Dia Positi Vat Are a Sal

Algebra Lineal

UNIVERSIDAD ALAS PERUANAS

Aland Bravo Vecorena

FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL

Capítulo 1 Ejercicios del Capítulo N◦ .1

Capítulo 2

ALGEBRA LINEAL TAREA ACADEMICA N1

Ejercicios del Capítulo N◦ .2

Capítulo 3 Ejercicios del Capítulo N◦ .3

Capítulo 4 Ejercicios del Capítulo N◦ .4

Autores:

Capítulo 5 Ejercicios del Capítulo N◦ .5

Docente:

Edwin Huacachino Huacachino Soto Edwin Huacachino Soto Edwin Huacachino Soto Ing. Ing. Dr. Aland Aland Bravo Bravo Vecorena ecorena Huánuco-Peru (2017)

Ejercicios del Capítulo N◦ .1 Algebra Lineal Aland Bravo Vecorena Capítulo 1 Ejercicios del Capítulo N◦ .1

forma manual y usando MATLAB/ MATLAB/Octav Octavee Ejercicio 1.1: En forma dibuje en el plano xy  los siguientes vectores:

Capítulo 2 Ejercicios del Capítulo N◦ .2

Capítulo 3 Ejercicios del Capítulo N◦ .3

Capítulo 4 Ejercicios del Capítulo N◦ .4

Capítulo 5 Ejercicios del Capítulo N◦ .5

a) ν  =

   4 1

, ω  =

−2

2

a) ν  + ω 

a) ν  − ω 

Ejercicios del Capítulo N◦ .1 Algebra Lineal Aland Bravo Vecorena

forma manual y usando MATLAB/ MATLAB/Octav Octavee Ejercicio 1.1: En forma dibuje en el plano xy  los siguientes vectores:

Capítulo 1 Ejercicios del Capítulo N◦ .1

a) ν  =

Capítulo 2

   4 1

, ω  =

−2

2

a) ν  + ω 

a) ν  − ω 

Ejercicios del Capítulo N◦ .2

Capítulo 3 Ejercicios del Capítulo N◦ .3

Solucionario del Ejercicio 1.1 en la página 2:

Sabemos que:

Capítulo 4 Ejercicios del Capítulo N◦ .4

Capítulo 5 Ejercicios del Capítulo N◦ .5

ν  + ω 

ω 

θ  o

ν  ν  − ω 

Figure 1:   Gráfico de Vectores.

Ejercicios del Capítulo N◦ .1 Algebra Lineal Aland Bravo Vecorena

Ejercicio 1.1: En forma manual y usando MATLAB/Octave dibuje en el plano xy  los siguientes vectores:

Capítulo 1 Ejercicios del Capítulo N◦ .1

a) ν  =

Capítulo 2

   4 1

, ω  =

−2

2

a) ν  + ω 

a) ν  − ω 

Ejercicios del Capítulo N◦ .2

Capítulo 3 Ejercicios del Capítulo N◦ .3

Solucionario del Ejercicio 1.1 en la página 2: Sabemos que:

ν 

Capítulo 4 Ejercicios del Capítulo N◦ .4

Capítulo 5 Ejercicios del Capítulo N◦ .5

ν  + ω 

ω 

ν  + ω  =

θ  o

ν +ω 

ω 

             

ν 

4 1

 +

ν 

ν  − ω 

Figure 1:   Gráfico de Vectores.

−2

2

 =

ω 

2 3

ν −ω 

              

ν  − ω  =

4 1

−

−2

2

 =

6

−1

Ejercicios del Capítulo N◦ .1 Algebra Lineal Aland Bravo Vecorena

Ejercicio 1.1: En forma manual y usando MATLAB/Octave dibuje en el plano xy  los siguientes vectores:

Capítulo 1 Ejercicios del Capítulo N◦ .1

a) ν  =

Capítulo 2

   4 1

, ω  =

−2

2

a) ν  + ω 

a) ν  − ω 

Ejercicios del Capítulo N◦ .2

Capítulo 3 Ejercicios del Capítulo N◦ .3

Solucionario del Ejercicio 1.1 en la página 2: Sabemos que:

Capítulo 4 Ejercicios del Capítulo N◦ .4

Capítulo 5 Ejercicios del Capítulo N◦ .5

ν  + ω 

ω 

θ  o

ν 

Código en  MATLAB: ν  − ω 

Figure 1:   Gráfico de Vectores.

Ejercicios del Capítulo N◦ .1 Algebra Lineal Aland Bravo Vecorena Capítulo 1 Ejercicios del Capítulo N◦ .1

Ejercicio 1.2: Encuentre los valores para c y d   de modo que la combinación lineal cν  + d ω  sea igual al vector b:

Capítulo 2 Ejercicios del Capítulo N◦ .2

Capítulo 3 Ejercicios del Capítulo N◦ .3

Capítulo 4 Ejercicios del Capítulo N◦ .4

Capítulo 5 Ejercicios del Capítulo N◦ .5

ν  =

  2

−1

ω  =

  −1

2

b =

 2 0

Compruebe sus resultados usando MATLAB/Octave.

Ejercicios del Capítulo N◦ .1 Algebra Lineal Aland Bravo Vecorena Capítulo 1 Ejercicios del Capítulo N◦ .1

Ejercicio 1.2: Encuentre los valores para c y d   de modo que la combinación lineal cν  + d ω  sea igual al vector b:

Capítulo 2 Ejercicios del Capítulo N◦ .2

Capítulo 3 Ejercicios del Capítulo N◦ .3

ν  =

  2

−1

ω  =

  −1

2

b =

 2 0

Compruebe sus resultados usando MATLAB/Octave.

Capítulo 4 Ejercicios del Capítulo N◦ .4

Capítulo 5 Ejercicios del Capítulo N◦ .5

Solucionario del Ejercicio 1.2 en la página 14:

Ejercicios del Capítulo N◦ .1 Algebra Lineal Aland Bravo Vecorena Capítulo 1

Ejercicio 1.3: Con respecto a la Figura 2:

Ejercicios del Capítulo N◦ .1

Capítulo 2 Ejercicios del Capítulo N◦ .2

Capítulo 3 Ejercicios del Capítulo N◦ .3

Capítulo 4 Ejercicios del Capítulo N◦ .4

Capítulo 5

Figure 2:   Cubo unitario (Izquierda) y Reloj (Derecha).

Ejercicios del Capítulo N◦ .5

Se le pide:

a)   ¿Qué puntos del cubo es i + j? ¿Qué punto es el vector suma de  i = (1, 0, 0), j  = (0, 1, 0) y k  = (0, 0, 1)? Describa todos los puntos  ( x, y, z) en el cubo. b)   Las cuatro esquinas del cubo son (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1). Encuentre las coordenadas de las otras cuatro esquinas del cubo. Además encuentre las coordenadas del centro del cubo. c) ¿Cuantas esquinas tiene un cubo en 4 − D  dimensiones? ¿Cuántos caras tiene un cubo en 3 − D dimensiones?

Ejercicios del Capítulo N◦ .1 Algebra Lineal Aland Bravo Vecorena

Ejercicio 1.3: Capítulo 1 Ejercicios del Capítulo N◦ .1

Con respecto a la Figura 2:

d)  ¿Cuál es la suma V  de los doce vectores que van desde el centro de un reloj hacia los horarios: 1 : 00, 2 : 00, . . . ,  12 : 00?

