Detyra e Kursit. I. Shkenca e Konstruksioneve

1

USHTRIMI 1.

q ⋅l

x q ⋅l

q (N/cm2)

Varianti

1

c (cm)

(cm)

l y

1

5

10

50

;

σ xx =

I.

M pk I

y

l ( 2c) 3 I= 12

Përcaktimi i sforcimeve që mungojnë, σxx, σxy.

Nga të σxx na jepet me shprehjen

. Nga figura e dhënë plane

σ xx =

M pk I

y=

M pk l ( 2c ) 12

3

y=

3 M pk y 2 lc 3

përcaktojmë momentin përkuls. duke thjeshtuarë kufizat me vlera të njëjta mund M pk = ql (l − x) −

2

q ql qlx qx (l − x) 2 = ql 2 − qlx − +2 − 2 2 2 2

2

të shkruajmë: . Pra, si përfundim σxx mund të shkruhet: M pk =

1 2 1 2 1 ql − qx = q(l 2 − x 2 ) 2 2 2

Shkenca e Konstruksioneve II

| Detyre kursi 1.

2

(1-1)

σ xx

1 2 q (l − x 2 ) 32 3 q (l 2 − x 2 ) = y = y 2 4 lc 3 lc 3

Nga ekuacionet diferenciale të ekuilibrit mund të shkruajmë: (1-2)

∂σ xx ∂σ xy + =0 ∂x ∂y Zëvendësojmë tek ekuacioni (1-2) dhe do të kemi:

3 qx ∂σ xy ∂σ xy 3 qx ( − 2) 4 3 y + =0⇒ = y ⇒ ∂σ xy = σ xy ∂ ⇒ ∂y ∂y 2 lc 3 lc (1-3)

σ xy = τ =

3 qx 2 y + c1 ( x) 2 lc 3

(1-4)

∂σ yy ∂y

+

∂σ xy ∂x

=0

Duke zëvendësuarë tek formula (1-4) dhe të bëjmë derivatet përkatëse do të kemi:

∂σ yy ∂y

+

 3 qy 2  3 qy 2  + c ' ( x ) = 0 ⇒ ∂ σ = − + c'1 ( x ) ∂y ⇒ 1 yy 3 3 4 lc  4 lc  (1-5)

σ yy = −

–

1 qy 3 + c1' ( x) y + c 2 ( y ) 2 lc 3

Përcaktimi i kostanteve “c”. M1 q x

y

Shkenca e Konstruksioneve II

| Detyre kursi 1.

3

nga kushtet statike në kontur mund të themi që:

Pika M1 x=x y = −c

σ xx σ xy   σ xy σ yy 

[Tσ ] = 

0 = −σ xy = −

σ yy = −q =

Px = 0

l=o m = −1

Py = − q

0  σ xx σ xy  0     q  = σ    xy σ yy  −1

3 qx 2 y + c1 ( x) 2 lc 3

c1 ( x) =

1 qy 3 3 qxy + + c2 ( y) 3 lc 3 2 lc 3

Po të derivojmë c1(x) me

0 ⋅ σ xx − 1 ⋅ σ xy = 0 0 ⋅ σ xy − 1 ⋅ σ yy = q

3 qxy 2 2 lc 3

c2 ( y) =

1 qy 2 = +c1' ( x ) ⋅ y 3 2 lc

do të kemi:

∂x atëher ∂c1 ( x) 3 qy = ∂x 2 lc 3

2

c2 ( y) =

1 qy 2 1 qy 2 + −q 2 lc 3 2 lc 3

c2 ( y) = 2

qy 2 −q lc 3

Në qoftë se bëjmë zëvendësimet përkatëse do të marim: c1 ( x) =

Shkenca e Konstruksioneve II

3 qx 3 qx 2 qx = c = 1.5 3 3 2 lc 2 lc lc

| Detyre kursi 1.

σ yy = −q

4

qy 2 qc 2 2q 2  c2 ( y) = 2 3 − q = 2 3 − q = − q = q  − 1 lc lc lc  lc  Atëhere përfundimisht mund të themi që sforcimet janë si më poshtë: (1-1)

1 2 3 q (l − x ) q (l − x 2 ) σ xx = y 32 4 lc 3 = y ⇒ 2 lc 3 2

σ xx

2

(1-6)

σ yy =

3

1 qy 3 qx + +⇒ 3 3 lc 2 lc 3

σ yy =

q  3x  − lc 3 − xy  3  lc  2 

(1-7)

σ xy = τ =

I.

