Di Prisco, Carlos. Introduccion a la Logica Matematica.pdf

October 3, 2017 | Author: Vanessa Delgado | Category: Proposition, Axiom, Logical Expressions, Theoretical Computer Science, Logical Consequence

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Introducción a la Lógica Matemática EMALCA AMAZONIA Agosto de 2009 Carlos Augusto Di Prisco August 12, 2009

ii

Contenido 1 C´ alculo Proposicional 1.1 El lenguaje proposicional. . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Semántica del Cálculo Proposicional. . . . . . . . . 1.3 Formas Normales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Resolución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Completitud del método de resolución. . . . 1.5 Un sistema axiomático para el cálculo proposicional. 1.6 Cálculo de secuentes. . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 2 3 16 18 20 22 29

2 L´ ogica de primer orden. 2.1 Lenguajes de primer orden y estructuras . . . . . . 2.2 Operaciones entre estructuras: . . . . . . . . . . . . 2.3 Formalización de un Lenguaje: . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Verdad en una Interpretación . . . . . . . . 2.3.2 Definibilidad en una estructura. . . . . . . . 2.4 Un sistema axiomático para la lógica de primer orden. 2.5 El teorema de completitud para la lógica de primer orden. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37 37 38 40 43 48 50

3 Razonamiento no mon´ otono 3.1 Razonamiento acumulativo 3.2 Modelos acumulativos . . 3.3 Razonamiento Preferencial 3.4 Modelos Preferenciales . .

65 68 71 75 76

iii

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56

iv

CONTENIDO

Cap´ıtulo 1 C´ alculo Proposicional Comenzaremos nuestro estudio de la lógica considerando cierto tipo sencillo de enunciados. Serán enunciados declarativos, es decir, enunciados que declaran un cierto estado de cosas; dejando fuera enunciados de tipo imperativo o interogativo, etc. Trataremos esos enunciados como unidades, y estudiaremos las combinaciones que se obtienen al usar las conectivas “y”, “o”, “no”, “si ... entonces...”, entre otras. El problema central que nos ocupará es el siguiente: Si tenemos una de esas combinaciones, ¿qué podemos decir sobre la veracidad de la misma, dada información sobre la veracidad de sus componentes? para ello desarrollaremos el cálculo proposicional. El cálculo proposicional trata ciertas proposiciones básicas como unidades, y las combinaciones que se obtienen a partir de ellas usando las conectivas lógicas tales como la negación (¬), la disyunción (∨), la conjunción (∧), la implicación (→) y la doble implicación (↔). Para formalizar esto, definiremos el lenguaje proposicional, partiendo de un conjunto de s´ımbolos, que llamaremos letras proposicionales, que combinaremos usando las conectivas. 1

´ CAPÍTULO 1. CALCULO PROPOSICIONAL

2

1.1

El lenguaje proposicional.

Sea A un conjunto no vac´ıo, a lo sumo numerable, cuyos elementos llamaremos letras proposicionales. Usaremos p, q, r, . . . , p1 , p2 , . . . para denotar los elementos de A. El lenguaje proposicional, tiene, además de las letras proposicionales, otros s´ımbolos: las conectivas ¬, ∨, ∧, →, ↔ y los paréntesis “(” y “)”. Definici´ on 1.1.1 El conjunto P ROP de proposiciones (del cálculo proposicional) es la colección de todas las sucesiones finitas de s´ımbolos del lenguaje proposicional que se obtienen aplicando un n´ umero finito de veces las reglas de formación siguientes . (i) Toda letra proposicional es una proposición. (ii) Si ϕ y ψ son proposiciones, entonces también lo son (¬ϕ), (ϕ ∨ ψ), (ϕ ∧ ψ), (ϕ → ψ) y (ϕ ↔ ψ). Nótese que esta es una definición inductiva del conjunto de proposiciones. Más adelante veremos que para demostrar propiedades de las proposiciones, podremos hacerlo inductivamente, demostrando primero la propiedad para las letras proposicionales, y luego para una proposición compuesta dada, suponiendo que las proposiciones que la componen tienen la propiedad. El conjunto P ROP es entonces el menor conjunto que contiene a las letras proposicionales y es cerrado bajo las siguientes operaciones: (i) Si ϕ ∈ P ROP , entonces (¬ϕ) ∈ P ROP , (ii) Si ϕ, ψ ∈ P ROP , entonces (ϕ ∨ ψ) ∈ P ROP , (ϕ ∧ ψ) ∈ P ROP , (ϕ → ψ) ∈ P ROP y (ϕ ↔ ψ) ∈ P ROP . Ejercicio 1.1.2 1. Muestre que las siguientes sucesiones de s´ımbolos son proposiciones: ((p → q) → ((¬q) → (¬p))),

´ ´ 1.2. SEMANTICA DEL CALCULO PROPOSICIONAL.

3

((p ∧ q) → p), ((p → (¬p)) → (¬p)). 2. Muestre que las siguientes sucesiones de s´ımbolos no son proposiciones: (p → ¬p) → p, (p ∨ q → p), ((¬p)¬ → q). El uso de los paréntesis evita ambiguedades como la que aparece en la expresión (p → q → p). Sin embargo, es posible que más adelante no seamos muy rigurosos en el uso de los paréntesis siempre que esto no nos produzca problemas de ese tipo. Observemos que como el conjunto A de letras proposicionales es numerable, el conjunto P ROP de las proposiciones del cálculo proposicional es también numerable. Esto se debe a que el conjunto de las sucesiones finitas de elementos de un conjunto numerable es numerable.

1.2

Sem´ antica del C´ alculo Proposicional.

La semántica del cálculo proposicional consiste esencialmente en darle significado a las conectivas, para después poder decidir si una proposición es verdadera o falsa de acuerdo a los valores de verdad de sus componentes. Trabajaremos con dos valores de verdad: V y F (que se pueden interpretar como verdad y falsedad), pero debemos hacer notar que ésta es una decisión arbitraria, ya que se podr´ıa pensar en la posibilidad de usar tres valores, V , F y ?, que se interpretar´ıan como verdad, falsedad e indeterminación, respectivamente; o un n´ umero mayor, a´ un infinto, de valores. Estas otras posibilidades han sido estudiadas y resultan interesantes y al mismo tiempo u ´tiles, pero en estas notas nos limitaremos a dos valores de verdad.

´ CAPÍTULO 1. CALCULO PROPOSICIONAL

4

Queremos interpretar la conectiva ϕ ∧ ψ como la conjunción de ϕ y ψ, entonces (ϕ ∧ ψ) será verdad cuando ambas proposiciones ϕ y ψ sean verdad. Esto se puede expresar mediante la función H∧ : {V, F }2 → {V, F } definida por

H∧ (V, V ) = V H∧ (V, F ) = F H∧ (F, V ) = F H∧ (F, F ) = F Usualmente se resume esta información en la tabla ϕ ψ V V V F F V F F

(ϕ ∧ ψ) V F F F

Análogamente, interpretamos ∨ de modo que (ϕ ∨ ψ) corresponda a la disyunción de ϕ y ψ, es decir, (ϕ ∨ ψ) es verdad si al menos una de esas dos proposiciones es verdad, y es falsa si ambas proposiciones, ϕ y ψ, son falsas. Esto se expresa mediante la función H∨ : {V, F }2 → {V, F } definida por

H∨ (V, V ) = V H∨ (V, F ) = V H∨ (F, V ) = V H∨ (F, F ) = F

´ ´ 1.2. SEMANTICA DEL CALCULO PROPOSICIONAL.

5

Y en forma resumida, mediante la tabla ϕ V V F F

ψ (ϕ ∨ ψ) V V F V V V F F

La conectiva “→” será interpretada como implicación material, es decir, la proposición ϕ → ψ será falsa solamente en el caso de que ϕ sea verdad y ψ sea falsa; en todos los demás casos ϕ → ψ es verdadera. Esto se puede expresar mediante la función H→ : {V, F }2 → {V, F } definida de la manera siguiente:

H→ (V, V ) = V H→ (V, F ) = F H→ (F, V ) = V H→ (F, F ) = V Esta información se resume en la tabla ϕ V V F F

ψ ϕ→ψ V V F F V V F V

La doble implicación ↔ quedará definida mediante la función H↔ : {V, F }2 → {V, F } definida por

´ CAPÍTULO 1. CALCULO PROPOSICIONAL

6

H↔ (V, V ) = V H↔ (V, F ) = F H↔ (F, V ) = F H↔ (F, F ) = V Y la tabla correspondiente es ϕ ψ V V V F F V F F

ϕ↔ψ V F F V

La conectiva ¬ se interpreta como negación, y por lo tanto quedará definida por la función H¬ : {V, F } → {V, F } dada por H¬ (V ) = F y H¬ (F ) = V a la que corresponde la tabla ϕ ¬ϕ V F F V Definici´ on 1.2.1 Una conectiva n-aria es una función σ : (P ROP )n → P ROP que asigna una proposición a cada n-tupla de proposiciones, de modo que el valor de verdad de σ(ϕ1 , . . . , ϕn ) depende solamente de los valores de verdad de las proposiciones ϕ1 , . . . , ϕn . En principio podr´ıamos pensar en un concepto más general de conectiva, para el cual el valor de verdad de σ(ϕ1 , . . . , ϕn ) no

´ ´ 1.2. SEMANTICA DEL CALCULO PROPOSICIONAL.

7

dependa solamente de los valores de verdad de las proposiciones ϕ1 , . . . , ϕn , sino de algunos otros parámetros, pero eso no nos interesa por los momentos. Cada conectiva n-aria, corresponde entonces a una función H : {V, F }n → {V, F }, o lo que es lo mismo, a la tabla de verdad que defina esa función. n Por lo tanto existen exactamente 22 conectivas n-arias. Debe resultar claro que usando la definición inductiva del conjunto de proposiciones, a cada proposición le corresponde una tabla de verdad. Por ejemplo, a la proposición ((p ∧ q) → r), le corresponde una función de tres argumentos H : {V, F }3 → {V, F } definida mediante la siguiente tabla p V V V V F F F F

q V V F F V V F F

r (p ∧ q) ((p ∧ q) → r) V V V F V F V F V F F V V F V F F V V F V F F V

Definici´ on 1.2.2 Un conjunto C de de conectivas es completo si dada cualquier conectiva σ, existe una proposición construida a partir de las conectivas de C cuya tabla de verdad coincide con la de σ. Teorema 1.2.3 El conjunto de conectivas {¬, ∨, ∧} es completo. Demostración. Sea σ : (P ROP )k → P ROP una conectiva de k argumentos, y consideremos su tabla de verdad

´ CAPÍTULO 1. CALCULO PROPOSICIONAL

8 p1 V

p2 V

ai1 ai2 F

F

... ... ... ... ... ...

pk V

σ(p1 , . . . , pk ) b1

aik

bi

F

bk

Donde p1 , p2 , . . . , pk son letras proposicionales, aij es el valor de verdad que aparece en el lugar j de la fila i, y bi es el valor que toma σ(p1 , . . . pk ) en la fila i. Para cada letra proposicional p sea pV = p y pF = (¬p). Para la fila i, sea Ai la conjunción pa1i1 ∧ pa2i2 ∧ · · · ∧ pakik . Si i1 , . . . , im son las filas donde σ(p1 , . . . , pk ) toma valor V , la proposición Ai1 ∨· · ·∨Aim , donde solamente aparecen las conectivas ¬, ∧ y ∨, tiene la misma tabla de verdad que σ(p1 , . . . , pk ).

