Determinacion de Centro de Presiones

 

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MECÁNICA DE FLUIDOS I DEPARTAMENTO DE HIDRÁULICA E HIDROLOGÍA

DETERMINACIÓN DEL CENTRO DE PRESIONES INTRODUCCIÓN: El centro de presiones de un fluido estático respecto a un cuerpo sumergido se define como el punto en donde la fuerza resultante debido a ese fluido actuará en dicha área o volumen anteriormente mencionado. En el campo de la hidrostática, es vital conocer esta coordenada de aplicación, ya que con esto se puede lograr calcular todos los elementos que permiten que el cuerpo en cuestión se mantenga en estado estático; esto se puede lograr con métodos como la sumatoria de momentos respecto a un punto en donde este valor sea cero.

OBJETIVO: El objetivo de esta experiencia es determinar las coordenadas del centro de presiones (xcp  ; ycp) y comparar los valores hallados de manera teórica y experimental para posteriormente compararlos y obtener la efectividad de nuestro ensayo de laboratorio.

MARCO TEÓRICO: Para poder entender el procedimiento para hallar el punto centro de presiones, es necesario conocer ciertas definiciones teóricas que nos brinda la hidrostática, tales como: - 

Superficie Libre de un Líquido:   (Potter, 2016) “Es la superficie que separa a un gas de un líquido”. Además, se puede agregar que esta superficie es concéntrica con la de la tierra, pero como la estudiamos en una escala muy pequeña, dicha curvatura se desprecia.

- 

Presión en un punto y Magnitud de la l a Fuerza:  La presión en puntos ubicados en el mismo plano horizontal es la misma, esto se deduce gracias a la ecuación:

 =    Que se puede aplicar solo a fluidos en reposo. Si la densidad es constante:

=ℎ 

* La expresión es positiva ya que se tomó una profundidad “h” por debajo del plano de referencia  PROF: ING. ROCÍO ARISTA ALARCÓN – ALARCÓN –  SECCIÓN “G”

 

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En el caso de las superficies planas, tenemos que hallar la fuerza o presión que se ejerce a lo largo de toda la superficie para integrarla y llegar a una expresión simple.

Al hacer los cálculos llegamos a la expresión:

 = ∫    =   = ℎ ℎ   La cual nos permitirá calcular la magnitud de la fuerza aplicada, pero ahora debemos hallar un dato igual o más importante: el punto de aplicación de dicha fuerza en el

- 

cuerpo.

Distribución de fuerzas: 

Como la densidad es constante, la presión en los diferentes puntos de un fluido variará linealmente y se podrá obtener un gráfico que simule esas presiones para poder calcularlas de manera más sencilla utilizando la teoría de fuerzas distribuidas.

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- 

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La componente horizontal de la fuerza resultante de presiones:  Esta componente que un líquido ejerce sobre una superficie curva es igual en magnitud y de sentido contrario a la resultante de las presiones que el fluido ejerce sobre la proyección de la superficie sobre un plano vertical y tiene la misma línea de acción, es decir, pasa por el centro de presión de dicha proyección.

- 

La componente vertical de la l a fuerza resultante de presiones:  Esta componente que un líquido ejerce sobre una superficie curva es igual al peso del volumen de líquido que se encuentra verticalmente por encima de esta y se extiende hasta el nivel de la superficie libre. En el caso en el cual la superficie recibe una presión contraria en sentido a este peso, la componente vertical tendrá el mismo valor (será evaluada del mismo modo) pero tendrá sentido contrario. El punto de aplicación se ubicaría en el CG del volumen.

DESCRIPCIÓN DEL EQUIPO UTILIZADO: 1)  Sistema Basculante:  Utilizaremos un cuadrante cilíndrico pivoteado en su centro geométrico y balanceado por una masa en un extremo para que la suma de momento respecto a su CG sea cero. Este sistema se suspende en un recipiente que está conectado a una toma de agua con la cual podremos aumentar el nivel de fluido a nuestra conveniencia. conveniencia.

