Diagrammi Di Nyquist
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Diagrammi Di Nyquist...
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Ing. Mariagrazia Dotoli
Controlli Automatici NO (9 CFU)
Diagrammi di Nyquist
INTRODUZIONE Sia il generico sistema in retroazione in figura. È noto che la stabilità di un sistema di questo genere dipende dalla posizione nel piano di Gauss dei poli in anello chiuso della funzione di trasferimento G0(s), ossia delle radici della sua equazione caratteristica: 1 + GH(s) = 0 .
r +
y G(s) -
H(s) In particolare, sia il criterio di Routh che il metodo del luogo delle radici permettono di investigare la stabilità relativa di un sistema del tipo in figura nel dominio della variabile complessa s, indicando la distanza dei poli in anello chiuso dall’asse immaginario. Nel seguito introduciamo un criterio per analizzare la stabilità e la stabilità relativa di un sistema in anello chiuso nel dominio della frequenza o, più precisamente, della pulsazione ω. È noto che la risposta in frequenza di un sistema individua univocamente la risposta in regime sinusoidale, fornendo così informazioni sulla stabilità del sistema stesso. Poiché tale risposta in frequenza è facilmente determinabile sperimentalmente eccitando il sistema con un segnale sinusoidale, essa può essere utilizzata per investigare la stabilità del sistema quando alcuni suoi parametri sono fatti variare. Il criterio di stabilità nel dominio della frequenza cui si fa riferimento in questo capitolo è il criterio di stabilità di Nyquist, introdotto dallo stesso Nyquist nel 1932. Tale criterio mette in relazione la posizione dei poli in anello chiuso nel piano di Gauss con la funzione di risposta armonica in anello aperto del sistema, ossia con GH(j ). In particolare, quest’ultima viene rappresentata secondo la notazione cartesiana, ossia in termini di parte reale e parte immaginaria, attraverso i cosiddetti diagrammi di Nyquist o polari, in cui si rappresenta nel piano complesso la curva descritta dal generico punto complesso GH( jω) = Re ( GH( jω) ) + jIm ( GH( jω) )
al variare della pulsazione
nell’intervallo [0,+ ∞ [. 1
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Come con il metodo del luogo delle radici, anche con la tecnica che fa uso dei diagrammi di Nyquist non è necessaria la conoscenza dei poli in anello chiuso per lo studio della stabilità, ma questo può essere eseguito graficamente a partire dalla risposta in frequenza in anello aperto. Ne consegue che, grazie al criterio di stabilità di Nyquist, la risposta in frequenza determinata sperimentalmente può essere usata direttamente per lo studio della stabilità quando il sistema viene chiuso in retroazione.
DIAGRAMMI DI NYQUIST Il diagramma polare o di Nyquist di un sistema chiuso in retroazione è una rappresentazione nel piano di Gauss del valore della funzione di risposta armonica in anello aperto GH(jω), in termini di parte reale e parte immaginaria, al variare della pulsazione ω. Un esempio di diagramma polare, ottenuto con il software di calcolo Matlab, è riportato nella figura in basso, per la seguente funzione di risposta armonica, priva di poli nell’origine: 100 1 + jω G( jω) = 1 + jω
1 10
2
1 + jω
1 50
1 20
. 1 + jω
1 100
Nyquist Diagram
10
Im(G(jω)
0 -10
System: sys Real: -18.9 Imag: -13.4 Frequency (rad/sec): 15.9
-20 Imaginary Axis
System: sys Real: 100 Imag: 0 Frequency (rad/sec): 0
System: sys Real: -7.97 Imag: -0.196 Frequency (rad/sec): 27.1
-30
System: sys Real: 91.2 Imag: -34.5 Frequency (rad/sec): 1.52
System: sys Real: -16.9 Imag: -40.1 Frequency (rad/sec): 10.3
-40
System: sys Real: 80.1 Imag: -49.5 Frequency (rad/sec): 2.35
System: sys Real: -2.96 Imag: -58.1 Frequency (rad/sec): 7.84
