Diaporama Dynamique Des Structures Maroc
August 9, 2022 | Author: Anonymous | Category: N/A
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Description
C A LC U L D DY Y N A M I Q U E DE S S T R UC T UR E S
CALCUL DYNAMIQUE APPLIQUE AUX STRUCTURES DE BETON ARME SOUMISE A L’ACTION SISMIQUE
TECNITAS AGADIR
1 13/10/2018
INTRODUCTION
Calcul dynamique des structures Connaissance du calcul isostatique et hyperstatique notamment calcul des déformations S’adresse aux ingénieurs pour les bases de calcul dynamique des structures
TECNITAS AGADIR
2 13/10/2018
PR O G R A MME DE FO FOR R MA T I O N Rappels fondamentaux de la RDM Eléments de la rigidité Construction de la Matrice de Rigidité Notion de dynamique
Equation de la Dynamique Exemple de calcul
TECNITAS AGADIR
3 13/10/2018
R DM : S Y S T E ME IS O S TA T IQ IQU UE
B
3 Equations = 3 Inconnues Fx F x 0 : F Fy y 0 : M / o 0
X F
A
F
FY
O VA a O A
VB
l-a FX
HB
α=30°
FY
20 t
B
Fx 0 20cos30 HB 0 HB -20 * 0.866 Fy 0 FY VA VB 0 M / B 0 l * VA FY (l a) 0 TECNITAS AGADIR
4 13/10/2018
R DM : S Y S T E ME H Y PE R S TA T I Q UE
Nombre d’inconnues > VB3
VA
L
L
VC
(p/ml)
A
On dispose seulementB de 2 équations pour trouver la valeur de 3 inconnues
C
FY 0 ( 1) VA VB VC 2 pL 0 (1) M / C 0 ( 2) TECNITAS AGADIR
5 13/10/2018
R E S O LU LUT T IO ION N DU S Y S T E ME ( 1) (p/ml)
VA
L
A
VB
L
VC
Système S0 C
B
VA
VC
2L
A
Système S1
VA
L
B C
L
VC
B
A
VB
Système S2 TECNITAS AGADIR
C 6 13/10/2018
R E S O LU LUT T IO ION N DU S Y S T E ME ( 2) VA
VC
2L
(p/ml)
B fp
VA f VB VB B A
L
S0 : Flèche en B = 0 S1 : Flèche en B = fp
L
VB
S2 : Flèche en B = -FVB TECNITAS AGADIR
C
7 13/10/2018
R E S O LU LUT T IO ION N DU S Y S T E ME ( 3) 5 p ( 2 L ) 4
384 EI
f p f VB f p
VB * L2 * L2
f VB
3 EI * 2 L 0
5 p ( 2 L ) 4 384 EI 5 p ( 2 L ) 4 384 EI VB VA
VB * L3 6 EI
VB * L3 6 EI
0
VB * L3
5 pL 4 5 pL 4
6 EI
1.25 pL
VC
2 pL : VA
VC
3 pL VA
VC
TECNITAS AGADIR
8
0.375 pL 8 13/10/2018
R E S O LU LUT T IO ION N DU S Y S T E ME ( 4)
Le système résolu est
VA=0.375pL
VB=1.25pL L
VC=0.375pL L
(p/ml)
9 TECNITAS AGADIR
13/10/2018
E L E ME N T S DE R A I DE UE ( 1)
Rigidité – Déformabilité Rigidité – Déformabilité La raideur est la force qui induit un déplacement unitaire à la structure Δ
F
F=kΔ k
K=F/ Δ (N/m) Si Δ =1
k=F 10
TECNITAS AGADIR
13/10/2018
E L E ME N T S DE R A I DE UR ( 2) F
L
Exemple 1:
B A
Δ
Calcul de flèche par méthode des aires
FL/EI F
d ( B) FL * L * 2 L 3 EI 2 3
B Δ
A L/3
FL
3 EI F k k
F
2L/3 k
3 EI 3
L
[
N * m m
3
4
N * m]
11 TECNITAS AGADIR
13/10/2018
E L E ME N T S DE R A I DE UR ( 3) F
Exemple 2 : Δ
Fl/8EI
Fl/8EI F
