DESCRIPCIÓN ESPECTRAL DEL OLEAJE
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Descripción Espectral del Oleaje
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ASIGNATURA INGENIERÍA MARÍTIMA Y COSTERA PROFESOR LUIS ARAGONÉS POMARES
ALUMNOS FRANCISCO DAVID RIPOLL LÓPEZ ALFONSO MUÑOZ GEA JESÚS PAYÁ CANTÓ
CARRERA INGENIERÍA DE CAMINOS, CANALES Y PUERTOS ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR DE ALICANTE
VICENTE VICTOR MILLÁN CONTRERAS ENRIQUE ESPINOSA LÓPEZ
INGENIERÍA MARÍTIMA Y COSTERA DESCRIPCIÓN ESPECTRAL DEL OLEAJE
DESCRIPCIÓN ESPECTRAL DEL OLEAJE ÍNDICE: 1.
INTRODUCCIÓN A LA DESCRIPCIÓN DEL OLEAJE .................................................................. 3
2.
CURVA DE ESTADO DE LA MAR ............................................................................................. 3
3.
ENERGÍA DE UNA OLA. ESPECTRO ......................................................................................... 5 3.1 ESPECTRO FRECUENCIAL O DENSIDAD ESPECTRAL ............................................................. 8 3.2 ESPECTRO DIRECCIONAL ..................................................................................................... 9
4.
MODELOS ............................................................................................................................ 10 4.1 MODELOS DE LA PRIMERA GENERACIÓN ......................................................................... 10 4.2 MODELOS DE LA SEGUNDA GENERACIÓN ........................................................................ 11 4.3 MODELOS DE LA TERCERA GENERACIÓN .......................................................................... 11 4.4 MODELOS APLICADOS AL ESPECTRO FRECUENCIAL ......................................................... 12 4.4.1
Pierson‐Moskowitz (1964).................................................................................. 13
4.4.2
JONSWAP (Joint Nort Sea Wave Project, 1973) ................................................ 13
4.4.3
Bretscheneider (1959) ........................................................................................ 15
4.4.4
Goda (1985)......................................................................................................... 15
4.5
MODELOS APLICADOS AL ESPECTRO DIRECCIONAL .................................................... 15
4.5.1
Distribución normal ............................................................................................ 15
4.5.2
Distribución coseno cuadrado ............................................................................ 16
4.5.3
Mitsuyasu (1975) ................................................................................................ 16
5.
BIBLIOGRAFÍA ...................................................................................................................... 17
6.
CASO PRÁCTICO ................................................................................................................... 18
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1. INTRODUCCIÓN A LA DESCRIPCIÓN DEL OLEAJE La superficie del mar, como puede ver cualquiera que la observe desde la costa ó la cubierta de un barco, no es en absoluto un conjunto de trenes de ondas periódicas y de forma constante. Son masas de aguas que aparecen y desaparecen sin, aparentemente, ningún orden, pequeñas ondas viajando en todas direcciones, contribuyen a dar un aspecto caótico a la superficie del mar. El objetivo de la descripción del oleaje es desarrollar un modelo aleatorio que reproduzca la irregularidad, desorden, de la superficie del mar. Caracterizar probabilísticamente las variaciones de esta superficie, utilizando un número limitado de parámetros representativos. Estudiar la evolución de estos parámetros a lo largo del tiempo, años para así obtener información directamente utilizable en el diseño de estructuras marítimas. Un método para representar el aspecto aleatorio de la superficie del mar consiste en utilizar el espectro del oleaje. El concepto de espectro se le atribuye a Newton quien, haciendo estudios sobre la luz, descubrió que podía descomponerse en una gama, o espectro, de diferentes colores con la ayuda de un prisma. La técnica de descomposición de un fenómeno complejo en múltiples fenómenos simples conocidos se ha utilizado continuamente para analizar los problemas físicos.
Figura 1. Descomposición de la luz
2. CURVA DE ESTADO DE LA MAR Consideremos un perfil de la superficie de la mar obtenido en un punto fijo mediante una boya de medida.
