DE_Temi d'Esame e Soluzioni

Dispositivi Elettronici – Ingegneria Elettronica – AA 2008/2009 – 17 Novembre 2008 Esercizio 1 Si consideri un blocchetto di Germanio (Ge) avente lunghezza L, larghezza W e spessore t (vedere Figura 1). Il semiconduttore, le cui proprietà sono riportate in Tabella 1, è drogato con una concentrazione di atomi donori ND=1017 cm-3. a) Sapendo che la resistenza R del blocchetto è pari a 960Ω, calcolare la mobilità degli elettroni µn. b) Sulla base del risultato ottenuto nel punto a), calcolare il tempo di rilassamento degli elettroni τcn. A partire dall’istante di tempo t1, il materiale viene illuminato con una luce costante. I fotoni assorbiti generano coppie elettrone lacuna che cambiano la concentrazione dei portatori all’interno del materiale stesso. Dopo un transitorio iniziale, la concentrazione dei portatori minoritari raggiunge un valore di regime indipendente dalla posizione e pari a p=1013 cm-3. Successivamente, all’istante di tempo t2, il flusso di fotoni si interrompe. c) Studiare l’evoluzione temporale della concentrazione dei portatori minoritari per t ≥ t2.

L= 300µm W= 50µm t= 1µm ND= 1017cm-3 R= 960Ω Figura 1 Proprietà del Germanio ni= 2·1013 cm-3 EGAP= 0.66eV mn*= 0.12· m0 τp=100µs Tabella 1

Concentrazione intrinseca: Energy gap: Massa efficace dell’elettrone: Vita media della lacuna:

m0= 9.1·10-31Kg q= 1.6·10-19C

Massa dell’elettrone Carica dell’elettrone

Costanti

Esercizio 2 Si consideri la giunzione pn realizzata in Silicio e rappresentata in Figura 2. a) Calcolare la tensione di built-in VBI. b) Calcolare la tensione inversa che è necessario applicare al diodo per avere uno spessore xD della zona svuotata pari a 1µm. c) Supponendo di continuare ad applicare al diodo la tensione di cui al punto b), calcolare EMAX, valore massimo del campo elettrico nella zona svuotata. Si supponga ora di applicare una tensione diretta VD=600mV alla giunzione di Figura 2. d) Calcolare la concentrazione dei portatori minoritari al bordo fra la zona svuotata e ciascuna delle due zone neutre. e) Calcolare LP, lunghezza di diffusione delle lacune nella regione neutra n. Alla luce del risultato ottenuto, dire se per tale regione è applicabile l’approssimazione di diodo a base lunga o a base corta. f) Rappresentare in un diagramma quotato l’andamento, in funzione della posizione, dei portatori minoritari in ciascuna delle due zone neutre. g) Calcolare la densità di corrente di lacune Jp alla sezione xn. h) Suggerire una modifica alla struttura del diodo che consenta di aumentare la densità di corrente Jp(xn) senza modificare i drogaggi.

Figura 2 NA= 1018 cm-3 ND= 1016 cm-3 WP= 5µm WN= 500µm

τp= 10µs τn= 10µs µn= 300 cm2/Vs µp= 450 cm2/Vs ni= 1.45·1010 cm-3 ε0= 8.85·10-14 F/cm εr-Si= 11.9 εSi= ε0 · εr-Si ≈1pF/cm k=1.38·10-23 J/K VTH= 25.8mV q= 1.6·10-19C Costanti

Concentrazione intrinseca Costante dielettrica del vuoto Costante dielettrica relativa del Si Costante dielettrica del Si Costante di Boltzmann Tensione termica Carica dell’elettrone

AVVERTENZA: I punti indicati in grassetto presentano una difficoltà maggiore; si consiglia pertanto di svolgerli solamente dopo aver completato gli altri punti.

Dispositivi Elettronici – Ingegneria Elettronica – AA 2008/2009 – 6 Febbraio 2009 Esercizio 1 Si consideri un materiale semiconduttore caratterizzato dal diagramma a bande riportato in Figura 1. Di tale materiale è nota la densità di stati equivalenti in banda di valenza NV e la concentrazione di drogante accettore NA. a) Calcolare l’energia di Fermi EF e rappresentarla nel diagramma a bande. b) Calcolare la concentrazione intrinseca dei portatori ni. c) Calcolare la densità di stati equivalenti in banda di conduzione NC.