FL * L * 1 ( 2 * L L ) FL * L * 1 * 1 * L ) 8 EI 4 2 3 4 4 8 EI 4 2 3 4
Fl/8EI L/4
L/4
L/4
5 FL3 768 EI
L/4
3
FL
768 EI
3
FL
192 EI
12 TECNITAS AGADIR
13/10/2018
ME T H O D E D E S A I R E S ( 1) FORMULATION
DE LA METHODE DES AIRES
Charges horizontales
f1
P1
Flèches
P5
f 5
P4
f 4
P3
f 3
5H
P2
H
f 2
P1
f 1
(a)
3 / H 2
Diagramme des moments (b)
f 1 M * H * 2 * H 2 EIn 3
3 / H
EIn
M.H/2EIn
(c)
f 1
1 2 P
3 H *
6
EI n
f 1
H 3 P 1C (1) 6 EI n 1 1
1
C
1
TECNITAS AGADIR
2
13
TECNITAS AGADIR
13/10/2018
ME T H O D E D E S A I R E S ( 2) CAS DE 2 NIVEAUX P2
f2 H
EIn P1
3 / H H 2 + 2 + / H H
3 / H 2
f 1
f 1
f 1
f1
P2*H/EIn
f 1
f 1
(P1+P2)*H/EIn
2 1 H 2 H H ) ( P 1 P 2 ) H * * ( H H ) f 2 P 2 H * ( * H ) P 2 H * H * ( H 3 2 2 EI n 2 3 3 f 2 1 P 2 H P 2 H 3 (1 1 ) P 2 H 3 ( 1 1 ) P 2 H 3 ( 1 1 ) P 1H 3 ( 1 1 ) 3 2 2 3 2 3 2 3 EI n H 3 H 3 H 3 H 3 f 2 (2 1) (3 2)] P 1 (3 2) P 2 [ EI n 3 2 6 6
1
f 2
6 EI n
P 2 EI n 1 EI n
*
2 H 3 2
* P 2 (
( P 1
5 P 1
[5
5
P 2 ) H
EI n ( P 1
P 2 )
EI n
H 3 2
H 3 3
C 1
3
EIn
f 2
EI n
*
H 3
)
6( 2
2
1)] P 2
2 1 1 2 1 C P C C 6( N I 1) P 2 2 1 2 2 6 EI n I 2
* ( 2 P 1 H 6 EI n
(C 11 P 1
*
1
H
H 3
P 2
*
H 2
*
2 3
H
H 3 3
P 1 *
H 3
2 et
3 1
C 2
5
5 P 2 )
C 21 P 2 )
H 3 6 EI n
(2)
3 H 2 P C 2 P f 2 C 1 2 6 EI n 1
2
1
C 2
5
11
H 3
C
2
14
TECNITAS AGADIR
2
13/10/2018
ME T H O D E D E S A I R E S ( 3) FORMULATION FORMULA TION DE LA METHODE
H E f N C N P C N P E E 6 EI n 3
N
1
1
2
P our le ni nive vea au N=1 N =1
1
C N
( N 1) 2
P our le less nive ni vea aux sup supé ér i eur urss à N=1
E E
C N
C N C N 6( N I 1) 1
E 1
I 2
Avec : Ave N : N i ve vea au de de ca calcul lcul de la flèche flèche Variant de 1 à N pour déterminer déterminer l’effet de la charge PE au niveau de calcul N. E : Variant R emar que ue:: E 1 E 1 Si : (N-I ( N-I +1 +1)=0 )=0 on pr end ndra ra : 1 C C C N
N
N
L es valeur valeurss négati négati ve vess de de 6( 6(N N -I +1) ne sont sont pa pas pri pri se sess en en comp compte te.. 15
TECNITAS AGADIR
13/10/2018
ME T H O D E D E S A I R E S ( 4) C har g es
N i v1
N i v2
N i v3
N i v4
N i v5
N i v6
N i v7
N i v8
N i v9
N i v10
P1
2
5
8
11
14
17
20
23
26
29
P2
5
16
28
40
52
64
76
88
100
112
P3
8
28
54
81
108
135
162
189
216
243
P4
11
40
81
128
176
224
272
320
368
416
P5
14
52
108
176
250
325
400
475
550
625
P6
17
64
135
224
325
432
540
648
756
864
P7
20
76
162
272
400
540
686
833
980
1127
P8
23
88
189
320
475
648
833
1024
1216
1408
P9
26
100
216
368
550
756
980
1216
1458
1701
P 10
29
112
243
416
625
864
1127
1408
1701
2000
f 1
2 P 1
5 P 2
8 P 3
H
6 EIn
5
1 P
16
P 2
28
6 EIn
f 2
f 2
X
3
f 3
3
H
H
3
P 3 6 EIn H 3
f 1 16
TECNITAS AGADIR f
3
