desortis_dispense_tecnica_161109

Sapienza Universit`a di Roma

Dispense di TECNICA DELLE COSTRUZIONI (a cura di Adriano De Sortis)

da G. Galilei “Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze”

A.A. 2009-2010 BOZZA del 16 novembre 2009

INDICE 1 INTRODUZIONE E RIFERIMENTI BIBLIOGRAFICI 1.1 Riferimenti normativi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Testi di riferimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 6 7

I

8

Progetto di strutture

2 CONCETTI INTUITIVI 2.1 Definizione di struttura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Classificazione delle strutture . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Geometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Rigidezza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3 Materiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Strutture rigide tipiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Trave e Pilastro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Telaio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.3 Struttura Reticolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.4 Arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.5 Piastra e Pannello . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.6 Volta Cilindrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.7 Volta Sferica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Strutture non rigide tipiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Cavo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2 Membrana, Tenda, Rete . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Stabilit`a delle strutture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Strutture monodirezionali e bidirezionali . . . . . . . . . . . 2.7 Come stabilizzare una struttura semplice mediante diagonali 2.8 La regolarit`a strutturale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8 8 8 9 9 10 10 10 10 11 11 11 11 11 12 12 13 13 13 15 15

3 GLI ELEMENTI STRUTTURALI 3.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Calcolo delle sollecitazioni . . . . . . . . . . . 3.3 Stima della resistenza . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Alcuni elementi strutturali monodimensionali 3.4.1 Pilastro . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.2 Tirante . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.3 Trave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.4 Trave reticolare . . . . . . . . . . . . . 3.4.5 Arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Le fondazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.1 Fondazioni dirette . . . . . . . . . . . . 3.5.2 Fondazioni indirette . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

18 18 18 20 21 22 22 23 23 24 24 25 26

2

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

4 PREDIMENSIONAMENTO SEMPLIFICATO 4.1 Premessa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Carichi verticali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Carichi orizzontali . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Predimensionamento semplificato di una struttura 4.4.1 Solai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.2 Travi di testata . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.3 Travi interne . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.4 Pilastri ad area di influenza . . . . . . . . 4.4.5 Fondazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . .

II

. . . . . . . . . . . . . . . . . . intelaiata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

Costruzioni in calcestruzzo armato

5 SIMBOLOGIA 5.1 Lettere maiuscole 5.2 Lettere minuscole 5.3 Lettere greche . . 5.4 Indici . . . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

31 31 31 32 32 32 34 36 37 38

39 . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

39 39 40 41 42

6 UNITA’ DI MISURA 43 6.1 Conversione da Sistema Internazionale (SI) a Sistema Tecnico (ST) . 43 6.2 Conversione da Sistema Tecnico (ST) a Sistema Internazionale (SI) . 43 6.3 Altre conversioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 7 GENERALITA’ SUL CALCESTRUZZO ARMATO 7.1 Propriet`a di base del calcestruzzo . . . . . . . . . . . 7.2 Parametri di resistenza del calcestruzzo . . . . . . . . 7.2.1 Classi di resistenza . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.2 Resistenza a trazione . . . . . . . . . . . . . . 7.2.3 Modulo elastico . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.4 Valori medi e valori caratteristici . . . . . . . 7.3 Caratteristiche meccaniche delle armature . . . . . . 7.4 Ipotesi di base per i calcoli di resistenza . . . . . . . 7.4.1 Modelli σ −  per il calcestruzzo . . . . . . . . 7.4.2 Modelli σ −  per l’acciaio . . . . . . . . . . . 7.4.3 Aderenza acciaio-calcestruzzo . . . . . . . . . 8 SFORZO ASSIALE CENTRATO 8.1 Pilastri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.1 Calcolo elastico e a rottura . . . . 8.1.2 Effetto delle cerchiature . . . . . 8.2 Elementi tesi . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.1 Verifiche della sezione . . . . . . . 8.2.2 Effetto del ritiro . . . . . . . . . . 8.2.3 La fessurazione del tirante in c.a. 8.3 Richiami di tecnologia del c.a. . . . . . .

3

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

44 44 45 46 48 48 49 50 53 55 55 56

. . . . . . . .

59 59 61 64 66 66 67 67 70

9 MOMENTO FLETTENTE 75 9.1 Calcolo elastico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 9.2 Calcolo a rottura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 9.2.1 Condizioni di equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 10 SFORZO DI TAGLIO 10.1 La fessurazione della trave . . . . . . . . . 10.2 Sforzo di scorrimento e armature al taglio 10.3 Il traliccio di M¨orsch . . . . . . . . . . . . 10.3.1 Verifiche di resistenza . . . . . . . . 10.3.2 Collegamento ai nodi . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

11 SFORZO ASSIALE ECCENTRICO 11.1 Calcolo elastico della sezione . . . . . . . . . . . 11.1.1 Pressoflessione con piccola eccentricit`a di 11.2 Presso e tensoflessione retta . . . . . . . . . . . 11.3 Calcolo a rottura della sezione . . . . . . . . . . 11.3.1 Meccanismi di rottura della sezione . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . sezioni . . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

90 91 93 96 98 99

. . . . . . omogenee . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

102 102 103 105 109 111

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

12 MOMENTO TORCENTE 113 12.1 Il traliccio periferico resistente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

III

Costruzioni in acciaio

124

13 IL MATERIALE ACCIAIO 124 13.1 Caratteristiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 13.2 I prodotti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 13.3 Le prove meccaniche di caratterizzazione del materiale . . . . . . . . 128 14 LE MEMBRATURE SEMPLICI 14.1 Gli elementi tesi . . . . . . . . . 14.2 Gli elementi compressi . . . . . 14.2.1 La verifica di resistenza . 14.2.2 La verifica di stabilit`a . 14.3 Gli elementi inflessi . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

131 . 132 . 133 . 134 . 135 . 139

15 LE MEMBRATURE COMPOSTE 146 15.1 Le aste composte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 15.2 Le travi reticolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 16 LE UNIONI BULLONATE 159 16.1 Generalit`a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 16.2 Unioni a taglio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 16.3 Unioni a trazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

4

1

INTRODUZIONE E RIFERIMENTI BIBLIOGRAFICI

Queste dispense raccolgono alcuni degli argomenti trattati nel Corso di Tecnica delle Costruzioni. Nella Parte I sono riportati alcuni degli argomenti sviluppati nell’ambito del Modulo di Comportamento statico delle strutture, svolto in precedenza nell’ambito del Laboratorio di Costruzione dell’Architettura. Ci`o per familiarizzare lo studente con una panoramica pi` u vasta, che deve formare la base culturale su cui si innestano le conoscenze pi` u specialistiche della Tecnica delle Costruzioni. Per l’elaborazione di questa prima parte si `e fatto largo di un testo di Daniel Schodek [2] e si `e utilizzato molto materiale contenuto nelle precedenti stesure della dispensa [9, 10, 11]. Il testo di Schodek `e particolarmente raccomandato per gli studenti della Facolt`a di Architettura, in quanto presenta la tematica con un approccio pragmatico e con continui rimandi alla storia della progettazione architettonica. L’ambizione dell’insegnamento di Comportamento statico delle strutture, svolto in precedenza nell’ambito del Laboratorio di Costruzione dell’Architettura `e stata quella di fornire allo studente dei rudimenti del progetto di strutture che gli servano da guida fin dalle sue prime esperienze di progettazione. Infatti non si ripeter`a mai a sufficienza che `e assolutamente da evitare una impostazione progettuale, purtroppo molto utilizzata in passato, che prevedeva l’intervento della figura dell’ingegnere strutturista in un momento successivo a quello della progettazione architettonica. In tal modo si rischiava di dovere “adattare” la struttura all’idea architettonica, con condizionamenti molto pesanti. Ne risultava spesso un organismo strutturale non razionale. Non di rado la stessa progettazione architettonica veniva messa in discussione dalla fattibilit`a strutturale, con compromessi spesso discutibili. In questo panorama gi`a desolante spesso si inseriva la progettazione impiantistica, svolta successivamente a quella architettonica ed a quella strutturale. In questa fase si assisteva ad un ulteriore peggioramento del progetto, con l’inserimento indiscriminato di “bucature” per il passaggio degli impianti, ovviamente in posizioni spesso incompatibili sia con gli aspetti formali e distributivi che con quelli strutturali. Considerazioni del tutto analoghe si possono fare per altri ingredienti della progettazione, come gli aspetti tecnologici, di organizzazione del cantiere, di prevenzione di vari rischi, legali, ecc. Per evitare questa serie di errori `e fondamentale che siano posseduti dal progettista Architetto, tra gli altri, i rudimenti della progettazione strutturale che gli consentano di valutare autonomamente la fattibilit`a delle soluzione progettuali. Se il progetto architettonico sar`a valido anche dal punto di vista strutturale, lo specialista delle strutture che dovr`a approfondire gli aspetti di sua competenza non sar`a costretto ad adattamenti discutibili o a stravolgimenti. Nella Parte II si riportano i concetti basilari della teoria del calcestruzzo armato. Per elaborare questa parte si `e fatto largo uso di testo e figure estratte dalla esauriente trattazione contenuta nel testo di Toniolo [4], al quale si rimanda per approfondimenti e chiarimenti. In questa Parte ritornano molti dei concetti trattati in maniera molto semplificata nell’ambito della Parte I. Questo anche per esemplificare il percorso progettuale, usualmente basato su approfondimenti successivi e sempre pi` u specifici. Vale la pena di sottolineare che la trattazione ivi condotta tralascia molti approfondimenti specialistici, per i quali si rimanda al testo di Toniolo. Nel procedere della trattazione ci si accorger`a che, ancora oggi, molti dettagli 5

del comportamento delle strutture in calcestruzzo armato non sono del tutto noti, il che non ha impedito e non impedisce di realizzare strutture anche molto ardite con questo tipo di materiale. Quello su cui si cerca di porre l’accento, allora, `e l’acquisizione da parte dello studente di una consapevolezza “concettuale” del comportamento delle strutture, sostenuta da una basilare conoscenza quantitativa dei principali fattori che ne governano il comportamento, senza entrare in un eccessivo dettaglio analitico, che esula dagli scopi del corso. Nella Parte III si riportano i concetti basilari della teoria delle costruzioni in acciaio. Per elaborare questa parte si fatto largo uso di testo e figure estratte dalla esauriente trattazione contenuta nel testo di Ballio e Bernuzzi [12], al quale si rimanda per approfondimenti e chiarimenti. 1.1

Riferimenti normativi

La attuale normativa italiana `e basata su due leggi, che definiscono i principi generali e affidano al Ministero delle infrastrutture e dei trasporti il compito di emettere periodicamente decreti ministeriali contenenti indicazioni pi` u specifiche: • Legge 5/11/71 n.1086, Norme per la disciplina delle opere di conglomerato cementizio armato, normale e precompresso, ed a struttura metallica; • Legge 2/2/74 n.64, Provvedimenti per le costruzioni con particolari prescrizioni per le zone sismiche. Gli ultimi decreti emessi sulla base delle indicazioni della legge 1086/71 sono: • D.M. 14/2/92 [3]; di questo decreto `e ancora valida solo la parte che riguarda le verifiche col metodo delle tensioni ammissibili; • D.M. 9/1/96 [7]; questo decreto ha sostituito il precedente per quanto riguarda le verifiche col metodo degli stati limite; esso inoltre ha consentito l’uso degli Eurocodici 2 [5] e 3 [6] (la sezione III delle parti I e II costituiscono il Documento di Applicazione Nazionale per tali Eurocodici); la prima parte `e relativa alle strutture in cemento armato; le parti successive sono relativa all’acciaio, a strutture miste acciaio-calcestruzzo, ecc. e contengono anche allegati relativi ai materiali. Sulla base delle indicazioni della legge 64/74 sono stati anche emessi il D.M. 16/1/96 [8] ed il D.M. 16/1/96, Norme tecniche per le costruzioni in zona sismica. Quest’ultima norma rester`a in vigore fino a quando diventer`a obbligatorio l’uso della Ordinanza Presidenza Consiglio Ministri n. 3274/2003, Primi elementi in materia di criteri generali per la classificazione sismica del territorio nazionale e di normative tecniche per le costruzioni in zona sismica (G.U. 8/5/03). Il testo ha gi`a subito un aggiornamento con l’Ordinanza PCM 3431/2005. Esistono inoltre documenti preparati dal Consiglio Nazionale delle Ricerche (Istruzioni CNR) che sono solo orientativi e non hanno valore di normativa, anche se in qualche caso i decreti ministeriali fanno espressamente riferimento ad essi, in particolare la CNR-UNI 10011/88 [1]. E’ stato successivamente approvato dal Consiglio Superiore dei Lavori Pubblici il Testo delle Norme tecniche per le costruzioni, DM 14/9/2005, inizialmente 6

emanato in versione sottoposta ad inchiesta pubblica e poi divenuto operativo per gli edifici di interesse strategico. Attualmente `e vigente il DM 14/1/2008 del Ministero delle Infrastrutture, che ha fatto decadere sia il DM 9/1/96, sia l’OPCM 3274/2003 (e successive modifiche), sia il DM 14/9/2005. 1.2

Testi di riferimento

Per l’elaborazione delle presenti dispense si `e fatto largo uso dei testi [2, 4, 12] riportati in Bibliografia. Gli estratti riportati nella dispensa sono ad esclusivo uso interno al Laboratorio e non sostituiscono lo studio e la consultazione dei testi di riferimento, che comunque `e richiesta allo studente. Il testo [13] presenta la materia delle tecnica delle costruzioni con un approccio approfondito e completo, per cui pu`o essere utilmente consultato come riferimento. Riferimenti bibliografici 1. Costruzioni di acciaio, Istruzioni per il calcolo, l’esecuzione, il collaudo e la manutenzione, CNR-UNI 10011, Giugno 1988. 2. D. L. Schodek, Structures, Englewood Cliffs, 1992. 3. Decreto Min. LL.PP. 9/1/1996, Norme tecniche per l’esecuzione delle strutture in cemento armato normale e precompresso e per le strutture metalliche. 4. G. Toniolo, Cemento armato (http://www.zanichelli.it), 1993.

-

Calcolo

agli

stati

limite,

Masson

5. Eurocodice 2, Progettazione delle strutture di calcestruzzo, Parte 1-1: Regole generali e regole per gli edifici, UNI ENV 1992-1-1, Gennaio 1993. 6. Eurocodice 3, Progettazione delle strutture di acciaio, Parte 1-1: Regole generali e regole per gli edifici, UNI ENV 1993-1-1, Giugno 1994. 7. Decreto Min. LL.PP. 9/1/1996, Norme tecniche per il calcolo, l’esecuzione ed il collaudo delle strutture in cemento armato, normale e precompresso e per le strutture metalliche. 8. Decreto Min. LL.PP. 16/1/1996, Norme tecniche relative ai criteri generali per la verifica di sicurezza delle costruzioni e dei carichi e sovraccarichi. 9. A. De Sortis, Dispensa per il Modulo di Progetto di Strutture, A.A. 2000-2001. 10. A. De Sortis, M. Severino, Dispensa per il Modulo di Progetto di Strutture, A.A. 2002-2003. 11. A. De Sortis, Dispensa per il Modulo di Progetto di Strutture, A.A. 2004-2005. 12. G. Ballio e C. Bernuzzi, (http://www.hoepli.it), 2004.

Progettare costruzioni in acciaio,

13. M. Menegotto, Corso di Tecnica delle Costruzioni. 7

Hoepli

Parte I

Progetto di strutture 2 2.1

CONCETTI INTUITIVI Definizione di struttura

Un modo classico di aprire una trattazione `e quello di dare delle definizioni. Partendo dalle pi` u semplici ed intuitive si pu`o dire che una struttura `e un dispositivo atto a trasferire al terreno i carichi che risultano dall’uso (occupanti, arredo, automobili, ecc.) o dalla presenza della struttura stessa (travi, pavimenti, finiture, ecc.). La comprensione del comportamento di una struttura passa per la comprensione di alcuni concetti basilari, come quello di forza. E’ inoltre importante affermare alcuni concetti relativi allo spazio ed alla dimensionalit`a (dimensione, scala, proporzione, ecc). La definizione che abbiamo dato prima non fornisce delucidazioni su cosa sia il dispositivo che trasferisce i carichi al terreno. Allora si potrebbe tentare una definizione da dizionario del tipo: una struttura `e una entit`a fisica avente carattere unitario, concepita come formata da elementi costituenti posizionati nello spazio, in cui il carattere dell’insieme domina le relazioni tra le parti. Anche se pu`o apparire molto contorta, questa definizione ha il merito di evidenziare alcuni concetti basilari: • la struttura `e un oggetto fisico reale e non una entit`a astratta, `e qualcosa che bisogna costruire e quindi come tale deve essere concepita; • la struttura ha un funzionamento di insieme, cio`e non si ottiene dalla mera giustapposizione degli elementi base (ad esempio travi e colonne), ma occorre concepirla e quindi progettarla come un tutto unico; questo approccio inverte il modo di procedere non corretto, ma generalmente molto diffuso, in cui quello che risulta `e semplicemente la giustapposizione di elementi che svolgono ognuno una specifica, piccola funzione. Il riferimento ai tipi di carichi che una struttura deve trasferire al terreno mette in luce un altro fatto molto importante: normalmente una struttura `e progettata per un prefissato insieme di carichi e funziona come tale solo nei confronti di essi (Figura 1, se i carichi cambiano, la struttura potrebbe non funzionare pi` u). Per fare un esempio bizzarro, una struttura pensata per sopportare il carico dato dal peso proprio, da ci`o che essa contiene e dagli agenti esterni (vento, neve, ecc) non pu`o essere, come fa Superman, sollevata in un punto e trasportata nello spazio, perch´e in tal caso crollerebbe immediatamente. L’atto di progettare una struttura pu`o essere definito con la stessa complessit`a usata per la struttura stessa, cio`e come posizionamento degli elementi costituenti e definizione delle relative interrelazioni con l’obiettivo di impartire un ben definito carattere alla entit`a strutturale risultante. 2.2

Classificazione delle strutture

E’ fondamentale per la conoscenza in ogni settore la distinzione e l’ordinamento sistematico degli oggetti di studio. Una prima semplice classificazione delle strutture 8

(a)

(b)

(c)

(d)

Figura 1: (a) Assemblaggio piedritti - trasverso: per carichi verticali l’assemblaggio `e in grado di trasferire al terreno i carichi applicati e quindi pu`o essere considerato un struttura; (b) Assemblaggio piedritti - traverso: per carichi orizzontali lo stesso assemblaggio che funziona come struttura per i carichi verticali tende a collassare quando `e soggetta ad altri tipi di carico; (c) Cambiamento delle relazioni tra gli elementi: l’assemblaggio (b) pu`o essere trasformato in una struttura in grado di sopportare sia carichi verticali che orizzontali (cambiamento da connessione semplice a connessione rigida nei nodi); (d) cambiamento della posizione degli elementi: l’assemblaggio (b) pu`o essere trasformato in una struttura in grado di sopportare sia carichi verticali che orizzontali (riposizionamento pensato di alcuni elementi)

pu`o essere basata sulla forma e su propriet`a fisiche elementari. Per forma di una struttura si pu`o intendere sia una figura geometrica semplice sia una derivazione ottenuta combinando o aggiungendo figure semplici. 2.2.1 Geometria Una prima distinzione pu`o essere quella tra elementi lineari ed elementi di superficie. Gli elementi lineari possono essere rettilinei o curvi, quelli di superficie possono essere piani o curvi (a semplice o a doppia curvatura). Nella realt`a non esistono oggetti che siano effettivamente linee o superfici, in quanto ogni cosa `e dotata di uno spessore, ma quando quest’ultimo `e piccolo in confronto alle altre dimensioni, si possono applicare la nozioni prima introdotte. La geometria di una struttura `e anche legata al materiale che la costituisce o alla tecnologia costruttiva: gli elementi in legno o acciaio sono prevalentemente lineari e, aggregandosi, possono formare elementi piani; il calcestruzzo armato si presta altrettanto bene sia a realizzare elementi lineari che elementi piani. 2.2.2 Rigidezza Un’altra propriet`a importante delle strutture `e la rigidezza (Fig. 2). L’effetto dei carichi sulle strutture `e quello di produrre delle deformazioni (allungamenti o accorciamenti) e delle tensioni (trazioni o compressioni), correlate tra loro attraverso un parametro (modulo di elasticit`a) che dipende dal materiale costituente l’elemento strutturale. Nelle strutture flessibili (a bassa rigidezza) si verificano sempre allungamenti, mentre nelle strutture rigide soggette a flessione si verificano sia allungamenti che accorciamenti nella stessa sezione dell’elemento. Alcuni materiali, come legno e calcestruzzo armato, vengono usati per costruire elementi rigidi, mentre l’acciaio pu`o essere usato sia per elementi rigidi (travi, colonne) che flessibili (cavi). 9

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

Figura 2: Strutture rigide e strutture deformabili: (a) struttura rigida (trave): la struttura non mostra significativi cambiamenti della sua forma al cambiare della posizione del carico; (b) struttura non rigida (fune): la forma della struttura cambia al cambiare della posizione del carico

2.2.3 Materiale Spesso si classificano le strutture in base al materiale (legno, acciaio, ecc.), ma i principi di funzionamento che governano il comportamento di strutture in materiali diversi non di rado sono molto simili (p. es. acciaio e legno), per cui le differenze diventano superficiali. Naturalmente aumentando il livello di dettaglio dell’analisi il tipo di materiale acquista una grande importanza in relazione alla resistenza che esso offre alle azioni esterne (p. .es. il legno e l’acciaio reagiscono sia a trazione che a compressione, il calcestruzzo e la muratura reagiscono bene solo a compressione). 2.3

Strutture rigide tipiche

Nella Figura 3 sono rappresentate schematicamente alcune strutture. Il funzionamento strutturale di molti organismi architettonici, anche se essi sono apparentemente molto complessi, spesso si basa sui semplici concetti che vengono riportati di seguito. 2.3.1 Trave e Pilastro Un modo molto semplice di concepire una struttura `e quello di appoggiare un elemento orizzontale (trave) su due elementi verticali (pilastri). Le travi sono soggette ad un carico trasversale alla loro linea d’asse e risultano inflesse (si dice che lavorano a flessione). In prima approssimazione si pu`o invece considerare che pilastri non si inflettono, perch´e il carico `e prevalentemente assiale (ovvero parallelo alla linea d’asse). 2.3.2 Telaio L’assemblaggio di una trave ed un pilastro che costituiscono un elementare telaio `e apparentemente simile a quello precedente, ma la differenza sostanziale risiede nella rigidezza (o monoliticit`a) del collegamento dell’elemento orizzontale con quelli verticali. Da ci`o consegue che la trave anche in questo caso `e inflessa, ma le sue estremit`a sono trattenute dal ruotare grazie alla continuit`a con il pilastro, mentre quest’ultimo, oltre ad essere caricato assialmente, `e anche inflesso. 10

2.3.3 Struttura Reticolare Le strutture reticolari si ottengono assemblando elementi rettilinei di lunghezza modesta in modo da realizzare figure triangolari. In essi si pu`o individuare un comportamento globale ed uno locale: la trave reticolare nel suo insieme `e soggetta a flessione, mentre i singoli elementi che la compongono sono soggetti solo a trazione o compressione. 2.3.4 Arco Storicamente gli archi sono ottenuti dalla giustapposizione di blocchi (di pietra o muratura artificiale) a formare una linea curva per superare una distanza tra due punti. La forma dell’arco `e strettamente legata al carico che esso deve sopportare, infatti gli elementi che lo costituiscono sono in grado di esercitare l’un l’altro solo compressioni e ci`o si realizza, appunto, sagomando opportunamente l’arco. Ne consegue che gli archi, che sono molto efficienti per i carichi per cui sono stati progettati, risultano incapaci di sopportare drastiche variazioni degli stessi, come forti carichi concentrati o variazioni della direzione dei carichi. Recentemente `e stato utilizzato anche il calcestruzzo armato per realizzare degli archi, anche di grandi dimensioni, in cui il materiale `e sfruttato in maniera ottimale e che, grazie alla presenza delle armature, sono in grado di sopportare anche delle limitate inflessioni. 2.3.5 Piastra e Pannello Sono elementi strutturali che individuano superficie piane: essi possono essere usati sia disposti orizzontalmente che verticalmente. Quando il funzionamento `e monodirezionale (v. oltre) si possono ricondurre a travi e pilastri. Se sono disposti verticalmente e se i carichi sono applicati solo parallelamente alla faccia dell’elemento essi possono essere realizzati con blocchi. Un caso particolare di piastra `e quella reticolare, realizzata espandendo nello spazio il principio di funzionamento della trave reticolare (v. sopra). Un altro caso particolare `e quello della lastra piegata, in cui la resistenza `e dovuta alla particolare conformazione dell’elemento. 2.3.6 Volta Cilindrica Si tratta di strutture piane a singola curvatura. Un esempio tipico `e quello della volta a botte. A seconda del tipo di vincolo cambia drasticamente il funzionamento: se gli appoggi sono sui lati corti la volta si comporta come una trave ed `e soggetta a flessione, se gli appoggi sono sui lati lunghi la volta `e simile a tanti archi affiancati e come tale si comporta. 2.3.7 Volta Sferica Le volte sferiche sono strutture piane a doppia curvatura. Oltre alle porzioni di sfera, sono state sviluppate, comunque, molte altre forme come, per esempio, quella del paraboloide iperbolico. In passato sono state molto usate perch´e notevolmente efficienti nel coprire grandi luci con impiego limitato di materiale. Le volte sferiche dal punto di vista geometrico possono essere immaginate come generate dalla rotazione di un arco intorno ad un asse verticale. Dal punto di vista strutturale hanno un 11

(a)

(b)

(c)

(d)

(g)

(h)

(i)

(l)

(o)

(p)

(q)

(r)

(e)

(f)

(m)

(n)

(s)

(t)

Figura 3: Strutture rigide: (a) assemblaggio trave-pilastro; (b) struttura reticolare; (c) arco rigido; (d) arco a blocchi; (e) telaio; (f) struttura reticolare; (g) arco rigido; (h) arco a blocchi; (i) parete rigida; (l) piastra rigida monodirezionale); (m) volta a botte; (n) cupola (superficie continua o a maglia); (o) parete a blocchi; (p) piastra rigida (bidirezionale); (q) struttura reticolare spaziale; (r) lastra piegata; (s) volta a blocchi; (t) cupola a blocchi

funzionamento abbastanza diverso da quello che si potrebbe immaginare pensando ai singoli archi. Infatti nella volta si generano anche azioni circonferenziali. Un caso particolare `e costituito dalle volte reticolari, realizzate con l’organizzazione di corti elementi rettilinei per formare delle maglie triangolari. 2.4

Strutture non rigide tipiche

Nella Figura 4 sono rappresentate alcune tipiche strutture non rigide. 2.4.1 Cavo La propriet`a fondamentale del cavo `e quella di assumere una forma che dipende dal carico o dai carichi applicati (posizione e intensit`a). Esiste una stretta corrispondenza tra la forma di un cavo e quella di un arco: applicando ad un cavo gli stessi carichi che gravano su di un arco il cavo assume una configurazione che `e quella corretta per far funzionare un arco in modo ottimale.

12

(a)

(b)

(c)

(d)

Figura 4: Strutture non rigide: (a) cavi; (b) tenda; (c) reti; (d) membrane pneumatiche 2.4.2 Membrana, Tenda, Rete Una membrana `e un foglio sottile e flessibile. Data la sua mancanza di rigidezza, per poter assumere delle curvature utili ad assolvere usi nel settore delle costruzioni, deve essere sostenuta da montanti, tiranti o dall’aria (cupole pneumatiche). E’ molto difficile realizzare forme sferiche mediante cavi e tiranti, ma essa si presta bene ad altre forme (paraboloide). 2.5

Stabilit` a delle strutture

In una struttura stabile le deformazioni provocate dai carichi esterni di solito sono modeste e si generano in essa delle forze interne che tendono a riportare la struttura nella sua configurazione originaria al cessare del carico (Figura 5). In una struttura instabile i carichi producono deformazioni evidenti e queste spesso tendono ad aumentare mentre tali carichi sono applicati. In una struttura instabile non si generano forze interne che tendono a riportarla nella configurazione originaria, ma sovente si verifica il collasso. 2.6

Strutture monodirezionali e bidirezionali

Nelle strutture monodirezionali il meccanismo di trasferimento dei carichi al terreno agisce in una sola direzione, nelle strutture bidirezionali il meccanismo `e pi` u complesso, ma comunque interessa almeno due direzioni (Figura 6). Si vede che la direzionalit`a di lavoro di una struttura dipende dai vincoli al contorno e quindi tutto ci`o ha a che fare con l’organizzazione spaziale dell’edificio. Ad esempio l’elemento strutturale piano rettangolare piastra, caricato perpendicolarmente al proprio piano, lavora su due direzioni ortogonali tra loro (lavora a piastra) solo se tutti e quattro i lati dell’elemento sono vincolati; altrimenti se solo due lati dell’elemento (opposti tra loro) sono vincolati ed i restanti due lati sono liberi, l’elemento piastra si comporta come un insieme di elementi monodirezionali (travi) affiancati tra loro. Che tipo di conseguenze ci possono essere sbagliando il vincolo della piastra? Una prima evidente conseguenza `e la differente deformabilit`a della piastra, a parit`a di carichi applicati. Nel comportamento bidirezionale si hanno deformazioni inferiori rispetto al comportamento monodirezionale. Altre conseguenze si hanno, ad esempio, nel trasferimento dei carichi orizzontali alle strutture verticali preposte. Questo esempio ci insegna che nella progettazione strutturale non basta individuare la tipologia di elemento strutturale da utilizzare (la piastra), ma occorre porre molta atten13

(a)

(b)

(c)

(d)

(e) Figura 5: Stabilit`a delle strutture: (a) assemblaggio piedritti-trasverso stabile per carichi verticali; (b) la struttura (a) `e instabile sotto carichi orizzontali; (c) instabilit`a di un assemblaggio pannelli-piastra; (d) tre modi di assicurare la stabilit`a laterale di un assemblaggio semplice: controvento diagonale, pannello di taglio, nodi monolitici; (e) qualunque metodo utilizzato per fornire stabilit`a laterale ad una struttura dovrebbe essere usato simmetricamente, altrimenti si potrebbero verificare effetti torsionali indesiderati zione a come l’elemento `e vincolato al contorno. Diversamente possono verificarsi comportamenti reali della struttura non previsti e quindi indesiderati o addirittura pericolosi.

(a)

(b)

(c)

(d)

Figura 6: Strutture mono e bi-direzionali: (a) trave; (b) graticcio; (c) piastra che lavora in una sola direzione; (d) piastra che lavora in due direzioni

14

2.7

Come stabilizzare una struttura semplice mediante diagonali

Consideriamo un struttura semplice (Figura 7) costituita dall’assemblaggio di due pilastri ed un trave incernierati tra loro e con il terreno. Un sistema cos`ı composto si chiama parallelogramma articolato. Se applichiamo una forza orizzontale in testa ad uno dei due pilastri, la distanza iniziale tra due vertici opposti del parallelogramma (B e D) tende ad aumentare, mentre quella degli altri due vertici (A e C) tende a diminuire. La struttura `e instabile. Se ora si posiziona un cavo tra i punti A e C, questo tender`a ad opporsi al loro allontanamento. In esso si svilupper`a una trazione. La struttura risulta stabilizzata. Tuttavia se si inverte la direzione del carico, nel cavo dovrebbe svilupparsi una compressione (il cavo resiste solo a trazione) e quindi la struttura non risulta stabilizzata. Se invece si inserisce un elemento rigido posizionato tra i punti A e C, questo tender`a ad opporsi al loro allontanamento. In esso si svilupper`a una trazione. La struttura risulta stabilizzata. Un’inversione di direzione del carico applicato in B, avr`a l’effetto di comprimere l’elemento rigido che per`o questa volta `e in grado di sopportare questo tipo di carico, a meno di fenomeni di instabilit`a laterale dell’elemento diagonale compresso. La struttura continua ad essere stabilizzata. Immaginando che la forza orizzontale (e la relativa inversione di direzione di carico) pu`o essere effettivamente prodotta, ad esempio, da un terremoto, `e evidente tra i due sistemi di stabilizzazione quello con la fune posta solo tra i vertici A e C non `e sufficiente allo scopo (occorre inserire un’altra fune tra B e D), mentre un elemento rigido diagonale pu`o bastare. 2.8

La regolarit` a strutturale

Uno dei concetti intuitivi pi` u importanti nella progettazione concettuale delle strutture `e quello di regolarit`a. Si `e osservato, soprattutto in occasione di eventi eccezionali nella vita di una struttura come i terremoti, che molte strutture idonee a trasferire al terreno i carichi verticali (quelli dovuti al peso della struttura stessa e del suo contenuto) non hanno avuto un comportamento accettabile, cio`e hanno subito danni molto gravi o addirittura sono crollate. Osservando pi` u attentamente la concezione di queste strutture si `e constatato che esse presentavano delle irregolarit`a marcate in pianta o in elevazione. Da queste osservazioni e da una serie di studi teorici sono stati tratti degli insegnamenti da applicare nella progettazione delle strutture nuove, cio`e degli accorgimenti che devono essere usati dal progettista fino dalle prime fasi della concezione dell’organismo strutturale. Questi accorgimenti si riferiscono al concetto di regolarit`a. Si pu`o dire che una struttura regolare presenta spiccate propriet`a di simmetria. Quindi le piante quadrate o circolari o rettangolari con rapporto tra i lati minore di 3 si possono considerare regolari. Si potrebbe essere portati a concludere che il perseguimento della regolarit`a comporti una serie di vincoli inaccettabili nella progettazione architettonica, che nel suo sviluppo contemporaneo certamente non fa della simmetria un valore universalmente riconosciuto. Ma cos`ı non `e. Infatti `e possibile ricondurre un organismo architettonico anche molto complesso e non regolare ad una struttura abbastanza regolare, attraverso l’inserimento di giunti, ossia di sconnessioni nella struttura 15

Figura 7:

Come stabilizzare una struttura: (a) Configurazione deformata di un assemblaggio semplice senza diagonali: la distanza iniziale tra i punti A e C tende ad aumentare, quella tra B e D a diminuire; la struttura ` e instabile. (b) Un cavo posizionato tra i punti A e C tender` a ad opporsi al loro allontanamento; in esso si svilupper` a una trazione; la struttura risulta stabilizzata. (c) Un elemento rigido posizionato tra i punti A e C tender` a ad opporsi al loro allontanamento; in esso si svilupper` a una trazione; la struttura risulta stabilizzata. (d) Un cavo posizionato tra i punti B e D ` e inutile; in esso si dovrebbe sviluppare una compressione; la struttura non risulta stabilizzata; lo stesso effetto si verifica in (b) quando il carico cambia direzione. (e) Un elemento rigido posizionato tra i punti B e D tender` a ad opporsi al loro avvicinamento; in esso si svilupper` a una compressione; la struttura risulta stabilizzata. (f), (g) Per stabilizzare completamente la struttura in entrambe le direzioni del carico ` e necessario posizionare due cavi, ognuno dei quali lavora mentre l’altro ` e scarico a seconda della direzione del carico. (h), (i) Posizionando due elementi rigidi si ottiene la stabilizzazione, ma si fa un uso ridondante del materiale, in quanto entrambi gli elementi lavorano indipendentemente dalla direzione del carico.

portante, aventi lo scopo di individuare pi` u strutture tra loro indipendenti. Per illustrare il concetto con un semplice esempio, consideriamo la pianta a forma di L riportata in Figura 8. Se sovrapponiamo ad una pianta architettonica cos`ı concepita una struttura avente la stessa forma, otteniamo una struttura irregolare, poich´e non esistono piani di simmetria. Se invece consideriamo due strutture indipendenti di forma rettangolare, abbiamo sposato la stessa pianta con due strutture regolari (Figura 8). Le due strutture hanno in comune soltanto le fondazioni, mentre in corrispondenza del giunto si deve realizzare un raddoppio di pilastri e travi. Questo non `e l’unico modo di realizzare un giunto. Si possono trovare molte altre soluzioni, in relazione alle esigenze del progetto architettonico (Figura 9). Analogo discorso pu`o essere fatto per l’elevazione, come rappresentato nella Figura 10: quando si `e in presenza di edifici con significative variazioni di altezza, `e opportuno renderne indipendenti le strutture portanti, che hanno in comune solo le fondazioni. 16

