Diana Nesbit - Fisica - Ondas PDF

 

 

 

 

Registro de autor Título: Ondas Módulo I. 1ª. Edición, 2008 Autor: Diana Nesbit Depósito Legal: 1f55320085303794 ISBN: 978-980-233-456-8 Editorial: Universidad de Carabobo Impreso en Valencia, Estado Carabobo.

 

 

A mis padres

A mis hijos

 

Indice Introducción

1

Capítulo I: Oscilador Armónico Armónico Simple

7

Oscilaciones

7

Relación entre el Movimiento Armónico Simple y el Movimiento Circular Uniforme

20

Velocidad y aceleración en el Movimiento Armónico Simple

23

Energía de un Oscilador Armónico Armónico Simple

24

Superposición de dos oscilaciones armónicas simples

28

Oscilaciones paralelas

29

Oscilaciones perpendiculares

33

Vectores en rotación rotac ión y números complejos

38

Problemas

45

Capítulo 2: Oscilador Oscilador Armónico Amortiguado Oscilaciones libres amortiguadas

51 51

Caso 1: Amortiguamiento Amortiguamiento fuerte o sobreamortiguado sobreamortiguado

57

Caso 2: Amortiguamiento Amortiguamiento crítico

58

Caso 3: Movimiento Armónico Armónico Simple Amortiguado Amortiguado

61

Métodos para describir el amortiguamien amortiguamiento to de un oscilador

64

Método del Decremento Decremento Logarítmico

65

Tiempo de Relajación o Módulo de Decaimiento Decaimiento

67

Factor de Calidad o Valor Q de un OAS Amortiguado Amortiguado

67

Energía Disipada

72

Problemas

73

Conclusiones

75

Anexos

77

Bibliografía

115

 

  1

INTRODUCCIÓN La asignatura Física Moderna y Ondas está inscrita dentro del pensum de estudios de las carreras de Ingeniería Eléctrica e Ingeniería de Telecomunicaciones, de la Facultad de Ingeniería de la Universidad de Carabobo. El contenido de esta asignatura es muy amplio e incluye incluye fenómenos fenómenos físicos relacionados relacionados con

las ondas

mecánicas, ondas electromagnéticas, óptica y ondas de materia. En la actualidad no existe un libro que incluya todos estos tópicos, imponiendo al profesor la tarea de crear guías de estudios para darle coherencia y continuidad al dictado de las clases. Es por esto que surge el proyecto de escribir un libro de Física que contenga la totalidad de los temas de la asignatura en cuestión, enfocado principalmente a futuros ingenieros electricistas e ingenieros en telecomunicaciones, con el objetivo de facilitar a estos últimos la transferencia de los conceptos y leyes físicas hacia los contextos propios de las ramas de Ingeniería. El libro no sólo se limita a las carreras arriba mencionadas, sino que puede ser utilizado por estudiantes de otras carreras, como Ingeniería Mecánica, Civil, Industrial para la comprensión de los fenómenos ondulatorios que surgen en los mecanismos de motores y partes mecánicas, en las obras civiles (edificios, puentes), en el área de control co ntrol de calidad en las industrias de alimentos y partes, etc.

En la creación de este libro, se ha tomado en cuenta el desarrollo de habilidades y competencias, siguiendo los lineamientos expresados por el Instituto Internacional de la UNESCO para la Educación Superior en América Latina y eell Caribe (IESALC) en su Informe sobre la Educación Superior en América Latina el Caribe. 2000-2005, titulado “La metamorfosis de la educación superior”, que indican claramente la necesidad de “La Formación integral: entendida ésta como un proceso complejo, abierto e inacabado mediante el cual se contribuye no sólo a desarrollar competencias profesionales, sino también y, fundamentalmente, a forjar en los estudiantes nuevas actitudes y competencias intelectuales”. Asimismo propone a nivel institucional y académico “establecer innovaciones curriculares (perfiles y enseñanza por competencias y fortalecer la metodología de resolución de problemas)”

Desarrollo de habilidades: - 

Conocer y comprender los esquemas conceptuales básicos de las ondas.

 

  2 - 

Conocer, comprender y aplicar los métodos matemáticos y numéricos más comúnmente utilizados en ondas.(Ecuaciones diferenciales, Series de Taylor y Maclaurin, Fórmulas de Euler, números complejos)

- 

Tener una buena comprensión de las teorías físicas más importantes, localizando en su estructura lógica y matemática el fenómeno físico que puede ser descrito a través de ellas y, adicion a dicionalmente, almente, su soporte experimental.

- 

Conocer el mundo laboral en el que desarrollar lo aprendido.

- 

Adquirir destreza en la modelización matemática de fenómenos físicos.

- 

Desarrollar Desarro llar la “intuición” física.

- 

Utilizar herramientas informáticas informáticas en el contexto de la matemática aplicada.

-

Aprender a programar een n un lenguaj lenguajee relevant relevantee para el el cálculo cientí científico. fico.

-

Utilizar la computadora como herramienta básica para m modelar odelar los siste sistemas mas físicos y su comportamiento

-

Ser capaz de evaluar clarament claramentee los órdenes de m magnitu agnitud, d, así ccomo omo de de desarrollar desarroll ar una clara percepción de las situaciones que son físicamente diferentes, pero que muestran analogías, permitiendo el uso de soluciones conocidas a nuevos problemas.

-

Afrontar problemas y generar nuevas ideas que puedan solucionarlos.

- 

Saber discutir conceptos, problemas y experimentos, defendiendo con solidez y rigor científico sus argumentos. (Preguntas conceptuales).

Desarrollo de competencias: Al finalizar este libro los estudiantes - 

Poseerán las competencias que suelen demostrarse por medio de la elaboración y defensa de argumentos y la resolución de problemas dentro de su área de estudio y sabrán aplicar sus conocimientos en el campo de trabajo de una forma profesional.

- 

Tendrán la capacidad de reunir e interpretar datos relevantes (normalmente dentro de su área de estudio, pero no limitante ) para emitir juicios que incluyan una reflexión sobre temas relevantes de índole social, científica, etc.

-

Podrán transmitir info información, rmación, ideas, pro problemas blemas y solucione solucioness a un público tanto especializado como no especializado.

- Habrán desarrollado aquellas habilidades de aprendizaje necesarias para emprender estudios posteriores con un alto grado de autonomía. - 

Estarán capacitados para emprender con éxito algunas actividades como el desarrollo e innovación científica y tecnológica; planificación y gestión de tecnologías relacionadas con las ondas, en sectores tales como la industria, medio ambiente, salud, entre otras; desarrollo de actividades profesionales en el marco de tecnologías aplicadas, tanto a nivel de laboratorio como industrial, relativas a las ondas, como por ejemplo: a la radioprotección, telecomunicación, diagnóstico remoto, control remoto por satélite, control de calidad, entre otras; participación en actividades de centros de investigac i nvestigación ión públicos y privados, seminarios, congresos, etc.

 

  3

Introducción al contenido del Módulo I

Con

este libro queremos queremos iniciar al alumno en el estudio de las ondas. ondas. El

contenido del tema abarca un vasto número de sistemas físicos presentes en todas las ramas de la ingeniería. El comportamiento oscilatorio de estos sistemas representa la temática central de este módulo. La primera clase deberá siempre comenzar con un foro en el que se invite a los alumnos a dar ejemplos en los que haya percibido algún fenómeno físico relacionado con ondas. Trataremos de llegar a captar el concepto de ondas, primero intuitivamente, conociendo o identificando las características más resaltantes que uno puede observar en las ondas. Esto lo haremos generando preguntas que nos permitan, de una manera constructiva, acercarnos cada vez más al concepto de ondas. Luego utilizaremos las leyes físicas y las herramientas matemáticas adquiridas en los semestres anteriores para llegar a describir de una manera formal y operativa el concepto de onda.

Pero comencemos desde el principio con una pregunta…..la más lógica acerca del tema que estamos tratando: ¿Qué ¿Qué es una onda?

La mayoría de las personas, comienza a mover las manos tratando de ilustrar lo que ellos piensan que es una onda. ¿Porqué es tan difícil dar, de una manera coherente, una definición de onda?

Vamos a plantearlo de otra manera. Cuando mencionamos la palabra onda ¿de qué estamos hablando? ¿Qué es lo primero que se nos viene a la mente? En general encontraremos que las personas relacionan la palabra ondas con lo que observan en la superficie del mar o de un estanque de agua. Además añaden que se mueven, alejándose o acercándose de algún punto de referencia. También

pueden

identificar las ondas en el cabello de una persona: éstas no se mueven, pero parecen ondas.

En estos dos ejemplos tan comúnmente usados, podemos identificar dos de las propiedades que caracterizan a las ondas: 1) que tienen forma for ma y 2) que se mueven.

 

  4 ¿Podría ud generar una onda? Explique. ¿Qué materiales utilizaría para generarla? generarla?

Cuando dejamos caer una piedra en un estanque observamos que la superficie del agua deja de ser lisa: adopta una forma que nosotros llamamos ondas. Pero no ha dejado de ser agua para transformarse en onda ¿o si? ¿Es una onda en forma de agua o es agua que tiene forma de onda? En realidad lo que estamos observando es el efecto que produce en el agua esta perturbación (la piedra arrojada).

Podríamos llegar a la conclusión que la perturbación no sólo deforma la superficie del agua, sino que viaja (se propaga) a través t ravés de él.

Vamos a poner otro ejemplo. Suponga que ud tiene una cuerda en su mano y que le proporciona un movimiento vertical. Observamos que la cuerda también adoptará una forma que tendrá la misma altura del movimiento de la mano, y el ancho de la forma estará relacionado con el tiempo que duró el movimiento de la mano. Además viajará por la cuerda hasta el final f inal de la misma.

En estos dos ejemplos, hemos identificado forma y movimiento, las dos propiedades citadas anteriormente.

Suponga que una persona observa “la forma” que se está propagando en la cuerda, pero no estuvo allí para ver el movimiento de la mano. ¿Podría esta persona deducir cómo sería el movimiento (perturbación) inicial aplicado a la cuerda con sólo observar esta forma en cualquier lugar de la cu erda?

Antes de contestar esta pregunta debemos señalar que en muchos libros de Física encontramos la siguiente definición de onda: “una perturbación que se propaga a través

 

  5 de un medio”. En el caso de que el medio sea material, se les denomina ondas mecánicas. Más adelante adelante hablaremos de otro tipo de ondas que se propagan, propagan, además, en el vacío.

Esta definición anterior nos permite, asumiendo el principio de causa y efecto, afirmar que toda perturbación (causa) tendrá un efecto sobre la materia que perturba. Por lo tanto, si estudiamos este efecto, efecto, que es el que podemos observar, observar, y logramos logramos describirlo con las las herramientas matemáticas y físicas adquiridas, adquiridas, podremos des describir, cribir, con las mismas herramientas, la perturbación (causa) que lo produjo. p rodujo.

¡He aquí en términos sencillos cómo tradicionalmente se aborda el estudio de las ondas!

La intención de este curso es la de utilizar el acercamiento tradicional al estudio de las ondas, examinando los fenómenos físicos que podemos observar, pero añadiéndole o complementándolo con un enfoque constructivista. En otras palabras, la dinámica que utilizaremos utilizaremos será la de construir el saber o conocimiento acerca de las ondas, obteniendo, a partir de conocimientos previos, experiencias previas o cualquier otro tipo de aporte que enriquezca el proceso, los conceptos que están involucrados en ese saber.

En este sentido, la materia Ondas es idónea para utilizar este enfoque y lograr construir este conocimiento que es nuestro objetivo general. No se le dará al alumno alum no la o las ecuaciones que deberá utilizar para resolver los problemas o ejercicios de esta materia, tal como estaba acostumbrado en las dos Físicas Físicas generales que ya ya cursaron, sino que construiremos juntos las ecuaciones a partir del estudio de los sistemas físicos estudiados. Con esto lo que queremos lograr es que el alumno advierta que, si estudiamos un sistema físico y obtenemos las ecuaciones matemáticas que lo rigen, estas ecuaciones o funciones representarán o describirán el comportamiento de ese sistema físico. Así que si estudia un segundo sistema físico, no necesariamente de la misma naturaleza (por ejemplo sis sistemas temas mecánicos y sistemas eléctricos), y obtiene una función matemática matemática similar, pueda convencerse convencerse y afirmar que ambos sistemas, sistemas, aunque no tengan nada en común, se comportarán de la misma manera.

¡He ahí el misterio de las funciones matemáticas……..!