SISTEMA BASCULANTE – CUADRANTE CIRCULAR CILINDRICO  Dimensiones: 

Radio interior del cuadrante cilíndrico: Radio exterior del cuadrante cilíndrico:  Ancho: Masa de la pesa deslizante (W/g):

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135 mm  250 mm  115 mm  0,605 kg 

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2)  Recipiente:  Utilizamos un recipiente plástica que tiene dos tomas, una para el ingreso de agua y otra para su evacuación. Este recipiente debe estar correctamente nivelado utilizando los tornillos nivelantes de la mesa:

TORNILLOS NIVELANTES DE LA MESA 

3)  Regla:  Se utiliza una para medir el nivel de agua desde la base del recipiente y poder obtener diferentes resultados para los puntos de aplicación y observar como varían según la altura del fluido y la otra para poder medir la distancia de la masa balanceadora al centro geométrico del sector circular cilíndrico.

REGLAS UTILIZADAS PARA EL LABORATO LABORATORIO RIO

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4)  Nivel Tubular:  Se utiliza para mantener siempre nivelado el recipiente así como el cuadrante cilíndrico, que irá inclinándose conforme el nivel del agua se eleve.

NIVELES TUBULARES 

ESQUEMATIZACIÓN ESQUEMATIZAC IÓN DEL EXPERIMENTO:

Donde tomamos una distancia inicial d0 =11,1 cm.

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PROCEDIMIENTO PARA LA REALIZACIÓN DEL LABORATORIO: A)  En primer lugar nivelar el recipiente utilizando el nivel tubular ubicado en la mesa de apoyo, este paso es importante y debe ser realizado con precisión ya que la fuerza resultante no será igual con una superficie libre inclinada respecto al cuadrante cilíndrico. 

SUPERFICIE NIVELADA 

B)  Abrir la toma de agua para llenar el recipiente (cerrando la de desagüe) y controlar el nivel de la superficie hasta obtener la medida deseada y posteriormente cerrar completamente completamente la toma de agua.  

C)  La norma indica que la superficie libre del agua será tangente al cuadrante cilíndrico mientras esta no supere una distancia de contacto de 4 cm o menos (aquí cerramos el ingreso de agua y medimos “h 0”, que es la distancia de la

base a la superficie libre en el punto de tangencia). D)  Después de cerrar la toma, se verifica que todos los componentes estén

adecuadamente nivelados; nivelados; para este punto, el empuje que ejerce el agua sobre

el cuadrante habrá aplicado un momento sobre este y lo hará rotar unos cuantos grados, por lo que es necesario nivelarlo nuevamente haciendo uso de la masa colocada en la parte superior para contrarrestar el empuje. 

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E)  Medir la altura del agua desde la base del recipiente “h” haciendo uso de la regla vertical a un costado del recipiente.  F)  Medir la distancia “d” de la masa ubicada en la parte superior del cuadrante al centro geométrico de este.  G)  Repetir los pasos B), D), E) y F) (en ese orden) hasta obtener una cantidad aceptable de mediciones. mediciones. 

INFORMACIÓN OBTENIDA EN EL LABORATOR LABORATORIO: IO:

h (m)

d (m)

0.0940

0.1260

0.1080

0.1495

0.1220

0.1775

0.1480

0.2535

0.1650

0.3160

Tabla N°1

Dato

Medida

Radio interior del cuadrante cilíndrico (r)

0.135 m

Radio Exterior del cuadrante cilíndrico (R)

0.250 m

Distancia de la base al punto de tangencia (h 0)

0.077 m

Peso de la masa (W)

5.935 N

Ancho del cuadrante (b)

0.115 m

Distancia inicial de la masa (d0)

0.111 m

Tabla N°2

H=h-h0 (m)

D=d-d0 (m)