8 P 1
28 P 2
54 P 3
13/10/2018
6 EIn
E L E ME N T S DE R A I DE UR ( 4)
) Barr Barree biar biarti ticu culé léee : k
48 EI L(EI)
3
L
) Barre encastrée aux 2 extrémités Déplacement unitaire à l’origine FB
d=1 A
Mb
Ma
B EI
FA
h
17
TECNITAS AGADIR
13/10/2018
E L E ME N T S DE R A I DE UR ( 5) Rotation pour x=h ;θ ;θ(h)=0
M ( x) FA . x Ma (1)
Equation rotation
FA 2 Ma 2 EI h - EI h 0
( x) 1 M ( x).dx EI
Ma M a FA. x2
( x)
EI
2
FA. x2
( x)
2 EI
h FA 2
d(h)=0 Ma a - M . x EI
(2)
FA
6 EI
3
h
Ma
2 EI
). FA M Maa 3
h
2
-1
FA12 EI 3 h
2
x do x 6 EI 2 EI
d(0) = 1
Ma a 2 FA 3 M d ( x) 6 EI x 2 EI x 1
d k
(3)) (3
(4)
F
x dx
( )
d ( x)
Ma Ma .x EI
Equation déformation
d x
-
k * d
1 12 EI
3
h 18
TECNITAS AGADIR
13/10/2018
E L E ME N T S DE R A I DE UR ( 6)
Barre encastrée - articu encastrée articulée lée soumise soumise à un déplaceme déplacement nt unitaire F
Ma=0
k * d
FB d=1 A
EI h
FA
d
Mb
3 E EI I
B
k
1
h
3
19
TECNITAS AGADIR
13/10/2018
E L E ME N T S DE R A I DE UR ( 7)
Les portiques : Cas articulation d=1
d=1
I 1 d
(h,E,I/2)
(h,E,I/2) k
I 2
I
2
1
3 E ( I 1 h
I 2 )
3
3 EI k
h
3
20
TECNITAS AGADIR
13/10/2018
E L E ME N T S DE R A I DE UR ( 7)
Les portiques : Cas encastré
d=1
d=1
I I 1 d (h,E,I/2)
(h,E,I/2)
k
k
I 2
2
1 12 E ( I 1
I 2 )
h3
12 EI h
3
21
TECNITAS AGADIR
13/10/2018
E L E ME N T S DE R A I DE UR ( 8)
LA RAI DE UR E ST :
K
h
3
α :Coefficient dépendant du
mode de liaison de la barre 22
TECNITAS AGADIR
13/10/2018
E LE ME N T S D E R A I D E UR ( 9) LA RAI DE UR ( k) DE P E ND : 1.
Des liaisons
2.
De l’Inertie des sections
3.
Du Module E
Matériau L
4.
De la Longueur
23
TECNITAS AGADIR
13/10/2018
24
TECNITAS AGADIR
13/10/2018
E LE ME NT NTS S DE DY N A MIQ IQU U E ( 1)
Les éléments de structure,pour son analyse dyna dy nami miqu que, e,so sont nt : Sa masse Son élasticité ou sa raideur Le matériau constituant cette structure
Sous l’action sismique , il y a apparition :
Des forces d’inertie des masses
Des rappel par les raideurs Des forces forces de d’amortissement par la capacité,du matériau utilisé, à stocker puis à dissiper l’énergie. 25
TECNITAS AGADIR
13/10/2018
E LE ME NT NTS S DE DY N A MI Q UE ( 2)
Système Sys tème à un un seul degr degréé de libert libertéé :1d :1ddl dl
1)-Formulation des forces f orces fr
x
Ressort/Raideur :k k
fr
x 2
2) Force d’inertie
F (t )
d x m dt 2
0
F (t ) m x 0
accélération fi Solide indéformable
fii m f x
m F(t) x
2 x d x dt 2 accélération
26
TECNITAS AGADIR
13/10/2018
E LE ME N T S DE DY N A MIQ IQU U E ( 3)
3) Force d’amortissement
fa f a
c fa
m
x
F(t)
Solide indéformable
dx dt
c x
vitesse
x
c
m k
fi
F(t)
fa x
