operaciones de corto plazo (menos de 1 año), como de medio y largo plazo. En este sentido contrasta con el descuento comercial y el racional, que sólo se utilizan en operaciones a corto plazo.

EJERCICIOS DESCUENTO COMPUESTO Ejercicio 1: Calcular los intereses de descuento por anticipar un capital de 2 000 000 soles por 4 meses a un tipo de descuento del 12%; aplicando a ) descuento comercial, b) descuento racional. c) descuento compuesto Ejercicio 2: Calcular la misma operación anterior al plazo de 1 año. Ejercicio 3: Calcular la misma operación anterior a un plazo de 1 año y medio. Ejercicio 4: En el ejercicio 1º, calcular los tipos de interés que habría que aplicar en el descuento racional y en el compuesto para obtener el mismo resultado que en el descuento comercial. Ejercicio 5: Los intereses de descontar 2 000 000 soles a un tipo del 10% ascienden a 150 000 ptas. Calcular el plazo de descuento si se ha aplicado la ley de a) descuento comercial, b) descuento racional, c) descuento compuesto.

EJERCICIOS DESCUENTO COMPUESTO Solución ejercicio 1: a) Ley de descuento comercial D = Co * d * t D = 2 500 000*0,12*0,33 =100 000 soles b) Ley de descuento racional D = ( Co * d * t ) / (1 + d * t) D = (2 500 000*0,12*0,33)/(1+0,12*0,33) D = 96 154 soles c) Ley de descuento compuesto D = Co * (1 - (1 + d) -t ) Cf = 2 500 000*(1-(1+0,12)-0,33) Cf = 92 679 soles Al ser la operación a menos de 1 año, los intereses del descuento racional son superiores a los del descuento compuesto.

EJERCICIOS DESCUENTO COMPUESTO Solución ejercicio 2: a) Ley de descuento comercial D = Co * d * t D = 2 500 000 * 0,12 * 1 = 300 000 soles b) Ley de descuento racional D = ( Co * d * t ) / (1 + d * t) D = (2 500 000*0,12*1)/(1+0,12*1) D = 267 857 ptas. c) Ley de descuento compuesto D = Co * (1 - (1 + d) ^ -t ) Cf = 2 500 000*(1-(1+0,12)^-1) Cf = 267 857 ptas. Al ser la operación a 1 año, coinciden los intereses del descuento racional y los del descuento compuesto.

EJERCICIOS DESCUENTO COMPUESTO Solución ejercicio 3: a) Ley de descuento comercial D = Co * d * t D = 2 500 000 * 0,12 * 1,5 = 450 000 soles b) Ley de descuento racional D = ( Co * d * t ) / (1 + d * t) D = (2 500 000*0,12*1,5)/(1+0,12*1,5) D = 381 356 soles c) Ley de descuento compuesto D = Co * (1 - (1 + d) - t ) Cf = 2 500 000*(1-(1+0,12)-1,5) Cf = 390 823 ptas. Al ser la operación a más de 1 año, los intereses del descuento compuesto son superiores a los del descuento racional.

EJERCICIOS DESCUENTO COMPUESTO Solución ejercicio 4: En el ejercicio 1, aplicando la ley de descuento comercial, los intereses de descuento han ascendido a 100 000 soles. El tipo de interés ha sido del 12% a) Aplicando la ley de descuento racional D = ( Co * d * t ) / (1 + d * t) 100 000 = (2 500 000*d*0,33) / (1+ d*0,33) 100 000 = 833 333,3*d / (1+ d*0,33) = 0,125 b) Aplicando la ley de descuento compuesto D = Co * (1 - (1 + d) - t ) 100 000 = 2 500 000*(1- (1+ d) - 0,33) 100.000/2.500.000 = 1-(1+d)-0,33 0,04 = (1- (1+d) - 0,33) ; (1+ d) - 0,33 = 0,96; 1+d = 1,13028 d = 0,13028 Por lo tanto, el tipo de interés que habría que aplicar con la ley de descuento compuesto para obtener el mismo importe de intereses de descuento que con la ley de descuento comercial, sería del 13,028%