-50 -60
System: sys Real: 36 Imag: -69.8 Frequency (rad/sec): 4.87
-70 -80 -40
Re(G(jω)
-20
0
20
40 Real Axis
2
60
80
100
120
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Rappresentiamo ora con l’ausilio del software Matlab il diagramma polare della seguente funzione di risposta armonica, che presenta un polo nell’origine: 1 50 . 1 1 1 + jω 1 + jω 20 100
500 1 + jω G( jω) =
jω 1 + jω
1 10
Nyquist Diagram
Im(G(jω) 0
-50
Imaginary Axis
Re(G(jω)
System: sys Real: -2.82 System: sys System: sys Imag: 1.26 Real: -31.5 Frequency (rad/sec): 31 Real: -51.9 Imag: -16 Imag: -63.6 Frequency (rad/sec): 5.26 Frequency (rad/sec): 9.47 System: sys Real: -59.8 Imag: -110 Frequency (rad/sec): 3.72
-100
System: sys Real: -65 Imag: -181 Frequency (rad/sec): 2.52
-150
-200
System: sys Real: -67.5 Imag: -275 Frequency (rad/sec): 1.74
-250
-300 -80
-70
-60
-50
-40
-30 Real Axis
-20
-10
0
10
20
Come si vede dai precedenti esempi, un generico punto del diagramma polare di una funzione di risposta armonica G(jω) (retroazione unitaria) o GH(jω) (retroazione non unitaria) mostra quindi come varia nel piano di Gauss il punto complesso GH(jω) al variare della pulsazione ω. Per tale ragione i diagrammi polari sono graduati nella pulsazione ω, ossia sono specificati sulle curve che li rappresentano i valori di ω corrispondenti ai vari punti, in numero sufficiente per una agevole interpolazione. Ciò consente una determinazione immediata di Re ( GH( jω) ) e Im ( GH( jω) ) , rispettivamente sull’asse delle ascisse e delle ordinate, e dunque della risposta in frequenza del sistema. Evidentemente, i diagrammi di Nyquist e quelli di Bode di una generica funzione di risposta armonica in anello aperto GH( jω) sono equivalenti: come i valori del modulo |G(jω)| e dell’argomento (G(jω)) della funzione di risposta armonica sono facilmente determinabili dal diagramma polare in funzione della pulsazione, permettendo una facile determinazione dei diagrammi di Bode dal diagramma di 3
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Nyquist di un sistema, è possibile determinare la parte reale Re ( GH( jω) ) e la parte immaginaria Im ( GH( jω) ) della funzione di risposta armonica dai diagrammi di Bode, cioè costruire, a partire da questi, il diagramma polare del sistema in esame.
TEOREMA DI NYQUIST Il teorema di Nyquist deriva da un teorema sulle variabili complesse dovuto a Cauchy, comunemente noto come “principio dell’argomento”. Si consideri una generica funzione della variabile complessa s=σ+jω q(s) =
(s − α1)(s − α 2 )...(s − α m ) (s − β1)(s − β2 )...(s − βn )
a coefficienti reali o complessi coniugati e a valori complessi, razionale fratta propria, anche non strettamente, ossia con m n. Tale funzione associa ad ogni punto nel piano complesso in cui essa è analitica, ossia ad ogni s=σ+jω in − {β1, β2 ,..., βn } , un valore complesso q(s)=u+jv. I punti del sottoinsieme {β1, β2 ,..., βn } si dicono punti di singolarità di q(s). In altre parole, q(s) mappa i punti del piano s o (σ,ω) in punti del piano q(s) o (u,v). Ne consegue che ad ogni contorno Γs del piano s che non passa per punti singolari corrisponde un contorno Γq del piano (u,v). Si consideri ora un generico contorno chiuso Γs del piano s. Una regione di tale piano è detta “inclusa” dal contorno Γs se il contorno la circonda in senso orario. Il principio dell’argomento afferma che, dato un generico cammino chiuso in senso orario Γs nel piano (σ,ω) che non passa per punti i singolarità di q(s), detti np e nz rispettivamente il numero di poli e di zeri di q(s) circondati da Γs, il fasore q(s), nel descrivere il contorno Γq nel piano complesso (u,v), contorna l’origine in senso orario un numero di volte pari a N =nz-np.