Solide indéformable
m F(t)
fr
x 27
TECNITAS AGADIR
13/10/2018
IQU U E ( 4) E LE ME N T S DE DY N A MIQ
Formulation de l’équation fii f f fa a f fr r F (t )
m xc x Kx F (t )
1) Oscillations libres : F(t) = 0
x c x K x0 m m
m x c x Kx0
K m
Posons 2
m
x x0
x 2
c
28
TECNITAS AGADIR
13/10/2018
E LE ME N T S DE DY N A MIQ IQU U E ( 5)
2) Oscillations libres non amorties (C=0)
x(t ) A. si sin n t B.cos t
x x 0
x ( A.si n t B.cos t t))
Les condit conditions ions aux limi limites tes sont :Pour t=0 => x=0
B x0
x x
(0) 0
x
A
x
x
0
Soit l’équation du mouvement :
x(t )
x 0
sin si n t x0. cos t
w 29
TECNITAS AGADIR
13/10/2018
MA T R I C E D E R I G I D I T E ( 1) RIGIDITE - MAT SYSTEME A 1DDL
DIAPHRAGME RIGIDE
Δ
Δ
x
h
L
6 EI
h
2
U N E
B
2 EI
M B
h
T I O N
h 6 EI
h
2
A
4 EI
h
R O T A
M A
M A
M B
4 EI h
h
2
U N
M B
B
2 EI h
6 EI
h
2
M B
h T A
E N
6 EI A 2 h
A 12 EI
T B
A
6 EI
6 EI
h
2
A
T A
12 EI
h
3
h
2
M A
D E P L A C E M E N T
M A
M B
h
2
6 EI 2
h
T A
T B
A
6 EI
12 EI
h
3
12 EI
h
3
30
TECNITAS AGADIR
13/10/2018
MA T R I C E D E R I G I D I T E ( 2) RIGIDITE - MAT Des rotationsθ rotationsθA en (A) , θB en (B) et une translation ΔA en (A) induisent en (B) un moment de : 4 EI 2 EI 6 EI
M B
h
h
h
2
Ainsi une forcr horizontale appliquée au diaphramme,qui se déplace horizontalement horizontalement d’une valeur Δ par rapport à sa position d’équilibre, induit aux poteaux les sollicitations suivantes suivantes :
Δ
FH
B
L’équilibre est obtenu par : par :
C
12 EI M B
6 EI
h
2
M C
6 EI
h
2
1
F H h 3
M B
12 EI
M A
6 EI
h
2
M C
h3
12 EI
4 EI
h 4 EI
h
h
C
3
2 EI
h 2 EI
h
F x 0
C
M 0
estt : Par exemple , l’équilibre des moments en B es 12 EI
A
h
3
D
M D
6 EI
h
2
M B M C
Rigidité Rigidi té du porti portique que : rigidité K du portique est la force obtenue La rigidité 24 EI F H 3 pour un déplacement unitaire (Δ=1) , soit : h
24 EI
6 EI
h
2
6 EI
h
2
31
K (
TECNITAS AGADIR
F H )
h
3
(
13/10/2018
MA T R I C E D E R I G I D I T E ( 3) RIGIDITE - MAT Structure à deux degrés de liberté (2DDL)
Δ=1 K 22
K 12
I2
I2
Δ=1 Δ =1
h2
K 11
Δ=1
K 21
Δ=1 =1 Δ h1
I1
I1
L
Déplacement unitaire au 1er niveau
La matrice de rigidité est
:
K
Déplacement unitaire au 2 ème niveau
K 11
K 12
K
K
32
TECNITAS AGADIR
21
22
32 13/10/2018
MA T R I C E D E R I G I D I T E ( 4) RIGIDITE - MAT
H 1 H 2
Pour des forces appliquées H1 et H2 aux 1er et 2ème niveaux donnant des déplacements horizontaux x1 et x2 aux 1er et 2ème niveaux sont liés selon la forme forme matrici mat ricielle elle suivant suivantee :
K 11
K 12 x1
K 21
K 22 x2
F = K.d
H 1
1 K K 11 . x 12 .x 2
H 2
K 21 . x 1 K 22 .x 2
12 K 12
h2
I 21
x1=1.00
I 22
h2