EJERCICIOS DESCUENTO COMPUESTO Solución ejercicio 5:

a) Ley de descuento comercial D = Co * d * t 150 000 = 2 000 000 * 0,10 * t t = 0,75 años b) Ley de descuento racional D = ( Co * d * t ) / (1 + d * t) 150 000=(2 000 000*0,10*t)/(1+0,10*t) 150 000*(1+0,10*t)=200 000*t 150.000=185.000*t t = 0,8108 c) Ley de descuento compuesto D = Co * (1 - (1 + d) -t ) 150 000=2 000 000*(1-(1+0,10)-t) 150 000=2 000 000*(1-(1,1)-t) (1,1)t =1,08108 ln (1,1)t = ln 1,08108 (aplicamos logaritmos neperianos) t = ln 1,08108 / ln 1,1 = 0,8180

FORMULAS DESCUENTO BANCARIO

Descuento Comercial

D = Co * d * t Cf = Co – D Cf = Co*(1 - ( d * t ))

Descuento Racional

D = ( Co * d * t ) / (1 + d * t) Cf = Co – D Cf = Co / (1 + d * t)

Descuento Compuesto

D = Co * [ 1 - (1 + d) – t ] Cf = Co – D Cf = Co * ( 1 + d ) – t

ANUALIDADES Anualidades ordinarias Amortización Bonos Anualidades anticipadas y diferidas

Anualidades ciertas Caso general

ANUALIDADES Definición.- Es el conjunto de pagos iguales realizados a intervalos iguales de tiempo. Ejemplo de anualidades: Pagos mensuales por la renta de un local o departamento. Cobro quincenal de sueldo. Pagos anuales a las pólizas de seguro

TIPOS DE ANUALIDADES Criterio

Tipo

Ciertas

Tiempo ( fecha de inicio y fin)

Descripción Anualidades Ciertas. Sus fechas son fijas y se estipulan de antemano. Ejemplo: al realizar una compra a crédito se fija tanto la fecha en que se debe hacer el primer pago, como la fecha para efectuar al último pago.

Anualidades contingentes. La fecha del primer pago, la fecha del ultimo pago, o ambas no se fijan de antemano. Contingentes Ejemplo: Una renta vitalicia que se obliga a un cónyuge tras las la muerte del otro. El inicio de la renta se da el morir el cónyuge, que no se sabe exactamente cuando.

TIPOS DE ANUALIDADES Criterio

Tipo

Generales

Intereses

Simples

Descripción Anualidad general. Son aquellas que el periodo de pago no coincide con el periodo de capitalización. Ejemplo: el pago de una renta semestral con intereses al 30% anual capitalizable trimestralmente. Anualidad simple. Cuando el periodo de pago coincide con el de capitalización de los intereses. Ejemplo: el pago de una renta mensual con intereses al 18% capitalizable mensualmente.

TIPOS DE ANUALIDADES Criterio

Tipo

Descripción

Anualidad vencida. Las anualidades vencidas u Vencidas Pagos

ordinarias son aquellas en que los pagos se efectúan a su vencimiento, es decir, al final de cada periodo.

Anticipadas. Los pagos se efectúan al principio de Anticipadas

cada periodo.

TIPOS DE ANUALIDADES Criterio

Tipo

Descripción Anualidades inmediatas. Es el caso más común. La realización de los

Ordinarias o Inmediatas Iniciación

cobros o pagos tiene lugar en al periodo inmediatamente siguiente a la formalización del trato. Ejemplo: se compra un articulo a crédito hoy, que se va a pagar con mensualidades, la primera de las cuales habrá de realizarse en ese momento o un mes después de adquirida la mercancía (puede ser así, anticipada o vencida).

Diferidas. La realización de los cobros o pagos se hace tiempo después de la

Diferidas

formalización del trato (se pospone). Ejemplo: Se adquiere hoy un articulo a crédito para pagar con abonos mensuales; el primer pago habrá de hacerse 6 meses después de adquirida la mercancía.