Ad esempio, con riferimento alle figure successive, e sorvolando sull’effettivo valore della funzione q(s) e sulle effettive forme dei contorni Γs e Γq, si ottiene che q(s) calcolata per i punti s∈ Γs disegna nel piano complesso (u,v) un contorno chiuso Γq che contorna l’origine un numero di volte N =nz-np=1-2=-1
ossia circonda l’origine una volta in senso antiorario. 4
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Γs
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jω
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jv
Γq
piano s
σ
piano q(s)
u
Il criterio di Nyquist discende dal principio dell’argomento e fa uso di un contorno Γs sul piano s, detto percorso di Nyquist, costituito dall’intero asse immaginario chiuso in senso orario da una semicirconferenza di raggio R infinito disposta nel semipiano destro, come in figura. jω
piano s
Γs
R → +∞
σ
Sia ora il generico sistema in retroazione in figura. r +
y G(s) -
H(s)
5
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Si consideri quindi come funzione q(s) la funzione a denominatore della funzione di trasferimento in anello chiuso del sistema, ossia q(s)=1+G(s)H(s). Evidentemente G(s)H(s) è la funzione di trasferimento di anello, supposta razionale fratta propria, nota e del tipo: G(s)H(s) =
(s − z1)(s − z 2 )...(s − z m ) . (s − p1)(s − p 2 )...(s − p n )
Ne consegue che: q(s) = 1 + G(s)H(s) = 1 +
(s − z1)(s − z 2 )...(s − z m ) (s − z '1)(s − z '2 )...(s − z 'n ) = . (s − p1)(s − p 2 )...(s − p n ) (s − p1)(s − p 2 )...(s − p n )
Evidentemente, la funzione q(s) ha poli coincidenti con i poli in anello aperto del sistema, mentre i suoi zeri, che sono le radici dell’equazione q(s)=0 (l’equazione caratteristica), sono i poli in anello chiuso del sistema. Supponiamo ora che q(s) non abbia poli sull’asse immaginario, in modo che il contorno Γs non contenga punti di singolarità di q(s) (questa restrizione verrà eliminata in seguito). Siano ora P e Z il numero di poli e zeri di q(s) (cioè di poli in anello aperto e di poli in anello chiuso rispettivamente) che sono inclusi nel contorno Γs. In altre parole, P e Z rappresentano rispettivamente il numero di poli in anello aperto e di poli in anello chiuso del sistema disposti nel semipiano destro. Per il principio dell’argomento, il contorno Γq o Γ1+GH nel piano complesso è caratterizzato da un numero di giri intorno all’origine pari a: N =Z-P.
Se dunque tracciassimo questo contorno, noti N (determinabile per via grafica) e P (dato per ipotesi) si potrebbe determinare Z e quindi analizzare la stabilità del sistema. Evidentemente, ottenendo Z non nullo si concluderebbe che il sistema in anello chiuso è instabile con Z poli nel semipiano destro, mentre Z=0 indicherebbe che il sistema in anello chiuso è privo di poli nel semipiano destro, dunque tutte le singolarità di q(s) sarebbero disposte o nel semipiano sinistro o sull’asse immaginario. Per evitare di tracciare il contorno Γ1+GH si ricorre ad un artificio. È banale l’identità G(s)H(s)=1+G(s)H(s)-1=q(s)-1 6
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Da tale identità consegue che il contorno ΓGH di G(s)H(s), immagine secondo G(s)H(s) del percorso di Nyquist nel piano s, è il contorno Γq traslato rispetto all’asse immaginario di una unità verso sinistra, ossia centrato non rispetto all’origine ma rispetto al punto -1+j0, che viene perciò detto punto critico. Ne consegue che, noto il contorno ΓGH di G(s)H(s), vale la relazione: N =Z-P