NV= 1020 cm-3 NA= 1017 cm-3

Figura 1

Esercizio 2 Si consideri il condensatore MOS rappresentato in Figura 2.a, le cui proprietà sono riportate nella Tabella 2.a. a) Assumendo nulla la carica presente nell’ossido di gate, calcolare la tensione di flat-band VFB. b) Calcolare la tensione di soglia VT0. c) Calcolare la tensione che è necessario applicare fra Body e Gate per portare il sistema MOS al limite fra la condizione di svuotamento e la condizione di inversione debole. Rappresentare inoltre in un diagramma quotato l’andamento della carica ρ(x), dei campi D(x) ed E(x), nonché del potenziale V(x) lungo il dispositivo. Si consideri ora il transistore MOSFET rappresentato in Figura 2.b e realizzato a partire dalla struttura di Figura 2.a. In particolare lo spessore dell’ossido di gate ed il drogaggio di substrato sono identici. Gli altri parametri della struttura sono riportati nella Tabella 2.b. d) Sia VSB= 0V e VDS= 0V. Calcolare la tensione VGS che è necessario applicare fra Source e Gate per ottenere una conduttanza di canale GCH = 1 mA/V. e) Sia VSB= 0V, e VGS= 2.5V. Trascurando la variazione della tensione di soglia lungo il canale, calcolare la tensione VDS che è necessario applicare affinché la carica mobile al Drain sia la metà di quella al Source. f) Sia VSB= 10V e VDS= 0V. Calcolare la tensione VGB che è necessario applicare fra Body e Gate per ottenere una conduttanza di canale GCH = 1 mA/V. Si consideri ora il condensatore MOS rappresentato in Figura 2.c, le cui proprietà sono riportate in Tabella 2.c. g) Calcolare la tensione che è necessario applicare fra Body e Gate per avere campo elettrico nullo nell’ossido.

qΦAl= 4.1 eV qχ= 4.05 eV NA= 7*1016 cm-3 tOx= 15 nm tSi= 500 µm

Figura 2.a

Tabella 2.a ND= 1018 cm-3 L= 10 µm W= 30 µm μn= 600 cm2/Vs

Figura 2.b

Tabella 2.b qΦAl= 4.1 eV qχ= 4.05 eV NA1= 7*1016 cm-3 NA2= 1018 cm-3 tOx= 15 nm tSi1= 400 µm tSi2= 100 µm

Figura 2.c

Tabella 2.c Costanti ni= 1.45·1010 cm-3 VTH= 25.8mV q= 1.6·10-19C NC= 2.81*1019 cm-3

Concentrazione intrinseca Tensione termica Carica dell’elettrone Densità di stati equivalente in banda di conduzione Costante dielettrica del Si Costante dielettrica dell’Ossido

εSi= 1 pF/cm εOx= 1/3 pF/cm

Dispositivi Elettronici – Ingegneria Elettronica – AA 2008/2009 – 2 Marzo 2009

Costanti Universali m0= 9.1 ·10-31 kg q= 1.6·10-19 C k=1.38·10-23 J/K VTH= 25.8mV

Massa dell’elettrone Carica dell’elettrone Costante di Boltzmann Tensione termica

Esercizio 1 Si consideri un materiale semiconduttore caratterizzato dal diagramma a bande di Figura 1.a e dalle proprietà riportate in Tabella 1. a) Calcolare la concentrazione di elettroni n e di lacune p. b) Sapendo che la conducibilità del materiale è pari a σ= 60Ω-1cm-1, calcolare la massa efficace del portatore maggioritario. A partire dall’istante t=0, il semiconduttore viene illuminato con una luce costante nel tempo; i fotoni assorbiti determinano un tasso di generazione ottica GPH spazialmente uniforme. La Figura 1.b rappresenta il corrispondente andamento temporale della concentrazione dei portatori minoritari. c) Calcolare il tasso di generazione GPH.