I 21
x1=1.00
I 22
K 11 11
h1
I 11
I 12
h1
I 11
I 12
33 13/10/2018
TECNITAS AGADIR
RIGIDITE - MA MAT T R I C E D E R I G I D I T E ( 5) I 11 h 1
I 12
h
I 21
I 22
48 EI
I 12 EI 22
h
2
K 11
3
h2
K12
3
h2
I 22
K11
K 12
12 EI 21
h2
K 12 12 EI 12
11
12 EI 3 h1
3
h1
I 12
12 EI 22 3
h2
24 EI
3
3
Δ=1
I 11
3
h2
12 EI 22
12 EI 21
h2
h
3
Pour le deuxième niveau , l’équilibre est :
12 EI 21 I 21
h
3
0
34 13/10/2018
TECNITAS AGADIR
MA T R I C E D E R I G I D I T E ( 6) RIGIDITE - MAT (R Rap appe pell : I21=I22=I et h2=h) 12 EI 21
K 22
12 EI 22
Δ=1
K22
h2
h2
3
K 22
12 EI 22
h
3
12 EI 22
3
h2
12 EI 21 3
h2
3
h
12 EI 21
h2
3
K 21
K D’où la matrice de rigidité
0
24 EI
2
K21
3
12 EI 21 3
h2
K 11 K 21
12 EI 22 3
h2
K 21
0
h
48 EI
K 12 K 22
24 EI
h 24 EI
:
h
24 EI
3
K
3
3
3
h 24 EI h
3
35 13/10/2018
TECNITAS AGADIR
DE TE R MINAT INATION ION DU MODE FONDAMENTAL(1)
L’équation dynamique pour la vibration libre non amortie est es t :
M x K Kx x 0
M : matrice matrice des masse massess K : matrice matrice de rigidité rigidité de la la structure structure :
x
accélération x : déplacement déplacement dans le sens sens du degré de liberté
L’équation des déplacements est de la forme :
C x
C
sin( t )
( M K ) 0
M K C 0 M
m1
0
0
m2
C sin( t )
C
K
(D28a)
a1 a2
sin( t ) CK sin( t ) 0
Soit :
2
C x x
x
Relation vérifiée si Déterminan Déter minantt de la matrice matrice est est nul :
exemple mple pour pour le système système à 2DDl , ci-dessus ci-dessus , on a : Par exe K 11
K 12
K 21
K 22
M
m1
0
0
m 2
36 13/10/2018
TECNITAS AGADIR
DE TE R MINATI INATION ON DU MODE FONDAMENTAL(2)
K 11 m1
Le déterminant est :
K 12
0
K 21
K 22 m2
Le développe développement ment du détermina déterminant nt donne : ( K 11 m 1 )( K 22
m2 ) K 12
* K 21 (
La résolution de l’équation l’équation permet d’obtenir 2 pulsations pulsations 1 oscillations libres de la structures . Soit pour les oscillations
1er mode de pulsation
0
et )
:: 2
K 11 1 m1 K
K 11
2
2 m1
1
2
a1
K 12
2
K
21
K
22
0
a2
m
22
2
a1
K 12 K
21
2ème mode de pulsation
2
m2 a 2
0
37 13/10/2018
TECNITAS AGADIR
DE TE R MINAT INATION ION DU MODE FONDAMENTAL(3)
Exemple Exem ple : m2
30*45
I2
m1
I2
3.00
I 21
I 22
I 11
I 12
I 2
I1
I1
I 1
27337.5 *10
6
12
m
4
4
(Poteau de 30 * 60)
12
0.30 * 0.60 3
12
30*60
Ei
I 2
0.30 * 0.45 3
4.00 I1
64800 *10
(Poteau de 30 * 45)
6
m
12
3.10 *10 6 (module du béton béton))
38 13/10/2018
TECNITAS AGADIR
DE TE R MINAT INATION ION DU MODE FONDAMENTAL(4) Déterminati Déter mination on de la matrice matrice de rigidi rigidité té :
K
K 11
K 11
K 11
12 EI 21 3
h2
24 EiI 2 3
h2
24 Ei(
I 2 3
h2
12 EI 22
3
h2
I 1 3
h1
12 EI 11 3
h1
