diagramas de momentos por partes

6.4. DIAGRAMAS DE MOMENTOS POR PARTES Para aplicar los teoremas del área de momentos se ha de poder calcular fácilmente, y con precisión, el área de cualquier parte de un diagrama de momentos, y el momento de dicha área con respecto a un eje cualquiera. Un procedimiento es, evidentemente, integrar las expresiones ʃMdx y ʃ x(Mdx) entre los límites apropiados, debiendo estar expresado M en función de x. Sin embargo, nuestro propósito es sustituir Ias integraciones por cálculos numéricos muy sencillos. Para ello se sigue un procedimiento que consiste en dividir cl diagrama de momentos en partes, cuyas áreas y centros de gravedad sean conocidos. Empezaremos, pues, por ver cómo se puede representar el diagrama de momentos flexionan tés de forma que se vea el efecto de cada carga por separado. En adelante lo llamaremos diagrama de momentos por panes, en lugar del diagrama que pudiera llamarse normal o convencional. Su construcción se basa en los dos principios fundamentales: 1. El momento flexionante producido en una determinada sección por un sistema de cargas es igual a la suma de los momentos flexionantes producidos en la misma sección por cada carga actuando por separado. Este principio se expresa algebraicamente mediante la ecuación:

En donde (∑M) izq. representa la suma de los momentos producidos por todas las fuerzas que actúan a la izquierda de la sección, y (∑M) der la suma de los momentos de todas las fuerzas que actúan a la derecha de la misma. 2. Et efecto en el momento flcxionante de cualquier carga individual es de la forma general:

El área y la posición del centro de gravedad se calculan fácilmente mediante Ias expresiones:

Siendo b Ia base y h Ia altura.

Para calcular el momento dei área dei diagrama de momentos, obsérvese que el momento del área dei diagrama convencional, figura 6-14e, equivale a la suma de los momentos de las áreas de sus partes componentes, tal como se representan en Ia figura 6-14c. Por tanto, como cada una de dichas áreas es el producto de un coeficiente de la Tabla 6-l por ias dimensiones del rectángulo circunscrito, y Ia posición dei centro de gravedad de cada parte viene dada por otro coeficiente de ia tabla por la base de este rectángulo, se puede obtener muy fácilmente el momento de las áreas con respecto a un punto cualquiera, C por ejemplo, con lo que resulta

La flotación Xc indica que el brazo de momento ha sido medido desde C. Por el Teorema II dei método dei área de momentos, este resultado mide el producto Eltc/a, siendo tC/A la desviación de C con respecto a la tangente trazada por A a la elástica. Una última observación. Con frecuencia no es necesario calcular las reacciones dei viga. En el ejemplo propuesto, y puesto que el momento flexionante en C ha de ser nulo, el momento de la reacción R1 en C, igual a 3R1, tiene que equilibrar momentos de -600N.m producido por las cargas

Se observará cómo la técnica de Ia representación dei diagrama de momentos por partes es realmente una interpretación gráfica dei procedimiento que se ha estudiado en la sección 6-2 para expresar la distribución general de momentos en toda la viga mediante una sola ecuación. En efecto, según aquel método, para la viga de Ia figura 6-15 Ia ecuación general de momentos es:

Si cada término dentro de los paréntesis angulares se sustituye por una nueva variable que tenga su origen en el punto donde empieza la carga, se deduce que cada sumando de Ia ecuación general de momentos es la distribución de momentos en una viga en ménsula de al guno de los tipos de la Tabla 6-1. Así, pues, sustituyendo (x — a1) por u, por v y (x — a3) por z, resulta

en donde, naturalmente, ias variables u, y y z no pueden tener signo negativo.