Figura 1.a

Figura 1.b

Concentrazione intrinseca Tempo di rilassamento

ni= 2·1012 cm-3 τc= 0.2 ps

Tabella 1

Esercizio 2 Si consideri la giunzione realizzata in Silicio e rappresentata in Figura 2. a) Calcolare la tensione di built-in e tracciare il diagramma a bande qualitativo (banda di conduzione, banda di valenza e livello di Fermi) della struttura all’equilibrio termodinamico. b) Calcolare la tensione inversa VR da applicare alla giunzione per ottenere un campo elettrico massimo pari a EMAX= -5·104 V/cm. c) Calcolare la capacità di giunzione (per unità di area) del diodo nelle condizioni di cui al punto (b).

NA= 1018 cm-3 ND1= 2.5·1014 cm-3 ND2= 1015 cm-3 WP= 50µm WN1= 5µm WN2= 200µm Figura 2 Concentrazione intrinseca Costante dielettrica del Si

Costanti ni= 1.45·1010 cm-3 εSi= 1pF/cm

Esercizio 3 Si consideri la giunzione pn realizzata in Silicio (Figura 3) a cui è applicata una tensione diretta VD incognita. Siano xn e -xp le coordinate dei punti di separazione fra la zona di carica spaziale e le regioni neutre. a) Sapendo che la concentrazione di lacune alla coordinata xn vale p(xn)= 5·1015 cm-3, determinare il valore della tensione VD e della concentrazione di elettroni n(-xp). VD assuma il valore calcolato al punto (a), sia τp la vita media delle lacune nella zona neutra n e sia τn quella degli elettroni nella zona neutra p. b) Si assuma τp=τn=∞. Rappresentare in un diagramma quotato l’andamento della concentrazione dei portatori minoritari in ciascuna delle due regioni neutre. Calcolare inoltre le densità di corrente di lacune Jp alla sezione xn. c) Ora τp assuma un valore finito incognito. Sapendo che la corrente di lacune alla coordinata xn vale Jp(xn)= 5 A/cm2, determinare τp e rappresentare in un diagramma quotato l’andamento della concentrazione delle lacune nella regione neutra n. d) Per τp calcolato al punto precedente e τn=∞, calcolare le densità di corrente di lacune e di elettroni Jp e Jn alla coordinata x1= 14µm.

NA= 5·1017 cm-3 ND= 1016 cm-3 WP= 5µm WN= 500µm µn= 300 cm2/Vs µp= 450 cm2/Vs Figura 3 Concentrazione intrinseca Costante dielettrica del Si

Costanti ni= 1.45·1010 cm-3 εSi= 1pF/cm

Esercizio 4 Si consideri il condensatore MOS rappresentato in Figura 4.a, le cui proprietà sono riportate nella Tabella 4.a. a) Dimensionare lo spessore dell’ossido tOX per avere una tensione di soglia VT0= 500mV. Si consideri ora il transistore MOSFET rappresentato in Figura 4.b e realizzato a partire dalla struttura di Figura 4.a. In particolare il drogaggio di substrato è il medesimo e lo spessore dell’ossido è quello calcolato al punto (a). Gli altri parametri della struttura sono riportati nella Tabella 4.b. b) Sia VSB= 5V, VDS= 0V, e VGS=2.5V. Determinare il valore di W affinché la conduttanza di canale sia pari a GCH = 0.65 mA/V. c) Sia VSB= 5V, e VDS= 0V. Sapendo che l’ossido di gate si può danneggiare se il campo elettrico in esso presente supera il valore EOX-MAX= 5·106 V/cm, determinare la massima tensione VGS che è possibile applicare fra Source e Gate.

qΦAl= 4.1 eV qχ= 4.05 eV NA= 2*1016 cm-3 tSi= 500 µm

Figura 4.a

Tabella 4.a ND= 1018 cm-3 L= 3 µm μn= 600 cm2/Vs

Figura 4.b

Tabella 4.b Costanti ni= 1.45·1010 cm-3 NC= 2.81*1019 cm-3

Concentrazione intrinseca Densità di stati equivalente in banda di conduzione Costante dielettrica del Si Costante dielettrica dell’Ossido

εSi= 1 pF/cm εOx= 1/3 pF/cm

Dispositivi Elettronici – Ingegneria Elettronica – AA 2008/2009 – 10 Luglio 2009

Costanti Universali m0= 9.1 ·10-31 kg q= 1.6·10-19 C k=1.38·10-23 J/K VTH= 25.8mV

Massa dell’elettrone Carica dell’elettrone Costante di Boltzmann Tensione termica