0.0170

0.0150

0.0310

0.0385

0.0450

0.0665

0.0710

0.1425

0.0880

0.2050

Tabla N°3

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PRESENTACIÓN DE RESULTADOS: RESULTADOS: 1)  1)  Deducir las expresiones para calcular las componentes horizontales, Fh, y

vertical, Fv, de la fuerza hidrostática que ejerce el agua sobre la superficie curva en función del radio exterior R, el ancho B y la carga de agua H. -  Calculo Xp:  Por equilibrio de fuerzas en la horizontal sabemos según la imagen los diagramas de las fuerzas sobre ambas caras del cuadrante son iguales en modulo y opuestos en dirección, Las únicas fuerzas que generan un momento diferente de cero son la fuerza vertical que se genera en la superficie curva y el peso.

    = 0  . .  . = 0  ∴  = .  Conociendo la magnitud de la fuerza vertical, y reemplazando los datos del peso (en N) de la masa balanceadora multiplicada por la distancia al centro geométrico del cuadrante cilíndrico, obtendremos el valor de la abscisa del punto de aplicación de la fuerza f uerza resultante sobre el cuerpo sumergido.

-  Calculo Yp:  Si dibujamos la distribución de fuerzas ejercidas por las presiones sobre la superficie curva. Por teoría sabemos que todas estas fuerzas pasan por el

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punto O. Por tanto, si aplicamos momentos respecto al punto O las únicas fuerzas que generan un momento no nulo son la fuerza hidrostática ejercida sobre la cara plana y el peso de la superficie curva.

Nuevamente aplicamos

∑   = 0 ∶  ℎ . .  . = 0  ∴  = .ℎ 

-  Calculo de la Fuerza horizontal:   Utilizaremos la teoría de fuerzas distribuidas para calcular la componente horizontal de la fuerza, aplicando el concepto que usamos en “Cálculo de Yp”: 

.  .  ̅ ℎ = .ℎ.  = 2  

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-  Calculo de la Fuerza vertical:   La magnitud del empuje vertical será igual al peso del agua cuyo volumen fue desplazado por el cuadrante:

 = −  

 

tan(Ө).B  Vsumergido = Ө.Ө.RR2. B  (RH)2tan(Ө).B

=arccos (  )  =arccos(

 = . 

2)  2)  Deducir las expresiones teóricas para hallar la ubicación del centro de

presiones Xcp e Ycp (función de R y H).

-  Calculo teórico de Ycp:  Sabemos que el centro de presiones es:

′ =̅+ ̅.   

Según la gráfica:

  ′ =  + 12 = 2  2 2 .. 3

 =   + ′  PROF: ING. ROCÍO ARISTA ALARCÓN – ALARCÓN –  SECCIÓN “G”

 

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=+    =    -  Calculo teórico de Xcp: 

Para

 

OCB 

el centroide se encuentra en la línea de color celeste a una

distancia igual a:

()   (().()    =   2 =  = arccos(−  )    =  ()  Para obtener

 cp, lo haremos restando dos áreas, la correspondiente a la

porción de circunferencia y al triangulo OAB:

 .  =  .   .    . (  ) = .   .   

 .    = 2  

.tan ( ) .tan() ()      = 2

 .   .   ∴  = (  ) PROF: ING. ROCÍO ARISTA ALARCÓN – ALARCÓN –  SECCIÓN “G”

 

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También podemos aplicar la siguiente fórmula:

 (3)

 

  = 12  arccos arccos  6  21 () ()√  √  () 3)  3)  Calcular los valores de Fh y Fv para cada valor de H utilizando las expresiones

deducidas en 1.   Fuerza Horizontal:



3

H=h-h0 (m)

θ (rad)

0.017

0.3709

118.928

1.1667

0.031 0.045

0.5033 0.6094

290.327 503.295

2.8481 4.9373

0.071 0.088

0.7727 0.8658

980.738 1337.945

9.6210 13.1252

 

Vsumergido (cm )

 

Fv (N)

