Diapositivas Ecuaciones Diferenciales

Ecuaciones Diferenciales Aland Bravo Vecorena

Ecuaciones Diferenciales

Capítulo 2 Teoría del Capítulo N◦ .2

Aland Bravo Vecorena

Ejercicios del Capítulo N◦ .2

29 de julio de 2017

ISBN 978-612-46624-9-2 978-612-46624-9-2

Introducción a las Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones Diferenciales Aland Bravo Vecorena Capítulo 2 Teoría del Capítulo N◦ .2 Ejercicios del Capítulo N◦ .2

Objetivos del Capítulo 2 Los objetivos de esta sesión de aprendizaje son los siguientes:

•  Encontrar la solución general a cualquier EDO lineal homo-

génea de primer orden mediante la separación de variables.

Introducción a las Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones Diferenciales Aland Bravo Vecorena Capítulo 2 Teoría del Capítulo N◦ .2 Ejercicios del Capítulo N◦ .2

Objetivos del Capítulo 2 Los objetivos de esta sesión de aprendizaje son los siguientes:

•  Encontrar la solución general a cualquier EDO lineal homo-

génea de primer orden mediante la separación de variables.

•   Encontrar una solución particular a cualquier EDO lineal de primer orden no homogénea utilizando la variación de parámetros.

Introducción a las Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones Diferenciales Aland Bravo Vecorena Capítulo 2 Teoría del Capítulo N◦ .2 Ejercicios del Capítulo N◦ .2

Objetivos del Capítulo 2 Los objetivos de esta sesión de aprendizaje son los siguientes:

•  Encontrar la solución general a cualquier EDO lineal homo-

génea de primer orden mediante la separación de variables.

•   Encontrar una solución particular a cualquier EDO lineal de primer orden no homogénea utilizando la variación de parámetros.

•   Encontrar la solución general para cualquier ecuación dife-

rencial de primer orden no homogénea mediante la solución a la función homogénea asociada, su solución particular y luego la aplicación de superposición.

Introducción a las Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones Diferenciales Aland Bravo Vecorena Capítulo 2 Teoría del Capítulo N◦ .2 Ejercicios del Capítulo N◦ .2

Objetivos del Capítulo 2 Los objetivos de esta sesión de aprendizaje son los siguientes:

•  Encontrar la solución general a cualquier EDO lineal homo-

génea de primer orden mediante la separación de variables.

•   Encontrar una solución particular a cualquier EDO lineal de primer orden no homogénea utilizando la variación de parámetros.

•   Encontrar la solución general para cualquier ecuación dife-

rencial de primer orden no homogénea mediante la solución a la función homogénea asociada, su solución particular y luego la aplicación de superposición.

•  Resolver problemas de valor inicial para ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de primer orden.

Introducción a las Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones Diferenciales Aland Bravo Vecorena Capítulo 2 Teoría del Capítulo N◦ .2 Ejercicios del Capítulo N◦ .2

Ecuaciones Diferenciales Una Ecuación Diferencial relaciona una función que incluye una variable dependiente y sus derivadas, con respecto a una o más variables independientes y sus derivadas.

Introducción a las Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones Diferenciales Aland Bravo Vecorena Capítulo 2 Teoría del Capítulo N◦ .2 Ejercicios del Capítulo N◦ .2

Ecuaciones Diferenciales Una Ecuación Diferencial relaciona una función que incluye una variable dependiente y sus derivadas, con respecto a una o más variables independientes y sus derivadas. Ejemplo de una Ecuación Diferencial d 3 y dt 3

+

d 2 y dt 2

+

dy dt 

+ y = 2t 

Introducción a las Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones Diferenciales Aland Bravo Vecorena Capítulo 2 Teoría del Capítulo N◦ .2 Ejercicios del Capítulo N◦ .2

Ecuaciones Diferenciales Una Ecuación Diferencial relaciona una función que incluye una variable dependiente y sus derivadas, con respecto a una o más variables independientes y sus derivadas. Ejemplo de una Ecuación Diferencial d 3 y dt 3

• 3ra Derivada de y

+

d 2 y dt 2

+

dy dt 

+ y = 2t 

Introducción a las Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones Diferenciales Aland Bravo Vecorena Capítulo 2 Teoría del Capítulo N◦ .2 Ejercicios del Capítulo N◦ .2

Ecuaciones Diferenciales Una Ecuación Diferencial relaciona una función que incluye una variable dependiente y sus derivadas, con respecto a una o más variables independientes y sus derivadas. Ejemplo de una Ecuación Diferencial d 3 y dt 3

• 3ra Derivada de y • 2da Derivada de y

+

d 2 y dt 2

+

dy dt 

+ y = 2t 

Introducción a las Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones Diferenciales Aland Bravo Vecorena Capítulo 2 Teoría del Capítulo N◦ .2 Ejercicios del Capítulo N◦ .2

Ecuaciones Diferenciales Una Ecuación Diferencial relaciona una función que incluye una variable dependiente y sus derivadas, con respecto a una o más variables independientes y sus derivadas. Ejemplo de una Ecuación Diferencial d 3 y dt 3

• 3ra Derivada de y • 2da Derivada de y • 1ra Derivada de y

+

d 2 y dt 2

+

dy dt 

+ y = 2t 

Introducción a las Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones Diferenciales Aland Bravo Vecorena Capítulo 2 Teoría del Capítulo N◦ .2 Ejercicios del Capítulo N◦ .2

Ecuaciones Diferenciales Una Ecuación Diferencial relaciona una función que incluye una variable dependiente y sus derivadas, con respecto a una o más variables independientes y sus derivadas. Ejemplo de una Ecuación Diferencial d 3 y dt 3

+

d 2 y dt 2

• 3ra Derivada de y • 2da Derivada de y • 1ra Derivada de y •   Variable Dependiente y

+

dy dt 

+ y = 2t 

Introducción a las Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones Diferenciales Aland Bravo Vecorena Capítulo 2 Teoría del Capítulo N◦ .2 Ejercicios del Capítulo N◦ .2

Ecuaciones Diferenciales Una Ecuación Diferencial relaciona una función que incluye una variable dependiente y sus derivadas, con respecto a una o más variables independientes y sus derivadas. Ejemplo de una Ecuación Diferencial d 3 y dt 3

+

d 2 y dt 2

• 3ra Derivada de y • 2da Derivada de y • 1ra Derivada de y •   Variable Dependiente y •   Variable Independiente t 

+

dy dt 

+ y = 2t 

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias y Parciales Ecuaciones Diferenciales Aland Bravo Vecorena Capítulo 2 Teoría del Capítulo N◦ .2 Ejercicios del Capítulo N◦ .2

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias y Parciales

Ecuación Diferencial Ordinaria (EDO)  Si la ecuación contiene derivadas respecto a una sola variable independiente.