Esercizio 1 Si consideri una lacuna che si muove all’interno di un materiale semiconduttore sotto l’azione di un campo elettrico pari a E= 10V/cm. Il grafico di Figura 1.a rappresenta l’andamento temporale della velocità della lacuna (solo componente ordinata). a) Calcolare la massa efficace della lacuna. b) Stimare la mobilità della lacuna all’interno del semiconduttore considerato. Figura 1.a

Esercizio 2 Si consideri la giunzione realizzata in Silicio e rappresentata in Figura 2. a) Alla struttura viene applicata una tensione inversa VR sufficiente a svuotare completamente le regioni NA1 e NA2 ed in parte la regione NA3. Tracciare un diagramma qualitativo dell’andamento della carica, del campo elettrico e del potenziale lungo il dispositivo. b) Dimensionare lo spessore WP1 in modo tale che, al breakdown, il campo elettrico all’interfaccia fra le regioni NA1 e NA2 sia pari a 2·104V/cm. Si assuma che il campo di breakdown sia pari a EBD=1·105V/cm. c) Dimensionare lo spessore WP2 in modo tale che la tensione di breakdown sia pari a VBD=30V. Per semplicità si trascurino le tensioni di built-in. d) Rappresentare in un diagramma quotato l’andamento della capacità di svuotamento CJ (per unità di area) in funzione della tensione inversa VR; si assuma VR compresa fra 0V e 30V.

ND= 1018 cm-3 NA1= 5·1015 cm-3 NA2= 1012 cm-3 NA3= 1018 cm-3 WN= 20µm WP3= 50µm Figura 2 Concentrazione intrinseca Costante dielettrica del Si

Costanti ni= 1.45·1010 cm-3 εSi= 1pF/cm

Esercizio 3 Si consideri la giunzione pn realizzata in Silicio (Figura 3) a cui è applicata una tensione diretta VD=650mV. Siano xn e -xp le coordinate dei punti di separazione fra la zona di carica spaziale e le regioni neutre. Sia inoltre τp la vita media delle lacune nella zona neutra n e sia τn quella degli elettroni nella zona neutra p. a) Calcolare la concentrazione dei portatori minoritari alla sezione xn. b) Rappresentare in un diagramma quotato l’andamento dei portatori minoritari e maggioritari nella regione neutra n. c) Calcolare la densità di corrente di lacune Jp(xn) alla sezione xn. d) Dimensionare WP in modo tale che la densità di corrente totale che attraversa il diodo sia pari a JTOT= 1 A·cm-2.

NA= 2.5·1017 cm-3 ND= 5·1016 cm-3 WN= 30µm µn= 600 cm2/Vs µp= 400 cm2/Vs τn= τp = 1 ms

Figura 3 Concentrazione intrinseca Costante dielettrica del Si

Costanti ni= 1.45·1010 cm-3 εSi= 1pF/cm

Esercizio 4 Si consideri il transistore MOSFET di Figura 4.a, le cui proprietà sono riportate nella Tabella 4.a. Applicando le tensioni VB= 0V, VS= 0V, VD= 10mV e misurando la corrente di drain ID in funzione della tensione VGS si ottiene il grafico Figura 4.b. a) Determinare la tensione di soglia VT0 e lo spessore dell’ossido tOX. b) Determinare la funzione lavoro qΦM del metallo utilizzato per realizzare il gate. Sia ora VS= 0V, VD= 10mV. c) Calcolare la tensione VB da applicare al contatto di Body affinché la corrente che scorre nel MOS quando VGS= 2V si riduca a ID= 10µA.

qχ= 4.05 eV NA= 3·1017 cm-3 ND= 5·1018 cm-3 L= 4 µm W= 20 µm μn= 400 cm2/Vs

Figura 4.a

Tabella 4.a

Figura 4.b Costanti ni= 1.45·1010 cm-3 NC= 2.81·1019 cm-3

Concentrazione intrinseca Densità di stati equivalente in banda di conduzione Costante dielettrica del Si Costante dielettrica dell’Ossido

εSi= 1 pF/cm εOx= 1/3 pF/cm

Dispositivi Elettronici – Ingegneria Elettronica – AA 2008/2009 – 2 Settembre 2009

Costanti Universali m0= 9.1 ·10-31 kg q= 1.6·10-19 C k=1.38·10-23 J/K VTH= 25.8mV