Capítulo 2 Ejercicios del Capítulo N◦ .2

Capítulo 3 Ejercicios del Capítulo N◦ .3

Capítulo 4 Ejercicios del Capítulo N◦ .4

Capítulo 5 Ejercicios del Capítulo N◦ .5

Se le pide:

Figure 2:   Cubo unitario (Izquierda) y Reloj (Derecha).

e) Si el vector 2 : 00   se saca del reloj, ¿Porqué los 11   vectores restantes suman a  8 : 00? f)   Halle los componentes del vector 2 : 00. Sugerencia: ν  = (cos θ , sen θ )

Ejercicios del Capítulo N◦ .1 Algebra Lineal Aland Bravo Vecorena Capítulo 1 Ejercicios del Capítulo N◦ .1

Solucionario del Ejercicio 1.3 en la página 8: La Solución definitiva es:

Capítulo 2 Ejercicios del Capítulo N◦ .2

c α 

Capítulo 3 Ejercicios del Capítulo N◦ .3

b

a

Capítulo 4 Ejercicios del Capítulo N◦ .4

Capítulo 5 Ejercicios del Capítulo N◦ .5

Figure 3:   Vector (a).

Ejercicios del Capítulo N◦ .1 Algebra Lineal Aland Bravo Vecorena Capítulo 1 Ejercicios del Capítulo N◦ .1

Capítulo 2 Ejercicios del Capítulo N◦ .2

Capítulo 3 Ejercicios del Capítulo N◦ .3

Capítulo 4 Ejercicios del Capítulo N◦ .4

Capítulo 5 Ejercicios del Capítulo N◦ .5

Ejercicio 1.4: Encuentre dos vectores ν  y ω   de modo que se cumpla: ν  + ω  = (4, 5, 6) y ν  − ω  = (2, 5, 8).

Ejercicios del Capítulo N◦ .1 Algebra Lineal Aland Bravo Vecorena Capítulo 1 Ejercicios del Capítulo N◦ .1

Capítulo 2 Ejercicios del Capítulo N◦ .2

Ejercicio 1.4: Encuentre dos vectores ν  y ω   de modo que se cumpla: ν  + ω  = (4, 5, 6) y ν  − ω  = (2, 5, 8).

Capítulo 3 Ejercicios del Capítulo N◦ .3

Capítulo 4 Ejercicios del Capítulo N◦ .4

Capítulo 5 Ejercicios del Capítulo N◦ .5

Solucionario del Ejercicio 1.4 en la página 14:

Ejercicios del Capítulo N◦ .1 Algebra Lineal Aland Bravo Vecorena Capítulo 1 Ejercicios del Capítulo N◦ .1

Ejercicio 1.5: Encuentre las tres ecuaciones y los valores de c, d  y e  de modo que cµ  + d ν  + eω  = b, dado:

Capítulo 2

Capítulo 3 Ejercicios del Capítulo N◦ .3

Capítulo 4 Ejercicios del Capítulo N◦ .4

Capítulo 5 Ejercicios del Capítulo N◦ .5

    2

Ejercicios del Capítulo N◦ .2

µ  =

−1

0

    −1

ν  =

2

−1

    0

ω  =

−1

2

  1

b =

0 0

Ejercicios del Capítulo N◦ .1 Algebra Lineal Aland Bravo Vecorena Capítulo 1 Ejercicios del Capítulo N◦ .1

Ejercicio 1.5: Encuentre las tres ecuaciones y los valores de c, d  y e  de modo que cµ  + d ν  + eω  = b, dado:

Capítulo 2

Capítulo 3 Ejercicios del Capítulo N◦ .3

    2

Ejercicios del Capítulo N◦ .2

µ  =

−1

0

    −1

ν  =

2

−1

    0

ω  =

−1

1

b =

2

Capítulo 4 Ejercicios del Capítulo N◦ .4

Capítulo 5 Ejercicios del Capítulo N◦ .5

 

Solucionario del Ejercicio 1.5 en la página 14:

0 0

Ejercicios del Capítulo N◦ .1 Algebra Lineal Aland Bravo Vecorena Capítulo 1 Ejercicios del Capítulo N◦ .1

Capítulo 2 Ejercicios del Capítulo N◦ .2

Capítulo 3 Ejercicios del Capítulo N◦ .3

Capítulo 4 Ejercicios del Capítulo N◦ .4

Capítulo 5 Ejercicios del Capítulo N◦ .5

Ejercicio 1.6: ¿Qué valores de c  nos da columnas independientes (combinación igual a cero)?

 

1

3

5

1

2

4

1

1

c

   

1

0

c

1

1

0

0

1

1

   

c

c

c

2

1

5

3

3

6

 

Ejercicios del Capítulo N◦ .1 Algebra Lineal Aland Bravo Vecorena Capítulo 1 Ejercicios del Capítulo N◦ .1

Capítulo 2 Ejercicios del Capítulo N◦ .2

Capítulo 3 Ejercicios del Capítulo N◦ .3

Ejercicio 1.6: ¿Qué valores de c  nos da columnas independientes (combinación igual a cero)?

 

1

3

5

1

2

4

1

1

c

   

1

0

c

1

1

0

0

1

1

   

c

c

c

2

1

5

3

3

6

Capítulo 4 Ejercicios del Capítulo N◦ .4

Capítulo 5 Ejercicios del Capítulo N◦ .5

Solucionario del Ejercicio 1.6 en la página 14:

 

Ejercicios del Capítulo N◦ .1 Algebra Lineal Aland Bravo Vecorena Capítulo 1 Ejercicios del Capítulo N◦ .1

Ejercicio 1.7: Encuentre la combinación lineal 2s1 + 3s2 + 4s3 = b. Luego escriba b   como una multiplicación matriz vector Sx. Halle los producto puntos de las filas de C  con x:

Capítulo 2 Ejercicios del Capítulo N◦ .2

Capítulo 3 Ejercicios del Capítulo N◦ .3

Capítulo 4 Ejercicios del Capítulo N◦ .4

Capítulo 5 Ejercicios del Capítulo N◦ .5

  1

s1  =

1 1

  0

s2  =

1 1

  0

s3  =

0 1

Notar que los vectores s1 , s2 , s3  son las columnas de la matriz S . Valide sus resultados con MATLAB/OCTAVE.

Ejercicios del Capítulo N◦ .1 Algebra Lineal Aland Bravo Vecorena Capítulo 1 Ejercicios del Capítulo N◦ .1

Ejercicio 1.7: Encuentre la combinación lineal 2s1 + 3s2 + 4s3 = b. Luego escriba b   como una multiplicación matriz vector Sx. Halle los producto puntos de las filas de C  con x:

Capítulo 2 Ejercicios del Capítulo N◦ .2

Capítulo 3 Ejercicios del Capítulo N◦ .3

Capítulo 4 Ejercicios del Capítulo N◦ .4

  1

s1  =

1 1

  0

s2  =

1 1

  0

s3  =

0 1

Notar que los vectores s1 , s2 , s3  son las columnas de la matriz S . Valide sus resultados con MATLAB/OCTAVE.