Figura 8: Regolarit`a strutturale in pianta mediante l’inserimento di giunti

Figura 9: Possibili configurazioni di giunti

Figura 10: Regolarit`a strutturale in elevazione mediante l’inserimento di giunti

17

3 3.1

GLI ELEMENTI STRUTTURALI Introduzione

Nel capitolo precedente sono stati affrontati alcuni aspetti della progettazione concettuale delle strutture. La comprensione del comportamento delle strutture esistenti `e di grande aiuto nell’inserimento della struttura in un nuovo progetto architettonico e forma la base di partenza anche per l’ideazione di tipologie di strutture del tutto nuove ed originali. Fino ad ora ci si `e basati su interpretazioni di carattere qualitativo, prescindendo dalle dimensioni e dal materiale di cui la struttura `e costituita. In questo capitolo si introducono alcuni concetti di base per esaminare anche quantitativamente il funzionamento di una struttura. Infatti, per portare ad un livello accettabile di definizione il progetto architettonico, non `e possibile prescindere da alcune informazioni di carattere quantitativo sulle strutture. 3.2

Calcolo delle sollecitazioni

Si dice sollecitazione l’effetto prodotto da un carico in una zona di un elemento strutturale; ad esempio nella Figura 11 il carico `e il peso sospeso alla fune, che `e la struttura, mentre la sollecitazione `e la trazione che si genera nella corda stessa. Ci sono strutture semplici, dette isostatiche, in cui si possono calcolare le sollecitazioni a partire dai carichi, semplicemente basandosi sul concetto di equilibrio. Nell’esempio precedente se il peso `e di 10 kg lo possiamo sostituire con un simbolo detto “forza” che viene rappresentato con una freccia diretta nel verso in cui agisce il carico e lunghezza proporzionale all’intensit`a del carico (Figura 11b). Se ora operiamo un taglio nella fune (Figura 11c), in corrispondenza della sezione A-A e vogliamo evitare che il peso cada dobbiamo applicare in corrispondenza del taglio una forza di 10 Kg diretta verso l’alto. In questo modo abbiamo soddisfatto l’equilibrio. Al carico C di 10 Kg corrisponde una sollecitazione S di 10 Kg (trazione). Il carico C `e una azione esterna, la sollecitazione S rappresenta le azioni che le particelle all’interno del corpo si scambiano quando vengono sollecitate dall’esterno. Possiamo osservare che il risultato non cambia al variare della posizione del taglio, quindi tutte le fibre della fune sono sottoposte alla stessa sollecitazione (la trazione `e uniforme). Se ora ci soffermiamo sul tratto di fune al di sopra del taglio, osserviamo che questo sar`a soggetto ad una forza (S) di 10 Kg cambiata di verso (Figura 11d). Il ragionamento precedente si pu`o trasferire in generale: per conoscere le sollecitazioni all’interno di una struttura isostatica si opera un taglio e si mette in equilibrio la porzione risultante. Le sollecitazioni possono essere di due tipi: forze e momenti. Un modo semplice per rappresentare il momento `e il principio della leva: nell’esempio di Figura 12a il valore del momento (M) causato dalla forza di 10 Kg `e dato dal prodotto tra l’intensit`a della forza e la sua distanza dal fulcro della leva, detta braccio (M = 10 × 2 = 20 Kgm). Nella leva si ha equilibrio quando il momento a destra del fulcro `e uguale a quello alla sua sinistra (Figura 12b). Facciamo un esempio per il calcolo delle sollecitazioni in una mensola (Figura 13). Come gi`a detto prima, il sistema `e quello di tagliare la struttura e mettere in equilibrio la parte restante. Per bilanciare la forza di 10 Kg sembra naturale applicare una forza di 10 Kg nella direzione opposta (questa sollecitazione `e detta taglio). L’insieme delle due forze, per`o, non `e sufficiente per l’equilibrio, infatti 18

(a)

(b)

(c)

(d)

Figura 11: Schematizzazione della sollecitazione di trazione che si genera in una corda con carico sospeso: (a) struttura e vincolo; (b) il peso `e sostituito dalla forza C; (c) la sollecitazione di trazione `e la forza S che bisogna applicare alla sezione A-A della fune per metterla in equilibrio con il carico esterno C; (d) la sollecitazione di trazione S `e la risultante delle azioni che si scambiano due facce di una sezione della fune

se immaginiamo una leva con fulcro in corrispondenza del taglio, questa non `e in equilibrio a meno che non applichiamo alla sinistra del fulcro un momento uguale e contrario (detto momento flettente). Quindi nella mensola nascono due sollecitazioni: il taglio ed il momento flettente. Dai due semplici casi della fune e della mensola abbiamo ricavato tre tipi di sollecitazioni: lo sforzo normale (che pu`o essere di trazione o di compressione), il taglio ed il momento flettente. Ricapitoliamo gli effetti delle varie sollecitazioni con l’aiuto della Figura 14. Pensiamo di tracciare dei reticoli sulle facce di un elemento ed osserviamo come si deforma il reticolo: • con la trazione si ha un allungamento uniforme nella direzione del carico; • con la compressione si ha un accorciamento uniforme nella direzione del carico; • con la flessione si ha contemporaneamente un allungamento dello strato inferiore (trazione) ed un accorciamento dello strato superiore (compressione);

(a)

(b)

Figura 12: La leva: (a) momento della forza applicata ad un estremo; (b) condizione di equilibrio

19

Figura 13: Esempio di calcolo delle sollecitazioni in una mensola

• con il taglio gli angoli retti si deformano. Ci`o che abbiamo detto precedentemente si applica, a rigore, alle sole strutture isostatiche. Per quelle iperstatiche si pu`o, in prima approssimazione, utilizzare degli schemi isostatici di comodo, avendo l’accortezza di stimare le sollecitazioni per eccesso. Per i fini che ci proponiamo in questo capitolo le approssimazioni sono del tutto accettabili, visto che siamo interessati alla fattibilit`a del progetto strutturale, piuttosto che alla verifica puntuale della costruzione. 3.3

Stima della resistenza

Mentre il calcolo delle sollecitazioni `e indipendente dal materiale che costituisce la struttura, la stima della resistenza ne deve tener conto. E’ noto che ci sono materiali che reagiscono bene sia a trazione che a compressione (legno, acciaio in profili), mentre altri reagiscono bene solo a compressione (pietre, muratura, calcestruzzo non armato) o solo a trazione (acciaio in funi o catene). Un caso particolare `e quello del calcestruzzo armato, in cui si sopperisce alla mancanza di resistenza a trazione del calcestruzzo inserendo l’acciaio sotto forma di barre. Come le sollecitazioni sono un modo per misurare l’effetto dei carichi esterni sulle strutture, cos`ı `e necessario trovare un parametro per misurare la resistenza di un materiale. Ritorniamo all’esempio del carico sospeso (Figura 11a) ed operiamo un taglio nella fune. Abbiamo visto che le forze che i due tratti di fune si scambiano (sollecitazioni di sforzo normale) sono pari al carico applicato. Immaginiamo che la fune sia, per semplicit`a, costituita da 10 fili. E’ immediato pensare che ogni filo debba sopportare una forza N pari a : N=

10 Kg Kg =1 10 fili filo

Se ogni filo ha una sezione di area 1 cm2 si pu`o dire che il carico appeso comporta una tensione normale σ di 1 Kg/cm2 : σ=1

Kg cm2

20

Figura 14: Visualizzazione di alcune caratteristiche di sollecitazione

La tensione normale nella fune `e data dal rapporto tra lo sforzo normale e l’area della sezione. Se ora aumentiamo il carico fino a quando la fune si spezza, per esempio fino a 100 Kg, la tensione limite del materiale che costituisce la fune vale: 100 Kg σ= = 10 2 10 cm E’ molto importante ragionare con le tensioni, perch´e la tensione limite non dipende dalle dimensioni della fune. Infatti se la fune fosse fatta di 5 fili, ad un carico di 50 Kg corrisponderebbe di nuovo una tensione: 50 Kg σ= = 10 2 5 cm e la fune si spezzerebbe. Se l’elemento `e soggetto non a trazione ma a flessione o a taglio il modo di calcolare la tensione cambia, ma non cambia il principio generale per cui un materiale si rompe quando si raggiunge la sua tensione limite. 3.4

Alcuni elementi strutturali monodimensionali

Nel seguito passiamo in rassegna alcuni degli elementi strutturali pi` u diffusi. Per ciascuno di essi oltre alla definizione ed alla descrizione del meccanismo di trasferimento 21

dei carichi ai vincoli, si accenna al criterio di predimensionamento. 3.4.1 Pilastro E’ uno degli elementi strutturali pi` u semplici e usati fin dall’antichit`a. Essendo sollecitato prevalentemente a compressione, si presta ad essere realizzato con tutti i tipi di materiali tradizionali: pietre squadrate nei templi greci, muratura nelle costruzioni romane, legno, acciaio o calcestruzzo armato. E’ un elemento strutturale monodimensionale soggetto prevalentemente a carichi esterni agenti parallelamente alla linea d’asse. L’applicazione del carico esterno genera una forza interna, denominata Sforzo Normale; esso corrisponde ad una tensione di compressione nella sezione del pilastro che si scarica direttamente sul vincolo. Detto N lo sforzo normale ed A l’area della sezione, la tensione di compressione vale: σ=

N A

Le dimensioni del pilastro devono essere tali da non far superare la tensione limite che, di solito, viene mantenuta abbastanza al di sotto del limite vero e proprio del materiale: 5-10 Kg/cm2 per la muratura, 50-70 Kg/cm2 per il calcestruzzo armato. Un fenomeno a cui possono essere soggetti gli elementi di acciaio `e quello della instabilit`a. Essa si verifica quando il pilastro `e molto snello, cio quando la sua lunghezza `e molto pi` u grande delle dimensioni della sezione. Succede che ben prima di raggiungere la tensione limite del materiale il pilastro sbanda lateralmente e si inflette, perdendo la capacit`a di portare il carico. Per non incorrere in questo problema nelle costruzioni in acciaio si usano tensioni limite ridotte, di solito non superiori ai 500-1000 Kg/cm2 . 3.4.2 Tirante E’ un elemento strutturale monodimensionale soggetto prevalentemente a carichi esterni agenti parallelamente alla linea d’asse. L’applicazione del carico esterno genera una forza interna, denominata Sforzo Normale, corrispondente ad una tensione di trazione nella sezione del tirante, che si scarica direttamente sul vincolo. Detto N lo sforzo normale ed A l’area della sezione, la tensione di trazione vale: σ=

N A

Il tirante pu`o essere realizzato solo con materiali reagenti a trazioni (legno o acciaio). Raramente si usa il calcestruzzo armato facendo assorbire tutta la trazione alle barre di acciaio. In quest’ultimo caso il calcestruzzo svolge la funzione di rivestimento, comunque molto importante perch´e l’acciaio se esposto direttamente agli agenti atmosferici in breve tempo si corrode. Nelle costruzioni storiche i tiranti sono molto usati per assorbire le spinte negli archi (vedi seguito). Nei tiranti non sussiste il pericolo dell’instabilit`a, per cui si pu`o arrivare nell’acciaio a tensioni di circa 2000 Kg/cm2 .

22

3.4.3 Trave E’ un elemento strutturale monodimensionale soggetto prevalentemente a carichi esterni agenti perpendicolarmente alla linea d’asse. L’applicazione del carico esterno genera una sollecitazione interna, denominata Momento Flettente, corrispondente ad una tensione di compressione nelle fibre superiori ed una tensione di trazione nelle fibre inferiori. Associato al momento flettente, quando questo varia lungo l’asse dell’elemento, si verifica anche la sollecitazione di Taglio. Il comportamento dei materiali reagenti sia a trazione che a compressione `e abbastanza diverso da quello del calcestruzzo armato, per cui li esaminiamo di seguito separatamente. Legno o acciaio Si `e prima visto che, a causa della flessione, si verifica un allungamento di alcune fibre (trazione) ed un accorciamento di altre (compressione). Il materiale raggiunge il suo limite quando la tensione di compressione o di trazione raggiunge quella massima del materiale. Per calcolare la tensione (σ) corrispondente ad un certo momento flettente (M ), si divide quest’ultimo per un parametro chiamato modulo di resistenza (W ) che dipende dalla forma e dalle dimensioni della sezione: M σ= W La tensione limite nel legno `e di circa 50-100 Kg/cm2 , nell’acciaio `e di circa 2000 Kg/cm2 . Per i profilati di acciaio commerciale i moduli di resistenza si trovano tabellati, per le sezioni rettangolari di base b e altezza h si ha: W =

bh2 6

Calcestruzzo armato In questo caso si sfrutta l’acciaio per assorbire le tensioni di trazione che il calcestruzzo da solo non potrebbe sopportare. Per il calcolo semplificato si pu`o usare un modulo di resistenza che ha la stessa funzione che nel caso precedente e vale (Figura 15): W = 0.9HAa dove H `e la distanza dei tondini dal bordo opposto della sezione ed Aa `e la somma delle aree di tutti i tondini disposti su di un lato (sulla fibra tesa). Oltre alla tensione σ, che in via approssimata si calcola con la formula vista sopra, per il cemento armato bisogna calcolare anche un altro tipo di tensione, che si chiama tensione tangenziale: τ=

T 0.9BH

dove B `e la larghezza della sezione e H ha lo stesso significato di prima. La tensione tangenziale non deve superare i 20 Kg/cm2 . 3.4.4 Trave reticolare E’ un elemento strutturale monodimensionale soggetto prevalentemente a carichi esterni agenti perpendicolarmente alla linea d’asse. Con le travi reticolari si possono raggiungere luci anche elevate con uso di elementi componenti di limitata lunghezza, assemblati in modo da ottenere maglie triangolari. L’applicazione del carico esterno 23

Figura 15: Schema per il calcolo del modulo di resistenza di una sezione di calcestruzzo armato

genera sollecitazioni normali interne agli elementi costituenti, alcune di compressione e altre di trazione, per cui i singoli elementi possono essere calcolati come gi`a visto per il pilastro e per il tirante. Un primo controllo molto semplice per predimensionare l’altezza della trave reticolare con vincoli di semplice appoggio consiste nel calcolare il momento flettente come se si trattasse di una trave ordinaria. Dividendo il momento flettente per l’altezza della trave (l’altezza di una trave reticolare corrisponde alla distanza tra il corrente teso e quello compresso) si ottiene la compressione negli elementi superiori e la trazione in quelli inferiori. Con questi valori si pu`o procedere alle usuali verifiche. 3.4.5 Arco E’ un elemento strutturale monodimensionale soggetto prevalentemente a carichi esterni agenti perpendicolarmente alla linea d’asse, analogamente alla trave, ma con sollecitazioni interne predominanti di sforzo normale. A queste si accompagna una azione orizzontale dell’arco (chiamata spinta) in corrispondenza di ogni vincolo, che deve essere idoneo ad assorbirla. La forma dell’arco `e strettamente legata ai carichi che questo deve sostenere. La configurazione assunta da una fune tesa tra i vincoli dell’arco, quando essa viene caricata con le stesse forze applicate all’arco, si chiama funicolare dei carichi. Ribaltando la funicolare dei carichi si ottiene l’antifunicolare, una curva che rappresenta la linea delle pressioni nelle varie sezioni dell’arco. Quanto pi` u questa linea si avvicina alla linea d’asse geometrica, tanto migliore `e il progetto dell’arco. Un caso particolare di arco `e l’arco a spinta eliminata (Figura 16). In questo caso, tra i vincoli si dispone un elemento (detto catena) in grado di assorbire la spinta generata dall’arco sui vincoli, che devono quindi reagire solo in direzione verticale. La catena `e soggetta a trazione. Nelle costruzioni in cui pi` u archi simili per forma e carichi sono affiancati uno all’altro, l’eliminazione della spinta `e una conseguenza della combinazione delle reazioni dei singoli archi. 3.5

Le fondazioni

Rappresentano la parte dell’edificio che trasferisce i carichi al terreno. Date le grandi incertezze nella conoscenza delle propriet`a del terreno di fondazione e le eventuali disomogeneit`a difficilmente riconoscibili con precisione in fase di progetto, esse gene-

24

Figura 16: Arco a spinta eliminata

ralmente sono dimensionate con margini di sicurezza superiori a quelli che si usano per le strutture in elevazione. Negli edifici storici in muratura le fondazioni erano realizzate con un semplice allargamento della base del muro, in quanto si era osservato che il terreno non roccioso pu`o resistere a pressioni pi` u basse di quelle della muratura. Per terreni di qualit`a medie si pu`o assumere una pressione massima di circa 1-2 Kg/cm2 . Sulla base di come il carico viene trasmesso al terreno le fondazioni possono essere definite dirette o indirette. 3.5.1 Fondazioni dirette Le fondazioni dirette si usano quando il terreno di buone caratteristiche pu`o essere raggiunto ad una profondit`a modesta, con uno scavo normale. In base alla forma e dimensione della base di appoggio, le fondazioni dirette possono essere a plinto, a trave rovescia, a platea. Le fondazioni a plinto (Figura 17) si utilizzano in presenza di carichi non eccessivi e terreni di buone caratteristiche geotecniche, quando le strutture verticali di elevazione sono costituite da pilastri. I plinti costituiscono un allargamento della base del pilastro, allargamento necessario per passare dalla tensione media di circa 60-70 Kg/cm2 agli 1-2 kg/cm2 massimi sul terreno. Per ottenere tale riduzione la superficie del plinto deve essere circa 35-70 volte quella del pilastro. In zona sismica `e buona regola collegare i plinti con cordoli in calcestruzzo armato. Per stimare le dimensioni del plinto si deve effettuare preventivamente una valutazione dello sforzo normale nel pilastro. A questo valore si aggiungono circa 1000 kg, che rappresentano una stima del peso del plinto, e si calcola la tensione media sul terreno: σ=

N A

dove si `e indicato con N lo sforzo normale (in Kg) e A l’area dell’impronta del plinto (in cm2 ). La tensione media, come gi`a detto, non deve superare 1-2 kg/cm2 . Se questo accade `e necessario provare con una impronta di dimensioni maggiori. Le fondazioni a trave rovescia (Figure 18 e 19) si utilizzano in presenza di carichi elevati e terreni mediamente resistenti, quando le strutture verticali di elevazione sono costituite da pilastri, da setti o da murature. La fondazione continua 25

Figura 17: Pianta e sezione di un plinto isolato

offre, rispetto a quella a plinti, una superficie di appoggio maggiore. La fondazione viene detta a trave rovescia perch´e funziona al contrario di una normale trave in c.a. di elevazione: nella fondazione infatti i carichi vengono dal basso perch´e sono l’effetto della reazione del terreno, mentre le strutture di elevazione (pilastro o setti) costituiscono i vincoli della trave. La forma della sezione `e generalmente quella di una T rovesciata. La fondazione a platea (Figure 20 e 21) `e una fondazione continua che si allarga fino a comprendere tutta l’area occupata dalla costruzione. Si utilizza quando i carichi sono molti elevati, le caratteristiche del terreno non sono buone e non `e possibile realizzare le fondazioni profonde di cui si parler`a tra poco. 3.5.2 Fondazioni indirette Le fondazioni indirette si rendono necessarie quanto non `e possibile trasmettere il carico della struttura in elevazione direttamente agli strati di terreno superficiali, perch´e questi hanno scadenti propriet`a di resistenza. E’ necessario, allora, interessare i terreni posti a maggiore profondit`a (generalmente a partire da 8-10 m dal piano di campagna), che di solito hanno caratteristiche di resistenza migliori. Per questo si ricorre ai pali, ovvero elementi monodimensionali (a sezione circolare), generalmente verticali, che raggiungono gli strati profondi del terreno; la diffusione del carico della struttura al terreno avviene in punta (carico di punta) e sulla superficie laterale del palo (carico laterale) per effetto dell’attrito tra palo e terreno circostante (Figura 22). Il diametro dei pali varia generalmente dai 50 ai 200 cm. In tutte le tipologie sopra esposte, la testa dei pali `e collegata alla struttura di elevazione tramite un dado di calcestruzzo armato che trasferisce il carico dal pilastro al palo o al gruppo di pali che costituiscono la fondazione (Figure 23 e 24).

26

Figura 18: Pianta di fondazioni a travi rovesce

Figura 19: Assonometria di una trave rovescia

27

Figura 20: Pianta di fondazioni a platea

Figura 21: Assonometria di una platea di fondazione

28

Figura 22: Schema di trasferimento al terreno del carico sul palo

Figura 23: Pianta di fondazioni a plinti su pali; nella figura le travi di collegamento sono presenti prevalentemente sul perimetro, ma `e buona regola collegare tutti i plinti dell’edificio tra di loro

29

Figura 24: Assonometria di plinti su pali

30

4 4.1

PREDIMENSIONAMENTO SEMPLIFICATO Premessa

Per effettuare la progettazione preliminare di una struttura `e essenziale quantificare accuratamente i carichi dovuti al peso della struttura stessa (peso proprio) ed alle finiture e stimare in maniera attendibile i sovraccarichi. I sovraccarichi sono i carichi dovuti all’uso (arredo, folla, automezzi, etc.) o quelli che possono derivare dall’ambiente (vento, neve, sisma). E’ stato gi`a detto, infatti, che una struttura viene progettata in riferimento a certi tipi di carichi e pu`o cessare di comportarsi come tale se soggetta a carichi del tutto inattesi. Per gli edifici di solito si fa una distinzione tra carichi verticali e carichi orizzontali. La distinzione dipende dal meccanismo di trasferimento dei carichi al terreno. Per i carichi verticali di solito sono interessati pochi elementi strutturali, seguendo la gerarchia tipica del sistema costruttivo: p. es. travetto-trave-pilastroplinto-terreno. Per i carichi orizzontali, invece, `e essenziale che la struttura esibisca un buon comportamento di insieme. 4.2

Carichi verticali

Si deve stimare: • Il peso degli elementi strutturali, tenendo conto dei rispettivi pesi specifici: – Calcestruzzo 2400 Kg/m3 – Calcestruzzo armato 2500 Kg/m3 – Legno 500 Kg/m3 – Acciaio 7850 Kg/m3 – Laterizio pieno 1800 Kg/m3 • Il peso delle finiture, delle partizioni, degli impianti (di solito si ingloba tutto in un carico onnicomprensivo di 100-150 Kg/m2 ) • Il peso delle eventuali tamponature sugli elementi su cui gravano (900 Kg/m3 per i laterizi forati) • I sovraccarichi variabili, che dipendono dall’uso degli ambienti (sono disciplinati dalla normativa): – Abitazioni 200 Kg/m2 – Locali pubblici 300 Kg/m2 – Locali affollati 400 Kg/m2 – Mercati, librerie 500 Kg/m2 – Balconi e scale comuni 400 Kg/m2 – Sottotetti praticabili per manutenzione 100 Kg/m2 – Coperture non praticabili 50 Kg/m2 31

– Parcheggi per autovetture 250 Kg/m2 – Zone carrabili circa 2000 Kg/m2 – Archivi, biblioteche 600 Kg/m2 – Terreno vegetale 1800 Kg/m3 • Il peso della neve (`e stabilito dalla normativa e dipende dalle zone e dall’altitudine, varia da circa 100 a circa 350 Kg/m2 ) 4.3

Carichi orizzontali

Come i sovraccarichi verticali variabili, anche quelli orizzontali (vento e sisma) sono stabiliti dalla normativa. E’ difficile effettuare un predimensionamento semplificato di una struttura a carichi orizzontali, per cui ci si cautela con una buona progettazione concettuale. Di questo si `e parlato nel paragrafo 2.8, quando si `e presentato il concetto di regolarit`a strutturale. Questo criterio trova la sua giustificazione nell’osservazione dei danni prodotti dai terremoti su edifici progettati senza tener conto delle azioni sismiche: quelli regolari hanno quasi sempre un comportamento migliore, con danni minori rispetto agli edifici irregolari. 4.4

Predimensionamento semplificato di una struttura intelaiata

Si immagina di volere controllare la fattibilit`a di una struttura molto semplice in c.a., cio`e di verificare che le luci e le dimensioni degli elementi costruttivi siano compatibili con i carichi verticali ipotizzabili. Nella Figura 25 `e riportata una pianta del piano tipo con alcune sezioni longitudinali e trasversali. Le informazioni disponibili prima del predimensionamento sono solo l’interasse dei pilastri nelle due direzioni. 4.4.1 Solai Si utilizza un prontuario in cui `e fornito per ogni tipo di solaio, di altezza e di luce, il momento massimo sopportabile (Figura 26). Si prova con il solaio 3Q di altezza 20 + 5 cm. Si calcolano i carichi che gravano su di una striscia di 1 m di solaio: • peso del solaio (dal prontuario) 325 Kg/m • finiture 100 Kg/m • tramezzi 100 Kg/m • sovraccarico 200 Kg/m • carico totale p = 725 Kg/m Per il calcolo del momento flettente massimo da confrontare con quello fornito dal prontuario si adotta lo schema di trave appoggiata (Figura 27) di luce L = 5 m. Il carico p `e stato calcolato precedentemente, per cui si ottiene: M=

725 × 52 pL2 = = 2265 Kgm 8 8 32

Figura 25: Pianta del piano tipo dell’edificio da predimensionare Ovviamente si possono adottare altri schemi a seconda delle diverse situazioni da esaminare come quello di trave continua su pi` u appoggi. In generale l’esperienza insegna che, ai soli fini del predimensionamento, `e possibile adottare sempre lo schema di trave appoggiata. In questo modo, infatti, non si stimeranno correttamente le sollecitazioni in ogni sezione della trave, ma comunque si potr`a giudicare la sua fattibilit`a. Questo non vale nel caso degli sbalzi (travi a mensola), per cui il momento massimo si calcola con l’espressione seguente: M=

pL2 2

dove p `e il carico ripartito e L `e la luce dello sbalzo. Dal prontuario si vede che il momento massimo sopportabile dal solaio `e di 2877 Kg m, per cui il solaio `e fattibile con una altezza strutturale di 25 cm. Ha interesse calcolare anche il carico che il solaio trasmette ad ognuna delle due travi tra cui `e tessuto. Sempre con lo schema di trave appoggiata, si ricava: A=

pL 725 × 5 = = 1812 Kg 2 2

33

Figura 26: Estratto da un prontuario per la scelta del solaio (per passare da KNm a Kgm si deve moltiplicare per 100) 4.4.2 Travi di testata Si effettua una tentativo attribuendo alla trave (di luce 700 cm) un’altezza di 70 cm ed una base di 40 cm. Il carico trasmesso dal solaio, precedentemente calcolato, `e relativo ad una striscia larga 1 m. I carichi agenti sono: • carico trasmesso dal solaio 1812 Kg/m • peso della trave = 0.7 × 0.4 × 2500= 700 Kg/m 34

Figura 27: Schema di calcolo a trave appoggiata • peso della tamponatura =900 × 0.2 × 2.3= 414 Kg/m • carico totale p = 2926 Kg/m Questa volta lo schema `e quello di una trave continua su tre appoggi (Figura 28), per cui il momento massimo (appoggio B) vale: 2926 × 72 pL2 =− = 17922 Kgm M =− 8 8 Per vedere se la trave sopporta questa sollecitazione con 3 barre del diametro di 2 26 mm calcoliamo prima l’area della sezione di una barra: Aa = π2.6 = 5.31 cm2 . 4 Quindi calcoliamo il modulo di resistenza (si veda il par. 3.4.3): W = 0.9 × 65 × 3 × 5.31 = 932 cm2 A questo punto `e facile calcolare la tensione nelle barre di armatura. Preliminarmente effettuiamo un cambio di unit`a di misura del momento in modo da trasformare i m in cm: M = 17922 Kgm = 17922 × 100 = 1792200 Kgcm

σ=

1792200 M = = 1922 Kg/cm2 W 932

Si vede che la tensione `e inferiore a 2000 Kg/cm2 ed `e quindi accettabile. Se cos`ı non fosse stato avremmo dovuto aumentare il numero delle barre, oppure aumentarne il diametro (tenendo conto che di solito si usano diametri compresi tra 12 e 26 35

Figura 28: Schema di calcolo a trave continua su 3 appoggi mm), oppure ancora avremmo dovuto aumentare l’altezza della sezione della trave. Quando siamo arrivati ad una situazione che riteniamo accettabile ed il numero di barre `e significativo, `e opportuno disegnare in scala la sezione della trave per controllare che effettivamente le barre possano essere poi disposte nel numero da noi previsto. Nel fare questo dobbiamo fare in modo che le barre esterne distino almeno 3 cm dal bordo della sezione, mentre tra una barra e l’altra rimanga uno spazio almeno pari al diametro delle barre utilizzate. Per controllare la tensione di taglio, sempre dallo schema di trave con 3 appoggi ricaviamo il taglio massimo: T = 0.625pL = 0.625 × 2926 × 7 = 12801 Kg La tensione di taglio risulta: τ=

T 12801 = = 5.47 Kg/cm2 0.9bh 0.9 × 40 × 65

Si vede che anche la tensione di taglio `e minore di 20 Kg/cm2 e quindi la trave con queste dimensioni `e accettabile. 4.4.3 Travi interne Si prova con una trave di sezione 40 cm di base per 70 cm di altezza. Il carico trasmesso dal solaio, precedentemente calcolato, `e relativo ad una striscia larga 1 m di solaio. In questo caso su di una trave gravano due solai, per cui il carico precedentemente calcolato deve essere raddoppiato. I carichi agenti sono: • carico trasmesso dal solaio = 2 × 1812 = 3624 Kg/m 36

• peso della trave = 0.7 × 0.4 × 2500 = 700 Kg/m • carico totale p = 4324 Kg/m Anche in questo caso lo schema `e quello di una trave continua su tre appoggi, per cui il momento massimo vale: M=

pL2 4324 × 72 = = 26484 Kgm 8 8

Per vedere se la trave sopporta questa sollecitazione con 5 barre del diametro di 2 26 mm calcoliamo prima l’area della sezione di una barra: Aa = π2.6 = 5.31 cm2 . 4 Quindi calcoliamo il modulo di resistenza: W = 0.9 × 65 × 5 × 5.31 = 1553 cm2 A questo punto `e facile calcolare la tensione nelle barre di armatura. Preliminarmente effettuiamo un cambio di unit`a di misura del momento in modo da trasformare i m in cm: M = 26484 Kgm = 26484 × 100 = 2648400 Kgcm M 2648400 σ= = = 1705 Kg/cm2 W 1553 Si vede che la tensione `e inferiore a 2000 Kg/cm2 ed `e quindi accettabile. Per controllare la tensione di taglio, sempre dallo schema di trave con 3 appoggi ricaviamo il taglio massimo: T = 0.625pL = 0.625 × 4324 × 7 = 18917 Kg La tensione di taglio risulta: τ=

18917 T = = 8 Kg/cm2 0.9bh 0.9 × 40 × 65

Si vede che anche la tensione di taglio `e minore di 20 Kg/cm2 e quindi la trave con queste dimensioni `e accettabile. 4.4.4 Pilastri ad area di influenza Un modo semplice per predimensionare i pilastri `e quello di costruire una tabella sulla base delle aree di influenza dei pilastri. L’area di influenza di un pilastro si ottiene misurando la superficie delle figure geometriche che si ottengono dall’intersezione delle rette tracciate ortogonalmente alla congiungente due pilastri vicini (si veda la Figura 29). Per ogni pilastro si costruisce una Tabella simile alla 1. Si comincia dal livello1 pi` u alto e si moltiplica il carico distribuito (1000 Kg/m2 per i pilastri interni tipo A, 1150 per quelli esterni tipo B e 1300 per quelli d’angolo tipo C) per l’area di influenza, ottenendo il carico al livello (in Kg, colonna 5). Quindi si riporta il carico sul pilastro del livello precedente (colonna 6) e si effettua la somma (colonna 7). 1

Quando si parla di livelli si intendono quelli corrispondenti a solai dell’edificio, facendo attenzione a non tralasciare quello pi` u basso, immediatamente sopra le fondazioni

37

Figura 29: Schema per il calcolo delle aree di influenza dei pilastri A questo punto si prova a definire le due dimensioni della sezione del pilastro (colonna 8) e si calcola l’area (in cm2 , colonna 9). Dividendo il carico totale per l’area della sezione si ottiene la tensione nel pilastro (in Kg/cm2 , colonna 10). La tensione non deve superare i 60-70 Kg/cm2 , altrimenti `e necessario aumentare le dimensioni del pilastro. Le dimensioni minime consigliate per i pilastri sono 30 × 30 cm. Nella Tabella 1 `e riportato un esempio di predimensionamento di tre pilastri in un edificio di 3 piani (4 livelli). I pilastri sono ogni 5 m in una direzione ed ogni 7 m nell’altra direzione. 4.4.5 Fondazioni Consideriamo il pilastro B che, come si vede dalla Tabella 1, `e il pi` u caricato con uno sforzo normale N = 140000 Kg. Ipotizziamo una fondazione a plinto isolato quadrato, di lato 3 m. L’area di base del plinto in cm2 `e A = 300 × 300 = 90000 cm2 . Il calcolo della pressione sul terreno si effettua semplicemente con la divisione: σ=

N 140000 = = 1.55 Kg/cm2 A 90000

Il valore `e accettabile, perch´e nell’intervallo 1-2 Kg/cm2 (si veda anche il par. 3.5). Tabella 1: Tabella per il predimensionamento dei pilastri 1

2

Pilastro

Livello

A A A A B B B B C C C C

4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1

3 Area influenza (m2 ) 35 35 35 35 17.5 17.5 17.5 17.5 8.75 8.75 8.75 8.75

4 Carico distribuito (Kg/m2 ) 1000 1000 1000 1000 1150 1150 1150 1150 1300 1300 1300 1300

5 Carico al livello (Kg) 35000 35000 35000 35000 20125 20125 20125 20125 11375 11375 11375 11375

6 Carico livelli precedenti 0 35000 70000 105000 0 20125 40250 60375 0 11375 22750 34125

38

7 Carico totale 35000 70000 105000 140000 20125 40250 60375 80500 11375 22750 34125 45500

8 Sezione (cm × cm) 30 30 40 40 30 30 30 40 30 30 30 30

x x x x x x x x x x x x

30 40 40 60 30 30 40 40 30 30 30 30

9 Area sezione (cm2 ) 900 1200 1600 2400 900 900 1200 1600 900 900 900 900

10 Tensione (Kg/cm2 ) 39 58 65 58 22 44 50 50 13 25 38 51

Parte II

Costruzioni in calcestruzzo armato 5 5.1 A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

SIMBOLOGIA Lettere maiuscole Azioni e sicurezza azione generica

carico sulla struttura

precompressione azioni variabili resistenza generica sforzo nella sezione tensione nel punto

peso masse

Calcolo strutturale area

diametro modulo elastico longit. coppia concentrata modulo elasticit`a tang. forza orizzontale momento d’inerzia inerzia torsionale rigidezza sezione lunghezza totale momento flettente sforzo assiale carico concentrato forza o risultante reazione o risultante momento statico m. torcente (o temperat.) sforzo di taglio modulo resistente asse o iperstatica asse o iperstatica asse o iperstatica

39

Verifiche materiali area risultante compressione diametro modulo elastico long. baricentro momento d’inerzia inerzia torsionale rigidezza sezione momento flettente sforzo assiale polo, centro, origine precompressione sforzo scorrimento momento statico momento torcente sforzo di taglio modulo resistente

risultante trazioni

5.2 a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z

Lettere minuscole Azioni e sicurezza Calcolo strutturale var. aleat. azione lato maggiore lato minore coeff. numerico coeff. numerico flessibilit`a eccentricit`a funz. di probabilit`a funzione acceleraz. di grav. funzione altezza raggio d’inerzia coeff. di probab.

rigidezza lunghezza momento

numero prove probabilit`a probabilit`a (1-p) var. aleat. resist. scarto quadratico

var. aleat. generica

carico distribuito carico distri. variabile forza (o raggio) tempo traslaz. lungo x traslaz. lungo y traslaz. lungo z coordinata coordinata coordinata

40

Verifiche materiali larghezza sezione copriferro altezza utile eccentricit`a resistenza materiali peso di volume altezza sezione interasse et`a in giorni coefficiente lunghezza, distanza rapp. di omogeneizz. rapp. di omogeneizz.

sforzo scorr. unitario funz. rilassamento spaziatura, passo spessore perimetro funzione di viscosit`a ampiezza di fessuraz. posizione asse neutro distanza braccio coppia int.

