Determinar la carga del electrón

Experimento de Millikan Colorado Bulbarela C, M., Hernández Hernández J, L., Hernández Somohano M, A., Terrones Pacheco L, A & Zárate Flores M, A.,

Objetivo Reproducir el experimento de las gotas de aceite de Millikan, para determinar la carga fundamental del electrón

Resumen La carga eléctrica elemental es una de las constantes fundamentales de la física, por lo que su determinación precisa resulta vital para esta ciencia. En su experimento, Millikan medía la fuerza eléctrica sobre una pequeña gota cargada debida a un campo eléctrico creado entre dos electrodos cuando la gota se encontraba en el campo gravitatorio. Conociendo el campo eléctrico, era posible llevar a cabo la determinación de la carga acumulada sobre la gota.

Marco teórico El aparato de Robert Millikan incorpora un par de placas metálicas paralelas horizontales. Al aplicar una diferencia de potencial entre las placas, se crea un campo eléctrico uniforme en el espacio entre ellas. Se utilizó un anillo de material aislante para mantener las placas separadas. Cuatro agujeros se cortaron en el anillo, tres para la iluminación con una luz brillante, y otro para permitir la visualización a través de un microscopio. Una fina niebla de gotas de aceite se roció a una cámara por encima de las placas. El aceite era de un tipo utilizado normalmente en aparatos de vacío y fue elegido porque tenía una presión de vapor extremadamente baja. El aceite ordinario se evaporaría bajo el calor de la fuente de luz causando que la masa de la gota de aceite cambiara durante el transcurso del experimento. Algunas gotas de aceite se cargaban eléctricamente a través de la fricción con la boquilla cuando fueron rociadas, mientras otras se descargaban hasta hacerse cationes y otras se volvían neutras. Como alternativa, la carga podría llevarse a cabo mediante la inclusión de una fuente de radiación ionizante (como un tubo de rayos X).

Ilustración 1 Esquema simplificado del arreglo experimental Ecuación para calcular la carga en una gota Un análisis de las fuerzas que actúan en una reducción de aceite retribuirá la ecuación para la determinación del cambio realizado por la gota La ilustración 3 muestra las fuerzas que actúan en la gota cuando está cayendo al aire y ha alcanzado su velocidad terminal. En la ilustración 3, 𝑉𝑓 es la velocidad de caída, 𝑘 es el coeficiente de fricción entre el aire y la gota, 𝑚 es la masa de la gota y 𝑔 es la aceleración de la gravedad. dado que las fuerzas son iguales y opuestas. mg= kVf

(1)

Sustituyendo la ecuación 4 en la ecuación 3 tenemos: 4𝜋𝑎3 𝜌𝑔(𝑉𝑓 + 𝑉𝑟) 𝑞= 3(𝐸𝑉𝑓) Para calcular 𝑎, se emplea la ley de stokes, que relaciona el radio de un cuerpo esférico con la velocidad de caída en un medio viscoso (con el coeficiente de la viscosidad 𝛹) 9Ψ𝑉𝑓 2𝑔𝜌

𝑎=√ Ilustración 2

Ilustración 3

La figura 3 muestra las fuerzas que actúan sobre la gota cuando está subiendo bajo la influencia de un campo eléctrico. en la figura 3, 𝐸 es la intensidad eléctrica, 𝑞 es el cambio llevado por la gota, y 𝑉𝑟 es la velocidad de subida. Agregando las fuerzas vectorialmente

La ley de Stokes, sin embargo, se vuelve incorrecta cuando la velocidad de caída de las gotitas es menor a 0.1 cm / s. Dado que las velocidades de las gotitas utilizadas en el experimento estarán en el rango de 0.01 a 0.001 cm / s, la viscosidad se debe multiplicar por un factor de corrección. La viscosidad efectiva resultante es

𝐸𝑞 = 𝑚𝑔 + 𝑘𝑉𝑖 (2) en ambos casos también hay una pequeña fuerza de flotación ejercida por el aire sobre la gota. dado que la densidad del aire es solo aproximadamente un milésimo de la del aceite, esta es la fuerza que se puede despreciar. Eliminando k de las ecuaciones 1 y 2 y resolviendo 𝑞=

