Devre Sentezi Dersleri Hepsi Butun

MEH232 DEVRE SENTEZİ T=4 U=0 L=0 KREDİSİ=4

2003/2004 BAHAR YARI YILI

ÖĞR. ELEMANI : DR. C İHAN KARAKUZU

KAYNAK: “DEVRE SENTEZİNE GİRİŞ (DERS NOTU)” NOTU)” , Prof. Dr. Fuat ANDAY, ANDAY, İ.T.Ü Elektrik-Elektronik Fakültesi, 4. baskı, 1988.

MEH232 Devre Sentezi (D1)

Dr. Cihan KARAKUZU

1

İÇERİK •

Bölüm 1 : Gİ GİRİŞ –  – –

•

Bölüm 2 : POZİ POZİTİF GERÇEL (REEL) FONKSİ FONKS  YONLAR İ YONLAR – – – –

•

1.1 S İSTEM FONKSİYONLARININ GÖSTERİLMESİ 1.2 1.2 ÖZ ÖZ FRE FREK KANS ANSLAR LAR VE VE KA KARAKT RAKTER ER İSTİK POLİNOMLAR 1.3 HURW İTZ VE KESİN-HURWİTZ POLİNOMLARI 2.1 KUADRAT İK BİÇİMLER 2.2 POZ İTİF GERÇEL FONKSİYONLAR Sürekli kesirlere aç ılım 2.3 POZ İTİF GERÇEL MATRİSLER

Bölüm 3 : 1-KAPILI LC DEVRELERİ DEVRELER İN SENTEZİ SENTEZİ – –

3.1 REAKTANS FONKS İYONLARI 3.2 REAKTANS FONKS İYONLARININ GERÇEKLEŞTİRİLMESİ • • •

•

Bölüm 4 : 1-KAPILI RC ve RL DEVRELERİ DEVRELERİNİN SENTEZİ SENTEZİ – – – – – – –

•

4.1 CAUER DÖNÜ ŞÜMLERİ 4.2 RC-TÜRÜ G İRİŞ EMPEDANS FONKSİYONLARININ ÖZELLİKLERİ (RL-TÜRÜ G İRİŞ ADMİTANS FONKSİYONLARININ ÖZELLİKLERİ) 4.3 RC-TÜRÜ G İRİŞ ADMİTANS FONKSİYONLARININ ÖZELLİKLERİ (RL-TÜRÜ G İRİŞ EMPEDANS FONKSİYONLARININ ÖZELLİKLER İ) 4.4 RC (RL) DEVRELER İNİN ELDE EDİLMESİ 4.5 RLC- DEVRELER İNİN SENTEZİ

Bölüm 5 : 2-KAPILI DEVRELERİ DEVRELER İN SENTEZİ SENTEZİ –  –

•

3.2.1 FO FOSTER DE DEVRELERİNİN GERÇEKLE ŞTİRİLMESİ 3.2.2 CA CAUER DE DEVRELERİNİN GERÇEKLE ŞTİRİLMESİ 3.2. 3.2.3 3 FOST FOSTER ER CAUE CAUER R DEVR DEVREL ELER ERİNDE ELEMAN SAYISI

5.1 D İRENÇLE SONLANDIRILMIŞ LC DEVRELERİN GERÇEKLENMESİ 5.2 5.2 SIFIR IFIR KAYDI AYDIRM RMA A YÖNTE ÖNTEM Mİ

Bölüm 6 : AKTİ AKTİF DEVRE SENTEZİ SENTEZ İ –

6.1 DEVRE MODEL İNİN ÖNCELİKLE SEÇİLDİĞİ YÖNTEMLER • •

–

6.1.1 AYRIŞTIRMA YÖNTEMİ 6.1.2 KATSAYILARI EŞLEŞTİRME YÖNTEMİ

6.2 DEVRE MODEL İNİN ÖNCELİKLE SEÇİLMEDİĞİ YÖNTEMLER

MEH232 Devre Sentezi (D1)