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias y Parciales Ecuaciones Diferenciales Aland Bravo Vecorena Capítulo 2 Teoría del Capítulo N◦ .2 Ejercicios del Capítulo N◦ .2

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias y Parciales

Ecuación Diferencial Ordinaria (EDO)  Si la ecuación contiene derivadas respecto a una sola variable independiente. Ecuación en Derivadas Parciales (EDP)   Si contiene derivadas parciales respecto a dos o más variables independientes.

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias y Parciales Ecuaciones Diferenciales Aland Bravo Vecorena Capítulo 2 Teoría del Capítulo N◦ .2 Ejercicios del Capítulo N◦ .2

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias y Parciales

Ecuación Diferencial Ordinaria (EDO)  Si la ecuación contiene derivadas respecto a una sola variable independiente. Ecuación en Derivadas Parciales (EDP)   Si contiene derivadas parciales respecto a dos o más variables independientes. Ejemplo de una EDO y una EDP d 3 y dt 3

∂ 3 y ∂ r 3

+

+ ∂ 2 y ∂ s2

d 2 y dt 2

+

+ ∂  y ∂ t 

dy dt 

+ y = 2t 

+ y = 2 r  s t 

· ··

( EDO)

( EDP)

Definiciones Preliminares Ecuaciones Diferenciales Aland Bravo Vecorena Capítulo 2 Teoría del Capítulo N◦ .2 Ejercicios del Capítulo N◦ .2

Notaciones de una Ecuación Diferencial Para expresar las derivadas de una Ecuación Diferencial se utilizan indistintamente las notaciones: ˙ , Notar que:

y(n)

=

d n y dt n

= yn = y . . .  y.



  ·  ·    yn

(n)

,



y

d  dt 

.

Definiciones Preliminares Ecuaciones Diferenciales Aland Bravo Vecorena Capítulo 2 Teoría del Capítulo N◦ .2 Ejercicios del Capítulo N◦ .2

Notaciones de una Ecuación Diferencial Para expresar las derivadas de una Ecuación Diferencial se utilizan indistintamente las notaciones: ˙ , Notar que:

y(n)

=

d n y dt n

(n)

= yn = y . . .  y.



Notaciones Equivalentes Primera derivada:

  ·  ·    yn

 y˙



y

dy dt 

,



y

d  dt 

.

Definiciones Preliminares Ecuaciones Diferenciales Aland Bravo Vecorena Capítulo 2 Teoría del Capítulo N◦ .2 Ejercicios del Capítulo N◦ .2

Notaciones de una Ecuación Diferencial Para expresar las derivadas de una Ecuación Diferencial se utilizan indistintamente las notaciones: ˙ , Notar que:

y(n)

=

d n y dt n

(n)

= yn = y . . .  y.



Notaciones Equivalentes Primera derivada: Segunda derivada:

  ·  ·    yn

 y˙



y

dy dt 

 y¨



d 2 y dt 2

y

,



y

d  dt 

.

Definiciones Preliminares Ecuaciones Diferenciales Aland Bravo Vecorena Capítulo 2 Teoría del Capítulo N◦ .2 Ejercicios del Capítulo N◦ .2

Notaciones de una Ecuación Diferencial Para expresar las derivadas de una Ecuación Diferencial se utilizan indistintamente las notaciones: ˙ , Notar que:

y(n)

=

d n y dt n

(n)

= yn = y . . .  y.



Notaciones Equivalentes

  ·  ·    yn

 y˙



y

dy dt 

Segunda derivada:

 y¨



d 2 y dt 2

Tercera derivada:

y(3)



d 3 y dt 3

Primera derivada:

y  y

,



y

d  dt 

.

Definiciones Preliminares Ecuaciones Diferenciales Aland Bravo Vecorena Capítulo 2 Teoría del Capítulo N◦ .2 Ejercicios del Capítulo N◦ .2

Notaciones de una Ecuación Diferencial Para expresar las derivadas de una Ecuación Diferencial se utilizan indistintamente las notaciones: ˙ , Notar que:

y(n)

=

d n y dt n

(n)

= yn = y . . .  y.



Notaciones Equivalentes

  ·  ·    yn

 y˙



y

dy dt 

Segunda derivada:

 y¨



d 2 y dt 2

Tercera derivada:

y(3)



d 3 y dt 3

Primera derivada:

N-ésima derivada:

y  y

n  veces

y(n)

 ·····    y





d n y dt n

,



y

d  dt 

.

Definiciones Preliminares Ecuaciones Diferenciales Aland Bravo Vecorena Capítulo 2 Teoría del Capítulo N◦ .2 Ejercicios del Capítulo N◦ .2

Orden y Grado de una Ecuación Diferencial   El Orden  de una Ecuación Diferencial es el valor más alto de la derivada n ésima, que aparece en la ecuación.

•

−

Definiciones Preliminares Ecuaciones Diferenciales Aland Bravo Vecorena Capítulo 2 Teoría del Capítulo N◦ .2 Ejercicios del Capítulo N◦ .2

Orden y Grado de una Ecuación Diferencial   El Orden  de una Ecuación Diferencial es el valor más alto de la derivada n ésima, que aparece en la ecuación.

•

−

•  El Grado de una Ecuación Diferencial está determinado por el exponente de la derivada de mayor orden a la que puede escribirse como un polinomio en la función desconocida y sus derivadas de la ecuación.

Definiciones Preliminares Ecuaciones Diferenciales Aland Bravo Vecorena Capítulo 2 Teoría del Capítulo N◦ .2 Ejercicios del Capítulo N◦ .2

Orden y Grado de una Ecuación Diferencial   El Orden  de una Ecuación Diferencial es el valor más alto de la derivada n ésima, que aparece en la ecuación.

•

−

•  El Grado de una Ecuación Diferencial está determinado por el exponente de la derivada de mayor orden a la que puede escribirse como un polinomio en la función desconocida y sus derivadas de la ecuación.

Ejemplo de Orden y Grado ( y(7) )2 + 3 y˙7 y(3) + t 7  y + t 9 = 0

·

•   Orden 7

Definiciones Preliminares Ecuaciones Diferenciales Aland Bravo Vecorena Capítulo 2 Teoría del Capítulo N◦ .2 Ejercicios del Capítulo N◦ .2

Orden y Grado de una Ecuación Diferencial   El Orden  de una Ecuación Diferencial es el valor más alto de la derivada n ésima, que aparece en la ecuación.

•

−

•  El Grado de una Ecuación Diferencial está determinado por el exponente de la derivada de mayor orden a la que puede escribirse como un polinomio en la función desconocida y sus derivadas de la ecuación.

