Diagrama de Bode

Diagrama de Bode

Diego Alejandro Villegas Oliveros Ingeniería Telemática Universidad Icesi

Diagrama de Bode • •

Es un diagrama logarítmico. Si  H ( w) es la función de transferencia entonces w vs.  H ( w) diagrama de magnitud. w vs.  (w) ángulo de fase en frecuencia.

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2

Magnitud •

•

Una función de transferencia se puede representar con dos diagramas separados uno de la magnitud en función de la frecuencia (decibeles) y el otro del ángulo de fase (grados). La Magnitud logarítmica de G( jw) es 20 log10 G( jw)   Decibel (db)

•

La unidad utilizada en esta representación es el decibel, abreviado usualmente como db.

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3

•

Además multiplicación de Magnitudes es una suma. log( AB)  log  A  log B

•

•

Disponemos de las asíntotas de la curva original para bosquejar la curva. Se pueden representar las características de alta y baja frecuencia en el mismo diagrama. Diego Alejandro Villegas Oliveros

4

Ángulo de fase  

Punto de Inflexión

0º

  e   s   a    f   e    d   o    l   u   g   n    A

-45º

-90º

Frecuencia w Diego Alejandro Villegas Oliveros

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Factores Básicos 1. Ganancia k . 2. Fact Factor ore es int integ egra rale les s y der deriv ivat ativ ivos os 3. Factore ores de pri primer orden

1 (  jw  jw )

(1  jwT ) 1

4. Factores cu cuadráticos 1  2

 

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(  jw / w )  (  jw / w ) n

n

2



1

6

•

Una vez familiarizado con el uso de estos diagramas logarítmicos de cada factor, se pueden usar para hacer uno compuesto para cualquier G( jw) H ( jw) trazando c u r v a s d e c ad a f a c to r y s um an d o g r áf i ca m e n t e l as curvas individuales, ya que sumar logaritmos de magnitudes equivale a multiplic licarlos entre sí. El proceso de obtener el diagrama logarítmico se puede simplificar más aun si se usan aproximaciones asintóticas a las c u r v a s d e c a d a f a c t o r .

G  jw  jw  

10  jw  jw  3

 jw  jw   jw  jw  2   jw  jw    jw  jw  2 2

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7

Ganancia K  •

•

•

La curva para 20log k   20log k  es una línea recta horizontal para la ganancia k en la magnitud de , log k  db. El ángulo de fase es cero. 20 Si se varía la ganancia k en la función de transferencia se eleva o desciende la curva del logaritmo para no afectar el ángulo de fase. Si aumentamos el valor numérico en factor de 10, el el valor en decibeles decibeles aumenta aumenta un factor de de 20. Diego Alejandro Villegas Oliveros

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Ganancia K

Si expresamos el recíproco de un número en decibeles

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20 log k   20 log

1 k 

9

Para tener en cuenta…

Eje imaginario

c  a  bi c  a  bi 

tan    tan

1

b a

a b 2

2

b

c = a+bi

b a

Ф

  

a

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Eje real

10

Factor integral y derivativo

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.

1

 jw  jw 

11

1

 jw  Termino  jw .

•

la magnitud logarítmica en decibeles es 20 log

•

1  jw

El ángulo de fase de -90º.

 20 log w db

1  jw  jw

es una constante igual a

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Mas conceptos

•

Octav Octava: a: ba banda nda de frec frecuen uencia cias s

•

Décad Dé cada: a: ban banda da de frec frecuen uencia cias s

•

La distancia

w1  3 a

w1 a 2w1

w1 a 10 w1

w1  30 es igual w1  1 a

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w1  10

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Gráfico •

El gráfico  20 log w db es una recta.

1  jw   jw.

Pendiente

20

0

•

Pendiente  20db / década o  6db / octava

-20

-40 0.1

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1

10

100

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 jw  . Termino  jw

•

la magnitud logarítmica en decibeles es 20 log  jw  20 log w db

•

El ángulo de fase de

 jw

es una constante igual a 90º.

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 jw Gráfico  jw .