Dr. Cihan KARAKUZU

2

İÇERİK •

Bölüm 1 : Gİ GİRİŞ –  – –

•

Bölüm 2 : POZİ POZİTİF GERÇEL (REEL) FONKSİ FONKS  YONLAR İ YONLAR – – – –

•

1.1 S İSTEM FONKSİYONLARININ GÖSTERİLMESİ 1.2 1.2 ÖZ ÖZ FRE FREK KANS ANSLAR LAR VE VE KA KARAKT RAKTER ER İSTİK POLİNOMLAR 1.3 HURW İTZ VE KESİN-HURWİTZ POLİNOMLARI 2.1 KUADRAT İK BİÇİMLER 2.2 POZ İTİF GERÇEL FONKSİYONLAR Sürekli kesirlere aç ılım 2.3 POZ İTİF GERÇEL MATRİSLER

Bölüm 3 : 1-KAPILI LC DEVRELERİ DEVRELER İN SENTEZİ SENTEZİ – –

3.1 REAKTANS FONKS İYONLARI 3.2 REAKTANS FONKS İYONLARININ GERÇEKLEŞTİRİLMESİ • • •

•

Bölüm 4 : 1-KAPILI RC ve RL DEVRELERİ DEVRELERİNİN SENTEZİ SENTEZİ – – – – – – –

•

4.1 CAUER DÖNÜ ŞÜMLERİ 4.2 RC-TÜRÜ G İRİŞ EMPEDANS FONKSİYONLARININ ÖZELLİKLERİ (RL-TÜRÜ G İRİŞ ADMİTANS FONKSİYONLARININ ÖZELLİKLERİ) 4.3 RC-TÜRÜ G İRİŞ ADMİTANS FONKSİYONLARININ ÖZELLİKLERİ (RL-TÜRÜ G İRİŞ EMPEDANS FONKSİYONLARININ ÖZELLİKLER İ) 4.4 RC (RL) DEVRELER İNİN ELDE EDİLMESİ 4.5 RLC- DEVRELER İNİN SENTEZİ

Bölüm 5 : 2-KAPILI DEVRELERİ DEVRELER İN SENTEZİ SENTEZİ –  –

•

3.2.1 FO FOSTER DE DEVRELERİNİN GERÇEKLE ŞTİRİLMESİ 3.2.2 CA CAUER DE DEVRELERİNİN GERÇEKLE ŞTİRİLMESİ 3.2. 3.2.3 3 FOST FOSTER ER CAUE CAUER R DEVR DEVREL ELER ERİNDE ELEMAN SAYISI

5.1 D İRENÇLE SONLANDIRILMIŞ LC DEVRELERİN GERÇEKLENMESİ 5.2 5.2 SIFIR IFIR KAYDI AYDIRM RMA A YÖNTE ÖNTEM Mİ

Bölüm 6 : AKTİ AKTİF DEVRE SENTEZİ SENTEZ İ –

6.1 DEVRE MODEL İNİN ÖNCELİKLE SEÇİLDİĞİ YÖNTEMLER • •

–

6.1.1 AYRIŞTIRMA YÖNTEMİ 6.1.2 KATSAYILARI EŞLEŞTİRME YÖNTEMİ

6.2 DEVRE MODEL İNİN ÖNCELİKLE SEÇİLMEDİĞİ YÖNTEMLER

MEH232 Devre Sentezi (D1)

Dr. Cihan KARAKUZU

2

•

Bölüm 7 : NORMALİ NORMAL İZASYON – 7.1 PAS İF DEVRELERDE NORMALİZASYON • 7.1.1 GENLİK (EMPEDANS) NORMALİZASYONU • 7.1 7.1.2 FREK FREKA ANS NORMA ORMAL LİZASYONU – 7.2 AKT İF DEVRELERDE NORMALİZASYON • 7.1.1 GENLİK (EMPEDANS) NORMALİZASYONU • 7.1 7.1.2 FREK FREKA ANS NORMA ORMAL LİZASYONU