Massa dell’elettrone Carica dell’elettrone Costante di Boltzmann Tensione termica

Esercizio 1 Si consideri un materiale semiconduttore caratterizzato dal diagramma a bande di Figura 1 e dalle proprietà riportate in Tabella 1. a) Calcolare la concentrazione di elettroni n, di lacune p, e la concentrazione intrinseca ni. b) Calcolare la massa efficace dell’elettrone sapendo che la resistività è pari a ρ=50 Ωcm . Ora semiconduttore viene illuminato con una luce costante nel tempo; i fotoni assorbiti determinano un tasso di generazione ottica GPH spazialmente uniforme. Si consideri la situazione a regime c) Determinare il massimo valore di GPH che consenta di continuare a lavorare in condizioni di bassa iniezione. Per la vita media dei portatori si assuma τ= 1 ms.

Figura 1 Densità equivalente di stati in banda di conduzione Densità equivalente di stati in banda di valenza Tempo di rilassamento

NC= 2·1018 cm-3 NV= 1018 cm-3 τc= 0.2ps

Tabella 1

Esercizio 2 Si consideri la giunzione realizzata in Silicio e rappresentata in Figura 2. Sia A l’area della giunzione. a) Calcolare la tensione di built-in VBI. b) Calcolare la tensione inversa VR1 da applicare alla giunzione affinché il valore massimo del campo elettrico all’interno della zona svuotata sia pari a EMAX= 6·104 V/cm. c) Calcolare la tensione inversa VR2 da applicare affinché la capacità di giunzione sia pari a CJ= 25pF.

ND= 1018 cm-3 NA= 2·1015 cm-3 WN= 100 µm WP= 100 µm A= 10-2 cm2 Figura 2 Concentrazione intrinseca Costante dielettrica del Si

Costanti ni= 1.45·1010 cm-3 εSi= 1pF/cm

Esercizio 3 Si consideri la giunzione pn realizzata in Silicio (Figura 3) a cui è applicata una tensione diretta VD=600mV. Siano xp e -xn le coordinate dei punti di separazione fra la zona di carica spaziale e le regioni neutre. Sia inoltre τp la vita media delle lacune nella zona neutra n e sia τn quella degli elettroni nella zona neutra p. a) Calcolare la concentrazione dei portatori minoritari alle sezioni -xn e xp. b) Rappresentare in un diagramma quotato l’andamento dei portatori minoritari e maggioritari nelle due regioni neutre. c) Calcolare le densità di corrente Jn(xp) e Jp(-xn) d) Calcolare la densità di corrente di lacune e di elettroni Jp(x1) e Jn(x1) alla sezione x1=100μm. e) Rappresentare in un diagramma quotato l’andamento della densità di corrente di elettroni e di lacune nella zona neutra n.

ND= 2·1016 cm-3 NA= 1·1017 cm-3 WN= 100µm WP= 200µm µn= 620 cm2/Vs µp= 400 cm2/Vs τn= 160 ns τp= ∞

Figura 3

Concentrazione intrinseca Costante dielettrica del Si

Costanti ni= 1.45·1010 cm-3 εSi= 1pF/cm

Esercizio 4 Si consideri il transistore MOSFET di Figura 4.a, le cui proprietà sono riportate nella Tabella 4.a. Si osservi in particolare che non sono noti né il lavoro di estrazione del metallo con cui è realizzato il gate, né il drogaggio di substrato NA. É nota invece la tensione di soglia VT0= 0.5V. a) Sia VSB= 0V e VDS= 0V. Calcolare la tensione VGS che è necessario applicare affinché la carica mobile complessivamente accumulata sotto l’ossido di gate sia pari a QCH= 4pC. b) Sapendo che applicando una tensione VSB=20V, la tensione di soglia assume il valore VT=1.5V, calcolare il drogaggio di substrato NA. c) Determinare la funzione lavoro qΦM del metallo utilizzato per realizzare il gate. d) Sia VSB= 0V, VDS= 0V e VGS assuma il valore calcolato al punto a). Tracciare in un diagramma quotato l’andamento della densità di carica ρ, dei campi D ed E, nonché del potenziale V lungo la linea tratteggiata indicata in Figura 4.b.

