DETERMINACIÓN DEL MOVIMIENTO DE UNA PARTÍCULA

Porta

UNIVERSIDAD DE GUAYAQUIL FACULTAD DE CIENCIAS MATEMATICAS Y FISICAS ESCUELA DE INGENIERIA CIVIL

DINÁMICA TRABAJO DE INVESTIGACION TEMA: “DETERMINACIÓN DEL MOVIMIENTO DE UNA PARTÍCULA”

INTEGRANTES: CHAVEZ ALCOSER ASHLEY MABELL CORREA VELÁSQUEZ JAVIER JOSUÉ MONTALVÁN ZAMBRANO MAX DENNIS

DOCENTE: ING. NARANJO CALDERON FELIPE GONZALO. 2017 GUAYAQUIL - ECUADOR

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INTRODUCCIÓN La dinámica forma parte de la mecánica que es una de las ramas que se divide la física para su estudio, la dinámica estudia los cuerpos en movimiento, es la parte de la Mecánica que estudia las relaciones entre las causas originan los movimientos y las propiedades de los movimientos originados. Las Leyes de Newton constituyen los tres principios básicos que explican el movimiento de los cuerpos, según la mecánica clásica.

El movimiento de un cuerpo cambia cuando interactúa con otros cuerpos. Los cambios dependen en algunos casos de las propiedades del cuerpo y por otro del medio que lo rodea. En la dinámica se utiliza tanto el Sistema internacional de medidas como el Sistema inglés.

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DETERMINACIÓN DEL MOVIMIENTO DE UNA PARTÍCULA En algunas ocasiones la aceleración de una partícula se expresa como función de una de las variables: tiempo, posición o velocidad (t, x, v). 

a= f(t). la aceleración es una función dada de t.



a=f(x). la aceleración es una función dada de x.



a= f(v). la aceleración es una función dada de v.

Si tenemos las ecuaciones correspondientes, estas pueden integrarse para obtener expresiones que relacionan al tiempo, la posición y la velocidad. En estos casos a≠k y tienen como variables independientes, el tiempo (t), la posición (x) y la velocidad (v). o

Si a= f(t) usamos la expresión: 1

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Despejando dv en la ecuacion 1 y sustituyendo a por f(t) de ahí obtenemos:

Integrando ambos miembros, resulta la ecuación dv en función de t:

Para definir el movimiento de la partícula, es necesario especificar las condiciones iniciales del movimiento, es decir, el valor de Vo de la velocidad y el valor de Xo de la coordenada de posición cuando t = 0. Si sustituimos las integrales indefinidas por integrales definidas con unos límites inferiores correspondientes a las condiciones iniciales, resulta:

Despejando dx , de la ecuación (2) y sustituyendo v, por la ecuación anteriormente obtenida, se tiene:

2

Integrando ambos miembros, el primero respecto a x entre x = xo y x = x, y el segundo respecto a t entre t = 0 y t = t, obtenemos la coordenada de la posición en función de t, y con lo cual el movimiento queda completamente determinado.

o

Si a=f(x) usamos la expresión:

Partiendo de las ecuaciones (1) y (2), y despejando dt en la ecuación (1) y sustituyendo en la ecuación (2), resulta: Sustituyendo a por f(x):

Integrando esta ecuación, y denotando Vo y Xo, respectivamente los valores iniciales de la velocidad y la coordenada de posición, tenemos:

Despejando dt de la ecuación (2), e introduciendo aquí el valor de v recién obtenido, resulta:

A continuación, integramos ambos miembros obtenemos la relación que existe entre x y t. o

Si a=f(v) utilizamos la expresión:

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Partiendo de estas las ecuaciones (1) y (2), y sustituyendo a por f(v), se obtienen las siguientes relaciones:

Integrando la primera ecuación se obtiene una relación entre v y t; integrando la segunda, se obtiene una relación entre v y x. Cualquiera de ambas puede emplearse en combinación con la ecuación 1, para obtener la relación entre x y t que caracteriza el movimiento de una  partícula.

BIBLIOGRAFÍA: Chang, P. R. (s.f.). Prof. Raul Chang . Obtenido de Prof. Raul Chang : http://raulchang.udem.edu.ni/wp-content/uploads/2014/10/S3-Movimiento-de-una particula.pdf Cordova, U. d. (s.f.). Página Web del Departamento de Física Aplicada de la Universidad de Córdoba. Obtenido de Página Web del Departamento de Física Aplicada de la

Universidad de Córdoba: http://rabfis15.uco.es/sistemasligados/pagina1fin/pag3.htm Estrada, P. (s.f.). slideshare. Obtenido de slideshare: https://es.slideshare.net/StevJohnS/dinamica-unidad-1

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EJERCICIO DE APLICACIÓN: Una partícula unida al extremo de un resorte se mueve con una aceleración proporcional a su posición y de signo contrario. Suponiendo que la aceleración es a(x)=-4x m⁄s^2 y que su velocidad (de la partícula) es de 2 m⁄s , hacia arriba cuando pasa por el origen. Determinar:

a) La velocidad en función de la posición b) Si la partícula se halla en el origen en el instante t=1.0 sg. Determine su posición, velocidad y aceleración en función de tiempo. Solución: Tenemos los siguientes datos:   

() = 4   = 2 ⁄   = 0  = 0    = 1 aceleración definida por:

a) La velocidad en función de la posición la obtenemos fácilmente reemplazando “a” por y luego integrando con los límites dados nos queda una expre sión Entonces tenemos:

  = 4

Integramos y establecemos correctamente los límites:

  ∫  = 4∫    = 4  2 2  

 2 2 = 4 2 0∗ 2   4 = 4  = 4(1) () = 2 1 

()

 

5 b) Ahora nos piden una expresión en función del tiempo, tanto para la posición, la velocidad, y aceleración. Para ello nos dan límites tanto para e l tiempo como para la posición, por lo que podemos partir de la ecuación (1), así podemos hallar una expresión de la posición en función del tiempo y posteriormente, las demás. Tenemos entonces:

 = 2 1  

Integramos y establecemos los respectivos límites:

   ∫ √1  = 2∫  sin− | = 2[] sin−  = 2[ 1]

() = sin2( 1)

Ahora procedemos a encontrar las expresiones de la velocidad y aceleración Para ello simplemente derivamos con respecto a t

() = 2cos2( 1) () = 4sin2( 1)