Ejercicio 1.2.4 Demuestre que la proposición construida en la prueba anterior tiene la misma tabla de verdad que la conectiva σ. Ejercicio 1.2.5 Demuestre que la tabla de verdad de (ϕ → ψ) coincide con la tabla de ((¬ϕ) ∨ ψ). Lo mismo para las tablas de (ϕ ∧ ψ) y (¬(ϕ → (¬ψ)). Corolario 1.2.6 El conjunto de conectivas {¬, ∨} es completo Demostración. Basta notar que ∧ se puede definir a partir de ¬ y ∨ de la manera siguiente: la tabla de ϕ ∧ ψ coincide con la tabla de la proposición (¬((¬ϕ) ∨ (¬ψ))).

Ejercicio 1.2.7 Demuestre que los siguientes conjuntos son conjuntos completos de conectivas, {¬, ∧}, {¬, →} Ejercicio 1.2.8 Considere las conectivas binarias “|” y “ ↓ ” cuyas tablas son

´ ´ 1.2. SEMANTICA DEL CALCULO PROPOSICIONAL. ϕ V V F F

9

ψ (ϕ|ψ) (ϕ ↓ ψ) V F F F V F V V F F V V

Demuestre que los conjuntos {|} y {↓} son completos. Demuestre además que | y ↓ son las u ńicas conectivas binarias que por si mismas forman conjuntos completos. Definici´ on 1.2.9 Una asignación de valores de verdad es una función de A : A → {V, F } que asigna un valor de verdad a cada letra proposicional. Una valuación es una función V : P rop → {V, F } tal que a cada proposición ϕ le asigna un valor V(ϕ) de modo que (i) V((¬ϕ)) = H¬ (V(ϕ)), (ii) V(ϕ ∨ ψ) = H∨ ((ϕ), V(ψ)), (iii) V(ϕ ∧ ψ) = H∧ ((ϕ), V(ψ)), (iv) V(ϕ → ψ) = H→ ((ϕ), V(ψ)), (v) V(ϕ ↔ ψ) = H↔ ((ϕ), V(ψ)). Como {¬, ∨} es un conjunto completo de conectivas, las funciones H∧ , H→ y H↔ se pueden definir a partir de H¬ y H∨ . Por ejemplo, H→ (φ, ψ) = H∨ (H¬ (ϕ), ψ). Por lo tanto, las cláusulas (iii), (iv), y (v) de la definición siguen de las dos primeras. Definici´ on 1.2.10 Una proposición ϕ es una tautolog´ıa si V(ϕ) = V para toda valuación V. Una proposición es una contradicción si toda valuación le da valor F . Una proposición ϕ es satisfactible si existe una valuación que le asigna valor V (es decir, si no es una contradicción).

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´ CAPÍTULO 1. CALCULO PROPOSICIONAL

Ejercicio 1.2.11 (i) Demuestre que las siguientes proposiciones son tautolog´ıas: p → (p ∨ q), p → (q → p), (p ∧ q) → p. (ii) Demuestre que las siguientes proposiciones son satisfactibles: p → (¬p), (p ∨ q) → p, (p ∨ q) ↔ (q ∨ p), p → (q → (¬p)). (iii) Demuestre que las siguientes proposiciones son contradicciones: p ↔ (¬p), p ∧ (¬p), p ∧ (¬((¬p) → q)). Ejercicio 1.2.12 Demuestre que si ϕ y (ϕ → ψ) son tautolog´ıas, entonces también lo es ψ. En algunas ocasiones puede resultar conveniente a˜ nadir dos s´ımbolos adicionales al lenguaje proposicional: las letras proposicionales >, que siempre toma valor V , y ⊥ que toma siempre valor F . De modo que toda tautolog´ıa es equivalente a > y toda contradicción es equivalente a ⊥. O alternativamente, se puede fijar una tautolog´ıa espec´ıfica, por ejemplo “p ∨ (¬p)” y denotarla con el s´ımbolo >, y fijar una contradicción, por ejemplo “p ∧ (¬p)” y denotarla con el s´ımbolo ⊥. Definici´ on 1.2.13 Decimos que las proposiciones ϕ y ψ son equivalentes si para toda valuación V, se cumple V(ϕ) = V(ψ). Proposici´ on 1.2.14 ϕ y ψ son equivalentes si y sólo si la proposición (ϕ ↔ ψ) es una tautolog´ıa. Proposici´ on 1.2.15 Dadas valuaciones V y W, si V A = W A, entonces V = W. Por lo tanto, toda asignación de valores de verdad se extiende de manera u ńica a una valuación. Demostración. Mostramos por inducción en la complejidad de ϕ que para toda ϕ se tiene V(ϕ) = W(ϕ). Si ϕ es una letra proposicional, la igualdad vale por hipótesis. Si ϕ es la proposición (¬ψ), y suponemos inductivamente que V(ψ) = W(ψ), entonces V(ϕ) = H¬ (V(ψ)) = H¬ (W(ψ)) = W(ϕ), donde la igualdad del medio vale por hipótesis inductiva y las otras dos por la definición de valuación.

´ ´ 1.2. SEMANTICA DEL CALCULO PROPOSICIONAL.

11

Si ϕ es la proposición (ψ ∨ χ), y las valuaciones V y W coinciden en ψ y χ, entonces V(ϕ) = H∨ (V(ψ), V(χ)) = H∨ (W(ψ), W(χ)) = W(ϕ). Por el comentario que sigue a la definición de valuación, con esto termina la demostración. Definici´ on 1.2.16 Dado un conjunto Σ de proposiciones, decimos que la proposición ϕ es consecuencia de Σ, y lo denotamos por Σ |= ϕ, si V(ϕ) = V para toda valuación V que satisface V(σ) = V para toda σ ∈ Σ. Si Σ = {ϕ}, escribimos ϕ |= ψ en vez de {ϕ} |= ψ. Escribiremos |= ϕ para expresar que toda valuación le da a ϕ valor V . (Obsérvese que esto coincide con la definición de Σ |= ϕ en el caso Σ = ∅). Si Σ es un conjunto de proposiciones denotaremos por Cn(Σ) al conjunto de consecuencias de Σ, Cn(Σ) = {ϕ : Σ |= ϕ}. Si una valuación V toma valor V en una proposición ϕ, decimos que V es un modelo de ϕ; si V es tal que V(σ) = V para toda σ ∈ Σ, decimos que V es un modelo de Σ. M od(Σ) denota el conjunto de los modelos de Σ. Ejercicio 1.2.17 Sean Σ, Σ1 , Σ2 ⊆ P ROP . Demuestre que 1. Si Σ1 ⊆ Σ2 , entonces Cn(Σ1 ) ⊆ Cn(Σ2 ) y M od(Σ2 ) ⊆ M od(Σ1 ), 2. Σ ⊆ Cn(Σ), 3. Cn(Cn(Σ)) = Cn(Σ),

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´ CAPÍTULO 1. CALCULO PROPOSICIONAL 4. M od(Σ) = M od(Cn(Σ)).

La primera parte del ejercicio anterior muestra que si Σ |= ϕ y Σ ⊆ Σ1 , entonces Σ1 |= ϕ. Esta propiedad de la relación “|=” se conoce con el nombre de monoton´ıa. Definici´ on 1.2.18 Un conjunto Σ de proposiciones es satisfactible (o realizable) si existe una valuación V tal que V(σ) = V para toda σ ∈ Σ, es decir, si M od(Σ) 6= ∅. En caso contrario, decimos que Σ es insatisfactible. Proposici´ on 1.2.19 Un conjunto Σ ⊆ P ROP es insatisfactible si y solamente si Cn(Σ) = P ROP . Demostración. Si Cn(Σ) = P ROP , entonces M od(Cn(Σ)) = ∅; luego, M od(Σ) = ∅. Rec´ıprocamente, si M od(Σ) = ∅, trivialmente toda proposición es consecuencia de Σ.

Ejercicio 1.2.20 Demuestre que (i) Σ |= ϕ si y sólo si M od(Σ ∪ {(¬ϕ)}) = ∅. (ii) (ϕ → ψ) es una tautolog´ıa si y sólo si ϕ |= ψ. Definici´ on 1.2.21 Un conjunto Σ ⊆ P ROP es finitamente satisfactible si cada subconjunto finito de Σ es satisfactible. Teorema 1.2.22 (Teorema de compacidad) Un conjunto Σ ⊆ P ROP es satisfactible si y solamente si Σ es finitamente satisfactible. Primero demostraremos un lema. Lema 1.2.23 Si Σ ⊆ P ROP es finitamente satisfactible y ϕ ∈ P ROP , entonces al menos uno de los conjuntos Σ ∪ {ϕ} y Σ ∪ {(¬ϕ)} es finitamente satisfactible.

´ ´ 1.2. SEMANTICA DEL CALCULO PROPOSICIONAL.

13

Demostración del lema. Supongamos que ni Σ ∪ {ϕ} ni Σ ∪ {(¬ϕ)} son finitamente satisfactibles. Entonces existen Σ1 y Σ2 , subconjuntos finitos de Σ, tales que Σ1 ∪ {ϕ} y Σ2 ∪ {(¬ϕ)} son insatisfactibles. El conjunto Σ1 ∪ Σ2 ⊆ Σ es finito y por hipótesis, existe una valuación V ∈ M od(Σ1 ∪ Σ2 ). Para esa valuación V o bien V(ϕ) = V o V((¬ϕ)) = V . En el primer caso, V ∈ M od(Σ1 ∪ {ϕ}, y en el segundo V ∈ M od(Σ1 ∪ {(¬ϕ)}. Ambas posibilidades contradicen la suposición inicial.lema Demostración del Teorema 1.2.22. Sea ϕ0 , ϕ1 , . . . , ϕn , . . . una enumeración de PROP. Definimos inductivamente una sucesión de subconjuntos de PROP de la manera siguiente. Ponemos(Σ0 = Σ, e inductivamente, Σn ∪ {ϕn } si este conjunto es finitamente satisfactible, Σn+1 = Σn ∪ {(¬ϕn )} en caso contrario. S otese que Σ∗ es finitamente satisfactible, Sea Σ∗ = ∞ n=0 Σn . N´ ya que cada Σn lo es. Definimos ahora una función V : P ROP → {V, F } poniendo V(ϕ) = V si y solamente si ϕ ∈ Σ∗ . Para cada ϕ ∈ P ROP , ϕ ∈ Σ∗ o (¬ϕ) ∈ Σ∗ , pero no ambas cosas a la vez. Esto se debe a que ϕ = ϕn para alg´ un n, y entonces ϕ ∈ Σn+1 o (¬ϕ) ∈ Σn+1 . Pero como cada Σn es finitamente satisfactible, ambas proposiciones ϕ y (¬ϕ) no pueden pertenecer a Σ∗ . Entonces, para cada ϕ, ϕ ∈ Σ∗ si y sólo si (¬ϕ) ∈ / Σ∗ , por lo que V((¬ϕ)) = H¬ (V(ϕ)). Por otra parte, si (ϕ ∨ ψ) ∈ Σ∗ , entonces alguna de las proposiciones ϕ y ψ pertenece a Σ∗ , ya que de lo contrario, (¬ϕ) y (¬ψ)