dove Z e P assumono l’interpretazione già data, mentre N è il numero di giri in senso orario del contorno di ΓGH rispetto al punto critico -1+j0. Vediamo ora come tracciare il contorno ΓGH. Si osserva che tale contorno è dato dai seguenti tratti: 1) l’immagine del semiasse immaginario positivo s=+jω secondo G(s)H(s) orientato nel senso delle pulsazioni ω crescenti da 0 a +∞ ; 2) l’immagine del semiasse immaginario negativo s=-jω secondo G(s)H(s) orientato nel senso delle pulsazioni ω crescenti da −∞ a 0; 3) l’immagine della semicirconferenza di raggio π π infinito con fase che varia da + a - secondo G(s)H(s). 2 2 Evidentemente, il primo tratto di tale contorno non è altro che il diagramma di GH(jω) nel piano complesso orientato al crescere delle pulsazioni positive, ossia il cosiddetto diagramma di Nyquist del sistema in anello aperto. Inoltre, il secondo tratto di tale contorno non è altro che il diagramma di GH(-jω) nel piano complesso orientato al crescere delle pulsazioni negative. È noto che risulta GH(-jω)=GH*(jω) e dunque tale parte del contorno è la curva data dal diagramma di Nyquist del sistema in anello aperto ribaltato rispetto all’asse reale, punteggiata nel senso delle pulsazioni negative crescenti. Infine, il terzo tratto del contorno si ottiene calcolando GH(s) sul semicerchio di π π raggio infinito s=Rejθ con R +∞ e θ variabile da + a - . Evidentemente, poiché 2 2 la funzione di anello GH(s) è propria, se essa è strettamente propria (m 0eµ ≠ 0 2 ( jω)µ 2 ω→0+ π −π − µ seK < 0eµ ≠ 0 2
In definitiva, se in anello aperto non vi sono poli nell’origine il diagramma parte da un punto sull’asse reale, in particolare sul semiasse reale positivo per K positivo, e su quello reale negativo per K negativo. Se invece la funzione di risposta armonica in anello aperto presenta poli nell’origine, allora il diagramma parte da un punto del piano di Gauss posto π all’infinito, con fase pari a −µ se il guadagno statico in anello aperto è positivo, 2 π pari a −π − µ in caso contrario. 2 REGOLA 2: ASINTOTO VERTICALE
Consideriamo il caso particolare in cui il sistema in anello aperto presenti un solo polo nell’origine, ossia
GH( jω) = K
ω2
2δ ∏ (1 + jTjω) ∏ 1 − 2 + j h ω ωnh ωnh j=1 h =1 p
q
v
w
ω2
2δk
jω ∏ (1 + jTiω) ∏ 1 − 2 + j ω ωnk ωnk i =1 k =1 ovvero
14
,
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GH( jω) = K '
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bm ( jω)m + bm −1( jω)m −1 + ... + b1( jω) + b0
( jω) ( a n ( jω)n −1 + a n −1( jω)n −2 + ... + a 2 ( jω) + a1 )
dove si è messo in evidenza che il termine noto della funzione di trasferimento di anello aperto a0 è nullo, essendoci in anello aperto un polo semplice nell’origine. π Per la regola 1, sappiamo che il diagramma di Nyquist parte con fase pari a ± , a 2 seconda del segno del guadagno statico K, da un punto del piano di Gauss all’infinito, essendo:
lim | GH( jω) |= +∞ .
ω→0+
Nonostante il modulo di GH(j0) sia infinito, la parte reale risulta sempre finita: lim Re ( GH( jω) ) = σ0 ∈ℜ ,
ω→0+
mentre la parte immaginaria assume valore infinito. lim Im ( GH( jω) ) = ±∞ .