Capítulo 5 Ejercicios del Capítulo N◦ .5

Solucionario del Ejercicio 1.6 en la página 14:

Ejercicios del Capítulo N◦ .1 Algebra Lineal Aland Bravo Vecorena Capítulo 1 Ejercicios del Capítulo N◦ .1

Capítulo 2 Ejercicios del Capítulo N◦ .2

Capítulo 3 Ejercicios del Capítulo N◦ .3

Capítulo 4 Ejercicios del Capítulo N◦ .4

Capítulo 5 Ejercicios del Capítulo N◦ .5

Ejercicio 1.8: Resuelva las ecuaciones Sy = b  con s1 , s2 , s3 en las columnas de S :

 

1

0

0

1

1

0

1

1

1

         y1  y2  =  y3

1 1 1

y

 

1

0

0

1

1

0

1

1

1

         y1  y2  =  y3

1 4 9

Ejercicios del Capítulo N◦ .1 Algebra Lineal Aland Bravo Vecorena Capítulo 1 Ejercicios del Capítulo N◦ .1

Capítulo 2 Ejercicios del Capítulo N◦ .2

Capítulo 3 Ejercicios del Capítulo N◦ .3

Ejercicio 1.8: Resuelva las ecuaciones Sy = b  con s1 , s2 , s3 en las columnas de S :

 

1

0

0

1

1

0

1

1

1

         y1  y2  =  y3

1 1 1

y

 

1

0

0

1

1

0

1

1

1

       

Capítulo 4 Ejercicios del Capítulo N◦ .4

Capítulo 5 Ejercicios del Capítulo N◦ .5

Solucionario del Ejercicio 1.6 en la página 14:

 y1  y2  =  y3

1 4 9

Ejercicios del Capítulo N◦ .2 Algebra Lineal Aland Bravo Vecorena Capítulo 1 Ejercicios del Capítulo N◦ .1

Capítulo 2 Ejercicios del Capítulo N◦ .2

Capítulo 3 Ejercicios del Capítulo N◦ .3

Capítulo 4 Ejercicios del Capítulo N◦ .4

Capítulo 5 Ejercicios del Capítulo N◦ .5

Ejercicio 2.1: Con A = I   la matriz identidad. Dibuje los planos en la gráfica de filas. Tres lados de una caja se encuentran en la solución ( x, y, z) = ( 2, 3, 4): 1 x + 0 y + 0 z

= 0 x + 1 y + 0 z = 0 x + 0 y + 1 z =

2 3 4

o su equiv.

 

1

0

0

0

1

0

0

0

1

         x  y =  z

2 3 4

Dibuje los vectores en la gráfica de columnas. Dos veces la columna 1  mas tres veces la columna 2   mas cuatro veces la columna 3  es igual a b.

Ejercicios del Capítulo N◦ .2 Algebra Lineal Aland Bravo Vecorena Capítulo 1 Ejercicios del Capítulo N◦ .1

Capítulo 2 Ejercicios del Capítulo N◦ .2

Capítulo 3 Ejercicios del Capítulo N◦ .3

Capítulo 4 Ejercicios del Capítulo N◦ .4

Capítulo 5

Ejercicio 2.1: Con A = I   la matriz identidad. Dibuje los planos en la gráfica de filas. Tres lados de una caja se encuentran en la solución ( x, y, z) = ( 2, 3, 4): 1 x + 0 y + 0 z

= 0 x + 1 y + 0 z = 0 x + 0 y + 1 z =

2 3 4

o su equiv.

 

1

0

0

0

1

0

0

0

1

         x  y =  z

2 3 4

Dibuje los vectores en la gráfica de columnas. Dos veces la columna 1  mas tres veces la columna 2   mas cuatro veces la columna 3  es igual a b.

Ejercicios del Capítulo N◦ .5

Solucionario del Ejercicio 2.1 en la página 2:

Ejercicios del Capítulo N◦ .2 Algebra Lineal Aland Bravo Vecorena Capítulo 1 Ejercicios del Capítulo N◦ .1

Capítulo 2 Ejercicios del Capítulo N◦ .2

Capítulo 3 Ejercicios del Capítulo N◦ .3

Capítulo 4 Ejercicios del Capítulo N◦ .4

Capítulo 5 Ejercicios del Capítulo N◦ .5

Ejercicio 2.2: ¿Que matriz de 3 × 3, E 21  substrae 4  veces la fila 1  de la fila 2   ? ¿Qué matriz P32  intercambia la fila 2 con la fila 3? Si usted multiplica A  en la derecha en lugar de la izquierda, describa los resultados AE 21 y AP32 .

Ejercicios del Capítulo N◦ .2 Algebra Lineal Aland Bravo Vecorena Capítulo 1 Ejercicios del Capítulo N◦ .1

Capítulo 2 Ejercicios del Capítulo N◦ .2

Capítulo 3

Ejercicio 2.2: ¿Que matriz de 3 × 3, E 21  substrae 4  veces la fila 1  de la fila 2   ? ¿Qué matriz P32  intercambia la fila 2 con la fila 3? Si usted multiplica A  en la derecha en lugar de la izquierda, describa los resultados AE 21 y AP32 .

Ejercicios del Capítulo N◦ .3

Capítulo 4 Ejercicios del Capítulo N◦ .4

Capítulo 5 Ejercicios del Capítulo N◦ .5

Solucionario del Ejercicio 2.2 en la página 14:

Ejercicios del Capítulo N◦ .2 Algebra Lineal Aland Bravo Vecorena Capítulo 1 Ejercicios del Capítulo N◦ .1

Capítulo 2 Ejercicios del Capítulo N◦ .2

Capítulo 3 Ejercicios del Capítulo N◦ .3

Capítulo 4 Ejercicios del Capítulo N◦ .4

Capítulo 5 Ejercicios del Capítulo N◦ .5

Ejercicio 2.3:

Escriba la Matriz Aumentada  [ A b ]  con una columna extra:  x + 2 y + 2 z 4 x + 8 y + 9 z 0 x + 3 y + 2 z

= = =

1 3 1

Aplique E 21   y luego P32   para llegar a un sistema triangular. Resuelva mediante la sustitución. ¿Que matriz combinada P32 · E 21   hará ambos pasos en uno?

Ejercicios del Capítulo N◦ .2 Algebra Lineal Aland Bravo Vecorena Capítulo 1 Ejercicios del Capítulo N◦ .1

Capítulo 2 Ejercicios del Capítulo N◦ .2

Capítulo 3 Ejercicios del Capítulo N◦ .3

Capítulo 4

Ejercicio 2.3:

Escriba la Matriz Aumentada  [ A b ]  con una columna extra:  x + 2 y + 2 z 4 x + 8 y + 9 z 0 x + 3 y + 2 z

= = =

1 3 1

Aplique E 21   y luego P32   para llegar a un sistema triangular. Resuelva mediante la sustitución. ¿Que matriz combinada P32 · E 21   hará ambos pasos en uno?

Ejercicios del Capítulo N◦ .4

Capítulo 5 Ejercicios del Capítulo N◦ .5

Solucionario del Ejercicio 2.3 en la página 14:

Ejercicios del Capítulo N◦ .2 Algebra Lineal Aland Bravo Vecorena Capítulo 1 Ejercicios del Capítulo N◦ .1

Capítulo 2 Ejercicios del Capítulo N◦ .2

Capítulo 3 Ejercicios del Capítulo N◦ .3

Capítulo 4 Ejercicios del Capítulo N◦ .4

Capítulo 5 Ejercicios del Capítulo N◦ .5

Ejercicio 2.4: Escriba la ecuación de una matriz 3 × 3 que producen los siguientes pasos de eliminación: a) E 21  resta 5  veces la fila 1  a la fila 2. b) E 32  resta

−7

 veces la fila 2  a la fila 3.

c) P  intercambia la fia 1  y la fila 2, y luego la fila

2

y 3.