5.3 α β γ δ  θ κ λ µ ν ξ η ζ π ρ σ τ υ φ χ ψ ω Φ

Lettere greche Azioni e sicurezza coeff. di dilataz. coeff. di sicurezza

coeff. di combinaz.

Calcolo strutturale coeff. di instabilit`a coeff. di vincolo scorrimento traslazione dilatazione curvatura coefficiente snellezza coeff. attrito coeff. Poisson coord. o traslazione coord. o traslazione coord. o traslazione 3,1415927 tensione generica tensione normale tensione tangenziale rotazione fattore di taglio rotazione coeff. di instabilit`a

41

Verifiche materiali angolo (o coeff.) rapporto C/bfc coeff. di sicurezza rapporto d/h dilatazione curvatura rapporto o coeff. snellezza momento adimens. forza assiale adimens. rapporto x/h rapporto y/h rapporto z/h coeff. di rilassam. tensione normale tensione tangenziale taglio adimens. coeff. di viscosit`a curvatura adimensionale angolo coeff. di instabilit`a diametro ferro

5.4 a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z  T

Indici Azioni e sicurezza agente

Calcolo strutturale

critico, di collasso di calcolo

Verifiche materiali bullone o aderenza del calcestruzzo di calcolo elast., al limite elast.

dei carichi dei carichi perman.

caratteristico

orizzontale i-esimo j-esimo

al giorno j caratteristico longitudinale medio

dei materiali

della precompress. dei carichi variabili resistente del tempo

normale all’origine, di base dei carichi

della precompress. di rottura dell’acciaio a trazione ultimo a rottura viscoso dell’anima

tangente verticale secondo x secondo y secondo z

di snervamento

geomerico termico

termico

42

6 6.1

UNITA’ DI MISURA Conversione da Sistema Internazionale (SI) a Sistema Tecnico (ST)

Descrizione Tensione Tensione Forza Forza 6.2

per 10.2 102 0.102 0.102

Per ottenere ST kg/cm2 t/m2 kg t

Conversione da Sistema Tecnico (ST) a Sistema Internazionale (SI)

Descrizione Tensione Tensione Forza Forza 6.3

Moltiplicare SI MPa (N/mm2 ) MPa (N/mm2 ) N kN

Moltiplicare ST per Per ottenere SI 2 kg/cm 0.0981 MPa (N/mm2 ) t/m2 0.00981 MPa (N/mm2 ) kg 9.81 N t 9.81 kN

Altre conversioni

Descrizione Lunghezza Lunghezza Lunghezza Superficie Forza Forza Momento Momento

Moltiplicare mm m cm mm2 t N tm Nmm

per 1/10 100 10 1/100 1000 1000 100000 1/1000000

43

Per ottenere cm cm mm cm2 kg kN kgcm kNm

7

GENERALITA’ SUL CALCESTRUZZO ARMATO

7.1

Propriet` a di base del calcestruzzo

Il calcestruzzo `e un materiale composta da un aggregato di inerti (sabbia e ghiaia o pietrisco di varie dimensioni), legati tra loro dalla pasta di cemento. Le propriet`a meccaniche di tale conglomerato lapideo artificiale dipendono da quelle dei suoi componenti (aggregato e pasta cementizia) e dal legame che si verifica all’interfaccia tra i due. Per un comune calcestruzzo fatto con inerte di peso normale, posto che si impieghi un aggregato di buone qualit`a e si eseguano le corrette modalit`a tecnologiche e chimiche di produzione (con particolare riferimento alla curva granulometrica2 ), le propriet`a meccaniche vengono a dipendere prevalentemente dalla pasta cementizia che risulta essere il componente pi` u debole. Il fenomeno della rottura della pasta cementizia `e spiegato dalla presenza di difetti all’interno del materiale. I difetti sono costituiti in primo luogo da microfessure che si verificano durante le presa e l’indurimento del conglomerato, nella pasta cementizia e nella sua interfaccia con l’aggregato, a causa del ritiro della pasta stessa e dell’imperfetta adesione tra i componenti. Vi sono poi i pori capillari diffusi nella pasta cementizia, anche se ben costipata, in percentuale nettamente maggiore che negli inerti. Infine restano, sempre nella pasta di cemento, vuoti maggiori dovuti a imperfetta costipazione della miscela fresca. La resistenza locale della pasta cementizia, limitata dalla presenza di difetti come sopra accennato, fornisce dunque quella del materiale composto, materiale al quale nel seguito si estender`a il concetto di omogeneit`a da un punto di vista macroscopico. La resistenza cio`e del calcestruzzo verr`a intesa come una sua propriet`a uniformemente diffusa, purch´e si tratti di elementi di dimensioni sufficientemente grandi rispetto a quelle massime dell’inerte impiegato. Il comportamento del calcestruzzo sotto carico `e visualizzato nei diagrammi tensioni-contrazioni riportati in Fig. 30. Da essi si nota: • forte dissimmetria con resistenze a compressione molto pi` u elevate di quelle a trazione; • comportamento deformativo non lineare fin da modesti valori delle tensioni; • deformazioni ultime a rottura notevolmente piccole con carattere prevalentemente fragile delle rotture stesse; • modulo elastico del tratto iniziale diverso per le differenti resistenze dei materiali • caduta della rigidezza molto pi` u rapida a trazione che a compressione. 2

La curva granulometrica `e un diagramma sperimentale ottenuto in seguito al passaggio del materiale campione tramite setacciatura. Il risultato dell’analisi `e reso pi` u chiaramente visibile attraverso la creazione di grafici in scala ordinaria o logaritmica. In questi grafici le variabili sono: in ascissa la percentuale passante, cio`e la percentuale di materiale pi` u fine della maglia del setaccio, che passa attraverso la sua maglia, in ordinate il diametro, cio`e la larghezza minima della maglia del setaccio in caso di maglia rettangolare, o diametro in caso di fori circolari.

44

Figura 30: Comportamento del calcestruzzo sotto carico Le propriet`a meccaniche del calcestruzzo indurito vengono raggiunte gradualmente nel tempo dopo una certa maturazione. Molte normative si riferiscono al limite dei 28 giorni di maturazione per la misurazione della resistenza, ma anche dopo tale limite si sviluppa un ulteriore sensibile indurimento per una maturazione naturale del calcestruzzo. Sulla velocit`a di indurimento influisce sensibilmente la temperatura alla quale `e tenuto il calcestruzzo nei primissimi tempi dopo il getto. Il fenomeno `e sistematicamente utilizzato per raggiungere elevate resistenze alle brevi scadenze, ricorrendo appunto alla maturazione forzata che consiste in opportuni trattamenti termici dei getti. Un’altra propriet`a del calcestruzzo consiste nel fenomeno del ritiro. Durante i primi tempi della sua maturazione il calcestruzzo indurito si contrae diminuendo di volume. Tale fenomeno ha sensibili effetti tecnologici e statici negli elementi strutturali in calcestruzzo armato. Prescindendo dagli sviluppi analitici si pu`o dire che la deformazione da ritiro in strutture ordinarie maturate in ambiente medio `e dell’ordine di cs = 0.4 ÷ 0.5 × 10−3 (passando da ambiente esterno ad ambiente interno). 7.2

Parametri di resistenza del calcestruzzo

La resistenza del calcestruzzo viene dedotta da apposite prove codificate. La rappresentativit`a dei valori ottenuti `e strettamente collegata alle corrette modalit`a di prova. In primo luogo le dimensioni del provino devono essere correlate a quelle dell’inerte impiegato, ovvero la dimensione minima del provino deve essere maggiore di cinque volte la dimensione massima degli inerti. Le prove a compressione si effettuano portando a rottura i provini inseriti fra le piastre di una pressa. La grandezza misurata su provini cubici viene detta resistenza cubica (a compressione) ed indicata con Rc . La rottura si manifesta di norma secondo quanto indicato a tratteggio in Fig. 31a e cio`e con il distacco laterale di materiale e la formazione di un residuo a clessidra. Lo stato tensionale di un provino cubico compresso tra le piastre di una pres-

45

Figura 31: Modalit`a di rottura del calcestruzzo compresso sa `e influenzato dall’attrito che si instaura sulle facce del provino stesso. Oltre alla componente longitudinale della tensione sorge dunque una componente trasversale, anch’essa di compressione, che contrasta la dilatazione trasversale ed incrementa la resistenza. Per ovviare all’effetto dell’attrito si devono impiegare provini prismatici (o cilindrici) sufficientemente allungati. In tal modo, fra i tratti terminali di estensioni pari all’incirca alla dimensione trasversale, tratti in cui risulta sensibile il disturbo provocato dall’attrito, resta una tratto intermedio soggetto ad un puro flusso di tensioni longitudinali. La resistenza misurata su provini di lunghezza pari almeno a 2.5 volte la dimensione trasversale `e detta resistenza prismatica (o cilindrica o semplicemente resistenza a compressione) ed indicata con fc (v. Fig. 31b). La correlazione tra le due resistenze a compressione sopra definite si basa sulla formula: fc = 0.83Rc ampiamente verificata per via sperimentale. Ci`o consente di adottare, nella pratica esecutiva delle costruzioni in calcestruzzo armato, la prova su pi` u agevoli provini cubici e di derivare poi dai risultati la resistenza prismatica richiesta dai calcoli del progetto strutturale. 7.2.1 Classi di resistenza Come meglio precisato nel seguito tra i parametri di resistenza vi sono delle correlazioni che consentono di individuare la classe di un calcestruzzo associandola ad un’unica grandezza, quella corrispondente al parametro guida. Il parametro guida `e scelto nella resistenza a compressione, quella che deriva dalla prova pi` u elementare e diretta sul materiale. L’estensione della gamma delle possibili classi codificate dipende dalle capacit`a tecnologiche della produzione: dal basso si parte con la classe meno resistente compatibile con l’impiego strutturale del calcestruzzo; verso l’alto il limite `e imposto dal livello raggiunto dalla produzione industriale del calcestruzzo stesso. La discretizzazione introdotta nell’individuare un numero finito di classi entro i due limiti inferiore e superiore si basa sul passo minimo che abbia un effet-

46

tivo significato cantieristico in relazione alla precisione consentita dalle capacit`a di regolazione della produzione stessa. La resistenza minima per un impiego strutturale si pone intorno ai 20 MPa. Quella massima, ottenibile con le moderne tecnologie molto accurate, pu`o risultare anche alquanto superiore agli 80 MPa. Questo limite non contempla i calcestruzzi maturati in autoclave, la cui resistenza pu`o superare abbondantemente i 100 MPa, ma che rappresentano a tutti gli effetti un materiale diverso non trattato nel presente testo. Il passo minimo significativo si aggira attorno ai 5 MPa. Con queste premesse si pu`o codificare la seguente classifica di resistenze: Resistenze basse medio basse medie medio alte alte altissime superiori

fc (MPa) 20-24 28-33 38-43 48-53 58-63 68-73 78-83

Nel discorso che segue `e da tenere presente che ad ogni singolo intervento produttivo `e associata una rilevante variabilit`a aleatoria della resistenza. Grosso modo dunque i valori qui sopra indicati vanno intesi come quelli medi definiti pi` u avanti. Con questa precisazione la classificazione introdotta vede: • le classi di basse resistenze, raramente impiegate in elementi strutturali, se non per particolari opere non armate di tipo murario o di sottofondazione; • le classi di resistenze medio basse, impiegate in murature ed altre opere massicce anche armate; • le classi di medie resistenze, principalmente impiegate per tutti i comuni elementi (come pilastri, travi e solai) delle strutture in calcestruzzo armato gettate in opera; • le classi di resistenze medio alte, comunemente prodotte in stabilimento per elementi strutturali in calcestruzzo armato anche precompresso o in cantieri per opere particolarmente impegnate; • le classi di alte resistenze realizzate in stabilimento per elementi strutturali prevalentemente in precompresso attraverso processi industriali regolati da un rigoroso sistema di controllo della produzione; • le classi di altissime resistenze di impiego ancora non molto diffuso ottenute con procedimenti molto accurati e particolari tecniche basate sull’impiego nelle miscele del calcestruzzo di speciali aggiunte ed additivi; • infine le classi di superiori resistenze che allo stato attuale della tecnologia rappresentano il massimo livello ottenibile per il calcestruzzo, realizzato solo in esperienze di laboratorio o in alcuni interventi campione, ma non per effettive produzioni commerciali. 47

Figura 32: Provino di calcestruzzo per prova a trazione Le classi cos`ı definite individuano univocamente il prodotto attraverso le sue principali caratteristiche meccaniche: la resistenza a compressione, la resistenza a trazione ed il modulo elastico. Non individuano invece altre caratteristiche tecnologiche, come la lavorabilit`a della miscela fresca che, a parit`a di resistenza, pu`o essere migliorata per esempio con l’impiego di additivi fluidificanti, e come la dimensione massima degli inerti che `e legata agli spessori degli elementi da realizzare nonch´e alle spaziature delle barre d’armatura. 7.2.2 Resistenza a trazione Le prove di trazione si effettuano secondo diversi criteri. Il pi` u diffuso conduce alla resistenza diretta a trazione fct misurata instaurando un flusso puro di tensioni longitudinali in un provino teso tra le morse di una macchina universale. Vengono impiegati provini prismatici o cilindrici, previo incollaggio con resine epossidiche dei particolari metallici a snodo necessari per l’immorsamento alla macchina di prova (v. Fig. 32). La correlazione tra la resistenza a trazione e quella a compressione pu`o porsi sulla base della formula: 2 fct = 0.25fc3 7.2.3 Modulo elastico La prove per la valutazione del modulo elastico Ec del calcestruzzo si effettua su provini prismatici soggetti a compressione, misurando per un determinato carico la contrazione del tratto centrale del provino stesso. Il carico viene assunto pari allo 0.3-0.4 della prevista resistenza fc del materiale, mentre il rilevamento dell’accorciamento viene condotto tramite quattro estensimetri disposti sulle facce in modo da compensare, con la media delle letture, l’eventuale eccentricit`a del carico stesso. La correlazione tra il modulo elastico e la resistenza a compressione pu`o porsi sulla base della formula: 1 Ec = 9500fc3

48

Per i calcoli strutturali relativi all’analisi elastica degli elementi e delle sezioni in calcestruzzo armato va invece impiegato il modulo ridotto: Ecs = 0.85Ec che tiene conto degli assestamenti plastici iniziali del calcestruzzo. La determinazione del coefficiente di Poisson (di contrazione trasversale) richiede pi` u complessi procedimenti di prova. Si ottengono per il calcestruzzo valori compresi fra 0.16 e 0.20. 7.2.4 Valori medi e valori caratteristici Le prove, ripetute su diversi campioni dello “stesso materiale”, manifestano una dispersione dei risultati, dispersione molto sensibile se riferita all’intero ciclo cantieristico produttivo di una costruzione dalle fondamenta alla copertura. Se riferita alla continuativa produzione industrializzata di prefabbricati in stabilimento, posto che i procedimenti produttivi stessi siano sottoposti ad un efficiente sistema di controllo della qualit`a, la dispersione dei risultati pu`o essere notevolmente pi` u contenuta. Vaste indagini sono state condotte su cantieri e stabilimenti. Interpretando i dati, per esempio quelli relativi alla resistenza cubica Rc , con l’usuale procedimento statistico basato sul modello di Gauss, si sono calcolati i valori medi: Pn

1=1

Rcm =

Rci

n

e gli scarti quadratici sP

s=

n i=1 (Rci

− Rcm )2 n−1

ottenendo il valore caratteristico Rck = Rcm − ks da impiegarsi nelle verifiche di resistenza. Utilizzando, per una numerosit`a sufficientemente elevata di rilievi (n ≥ 30), il valore k=1.645 corrispondente alla probabilit`a del 5% di ottenere valore pi` u bassi, si `e rilevato uno scostamento ∆R = Rcm − Rck = ks abbastanza omogeneo attraverso tutti i cantieri e stabilimenti controllati, per il quale pu`o assumersi mediamente il valore ∆R = 9.6 MPa indipendentemente dalla classe di resistenza del calcestruzzo. Tale scostamento fisso penalizza di pi` u i calcestruzzi meno resistenti, come indicativamente riportato nelle seguente tabella (valori espressi in MPa): Rck ∆R/Rck Rcm /Rck

24 0.40 1.40

36 0.27 1.27

49

48 0.20 1.20

60 0.16 1.16

Se per esempio `e prescritta una resistenza cubica caratteristica pari a 30 MPa, il progettista della ricetta per la produzione del relativo calcestruzzo dovr`a riferirsi ad un valore medio Rcm = 30+9.6=40 MPa superiore di circa 1/3 rispetto a quello caratteristico richiesto. Una tale produzione potr`a garantire viceversa una resistenza caratteristica pari a circa lo 0.75 del valore medio stesso. In fase progettuale le previsioni, ai fini dei calcoli fatti secondo il metodo semiprobabilistico agli stati limite, vanno basate sul valore caratteristico fck della resistenza di riferimento. Per dedurre quindi le altre caratteristiche meccaniche necessarie ai calcoli stessi, il progettista, in base al tipo di produzione ordinaria o controllate del cantiere o stabilimento interessato, dovr`a stimare come sopra detto il valore medio di resistenza a compressione e su questo potr`a applicare le formule di correlazione riportate in precedenza. 7.3

Caratteristiche meccaniche delle armature

Le propriet`a del calcestruzzo armato, e cio`e del materiale composto da calcestruzzo con un’armatura di barre di acciaio conglobata nella sua massa, si scostano nettamente da quelle dell’ideale materiale isotropo, omogeneo e perfettamente elastico ipotizzato nella classica teoria del solido di de Saint-Vnant svolta in Scienza delle Costruzioni. L’omogeneit`a cade per la presenza di due materiali dalla caratteristiche notevolmente diverse, essendo l’acciaio molto pi` u rigido e resistente del calcestruzzo. L’isotropia cade in quanto l’efficacia delle barre di armatura dipende primariamente dalla loro giacitura. Anche l’elasticit`a va intesa secondo particolari criteri, pur entro i limiti di sollecitazioni modeste rispetto alla resistenza del materiale composto, a causa del comportamento dissimmetrico del calcestruzzo a compressione ed a trazione. Sul comportamento del calcestruzzo armato influiscono dunque le propriet`a dei due materiali che lo compongono, oltre che del legame di aderenza che li unisce. Influisce ancora la quantit`a e l’assetto delle armature rispetto alla configurazione dell’elemento complessivo. Queste armature hanno il principale scopo di sopperire alla limitata resistenza a trazione del calcestruzzo, ma portano anche altre importanti conseguenze come quella di temperare la sua fragilit`a a rottura. Un aspetto particolare del calcestruzzo armato `e la fessurazione. Si ammette infatti che, anche sotto le comuni situazioni di esercizio delle strutture, il calcestruzzo possa fessurarsi per superamento in alcune zone della sua resistenza a trazione. La presenza delle apposite armature garantisce comunque la sicurezza. Questo richiama dietro a s´e l’altro importante aspetto della durabilit`a che per il calcestruzzo armato non implica soltanto problemi chimici e tecnologici (per es. le verniciature protettive delle costruzioni in acciaio), ma anche e soprattutto problemi di puro calcolo strutturale, come quelli connessi alla valutazione dell’ampiezza di fessurazione ed alle relative verifiche a garanzia della adeguata protezione delle armature metalliche. La fessurazione conduce anche a modificare notevolmente i modelli di calcolo stessi. In diversi casi gli elementi in calcestruzzo armato non vengono pi` u intesi come solidi continui ed omogenei (tipo la trave allungata di de Saint-V´enant), ma come orditure complesse fatte di conci di calcestruzzo e di aste d’armatura, variamente composte negli schemi di funzionamento strutturale. 50

Nel calcestruzzo armato si impiegano, per le armature, i prodotti siderurgici costituiti da acciaio in barre o filo; le prime sono fornite in fasci di verghe diritte, solitamente di 12 m di lunghezza ed eventualmente piegati in due per facilitarne il trasporto; il secondo viene in genere fornito avvolto in rotoli per notevoli lunghezze. Le barre ed i fili prodotti per laminazione a caldo possono essere lasciati senza ulteriori lavorazioni; il loro acciaio a durezza naturale `e caratterizzato da diagrammi σ- del tipo di quello rappresentato in Fig. 33. Questi diagrammi, dedotti da prove a trazione su spezzoni di barra o filo, mostrano: • un comportamento elastico lineare fino al limite fy di snervamento; • modulo elastico Es con buona precisione pari, per tutti i tipi di acciaio, a 205000 MPa; • comportamento successivo perfettamente plastico con andamento orizzontale; • ripresa, dopo un notevole allungamento, della crescita tensionale al seguito dell’incrudimento del materiale; • raggiungimento della massima capacit`a resistente ft per notevoli valori dell’allungamento limite u ; • discesa della curva dopo il carico massimo al seguito del fenomeno della strizione del provino; • rottura notevolmente duttile ad un allungamento t ancora maggiore; • indici u , t di duttilit`a pi` u piccoli in genere per gli acciai di maggiore resistenza. Il comportamento a compressione risulta sostanzialmente simmetrico, a parte le fasi prossime alla rottura. La classificazione fatta con riferimento alle caratteristiche meccaniche dell’acciaio si basa sui seguenti parametri: • ft - tensione di rottura (o resistenza a trazione) • fy - tensione di snervamento • ft /fy - rapporto di sovraresistenza • u - allungamento limite (sotto carico massimo) quest’ultimo eventualmente sostituito dall’allungamento a rottura t di pi` u semplice sperimentazione. Con riferimento all’allungamento limite del materiale si distinguono tre classi di duttilit`a: bassa, media e alta. Le caratteristiche tecnologiche delle armature consistono sostanzialmente nel grado di aderenza consentito dalla finitura superficiale del prodotto, nella sua propriet`a di piegabilit`a e nella saldabilit`a del materiale stesso. Per l’aderenza si distinguono tre tipi di finitura: liscia (a bassa aderenza), indentata (con modesti rilievi) e nervata (ad aderenza migliorata). 51

Figura 33: Tipico diagramma tensione-deformazione dell’acciaio La piegabilit`a viene accertata con la prova di piegamento per garantire la lavorabilit`a del prodotto senza lesioni evidenti. La saldatura pu`o essere impiegata come mezzo di giunzione delle armature, senza pericolo di infragilimento del materiale o di decadimento delle sue propriet`a meccaniche, solo per acciai di comprovata saldabilit`a. I prodotti per le armature da calcestruzzo armato sono: • barra (in inglese bar) • filo (coil) • rete (fabric) • traliccio (fabric) Questi ultimi due sono ottenuti dal filo, per elettrosaldatura in stabilimento, e forniti in pannelli piani la rete elettrosaldata, in travetti reticolari il traliccio elettrosaldato. Dei tralicci, che utilizzano gli stessi acciai impiegati per le reti, non si danno ulteriori informazioni rimandando ai numerosi cataloghi per le forme e le dimensioni commerciali. I prodotti nazionali sono costituiti da quattro tipi di acciaio denominati: • FeB22k (B215) • FeB32k (B315) • FeB38k (B375) • FeB44k (B430) La tradizionale denominazione vede il simbolo “FeB” seguito dalla tensione snervamento in Kg/mm2 e dalla “k” che precisa trattarsi del valore caratteristico. Secondo i nuovi criteri europei tali denominazioni andrebbero sostituite da quelle pi` u sintetiche contenute tra parentesi, dove al simbolo B `e affiancato il valore caratteristico della tensione di snervamento espresso in MPa.

52

Figura 34: Confronti tra diversi tipi di acciaio Tutti questi acciai sono a durezza naturale (v. Fig. 34), di alta duttilit`a e piegabili. Non tutti per`o consentono l’uso della saldatura. Il prodotto in fili pu`o risultare di duttilit`a inferiore. In sede europea si `e normalizzato un unico tipo di acciaio (steel grade) definito nella apposita norma ENV 10080, prodotto nelle tre classi di duttilit`a (v. Fig. 34): • B500H • B500N • B500L Si tratta sempre di acciaio piegabile, perfettamente saldabile e ad aderenza migliorata. Le barre tonde lisce o nervate sono prodotte nei diametri pari da 6 a 30 mm. I fili lisci o nervati e le reti elettrosaldate corrispondenti sono prodotti nei diametri pari da 4 a 12, pi` u il 5 ed il 7 mm. 7.4

Ipotesi di base per i calcoli di resistenza

Nel formulare la trattazione sul comportamento di un elemento strutturale “a trave” realizzato in calcestruzzo armato, si assumono le seguenti ipotesi. Ci si riferisce ancora al tratto “corrente” della trave, fuori dalle zone terminali e da quelle interessate da eventuali carichi concentrati, con forze esterne di massa e di superficie di entit`a modesta rispetto al regime tensionale interno. In questo tratto il comportamento della sezione retta risulta sensibilmente indipendente dal particolare assetto dei carichi, e dipende soltanto dalla loro risultate sulla sezione stessa. 53

Figura 35: Andamento delle deformazioni sulla sezione retta di una trave in c.a. Come assunto nella trattazione del solido di de Saint-Venant, la prima ipotesi, accuratamente verificata nei riscontri sperimentali fino a situazioni prossime alla rottura, `e quella della planarit`a delle sezioni (di Bernoulli): sotto l’effetto delle sollecitazioni applicate le sezioni traslano e ruotano rimanendo piane. La dilatazione  ad una distanza y dall’asse, misurata normalmente all’asse neutro n − n di deformazione nulla, `e data dunque da (Fig. 35):  = 0 + θy con 0 dilatazione dello “asse di calcolo” assunto come riferimento e θ costante che rappresenta la curvatura della trave in corrispondenza della sezione considerata. La seconda ipotesi riguarda la perfetta aderenza tra calcestruzzo e acciaio d’armatura, aderenza sostanzialmente verificata fintanto che si rispettino le opportune regole progettuali nel disegno dei ferri. Per le armature longitudinali che attraversano la sezione di Fig. 35 questa ipotesi porta all’uguaglianza: s = c tra le dilatazioni (o contrazioni) dei due materiali nei loro punti di contatto. La terza ipotesi si riferisce espressamente ai calcoli di resistenza e porta a trascurare del tutto la modesta resistenza fct a trazione del calcestruzzo. Ci`o equivale a porre nel diagramma σ −  di questo materiale: Ect = 0 Ne consegue la cosiddetta parzializzazione della sezione (v. sempre Fig. 35), che si suppone fessurata nella zona tesa del calcestruzzo. Nei confronti dello sforzo agente, resta a resistere la sezione reagente, in generale ridotta rispetto all’intera sezione geometrica, e costituita da tutta l’area d’armatura tesa e compressa, pi` u la sola parte compressa del calcestruzzo. Nei calcoli di deformazione e di fessurazione questa ipotesi andr`a opportunamente sostituita. La quarta ipotesi si riferisce infine al comportamento dei materiali e viene espressa dagli opportuni modelli rappresentativi dei “legami costitutivi” σ−. Vanno distinti due settori applicativi: quello del calcolo elastico sotto carichi di modesto livello; quello del calcolo non lineare come per esempio agli stati limite di rottura. Nel calcolo elastico delle sezioni si ipotizzano appunto i legami elastici rappresentati dalla “legge di Hooke”: σc = Ec c 54

Figura 36: Diagrammi σ −  per il calcestruzzo σs = Es s

il primo dei quali, relativo al calcestruzzo, valido limitatamente al campo delle compressioni. A parit`a di contrazione c = s =  si ha: σs = Es  =

Es σc = mσc Ec

e cio`e, in fase elastica, l’acciaio “lavora” m volte di pi` u del calcestruzzo che lo attornia, con m pari al rapporto tra i moduli elastici dei due materiali. Nel calcolo non lineare delle sezioni vanno definiti gli opportuni “modelli analitici”, rappresentativi dei “reali” legami σ −  dei materiali, modelli atti ad essere elaborati nelle applicazioni numeriche. 7.4.1 Modelli σ −  per il calcestruzzo Sulla base delle osservazioni sperimentali sono stati definiti i tre diagrammi di Fig. 36, che rappresentano i modelli di pi` u diffuso impiego. Il primo `e il modello parabolarettangolo. Il secondo `e il modello triangolo-rettangolo. Il pi` u semplice, il terzo, `e rappresentato dal diagramma rettangolare (stress block ). Tutti e tre i modelli fissano la contrazioni ultima a rottura cu sul valore 0.35%, mediato fra quelli delle diverse classi di resistenza della produzione ordinaria. In vista dell’applicazione del metodo semiprobabilistico agli stati limite, la resistenza di calcolo indefinita `e assunta pari a 0.83Rck fc1 = 0.85fcd = 0.85 γc dove, a partire dal valore caratteristico della resistenza cubica sperimentalmente controllata, ci si riporta a quella prismatica con la gi`a citata formula di correlazione e da questa al valore di calcolo tramite il competente coefficiente γc ; si applica infine una forfetaria depurazione delle resistenze a termine. 7.4.2 Modelli σ −  per l’acciaio Per l’acciaio a durezza naturale il modello bilineare riproduce il comportamento perfettamente elastico-plastico con una buona precisione evidenziato dal materiale (v. 55

Figura 37: Diagrammi σ −  per il calcestruzzo Fig. 37). La resistenza di calcolo si deduce da quella caratteristica di snervamento attraverso il competente coefficiente di sicurezza: fsd =

fyk γs

e, mantenendo fissa la pendenza del tratto iniziale coerentemente col valore del modulo elastico, si ottiene il limite: yd =

fsd Es

della dilatazione di snervamento, variabile con la resistenza del materiale. La deformazione ultima a rottura nel campo delle compressioni non entra in gioco in quanto preceduta sempre da quella molto pi` u piccola del calcestruzzo che sta attorno all’armatura. Nel campo delle trazioni, dove si ammette la fessurazione del calcestruzzo, viene introdotto il limite di calcolo sd = 0.01 al quale corrisponde lo sgretolamento del calcestruzzo circostante. Questo particolare valore, del tutto convenzionale, non influisce comunque sensibilmente sulla resistenza ultima calcolata per la sezione. 7.4.3 Aderenza acciaio-calcestruzzo La solidariet`a tra acciaio e calcestruzzo negli elementi in calcestruzzo armato viene garantita con l’opportuno “ancoraggio” delle barre alle loro estremit`a, nonch´e dall’aderenza che si instaura lungo tutto il loro sviluppo e che assicura in ogni sezione la trasmissione di sforzi di scorrimento tra i due materiali. Si consideri in primo luogo l’elementare esempio di “sfilamento” di una barra di acciaio di sezione As da un blocco di calcestruzzo nel quale sia conglobata per un tratto l (v. Fig. 38). Alla forza R che tende a produrre lo sfilamento si oppongono le tensioni di aderenza distribuite sulla superficie di contatto. Dette tensioni variano lungo il tratto di ancoraggio secondo un certo andamento, ma ai fini qualitativi della presente trattazione 56

Figura 38: Schema dello sfilamento di una barra dal calcestruzzo si suppone che esse assumano un valore τb costante. Con questa ipotesi dunque l’equilibrio della barra `e dato da: R = σs As = τb ul con σs tensione sulla sua sezione esterna ed u perimetro aderente della stessa. La crisi del sistema potr`a verificarsi o per snervamento dell’acciaio o per sfilamento della barra medesima. Essendo tali eventualit`a ugualmente risolutive nei riguardi della crisi, si potr`a imporre che, per un appropriato dimensionamento della struttura, l’eventualit`a di uno sfilamento non si manifesti prima di quella dello snervamento: πφ2 = τbr πφl0 fy 4 avendo indicato con τbr il valore limite di rottura della tensione di aderenza. Si ricava pertanto: φfy l0 = 4τbr che rappresenta la lunghezza minima d’ancoraggio secondo il criterio sopra precisato. Per assicurare la completa collaborazione dell’armatura metallica in una certa sezione di calcestruzzo armato, prima di quella sezione il ferro deve essere ancorato nel calcestruzzo per un tratto pari almeno ad un certo multiplo del suo diametro. Tenendo conto dei diversi valori dei coefficienti di sicurezza, con γc /γs = 1.6/1.15 = 1.4 per un ferro tondo di superficie ad aderenza migliorata, con fy /τbr = 400/5 = 80 si ha: 80 × 1.4 l0 = = 30φ 4 Tali valori sono indicativamente validi per un corretto accoppiamento delle qualit`a dei due materiali, per cui ad una maggiore resistenza dell’acciaio va associata una migliore caratteristica di aderenza. Diversi opportuni accorgimenti vanno comunque adottati nel disegno dei ferri per assicurare l’aderenza. In primo luogo un’adeguata limitazione del diametro dei ferri per non ricorrere ad eccessive lunghezze di ancoraggio. Si deve poi, come anzidetto, garantire un coerente accoppiamento delle qualit`a dei materiali. Si deve ancora tenere conto del negativo effetto della fessurazione, che provoca distacchi e lesioni della superficie di contatto efficace, mirando ad ancorare ove possibile i ferri in 57

zona compressa. La vicinanza delle armature alla superficie esterna del calcestruzzo diminuisce anch’essa la resistenza dell’unione di aderenza, a causa della scarsa o nulla efficacia della crosta superficiale; le barre vanno quindi di norma ancorate alle estremit`a piegandole verso l’interno o con opportune sagome. Da notare infine come la “ripresa” dei ferri, e cio`e la loro giunzione per semplice sovrapposizione, implichi il passaggio del flusso di tensioni attraverso il calcestruzzo; si dovr`a quindi verificare accuratamente tale sollecitazione e prevedere l’opportuno sfalsamento delle diverse giunzioni, in modo da non concentrare il disturbo provocando l’eventuale eccessivo indebolimento della sezione interessata.

58

8 8.1

SFORZO ASSIALE CENTRATO Pilastri

I pilastri in calcestruzzo armato sono provvisti di due ordini di armature (v. Fig. 39): un’armatura longitudinale costituita da ferri posti agli spigoli ed eventualmente anche sui lati pi` u lunghi; un’armatura trasversale costituita da “staffe”, ovvero ferri di diametro minore sagomati in modo da racchiudere il fascio dei ferri longitudinali. Sotto azioni di compressione sostanzialmente centrate non sorgono nei pilastri tensioni di trazione. Si potrebbe pensare di non adottare alcuna armatura essendo il calcestruzzo atto a resistere bene alla compressione. La sua fragilit`a per`o richiede un correttivo. Se si escludono le opere massicce, per le quali una eventuale lesione fragile localizzata incide poco sulla resistenza complessiva, gli elementi in calcestruzzo vanno sempre avvolti in una specie di gabbia metallica superficiale. L’entit`a di tale gabbia metallica va rapportata alla massa di calcestruzzo da armare in modo da introdurre un sensibile apporto di resistenza a trazione. Ci`o porta a prescrizioni sulle armature minime del tipo As ≥ ρ0 Ac che impone un valore minimo ρ0 (per es. = 0.003) al rapporto geometrico di armatura longitudinale ρs = As /Ac ; oppure del tipo As ≥ ν0 Nad /fsd che impone l’evenutale maggiorazione dell’armatura stessa in base ad una quota minima ν0 del carico da riservare ad essa. Bisogna inoltre garantire una sufficiente diffusione delle armature stesse, imponendo un interasse massimo dei ferri (per es. ≤ 300 mm) e correlando la spaziature delle staffe al lato minore del pilastro (per es. s ≤ b). Per armature inferiori ai minimi sopra citati si ha la tipologia delle opere in calcestruzzo semplice (non armato o debolmente armato), come le murature e le altre strutture massicce, che vengono progettate con criteri appositi. Grandi percentuali d’armatura, superiori ad un limite ρ1 dell’ordine del 4%, rendono incerta l’effettiva collaborazione tra i due materiali per problemi di aderenza. Quando l’area dell’acciaio supera detto limite di incidenza, si entra nel campo di un diverso tipo di materiale composto. Si tratta cio`e di strutture miste, nelle quali l’aderenza tra acciaio e calcestruzzo va affidata ad appositi dispositivi connettori e non soltanto all’aderenza superficiale.

