Diapositivas Anadec- Tasas de Interes

ANADEC TASAS DE INTERÉS Instructor: Adrián Cañón

AGENDA 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

Concepto de interés Partes de una tasa de interés Interés simple e interés compuesto Interés nominal - interés efectivo – interés periódico Interés vencido e interés anticipado Capitalización continua Interés constante e interés corriente Conclusiones

1. CONCEPTO DE INTERÉS

1. Concepto de interés El interés es la compensación que reciben los individuos, firmas o personas naturales por el sacrificio en que incurren al ahorrar una suma de dinero hoy (Velez Pareja, 2010). En la sección anterior observábamos como la expresión del costo de oportunidad para los agentes económicos se traduce en el Valor del Dinero en el Tiempo (VDT) lo cuál implica que cifras monetarias de diferentes periodos de tiempo no son directamente comparables.

1. Concepto de interés Para poder comparar cifras de dinero en periodos de tiempo diferente recurrimos al concepto de costo de oportunidad (VDT) lo cuál se traduce en expresar el interés requerido por cada agente durante cada periodo de tiempo.

En finanzas resulta más natural cuantificar el costo de oportunidad en términos porcentuales (relativos), con lo cuál surgen las tasas de interés, que no son más que la expresión relativa del interés: 𝐼 𝑖= 𝑃 Donde i corresponde a la tasa de interés, I al interés generado y P una cantidad de dinero.

1. Concepto de interés Por ende, al incorporar el concepto de interés para una cierta cantidad de dinero dentro de un periodo– o el costo de oportunidad correspondiente para remunerar una suma entregada hoy- en un modelo simple tenemos: 𝐹 = 𝑃 + 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑒𝑛𝑠𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝐹 =𝑃+𝐼 𝐹 = 𝑃+𝑖∗𝑃 𝐹 = 𝑃(1 + 𝑖) Generalizando: 𝐹𝑛 = 𝑃 1 + 𝑖 𝑛

2. PARTES DE UNA TASA DE INTERÉS

2. Partes de una tasa de interés Toda tasa de interés posee dos partes fundamentales además de la relación de cambio porcentual: – Periodo de liquidación / capitalización – Periodo de referencia

0

1

2

1 año

3

4

3. INTERÉS SIMPLE – INTERÉS COMPUESTO

3. Interés Simple – interés compuesto •

Interés simple: se calcula como una proporción lineal del monto inicial (P), la tasa de interés (i) y el número de periodos. La cantidad de intereses acumulados al final de n periodos es una función lineal: 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟é𝑠 = 𝑃 ∗ 𝑛 ∗ 𝑖 Ejemplo: Un inversionista consigue recursos por $ 1 millón. El prestamista exige un pago de interés del 3% mensual simple por 6 meses y una amortización al finalizar el crédito. ¿Cuál es el monto cancelado por concepto de interés?¿Cuánto cancela en total el inversionista?

3. Interés Simple – interés compuesto $1.000.000

Interés  Pni Interés  1.000.000 * 6 * 3% Interés  $180.000

0 6

1

2

3

4

5

$1.000.000

3. Interés Simple – interés compuesto

Interés  Pni Interés  1.000.000 * 6 * 3% Interés  $180.000

3. Interés Simple – interés compuesto •

Interés compuesto: Es el interés que acumula intereses sobre intereses capitalizados en periodos anteriores. En general, este tipo de interés es una función exponencial en el tiempo. En general la relación para calcular el interés acumulado corresponde a 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟é𝑠𝑡 = 𝑃 + 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑒𝑠𝑡−1 ∗ 𝑖 Ejemplo: Un inversionista consigue recursos por $ 1 millón. El prestamista exige un pago de interés del 3% mensual compuesto por 6 meses y una amortización al finalizar el crédito. ¿Cuál es el monto cancelado por concepto de interés?¿Cuánto cancela en total el inversionista?