𝑚𝑔(𝑉𝑓+ 𝑉𝑟) 𝐸𝑉𝑓

𝑚𝑔=

𝛹𝑒𝑓𝑓 = Ψ (

1 𝑏

)

1+𝑝𝑎

(7)

Donde b es una constante, p es la presión atmosférica, y 𝑎 es el radio de las gotas calculado por la forma corregida de la ley de Stokes, ecuación (6) Sustituyendo 𝛹𝑒𝑓𝑓 en la ecuación (7) en la ecuación (6) y luego resolviendo para el radio 𝑎 da:

(3)

Para eliminar m de la ecuación 3. Se usa la expresión para el volumen de una esfera 4 𝛱𝑎³𝜌𝑔 3

(6)

(4)

9𝛹𝑉𝑓 1 ( 2𝑔𝜌 1+ 𝑏

𝑎=√

Sustituyendo la ecuación (8) en la ecuación (5) para “a” obtenemos: 3 4

9𝛹𝑉𝑓

𝑞 = 𝛱𝑔𝜌 (√ 3

Donde a es el radio de la gotita, y 𝜌 es la densidad del aceite.

) (8)

𝑝𝑎

2𝑔𝜌

(

1

))

𝑏 1+ 𝑝𝑎

(𝑉𝑓+ 𝑉𝑟) (𝐸𝑉𝑓)

(9)

L a intensidad eléctrica está dada por

𝐸=

𝑉 𝑑

(10)

Donde V es la diferencial de potencial entre las placas y d la distancia de separación entre ellas. Sustituyendo la ecuación (10) en la ecuación (9) obtendremos la ecuación que usaremos para calcular la carga del electrón. 𝑞 4𝜋𝑑 1 9𝛹 3 1 √ =( ( ( ) )) 𝑥 √( ) 𝑏 3 𝑔𝜌 2 1+ 𝑝𝑎 ( ) 𝑉𝑓 + 𝑉𝑟√𝑉𝑓 𝑥( ) 𝑉 Esta sería la ecuación (11) Donde q - Carga transportada por la gota (Coulumbs) d - Separacion de las placas en la cámara de visualización de gotitas (metros)

Determinar experimentalmente la carga del electrón, a partir de la reproducción del experimento de Millkan.

Diseño del experimento Materiales 

    

Aparato de Millikan (Millikan Oil Drop Apparatus AP-8210ª, PASCO) Aceite Fuente de voltaje Cronometro Multímetro Cables de conexión tipo banana

Procedimiento: 1.- Se desempaco el equipo y se procedió a limpiar minuciosamente cada uno de sus componentes 2.- Se armó el equipo de acuerdo a las especificaciones del manual. 3.- Se llevó a cabo la calibración de la cámara de observación de acuerdo al procedimiento descrito en el manual.

g - aceleración de la gravedad (m/s^2)

4.- Se conectó el multímetro a los puertos correspondientes para la toma de la resistencia.

b – constante con valor de 8.2x10^-3 (Pa)(m)

5.- Una vez realizadas estas conexiones se procedió a encender la fuente.

p – Presion barométrica (pascales)

6._ Se tomó la medida de la resistencia y el voltaje empleado.

𝜌 – Densidad del aceite (kg/m^3)

a – radio de la gota en metros calculada a partir de la ecuación (6) Vf – Velocidad de caída (m/s) Vr – Velocidad de subida (m/s) V – Diferencia de potencial entre las pacas.

Planteamiento de problema

7.- Se procedió a rociar el aceite por el orificio destinado para este fin, y se observó a través del orificio de observación. 8.- En el momento en que las gotas fueron visibles se procedió a la toma de datos, se tomó el tiempo que les tomaba recorrer 7 cuadros de la cuadricula de observación. 9.- Las primeras mediciones se tomaron sin ionizar las gotas.