Ejemplo de Orden y Grado ( y(7) )2 + 3 y˙7 y(3) + t 7  y + t 9 = 0

·

•   Orden 7 •   Grado 2

Definiciones Preliminares Ecuaciones Diferenciales Aland Bravo Vecorena Capítulo 2 Teoría del Capítulo N◦ .2 Ejercicios del Capítulo N◦ .2

Ecuación Diferencial Ordinaria Lineal Homogénea   Es una Ecuación Diferencial de grado 1   en el cual cada  ˙, y  ¨, sumando es una función del tiempo t  de y, y , y(n) , de la forma:

•

···

 y(n) + pn−1 (t ) y(n−1) +

··· + p (t ) y˙ + p (t ) y = 0 1

0

Definiciones Preliminares Ecuaciones Diferenciales Aland Bravo Vecorena Capítulo 2 Teoría del Capítulo N◦ .2 Ejercicios del Capítulo N◦ .2

Ecuación Diferencial Ordinaria Lineal Homogénea   Es una Ecuación Diferencial de grado 1   en el cual cada  ˙, y  ¨, sumando es una función del tiempo t  de y, y , y(n) , de la forma:

•

···

 y(n) + pn−1 (t ) y(n−1) +

··· + p (t ) y˙ + p (t ) y = 0 1

Modelo Matemático de la EDO Homogénea

•  Condiciones Iniciales •   Entrada =⇒ 0 •   Sistema =⇒ y( ), . . . , y ˙ •   Salida =⇒ y n

0

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Ecuación Diferencial Ordinaria Lineal No Homogénea

•   La señal q(t )  es la entrada, el sistema es la ecuación dife-

rencial incluido sus condiciones iniciales que representa el modelo matemático del mundo real e y(t )   es la señal de salida: y(n) + pn−1 (t ) y(n−1) + + p1 (t ) y˙ + p0 (t ) y =  q(t )

···

Definiciones Preliminares Ecuaciones Diferenciales Aland Bravo Vecorena Capítulo 2 Teoría del Capítulo N◦ .2 Ejercicios del Capítulo N◦ .2

Ecuación Diferencial Ordinaria Lineal No Homogénea

•   La señal q(t )  es la entrada, el sistema es la ecuación dife-

rencial incluido sus condiciones iniciales que representa el modelo matemático del mundo real e y(t )   es la señal de salida: y(n) + pn−1 (t ) y(n−1) + + p1 (t ) y˙ + p0 (t ) y =  q(t )

···

Modelo Matemático de la EDO No Homogénea

•  Condiciones Iniciales •   Entrada =⇒ q(t ) •   Sistema =⇒ y( ), . . . , y ˙ •   Salida =⇒ y n

Definiciones Preliminares Ecuaciones Diferenciales Aland Bravo Vecorena Capítulo 2

Clasificación de las Ecuaciones Diferenciales ( y(n) )gn + pn−1 (t )( y(n−1) )gn−1 +

Teoría del Capítulo N◦ .2 Ejercicios del Capítulo N◦ .2

Ecuaciones Diferenciales

··· + p1 (t )( y ˙ )g

1

+ p0 (t )( y )g0 = q(t )

Definiciones Preliminares Ecuaciones Diferenciales Aland Bravo Vecorena Capítulo 2

Clasificación de las Ecuaciones Diferenciales ( y(n) )gn + pn−1 (t )( y(n−1) )gn−1 +

··· + p1 (t )( y ˙ )g

Teoría del Capítulo N◦ .2 Ejercicios del Capítulo N◦ .2

Lineales (Grado gi  =  1) Ecuaciones Diferenciales

1

+ p0 (t )( y )g0 = q(t )

Definiciones Preliminares Ecuaciones Diferenciales Aland Bravo Vecorena Capítulo 2

Clasificación de las Ecuaciones Diferenciales ( y(n) )gn + pn−1 (t )( y(n−1) )gn−1 +

··· + p1 (t )( y ˙ )g

Teoría del Capítulo N◦ .2 Ejercicios del Capítulo N◦ .2

Lineales (Grado gi  =  1) Ecuaciones Diferenciales

1

+ p0 (t )( y )g0 = q(t )

Homogéneas q(t ) =  0

Definiciones Preliminares Ecuaciones Diferenciales Aland Bravo Vecorena Capítulo 2

Clasificación de las Ecuaciones Diferenciales ( y(n) )gn + pn−1 (t )( y(n−1) )gn−1 +

··· + p1 (t )( y ˙ )g

Teoría del Capítulo N◦ .2 Ejercicios del Capítulo N◦ .2

Lineales (Grado gi  =  1) Ecuaciones Diferenciales

1

+ p0 (t )( y )g0 = q(t )

Homogéneas q(t ) =  0 No Homogéneas q(t ) = 0



Definiciones Preliminares Ecuaciones Diferenciales Aland Bravo Vecorena Capítulo 2

Clasificación de las Ecuaciones Diferenciales ( y(n) )gn + pn−1 (t )( y(n−1) )gn−1 +

··· + p1 (t )( y ˙ )g

Teoría del Capítulo N◦ .2 Ejercicios del Capítulo N◦ .2

Lineales (Grado gi  =  1)

1

+ p0 (t )( y )g0 = q(t )

Homogéneas q(t ) =  0 No Homogéneas q(t ) = 0



Ecuaciones Diferenciales No Lineales (Grado gi  >  1)

Definiciones Preliminares Ecuaciones Diferenciales Aland Bravo Vecorena Capítulo 2

Clasificación de las Ecuaciones Diferenciales ( y(n) )gn + pn−1 (t )( y(n−1) )gn−1 +

··· + p1 (t )( y ˙ )g

Teoría del Capítulo N◦ .2 Ejercicios del Capítulo N◦ .2

Lineales (Grado gi  =  1)

1

+ p0 (t )( y )g0 = q(t )

Homogéneas q(t ) =  0 No Homogéneas q(t ) = 0



Ecuaciones Diferenciales

Linealizables No Lineales (Grado gi  >  1)

Definiciones Preliminares Ecuaciones Diferenciales Aland Bravo Vecorena Capítulo 2

Clasificación de las Ecuaciones Diferenciales ( y(n) )gn + pn−1 (t )( y(n−1) )gn−1 +

··· + p1 (t )( y ˙ )g

Teoría del Capítulo N◦ .2 Ejercicios del Capítulo N◦ .2

Lineales (Grado gi  =  1)

1

+ p0 (t )( y )g0 = q(t )

Homogéneas q(t ) =  0 No Homogéneas q(t ) = 0



Ecuaciones Diferenciales

Linealizables No Lineales (Grado gi  >  1) No Linealizables

Definiciones Preliminares Ecuaciones Diferenciales Aland Bravo Vecorena Capítulo 2