 

  6  

Si una misma estructura (ecuación, función) matemática es obtenida al estudiar

diferentes sistemas físicos, se puede asegurar con toda certeza que todos  estos sistemas se comportarán exactamente igual. A las matemáticas le da lo mismo a qué sistema físico se refiera, refiera, es abstracta en ese sentido. sentido. Nuestro trabajo será será obtener esa estructura correspondiente diente. En eso insistiremos matemática y darle la interpretación física correspon insistiremos mucho,

porque al fin de cuentas lo que estamos estudiando es física, no matemáticas. Sin embargo, no ahorraremos esfuerzos en destacar la importancia del papel de las matemáticas en el estudio de la física. Sin su ayuda, no podrían los físicos describir inteligiblemente lo que está ocurriendo en todo sistema físico, es decir, el comportamiento del sistema físico.

En el Capítulo 1 comenzaremos nuestro estudio con el sistema oscilatorio más sencillo: El Oscilador Armónico Simple. Las oscilaciones de este sistema son llamadas oscilaciones libres. Se necesita una perturbación para sacar estos sistemas del equilibrio en el cual se encuentran. Esta perturbación ocurre en un instante y luego se deja al sistema oscilar libremente. libremente. Se determinan las ecuaciones ecuaciones de movimiento y se obtienen las funciones que describen el comportamiento de estos sistemas físicos. Se hace hincapié en la importancia del estudio de la energía del sistema y cómo determinarla. Luego estudiamos la superposición de varias perturbaciones representadas por movimientos armónicos simples aplicados al mismo oscilador o scilador armónico.

En el Capítulo 2

estudiaremos el oscilador amortiguado. Seguiremos los

mismos pasos que en el capítulo 1, es decir, determinamos la ecuación diferencial de movimiento y su solución. Además, el estudio de la pérdida de energía de este sistema amortiguado va acompañado de métodos para describir y calcular esta pérdida.

Finalmente, cada capítulo capítulo

contiene contiene una gran cantidad cantidad de problemas que

permiten lograr, en el alumno, la captura de los conceptos físicos contenidos en este libro.

 

  7

Capítulo 1  Oscilador Armónico Simple Oscilaciones. Como se mencionó antes, la onda puede ser descrita como una perturbación que se propaga a través de un medio, transportando energía de un lugar a otro. El medio puede ser la materia (en sus sus tres estados) o el vacío. Los elementos constituyentes constituyentes del medio (partículas, átomos, moléculas) moléculas) realizarán movimien movimientos tos vibratorios u oscilatorios oscilatorios alrededor de su posición de equilibrio en respuesta a la perturbación. El medio se comporta como un continuo de osciladores, acoplados entre sí. Las características físicas que describen a las ondas pueden ser determinadas observando el comportamiento de estos elementos. Al describir su movimiento, estaremos describiendo la perturbación que lo produjo.

En la naturaleza encontramos innumerables ejemplos de movimiento oscilatorio: el movimiento de los electrones en una antena receptora o transmisora, el movimiento de un péndulo, las vibraciones de los átomos de un sólido alrededor de su punto de inserción en la red. Los anteriores son ejemplos de osciladores armónicos.

Iniciaremos el estudio del movimiento oscilatorio con el análisis de los sistemas físicos más sencillos: los osciladores armónicos simples. En la figura 1.1 se muestran algunos de estos sistemas.

Todos estos sistemas físicos tienen en común co mún las siguientes características: 1) Al ser ligeramente desplazados de su posición de reposo o de equilibrio, experimentan una fuerza restauradora que es proporcional al desplazamiento y que actúa intentando regresarlos a su posición de equilibrio; 2) Están representados por una ecuación diferencial de segundo orden cuya estructura matemática es idéntica y, por lo tanto, su solución es una función que represen representa ta el co mportamiento de todos los sistemas citados; 3) Están constituidos, en general, por tres elementos: a) elementos de inercia, b) elementos de rigidez y c) elementos de disipación. El elemento de inercia almacena y libera energía cinética; el elemento de rigidez almacena y libera energía potencial y el

 

  8 elemento de disipación o amortiguamiento, es el responsable de que el sistema pierda energía.

Figura 1.1 Osciladores armónicos simples: (a) Péndulo simple; (b) Circuito LC; (c) Sistema masa-resorte; (d) Carga negativa restringida a moverse en el eje del anillo cargado;(e) Péndulo de torsión.

La figura 1.2 muestra la gráfica de la Fuerza restauradora en función de la posición. Para oscilaciones pequeñas, la curva se aproxima a una recta cuya pendiente es

. dF dx

Figura 1.2: Fuerza restauradora en función de la posición. Nótese la linealidad para desplaza desplaza mientos pequeños.

 

  9

dF

 

dx

= −k  ; k = constante.

Ec (1.1) 

la pendiente negativa significa que el sentido de la fuerza aplicada y el desplazamiento son opuestas.

Reescribiendo e integrando la ecuación anterior, nos queda F

x

0

x equi

∫ dF  = −k . ∫ dx   Y resolviendo obtenemos la expresión de la fuerza proporcional al desplazamiento, es decir, la fuerza fue rza restauradora.

F( x ) = − k ( x − x equi )  ; x equi  es la posición posición de equilibrio equilibrio

En la figura figura 1.2

Ec (1.2) 

x equi   = 0  

La acción de esta fuerza restauradora da origen al más sencillo de los movimientos oscilatorios: el Movimiento Armónico Simple (MAS).

Tomemos uno de estos sistemas físicos, por ejemplo, una cuerpo de masa m  unido a un resorte de constante de elasticidad k  (también llamada rigidez). El otro extremo del resorte está fijo a una pared. Supondremos que la masa del resorte es despreciable frente a m, el cuerpo está restringido a moverse en la dirección x y no hay fuerzas disipativas actuando sobre él (ver figura 1.3).

Figura 1.3: Sistema masa-resorte

 

  10  

Si desplazamos la masa separándola de su posición de equilibrio equilibrio una cantidad x,

la fuerza restauradora que actúa sobre la masa viene dada por la Ley de Hooke, que establece que la fuerza es proporcional al estiramiento del resorte o, lo que es lo mismo, igual al desplazamiento que realiza la masa medido desde su posición de equilibrio. En forma vectorial,

r

r

r

F( x ) = − k ( x − x equi )  

Ec.(1.3) 

De esta forma, si x>xequi la fuerza apunta en sentido negativo, y tiende a reducir la posición de la masa, dada por x, para que recupere su posición de equilibrio. Si

x ω1   Podemos reescribir la ecuación (1.26) utilizando la identidad trigonométrica: sen ( α ± β ) = senα cos β ± cos αsenβ sen ( α + β ) + sen ( α − β ) = 2senα co c os β

 

Hacemos: α + β = ω2  y α − β = ω1  

⇒α=

ω1 + ω2 2

  y β=

ω2 − ω1 2

 

Sustituyendo en la ecuación (1.26) obtenemos obt enemos la expresión deseada

 ω +ω   ω −ω  x = 2a 2a sen  1 2 t  cos  2 1 t   2   2 

Ec.(1.28) 

En la figura 1.18 se encuentra graficada la expresión anterior. Podemos observar que se trata de una oscilación lenta de frecuencia ( ω2 − ω1 ) 2   y amplitud ± 2a combinada con una oscilación rápida de frecuencia ( ω1 + ω2 ) 2   (frecuencia promedio).

 

  32 Se dice que la señal de frecuencia lenta modula o envuelve a la señal de frecuencia rápida.

Figura 1.18 Superposición de oscilaciones paralelas con diferentes frecuencias.

Ejemplo 5. Pulsaciones o Batidos: Uno de los casos más interesantes  de superposición de oscilaciones con diferentes frecuencias, se observa para ω1 ≈ ω2 . Mencionaremos, como ejemplo, el caso de dos diapasones de frecuencias ligeramente diferentes. Al vibrar juntos, se puede escuchar un sonido cuya amplitud aumenta aum enta y disminuye alternadamente. Este fenómeno se conoce, en acústica, como “batidos” o también “pulsaciones”. Nuestro sistema auditivo no es capaz de percibir separadamente las dos frecuencias presentes. Según la ecuación (1.28), lo que escuchamos es una frecuencia promedio ( ω1 + ω2 2 ), cuyo amplitud del sonido aumenta o disminuye con una frecuencia dada por ω2 − ω1 . Es lo que perciben los músicos cuando escuchan simultáneamente dos instrumentos, uno de ellos levemente desafinado ( ω1 ≈ ω2 ). Por ejemplo, supongamos que la cuerda “la” de una guitarra está afinada (440 Hz) y la de otra guitarra está desafinada (438 Hz). Al pulsar ambas, nuestro nuestro sistema auditivo percibirá un sonido de frecuencia 439 Hz y cuya amplitud varía con una frecuencia de 2 Hz, es decir, pasa por un máximo de intensidad dos veces cada segundo o dos pulsaciones por segundo. La frecuencia de la oscilación

 

  33 rápida es muy cercana a las frecuencias de las oscilaciones superpuestas, mientras que la frecuencia de la envolvente envolvente es muy lenta . En la figura 1.19 se evidencia evidencia esto último.

Figura 1.19 Superposición de oscilaciones paralelas, caso

ω1 ≈ ω2 . Batidos o pulsaciones

Superposición de dos oscilaciones perpendiculares (dos dimensiones):

a) Oscilaciones perpendiculares de igual frecuencia, con diferentes amplitudes y diferente constante de fase. Como en los casos anteriores queremos obtener la ecuación que describe el movimiento de una partícula que se encuentra bajo la acción de dos oscilaciones, una de ellas a lo largo del eje x y la otra a lo largo del eje y x = a 1sen (ωt + φ1 )

 

y = a 2sen (ωt + φ2 )

 

 

  34 por lo que determinaremos la trayectoria que describe describe la partícula. Esto se hace eliminando el tiempo t de las ecuaciones anteriores. Comenzamos efectuando el seno de la suma de los ángulos del argumento y reescribiendo así: x

= sen ωt cos φ1 + cos ωt se s enφ1  

(1) 

y = sen ωt cos φ + cos ωt sseenφ   2 2 a2

(2) 

a1

Luego eliminamos el tiempo realizando los siguientes pasos:

Mapa de operaciones algebráicas para la obtención de Ec. (1.29)

Finalmente nos queda la ecuación general de una elipse 2

2

x

y

2xy

a1

a2

a1a2

+ 2

− 2

cos(φ2 − φ1) = sen2 (φ2 − φ1)

Ec.(1.29) 

Estudiaremos algunos casos para el desfasaje (φ2−φ1) entre las señales.

Caso 1: φ2 − φ1 = 0   En este caso las dos oscilaciones están en fase. Esto quiere decir que las dos señales pasan por cero (con la misma fase), o por sus valores extremos, en el mismo

 

  35 instante. Analizaremos el comportamiento del oscilador bajo la influencia de las dos señales de dos maneras: a) desde el punto de vista gráfico, y b) analíticamente, usando la ecuación (1.29).

Desde el punto de vista gráfico, podemos suponer dos funciones senoidales inicialmente con amplitud cero. Una de ellas representa una oscilación en el eje x y la otra representa una oscilación en el eje y. Ambas comienzan tomando valores positivos en sus respectivos ejes ejes.. Si graficamos cada punto xy  correspondiente a cada instante t, xy correspondiente encontraremos que la trayectoria será una línea recta, cuya cu ya pendiente pendiente es la relación entre las amplitudes, tal como puede verse en la Figura 1.20a.

Desde el punto de d e vista analítico, sustituimos φ2 − φ1 = 0  en la ecuación (1.29) y, sabiendo que cos(0) = 1  y , sen 2 (0) = 0 nos queda 2

2

x2 + y2 − 2 xy = 0 . Este es un u n trinomio cuadrado perfecto. Factorizando Factorizando tenemos a1 a 2 a1a 2 2

2

x y a2 ecu ación de una recta, tal como esperábamos.   −   = 0   ⇒ y = a x  Esta es la ecuación a a 1  1  2

El caso 1, representa una oscilación linealmente polarizada polarizada o con polarización polarización lineal. El concepto de polarización será desarrollado en el capítulo correspondiente a ondas electromagnéticas, sin embargo es importante relacionarlo con la superposición que estamos estudiando en este capítulo.

En el caso que φ 2 − φ1 = π , la trayectoria también será lineal, pero con pendiente negativa. (Ver Figura 1.20e)

Caso 2: φ2 − φ1 =

π 2

 

En este caso mientras una de las señales tiene su máxima amplitud, la otra señal tiene amplitud cero; están desfasadas en un cuarto de ciclo. Si escogemos, por simplicidad, φ1 = 0 , podemos escribir las señales x = a1senωt  

en t = 0  

x = 0 

 

  36

π

y = a 2sen (ωt + ) = a 2 cco os ωt   2

en t = 0  

y = a2  

De nuevo podemos graficar cada punto xy y observaremos que la trayectoria que sigue el oscilador es elíptica, centrada en 0 y de semiejes a 1  y a2  . La Figura 1.20d representa este caso. A medida que x aumenta, y disminuye. La trayectoria elíptica se forma en sentido horario. Cuando los semiejes son iguales ( a 1 = a 2 = a ) se obtiene una circunferencia de radio a. Analíticamente, sustituimos φ 2 − φ1 = π 2   en la ecuación (1.29), y, sabiendo que

cos(π 2) = 0   y , sen 2 (π 2) = 1 , nos queda x2 a 12

+

y2

=1 

a 22

Si a1 = a 2 = a   2

2

2

x +y =a .