qχ= 4.05 eV tOX= 10nm ND= 5·1018 cm-3 L= 10 µm W= 50 µm μn= 500 cm2/Vs

Figura 4.a

Tabella 4.a

Figura 4.b Costanti ni= 1.45·1010 cm-3 NC= 2.81·1019 cm-3

Concentrazione intrinseca Densità di stati equivalente in banda di conduzione Costante dielettrica del Si Costante dielettrica dell’Ossido

εSi= 1 pF/cm εOx= 1/3 pF/cm

Dispositivi Elettronici – Ingegneria Elettronica – AA 2008/2009 – 4 Febbraio 2010

Costanti Universali Massa dell’elettrone Carica dell’elettrone Costante di Boltzmann Tensione termica (T ambiente) Costante dielettrica del vuoto

m0 = 9.1 ·10-31 kg q = 1.6·10-19 C k = 1.38·10-23 J/K VTH = 25.8 mV ε0 = 8.85·10-14 F/cm

Esercizio 1 Si consideri un materiale semiconduttore a temperatura ambiente (T=300K) opportunamente drogato e caratterizzato dal diagramma a bande di Figura 1a e dalle proprietà riportate in Tabella 1. a) Calcolare i livelli di energia della banda di conduzione EC [eV] e della banda di valenza EV [eV] a temperatura ambiente, noto EF = 0.6 eV. Quotare correttamente il diagramma a bande e specificare il tipo di drogaggio. b) Calcolare mobilità e massa efficace (in frazioni di m0) della lacuna sapendo che il dispositivo è un resistore integrato (Figura 1b) con caratteristiche riportate in Tabella 1. (Si presti estrema attenzione alle unità di misura!) Ora il semiconduttore viene riscaldato per mezzo di un termostato ad una temperatura T=400K. Si consideri la situazione all’equilibrio termico. c) Calcolare la resistenza R del resistore di dimensioni specificate al punto b) nelle nuove condizioni operative, assumendo la densità equivalente di stati in banda di valenza NV proporzionale a T3/2 e la mobilità calcolata al punto b) costante.

Figura 1a

Figura 1b

Concentrazione intrinseca Tempo di rilassamento

NC= 2·1018 cm-3 NV= 1018 cm-3 n= 7.5·109 cm-3 ni= 1.84·1012 cm-3 τc = 0.2ps

Lunghezza resistore integrato Sezione resistore integrato Resistenza resistore integrato

L = 500 µm S = 10-3 cm2 R = 1.5 kΩ

Densità equivalente di stati in banda di conduzione Densità equivalente di stati in banda di valenza Concentrazione di elettroni in banda di conduzione

Tabella 1

Esercizio 2 Si consideri la giunzione p-n in Silicio rappresentata in Figura 2. Sia A l’area della giunzione. a) Progettare il drogaggio della regione n, ND, avendo come specifica il campo elettrico massimo EMAX= 3·105 V/cm alla tensione inversa VR=25 V. (Sia fatta opportuna assunzione relativamente al potenziale di built-in.) b) Calcolare il potenziale di built-in VBI, verificare l’assunzione fatta al punto a) e calcolare le estensioni delle zone di carica spaziale xp e xn in condizioni di zero bias. Di che tipo di giunzione si tratta? c) Considerando il particolare tipo di giunzione e i dati ottenuti nei punti a) e b), calcolare la capacità di giunzione C. d) Disegnare in tre grafici quotati: 1. densità di carica spaziale, 2. profilo del campo elettrico, 3. potenziale elettrico in zona di carica spaziale al built-in. (facoltativo)

NA= 1018 cm-3 WN= 100 µm WP= 100 µm A= 10-2 cm2

Figura 2 Costanti Concentrazione intrinseca Costante dielettrica relativa del Si

ni= 1.45·1010 cm-3 εSi= 11.7

Esercizio 3 Si consideri la giunzione p-n in Silicio (Figura 3) a cui è applicata una tensione diretta VD=600mV. Siano -xp e xn le coordinate dei punti di separazione fra la zona di carica spaziale e le regioni neutre. Sia inoltre τp la vita media delle lacune nella zona neutra n e sia τn quella degli elettroni nella zona neutra p. a) Nota la concentrazione di portatori minoritari al bordo della zona di carica spaziale a lato n (x=xn), pn=2.65·1014 cm-3, calcolare il drogaggio di donori ND. b) Nota la densità di corrente di portatori minoritari alla sezione x=-xp, Jn=4.23 A/cm2, calcolare il drogaggio di accettori NA. c) Le zone di carica spaziale, lato p e lato n, hanno la stessa estensione? (motivare la risposta) d) Calcolare la densità di corrente di lacune e di elettroni Jp(x1) e Jn(x1) alla sezione x1=150µm. e) Stimare il valore del campo elettrico alla sezione x1 del punto d), assumendo n=ND, e commentare conseguentemente l’approssimazione di campo elettrico nullo in zona neutra.