3 qx 3 3 qx y + ⇒ 2 lc 3 2 lc

σ xy = τ =

3 qx 3 qx y + 1.5 3 2 lc lc

Vija e përbërë me sforcim tangentciale të njëjtë.

Sforcimi tangantcial ka trajtën:

σ xy = τ =

3 qx 3 qx y + 1 .5 3 2 lc lc

l = 50(cm) c = 10(cm)   2 q = 5( N / cm ) τ = 5( N / cm 2 )  y

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

x

-37

-81

-287

925

362

333

308

195

105

54

30

Grafiku me sforcim tengentcial të njëjtë (τ)

Shkenca e Konstruksioneve II

| Detyre kursi 1.

5 II.

Përcaktimi i sforcimeve maksimale për pikën e cfarëdoshme u(x,y).

x q ⋅l

x q ⋅l

u(x,y) 1

y Pika u(x,y) x=x y=y Sforcimet kryesore për një pikë në apsirë janë: me qënë se jemi në plan, atëhere kemi:

=

σ xx σ xy 0 Tσ = σ yx σ yy 0 0 0 0

σ xx σ xy σ xz Tσ = σ yx σ yy σ yz σ zx σ yz σ zz

σ xx σ xy σ xy σ yy

(1-8)

σ − I 1σ + I 2σ − I 3 = 0 3

2

Nga zgjidhja e ekuacionit (1-8) marim 3 rrënjë të σ, ku vlera më e madhe i përket sipas radhës σ3, σ2, σ. invarianti i parë i tenzorit të sforcimeve. I 1 = σ xx + σ yy + σ zz

+

I2 =

σ xx σ xy σ xy σ yy

+

σ xx σ xz σ xz σ zz

invarianti i dytë i tenzorit të sforcimeve.

σ xy σ yz σ yz σ zz

Shkenca e Konstruksioneve II

| Detyre kursi 1.

6

invarianti i tretë i tenzorit të sforcimeve.

σ xx σ xy σ xz I 3 = σ yx σ yy σ yz σ zx σ yz σ zz

•

Përcaktojmë vlerat e invarianteve. =

I 1 = σ xx + σ yy + σ zz

I1 =

[

3 q (l 2 − x 2 ) q 1 qy 3 qx y + ( 2 + lc ) − − 1.5 3 3 2 lc 2 lc lc lc

]

qy 3(l 2 − x 2 ) − y 2 q[ ( 2 − lc) − 1.5 x ] + lc 2lc 3

I 2 = σ xx ⋅ σ yy − σ xy ⋅ σ xy + σ xx ⋅ σ zz − σ xz ⋅ σ xz + σ xy ⋅ σ zz − σ yz σ yz

= σ xx ⋅ σ yy − σ xy ⋅ σ xy + σ xx ⋅ 0 − 0 ⋅ 0 + σ xy ⋅ 0 − 0 ⋅ 0 = σ xx ⋅ σ yy − σ xy σ xy  3 q (l 2 − x 2 ) = lc 3 4 I2 =

 q 1 qy 3 qx   3 qx 2 qx  y  ⋅  (2 + lc) − − 1 .5  −  y + 1.5  3 3 2 lc lc   2 lc lc    lc

[

]

2

q2 y 9 q 2 x 4 .5 q 2 x 2 2 q2x2 2 3 2 3 ( 2 l − l c − 2 x − lcx ) − 4 . 5 x ( l − x ) − + y + 2 . 25 4 l 2c 6 2 l 2c 4 2l 2 c 4 l 2c 4

=0.

σ xx σ xy σ xz σ xx σ xy 0 I 3 = σ yx σ yy σ yz = σ yx σ yy 0 0 0 0 σ zx σ yz σ zz

σ1 = 0

Atëhere, ekuacioni do të ketë pamjen:

Shkenca e Konstruksioneve II

| Detyre kursi 1.