ω→0+
Infatti, se studiamo il sistema in bassa frequenza si ha:
GH( jω) ω→0+
K ' b1( jω) + b0 − jK ' ( b0 + b1( jω) )( a1 − a 2 ( jω) ) ⋅ = ⋅ = jω a 2 ( jω) + a1 ω a 2 + a 2ω2
(
)=
=
=
− jK ' (b0a1 + b1a 2ω2 ) + jω ( b1a1 − b0a 2 )
(
ω a12 + a 22ω2 K ' ( b1a1 − b0a 2 ) a12 + a 22ω2 K ' ( b1a1 − b0a 2 ) a12
−j
)
( ) ω ( a12 + a 22ω2 ) ω→0
(1
2
)
K ' b0a1 + b1a 2ω2
+
b a K' −j 0 1 a12ω
che è un punto avente parte reale finita e parte immaginaria infinita per pulsazioni nulle. 15
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La situazione descritta è rappresentata in figura. Im{G ( jω)}
asintoto verticale
Re{G ( jω)} k01 (b 1 a µ − a 1 b 0 ) a µ2
La figura fa chiaramente riferimento al caso in cui risultare 00,
ma può evidentemente anche
REGOLA 3: COMPORTAMENTO ALLE ALTE FREQUENZE
Nell’ambito dell’intervallo [0,+∞[, consideriamo ora l’andamento del diagramma polare alle alte frequenze, ossia l’andamento di GH(jω) per ω→+ ∞ . Evidentemente si ha: q ω2 2δ |1 + jT ω | 1 − +j hω ∏ j ∏ ω2nh ωnh j=1 h =1 p
lim | GH( jω) |= lim | K |
ω→+∞
ω→+∞
v
= lim | K | ω→+∞
p q ω2 ∏ | jTjω | ∏ − 2 j=1 h =1 ωnh µ
v
ω2
k =1
ω2nk
p
w
j=1 v
k =1 q
i =1
h =1
2 ∏ | Tj | ∏ ωnk
= lim | K |
ω ∏ | jTiω | ∏ − 2 i =1 k =1 ωnk
= lim | K ' | ωm − n = ω→+∞
w
ω
ωµ ∏ |1 + jTiω | ∏ 1 − i =1
2
w
ω→+∞
| K ' |sem = n 0sem < n
Inoltre risulta:
16
2 ∏ | Ti | ∏ ωnh
+j
2δk ωnk
=
ω
ωp + 2q −µ− v − 2w = .
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p
lim arg ( GH( jω) ) = lim arg K
ω→+∞
ω→+∞
q
ω2
h =1
ω2nh
∏ (1 + jTjω) ∏ 1 −
j=1
v
q π p = K −µ + lim (1 + jTjω) + lim 2 j=1ω→+∞ h =1ω→+∞
−
v
lim
i =1ω→+∞
1−
ω2 ω2nh
+j
2δh ωnh
ω −
w
lim
k =1ω→+∞
1− 1−
2
w
ω
k =1
ω2nk
( jω)µ ∏ (1 + jTiω) ∏ 1 − i =1
+j
ω2 ω2nh
ω2 ω2nh
+j
+j
2δ h ωnh
2δh ωnh
2δh ωnh
+j
ω
2δk ωnk
= ω
ω −
ω
In definitiva, se la funzione di trasferimento in anello aperto ha grado del numeratore pari a quello del denominatore, allora il diagramma giunge per ω→+ ∞ in un punto al finito del piano di Gauss, con fase che dipende dal guadagno statico e dalle singolarità della funzione di trasferimento in anello aperto. Si può dimostrare che tale fase vale sempre 0 o – , ossia il punto di arrivo del diagramma per ω→+ ∞ è disposto sull’asse reale. Se invece la funzione di risposta armonica in anello aperto ha grado del numeratore inferiore a quello del denominatore, allora il diagramma giunge per ω→+ ∞ nell’origine del piano di Gauss, con fase che dipende dal guadagno statico e dalle singolarità della funzione di trasferimento in anello aperto. Applicando le note regole dei diagrammi di Bode delle fasi per ω→+ ∞ si deduce che in tal caso il diagramma termina nell’origine essendo tangente a uno degli assi, ossia con fase che vale sempre 0, o – /2, o – , o –3 /2. Osserviamo inoltre che i contributi di fase per ω→+ ∞ sono dovuti ai termini elementari descritti con i diagrammi di Bode, e sono dunque noti.