WN= 200µm WP= 200µm µ n= 620 cm2/Vs µ p= 400 cm2/Vs τn= 160 ns τp= 90 ns

Figura 3 Costanti Concentrazione intrinseca Costante dielettrica relativa del Si

ni= 1.45·1010 cm-3 εSi= 11.7

Esercizio 4 Si consideri il condensatore MOS di Figura 4a, le cui proprietà sono riportate nella Tabella 4.a. Si osservi che non è noto il drogaggio di substrato NA. Sono note invece l’affinità elettronica del Silicio, qχ e la funzione lavoro dell’Argento, qΦM, utilizzato come metallo di gate. a) Calcolare il drogaggio di substrato NA, sapendo che la tensione di flat-band è VFB = -0.776 V e assumendo la carica nell’ossido nulla. b) Dimensionare lo spessore dell’ossido di gate, sapendo che la soglia del transistore è pari a VT0 = 0.75V. (Prestare attenzione alle unità di misura!) Si consideri ora il transistore MOSFET rappresentato in Figura 4b, le cui proprietà sono riportate ancora in Tabella 4a.

qχ= 4.01 eV qΦM = 4.26 eV L= 10 µm W= 50 µm µn= 500 cm2/Vs

Figura 4a

Tabella 4a

c) Ricavare l’espressione della conduttanza di canale GCH nel limite VDS = 0V, con VSB= 0V e ricavare la tensione tra gate e source VGS che consente di ottenere GCH = 4.13 mA/V.

Figura 4b Costanti Concentrazione intrinseca Costante dielettrica relativa del Si Costante dielettrica relativa SiO2 Gap di Energia del Silicio

ni= 1.45·1010 cm-3 εSi= 11.7 εOx= 3.9 EG = 1.12 eV

Nota Bene: per ciascun risultato numerico ricordate di specificare SEMPRE l’unità di misura!

SOLUZIONE TEMA D’ESAME DEL 4 FEBBRAIO 2010 Esercizio 1 a. Per ricavare i livelli di energia si utilizzano le relazioni che legano le densità di portatori liberi nelle bande di conduzione e valenza ai parametri energetici nell’approssimazione di Boltzmann: 

n = NC · exp − e

EC − EF kT

EF − EV p = NV · exp − kT Dalla prima si ricava direttamente 





.

n NC



= 1.1eV.

p EV = EF + kT · ln NV



= 0.4eV,

EC = EF − kT · ln



Dalla seconda si ricava 

dove, per la legge di azione di massa, p = n2i /n = 4.51 · 1014cm−3 . Il semiconduttore è drogato p in quanto il livello di Fermi si trova in prossimità della banda di valenza. b. Note resistenza elettrica R, lunghezza L, sezione S del resistore integrato, dall’applicazione della R=ρ·

L S

si ricava la resistività ρ = 1/σ = 30Ω· cm. In un semiconduttore la resistività risulta legata alla carica elementare, alla mobilità e alla densità di portatori (in questo caso solo lacune maggioritarie) dalla seguente: ρ=

1 1 = σ qµp p 2

da cui si ottiene la mobilità µp = 462 cm . Per la massa efficace della lacuna V ·s m∗p si utilizza la seguente relazione, nota la mobilità (appena calcolata): m∗p =

q · τc µp

da cui si ricava m∗p = 6.92 · 10−31 kg = 0.76 · m0 dove m0 è la massa dell’elettrone nel vuoto.

i

h

Analisi Dimensionale: m∗p = C · V · s2 /cm2 = (J/m) · s2 · m/cm2 = N · s2 /10−4 m = 104 · kg. La conversione da cm2 a m2 introduce un fattore 104 !!! c. Alzando la temperatura si introduce una variazione nelle densità di portatori. In questo caso il testo suggerisce sia la legge di proporzionalità tra NV e T , sia il fatto che la mobilità rimane costante. Noto dunque che NV300K = α · 3003/2 e NV400K = α · 4003/2 , si può scrivere la proporzione: NV300K 300 = 400K NV 400 

3/2

,

da cui si ricava NV400K = 1.54 · 1018 cm−3 . Noto NV400K , è possibile ricavare la densità di lacune nelle nuove condizioni operative: p (400K) =

NV400K

EF − EV · exp − kT 



= 4.66 · 1015 cm−3 .