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´ CAPÍTULO 1. CALCULO PROPOSICIONAL

estar´ıan ambas en Σ∗ . Pero entonces, {(¬ϕ), (¬ψ), (ϕ ∨ ψ)} ⊆ Σ∗ y ese conjunto es insatisfactible, lo que constituye una contradicción. Rec´ıprocamente, si al menos una de las proposiciones ϕ y ψ pertenece a Σ∗ , entonces (ϕ ∨ ψ) ∈ Σ∗ , porque si no, (¬(ϕ ∨ ψ)) ∈ Σ∗ pero tanto {(¬(ϕ ∨ ψ)), ϕ} como {(¬(ϕ ∨ ψ)), ψ} son insatisfactibles. En conclusión, V((ϕ ∨ ψ)) = H∨ (V(ϕ), V(ψ)). Con esto queda verificado que V es una valuación, y como le da valor V a toda proposición de Σ∗ , este conjunto es satisfactible. Como Σ ⊆ Σ∗ , tambien Σ es satisfactible. Aunque no es necesario tratar los casos de proposiciones compuestas con las conectivas ∧, → y ↔, es ilustrativo hacerlo. Ejercicio 1.2.24 Demuestre que la función V definida en la demostración del teorema 1.2.22 satisface las condiciones (iii), (iv) y (v) de la definición de valuación. (Sugerencia para (iv): Hemos visto que para toda ϕ, ϕ ∈ Σ∗ o ¬ϕ ∈ Σ∗ , pero no ambas. Veamos que si (ϕ → ψ) ∈ Σ∗ , y ϕ ∈ Σ∗ , entonces necesariamente ψ ∈ Σ∗ . Si ψ ∈ / Σ∗ , entonces ∗ ∗ ¬ψ ∈ Σ , y el conjunto {ϕ, (ϕ → ψ), ¬ψ} ⊆ Σ es insatisfactible. Rec´ıprocamente, si ϕ ∈ / Σ∗ o si ψ ∈ Σ∗ , entonces (ϕ → ψ) ∈ Σ∗ , porque los conjuntos {¬ϕ, ¬(ϕ → ψ)} y {ψ, ¬(ϕ → ψ)} son ambos insatisfactibles). Corolario 1.2.25 Si Σ |= ϕ, entonces existe un subconjunto finito Σ0 ⊆ Σ tal que Σ0 |= ϕ. Demostración. Si Σ0 6|= ϕ para todo Σ0 ⊆ Σ con Σ0 finito, por el ejercicio 1.2.20(i), tenemos que para todo Σ0 ⊆ Σ finito, Σ0 ∪ {(¬ϕ)}es satisfactible, por lo tanto, Σ ∪ {(¬ϕ)} es satisfactible y en consecuencia, Σ 6|= ϕ, lo que contradice la hipótesis. Ejercicio 1.2.26 Un grafo es un par (V, E) donde V es un conjunto no vac´ıo, y E es un conjunto de pares de elementos de V . Usualmente, los elementos de V se llaman vértices del grafo y los

´ ´ 1.2. SEMANTICA DEL CALCULO PROPOSICIONAL.

15

elementos de E se llaman arcos o aristas. Si un par {x, y} ⊆ V pertenece a E, se dice que los vértices x e y están conectados (por el arco {x, y}). Una k coloración de un grafo (V, E), es una función c : V → {1, 2, . . . , k} que a cada vértice le asigna un ”color” entre 1 y k, de modo que para todo x, y ∈ V , {x, y} ∈ E ⇔ c(x) 6= c(y). Decimos que un grafo es k coloreable si existe una tal coloración. Un subgrafo del grafo (V, E) es un grafo (V 0 , E 0 ) tal que V 0 ⊆ V y E 0 = E ∩ {{x, y} : x, y ∈ V 0 }. Demuestre, usando el teorema de compacidad, que un grafo es k-coloreable si cada subgrafo finito es k-coloreable. Para demostrar que una proposición ϕ es una tautolog´ıa hay que verificar que cada valuación le asigna valor V , pero para ello basta examinar un n´ umero finito de casos ya que sólo interesa conocer el valor que da la valuación a las letras que aparecen en la proposición, y éstas son un n´ umero finito. En otras palabras, basta examinar la tabla de verdad de la proposición y verificar que en todos los casos se obtiene el valor V . Dejaremos como ejercicio verificar que las siguientes “leyes de la lógica” son todas tautolog´ıas. De ahora en adelante seremos menos rigurosos en el uso de los paréntesis, siempre que esto no nos lleve a ambig¨ uedades. Teorema 1.2.27 Las siguientes proposiciones son tautolog´ıas. ϕ ∨ (ψ ∨ χ) ↔ (ϕ ∨ ψ) ∨ χ (ϕ ∨ ψ) ↔ (ψ ∨ ϕ) ϕ ∨ (ψ ∧ χ) ↔ (ϕ ∨ ψ) ∧ (ϕ ∨ χ) ¬(ϕ ∨ ψ) ↔ (¬ϕ) ∧ (¬ψ) (ϕ ∨ ϕ) ↔ ϕ

ϕ ∧ (ψ ∧ χ) ↔ (ϕ ∧ ψ) ∧ χ (ϕ ∧ ψ) ↔ (ψ ∧ ϕ) ϕ ∧ (ψ ∨ χ) ↔ (ϕ ∧ ψ) ∨ (ϕ ∧ χ) ¬(ϕ ∧ ψ) ↔ (¬ϕ) ∨ (¬ψ) (ϕ ∧ ϕ) ↔ ϕ

¬¬ϕ ↔ ϕ.

16

´ CAPÍTULO 1. CALCULO PROPOSICIONAL

Estas equivalencias se pueden llamar asociatividad y conmutatividad de ∨ y de ∧ (primera y segunda l´ıneas, respectivamente); distributividad de ∨ en ∧ y de ∧ en ∨ (en la tercera l´ınea); leyes de De Morgan (en la cuarta l´ınea); luego tenemos las leyes de absorción en la quinta l´ınea, y finalmente la ley de la doble negación. Ejercicio 1.2.28 Demuestre el teorema anterior.

1.3

Formas Normales.

Observemos que toda proposición de la forma (p ∨ (¬p)) es una tautolog´ıa. Igualmente, toda disyunción de proposiciones entre las cuales aparecen una proposición ϕ y su negación ¬ϕ, es tambien una tautolog´ıa. Podemos usar varias equivalencias entre proposiciones para transformar una proposición dada en una equivalente para la cual se puede determinar fácilmente si es o no una tautolog´ıa. Teorema 1.3.1 Las siguientes proposiciones son tautolog´ıas. (ϕ → ψ) ↔ ((¬ϕ) ∨ ψ) (ϕ ↔ ψ) ↔ ((ϕ → ψ) ∧ (ψ → ϕ)) Llamaremos literales a las proposiciones que son una letra proposicional o la negaci´ ( on de una letra proposicional. Si l es un literal, ¬p si l es p definimos ¯l = p si l es ¬p Definici´ on 1.3.2 Una proposición está en forma normal conjuntiva (FNC) si es una conjunción de disyunciones de literales. Una proposición está en forma normal disyuntiva (FND) si es una disyunción de conjunciones de literales.

1.3. FORMAS NORMALES.

17

Ejemplo 1.3.3 (p1 ∨ (¬p2 )) ∧ (p2 ∨ (¬p2 )) ∧ (p1 ∨ p2 ) está en forma normal conjuntiva. Para llevar una proposición a una forma normal, se efect´ uan los siguientes pasos: 1. Eliminar las conectivas → y ↔ usando el Teorema 1.3.1. 2. Mover la conectiva ¬ hacia el interior usando las Leyes de De Morgan y eliminar negaciones usando la ley de doble negación (Teorema 1.2.27). 3. Usar la distributividad para obtener la forma normal (Teorema 1.2.27). Si se usa la distributividad de la conjunción en la disyunción, se obtiene una forma normal disyuntiva; y si se usa la distributividad de la disyunción en la conjunción, se obtiene una forma normal conjuntiva. Ejercicio 1.3.4 Halle formas normales conjuntivas y formas normales disyuntivas equivalentes a las siguientes proposiciones. 1. (¬p → q) → ((¬p → ¬q) → p), 2. ((r ∧ ¬s) → t) ↔ (¬s → (r → t)), 3. p → (q → (p ∧ q)). Teorema 1.3.5 Sea {li : i ≤ n} un conjunto de literales, entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes: 1. l1 ∨ l2 ∨ · · · ∨ ln es una tautolog´ıa, 2. ¯l1 ∧ ¯l2 ∧ · · · ∧ ¯ln es insatisfactible, 3. Existen i, j ≤ n tales que li = ¯lj . Utilizando este resultado es muy fácil determinar si una proposición en forma normal conjuntiva es una tautolog´ıa: basta verificar que en cada clausula l1 ∨ l2 ∨ · · · ∨ ln existen i, j ≤ n tales que li = ¯lj .

´ CAPÍTULO 1. CALCULO PROPOSICIONAL

18

Definici´ on 1.3.6 Una proposición ϕ en forma normal conjuntiva es una proposición de Horn si en cada disyunción de ϕ hay a lo sumo un literal positivo. Ejemplo 1.3.7 La proposición (¬p ∨ q) ∧ (¬p ∨ ¬r ∨ s) ∧ (¬p ∨ ¬q) ∧ ¬t ∧ r es de Horn, pero la siguiente no lo es, (p ∨ ¬q ∨ r) ∧ (¬q ∨ ¬r). Cada disyunción en una proposición de Horn se puede escribir de una manera equivalente como una implicación cuyo consecuente es una letra proposicional (la u ńica que aparece no negada en esa disyunción). Por ejemplo, la primera proposición del ejemplo es equivalente a (p → q) ∧ (p ∧ r → s) ∧ (p ∧ q → ⊥) ∧ (t → ⊥) ∧ (> → r).