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Figura 2. Registro de oleaje. Representación del nivel del mar con respecto del tiempo.
Este perfil suele denominarse registro de oleaje, y se representa la elevación del nivel del mar respecto del tiempo. Es discreto puesto que el sensor del oleaje obtiene puntos (elevación del nivel del mar) cada cierto tiempo. Y pese a que se representen mediante líneas uniendo los puntos obtenidos, no deben confundirse con funciones continuas Suponiéndose un registro de un estado del mar determinado, si se tiene en cuenta tanto la dirección de propagación de los diferentes frentes como el abanico de frecuencias de cada una de las olas, la forma irregular de la superficie del mar se podría separar en una serie de múltiples armónicos, esto es utilizando el análisis armónico de Fourier, que permite lograr una aproximación a la curva de estado del mar real mediante la suma de una serie de armónicos simples, esto es:
(Ecuación 1) Donde:
= número de onda λ = longitud de onda
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Figura 3.Descomposición del estado de la mar en múltiples armónicos.
3. ENERGÍA DE UNA OLA. ESPECTRO La energía de una ola se divide en dos partes iguales: 1. Energía potencial: desplazamiento de las partículas de su posición de equilibrio. Resulta de esa parte de masa de fluido de la cresta sobre el valle de la onda. 2. Energía cinética: movimiento de las partículas. Resulta de las velocidades de las partículas asociada con el movimiento de la onda. De esta manera, la energía total en una onda es dada por:
donde: “E” es la energía de la ola en Julios/m2, "ρ" es la densidad del agua de mar en kg/m3, "g" la aceleración gravitacional en m/s2, y “a” y “H” son la amplitud y la altura de ola respectivamente en metros (H=2ª). Nótese que la energía es proporcional a la altura de la onda al cuadrado. Sin embargo, ya hemos visto que en realidad el océano no se compone de ondas sinuosoidales puras, sino más bien son una superposición de muchas de ellas, cuya superficie puede ser reconstruida como suma de ondas sinosoidades de amplitud variable. La distribución de energía de esas ondas, representativas de la curva del estado del mar real, respecto a la dirección y la frecuencia de presentación se le conoce como espectro de oleaje o espectro completo
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Cuando no se tiene en cuenta las direcciones de propagación, integrándose todas ellas en una sola, el tipo de espectro que se obtiene es el llamado espectro escalar o espectro de frecuencias, y la serie de armónicos se simplifica tomando la siguiente expresión:
(Ecuación 2) Supongamos un registrador de oleaje capaz de extraer la energía correspondiente a cada onda componente, con su dirección (θ) y frecuencia (ω). La expresión gráfica del registro de la totalidad de las ondas componentes es una especie de campana orientada en la dirección principal del viento y con un máximo para esta dirección correspondiendo con la frecuencia del grueso del temporal, ver figura.
Figura 3.Representación del espectro de los armónicos en función de la dirección y frecuencia.
Si, como es frecuente, estuviésemos interesados únicamente en los niveles, olvidándonos de las direcciones, nuestro registrador nos proporcionaría unos resultados como los de la figura 4, que corresponde a la integral del espectro completo S (f,θ) con respecto a la dirección (θ), es decir;
(Ecuación 3)
Figura 4.Representación del espectro en función de la frecuencia.
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Cuando los periodos presentes en el oleaje se extienden a la totalidad del intervalo (0,∞) se dice que el oleaje está totalmente desarrollado. En otro caso se llama oleaje parcialmente desarrollado. La energía que una ola adquiere depende de 3 cosas básicamente: 1.‐ la magnitud del viento que sopla sobre la superficie del océano 2.‐ el tiempo que sopla el viento 3.‐ el alcance o superficie sobre la cual sopla el viento. Como se ve en esta figura, el tamaño y posición del pico del espectro varía conforme varía la velocidad del viento. A menor velocidad menor altura de ola y frecuencia mas alta (o período mas bajo).