Figura 39: Armature tipiche di pilastri in c.a. 59

Figura 40: Modalit`a di rottura di un pilastro compresso In Fig. 40 `e indicata la modalit`a di rottura di un pilastro compresso, con formazione della tipica “clessidra” nel calcestruzzo e con sbandamento delle armature longitudinali per instabilit`a. Da ci`o si deduce un’altra importante funzione delle staffe: quella di limitare la lunghezza di libera inflessione dei ferri longitudinali, che altrimenti risulterebbero troppo “instabili” per offrire un significativo contributo alla resistenza. La spaziatura massima delle staffe va quindi rapportata al diametro dei ferri longitudinali con limitazioni del tipo s ≤ κ0 Φ che per esempio, con κ0 =12, (essendo i = Φ/4 il raggio di inerzia ed s0 = 0.5s la lunghezza di libera inflessione), impone implicitamente il limite λ=

s0 = 24 i

alla snellezza dei ferri stessi. Le staffe vanno sagomate e dimensionate in modo da garantire un efficace ritegno verso l’interno del pilastro funzionando a trazione. Posto che la forza deviatoria trasversale sia proporzionale a quella verticale che scende entro i ferri longitudinali (per es. un qualche percento), la sezione delle staffe va dunque correlata a quella dei ferri longitudinali stessi con limitazioni del tipo Φ1 ≥ Φ/n. La presenza di ferri longitudinali sui lati richiede infine l’aggiunta di appositi ferri di collegamento trasversali. Le due estremit`a del pilastro sono le zone pi` u critiche, sia per l’eventuale “disturbo” creato dalle riprese dei ferri (in genere al piede), sia perch´e l’eventuale componente flettente dello sforzo vi raggiunge i suoi massimi. E’ buona norma infittire le staffe in dette zone, per esempio dimezzandone il passo, cos`ı da potenziare il loro effetto di confinamento. L’armatura di elementi di sezione allungata, come setti o muri (v. Fig. 41), prevede l’inserimento di due orditure di ferri prossime alle superfici esterne. L’armatura “trasversale”, costituita dai ferri diritti orizzontali di diametro minore, 60

Figura 41: Armature tipiche nei setti in c.a. non offre il collegamento passante necessario per trattenere le barre verticali con sole trazioni. Per questo sarebbero necessari degli appositi ferri (come quello tratteggiato in figura), uno per ogni coppia di ferri verticali, spaziati in altezza secondo gli stessi criteri detti per le staffe. I ferri di collegamento possono essere omessi qualora lo strato di calcestruzzo che ricopre le barre sia in grado di trattenerle con trazioni trasversali σh opportunamente contenute in modo da non ridurre sensibilmente la resistenza del calcestruzzo stesso verso le compressioni verticali. Ci`o porta a limitazioni del diametro Φ delle barre in rapporto al copriferro c ≥ 2Φ in funzione del diametro della barra longitudinale e ci`o al fine di poter contare sulle piene capacit`a resistenti dei materiali senza bisogno dei ferri trasversali di contenimento. 8.1.1 Calcolo elastico e a rottura Data la sezione in calcestruzzo armato di Fig. 42 soggetta ad una forza N centrata di compressione, per la prima ipotesi dei calcoli di resistenza (par. 7.4) si ha che la sezione stessa trasla rimanendo piana, manifestando sotto carico una contrazione  costante. Per la seconda ipotesi, quella della perfetta aderenza tra i due materiali, deriva che anche l’acciaio subisce la stessa deformazione s = c = . La terza ipotesi della parzializzazione non entra in gioco trattandosi di sole tensioni di compressione: la sezione reagente in questo caso coincide con la sezione geometrica. Per un calcolo elastico le tensioni nei due materiali si ottengono di conseguenza attraverso la legge di Hooke: σc = Ec c = Ec  σs = Es s = Es  dove in particolare, per l’eguaglianza delle deformazioni, si ha: σs = mσc essendo m = Es /Ec il rapporto tra i moduli elastici dei due materiali. L’equilibrio alla traslazione della sezione si pone dunque con: σc Ac + σs As = N 61

Figura 42: Schema di calcolo di un pilastro in c.a. avendo indicato con Ac e As le aree del calcestruzzo e dell’acciaio rispettivamente interessate dalle tensioni σc e σs . Introducendo il soprascritto legame tra queste tensioni si ottiene infine: σc (Ac + mAs ) = σc Ai = N avendo posto Ai = Ac + mAs l’area ideale della sezione ragguagliata al calcestruzzo. Si ha cio`e che in fase elastica l’area metallica As va amplificata attraverso il “coefficiente di omogeneizzazione” m per ottenere un’area di calcestruzzo che abbia la stessa “portanza”. Chiamando con Es As = mρs ψs = Ec Ac il rapporto elastico di armatura, valutato pesando le aree dei due materiali con il rispettivo modulo elastico, si pu`o scrivere3 : Ai = Ac (1 + ψs ) 3

Si riportano di seguito i passaggi:     As mAs Es Ai = Ac + mAs = Ac 1 + m = Ac 1 + Ac Ac Es

Ricordando che m =

Es Ec

si ricava:   As Es Ai = Ac 1 + Ac Ec

Posto: ψs =

E s As = mρs E c Ac

si ricava infine: Ai = Ac (1 + ψs )

62

Figura 43: Legami costituitivi di calcestruzzo e acciaio per i pilastri dove `e evidenziato tra parentesi il fattore amplificativo dell’area di calcestruzzo. Il valore delle tensioni sotto assegnato sforzo N si deduce di conseguenza come: N σc = Ai σs = mσc Assumendo il valore caratteristico dell’azione, tali formule si impiegano dunque per le verifiche di esercizio del tipo σc < σ¯c (con σ¯c = 0.45fck per situazioni non transitorie di carico). Per un calcolo a rottura (allo stato limite ultimo) l’ipotesi elastica va sostituita dalle leggi costitutive σ −  dei due materiali (v. Fig. 43). Da notare, a completamento di quanto detto nel par. 7.4 circa i modelli di comportamento del calcestruzzo, come il limite cu a rottura venga raggiunto sotto contrazioni imposte. Se invece `e il carico ad aumetare, la rottura si innesca al valore c1 e si manifesta bruscamente con un cedimento non pi` u controllato del provino. Nelle sezioni inflesse di calcestruzzo la variabilit`a delle tensioni offre un certo “grado di iperstaticit`a” al sistema, per cui la fibre meno caricate offrono il controllo alle deformazioni di quelle maggiormente caricate. I bordi compressi delle travi possono quindi raggiungere il limite cu . Nelle sezioni di calcestruzzo compresse assialmente non si ha invece alcun “grado di iperstaticit`a”, essendo tutte le fibre egualmente caricate. Per questo motivo va assunto il limite c1 quale contrazione limite di rottura. Supposto per ora un incremento istantaneo di carico, al limite di rottura c1 del materiale pi` u fragile, l’equilibrio della sezione si pone dunque con l’equazione Nrd = fc1 Ac + σ ∗ As 63

dove va posto σ ∗ = fsd qualora risulti yd < c1 . Analogamente alla formula elastica questa equazione pu`o essere posta come !

Nrd = fc1

fsd As = fc1 Air Ac + fc1

dove l’area ideale ragguagliata al calcestruzzo vale Air = Ac +

fsd As = Ac (1 + ωs ) fc1

Il coefficiente di omogeneizzazione dell’area metallica `e dato questa volta dal rapporto delle due tensioni resistenti, mentre il coefficiente adimensionale ωs =

fsd As fc1 Ac

dove le aree dei due materiali sono pesate con le rispettive resistenze, `e detto rapporto meccanico di armatura. Esso indica l’apporto relativo dell’armatura metallica nei riguardi della resistenza. Questo rapporto va da ωs = 0.003

215/1.15 = 0.03 0.85 × 0.83 × 40/1.6

per sezioni armate con il minimo di armatura (As = 0.003Ac ), acciaio di bassa resistenza (fs = 215MPa) e calcestruzzo di alta resistenza (fc1 = 40MPa) a ωs = 0.04

500/1.15 =2 0.85 × 0.83 × 20/1.6

per sezioni armate con il massimo di armatura (As = 0.04Ac ), acciaio di alta resistenza (fs = 500MPa) e calcestruzzo di bassa resistenza (fc1 = 20MPa). Si nota come si possa passare da elementi debolmente armati con apporto dell’armatura praticamente trascurabile fino a situazioni, invero non frequenti, di prevalente apporto dell’armatura stessa. Nelle comuni situazioni la presenza dell’armatura pu`o incrementare la portata dei pilastri indicativamente del 20-30%, tale essendo mediamente la percentuale meccanica d’armatura. Da notare infine che diverse normative (come quella italiana) penalizzano ancora la resistenza per sforzo assiale del calcestruzzo ponendola pari a 0.8fc1 . In tal caso la formula qui dedotta diventa Nrd = fc1 Ac (0.8 + ωs ) 8.1.2 Effetto delle cerchiature La gabbia periferica costituita da staffe e ferri longitudinali offre un certo confinamento del calcestruzzo all’interno del pilastro, contrastandone la dilatazione trasversale sotto carico ed aumentandone la resistenza. L’effetto nei comuni pilastri “staffati” `e di modesta entit`a a causa della scarsa fittezza della maglia dell’armatura metallica. Come mostrato indicativamente in Fig. 44, la bassa rigidezza flessionale 64

Figura 44: Effetto del confinamento in pilastri ordinari dei tratti rettilinei dei ferri lascia concentrare le azioni di confinamento sulle piegature delle staffe; queste azioni si diffondono cos`ı su di una limitata porzione interna di calcestruzzo. Per sfruttare sistematicamente l’effetto sopra descritto si adottano opportune armature “cerchianti”, nettamente pi` u fitte che nei pilastri staffati. I pilastri cerchiati circolari dunque dispongono di un fascio di ferri longitudinali (almeno 6), fittamente distribuiti su di un tracciato periferico circolare e racchiusi da un ferro a spirale (o da staffe circolari). Il passo stesso della spirale va opportunamente contenuto rispetto al diametro, per esempio con s ≤ D/5. Cos`ı facendo si ottiene un efficace contenimento delle dilatazioni trasversali in tutto il nucleo cilindrico di calcestruzzo delimitato dalla cerchiatura (v. Fig. 45). In fase elastica l’effetto della cerchiatura sulla distribuzione delle tensioni `e assai limitato, mentre la resistenza a rottura viene invece sensibilmente incrementata dalla cerchiatura. Introducendo anche per il pilastro cerchiato la stessa penalizzazione della resistenza riservata al calcestruzzo dei pilastri staffati, si ha finalmente la formula cautelativa della resistenza: Nrd = fc1 An (0.8 + ω1 + 1.6ωw ) fsd A1 ω1 = fc1 An fsd Aw ωw = fc1 An dove An = πD2 /4 `e l’area del nucleo di calcestruzzo, A1 `e l’area dell’armatura longitudinale e Aw = aw πD/s `e l’area equivalente dell’armatura a spirale (di sezione aw ).

Figura 45: Pilastri cerchiati 65

8.2

Elementi tesi

Con la trattazione sui tiranti in calcestruzzo armato si introduce il fondamentale tema della fessurazione. La problematica `e assai ampia, coinvolgendo aspetti statici, chimici e tecnologici, e non si pu`o dire che allo stato attuale si siano raggiunti buoni livelli di precisione nei relativi calcoli applicativi. Criteri e metodi restano ancora suscettibili di notevoli affinamenti. Al seguito delle analisi del fenomeno fessurativo si inserisce il tema della precompressione, visto come accorgimento per mantenere la fessurazione stessa entro gli opportuni limiti di servizio. Da un lato quindi la possibilit`a di soddisfare, anche per gli elementi eminentemente tesi, precisi requisiti funzionali; dall’altro lato la possibilit`a di pieno utilizzo delle risorse degli acciai ad elevata resistenza, come meglio si preciser`a nel seguito. Dando per scontata all’origine la sicurezza nei riguardi della rovina, la fessurazione ha comunque tre ordini di conseguenze: • la perdita dell’impermeabilit`a, in genere non rilevante, in lacuni casi legata ai requisiti funzionali (come la tenuta dei serbatoi), in altri gravemente pregiudizievole nei riguardi della durabilit`a (come per i fenomeni di gelivit`a che progressivamente possono disgregare il calcestruzzo se esposto in climi freddi); • il decadimento estetico connesso alla eventuale evidenza dello stato fessurativo ed il senso di apparente precariet`a statica che lo rendono inaccettabile all’utenza; • la lesione della protezione contro la corrosione delle armature, protezione offerta dall’opportuno ricoprimento di calcestruzzo, con precaria durabilit`a della resistenza stessa. 8.2.1 Verifiche della sezione Se si assume che il calcestruzzo resista a trazione, deformandosi elasticamente con un modulo Ect , il calcolo delle tensioni nella sezione di un tirante in c.a. soggetto ad un’azione assiale N > 0 di trazione porta alle stesse formule dedotte per il pilastro. Con le solite ipotesi riferite alla sezione interamente reagente, l’equilibrio porta a σc =

N Ac + mt As

σs = mt σc

dove mt = Es /Ect `e il coefficiente di omogeneizzazione dell’area di armatura. Tali formule vengono impiegate per le verifiche di esercizio che non riguardino la resistenza ultima della struttura. In particolare con esse, ponendo σc = fctk , si definisce il limite di formazione delle fessure, secondo quanto pi` u avanti specificato. Nei riguardi della rovina invece la resistenza a trazione del calcestruzzo non risulta sufficientemente affidabile. Alcuni fenomeni, comunemente trascurati nei normali calcoli di resistenza, possono infatti concorrere ad una precoce fessurazione, in misura spesso difficilmente quantificabile.

66

8.2.2 Effetto del ritiro Trazioni sorgono nel calcestruzzo, ancor prima che la struttura venga sottoposta ai carichi di servizio, a causa del ritiro. Per la sezione di un elemento in c.a. tale effetto pu`o essere valutata imponendo l’equilibrio e la congruenza per un valore cs del ritiro riferito al solo calcestruzzo: As σs + Ac σc = 0 σs σc = + cs Es Ect Le due equazioni precedenti sono ottenute immaginando di avere un elemento di calcestruzzo armato vincolato alle estremit`a in modo che non gli sia impedito di accorciarsi. La prima equazioni esprime il fatto che non vi sono carichi esterni applicati (il secondo membro `e uguale a zero). La seconda equazione esprime la congruenza tra la deformazione dell’acciaio (primo membro) e quella del calcestruzzo (secondo membro). Quest’ultima ottenuta sommando alla deformazione incognita del calcestruzzo quella nota dovuta al ritiro, che si applica al solo calcestruzzo. Dalla prima equazione si ottiene σs = −

σc ρs

che, sostituita nella seconda, porta a4 : σc = −

mt ρs Ect cs 1 + mt ρ s

Per avere una idea delle tensioni in gioco, si calcola l’espressione precedente per ct = −0.0004 (secondo quanto detto al par. 7.1), Ect = Ec = 25000 MPa, ρs = 0.008, mt = 6. Si ottiene σc = 0.46 MPa e σs = 57.2 MPa. 8.2.3 La fessurazione del tirante in c.a. Per analizzare la genesi del fenomeno fessurativo si consideri l’elemento di Fig. 46, realizzato in calcestruzzo con una ideale barra di armatura di diametro Φ conglobata nel getto in posizione baricentrica. L’elemento sia inizialmente privo di qualsiasi lesione e si inizi a sollecitarlo con una forza N di trazione, di modesta entit`a, applicata agli estremi della barra metallica. 4

Si riportano di seguito i passaggi. La seconda equazione diventa: σc σc = + cs ρs Es Ect   1 1 σc + = −cs Ect ρs Es −

σc σc = −

ρs Es + Ect = −cs Ect ρs Es

Ect ρs Es mt ρs Ect cs = − cs ρs Es + Ect 1 + mt ρs

avendo diviso numeratore e denominatore per Ect ed avendo posto mt = Es /Ect

67

Superati i tratti estremi di lunghezza λ necessari per la diffusione dello sforzo dall’acciaio all’intera sezione, si instaura in tutto il tratto interno dell’elemento uno stato di tensione calcolabile con le formule precedentemente ottenute: σc =

N Ac + mt As

σs = mt σc

Finch´e la tensione σc nel calcestruzzo rimane inferiore alla sua resistenza a trazione, tale stato di tensione resta qualitativamente invariato, come indicano i diagrammi “a” di Fig. 46, dove in particolare si evidenzia come la tensione τb di aderenza si attivi nei tratti di incompleta diffusione delle tensioni. Si pensi ora di aumentare la forza N fino a raggiungere valori di σc molto prossimi a quelli di rottura. A tal punto, nel tratto interno dell’elemento in cui si ha completa distribuzione delle tensioni su tutta la sezione, pu`o manifestarsi una prima fessura situata dove, per la variabilit`a dei parametri caratteristici della resistenza, si ha casualmente una sezione pi` u debole delle altre. Si instaura pertanto un nuovo stato di tensione, come descritto dai diagrammi “b” di Fig. 46, con tensioni che variano da σs0 = N/As in corrispondenza della fessura al valore σs dei tratti a completa diffusione dello sforzo e con delle tensioni nel calcestruzzo che variano parallelamente da 0 a σc . Aumentando lo sforzo N fino a raggiungere i valori di rottura della tensione di trazione nel calcestruzzo, la fessurazione si estende a tutto il tirante. La minima distanza dalle primitiva fessura di una possibile successiva `e quel parametro λ che caratterizza la lunghezza necessaria per il completo diffondersi delle tensioni nella sezione, perch´e solo oltre a tale lunghezza la tensione σc pu`o assumere il suo valore massimo. Nei diagrammi “c” di Fig. 46 `e qualitativamente rappresentato il fenomeno, con evidenziati i limiti inferiore e superiore entro cui pu`o variare in modo casuale l’effettiva distanza tra le fessure. Ulteriori incrementi di N oltre il valore di formazione delle fessure provocano una progressiva apertura delle fessure gi`a presenti. Qualche nuova fessura pu`o ancora formarsi in mezzeria dei conci pi` u lunghi; poi la configurazione si stabilizza con aperture sempre maggiori finch´e, per elevati valori dell’allungamento dell’acciaio, il legame stesso di aderenza entra in crisi. La schematizzazione precedente pu`o essere anche utilizzata per stimare la spaziatura caratteristica tra le lesioni, individuata dal parametro λ. Con riferimento alla Fig. 46a si pu`o scrivere l’equilibrio della trave nel tratto compreso tra l’estremit`a sinistra, in cui la tensione nell’acciaio `e σs0 = N As ed il punto in cui, sviluppatosi completamente il legame di aderenza, la tensione nella barra cala al valore σs = mt σc . In questa seconda sezione la tensione nel calcestruzzo vale σc = N/Ai . La lunghezza massima di λ si verifica quando la tensione nel calcestruzzo raggiunge il limite di resistenza a trazione, ossia σc = fct . Quindi per l’equilibrio: σs0 As = σs As + fct Ac Il calo di tensione nella barra viene assorbito come trasferimento di sforzi per aderenza al calcestruzzo che avvolge la barra stessa. Se per semplicit`a si ipotizza un diagramma di aderenza costante con tensione di aderenza pari a τb si pu`o scrivere: (σs0 − σs )As = πΦλτb 68

Figura 46: Genesi della fessurazione nel tirante in c.a. Ricordando che ρs = As /Ac e ricavando dalla prima espressione (σs0 − σs )As si pu`o scrivere: As fct Φ2 fct = π = πΦλτb ρs ρs 4 Tenendo conto che la tensione limite di aderenza `e proporzionale alla resistenza a

69

Figura 47: Spessori minimi dei getti in c.a. trazione del calcestruzzo attraverso il parametro βb = τb /fct in definitiva si ricava: Φ 4ρs βb

λ=

La distanza tra le fessure contigue dunque risulta tanto maggiore quanto pi` u grande `e il diametro della barra e quanto pi` u piccola `e la percentuale di armatura. Anche la caratteristica βb di aderenza influisce sulla distanza λ, che `e minore per le barre ad aderenza migliorata rispetto al tondo liscio. 8.3

Richiami di tecnologia del c.a.

Nel seguito vengono riportate diverse prescrizioni costruttive per il corretto progetto delle opere in calcestruzzo armato. Si tratta non di regole esatte e tassative; la loro generale osservanza `e per`o necessaria per garantire che i modelli ipotizzati nei calcoli possano di fatto verificarsi nel comportamento della reale costruzione. Un primo aspetto riguarda gli spessori minimi da assegnare agli elementi per garantire una sufficiente omogeneit`a del getto, anche in rapporto alla rilevanza della funzione statica della parte considerata. Detti spessori minimi vanno direttamente correlati alla dimensione massima da dell’inerte impiegato che pu`o variare per le comuni opere da 12 fino a 25 mm. Con il criterio di garantire una buona distribuzione dei granuli fino alla dimensione 0.8 da prossima a quella massima dell’aggregato, si possono indicare i seguenti valori. • elementi strutturali armati sulle due facce (Fig.47a): t ≥ 0.8 × 5da = 4da (50 - 100 mm) • solette e nervature armate su di un unico livello (Fig.47b): t ≥ 0.8 × 3da = 2, 4da (30 - 60 mm) • solette collaboranti poste su blocchi permanenti (Fig.47c): t ≥ 0.8 × 2da = 1, 6da (20 - 40 mm) Per gli elementi in calcestruzzo semplice (non armato) lo spessore minimo `e bene che sia tenuto in t ≥ 5da . 70

Figura 48: Copriferri ed interferri minimi nei getti in c.a. Il posizionamento dei ferri nella sezione deve rispettare minimi di interferro e copriferro. Ci`o sia per consentire il passaggio degli inerti, sia per un buon conglobamento nel getto ai fini dell’aderenza, sia per garantire la protezione delle armature stesse contro la corrosione. In quanto segue per copriferro c e per interferro orizzontale ih e verticale iv si intendono le misure all’asse della barra (Fig. 48); con ricoprimento c0 = c − Φ/2 e con spaziatura i0 = i − Φ si intendono i corrispondenti spessori netti di calcestruzzo. Con il solito criterio di garantire il passaggio degli inerti a tutto o quasi tutto l’aggregato si possono indicare le seguenti misure minime: orizzontale i0h Spaziatura minima barre lente (Fig. 48a ) 1da cavi pretesi (Fig. 48b ) 1, 2da Ricoprimento minimo c00 staffe ripartitori (Fig. 48a ) 0, 8da armatura lenta (Fig. 48a ) armatura pretesa (Fig. 48b )

verticale i0v 0.8da 1da c0

1da 1da

Con il criterio del buon conglobamento dei ferri, per assicurare loro una adeguata aderenza grazie ad un consistente strato di calcestruzzo circostante, si possono indicare le seguenti misure minime: Valori minimi spaziatura i0 armatura lenta (Fig. 48a ) 1Φ armatura pretesa (Fig. 48b ) 2Φ

71

ricoprimento c0 1Φ 1, 5Φ

Figura 49: Schema di funzionamento della sovrapposizione delle barre nei getti in c.a. Pu`o aggiungersi un’ulteriore pi` u gravosa necessit`a di ricoprimento quando, a causa delle condizioni d’uso dell’edificio, sia richiesta una particolare resistenza all’incendio delle strutture. Da tenere presente, altres`ı, che copriferri eccessivi creano problemi nel riguardo del contenimento della fessurazione. Per valori superiori al limite indicativo c0 = 40 mm richiesta in genere l’aggiunta di armatura di pelle, non considerata ai fini della resistenza, posta a protezione periferica per il normale esercizio delle strutture. Un aspetto molto importante `e quello connesso con l’ancoraggio terminale delle barre. Per garantire la collaborazione dell’armatura metallica in una certa sezione bisogna che, oltre quella sezione, l’armatura sia prolungata di un tratto pari alla necessaria lunghezza di ancoraggio. Secondo il criterio forfetizato che garantisce ovunque la piena utilizzabilit`a delle risorse di resistenza dell’accciaio, tale lunghezza si ottiene da: Φfsd lb = 4fbd con fbd = βb fctd e βb = 2, 25 per barre nervate, βb = 1 per tondo liscio. Ferri interrotti in zona tesa e posti in prossimit`a della superficie esterna del getto, con lo strato di ricoprimento praticamente inefficace ai fini dell’aderenza, richiederebbero una lunghezza doppia di ancoraggio. Essi vanno evitati, a meno di dotarli di un adeguato confinamento per mezzo di una fitta staffatura trasversale. Aspetti molto simili presenta il problema della giunzione dei ferri. Escludendo tecniche particolari non molto diffuse, come la saldatura (consentita negli acciai espressamente indicati come saldabili) o l’impiego di manicotti (filettati o cerchiati), la giunzione delle armature si ottiene con una semplice ripresa per sovrapposizione delle barre stesse, estesa in modo da assicurare l’ancoraggio di ciascuna di esse. Oltre a riproporre il calcolo della lunghezza lb d’ancoraggio qui sopra ricordato, questa giunzione richiede la trasmigrazione degli sforzi da una barra all’altra attraverso il calcestruzzo circostante. La distanza delle barre da riprendere influisce dunque sulla sovrapposizione, secondo quanto indicato in Fig. 49a, mentre in Fig. 49b viene ricordato come un buon confinamento trasversale, con un’area totale di 72

Figura 50: Sovrapposizione delle barre nei pilastri staffe At pari a quella Al dell’armatura da giuntare, migliori notevolmente il comportamento della giunzione, facendo funzionare a compressione il calcestruzzo nel traliccio resistente. Un ultimo aspetto a cui si vuole fare cenno in queste pagine riguarda il tracciato delle armature. Nel c.a. le barre metalliche sono chiamate a sopportare sollecitazioni assiali principalmente di trazione. La loro limitata rigidezza flessionale, piccola rispetto a quella dell’elemento composto, fa s`ı che ogni deviazione dei ferri dal tracciato rettilineo concentri delle azioni trasversali sul calcestruzzo in corrispondenza delle piegature. Il caso di elementi compressi desta minori preoccupazioni in quanto l’integrit`a del calcestruzzo consente il controllo delle azioni deviatorie. Di dovr`a, come gi`a detto, limitare la snellezza delle barre compresse con appositi ferri trasversali (come le staffe nei pilastri) per contenere la tendenza allo sbandamento instabile verso l’esterno, con possibile distacco della crosta superficiale di calcestruzzo. La Fig. 50 mostra il caso di nodi di raccordo di tratti sovrapposti di pilastro con diverse dimensioni. Posto che si abbiano sezioni sempre interamente compresse, se l’angolo di piegatura risulta piccolo, `e possibile deviare i ferri longitudinali provenienti dal tratto inferiore per inserirli entro la sagoma ridotta del tratto superiore, consentendo delle modeste azioni trasversali, contenute entro lo spessore dell’impalcato. Scostamenti dimensionali maggiori richiedono invece l’interruzione dell’armatura inferiore e la ripresa di quella superiore con appositi richiami pi` u interni. Per le armature tese il problema `e pi` u delicato in quanto riguarda zone di calcestruzzo per lo pi` u fessurato, non in grado di contenere le azioni trasversali 73

Figura 51: Effetti locali sul calcestruzzo deviatorie. In Fig. 51 sono descritte per esempio due tipiche situazioni. La prima si riferisce ad una trave inflessa configurata “a ginocchio”: nella non corretta soluzione tracciata sopra `e indicata l’azione trasversale dell’armatura tesa che provoca la rottura del fondo; sotto invece le armature sono correttamente sagomate, con prolungamenti rettilinei fino in zona compressa e ancoraggi separati senza azioni deviatorie trasversali.

74

9

MOMENTO FLETTENTE

In una trave inflessa, come quella in c.a. schematizzata in Fig. 52a, si ha che le sezioni reagiscono al momento flettente prodotto dai carichi esterni con una distribuzione di tensioni normali σ parte di trazione e parte di compressione. Non si considera per ora la contemporanea presenza di sollecitazioni taglianti, che verranno diffusamente trattate in un Capitolo successivo. Per una delle ipotesi del calcolo del c.a., quella che assume nulla la resistenza a trazione del calcestruzzo, avviene che la sezione della trave si parzializza restando come parte reagente, ai fini dei calcoli di resistenza, una zona di calcestruzzo compressa pi` u tutta l’armatura metallica tesa e compressa. L’armatura dunque sar`a principalmente disposta al lembo teso della trave per costituire il suo corrente teso, collaborante con il corrente compresso fornito dal calcestruzzo. La parte tesa del calcestruzzo non partecipa a questa resistenza; sta solo a garantire il collegamento tra i due correnti, come pi` u avanti verr`a meglio precisato.

Figura 52: Trave in c.a. soggetta a flessione pura Il comportamento effettivo delle sezioni inflesse in c.a. secondo il livello di sollecitazione (v. Fig. 52b):

vede pi` u stadi

• stadio I dei bassi livelli di sollecitazione con comportamento ancora elastico di entrambi i materiali e distribuzione lineare “a farfalla” delle tensioni nel calcestruzzo su sezione interamente reagente; • stadio IA con tensioni al lembo teso del calcestruzzo prossime alla sua resistenza a trazione, comportamento ancora lineare elastico della parte compressa, non lineare di quella tesa; • stadio II dove, raggiunta la resistenza a trazione del calcestruzzo, si innesca la fessurazione, che si estende istantaneamente fino ad una quota prossima 75

Figura 53: Tensione normale nel calcestruzzo all’asse neutro, riversando l’intero sforzo di trazione nell’armatura metallica; il calcestruzzo compresso e l’armatura stessa possono ancora trovarsi nell’ambito di un comportamento pressoch´e elastico lineare; • stadio III con sole sollecitazioni prossime alla resistenza flessionale ultima della sezione dove il comportamento esce decisamente dall’ambito elastico lineare. Gli stadi I e II sono contemplati nelle verifiche di esercizio, lo stadio III per la verifica della resistenza. Da notare che l’asse neutro, baricentrico rispetto alla sezione reagente nella flessione semplice, si sposta col variare del livello di sollecitazione. Si deve dunque distinguere tra asse di calcolo della trave, e cio`e quello assunto nell’analisi del telaio per la definizione dei diagrammi degli sforzi e coincidente in genere con il baricentro della sezione geometrica del solo calcestruzzo, ed i baricentri delle sezioni reagenti che variano, anche per travi a sezione di forma costante, con il livello e con il tipo di sollecitazione, oltre che per eventuali cambiamenti di armatura. In quanto segue si applicheranno le gi`a citate ipotesi di planarit`a e di congruenza delle deformazioni. Per i calcoli elastici si aggiunger`a la legge di Hooke, affiancata o meno dall’ipotesi della parzializzazione. Attraverso le opportune condizioni di equilibrio della sezione si dedurranno quindi le formule di verifica delle tensioni prodotte dal momento flettente, dove in particolare il principale parametro del comportamento strutturale resta il momento d’inerzia baricentrico della sezione reagente. Nel calcolo a rottura, ferme restando le tre ipotesi di planarit`a, congruenza e parzializzazione, quella di elasticit`a basata sulla legge di Hooke va sostituita da un pi` u completo modello di comportamento σ −  dei materiali, modello esteso fino ai valori ultimi delle deformazioni corrispondenti ai limiti di rottura. Per il calcestruzzo sono stati introdotti al punto 7.4.1 i tre modelli “parabola-rettangolo”, “triangolo-rettangolo” e “stress block”. Posta la linearit`a delle contrazioni nel calcestruzzo, che per la sezione inflessa variano da 0 sull’asse neutro al massimo c sul bordo estremo, la distribuzione delle tensioni su detta parte riprodurr`a il modello costitutivo stesso, in tutto o in parte a seconda che la massima contrazione c abbia o no raggiunto il limite ultimo cu (Fig. 53)

76

Nei calcoli di resistenza dunque si tratter`a di valutare la risultante delle compressioni nel calcestruzzo: Z x C= σbdy 0

ed il suo contributo in termini di momento flettente: Mc =

Z x

yσbdy

0

con σ = σ() fornita dal modello costitutivo ed  = yc /x espressa sulla base della linearit`a delle deformazioni. Per sezioni rettangolari, con b = cost., queste formule si traducono semplicemente nella valutazione dell’area coperta dal diagramma delle tensioni e nella individuazione del suo baricentro. Se per esempio si `e raggiunta la c = cu ultima di rottura, i tre modelli proposti per la legge costitutiva del calcestruzzo, attraverso elementari calcoli di geometria, portano ad una risultante delle compressioni: C = β0 bxfcd posta ad una distanza κ0 x dal bordo compresso della sezione (Fig. 54), con β0 = 0.8 e κ0 = 0.4. Il coefficiente β0 rappresenta il rapporto tra l’area coperta dall’effettivo diagramma e quella del rettangolo circoscritto: il coefficiente κ0 definisce la posizione del baricentro in rapporto all’estensione x del diagramma stesso5 . Per una contrazione massima c del calcestruzzo minore del valore ultimo cu (Fig. 55), detti coefficienti vengono bene approssimati dalle espressioni: β = β(c ) = (1.6 − 0.8c )c κ = κ(c ) = 0.33 + 0.07c che “raccordano” il comportamento da c = c /cu = 1 (con β = β0 ∼ = 0.8 e κ = κ0 ∼ = 0.4) fino a c → 0 (con β → 0 e κ → 1/3). 5

Per determinare i coefficienti β0 e κ0 si faccia riferimento allo schema di sinistra di Fig. 54. La fibra in cui ha termine la parabola ed inizia il rettangolo si trova ad una distanza dall’asse neutro pari a: y1 = 0.002/0.0035 x = 0.57x Ricordando che l’area sotto una parabola di base fc1 ed altezza y1 vale 2/3fc1 y1 si ricava la risultante delle tensioni nel calcestruzzo in corrispondenza del diagramma parabolico (C1 ) e del diagramma rettangolare (C2 ) nonch´e la risultante complessiva (C = C1 + C2 ): C1 = 2/3bfc1 y1 = 0.38bxfc1 C2 = bfc1 (x − y1 ) = 0.43bxfc1 C = 0.81bxfc1 = β0 bxfc1 Per determinare la distanza κ0 x del punto di applicazione di C dal lembo superiore della sezione bisogna ricordare che il baricentro della parabola `e situato ad una distanza 7/12 y1 dall’asse neutro e quindi si pu` o scrivere che il momento rispetto all’asse neutro dovuto alla risultante C eguaglia la somma dei momenti rispetto allo stesso asse dovuti a C1 e C2 :   x − y1 C(1 − κ0 )x = C1 7/12y1 + C2 y1 + 2 C(1 − κ0 )x = 0.33xC1 + 0.78xC2 Sostituendo le espressioni prima ricavate per C1 , C2 e C si ricava facilmente κ0 =0.42

77

Figura 54: Esempi di calcolo della risultante delle compressioni nel calcestruzzo 9.1

Calcolo elastico

Per un calcolo elastico su sezione interamente reagente, corrispondente al comportamento proprio dello stadio I, vale quanto dedotto in Scienza delle costruzioni per la trave di de Saint-Venant: basta omogeneizzare le aree d’armatura con il coefficiente m = Es /Ec ed utilizzare la conseguente caratteristica Ii ideale della sezione. Con riferimento alla sezione a doppia armatura descritta in Fig. 56 si ha dunque: M yc Ii M 0 y σc0 = Ii c M σs = m ys Ii M σs0 = −m ys0 Ii σc = −

Il momento di inerzia Ii si ottiene dalle formule di geometria delle masse: 

h2 h Ii = hb  + yc − 12 2 yc =

Si0 Ai

!2 

yc0 = h − yc

 + mAs y 2 s

+ mA0s ys02

ys = yc0 − c ys0 = yc − c0

Figura 55: Schema per il calcolo della risultante delle compressioni nel calcestruzzo 78

Figura 56: Sezione inflessa interamente reagente h2 b + mAs (h − c) + mA0s c0 2 Ai = hb + mAs + mA0s

Si0 =

avendo calcolato il momento statico Si0 rispetto al lembo superiore della sezione. In quanto sopra si sono utilizzate le classiche ipotesi di Bernoulli e di elasticit`a, oltre a quella di congruenza tra le deformazioni dei due materiali. Per un comportamento elastico in fase fessurata proprio dello stadio II, l’analisi della sezione a semplice armatura di Fig. 57 parte dalle solite ipotesi del calcolo del c.a.: • l’ipotesi di Bernoulli conduce al diagramma lineare delle dilatazioni , dove in particolare la posizione x dell’asse neutro andr`a definita attraverso una prima condizione di equilibrio della sezione; • l’ipotesi di congruenza porta ad individuare entro lo stesso diagramma la dilatazione s dell’armatura; • l’ipotesi di parzializzazione porta a definire come reagente la sola parte compressa del calcestruzzo (quella tratteggiata in figura) pi` u la sezione As dell’armatura metallica; • finalmente l’ipotesi di elasticit`a consente il passaggio al diagramma delle tensioni σ, ancora lineare, dove in particolare si `e indicata con σc = Ec c la tensione di compressione al lembo superiore del calcestruzzo, con σs = Es s la tensione di trazione dell’armatura Sotto l’asse neutro n − n il calcestruzzo non lavora; il segmento tratteggiato rettilineo, tracciato in Fig. 57 in prosecuzione del diagramma delle tensioni σ della zona compressa del calcestruzzo, serve ad intercettare alla quota dell’armatura l’ordinata σs /m con m = Es /Ec pari al solito coefficiente di omogeneizzazione. Indicando con C la risultante delle compressioni e con Z la risultante delle trazioni, assunte entrambe positive, l’equilibrio alla traslazione della sezione si scrive come: Z −C =0

79

Figura 57: Sezione inflessa parzializzata a semplice armatura Per la sezione rettangolare a semplice armatura in studio dette risultanti valgono semplicemente: 1 C = − σc bx Z = σs As 2 per cui si ha: 1 σc bx + σs As = 0 2 avendo assunte positive le tensioni di trazione per entrambi i materiali. Scrivendo ora la similitudine che lega, nel diagramma delle tensioni stesse, i due valori σc e σs0 si ha (Fig. 57): σs /m σc =− d−x x da cui si ricava: d−x σs = −mσc x che, sostituita nella precedente equazioni, fornisce: 1 d−x σc bx − mσc As = 0 2 x Semplificando σc , che risulta certamente diverso da 0 per M 6= 0, e riordinando opportunamente i termini, si ha finalmente: x2 +

2mAs 2mAs x− d=0 b b

equazione algebrica di 2◦ grado in x, che fornisce la posizione dell’asse neutro: 

mAs  x= −1 + b 

s



2bd  1+ mAs 

Si `e scartata la radice negativa che non ha significato fisico, corrispondendo ad una asse neutro esterno alla sezione. Definita cos`ı l’estensione della sezione reagente, la verifica delle tensioni prodotte dal momento M sulla sezione stessa si ottiene dall’equilibrio alla rotazione che eguaglia detto momento a quello della coppia interna. Ponendo appunto (Fig. 57): x z =d− 3 80

come braccio della coppia interna, con riferimento al centro delle trazioni si pu`o scrivere: Cz = M da cui

2M zbx (di compressione) con riferimento al centro delle compressioni: σc = −

Zz = M da cui

M zAs (di trazione). Introducendo il rapporto elastico d’armatura definito come. σs =

ψs =

mAs = mρs bd

le stesse formule di definizione della sezione reagente diventano: s

(

x = ψs −1 + ξ z = 1− 3

2 1+ ψs

)

= ξd

!