Obtenemos una circunferencia de radio a.

El Caso 2 representa una oscilación elípticamente polarizada, y en el caso especial en el que ambas amplitudes son iguales, será una polarización circular.

Figura 1.20 Trayectorias que describe el oscilador armónico debido a la superposición de oscilaciones perpendiculares. Se especifican los valores de desfasaje entre las señales superpuestas.

 

  37  

La Figura1.20 muestra la trayectoria que seguirá el oscilador armónico para

diferentes valores de φ 2 − φ1 . Podemos observar que para φ 2 − φ1 = − π 2 , la trayectoria será igual que en el caso 2, excepto que la elipse se forma en sentido antihorario (Figura 1.20f).

El conocimiento de los tipos de polarización cobra especial importancia en el estudio de señales de radiofrecuencias VHF (very high frequency) y UHF (ultra high frequency). frequency ). Como se dijo anteriormente, el tema lo trataremos de nuevo en el estudio de ondas electromagnéticas.

b) Oscilaciones perpendiculares de diferentes frecuencias. Las trayectorias que describe el oscilador armónico sujeto a una superposición de oscilaciones perpendiculares de diferentes frecuencias, son curvas cerradas, bastante complicadas, que reciben el nombre de figuras o patrones de Lissajous. La relación entre las frecuencias frecuenc ias ωx  y ωy , de las oscilaciones o scilaciones perpendiculares perpendiculares entre sí, es un número racional, es decir ωx ωy = n m  donde n  y m son números naturales Por ejemplo, para

ωx ωy = 1 2  las ecuaciones paramétricas de movimiento son x = a1sen ( ωt + φ1 ) y = a 2 se n ( 2 ω t + φ 2 )

 

Ec.(1.30) 

En la figura 1.21 se muestran los patrones de Lissajous para valores enteros de

ω2 ω1   y diferentes diferent es valores de φ2 − φ1 . Nótese que todos los puntos se encuentran contenidos en un rectángulo de lados 2a 1   y 2a 2 . La coincidencia tangencial de la curva con los lados del rectángulo en varios puntos, mantiene una relación inversa a la relación entre las frecuencias: puntosejey ωx Nº puntos   = puntosejex ωy Nº puntos

 

  38  

Figura 1.21 Patrones de Lissajous para diferentes valores de

ω ω 2

1

 y

φ −φ 2

 

1

Vectores en rotación y números complejos Hemos escrito la solución de la ecuación diferen d iferencial cial del OAS &x& + ω20 x = 0 , como una función seno de la forma x( t ) = a sen (ω0 t + φ) , lo que describe un MAS. También demostramos que la función coseno, y la superposición de ambas, es solución: una y otra son funciones periódicas.

 

  39  

Vamos a obtener otra función, que es periódica y que será de gran utilidad para

describir el comportamiento de sistemas oscilatorios. Usaremos la Serie de Taylor (ver Anexo B) para representar algunas funciones conocidas y llegar a la función periódica que estamos buscando. Comencemos haciendo un desarrollo en serie de las funciones exponenciales e x   x

y e α , evaluadas en a = 0 . x

e = 1+ x +

x

2

+

2!

x

3

3!

+ .... +

x

n

n!

2

e

+ ...  

Ec.(1.31) 

3

n

  ( αx ) ( αx ) ( αx ) = 1 + αx + + + .... + + ...  

α x

2!

3!

Ec.(1.32) 

n!

Si derivamos esta última función, fu nción, obtendremos d

e

dx

α x

3α3 2   2α 2 x+ x + ....   =α+ 2!



( αx )

= α  αx +

2!

3!

2

( αx ) +



3

+ ....  

3!

= αeα x   Similarmente, d2 dx

e

2

α x

= α2 eα x  

Un caso interesante se presenta cuando α =  j  , donde j es el número imaginario  j =

−1 . Como sabemos, 5

4

3

2

 j = −1  

 j = i  

 j = 1  

 j = −i  

Al sustituir los valores de j en la ecuación (1.32) y agrupar e

 j x

= 1 +  jx +

x

e j = 1 +  jx −

( jx )

2

2! x2 2!

−j

+

( jx )

x3 3!

3

3!

+

x4 4!

+ .... +

+ j

( jx )

x5 5!

n

+ . ..  

n!



x



2!

... = 1 −

2

+

x

4

4!





x





3!

.... +  j  x −

3

+

x

5

5!



...  Ec.(1.33) 



Hasta ahora hemos obtenido un número complejo cuya parte real es una suma de ntérminos y la parte imaginaria también es una suma de n-términos. ¿Es una señal periódica?

 

  40  

Para contestar la pregunta anterior, hagamos el desarrollo en serie de las dos

funciones periódicas que conocemos: conocemos: Sen(x) Sen(x) y Cos(x), evaluadas evaluadas en a = 0. Sen x = 0 +1. 1 .x − 0 −

x3 3!

+0+

x5

.. = x -

5!

x

3

+

3!

x

5

-

5!

x

7

..

7!

Sen (0) = 0 (Sen x )′ = Co s x ⇒ Cos  (0) = 1

 

Ec.(1.34) 

(Sen x) x )′′ = −Sen  x ⇒ −Sen (0) = 0 (Sen x )′′′ = −Cos x

C os x = 1 − 0 −

x2 2!

+0+

x4

−0−

4!

x6 6!

.. = 1-

x

2

+

x

2!

4

4!

-

x

6

..

6!

Cos(0) = 1 ( Cos x) x )′ = −Sen  x ⇒ −Sen ( 0) = 0

 

Ec.(1.35)

( Cos x) x)′′ = − Cos  x ⇒ −Cos(0) = −1 ( Cos x) x )′′′ = Sen  x ⇒ −Sen (0) = 0

Comparando las tres últimas ecuaciones, podemos concluir que e

 j x

= Cos x + j Sen x  

Si hacemos un desarrollo en serie de ee

- j x

j x

Ec.(1.36) 

,

= Cos x − j Sen x  

Ec.(1.37) 

Es decir, hemos obtenido una función periódica a partir de d e una función exponencial!!! …. y ésta también debe ser solución del OAS. La ecuación ecuación (1.36) fué establecida establecida por L. Euler en 1748 y es conocida como Fórmula o relación de Euler.

Si Sumamos las ecuaciones (1.36) y (1.37) obtendremos representadas las funciones Seno y Coseno por medio de funciones exponenciales complejas, de la siguiente manera:

Cos x =

e j x + e − j x 2 e

Se n x =

 j x

− e− j x 2 j

 

Ec.(1.38) 

 

  41   El estudio anterior nos permitió la obtención de una función matemática, “la exponencial compleja”, cuyo beneficio será el de facilitar el manejo de los problemas oscilatorios debido a que la función exponencial tiene la propiedad de aparecer de nuevo en cada proceso pro ceso de derivación e integración

Para la interpretación de la ecuación (1.36) utilizaremos la relación que existe entre el MAS y el MCU. Sustituimos la letra x, que utilizamos para el desarrollo en serie de las funciones anteriores, por la variable angular θ, medida en radianes y representamos la posición de la partícula que describe el MCU en la forma r

r = ˆix + ˆjy  

con

r

r =a=

2 2 x +y  

donde î es el vector unitario para describir los desplazamientos a lo largo del eje x, y  jˆ   es el vector unitario unitario para describir describir los desplazamientos en en el eje y.

Figura 1.22 Partícula describiendo un MCU

Tomando en cuenta que r es un vector rotatorio o fasor, y sin sacrificar información, podemos escribir r = x +  jy   y relacionarlo con la notación compleja z = x +  jy   donde x y y son números reales y  j =

Ec.(1.39) 

−1 .

De la figura 1.22 podemos obtener las expresiones para x y para y x = a cos θ   y = a sseen θ

 

  42 Finalmente, con θ = ωt + φ , sustituimos en ecuación (1.39) z = a [cos(ωt + φ) +  j sen (ωt + φ)]  

z = ae j ( ωt+ φ)

Ec.(1.40)

Al representar un MAS por un vector en rotación o fasor, estamos haciendo la representación bidimensional de oscilaciones en una dimensión. Luego al trabajar con números complejos podemos seleccionar la parte física de interés para el análisis de las oscilaciones monodimensionales, ya que se ajusta a las partes físicamente reales y no reales de un u n movimiento bidimensional imaginado. (Ver figura 1.23) x (t ) = Re {z( t )} = a cos(ωt + φ)  

Figura 1.23 Fasor como número complejo en diferentes diferente s instantes y represent ación de la parte real (proyección (proyección en x, en azul.) 

 

  43  

Volviendo a la ecuación diferencial del OAS &x& + ω20 x = 0  

si proponemos una solución de la forma x( t ) = ae j ( ωt+ φ )  

Ec.(1.41) 

derivamos dos veces e introducimos en la ecuación diferencial dx dt

= x& =  jωae j ( ωt +φ )

d2 x dt

2

 

= &x& = − ω2ae a e j ( ωt+ φ) = −ω2 x

comprobamos que la ecuación (1.41) también es solución de la ecuación diferencial del OAS y, por lo tanto, es la ecuación exponen exponencial cial compleja que qu e andábamos buscando.

Ejemplo 6. Superposición de dos oscilaciones paralelas utilizando el método geométrico y la solución exponencial compleja: Sea z una superposición de dos oscilaciones dada por z = sen ωt + cos ωt   Escriba la superposición en la forma: a) z = R cos ( ωt + θ )  

{

 j ( ωt +θ )

b) z = Re Ae

} 

Solución a) Hacemos

x1 = cos ωt − π

(

a1 = 1

2

) 

y

x 2 = cos ωt .

φ1 = − π

2    a2 = 1 φ = 0 2

Con

Calculamos R y θ R = a12 + a 22 + 2a1a 2 co cos ( φ 2 − φ1 ) R=

2

tan θ =  

a1se senφ1 + a 2se s enφ 2 a1 cos φ1 + a 2se senφ2

tan θ = −1  ⇒ θ = −

π 4

Finalmente escribimos

 

z = 2 cos  ωt −

π



4

 

 

  44

Solución b) Hacemos

{

z = sen ωt + cos ωt = Re Ae

 j ( ωt+ θ )

} 

Desarrollamos  j ( ωt +θ )

Re Ae = A  cos ( ωt + θ )   = A cos ωt cos θ − Asen ωtsenθ

{

}

Construyamos dos ecuaciones para obtener las incógnitas A y θ

A cos ωt cos θ = cos ωt  

−Asen ωt se senθ = sen ωt  

⇒ A c  os θ = 1  

(1)

⇒ −A senθ = 1  

(2)

Elevando al cuadrado las ecuaciones (1) y (2) y sumando obtenemos el valor de A A 2 = 2  ⇒ A   = ±2   Dividiendo la ecuación (2) entre la ecuación ( 1) obtenemos el valor de θ  tan θ =

senθ cos θ

−1 π =   ⇒ θ = −   1

4

Finalmente escribimos z en forma exponencial π   j  ωt−    4   z = R  e  2e   

 

  45

PROBLEMAS Osciladores mecánicos 1.  Un bloque, en el extremo de un resorte, es jalado hasta la posición x = A y luego soltado. En un ciclo completo de su movimiento, ¿qué distancia total recorre? a)  A/2 b)  A c)  2A d)  4A

3.  Una partícula de masa 4kg se mueve a lo largo del eje x bajo la acción de la fuerza

2.  Dos resortes paralelos, de constantes de elasticidad k 1 y k 2, 2, se conectan a un bloque de masa m y el sistema se hace oscilar sin fricción (Fig.1.23a). (a)Calcule el período de oscilación. (b) Seguidamente se conectan los resortes en fila, uno a continuación del otro, y al extremo se conecta el bloque anterior(Fig.1.23b). Nuevamente se hace oscilar el sistema sin fricción. Calcule el nuevo período. (c) Si ahora se conecta uno de los extremos de cada resorte a caras opuestas del bloque y los extremos libres a paredes opuestas, calcule el nuevo período (Fig.1.23c).

5.  El pistón de un motor oscila con un MAS dado por la

π2 F=−

16 [

N] .