  Fuerza Vertical:



H=h-h0 (m)

Fh (N)

0.017

0.1630

0.031

0.5421

0.045

1.1423

0.071

2.8435

0.088

4.3682

4)  4)  Calcular los correspondientes valores de Xcp e Ycp experimentales: - Utilizando las expresiones:

  = .  = .ℎ  PROF: ING. ROCÍO ARISTA ALARCÓN – ALARCÓN –  SECCIÓN “G”

 

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Calculamos los valores experimentales: ex perimentales:

W (N)

D=d-d0 (m)

5.935

0.0150

 

0.0385

 

Xcp (m)

Ycp (m)

0.07631

0.546106427

0.08023

0.421522938

0.0665

0.07994

0.345525806

0.1425

0.08790

0.297428128

0.2050

0.09270

0.278530262

5)  5)  Graficar Xcp vs H e Ycp vs H, experimentales: 

Ycp VS H (Experimental) 0.6 0.5 0.4

    )    m     (    p 0.3    c    Y

0.2 0.1 0 0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.06

0.08

0.1

H(m)

Xcp VS H 0.1 0.09 0.08 0.07     ) 0.06    m     (    p 0.05    c    X0.04 0.03 0.02 0.01 0 0

0.02

0.04

H (m)

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1)  1)  Graficar Xcp vs H e Ycp vs H, experimentales: 

 _ Experimental (Xcp)  _ Teórico (Xcp’) 

 _ Experimental (Xcp)  _ Teórico (Xcp’) 

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ANÁLISIS EXTRA DEL ENSAYO N°1

Para el análisis adicional tomaremos los datos obtenidos en el laboratorio de la sección de horario VIERNES 8-10 am, brindados por el grupo: -

Escalante Cieza, Walter.

-

Pacheco Contreras, Diego.

-

Cossio Paredes, Gabriela.

DATOS DE LABORATORIO LABORATORIO:: h (m)

d (m)

H=h-h0 (m)

D=d-d0 (m)

0.1036

0.1296

0.0376

0.0296

0.1136

0.1480

0.0476

0.0480

0.1230

0.1690

0.0570

0.0690

0.1258

0.1850

0.0598

0.0850

0.1352

0.2020

0.0692

0.1020

En este caso, se tomó d0 = 10 cm. Y h 0 = 66 cm.

DATOS OBTENIDOS EN GABINETE: 3

H=h-h0 (m)

θ (rad)

Vsumergido (cm )

Fv (N)

0.0376

0.55556989

386.31109

3.7897

0.0476

0.62732598

546.6287

5.3624

0.057

0.68881464

711.97235

6.9844

0.0598

0.70625141

763.68104

7.4917

0.0692

0.76237178

944.80372

9.2685

H=h-h0 (m)

Fh (N)

0.0376

0.7975

0.0476

1.2781

0.057

1.8327

0.0598

2.0172

0.0692

2.7012

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Finalmente, calculamos Xcp y Ycp experimental: experimental: D=d-d0 (m)

W (N)

5.935

Xcp (m)

Ycp (m)

0.0296

 

0.04636

0.220292592

0.0480

 

0.05313

0.222900582

0.0690

0.05863

0.223451488

0.0850

0.06734

0.250092362

0.1020

0.06531

0.22411548

Graficando Xcp Vs H y Ycp VS H:

Xcp VS H (Experimental) 0.08 0.07 0.06     ) 0.05    m     (    p 0.04    c    X0.03

0.02 0.01 0 0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.07

0.08

H (m)

Ycp VS H (Experimental) 0.255 0.25 0.245     ) 0.24    m     (    p 0.235    c    Y 0.23

0.225 0.22 0.215 0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

H (m)

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Superponiendo Gráficas teóricas y Puntos experimentales:

 _ Experimental (Xcp)  _ Teórico (Xcp’) 

 _ Experimental (Xcp)  _ Teórico (Xcp’) 

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