= ζd

dove la posizione dell’asse neutro ed il braccio della coppia interna sono forniti dalle grandezze adimensionali ξ e ζ in funzione dell’altezza utile d della sezione. Per una sezione rettangolare a doppia armatura, con un analogo procedimento, posto At = As + A0s e ψt = mAt /bd si otiene (Fig. 58): s

(

x = ψt −1 + con δ=

)

2δ 1+ d ψt

dAs + d0 A0s At

e di conseguenza M x Ii M σs = m (d − x) Ii M σs0 = −m (x − d0 ) Ii σc = −

con

bx3 Ii = + mAs (d − x)2 + mA0s (x − d0 )2 3 Si ricorda che, per valutare il braccio z della coppia interna, posto (Fig.

58): z = zc + zz 81

Figura 58: Sezione inflessa parzializzata a doppia armatura e tenendo conto della linearit`a σ(y) = cy del diagramma delle tensioni, si ha: Rx

d−x d−x 2 x 2 yσdy yσdy y σdy y σdy z = Rx + R0 d−x + 0R d−x = 0R x σdy ydy 0 σdy 0 ydy 0 0

R

R

R

0

dove si notano i momenti statici e d’inerzia baricentrici delle met`a parti della sezione reagente separate dall’asse baricentrico stesso: z=

Iz Ic + Sc Sz

Essendo per la propriet`a del baricentro Sc = Sz = Si , si ha finalmente (con Ii = Ic + Iz ): Ii z= Si dove, per il caso particolare della sezione in esame, risulta: Si =

bx2 + mA0s (x − d0 ) = mAs (d − x) 2

Altri casi di interesse applicativo, come quello della sezione a T, si trattano con identici procedimenti. Per sezioni di forma qualsiasi le condizioni di equilibrio vanno applicate attraverso opportuni procedimenti numerici discretizzati. 9.2

Calcolo a rottura

Al limite ultimo dello stadio III del comportamento flessionale, una sezione in c.a. si trova nella situazione corrispondente al raggiungimento della deformazione di rottura di uno dei due materiali: o della dilatazione convenzionale sd dell’armatura tesa (pari allo 0.01 secondo il modello di Fig. 37 discusso al punto 7.4.1); o della massima contrazione cu al bordo del calcestruzzo compresso (pari a -0.0035 secondo i modelli di Fig. 36). In Fig. 59 `e rappresentato il caso di una sezione rettangolare a semplice armatura con indicate le possibili situazioni di rottura. Si evidenziano tre diversi campi: • campo a caratterizzato dalla “rottura” (convenzionale) dell’armatura metallica, con  = sd , mentre al bordo compresso del calcestruzzo la contrazione non raggiunge il limite ultimo ( < cu ); 82

Figura 59: Calcolo a rottura di una sezione inflessa parzializzata a semplice armatura • campo b caratterizzato dalla rottura del calcestruzzo al bordo compresso ( = cu ) con acciaio gi`a snervato (sd >  > yd ); • campo c caratterizzato sempre dalla rottura del calcestruzzo per raggiungimento della contrazione ultima (c = cu ) con acciaio ancora in fase elastica (s < yd ). Nel campo “b” l’equilibrio Z − C = 0 alla traslazione della sezione si pone con: Z = As fsd (= cost.) C = β0 bxfc1 da cui si ricava la posizione dell’asse neutro x=

1 As fsd = ωs d = ξd β0 bfc1 β0

avendo indicato con ωsd =

As fsd bdfc1

il rapporto meccanico d’armatura e con ξ=

ωs β0

la posizione adimensionalizzata dell’asse neutro (ξ = x/d). Le due situazioni estreme ai confini del campo in esame sono cos`ı caratterizzate: • verso il campo “a” dalla similitudine: −cu sd − cu = (con cu < 0 di contrazione) xa d che porta a xa =

−cu d = ξa d sd − cu 83

• verso il campo “c” analogamente da: xc =

−cu d = ξc d yd − cu

Il primo limite, che `e dedotto dal valore convenzionale sd , resta indipendente dal tipo di acciaio impiegato; il secondo invece dipende dallo snervamento yd che varia con la resistenza dell’acciaio stesso. Le due corrispondenti percentuali meccaniche ωsd = β0 ξa ωsc = β0 ξc forniscono le armature limite che separano i tre campi: • quello “a” delle deboli armature • quello “b” delle medie armature • quello “c” delle forti armature Per dare un ordine di grandezza di queste percentuali, si supponga un acciaio tipo B430 per il quale fsd =430/1.15=374 N/mm2 e eyd =374/206000=0.0018. Con sd =0.01, cu =-0.0035 e β0 =0.8 si ottiene: ξa = 0.26 ωsa = 0.21

ξc = 0.66 ωsc = 0.53

Se accoppiato ad un buon calcestruzzo per cui sia fsd /fcd =25 si hanno rispettivamente i seguenti due rapporti geometrici d’armatura ρsa = 0.008 ρsc = 0.021 Per le due situazioni limite si ha un braccio della coppia interna z = d − κ0 x = (1 − κ0 ξ)d = ζd che in forma adimensionale e con κ0 =0.4 passa dal valore ζa = 0.90 sul limite delle deboli armature, al valore ζc = 0.74 sul limite delle forti armature. Per quest ultime dunque l’altezza utile d della sezione `e scarsamente utilizzata ai fini della resistenza flessionale. Nel campo delle deboli armature si hanno invece bracci della coppia interna poco minori dell’altezza utile della sezione (ζ > 0.9). Da notare che il limite di resistenza dell’acciaio, posto convenzionalmente ad una dilatazione sd =0.1, risulta del tutto “arbitrario” se assunto quale preciso confine tra due diversi effettivi comportamenti a rottura della sezione. Ai fini del calcolo applicativo ci`o non riveste grande importanza, in quanto le differenze dei risultati numerici che si otterrebbero spostando detto limite sd sono irrilevanti. 84

Si ha per`o che, per armature molto piccole in rapporto alla larghezza b del calcestruzzo collaborante, l’altezza x = ξd della zona compressa si riduce tanto da rendere non affidabile il suo valore teorico “nominale” rispetto alle tolleranze geometriche del getto. E’ buona norma pertanto non assumere nel calcolo valori superiori a ζ = 0.96, nella stima del braccio z = ζd della coppia interna. Con questo limite dato al braccio stesso, la dilatazione ultima convenzionale sd pu`o anche essere tolta, estendendo il campo delle medie armature fino al corrispondente ξa = 0.10 (ωa∗ = 0.08). 9.2.1 Condizioni di equilibrio Il calcolo della resistenza flessionale Mrd per la verifica nei confronti dello sforzo Mad agente: Mrd > Mad allo stato limite ultimo della sezione, si conduce attraverso le solite condizioni di equilibrio alla traslazione ed alla rotazione. Campo b Supponendo di trovarsi nel campo delle medie armature, l’equilibrio alla traslazione, gi`a scritto al punto precedente, porta alla individuazione dell’asse neutro: ωs ξ=− β0 con ωs valutato in base alle caratteristiche geometriche b, d, As della sezione ed alle resistenze fc1 , fsd dei materiali. Verificando quindi che risulti: ξa ≤ ξ ≤ ξc il momento resistente si ottiene immediatamente dall’equilibrio alla rotazione Mrd = Zz = fsd As ζd con ζ = 1−κ0 ξ. Da notare che il rapporto meccanico d’armatura, cos`ı come calcolato in base alla geometria della sezione ed alla resistenza dei materiali ωs =

As fsd bdfc1

corrisponde, almeno all’altezza utile d, all’estensione del diagramma costante di compressioni del modello a “stress block” (Fig. 59b): x = ωs d (= β0 x) Tale modello, che assume una zona ridotta di calcestruzzo compresso sollecitata uniformemente, risulta del tutto equipollente al precente ai fini degli equilibri scritti per la sezione. Ponendo la risultante C a met`a dell’altezza compressa, si ottiene ancora il braccio z = d − x/2 = (1 − ωs /2)d che porta allo stesso valore del momento resistente. 85

Figura 60: Calcolo a rottura di una sezione a T a semplice armatura Il modello costante risulta molto comodo quando venga applicato in via approssimativa a sezioni di forma complessa. Con riferimento per esempio alla sezione a T di Fig. 60, posto che, calcolata con la formula della sezione rettangolare, risulti x>t l’equilibrio alla traslazione Z − C0 − C 0 = 0 pu`o essere immediatamente riproposto come As fsd − btfc1 − bw x0 fc1 = 0 da cui si ottiene x0 =

As fsd bt − bw fc1 bw

Scegliendo il centro dell’armatura tesa per il calcolo del momento della coppia interna, si ha: Mrd = C0 (d − t/2) + c0 (d − t − x0 /2) con C 0 = bw x0 fc1

C0 = btfc1

Il calcolo delle dilatazioni sulla sezione dovr`a invece sempre riverirsi all’effettivo asse neutro. Ponendolo in via approssimata a x = x/β0 = (t + x0 /0.8 come per la sezione rettangolare, si ha per esempio: s = −

d−x cu x

per la verifica yd ≤ s ≤ sd di appartenenza al campo “b” delle medie armature. Campo a Posto invece che risulti ξ < ξa e che ci si trovi quindi nel campo delle deboli armature, si pu`o scrivere la similitudine dedotta dal diagramma delle deformazioni: c sd − = x d−x

86

ed esprimere cos`ı la contrazione del lembo compresso del calcestruzzo in termini di posizione x dell’asse neutro c =

x sd ξ c = = α1 cu d − x −cu 1−ξ

con ξ = x/d e con α1 =1.00/0.35=2.86 Utilizzando ora le espressioni approssimate per i necessari coefficienti β = β(c ) e κ = κ(c ) si ottiene, dopo alcuni passaggi: β = (1.6 − 0.8c )c = κ = 0.33 + 0.07c =

a0 − a1 ξ ξ (1 − ξ)2 c0 − c1 ξ 1−ξ

con a0 = 4.57 a1 = 11.10 c0 = 0.33 c1 = 0.13 L’equilibrio alla traslazione della sezione βbxfc1 − As fsd = 0 pu`o contare sulla citata espressione approssimata di β = β(ξ) e fornire: (a0 − a1 ξ)ξ 2 bdfc1 − (1 − ξ)2 As fsd = 0 che, opportunamente riordinata, porta all’equiazione algebrica di terzo grado −a1 ξ 3 + (a0 − ωs )ξ 2 + 2ωs ξ − ωs = 0 da risolvere in 0 < ξ < ξa . Ai fini applicativi una buona precisione `e fornita nell’intervallo 0.05 < ωs < 0.21 dalla soluzione approssimata ξ = 0.066 + 0.924ωs Finalmente si pone l’equilibrio alla rotazione da cui si ottiene immediatamente: Mrd = fsd As ζd con ζ = 1 − κξ dedotta dalla soprascritta espressione approssimata del secondo coefficiente κ = κ(ξ). L’algoritmo di calcolo qui presentato per il campo “a” delle deboli armature pu`o essere, come gi`a detto, omesso e sostituito dalle formule del campo “b” delle medie armature con l’aggiunta del limite ζ ≤ 0.96. Questa pi` u semplice alternativa risulta del tutto soddisfacente ai fini applicativi.

87

Campo c Nel campo delle forti armature, con ξ > ξc , l’acciaio d’armatura si trova in fase elastica con σs = Es s . Ponendo allora − da cui si ha: s =

cu s = x d−x

s d − x −cu 1−ξ 1 = = yd x yd ξ α0

con α0 = −yd /cu , la tensione nell’acciaio pu`o essere scritta come σs = Es yd s = fyd

1−ξ 1 ξ α0

Con questa espressione l’equilibrio alla traslazione β0 bxfc1 − As σs = 0 dopo alcuni passaggi diventa: β0 α0 ξ 2 + ωs ξ − ωs = 0 da cui si deduce la radice positiva ξ=

 

ωs −1 + 2β0 α0 

s

1+

 

4β0 α0 ωs 

che fornisce la posizione dell’asse neutro. Il solito equilibrio alla rotazione conclude la trattazione: Mrd = σs As ζd = fyd

1−ξ 1 As (1 − κ0 ξ)d ξ α0

ovvero, rispetto al centro delle trazioni: Mrd = β0 fc1 bξ(1 − κ0 ξ)d2 Si fa notare come non sia frequente il caso di sezioni fortemente armate da calcolarsi con queste ultime formule. Tali sezioni infatti hanno una comportamento fragile che `e buona regola evitare. Quando non sia possibile aumentare le dimensioni del calcestruzzo, un correttivo alla fragilit`a pu`o essere dato posizionando armature in zona compressa. In Fig. 61 `e appunto rappresentata una sezione in c.a. a doppia armatura. La sua resistenza si ricava al solito modo, deducendo per prima cosa la parte reagente compressa del calcestruzzo dall’equilibrio alla traslazione della sezione stessa. Supponendo di trovarsi nel campo “b” e con l’armatura compressa anch’essa snervata, si ha dunque: As fsd − A0s fsd − bxfc1 = 0 da cui si ottiene immediatamente x = (ωs − ωs0 )d 88

Figura 61: Calcolo a rottura di una sezione rettangolare a doppia armatura avendo indicato con ωs =

As fsd bdfc1

ωs0 =

A0s fsd bdfc1

i rapporti meccanici d’armatura tesa e compressa. L’asse neutro dunque (x = x/β0 ) si alza, allontanando la situazione limite delle forti armature. Verificata la condizione di snervamento delle armature s = −

d−x cu ≥ yd x

d cu ≤ −yd x si deduce finalmente il momento resistente dall’equilibrio alla rotazione della sezione: 0s =

Mrd = As fsd (d − x/2) + A0s fsd (x/2 − d0 )

89

10

SFORZO DI TAGLIO

Per lo sforzo di taglio il comportamento delle travi in c.a. evidenzia le maggiori diversit`a rispetto a quello del solido di de Saint-Venant. Come si vedr`a nel seguito, nel calcolo si utilizzano modelli pi` u articolati, fra i quali si citano quelli fondamentali del traliccio di M¨orsch, del funzionamento a pettine, del comportamento ad arco e degli schemi a puntoni e tiranti. Si ricorda ancora il legame di equilibrio che correla il taglio alla variazione del momento flettente. Le due componenti di sforzo hanno dunque mutue influenze e talvolta sono unite inscindibilmente in un unico “funzionamento” combinato. Ricollegandoci ora a quanto detto per il momento flettente, si inizia con l’applicare la nota formula di Jourawski τ=

VS Ib

dedotta per il solido di de Saint-Venant, formula che fornisce la tensione tangenziale τ su di una corda di larghezza b della sezione retta, per effetto del taglio V , dove S `e il momento statico baricentrico di una delle parti separate dalla corda stessa ed I `e il momento d’inerzia baricentrico dell’intera sezione.

Figura 62: Sezione interamente reagente sottoposta a taglio Rimanendo nel campo del comportamento elastico, si tratter`a di omogeneizzare la sezione con il medesimo coefficiente m = Es /Ec e di utilizzare le caratteristiche Ii ed Si “ideali” cos`ı calcolate. Se la sezione nei riguardi del momento flettente si trova nello stadio I non fessurato, dalla citata formula si dedurranno diagrammi τ = τ (y) del tipo di quello riportato in Fig. 62. Il valore massimo si raggiunge di norma sulla corda baricentrica per la quale si ha τ=

V Si V = Ii b zb

con z = Ii /S i braccio della coppia interna6 . 6

Il momento statico S i `e dato da: Si =

byc2 + mA0s ys0 2

90

Figura 63: Sezione parzializzata sottoposta a taglio Se invece la sezione, nei riguardi del momento flettente, si trova nello stadio II fessurato, la stessa formula di Jourawski, referita alla sezione reagente parzializzata, porta a diagrammi τ = τ (y) del tipo di quello tracciato in Fig. 63, dove si nota come la tensione tangenziale rimanga costante su tutta la zona fessurata del calcestruzzo, fissata sul valore massimo7 τ=

10.1

V zb

La fessurazione della trave

Il discorso fin qui condotto pecca di notevoli incongruenze. La pi` u evidente sta nel fatto che, se si trascura la resistenza a trazione del calcestruzzo, nemmeno l’esistenza di pure tensioni tangenziali `e possibile. Per chiarire dunque le cose si consideri il comportamento della trave di Fig. 64 soggetta a intensit`a via via crescenti del carico. Finch`e le massime tensioni principali di trazione, calcolabili con le ipotesi di sezione interamente reagente, non superano il limite di rottura, l’andamento delle isostatiche rimane simile a quello indicato nella parte sinistra della trave di Fig. 64c. In corrispondenza dell’asse avendo indicato rispettivamente con yc e ys la distanza dell’asse neutro e delle armature superiori dal lembo superiore. La risultante delle compressioni nel calcestruzzo e nell’acciaio vale: C=−

yc σc b − σs0 A0s 2

Ricordando che σc = −M yc /Ii e σs0 = −mM ys0 /Ii si ricava: C = M S i /Ii Tenendo conto che M = Cz si ricava immediatamente: z = Ii /S i 7

Per la dimostrazione che z = Ii /S i si rimanda alla fine del paragrafo 9.1 (sezione parzializzata a doppia armatura).

91

neutro, baricentrico per la flessione semplice, dove `e presente la sola tensione tangenziale τ , si ha un flusso incrociato a 45◦ di compressioni che salgono e di trazioni che scendono verso la mezzeria della trave. Le isostatiche vanno poi ad incanalarsi orizzontalmente verso i bordi della trave, dove appunto si annullano le tensioni tangenziali, mentre quelle normali arrivano al loro valore massimo. Quando, all’aumentare del carico, si raggiunge in un certo punto della trave il limite di rottura della tensione principale di trazione, si genera la prima fessura. Se ci`o avviene nella zona centrale in cui prevale la componente flessionale dello sforzo, la fessura parte dal lembo teso del calcestruzzo e si estende in direzione verticale. Se il limite di rottura viene raggiunto nei tratti terminali in cui prevale la componente di taglio, la fessura insorge alla quota dell’asse baricentrico diretta a 45◦ e cio`e normalmente alle massime tensioni di trazione. Nelle zone intermedie dove, oltre al taglio, `e presente una significativa componente flettente dello sforzo, le fessure possono partire dal bordo inferiore, prodotte da quest’ultima componente, ed estendersi con traiettoria inclinata sull’anima della trave. In Fig. 64b `e appunto rappresentata la possibile configurazione delle fessure quando estese finalmente a tutta la trave. Con l’insorgere della fessurazione, la situazione della trave si adegua a quanto previsto dall’ipotesi della parzializzazione, che vorrebbe nella zona tesa del calcestruzzo, come si `e visto, una distribuzione costante di sole tensioni tangenziali (Fig. 65). Le isostatiche dunque si configurerebbero come indicato nella met`a destra della trave di Fig. 64c. Ma `e chiaro che, attraverso la sezione fessurata, tutte le tensioni devono convogliarsi entro i due correnti della trave, quello del calcestruzzo compresso delimitato dall’asse neutro e quello teso dell’armatura metallica. Il flusso incrociato di tensioni disposto a 45◦ non pu`o di fatto diffondersi uniformemente nella parte tesa della trave. Quello indicato nella citata figura va dunque inteso come convenzionalmente rappresentativo del comportamento “medio” del materiale, attraverso i conci isolati dalle fessure, a globale equilibrio con lo sforzo di taglio presente. E’ chiara comunque la necessit`a di pi` u complessi modelli per una corretta analisi della trave in fase fessurata, soprattutto quando, ponendosi nello stadio III, si voglia valutare la resistenza ultima al taglio. In Fig. 64d sono infine indicati due possibili modi di rottura per taglio della trave. La crisi pu`o avvenire, come rappresentato a destra, per tranciamento dei conci d’anima al livello del loro incastro nel corrente compresso, con scorrimento longitudinale di una parte della trave rispetto all’altra. Oppure la rottura pu`o estendersi trasversalmente sul corrente compresso, con il completo distacco secondo la giacitura a 45◦ delle fessure da taglio, come rappresentato sulla sinistra. In Fig. 64e sono schematizzate appunto la “sezione di scorrimento” longitudinale e la “sezione di stacco” trasversale. Su tali modi di rottura si pu`o fin d’ora intuire il funzionamento dei due tipi di armature al taglio, riservandoci ovviamente ben pi` u rigorosi approfondimenti nel seguito. Le staffe ed i ferri piegati vengono disposti come indicato in Fig. 64f; essi attraversavano l’altezza della trave, “cucendo” le sue fibre superiori con quelle inferiori ed offrendo cos`ı un contrasto allo scorrimento orizzontale o una “sospensione” contro il distacco dei conci.

92

Figura 64: Rottura progressiva a taglio di una trave appoggiata 10.2

Sforzo di scorrimento e armature al taglio

Si consideri un elemento infinitesimo di trave soggetto ad un momento M e ad un taglio V . Tra la variazione del momento ed il taglio sussiste la nota relazione di equilibrio (alla rotazione) dM =V dx

93

Figura 65: Tensioni tangenziali in una sezione parzializzata mentre, supponendo le sezioni in fase fessurata, le tensioni conseguenti alle citate componenti di sforzo risultano distribuite come indicato in Fig. 66a8 . Si supponga ora di sezionare l’elemento in questione alla quota dell’asse baricentrico (Fig. 66b). L’equilibrio alla traslazione longitudinale di una delle parti evidenzia la forza qdx scambiata con l’altra9 : qdx = C 0 − C = Z 0 − Z =

dM V = dx z z

con z braccio della coppia interna. La grandezza q, che `e riferita all’unit`a di lunghezza, `e detta appunto forza di scorrimento unitaria. La stessa forza pu`o essere vista come risultante delle tensioni tangenziali τ sulla superficie orizzontale (Fig. 67): VS bdx qdx = τ bdx = Ib che, alla quota della tensione massima τ (con I/S = z, porta ancora a q=

V z

Le armature al taglio (staffe e ferri piegati come gi`a descritte nella precedente Fig. 64f) vengono distribuite con una certa spaziatura lungo la trave. Ad ognuna di esse compete un tratto di lunghezza finita (Fig. 68); compete cio`e una quota di forza di scorrimento definita da Q=

Z x+∆x

qdx =

x 8

Z x+∆x

V /zdx

x

L’equilibrio alla rotazione del concio di Fig 66a si scrive: M + dM − M − V dx = 0

da cui si ricava dM/dx = V 9 Si pu` o scrivere: C 0 = (M + dM )/z

C = M/z

94

C 0 − C = dM/z

Figura 66: Sforzo di scorrimento

Figura 67: Parit`a degli sforzi di taglio

Figura 68: Armature a taglio 95

Figura 69: Diagrammi di scorrimento e di taglio Per le verifiche si tratter`a quindi di valutare porzioni di area del diagramma dello scorrimento unitario q, ovvero per z= cost. porzioni di area del diagramma del taglio, come esemplificato in Fig. 69, per il quale si ha, tra x1 e x2 : Q=

(x2 − x1 )(V1 + V2 )/2 z

Da notare che la presenza dell’armatura trasversale al taglio non influisce sensibilmente sul comportamento della trave nello stadio I, nel quale lo stato tensionale pu`o dedursi, come si `e detto all’inizio del presente capitolo, attraverso le comuni formule riferite alle sezioni interamente reagenti, previa la solita omogeneizzazione dei materiali. Lo stadio fessurato invece vede l’attivazione di dette armature secondo mutati meccanismi di resistenza. 10.3

Il traliccio di M¨ orsch

Il modello fondamentale di resistenza al taglio della trave in c.a. `e stato dedotto dal suo comportamento fessurativo e vede la trave come una struttura reticolare costituita da un corrente compresso (il calcestruzzo reagente a flessione, con eventuali armature ivi comprese), da un corrente teso (l’armatura metallica longitudinale reagente a flessione) e da un reticolo di aste di parete. Queste ultime sono formate dai conci compressi di calcestruzzo isolati dalle fessure a 45◦ e dalle armature trasversali tese (staffe o ferri piegati) distribuite lungo la trave a collegamento dei suoi due correnti. Nel traliccio di M¨orsch i diversi elementi dello schema descritto sono intesi come “bielle”, vincolate agli estremi con cerniere, in modo da funzionare solo con resistenza assiale. Modularizzando il modello, che in realt`a `e pi` u fittamente diffuso, si ha dunque complessivamente, per la stessa trave di Fig. 64, il meccanismo descritto in Fig. 70. La sua parte centrale corrisponde al tratto di trave a taglio nullo ed a momento costante, dove il traliccio di collegamento tra i correnti non `e chiamato in causa. 96

Figura 70: Schema del traliccio di M¨orsch Riferendoci ad una singola armatura trasversale, il calcolo si conduce sul modello di Fig. 71, dove `e evidenziata la forza di scorrimento Q del concio di competenza, forza che deriva appunto dalla variazione delle trazioni nel corrente teso tra i due estremi del concio stesso. Nel caso pi` u generale di inclinazione α del ferro considerato (Fig. 71c), l’equilibrio al nodo inferiore porta a: √ Qs cos α + Qc / 2 = Q √ Qs sin α − Qc / 2 = 0 con Qs forza di trazione nell’acciaio e Qc forza di compressione nel calcestruzzo. Si ricava quindi: 1 Q Qs = cos α + sin α √ 2 sin α Qc = Q cos α + sin α Per le staffe verticali, con α = 90◦ (Fig. 71a) si ha: Qs = Q √ Qc = 2Q

Figura 71: Schema di calcolo del traliccio di M¨orsch

97

La giacitura ottimale per i ferri piegati, quella cio`e che, a parti`a di azione Q, rende minima lo loro sollecitazione, `e a 45◦ , per cui si ha (Fig. 71b): √ Qs = Qc = Q/ 2 Da notare che le staffe verticali hanno eguale comportamento se, cambiando il segno del taglio, si ribalta il verso della forza Q di scorrimento e conseguentemente la giacitura delle “bielle” compresse di calcestruzzo. Non cos`ı avviene per i ferri piegati, la cui inclinazione va quindi indirizzata nel verso dettato dal segno del taglio. 10.3.1 Verifiche di resistenza Il traliccio di M¨orsch rappresenta il modello isostatico che permette di verificare la resistenza al taglio delle travi provviste di apposite armature senza fare alcun affidamento sulla resistenza a trazione del calcestruzzo. Esso porta a valutare le tensioni di trazione che sollecitano le armature trasversali con σs =

Qs Ast

nonch´e le tensioni di compressione che sollecitano l’anima del calcestruzzo con10 √ Qc 2qc √ = −σc = b b∆x/ 2 Viceversa si possono valutare le capacit`a portanti del concio di trave in base alla resistenza dei materiali. Si ottiene quindi un taglio trazione come quello ultimo compatibile con la resistenza dell’armatura d’anima: Vyd =

zQs zQ = (cos α + sin α) ∆x ∆x

che, con σs = fsd (Qs = As fsd ), porta a Vyd = zas fsd (cos α + sin α) dove si `e indicata con as = As /∆x l’area metallica per unit`a di lunghezza di trave11 . Ovvero si ottiene un taglio compressione come quello compatibile con la resistenza del calcestruzzo d’anima: Vcd =

√ zQ zQc = (1 + cot α)/ 2 ∆x ∆x

√ Si tenga conto che la larghezza della bielle compressa `e pari a ∆x cos 45◦ = ∆x/ 2 11 La forza di trazione risultante nell’armatura vale: 10

Qs =

V ∆x 1 Q= sin α + cos α z(sin α + cos α)

98

√ che, con σc = fc2 (Qc = fc2 b∆x/ 2), porta a Vcd = zbfc2 (1 + cot α)/2 dove si `e indicata con fc2 = 0.50fcd la resistenza ridotta da attribuire al calcestruzzo, in quanto trattasi di una distribuzione uniforme di compressioni in un campo fessurato e disturbato dalle trazioni delle armature trasversali tese12 . Nel modello a traliccio isostatico la portanza `e quella corrispondente alla resistenza del suo elemento pi` u debole, per cui si ha Vrd = min(Vyd , Vcd ) quale taglio resistente del concio di trave esaminato. In genere, salvo non frequenti situazioni con anime molto sottili fortemente armate, `e l’acciaio l’elemento pi` u debole che fornisce il limite Vrd = Vyd Queste formule risultano notevolmente approssimate a favore della stabilit`a. 10.3.2 Collegamento ai nodi Cos`ı come per le vere e proprie travature reticolari metalliche (Fig. 72) la portanza `e garantita sia dalla resistenza delle singole aste del traliccio, sia dagli elementi (bullonati o saldati) che realizzano le loro unioni ai nodi, anche il meccanismo a traliccio di Fig. 70 che fornisce la portanza alle travi in c.a. si basa, oltre che sulla resistenza delle “aste”, anche su quella delle loro unioni ai nodi. I correnti del traliccio, quello compresso del calcestruzzo e quello teso dell’armatura metallica, sono verificati in base al momento flettente secondo i criteri esposti al punto 9.2; le aste di parete, quelle compresse del calcestruzzo d’anima e quelle tese di staffe o ferri piegati, sono verificate in base allo sforzo di taglio secondo i criteri esposti qui sopra. La resistenza delle unioni, altrettanto determinante ai fini della capacit`a portante della trave, deve essere assicurata attraverso il corretto disegno dei particolari costruttivi delle armature, al fine di consentire la trasmissione delle forze tra le varie parti del meccanismo: della forza di scorrimento Q, per esempio, tra il traliccio d’anima e l’armatura longitudinale (Fig. 72b); della stessa forza Q, al bordo opposto, tra il traliccio d’anima ed il corrente di calcestruzzo compresso (Fig. 72c). L’ancoraggio delle staffe al corrente teso deve essere realizzato con il loro aggancio alle armature longitudinali stesse, sulle quali premono le compressioni d’anima, come indicata in Fig. 73a. In direzione longitudinale la trasmissione della 12

La forza di compressione risultante nella diagonale di calcestruzzo vale: √ √ 2 sin α 2 sin αV ∆x Qc = Q= sin α + cos α z(sin α + cos α)

99

Figura 72: Collegamento ai nodi nel funzionamento a taglio della trave in c.a. forza di scorrimento sulle armature correnti avviene per l’aderenza che interessa la semisuperficie interna delle barre stesse e che `e potenziata per attrito dalle pressioni trasversali. Nel corrente compresso, al bordo opposto, le staffe necessitano di un’adeguata lunghezza di ancoraggio, ottenuta anche con ganci d’estremit`a; l’ancoraggio `e notevolmente potenziato dalla presenza di ferri longitudinali (reggistaffe) che consentono una pi` u diffusa trasmissione delle pressioni al calcestruzzo circostante. In questo modo il flusso delle compressioni che sale dall’anima della trave pu`o essere deviato verso il corrente longitudinale, come indicato dalla Fig. 73b.

Figura 73: Ancoraggio delle staffe al corrente teso Il funzionamento dei ferri piegati `e alquanto diverso. Come indicato in Fig. 74a, la diminuzione Z 0 − Z = Q della forza nel corrente teso si realizza “direttamen100

Figura 74: Ancoraggio delle staffe al corrente teso te”, in quanto il ferro piegato stesso porta con s`e la sua quota Q di forza. Nel tratto di deviazione il ferro scambia le pressioni con il calcestruzzo d’anima, e questo tipo di trasmissione di forze tra gli elementi tesi e compressi del traliccio risulta meno efficiente. Le pressioni localizzate lungo la piegatura della barra possono infatti portare al tranciamento del calcestruzzo, con prematura crisi del meccanismo resistente. Al bordo compresso il ferro piegato ha un’opposta piegatura, con analoghi problemi di pressioni localizzate. L’ancoraggio terminale richiede un’adeguata lunghezza di trasmissione della forza Q per aderenza al calcestruzzo del corrente stesso, in modo che possa realizzarsi l’equilibrio del nodo indicato in Fig. 74b. Per quanto sopra detto `e buona norma, nel calcolo della resistenza a taglio trazione, penalizzare i ferri piegati (per esempio con un coefficiente riduttivo pari a 0.8) rispetto alle staffe che, avvolte attorno alle armature longitudinali, hanno un ancoraggio pi` u efficiente ai nodi del traliccio.