REGOLA 4: COMPORTAMENTO ALLE FREQUENZE INTERMEDIE
Nell’ambito dell’intervallo [0,+∞[, consideriamo ora l’andamento del diagramma polare per pulsazioni comprese tra i due estremi dell’intervallo. Si possono trarre ben poche conclusioni analitiche a proposito di tale andamento: la determinazione puntuale dell’andamento di GH(jω) per pulsazioni intermedie può essere fatta solo calcolando la sua parte reale e la sua parte immaginaria per diversi valori di ω. Si può comunque determinare il valore di GH(jω) in alcuni punti notevoli. 17
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Si individuano quindi le espressioni delle funzioni reali della pulsazione ω date dalla parte reale Re ( GH( jω) ) e dalla parte immaginaria Im ( GH( jω) ) della funzione di risposta armonica. Si determinano quindi le eventuali intersezioni di GH(jω) con gli assi coordinati, attraverso le equazioni:
Re ( GH( jω) ) = 0 , Im ( GH( jω) ) = 0 e si riportano sul diagramma i punti notevoli determinati. Quindi si studiano i segni delle funzioni Re ( GH( jω) ) e Im ( GH( jω) ) , individuando in quali quadranti del piano di Gauss si trova la curva rappresentativa del diagramma polare al variare dei valori della pulsazione .
REGOLA 5: DIAGRAMMA PER PULSAZIONI NEGATIVE
Abbiamo determinato l’andamento del diagramma polare di GH(jω) per pulsazioni ω che variano nell’intervallo [0,+∞[. Come è noto, è possibile definire la funzione di risposta armonica GH(jω) anche per pulsazioni ω negative, solo che per tali valori di pulsazioni il numero complesso GH(jω) non ha alcun significato fisico. Consideriamo quindi la funzione di trasferimento GH(s) del generico sistema chiuso in retroazione, cui è associata la funzione di risposta armonica in [0,+∞[: GH( jω) = GH(s) s = jω = Re ( GH( jω) ) + jIm ( GH( jω) ) . Per una nota proprietà della trasformata di Laplace, si ha: G(s*) = G * (s)
da cui GH(− jω) = GH ( ( jω) *) = GH * ( jω) = Re ( GH( jω) ) − jIm ( GH( jω) ) .
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In definitiva, il diagramma di Nyquist per ω∈]-∞,0] si ottiene semplicemente ribaltando rispetto all’asse delle ascisse il diagramma ottenuto per ω∈[0,+∞[. REGOLA 6: CHIUSURA ALL’INFINITO DEL DIAGRAMMA
L’ultimo passo per la determinazione del diagramma di Nyquist di una funzione di risposta armonica GH(j ) consiste nel chiudere la curva ottenuta per ω∈]-∞,+∞[. Ciò è necessario in quanto l’applicazione del teorema di Nyquist richiede la determinazione del numero di giri che il diagramma polare, percorso secondo le pulsazioni crescenti, compie in senso orario intorno al punto critico -1+j0. Ne consegue che la curva rappresentativa deve essere chiusa. Si può dimostrare che nel caso la funzione di trasferimento in anello aperto GH(s) non presenti poli sull’asse immaginario (e quindi non presenti neanche poli in anello aperto nell’origine) la curva che si ottiene rappresentando GH(j ) per ω∈]-∞,+∞[ è chiusa, dunque non occorre determinarne la chiusura. Se invece sono presenti poli sull’asse immaginario, è necessario effettuare la chiusura della curva. Nel seguito consideriamo unicamente la presenza di poli nell’origine in anello aperto, tralasciando il caso più raro di poli in anello aperto immaginari puri. Si può dimostrare analiticamente che la curva di chiusura del diagramma è una curva all’infinito, che ha verso di percorrenza orario. In particolare, partendo dal punto del diagramma polare corrispondente a 0- e tracciando la curva di chiusura fino al punto corrispondente a 0+, la chiusura compie tanti mezzi giri (cioè tante rotazioni di π), in senso orario intorno all’origine degli assi quanti sono i poli nell’origine. Quindi se =1 la chiusura avviene mediante una curva (che può essere approssimata mediante una semicirconferenza) che compie un mezzo giro in senso orario da 0- a 0+. Se invece =2 la chiusura avviene mediante una curva (che può essere approssimata mediante una circonferenza) che compie un giro completo in senso orario da 0- a 0+.
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ESEMPIO (RETE RITARDATRICE)
Tracciare il diagramma di Nyquist della rete ritardatrice: G(s) =
1 + ατs con τ>0 e 00∀ω>0
τ(1 − α)ω
(1 + τ ω ) 2 2
. 0
Non vi sono poli nell’origine, quindi non sono presenti asintoti verticali.