1.4

Resoluci´ on

Una cláusula es un conjunto finito de literales, que se piensa como la disyunción de sus elementos. As´ı, una cláusula C es verdad si uno de sus elementos es verdad. La cláusula vac´ıa ∅ es falsa (ya que no tiene ning´ un elemento que sea verdad). Un conjunto S de cláusulas es una proposición (pensando en S como la conjunción de sus elementos). S es verdad si cada uno de sus elementos es verdad. La proposición vac´ıa ∅ es siempre verdad ya que no tiene elementos que no sean verdad. Podemos pensar en una asignación de valores de verdad como un conjunto de literales que no contenga a la vez una letra proposicional y su negación (la asignación es el conjunto de los literales que toman valor V , de modo que una letra p toma valor V si pertenece a la asignación, y toma valor F si p¯ pertenece a la asignación). Si una asignación A contiene p o ¬p para cada letra proposicional

´ 1.4. RESOLUCION

19

(pero no ambas), entonces corresponde a una asignación de valores de verdad como en la definición que dimos anteriormente. Con esta terminolog´ıa, una asignación A satisface la proposición S, en s´ımbolos A |= S, si para toda C ∈ S, (C ∩ A 6= ∅) es decir, si la valuación inducida por A le da valor V a cada cláusula C de S. Definici´ on 1.4.1 Sean c1 , c2 , c tres cláusulas. Decimos que c es una resolvente de c1 y c2 si existe un literal l tal que (i) l ∈ c1 , (ii) ¯l ∈ c2 , (iii) c = (c1 \ {l}) ∪ c2 \ {¯l}). Ejemplo 1.4.2 Ejemplo. Las cláusulas {p, ¬q, r} y {q, ¬r, s} admiten las resolventes {p, r, ¬r, s} y {p, q, ¬q, s}. Definici´ on 1.4.3 Sea C un conjunto de cláusulas. Una prueba por resolución a partir de C es una sucesión finita de cláusulas c1 , c2 , . . . , cn tal que cada cláusula de la sucesión es un elemento de C o es una resolvente de dos cláusulas anteriores en la sucesión. La u ´ltima cláusula de la sucesión es la conclusión de la prueba. Si cn = ∅, se dice que la prueba es una refutación de C. Proposici´ on 1.4.4 Toda cláusula que aparece en una prueba por resolución a partir de C es una consecuencia de C. Demostración. Es bastante obvia, ya que una resolvente de dos cláusulas c1 y c2 es consecuencia de ellas. Sea C un conjunto de cláusulas. Un a´rbol de resolución a partir de C es un a´rbol binario finito con las siguientes propiedades. (i) Los nodos extremales del a´rbol están etiquetados con elementos de C,

20

´ CAPÍTULO 1. CALCULO PROPOSICIONAL

(ii) todo nodo no terminal tiene exactamente dos sucesores y está etiquetado por una resolvente de las etiquetas de los sucesores. Nótese que de cada a´rbol de resolución a partir de C se puede construir una prueba por resolución a partir de C cuya conclusión es la ra´ız del a´rbol. Y viceversa, dada una pureba por resolución a partir de C, se puede construir un árbol de resolución a partir de C cuya ra´ız es la conclusión de la prueba por resolución. Si la ra´ız de un árbol de resolución a partir de C es la cláusula vac´ıa, decimos que el a´rbol es una refutación de C.

1.4.1

Completitud del m´ etodo de resoluci´ on.

Sea C un conjunto de cláusulas, y sea l un literal. Denotamos por C(l) al conjunto de cláusulas {c \ {¯l} : c ∈ C y l ∈ / c}. En otras palabras, C(l) se obtiene eliminando de C todas aquellas cláusulas donde aparece l, y tomamos las otras, pero quitándoles ¯l. Esto corresponde a asignarle a l valor V , y quedarse con la parte no determinada todav´ıa de las cláusulas que no sean automáticamente verdaderas. Lema 1.4.5 Si C es insatisfactible, tambien lo es C(l). Demostración. Supongamos que V es una valuación que satisface C(l). Como el literal l no aparece en C(l), podemos suponer sin perder generalidad que V(l) = V . Pero entonces V también satisface C, ya que asigna valor V a las cláusulas de C que contienen a l (y que por lo tanto no aparecen en C(l), y por hipótesis, V asigna valor V a las demás cláusulas de C. Teorema 1.4.6 Un conjunto C de cláusulas es contradictorio si y solamente si existe un árbol de resolución que lo refuta.

´ 1.4. RESOLUCION

21

Demostración. Claramente, si existe un a´rbol de resolución que refuta C, entonces C no es satisfactible, la cláusula vac´ıa es consecuencia de C. Rec´ıprocamente, supongamos que C es insatisfactible. Por el teorema de compacidad podemos suponer también que C es finito, y probamos el resultado por inducción en el n´ umero de letras proposicionales que aparecen en C. Si en C aparece solamente una letra proposicional p, entonces debe haber en C cláusulas donde aparece solamente el literal p y cláusulas donde aparece solamente el literal p¯, y por lo tanto se puede obtener la cláusula vac´ıa como ra´ız de un a´rbol de resolución. Supongamos ahra que en C aparecen las letras proposicionales p1 , p2 , . . . , pn+1 , y consideremos los conjuntos C(pn+1 ) y C(¯ pn+1 ). Por el Lema 1.4.5 ambos conjuntos de cláusulas con insatisfactibles, y por hipótesis inductiva, existe un a´rbol de resolución T0 que refuta C(pn+1 ) y un a´rbol de resolución T1 que refuta C(¯ pn+1 ). Ahora, modifiquemos T0 recursivamente de la manera siguiente. Agreguemos p¯n+1 a los nodos terminales de T0 que no pertenecen a C (obteniendo as´ı una cláusula que pertenece a C), y luego, agreguemos p¯n+1 a cada nodo no terminal de T0 si hemos agregado ese literal a alguno de sus sucesores. Debe resultar claro que el árbol obtenido es un árbol de resolución con ra´ız p¯n+1 . Análogamente modificamos T1 , pero a˜ nadiendo pn+1 , para obtener un árbol de resolución con ra´ız pn+1 . Aplicando resolución a las dos ra´ıces de los árboles modificados obtenemos un a´rbol de resolución que refuta C.

´ CAPÍTULO 1. CALCULO PROPOSICIONAL

22

1.5

Un sistema axiom´ atico para el c´ alculo proposicional.

Un sistema axiomático está constituido por varios elementos sintácticos: • un lenguaje, con un alfabeto y reglas de formación de expresiones, • un conjunto de expresiones designadas como axiomas, y • reglas de inferencia En el caso del cálculo proposicional ya tenemos nuestro lenguaje, con un alfabeto de letras proposicionales y reglas de formación de expresiones que llamamos proposiciones. A continuación se˜ nalamos los axiomas y reglas de inferencia que usaremos para completar el sistema axiomático. Axiomas. Escogeremos un conjunto de proposiciones que llamaremos axiomas. Nuestros axiomas son proposiciones donde sólo aparecen las conectivas ¬ y →. Tomaremos como axiomas a todas las proposiciones de las formas siguientes (donde ϕ, σ y ψ son proposiciones): (A1) ϕ → (σ → ϕ) (A2) (ϕ → (ψ → σ)) → ((ϕ → ψ) → (ϕ → σ)) (A3) (¬ϕ → ψ) → ((¬ϕ → ¬ψ) → ϕ) Reglas de inferencia. En nuestro sistema habrá una sola regla de inferencia, llamada Modus Ponens (MP). Esta regla establece que de las proposiciones ϕ y ϕ → ψ se infiere la proposición ψ. Usualmente esto se expresa de la forma siguiente: ϕ ϕ→ψ ψ

´ ´ 1.5. UN SISTEMA AXIOMATICO PARA EL CALCULO PROPOSICIONAL.23 Ejercicio 1.5.1 Demuestre que todos los axiomas son tautolog´ıas. Definici´ on 1.5.2 La proposición ϕ se deduce (o se demuestra ) a partir del conjunto de proposiciones Σ si existe una sucesión finita de proposiciones ϕ1 , ϕ2 , . . . , ϕn tal que ϕn = ϕ y para cada i ≤ n, ϕi es un axioma, o ϕi ∈ Σ, o ϕi se infiere de proposiciones anteriores de la lista por la regla de Modus Ponens (es decir, existen j, k < i tales que ϕk = ϕj → ϕi ). En este caso se dice que ϕ1 , ϕ2 , . . . , ϕn es una demostración de ϕ a partir de Σ. Usaremos la notación Σ`ϕ para expresar que ϕ se deduce de Σ. Si Σ = ∅, escribimos ` ϕ. Definimos Ded(Σ) = {ϕ : Σ ` ϕ}. Ejemplo 1.5.3 Para toda proposición ϕ, se tiene ` (ϕ → ϕ). La siguiente lista es una demostración de ϕ → ϕ, donde, en la columna de la izquierda escribimos la justificación de cada proposición. (A2) (A1) (M P ) (A1) (M P )

ϕ → ((ϕ → ϕ) → ϕ) → ((ϕ → (ϕ → ϕ)) → (ϕ → ϕ)) ϕ → ((ϕ → ϕ) → ϕ) ((ϕ → (ϕ → ϕ)) → (ϕ → ϕ)) ϕ → (ϕ → ϕ) ϕ → ϕ.

Teorema 1.5.4 (Teorema de deducción). Dadas ϕ, ψ ∈ P ROP , y Σ ⊆ P ROP , Σ ∪ {ϕ} ` ψ si y sólo si Σ ` (ϕ → ψ).

´ CAPÍTULO 1. CALCULO PROPOSICIONAL

24

Demostración. (⇒). Sea ϕ1 , ϕ2 , . . . , ϕn una demostración de ψ a partir de Σ ∪ {ϕ}. Probaremos por inducción en i ≤ n que Σ ` (ϕ → ϕi ). Para i = 1, tenemos que ϕ1 es un axioma, ϕ1 ∈ Σ o ϕ1 = ϕ. En los dos primeros casos, como ϕ1 → (ϕ → ϕ1 ) es un axioma (del tipo A1), aplicando la regla de Modus Ponens, obtenemos Σ ` (ϕ → ϕ1 ); en el caso restante, por el ejemplo anterior, sabemos que Σ ` (ϕ → ϕ). Sea i = k, y supongamos que Σ ` (ϕ → ϕj ) para todo j < k. Sabemos que ϕk puede ser una axioma, puede ser un elemento de Σ, puede ser ϕ o finalmente, puede inferirse aplicando Modus Ponens a ϕj y ϕl = (ϕj → ϕk ), donde j, l < k. Los tres primeros casos se tratan como en el caso i = 1; y para el u ´ltimo caso, por hipótesis inductiva, Σ ` (ϕ → ϕj ) y Σ ` (ϕ → (ϕj → ϕk )). Aplicando Modus Ponens dos veces al axioma (A2) (ϕ → (ϕj → ϕk )) → ((ϕ → ϕj ) → (ϕ → ϕk )), obtenemos Σ ` (ϕ → ϕk ). Esto completa el paso inductivo, y para i = n tenemos el resultado deseado. (⇐) Esta implicación es trivial, ya que si Σ ` (ϕ → ψ), entonces también se tiene Σ ∪ {ϕ} ` (ϕ → ψ), y aplicando Modus Ponens obtenemos Σ ∪ {ϕ} ` ψ. Corolario 1.5.5

(i) {ϕ → ψ, ψ → σ} ` ϕ → σ;