101

11 11.1

SFORZO ASSIALE ECCENTRICO Calcolo elastico della sezione

Il problema della flessione composta su sezioni in c.a. rappresenta la naturale estensione di quello relativo alla flessione semplice. A partire dalle stesse ipotesi e con i medesimi criteri adottati nei capitoli precedenti, si trattano i casi di pressoflessione e di tensoflessione, in fase elastica o allo stato limite ultimo di rottura, in sezioni parzializzate o interamente reagenti. Si ricorda dunque in primo luogo che, entro lo “stadio I” di sezione interamente reagente, il calcolo delle tensioni per le verifiche di esercizio pu`o contare sulla sovrapposizione degli effetti del tipo σc = ±

M N − yc Ai Ii

N M σs = m ± + ys Ai Ii dove i simboli si riferiscono alla Fig. 75 e le tensioni sono assunte positive se di trazione. E’ inteso che i momenti M vanno valutati con riferimento all’asse baricentrico della sezione omogeneizzata, mentre l’asse neutro risulta spostato dalla posizione baricentrica, verso le fibre tese se la componente N `e di compressione, verso quelle compresse se la componente N `e di trazione. In quanto sopra si sono utilizzate le classiche ipotesi di Bernoulli e di elasticit`a, oltre a quella di congruenza tra le deformazioni dei due materiali. Le stesse formule basate sulla sovrapposizione degli effetti si applicano anche quando, in previsione di un comportamento in “stadio II” dove i trascura la resistenza a trazione del calcestruzzo, la parzializzazione della sezione non si manifesti per la presenza di una sollecitazione di pressoflessione con piccola eccentricit`a della risultante. Per esempio, con riferimento alla sezione simmetrica di Fig. 76, la sezione stessa rimane interamente reagente con asse neutro che non la interseca finch´e la risultante cade all’interno del nocciolo centrale d’inerzia: 



e a/2 dunque l’elemento “si ribalta”. 13

Si impone che la tensione massima sulla sezione sia minore di 0 (ossia nessun punto sia soggetto a trazione): N Mh σc = − + ≤0 Ai Ii 2 da cui si ricava:

M Ii =e≤ N Ai h/2

103

Figura 77: Sezione pressoinflessa non armata Il caso di Fig. 77a si riferisce ad una compressione centrata e porta semplicemente a: N σ= = cost. ab In Fig. 77b `e rappresentato il caso di centro di pressione interno al nocciolo (e < a/6) per il quale il valore massimo σ della pressione si calcola con la sovrapposizione degli effetti:   N Ne a N 6e σ= + 3 = 1+ ab a b/12 2 ab a Il caso di Fig. 77c sta al limite di quello precedente con e = a/6 e con l’asse neutro 104

che, posizionandosi sul lato della sezione, la lascia ancora interamente reagente: N 6a/6 σ= 1+ ab a

!

=

2N ab

Sul diagramma triangolare delle pressioni si evidenziano immediatamente gli equilibri alla rotazione ed alla traslazione della sezione; il primo fa coincidere il punto di applicazione dell’azione esterna con il baricentro delle reazioni distribuite sul materiale a a −e= 2 3 il secondo eguaglia l’azione stessa alla risultante delle reazioni: 1 N = abσ 2 L’ultimo caso descritto in Fig. 77d si riferisce ad un centro di pressione esterno al nocciolo della sezione geometrica (e > a/6). In questo caso l’asse neutro interseca la sezione e questa si parzializza. L’estensione x della parte reagente si deduce dagli stessi equilibri citati per il caso precedente. Per l’equilibrio alla rotazione attorno al bordo maggiormente compresso si ha: x a −e= 2 3 da cui si ottiene:

a x=3 −e 2 Nota l’altezza x della sezione reagente, l’equilibrio alla traslazione porta a: 

σ=



2N xb

Per e tendente ad a/2 con x → 0, la pressione massima σ tende all’infinito, evidenziando la soglia estrema dell’equilibrio oltre la quale, come si `e detto, si ha “il ribaltamento”. 11.2

Presso e tensoflessione retta

L’analisi delle tensioni nella sezione pressoinflessa di Fig. 78, supposta in fase elastica parzializzata, si conduce attraverso i soliti equilibri della sezione. Per primo conviene scrivere l’equilibrio alla rotazione intorno al punto O , in modo che non vi compaia l’intesit`a N dell’azione esterna: 

Cc

x + Cs0 d0s − Zds = 0 d0 + 3 

avendo posto d0 = e − yc , d0s = d0 + d0 e ds = d0 + d. Per la sezione rettangolare a doppia armatura esaminata, le risultanti delle compressioni e delle trazioni nei due materiali valgono: 1 Cc = − σc bx Cs0 = −σs0 A0s 2 105

Z = σs As

Figura 78: Sezione tenso e pressoinflessa per cui, poste le solite similitudini che legano i valori σc , σs0 e σs nel diagramma lineare delle tensioni: σs0 = m

x − d0 σc x

σs = −m

d−x σc x

si ottiene: x x − d0 1 d−x −m σc A0s d0s + m σc As ds = 0 − σc bx d0 + 2 3 x x 



Semplificando σc ed ordinando opportunamente i termini si ottiene infine l’equazione di terzo grado: x3 + 3d0 x2 +

6m 6m (As ds + A0s d0s )x − (As ds d + A0s d0s d0 ) = 0 b b

La soluzione compresa tra x (posizione dell’asse neutro per la flessione semplice) ed h (per la quale la sezione ridiventa interamente reagente) fornisce dunque l’estensione della zona compressa (reagente) del calcestruzzo. Nota la x, il valore delle tensioni σc , σs0 e σs nei materiali si ottiene dall’equilibrio alla traslazione della sezione: Cc + Cs0 − Z = N che, con le solite sostituzioni, diventa: d−x 1 x − d0 − σc bx − m σc A0s + m σc As = −N 2 x x da cui si ottiene finalmente: σc =

N bx 2

+

0 m x−d A0s x

−

m d−x As x

=

N x Si

In questa formula la componente assiale N `e intesa di valore negativo (compressione), mentre con bx2 Si = + mA0s (x − d0 ) − mAs (d − x) (> 0) 2 106

si `e indicato il momento statico rispetto all’asse neutro della sezione reagente omogeneizzata al calcestruzzo. Le tensioni nelle armature tesa e compressa si calcolano di conseguenza attraverso le similitudini gi`a scritte in precedenza. Con d0 → ∞, e cio`e al limite della flessione semplice, la formula qui dedotta cade in difetto tendendo all’espressione indeterminata 0/0. Per disporre di una formula di applicabilit`a generale, valida cio`e per sezioni parzializzate pressoinflesse, semplicemente inflesse o tensoinflesse, si pu`o impostare la sovrapposizione degli effetti con riferimento alla sezione reagente: σc =

MG N + yc Ai Ii

(yc = x − w)

N MG =m + (yc − d0 ) Ai Ii   N MG σs = m − (d − yc ) Ai Ii con N e MG negative nella pressoflessione ed avendo posto: 

σs0



Ai = bx + mA0s + mAs Il contributo flessionale `e riferito al baricentro G che dista dall’asse neutro n-n (Fig. 78: Si w= Ai Con riferimento all’asse baricentrico si ha dunque: MG = N (d0 + yc ) x x2 + yc − Ii = bx 12 2 "



2 #

+ mA0s (yc − d0 )2 + mAs (d − yc )2

Introducendo, con m = Es /Ec , i rapporti elastici di armatura definiti come ψs =

mAs bh

ψs0 =

mA0s bh

l’equazione risolvente della pressoflessione diventa ξ 3 + 3δ0 ξ 2 + 6(ψs δs + ψs0 δs0 ) − 6(ψs δs δ + ψs0 δs0 δs ) = 0 avendo posto ξ = x/h δ = d/h δ 0 = d0 /h δ0 = d0 /h δs = ds /h δs0 = d0s /h quali grandezze geometriche adimensionali della sezione.

107

Figura 79: Sezione tensoinflessa Sezione tensoinflessa Per sofrzi N di trazione con piccola eccentricit`a, la sezione si fessura interamente: rimane a resistere la sola armatura metallica. Ci`o avviene finch´e il centro delle trazioni rista interno al nocciolo centrale d’inerzia della sezione reagente metallica rispetto al contorno del calcestruzzo. Con riferimento al baricentro G delle armature definito da: ys =

A0s yt As + A0s

ys0 =

As yt As + A0s

u0 =

i2 yc0

(Fig. 79), le dimensioni del nocciolo sono: u= con

i2 yc

As ys2 + A0s ys02 i = As + A0s 2

Posto dunque che l’eccentricit`a e dell’azione assiale sia tale da mantenerla interna al nocciolo, l’equilibrio della sezione reagente metallica porta semplicemente a ripartire l’azione stessa tra le due armature in modo inversamente proporzionale alle rispettive distanze: Z=

d0s N yt

(da cui σs = Z/As )

Z0 =

ds N yt

(da cui σs0 = Z 0 /A0s )

Per eccentricit`a maggiori la sezione si parzializza lasciando una parte compressa di clacestruzzo. a sezione reagente si configura dunque come indicato in Fig. 80. Attraverso gli stessi equilibri impostati in precedenza per l’analisi della pressoflessione, si ottiene, per la definizione della posizione x dell’asse neutro, un’identica equazione: x3 + 3d0 x2 +

6m 6m (As ds + A0s d0s )x − (As ds d + A0s d0s d) = 0 b b 108

Figura 80: Sezione tensoinflessa parzializzata ovvero ξ 3 + 3δ02 + 6(ψs δs + ψs0 δs0 )ξ − 6(ψs δs δ + ψs0 δs0 δs ) = 0 in forma adimensionale, ove si intenda d0 negativa e di conseguenza anche le misure ds = d0 + d e d0s = d0 + d0 . Di questa equazione va elaborata la soluzione compresa tra 0 (sezione interamente fessurata) ed x (posizione dell’asse neutro per la flessione semplice). Le tensioni σc , σs e σs0 nei materiali si valutano ancora con le formule precedentemente ricavate, dove in particolare risulta Si < 0. 11.3

Calcolo a rottura della sezione

Si ricorda come, nel calcolo allo stato limite ultimo di rottura di una sezione in c.a., alle tre ipotesi di planarit`a della sezione, di congruenza tra i materiali e di parzializzazione del calcestruzzo, vadano aggiunti gli opportuni modelli σ −  di comportamento dei materiali stessi. Tali modelli comprendono, in termini di deformazioni, i valori limite che definiscono la rottura della sezione. In particolare, dunque, la rottura pu`o essere determinata dal cedimento del calcestruzzo per raggiungimento della massima contrazione cu (Fig. 36), oppure pu`o essere determinata dal cedimento dell’armatura metallica per raggiungimento della massima dilatazione convenzionale sd (fig. 37). Parlando di elementi soggetti a sforzo normale centrato si `e aggiunto il limite pi` u restrittivo c1 della contrazione uniforme, limite che per la pressoflessione va riferito al valore medio sull’altezza della sezione. I possibili meccanismi di rottura della sezione si deducono pertanto completando il diagramma gi`a tracciato nella Fig. 59 per la flessione semplice. Oltre all’estensione del diagramma nei campi di sezione interamente tesa e interamente compressa, va aggiunto il nuovo “pivot” C che definisce la rottura nel campo delle pressoflessioni con piccola eccentricit`a (Fig. 81). In particolare la distanza y = ηh del centro C dal bordo maggiormente compresso si ricava con: y=

cu − c1 h cu

che, per cu = 0, 35% ed c1 = 0, 2%, porta a η = 0, 43 La valutazione della risultante delle compressione nel calcestruzzo e del suo momento rispetto all’asse di calcolo richiede l’esecuzione di integrali del tipo (Fig. 109

Figura 81: Diagrammi delle deformazioni nel calcolo a rottura di una sezione presso o tensoinflessa 82): Z

σc ()b dy

Z

σc ()b y dy

estesi all’area reagente compressa della sezione. Si ricorda che per sezioni rettangolari detti integrali portano a espressioni del tipo: −βbxfcd

βbxfcd (y0 − κx)

I coefficienti β e κ di tali espressioni si valutano con: • per c =

c cu

< 1 (campo 2 con pivot A) β = (1, 6 − 0, 8c )c κ = 0, 3 + 0, 07c

• c = cu (campi 3 e 4 con pivot B) β = 0, 8 κ = 0, 4

Figura 82: Risultante delle compressioni nel calcestruzzo

110

Infine nel campo 5 delle sezioni interamente reagenti (con pivot C), con riferimento ai simboli di Fig. 82 pu`o porsi: Z C

Z C

σc b dy = −β ∗ b h fcd

σc b y dy = −β ∗ b h fcd (y0 − κ∗ h)

dove, ponendo ξ = x/h (> 1) e η = y/h (= 0, 43), si ha: β∗ = 1 −

(1 − η)3 3(ξ − η)2

1 (1 − η)3 1 κ = 1− (3 + η) ∗ 2 2 6(ξ − η) β "

#

∗

11.3.1 Meccanismi di rottura della sezione nei diagrammi di Fig. 81 per la sezione a doppia armatura si rilevano dunque i possibili campi di rottura qui di seguito descritti Campo 0 (pivot A) sezione interamente fessurata, armature tese snervate con deformazione indeterminata che fornisce le componenti: N = fsd As + fsd A0s M = fsd As ys − fsd A0s ys0 Campo 1 (pivot A) sezione interamente fessurata, armatura tesa inferiore a rottura, armatura tesa superiore in fase elastica con yd > 0s > sd d0 /d; le componenti dello sforzo resistente valgono: N = fsd As + Es 0s A0s M = fsd As ys − Es 0s A0s ys0 Campo 2’ (pivot A) sezione parzializzata, armatura tesa inferiore a rottura, armatura superiore in fase elastica con sd d0 /d > 0s > −yd ; si hanno le componenti: N = fsd As +

Es 0s A0s

+

Z

σc () b dy

A

M = fsd As ys − Es 0s A0s ys0 −

Z A

σc () b ydy

Campo 2” (pivot A) sezione parzializzata, armatura tesa inferiore a rottura, armatura compressa superiore snervata; si hanno le componenti: N = fsd As − fsd A0s + M = fsd As ys +

fsd A0s ys0 111

Z

−

σc () b dy

A

Z A

σc () b ydy

Campo 3 (pivot B) sezione parzializzata con calcestruzzo a rottura, armatura tesa inferiore snervata, armatura compressa superiore snervata; si hanno le componenti: Z N = fsd As − fsd A0s + σc () b dy B

M = fsd As ys +

fsd A0s ys0

−

Z B

σc () b ydy

Campo 4 (pivot B) sezione parzializzata con calcestruzzo a rottura, armatura compressa superiore snervata, armatura inferiore in fase elastica con yd > s > cu c/h; si hanno le componenti: N = Es s As − fsd A0s +

Z

σc () b dy

B

Z

M = Es s As ys + fsd A0s ys0 −

B

σc () b ydy

Campo 5’ (pivot C) sezione interamente reagente con calcestruzzo a rottura, armatura compressa superiore snervata, armatura compressa inferiore in fase elastica con cu c/h > γ > s > −yd ; si hanno le componenti: N = Es s As − M = Es s As ys +

fsd A0s

+

fsd A0s ys0

Z

σc () b dy

C

Z

−

C

σc () b ydy

Campo 5” (pivot C) sezione interamente reagente con calcestruzzo a rottura, armatura compresse snervate; si hanno le componenti: N = −fsd As − fsd A0s +

Z

M = −fsd As ys + fsd A0s ys0 −

σc () b dy

C

Z C

σc () b ydy

Da notare che la situazione di armatura superiore compressa al limite dello snervamento, anzicch´e posta a suddivisione del campo 2 di rottura, per pi` u elevati 0 valori del copriferro d /d pu`o cadere entro il campo 3. In tal caso sar`a questo ad essere suddiviso in un sottocampo 3’, con armatura compressa superiore in fase elastica, ed in un sottocampo 3”, con armatura compressa superiore snervata. Per sezioni rettangolari la valutazione della risultante delle compressioni nel calcestruzzo e del suo momento rispetto all’asse di calcolo pu`o contare sui coefficienti β e κ gi`a menzionati. Ripetendo le elaborazioni previste dalle precedenti formule per diversi assetti della sezione, ruotata attorno ai pivots A, B o C, si definisce per punti la curva di intermazione N − M corrispondente alla frontiera di rottura della sezione stessa. Per la verifica dovr`a risultare che il punto Nad , Mad rappresentativo dello sforzo agente resti compreso entro detta frontiera.

112

12

MOMENTO TORCENTE

L’analisi delle sollecitazioni viene spesso condotta su schemi statici parziali ridotti a modelli piani. In realt`a ogni struttura `e articolata nello spazio a tre dimensioni e, sia per la monoliticit`a con elementi trasversali, sia per le varie eccentricit`a dei carichi e dei vincoli, riceve sollecitazioni composte, che escono dal piano del modello. Significativi livelli di momento torcente sorgono per esempio nei graticci di travi che costituiscono tutti i tradizionali impalcati in c.a., dove i momenti flettenti che scorrono lungo un ordine di travi danno luogo, attraverso gli incastri ai nodi, a momenti torcenti sulle travi ortogonali dell’ordito strutturale. L’assunzione di modelli piani semplificati pu`o per`o essere giustificata in molti casi in cui la torsione non gioca un ruolo determinante. A tale proposito diverse normative distinguono due tipi di torsione: • la torsione secondaria o di congruenza, non necessaria alla resistenza della struttura (Fig. 83a); • la torsione primaria o di equilibrio, necessaria alla resistenza della struttura (Fig. 83b). Nel primo caso `e possibile, nel calcolo delle travi, omettere le verifiche torsionali, purch´e nel calcolo degli elementi trasversali si trascuri nel contempo l’effetto stabilizzante della torsione stessa. Questo criterio `e esemplificato in Fig. 84a dove, trascurando la rigidezza torsionale delle travi, il solaio da esse portato trova equilibrio nella situazione “limite” di semplice appoggio per il quale appunto va dimensionato. Il dimensionamento per flessione retta delle travi deve comunque portare all’introduzione di una adeguata staffatura, correlata al taglio, che fornisca, anche verso la componente torcente, un controllo alla fessurazione in esercizio ed il necessario grado di duttilit`a contro la rottura precoce. Per la situazione di 84b invece, l’equilibrio della soletta a sbalzo `e garantito solo dal vincolo ad incastro che la resistenza anche torsionale della trave le fornisce. In questo caso dunque `e necessaria una completa verifica flesso-torsionale della trave stessa.

Figura 83: Torsione primaria e secondaria 113

Figura 84: Schemi di calcolo per la torsione Torsione circolatoria Prima di introdurre i modelli per i calcoli di resistenza delle travi in c.a., si richiamano alcuni dei risultati dell’analisi torsionale delle travi di materiale omogeneo e isotropo. Solo nel caso di sezioni circolari (o ad anello circolare) la classica trattazione del solido di de Saint-Venant porta a semplici risultati. Sotto l’azione di un momento torcente T , in tale sezione si instaura un flusso chiuso circolare di tensioni tangenziali di intensit`a che, in fase elastica, cresce linearmente dal baricentro verso il bordo esterno della sezione (Fig. 85a). Il valore massimo si ottiene con: T Wt

τ= dove il modulo resistente torsionale vale: Wt =

πr3 2

Le due sezioni terminali di un concio elementare di trave ruotano una rispetto all’altra attorno all’asse baricentrico, restando piane, con dφ =

T dx GJ

dove G `e il modulo elastico tangenziale e J `e il momento d’inerzia torsionale coincidente, nel caso in esame, con quello polare della sezione: J=

πr4 2

Per sezioni di forma qualsiasi il problema della torsione circolatoria si complica. Nel caso, frequente per il calcestruzzo armato, di sezioni rettangolari, la competente trattazione secondo la teoria dell’elasticit`a porta a formule ancora del tipo: T T τ= dφ = dx Wt GJ 114

Figura 85: Torsione circolatoria con Wt = k1 ab2

J = k2 ab3

dove, posto β = b/a (≤ 1) pu`o scriversi: k1 =

1 3 + 1, 8β

k2 =

1 √ 3 + 4, 1 β 3

Il flusso chiuso di tensioni tangenziali si sviluppa su linee che seguono il contorno del tracciato della sezione, come indicato in Fig. 85b, raccordandone le discontinuit`a. Il valore della tensione `e massimo alle estremit`a della mediana pi` u corta, mentre resta nullo agli spigoli. La sezione, oltre a ruotare attorno all’asse baricentrico, si ingobba. Per sezioni composte da rettangoli, valutate le singole inerzie torsionali con la stessa formula Ji = k2i ai b3i quella globale si ottiene come somma: J=

X

Ji

i

e fornisce la rotazione comune:

T dx GJ L’analisi delle tensioni pu`o essere condotta scomponendo il momento torcente sui vari rettangoli in ragione della rispettiva inerzia: dφ =

Ti =

Ji T J

ed applicando nel seguito per ognuno la solita formula: τi =

Ti Wti

con Wti = k1i ai b2i 115

Si ricorda come, per forme complesse, l’analisi torsionale in fase elastica possa poggiarsi sul criterio di analogia con la membrana di Prandtl, esteso poi per il calcolo plastico con il criterio di analogia del mucchio di sabbia di Nadia. La superficie secondo cui si dispone una membrana gonfiata trattenuta lungo il contorno oppure la scarpata naturale di un cumulo di sabbia posto sulla sezione forniscono, con le curve di livello e con le pendenze trasversali, le linee di flusso delle tensioni e le loro intensit`a, a meno di una costante “volumetrica” legata al valore del momento torcente. Formula di Bredt Un caso particolare, importante anche per la trattazione dei modelli presentati ai punti seguenti, `e rappresentato dalle sezioni ad anello chiuso di piccolo spessore (Fig. 86). Per sezioni cos`ı fatte, posto che si possa ritenere l’intensit`a τ della tensione tangenziale costante sullo spessore t, per il suo piccolo valore rispetto alle dimensioni globali della sezione stessa, l’equilibrio con il momento torcente si scrive come: I T = τ t r ds Dovendo il flusso q=τt essere costante lungo tutto il perimetro per l’equilibrio locale di ogni elemento ds si ottiene (Fig. 86) I Z T = τ t r ds = 2q dA = 2qA A

che porta alla formula di Bredt T 2A con A area racchiusa dalla fibra media dell’anello. La massima tensione tangenziale `e data da T τ= Wt con Wt = 2At0 q=

dove t0 `e lo spessore minimo. La rotazione torsionale si calcola dall’integrale T dx I ds T = dx 2 4GA t GJ dove il momento d’inerzia torsionale `e definito da dφ =

4A2 J = H ds t

Per sezioni ad anello di spessore costante questa formula diviene 4A2 t L con li e ti lunghezza e spessore dell’i-esimo tratto. Per concludere si fa osservare come in una trave soggetta a torsione pura le tensioni principali si orientino secondo linee isostatiche ad elica che in ogni punto sono dirette a 45◦ rispetto all’asse della trave (Fig. 87). J=

116

Figura 86: Torsione nelle sezioni chiuse di piccolo spessore 12.1

Il traliccio periferico resistente

Il comportamento di una trave in c.a. soggetta a torsione pura pu`o desumersi dal diagramma “sperimentale” di Fig. 88, dove con T si `e indicato il valore dei momenti applicati alle estremit`a della trave “di prova” e con θ il valore medio della curvatura torsionale, calcolata come rapporto tra la rotazione relativa rilevata tra le estremit`a stesse e la loro distanza reciproca. La curva T = T (θ) `e caratterizzata dunque da: • tratto O-A non fessurato fino al limite di rottura per trazione del calcestruzzo, con andamento sensibilmente lineare che segue la retta T = Gc Jθ dove J pu`o essere calcolato, tramite le formule precedentemente presentata, con riferimento alla sezione geometrica del calcestruzzo, avendo l’armatura una modesta influenza; • se non provvista dell’apposita orditura di ferri, il limite T0 corrispondente al punto A rappresenta la resistenza ultima della trave; • per le travi provviste di un’apposita adeguata armatura, varcato il limite A la trave si fessura come qualitativamente indicato in Fig. 89, stabilizzandosi su di un diverso meccanismo resistente in cui si attivano le trazioni nei ferri, mentre sui conci di calcestruzzo si instaurano campi di compressioni oblique;

Figura 87: Flusso di tensioni in una trave di sezione circolare soggetta a torsione

117

Figura 88: Comportamento di una trave in c.a. soggetta a torsione pura • la caduta della rigidezza torsionale evidenziata dal tratto A-B risulta mediamente pi` u sensibile dell’analoga caduta della rigidezza flessionale manifestata dalle travi inflesse; • tratto B-C con andamento nuovamente crescente, che pu`o essere approssimato ad un comportamento elastico lineare del tipo T = Es J 0 θ dedotto sul modello del nuovo meccanismo resistente, dove risulta prevalente l’apporto deformativo dell’armatura metallica, anche se vi influiscono sensibilmente altri fenomeni “irrigidenti” legati al calcestruzzo; • tratto finale C-D con snervamento delle armature, rilevabile solo fino al limite ultimo Tf di resistenza nelle prove a carico crescente; • l’estensione del diagramma sui successivi tratti del comportamento torsionale dipende dalla percentuale di armatura e dai corrispondenti modi duttili o fragili di rottura.

Figura 89: Fessurazione di una trave soggetta a torsione

118

Figura 90: Zona interessata al funzionamento a torsione Modello di Rausch Coerentemente con l’assetto fessurativo osservato nella trave (Fig. 89) e partendo dal modello fondamentale a traliccio di Ritter-M¨orsch elaborato per il taglio della trave inflessa, il meccanismo resistente alla torsione viene concepito come un tracciato spaziale del traliccio stesso. La trave in c.a. viene dunque schematizzata con un ordito di aste di acciaio teso e di calcestruzzo compresso sviluppato entro una crosta periferica della sezione contenente le armature stesse (Fig. 90) In Fig. 91 `e rappresentato il traliccio periferico resistente di Rausch nel caso di una sezione quadrata per la quale pu`o essere disegnato in modo discretizzato. Posto che sui quattro bracci della staffa scorra una forza di trazione Qs costante e che le bielle di calcestruzzo compresso si orientino su ogni lato per ψ=45◦ coerentemente con l’assetto fessurativo riscontrato nelle prove, l’equilibrio di ogni nodo del traliccio porta a √ Qs = Qc / 2 Per l’equilibrio alla traslazione ed alla rotazione della sezione si ha ancora √ 4H − 4Qc / 2 = 0 √ T = 2bs Qc / 2 = 2bs Qs = 2bs H Per estendere la trattazione alle sezioni rettangolari si deve “distribuire” uniformemente il traliccio lungo l’asse della trave secondo il seguente criterio. Posto che in fase non fessurata l’equilibrio locale con la tensione τ agente si regge sulle relazioni (Fig. 92a): σI = σII = τ oltre il limite di fessurazione viene a mancare la tensione principale σI di trazione e l’equilibrio, convogliato entro lo spessore t della crosta periferica resistente, viene salvaguardato dall’attivazione del flusso qs di trazioni trasversali nelle staffe (Fig. 92b): √ qs = Qs /s = qc / 2 avendo indicato con s la spaziatura delle staffe stesse. Per la sezione rettangolare, armata ancora come indicato in Fig. 91 ove si ponga s 6= hs 6= bs , il momento 119

Figura 91: Visualizzazione del traliccio resistente a torsione torcente `e dato dalla somma dei contributi delle due coppie evidenziate in Fig. 93: qc bs qc hs qc T = √ + √ = 2bs hs √ 2 2 2 Posto A = bs hs , il flusso obliquo di compressioni si calcola di conseguenza con

√ T √ 2=q 2 2A che mette in evidenza la formula di Bredt delle sezioni ad anello chiuso. Di seguito si ricava la trazione distribuita nelle staffe con √ qs = q c / 2 = q qc =

Per l’equilibrio globale della sezione alla traslazione lungo l’asse della trave si otiene infine √ X Ql = Hi = (2bs + 2hs )qc / 2 i

e cio`e Ql = uq

Figura 92: Risultanti per il funzionamento del traliccio resistente a torsione 120

Figura 93: Contributi per il calcolo del momento torcente con u perimetro del profilo chiuso del traliccio resistente. Ragioni di simmetria possono portare, nel caso dell’armatura di Fig. 91, a definire con H = Ql /4 la forza di trazione su ognuno dei quattro ferri longitudinali della sezione. Resistenza torsionale Da questa trattazione si pu`o dedurre la resistenza torsionale di una trave provvista di una staffatura as = As /s (cm2 /m) e di una armatura longitudinale a1 = A1 /u (cm2 /m). Sul modello a traliccio la resistenza delle staffe porta a: As Tsd = 2Aqsd = 2A fsd = 2Aas fsd s La resistenza dei ferri longitudinali porta a: Tld =

2A Al Ql = 2A fsd = 2Aa1 fsd u u

La resistenza del calcestruzzo compresso porta infine a: 2A Tcd = √ qc 2 √ che, con qc = σc t 2, conduce a Tcd = Atfc2 dove con fc2 = 0.5fcd si `e indicata la resistenza ridotta, la stessa usata per il calcolo del “taglio- compressione”. Il minore tra i valori Tsd e Tld fornisce la resistenza a torsione-trazione propria delle travi mediamente armate, il valore Tcd fornisce la resistenza a torsionecompressione propria delle travi fortemente armate. Deboli armature portano infine

121

ad una resistenza torsionale coincidente con il limite di fessurazione della sezione di calcestruzzo, con Trd = W1 τrd = Wt fctd indipendente dalle armature stesse. Per la validit`a del modello di Rausch basato sul traliccio periferico resistente occorre rispettare alcuni accorgimenti progettuali nel tracciato delle armature. Per i ferri longitudinali si ha che: • la loro dislocazione nella sezione non influisce sensibilmente sulla resistenza, tanto che anche cavi di precompressione in posizione interna esplicano pienamente la loro funzione nel garantire l’equilibrio traslatorio longitudinale della sezione stessa; • `e indispensabile per`o la presenza di ferri agli spigoli della trave per garantire la deviazione dei flussi obliqui delle compressioni che scorrono entro la crosta periferica di calcestruzzo, ferri di diametro sufficientemente grosso in rapporto alla spaziature delle staffe che li racchiudono; • importante risulta infine l’adeguato ancoraggio terminale dei ferri, a garanzia della loro piena resistenza a trazione Per le staffe si ha che: • vanno efficacemente “chiuse” per garantire la trasmissione del flusso di trazione continuo su tutto il perimetro; • per la resistenza ultima la spaziatura tra le staffe va contenuta entro il limite s < bs , che consente appunto l’instaurarsi del traliccio resistente; • per il comportamento in esercizio, migliori prestazioni si ottengono con staffe di diametro minore e pi` u fittamente diffuse, perch`e portano a minori ampiezze di fessurazione; • la staffatura minima, secondo il criterio della non-fragilit`a resta quella gi`a definita per il taglio Da notare infine la convenienza, in base al modello isostatico qui presentato, di ripartire equamente l’armatura tra staffe e ferri piegati longitudinali con As u = Al s ovvero as = al poich´e ogni esuberanza di un ordine d’armature rispetto all’altro risulterebbe inutilizzabile nei riguardi della resistenza. In realt`a in questo caso sorgono degli effetti iperstatici che potenziano alquanto la resistenza. Armatura a spirale Il tipo di armatura torsionale qui sopra trattato `e quello generalmente adottato per le travi in c.a. Esiste un tipo diverso, in teoria pi` u efficace perch´e consente di ridurre le trazioni nell’acciaio e di contenere nel contempo le compressioni nel calcestruzzo. Si tratta di ferri sagomati a spirale con bracci inclinati

122

Figura 94: Schemi per il calcolo dell’armatura a spirale su ogni lato a 45◦ secondo la giacitura delle isostatiche di trazione. L’equilibrio di questo diverso traliccio (Fig. 94) si regge sulle relazioni: √ qs = qc = q/ 2 che portano ad una resistenza di torsione-trazione pari a √ √ Tsd = 2Aqsd 2 = 2Aas fsd 2 e ad una resistenza di torsione-compressione pari a √ Tcd = 2Aqcd 2 = 2Atfc2 senza la necessit`a di ferri longitudinali In realt`a servono sempre i ferri longitudinali agli spigoli della trave, necessari per la deviazione dei flussi delle compressioni oblique che scorrono entro la crosta periferica del calcestruzzo. Contrariamente a quella precedente, l’orditura di questo tipo di armatura dipende dal verso del momento torcente. Non pu`o quindi impiegarsi ove questo sia alterno. Se si aggiunge la maggiore complessit`a delle lavorazioni necessarie per eseguire la spirale, si comprende come l’armatura a torsione con tale tipo di ferri non trovi nella pratica diffuse applicazioni.