Clasificación de las Ecuaciones Diferenciales ( y(n) )gn + pn−1 (t )( y(n−1) )gn−1 +

Teoría del Capítulo N◦ .2 Ejercicios del Capítulo N◦ .2

¿Cuál de las siguientes EDO es lineal? 1.  y¨

− 7t y y˙ = 0

2.  y¨ =  et ( y + t 2 ) 3.  y˙  y2 = 0

− 4.  y˙ − ty =  sen t  2

5.  y˙ =  cos( y + t )

··· + p1 (t )( y ˙ )g

1

+ p0 (t )( y )g0 = q(t )

Definiciones Preliminares Ecuaciones Diferenciales Aland Bravo Vecorena Capítulo 2

Clasificación de las Ecuaciones Diferenciales ( y(n) )gn + pn−1 (t )( y(n−1) )gn−1 +

· · · + p1 (t )( y ˙ )g

1

Teoría del Capítulo N◦ .2 Ejercicios del Capítulo N◦ .2

¿Cuál de las siguientes EDO es lineal? 1.  y¨

− 7t y y˙ = 0

2.  y¨ =  et ( y + t 2 ) 3.  y˙  y2 = 0

− 4.  y˙ − t y =  sen t  2

5.  y˙ =  cos( y + t )

Solución:   Por inspección tenemos.

1.  y¨

− 7t  y y y˙ = 0

+ p0 (t )( y )g0 = q(t )

Definiciones Preliminares Ecuaciones Diferenciales Aland Bravo Vecorena Capítulo 2

Clasificación de las Ecuaciones Diferenciales ( y(n) )gn + pn−1 (t )( y(n−1) )gn−1 +

· · · + p1 (t )( y ˙ )g

1

+ p0 (t )( y )g0 = q(t )

Teoría del Capítulo N◦ .2 Ejercicios del Capítulo N◦ .2

¿Cuál de las siguientes EDO es lineal? 1.  y¨

− 7t y y˙ = 0

2.  y¨ =  et ( y + t 2 ) 3.  y˙  y2 = 0

− 4.  y˙ − t y =  sen t  2

5.  y˙ =  cos( y + t )

Solución:   Por inspección tenemos.

1.  y¨

− 7t  y y y˙ = 0

2.  y¨ = et ( y + t 2 )

t 

2 t 

−→ y¨ + (−e ) y = t  e

Definiciones Preliminares Ecuaciones Diferenciales Aland Bravo Vecorena Capítulo 2

Clasificación de las Ecuaciones Diferenciales ( y(n) )gn + pn−1 (t )( y(n−1) )gn−1 +

· · · + p1 (t )( y ˙ )g

1

+ p0 (t )( y )g0 = q(t )

Teoría del Capítulo N◦ .2 Ejercicios del Capítulo N◦ .2

¿Cuál de las siguientes EDO es lineal? 1.  y¨

− 7t y y˙ = 0

2.  y¨ =  et ( y + t 2 ) 3.  y˙  y2 = 0

− 4.  y˙ − t y =  sen t  2

5.  y˙ =  cos( y + t )

Solución:   Por inspección tenemos.

1.  y¨

− 7t  y y y˙ = 0

2.  y¨ = et ( y + t 2 ) 3.  y˙  y2 = 0

−

t 

2 t 

−→ y¨ + (−e ) y = t  e

Definiciones Preliminares Ecuaciones Diferenciales Aland Bravo Vecorena Capítulo 2

Clasificación de las Ecuaciones Diferenciales ( y(n) )gn + pn−1 (t )( y(n−1) )gn−1 +

··· + p1 (t )( y ˙ )g

1

+ p0 (t )( y )g0 = q(t )

Teoría del Capítulo N◦ .2 Ejercicios del Capítulo N◦ .2

¿Cuál de las siguientes EDO es lineal? 1.  y¨

− 7t y y˙ = 0

2.  y¨ =  et ( y + t 2 ) 3.  y˙  y2 = 0

− 4.  y˙ − ty =  sen t  2

5.  y˙ =  cos( y + t )

Solución:   Por inspección tenemos.

1.  y¨

− 7t  y y˙ = 0

2.  y¨ = et ( y + t 2 ) 3.  y˙  y2 = 0

− 4.  y˙ − ty =  sen t  2

t 

2 t 

−→ y¨ +(−e ) y = t  e

Definiciones Preliminares Ecuaciones Diferenciales Aland Bravo Vecorena Capítulo 2

Clasificación de las Ecuaciones Diferenciales ( y(n) )gn + pn−1 (t )( y(n−1) )gn−1 +

··· + p1 (t )( y ˙ )g

+ p0 (t )( y )g0 = q(t )

1

Teoría del Capítulo N◦ .2 Ejercicios del Capítulo N◦ .2

¿Cuál de las siguientes EDO es lineal? 1.  y¨

− 7t y y˙ = 0

2.  y¨ =  et ( y + t 2 ) 3.  y˙  y2 = 0

− 4.  y˙ − ty =  sen t  2

5.  y˙ =  cos( y + t )

Solución:   Por inspección tenemos.

1.  y¨

− 7t  y y˙ = 0

2.  y¨ = et ( y + t 2 )

t 

2 t 

−→ y¨ +(−e ) y = t  e

3.  y˙  y2 = 0

− 4.  y˙ − ty =  sen t  2

5.  y˙ =  cos( y + t )

Definiciones Preliminares Ecuaciones Diferenciales Aland Bravo Vecorena Capítulo 2

Clasificación de las Ecuaciones Diferenciales ( y(n) )gn + pn−1 (t )( y(n−1) )gn−1 +

··· + p1 (t )( y ˙ )g

+ p0 (t )( y )g0 = q(t )

1

Teoría del Capítulo N◦ .2 Ejercicios del Capítulo N◦ .2

¿Cuál de las siguientes EDO es lineal? 1.  y¨

− 7t y y˙ = 0

2.  y¨ =  et ( y + t 2 ) 3.  y˙  y2 = 0

− 4.  y˙ − ty =  sen t  2

5.  y˙ =  cos( y + t )

Solución:   Por inspección tenemos.

1.  y¨

− 7t  y y˙ = 0

2.  y¨ = et ( y + t 2 )

t 

2 t 

−→ y¨ +(−e ) y = t  e

3.  y˙  y2 = 0

− 4.  y˙ − ty =  sen t  2

5.  y˙ =  cos( y + t )

Luego, la alternativa 2 es la única EDO lineal ya que las otras ecuaciones son no lineales ( en color naranja ).