•

Bölüm 8 : SÜZGEÇ DEVRELERİ DEVRELER İ VE YAKLAŞ YAKLAŞIKLIK SORUNU – 8.1 SÜZGEÇ DEVRELERİ VE FREKANS KARAKTERİSTİKLERİ • ALÇAK GEÇİREN SÜZGEÇ • YÜKSEK GEÇİREN SÜZGEÇ • BAND GEÇİREN SÜZGEÇ • BAND BAND DURD DURDUR URAN AN SÜZG SÜZGEÇ EÇ – 8.2 YAKLA ŞIKLIK SORUNU • 8.2. 8.2.1 1 BUTT BUTTER ERW WORTH ORTH YAKL YAKLA AŞIKLIĞI • 8.2 8.2.2 CHEBY HEBYS SEV YAKL AKLAŞIKLIĞI – 8.3 FR FREKANS DÖ DÖNÜ ŞÜMLERİ • 8.3.1 YÜKSEK GEÇİREN SÜZGEÇLER • 8.3.2 BAND GEÇİREN SÜZGEÇLER • 8.3.3 8.3.3 BAND BAND SÖNDÜR SÖNDÜREN EN (DURDU (DURDURAN RAN)) SÜZGEÇ SÜZGEÇLER LER – 8.4 PAS İF VE AKTİF SÜZGEÇLERİN KARŞILAŞTIRILMASI Bölüm 9 : DUYARLILIK DUYARLILIK SORUNU SORUNU  – 9.1 9.1 KUT KUTUP UP VE SIFI SIFIR R DUY DUYAR ARLL LLIK IKLA LARI RI – 9.2 DEVRE FONKS İYONU DUYARLILIKLARI – 9.3 İKİNCİ DERECEDEN SÜZGEÇ DUYARLILIKLARI

•

MEH232 Devre Sentezi (D1)

Dr. Cihan KARAKUZU

3

BÖLÜM 1: GİRİŞ •

• • •

DEVRE SENTEZİ : S karmaşık değişkeninin rasyonel bir fonksiyonunun (ya da bir fonksiyonlar kümesinin) verilmesi halinde, bu fonksiyonun tanımladığı devrenin bulunmasına devre sentezi denir. Sentez, devrenin biçimini ve devre elemanlarının değerini verir. Çözüm olmayabilir. Çözüm varsa, tek değildir. Çeşitli çözümler yapmak mümkündür. Önemli olan bu çözümlerden uygulama açısından en uygun olanın seçilmesidir.

•

Devre özellikleri rasyonel bir fonksiyon ile değil de eğrisel  biçimde (ölçüm sonuçları) verildiği durumlarda.; –

•

Eğri uygun bir rasyonel fonksiyon ile ifade edilmelidir.

Bu durum devre sentezinin “yaklaşıklık sorunu” olarak adlandırılan bölümüdür. Yaklaşıklık sonucu elde edilen devre fonksiyonu ya da fonksiyonları çeşitli türden devrelerle gerçeklenebilir.

Devrenin gerçekleştirilmesinde ilk iş, gerçeklenebilen devre fonksiyonlar ının özelliklerinin bulunmasıdır. Devre fonksiyonlar ının özelliklerinin ortaya konması açısından kimi matematiksel kavramlar ın bilinmesinde yarar vardır.

MEH232 Devre Sentezi (D1)

Dr. Cihan KARAKUZU

4

1.1 Sistem Fonksiyonlar ının Gösterilmesi Herhangi Herhangi bir F(s) F(s) devre devre fonksiyon fonksiyonu, u, s’in fonksiyo fonksiyonu nu olan reel reel katsay katsayılı iki polin polinomu omun n oran oranı olarak elde m edilir.

 F ( s) =

bm ( s − so1 )( s − so 2 )L( s − so m ) an ( s − s p 1 )( s − s p 2 )L( s − s pn )

=

bm an

∏( s − s

o  j

)

 j =1

türden iki iki polinomu polinomun n oranı (m ve n tamsay ı) Bu türden

n

∏( s − s

 p i

)

olan fonksiyonlara rasyonel fonksiyon denir.

i=1

Verilen biçimin, pay ve payda polinomlar polinomlarında varsa ortak terimler terimler atıldıktan sonra elde edilmiş olduğu kabul edilir. Fonksiyonun derecesi m veya m’den hangisi büyük ise odur. P(s) ve Q(s)’in sırasıyla m ve n tane kökü olacağından;

 F ( s ) =

 P ( s ) Q( s )

=

Kutup:  Lim  F ( s ) s→s pi

bm s m + bm−1 s m−1 + L + b1 s + b0 a n s n + a n−1 s n−1 + L + a1 s + a0

→ ∞ ,  Lim (s - s pi ) k  F ( s ) s→s pi

Biçiminde yazılabilir.

sonlu ve sıf ırdan farklı ises=spi F(s) rasyonel fonksiyonun k katlı kutbudur denir.