123

Parte III

Costruzioni in acciaio 13

IL MATERIALE ACCIAIO

13.1

Caratteristiche

Il termine acciaio individua particolari leghe-ferro-carbonio caratterizzate da ben definite quantit`a percentuali delle componenti. In particolare, le leghe ferro-carbonio si distinguono, sulla base del quantitativo di carbonio (C) in ghise (se il tenore, ossia il quantitativo percentuale in peso, di carbonio `e superiore all’1.7%) o acciai. Gli acciai per le costruzioni ad uso civile ed industriale, denominati anche “acciai da costruzione” o “acciai da carpenteria” hanno tenore di carbonio indicativamente compreso tra 0.1% e 0.3%. Il carbonio eleva le caratteristiche di resistenza, ma riduce la duttilit`a e la saldabilit`a del materiale; per tale motivo gli acciai da costruzione devono necessariamente essere caratterizzati da un basso tenore di carbonio. I pi` u importanti elementi chimici aggiuntivi sono il manganese ed il silicio che servono per ottenere acciai saldabili con elevate caratteristiche meccaniche. In alcuni casi si possono anche aggiungere cromo e nichel. Il materiale acciaio `e caratterizzato da un legame costitutivo tensione-deformazione (σ−) simmetrico a trazione e compressione. Usualmente viene determinato mediante la prova di trazione su spezzoni opportunamente lavorati ricavati dai profili. In Fig. 95 viene riportato il tipico legame costitutivo dovuto ad uno stato di sollecitazione mono-assiale per un acciaio da costruzione. In dettaglio, `e possibile individuare le seguenti fasi: • un primo tratto pressoch´e rettilineo (fase elastica) in cui il materiale ha un comportamento praticamente elastico lineare fino al raggiungimento della tensione di snervameto (fy ). La deformazione corrispondente a fy viene indicata con y . La pendenza in questo primo tratto individua il modulo di elasticit`a del materiale (detto anche modulo di leasticit`a longitudinale o modulo di Young), usualmente indicato con E, il cui valore `e compreso tra 190000 N/mm2 e 210000 N/mm2 ; • fase plastica caratterizzata, nel sistema di riferimento σ − , da una pendenza estremamente ridotta o addirittura nulla. Al termine di questo tratto la deformazione `e usualmente compresa tra 6 e 16 volte y ; • un ultimo tratto (fase incrudente) la cui pendenza `e sensibilmente minore rispetto a quella del primo tratto, fino ad arrivare alla rottura del provino, in corrispondenza della tensione fu . La deformazione corrispondente alla rottura u generalmente varia tra 160 y e 200 y . Il modulo elastico (definito incrudente) assume in questo tratto un valore compreso tra 4000 N/mm2 e 6000 N/mm2 . Usualmente il legame costitutivo dell’acciaio viene schematizzato con tratti lineari come indicato in Fig. 96 e nei calcoli progettuali si utilizza correntemente un modello elasto-plastico perfetto, ossia la pendenza e l’incremento di resistenza del 124

Figura 95: Schematizzazione del legame costitutivo per l’acciaio ramo incrudente sono trascurate, limitando la capacit`a portante al raggiungimento della tensione di snervamento. Di seguito viene fatto riferimento alla norma europea per le costruzioni in acciaio, denominata in forma abbbreviata EC3. L’EC3, relativmente ai coefficienti del materiale per i calcoli sulle costruzioni metalliche, prescrive i seguenti valori: • densit`a ρ=7850 kg/m3 • coefficiente di Poisson ν=0.3 • modulo di elasticit`a normale E=210000 N/mm2 • modulo di elasticit`a tangenziale o trasversale G =

E 2(1+ν)

• coefficiente di espansione termica lineare α = 12 × 10−6 ◦ C −1 Le caratteristiche meccaniche degli acciai maggiormanete utili zzati nelle costruzioni, ossia gli acciai denominate Fe 360, Fe 430 e Fe 510, sono presentate nella Tab. 2 in termini di valori minimi di tensione di snervamento (fy ) e di tensione di rottura (fu ). In modo analogo, la Tab. 3 `e riferita agli acciai utilizzati per bulloni. I valori delle tensioni di snervamento e di rottura riportati in queste tabelle possono essere adottati nei calcoli progettuali quali valori caratteristici del materiale. 13.2

I prodotti

I prodotti per le costruzioni in acciaio dell’edilizia civile ed industriale possono, a grandi linee, essere distinti in prodotti lunghi e prodotti piani. Nel primo caso si intendono elementi monodimensionali (ossia quelli per i quali la lunghezza prevale nei confronti delle dimensioni trasversali della sezione). Nei cataloghi dei produttori sono fornite le caratteristiche geometriche dei principali tipi di prodotti lunghi, unitamente agli eventuali riferimenti normativi che specificano tolleranze e dimensioni (in questo caso i profili vengono definiti unificati o normalizzati ). 125

Figura 96: Relazione tensione-deformazione (curva σ − ) per materiali metallici da carpenteria I prodotti piani, ottenuti da lamiere opportunamente lavorate, hanno invece uno sviluppo bidimensionale. Nelle strutture in acciaio questi prodotti vengono correntemente utilizzati per la realizzazione di strutture portanti di piano, di copertura e dei tamponamenti. In dettaglio, sono disponibili: • lamiere grecate a secco, anche con materiale isolante e coibentante (essenzialemnte per coperture o tamponamenti): queste sono correntemente impiegate negli orizzontamenti per luci fino a 12 m (sono disponiili lamiere grecate di altezza fino a circa 200 mm). Nel caso di tettoie, pensiline e coperture per edifici di importanza secondaria oppure per opere provvisionali, si utilizzano usualmente lamiere grecate non coibentate. L’estrema leggerezza della lamiera la rende per`o molto sensibile alle vibrazioni. In aggiunta, a causa della sua scarsa capacit`a coibentante, molti prodotti vengono commercializzati direttamente in pannelli con la coibentazione gi`a presente (Fig. 97) ed interposta tra le due lamiere (pannelli sandwich). Recentemente sono stati sviluppati anche prodotti speciali, come l’elemento grecato e centinato in Fig. 98 per applicazioni particolari quali le coperture di grande luce. • lamiere grecate per solai in conglomerato cementizio: queste sono usualmente disponibili in spessori da 0.6 mm a 1.5 mm e con altezze da 55 mm a circa 200 mm. Per la realizzazione dei solai intermedi di edifici ad uso civile si preferiscono soluzioni miste (dette anche composte) in acciaio e calcestruzzo a causa delle buone caratteristiche prestazionali ad esse associate. Usualmente l’altezza dei solai composti non `e mai inferiore a 80 mm e lo spessore del getto di completamento `e superiore ai 40 mm. La lamiera grecata funge da cassero per il conglomerato cementizio nelle fasi di getto e maturazione. Le sue pareti prossono presentare bugnature o sistemi regolari di rilievi, che rendono possibile la perfetta solidarizzazione tra acciaio e calcestruzzo. In questi casi la soletta pu`o essere considerata composta (Fig. 99), ossia deve essere progettata 126

Tabella 2: Valori nominali della resistenza allo snervamento fy e della resistenza a rottura fu per acciai strutturali conformi alla EN 10025 o EN 10113 Tipo nominale acciaio EN 10025 Fe 360 Fe 430 Fe 510 EN 10113 Fe E 275 Fe E 355

Spessore nominale dell’elemento t ≤ 40 mm 40 < t ≤ 100 mm 2 2 fy (N/mm ) fu (N/mm ) fy (N/mm2 ) fu (N/mm2 ) 235 275 355

360 430 510

215 255 355

340 410 490

275 355

390 490

255 335

370 470

mediante le regole utilizzabili per le strutture in conglomerato cementizio armato ovvero quelle per le strutture miste in acciaio e calcestruzzo, tenendo in conto anche il contributo resistente offerto dalla sezione della lamiera. In altri casi, la lamiera grecata, usualmente con pareti lisce, funge soltanto da cassero a perdere e pertanto la funzione resistente `e garantita dal solo conglomerato cementizio che deve quindi essere accoppiato a specifiche barre di armatura in acciaio. In ogni caso `e buona norma disporre in corrispondenza dell’estradosso della soletta reti elettrosaldate in acciaio al fine di limitare gli effetti legati ai fenomeni lenti del calcestruzzo ed assorbire le tensioni di trazione dovute ad eventuali carichi verticali concentrati sul solaio. Le scelte dei tamponamenti ed il dimensionamento delle lamiere per coperture e solai (sia a secco sia composti) sono usualmente effettuate mediante le tabelle di portata. In dettaglio, per goni tipologia di prodotto sono presenti, nel catalogo del produttore, specifiche tabelle nelle quali vengono indicate, in aggiunta al peso proprio per unit`a di superficie, il massimo valore della luce compatibile con determinati valori sia di carico o sovraccarico, in funzione della luce, per alcuni ricorrenti schemi statici (usualmente la trave in semplice appoggio e la trave continua a tre campate).

Tabella 3: Valori nominali della resistenza allo snervamento fyb e della resistenza a rottura per trazione fub per i bulloni Classe fyb (N/mm2 ) fub (N/mm2 )

4.6 240 400

4.8 320 400

5.6 300 500

127

5.8 400 500

6.8 480 600

8.8 640 800

10.9 900 1000

Figura 97: Tipico elemento coibentato 13.3

Le prove meccaniche di caratterizzazione del materiale

La conoscenza approfondita delle caratteristiche meccaniche del materiale acciaio, cos`ı come di ogni altro materiale da costruzione, risulta di fondamentale importanza per la definizione dei limiti di validit`a dei modelli di calcolo, proposti in letteratura, recepiti dalle normative e correntemente usati dali progettisti. In aggiunta alle prove di caratterizzazione del materiale di base o di quello dei prodotti lavorati, la vigente normativa prescrive l’esecuzione di prove di laboratorio su provini ricavati dalle componenti (prodotti piani e lunghi) impiegate nella costruzione in modo da verificare la rispondenza tra le ipotesi di progetto e le caratteristiche effettive del materiale. Il tipo di prova sicuramente pi` u conosciuto e diffuso `e rappresentato dalla prova di trazione monoassiale. Questa consente di ottenere alcune significative informazioni sul materiale, quali i valori della tensione di snervamento e di rottura e l’entit`a dell’allungamento percentuale a rottura ovvero la relazione completa tensione-deformazione. La prova consiste nell’applicare al provino (Fig. 100) una forza assiale di intensit variabile con la velocit`a di carico prefissata e modesta registrando l’allungamento ∆ in un tratto centrale del provino, ossia nella zona delimitata da due riferimenti tracciati prima della prova e posti alla distanza L0 . La tensione σ viene valutata dividendo il carico applicato per l’area nominale della sezione trasversale (Anom ), mentre la deformazione  `e stimata sulla base della

Figura 98: Esempio di lamiera grecata speciale

128

Figura 99: Tipico solaio composto in acciaio e calcestruzzo variazione della lunghezza iniziale tra i riferimenti ∆ come: =

∆ Ld − L0 = L0 L0

in cui Ld rappresenta la distanza tra i riferimenti durante la prova in corrispondenza del livello di carico applicato. Per acciai con tenore di carbonio fino allo 0.3%, ossia per gli acciai impiegati nella carpenteria metallica, la tipica relazione tensionedeformazione `e riportata in Fig. 101. Nella prima parte della prova la risposta in termini di relazione carico-allungamento `e elastica lineare. Dalla pendenza della curva σ −  si ricava il valore del modulo di elasticit`a longitudinale o modulo di Young E (E = tan α). In corrispondenza del valore di tensione pari a fy si manifesta il fenomeno dello snervamento, ossia la relazione σ −  `e caratterizzata da un tratto ondulato con andamento medio pressoch´e orizzontale dovuto all’insorgere di deformazioni plastiche (Fig. 101).

Figura 100: Tipiche provette per provini laminati 129

Figura 101: Tipica relazione tensione-deformazione σ −  per acciai da carpenteria Fino al raggiungimento della tensione di snervamento la contrazione trasversale del provino, dovuta all’effetto Poisson, `e estremamente contenuta. L’area effettiva della sezione trasversale viene assunta pari all’area nominale (Aef f = Anom ). Per liveli di carico superiori la contrazione trasversale del provino non `e pi` u trascurabile. Per una questione di praticit`a la tensione viene comunque sempre valutata riferendosi all’area nominale della sezione trasversale resistente e pertanto dalla prova si ottiene la curva a tratto pieno in Fig. 101. Questa fase, definita incrudente termina quando la deformazione del provino cessa di essere uniforme su tutta la sua lunghezza e si localizza in una zona limitata, ossia si manifesta la strizione. Segue infine un tratto discendente, nel quale `e possibile avere configurazioni di equilibrio del sistema soltanto diminuendo il cairco di prova finch`e non si manifesta la rottura del provino. Facendo invece riferimento all’area effettiva della sezione trasversale (Aef f ) le tensioni si incrementano sempre fino al termine della prova (curva tratteggiata in Fig. 101).

130

14

LE MEMBRATURE SEMPLICI

In questo capitolo si affronteranno le tematiche del comportamento e della verifica delle aste singole, in presenza degli stati di sollecitazione pi` u frequenti e significativi. Si ricorda che tutte le verifiche di resistenza e di stabilit`a devono essere riferite alle sollecitazioni determinate con riferimento agli stati limite ultimi, mentre quelle di deformabilit`a devono essere condotte sulla base delle condizioni di carico relative agli stati limite di servizio. Come gi`a introdotto nel capitolo dedicato al materiale, l’acciaio ha un legame costitutivo simmetrico a trazione e compressione. Un elemento strutturale in acciaio pu`o per`o avere una risposta globale non simmetrica a causa dei fenomeni di instabilit`a che si possono manifestare nelle sue parti compresse oppure nei pannelli che realizzano le anime delle travi. Senza entrare nei dettagli teorici del problema, l’instabilit`a che si manifesta negli elementi in acciaio pu`o essere distinta in: • instailibt`a globale, che interessa l’elemento in tutta la sua lunghezza o in una sua significativa frazione; • instabilit`a locale, che interessa le parti compresse della sezione trasversale dell’elemento. In questa forma di instabilit`a la dimensione delle semi-onde che caratterizzano la configurazione deformata del profilo (o di una sua parte) `e comparabile con le dimensioni trasversali della sezione dell’elemento (Fig. 102) Questi tipi di instabilit`a possono essere tra loro indipendenti oppure interagire. Nella progettazione si cerca di non farli interagire in modo da evitare una risposta dell’elemento o del sistema strutturale di difficile previsione. In accordo alla normativa [6] ogni componente compressa che realizza la sezione trasversale ha una classe di appartenenza che influenza la scelta del modello di rappresentazione del suo comportamento nella fase di dimensionamento e pertanto condiziona anche il metodo da utilizzare per l’analisi strutturale del sistema intelaiato. L’instabilit`a globale pu`o interessare ogni elemento indipendentemente dalla sua classe di appartenenza, mentre l’instabilit`a locale interessa solo i profili in classe 3 e 4. Le sezioni interessate dai fenomeni di instabilit`a locale non sono in grado di raggiungere il momento plastico di progetto o di sviluppare una adeguata capacit`a

Figura 102: Instabilit`a locale in profili a prete sottile 131

rotazionale necessaria per la ridistribuzione dei momenti e di conseguenza i metodi dell’analisi plastica non possono essere utilizzati. Gli elementi sensibili ai fenomeni di instabilit`a locale vengono definiti profili a parete sottile. La classe di appartenenza della sezione trasversale viene definita in funzione del rapporto dimensionale larghezza/spessore delle componenti della sezione sulla base dei criteri riportati nelle tabelle di normativa. Le parti compresse possono appartenere a classi diverse in funzione dei limiti dipendenti dallo stato di sollecitazione e dal parametro  legato alla tensione di snervamento del materiale (espresso in N/mm2 ). La sezione compressa, inflessa o presso-inflessa, viene classificata, sulla base della classe della componente meno favorevole, ossia scegliendo la classe pi` u alta. Di seguito si considereranno le regole progettuali ed i criteri di calcolo prevalentemente applicabili alle sezioni di classe 1, 2 e 3 rimandando a trattazioni pi` u specialistiche l’approccio progettuale per gli elementi realizzati con sezioni snelle, ossia soggette ai fenomeni di instabilit`a locale (classe 4). Nel caso di sezioni snelle gli approcci progettuali prevedono una riduzione delle caratteristiche prestazionali della sezione mediante una limitazione della tensione nelle parti compresse oppure tramite una diminuzione della parte reagente di sezione trasversale. Con riferimento alla seconda metodologia, il fenomeno dell’instabilit`a locale viene tenuto in conto riducendo l’area resistente della sezione, ossia mediante la definizione della larghezza efficace delle componenti compresse che realizzano la sezione. Ponendo l’attenzione su due situazioni tipiche e ricorrenti nella progettazione di profili in parete sottile, deve essere precisato che: • nel caso di elemento soggetto a forza assiale centrata, ossia con carico applicato nel baricentro G della sezione lorda, la definizione delle larghezze efficaci implica una riduzione dell’area della sezione alla quale riferirsi nelle verifiche strutturali. Nel caso di profilo con almeno due assi di simmetria la posizione del baricentro viene conservata, altrimenti la penalizzazione della sezione genera una sezione efficace avente baricentro G’ con coincidente con G e quindi `e indotta un’azione flettente aggiuntiva dovuta alla distanza tra il baricentro della sezione efficace e quello della sezione lorda (Fig. 103). Nelle verifiche si deve quindi tenere in conto che il profilo `e in realt`a soggetto ad una sollecitazione di presso-flessione; • nel caso invece di sezione inflessa, la penalizzazione della sezione porta ad una riduzione dell’area reagente a compressione, con conseguente diminuzione anche del modulo di resistenza della sezione e quindi l’asse neutro della sezione efficace non coincide con quello della sezione lorda (Fig. 104).

14.1

Gli elementi tesi

Usualmente gli elementi tesi vengono principalmente realizzati con profilati laminati a caldo, tondi o elementi a sezione rettangolare. La loro capacit`a portante `e essenzialmente influenzata da: • tensioni residue dovute al processo di lavorazione;

132

Figura 103: Penalizzazione della sezione compressa per effetto dell’instabilit`a locale • collegamenti alle estremit`a dell’elemento; La capacit`a portante dell’elemento teso `e condizionata dalla sua area netta, ossia dall’area effettivamente reagente della sezione d’attacco (Fig. 105). Nel caso in cui la trasmissione del carico avvenga in corrispondenza dell’asse baricentrico, l’area netta della sezione `e pari alla sua area lorda opportunamente ridotta per la presenza di fori e aperture. Se i fori sono disposti in modo sfalsato, l’area effettiva deve essere la minima tra quella della sezione retta e quella di sezioni passanti per i fori e depurate dagli stessi. La verifica di un elemento teso soggetto ad un’azione assiale di progetto NSd in corrispondenza di ogni sua sezione `e soddisfatta se non viene ecceduta la sua capacit`a portente Nt,Rd , ossia se: NSd ≤ Nt,Rd La resistenza di progetto a trazione Nt,Rd , deve essere assunta pari al valore minore tra la resistenza plastica di progetto della sezione lorda Npl,Rd , e la resistenza ultima di progetto della sezione retta Nu,Rd , in corrispondenza dei fori per i dispositivi di giunzione. Tali termini sono definiti come: Npl.Rd = Nu,Rd = 0.9

Afy γM 0 Anet fu γM 2

in cui A ed Anet rappresentano rispettivamente l’area della sezione trasversale lorda e della sezione netta in corrispondenza dei fori, fy ed fu sono rispettivamente la tensione di snervamento e di rottura del materiale e γM 0 e γM 2 sono i coefficienti di sicurezza del materiale. 14.2

Gli elementi compressi

Un elemento `e considerato compresso se `e soggetto ad azione assiale centrata oppure se `e pressoinflesso e l’eccentricit`a `e comunque estremamene modesta. Nella corrente pratica progettuale l’eccentricit`a si considera trascurabile se non eccede 1/1000 della lunghezza dell’elemento stesso. 133

Figura 104: Penalizzazione della sezione inflessa per effetto dell’instabilit`a locale 14.2.1 La verifica di resistenza Lo stato di sollecitazione di compressione semplice nei profili metallici `e sempre associato al fenomeno dell’instabilit`a. La verifica di resistenza deve essere quindi sempre accompagnata dalla verifica di stabilit`a. La verifica di una elemento compresso soggetto ad un’azione assiale NSd in corrispondenza di ciascuna sezione `e soddisfatta se non viene ecceduta la sua capacit`a portante Nc,Rd , ossia se: NSd ≤ Nc,Rd La resistenza di progetto a compressione Nc,Rd deve essere assunta pari al valore minore tra la resistenza plastica di progetto della sezione lorda, Npl,Rd e la resistenza di progetto all’instabilit`a locale della sezione lorda, No,Rd . Tali termini sono rispettivamente definiti come: Npl.Rd = No,Rd =

Afy γM 0

Aef f fy γM 1

Figura 105: Sezione di attacco per elementi tesi 134

in cui A ed Aef f rappresentano rispettivamente l’area della sezione trasversale lorda e l’area della sezione efficace (valutata in funzione della classe di appartenenza dell’elemento e dell’eventuale presenza di fori soltanto se asolati o maggiorati), fy `e la tensione di snervamento e γM 0 e γM 1 sono i coefficienti di sicurezza. Si osservi che i fenomeni di instabilit`a locale penalizzano la capacit`a portante di elementi compressi soltanto se questi appartengono alla classe 4, in quanto Aef f < A. Gli elementi compressi in classi 1, 2 e 3, per i quali l’area efficace coincide con l’area nominale (Aef f = A), hanno capacit`a portante data invece dal raggiungimento della tensione limite in ogni fibra della sezione trasversale (che pu`o quindi arrivare a completa plasticizzazione). 14.2.2 La verifica di stabilit`a Per il generico elemento compresso, nell’ipotesi che non siano presenti imperfezioni e che sia realizzato da un materiale avente legame costitutivo elastico-lineare (un elemento con queste caratteristiche viene definito asta ideale o asta di Eulero), esiste un valore di carico, definito carico critico elastico Ncr che attiva il fenomeno dell’instabilit`a dell’elemento. Nel caso di profili a I e H con almeno un asse di simmetria si ha che su questo giacciono il centro di taglio ed il baricentro del profilo e il fenomeno di instabilit`a torsionale pu`o generalmente essere trascurato, a differenza di quanto avviene con profili aventi sezioni trasversali di altre forme (per esempio quelli a croce, gli angolari o i profilati a T, in cui tutte le componenti convergono in un unico punto). Se il fenomeno dell’instabilit`a flessionale si manifesta prima di altre forme di instabilit`a, l’associato valore di carico `e definito come: π 2 EIy π 2 EIz , 2 Ncr = min L20,y L0,z (

)

in cui E rappresenta il modulo di elasticit`a della sezione I `e il momento d’inerzia ed L0 la lunghezza libera di inflessione, mentre i pedici y e z si riferiscono agli assi principali della sezione trasversale (di soli y individua l’asse forte e z quello debole). Dal punto di vista progettuale pu`o essere a volte conveniente riferirsi, anzich´e al carico critico, alla tensione critica σcr : π 2 Eρ2y π 2 Eρ2z Ncr = min , 2 σcr = A L20,y L0,z (

)

π2E π2E = min , λ2y λ2z (

)

(1)

in cui A rappresenta l’area della sezione trasversale dell’asta, ρ il raggio giratore q I d’inerzia (ρ = A ) e λ la snellezza dell’elemento (λ = Lρ0 ). La snellezza λ da considerare nelle verifiche `e la massima tra quella in direzione y e quella in direzione z. A titolo esemplificativo si consideri l’asta di Fig. 106 diversamente vincolata nei piani x-y e x-z. La lunghezza di libera inflessione del piano x-y `e da assumere pari a L/4, mentre nel piano x-z vale L/2. La trattazione dell’asta ideale non ha una concreta applicabilit`a in campo progettuale per il dimensionamento strutturale, essendo valida nel caso di elementi dotati di legame costitutivo perfettamente elastico-lineare e privi di imperfezioni. In 135

Figura 106: Influenza dei vincoli sulla lunghezza di libera inflessione realt`a, i profili che vengono impiegati nella corrente pratica costruttiva di edifici ad uso civile ed industriale, denominati aste industriali, sono sempre caratterizzati da: • materiale con legame costitutivo non lineare limitato nella resistenza e dotato di un tratto post-elastico caratterizzato da notevole deformabilit`a (tale legame `e approssimabile, ai fini progettuali, come elasto-plastico perfetto o elastoplastico incrudente); • imperfezioni meccaniche e geometriche, principalmente dovute ai procedimenti di lavorazione ed alla fase di assemblaggio in opera Nell’elemento di area A privo di imperfezioni e con la sola limitazione sulla resistenza (relativa al raggiungimento della tensione di snervamento fy ), il carico critico non pu`o mai risultare superiore alla forza Ny che provoca la completa plasticizzazione della sezione (Ny = fy A). Esprimendo graficamente l’equazione (1) in un sistema di riferimento tensione-snellezza e tenendo conto della limitazione associata alla tensione che non pu`o superare quella di snervamento si ottiene la curva di stabilit`a riportata nella Fig. 107. Quando il punto rappresentativo dello stato tensionale dell’elemento di snellezza λ `e al di sotto di questa curva non si ha collasso. L’intersezione tra la curva definita dalla (1) e la retta orizzontale in corrispondenza del livello tensionale fy i individua un punto (P) la cui ascissa λP viene denominata snellezza di proporzionalit`a, definita come: s

λP = π

E fy

Nella Tab. 4 vengono riportati, per i tipi di acciaio pi` u comuni, i valori dell’associata snellezza di proporzionalit`a valutata considerando E = 2100000 N/mm2 e assumendo i valori della tensione di snervamento dalla Tab. 2. 136

Figura 107: Dominio di resistenza tensione-snellezza per l’elemento compresso Per l’asta priva di imperfezioni (quindi per un caso ancora abbastanza lontano dalla realt`a) e non sensibile ai fenomeni di instabilit`a locale il significato della snellezza di proporzionalit`a `e immediatamente collegabile alla modalit`a di collasso dell’elemento strutturale: • se λ < λP la crisi avviene per raggiungimento della resistenza, ossia per schiacciamento e quindi per completa plasticizzazione della sezione; • se λ > λP si ha invece crisi per fenomeni di instabilit`a dell’asta • se λ = λP la crisi avviene per raggiungimento della resistenza e contemporanea instabilit`a dell’asta Le imperfezioni meccaniche e geometriche sono sempre presenti nell’elemento reale e influenzano anche significativamente la sua capacit`a portante. Con riferimento all’imperfezione iniziale, modellabile in via approssimativa con una deformata iniziale sinusoidale dell’asse longitudinale della trave, al crescere del carico applicato N aumenta anche l’inflessione δ e quindi l’azione flettente associata all’eccentricit`a del carico. L’asta `e pressonflessa e nella sezione di mezzeria si ha il massimo valore di momento (pari a N δ). Al crescere del carico aumenta quindi anche il valore della tensione massima nella fibra estrema che non pu`o per`o eccedere il valore della tensione limite del materiale. La risposta dell’asta, in termini di relazione carico-spostamento trasversale (Fig. 108), inizialmente coincide con quella dell’elemento ideale (essendo il materiale in campo elastico). Raggiunto a livello locale il valore della tensione limite si ha un decremento di rigidezza associato al valore ridotto del modulo elastico del materiale nelle zone della sezione sollecitate in campo post-elastico. Ne consegue una variazione di comportamento rispetto a quello dell’elemento ideale con una graduale perdita di rigidezza dell’elemento. Il valore Tabella 4: Valori della snellezza di proporzionalit`a Acciaio El. di spessore ≤ 40 mm Fe 360 93.91 Fe 430 86.81 Fe 510 76.41

137

El. di spessore > 40 mm 98.18 90.15 78.66

Figura 108: Relazione carico-spostamento trasversale per l’elemento industriale con imperfezioni iniziali critico Nu (inferiore al carico critico elastico Ncr corrisponde al raggiungimento della resistenza massima dell’elemento. Incrementi ulteriori dello spostamento δ implicano che l’equilibrio possa essere mantenuto soltanto se il valore del carico applicato diminuisce. Confrontando la relazione tra tensione e snellezza dell’asta ideale con quella dell’asta industriale si osserva che il legame costitutivo effettivo e la contemporanea presenza di imperfezioni riducono la capacit`a portante rispetto al caso di elemento ideale (Fig. 109). Il campo di separazione tra elementi che raggiungono la completa plasticizzazione del profilo e quelli in cui la capacit`a portante `e influenzata dai fenomeni di instabilit`a, a causa delle imperfezioni di tipo sia geometrico sia meccanico, si riduce sensibilmente passando da λP a circa 0.2 λP . Dal punto di vista progettuale la verifica dell’elemento compresso viene effettuata controllando che il valore della tensione non ecceda un valore limite (ovviamente non superiore alla tensione di snervamento del materiale) definito sulla base dei seguenti parametri: • snellezza dell’elemento: dal punto di vista prettamente teorico, nel caso di telai a nodi fissi, la lunghezza di libera inflessione dell’asta di lunghezza L varia tra

Figura 109: Curva di stabilit`a per l’elemento con e senza imperfezioni 138

0.5 L e L, mentre le colonne di telai a nodi mobili hanno lunghezza di libera inflessione variabile da L a ∞. Maggiori dettagli relativi ad una valutazione accurata dell lunghezza di libera inflessione L0 o egualmente del fattore di lunghezza efficace β = L0 /L sono specificati nei codici normativi assunti come riferimento della progettazione strutturale; • forma della sezione trasversale: nel prodotto finito nascono distribuzioni di tensioni residue dipendenti dalla forma della sezione trasversale a causa dei procedimenti di lavorazione utilizzati; • tipo di acciaio: le tensioni residue possono rappresentare una frazione non trascurabile di quella di snervamento e la capacit`a portante risulta pertanto ridotta rispetto al caso ideale di sezione con tensione nulla in ogni suo punto. In alternativa alla verifica in termini di tensioni `e possibile confrontare l’azione assiale di progetto direttamente con la capacit`a portante della sezione. La resistenza all’instabilit`a delle membrature compresse viene valutata come: fy Nb,Rd = χβA A γM 1 in cui A rappresenta l’area nominale della sezione trasversale, fy `e la tensione di snervamento del materiale, i termini βA e χ sono due fattori riduttivi e γM 1 `e il coefficiente di sicurezza del materiale. Il termine βA `e un coefficiente di riduzione dell’area nominale della sezione trasversale che tiene in conto eventuali fenomeni di instabilit`a locale della sezione e vale 1 per le sezione trasversali di classe 1, 2 o 3 mentre `e dato dal rapporto Aef f /A per le sezioni trasversali di classe 4. Il termine χ `e il coefficiente di riduzione per la modalit`a di instabilit`a pertinente. Questo pu`o essere valutato analiticamente, oppure ottenuto dalla normativa. Per applicare la normativa `e necessario calcolare la snellezza adimensionalizzata definita come: s βA Afy λ= Ncr in cui Ncr rappresenta la forza elastica critica per la modalit`a di instabilit`a pertinente. Calcolata la snellezza adimensionalizzata si entra in una tabella in cui, a seconda del tipo di profilo, si calcola il termine χ richiesto dalla formula per il calcolo di Nb,Rd . Poich´e nella tabella sono riportati valori discreti di λ, il valore cercato pu`o essere ottenuto per interpolazione lineare. La lunghezza di libera inflessione di una membratura compressa avente le estremit`a efficacemente mantenute in posizione rispetto agli spostamenti laterali, pu`o essere assunta, a favore di sicurezza, uguale alla sua lunghezza L. In alternativa, pu`o essere valutata in modo pi` u accurato determinando il fattore di lunghezza efficace β definito come L0 = βL sulla base dei vincoli offerti dalla restante parte di telaio all’asta isolata in esame. 14.3

Gli elementi inflessi

Il generico elemento inflesso `e usualmente soggetto anche ad azione tagliante, che deve perci`o essere esplicitamente considerata in fase di verifica. 139

Il dimensionamento dell’elemento inflesso deve essere condotto con riferimento sia alla condizione di deformabilit`a (stato limite di servizio) sia a quella di resistenza ed eventualmente di instabilit`a (entrambe riferite agli stati limite ultimi). Deformabilit` a I controlli sulla deformabilit`a sono prevalentemente associati alla condizione di utilizzo. Sulla base dei metodi propri della scienza e della tecnica delle costruzioni `e possibile calcolare il massimo abbassamento (usualmente in campo elastico) ν e confrontarlo con i valori limite ammessi dalla normativa di riferimento νLim , in modo che sia garantito che: ν ≤ νLim L’abbassamento dell’elemento inflesso in campo elastico dovrebbe essere sempre considerato come somma di due contributi, uno legato alla deformabilit`a flessionale ed uno legato al contributo tagliante: ν = νF + νT Il contributo tagliante pu`o essere stimato mediante il principio dei lavori virtuali. Nel caso particolare della trave in semplice appoggio, pu`o essere utilizzata l’espressione: Z T (x) dx νT = χT GA in cui la funzione T (x) esprime il valore del taglio nell’elemento, l’integrale `e esteso dalla sezione di appoggio a quelle in cui si vuole valutare l’abbassamento, G rappresenta il modulo di elasticit`a tangenziale, A l’area della sezione trasversale dell’elemento e χT il fattore di taglio della sezione. Il fattore di taglio `e un coefficiente adimensionale che dipende dalla forma della sezione. Il suo valore `e sempre maggiore dell’unit`a ed `e tanto pi` u grande quanto pi` u le tensioni tangenziali associate all’azione tagliante si scostano dalla distribuzione uniforme. Una valutazione rigorosa del termine χT pu`o essere condotta mediante l’espressione: A Z y00 Si2 dy χT = 2 I y 0 bi in cui I rappresenta il momento di inerzia della sezione y 0 e y 00 sono gli estremi della sezione e Si il momento statico rispetto all’asse neutro della parte di sezione sottesa alla corda di larghezza bi . Nel caso di sezione rettangolare si ha χT = 1.2. Nel caso dei profilati a doppio T delle serie IPE ed HE, il valore assunto varia nei seguenti intervalli: • per i profilati della serie IPE χT varia da 2.2 a 2.6; • per i profilati della serie HEA e HEB χT varia da 2.1 a 4.7; • per i profilati della serie HEM χT varia da 2.1 a 4.4. In alternativa alla definizione rigorosa del fattore di taglio, per i profilati a doppio T dotati di un asse di simmetria pu`o essere utilizzato un approccio approssimato che prevede la stima di χT come: χT =

A Aw

140

Tabella 5: Limiti di abbassamento per elementi orizzontali (da [6]); δ0 `e la premonta iniziale (contro-freccia) della trave nella condizione scarica, δ1 `e la variazione di inflessione dovuta ai carichi permanenti, δ2 `e la variazione dell’inflessione dovuta ai carichi accidentali. Condizioni δmax Copertura in generale Copertura praticata non solo dalla manutenzione Solai in generale Solai o coperture che reggono materiale fragile Solai su cui appoggiano colonne Casi in cui δmax pu` o compromettere l’aspetto dell’edificio

Limiti = δ1 + δ2 − δ0 L/200

δ2 L/250

L/250 L/200

L/300 L/250

L/200 L/400

L/350 L/500

L/250

-

in cui Aw rappresenta l’area dell’anima. I limiti di deformabilit`a sono prescritti dalla normativa. Vengono proposti, per gli elementi orizzontali, i valori limite degli spostamenti tenendo conto, oltre che della presenza dei carichi verticali permanenti e accidentali, anche della eventuale contro-freccia (o pre-monta iniziale), δ0 ossia di una deformazione permanente iniziale che viene volutamene impressa alla trave in stabilimento, opposta a quella associata ai carichi permanenti e accidentali. In questo modo, soprattutto per travi di grande luce o in presenza di forti carichi, `e possibile contenere la deformazione totale dell’elemento in esercizio. In dettaglio, con riferimento alla trave in semplice appoggio di luce L, vengono proposti nella Tab. 5 i limiti di deformabilit`a relativi sia allo spostamento totale, sia allo spostamento dovuto ai soli sovraccarichi. I valori riportati nella tabella sono validi anche per il caso di travi a mensola, considerando come lunghezza L il doppio della lunghezza dello sbalzo della mensola. Resistenza Relativamente alle verifiche di resistenza deve sempre essere controllato che la sollecitazione non ecceda la resistenza. La verifica pu`o essere affrontata sulla base di sue approcci differenti: • in termini tensionali, considerando le tensioni normali associate alla flessione, quelle tangenziali associate al taglio ed eventualmente una loro opportuna combinazione; • in termini di caratteristiche prestazionali globali della sezione (con riferimento al momento resistente di progetto ed alla resistenza a taglio di progetto della sezione). La massima tensione tangenziale associata al taglio τmax pu`o essere determinata mediante la trattazione approssimata di Jourawski. Si osservi che, per i profili ad I e ad H, come per altre forme comuni di sezioni trasversali con carico parallelo all’anima, il contributo delle ali alla resistenza a taglio `e estremamente modesto. 141

Usualmente, per il proporzionamento strutturale di tali elementi, `e lecito ipotizzare che solo l’anima assorba il taglio e pertanto la massima tensione tangenziale viene usualmente approssimata come: τmax =

T Ay

in cui T rappresenta il taglio agente sulla sezione e Ay `e l’area resistente a taglio. Nel caso ricorrente di profili a d I e ad H con carico parallelo all’anima, l’area resistente a taglio `e correntemente stimata come l’area dell’anima leggermente amplificata per tenere conto della presenza dei raccordi ala-anima. Nel caso ricorrente di flessione attorno ad un asse, viene richiesto che, in assenza di azione tagliante, il valore del momento di progetto MSd in corrispondenza di ciascuna sezione trasversale soddisfi la relazione: MSd ≤ Mc,Rd in cui Mc,Rd rappresenta il momento resistente di progetto della sezione trasversale, da assumersi in funzione della classe della sezione trasversale come: • per le sezioni trasversali di classe 1 e 2 viene fatto riferimento alle grandezze della sezione lorda, ossia Mc,Rd = Wpl fy /γM 0 in cui Wpl rappresenta il modulo di resistenza plastico, fy `e la tensione di snervamento e γM 0 il coefficiente di sicurezza; il modulo di resistenza plastico, riportato direttamente in alcuni profilari, corrisponde al doppio del momento statico di met`a sezione attorno all’asse neutro; • per le sezioni trasversali di classe 3: Mc,Rd = Wel fy /γM 0 in cui Wel rappresenta il modulo di resistenza elastico; • per le sezioni trasversali di classe 4: Mc,Rd = Wef f fy /γM 1 in cui Wef f rappresenta il modulo di resistenza della sezione efficace. Tutti i profili della serie IPE e realizzati in acciaio Fe 360, Fe 430 oppure Fe 510 appartengono, per sollecitazioni di pura flessione, alla classe I ossia hanno sezione compatta e pertanto la verifica di resistenza deve essere basata su quella per le classi 1 e 2. Il valore dell’azione tagliante VSd in ogni sezione trasversale non deve eccedere la resistenza a taglio plastica di progetto, ossia deve essere verificato che: √ VSd ≤ Av fy /( 3γM 0 ) L’area resistente a taglio Av pu`o essere determinata come segue: • profilati laminati a I e H con carico parallelo all’anima Av = A − 2btf + (tw + 2r)tf • profilati laminati a C con carico parallelo all’anima Av = A − 2btf + (tw + r)tf • sezioni saldata a I e H con carico parallelo all’anima Av =

P

• sezioni saldate a I e H con carico parallelo alle ali Av = A − 142

(dtw )

P

(dtw )

Figura 110: Deformata per svergolamento di travi inflesse • profilati cavi rettangolari di spessore uniforme con carico parallelo all’altezza Av = Ah/(b + h) • profilati cavi rettangolari di spessore uniforme con carico parallelo alla larghezza Av = Ab/(b + h) • piatti e barre piene Av = A Facendo riferimento alla sezione trasversale del profilo, A rappresenta l’area, b e h individuano rispettivamente la larghezza e l’altezza totale, d l’altezza dell’anima r il raggio di raccordo tra ala e anima, t lo spessore e i pedici f e w sono riferiti rispettivamente all’ala ed all’anima. Stabilit` a Gli elementi inflessi possono manifestare una particolare forma di instabilit`a costituita dalla instabilit`a laterale, anche chiamata svergolamento o instabilit`a flesso-torsionale. Questa `e dovuta alla forza di compressione che agisce su una parte di profilo (per elementi in semplice appoggio con carichi verticali `e l’ala superiore del profilo) e che pu`o provocare sbandamento laterale ed al contempo torsione, ossia traslazione e rotazione della sezione, senza che il profilo riesca perci`o ad esplicare le proprie risorse flessionali. Le grandezze statiche e geometriche che influenzano questa forma di instabilit`a sono principalmente la lunghezza della trave, la distribuzione dei carichi e dei vincoli, le rigidezze flessionali e torsionali della sezione e la quota di applicazione del carico rispetto al baricentro ad al centro di taglio della sezione. La posizione del carico `e estremamente rilevante nei confronti della capacit`a portante qualora si possa manifestare l’instabilit`a laterale. Nel caso di profilati a I e H il carico applicato sull’ala superiore ha un effetto instabilizzante, mentre ha effetto stabilizzante quando `e applicato all’ala inferiore. Nella Fig. 110 vengono riportate, a titolo di esempio, due configurazioni deformate tipiche dell’instabilit`a flesso-torsionale relative alla trave in semplice appoggio con vincoli torsionali alle estremit`a ed alla mensola. Il momento resistente di progetto Mb,Rd alla instabilit`a della trave non

143

controventata lateralmente e con carico parallelo all’anima `e definito come: Mb,Rd = χLT βw Wpl,y

fy γM 1

in cui Wpl,y rappresenta il modulo di resistenza plastico rispetto all’asse forte (asse y), fy la tensione di snervamento del materiale, i termini βw e χLT sono due coefficienti riduttivi e γM 1 `e il coefficiente di sicurezza. Il termini βw si assume pari a 1 per le sezioni trasversali di classe 1 e classe 2, vale Wel,y /Wpl,y per le sezioni trasversali in classe 3 ed `e dato da Wef f,y /Wpl,y per le sezioni di classe 4. Il termine χLT `e il coefficiente di riduzione per l’instabilit`a flesso-torsionale dato da: 1

χLT = φLT +

q

φ2LT − λ2LT

in cui il termine φLT `e definito come: φLT = 0.5[1 + αLT (λLT − 0.2) + λ2LT ] ove αlLT rappresenta il coefficiente di imperfezione (da assumere paria 0.21 per le sezioni laminate e 0.49 per le sezioni saldate) mentre la snellezza adimensionalizzata `e data da: q λLT = βw Wpl,y fy /Mcr Il termine Mcr rappresenta il momento critico elastico per instabilit`a flesso-torsionale. Nel caso pi` u generale di sezione trasversale uniforme doppiamente simmetrica `e possibile stimare il momento critico come: 2

Mcr = C1

v u EIz u t  2

π (kL)

k kW

!2



IW + Iz

(kL)2 GIt π 2 EIz

+ (C2 zg )2 − C2 zg  

in cui: • zg rappresenta la distanza tra il punto in cui viene applicato il carico ed il centro di taglio della sezione; • il termine kw `e un coefficiente di lunghezza efficace nei confronti dell’ingobbamento ad un estremo: assume un valore variabile da 0.5 (associato al caso di incastro completo) fino a 1 (relativo al caso in cui non `e presente incastro). Nel caso in cui agli estremi si abbiano un incastro ed un estremo libero si assume kw =0.7; • il termine k `e un coefficiente di lunghezza efficace nei confronti della rotazione di un estremo nel piano: assume un valore variabile da 0.5 (associato al caso di incastro completo) fino a 1 (relativo al caso in cui non `e presente incastro). Nel caso in cui agli estremi si abbiano un incastro ed un estremo libero di assume k=0.7; • It esprime la costante di torsione; • Iz `e il momento di inerzia intorno all’asse debole; 144

• L `e la lunghezza della trave fra i punti che hanno vincolo laterale; • i valori dei coefficienti C1 e C2 dipendenti dalle condizioni di carico e di vincolo all’estremo sono riportati nella normativa [6] per le condizioni di carico maggiormente ricorrenti al variare dl coefficiente di lunghezza efficace k relativo alla rotazione di un estremo nel piano; • IW `e la costante di ingobbamento che nel caso di profili semplici a I oppure a H senza irrigidimenti di bordo `e definita come: IW =

IZ (h − tf )2 4

con h altezza del profilo e tf spessore delle ali.

