Un Diagrama de Bode es una representación gráfica que sirve para caracterizar la respuesta en frecuencia de un sistema. ...
Description
Diagrama de Bode
Diego Alejandro Villegas Oliveros Ingeniería Telemática Universidad Icesi
Diagrama de Bode • •
Es un diagrama logarítmico. Si H ( w) es la función de transferencia entonces w vs. H ( w) diagrama de magnitud. w vs. (w) ángulo de fase en frecuencia.
Diego Alejandro Villegas Oliveros
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Magnitud •
•
Una función de transferencia se puede representar con dos diagramas separados uno de la magnitud en función de la frecuencia (decibeles) y el otro del ángulo de fase (grados). La Magnitud logarítmica de G( jw) es 20 log10 G( jw) Decibel (db)
•
La unidad utilizada en esta representación es el decibel, abreviado usualmente como db.
Diego Alejandro Villegas Oliveros
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•
Además multiplicación de Magnitudes es una suma. log( AB) log A log B
•
•
Disponemos de las asíntotas de la curva original para bosquejar la curva. Se pueden representar las características de alta y baja frecuencia en el mismo diagrama. Diego Alejandro Villegas Oliveros
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Ángulo de fase
Punto de Inflexión
0º
e s a f e d o l u g n A
-45º
-90º
Frecuencia w Diego Alejandro Villegas Oliveros
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Factores Básicos 1. Ganancia k . 2. Fact Factor ore es int integ egra rale les s y der deriv ivat ativ ivos os 3. Factore ores de pri primer orden
1 ( jw jw )
(1 jwT ) 1
4. Factores cu cuadráticos 1 2
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( jw / w ) ( jw / w ) n
n
2
1
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•
Una vez familiarizado con el uso de estos diagramas logarítmicos de cada factor, se pueden usar para hacer uno compuesto para cualquier G( jw) H ( jw) trazando c u r v a s d e c ad a f a c to r y s um an d o g r áf i ca m e n t e l as curvas individuales, ya que sumar logaritmos de magnitudes equivale a multiplic licarlos entre sí. El proceso de obtener el diagrama logarítmico se puede simplificar más aun si se usan aproximaciones asintóticas a las c u r v a s d e c a d a f a c t o r .
G jw jw
10 jw jw 3
jw jw jw jw 2 jw jw jw jw 2 2
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Ganancia K •
•
•
La curva para 20log k 20log k es una línea recta horizontal para la ganancia k en la magnitud de , log k db. El ángulo de fase es cero. 20 Si se varía la ganancia k en la función de transferencia se eleva o desciende la curva del logaritmo para no afectar el ángulo de fase. Si aumentamos el valor numérico en factor de 10, el el valor en decibeles decibeles aumenta aumenta un factor de de 20. Diego Alejandro Villegas Oliveros
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Ganancia K
Si expresamos el recíproco de un número en decibeles
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20 log k 20 log
1 k
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Para tener en cuenta…
Eje imaginario
c a bi c a bi
tan tan
1
b a
a b 2
2
b
c = a+bi
b a
Ф
a
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Eje real
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Factor integral y derivativo
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.
1
jw jw
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1
jw Termino jw .
•
la magnitud logarítmica en decibeles es 20 log
•
1 jw
El ángulo de fase de -90º.
20 log w db
1 jw jw
es una constante igual a
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Mas conceptos
•
Octav Octava: a: ba banda nda de frec frecuen uencia cias s
•
Décad Dé cada: a: ban banda da de frec frecuen uencia cias s
•
La distancia
w1 3 a
w1 a 2w1
w1 a 10 w1
w1 30 es igual w1 1 a
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w1 10
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Gráfico •
El gráfico 20 log w db es una recta.
1 jw jw.
Pendiente
20
0
•
Pendiente 20db / década o 6db / octava
-20
-40 0.1
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1
10
100
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jw . Termino jw
•
la magnitud logarítmica en decibeles es 20 log jw 20 log w db
•
El ángulo de fase de
jw
es una constante igual a 90º.
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jw Gráfico jw .
•
El gráfico 20 log w es una recta.
db 40 20 Pendiente
0
•
Pendiente 20db / década o 6db / octava
(0.1,20) (1,0) (10,20) (100,40)
-20
0.1
1
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10
100
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1
jw . Angulo de fase jw
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n
w Factor j jw •
n jw jw
Para 1 20 log Magnitud logarítmica jw 90ºn Angulo de fase
n
•
.