12 EI 12
K
K 21
K 22
11
K 12
3
h1
12
12 Ei EiI I 21
3
) 27337.5 *10
6
K 11
12 * 3 24 * 3.10 27337.5 64800.00 ) ( 27 64 12 12555t / m
K 12
3
h2
3
64800 *10 3
12 * 4
6
K 12
6277.50t /
12 * 27 6277.50t /
m
)
K 21 K 22
24 Ei EiI I 2 3
h2
24 * 3.10 *10 * 27337.50 *10
K 12
12555 K
3
6
h1
24 * 3.10 *10 6 (
12 Ei EiI I 22
h2
24 EiI 1
K 11
K 11
K
6277.50t / m
ml
6277.50
6
6277.50
6277.50
39 13/10/2018
TECNITAS AGADIR
DE TE R MINATIO INATION N DU MODE FONDAMENTAL(5) La matri matrice ce des des masses masses : M
20 M 0
0
15
P R E MI E R E ME ME T HO HO D E : Résolution Résolu tion par développe développement ment du déterminant déterminant :
K M
K M
K M
6277.50 12555 20 6277.50 6277.50 0
15
2.00 1.00 4 5 6277.50 1.00 1.00 0
0
2.00 1.00 5 4 1.00 1.000 6277.50 0
2.00 1.00 4 K M 1.00 1.00 0
5
0
3
0
(2 4 ) 1.00 K M 1.00 (1 3 )
déterminant Le détermi nant de cette matrice matrice est est :
1.00
1.00
(1 3 )
3
10
1.00
0
pulsations Les pulsation s des vibrations vibrations libres libres sont pour :
3
K M 0
6277.50
5
10 0
0.128 0.705
40 13/10/2018
TECNITAS AGADIR
DE TE R MINAT INATION ION DU MODE FONDAMENTAL(6) Détermination des pulsations :
5
5 0.128 160.693
12.68rd / s
5 2
0.705
2
2
5 2
2
885.1275 29.75rd / s
2
Détermination des périodes
2 * 3.14
T 1 T i
12.68
T 1
0.495 s
2
i
T 2
2 2
2 * 3.14 29.75
T 2
0.211 s
41 13/10/2018
TECNITAS AGADIR
EXEMPLE PORTIQUE A 3 NIVEAUX : 3 DDL (1) m3=25t
3.0
30*45
I3
I3 m2=28t
3.0
30*50
I2 I2 m3=30t
3.0
30*60
I1
I1
42 13/10/2018
TECNITAS AGADIR
h1
EXEMPLE PORTIQUE A 3 NIVEAUX : 3 DDL (2) ELEMENTS MATRICE DE RIGIDITE h h 3.00m 2
3
12 EI 21 K 11
INERTIES I 11
I
I 12
I
21
I 31
I 1
I 32
37500 *10
I 3
4
K 11
12
2
m
I
22
64800 *10
6
6
m
K 11
4
12 E h
3
12 EI 22
3 h2
(2 I 2
3 h2
3 h1
6
m
4
K 11
2 * 3.10 27
12 EI 32 h33
12 E h
3
(2 I 3
12 EI 21 h23
12 EI 22 h 23
K 22
12 * 3.10 *10 * 2(27337.50 37500) *10 27 *12 2 * 3.10 * 64837.50 t / m 27
K22
6
3
21
12 EI
h2
12 E
h
3
3
22
h2
K21
( 2 I 2 )
12 * 3.10 *10 6 * 2 * 37500 *10
K 12
K 12
27 *12
2 * 3.10 * 37500 t / m 27
K12
K23
Matrice des masses
1.20
0
0
0
1.12
0
0
0
1.00
6
M 25
2 * 3.10 * 27337.50 t / m 27
2 I 2 ) 6
K 22
K 12
*102300 t / m
12
h33
22
K 22
K 21
27 *12
27337.50 *10
12 EI 31
12 EI
3 h1
12 * 3.10 *10 6 * 2(64800 37500) *10
K 23 K
12 EI 12
K11 K1 1
2 I 1 )
12
12 EI 11
6
43 13/10/2018
TECNITAS AGADIR
EXEMPLE PORTIQUE A 3 NIVEAUX : 3 DDL (3) 3.742
1.372
0
2.372 1.00
1.00 1.00
MATRICE DE RIGIDITE K 1.372 0
Résolution ution du systèm système e libre non non amorti amorti : Résol
avec :
Le déterminant de la relation doit être nul : soit
0
3.742
1.372
1.372
0
3.742
M K C 0
K M
0
2.372