Definiciones Preliminares Ecuaciones Diferenciales Aland Bravo Vecorena Capítulo 2 Teoría del Capítulo N◦ .2 Ejercicios del Capítulo N◦ .2

Clasificación de las Ecuaciones Diferenciales ( y(n) )gn + pn−1 (t )( y(n−1) )gn−1 +

··· + p1 (t )( y ˙ )g

¿Cómo clasificarías las ecuaciones diferenciales:  y˙ =  ay e  y˙ = ay ? Seleccione todas las opciones que apliquen.

−

1. Primer Orden 2. Segundo Orden 3. Lineal 4. No Lineal 5. Homogénea 6. No Homogénea

1

+ p0 (t )( y )g0 = q(t )

Definiciones Preliminares Ecuaciones Diferenciales Aland Bravo Vecorena Capítulo 2 Teoría del Capítulo N◦ .2 Ejercicios del Capítulo N◦ .2

Clasificación de las Ecuaciones Diferenciales ( y(n) )gn + pn−1 (t )( y(n−1) )gn−1 +

··· + p1 (t )( y ˙ )g

¿Cómo clasificarías las ecuaciones diferenciales:  y˙ =  ay e  y˙ = ay ? Seleccione todas las opciones que apliquen.

−

1. Primer Orden 2. Segundo Orden 3. Lineal 4. No Lineal 5. Homogénea 6. No Homogénea

1

+ p0 (t )( y )g0 = q(t )

Solución: Por inspección tenemos que son Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden, Lineal y   Homogénea, que corresponde a las alternativas 1, 3 y 5.

Definiciones Preliminares Ecuaciones Diferenciales Aland Bravo Vecorena Capítulo 2 Teoría del Capítulo N◦ .2 Ejercicios del Capítulo N◦ .2

Derivadas Parciales Dada la función f ( x, y), la derivada parcial con respecto a x e y se calcula del siguiente modo: 

∂  ∂  x



∂   f  ∂  y

Derivada Parcial con respecto a x: f  x  = Derivada Parcial con respecto a y: f  y  =

f ( x, y)

( x, y)

Definiciones Preliminares Ecuaciones Diferenciales Aland Bravo Vecorena Capítulo 2 Teoría del Capítulo N◦ .2 Ejercicios del Capítulo N◦ .2

Derivadas Parciales Dada la función f ( x, y), la derivada parcial con respecto a x e y se calcula del siguiente modo: 

∂  ∂  x



∂   f  ∂  y

Derivada Parcial con respecto a x: f  x  = Derivada Parcial con respecto a y: f  y  = Derivación Parcial de f  = 4 x2 y2 + 6 ∂  f  ∂  x

⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒ ∂  f  ∂  x





=

∂  ∂  x

=

∂  ∂  x

=

4 y2 ∂ ∂  x ( x2 ) + 0

=

4 y2 (2 x)

=

8 xy2

4 x2 y2 + 6

∂  6) (4 x2 y2 ) +   (   ∂  x  

f ( x, y)

( x, y)

Definiciones Preliminares Ecuaciones Diferenciales Aland Bravo Vecorena Capítulo 2 Teoría del Capítulo N◦ .2 Ejercicios del Capítulo N◦ .2

Derivadas Parciales Dada la función f ( x, y), la derivada parcial con respecto a x e y se calcula del siguiente modo: 

∂  ∂  x



∂   f  ∂  y

Derivada Parcial con respecto a x: f  x  = Derivada Parcial con respecto a y: f  y  =

f ( x, y)

( x, y)

Derivación Parcial de f  = 4 x2 y2 + 6 ∂  f  ∂  x

⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒ ∂  f  ∂  x





=

∂  ∂  x

=

∂  ∂  x

=

4 y2 ∂ ∂  x ( x2 ) + 0

=

4 y2 (2 x)

=

8 xy2

4 x2 y2 + 6

∂  6) (4 x2 y2 ) +   (   ∂  x  

∂  f  ∂  y

⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒ ∂  f  ∂  y





=

∂  ∂  y

=

∂  ∂  y

=

4 x2 ∂ ∂  y ( y2 ) + 0

=

4 x2 (2 y)

=

8 x2 y

4 x2 y2 + 6

∂  (4 x2 y2 ) +   (6) ∂  y  

  

Definiciones Preliminares Ecuaciones Diferenciales Aland Bravo Vecorena Capítulo 2 Teoría del Capítulo N◦ .2 Ejercicios del Capítulo N◦ .2

Derivadas Parciales Sea la función f ( x, y) =  3 x4 4 x2 y2 5 y4 + 6, calcular sus derivadas parciales con respecto a x e y. Solución:

−

−

Derivada Parcial con respecto a x: ∂  f  ∂  x

=

⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒

=

∂  f  ∂  x

= = =

∂  ∂  x



4

2 2

4



− 4 x  y − 5 y + 6    6)  y ) +     (3 x ) − (4 x  y ) −    (5   (      3(4 x ) − 4 y ( x ) − 0 + 0 12 x − 4 y (2 x) 12 x − 8 xy ∂  ∂  x

3 x

∂  ∂  x

4

2 ∂  ∂  x

3

3 3

2

2

2 2 2

∂  ∂  x

4

∂  ∂  x

Definiciones Preliminares Ecuaciones Diferenciales Aland Bravo Vecorena Capítulo 2 Teoría del Capítulo N◦ .2 Ejercicios del Capítulo N◦ .2

Derivadas Parciales Sea la función f ( x, y) =  3 x4 4 x2 y2 5 y4 + 6, calcular sus derivadas parciales con respecto a x e y. Solución:

−

−

Derivada Parcial con respecto a y: ∂  f  ∂  y

=

⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒

=

∂  f  ∂  y

= = =

∂  ∂  y



4

2 2

4



− 4 x  y − 5 y + 6          x ) − (4 x  y ) − (5 y ) +    (3   ( 6)       0 − 4 x ( y ) − 5(4 y ) + 0 0 − 4 x (2 y) − 20 y + 0 −8 x  y − 20 y ∂  ∂  y

3 x

4

2 ∂  ∂  y 2

2

∂  ∂  y

∂  ∂  y

2 2

2

3

3

3

4

∂  ∂  y

Definiciones Preliminares Ecuaciones Diferenciales Aland Bravo Vecorena Capítulo 2 Teoría del Capítulo N◦ .2 Ejercicios del Capítulo N◦ .2

Modelado de un Acuario Marino Modele el cambio de concentración de sal en un Acuario Marino sobre un tanque con 800   litros de agua fresca, con un flujo de agua de en5 L trada min , un flujo de concentración de sal de 75 Lg   y un flujo de salida L . Asuma una mezcla instantá3 min nea y contínua. 5 L/min 75 g/L

 x(t )