Definición y ejemplos • Anualidad: serie de pagos periódicos • Ejemplos: – Hipoteca de una casa – Préstamo de un carro – Depósito mensual de una cantidad fija por cierto período de tiempo

Clasificación de anualidades • Por términos – Definida – Contingente – Perpetuidad • Por fecha de pagos – Ordinaria – Vencida – Diferida • Por periodo de pago y de conversión – Simple – Compleja

ANUALIDADES DEFINIDAS ORDINARIAS Y SIMPLE

Fórmulas de anualidades R[(1  i ) n  1] M  i

R[1  (1  i )  n ] P i

Mi R (1  i) n  1

Pi R 1  (1  i )  n

donde:

M es el monto de la anualidad

R el pago periódico i la tasa periódica n el total de pagos

Nota aclaratoria: Estas fórmulas aplican a anualidades definidas, ordinarias y simples. En este módulo se asume que las anualidades presentadas son de este tipo.

Ejemplo 1 • Se hacen 3 depósitos de $430 al final de cada mes por 3 meses en una cuenta que acumula un 5% anual computado mensualmente. Halle la cantidad en la cuenta al final del tercer mes. • Solución: – Hacer un diagrama que represente esta situación

$430

Hoy

1 mes

$430 2 meses

$430 3 meses

¿Representa esta situación una anualidad? ¿Qué harías para hallar el monto a los 3 meses?

Ejemplo 1-(cont.) Para hallar el monto se tienen las siguientes opciones: • Opción #1:Hallar el monto de cada depósito a los 3 meses usando la fórmula

M  P1  i 

n

y después sumar las cantidades resultantes. Recuerda que “P” es el principal(en este caso cada depósito), “i” la tasa periódica y “n” el total de veces que se calculan los intereses en ese período.

Ejemplo 1(cont.) – Opción #2: Hallar el monto de una anualidad de 3 pagos mediante la fórmula R[(1  i ) n  1] M i Si se selecciona la primera opción, sólo hay que buscar 2 montos ya que el último depósito se hace a los 3 meses. El monto total sería la suma de los montos de los primeros 2 depósitos y el último depósito. Pero en la mayoría de los casos la última opción es más útil porque se reduce la cantidad de cálculos a realizar. Imaginémonos que se hacen 60 o más depósitos. El usar la fórmula para calcular el monto de esa anualidad nos evita el tener que hallar 59 montos.

Ejemplo 1(cont.) Usando la fórmula para calcular el monto se obtiene:  .05 3  4301    1 n  12   R[(1  i )  1]  1,295.38 M  .05 i 12 Contestación: A los 3 meses habrá $1,295.38 en la cuenta.

Ejemplo 2 Hallar el precio “cash” de un carro

• Elsa compró un carro sin dar ningún pronto y pagando 60 mensualidades de $350. Si el préstamo tenía una tasa de interés de un 7% anual computado mensualmente, halle el precio “cash” del carro.

Ejemplo 2(cont.) – Solución: • Las mensualidades fijas de $350 nos indican que este caso representa una anualidad. • El precio “cash” sería la cantidad a pagar en la fecha inicial para saldar el carro.

Ejemplo 2(cont.) Diagrama de la situación

$350

$350

Mes #1

Mes #2

$350

Mes #3

$350

$350

Mes #59 Mes #60

Como ya se mencionó, el precio “cash” es la cantidad a pagar por el carro en la fecha inicial; o sea, el valor presente de esa anualidad . Para hallar el mismo se debe usar la siguiente fórmula.

R[1  (1  i )  n ] P i

donde “R” es el pago periódico, “i” la tasa periódica y “n” el total de pagos.

Ejemplo 2(cont.) Sustituyamos en la fórmula n

R[1  (1  i ) ] 350 [1  (1  .07 / 12 ) 60 ] P   .07 / 12 i

$17,675.70

Contestación: El precio “cash” del carro es $17,675.70

Ejemplo 2(cont.) Preguntas relacionadas

• ¿Cuánto pagó en total Elsa por el carro? – Elsa pagó 60 mensualidades de $350. Por lo tanto pagó 60 ($350), que es igual a $21,000.