20 n log w db
n jw jw
Para Magnitud logarítmica 90ºn Angulo de fase
20 log jw 20 n log w db n
P en di en t e s - 2 0n db / d éca da y 20n db / d éc ad a respectivamente y pasan por el punto (0 db en w =1). Diego Alejandro Villegas Oliveros
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Factores de primer orden
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1
1
jwT
..
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1
Termino 1 jwT . •
la magnitud logarítmica en decibeles es 20 log
•
•
•
Si
w
1 T
1 1 jwT
20 log 1 w2T 2 db
20 log 1 w2T 2 20 log 1 0 db
recta 0 db .
1
20 log 1 w2T 2 20 log wT db Si línea recta T con una pendiente -20 db/década (o -6 db/octava). w
Si
w
1 T
20 log 1 1 20 log 2 db 3,01 db
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20
Curva de logaritmo de la magnitud
1
1
jwT
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Angulo de fase •
El ángulo de fase de esta dado por
1
1
jwT
1
.
1
jwT jwT
Ф
Punto de Inflexión
tan w
1
0º
wT
-45º
1 T
-90º
( w) tan (0) 0 1
T 1 tan (1) 45º T
( w) tan 1
( w) 45º
1 / T
w
w
(w) tan 1 () tan( ( w)) 90º Diego Alejandro Villegas Oliveros
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El error 2 2 20 log 1 0 db 20 log 1 w T db 20 log wT db 0 -1 -2
-3
1 / 10T
1 / 2T
1 / T
2 / T
10 / T
Note corrección máxima 3db en w = 1/T
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Termino 1 jwT . •
la magnitud logarítmica en decibeles es 20 log 1 jwT 20 log 1 w2T 2 db 20 log
•
•
•
Si
w
1 T
1 1 jwT
20 log 1 w2T 2 20 log 1 0 db
recta 0 db .
1
20 log 1 w2T 2 20 log wT db Si línea recta T con una pendiente 20 db/década (o 6 db/octava). w
Si
w
1 T
20 log 1 1 20 log 2 db 3,01 db
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Curva de logaritmo de la magnitud 1 jwT
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Angulo de fase 1 jwT . •
El ángulo de fase de esta dado por
90º
tan 1 wT 45º
w
1 T 0.01 / T
1 (w) tan (0) 0 T (w) tan 1 tan 1 (1) 45º T
1 / T
10 / T
w ( w) tan 1 () tan( ( w)) 90 º
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Factor 1
n
1 jw jw
.
•
w
•
w
•
frecuencias altas, pendiente –20n I db/década o 20n db/década 1 ( 1 j wT ) El error es n veces el correspondiente a . 1 j wT ( 1 ) El ángulo de fase es n veces el de en cada punto de frecuencia.
Si 1 se pue ued de escri scribi birr como como do dos s de prim primer er orden con polos reales. Si 0 1 prod produc ucto to de do dos s fa fact cto ores res comp comple lejo jos s conjugados. Las aproximaciones asintóticas no son exactas para valores bajos de porque la magnitud y la fase del factor cuadrático dependen de la frecuencia de cruce y del factor de amortiguamiento . Diego Alejandro Villegas Oliveros
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Factor 1 2 ( jw / w ) ( jw / w ) . ˆ
•
n
ˆ
2 1
n
la magnitud logarítmica en decibeles es 2
w2 w 20 log 20 log 1 2 2 2 w w wn wn 1 2 j j w w n n 1
ˆ
ˆ
2
•
Si
2
2
w2 w 20 log 1 0db w wn 20 log 1 2 2 w wn n
recta 0 db .
2
2 w2 2 2 w2 w w 20 l og 40 l og w wn 20 log 2 2 db 2 2 w La w wn wn n n
•
Si línea recta con una pendiente -40 db/década.
•
Si la asíntota de alta frecuencia corta a la de
baja en
w wn 40 log
wn wn
db 40 log 1 db 0db
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•
Las asíntotas determinadas en la diapositiva anterior son independientes de . En cercanía de w wn se produce un pico de resonan resonancia cia y el factor factor det determ ermina ina la magnitud de ese pico. Hay error en la la aproximación de asíntotas y el valor del error depende de y es grande para pequeños.
Diego Alejandro Villegas Oliveros
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Magnitud para 1 2 ( jw / w ) ( jw / w. ) ˆ
n
ˆ
2 1
n
db
0.1
0
0.1
w
w
wn
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Angulo de fase 1 2 ( jw / w ) ( jw / w ). ˆ
n
2 1
n
El ángulo de fase de esta dado por
•
ˆ
1
w w j 1 2 j w n wn ˆ
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