800 L V 0 x(0) =  0 g

3 L/min

Figura 1:  Tanque de Salmuera

Definiciones Preliminares Ecuaciones Diferenciales Aland Bravo Vecorena Capítulo 2 Teoría del Capítulo N◦ .2 Ejercicios del Capítulo N◦ .2

Modelado de un Acuario Marino Modele el cambio de concentración de sal en un Acuario Marino sobre un tanque con 800   litros de agua fresca, con un flujo de agua de en5 L trada min , un flujo de concentración de sal de 75 Lg   y un flujo de salida L . Asuma una mezcla instantá3 min nea y contínua. 5 L/min 75 g/L

Video de un Tanque Marino

(Loading Video...)

 x(t )

800 L V 0 x(0) =  0 g

Solución:  El primer paso es dibujar el diagrama del sistema. Ver figura 1. Luego identificamos las cantidades relevantes con sus respectivas unidades:

3 L/min

Figura 1:  Tanque de Salmuera

Definiciones Preliminares Ecuaciones Diferenciales Aland Bravo Vecorena Capítulo 2 Teoría del Capítulo N◦ .2 Ejercicios del Capítulo N◦ .2

Modelado de un Acuario Marino Modele el cambio de concentración de sal en un Acuario Marino sobre un tanque con 800   litros de agua fresca, con un flujo de agua de en5 L trada min , un flujo de concentración de sal de 75 Lg   y un flujo de salida L . Asuma una mezcla instantá3 min nea y contínua. 5 L/min 75 g/L

 x(t )

800 L V 0 x(0) =  0 g

Solución:  El primer paso es dibujar el diagrama del sistema. Ver figura 1. Luego identificamos las cantidades relevantes con sus respectivas unidades: Planteo de Variables t 

=

 x(t )

=

V (t )

=

 x(t ) V (t )

=

dx (t ) dt 

=

3 L/min

Figura 1:  Tanque de Salmuera

Tiempo en minutos (min)

   

 Total de gramos de Sal en el tanque (g)  Total de litros de Fluído en el tanque ( L)  Concentración de Sal en el Fluído del tanque (  g L )  Tasa de Entrada

de −   Tasa Salida

Definiciones Preliminares Ecuaciones Diferenciales

Modelado de un Acuario Marino

Aland Bravo Vecorena

Modele el cambio de concentración de sal en un Acuario Marino sobre un tanque con 800   litros de agua fresca, con un flujo de agua de en5 L trada min , un flujo de concentración de sal de 75 Lg   y un flujo de salida L . Asuma una mezcla instantá3 min nea y contínua.

Capítulo 2 Teoría del Capítulo N◦ .2 Ejercicios del Capítulo N◦ .2

5 L/min 75 g/L

 x(t )

800 L V 0 x(0) =  0 g

3 L/min

Figura 1:  Tanque de Salmuera

Solución:  El primer paso es dibujar el diagrama del sistema. Ver figura 1. Luego identificamos las cantidades relevantes con sus respectivas unidades: Planteo de Ecuaciones L − 3)( min )t (min)

V (t )

=

800( L) + (5

⇐⇒

=

(800 + 2t )( L)

=

g L (75 g  L )(5 min ) =  375 min

=

L ( V (t )  Lg )(3 min  )

=

3 x(t ) g (800+2t ) min

Tasa de Entrada Tasa de Salida

⇐⇒

 x (t )

d   x (t ) = 375 dt 

− (8003 x(+t )2t )

Definiciones Preliminares Ecuaciones Diferenciales

Derivadas Exactas e Implícitas

Aland Bravo Vecorena

Derivada Exacta  Dada la función f ( x, y), la derivada exacta o total se calcula del siguiente modo:

Capítulo 2 Teoría del Capítulo N◦ .2 Ejercicios del Capítulo N◦ .2

d f ( x, y) =

∂  ∂  x

 f ( x, y) dx +

·

∂  ∂  y

 f ( x, y) dy

·

Definiciones Preliminares Ecuaciones Diferenciales

Derivadas Exactas e Implícitas

Aland Bravo Vecorena

Derivada Exacta  Dada la función f ( x, y), la derivada exacta o total se calcula del siguiente modo:

Capítulo 2 Teoría del Capítulo N◦ .2

d f ( x, y) =

Ejercicios del Capítulo N◦ .2

∂  ∂  x

 f ( x, y) dx +

·

∂  ∂  y

 f ( x, y) dy

·

Derivada Implícita  Dada la función F ( x, y), la derivada implí cita y = dy  se calcula del siguiente modo: dx 

F  x =

∂  ∂  x



F ( x, y)



 y =

dy dx

F  y =





F  y

∂  y

∂  F   x  y ∂  x ∂  F   x  y ∂  y

− F   − = =  x

∂ 

( , )

( , )

F ( x, y)

Definiciones Preliminares Ecuaciones Diferenciales Aland Bravo Vecorena Capítulo 2 Teoría del Capítulo N◦ .2 Ejercicios del Capítulo N◦ .2

Derivadas Exactas e Implícitas Calcular la diferencial exacta de la siguiente función:  f ( x, y) =  y sen x  x cos y

−

Definiciones Preliminares Ecuaciones Diferenciales Aland Bravo Vecorena Capítulo 2 Teoría del Capítulo N◦ .2 Ejercicios del Capítulo N◦ .2

Derivadas Exactas e Implícitas Calcular la diferencial exacta de la siguiente función:  f ( x, y) =  y sen x  x cos y

−

Solución:   Por tenemos ∂  f  ∂  x

=

⇐⇒

=

∂  f  ∂  x

=

∂  ∂  x ∂  ∂  x

inspección

 [ y sen x  x cos y]

− ( y sen x) − y cos x − cos y

∂  ∂  x

( x cos y)

Definiciones Preliminares Ecuaciones Diferenciales Aland Bravo Vecorena Capítulo 2 Teoría del Capítulo N◦ .2 Ejercicios del Capítulo N◦ .2

Derivadas Exactas e Implícitas Calcular la diferencial exacta de la siguiente función:  f ( x, y) =  y sen x  x cos y

−

Solución:   Por tenemos ∂  f  ∂  x

=

⇐⇒

=

∂  f  ∂  x

=

∂  ∂  x ∂  ∂  x

 [ y sen x  x cos y] ∂  ∂  x

=

⇐⇒

=

∂  ∂  y ∂  ∂  y

=

sen x + x sen y

∂  f  ∂  y

inspección

− ( y sen x) − y cos x − cos y

∂  f  ∂  y

( x cos y)

 [ y sen x  x cos y]

− ( y sen x) −

∂  ∂  y

( x cos y)

Definiciones Preliminares Ecuaciones Diferenciales Aland Bravo Vecorena Capítulo 2 Teoría del Capítulo N◦ .2 Ejercicios del Capítulo N◦ .2