Sıf ır: s=soj 1/F(s) fonksiyonunun k katl ı kutbu ise, s=soj F(s) ‘in k katl ı sıf ırıdır denir. Sıf ır ve kutuplar fonksiyonu belirledikleri için “kritik “ kritik frekanslar” frekanslar” olarak adlandırılırlar. F(s)’in genel ifadesinde m>n olması halinde s= ’ da (m(m-n) n) kat katl  l ı kutup olacakt ır. Benzer olarak mm n>m ise, ise, F(s) F(s)’i ’in n m tane tane son sonlu sıf ır ı ve (n-m) tane s=∞ ’da ’da sıf ır ı olmak üzere n tane s ıf ır ı vard ır. n adet de kutbu vard ır.

b)

n=m ise, se, F(s)’ (s)’in in m=n tane sıf ır ve kutbu vard ır. S=∞ ‘da ‘da F(s)=bm /an’dir.

c)

n0 ise bu biçime “kesin pozitif” , Q≥ 0  ise “yar ı kesin pozitif” biçim denir. Kuadratik biçimin kesin pozitif ya da yar ı-kesin pozitif biçim olmas ına göre de reel ve simetrik A matrisine kesin pozitif ya da yar ı-kesin  pozitif matris denir.

MEH232 Devre Sentezi (D2)

 1 −1 3     A = − 1 2 0   3 0 14

Matrisinin temel kofaktörleri (∆11=28, ∆22=5, ∆33=1) Pozitiftir. Determinantının -4 olması sebebiyle kesin ya da yar ı-kesin pozitif değildir.

Dr. Cihan KARAKUZU

1

Matris simetrik değil ise ?

+

B matrisi simetrik olmayan bir matris olsun (B ≠B’) !

v1

B’yi simetrik bir As matrisi ile bir ters simetrik Ass (Ass’=-Ass) matrisinin biçiminde alınabilir.  B =

1

2 1

 As =

 Ass =

T 

2

2

R2

v2

1

1

[ B +  B ]

2 1

R1 gv1

T 

2

v2 

Biçiminde yazılabilir. 2-kapılı yalnız dirençler ve bağımlı kaynaktan oluştuğu için ani güç;

[ B − B ] T 

Q=X’BX=X’(As+Ass)X=X’AsX+X’AssX İfadede;

 p(t ) = [i1

 z 11  z 12   i1  i2 ]    =  I ′[ z ]I   z 21  z 22  i2 

şeklinde ifade edilebilir. p≥0 olması 2-kapılının pasif olduğunu gösterecektir. Z matrisinin yar ı-kesin pozitif olup olmadığının belirlenmesi, 2-kapılının pasif  ya da aktif olduğunu gösterir.

X’AssX=σ olmas ınedeniyle de

Q=X’BX=X’AsX Olur ki, bu bağıntı da As matrisinin kesin ya da yar ı-kesin pozitif olmas ının B matrisinin de hangi türden oldu ğunu gösterece ği açıktır. As kesin pozitif ise B de kesin pozitiftir. As yar ı-kesin pozitif iseB de yar ı-kesin pozitiftir.

Verilen devre için; z11=R1, z12=0, z21=-gR1R2, Z22= R2’dir. Görüleceği üzere z matrisi simetrik de ğil…..!

