Determinacion Del Numero Pi

UNIVERSIDAD DEL VALLE 1 TECNOLOGÍA QUÍMICA II SEMESTRE

DERTEMINACION DEL NUMERO PI (π) JULIAN SOLARTE NATALI QUIÑONES ROBERTO DELGADO RESUMEN La practica de laboratorio se realizo con el fin de determinar el numero pi (π) mediante las mediciones consecutivas de varias circunferencias. Para determinarlo, fue muy necesario tener e instrumentos que nos garanticen las medidas, ya que como sabemos, todos los instrumentos tienen un margen de error que comúnmente llamamos incertidumbre. Por esto, es muy necesario tener instrumentos que sean lo más precisos posibles. Ante esto, se utilizo un calibrador y un metro milimetrado y se le midió a las circunferencias su diámetro y perímetro. Para el perímetro, se midió con el metro milimetrado y para el diámetro fue necesario utilizar el calibrador. Se hizo una respectiva tabla donde arrojamos la información útil para determinar el número pi (π). Luego de tener los datos, se hicieron las debidas operaciones que se aprendieron en la aula de clase, aplicando así las series de formulas para el manejo estadístico de los errores. Se hicieron muy detalladamente los cálculos y llegamos al objetivo principal de esta práctica, determinar el número pi (π), 3.1415. INTRODUCION Durante muchos años, se ha utilizado en las matemáticas y más especialmente en la geometría, cálculos que tiene que ver ligados a circunferencias o fenómenos que se comportan cíclicos, los cuales hacen necesario tener una serie de datos

que nos permiten resolver las incógnitas que se nos presenta. Uno de esos datos que le debemos a los antiguos, y que de eso no fuera posible resolver hoy en día los problemas matemáticos que tienen que ver con circunferencias, es el numero pi (π). El numero pi (π), inicialmente fue descubierto por una persona que midió el diámetro y perímetro de una circunferencia. Después, dividió el perímetro por el diámetro y así fue que se descubrió el número pi (π). Mediante este descubrimiento se ha logrado resolver muchos problemas que antiguamente tenían dificultad para resolver. Por eso es que en esta práctica lo vamos a determinar. PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL Para el desarrollo de la práctica inicialmente se utilizó cinco circunferencias, un calibrador, un metro milimetrado y una hoja milimetrada. Luego se hizo una tabla donde se depositaron los datos, para luego hacer los cálculos necesarios para llegar a nuestro punto: el numero pi. Se cogió primero una circunferencia “1”, la cual se le midió el diámetro con el calibrador con una incertidumbre de 0.05 mm. Después con un metro milimetrado de 150 cm, se le midió el perímetro. Posteriormente se hizo el mismo procedimiento para las circunferencias “2”,”3”,4” y”5”. Después de tener estos datos, se realizaron los cálculos mediante el método del mínimo cuadrado, para determinar el mejor dato y así determinar la grafica del número pi mediante una relación de radio vs perímetro. Después de realizar lo anterior, se llego al número pi: 3.1415. RESULTADOS Y ANALISIS En las mediciones de las cinco circunferencias realizadas en el laboratorio, mediante un calibrador y

metro milimetrado, se obtuvieron los siguientes datos. Las unidades respectivas son cm #

Δ diámetro

Δ radio

Δ perímetro

1

3.95

2

5.93

2.96

18.7

3

7.98

3.99

25.3

4

9.93

4.96

31.4

5

12.2

6.1

38.4

12.7

Se realizaron las siguientes operaciones: ΣR: 1.97+2.96+3.99+4.96+6.1= 20.0 cm ΣP:12.7+18.7+25.3+31.4+38.4=123.5 cm ΣR2: (1.97)2 + (2.96)2 + (3.99)2 + (4.96)2 + (6.1)2 = 90.4 cm2 ΣP2: (12.7)2 + (18.7)2 + (25.3)2 + (31.4)2 + (38.4)2 = 3611.6 cm2 ΣRP: (1.978*12.7) + (2.96*18.7) + (3.99*25.3) + (4.96*3.14) + (6.1*38.4) = 571.3 cm2 ΣR: 20.0 cm ΣP: 123.5 cm ΣR2: 90.4 cm2 ΣP2: 3611.6 cm2 ΣRP: 571.3 cm2 Después de tener los anteriores datos, procedemos a realizar los cálculos del mínimo cuadrado, aplicando las siguientes formulas: A) a: ΣR 2 ΣP – ΣRΣ(RP) /nΣ R 2(ΣR) 2 B) b: nΣ RP - Σ R Σ P/ nΣ R 2 –( Σ R )