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Siamo ora in grado di tracciare il diagramma polare relativo alle pulsazioni positive. Si tratta di una curva disposta nel quarto quadrante del piano di Gauss che si può dimostrare essere una semicirconferenza. 0.2 0.1
→ +∞
0
=0
-0.1 -0.2 -0.3 -0.4 -0.5 -0.6 -0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Il diagramma relativo all’intervallo di pulsazioni negative si ottiene ribaltando, rispetto all’asse delle ascisse, quello ottenuto. Concludiamo che il diagramma polare qualitativo di G(jω) è il seguente. Nyquist Diagram
0.5 0.4 0.3
Imaginary Axis
0.2 0.1
→ −∞ → +∞
0 -0.1
=0
-0.2 -0.3 -0.4 -0.5 0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Real Axis
Il sistema è privo di poli sull’asse immaginario, dunque la chiusura all’infinito è assente: infatti la curva ottenuta è già chiusa. Osserviamo che il massimo ritardo introdotto dalla rete (e misurato positivamente) si ottiene semplicemente tracciando dall’origine degli assi il raggio vettore tangente al diagramma polare quando le pulsazioni sono positive. 22
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Si ha dunque:
r = (α + r)senϕm
1− α r 1− α 2 ϕm = arcsen = arcsen = arcsen 1− α α+r 1+ α α+ 2
0.2 0.1
1
0
ϕm
-0.1
r
-0.2 -0.3 -0.4 -0.5 -0.6 -0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
ESEMPIO (RETE ANTICIPATRICE PASSIVA)
Tracciare il diagramma di Nyquist della rete anticipatrice: G(s) = α
1 + τs con τ>0 e 00∀ω>0
.
>0∀ω>0
Non vi sono poli nell’origine, quindi non sono presenti asintoti verticali. Siamo ora in grado di tracciare il diagramma polare relativo alle pulsazioni positive. Si tratta di una curva disposta nel primo quadrante del piano di Gauss che si può dimostrare essere una semicirconferenza.
0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0
-0.2 -0.2
→ +∞
=0
-0.1
0
0.2
0.4
0.6
25
0.8
1
1.2
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Il diagramma relativo all’intervallo di pulsazioni negative si ottiene ribaltando, rispetto all’asse delle ascisse, quello ottenuto. Concludiamo che il diagramma polare qualitativo di G(jω) è il seguente. Nyquist Diagram
0.5 0.4 0.3
Imaginary Axis
0.2 0.1 0
→ +∞ → −∞
-0.1
=0
-0.2 -0.3 -0.4 -0.5 0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Real Axis
Il sistema è privo di poli sull’asse immaginario, dunque la chiusura all’infinito è assente: infatti la curva ottenuta è già chiusa. Osserviamo che il massimo anticipo introdotto dalla rete si ottiene semplicemente tracciando dall’origine degli assi il raggio vettore tangente al diagramma polare quando le pulsazioni sono positive. Si ha dunque:
r = (α + r)senϕm
1− α r 1− α 2 ϕm = arcsen = arcsen = arcsen 1− α α+r 1+ α α+ 2
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Ing. Mariagrazia Dotoli
Controlli Automatici NO (9 CFU)
Diagrammi di Nyquist
0.6 0.5 0.4 0.3 0.2
r
ϕm
0.1 0
1
-0.1 -0.2 -0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
ESEMPIO (RETE ANTICIPATRICE ATTIVA)
Tracciare il diagramma di Nyquist della rete anticipatrice: G(s) =
1 + τs con τ>0 e 00, τ1>τ2 e 00 .
Ing. Mariagrazia Dotoli
Controlli Automatici NO (9 CFU)
Diagrammi di Nyquist
mentre Im ( G( jω) ) = (1 − α )
( ατ2 − τ1 ) (1 − τ1τ2ω2 )
(
τ2 α 1 + 1 ω2 1 + α 2τ22ω2 α2
)
ω>0⇔
1 − τ1τ2ω2 ωm
poiché, essendo τ2
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