Ejercicios del Capítulo N◦ .2 Algebra Lineal Aland Bravo Vecorena Capítulo 1 Ejercicios del Capítulo N◦ .1

Capítulo 2 Ejercicios del Capítulo N◦ .2

Capítulo 3 Ejercicios del Capítulo N◦ .3

Ejercicio 2.4: Escriba la ecuación de una matriz 3 × 3 que producen los siguientes pasos de eliminación: a) E 21  resta 5  veces la fila 1  a la fila 2. b) E 32  resta

−7

 veces la fila 2  a la fila 3.

c) P  intercambia la fia 1  y la fila 2, y luego la fila

Capítulo 4 Ejercicios del Capítulo N◦ .4

Capítulo 5 Ejercicios del Capítulo N◦ .5

Solucionario del Ejercicio 2.4 en la página 14:

2

y 3.

Ejercicios del Capítulo N◦ .2 Algebra Lineal Aland Bravo Vecorena Capítulo 1 Ejercicios del Capítulo N◦ .1

Capítulo 2 Ejercicios del Capítulo N◦ .2

Capítulo 3 Ejercicios del Capítulo N◦ .3

Capítulo 4 Ejercicios del Capítulo N◦ .4

Capítulo 5 Ejercicios del Capítulo N◦ .5

Ejercicio 2.5: ¿Cuales son las tres matrices E 21 , E 31 , E 32 ponga A  en su forma triangular U ? 1 x + 0 y + 0 z

= 0 x + 1 y + 0 z = 0 x + 0 y + 1 z =

2 3

y E 32 E 31 E 21 A = U 

4

Multiplique aquellas E  s  para obtener una Matriz M  que hace la eliminación MA  = U 

Ejercicios del Capítulo N◦ .2 Algebra Lineal Aland Bravo Vecorena Capítulo 1 Ejercicios del Capítulo N◦ .1

Capítulo 2 Ejercicios del Capítulo N◦ .2

Capítulo 3 Ejercicios del Capítulo N◦ .3

Capítulo 4 Ejercicios del Capítulo N◦ .4

Ejercicio 2.5: ¿Cuales son las tres matrices E 21 , E 31 , E 32 ponga A  en su forma triangular U ? 1 x + 0 y + 0 z

= 0 x + 1 y + 0 z = 0 x + 0 y + 1 z =

2 3

y E 32 E 31 E 21 A = U 

4

Multiplique aquellas E  s  para obtener una Matriz M  que hace la eliminación MA  = U 

Capítulo 5 Ejercicios del Capítulo N◦ .5

Solucionario del Ejercicio 2.5 en la página 14:

Ejercicios del Capítulo N◦ .2 Algebra Lineal Aland Bravo Vecorena Capítulo 1 Ejercicios del Capítulo N◦ .1

Capítulo 2 Ejercicios del Capítulo N◦ .2

Ejercicio 2.6: Multiplique estas matrices:

 

0

0

1

0

1

0

1

0

0

Capítulo 3 Ejercicios del Capítulo N◦ .3

Capítulo 4 Ejercicios del Capítulo N◦ .4

Capítulo 5 Ejercicios del Capítulo N◦ .5

y

 

 

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1

0

0

−1

1

0

−1

0

1

 

 

0

0

1

0

1

0

1

0

0

1

2

3

1

3

1

1

4

0

 

 

Ejercicios del Capítulo N◦ .2 Algebra Lineal Aland Bravo Vecorena Capítulo 1 Ejercicios del Capítulo N◦ .1

Capítulo 2 Ejercicios del Capítulo N◦ .2

Ejercicio 2.6: Multiplique estas matrices:

 

0

0

1

0

1

0

1

0

0

Capítulo 3 Ejercicios del Capítulo N◦ .3

Capítulo 4 Ejercicios del Capítulo N◦ .4

y

 

 

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1

0

0

−1

1

0

−1

0

1

 

 

0

0

1

0

1

0

1

0

0

1

2

3

1

3

1

1

4

0

 

 

Capítulo 5 Ejercicios del Capítulo N◦ .5

Solucionario del Ejercicio 2.6 en la página 14:

Ejercicios del Capítulo N◦ .2 Algebra Lineal Aland Bravo Vecorena Capítulo 1 Ejercicios del Capítulo N◦ .1

Capítulo 2 Ejercicios del Capítulo N◦ .2

Capítulo 3 Ejercicios del Capítulo N◦ .3

Capítulo 4 Ejercicios del Capítulo N◦ .4

Capítulo 5 Ejercicios del Capítulo N◦ .5

Ejercicio 2.7: Multiplique estas matrices en el orden EF  y FE :

 

1

0

0

a b

1

0

0

1

   

1

0

0

0

1

0

0

c

1

 

También calcule E 2 = E  · E  y F 3 = F  · F · F . Puedes adivinar el resultado de F 100

Ejercicios del Capítulo N◦ .2 Algebra Lineal Aland Bravo Vecorena Capítulo 1 Ejercicios del Capítulo N◦ .1

Capítulo 2 Ejercicios del Capítulo N◦ .2

Capítulo 3 Ejercicios del Capítulo N◦ .3

Capítulo 4

Ejercicio 2.7: Multiplique estas matrices en el orden EF  y FE :

 

1

0

0

a b

1

0

0

1

   

1

0

0

0

1

0

0

c

1

 

También calcule E 2 = E  · E  y F 3 = F  · F · F . Puedes adivinar el resultado de F 100

Ejercicios del Capítulo N◦ .4

Capítulo 5 Ejercicios del Capítulo N◦ .5

Solucionario del Ejercicio 2.7 en la página 14:

Ejercicios del Capítulo N◦ .3 Algebra Lineal Aland Bravo Vecorena Capítulo 1 Ejercicios del Capítulo N◦ .1

Capítulo 2 Ejercicios del Capítulo N◦ .2

Capítulo 3 Ejercicios del Capítulo N◦ .3

Capítulo 4 Ejercicios del Capítulo N◦ .4

Capítulo 5 Ejercicios del Capítulo N◦ .5

Ejercicio 3.1:   Calcule A2 y A3 . Haga una predicción para A5 y An :



1

b

0

1



y



2

2

0

0



Ejercicios del Capítulo N◦ .3 Algebra Lineal Aland Bravo Vecorena Capítulo 1 Ejercicios del Capítulo N◦ .1

Capítulo 2 Ejercicios del Capítulo N◦ .2

Capítulo 3

Ejercicio 3.1:   Calcule A2 y A3 . Haga una predicción para A5 y An :



1

b

0

1



y



2

2

0

0



Ejercicios del Capítulo N◦ .3

Capítulo 4 Ejercicios del Capítulo N◦ .4

Capítulo 5 Ejercicios del Capítulo N◦ .5

Solucionario del Ejercicio 3.1 en la página 2:

Ejercicios del Capítulo N◦ .3 Algebra Lineal Aland Bravo Vecorena Capítulo 1 Ejercicios del Capítulo N◦ .1

Muestree que ( A + B)2 es diferente de A2 + Ejerci Eje rcicio cio 3.2 3.2:: Muestr 2 2 AB + B , cuando:

Capítulo 2 Ejercicios del Capítulo N◦ .2

Capítulo 3 Ejercicios del Capítulo N◦ .3

Capítulo 4 Ejercicios del Capítulo N◦ .4

Capítulo 5 Ejercicios del Capítulo N◦ .5

 A =



1

2

0

0



y

B =



1

0

3

0



regla matricial matricial para para ( A + B)( A + B) = Sugerencia: Escriba la regla  A2 + · · · + B2

Ejercicios del Capítulo N◦ .3 Algebra Lineal Aland Bravo Vecorena Capítulo 1 Ejercicios del Capítulo N◦ .1

Muestree que ( A + B)2 es diferente de A2 + Ejerci Eje rcicio cio 3.2 3.2:: Muestr 2 2 AB + B , cuando:

Capítulo 2 Ejercicios del Capítulo N◦ .2

Capítulo 3 Ejercicios del Capítulo N◦ .3

Capítulo 4

 A =



1

2

0

0



y

B =



1

0

3

0

regla matricial matricial para para ( A + B)( A + B) = Sugerencia: Escriba la regla  A2 + · · · + B2

Ejercicios del Capítulo N◦ .4

Capítulo 5 Ejercicios del Capítulo N◦ .5



Solucionario del Ejercicio 3.2 en la página 14:

Ejercicios del Capítulo N◦ .3 Algebra Lineal Aland Bravo Vecorena Capítulo 1 Ejercicios del Capítulo N◦ .1

Capítulo 2 Ejercicios del Capítulo N◦ .2

Capítulo 3 Ejercicios del Capítulo N◦ .3

Capítulo 4 Ejercicios del Capítulo N◦ .4

Capítulo 5 Ejercicios del Capítulo N◦ .5

Ejercicio 3.3: Escriba Escriba verdadero verdadero o falso falso según según correspon corresponda. da. De un ejemejemplo cuando considere que su respuesta es falso:

a) Si las las colum columna nass 1, 3 de B  son las mismas. mismas. También ambién lo son las columnas 1, 3 de AB. b) Si las las fila filass 1, 3 de B  son las mismas. mismas. También ambién lo son las filas 1, 3 de AB. c) Si las las fila filass 1, 3 de A  son las mismas. mismas. También ambién lo son las filas 1, 3 de ABC . d) ( AB)2 = A2 B2

Ejercicios del Capítulo N◦ .3 Algebra Lineal Aland Bravo Vecorena Capítulo 1 Ejercicios del Capítulo N◦ .1

Capítulo 2 Ejercicios del Capítulo N◦ .2

Capítulo 3 Ejercicios del Capítulo N◦ .3

Capítulo 4 Ejercicios del Capítulo N◦ .4

Ejercicio 3.3: Escriba verdadero o falso según corresponda. De un ejemplo cuando considere que su respuesta es falso:

a) Si las columnas 1, 3 de B  son las mismas. También lo son las columnas 1, 3 de AB. b) Si las filas 1, 3 de B  son las mismas. También lo son las filas 1, 3 de AB. c) Si las filas 1, 3 de A  son las mismas. También lo son las filas 1, 3 de ABC . d) ( AB)2 = A2 B2

Capítulo 5 Ejercicios del Capítulo N◦ .5

Solucionario del Ejercicio 3.3 en la página 14:

Ejercicios del Capítulo N◦ .3 Algebra Lineal Aland Bravo Vecorena Capítulo 1 Ejercicios del Capítulo N◦ .1

Capítulo 2 Ejercicios del Capítulo N◦ .2

Capítulo 3 Ejercicios del Capítulo N◦ .3

Capítulo 4 Ejercicios del Capítulo N◦ .4

Capítulo 5 Ejercicios del Capítulo N◦ .5

Ejercicio 3.4: Sabiendo que el orden de la matriz es de 3 × 3. Encuentre B   de modo que se cumpla para cualquier matriz A, lo siguiente: a) BA =  4 A b) BA =  4 B c) BA  tiene las filas 1, 3 de A  invertida y la fila 2  sin cambios. d) Todas las filas de BA  son iguales que la fila

1

de A.

Ejercicios del Capítulo N◦ .3 Algebra Lineal Aland Bravo Vecorena Capítulo 1 Ejercicios del Capítulo N◦ .1

Capítulo 2 Ejercicios del Capítulo N◦ .2

Capítulo 3 Ejercicios del Capítulo N◦ .3

Capítulo 4

Ejercicio 3.4: Sabiendo que el orden de la matriz es de 3 × 3. Encuentre B   de modo que se cumpla para cualquier matriz A, lo siguiente: a) BA =  4 A b) BA =  4 B c) BA  tiene las filas 1, 3 de A  invertida y la fila 2  sin cambios. d) Todas las filas de BA  son iguales que la fila

Ejercicios del Capítulo N◦ .4

Capítulo 5 Ejercicios del Capítulo N◦ .5

Solucionario del Ejercicio 3.4 en la página 14:

1

de A.

Ejercicios del Capítulo N◦ .3 Algebra Lineal Aland Bravo Vecorena Capítulo 1 Ejercicios del Capítulo N◦ .1

Ejercicio 3.5: Efectúe el cálculo para A2 , A3 , A4 y también para  Aν , A2 ν , A3 ν , A4 ν , sabiendo que:

Capítulo 2 Ejercicios del Capítulo N◦ .2

Capítulo 3 Ejercicios del Capítulo N◦ .3

Capítulo 4 Ejercicios del Capítulo N◦ .4

Capítulo 5 Ejercicios del Capítulo N◦ .5

 A =

 

0

2

0

0

0

0

2

0

0

0

0

2

0

0

0

0

 

ν  =

 

 x  y  z t 

 

Ejercicios del Capítulo N◦ .3 Algebra Lineal Aland Bravo Vecorena Capítulo 1 Ejercicios del Capítulo N◦ .1

Ejercicio 3.5: Efectúe el cálculo para A2 , A3 , A4 y también para  Aν , A2 ν , A3 ν , A4 ν , sabiendo que:

Capítulo 2 Ejercicios del Capítulo N◦ .2

Capítulo 3 Ejercicios del Capítulo N◦ .3

 A =

 

0

2

0

0

0

0

2

0

0

0

0

2

0

0

0

0

 

ν  =

 

 x  y  z t 

Capítulo 4 Ejercicios del Capítulo N◦ .4

Capítulo 5 Ejercicios del Capítulo N◦ .5

Solucionario del Ejercicio 3.5 en la página 14:

 

Ejercicios del Capítulo N◦ .3 Algebra Lineal Aland Bravo Vecorena Capítulo 1 Ejercicios del Capítulo N◦ .1

Ejercicio 3.6: Que matrices de E 21 y E 31  producen ceros en las posiciones de (2, 1) y (3, 1) de  E 21 A y  E 31 A respectivamente.

Capítulo 2 Ejercicios del Capítulo N◦ .2

Capítulo 3 Ejercicios del Capítulo N◦ .3

Capítulo 4 Ejercicios del Capítulo N◦ .4

Capítulo 5 Ejercicios del Capítulo N◦ .5

 A =

 

2

1

0

−2

0

1

8

5

3

 

Encuentre la matriz única  E  = E 31 E 21  que produce ambos ceros a la vez. Multiplique EA.