2.372 1.00
1.00
0 1.00
1.00
Av ec :
25
27
1.00 25
et
6.20 * 27337.50
0
1.00
1.372
1.372
27 6.20 * 27377.50
1.20
0
0
0
1.12
0
0
0
1.00
1.20
0
0
0
1.12
0
0
0
1.00
1
44 13/10/2018
TECNITAS AGADIR
EXEMPLE PORTIQUE A 3 NIVEAUX : 3 DDL (4) ON OBTIENT :
DEVELOPPEMENT DU DETERMINANT DONNE
(3.742 1.20 )(2.372 1.12 )(1 6.4275 9.84 2.494 0
(3.742 1.20 )
( )
( )
) 1.00 1.372 1.372(1.00
) 0
Les solutions sont :
0.315
1.862
()
4.250
0.315
8.894 rd/s
1.862
LES PULSATIONS PULSATIONS SONT
21.622 rd/s
4.250
32.668 rd/s
45 13/10/2018
TECNITAS AGADIR
EXEMPLE PORTIQUE A 3 NIVEAUX : 3 DDL (5) DETERMINATION DETERMINA TION DES VECTEURS PROPRES PREMIER MODE
1 La matrice correspondant à (ω =8.8 =8 .894 94 rd rd/s /s ) es estt : (3.742 1.20 ) 0 1.372
K
K
K
M
M
M
1.372
0 3.364 1.372 1.372 2.0192 0. 685
(2.372 1.12 )
)
0 (3.742 1.20 * 0.315) 1.372 (2.372 1.12 * 0.315) 1.372 0.315)
Avec :
MODE 1
8.894 2
251.10 0.315
VECTEUR PROPRE
c1 C 1 c2 c 1 3
TECNITAS AGADIR
46 13/10/2018
EXEMPLE PORTIQUE A 3 NIVEAUX : 3 DDL (6) ( K M )C 0 1
0 c 3.364 1.372 1.372 2.0192 c 0 0 . 685 1 . 00 1
1.00c 2 1.00 * 0.685
2
Développement de la 1ère ligne donne :
3.364c1
c
2
1.372c 0
c1 0.279 soit soi t
C 1
0.685
0.279 0.685 1.00
2
0
47 13/10/2018
TECNITAS AGADIR
EXEMPLE PORTIQUE A 3 NIVEAUX : 3 DDL (7)
DEUXIEME MODE : MODE 2
K
K
M 2
M 2
(3.742 1.20 12 ) 1.372
K
M 2
0 c1 1.5076 1.372 1.372 0.287 c 0 2 0.862 1.00
0 1.372 2 (2.372 1.12 1 ) 2 )
(3.742 1.20 *1.862) 1.372
1.862
1.372 (2.372 1.12 *1.862)
0
1.862)
0 1.5076 1.372 1.372 0.287 0.862
Avec : 2
2
21.622 2 251.10
c
2
1.862
C 2
0.784 0.862 1.00
2
c1
0.86 862 2 874 4 0.87
48 13/10/2018
TECNITAS AGADIR
EXEMPLE PORTIQUE A 3 NIVEAUX : 3 DDL (8) Troisième mode : mode 3
K
K
M 3
M 3
(3.742 1.20 13 ) 1.372
K
M 3
3
4.25
0 1.372 ( 2.372 1.12 13 ) 3 )
(3.742 1.20 * 4.25) 1.372
0 c1 1.358 1.372 1.372 2.388 c 0 2 3.25 1.00
0 1.372 ( 2.372 1.12 * 4.25) 4.25)
0 1.358 1.372 1.372 2.388 3.25
Avec :
3
32.688 2 251.10
3
4.25
284 4 3.28 C 3 3.25 1.00
c2 c1
3.25 3.284
49 13/10/2018
TECNITAS AGADIR
EXEMPLE PORTIQUE A 3 NIVEAUX : 3 DDL (9)
Mod Mo de : 1
Mode Mo de : 2 1.00
1.00
0.685
0.279
Mode Mo de : 3
-0.862
-0.784
1.00
-3.25
3.284
50 13/10/2018
TECNITAS AGADIR
EXEMPLE NUMERIQUE NUMERIQUE(1) (1) m
M
100 t 7
EI
H
E I
3.45 *10 KN/m 0.0185 m
4
m H=5,0 m EI
H
2
51 13/10/2018
TECNITAS AGADIR
NUMERIQUE(2) E(2) EXEMPLE NUMERIQU DETERMINATION DES ELEMENTS DE LA MATRICE DE RIGIDITE
K
k 1 1
k 1 2
k 2 1
k 2 2
Les termes de la matrice de rigidité sont déterminés en appliquant un déplacementt unitaire à chaque degré de déplacemen liberté et en calculant les forces élastiques induites.