• ¿Cuánto pagó en intereses? – Si el precio “cash” del carro era $17,675.70 y ella pagó un total de $21,000, la cantidad pagada en intereses fue: 21,000 - 17,675.70 = 3,324.30 Pagó $3,324.30 en intereses

Ejemplo 3 • ¿Cuál sería el precio “cash” del carro del ejemplo anterior si además de las mensualidades, se pagó $3,000 de pronto? – Solución: • Como los $3,000 se pagaron en la fecha inicial, el precio “cash” sería el pronto más el valor presente de la anualidad. Esto es, 3,000 + 17,675.70 = 20,675.70 Contestación:El precio “cash” sería $20,675.70

Ejemplo 3 Mensualidad de una casa José desea comprar una casa valorada en $170,000. Tiene $12,000 para dar de pronto y consigue un préstamo por 30 años al 7.5% anual computado mensualmente. Si la mensualidad más alta que puede pagar José es de $675, ¿podrá comprar esa casa o deberá buscar otra más económica?

Ejemplo 3(cont.) Análisis de José • José cree que podrá comprar esa casa ya que hizo el siguiente análisis: – En mensualidades pagará un total de: $675(360)=$243,000 – Si la casa cuesta $170,000 y además de dar un pronto de $12,000 él va a pagar $243,000 en mensualidades, está seguro que la mensualidad será menor que $675 y por lo tanto, podrá comprarla.

Ejemplo 3(cont.) ¿Estará correcto el análisis que hizo José?

• Para determinar si José podrá comprar esa casa, se necesita saber cuál sería la mensualidad de la misma, ya que lo más que él puede pagar es $675 mensuales. Como el pago mensual es fijo, este es un ejemplo de una anualidad y la mensualidad de la casa es el pago periódico de la misma.

Ejemplo 3(cont.) Diagrama de la situación

P

R

R

R

R

1

2

3

360

mes

Para buscar el pago periódico (R) de la anualidad se debe usar la siguiente fórmula:

Pi R n 1  (1  i)

donde “P” es el valor presente, “i” la tasa periódioca y “n” el total de pagos

Ejemplo 3(cont.)

Solución: Los valores a sustituir en la fórmula son:

P: el valor presente de la anualidad por pagar ( o sea, la deuda que quede después de pagar el pronto). En este caso es 158,000 (170,000 – 12000)

i: la tasa periódica=(tasa anual)/(veces al año que se computan los intereses). En este caso es .075/12.

n: total de pagos. En este caso es 360.

Ejemplo 3(cont.) • Al sustituir en la fórmula obtenemos:

Pi 158 ,000 (.075 / 12 ) R   1,104 .76 n 360 1  (1  i) 1  (1  .075 / 12 ) El pago mensual de la casa es $1,104.76. Contestación: Lo más que puede pagar José es $675 mensualmente. Por lo tanto, no puede comprar esta casa; debe buscar una más económica.

Ejemplo 4 Plan de ahorro • Luisa desea tener $40,000 dentro de 10 años. Si sus ahorros se pueden invertir al 5.5% anual computado mensualmente, halle la cantidad a ahorrar mensualmente para lograr su meta. Lo que se desea hallar es el depósito mensual; en otras palabras el pago periódico de la anualidad. Tenemos 2 fórmulas para hallar este pago , pero en este caso se tiene el monto. Por lo tanto, se usa la fórmula para “R” que tiene la “M”( el monto).

Ejemplo 4(cont.) Diagrama de la situación

R

R

R

M=$40,000

1

2

3

120

mes

Para buscar el pago periódico (R) de la anualidad se debe usar la siguiente fórmula:

Mi R n (1  i)  1

donde “M” es el monto de la anualidad, “i” la tasa periódioca y “n” el total de pagos

Ejemplo 4-(cont.) Sustituyendo en la fórmula se obtiene

Mi R  n (1  i)  1

 0.055  40000   12   250.77 120  0.055  1   1 12  

Contestación: Luisa debe depositar $250.77 mensualmente para llegar a tener $40,000 dentro de 10 años.