10.- se repitió el procedimiento pero en este caso se ionizaron las gotas. 11.- una vez que se elegio una gota ionizada para la toma de datos, se hizo cambiar la dirección del campo para tomar las velocidades tanto de de caída como de subida de la gota.

3

Obtención y análisis de datos: Como primer punto, se muestra una tabla con las constantes del experimento, así como los parámetros iniciales: Constante y parámetros iniciales Resistencia 1.98x10^6 ohms Temperatura 26°c Viscosidad del 1.8520x10^-5 (N.s/m^2) aire (Ψ) Densidad del 886 kg/m^3 aceite (𝜌) (proporcionada por el fabricante) Presión 1025 hPa barométrica (En Xalapa, para el día 9/04/2018) Voltaje 380 V Gravedad 9.78 (m/s^2) Separación de las 0.00767 m placas (d) (proporcionada por el fabricante) Constante (b) 8.2x10^-3 (Pa)(m) Campo eléctrico 49543.67 C/m A continuación se muestra la tabla con los datos obtenidos. Gota

1

2

Distancia recorrida (mm) 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5

Time (s)

Dirección

1.85 1.95 1.8 1.99 1.98 1.05 1.15

U U U D D U U

4

3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5

0.67 0.82 2.31 1.79 2.17 2.51 2.41 2.18 2.21 2.61 2.06 2.77 1.69 1.77 1.96 1.75 1.91 1.8 2.02 1.79 1.77 2.21 5.73 3.64

D D U U U U U U U U U U D D D D D D D D D D U D

Donde U significa que la gota sube y D que la gota baja. A continuación se procede a calcular los promedios de las velocidades tanto de subida como de bajada para cada una de las gotas Gota

1 2 3 4

Velocidad de caída (Vf) m/s 0.0017632 0.0047460 0.0018860 0.0009615

Velocidad de subida (Vr) m/s 0.0018770 0.0031888 0.0015422 0.0006108

Con ayuda de la ecuación (8) si resolvemos para a encontramos que: 𝑏 2 9𝜓𝑉𝑓 𝑏 √ 𝑎= ( ) + − 2𝑝 2𝑔𝜌 2𝑝

A partir de esta ecuación calculamos el radio para cada una de las gotas Gota 1 2 3 4

Radio (a) (metros) 4.07x10^-6 6.71x10^-6 4.22x10^-6 3x10^-6

A partir de la ecuación (4) sabiendo el radio a de las gotas podemos calcular la masa de cada una de ellas, la cual se muestra a continuación: Gota 1 2 3 4

Masa (kg) 2.51x10^-13 1.12x10^-12 2.78x10^-13 1.00x10^-13

Sabiendo la diferencia de potencial entre las placas y la separación entre ellas podemos conocer el campo eléctrico E, y de esta manera usa la ecuación (3) para calcular la carga de cada gota, obteniendo la tabla siguiente: Gota 1 2 3 4

Carga (C) 1.0229x10^-19 3.6960x10^-19 9.9752x10^-20 3.2280x10^-19

Si tomamos la menor carga como 9.9752x10^-20 vemos que las gotas 1,2 y 4 son aproximadamente múltiplos enteros de la misma. Procedemos entonces a calcular el error porcentual de nuestro experimento conociendo que la carga del electrón es 1.6x10^-19C %𝐸 = 37.6 %

Conclusiones De acuerdo al análisis hecho podemos concluir los siguientes puntos:

1.- Se logró el objetivo demostrativo de la práctica que era observar que las cargas de las gotitas son múltiplos enteros de una carga fundamental 2.- Se presenta un porcentaje de error bastante elevado sin embargo podemos atribuir este error a muchos factores todo ambientales, pero principalmente experimentales. 3.- Una posible mejora seria grabar con una videocámara las gotas para poder analizar los tiempos de recorrido de una forma más exacta 4.- considero que a pesar de las limitantes y los errores hechos en las mediciones logramos aproximarnos de una manera significativa a la carga fundamental.

Bibliografía. 1.- Manual de instrucciones Millikan Oil Drop Apparatus (AP-8210 A). PASCO