Derivadas Exactas e Implícitas Calcular la diferencial exacta de la siguiente función:  f ( x, y) =  y sen x  x cos y

−

Solución:   Por tenemos ∂  f  ∂  x

=

⇐⇒

=

∂  f  ∂  x

=

∂  ∂  x ∂  ∂  x

∂  f  ∂  y

=

⇐⇒

=

∂  ∂  y ∂  ∂  y

=

sen x + x sen y

∂  f  ∂  y

inspección

 [ y sen x  x cos y]

− ( y sen x) −

∂  ∂  y

( x cos y)

Por lo tanto la diferencial exacta o total de f ( x, y) es:

 [ y sen x  x cos y]

− ( y sen x) − y cos x − cos y

∂  ∂  x

( x cos y)

d f ( x, y)

=

d f ( x, y) =

∂  f ( x, y) dx ∂  x

+

∂  f ( x, y) dy ∂  y

( y cos x cos y)dx + (sen x + x sen y)dy

−

Definiciones Preliminares Ecuaciones Diferenciales

Derivadas Exactas e Implícitas

Aland Bravo Vecorena

Sea la función  yx  xy2 + 3 =  0 . Calcular su derivación implícita. Solución: Por inspección tenemos :

Capítulo 2 Teoría del Capítulo N◦ .2 Ejercicios del Capítulo N◦ .2

−

F ( x, y)

=

x  y

∂ F  ∂  x

=

∂  ∂  x

⇐⇒

=

∂ F  ∂  x

=

2

− xy + 3 − xy + 3 − y 1 − y

1  y



 x  y

2

2

3

 y



Definiciones Preliminares Ecuaciones Diferenciales

Derivadas Exactas e Implícitas

Aland Bravo Vecorena

Sea la función  yx  xy2 + 3 =  0 . Calcular su derivación implícita. Solución: Por inspección tenemos :

Capítulo 2 Teoría del Capítulo N◦ .2 Ejercicios del Capítulo N◦ .2

−

F ( x, y)

=

x  y

∂ F  ∂  x

=

∂  ∂  x

⇐⇒

=

∂ F  ∂  x

=

2

− xy + 3 − xy + 3 − y 1 − y

1  y



 x  y

2

2

3

 y



F ( x, y)

=

∂ F  ∂  y

=

⇐⇒

=

∂ F  ∂  y

=

x  y

2

− xy + 3 − xy + 3 −  − 2 xy − x − 2 xy ∂  ∂  y



 x  y

x  y2

2

3

 y2



Definiciones Preliminares Ecuaciones Diferenciales

Derivadas Exactas e Implícitas

Aland Bravo Vecorena

Sea la función  yx  xy2 + 3 =  0 . Calcular su derivación implícita. Solución: Por inspección tenemos :

Capítulo 2 Teoría del Capítulo N◦ .2 Ejercicios del Capítulo N◦ .2

−

F ( x, y)

=

x  y

∂ F  ∂  x

=

∂  ∂  x

⇐⇒

=

∂ F  ∂  x

=

2

− xy + 3 − xy + 3 − y 1 − y

1  y



 x  y

2

2

F ( x, y)

x  y

=

∂ F  ∂  y

=

⇐⇒

=

∂ F  ∂  y

=

2

− xy + 3 − xy + 3 −  − 2 xy − x − 2 xy ∂  ∂  y



 x  y

x  y2

2

3

 y2

Entonces la derivada de





dy dx

es:

 ∂  F ( x, y) = −  = − ∂ ∂  x  y = dx F  y F ( x, y) ∂  y 

dy

F  x

3

 y

1  y3 y  y4  y = 3  x + 2 xy3 2  x  xy

−

dy dx

=

−− −

 y2

−

Definiciones Preliminares Ecuaciones Diferenciales

Entorno de Programación Octave

Aland Bravo Vecorena

Resuelva la EDO:  y˙ = 3 y

Instalamos el Octave:

Solución:

Capítulo 2

octave-4.2.0-w64-installer.exe

 y˙ = 3 y

Teoría del Capítulo N◦ .2

dy

Ejercicios del Capítulo N◦ .2

= 3 y

dt  dy

grando:

pkg install symbolic-win-py-bundle-2.5.0.zip

= 3dt 

 y

Recordando que

En el entorno gráfico de comandos del Octave:

 

dy

Luego ejecutamos el código:

= ln  y , e inte-

||

 y

Resultado en Octave:

    dy  y

=

3dt   y(t ) = C 1 e3t 

ln  y = 3t 

||

 y =

pkg load symbolic syms y(t); dsolve(diff(y) == (3*y)) 92

3t 

±ce

Ejercicios del Capítulo N ◦ .1 Ecuaciones Diferenciales Aland Bravo Vecorena Capítulo 2

Ejercicio 2.1: Encuentre la Derivación Implícita guiente ecuación: 5 x2 y + ln x =  0

dy  de dx

la si-

Teoría del Capítulo N◦ .2 Ejercicios del Capítulo N◦ .2

Ejercicio 2.2: Encuentre la Diferencial Exacta o Total de la siguiente función: g( x, y) =  xy tan( xy)

Ejercicio 2.3: Encuentre la Derivada Parcial con respecto a  x e y  de la siguiente función: g( x, y) =  e x sen y

 y

− e cos x

Ejercicios del Capítulo N ◦ .2 Ecuaciones Diferenciales Aland Bravo Vecorena

Ejercicio 2.4: Sabiendo que y( x) = y(π ) =  0 =

⇒

( x, y) = (π , 0).

Desarrolle con Octave y en forma manual para encontrar la solución particular de la EDO:

Capítulo 2

 x cos x dx + (1

·

Teoría del Capítulo N◦ .2

·

− 6 y5) · dy = 0

Ejercicios del Capítulo N◦ .2

Ejercicio 2.5:

Encuentre la solución general de la siguiente EDO y compruebe su respuesta con Octave: e y (1 + x2 )dy

− 2 x(1 + e y )dx = 0

Ejercicio 2.6:

Verificar que la siguiente función implícita o explícita sea solución de la EDO correspondiente. Compruebe su respuesta con Octave.  y =  c1 senh(2 x) + c2 cosh(2 x)

→

 y¨

− 4 y = 0

Ejercicios del Capítulo N ◦ .2 Ecuaciones Diferenciales Aland Bravo Vecorena Capítulo 2 Teoría del Capítulo N◦ .2 Ejercicios del Capítulo N◦ .2

Ejercicio 2.7:

El Gobierno Regional de Huánuco planea implementar una política para la producción de Ovinos Lecheros como actividad empresarial rentable (Ver Figura 2 ). Ellos utilizan el siguiente modelo:

Huánuco-Perú

Figura 2: Ovinos de Huánuco.