   R1 [Zs] = {[ Z ] + [ Z ′]} =  1 2 −  gR1 R2  2 1

Direnç ve bağımlı kaynaklardan oluşan bir 2-kapılının pasif olması için gerek ve yeter koşul Empedans matrisinin yarı-kesin pozitif olmasıdır. MEH232 Devre Sentezi (D2)

R1=800 Ω R2=10 KΩ g=10-1 mho

Örnek olarak yukar ıdaki şekilde verilen 2-kap ılınım aktif/pasif olup olmad ığını belirleyelim. v  Genel olarak bir 2 kap ılının ani gücü  p(t ) = [i i ] 

[ B +  B ] + 1 [ B − B ] T 

+

1  −  gR1 R2  2    R2 

Bu matrisin determinant ı; 1 ∆ =  R1 R2 (1 − −  g 2 R1 R2 ) < 0 4

olduğu için Z matrisi yar ı-kesin pozitif değildir. 2-kapılı pasif  Değildir, AKTİFDİR….

Dr. Cihan KARAKUZU

2

2.2 Pozitif Reel Fonksiyonlar

1

Pasif R, L ve C elemanlar ından oluşan Şekildeki 1-kapılı N devresini ele alalım. Bu devrede Tellegen teoremi uyar ınca; n

∑v i

k  k 

i k 

+

i 1

νk 

ν1

=0

+

1’

k =1

Eşitliği yazılabilir. N devresinin (n-1) adet eleman bulundurdu ğu varsayımı ile ve

Re { Z ( s )} =

V 1 = − Z  ( s ) I 1

 R

V k  =  R k  I 1 1

V k  =

 sC  k 

 I 1

1. 2.

 R

 I k  k 

 I 1

2

2

+

1  s

1  I k 

∑ C  C 

k 

∑

ω  σ  

2

2

+ σ  

2

+ ω  2

1  I k 

∑ C  C 

k 

 I 1

2

2

∑ L

+ σ  

k 

 L

 I k   I 1

2

2

S reel ise Z(s) reel Re{s} ≥0 ise Re{Z(s)} ≥0

Bu özellikteki fonksiyonlara “pozitif reel fonksiyon” lar denir.

Sonucuna var ılabilir. S= σ+jω için, 2  I k  σ   + 2  Z ( s) =  Rk  2 2 σ   + ω   I 1  R -  j

 I 1

σ  

Sonuçlar ına var ılabilir.

Eşitliklerinden yararlanarak;

∑ R

k 

2

Sonucuna var ılır.. Bu eşitliklerden:

V k  =  sL k  I k 

 Z ( s) =

∑ R

 I k 

+ ω  2

1  I k 

∑ C  C 

k 

 I 1

2

2

MEH232 Devre Sentezi (D2)

 I 1

2

2

+ s

∑ L

k 

 L

1  I k 

∑ C  C 

k 

 I 1

2

2

k 

 L

2

 I 1

Tanı m: S= +j armaş k değişkeninin, ı

∑

+ σ  

 Lk 

 L

∑ L

+  jω 

2

 I k 

 I k   I 1

2

2

 I k   I 1

2

2

1. 2.

F( ) reel Re {s} ≥0 için Re {F(s)} ≥0

Koşullar ını sağlayan rasyonel F(s) fonksiyonu pozitif reeldir. elde edilir. Buradan : Cihan KARAKUZU Dr. 3

Teorem:

Rasyonel bir F(s) fonksiyonunun lineer, zamanla deği şmeyen pasif elemanl ı bir  devrenin giri ş fonksiyonu olabilmesi için gerek ve yeter koşul F(s) fonksiyonunun pozitif reel  olmasıd ır. Verilen bu tanıma eşdeğer olarak aşağıdaki teoremdeki koşullar elde edilir.

Teorem: Rasyonel bir F(s) fonksiyonunun pozitif reel olabilmesi için; a) F(s)’in sağ yar ı s düzleminde kutbunun olmamas , ı b) F(s)’in jw ekseni üzerinde kutuplar ı bulunuyorsa bu kutuplar ın kats z; ı bu kutuplardaki rezidülerin de reel ve pozitif olmas , ı c) Tüm

ω 

 ) }≥0 değerleri için (0≤ω ≤∞  ) Re{F(j ω 

Koşullar ının sağlanması gerek ve yeter.