•

a:( 90.4*126.5) – (20.0 * 571.3)/ 5 (90.4 ) –(20)2 a: 0.18 cm b: nΣ RP -Σ R Σ P/ nΣ R 2 –(Σ R) 2

b: 5(571.3) – (20.0)(126.5) / 5(90.4)-(20.0)2 b: 6.3 • Sy :2Σ (P-a-bR)2 * 1 /2n-2 Sy: 2126.5-0.18*5-6.3*20.0/ 5- 2 Sy: 0.13 • Sa: Sy : 2ΣR2 * 1/2nΣR2-(ΣR)2 Sa: 0.13*290.4*1/2590.42 (20.0) Sa: 0.21 • Sb: Sy : 2n /nΣR2 -ΣR2 Sb: 0.13*25/ 590.4 - (20.0)2 Sb: 0.049 • r : nΣRP-ΣRP / (2n ΣRP-(ΣR)2 ) (2nΣP2-(ΣP)2) r: 5(571.3) – 571.3/ (25571.3(20.0)2) (2590.4-(126.5)2 r: 0.9986 Los datos que se hallaron mediante los cálculos anteriores fueron: a: 0.18 cm b: 6.3 sy:0.16 sa:0.21 sb:0.049 r:0.9986 Después de tener estos datos, procedemos a hacer una grafica para determinar que nuestras mediciones fueron correctas. Por lo tanto hacemos la respectiva grafica.

2

C) D) E) F) •

Sy :2Σ (P-A-bR)2 * 1 /2n-2 Sa: Sy : 2ΣR2 * 1/2nΣR2-(ΣR)2 Sb: Sy : 2n /nΣR2 -ΣR2 r : nΣRP-ΣRP / (2n ΣRP-(ΣR)2 ) (2nΣP2-(ΣP)2) a :ΣR 2 ΣP – ΣRΣ(RP) /nΣ R 2(ΣR) 2

Por lo que se ve nuestra grafica nos dio una línea recta. Por lo tanto nuestros datos son verdaderos, ya que mediante el método del mínimo cuadrado nos debe

dar una línea recta. Aquí lo vemos reflejado. Así que los datos que se hallaron, los podemos aplicar par la ecuación P = 2πR y así decir que nuestros datos se acercan al numero pi (π). Se hace la prueba y se comprueba que en efecto se aproximan: 1. 12.7/3.95 =3.22 2. 18.7/5.93 =3.15 3. 25.3/7.98 =3.17 4. 31.4/9.93 =3.16 5. 38.4/12.2 =3.1475 Se puede decir que nos acercamos un poco al numero pi (π) y que por lo tanto, se podría decir que el cálculo estuvo bien. CONCLUSIONES Después de realizar la anterior practica de laboratorio, aprendimos que para realizar una grafica y para demostrar una constante, debemos tener en cuenta el método del mínimo cuadrado, ya que resulta muy fiable y a la vez mas seguro, debido a que nos aproxima a la verdadera constante. En nuestro caso, el numero pi (π). Otro conclusión muy importante, es que a la hora de realizar un cálculo con varias mediciones, se recomienda hacerla con el mismo instrumento, ya que todos los instrumentos tiene diferente incertidumbre. Por lo tanto, uno de los errores que quizá sucedió con nuestro cálculo del número pi (π), fue que el calibrador tenía una incertidumbre diferente a la del metro milimetrado. Eso influyo mucho en los resultados. Por más pequeñas que fueran las incertidumbres influye en nuestro resultado, debido a que estábamos utilizando números decimales. Así que creemos que fue la fuente de error. BIBLIOGRAFIA • •

SERWAY; FISICA. Séptima edición. McGraw-Hill Profesores departamento de física de la facultad de ciencias naturales y exactas.

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http://www.portalplanetasedna.co m.ar/numero_pi.htm Fecha de consulta (04/03/2010) http://es.wikipedia.org/wiki/N %C3%BAmero_%CF%80 Fecha de consulta (04/03/2010)