(ii) {ϕ → (ψ → σ), ψ} ` ϕ → σ. Demostración. (i). Partiendo del conjunto {ϕ → ψ, ψ → σ, ϕ}, se demuestra σ con dos usos de Modus Ponens. Aplicando el Teorema de Deducción obtenemos el resultado. (ii). Se demuestra de la misma manera. Ejercicio 1.5.6 Demuestre que dadas proposiciones ϕ y ψ, las siguientes proposiciones son teoremas (i) ¬¬ϕ → ϕ; ϕ → ¬¬ϕ;

´ ´ 1.5. UN SISTEMA AXIOMATICO PARA EL CALCULO PROPOSICIONAL.25 (ii) ¬ϕ → (ϕ → ψ); ϕ → (¬ϕ → ψ); (iii) (¬ϕ → ¬ψ) → (ψ → ϕ); (ϕ → ψ) → (¬ψ → ¬ϕ); Sugerencia: use el teorema de deducción (1.5.4). Definici´ on 1.5.7 Un conjunto Σ de proposiciones es inconsistente si para alguna proposición ϕ, Σ ` ϕ y Σ ` (¬ϕ). Decimos que Σ es consistente si no es inconsistente. Ejercicio 1.5.8 Demuestre que las siguientes afirmaciones son equivalentes: (i) Σ es inconsistente, (ii) Existe ϕ tal que Σ ` (ϕ ∧ (¬ϕ)), (iii) Σ ` ϕ para toda proposición ϕ. Sugerencia: Para demostrar que (i) ⇒ (iii), use que para todo par de proposiciones ϕ y ψ, ` ¬ϕ → (ϕ → ψ) (ejercicio 1.5.6). Para (ii) ⇒ (i), demuestre que ` ϕ∧ψ → ϕ, es decir ` ¬(ϕ → ¬ψ) → ψ. Por el ejercicio 1.5.6 esto sigue de ` ¬ψ → (ϕ → ¬ψ). Teorema 1.5.9 (Teorema de Completitud) Para toda Σ ⊆ P ROP y toda ϕ ∈ P ROP , Σ ` ϕ si y sólo si Σ |= ϕ. Necesitaremos dos lemas. Lema 1.5.10 Σ ` ϕ si y solamente si Σ ∪ {¬ϕ} es inconsistente. Demostración. (⇒). Si Σ ` ϕ entonces también Σ ∪ {¬ϕ} ` ϕ, pero entonces Σ ∪ {¬ϕ} es inconsistente. (⇐). Supongamos que Σ ∪ {¬ϕ} es inconsistente. Sea ψ tal que Σ ∪ {¬ϕ} ` ψ y Σ ∪ {¬ϕ} ` ¬ψ. Por el teorema de deducción (1.5.4), Σ ` (¬ϕ → ψ) y Σ ` (¬ϕ → ¬ψ). Por (A3), (¬ϕ → ψ) → ((¬ϕ → ¬ψ) → ϕ)

26

´ CAPÍTULO 1. CALCULO PROPOSICIONAL

es un axioma; y aplicando Modus Ponens dos veces, obtenemos Σ ` ϕ.

Lema 1.5.11 Σ es satisfactible si y solamente si Σ es consistente. Demostración. (⇒) Observemos primero que la regla Modus Ponens preserva el valor de verdad V , es decir, si V es una valuación, y V(ϕ) = V((ϕ → ψ)) = V , entonces V(ψ) = V . Esto sigue directamente de la definición de valuación. Supongamos que V ∈ M od(Σ), si Σ ` ϕ, entonces por lo dicho anteriormente, V(ϕ) = V . Supongamos que para alguna ϕ se cumple que Σ ` ϕ y también Σ ` ¬ϕ; entonces V(ϕ) = V(¬ϕ) = V , lo que contradice la definición de valuación. (⇐) Supongamos que Σ es consistente. Queremos producir una valuación V ∈ M od(Σ). Podemos usar el mismo procedimiento de la demostración del Teorema de Compacidad, pero para variar, usaremos el Lema de Zorn. Consideremos el conjunto A = {Σ0 ⊆ P ROP : Σ ⊆ Σ0 y Σ0 es consistente}, con el orden dado por la inclusión ⊆. Es fácil verificar que toda cadena en A tiene una cota superior. En efecto, si B ⊆ A es una cadena, entonces su unión, ∪B, es también un elemento de A; obviamente contiene a Σ, y es consistente porque de lo contrario, existe ϕ tal que ∪B ` (ϕ ∧ ¬ϕ). Como las demostraciones son finitas, debe haber un elemento Σ0 de la cadena B tal que Σ0 ` ϕ ∧ ¬ϕ, contradiciendo que Σ0 es consistente. Por el lema de Zorn, existe un elemento maximal Σ∗ de A. Veamos que Σ∗ tiene las siguientes propiedades. (a) Σ∗ ` ϕ si y sólo si ϕ ∈ Σ∗ . Si ϕ ∈ Σ∗ , entonces es claro que Σ∗ ` ϕ. Rec´ıprocamente, si Σ∗ ` ϕ, entonces Σ∗ ∪ {ϕ} es consistente (porque en caso contrario, si Σ∗ ∪ {ϕ} es inconsistente, entonces para alguna proposición ψ, Σ∗ ∪ {ϕ} ` ψ Σ∗ ∪ {ϕ} ` ¬ψ. Pero entonces Σ∗ ` ψ y Σ∗ ` ψ).

´ ´ 1.5. UN SISTEMA AXIOMATICO PARA EL CALCULO PROPOSICIONAL.27 (b) Para toda ϕ, ϕ ∈ / Σ∗ si y sólo si ¬ϕ ∈ Σ∗ . Si ϕ ∈ Σ∗ , como este es un conjunto consistente de proposiciones, ¬ϕ ∈ / Σ∗ . Rec´ıprocamente, si ϕ ∈ / Σ∗ , entonces por (a), Σ 0 ϕ. Por el Lema 1.5.10, de aqu´ı sigue que Σ∗ ∪ {¬ϕ} es consistente, y por la maximalidad de Σ∗ , ¬ϕ ∈ Σ∗ . (c) dadas ϕ, ψ ∈ P ROP , (ϕ ∨ ψ) ∈ Σ∗ si y sólo si ϕ ∈ Σ∗ o ψ ∈ Σ∗ . Supongamos que (ϕ ∨ ψ) ∈ Σ∗ pero ϕ ∈ / Σ∗ y ψ ∈ / Σ∗ . entonces por (b), ¬ϕ ∈ Σ∗ y ¬ψ ∈ Σ∗ y esto implica que Σ∗ es inconsistente ya que ϕ ∨ ψ es equivalente a ¬ϕ → ψ, y de {¬ϕ → ψ, ¬ϕ, ¬ψ} se deduce tanto ψ como ¬ψ. Rec´ıprocamente, supongamos que ϕ ∈ Σ∗ . Nótese que ` ϕ → (¬ϕ → ψ). Entonces (¬ϕ → ψ) ∈ Σ∗ , y luego ϕ ∨ ψ ∈ Σ∗ . Análogamente si ψ ∈ Σ∗ . Definamos V : P ROP → {V, F } poniendo V(ϕ) = V si y solamente si ϕ ∈ Σ∗ . Por las propiedades (b) y (c), V es una valuación, y V ∈ M od(Σ∗ ). Como Σ ⊆ Σ∗ , entonces V ∈ M od(Σ) y por lo tnato Σ s consistente. Ahora podemos demostrar el teorema de completitud. Demostración de 1.5.9. Supongamos que Σ ` ϕ. Entonces si V ∈ M od(Σ), como Modus Ponens preserva el valor V , tenemos que V(ϕ) = V . Es decir, Σ ϕ. Por otra parte, si Σ 0 ϕ, entonces, Σ ∪ {¬ϕ} es consistente (por el Lema 1.5.10). Luego, en virtud del Lema 1.5.11, existe V ∈ M od(Σ ∪ {¬ϕ}), pero entonces Σ 2 ϕ. El teorema de compacidad (Teorema 1.2.22) puede obtenerse como corolario inmediato del Lema 1.5.11. Corolario 1.5.12 (Teorema de Compacidad) Un conjunto Σ de proposiciones es satisfactible si y solo si es finitamente satisfactible. Demostración. Veamos primero que si Σ es finitamente satisfactible, entonces es consistente. Si Σ es inconsistente, existe ϕ tal que Σ ` ϕ ∧ (¬ϕ), y como las demostraciones son finitas, existe un conjunto finito Σ0 ⊆ Σ tal que Σ0 ` ϕ ∧ (¬ϕ). Pero entonces,

28

´ CAPÍTULO 1. CALCULO PROPOSICIONAL

Σ0 es insatisfactible, lo que contradice la hipótesis. Entonces, por el Lema 1.5.11, si Σ es finitamente satisfactible, tiene modelos. La otra parte del teorema es trivial.

Corolario 1.5.13 El conjunto de axiomas del cálculo proposicional es consistente. Demostración. Todo teorema del cálculo proposicional es una tautolog´ıa, luego 6` ϕ ∧ ¬ϕ.

Ejercicio 1.5.14 Sean Σ y Γ conjuntos de proposiciones. Diremos que Γ es un conjunto de axiomas para Σ si Cn(Γ) = Cn(Σ) (o, equivalentemente, si Ded(Γ) = Ded(Σ)). Un conjunto Σ ⊆ P ROP es finitamente axiomatizable si tiene un conjunto finito de axiomas. Demuestre que si Σ1 y Σ2 son conjuntos de proposiciones tales que V ∈ M od(Σ1 ) ⇔ V ∈ / M od(Σ2 ) entonces Σ1 y Σ2 son ambas finitamente axiomatizables. Ejercicio 1.5.15 Un conjunto de proposiciones Σ se dice completo si para toda ϕ ∈ P ROP , se tiene Σ ` ϕ o Σ ` ¬ϕ. Demuestre que las siguientes afirmaciones son equivalentes. (i) Cn(Σ) es maximal consistente, (ii) Σ es completo, (iii) Σ tiene un u ńico modelo (es decir, existe una u ńica valuación en M od(Σ)), (iv) existe V ∈ M od(Σ) tal que para toda ϕ ∈ P ROP , ϕ ∈ Cn(Σ) ⇔ V(ϕ) = V.

´ 1.6. CALCULO DE SECUENTES.

29

Ejercicio 1.5.16 Decimos que un conjunto Σ ⊆ P ROP es independiente si para toda σ ∈ Σ, σ ∈ / Cn(Σ \ {σ}). Demuestre que (si el conjunto de letras proposicionales es numerable), todo conjunto Σ ⊆ P ROP tiene un conjunto independiente de axiomas. (Sugerencia: Muestre que Σ tiene axiomas {σ1 , σ2 , . . . } tales que para todo n, ` σn+1 → σn , pero no σn → σn+1 . Considere luego el conjunto {σ1 , σ1 → σ2 , . . . , σn → σn+1 , . . . }.)

1.6

C´ alculo de secuentes.