52 13/10/2018
TECNITAS AGADIR
NUMERIQUE(3) E(3) EXEMPLE NUMERIQU V1=1 11
Dé D éplacemen ments : v1
t v2 1e
k
0
k 21
k 11
H
k 21
H
(k 11 k 21 ). H 3 . H k 11
1
2
V2=0
53 13/10/2018
TECNITAS AGADIR
NUMERIQUE(4) E(4) EXEMPLE NUMERIQU v1
1.00
k 11 H
1
3
3 EI
3k 1 1 H 3 2 EI
5k 1 1 H 3 6 EI
k 11
5k 2 1 6 EI
k 0
6 EI H v2
3 16k 11 5k 21
0
5k 11 H 6 EI
k 2 1 H
3 EI 0 5k 1 1 2k 21 (2)
2
7 H 6 EI
7 H
3
(1)
0.00 3
6 EI
3
k 2 1
5
2
k 11 k 11
k 21
2 k 0 5k 0
3
54 13/10/2018
TECNITAS AGADIR
EXEMPLE NUMERIQU NUMERIQUE(5) E(5) Dé D éplacemen ments : v1 6 EI H
3
0 et v2
k 12
1
V1=0
16k 11 5k 21 (1)
V2=1
k 22
L’équation (1) devient en remplaçant : k 1 1 par k 1 2 k 2 1 par k 2 2
Et sachant que :
v 1
0 16k 2 1 5k 2 2 (1 (1'' )
k
22
0
Par symétrie on a :
16k
0
k 21 k 12
55 13/10/2018
TECNITAS AGADIR
NUMERIQUE(6) E(6) EXEMPLE NUMERIQU Matrice de Masse
m M
Matrice de Rigidité
0
2
K
k 0
0
m
k 0
5
6 E EI I
7 H
3
5
16
56 13/10/2018
TECNITAS AGADIR
NUMERIQUE(7) E(7) EXEMPLE NUMERIQU PULSATIONS PROPRES DE VIBRATIONS Pour les oscillations libres non amorties en ne tenant compte que des forces Les pulsations propres : d’inerties et des forces élastiques : 2 0 5 m k 0 0 M v Kv 0 0 m 5 16
v v
( 2k 0 m )
Kv M v 0
k 0
6 EI 7 H
3
k
7
3
0.63
0.63
100
2
4.195
4.195
4.168rd / s T
4377 27.75rd / s
2
0
m
4377
7 *5 4377
(16k 0 m )
Les solutions sont :
0
6 * 3.45 *10 * 0.0185
5k 0
K M
5k 0
T 1
k 0 m 2 2
1.50 s
0
100
T 2
0.226 s
57 13/10/2018
TECNITAS AGADIR
NUMERIQUE(8) E(8) EXEMPLE NUMERIQU Vecteurs propres
Mode 1
Le vecteur propre : Φ1 aD1 2
K M 1 D1
( 2k 0
m
5k 0
)
0 d 11
5k 0
(16k 0
m
)
d 12
0
a
D1 M t
1.00 0.32
a
1.32
0 1
0
m1
0.32
D1 MD1
Soit : D1
1.00
t
m
1.00
m
0 1.00
0
m 0.32
0.32
1.197
1.1024 1
1
58 13/10/2018
TECNITAS AGADIR
NUMERIQUE(9) E(9) EXEMPLE NUMERIQU Vecteurs propres 2
K M 2 D2
( 2k 0
m 2
)
5k 0
D2
2 aD2
0 5k 0
(16k 0
d 21
0.32
m
0 1
1.00 0
m1
m
0 0.32
0
m 1.00
0
m 2 ) d 2 2
0.32
t
a
Soit :
Mode 2
D2 M t
D2 MD2
1.32
1.00
1.00 a 0.617
0.32 2 0.617
1.00
0. 2
0.617
59 13/10/2018
TECNITAS AGADIR
EXEMPLE NUMERIQUE(10) MODES PROPRES 1.197
0.383
-0.197
0.617
Mode :1
Mode :2 60 13/10/2018
TECNITAS AGADIR
NUMERIQUE(1 11) EXEMPLE NUMERIQUE( REPONSES MODALES
Pour 7% d’ amortissemen amortissementt ,le spectre correspondant donne les pseudo accélérations er
Accélérations des masses
1
2
Mode T 1 1.50 s 0.047 g
em e
Mode T 2 0.23 s 0.11 g
Charges dynamiques
6.02t
Mode 1 : er
1
Mode : 1.197
0.047 g
0.383 2
em e
F 11
100 * 0.056 g 5.60t
0.056 g
F 21
100 * 0.018 g 1.80t
0.018 g
Mode 2 : F 12 100 * (0.022 g )
Mode :
0.11 g
0.197
0.617
0.022 g
F 22
7.03t
2.20t
100 * 0.068 g 6.80t
0.068 g
F 1 F 2
5.60 2
(2.20) 2
1.80 2
6.802
F 1
F 2
6.02t
7.03t
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