4.  La partícula pasa por el origen a los 2s, y cuando t = 4s, su velocidad es de 4 m/s. Halle la ecuación del desplazamiento.

expresión x = 5   cos ( 2 t + π / 6 ) , donde x está en centímetros y t en segundos. Obtenga: (a) Los valores iniciales de la posición, velocidad y aceleración del pistón.; (b) el período y movimiento.

la

amplitud

del

6.  La posición de una partícula está dada por la expresión

x = 4 cos ( 3πt + π ) , donde  x  está en metros y t   en segundos. Determine: (a) la frecuencia y el período del movimiento, (b) la amplitud del movimiento, (c) la constante de fase y (d) la posición de la partícula cuando t  =  = 0.25 s. 7.  Dos bloques cuyas masas son

m1 = 440g   y m 2 = 450g   se cuelgan de sendos resortes, los cuales se estiran 10,5 cm y 10 cm respectivamente cuando los sistemas quedan en equilibrio. A continuación se jalan hacia abajo 18 cm y se sueltan desde el reposo. Calcule: (a) El recorrido de cada bloque transcurridos 15 s. ¿En qué sentido se está moviendo cada uno? (b) El instante en el cual ambos sistemas se encuentran en las mismas condiciones que en t=0? Figura 1.23

 

  46 8.  La lenteja de un péndulo simple de 612.5 mm de longitud se desplaza hasta que la varilla de éste forma un ángulo de θ0 = 5 ° con la vertical. Si se suelta el péndulo en esta posición, se pide: (a) hallar el ángulo θ formado por la varilla y la vertical en un instante cualquiera; (b) determinar la frecuencia de la oscilación; (c) calcular la distancia recorrida por la lenteja del péndulo durante un período; (d) hallar la velocidad angular y la aceleración de la lenteja en el centro de la trayectoria. 9.  El balancín de un reloj vibra con una amplitud angular de

π 20

radianes y un período de 0.5

segundos. Calcular: (a) la longitud del balancín; (b) la máxima velocidad angular; (c) la velocidad angular cuando su desplazamiento es de π 40  radianes.

10.  Un objeto de 500 g unido a un resorte de constante de fuerza 8 N/m vibra en movimiento armónico simple con una amplitud de 10 cm. Calcule: (a) los valores máximos de la rapidez y aceleración, (b) la rapidez y aceleración cuando el objeto está a 6 cm de la posición de equilibrio, y (c) el intervalo necesario para que el objeto se mueva de x = 0 a x = 8 cm. 11.  Un bloque de 1 kg está unido al extremo de un resorte horizontal. El otro extremo del resorte está fijo a la pared. Inicialmente, el resorte es estirado10 cm. A continuación se suelta el bloque desde el reposo moviéndose sobre la superficie sin fricción. El siguiente instante en que la rapidez del cuerpo es cero, es 0.5 s después. ¿Cuál es la máxima rapidez del cuerpo?

12.  Una banda elástica cuelga de uno de sus extremos, que está fijado a un punto A. Una masa de 1 kg unida al otro extremo, llega al punto B, siendo la longitud AB, 16 cm mayor que la longitud natural de la banda. Si la masa es posteriormente colocada en una posición, 8 cm por encima de B y soltada, ¿cuál será su velocidad cuando pase por la posición B? 13.  Un bloque de masa desconocida está unido a un resorte de constante de rigidez 6.5 N/m y experimenta experiment a un movimiento armónico simple con una amplitud de 10 cm. Cuando el bloque está a la mitad entre su posición de equilibrio y el punto extremo, su rapidez medida es de 30 cm/s. Calcule (a) la masa del bloque, (b) el período del movimiento y (c) la aceleración máxima del bloque. 14.  Un péndulo simple de 1 m de longitud hace 100 oscilaciones completas en 204 segundos, en un cierto lugar. ¿Cuál es el valor de la aceleración de la gravedad en ese punto? 15.  Un cuerpo oscila con movimiento armónico simple a lo largo del eje x. Su posición varía con el tiempo según la ecuación

 

x = ( 4 m ) cco os  πt +

π

 

4

(t en segundos y los ángulos en radianes). Determine: (a) la amplitud, frecuencia y período del movimiento; (b) velocidad y aceleración del cuerpo en cualquier instante t; (c) posición, velocidad y aceleración del cuerpo en t = 1 s; (d) la máxima rapidez y máxima aceleración del cuerpo y (e) el desplazamiento del cuerpo entre t = 0 y t = 1 s.

 

  47 16.  Un bloque de 200 g está unido a un resorte horizontal y ejecuta un movimiento armónico simple con un período de 0.25 s. Si la energía total del sistema es de 2 J, encuentre (a) la constante de rigidez del resorte y (b) la amplitud del movimiento. 17.  Un OAS se mueve con una amplitud A0. Si se duplica la amplitud determine los cambios en (a) el período, (b) la velocidad máxima, (c) (c) la aceleración máxima máxima y (d) la energía total. 18.  Una partícula ejecuta un movimiento armónico simple con una amplitud de 3 cm. ¿En qué posición su velocidad alcanzará la mitad de su máxima velocidad? 19.  Un auto que viaja a 3 m/s tiene una pequeña peque ña protube protuberancia rancia semiesférica en uno de los cauchos. El conductor de otro auto situado detrás del primero, observa que la protuberancia ejecuta un movimiento armónico simple. Si el radio de los cauchos del primer auto es de 0.3 m, ¿cuál es el período de oscilación de la protuberancia? 20.  Una partícula gira en sentido contrario a las manecillas de un reloj en un círculo de radio 3 m con una rapidez angular constante de 8 rad/s. En t = 0, la partícula tiene una coordenada x de 2 m y se mueve a la derecha. (a) Determine la coordenada x como función del tiempo; (b) hállense los componentes x de la velocidad y aceleración de la partícula en cualquier tiempo t. 21.  Un punto se mueve en una circunferencia con una celeridad constante de 50 cm/s. El período de una vuelta completa es 6 s. Para t = 0 la recta que va del punto al centro de la circunferencia forma un ángulo de 30°  con el eje x. (a) Obtener la ecuación de la

coordenada x del punto en función del tiempo, en la forma

x = A cos ( ωt + α ) , conocidos los valores numéricos de A, ω  y α. (b) hallar los valores de x, dx/dt, 2 2   d x/dt , para t = 2 s. 22.  Un bloque de masa m1  = 9 kg se encuentra conectado al extremo de un resorte cuya constante de rigidez es de 100 N/m. El otro extremo del resorte se encuentra conectado a la pared. Inicialmente el sistema masa-resorte se encuentra en equilibrio. Un segundo bloque de masa m2   = 7 kg es empujado lentamente contra m1, comprimiendo el resorte en una cantidad A = 0.2 m. El sistema se suelta entonces, y ambos objetos comienzan a moverse hacia la derecha sobre lam superficie sin fricción. Cuando 1  está pasando por la posición de equilibrio, m2  pierde contacto con m1  y se mueve a la derecha con rapidez v. (a) Determine el valor de v. (b) ¿Cuál es la separación entre los bloques cuando el resorte se estira por completo por primera vez? (Sugerencia:  Determine el período de oscilación y la amplitud del sistema formado por m1 y el resorte después que m2 pierde contacto con m1). 23.  Comprobar diferencial por

que

la

ecuación

d 2 y / dx 2 = −ky tiene solución

y = A cos ( kx ) + B sen ( kx ) , siendo A y B constantes arbitrarias. Demostrar también que esta solución puede escribirse en la forma

y = C cos ( k kx x + φ ) = C R  e e



 j ( kx +φ )

 

= Re ( Ce jφ ) e jkx   y expresar C y φ en función de A y B.

 

  48 24.  Una masa al extremo de un muelle oscila con una amplitud de 5 cm y una frecuencia de 1 Hz (ciclos por segundo). Para t = 0, la masa está en su posición de equilibrio (x = 0). (a) Hallar las ecuaciones posibles que describen la posición de la masa en función del tiempo en la

27.  Dos vibraciones sobre la misma recta vienen descritas por las ecuaciones:

forma x = A cos ( ωt + φ ) , dando

perturbación resultante durante un período de la pulsación.

los valores numéricos de A, ω  y α. (b)¿Cuáles son los valores de 2 2 x, dx/dt, d x/dt , para t = 8/3 s? 25.  Escribir las expresiones siguientes en la forma z = Re  Ae



t ( ωt+ φ )

: 

a) z = sen ωt + cos ωt  

 

b) z = cos  ωt −

π

 − cos ωt   3

c) z = 2 sen ωt + 3 cos ωt   d) z =   π  sen ωt − 2 cos  ωt −  + cos ωt   4  26.  Una partícula está sometida simultáneamente a tres movimientos armónicos simples de la misma frecuencia y en dirección x. Si las amplitudes son 0.25, 0.20 y 0.15 mm, respectivamente, y la diferencia de fase entre el primero y segundo es 45°, y entre el segundo y tercero es 30°, hallar la amplitud del desplazamiento resultante y su fase relativa respecto al primer componente (de amplitud 0.25 mm).

y1 = A cos 10πt y 2 = A cos 12πt

 

Hallar el período de batido y dibujar un esquema cuidadoso de la

28.  Hallar la frecuencia del movimiento combinado en cada una de las siguientes vibrac vibraciones: iones:

(

a) sen 2 πt −

)

2 + c  os ( 2πt )  

 

b) sen (12 πt ) + cos  13πt −

π

 

4

c) sen ( 3t ) − cos ( πt )   29.  Dos vibraciones perpendiculares vienen descritas por las ecuaciones:

x = 10 cos ( 5πt )

 

y = 10 cos 10πt +

π 



3

Construir la figura de Lissajous del movimiento combinado 30.  Construir las figuras de Lissajous de los movimientos siguientes: a)  x = cos 2ωt , y = sen 2ωt   b)  x = cos 2ω t, y = cos

π   2ωt −  4 

  c)  x = cos 2ωt , y = cos ωt 

Osciladores eléctricos 31.- Un inductor de 1,48 mH en un circuito RCL, acumula una energía máxima de 11,2 µJ. ¿Cuál es la corriente máxima?

cerca del límite superior del rango audible de frecuencias?

32.- Los osciladores RCL han sido usados en un circuito conectado a unos altavoces para crear algunos sonidos de la “música electrónica”. ¿Cuál es la inductancia que deberá ser usada con con un ccapacit apacitor or de 6,7

33.- Considere el circuito que se muestra en la figura. Con el interruptor S1 cerrado y los otros dos abiertos, el circuito tiene un tiempo constante Tc. Con el interruptor S2  cerrado y los otros dos abiertos, el circuito posee un tiempo constante Tl. Cuando el

µF para producir una frecuencia de 10 kHz,

interruptor S3  está cerrado y los otros dos

 

  49 abiertos, el circuito oscila con un período T . Demuestre que T = 2π TC TL .

37.- Un inductor está conectado en paralelo con un capacitor que al cual se le puede variar su capacitancia al hacer girar una perilla. Se desea que la frecuencia de las oscilaciones del circuito RCL varíe linealmente con el ángulo de rotación de la perilla, “cambiando” de 200 a 400 kHz

34.- Sea un inductor de 10,0 mH y dos capacitores, uno de 5,00 µF y el otro de 2.00 µF de capacitancia. Calcule las frecuencias resonantes que pueden generarse al conectar estos elementos en distintas combinaciones. combinaciones.

mientras la perilla rota 180 grados. Si  L  = 1,0 mH, haga una gráfica de C como función del ángulo para la rotación de 180 grados.

35.- En un circuito RCL, donde L = 52,2 mH y C = 4,21 µF, la corriente está inicialmente al máximo. ¿Cuánto tiempo pasará hasta que el capacitor se cargue completamente por primera vez? 36.- En el circuito que se muestra en la figura, el interruptor ha estado en la posición a  por mucho tiempo. Se mueve a la posición b. (a) Calcule la frecuencia de la corriente osciladora resultante. (b) ¿Cuál será la amplitud de las oscilaciones de la corriente?

38.- En un circuito RCL, tenemos que L = 24,8 mH y C = 7,73 µF. Cuando t = 0, la corriente es de 9,16 mA, la carga del capacitor es de 3,83 µC, y éste último se está cargando. (a) ¿Cuál es la energía total del circuito? (b) ¿Cuál es la carga máxima del capacitor? (c) ¿Cuál es la corriente máxima? (d) Si la carga del capacitor viene dada por q = q m  cos(ωt+φ) ¿Cuál es el ángulo de fase (e) Supongamos que los datos son losφ ?mismos, salvo que el capacitor se está descargando cuando t = 0, ¿Cuál vendría a ser el ángulo de fase φ? 39.- En la figura, el capacitor de 900 µF inicialmente está cargado con 100 V, y el de 100 µF se encuentra sin carga. Explique detalladamente cómo se podría cargar con 300 V el capacitor de 100 µF manipulando solamente solamen te l os interruptores S1 y S2.