3. Interés Simple – interés compuesto $1.000.000

0 6

1

2

3

4

5

$1.000.000

3. Interés Simple – interés compuesto

Interés1  $1.000.000 * 0.03  $30.000 Interés 2  $1.030.000 * 0.03  $30.900 Interés 3  $1.060.900 * 0.03  $31.827 Interés 4  $1.092.727 * 0.03  $32.781,8 Interés 5  $1.125.508,8 * 0.03  $33.765 Interés 6  $1.159.274,1* 0.03  $34.778,2

Por lo tanto, al final de n periodos el valor equivalente se expresa…

3. Interés Simple – interés compuesto

Gracias a la capitalización de los intereses, el interés compuesto genera un mayor final acumulado

4. INTERÉS NOMINALINTERÉS PERIÓDICOINTERÉS EFECTIVO

4. I. nominal – I. periodico - I. efectivo Interés nominal: Corresponde al interés que se utiliza para la liquidación comercial de la operaciones de crédito. Típicamente, salvo que se especifique lo contrario es un interés compuesto. El interés nominal se caracteriza por explicitar tácitamente las dos partes que definimos para una tasa de interés:

12% NA / SV Periodo referencia

Periodo liquidación

4. I. nominal – I. periódico - I. efectivo Así mismo, toda tasa de interés nominal (𝑟) nos permite definir las tasas periódicas 𝑟 𝑖𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑖𝑐𝑜 = 𝑛 Una tasa periódica tal como indica su nombre identifica la cantidad de interés que se liquida cada periodo. Algunos ejemplos de tasas de interés nominales y su correspondiente tasa periódica: 12% NA/SV

6% SV

12% NA/TV

3% TV

12% NA/BV

2% BV

4. I. nominal – I. periódico - I. efectivo Ejemplo: un inversionista consigue recursos por $1.000.000. El prestamista exige un pago de intereses del 18%NA/SV a tres (3) años y una amortización al finalizar el crédito ¿cuál es el monto cancelado por concepto de interés? ¿Cuánto cancela en total el inversionista?

4. I. nominal – I. periódico - I. efectivo Interés efectivo: A diferencia del interés nominal, el interés efectivo refleja la rentabilidad real de una inversión o el costo real de una fuente de financiación - refleja en su totalidad el VDT y en dicha medida el costo de oportunidad-. A manera de ejemplo, supongamos que se invertirán $100 que generarán un interés del 24% NA/MV durante un año Lo anterior significa que cada mes (de manera vencida) se obtendrá un interés del 2% mensual (¿2%?)

4. I. nominal – I. periódico - I. efectivo $124.33*0.02 =2.487

$104.04*0.02 =2.081 $102*0.02 $100*0.02 =2.04 =2

0

$100

1

2

3

4

...

12

4. I. nominal – I. periódico - I. efectivo $126.82

0

$100

1

2

3

4

...

12

4. I. nominal – I. periódico - I. efectivo Basta con observar el flujo de efectivo y hacer un cálculo sencillo para darse cuenta que la rentabilidad “efectiva” de esta inversión es del 26.82% al año. (Invertir $100 y recibir luego de un año $126.82). Según nuestro ejemplo podemos intuir que una inversión que renta al 24%NA/MV es equivalente a decir que la inversión renta al 2% efectivo mensual (ip), y finalmente que es equivalente al 26.82% Anual (Efectivo Anual). Si afirmamos que estas tasas son equivalente, los flujos también serán equivalentes, entonces aplicando la relación entre cantidades mediante interés compuesto, tenemos:

4. I. nominal – I. periódico - I. efectivo F  P1  i 



F12  100 1  0.24

j

 12

F12  1001  iea 

12

1

Como ambos flujos son equivalentes, entonces:

   1001  i 12 1  0.2412  1  i  i  1  0.24   1 12

100 1  0.24

12

ea

12

ea

12

ea

iea  26.82%



4. I. nominal – I. periódico - I. efectivo Generalizando la relación anterior, entonces tenemos: n

 r iea  1    1  n iea  1  i p   1 n

4. I. nominal – I. periódico - I. efectivo Como conclusión preliminar, es de esperarse que entre mayor número de capitalizaciones haya en la tasa nominal, mayor será su equivalente tasa efectiva dado que capitaliza intereses en mayor número de periodos. Veamos: 20% NA/SV



iea  1  0.2

 1 2 2

iea  1  0.1  1 2

iea  21% EA

20% NA/DV



iea  1  0.2

 365

365

iea  1  0.000548

1

365

iea  22.13% EA

1

5. INTERÉS VENCIDO E INTERÉS ANTICIPADO

5. Interés vencido e interés anticipado Hasta el momento todo lo que hemos abordado sobre tasas de interés ha sido bajo el esquema en el cual los intereses se causan/generan de manera vencida (es decir, el cobro por interés se genera una vez ha transcurrido e periodo de tiempo correspondiente