Demostraremos ahora un teorema de completitud para un sistema deductivo de otro tipo, donde los axiomas se reducen al m´ınimo y hay más reglas de inferencia. En este sistema, tanto los axiomas como las reglas están dados usando secuentes. Si Γ y ∆ denotan conjuntos finitos de proposiciones, un secuente es un par (Γ, ∆) que usualmente se escribe Γ`∆ y se lee, informalmente, de ∆ sigue Γ, o más precisamente: de la conjunción de las proposiciones de Γ sigue la disyunción de las proposiciones de ∆. Esto motiva la siguiente definición.

Definici´ on 1.6.1 Una valuación V satisface un sequente Γ ` ∆ si le da valor V a alguna proposición de ∆ en caso de que le de valor V a todas las proposiciones de Γ. Como Γ y ∆ son finitos, esto equivale a decir que V satisface ∧Γ → ∨∆. Axiomas (Reflexividad) Γ, ϕ ` ∆, ϕ

´ CAPÍTULO 1. CALCULO PROPOSICIONAL

30 Reglas (∧ `)

Γ, ϕ, ψ ` ∆ Γ, (ϕ ∧ ψ) ` ∆

(` ∧)

Γ ` ∆, ϕ Γ ` ∆, ψ Γ ` ∆, (ϕ ∧ ψ)

(∨ `)

Γ, ϕ ` ∆ Γ, ψ ` ∆ Γ, (ϕ ∨ ψ) ` ∆

(` ∨)

Γ ` ∆ϕ, ψ Γ ` ∆, (ϕ ∨ ψ)

(¬ `)

Γ ` ∆, ϕ Γ, ¬ϕ ` ∆

(` ¬)

Γ, ϕ ` ∆ Γ ` ¬ϕ, ∆

(→`)

Γ ` ∆, ϕ Γ, ψ ` ∆ Γ, (ϕ → ψ) ` ∆

(`→)

Γ, ϕ ` ∆, ψ Γ ` ∆, (ϕ → ψ)

Definici´ on 1.6.2 Una derivación en este sistema es un árbol finito de secuentes, con axiomas en los nodos terminales, y tal que cada secuente en el árbol sigue de los que están inmediatamente por encima por una de las reglas. Una derivación de un secuente Γ ` ∆ es una derivación cuya ra´ız es el secuente Γ ` ∆. Dicho de otra manera, una derivación de un secuente Γ ` ∆ (en el cálculo de secuentes) es una sucesión finita de secuentes S1 , . . . , Sn tal que Sn = Γ ` ∆, y cada Si (i = 1, . . . , n) es un axioma o se obtiene de secuentes anteriores de la sucesión aplicando una de las reglas. Ejemplo 1.6.3 Derivación de ((ϕ ∧ ¬ψ) ∨ θ) ` (ϕ ∨ θ) ϕ, ¬ψ ` ϕ, θ(axioma) (ϕ ∧ ¬ψ) ` ϕ, θ (∧ `)

θ ` ϕ, θ (axioma)

(ϕ ∧ ¬ψ) ` (ϕ ∨ θ) (` ∨)

θ ` (ϕ ∨ θ) (` ∨)

(ϕ ∧ ¬ψ) ∨ θ ` (ϕ ∨ θ) (∨ `)

´ 1.6. CALCULO DE SECUENTES.

31

Teorema 1.6.4 (Teorema de completitud) Sean Γ, ∆ conjuntos finitos de proposiciones. Las siguientes afirmaciones son equivalentes. (i) Existe una derivación de Γ ` ∆, (ii) Toda valuación satisface Γ ` ∆, es decir, cada valuación que asigna valor V a cada ϕ ∈ Γ asigna valor V a alguna ψ ∈ ∆. Demostración. (i) ⇒ (ii). Por inducción en la longitud de la derivación. (ii) ⇒ (i). Comenzamos con Γ, ∆ que satisface (ii), y tratamos de obtener una derivación de Γ ` ∆ trabajando en reverso: en cada paso, tomamos una proposició de Γ ∪ ∆ de longitud máxima, y la descomponemos usando una de las reglas, as´ı, hasta llegar a secuentes que no se pueden descomponer más. Si estos secuentes son axiomas, hemos obtenido una derivación de Γ ` ∆; si alguno no lo es, digamos Γ0 ` ∆0 , definimos una asignación de valores de verdad V, poniendo para cada letra proposicional p, ( V si p ∈ Γ0 V(p) = F si p ∈ ∆0 , y arbitrariamente en todas las demás letras proposicionales. Usando las reglas, vemos que para cada secuente Γ00 ` ∆00 de la derivación que está por debajo de Γ0 ` ∆0 , toda p en el antecedente (Γ00 ) recibe valor V por V, y toda p en el consecuente (∆00 ), recibe valor F . En particular, eso vale para Γ ` ∆, contradiciendo la hipótesis.

Ejercicio 1.6.5 Demuestre la siguiente propiedad de monoton´ıa. Γ`∆ Γ, ϕ ` ∆

´ CAPÍTULO 1. CALCULO PROPOSICIONAL

32

En otras palabras, muestre que si Γ ` ∆ es derivable, entonces también lo es Γ, ϕ ` ∆. Sugerencia: es consecuencia inmediata del teorema de completitud. ¿Cómo se puede demostrar la monoton´ıa sin usar completitud? Ejercicio 1.6.6

1. Demuestre la regla de corte ( corte )

Γ, ϕ ` ∆ Γ ` ϕ Γ`∆

Sugerencia: use las reglas ` ¬ y ` ∧ para demostrar que en el cálculo de secuentes, de las premisas Γ, ϕ ` ∆ Γ ` ϕ se infiere el secuente Γ ` ∆. 2. Demuestre la regla de modus ponens por la derecha. (` MP )

Γ`ϕ

Γ`ϕ→ψ Γ`ψ

La relación de consecuencia ` puede ser vista como una relación binaria definida en el conjunto de los conjuntos finitos de proposiciones. El teorema anterior caracteriza desde el punto de vista semántico el conjunto de pares (Γ, ∆) tales que ∆ ` Γ es derivable en este sistema: es el conjunto de pares (Γ, ∆) tales que toda valuación que satisface cada proposición de Γ, satisface al menos una proposición de ∆. Presentamos a continuación un resultado de carácter un poco más general como preparación para conceptos y resultados que veremos posteriormente. Definici´ on 1.6.7 Sea S un conjunto de secuentes. Diremos que un secuente Γ ` ∆ se puede derivar a partir de S (en el cálculo de secuentes) si existe un árbol finito de secuentes cuya ra´ız es Γ ` ∆, cuyos nodos terminales son axiomas o elementos de S y tal que cada nodo no terminal del árbol sigue de los que están directamente por encima por una de las reglas.

´ 1.6. CALCULO DE SECUENTES.

33

Equivalentemente, si existe una sucesión finita S1 , . . . , Sn de secuentes tal que Sn − Γ ` ∆ y cada Si (i = 1, . . . n) es un axioma, es un elemento de S o se obtiene por una regla de secuentes anteriore de la lista. Teorema 1.6.8 Dado un conjunto de secuentes S y un secuente Γ ` ∆, las siguientes afirmaciones son equivalentes. (i) Existe una derivación de Γ ` ∆ a partir de S. (ii) Toda valuación que satisface todo secuente de S, satisface Γ ` ∆. Demostración. Fijemos una derivación de Γ ` ∆ a partir de S, y sea V una valuación que satisface todo secuente de S. Entonces, V satisface todos los nodos terminales del a´rbol correspondiente, ya sea porque son axiomas o porque son elementos de S. Examinando cada una de las reglas, vemos que si V satisface las premisas de una regla, entonces satisface la conclusión. Por lo tanto, V satisface la ra´ız del a´rbol, el secuente Γ ` ∆. Rec´ıprocamente, supongamos que toda valuación que satisface cada secuente en S satisface también Γ ` ∆. Usando el mismo procedimiento que en el teorema de completitud 1.6.4 usamos las relgas para descomponer proposiciones de longitud máxima a partir de Γ ` ∆ y construimos un a´rbol finito de secuentes. Si todos sus nodos terminales son axiomas o elementos de S, hemos obtenido una demostración de Γ ` ∆ a partir de S. Si el secuente Σ ` Ω es un nodo terminal del árbol. Consideremos el conjunto R = {¬γ : γ ∈ Ω} ∪ {δ : Σ ` δ es derivable a partir de S}. Para demostrar que este conjunto es satisfactible supongamos que existe un subconjunto finito de R insatisfactible. Sea entonces {¬γ1 , . . . , ¬γn } ∪ {δ1 , . . . , δm } insatisfactible, con γi ∈ Ω para cada i = 1, . . . , n y Σ ` δi derivable a partir de S para cada i = 1, . . . , m. Tenemos entonces que ∧i δi → ∨i γi .

34

´ CAPÍTULO 1. CALCULO PROPOSICIONAL Y por lo tanto también ∧Σ → (∧i δi → ∨i γi ).

De aqu´ı, por el teorema de competitud 1.6.4, tenemos que Σ ` (∧i δi → ∨i γi ) es derivable. Por la definición de R, para cada i = 1, . . . , m, Σ ` δi es derivable a partir de S. Y usando la regla ` ∧ repetidas veces, obtenemos que Σ ` ∧i δi es derivable a partir de S. Por la regla `MP (Ejercicio 1.6.6), entonces Σ ` ∨i γi es derivable a partir de S, y por lo tanto Σ ` Ω también lo es. Hemos demostrado entonces que el a´rbol obrtenido a partir de Γ ` ∆ es una derivación a partir de S. Dado un conjunto M de valuaciones, consideremos el conjunto de todos los pares (Γ, ∆) tales que para toda valuación V ∈ M, si V Γ, entonces V satisface al menos una proposición de ∆ ( es decir, los secuentes satisfechos por todas las valuaciones de M). Diremos que este conjunto de pares es la relación determinada por M, y lo denotaremos por `M . Escribimos Γ `M ∆ si (Γ, ∆) ∈`M . Corolario 1.6.9 [4] Dado un conjunto de S de secuentes que contiene a los axiomas de reflexión y es cerrado bajo las reglas del cálculo de secuentes que hemos presentado, existe un conjunto M de valuaciones tal que Γ ` ∆ ∈ S si y sólo si toda valuación de M que satisface todas las proposiciones de Γ satisface al menos una proposición de ∆. Demostración. Sea M el conjunto de las valuaciones V tales que para todo par (Γ, ∆) ∈ S, si V |= Γ, entonces V satisface al menos una proposición de ∆. El teorema 1.6.8 muestra que (Γ, ∆) es derivable a partir de S si y solamente si Γ `M ∆. Pero como

´ 1.6. CALCULO DE SECUENTES.

35

S es cerrado bajo las reglas del cálculo de secuentes, tenemos que (Γ, ∆) ∈ S si y solamente si Γ `M ∆. Ejercicio 1.6.10 Demuestre que dado un conjunto M de valuaciones, para todo Γ, ∆, ϕ, Γ, ϕ `M ∆, ϕ; y el conjunto `M es cerrado bajo las reglas del cálculo de secuentes. Definici´ on 1.6.11 Diremos que M representa un conjunto de secuentes S si S = {(Γ, ∆) : Γ `M ∆}. Hemos demostrado lo siguiente Teorema 1.6.12 [4] Todo conjunto S de secuentes que contiene los axiomas de reflexividad y es cerrado bajo las reglas del cálculo de secuentes es representado por un conjunto de valuaciones. La regla de monoton´ıa Γ`∆ Γ, ϕ ` ∆ es consecuencia inmediata del teorema de completitud 1.6.4. Igualmente, usando el teorema 1.6.8 vemos que si Γ ` ∆ es derivable a partir de un conjunto S de secuentes, también lo es el secuente Γ, ϕ ` ∆.