 

  51

Capítulo 21 Oscilador Armónico Amortiguado Oscilaciones libres amortiguadas En el capítulo anterior estudiamos las oscilaciones libres de un sistema físico que realiza un movimiento armónico simple ideal, donde la energía total permanece constante y el sistema oscilará indefinidamente. El desplazamiento está representado por una curva sinusoidal de amplitud máxima constante. Pero en un sistema físico real, existen siempre características disipativas mediante las cuales se va perdiendo p erdiendo la energía mecánica involucrada en la oscilación. Los elementos del sistema físico que presentan estas características son llamados elementos de amortiguamiento y se supone que no tienen inercia ni medios de almacenar o liberar energía potencial. Como resultado, el sistema experimenta una resistencia a moverse, El movimiento mecánico impartido a estos elementos se convierte en calor o sonido y, por lo tanto, se les denomina elementos no conservativos o disipativos porque el sistema no puede recuperar esta energía. Este efecto de pérdida de energía se observa inmediatamente en la disminución de la amplitud de oscilación o scilación y el movimiento se denomina Movimiento Amortiguado.

Figura 2.1 Oscilador amortiguado

Existen muchos ejemplos de oscilaciones amortiguadas: Cuando escuchamos un diapasón, como resultado de la energía comunicada al aire y de éste a nuestros oídos, podemos notar la disminución del sonido a medida que avanza el tiempo; la amplitud de

 

  52 un péndulo que oscila libremente siempre disminuirá con el tiempo a medida que pierde energía. En la figura 2.2 ilustramos algunos ejemplos d dee osciladores amortiguados.

Figura 2.2 Ejemplos de osciladores amortiguados: (a) y (c) osciladores mecánicos; (b) oscilador eléctrico

En estos sistemas amortiguados, la presencia de la resistencia al movimiento significa que, además de la fuerza restauradora, existen fuerzas no conservativas (llamadas también disipativas, retardadoras o de amortiguamiento) que retardan dicho movimiento. El caso más común involucra fuerzas disipativas, como la fuerza de rozamiento, proporcionales a la velocidad.  &   F = −bx

Ec.(2.1) 

donde b es la constante de proporcionalidad, llamada también coeficiente de amortiguamiento o coeficiente resistivo, y tiene dimensiones de fuerza por unidad de velocidad. La presencia de este término siempre resultará en pérdida de energía El signo menos implica que el sentido de esta fuerza es contrario al sentido de la velocidad y, como el movimiento ocurre en el sentido de la velocidad, se podría decir que la fuerza se opone siempre al movimiento.

Podemos entender la acción de la fuerza de amortiguamiento si recordamos la experiencia de moverse dentro del agua, por ejemplo cuando estamos en una playa o piscina, tratando de alcanzar una pelota; mientras más rápido tratemos de movernos, más difícil resultará el movimiento. El agua actúa como un elemento de resistencia que

 

  53 se opondrá siempre a nuestro movimiento. También tenemos la experiencia de estar en un auto y pasar por un hueco o bache en la calle; a mayor mayor rapidez más fuerte será el impacto en los amortiguadores del auto y éste se moverá más bruscamente (con todo lo que haya dentro). Por eso el conductor prudente reduce la velocidad antes de pasar por una irregularidad del suelo. Para el estudio del movimiento amortiguado utilizaremos el sistema masaresorte del capítulo anterior, añadiéndole un elemento resistivo, como se muestra en la Figura 2.3.

Figura 2.3 Sistema amortiguado masa-resorte

Al separar el sistema de su posición de equilibrio estático, el nuevo balance de fuerzas o ecuación de movimiento vendría a ser:

∑ F =  − bx& − kx = m&x&  

;

Reordenando Reordenando nos queda

m&x& + bx& + kx = 0  

Ec.(2.2)

La ecuación (2.2) es una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden con coeficientes m, b y k constantes. La solución de esta ecuación es una función x(t) que representa el comportamiento del sistema amortiguado. Pero primero veamos algunos ejemplos.

Ejemplo 7: Sistema amortiguad amortiguadoo masa-resorte El análisis del sistema amortiguado que se muestra en la Figura 2.4.a se hará tomando en cuenta todas las fuerzas que actúan sobre la masa, debidas a la combinación com binación de resortes y elementos resistivos a los cuales está unida.

 

  54  

Figura 2.4: (a) Sistema amortiguado; (b) Diagrama de fuerzas aplicadas a la masa; (c) Sistema amortiguado equivalente

En el diagrama de cuerpo libre de la figura 2.4.b aparecen dichas fuerzas. En la figura figura 2.4.c se observa el sistema equivalente. Aplicando las leyes de la dinámica y tomando en cuenta sólo las fuerzas en la dirección x (movimiento restringido al eje x) tenemos

∑F

=  − b1 x& − b 2 x& − k1x −

k 2 k 3 k 2 + k 3

&x&   x=m mx

Sacando factor común y reordenando



k 2 k 3 



k 2 + k 3 

m&x& + ( b1 + b 2 ) x& +  k1 +

x = 0  

Llamando be   a la constante de amortiguamiento equivalente y k e   la constante de rigidez (o elasticidad) equivalente

b e = b1 + b 2  

k e = k 1 +

k 2 k 3 k 2 + k 3

 

y sustituyendo sustituyendo en la ecuación diferencial del sistema o ecuación de movimiento m&x& + b e x& + k e x = 0  

Para hallar la solución de la ecuación diferencial (2.2) procederemos como en el capítulo anterior: proponemos una solución, la derivamos dos veces y la sustituimos en la ecuación diferencial de movimiento. Como sabemos que el sistema debe oscilar, bajo

 

  55 ciertas condiciones, y además la amplitud de oscilación disminuye con el tiempo, la solución propuesta debe ser una combinación de una función periódica (igual a la del OAS) y una exponencial decreciente. Por otra parte, ya observamos, en el capítulo anterior, que una función exponencial con exponente imaginario es una función pe perriódica. Por todas estas razones, proponemos la siguiente función periódica como solución de la ecuación (2.2): (En el Anexo A se describe el método general para la solución de la ecuación diferencial homogénea de segundo orden con coeficientes constantes. Asimismo, en el Anexo C presentamos el método exponencial complejo para resolver la ecuación 2.2) x ( t ) = Ce αt  

Ec.(2.3) 

C es una constante con las mismas unidades unidad es de x  y α tiene unidades de inverso de tiempo. Tomamos las derivadas primera y segunda temporales de la ecuación (2.3) y las sustituimos en la ecuación diferencial (2.2) αt

x& = αCe

&x& = α 2 Ceα t

Ce

αt

 

2

(mα + bα + k ) = 0  

Ec.(2.4)

En la ecuación (2.4) tenemos el producto de dos términos igualados a cero. Si esta ecuación ha de satisfacerse para todo valor de t, mα 2 + b α + k = 0  . siendo ésta una ecuación cuadrática que nos permitirá obtener el término α  de la solución propuesta en función de los elementos m, b y k característicos del sistema físico bajo estudio.

Resolviendo la ecuación cuadrática en α obtenemos

α1,2 = Podemos notar que

−b 2m

±

b2 4m

2

−

k  m

 

Ec.(2.5) 

b / 2 m   y ( k / m )1/2   tienen dimensiones de inverso de tiempo tal

como esperábamos, ya que el exponente e

αt

debe ser adimensional. adimensional.

Sustituyendo la ecuación (2.5) en la ecuación (2.3) obtenemos la expresión para el desplazamiento

 

  56

−

x1,2 = C e

 



b 2m

b

t ±

k  

2

 4m 2 

−

m 

t



 

Como ya es sabido, el número de constantes permitidas en la solución general de una ecuación diferencial siempre es igual al orden de la misma. En este caso la ecuación (2.2) nos señala que debe haber dos constantes, por lo que podemos escribir la solución x(t) como la suma de ambos términos términos

t +

2m

x = x1 + x 2 = C1e

1 2

2

b

−

 b    4m

2

−

k    t m 

 

+ C2e

−

b 2m

t −

 b2   4m 2 

1 2

−

k  

 t 

m

 

Ec.(2.6) 

donde las constantes C1  y C2 

tienen las mismas dimensiones de C y estarán

determinadas por las condiciones iniciales. Debemos prestar especial atención a la cantidad subradical (

b2 4m

2

−

k  m

)  ,

la cual puede ser positiva, cero o negativa, dependiendo de la magnitud relativa de los dos términos que la integran. Estos, a su vez dependen de las características y magnitud de los elementos constitutivos del sistema. Las tres condiciones posibles de la cantidad subradical darán origen a tres posibles soluciones; cada una de éstas describe un comportamiento particular. Discutiremos estas soluciones siguiendo el orden en el cual nombramos las condiciones y nos concentraremos en la tercera solución, ya que es la correspondiente correspondien te al a l Oscilador Amortiguado. Amortiguado.

Caso 1:

(

b2 4m

2

>

2

=

k  )   Amortiguamiento Fuerte o m

Sobreamortiguado. Caso 2:

(

Caso 3:

(

b

2

4m

b2 4m 2

<

k  m

)   Amortiguamiento Crítico.

k  )   Amortiguamiento Débil, Subamortiguado u m Oscilador Amortig Amortiguado uado

 

  57

Caso 1: Amortiguamiento Fuerte o Sobreamortiguado Sob reamortiguado Aquí el término relacionado con el amortiguamiento resistivo b2 / 4m 2  domina al término relacionado relacionado con la elasticidad o ri rigidez gidez k/m, y el sistema sobreamortiguado sobreamortiguado no realizará oscilaciones. Escribiremos el exponente, u sando los siguientes cambios 2

p= b   2m

q=

y

b 2 − k  ≤ p   4m m

Sustituyendo en la ecuación (2.6), nos queda la expresión

x=e

−p t

(C1e

q t

+ C 2e− q t )  

Ec.(2.7)

En el capítulo 1 aprendimos que una función exponencial con exponente imaginario, es una función periódica. En este caso, la exponencial nunca es imaginaria porque p y q son positivas. positivas. Concluimos entonces que, un sistema sistema con amortiguamiento fuerte, no realiza oscilaciones. La ecuación (2.7) representa el comportamiento del sistema sobreamortiguado. Muchas veces ocurre que no podemos representarnos mentalmente, a partir de la ecuación obtenida, cuál será el comportamiento c omportamiento de un sistema. Necesitamos reescribir la ecuación con funciones conocidas equivalentes, que cumplan con las condiciones iniciales. Así lo hicimos en el capítulo 1 con la solución general de OAS y en el caso de superposición de oscilaciones oscilaciones con frecuencias distintas.

Si ahora introducimos los términos F = C1 + C2  y G = C1 − C 2 , la ecuación (2.7) quedará expresada como G qt p t F q t q t q t  x = e−  ( e + e − ) + ( e - e − )    2 2  Recordando que x

senh x =

e − e 2

−x

x

 , cosh x =

e + e 2

−x

 

podemos reescribir la ecuación (2.7)

x = e− p t  F cosh ( qt ) + G sinh ( qt )   

Ec.(2.8)

 

  58  

Vamos a detenernos un momento para analizar esta expresión. Aquí tenemos las

funciones coseno hiperbólico y seno hiperbólico, ambas afectadas (multiplicadas) por una función exponencial decreciente. ¿Podemos representarnos el comportamiento con esta última expresión?

Sabemos que estas funciones representan un comportamiento no oscilatorio, tal como se esperaba, pero el desplazamiento dependerá de las condiciones iniciales (o de borde), es decir, el valor de x en el instante t = 0 . Si imponemos las condiciones iniciales x = 0 en t = 0 , entonces F = 0 , − x (0) = 0 = e 0  F cosh ( 0 ) + G sinh ( 0 )   





y

−b

t



x = Ge 2m se s enh 

b

2 2

 4m

−

k  

t   m 

Ec.(2.9) 

La gráfica de esta función se muestra en la figura 2.5 para dos valores de la constante de amortiguamiento b

Figura 2.5 Gráfica del desplazamiento vs tiempo de un sistema fuertemente amortiguado para las condiciones iniciales

x = 0 en t = 0  y para b1 0

Ec.(2.17) 

 

  66  

Figura 2.8 Gráfica del movimiento oscilatorio amortiguado para

φ = π 2.

Se muestran las amplitudes A0, A1, A2, para t = 0, T, 2T respectivamente

Aplicando logaritmo natural a ambos miembros de la ecuación (2.17) obtenemos

log e

A0 A1

= δ 

El decremento logarítmico δ es el logaritmo de d e la razón de dos amplitudes de oscilación que están separadas sólo por un período, siendo el numerador la amplitud más m ás grande ya que e δ > 1 .

Similarmente, para t = 2T b(2T) A0 = e 2m = e2δ   A2

aplicando logaritmo natural, log e

A0   = 2δ   A 2

Y, en general, para t = nT

 

  67   b(nT) A0 = e 2m = enδ An

log e

A0

 

= nδ

An

Ec.(2.18)

Experimentalmente podemos obtener el valor del d el Decremento logarítmico δ  de un oscilador, midiendo las amplitudes que estén separadas entre sí por n períodos y graficando log e

A0 An

 

versus n para diferentes valores de n. La gráfica que se obtenga debe ser una recta ya que la ecuación (2.18) es lineal. La pendiente de esta recta es el Decremento δ .