•

El gráfico 20 log w es una recta.

db 40 20 Pendiente

0

•

Pendiente 20db / década o 6db / octava

(0.1,20) (1,0) (10,20) (100,40)

-20

0.1

1

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10

100

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1

 jw . Angulo de fase  jw

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n

w Factor  j jw •

n  jw  jw 

Para 1 20 log Magnitud logarítmica  jw  90ºn Angulo de fase

n

•

.

 20 n log w db

n  jw  jw 

Para Magnitud logarítmica 90ºn Angulo de fase

20 log  jw  20 n log w db n

P en di en t e s - 2 0n db / d éca da y 20n db / d éc ad a respectivamente y pasan por el punto (0 db en w =1). Diego Alejandro Villegas Oliveros

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Factores de primer orden

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1 

1

jwT  

..

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1

Termino 1  jwT   . •

la magnitud logarítmica en decibeles es 20 log

•

•

•

Si

w 

1 T 

1 1   jwT 

 20 log 1  w2T 2 db

 20 log 1  w2T 2  20 log 1  0 db

recta 0 db .

1

 20 log 1  w2T 2  20 log wT  db Si línea recta T  con una pendiente -20 db/década (o -6 db/octava). w 

Si

w

1 T 

 20 log 1  1  20 log 2 db  3,01 db

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20

Curva de logaritmo de la magnitud

1 

1

jwT  

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21

Angulo de fase •

El ángulo de fase de esta dado por

1 

1

jwT  

1 

.

1

jwT  jwT  

Ф

Punto de Inflexión

    tan w

1

0º

wT 

-45º

1 T 

-90º

 ( w)   tan  (0)  0 1

 T   1    tan (1)  45º  T  

 ( w)   tan   1

 ( w)  45º

1 / T 

w

w

 (w)   tan 1 () tan( ( w))  90º Diego Alejandro Villegas Oliveros

22

El error 2 2  20 log 1  0 db   20 log 1  w T  db   20 log wT  db 0 -1 -2

-3

1 / 10T 

1 / 2T 

1 / T 

2 / T 

10 / T 

Note corrección máxima 3db en w = 1/T

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Termino 1   jwT   . •

la magnitud logarítmica en decibeles es 20 log 1   jwT   20 log 1  w2T 2 db  20 log

•

•

•

Si

w 

1 T 

1 1   jwT 

 20 log 1  w2T 2  20 log 1  0 db

recta 0 db .

1

 20 log 1  w2T 2  20 log wT  db Si línea recta T  con una pendiente 20 db/década (o 6 db/octava). w 

Si

w

1 T 

 20 log 1  1  20 log 2 db  3,01 db

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Curva de logaritmo de la magnitud 1   jwT  

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Angulo de fase 1   jwT  . •

El ángulo de fase de esta dado por

90º

   tan 1 wT  45º

w

1 T  0.01 / T 

1  (w)  tan (0)  0   T     (w)  tan 1    tan 1 (1)  45º  T  

1 / T 

10 / T 

w  ( w)  tan 1 () tan( ( w))  90 º

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Factor 1

n

1   jw  jw 

.

•

w

•

w

•

frecuencias altas, pendiente  –20n I  db/década o 20n db/década  1 ( 1  j wT  ) El error es n veces el correspondiente a . 1  j wT  ( 1 ) El ángulo de fase es n veces el de en cada punto de frecuencia.

• •

T  1 T 

w

frecuencia de corte recta horizontal 0

db 

1

T 

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Factores cuadráticos 1  2 ( jw / wn )  ( jw / wn ) ˆ

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2

1

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Generalización 1 2 ( jw / w )  ( jw / w )  ˆ

a) b)

•

n

ˆ

2

1

n

Si    1 se pue ued de escri scribi birr como como do dos s de prim primer er orden con polos reales. Si 0     1 prod produc ucto to de do dos s fa fact cto ores res comp comple lejo jos s conjugados. Las aproximaciones asintóticas no son exactas para valores bajos de   porque la magnitud y la fase del factor cuadrático dependen de la frecuencia de cruce y del factor de amortiguamiento   . Diego Alejandro Villegas Oliveros

29

Factor 1 2 ( jw / w )  ( jw / w ) . ˆ

•

n

ˆ

2 1

n

la magnitud logarítmica en decibeles es 2

  w2     w   20 log  20 log 1  2    2   2   w     w     wn     wn       1  2   j     j w  w n       n   1

ˆ

ˆ

2

•

Si

2

2

  w2     w     20 log 1  0db w  wn  20 log 1  2    2   w    wn   n    

recta 0 db .