145

15

LE MEMBRATURE COMPOSTE

Le membrature singole, trattate nel precedente capitolo hanno caratteristiche geometriche strettamente vincolate alle loro modalit`a di realizzazione e quindi alla gamma di prodotti disponibili. Nonostante trovino un esteso utilizzo in ambito civile ed industriale, a volte le loro prestazioni statiche non sono adeguate all’utilizzo richiesto, ovvero non rappresentano la soluzione economicamente pi` u conveniente. Facendo, per esempio, riferimento ai comuni profilati a doppio T, le ali contribuiscono in misura prevalente alla definizione del momento di inerzia della sezione e pertanto condizionano la deformabilit`a e lo stato tensionale associato alla flessione; l’azione tagliante `e invece sostenuta principalmente dall’anima del profilo stesso. A parti`a di quantit`a di materiale impiegato nelle ali (a parti`a cio`e di area della sezione trasversale delle ali), un aumento dell’altezza del profilo provoca quindi non trascurabili incrementi del momenti di inerzia e pertanto una riduzione della deformabilit`a e dello stato tensionale con peso comunque pi` u elevato per maggiore quantitativo di materiale per realizzare l’anima del profilato. Con elementi di grande luce, o con carichi di rilevante entit`a, oppure quando si manifestano entrambe le condizioni, `e molte volte conveniente utilizzare profili composti, ossia elementi ottenuti collegando tra loro, in modo trasversalmente discontinuo, membrature singole opportunamente distanziate per garantire prestazioni adeguate con un sensibile contenimento di peso dell’elemento portante. A fronte dei vantaggi che caratterizzano questi tipi di membrature, confrontando, a parit`a di richieste prestazionali, un elemento composto con uno a parete piena, il primo presenta usualmente un ingombro maggiore, una minore rigidezza trasversale a causa della non trascurabile influenza del contributo deformativo associato all’azione tagliante ed un costo dell’unit`a di peso pi` u alto connesso alle lavorazioni da attuare per la sua realizzazione. L’attenzione verr`a posta di seguito sulle travi reticolari e sulle aste composte, intendendo le prime interessate prevalentemente ad azione assiale e le seconde soggette a carichi trasversali. 15.1

Le aste composte

Le aste composte sono formate da due o pi` u correnti distanziati ed opportunamente vincolati tra loro in modo discontinuo; ogni corrente pu`o, a sua volta, essere realizzato con uno o pi` u profili collegati tra loro. Il campo preferenziale di utilizzo di questa tipologia di elementi `e quello in cui si hanno lunghezze di libera inflessione elevate ed al contempo carichi di non rilevante entit`a. La risposta globale di una membratura composta dipende, in maniera a volte sostanziale, dalla deformabilit`a per flessione e taglio, La deformabilit`a per flessione `e legata al momento di inerzia della sezione composta, mentre quella per taglio `e prevalentemente imputabile alla deformabilit`a delle aste di collegamento e dei correnti. La capacit`a portante degli elementi composti `e principalmente influenzata da: • comportamento globale dell’elemento; • comportamento locale delle singole componenti; 146

Figura 111: Aste composte: a) tralicciate, b) calastrellate e c) abbottonate • tipo di collegamento tra le componenti ed azioni che le impegnano A seconda del tipo di collegamento `e possibile classificare le aste composte in: • aste tralicciate (Fig. 111a), costituite da correnti collegati tra loro mediante un traliccio, in cui ogni tratta di corrente pu`o, in genere, essere considerato come un’asta isolata, semplicemente compressa ed avente lunghezza di libera inflessione pari all’interasse dei collegamenti (Fig. 112a). La deformabilit`a per taglio dell’elemento composto dipende principalmente dalla rigidezza assiale dell’elemento diagonale e del traverso; • aste calastrellate (Fig. 111b), costituite da correnti collegati tra loro mediante piastre rettangolari (calastrelli), in cui i correnti sono compressi ed inflessi ed il diagramma delle azioni flettenti `e in via approssimata schematizzabile con andamento tipicamente lineare (Fig. 112b). La deformabilit`a per taglio dell’elemento composto dipende prevalentemente dalla deformabilit`a flessionale di correnti e calastrelli; • aste abbottonate (Fig. 111c), costituite da correnti ravvicinati tra i quali vengono interposte lamiere in acciaio. I correnti sono compressi ed inflessi mentre il diagramma delle azioni flettenti ha andamento tipicamente non lineare e deve essere valutato con riferimento alla configurazione deformata dell’elemento (Fig. 112c). La deformabilit`a per taglio dipende in modo sostanziale dalla deformabilit`a flessionale per taglio dipende in modo sostanziale dalla defomabilit`a flessionale di correnti e collegamenti, nel caso di giunzioni bullonate.

147

Figura 112: Modelli di calcolo per aste composte: a) tralicciate, b) calastrellate e c) abbottonate Gli approcci progettuali, ripresi poi dalle normative di settore, forniscono limitazioni dimensionali alla geometria della aste composte, in modo da evitare, o comunque limitare, l’interazione tra instabilit`a globale della membratura e instabilit`a locale delle singole componenti. La determinazione della capacit`a portante delle aste composte pu`o essere basata sul criteri della snellezza equivalente (se due sistemi strutturali differenti tra loro ma con la medesima sezione trasversale hanno lo stesso carico critico elastico, allora hanno anche la medesima capacit`a portante), in accordo a quanto previsto dalla normativa. In dettaglio, per l’asta composta, viene definita una snellezza equivalente λeq dipendente dalla snellezza del singolo corrente λ opportunamente incrementata per effetto della deformabilit`a a taglio associata al collegamento trasversale discontinuo. Per l’asta semplice, la snellezza equivalente λeq `e definita come: s

χT π 2 E G L’espressione per le aste composte dipende dalla tipologia di elemento in esame e dalla sua geometria, come si vedr`a in seguito. I criteri progettuali sviluppati per le aste composte sono in sostanza differenziati in funzione della distanza tra i baricentri dei due correnti, h0 e del raggio giratore di inerzia del corrente nella direzione di sbandamento che si considera, i1 . Si distinguono: λeq =

λ2 +

• aste con correnti distanziati se h0 > 6i1 : appartengono a questa tipologia di elementi composti tipicamente le aste tralicciate e le aste calastrellate, utilizzate prevalentemente per la realizzazione delle colonne composte; • aste con correnti ravvicinati se h0 < 3i1 : tipicamente le aste abbottonate, ossia gli elementi utilizzati frequentemente per la realizzazione di correnti, diagonali e montanti delle travature reticolari. 148

Figura 113: Collegamenti in grado di assorbire forze di scorrimento Un aspetto particolarmente importante relativo alle aste composte `e quello dei collegamenti. Una loro eccessiva deformabilit`a penalizza sensibilmente la capacit`a portante e pertanto questi devono essere sempre saldati ovvero bullonati con adeguato grado di serraggio, al fine di evitare significativi scorrimenti anelastici per effetto del gioco foro-bullone. Non tutti i tipi di collegamenti devono necessariamente avere un funzionamento statico, ossia assorbire le forze di scorrimento tra i due correnti. Per esempio, nel caso di aste composte con correnti ravvicinati, i collegamenti possono avere una funzione cinematica impedendo lo sbandamento dell’elemento composto nella direzione di minore rigidezza della singola componente. Con riferimento alla situazione di Fig. 113 si osservi che per sbandamenti in direzione x la sezione `e composta (caso a). Per sbandamenti in direzione y, invece, i due angolari si comportano come un’asta semplice. (caso b). La determinazione della capacit`a portante delle aste composte `e basata sul concetto di snellezza equivalente. Questa, nel caso di aste composte, dipende dal raggio giratore di inerzia della sezione composta ossia dalle propriet`a inerziali del corrente e della loro distanza. Nel seguito, con riferimento a due tipiche configurazioni di aste composte, sono proposti i principali passaggi per la valutazione del carico critico. Aste tralicciate Il carico critico ideale di instabilit`a dell’asta `e Ncr,id = βeq =

v u u t1 + π 2 EI

L2

1 b + 2 EAd sin φ cos φ aEAb

π 2 EI βeq L2

con:

!

La funzione f (φ) = sin φ cos2 φ assume valori massimi per 30◦ < φ < 45◦ . In tale campo si ha quindi la massima efficienza della tralicciatura. Per il significato dei simboli ci si riferisca alla Fig. 114. Aste calastrellate Nel caso di aste calastrellate i correnti cono compressi ed inflessi con un diagramma delle azioni flettenti approssimabile come lineare (valutato 149

Figura 114: Contributi deformativi nel generico campo dell’asta tralicciata: a) l’allungamento del diagonale e b) l’accorciamento del trasverso con riferimento alla configurazione indeformata). Il carico critico elastico viene in questo caso espresso come: 

Ncr,id

π 2 EI  1  = 2 2 a EI L 1 + π 2 L2 24EIcor +

 ab 12EIcal

+

χT a bAcal G



essendo I il momento di inerzia della sezione composta. Il fattore βeq nel caso di aste calastrellate `e definito come: βeq = 15.2

v u u t1 + π 2 EI

L2

ab χT a a2 + + 24EIcor 12EIcal bAcal G

!

Le travi reticolari

Le travi reticolari sono particolarmente indicate, a differenza delle soluzioni tradizionali con profilati singoli a parete piena, per applicazioni in cui si debbano coprire grandi luci o siano presenti forti carichi, a causa della loro leggerezza e delle notevoli prestazioni. Le componenti fondamentali delle travi reticolari sono: • i correnti (detti anche briglie) che possono essere considerati equivalenti alle ali dei profili a parete piena; • le aste di parete, dette anche aste di traliccio, che vengono distinte in montanti se disposte verticalmente oppure ortogonalmente ad almeno un corrente e diagonali se non soddisfano la condizione sopra riportata • i collegamenti tra gli elementi che compongono la trave reticolare, tipicamente distinti in nodi di attacco delle aste di parete e in giunti di corrente. Correnti e aste di parete possono essere realizzati con profili singoli ovvero con elementi composti, tipicamente le aste a correnti ravvicinati. 150

Figura 115: Tipologie di travi reticolari a correnti non paralleli Negli edifici industriali sono comunemente utilizzate, soprattutto per la realizzazione delle capriate, le tipologie della Fig. 115, differenti tra loro per forma e tracciati. Molto utilizzati sono i seguenti tipi di capriata: a cesoia, Fink (o Polonceau), inglese (o Howe), Bowstring. Particolarmente impiegate in ambito civile e nella realizzazione di ponti, viadotti e passerelle pedonali sono invece le travi reticolari a correnti paralleli. Nella Fig. 116 sono presentate alcuna tra le pi` u diffuse tipologie delle travi reticolari a correnti paralleli, ed in particolare: a) trave reticolare con traliccio a V e montanti verticali in cui si alternano diagonali tese e diagonali compresse; b) trave reticolare con traliccio a V con aste di parete costituite soltanto da diagonali (trave Warren); c) trave reticolare con diagonali tese e compresse e montanti posti soltanto negli angoli aperti verso l’alto, atti a trasmettere i carichi concentrati ai nodi inferiori; d) trave reticolare con traliccio a N in cui tutte le diagonali sono tese (trave Pratt); e) trave reticolare con traliccio a N in cui tutte le diagonali sono compresse (trave Linville). Le soluzioni di trave reticolare Warren e Pratt con corrente superiore inclinato (per esempio a semplice e a doppia pendenza) sono ricorrentemente utilizzate anche per la realizzazione della copertura di edifici industriali. 151

Figura 116: Tipologie di travi reticolari a correnti paralleli Le travi reticolari, indipendentemente dai dettagli che realizzano i collegamenti (saldature o bullonature), sono usualmente dimensionate sulla base di uno schema che considera ogni asta incernierata alle sue estremit`a. L’adozione di un simile modello di calcolo risulta a favore di sicurezza a patto che siano soddisfatte le seguenti condizioni: • per tutte le aste compresse devono essere assunte lunghezze di libera inflessione nel piano della trave pari alla distanza tra i vincoli ideali di cerniera. I momenti flettenti dovuti alla continuit`a delle aste possono essere trascurati a patto che non si sfrutti la solidarizzazione ai nodi per ridurre la lunghezza libera di inflessione (e quindi incrementare la capacit`a portante dell’asta). Per aumentare quindi le caratteristiche prestazionali delle aste di parete pu`o essere inserita un’orditura secondaria o locale, indicata nella parte b) della Fig. 115, composta da elementi aggiuntivi che limitano la lunghezza di libera inflessione dei correnti nel piano della trave reticolare; • lo schema della trave deve essere tracciato con riferimento agli assi baricentrici e ci deve essere sempre totale rispondenza tra il modello di calcolo e la struttura realizzata. Gli assi baricentrici di tutti gli elementi concorrenti in un nodo devono convergere dove `e stata ipotizzata la cerniera. Nel caso in cui ci`o non venga garantito (Fig. 117), possono nascere azioni taglianti e flettenti, di entit`a non trascurabile, che se non debitamente conteggiate nella progettazione, riducono anche pericolosamente la capacit`a portante dell’elemento composto reticolare. Nella Fig. 118 sono presentate le soluzioni pi` u ricorrenti, a livello di componenti, per la realizzazione delle travi reticolari a correnti paralleli. In dettaglio, `e possibile osservare: 152

Figura 117: Dettagli del nodo di attacco e associati modelli di calcolo a) trave con correnti a T e diagonali realizzati con tondi; b) trave con correnti a T e diagonali realizzati con angolari e con profili a C; c) trave in profili leggeri costituiti da lamiere sottili sagomate a freddo; d) trave con profili tubolari cavi; e) trave reticolare con correnti costituiti da profili a C accoppiati e aste di parete realizzate con angolari; f ) trave reticolare con correnti costituiti da profili a C accoppiati e aste di parete realizzate con angolari; g) trave reticolare con correnti a doppio T e aste di parete realizzate con profili a C accoppiati; h) trave reticolare interamente realizzate da profilati a doppio T. La fase di progettazione delle travi reticolari deve essere condotta con riferimento a: • stati limite di servizio relativi alle condizioni di deformabilit`a; • stati limite ultimi di resistenza relativi allo stato tensionale locale di tutte le componenti (aste e collegamenti); • stati limite ultimi di instabilit`a degli elementi compressi e presso-inflessi della trave reticolare dell’intero corrente compresso.

153

Figura 118: Dettagli di alcune comuni tipologie di travi reticolari La deformabilit` a Lo spostamento trasversale nel caso di travi reticolari pu`o essere determinato con i metodi classici della scienza e tecnica delle costruzioni, come il principio dei lavori virtuali, o il metodo degli elementi finiti, oppure mediante trattazioni semplificate. Mediante l’applicazione del principio dei lavori virtuali lo spostamento trasversale di una trave reticolare viene stimato considerando soltanto i contributi relativi ad allungamento od accorciamento delle aste. In dettaglio, data una trave reticolare composta da m aste in acciaio (con modulo di elasticit`a sempre pari a E) lo spostamento v viene stimato come: v=

m X

Ni Ni1 Li EAi i=1

dove Li ed Ai rappresentano rispettivamente la lunghezza e l’area della generica asta mentre Ni e Ni1 sono le azioni interne su questa relative rispettivamente alla 154

Figura 119: Tipica trave reticolare con giunti nei correnti condizione di carico data ed a quella generata da una forza unitaria applicata nella sezione di cui si vuole conoscere lo spostamento. Un importante contributo in termini di spostamento, caratteristico delle travi reticolari con collegamenti bullonati, `e quello associato agli scorrimenti forobullone. Una stima di questo contributo tipicamente anelastico, denominato di seguito vF B pu`o essere ottenuta come somma di un’aliquota dovuta agli assestamenti dei giunti dei correnti vC ed una dovuta a quelli agli estremi delle diagonali vD . In dettaglio, con riferimento alla simbologia nella Fig. 119, lo spostamento vF B viene valutato come: L Ld nL (φ − d) + (φ − d) vF B = vC + vD = 6n p h in cui (φ − d) rappresenta la differenza tra il diametro del foro e quello del bullone, n `e il numero totale dei giunti nei correnti di tipo a sovrapposizione (i giunti con coprigiunti valgono doppio), L e h sono rispettivamente luce e altezza della trave reticolare, p il passo dei nodi delle aste di parete e Ld la lunghezza dei diagonali. La resistenza Le verifiche di resistenza degli elementi che compongono la trave reticolare vengono effettuate sulla base dei criteri gi`a presentati in precedenza. Nel caso di elementi compressi o presso-inflessi devono essere effettuate anche le verifiche di stabilit`a sia sull’elemento del singolo campo sia sull’intero tratto di corrente compresso. Alcuni problemi possono per`o sorgere se gli elementi diagonali bullonati sono realizzati con un angolare singolo (esempi b), e) ed f) nella Fig. 118), profilo che non pu`o essere forato in corrispondenza dell’asse baricentrico poich´e dado e rondella interferiscono con il lato non forato o con il raggio di raccordo dell’angolare, ossia non `e disponibile fisicamente lo spazio per il loro posizionamento e serraggio. Si preferisce quindi effettuare usualmente la foratura in corrispondenza dell’asse di truschino (Fig. 120a) che non `e per`o l’asse baricentrico del profilo. Volendo rispettare ancora la condizione che gli assi baricentrici di tutte le aste che concorrono in un nodo convergano nello stesso punto, la piastra di nodo `e soggetta all’azione assiale trasmessa dall’angolare N mentre i bulloni, eccentrici rispetto alla retta di applicazione del carico, devono essere in grado di assorbire un’azione flettente parassita N e che interessa sia la piastra sia l’angolare (Fig. 120b). 155

Figura 120: Dettagli relativi alla sezione di attacco di un angolare singolo In alternativa alla definizione dell’elemento composta in base agli assi baricentrici delle componenti, scomoda per il disegno e la tracciatura delle piastre in quanto i fori non concorrono in un unico punto, `e preferibile tracciare i nodi di attacco della trave reticolare sulla base degli assi di truschino (Fig. 121a). In questo caso gli assi baricentrici si intersecano a coppie. Con riferimento al nodo della trave reticolare nella Fig. 121b in cui i punti A, B e C rappresentano le intersezione tra gli assi baricentrici degli elementi, si ha un momento flettente parassita (N4 e) che deve essere ripartito tra le varie aste. La stabilit` a La lunghezza di libera inflessione Le,v nel piano della capriata viene usualmente assunta come la distanza tra i due vincoli ideali di cerniera (Fig. 122a) e nel caso di collegamenti bullonati ci`o viene garantito se i bulloni di ogni collegamento sono almeno 2. Si osservi per`o che gli elementi compressi possono sbandare anche fuori dal piano della capriata e pertanto si rende necessario valutare la pertinente lunghezza di libera inflessione Le,h fuori piano (Fig. 122b), che dipende dall’orditura tridimensionale della struttura. La limitazione di Le,h pu`o essere affidata ai controventi orizzontali di piano/copertura (Fig. 123a), ad una specifica controventatura longitudinale (Fig. 123b), oppure vincolando i punti inferiori con quelli superiori della trave reticolare (Fig. 123c) tramite elementi tesi (o sistemi di funi) che possono lavorare alternativamente a seconda della direzione in cui tende a verificarsi lo sbandamento.

156

Figura 121: Tracciamento del nodo con diagonale realizzata da un angolare singolo

Figura 122: Forme di instabilit`a di correnti compressi in travi reticolari

157

Figura 123: Tipiche controventature per travi reticolari

158

16

LE UNIONI BULLONATE

Nella storia delle costruzioni metalliche l’evoluzione dei prodotti `e sempre stata strettamente collegata allo sviluppo di adeguate tecniche di giunzione. In passato, i collegamenti di elementi in acciaio mediante organi meccanici erano realizzati, nella quasi totalit`a dei casi, mediante chiodatura o rivettatura, Queste tecniche sono ora praticamente scomparse nella pratica costruttiva a favore delle unioni bullonate e saldate. 16.1

Generalit` a

Le unioni bullonate permettono una rapida esecuzione in officina e semplificano l’assemblaggio dei pezzi in cantiere (dove generalmente la saldatura presenta difficolt`a esecutive, specie a basse temperature o in quota). La giunzione bullonata ha come componenti fondamentali (Fig. 124): a) vite con testa (detta comunemente bullone) generalmente esagonale, o con gambo completamente o parzialmente filettato. Il diametro nominale dei bulloni per costruzioni di carpenteria civile `e abitualmente compreso tra i 12 mm ed i 30 mm; b) dado, usualmente di forma esagonale; c) rosetta, di forma per lo pi` u circolare. Nel caso in cui possa sussistere il pericolo di vibrazioni che portano al disserraggio del dado, `e indispensabile l’utilizzo di controdadi o di rosette di tipo elastico. L’abbinamento tra vite e rosetta deve essere in accordo a quanto prescritto dalle vigenti norme. Il generico bullone pu`o essere impegnato da forze perpendicolari oppure parallele all’asse del gambo, o da una combinazione delle due. In questo caso il bullone risulta interessato da sollecitazioni di taglio e trazione. Le verifiche delle unioni bullonate sono eseguite sulla base di modelli semplificati di comportamento. I valori convenzionali delle tensioni sono confrontati con i limiti forniti dalla normativa in funzione della resistenza delle componenti. La progettazione viene basata sull’ipotesi di pressioni uniformemente distribuite sui fori

Figura 124: Componenti di base dell’unione bullonata 159

Figura 125: Tipica unione a taglio e sul gambo dei bulloni, trascurando usualmente la deformazione della lamiera sotto carico, l’inflessione del gambo e le concentrazioni di tensioni in corrispondenza dei bordi dei fori. Di seguito vengono proposti alcuni concetti fondamentali relativi alle unioni elementari bullonate, rimandando poi ad un successivo paragrafo la trattazione degli specifici approcci necessari per le verifiche delle giunzioni. 16.2

Unioni a taglio

Nell’unione a taglio i piatti collegati risultano sollecitati mediante una forza agente nel piano di contatto dei piatti stessi ed i bulloni sono sollecitati da una forza ortogonale all’asse del gambo (Fig. 125). Il comportamento `e sostanzialmente diverso a seconda che i bulloni lavorino a taglio o ad attrito. Nel primo caso il bullone `e attivo quando la superficie laterale del gambo `e a contatto con la superficie del foro, e pertanto quando queste due componenti si sono reciprocamente adattate in campo plastico riprendendo il gioco foro-bullone. Si ammette che la tensione tangenziale ri ripartisca uniformemente e ne deriva uno sforzo tangenziale medio su ciascun bullone (τ ), distinto a seconda che la parte filettata sia o meno a contatto i piatti del giunto, valutabile rispettivamente come: V τ= nf Ares τ=

V nf A

in cui V indica la forza di taglio sul bullone, nf il numero di sezioni resistenti (ossia dei piani di contatto tra le lamiere), A l’area nominale e infine Ares rappresenta l’area resistente della parte filettata del gambo. La crisi del bullone avviene per superamento della resistenza a taglio del suo gambo, oppure per rottura della lamiera. Nel funzionamento ad attrito, invece, i bulloni vengono preventivamente serrati e premono tra loro le piastre si acciaio. Il collegamento funziona perci`o in virt` u dell’attrito e dello stato di presollecitazione fra le superfici a contatto dei pezzi collegati indotto dal serraggio dei bulloni. 160

Figura 126: Relazione tra carico applicato e scorrimento al variare del grado di serraggio pe l’unione a taglio di Fig. 125 Il comportamento di una giunzione a taglio `e diverso in relazione alla presenza o meno del serraggio e dipende anche dal valore della coppia torcente impressa all’unione. Al riguardo, si consideri il diagramma di Fig. 126, che riporta lo scorrimento relativo ∆L tra i punti A e B dell’unione di Fig. 125 in funzione del carico applicato, V fino al collasso dell’unione. Se il bullone non `e serrato (curva a) lo scorrimento `e praticamente proporzionale al carico fino a quando non viene superato il limite elastico delle piastre collegate o del bullone stesso. Successivamente anche per piccoli incrementi del carico si hanno grandi spostamenti relativi e l’unione collassa in corrispondenza del carico ultimo del bullone Vu . Se il bullone `e serrato, inizialmente la trasmissione del carico avviene per attrito tra i piatti con scorrimento nullo. Raggiunto il carico Vb (ossia il carico massimo trasmissibile per attrito) si ha un brusco scorrimento (curva b) e la relazione V − ∆L si raccorda con la curva a), per valori maggiori di azione tagliante. Le giunzioni ad attrito sono indispensabili qualora eventuali scorrimenti possano compromettere il regime statico o deformativo della struttura (strutture iperstatiche, limitazione delle frecce anelastiche nelle strutture reticolari o nei controventi di edifici multipiano). In questo caso `e opportuno limitare il carico sui bulloni ad un valore di regola inferiore a quello che gli stessi bulloni potrebbero sopportare in campo elastico. Per l’unione ad attrito `e possibile definire il carico di servizio Fv che dipende dall’attrito tra le lamiere, dal trattamento effettuato sulle sue superfici a contatto e dal grado di serraggio adottato. Usualmente questo `e limitato in funzione delle caratteristiche del materiale, in modo da evitare stati di presollecitazione che possano pregiudicare il funzionamento statico dell’unione. La forza massima trasmissibile per attrito fLim da ciascun bullone presollecitato da un’azione assiale Ns `e espressa dalla relazione: nf µNs FLim = γf in cui γf rappresenta un opportuno coefficiente di sicurezza nei confronti dello slittamento, µ il coefficiente di attrito e nf il numero di piani di contatto. La crisi di un’unione a taglio pu`o manifestarsi oltre che nel bullone (Fig. 161

Figura 127: Tipici meccanismi di crisi nell’unione a taglio 127a), anche per altre cause che interessano i dettagli del collegamento ed in particolare si pu`o avere: • rottura per rifollamento della lamiera (Fig. 127b); • rottiura per trazione della lamiera (Fig. 127c); • rottura per taglio della lamiera (Fig. 127d). La resistenza di progetto dell’unione `e quella associata al meccanismo di rottura pi` u debole. In aggiunta alle verifiche sui bulloni devono quindi essere effettuate anche altre specifiche verifiche sulle componenti collegate. Il fenomeno del rifollamento della lamiera provoca un’ovalizzazione del foro che pu`o innescare la rottura a taglio della lamiera. Si ammette una distribuzione convenzionale uniforme delle pressioni di contatto tra bullone e piatto σrif definita come: V σrif = td in cui V rappresenta l’azione di taglio, t lo spessore minimo delle lamiere collegate e d il diametro del bullone. Come resistenza di progetto nei confronti del rifollamento si considera quella del materiale costituente l’unione nella sezione pi` u debole amplificata in modo forfetario per tenere conto di incrementi, rispetto al caso monoassiale, principalmente imputabili a stati tensionali pluriassiali e plasticizzazioni locali. Per la verifica a trazione della lamiera si ammette una distribuzione uniforme degli sforzi nella sezione interessata. La tensione media σ `e valutabile come: σ=

Fv An

162

Figura 128: Esempi di percorsi per la determinazione dell’area netta in cui Fv rappresenta l’azione applicata alle membrature e An l’area netta della sezione di lamiera depurata dai fori. Nel caso di pi` u file di bulloni l’individuazione della sezione pi` u debole pu`o essere non immediata. Si utilizza la regola empirica, comunque a favore di sicurezza, di fare corrispondere la sezione pi` u debole al minimo percorso passante per uno o pi` u fori, depurato dal diametro degli stessi (Fig. 128). Per rendere minimo l’indebolimento delle sezioni in corrispondenza dell’unione `e possibile disporre un numero crescente di bulloni nelle file successive (Fig. 129). Nel caso di giunzioni bullonate l’azione tagliante Fv pu`o avere eccentricit`a nel piano rispetto al baricentro della bullonatura, ossia l’unione risulta sollecitata a taglio e torsione. Indicando con e la distanza tra la retta di applicazione del carico ed il baricentro della bullonatura, lo stato di sollecitazione pu`o essere convenientemente ricondotto, ai fini del dimensionamento, ad un’azione tagliante agente nel baricentro della bullonatura (Fig. 130) ed un’associata azione torcente pari a T = Fv e. I bulloni sono quindi interessati da due diversi contributi: quello associato all’azione tagliante Fv e quello relativo all’azione torcente T , denominati rispettivamente V e VT,i . Se vengono rispettate le limitazioni dimensionali sui collegamenti proposti dai codici progettuali, la ripartizione di queste sollecitazioni sui singoli bulloni pu`o avvenire mediante meccanismi estremamente semplici. In dettaglio, definito con n il numero totale di bulloni e con nf il numero di piani di contatto interessati

Figura 129: Esempio di unione a taglio con numero di fori scalato 163

Figura 130: Meccanismo di ripartizione di azione tagliante e torcente dal meccanismo di trasferimento dei carichi, su ognuno di questi, nel caso in cui i bulloni non siano preserrati, agiscono i seguenti contributi: • l’azione tagliante Fv , ipotizzata ripartita in eguale misura su ogni piano di contatto del bullone, provoca in ogni sezione resistente del bullone un’azione tagliante V definita come: FV V = nf n • l’azione torcente provoca un’azione tagliante VT,i in ogni sezione resistente del bullone pari a: T ai VT,i = P nf n ni=1 a2i in cui ai rappresenta la distanza tra il centro del bullone ed il baricentro della bullonatura. L’azione globale agente sulla generica sezione resistente `e quindi data dalla composizione vettoriale dei contributi V e VT,i (Fig. 130). Nel caso in cui ci sia una sola fila di bulloni i contributi V e VT,i sono tra loro ortogonali e pertanto la risultante Vi pu`o essere determinata come: Vi = 16.3

q

2 V 2 + VT,i

Unioni a trazione

L’unione `e soggetta a trazione se le due piastre collegate mediante bulloni sono sollecitate da una forza che agisce normalmente al piano di contatto. Nel caso in cui l’unione sia non preserrata, l’azione assiale N viene trasferita interamente mediante i bulloni. Nel caso di unione on un solo bullone, l’azione sull’unione coincide con la forza sul bullone Nb e la curva a) di Fig. 130a riporta il carico applicato all’unione non preserrata in funzione dell’allungamento del gambo del bullone ∆L. L’allungamento `e proporzionale al carico applicato (fase elastica) fino a quando non si raggiunge il limite elastico. Oltre questo limite si evidenziano grandi deformazioni per piccoli incrementi del carico (fase plastica) fino al raggiungimento del carico ultimo (Nu ) dell’unione elementare. 164

Figura 131: a) Relazione tra il carico sull’unione N e l’allungamento del gambo del bullone ∆L. b) Relazione tra il carico sull’unione N e l’azione assiale nel gambo del bullone Nb Se invece il bullone `e preserrato ed il valore di Ns rappresenta la forza di serraggio nel gambo, questo `e soggetto gi`a prima dell’applicazione del carico ad un allungamento ∆Ls , conseguente al serraggio. All’aumentare de carico esterno l’incremento della forza di trazione nel gambo del bullone `e minimo (curva b di Fig. 131b) cos`ı come pure il suo allungamento, in quanto il carico applicato all’unione decrementa principalmente lo stato di compressione delle piastre. Quando il carico esterno raggiunge un valore di poco superiore alla forza di serraggio (generalmente si considera il valore di 1.1 Ns ) i piatti si staccano ed il carico viene assorbito integralmente dal bullone (raccordo alla curva a). La crisi si ha in corrispondenza del valore della capacit`a portante dell’unione non preserrata, Nu . Se la forza esterna passa per il baricentro delle sezione dei bulloni si ammette che essa si ripartisca in parti uguali tra loro ipotizzando le lamiere a contatto infinitamente rigide.

165