Ejercicios del Capítulo N◦ .3 Algebra Lineal Aland Bravo Vecorena Capítulo 1 Ejercicios del Capítulo N◦ .1

Ejercicio 3.6: Que matrices de E 21 y E 31  producen ceros en las posiciones de (2, 1) y (3, 1) de  E 21 A y  E 31 A respectivamente.

Capítulo 2 Ejercicios del Capítulo N◦ .2

Capítulo 3 Ejercicios del Capítulo N◦ .3

Capítulo 4 Ejercicios del Capítulo N◦ .4

 A =

 

2

1

0

−2

0

1

8

5

3

 

Encuentre la matriz única  E  = E 31 E 21  que produce ambos ceros a la vez. Multiplique EA.

Capítulo 5 Ejercicios del Capítulo N◦ .5

Solucionario del Ejercicio 3.6 en la página 14:

Ejercicios del Capítulo N◦ .3 Algebra Lineal Aland Bravo Vecorena Capítulo 1 Ejercicios del Capítulo N◦ .1

Capítulo 2

Ejercicio 3.7: Del ejercicio anterior. Encuentre los valores de c, D, D − cb/a. Sabiendo:

Ejercicios del Capítulo N◦ .2

Capítulo 3 Ejercicios del Capítulo N◦ .3

Capítulo 4 Ejercicios del Capítulo N◦ .4

Capítulo 5 Ejercicios del Capítulo N◦ .5

 EA =



1

c/a

−

0

I 

 ·

a c

b D

   =

a 0

b D − cb/a



Ejercicios del Capítulo N◦ .3 Algebra Lineal Aland Bravo Vecorena Capítulo 1 Ejercicios del Capítulo N◦ .1

Capítulo 2

Ejercicio 3.7: Del ejercicio anterior. Encuentre los valores de c, D, D − cb/a. Sabiendo:

Ejercicios del Capítulo N◦ .2

Capítulo 3 Ejercicios del Capítulo N◦ .3

 EA =



1

c/a

−

0

I 

 ·

a c

b D

   =

a 0

b D − cb/a

Capítulo 4 Ejercicios del Capítulo N◦ .4

Capítulo 5 Ejercicios del Capítulo N◦ .5

Solucionario del Ejercicio 3.7 en la página 14:



Ejercicios del Capítulo N◦ .4 Algebra Lineal Aland Bravo Vecorena Capítulo 1 Ejercicios del Capítulo N◦ .1

Ejercicio 4.1:   Reduzca A y B   a su forma escalonada para encontrar sus rangos. ¿Qué variables son libres?:

Capítulo 2 Ejercicios del Capítulo N◦ .2

Capítulo 3 Ejercicios del Capítulo N◦ .3

Capítulo 4 Ejercicios del Capítulo N◦ .4

Capítulo 5 Ejercicios del Capítulo N◦ .5

 A =

 

1

2

0

1

0

1

1

0

1

2

0

1

 

B =

 

1

2

3

4

5

6

7

8

9

 

Encuentre las soluciones especiales Ax = 0  y Bx = 0. Encuentre todas las soluciones.

Ejercicios del Capítulo N◦ .4 Algebra Lineal Aland Bravo Vecorena Capítulo 1 Ejercicios del Capítulo N◦ .1

Ejercicio 4.1:   Reduzca A y B   a su forma escalonada para encontrar sus rangos. ¿Qué variables son libres?:

Capítulo 2 Ejercicios del Capítulo N◦ .2

Capítulo 3 Ejercicios del Capítulo N◦ .3

Capítulo 4 Ejercicios del Capítulo N◦ .4

 A =

 

1

2

0

1

0

1

1

0

1

2

0

1

 

B =

 

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Encuentre las soluciones especiales Ax = 0  y Bx = 0. Encuentre todas las soluciones.

Capítulo 5 Ejercicios del Capítulo N◦ .5

 

Solucionario del Ejercicio 4.1 en la página 2:

Ejercicios del Capítulo N◦ .4 Algebra Lineal Aland Bravo Vecorena Capítulo 1

Ejercicio 4.2: Encuentre la forma escalonada de U , las variables libres y las soluciones especiales:

Ejercicios del Capítulo N◦ .1

Capítulo 2 Ejercicios del Capítulo N◦ .2

Capítulo 3 Ejercicios del Capítulo N◦ .3

Capítulo 4 Ejercicios del Capítulo N◦ .4

Capítulo 5 Ejercicios del Capítulo N◦ .5

 A =



0

1

0

3

0

2

0

6



y

B =

  b1 b2

 Ax =  b  es consistente (tiene una solución) cuando b  satisface . Encuentre la solución completa en la misma forma b2 = que la ecuación x = x p + xn . Donde x p  es la solución particular y xn  es la solución del espacio nulo.

Ejercicios del Capítulo N◦ .4 Algebra Lineal Aland Bravo Vecorena Capítulo 1

Ejercicio 4.2: Encuentre la forma escalonada de U , las variables libres y las soluciones especiales:

Ejercicios del Capítulo N◦ .1

Capítulo 2 Ejercicios del Capítulo N◦ .2

Capítulo 3 Ejercicios del Capítulo N◦ .3

Capítulo 4 Ejercicios del Capítulo N◦ .4

 A =



0

1

0

3

0

2

0

6



y

B =

  b1 b2

 Ax =  b  es consistente (tiene una solución) cuando b  satisface . Encuentre la solución completa en la misma forma b2 = que la ecuación x = x p + xn . Donde x p  es la solución particular y xn  es la solución del espacio nulo.

Capítulo 5 Ejercicios del Capítulo N◦ .5

Solucionario del Ejercicio 4.2 en la página 26:

Ejercicios del Capítulo N◦ .4 Algebra Lineal Aland Bravo Vecorena Capítulo 1 Ejercicios del Capítulo N◦ .1

Ejercicio 4.3: Escriba las soluciones completas x  =  x p + xn   de los siguientes sistemas de ecuaciones:

Capítulo 2 Ejercicios del Capítulo N◦ .2

Capítulo 3 Ejercicios del Capítulo N◦ .3

Capítulo 4 Ejercicios del Capítulo N◦ .4

Capítulo 5 Ejercicios del Capítulo N◦ .5



1 2

2 4

2 5

     ·

u v w

=

1

4

y



1 2

2 4

2 4

     ·

u v w

=

1

4

Ejercicios del Capítulo N◦ .4 Algebra Lineal Aland Bravo Vecorena Capítulo 1 Ejercicios del Capítulo N◦ .1

Ejercicio 4.3: Escriba las soluciones completas x  =  x p + xn   de los siguientes sistemas de ecuaciones:

Capítulo 2 Ejercicios del Capítulo N◦ .2

Capítulo 3 Ejercicios del Capítulo N◦ .3



1 2

2 4

2 5

     ·

u v w

=

1

4

y



1 2

Capítulo 4 Ejercicios del Capítulo N◦ .4

Capítulo 5 Ejercicios del Capítulo N◦ .5

Solucionario del Ejercicio 4.3 en la página 27:

2 4

2 4

     ·

u v w

=

1

4

Ejercicios del Capítulo N◦ .4 Algebra Lineal Aland Bravo Vecorena Capítulo 1 Ejercicios del Capítulo N◦ .1

Ejercicio 4.4: ¿Cuales deben ser las condiciones sobre b1 y b2 , en caso de haber alguna, para que Ax =  b  tenga solución?