2

2   w2     2 2 w2   w w    20 l og   40 l og w  wn  20 log  2    2   db 2  2 w   La w wn   wn n   n    

•

Si línea recta con una pendiente -40 db/década.

•

Si la asíntota de alta frecuencia corta a la de

baja en

w  wn  40 log

wn wn

db  40 log 1 db  0db

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30

•

Las asíntotas determinadas en la diapositiva anterior son independientes de   . En cercanía de w  wn se produce un pico de resonan resonancia cia y el factor factor   det determ ermina ina la magnitud de ese pico. Hay error en la la aproximación de asíntotas y el valor del error depende de   y es grande para   pequeños.

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31

Magnitud para 1 2 ( jw / w )  ( jw / w. )  ˆ

n

ˆ

2 1

n

db  

 0.1

0

0.1

w

w

wn

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32

Angulo de fase 1 2 ( jw / w )  ( jw / w ).  ˆ

n

2 1

n

El ángulo de fase de esta dado por

•

  

ˆ

1

  w     w       j  1  2   j w   n     wn   ˆ

Si

2

ˆ

     2  w   wn  1   tan   2    w     1        wn    

0

-90

    tan 1 (0)  0

w0

Si

w  wn

Si

w

 2   1     tan     tan   90 º   0   1

-180

w wn

1

w

w

lim

w

wn

1

w

2

wn

2



0 0 1

0

   tan 1 0  180 33

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34

Ejemplo •

Trace el diagrama de bode para las siguiente función de transferencia:

G  j  jw w 

 jw w  3 10  j

 j jw w   j  jw w  2   j  jw w    j  jw w  2 2

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35

Paso 1 Se pone G(jw) en forma normalizada, donde los factores de primer orden y el factor de segundo orden están en línea con 0db 10   jw

  1    10(  jw  3) 3   3   G (  jw)   2 2 (  jw)( jw  2)(  jw)   jw  2   jw      jw   ( jw)  2(  jw)1  2   1   2     2 2       jw    1   3    2  jw      jw  ( jw) (  jw)1    1  2    2 2     7.5

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36

Paso 2 •

Identificar los factores que componen la función   jw    1 3     G(  jw)  2  jw      jw  ( jw)  (  jw)1    1  2    2 2     7.5

Compuesta por:

7.5;

1

(  jw  jw ) ; 1   j

w

3

1

;

w    ( jw)    1   j  ;   2    2  

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2

   1 2  

jw

1

37

Paso 3 •

Hallar las Frecuencias de corte según el factor   1     1 w   jwT  1      c T  1   jwT   

1  1   1   jw   wc  3 1 3  3  3

1   j

w

1   j

w

1  1   1   jw   wc  2 1 2  2  2

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38

2   jw  jw    jw  jw         1  2  w Cuando w  wn 2  c    wn     wn   

( jw) 2

2

2

2  jw    jw   1    1  wc  2   2 2 2   2   jw

   jw     jw  1  2       2    2 

2  

2 2

2



 1

  

2    jw    jw 

2

   2   2    2  

2 4

 0,3536

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39

Paso 4 Se hayan los valores aproximados de cada uno de los factores de la función

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40

Paso 5 Se grafica cada una de las funciones independientemente.

40

30 20 17.5

1

14

3

2.41 0 -3.52 -6.02 -10 4

-20

5

0.4 0.6 0.6 1

1.53 2

3

2

4

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41

Paso 6 •

La función de transferencia G(jw) resulta de la suma de las funciones 40

Curva exacta

30 20 17.5 14

G(jw)

2.41 0 -3.52 -6.02 -10 -20

0.4 0.6 0.6 1

1.53 2

3

4

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42

•

Para diagramas de ángulo de fase se procede de la misma manera.

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43

Gracias…