DEVOIR DE COTROLE N°1 4ème Sc Exp ( 2017-2018) tunis

TYPE D’EVALUATION  :

NIVEAU & SECTION

DEVOIR DE CONTROLE N° 1

4ème Sciences Exp

COMPOSITION DE : MATHEMATIQUES

DATE : 08 Novembre 2017

DUREE DE L’EPREUVE :

ENSEIGNANT :

ETABLISSEMENT : LYCEE 9 avril 1938 Boumhel

2h’

ANNEE SCOLAIRE : 2016-2017

COEF : 3

HOUSSEM EDDINE FITATI

AUTORISATIONS :

Calculatrice scientifique :

Oui

Non

SUJET :

Exercice N°1 : ( 6 points)





Le plan complexe est rapporté au repère orthonormé direct O u v ,on considère les points  A 1 ,

  f :

 \  B  

Soit 



 M ( z )

M '( z ')

 avec

 z  1

 z ' 

 z  1

,

,

 B

 1

.

1. a- Déterminer et construire l’ensemble  z) tel que : z’ soit réel. l ’ensemble  des points M ( z  b- Déterminer et construire l’ensemble  des points M ( z  z) tel que : z’ soit imaginaire pur. imaginaire pur. 2. a- Montrer que pour tout nombre complexe complexe  b- En déduire que que :

 AM ' BM 



2  et

 z  1

 on a :



que : u, AM '

 z ' 1  z  1  2 .

  u, BM   



2  .   

3. Montrer que si M  appartient  appartient au cercle  de centre B et de rayon 2 alors  M’  appartient  appartient à un cercle ’ que l’on déterminera.

 

4. A tout point M ( z) on associe le point  N  z . Montrer que pour tout point M  du  du plan distinct de B on a :  M ' [ AN ) . 5. Soit K le point d’affixe k

 2  i

3

a- Ecrire k   1  sous forme exponentielle.  b- Montrer que K  est  est un point du cercle . c- Donner une construction du point : K ' f ( K )  . 

Exercice N°2 : ( 5 points)

Soit  z 1. a b-



cos 

i

1  sin     avec  0,    . 

Déterminer la forme exponentielle de z. En déduire la forme forme exponentielle exponentielle de z  .

c- On pose :

 z w





. Vérifier que : w  e

       2 

i

 .

 z

2.



Le plan complexe est rapporté au repère orthonormé direct O u v ,

,



Soit   un nombre complexe non nul et A B , B et C les points d’affixes respectives :  , w  et w²     respectives :   , a- Montrer que les vecteurs :  AC

   2     /    1    e    g    a    P

et OB  sont

orthogonaux.

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 b- On prend  

  

6

 . Montrer que OABC  est  est un losange.

Exercice N°3 : ( 4 points) 3   x  5 x  4 si x  1,   f ( x)   x 1   Soit f la fonction définie sur ℝ par :   f ( x)   x  cos   x  si x  ,1  2  cos    x 

1. Calculer lim  f ( x )  .  x 

2. a- Montrer que pour tout  x  , 2 on a: x  1  f ( x) 

 x  1

3

c- Calculer alors : lim  f ( x ) .  x 

3. Etudier la continuité de f  en  en 1.





4. Le plan étant muni du repère orthonormé O i j . Soit  la courbe représentative d’une fonction g. ,

,

La droite : x = 2 est une asymptote verticale La droite : y = 2 est une asymptote horizontale au voisinage de +∞ +∞ La droite : y = 1 est une asymptote horizontale au voisinage de -∞ -∞

Soit h la fonction définie par : h( x)



f

g ( x)

a.

Déterminer l’ l’ensemble ensemble de définition de h.  b. h admet-elle une limite en 2 ? Justifier. c.

lim h( x ) . Calculer lim  x 

Exercice N°4 :(5 points)

Soit f  la fonction définie par par :  f ( x ) 

1  x  1



x

1. a- Montrer que f est strictement décroissante sur  b- déter miner miner l’image par f de l’intervalle : l’intervalle :

1,  .

1,  .

2. Soit g la fonction définie par : g( x  x) = f ( x) –  x.  x. a- Etudier les variations de g.  b- Montrer que l’équation g( x  x) = 0 admet une solution unique   dans  dans 0,1 . c- Vérifier que   est aussi solution de l ’équation : ’équation : 4 x d- Donner une valeur approchée par défaut de

 à   à

3



2

4 x 

1 

0

1

10 près rès . Bon travail 

   2     /    2    e    g    a    P

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