5. Interés vencido e interés anticipado Sin embargo, no existe ningún impedimento para asumir una estructura en la cual los intereses se generen de manera anticipada (antes que el periodo correspondiente al que se causa comience). $1.000.000

0 1 semestres

2

3

4

5

6

$1.000.000

5. Interés vencido e interés anticipado Esta nueva modalidad de causar los intereses origina que sea posible la existencia de tasas nominales anticipadas y tasas periódicas anticipadas. Sin embargo, debido a que las tasas anticipadas no expresan realmente la rentabilidad/costo de una operación no existen tasas efectivas anticipadas, por su definición misma (como ya veremos en los siguiente slide). Para relacionar las tasas de interés anticipadas con las tasas de interés vencidas recurriremos a un ejemplo. Una persona solicita un préstamo de $100 para ser pagados al cabo de un periodo. Si la entidad exige un interés periódico del 10% anticipado, el banco entregará $90 al momento del desembolso ($100 capital - $10 de interés). Al cabo de un año el total a pagar es de $100.

5. Interés vencido e interés anticipado $100

$10

0

$100

1

Si aplicamos la definición de tasa de interés que realizamos al principio de la sección 𝐼 𝑖= 𝑃 10 𝑖= = 11.11% 90

5. Interés vencido e interés anticipado $100 + $10

0

$100

1

En el caso que fuese el caso vencido que ya hemos manejado, tendríamos: 𝐼 𝑖= 𝑃 10 𝑖= = 10% 100

5. Interés vencido e interés anticipado El anterior ejemplo muestra que una tasa de interés del 10% anticipada es equivalente a una tasa del 11.1%, lo cual es una prueba clara que el interés anticipado es más costoso que un interés vencido. La anterior conclusión es posible derivarla también desde el concepto del VDT; es mejor pagar un peso mañana que pagar un peso hoy. Para derivar la relación algebraica que permite establecer la relación existente entre tasas anticipadas y tasas vencidas recurriremos a:

5. Interés vencido e interés anticipado $X

X*ia

𝑖𝑣𝑒𝑛𝑐𝑖𝑑𝑜 =

X∗𝑖𝑎 𝑋−𝑋∗𝑖𝑎

0 1

$X

𝑖𝑣𝑒𝑛𝑐𝑖𝑑𝑜 =

𝑖𝑎 1−𝑖𝑎

𝑖𝑎 =1−𝑖 𝑎

5. Interés vencido e interés anticipado Así como dedujimos una relación entre tasas vencidas y anticipadas con el mismo periodo de capitalización (SA->SV, etc.), es posible relacionar tasas vencidas y anticipadas con diferentes periodos de capitalización: 𝑖𝑣𝑒𝑛𝑐𝑖𝑑𝑜

𝑖𝑎 = 1 − 𝑖𝑎

𝑖𝑒 = 1 + 𝑖𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑖𝑐𝑜

𝑖𝑎 𝑖𝑒 = 1 + 1 − 𝑖𝑎

n

𝑖𝑒 = 1 − 𝑖 𝑎

−n

−1

𝑛

−1

6. INTERÉS CONTINUO

6. Interés Continuo Esta tasa de interés no es diferente a lo que hemos tratado hasta el momento, y es un caso especial de las tasas de interés nominales vencidas. Definimos una tasa de interés continuo a aquella tasa que posee un periodo de liquidación/capitalización infinitesimal, lo cual se traduce en que se generan intereses en cada instante del tiempo

6. Interés Continuo A manera de ilustración observemos el comportamiento de algunas tasas de interés y su correspondiente periodo de capitalización:

36% NA/AV

1 Capitalización por año

n= 1

36% NA/SV

2 Capitalizaciones por año

n= 2

36% NA/TV

4 Capitalizaciones por año

n= 4

36% NA/MV

12 Capitalizaciones por año

n= 12

36% NA/DV

365 Capitalizaciones por año

n= 365

6. Interés Continuo Luego, podemos mencionar que en capitalización continua tenemos:

36% Continuo

∞ Capitalización por año

n= ∞

En términos algebraicos, la relación entre tasas de interés efectivas y tasas de interés continuas la podemos plantear de:



iea  1  r iea



 n

 lim 1  r n 

n

1



n

n

1

6. Interés Continuo Al resolver el límite planteado, obtenemos:

iea



 lim 1  r n 

n r *r

n



iea  e r  1

1

7. TASAS SUCESIVAS

7. Tasas sucesivas El concepto de tasas sucesivas, también conocido como suma compuesta, es la forma en la cual se relaciona el efecto conjunto de las tasas de interés compuesta – generalmente la suma de dos tasas de interés compuestas –. El siguiente ejemplo nos permitirá entender más claramente este concepto: Si un banco ofrece por sus ahorros una tasa de interés del 10% anual, ¿cuál será la ganancia real que obtiene usted por su dinero, si la tasa de inflación anual es del 6%?

7. Tasas sucesivas En el caso en que se ahorrara en el banco:

En caso de no hacerlo, su dinero estaría expuesto a la inflación: $100 + $10

0

$100

1

$100 + $6

0

$100

1

7. Tasas sucesivas Sin embargo, el anterior enfoque aunque no está equivocado, conlleva generalmente a falacias, comprobemos por qué: En poder adquisitivo de hoy, es $110 decir descontando el efecto de la inflación sobre los ahorros alcanzados tenemos: 0

1

𝑃sin 𝑖𝑛𝑓𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛 =

$110 $110 = (1 + 𝜋) (1 + 6%)

𝑃sin 𝑖𝑛𝑓𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛 = $103.77 $100

7. Tasas sucesivas Lo anterior quiere decir, que si descontamos el efecto de la pérdida de poder adquisitivo de la cantidad ahorrada ($110), lo que obtenemos es que el crecimiento real por encima de la inflación corresponde a $103.77. Es decir, la tasa de interés real que se generó durante este periodo fue de:

$103.77 − $100 𝑇𝑎𝑠𝑎 𝑟𝑒𝑎𝑙 = = 3.77% $100 Lo cuál claramente no es el 4% que habíamos inferido, si no una cifra algo menor a lo estimado.

7. Tasas sucesivas Sintetizando la anterior relación entre las tasas (Tasa real, inflación y tasa de los ahorros) tenemos:

1 + 𝑖𝑎ℎ𝑜𝑟𝑟𝑜𝑠 = 1 + 𝜋 1 + 𝑖𝑟𝑒𝑎𝑙 De manera general definimos las tasas sucesivas como la relación existente entre tasas 1 + 𝑖1 = 1 + 𝑖2 1 + 𝑖3 Lo que en términos de tasas de interés corresponde a la suma compuesta de las tasas 𝑖2 e 𝑖3

7. Tasas sucesivas La utilidad de las tasas sucesivas radica en las diferentes situaciones en las que es aplicable – Inflación: tasas nominales (tasas corrientes), tasas reales (Tasas constantes) e inflación. – Cálculos de tasas entre sistemas de medida de valor: tasas en UVR, tasas en pesos e inflación – Operaciones entre diferentes monedas: Rentabilidad en dolares, Rentabilidad en pesos y devaluación

7. Tasas sucesivas Un tema al que atenderemos parcialmente es el de la inflación, en el cuál se manejan varias definiciones, sinónimas entre sí. En términos de nuestro ejemplo: – Tasa corriente (nominal): Corresponde a la tasa de mercado, o tasa observable y contiene dentro de sí misma el costo de oportunidad y el efecto inflacionario. – Tasa constante (real): Corresponde a una tasa no observable directamente, y representa únicamente el costo de oportunidad.

8. CONCLUSIONES

8. Conclusiones • • •

Las tasas de interés son la cuantificación del VDT El interés compuesto refleja totalmente el CDT Para una misma cantidad de interés, el interés anticipado genera una mayor monto en comparación al interés anticipado