La población de Ovinos tiene una tasa positiva de crecimiento de k años−1 y una tasa constante de caza a  Ovinos año .  Se le pide: a) Escriba la ecuación diferencial para el modelo de la población de Ovinos. b) Elabore el modelo en el lenguaje de señales y sistemas. c)   Suponga que no se caza a los Ovinos: a  =  0 . ¿Cuál es el tiempo que se necesita para duplicar la población de Ovinos? ¿Cuál es la relación entre la población actual y la población después de k −1 años ?

Ejercicios del Capítulo N ◦ .2 Ecuaciones Diferenciales Aland Bravo Vecorena Capítulo 2 Teoría del Capítulo N◦ .2 Ejercicios del Capítulo N◦ .2

Ejercicio 2.7:

El Gobierno Regional de Huánuco planea implementar una política para la producción de Ovinos Lecheros como actividad empresarial rentable (Ver Figura 2 ). Ellos utilizan el siguiente modelo:

Huánuco-Perú

Figura 2: Ovinos de Huánuco.

La población de Ovinos tiene una tasa positiva de crecimiento de k años−1 y una tasa constante de caza a  Ovinos año .  Se le pide: d) Encuentre la solución general de la ecuación diferencial y luego compruebe la respuesta con Octave. e)   Existe una solución constante, encuéntrela. ¿Tiene sentido que la solución dependa de los parámetros k  y a? ¿Están bien concebidas las unidades de dichos parámetros? ¿La solución es consistente cuando el valor de  a  es muy pequeña o muy grande? Dibuje los gráficos para algunas soluciones.

Ejercicios del Capítulo N ◦ .2 Ecuaciones Diferenciales Aland Bravo Vecorena Capítulo 2 Teoría del Capítulo N◦ .2 Ejercicios del Capítulo N◦ .2

Ejercicio 2.7:

El Gobierno Regional de Huánuco planea implementar una política para la producción de Ovinos Lecheros como actividad empresarial rentable (Ver Figura 2 ). Ellos utilizan el siguiente modelo:

Huánuco-Perú

Figura 2: Ovinos de Huánuco.

k años−1 y una tasa constante de caza a  Ovinos año .  Se le pide:

f)   Note que para valores iniciales

menores al punto de equilibrio, la solución deja de tener un significado en términos de su aplicación al mundo real para valores negativos. En estos casos, prediga el tiempo t e   en el cual la población de Ovinos se extingue del área. Por ejemplo, suponga que  x (0) = x0  es menor al punto de equilibrio de población. Para esta condición inicial ¿Cuál es el valor de t e ?. g)  ¿Recomendaría al Gobierno Re-

La población de Ovinos tiene una tasa positiva de crecimiento de

gional Huánuco basar su política para cualquier valor de a?

Ejercicios del Capítulo N ◦ .2 Ecuaciones Diferenciales Aland Bravo Vecorena

Índice

Derivación

Índice

Derivación

1

16

7

d   (c) = 0 c = Cte. dx d   ( x) = 1 dx d  d  d   (u + v + ) = dx  (u) + dx  (v) + dx d  d   (cu) =  c dx  (u) dx d  d  d   (uv) =  u dx  (v) + v dx  (u) dx d  d  d  d   (uvw) =  uv dx  (w) + uw dx  (v) + vw dx  (u) dx d   u d   (  ) = 1c dx  (u), c = 0 dx c

d  sen  ( u) =  cos u du dx dx d   (cos u) = sen u du dx dx d  du 2  (tan u) =  sec u dx dx d  cot  ( u) = csc2 u du dx dx d   (sec u) =  sec u tan u du dx dx d   (csc u) = csc u cot u du dx dx 1 d  arcsen du u) =  ( dx dx 1 u2

8

d  dx

2 3

Capítulo 2

4

Teoría del Capítulo N◦ .2

5

Ejercicios del Capítulo N◦ .2

6

···

   c u

 · d   = c · dx

  1 u

d  v dx  (u)

−

9

d  dx

10

d  m  ( x ) = m  xm 1 dx

11

 u v

···

 =

 d   = − c2  · dx  (u), u

d  u dx  (v)

v2

v = 0



13

dy du = dx dx d   ,  (loga u) = u1 loga e du dx dx d  ln  ( u) = u1 du dx dx

=

18 19 20 21 22 23 24 25 26

1

dy dx

15



· − d  d   (um ) = m · um−1 · dx  (u) dx

12

14

,

u = 0

17

27

dx dy dy du

 ·

 ·

 ·

·

28

(a > 0, a = 1)



29 30

·

−

·

·

−

·

·

·

−

d   (arccos u) = dx d   (arctan u) = dx

·

 − −   −

· ·

1

1

1

u2

· dudx

 · dudx d   · du  (arccot u) = − dx 1 + u2 dx 1 d  du · arcsec u  ( ) = dx dx u u2 − 1 1 d  arccsc · dudx u) = −  ( dx 2 u u −1 d   , (a > 0)  (au ) =  au · ln a · du dx dx d  u  (e ) =  eu · du dx dx d  d  ln  ( y) =  y · dx  (  y) dx 1 + u2 1

Cuadro 1: Derivación de Funciones Básicas.

   

Ejercicios del Capítulo N ◦ .2 Ecuaciones Diferenciales Aland Bravo Vecorena Capítulo 2

Índice

Derivación

1

senh u =

2

Teoría del Capítulo N◦ .2

3

Ejercicios del Capítulo N◦ .2

4 5 6 7 8

eu

− e−u

2 eu + e−u cosh u = 2   senh u tanh u = = cosh u

· dudx d   (cosh u) =  senh u · du dx dx d   (tanh u) =  sech2 u · du dx dx

10

d   (senh 1 u) = dx

2

−

1),

,

−1

−

du  · − dx ,

∀u (u  1)

(u2

√ 1+ 2 · dudx 1 u d   ,  (cosh−1 u) = √ 12 · du dx dx d   (tanh 1 u) = 1 2 dx 1 u

coth u =

14

sech u =

15

(u  = 0) − d   (coth u) = − csch2 u · du dx dx d   (sech u) = − sech u · tanh u · du dx dx d   (csch u) = − csch u · coth u · du dx dx 1 coth−1 u = 21 · ln  uu+ (u2 > 1) 1 , − √ 

18

u2

u

13

17

1 + u2 ),

 1+u 1 u

Derivación

16

    − −

senh−1 u = ln(u + cosh−1 u = ln(u +

9

12

eu + e−u

d   (senh u) =  cosh u dx

1 tanh−1 u =  · ln

11

− e−u

eu

Índice

 1) (u2