Capítulo 2 Ejercicios del Capítulo N◦ .2

Capítulo 3 Ejercicios del Capítulo N◦ .3

Capítulo 4 Ejercicios del Capítulo N◦ .4

Capítulo 5 Ejercicios del Capítulo N◦ .5

 A =



1

2

0

3

2

4

0

7



b =

  b1 b2

Encuentre dos vectores en el espacio nulo de A, así como la solución completa de Ax =  b.

Ejercicios del Capítulo N◦ .4 Algebra Lineal Aland Bravo Vecorena Capítulo 1 Ejercicios del Capítulo N◦ .1

Ejercicio 4.4: ¿Cuales deben ser las condiciones sobre b1 y b2 , en caso de haber alguna, para que Ax =  b  tenga solución?

Capítulo 2 Ejercicios del Capítulo N◦ .2

Capítulo 3 Ejercicios del Capítulo N◦ .3

 A =



1

2

0

3

2

4

0

7



b =

 

Encuentre dos vectores en el espacio nulo de A, así como la solución completa de Ax =  b.

Capítulo 4 Ejercicios del Capítulo N◦ .4

Capítulo 5 Ejercicios del Capítulo N◦ .5

b1 b2

Solucionario del Ejercicio 4.4 en la página 28:

Ejercicios del Capítulo N◦ .4 Algebra Lineal Aland Bravo Vecorena Capítulo 1

Ejercicio 4.5:

Encuentre las soluciones completas de:

Ejercicios del Capítulo N◦ .1

Capítulo 2 Ejercicios del Capítulo N◦ .2

Capítulo 3 Ejercicios del Capítulo N◦ .3

Capítulo 4 Ejercicios del Capítulo N◦ .4

Capítulo 5 Ejercicios del Capítulo N◦ .5

 x 2 x − x

+ +

3 y

−

3 y

6 y

+ + +

3 z 9 z 3 z

= = =

1 5 5

y

 

1

3

1

2

2

6

4

8

0

0

2

4

   

 x  y  z t 

      1

=

3 1

Ejercicios del Capítulo N◦ .4 Algebra Lineal Aland Bravo Vecorena Capítulo 1

Ejercicio 4.5:

Encuentre las soluciones completas de:

Ejercicios del Capítulo N◦ .1

Capítulo 2 Ejercicios del Capítulo N◦ .2

Capítulo 3 Ejercicios del Capítulo N◦ .3

 x 2 x − x

+ +

3 y

−

3 y

6 y

+ + +

3 z 9 z 3 z

= = =

1 5 5

y

 

1

3

1

2

2

6

4

8

0

0

2

4

Capítulo 4 Ejercicios del Capítulo N◦ .4

Capítulo 5 Ejercicios del Capítulo N◦ .5

Solucionario del Ejercicio 4.5 en la página 29:

   

 x  y  z t 

      1

=

3 1

Ejercicios del Capítulo N◦ .4 Algebra Lineal Aland Bravo Vecorena Capítulo 1 Ejercicios del Capítulo N◦ .1

Capítulo 2 Ejercicios del Capítulo N◦ .2

Capítulo 3 Ejercicios del Capítulo N◦ .3

Capítulo 4 Ejercicios del Capítulo N◦ .4

Capítulo 5 Ejercicios del Capítulo N◦ .5

Ejercicio 4.6: ¿Cuales son las condiciones sobre b1 , b2 , b3 , para que el sistema sea resoluble? Incluya a b  como una cuarta columna en [ Ab]. Encuentre todas las soluciones cuando se cumple esa condición:  x 2 x 4 x

+ + +

2 y

−

5 y

−

9 y

−

= 4 z = 8 z = 2 z

b1 b2 b3

Ejercicios del Capítulo N◦ .4 Algebra Lineal Aland Bravo Vecorena Capítulo 1 Ejercicios del Capítulo N◦ .1

Capítulo 2 Ejercicios del Capítulo N◦ .2

Capítulo 3 Ejercicios del Capítulo N◦ .3

Capítulo 4

Ejercicio 4.6: ¿Cuales son las condiciones sobre b1 , b2 , b3 , para que el sistema sea resoluble? Incluya a b  como una cuarta columna en [ Ab]. Encuentre todas las soluciones cuando se cumple esa condición:  x 2 x 4 x

+ + +

2 y

−

5 y

−

9 y

−

= 4 z = 8 z = 2 z

b1 b2 b3

Ejercicios del Capítulo N◦ .4

Capítulo 5 Ejercicios del Capítulo N◦ .5

Solucionario del Ejercicio 4.6 en la página 28:

Ejercicios del Capítulo N◦ .4 Algebra Lineal Aland Bravo Vecorena Capítulo 1 Ejercicios del Capítulo N◦ .1

Ejercicio 4.7: Escoja el número q  de modo que, de ser posible, los rangos sean a)1, b)2 y c)3:

Capítulo 2 Ejercicios del Capítulo N◦ .2

Capítulo 3 Ejercicios del Capítulo N◦ .3

Capítulo 4 Ejercicios del Capítulo N◦ .4

Capítulo 5 Ejercicios del Capítulo N◦ .5

 A =

 

6

4

2

−3

−2

−1

9

6

q

 

y

B =



3

1

3

q

2

q



Ejercicios del Capítulo N◦ .4 Algebra Lineal Aland Bravo Vecorena Capítulo 1 Ejercicios del Capítulo N◦ .1

Ejercicio 4.7: Escoja el número q  de modo que, de ser posible, los rangos sean a)1, b)2 y c)3:

Capítulo 2 Ejercicios del Capítulo N◦ .2

Capítulo 3 Ejercicios del Capítulo N◦ .3

 A =

 

6

4

2

−3

−2

−1

9

6

q

 

y

B =



3

1

3

q

2

q

Capítulo 4 Ejercicios del Capítulo N◦ .4

Capítulo 5 Ejercicios del Capítulo N◦ .5

Solucionario del Ejercicio 4.7 en la página 29:



Ejercicios del Capítulo N◦ .5 Algebra Lineal Aland Bravo Vecorena Capítulo 1 Ejercicios del Capítulo N◦ .1

Capítulo 2 Ejercicios del Capítulo N◦ .2

Capítulo 3 Ejercicios del Capítulo N◦ .3

Capítulo 4 Ejercicios del Capítulo N◦ .4

Capítulo 5 Ejercicios del Capítulo N◦ .5

Ejercicio 5.1: Diga si es verdadero o falso: Si m = n, entonces el espacio fila de A   es igual al espacio columna. Si m  < n, entonces el espacio nulo tiene una dimensión mayor que . . ..

Ejercicios del Capítulo N◦ .5 Algebra Lineal Aland Bravo Vecorena Capítulo 1 Ejercicios del Capítulo N◦ .1

Capítulo 2 Ejercicios del Capítulo N◦ .2

Ejercicio 5.1: Diga si es verdadero o falso: Si m = n, entonces el espacio fila de A   es igual al espacio columna. Si m  < n, entonces el espacio nulo tiene una dimensión mayor que . . ..