Tiempo de Relajación o Módulo de Decaimiento. Otra manera de expresar el efecto resistivo es mediante el tiempo transcurrido hasta que la amplitud decae de cae desde su valor inicial A0 hasta un valor A 0e− = 0, 368A 0   1

Este tiempo es llamado tiempo de relajación o módulo de decaimiento y es característico de todos los los sistemas con comportamiento comportamiento de tipo exponencial. exponencial. Para obtener este tiempo tiempo de relajación utilizamos la ecuación (2.14)

A(t ) = A 0e

−

b t 2m

= A0e−1  

Esta amplitud se logra en un tiempo 2m . Ec.(2.19) t= b Medir el decaimiento natural en términos de la fracción e−1  del valor original es un procedimiento normal en física. El tiempo para que el proceso natural de decaimiento llegue a cero es, por supuesto, teóricamente teóricamente infinito.

Factor de Calidad o Valor Q de un OAS Amortiguado. Este método mide la tasa a la cual la energía decae. Se determina el tiempo que requiere para que que la 1 e energía disminuya a de su valor inicial. Utilizamos la ecuación (2.15)

 

  68

E( t ) = E0 e

 

−

b m

t

 

donde E 0 es el va valo lorr d dee la energ energía ía en t = 0 . El tiempo que tarda la energía E en decaer a E 0 e−1  viene dado por t = m / b = τ durante el cual el sistema habrá oscilado un número de ciclos determinado

  ′τ ) por el argumento del coseno coseno de la ecuación (2.16) cuando sustituimos ( ω′t ) por ( ω rad. Se define el factor de calidad Q=

ω′ m

= ω′ τ  

b

como el número de oscilaciones, medida en radianes, rad ianes, que realiza el sistema hasta que la energía decae a −1

E = E0e  

Como b es pequeño para un oscilador subamortiguado, subamortiguado, entonces Q es muy grande y k



m

b

1/2

2

 k   ω′ ≈ ω0 =   m  

4m 2  

Por lo tanto escribimos, para una aproximación cercana, ωm Q = 0 = ω0 τ b

Ec.

que es una constante del sistema amortiguado. Ya que b / m  ahora es igual a ω0 / Q  (b pequeños) podemos reescr r eescribir ibir la ecuación (2.15) en función del factor de calidad Q como sigue

E = E 0e ( − b / m ) t = E 0 e

−ω0 t /Q

 

Podemos relacionar Q con la pérdida relativa de energía por po r ciclo

 ∆E       E ciclo de la siguiente manera. Derivamos la ecuación (2.15) con respecto al tiempo t iempo

E( t ) = E0 e dE

−

b m

t

b

dt = − m E 0e

  −

b m

t

b

= − m E 

 

  69 Reescribimos la expresión anterior de la siguiente manera

−dE E

=

b m

dt  

Si la amortiguación es suficientemente débil para que la pérdida de energía por ciclo sea pequeña, podemos reemplazar dE por ∆E y dt por el período T , donde T = 2π ω0   La pérdida relativa de energía será

   ∆E   b  2πb     = T= E m ω m 0  ciclo Sustituyendo la ecuación (2.20) en la expresión anterior

   ∆E     2π     = E Q  ciclo

Ec.(2.21) 

Dicho de otra manera: El hecho de d e que Q  sea una constante ( = ω0 m / b) implica que la relación energía almacenada en el siste tem ma Q =   en ener ergía gía perd perdid idaa por cicl ciclo od dee osc oscil ilac ación ión 2π

es también una constante. El factor de calidad Q   juega un rol muy importante en el estudio del fenómeno de resonancia. En primer lugar está está relacionado con el ancho de banda de absorción de un oscilador armónico, forzado a oscilar con una frecuencia cercana a su frecuencia natural de oscilación ω0. Asimismo, represen representa ta el factor po porr el cual el desplazamiento del oscilador es amplificado al resonar. También podemos escribir la frecuencia exacta de un oscilador subamortiguado

ω’ en función del factor de calidad Q.

 b2    ω′ = − =ω − = ω 1 − 2 2 2 2  0 m 4m 4m  4m ω  2

k

b2

2 0

b2

2 0

 

  70 y, como Q = ω0 m b  



1 



4Q 2 

ω′2 = ω02 1 −

 

Si Q es grande, ω′ ≈ ω0   Asimismo, podemos escribir la ecuación diferen d iferencial cial de movimiento en función de Q y ω0 &x& +

ω0 Q

x& + ω02 x = 0  

Ejemplo 9: Estudio del factor de calidad Q y la pérdida de energía de un sistema amortiguado. Cuando se pulsa la cuerda La (440 Hz) de la guitarra se observa que la mitad de la energía se pierde en 4 segundos. (a) ¿Cuál es el tiempo de relajación τ de la energía?; (b) Obtenga el factor de calidad Q de esta cuerda; (c) ¿Cuál es la pérdida de energía por ciclo de oscilación? Utilizaremos la expresión de la energía contenida en la ecuación e cuación (2.15)

E( t ) = E0 e

−

b m

t

= E 0e

−

t

τ

 

(a)  Para calcular el tiempo de relajación utilizaremos el hecho que en t = 4 s, la energía inicial E 0 ha de decaí caído do a la mitad, mitad, es es decir decir, E 0 2 . Introduciendo estos valores en la ecuación anterior

E ( τ) = 1 2

E0

= E 0e

2

=e

−

4

−

4

τ

 

τ

aplicamos logaritmo natural (loge) a ambos lados de la expresión y despejamos τ  log e 2 =

4

τ

s

4s

τ = log 2 = 5.77s e

 

 

  71

  (b)  Utilizamos la ecuación (2.20) para calcular el factor de d e calidad Q Q = ω0 τ = 2π( 440s −1 )(5.77s) Q = 15.95 *1 *10

3

 

(c) Para calcular la pérdida de d e energía por ciclo de oscilación, utilizaremos la ecuación 2.21

   ∆E     2π = 3.93*10−4     =  E ciclo Q Sería interesante conocer cuánto ha disminuido la amplitud de la oscilación a los 4 segundos. Para esto utilizaremos la ecuación (2.14)

A( t ) = A e

−

b t 2m

0

  Sustituyendo en la ecuación anterior los datos t = 4s b m = 1 τ = 0.173

 

obtenemos A( t ) = A 0e

0.173 3 2) − ( 0.17

= 0.71A 0

 

Comparando la disminución de ambas magnitudes a los 4s E( t = 4s) = 50%E 0

 

A( t = 4s) = 71%A 0 Encontramos que la energía decae d ecae más rápidamente

 

  72

Energía Disipada Hemos observado que la presencia de una fuerza resistiva o amortiguadora reduce en el tiempo la amplitud de oscilación a medida que la energía es disipada.

La energía total sigue siendo la suma de la energía cinética y la energía potencial, tal como lo vimos en el oscilador armónico simple

E tot =

1 2

2

mx& +

1 2

2

kx  

Pero, a diferencia de éste, dE/dt es diferente de cero, ya que la energía se pierde en cada ciclo de oscilación. Si diferenciamos la energía dE dt

=

d 1 1 2 2 mx& + kx  = x& ( mx& + kx )    dt  2 2 

y utilizamos la ecuación diferencial del oscilador amortiguado, m&x& + bx& + kx = 0  ⇒ m &x& + kx = −bx&  

obtenemos la variación de la energía relacionada con la fuerza amortiguadora dE dt

 &   = − bx

con lo cual se comprueba que la pérdida de energía (observe el signo negativo) se debe precisamente a la fuerza resistiva o amortiguadora. También es válido decir que es la razón o rapidez a la cual se hace trabajo en contra de la fuerza resistiva.

 

  73 PROBLEMAS

Osciladores amortiguados mecánicos 1.- Un objeto objeto de 2 kg cuelga de un resorte de constante k = 400 N/m. El sistema oscila con una amplitud inicial de 3 cm. Si la

del sistema amortiguado; (b) porcentaje de disminución de la amplitud en cada ciclo de oscilación; (c) intervalo que transcurre

energía disminuye en 1% por período, hallar la constante de amortiguamiento b y el factor Q.

hasta que la energía del sistema decae a 5% de su valor inicial.

2.- Una masa de 5 kg se cuelga de un resorte de constante elástica 80 N/m y longitud sin estirar prácticamente nula. Se baja lentamente la masa sometida a la acción de la gravedad hasta que el sistema queda en equilibrio. Hallar: a) Longitud en reposo del resorte estirado por el peso de dicha masa. b) Si een n estas condiciones condiciones se hace oscilar la masa verticalmente, calcule la frecuencia de las oscilaciones. c) Se desplaza la masa 1 cm por debajo de su posición de reposo y se le imprime una velocidad inicial hacia abajo de 2 cm/s. Calcule la energía total del movimiento armónico. e) Calcule la amplitud del movimiento en cm y la velocidad máxima en cm/s. f) Calcule la máxima fuerza restauradora y la aceleración máxima del 2 movimiento en cm/s . g) El sistema es disipativo y se observa que la amplitud de oscilación al cabo de 1 minuto es de 1cm. Calcule el tiempo de relajación (constante de tiempo). h) Calcu Calcule le el porcentaje de la energía total que el sistema pierde en cada oscilación. i) Suponiendo que el el sistema se considera detenido cuando su amplitud es menor de 1mm ¿Cuántos minutos tardará en detenerse?

5) Considere un oscilador amortiguado. Suponga que la masa es de 375 g, la constante del resorte es de 100 N/m, y b  = 0.100 N•s/m. (a) ¿Cuánto tarda la amplitud en caer a la mitad de su valor inicial? (b)¿Cuánto tarda la energía mecánica en caer a la mitad de su valor inicial? (c) Demuestre que, en general, la cantidad fraccionaria a la que la amplitud disminuye en un oscilador armónico amortiguado, es la mitad de la cantidad fraccionaria a la que disminuye la energía mecánica. 6) Una masa de 2 kg estira un muelle 49.05 cm hasta llegar a la posición de equilibrio. La constante de amortiguamiento del sistema es de 8 5 kg/seg. Si la masa se desplaza 10 cm hacia abajo del punto de equilibrio y en esta posición se le imprime una velocidad de 2 m/seg en el mismo sentido, (a) Hallar la posición de la masa en cualquier instante, (b) Determine cuándo llegará a su máximo desplazamiento respecto de la posición de equilibrio, (c) ¿Qué tipo de amortiguamiento tiene este oscilador?.

4) Un bloque de masa 10 kg oscila en el extremo de un resorte vertical cuya 4 2 constante de rigidez es 2 x 10   kg/s . El efecto de resistencia del aire está dado por

7) La suspensión de un vehículo pesado es un sistema amortiguado representado por un modelo como el de la figura. El vehículo se desplaza con velocidad constante v y choca con una irregularidad que se encuentra en su camino, lo cual genera un desplazamiento vertical inicial de 0.2m y una velocidad inicial de 0.1m en la base. Si la masa del vehículo es de 5000 kg, la rigidez del resorte es 2800 kN/m y el coeficiente de amortiguamiento de la fuerza b es 18 kN.s/m, determine (a) La expresión del desplazamiento; (b) ¿Cuánto tiempo

el coeficiente de amortiguamiento b = 3 kg/s. Calcule: (a) frecuencia de oscilación

transcurre hasta que el sistema regresa a su posición de equilibrio?

3) Un péndulo de masa 100 g y longitud 1 m, se suelta desde un ángulo inicial de 27 -2 x10   rad. Después de 1000 s, su amplitud -2 ha sido reducida por fricción a 9 x10   rad. ¿Cuál es el valor del coeficiente de amortiguamiento b?

 

  74  

8) Se cuelga un objeto de masa 0.2 kg de un muelle cuya constante es de 80 N/m. Se somete el objeto a una fuerza resistiva - bv. Si la frecuencia del oscilador amortiguado ω´ es 3 2 el valor de ω. (a) Calcule el valor de la constante b; (b) Halle el factor de calidad Q del sistema; (c) ¿En qué factor se reducirá la amplitud del sistema después de 10 ciclos completos? 9) Cuando se pulsa la tecla “do” del piano (256 Hz) su energía de oscilación disminuye a la mitad de su valor inicial en 1 segundo. (a) Calcule el factor de calidad Q del sistema. Si se pulsa la tecla correspondiente a una octava más alta (512 Hz), se observa que emplea el mismo tiempo para perder su energía (tiempo de relajación). ¿Cuál es su Q? 10) Un objeto de masa 1.2 kg oscila sobre un muelle de constante k = 600 N/m. El sistema pierde el 3% de su energía en cada ciclo de oscilación. ¿Cuál es el valor del factor de calidad Q del sistema?