36

´ CAPÍTULO 1. CALCULO PROPOSICIONAL

Cap´ıtulo 2 L´ ogica de primer orden. 2.1

Lenguajes de primer orden y estructuras

Un lenguaje L es una colección de s´ımbolos. Estos s´ımbolos serán agrupados en tres clases: S´ımbolos relacionales S´ımbolos funcionales S´ımbolos constantes

R0 , R1 , ... F0 , F1 , ... c0 , c1 , ...

L = {R0 , R1 , . . . , F0 , F1 , c0 , c1 , . . .} Cada s´ımbolo relacional y cada s´ımbolo funcional lleva asociado un n´ umero natural ≥ 1 (su n´ umero de argumentos), as´ı, tenemos s´ımbolos funcionales o relacionales unarios, binarios, ... n-arios, etc. En este curso trabajaremos casi siempre con lenguajes numerables (o finitos) pero se pueden considerar lenguajes de cardinalidad mayor. Una interpretación A del lenguaje L (o una estructura A para L) consta de: i) Un conjunto no vac´ıo A (el universo de A). 37

´ CAPÍTULO 2. LOGICA DE PRIMER ORDEN.

38

ii) Para cada s´ımbolo relacional n-ario Ri de L, una relación RiA ⊆ An . iii) Para cada s´ımbolo funcional n-ario Fi de L, una función FiA : An → A. iv) Para cada s´ımbolo constante Ci de L, un elemento CiA de A. Escribiremos A = hA, R0A , R1A , . . . , F0A , F1A , . . . cA0 , cA1 . . .i. La cardinalidad de una estructura A para L es la cardinalidad de su universo A.

2.2

Operaciones entre estructuras:

Dos estructuras A y B para el lenguaje L, A = hA, R0A , R1A , . . . , F0A , F1A , . . . cA0 , cA1 . . .i B B = hB, R0B , R1A , . . . , F0B , F1B , . . . cB 0 , c1 . . .i,

son isomorfas si existe una biyección f : A → B tal que i) Para cada s´ımbolo relacional n-ario R de L, RA (a1 , . . . , an ) si y sólo si RB (f (a1 ), . . . , f (an )) (donde a1 , . . . , an ∈ A). ii) Para cada s´ımbolo funcional n-ario F de L, dados a1 . . . an ∈ A, f (F A (a1 , . . . , an )) = F B (f (a1 ), . . . , f (an ))

2.2. OPERACIONES ENTRE ESTRUCTURAS:

39

iii) Para cada s´ımbolo constante c de L, f (cA ) = cB . Usaremos (A ∼ = B) para expresar que A y B son isomorfas. Diremos que A es una subestructura de B si A ⊆ B y i) Para cada s´ımbolo relacional n-ario R de L, RA = RB ∩ An ii) Para cada s´ımbolo funcional n-ario F de L, F A = F B An iii) Para cada s´ımbolo constante c de L, cA = cB Esto lo denotamos por A ⊆ B, y en este caso también se dice que B es una extensi´ on de A. Decimos que A está sumergida en B (A ⊂ B) si A es isomorfa ∼

a una subestructura de B. Ejemplos: L L L L

aritmética = {≤, +, ·, 0, 1}; grupos = {+, 0}; orden = {≤}; teor. de conjuntos = {∈}.

Ejercicios: 1. Probar que ∼ = (la relación de isomorfismo es una relación de equivalencia. Si α es un cardinal, hay a lo sumo 2α+kLk estructuras de cardinalidad α no isomorfas.

´ CAPÍTULO 2. LOGICA DE PRIMER ORDEN.

40

2. Muestre que la relación ⊂ es reflexiva, transitiva pero no ∼

antisimétrica. 3. ¿ Cuáles de las siguientes son verdaderas? hN, ≤, +, 0i ⊂ hN, ≤, ·, 1i ∼

hN, ≤, ·, 1i ⊂ hN, ≤, +, 0i ∼

hN − {0}, ≤, ·, 1i ⊂ hN, ≤, +, 0i ∼

hN − {0}, ·, 1i ⊂ hN, +, 0i ∼

hN − {0}, ·, i ⊂ hN, +i ∼

4. Sea X un conjunto y L un lenguaje finito. Muestre que el n´ umero de estructuras distintas con dominio X es finito o al menos 2ℵ0 .

2.3

Formalizaci´ on de un Lenguaje:

Para formalizar un lenguaje L usamos los s´ımbolos lógicos: Paréntesis: ( , ) coma:, Variables: v0 , v1 , . . . S´ımbolo de Identidad: ≡ (s´ımbolo relacional binario) Conectivas: ¬, → Cuantificador: ∀. Denotaremos por Var al conjunto de variables. Ahora daremos una serie de definiciones que nos indicarán como usar estos s´ımbolos. Términos del Lenguaje: i) Toda variable es un término, y todo s´ımbolo constante es un término. ii) Si F es un s´ımbolo funcional n-ario y t1 , . . . , tn son términos, entonces f (t1 , . . . , tn ) es un término.

´ DE UN LENGUAJE: 2.3. FORMALIZACION

41

iii) Una sucesión de s´ımbolos es un término sólo si se obtiene usando i) y ii) un n´ umero finito de veces. Denotaremos por TL al conjunto de términos del Lenguaje L. Fórmulas Atómicas: i) Si t1 y t2 son términos entonces t1 ≡ t2 es una fórmula atómica. ii) Si R es un s´ımbolo relacional n-ario y t1 , . . . , tn son términos entonces R(t1 , . . . , tn ) es una fórmula atómica. Fórmulas: i) Toda fórmula atómica es una fórmula. ii) Si ϕ y ψ son fórmulas entonces (¬ϕ) y (ϕ → ψ) son también fórmulas. iii) Si v es una variable y ϕ una fórmula, (∀v)ϕ es una fórmula. iv Una sucesión de s´ımbolos es una fórmula sólo si se obtiene por un n´ umero finito de usos de i), ii) y iii). Nótese que las definiciones de términos y fórmulas son inductivas. Por eso, para probar alguna propiedad de términos o fórmulas conviene usar inducción basada en estas definiciones. Definici´ on 2.3.1 Variable libre y variable ligada. Si v es una variable y ϕ es una fórmula , definiremos por inducción lo que significa que v ocurre libre en ϕ: i) Si ϕ es una fórmula atómica, v ocurre libre en ϕ si es s´ımbolo de ϕ. ii) v ocurre libre en (¬ϕ) si ocurre libre en ϕ; v ocurre libre en (ϕ → ψ) si ocurre libre en ϕ o en ψ.

42

´ CAPÍTULO 2. LOGICA DE PRIMER ORDEN.

iii) v ocurre libre en (∀vi ) ϕ si v ocurre libre en ϕ y v 6= vi . Si v ocurre en ϕ pero no libremente entonces diremos que v ocurre ligada en ϕ. Si una fórmula no tiene variables libres se dice que es una sentencia. Usaremos las siguientes abreviaciones para simplificar la escritura: Si ϕ y ψ son fórmulas (ϕ ∧ ψ) abrevia la fórmula ((¬ϕ) → ψ)) (ϕ ∨ ψ) abrevia la fórmula ¬(ϕ) → (zψ)) (ϕ ↔ ψ) abrevia la fórmula ((ϕ → ψ) ∨ (ψ → ϕ) ) (∃vϕ) abrevia la fórmula ¬(∀v(¬ϕ)) Dada una fórmula ϕ escribimos ϕ(x1 , . . . , xn ) para expresar que las variables libres de ϕ entre x1 , . . . , xn . Si ϕ(x) es una fórmula y t un término, decimos que t es libre para x en ϕ sin ninguna variable de t queda cuantificada al sustituir las ocurrencias libres de x por t en ϕ. A continuación damos una definición formal de este concepto por inducción en las fórmulas. Definici´ on 2.3.2 Sea ϕ(v) un fórmula y t un término. i) Si ϕ es atómica, t es libre para x en ϕ. ii) t es libre para x en ¬ϕ si t es libre para x en ϕ t es libre para x en ϕ → ψ si t es libre para x en ϕ y en ψ iii) t es libre para x en (∀y)ϕ si a) x no ocurre libre en (∀yϕ), o b) y no ocurre en t y t es libre para x en ϕ

´ DE UN LENGUAJE: 2.3. FORMALIZACION

2.3.1

43

Verdad en una Interpretaci´ on

Intuitivamente es fácil comprender que los términos del lenguaje denotan objetos y que las fórmulas afirman hechos relativos a estos objetos. Daremos ahora una definición que indica cuál es el objeto denotado por un término en una interpretación dada. Definici´ on 2.3.3 Sea A una estructura y s : Var → A . Definiremos el valor de un término en A seg´ un s inductivamente en la complejidad del término. Dado un término τ , denotaremos este valor por τA [s], y omitiremos la mención de la estructura A si esto no ocasiona confusión. i) Si τ es la variable v, τA [s] = s(v), ii) Si τ es el s´ımbolo constante c, τA [s] = cA iii) Si t1 , ..., tn son términos, F es un s´ımbolo funcional n−ario y τ = F (t1 , . . . , tn ), entonces τA [s] = F A ((t1 )A [s], . . . , (tn )A [s]). (Intuitivamente, el valor de τ en A seg´ un s es el elemento de A denotado por τ cuando asignamos a las variables de τ valores seg´ un s). Nótese que si s y s0 coinciden en las variables que aparecen en el término τ entonces τA [s] = τA [s0 ]. Si ϕ es una fórmula de L y s : Var → A, definiremos lo que significa que s satisface ϕ en A, lo que denotaremos por A |= ϕ[s]. El significado intuitivo de esto es que el resultado de sustituir en ϕ las variables libres por sus valores seg´ un s, es una afirmación verdadera en A. Definici´ on 2.3.4

1. Para fórmulas atómicas:

i) Dados términos t1 y t2 A |= (t1 ≡ t2 )[s]

si y sólo si (t1 )A [s] = (t2 )A [s]

44

´ CAPÍTULO 2. LOGICA DE PRIMER ORDEN. ii) Si R es un s´ımbolo relacional n−ario y t1 , ...tn son términos, A |= R(t1 , ...tn )[s] si y sólo si RA ((t1 )A [s], ..., (tn )A [s]) 2. Para fórmulas: Sean ϕ y ϕ fórmulas.

i) Hemos definido A |= ϕ[s] para ϕ atómica. ii) A |= (¬ϕ)[s] si y sólo si A 6|= ϕ[s] iii) A |= (ϕ → ψ)[s] si y sólo si A 6|= ϕ[s] o A |= ψ[s]. iv) A |= (∀vϕ)[s] si y sólo si A |= ϕ[s0 ] para cada s0 : Var → A que difiere de s a lo sumo en v.