7

(1-8’)

σ + I 1σ + I 2 = 0 2

Po të zëvendësojmë tek invariantet vlerat përkatëse do të kemi: l = 50(cm)  c = 10(cm) q = 5( N / cm 2 ) 

I1 =

I2 =

[(7500 − x

]

dhe

)− y y 498 − 1.5 x + 4 100 2 ⋅ 10 2

2

y [ (−37500− 35256x)] + 11250x + 6.75x 2 2 ⋅ 106

[

]

2

 (7500 − x 2 ) − y ⋅ y 2   y D = b − 4ac =  [ (−37500 − 35256x)] + 11250x + 6.75x 2   − 4 ⋅1 ⋅  4 6 2 ⋅ 10  2 ⋅ 10    2

[ (7 50 0− x ) − y] ⋅ y 2

σ 1, 2

b± D = = 2a

2

2 ⋅ 1 04

[

]

2

 (7 50 0− x 2 ) − y ⋅ y 2   y ±  [ (− 3 75 0 0− 3 5 25 6x)] + 1 12 5 0x + 6.7 5x 2   − 4 ⋅1⋅  4 6 2 ⋅ 10  2 ⋅1 0    ⇒ 2 ⋅1

σ1 = σ2 =

Shkenca e Konstruksioneve II

| Detyre kursi 1.

8

USHTRIMI 2.

Y

E = 2 * 10 5 (N/mm2) x

µ = 0.25 Q = λ ⋅ x3 + β ⋅ x ⋅ y 2

a

a

Varianti

α

β

λ = a/b

1

2

4

40/20

I. A është i vërtet funksionni i dhënë? Q = 2 ⋅ x3 + 4 ⋅ x ⋅ y 2 Që një funksion të jetë biharmonik duhet që derivati i katërt të jetë zero. (2-1) ∇ Q=0 4

(2-2) ∂ 4Q ∂ 4Q ∂ 4Q + 2 + =0 ∂x 4 ∂x 2 ∂y 2 ∂y 4 0

+

0

+

0 =0

Funksioni është biharmonik, pra i vërtetë. II.

Përcaktimi i sforcimeve për një pikë të cfarëdoshme u(x,y).

a) Sforcimet e kryesore.

Shkenca e Konstruksioneve II

| Detyre kursi 1.

9

Atëhere tenzori i sforcimeve do të jetë:

σ xx =

= Tσ =

σ xx σ yx

σ xy σ yy

dhe në formë 8x 8y

8y 12x

∂ Q = 12x ∂x 2 ∂ 2Q = = 8y ∂x∂y

σ yy = σ xy

∂ Q = 8x ∂y 2 2

2

vektoriale do të ishte: 8 x  Tσ = 12x  8 y  b)

Deformimet.

Nga ligji i përgjithshëm i Huku-t do të kemi: (2-3)

σ yy σ xx −µ E E σ yy σ ε= − µ xx E E σ xy γ = 2(1 + µ ) E ε xx =

Duke bërë zëvendësimet në formulën (2-3) dhe duke patur parasysh që, koficenti i Pausonit dhe moduli i elasticitetit janë përkatësisht µ = 0.25, E = 2 * 10 5 (N/mm2) deformimet do të jenë:

ε xx =

8x 12 x (8 − 12µ ) −µ = ⋅x E E E

ε yy =

12x 8 x (12 − 8µ ) −µ = ⋅x E E E

γ xy =

8y 16 y 2(1 + µ ) = (1 + µ ) E E

Shkenca e Konstruksioneve II

| Detyre kursi 1.

10

c) Zhvendosjet.

ε xx =

u=

(8 − 12 ⋅ µ ) ∂u x(8 − 12 ⋅ µ ) 1 (8 − 12µ ) ⋅x = ⇒u =∫ dx ⇒ u = ⋅ x + f1 ( y) ⇔ E ∂x E 2 E

(4 − 6 µ ) ⋅ x + f1 ( y) E x(12 − 8µ ) ∂v x (12 − 8µ ) = ⇒v=∫ dy ⇒ E ∂y E

ε yy =

v=

(12 − 8µ ) ⋅ x ⋅ y + f 2 ( x) E

γ xy =

16 y ∂u ∂v (1 + µ ) = + E ∂x ∂y

Duke derivuarë funksionet përkatëse të zhvendosjeve do të marim:

 ∂u '  ∂y = 0 + f 1 ( y )   ∂v = (12 − 8µ ) y + f ' ( x ) 2  ∂x E •

γ xy =

∂u ∂v  ' (12 − 8µ )  + =  f1 ( y ) + y + f 2' ( x ) = 0 ∂y ∂x  E 

Gjejmë kostantet f1 dhe f2

Zëvendësojmë: A=

(12 − 8µ ) y + f 2' ( x)] E

df1 ( y ) = − A ⇒ df1 ( y ) = − Ady ⇒ f 1 ( y ) = − Ay + α 1 dy df 2 ( x) 12 8µ  12 8µ xy  = A ⇒ df 2 ( x) =  A − y + y dx ⇒ f 2 = Ax − xy + xy + α 2 = Ax − ( 8µ − 12) + α 2 dx E E  E E E  Për të gjetur kostantet marim x dhe y si më poshtë: x=0 y=0

u = α2 = 0 v = α1 = 0

Shkenca e Konstruksioneve II

| Detyre kursi 1.

11

Pra koficentët α1 dhe α2 janë të barabartë me zero. A = 0 , siç shihet edhe kostantia “A” është e barabartë me zero.

∂v ∂x

= A+ A

(12 − 8µ ) y=0 E

Trajta përfundimtare e funksionit të zhvendosjes është: u=

(4 − 6 µ ) x E

v=

(12 − 8µ ) xy E

I.

Forcat që veprojnë në konture.

y

M6

M5

M4

M7

M2

M8

Shkenca e Konstruksioneve II

M3

M1

| Detyre kursi 1.

x

12

Pika M1 x = x   y = −20

σ xx σ xy   8 x − 80 Tσ =  =  σ xy σ yy  − 80 12x 

 p x   8 x − 80 0   80   p x = 80( N )  =  p  − 80 12x  − 1 = 12x  ⇒  p = 12x( N )       y  y 

Pika M2  x = 40  y = −y

 320 − 8 y  Tσ =   − 8 y 480 

 p x   320 − 8 y  1   320   p x = 320( N )  =  p  − 8 y 480  0 =  − 8 y  ⇒  p = −8 y ( N )       y  y 

Pika M3  x = 40  y = y

320 8y  Tσ =   8 y 480

Shkenca e Konstruksioneve II

| Detyre kursi 1.

13

 p x  320 8y  1   320  p x = 320( N )  =  p  8 y 480 0 =  8 y  ⇒  p = 8 y ( N )      y  y 

Pika M4 x = x   y = 20

8x 80  Tσ =   80 12x 

 p x  8x 80  0  80   p x = 80( N )  =  p  80 12x  1  = 12x  ⇒  p = 12x ( N )      y  y 

Pika M5 x = − x   y = 20

80  − 8 x Tσ =    80 − 12x 

 p x  − 8 x 80  0  80   p x = 80( N )  =  ⇒     =  p   y   80 − 12x  1   − 12x   p y = −12x ( N )

Pika M6  x = −40  y = y

Shkenca e Konstruksioneve II

| Detyre kursi 1.

14

− 320 8 y  Tσ =  − 480  8y

 p x  − 320 8 y  − 1  320   p x = 320( N )  = ⇒ = p  − 480 0   − 8 y   p y = −8 y ( N )  y   8y

Pika M7  x = −40  y = −y

− 320 − 8 y  Tσ =    − 8 y − 480

 p x  − 320 − 8 y  − 1  320  p x = 320( N )  =  ⇒     =  p   y   − 8 y − 480 0   8 y   p y = 8 y ( N )

Pika M8 x = − x   y = −20

− 320 8 y  Tσ =  − 480  8y

 p x  − 8 x − 80  0   80   p x = 80( N )  =  p  − 80 − 12x  − 1 = 12x  ⇒  p = 12x ( N )       y  y 

Shkenca e Konstruksioneve II

| Detyre kursi 1.

15 II.

Përcaktimi i pikave: u = 0, v = 0,

,

.

∂v ∂u =0 =0 ∂x ∂y

y

x Pika O i plotëson që të gjitha kushtet e shtruara më lartë. u = 0, v = 0,

, ∂u ∂v =0 =0 ∂x ∂y

Shkenca e Konstruksioneve II

| Detyre kursi 1.

.