Noto p400K e µp (dal punto precedente) è possibile calcolare la resistività ρ (400K) = 2.9Ω · cm e quindi la resistenza R (400K) = ρ (400K) · L/S = 145Ω. Esercizio 2 a. Noto il campo elettrico, ad esempio, nella regione p: Z

E=

ρ (x) dx = − Si

Z

q · NA dx, Si

integrando si ottiene E=−

q · NA (x + xp ) , −xp ≤ x ≤ 0. Si

Ponendo x = 0, ovvero imponendo la condizione di campo massimo, si ottiene EM AX = −q · NA · xp /Si . A questo punto si sostituisce nella precedente l’espressione per la zona svuotata a lato p, xp , considerando la barriera di potenziale introdotta dalla VR e trascurando la Vbi , noto che Vbi > Vbi fatta al punto precedente risulta verificata! In condizioni di zero-bias, ovvero per VR = 0, è possibile calcolare le estensioni delle zone di carica spaziale: xp = 3.5nm mediante la formula scritta poco sopra e, sfruttando la conoscenza dei drogaggi, xn = (NA /ND ) · xp = 296nm. Dato lo sbilanciamento dei drogaggi di due ordini di grandezza e di conseguenza lo sbilanciamento delle estensioni delle zone svuotate della stessa quantità, si può affermare che si tratta di una giunzione unilatera di tipo p+ n. c. La capacità di giunzione per unità di area può essere espressa come C0 =

dQ0 dxn dxp = q · ND = q · NA . dVR dVR dVR

Calcolando la derivata prima rispetto a VR di xn oppure di xp e sostituendola nF nella precedente espressione, è possibile ricavare C 0 = 6.25 cm 2 . Nota l’area, 0 Cj = C · A = 62.5pF . d. Punto facoltativo il cui svolgimento è affidato al lettore per ripasso della teoria di base sulla giunzione pn. Esercizio 3 a. Viene richiesto il drogaggio di donori a lato n, nota la concentrazione di portatori minoritari (lacune) al bordo della zona svuotata a lato n, in x = xn . La giunzione polarizzata in diretta produce un abbassamento della barriera di potenziale e una iniezione di lacune maggioritarie dalla zona p alla zona n, accrescendo, a bordo giunzione lato n la concentrazione di lacune minoritarie, generando cioè una concentrazione di lacune in eccesso a lato n: qVA , pn = pn0 · exp kT 



dove pn0 = n2i /nn0 ≈ n2i /ND è la concentrazione di lacune minoritarie all’equilibrio termico. Si noti che sostituendo l’ultima espressione nella penultima, si esplicita il drogaggio di donori come: qVA n2 ND = i · exp pn kT 



= 1016 cm−3 .

b. Viene richiesto il drogaggio di accettori, nota la densità di corrente di minoritari (stavolta elettroni) a bordo giunzione lato p, cioè per x = −xp .

Si scriva dunque l’espressione della densità di corrente di elettroni: Jn =

qDn · Ln

n2i NA

xp + x qVA − 1 · exp , · exp kT Ln 











in cui l’ultimo termine esponenziale è unitario. Attraverso la nota relazione di Einstein che non riportiamo qui, si ricavano Dn = 16cm2 /s e Ln = 1.6 · 10−3 cm. Dall’espressione scritta per la densità di corrente, in cui è stato esplicitato il drogaggio di accettori NA , è possibile calcolare NA = 1015 cm−3 . c. NO! Le zone di carica spaziale hanno estensioni diverse, dato che i drogaggi differiscono di un ordine di grandezza. d. Questo punto potrebbe essere risolto facendo una semplice considerazione e un breve calcolo. Anzitutto si deve ricavare, mediante la nota relazione di Einstein, Dp = 10.3cm2 /s e Lp = 9.63µm. Si noti che Lp