Definici´ on 2.3.5 Decimos que una fórmula ϕ es verdad en A si A |= ϕ[s] para toda s : Var → A. Esto también se expresa diciendo que A es un modelo de ϕ, y se denota A |= ϕ. Decimos que ϕ es falsa en A si A 6|= ϕ[s] para toda s : Var → A. Si Σ es un conjunto de fórmulas, decimos que A es un modelo de Σ si toda fórmula ϕ de Σ es verdad en A. Nótese que si ϕ es una fórmula con variables libres vi1 , . . . , vin , entonces el que s satisfaga ϕ en A sólo depende de los valores de s en las variables vi1 , . . . , vin . Si a1 = s(vi1 ), . . . , an = s(vin ), escribiremos A |= ϕ[a1 , ..., an ] en vez de A |= ϕ[s]. Ejercicio 2.3.6 Demuestre que si s, s0 : Var → A son tales que s(vi1 ) = s0 (vi1 ), . . . , s(vin ) = s0 (vin ), y ϕ(vi1 , . . . vin ) es una fórmula cuyas variables libres están entre vi1 , . . . , vin , entonces A |= ϕ[s] ⇔ A |= ϕ[s0 ]. (Sugerencia: demostrarlo por inducción en las fórmulas).

´ DE UN LENGUAJE: 2.3. FORMALIZACION

45

A continuación daremos una lista de consecuencias directas de la definición de satisfacción. Dejaremos para el lector la demostración de algunas de ellas. 1. La fórmula ϕ es falsa en una interpretación si y solo si (¬ϕ) es verdad en A. 2. Dada A, ninguna fórmula puede ser verdad y falsa en A. 3. Si ϕ y (ϕ → ψ) son verdad en A entonces ψ es verdad en A 4. (ϕ → ψ) es falsa en A si y sólo si ϕ es verdad en A y ψ es falsa en A. 5. i) s sat´ısface ϕ ∨ ψ en A si y sólo si A |= ϕ[s] o A |= ψ[s] ii) s satisface ϕ ∧ ψ en A si y sólo si A |= ϕ[s] y A |= ψ[s] iii) s satisface ϕ ↔ ψ en A si y sólo si s satisface a ambas fórmulas ϕ y ψ en A o no satisface a ninguna. iv) s satisface (∃, v)ϕ en A si y sólo si existe s0 que difiere de s a lo sumo en v tal que s0 satisface ϕ en A. 6. ϕ es verdad en A si y sólo si (∀v)ϕ es verdad en A 7. Toda instancia de una tautolog´ıa (del cálculo proporcional) es verdad en cualquier interpretación. Demostraci´ on: Definamos primero lo que es una instancia de una tautolog´ıa. Estas son fórmulas que se obtienen de las tautolog´ıas del cálculo de proposiciones reemplazando cada letra proposicional por una fórmula de primer orden . Por ejemplo, de (A → ¬B) −→ (B → ¬A), se obtiene (((∀x )¬R(x)) → (¬(R(y))) −→ (R(y) → ¬(∀x)¬R(x))

46

´ CAPÍTULO 2. LOGICA DE PRIMER ORDEN.

Una definición formal: una fórmula es primitiva si es atómica o de la forma (∀x )ϕ. Vemos que toda fórmula se obtiene de las primitivas usando ¬ y →. Si tomamos a las fórmulas primitivas como s´ımbolos proposicionales, las tautolog´ıas del cálculo proposicional resultante son las instancias de tautolog´ıas. Lema 2.3.7 Sea A una estructura para L y sea s : Var → A. Definamos f : fórmulas de L → {V, F} de la manera siguiente: si ϕ es una fórmula, entonces f (ϕ) = V si y sólo si A |= ϕ[s]. La función f es una valuación, es decir, para fórmulas ϕ y ψ, f (¬ϕ) = V si y sólo si f (ϕ) = F f (ϕ → ψ) = V si y sólo si f (ϕ) = F o f (ψ) = V . Demostraci´ on: Sigue de las consecuencias 1 y 4 . Probemos ahora que las instancias de tautolog´ıas son verdad en cualquier interpretación. Sea A una estructura para L y s : Var → A. Si ϕ es una instancia de una tautolog´ıa entonces cualquier valuación le da valor V ya que ϕ es una tautolog´ıa en el cálculo de proposiciones basado en las fórmulas primitivas. En particular la valuación definida a partir de A y s seg´ un el lema anterior le da a ϕ valor V , luego A |= ϕ[s]. 8. Si ϕ es una sentencia y A es una interpretación, entonces ϕ es verdadera en A o ϕ es falsa en A. (Una fórmula, en cambio, puede no ser ni verdadera ni falsa en una interpretación). Definici´ on 2.3.8 Dada una fórmula ϕ, una variable v, y un término t, definiremos ϕvt por inducción en la complejidad de la fórmula. (i) Si ϕ es atómica, ϕvt es la fórmula que resulta de sustituir v por t en ϕ. (ii) (¬ϕ)vt es la fórmula ¬(ϕvt ). (iii) (ϕ → ψ)vt es l;a fórmula ϕvt → ψtv .

´ DE UN LENGUAJE: 2.3. FORMALIZACION ( ∀yϕ (iv) (∀yϕ)vt es (∀yϕvt )

47

si v = y si v = 6 y.

Ejercicio 2.3.9 (a) ϕvv = ϕ, (b) Si ϕ es la fórmula ¬(∀y(x ≡ y)) entonces (∀xϕ) → ϕxz es (∀xϕ) → ¬(∀y(z ≡ y)). (c) Si ϕ es la misma fórmula ¬(∀y(x ≡ y)) entonces (∀xϕ) → ϕxy es (∀xϕ) → ¬(∀y(y ≡ y)). 9. Lema: Sean t y u términos, y s una función; s : Var → A. Si t0 es el resultado de sustituir la variable x por u en cada ocurrencia de x en t, y s0 se define por s0 (v) = s(v) si v 6= x y s0 (x) = u[s], entonces t0 [s] = t[s0 ]. Si ϕ(x) es una fórmula (con variable libre x) y t es un término libre para x en ϕ ( es decir, ninguna variables de t queda ligada al sustituir x por t en ϕ). Dada s : Var → A, A |= ϕxt [s] (es decir, s satisface el resultado de sustituir x por t en ϕ) si y sólo si A |= ϕ[s0 ] donde s0 sólo difiere de s a lo sumo en x y s0 (x) = t[s]. (Sugerencia: Probarlo por inducción). Corolario 2.3.10 Si (∀x)ϕ es satisfecha por s en A entonces ϕxt es satisfecha por s en A para todo t libre para x en ϕ. De aqu´ı que (∀x )ϕ → ϕxt es verdad en toda interpretación si t es libre para x en ϕ. La parte (c) del ejercicio 2.3.9 muestra que el Corolario no vale si el término t no es libre para x en ϕ. 10. Si ϕ no contiene a la variable v libre entonces (∀v(ϕ → ψ)) → (ϕ → (∀vψ)) es verdad en toda interpretación.

´ CAPÍTULO 2. LOGICA DE PRIMER ORDEN.

48

Ejercicio 2.3.11 Probar las diez consecuencias de la definición de satisfacción listadas arriba. Ahora daremos algunas definiciones adicionales. Definici´ on 2.3.12 ϕ es lógicamente válida si es verdad en toda interpretación. Decimos que ϕ es satisfactible si existe una interpretación A y una s tal que A |= ϕ[s]. Decimos que ϕ es contradictoria si ¬ϕ es lógicamente válida (equivalentemente, si ϕ es falsa en toda interpretación). Definici´ on 2.3.13 Si Σ es un conjunto de fórmulas y ϕ es una fórmula, decimos que Σ implica lógicamente ϕ, y lo denotamos por (Σ |= ϕ), si para cada interpretación A (de L), si toda fórmula de Σ es verdad en A entonces ϕ es verdad en A. Nótese que ϕ es lógicamente válida si ∅ |= ϕ.

2.3.2

Definibilidad en una estructura.

Dada una estructura A (de L), cada fórmula ϕ con n variables libres determina una relación n − aria Rϕ en A, Rϕ = {< a1 , ..., an >: A |= ϕ[a1 , ..., an ]}. Definici´ on 2.3.14 Una relación n − aria R en A es definible si existe una fórmula ϕ con n−variables libres tal que R = Rϕ = {< a1 , ..., an >: A |= ϕ[a1 , ..., an ]}. Ejemplos: 1. Consideremos L = {+, ., S, 0} y sea A =< N, +, ., sucesor, 0 >. Hay sólo una cantidad numerable de relaciones definibles en A, y por lo tanto hay relaciones no definibles.

´ DE UN LENGUAJE: 2.3. FORMALIZACION

49

i) ≤ es definible por ∃v(v1 + v = v2 ) ≤ es el conjunto {< n, m >: n ≤ m}) ii) La relación unaria {n} se define por la fórmula S(S...(S(0) . . . )) = v. iii) La relación unaria {p ∈ N : p es primo} se define por

(1 < v1 ) ∨ (∀v2 )(∀v3 )(v1 = v2 v3 → (v2 ≡ 1 ∨ v3 ≡ 1) donde 1 abrevia S(0) y x < y abrevia x ≤ y ∧ (x 6≡ y). Ejercicio 2.3.15 1. Sea L un lenguaje con un s´ımbolo relacional binario R. Encuentre, para cada una de las condiciones siguientes, una sentencia ϕ tal que A =< A, RA >|= ϕ si y sólo si se cumple la condición. a) A tiene exactamente dos elementos. b) RA es una función de A en A. c) RA es una permutación de A. 2. Muestre que la relación suma {(a, b, c) : a + b = c} no es definible en hN, ·i. 3. Una fórmula es universal ( o ∀1 ) si es de la forma ∀x1 . . . ∀xn ϕ donde ϕ no tiene cuantificadores. Una fórmula es existencial (o ∃1 ) si es del tipo ∃x1 . . . ∃xn ϕ y ϕ no tiene cuantificadores. Sea A ⊆ B y s : Var → A. Demuestre, i) Si B |= ψ[s] y ψ es universal entonces A |= ψ[s]. Si A |= ψ[s] y ψ es existencial entonces B |= ψ[s].

´ CAPÍTULO 2. LOGICA DE PRIMER ORDEN.

50

ii) Demuestre que la sentencia ∀xP (x) (donde P es un s´ımbolo relacional unario) no es lógicamente equivalente a una fórmula existencial. Análogamente, ∃xP (x) no es lógicamente equivalente a una fórmula universal. 4. Una fórmula es ∃2 si es del tipo ∃x1 . . . ∃xu ϕ donde ϕ es universal. i) Si ψ es ∃2 y no contiene s´ımbolos funcionales y es verdad en alguna estructura A, entonces es verdad en alguna subestructura finita de A. ii) Deduzca que ∀x∃yR(x, y) no es lógicamente equivalente a ninguna fórmula ∃2 . iii) Considere (N,

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