4

de elasticidad k = 2.05x10 N/m. El coeficiente de amortiguamiento b es de 3 N.s/m. (a) ¿Cuál es la frecuencia del oscilador amortiguado?; (b) ¿En qué porcentaje disminuye la amplitud con cada ciclo de oscilación?; (c) ¿Qué tiempo se necesita para que la energía disminuya   hasta 5% de su valor inicial? 13) Un oscilador armónico amortiguado consta de un bloque de 1.91 kg unido a un resorte de constante k = 12.6 N/m. Si la amplitud inicial es de 26.2 cm y disminuye a tres cuartas partes de su valor inicial después de 4 ciclos completos, halle el valor de la constante b y la energía perdida en ese intervalo.

Osciladores amortiguados eléctricos 14) Se tiene un circuito serie RLC con un resistor de resistencia R = 7.22 Ω, un inductor L =C 12.3 H y µun capacitor dedeinductancia capacitancia = 3.18 F. Inicialmente el capacitor tiene una carga de 6.31 µC y la corriente en el circuito es cero. Calcule la carga del capacitor cuando hayan transcurrido N ciclos completos, con N = 5, 10 y 100. 14) En un circuito LC de capacitancia 12 µF e inductancia 220 mH halle la resistencia que se requiere conectar en serie para que la carga máxima disminuya hasta 99% de su valor inicial en 50 ciclos. 15) La frecuencia natural de oscilación de

11) Un péndulo simple de 1 metro de longitud se encuentra inicialmente formando un ángulo de 15º con la vertical. Luego de 1000s, su amplitud angular se ha reducido a 5.5º. ¿Cuál es el valor de b/2m?

12) Un objeto de 10.6 kg oscila en el extremo de un resorte vertical, de constante

un circuito LC de capacitancia C1  e inductancia L1  es ω0. La frecuencia natural de oscilación de otro circuito LC de capacitancia C2 e inductancia L2 también es ω0. ¿Cuál será la frecuencia natural de un circuito en serie formado por estos cuatro elementos?

 

  75

CONCLUSIONES •  La utilización de este libro como texto para el aprendizaje y la comprensión del tema tratado, ha llevado al estudiante cursante de la asignatura Física Moderna y Ondas, a comprender y asimilar los conceptos emitidos en el libro, lo que se evidencia a través de las pruebas de respuestas múltiples y/o pruebas de respuesta verdadero o falso justificadas, aplicadas durante el dictado de la materia.

•  Asimismo, el estudiante pone en evidencia su comprensión a través del lenguaje utilizado para representar la idea o imagen conceptual del fenómeno físico estudiado.

•  Por otra parte, la utilización de programas de computación para simular el comportamiento de los sistemas físicos estudiados, a partir de las funciones obtenidas para cada caso, resulta de gran ayuda en la comprensión de estos sistemas. Esto se logra exhortando al alumno a utilizar estos recursos en el trazado de los gráficos de cada función e introduciendo en el plan de evaluación la realización de tareas relacion relacionadas adas con el tema tratado. t ratado.

•  La abundancia de ejemplos presentes en este libro significan una ayuda en la ocasión de hacer la representación mental del sistema físico o los conceptos estudiados.

•  El uso de las analogías en el análisis, la comprensión y resolución de sistemas físicos permite practicar la transferencia de conceptos de las situaciones que son físicamente diferentes, permitiendo el uso de soluciones conocidas a nuevos problemas. •  El lenguaje y nomenclatura sencillos utilizados en este libro, permiten al estudiante seguir de una manera fácil y coherente la lectura y los conceptos presentes en él.

•  Por último, los problemas propuestos en cada capítulo, tomando en cuenta el enfoque de cada uno de ellos, están diseñados para llevar al estudiante directamente a la aplicación de los conceptos aprehendidos en el desarrollo del tema

y

la

aplicación

de

las

analogías

correspondientes.

 

 

 

 

ANEXOS

 

  79

Anexo A  Método de resolución de  de Ecuación diferencial lineal homogénea de 2do orden con coeficientes constantes Sea la ecuación diferencial d iferencial homogénea A2

d2 y

+ A1

dx 2

dy dx

+ A0 y = 0  ; {A2, A1 , A 0 = cttes )

El método consiste de los siguientes pasos: 1) Se construye la ecuación polinómica característica sustituyendo la derivada de orden n

n por p .

(A p 2

2

+ A1p + A 0 ) y = 0  

La cual se cumple para todo t si A 2p 2 + A1p + A 0 = 0  

2) Una vez hallado el polinomio, se determinan d eterminan sus dos raíces

p± =

−A1 ± A12 − 4A 0 A 2 2A 2

 

3) Teniendo en cuenta la cantidad subradical, tendremos tres casos diferentes: diferentes: a) A12 − 4 A 0 A 2 > 0   Las dos raíces son reales y distintas p+ y pLa solución de la ecuación diferencial es y( t ) = C1e

p+ t

+ C2 e

p− t

 

donde C1 y C2 son dos constantes arbitrarias. arbitrarias.

b) A12 − 4 A 0A 2 = 0   Las dos raices son reales e iguales p+ = p- = p La solución de la ecuación diferencial es

 

  80   y(t ) = C1e

p+ t

+ C2 e p − t  

c) A12 − 4A 0 A 2 < 0   Las dos raíces son complejas complejas y conjugadas conjugadas p ±  = p ±  jq  

Utilizamos las ecuaciones de Euler cos cos x =

eix + e −ix 2 e − e− ix ix

sen x =

 

2i

y escribimos la solución en la forma pt





p = e C1 co cos ( qt ) + C2 sen (qt q t )   pt = e A co cos ( qt + φ ) ±

La relación entre las constantes arbitrarias C1  y C2  con A y φ se determinan usando la identidad trigonométrica cos(a + b ) = cos a co cos b − sena senb , de forma que desarrollamos A cos ( qt + φ ) = A cos qt cos φ − As enqt senφ  

y comparando con la solución que incluye a C 1 y C2 , tenemos

C1 = A cos φ   C2 = −A senφ

Solución de la ecuación del oscilador armónico a rmónico simple En este caso especial, la ecuación diferencial es &x& +

El polinomio asociado es

k  m

x = 0 

 

  81

 

 2 k   p + m x = 0   

que tiene por raíces p± = ± −

k

= ± j

m

k 

 

m

La solución será

 k   t + φ  m   

x ( t ) = A cos 

 

  82

 

  83

Anexo B Series de Taylor y de Maclaurin Definiciones: Sea f una función con derivadas de todos los órdenes en todo un intervalo que contenga a  como un punto interior. Entonces la serie de Taylor generada por f en x = a es ∞

∑ k =0

f (k ) (a ) k!

k 

(a )( x − a ) + ( x − a ) = f (a ) + f ′(a

+L +

f

(n )

(a )

n!

f ′′ "(a ) 2!

 

n

(x − a) + L

La serie de Maclaurin generada por f es ∞

∑

f

k =0

(k )

(0 )

k!

k

x = f ( 0) + f  ′( 0) x +

f ′′ "( 0) 2!

2

x +L+

f

(n )

(0 )

n!

n

x +L 

la serie de Taylor T aylor generada generada por f en x = 0  

 Ejemplo 1  1 

Hallar la serie de Taylor Taylor y los polinomios de Taylor generados por

f ((x x ) = cos x en x = 0 .

Solución 

El coseno y sus derivadas derivad as son f ′( x  ) = −senx ,

f ((x x ) = cos x x,, f ′′(x  ) = − cos x, M

f(

2n )

f ′′′( x  ) = senx,

 

(x ) = (−1)n cos x,

M

f

( 2n +1)

En x = 0 , los cosenos son 1 y los senos son 0, por lo cual

f

( 2n )

n

(0) = ( −1) ,   f

( 2n +1)

( 0 ) = 0.  

La serie de Taylor generada por f en 0 es

( x ) =  (−1)n +1 senx.

 

 

  84 f ′′(0)

f (0) + f ′(0)x +

2! x

= 1 + 0.x −

x +

f ′′ '( ' (0 ) 3!

2 3

2!

= 1−

2

x

+ 0.x +

2

2!

+

x

x +L+

4!

+ L + ( −1)

+ L + (−1)n

∑ n =0

f

n

(−1) x

x

(n )

(0 )

n!

4

4

4! ∞

=

x

3

x

n

n x +L

2n

( 2n ) !

+L  

2n

+L

( 2n ) !

2n

.

(2n)!

 Ejemplo 2  2 

Mostrar que la serie de Macla Maclaurin urin para cos cos x converge a cos x para toda x

Solución 

Sumamos el término residual al polinomio de Taylor para cos x, y

obtene obte nemos mos la fórm fórmula ula de Taylor Taylor para cos x, con con n = 2k : 2

4

2k

 

cos x = 1 − x + x −L + (−1)k  x + R 2k  (x ).   2! 4! ( 2k ) ! Dado que las derivadas del coseno tienen un valor absoluto menor o igual que 1, el teorema de estimación del residuo con M = 1 y r = 1 resulta R 2k  ( x) ≤ 1⋅

x

2k +1

. 

( 2k + 1) !

 → ∞ . Por tanto, la serie converge a cos x para Para todo valor de x, R 2k  → 0 cuando k  → todo valor de x ∞

cos x =

∑ k =0

(−1) k x 2 k ( 2k ) !

x2

= 1− 

2!

+

x4 4!

−

x6 6!

+L 

 

  85

  Anexo C Método de exponente complejo para resolver la ecuación diferencial del sistema amortiguado Partiendo de la ecuación diferencial del oscilador amortiguado desarrollada en el capítulo 2 m&x& + bx& + kx = 0  

Ec.(C.1)

y recordando que podemos representar el oscilador armónico como la proyección de un vector en rotación o fasor que describe un MCU, admitiremos que x es la parte real del fasor z , x = Re {z} , en donde z satisface la ecuación (C.1) m&z& + bz& + kz = 0  

Ec.(C.2)

Como ya sabemos, una exponencial compleja es una función periódica por lo que proponemos una solución de la forma  j ( s  t + φ )

z = Ae

 

en donde A yφ son constantes que utilizaremos utilizaremos para ajustar los valores dados dados por las condiciones iniciales (valores iniciales de desplazamiento y velocidad). Derivando y sustituyendo en la ecuación (C.2) (C.2 ) tenemos

   j ( s t + φ )

2

( − ms + jbs + k ) Ae

= 0 

Como la ecuación anterior debe cumplirse para todo tiempo t,

− ms 2 + jbs + k = 0   Llamaremos γ =

b m

2   y ω0 =

k  m

, con lo que la ecuación anterior nos queda

−s 2 + jγ s + ω02 = 0  

Ec.(C.3)

Observamos en primer lugar una ecuación cuadrática en el término s, por lo tanto debemos obtener dos soluciones. En segundo lugar, s debe ser complejo ya que, si

 

  86 fuera real puro, el segundo término de la izquierda, j γ s, s, sería una magnitud imaginaria pura y no tendría con quien anularse o compensarse y la ecuación (C.3) no se cumpliría. Escribimos s en la forma compleja s = q + jp   donde q y p son reales, y sustituimos sustituim os en la ecuación (C.3),

−q 2 − 2 jqp + p2 + jγq − γp + ω20 = 0   Podemos separar la parte real de la imaginaria y así obtenemos dos ecuaciones Parte real:

−q 2 + p 2 − γp + ω02 = 0  

(1)

Parte imaginaria:

−2 jqp + jγq = 0  

(2)

De la ecuación (2) obtenemos el valor de p

p=

γ  2

 

Sustituimos este valor en la ecuación ( 1) y obtenemos el valor de q 2

2 0

q =ω −

γ 2 4

 

A continuación podemos escribir el número complejo s 2 0

s= ω −

γ2 4

γ  +  j   2

Finalmente sustituimos en la solución 1    γ2  2 γ   2   j   ω0 −  + j  t + φ   4  2     

 

z = Ae Aplicando la propiedad distributiva en el exponente

z=

1    2 γ 2  2   γ   j  ω0 − 4  t + φ − t        Ae 2 e 

Hacemos 1

 2 γ 2  2 ω′ =  ω0 −  ≤ ω0   4   con lo que la solución nos queda

 

 

  87

 

z = Ae

γ 

−

t 2  j [ω′t + φ]

e

= Ae

−

b 2m

t

e

j [ω′t + φ]

,

Sabiendo Sabien do que ei θ = cos θ + jsenθ  podemos escribir z = Ae Finalmente, como

−

b 2m

t

[cos(ω′t + φ) +  jsen (ω′t + φ)]  

x = Re {z}   x = Ae

−

b 2m

t

cos(ω′t + φ)  

La gráfica de esta función se muestra en la Figura C.1 para φ=0

Figura

C.1

Gráfica del Oscilador Amortiguado con φ=0

Los ceros de esta función se encuentran separados una cantidad constante ∆t igual a medio período, o

ω′ ∆t = π

 

  88

 

  89  

Anexo D Algunos programas desarrollados en matlab relativos al contenido del libro. lib ro.