Teorem: F(s)=P(s)/Q(s) biçimindeki bir fonksiyonunun pozitif reel olabilmesi için; şu koşullar ın sağlanması gerek ir. (! Yeterli değil) a) P(s) ve Q(s) polinomlar ının tüm katsay ılar ı reel ve aynı i şaretli olmal  , ı b) P(s) ve Q(s) polinomlar ının en yüksek ve en alçak dereceli terimleri arasında en fazla 1 derece fark olmas , ı c) Pay ve payda polinomlar ında eksik terimler olmamal ıd ır. (tüm çift dereceli  terimler, ya da tüm tek dereceli terimler bulunmayabilir.) MEH232 Devre Sentezi (D2)

Dr. Cihan KARAKUZU

4

ÖRNEKLER 

1

 s 4 + 4 s 3 + 3 s 2 + 1

 s 2 + 1

 s 4 + 2 s + 1

 s 3 + 3 s 2 + 2 s + 1

( s + 1)

 s 3 + 2 s + 6

( s + 4)

 s 3 + 3 s + 2  s + 3 s + s 4

3

MEH232 Devre Sentezi (D2)

( s + 1)( s + 2) 2

( s + 3)( s + 4) Dr. Cihan KARAKUZU

5

Yukar ıda verilen gerek ve yeter ko şullarda F(s)’in reel k ı smının bulunması  gerekmektedir. Re{F(jw)}≥0 ko şulunun incelenmesi için basit bir yöntem tanımlanacakt ır. Pay polinomunun çift kısmı

 F ( s ) =

 P ( s) Q( s )

=

Pay polinomunun tek kısmı

M 1 + sN 1 M 2 + sN 2

s4+3s3+2s2+s+6

 F ( s ) =  F ( s ) =

 P ( s ) Q( s )

=

M= s4+2s2+6

M 1 + sN 1 M 2 − sN 2 . M 2 + sN 2 M 2 − sN 2

M 1 M 2 − s 2 N 1 N 2 M 2 − s  N 2

Çift { F ( s )} =

2

2

2

+ s

M 2 − s  N 2 2

Kutuplar sol yar ı s düzleminde ve jw  ekseninde katsı z..

2

M 1=-w 2+6 ;

M 1 M 2 − s  N 1 N 2 2

M 2 − s 2 N 2 2

M 1 M 2 + ω  2 N 1 N 2 M 2 + ω  2 N 2 2

M1M2+ω 2 N1N2=(-w2+6 ) (w 2  )+w 2.2.3=w 4≥0 

2

Re{F(jw)}≥0 koşulunun sağ lanması için M 1M 2 +ω 2 N 1N 2 ≥0 olması gerekti ği  sonucuna var ıl ır. MEH232 Devre Sentezi (D2)

N 1=2 ; M 2= -w 2 ; N 2=3

2

Re{ F ( s )} = Çift { F ( s )} S = j = ω 

N= 3s2+1

ÖRNEK: F(s)=(s2+2s+6)/s(s+3) fonk.  poz. reel olup olmad ığ ını incele…

 N 1 M 2 − M 1 N 2 2

;

Gerek ve yeter koşullar sağ land ı..fonksiyon pozitif  reel türdendir.

Dr. Cihan KARAKUZU

6

 F ( s ) =

 P ( s ) Q( s )

=

4 3 2 2 s + 7 s + 11 s + 12 s + 4 4 3 2  s + 5 s + 9 s + 11 s + 6

M 1M 2 +ω 2 N 1N 2  ≥0 olması gerek  M 1M 2 +ω 2  N 1N 2  =(2w 4-11w 2 +4)(w 4-9w 2 +6)+w 2 (-7w 2 +12)(-5w 2 +11) =2w 8 +6w 6 -22w 4+30w 2 +24  x=w 2 diyelim;  A(x)=2(x 4+3x 3-11x 2 +15x+12)  A(x)=2[x 2 (x 2 +3x-11)+15x+12] biçiminde ele alal ım;  x ≥[(53)1/2-3]/2 ≅2   ,14 için A(x)≥0  0