Capítulo 3 Ejercicios del Capítulo N◦ .3

Capítulo 4 Ejercicios del Capítulo N◦ .4

Capítulo 5 Ejercicios del Capítulo N◦ .5

Solucionario del Ejercicio 5.1 en la página 2:

Ejercicios del Capítulo N◦ .5 Algebra Lineal Aland Bravo Vecorena Capítulo 1 Ejercicios del Capítulo N◦ .1

Capítulo 2

Ejercicio 5.2: Encuentre la dimensión y construya una base para los cuatro sub espacios asociados con cada una de las siguientes matrices:

Ejercicios del Capítulo N◦ .2

Capítulo 3 Ejercicios del Capítulo N◦ .3

Capítulo 4 Ejercicios del Capítulo N◦ .4

Capítulo 5 Ejercicios del Capítulo N◦ .5

 A =



0

1

4

0

0

2

8

0



y

U  =



0

1

4

0

0

0

0

0



Ejercicios del Capítulo N◦ .5 Algebra Lineal Aland Bravo Vecorena Capítulo 1 Ejercicios del Capítulo N◦ .1

Capítulo 2

Ejercicio 5.2: Encuentre la dimensión y construya una base para los cuatro sub espacios asociados con cada una de las siguientes matrices:

Ejercicios del Capítulo N◦ .2

Capítulo 3 Ejercicios del Capítulo N◦ .3

 A =



0

1

4

0

0

2

8

0



y

U  =



0

1

4

0

0

0

0

0

Capítulo 4 Ejercicios del Capítulo N◦ .4

Capítulo 5 Ejercicios del Capítulo N◦ .5

Solucionario del Ejercicio 5.2 en la página 26:



Ejercicios del Capítulo N◦ .5 Algebra Lineal Aland Bravo Vecorena Capítulo 1 Ejercicios del Capítulo N◦ .1

Ejercicio 5.3: Encuentre la dimensión y una base para los cuatro sub espacios fundamentales de:

Capítulo 2 Ejercicios del Capítulo N◦ .2

Capítulo 3 Ejercicios del Capítulo N◦ .3

Capítulo 4 Ejercicios del Capítulo N◦ .4

Capítulo 5 Ejercicios del Capítulo N◦ .5

 A =

 

1

2

0

1

0

1

1

0

1

2

0

1

 

y

U  =

 

1

2

0

1

0

1

1

0

0

0

0

0

 

Ejercicios del Capítulo N◦ .5 Algebra Lineal Aland Bravo Vecorena Capítulo 1 Ejercicios del Capítulo N◦ .1

Ejercicio 5.3: Encuentre la dimensión y una base para los cuatro sub espacios fundamentales de:

Capítulo 2 Ejercicios del Capítulo N◦ .2

Capítulo 3 Ejercicios del Capítulo N◦ .3

 A =

 

1

2

0

1

0

1

1

0

1

2

0

1

 

y

U  =

Capítulo 4 Ejercicios del Capítulo N◦ .4

Capítulo 5 Ejercicios del Capítulo N◦ .5

Solucionario del Ejercicio 5.3 en la página 27:

 

1

2

0

1

0

1

1

0

0

0

0

0

 

Ejercicios del Capítulo N◦ .5 Algebra Lineal Aland Bravo Vecorena Capítulo 1 Ejercicios del Capítulo N◦ .1

Ejercicio 5.4: Describa los cuatro sub espacios en el espacio tridimensional asociados con:

Capítulo 2 Ejercicios del Capítulo N◦ .2

Capítulo 3 Ejercicios del Capítulo N◦ .3

Capítulo 4 Ejercicios del Capítulo N◦ .4

Capítulo 5 Ejercicios del Capítulo N◦ .5

 A =

 

0

1

0

0

0

1

0

0

0

 

Ejercicios del Capítulo N◦ .5 Algebra Lineal Aland Bravo Vecorena Capítulo 1 Ejercicios del Capítulo N◦ .1

Ejercicio 5.4: Describa los cuatro sub espacios en el espacio tridimensional asociados con:

Capítulo 2 Ejercicios del Capítulo N◦ .2

Capítulo 3 Ejercicios del Capítulo N◦ .3

 A =

 

0

1

0

0

0

1

0

0

0

 

Capítulo 4 Ejercicios del Capítulo N◦ .4

Capítulo 5 Ejercicios del Capítulo N◦ .5

Solucionario del Ejercicio 5.4 en la página 28:

Ejercicios del Capítulo N◦ .5 Algebra Lineal Aland Bravo Vecorena Capítulo 1 Ejercicios del Capítulo N◦ .1

Capítulo 2 Ejercicios del Capítulo N◦ .2

Capítulo 3 Ejercicios del Capítulo N◦ .3

Capítulo 4 Ejercicios del Capítulo N◦ .4

Capítulo 5 Ejercicios del Capítulo N◦ .5

Ejercicio 5.5: Suponga que A  es cualquier matriz de m por n de rango r . En qué condiciones sobre estos números: a A  tiene una inversa por ambos lados: AA−1 = A−1 A = I  b Ax =  b  tiene una infinidad de soluciones para toda b

Ejercicios del Capítulo N◦ .5 Algebra Lineal Aland Bravo Vecorena Capítulo 1 Ejercicios del Capítulo N◦ .1

Capítulo 2 Ejercicios del Capítulo N◦ .2

Capítulo 3 Ejercicios del Capítulo N◦ .3

Ejercicio 5.5: Suponga que A  es cualquier matriz de m por n de rango r . En qué condiciones sobre estos números: a A  tiene una inversa por ambos lados: AA−1 = A−1 A = I  b Ax =  b  tiene una infinidad de soluciones para toda b

Capítulo 4 Ejercicios del Capítulo N◦ .4

Capítulo 5 Ejercicios del Capítulo N◦ .5

Solucionario del Ejercicio 5.5 en la página 29:

Ejercicios del Capítulo N◦ .5 Algebra Lineal Aland Bravo Vecorena Capítulo 1 Ejercicios del Capítulo N◦ .1

Capítulo 2 Ejercicios del Capítulo N◦ .2

Capítulo 3 Ejercicios del Capítulo N◦ .3

Capítulo 4 Ejercicios del Capítulo N◦ .4

Capítulo 5 Ejercicios del Capítulo N◦ .5

Ejercicio 5.6: Suponga que la única solución de Ax = 0 (m ecuaciones con n  incógnitas) es x =  0 . ¿Cuál es el rango y por qué?. Las columnas de A  son linealmente ________

Ejercicios del Capítulo N◦ .5 Algebra Lineal Aland Bravo Vecorena Capítulo 1 Ejercicios del Capítulo N◦ .1

Capítulo 2 Ejercicios del Capítulo N◦ .2

Ejercicio 5.6: Suponga que la única solución de Ax = 0 (m ecuaciones con n  incógnitas) es x =  0 . ¿Cuál es el rango y por qué?. Las columnas de A  son linealmente ________

Capítulo 3 Ejercicios del Capítulo N◦ .3

Capítulo 4 Ejercicios del Capítulo N◦ .4

Capítulo 5 Ejercicios del Capítulo N◦ .5

Solucionario del Ejercicio 5.6 en la página 28:

Ejercicios del Capítulo N◦ .5 Algebra Lineal Aland Bravo Vecorena Capítulo 1 Ejercicios del Capítulo N◦ .1

Ejercicio 5.7: Encuentre el rango de A, y escriba la matriz como A =  µ ν T :

Capítulo 2 Ejercicios del Capítulo N◦ .2

Capítulo 3 Ejercicios del Capítulo N◦ .3

Capítulo 4 Ejercicios del Capítulo N◦ .4

Capítulo 5 Ejercicios del Capítulo N◦ .5

 A =

 

1

0

0

3

0

0

0

0

2

0

0

6

 

y

A =



2

−2

6

−6