Ejercicio 1. Oscilador Amortiguado Amortiguado

t=0:0.01:10*pi y1 = sin(t)

; %rango de valores de t   ; %funcion seno argumento t 

y2 = exp(-0.1*t) .* cos(t) amortiguado  y = exp(-0.1*t);  %plot(t,y1) plot(t,y2)

;% funcion para graficar oscilador

; grafica la funcion seno  ; %grafica de un oscilador amortiguado 

hold   )  plot(t,y,'-') plot(t,y,'-' y4=-y  plot(t,y4,'-') plot(t,y4,'-' )  figure   y3 = exp(-0.1*t) .* sin(t) plot(t,y3)  hold   )  plot(t,y,'-') plot(t,y,'-' y4=-y  plot(t,y4) 

; 

 

  90

 

 

  91 Ejercicio 2. Sistema Amortiguado %Sistema Amortiguado. %datos del sistema:k,m,b, sistema:k,m,b,G G  k=5;   m=5;   G=5;   %Para amortiguamiento fuerte, b>10;para amortiguamiento débil, amortiguamiento débil, b=10;para amortiguamiento d ébil, b> a: o si se desea trabajar en un directorio c:\work >> cd c:\work Para la versión 6.5, se puede cambiar de directorio de trabajo haciendo clic sobre la lista que se encuentra en la barra b arra de herramientas y que tiene p por or nombre Current directory  (figura 2).

 

 108

 

Figura 2

Cambiando de directorio de trabajo

 Eligiendo do un direc directorio torio de trabajo Figura 3  Eligien

Si se se hace clic en el icono aparece la pa pantalla ntalla que se muestra en la fig figura ura 3, y en ella se p puede uede naveg navegar ar y seleccionar el directorio de trabajo deseado. Aún cuando la versión 6.5 acepta nombres de directorios largos, es conveniente respetar la convención de nombrar los directorios con hasta 11 caracteres y evitar los espacios; como por ejemplo Mis documentos que su nombre MS Dos es Misdoc~1; y este detalle es muchas veces causa de error.

Ajuste de curvas, gráficos logarítmicos y gráficos semilogarítmicos Suponga que mide la altura h  del crecimiento de un cultivo. La altura (medida en cm) es una función del tiempo (en días). Suponga que se mide la altura una vez al día y se obtienen los siguientes datos: t (días) h (cm)

1 2 5.2 6.6

3 7.3

4 5 8.6 10.7

 

 109 Para graficar estos datos en MATLAB, debemos representarlos como arreglos unidimensionales; a los cuales también se les llama vectores vectores.. Escriba los siguientes comandos: >> t=[1 2 3 4 5] >> h=[5.2 6.6 7.3 8.6 10.7] No omita el espacio que sigue a cada dato (pruebe escribir una , entre dato y dato; ¿cuál es la diferencia?). Para graficar, empleamos el comando plot de d e la siguiente manera: >> plot(t,h,’ro’) El argumento ’ro’ del comando plot MATLA MATLAB B dibuja un circulo rojo en cada dato. Esto es opcional, puesto que si se omite, MATLAB une los puntos mediante segmentos de línea recta. Haga la prueba. Si ahora usted escribe: >> plot(t,h,’k+’) Para cambiar los límites de los ejes, de forma que se muestren claramente todos los puntos, podemos forzar a MATLAB a tomar los intervalos [0,6] en  x y de [0,15] en  y. Para ello escribimos: >> axis([0 6 0 15]) Al inspeccionar la gráfica construida, ¿le parece que h(t ) es una función lineal? Aún cuando no parece exactamente  una línea recta, parece que hay una relación lineal del crecimiento con respecto al tiempo. ¿Cómo poder conocer la función lineal que mejor se ajuste a los puntos? MATLAB posee un comando que permite ajustar los puntos a una línea recta. Escriba: >> polyfit(t,h,1) po lyfit(t,h,1) Como resultado, MATLAB regresa un par de números. El primero p rimero de ellos representa la pendiente de la línea recta (m) y el segundo la intercepción con el eje  y (b). Por lo tanto, el modelo corresponde a la forma  y = ax + b. Para graficar esta línea en la misma gráfica que contiene los puntos, escriba la siguiente secuencia de comandos: >> hold on >> x=0:0.5:6 >> y =a*x+b >> plot(x,y)

Recuerde sustituir los valores numéricos de a   y b por los que MATLAB ha calculado previamente al momento de escribir los comandos, si no lo hace, MATLAB marcará error puesto que las matrices a  y b  no están definidas. Alternativamente, puede definirlos al momento de hacer el ajuste si escribe e scribe lo siguiente:

 

 110   >> [a,b]=polyfit(t,h,1) [a,b]=polyfit(t,h,1) Al igual que en los ejercicios anteriores, coloque etiquetas a los ejes, y en el título incluya su nombre, grupo y fecha e imprima su gráfica. Ahora suponga que registra el crecimiento,  L  en cm,  de cierto roedor y que a su vez registra su masa, m en g. La siguiente tabla muestra los resultados obtenidos: t  (semanas) (semanas)  L (cm) m (g)

1 2 3 4 1.0 1.6 3.0 6.2 0.1 0.3 2.1 19.0

5 12.8 168.7

Defina los vectores  L y m: >> L=[1.0 1.6 3.0 6.2 12.8] >> m=[0.1 0.3 2.1 19.0 168.7] grafique L como función de t : >> hold off >> figure >> plot (t,L,’ro’) Observe su gráfica, ¿parece que los puntos se ajustan a una línea recta? Para poder ajustarlos a una recta, hagamos lo siguiente; grafiquemos los puntos con una escala semilogarítmica. Para ello, ejecute la siguiente sentencia: >> semilogy(t,L,’ro’) semilogy(t,L,’ro’) Ahora los datos deberán de observarse sobre una línea recta. Note que la escala horizontal (el eje de tiempo) es lineal y la escala vertical (el eje de crecimiento) es logarítmico. A este tipo de gráfica se le denomina semilogarítmica .  Empleando polyfit podemos encontrar la función que se ajusta a la línea que se muestra en la gráfica. Debemos recordar que  L  tiene una relación logarítmica (log10) con t . Entonces, se debe emplear el comando de la siguiente forma: >> polyfit (t,log10(L),1) Nuevamente MATLAB da como resultado un par de números. ¿Cómo interpretar estos resultados? De la siguiente manera: log L = at + b   dado que L está siendo graficado logarítmicamente. Para obtener L, tenemos: 10

log L

= 10( at +b)

 L = 10

( at + b )

 

 

 111   por lo tanto, el crecimiento de los roedores resulta aumentar exponencialmente con respecto al tiempo. Para verificar que nuestro modelo es correcto, pruebe lo sig siguiente: uiente: >> plot (t,L,’ro’) >> hold on >> x=[1:0.01:5] >> y=10.^(a*x+b) >> plot (x,y) >> hold off Nuevamente, no olvide sustituir los valores numéricos de a y b. Agregue etiquetas a los ejes y en el título incluya su nombre, grupo y fecha. Imprima su gráfica. Finalmente exploraremos la relación entre la longitud  L y la masa del roedor m. Para graficar L en función de m escriba: >> plot (L,m,’ro’) los puntos marcados por círculos rojos no parecen en esta ocasión ajustarse por medio de una línea recta. ¿Cómo poder aproximarlos a una línea recta? Grafíquelos probando una gráfica semilogarítmica, como por ejemplo: >> semilogy (L,m,’ro’) ¿Es ahora una línea recta? Pruebe graficar los puntos en una gráfica log-log (logarítmica).

>> loglog (L,m,’ro’) Sin duda, ahora los datos parecerán ajustarse a una línea recta. Note que en este ejercicio las escalas de ambos ejes son logarítmicas. Podemos emplear la función polyfit para encontrar la ecuación de esta recta, para p ara ello escriba: >> polyfit (log10(L),log10(m) (lo g10(L),log10(m),1) ,1) MATLAB obtendrá un par de valores que corresponde a la pendiente y la intersección con el eje y. Esto significa que los datos están relacionados de la siguiente manera:

   L + b log m = a log de aquí que entonces: 10 log m = 10 a  log L +b a log L

b

m = 10 ⋅a10   m = (10 log L ) ⋅ 10b

m =  La ⋅ 10b

 

 112   y por lo tanto: m = 10 b La  

lo cual quiere decir de cir que la masa del roedor debe d ebe de ser aproximadamente proporcional a la a potencia de su longitud. Para comprobar este modelo, hag hagaa lo siguiente: >> plot (L,m,’ro’) >> hold on >> x=[0:0.01:14] x=[0:0.01:14] >> y=10 ^b*x. ^a >> plot (x,y) >> hold off Nuevamente, no olvide sustituir los valores numéricos de a y b. Agregue etiquetas a los ejes y en el título incluya su nombre, grupo y fecha. Imprima su gráfica.

Definiendo variables simbólic simbólicas: as: funciones. Una de las principales características de MATLAB es que permite definir funciones de manera muy sencilla. Por ejemplo, la función lineal u ( t ) = 0.6t + 1.2   se define por medio del siguiente comando: >> u = inline(’0.6*t+1.2’,’t’) inline(’0.6*t+1.2’,’t’) con esto hemos especificado que la variable u  es función de t   y tiene la regla de correspondencia indicada. Debe tener cuidado de no omitir los símbolos ’’ y * o de lo contrario MATLAB indicará error. Evalue la función u(t) para varios valores. Para ello, escriba lo siguiente: >> u(1) para localizar la intercepción con el eje e je y escriba : >> u(0) Ahora usted evalúe la función en el punto pu nto x = 2.67 con co n MATLAB. Una característica más de MATLAB es que nos permite graficar la función. La forma más simple para hacerlo es empleando el comando ezplot. Usaremos esta herramienta para dibujar la grafica de la función  f ( x ) = 1.2 x  en el intervalo [0,2]. Para esto, debe escribir: >> ezplot(’1.2*x’,[0 ezplot(’1.2*x’,[0 2])

 

 113 Inmediatamente después de haber oprimido la tecla enter, debe surgir una ventana con la gráfica deseada. Note que el comando ezplot automáticamente elige una escala para el eje  y. Para etiquetar los ejes, haga clic sobre la bara de menus en la opción Insert  y ahí elija X Label o Y Label  (figura 4). Para insertar una leyenda, haga clic sobre el icono de la barra de herramientas; herramientas; y después haga clic sobre un punto del área del gráfico. Deberá aparecer un área sombreada, y ahí puede escribir la leyenda que desee. Puede hacer clic sobre esta y arrastrarla sobre el gráfico para colocarla en donde más le convenga.

Figura 4  Etiquetando los ejes ejes de

una gráfica

Para ver que sucede con la gráfica de la función  f(x)  si se le agrega una constante, grafiquemos la función g ( x ) = 1.2 x + 0.9 . Como deseamos comparar, para que ambas gráficas se presenten en una misma ventana de graficación, se debe ejecutar el comando: >> hold on y después: >> ezplot(’1.2*x+1.9’,[0 ezplot(’1.2*x+1.9’,[0 2]) Ahora grafique una tercera función a la cual ha modificado la pendiente, haciéndola más pequeña. Emplee ezplot para graficar la función h ( x ) = 0.5 x + 1.2  en el intervalo [0,2]. Finalmente grafique una función lineal con pendiente negativa. Emplee los comandos correspondientes correspondien tes para graficar graficar la función  j ( x ) = −0.4 x + 2  en el intervalo [0, 2]. Ejecute los comandos: >> hold off >> title ’Su nombre, grupo y fecha’ Guarde en un archivo e imprima su gráfica. Para hacerlo, haga clic en la barr barraa de menús

File y elija las opciones Save y Print.

 

 114 Examinando la gráfica que construyó, en algún punto de esta, las gráficas de las funciones h( x) y  j( x) se intersectan. Podemos usar MATLAB para encontrar las coordenadas ( x,y) de este punto. La coordenada  x  debe satisfacer la igu aldad 0. 0.5 x + 1.2 = −0.4 x + 2 . Para encontrarla, ejecute el siguiente comando: >> solve(’0.5*x+1.2=-0.4*x+2’) solve(’0.5*x+1.2=-0.4*x+2’)  x) o Para encontrar la coordenada  y podemos sustituir en cualquiera de las funciones h( x  j( x) la coordenada x encontrada. Para ello, podemos escribir:

>> 0.5*ans+1.2 ans es una variable que MATLAB genera inmediatamente después de haber completado un cálculo. Se debe tener cuidado cuando se trabaja con ella, pues se refresca cada vez que se ejecuta un comando. Esto puede dar pie a que se obtengan resultados erróneos, pues se puede emplear un valor diferente al que qu e se deseaba emplear. Para finalizar este ejercicio encuentre las coordenadas ( x,y) del punto donde se intersectan las gráficas de las funciones g( x) y j(  xx).

 

 115

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