Figura 5. Variación de la energía con respecto la velocidad del viento que produce el oleaje.
Dada una magnitud del viento, es posible que la energía de la ola esté limitada por el alcance (fetch) o por el tiempo. Por ejemplo: el alcance no fue suficiente para alcanzar mayor energía, o el viento no sopló suficiente tiempo. Hay un alcance, para una velocidad, que soplando cierto tiempo, la energía que adquiere el océano se equilibra con la energía que se pierde (esto se hace básicamente por rompimiento de la cresta de la ola), y se obtiene un 7
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océano en completo desarrollo (OCD) (en inglés “Fully Development Sea” o FDS). Es decir, la altura de las olas alcanza un equilibrio, no crecen indefinidamente por más alcance o tiempo que sople el viento.
3.1 ESPECTRO FRECUENCIAL O DENSIDAD ESPECTRAL Usualmente se utiliza el espectro frecuencial para calcular el espectro. La idea del espectro frecuencial de oleaje es separar por frecuencias o periodos, o bandas de frecuencias o periodos, la energía de oleaje contenida en un estado del mar determinado. Como la energía de una ola viene determinada por:
(Ecuación 4) Siendo H = 2a Pero frecuentemente se suprime el término constante valor de
y se halla por frecuencias de
, figura 5, transformándose en un espectro de varianza.
Figura 6. Definición de un espectro de frecuencia (E,f) o de varianza (a2,f) En la práctica, la energía E ,se calcula para valores discretos de la frecuencia de grupos de olas, esto es la frecuencia se toma como valor representativo medio de un intervalo de frecuencias, y por tanto el valor de ordenadas representa no la energía sino la densidad de energía S(f), esto es la energía por unidad de frecuencias. Una vez conocido el espectro de frecuencias, a partir de él se puede obtener una serie de parámetros representativos del oleaje y de ese estado del mar, análogamente al tratamiento
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estadístico dado al estado del mar. Estos parámetros se suelen deducir de los momentos de la distribución S(f), definiéndose el momento de orden n del espectro como:
(Ecuación 5)
Así, por ejemplo, el momento de orden 0, m0, que representa el área encerrada por el espectro vendría dado por:
La altura cuadrática media, Hrms representa la altura de la sinusoide que tuviese la misma energía que el estado del mar estudiado, y por tanto su valor es fácilmente deducible de la propia definición de la energía:
(Ecuación 6) La altura de ola deducida del espectro más representativa es aquella que su valor sea similar al de la altura de ola significante H1/3 obtenida mediante tratamiento estadístico del mar. Esta altura de ola es la llamada Hm0, que se deduce de Hrms multiplicado por, esto es:
(Ecuación 7) La diferencia entre H1/3 y Hm0 es muy pequeña pudiéndose tomar un valor de 1,05∙H1/3 = Hm0. Las frecuencias y periodos espectrales más comúnmente usados son: la frecuencia y periodo de pico (fp y Tp) y el periodo de las olas correspondiente a la frecuencia media del espectro
.
3.2 ESPECTRO DIRECCIONAL En muchas ocasiones el conocimiento del espectro frecuencial
) resulta insuficiente,
. Sin embargo la determinación de siendo necesario el empleo del espectro completo este espectro es por el momento inabordable desde el punto de vista de las aplicaciones prácticas. 9
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(Ecuación 8)
Un modelo de espectro direccional puede obtenerse admitiendo que el espectro completo puede ser expresado como el producto de dos factores: el espectro de frecuencias y de la función de distribución direccional, que modula, por así decir, sobre un cierto sector la enegría contenida en el espectro frecuencial.
(Ecuación 9) Teniendo que cumplir la función de distribución direccional
:
(Ecuación 9) Cualquier función que cumpla la condición fundamental, Ecuación 9, podría ser usada. Sin embargo las observaciones realizadas muestran que la forma del espectro direccional más apropiada es la simétrica con respecto al eje θ = 0.
4. MODELOS Cuando un ingeniero se enfrenta al análisis de una estructura sometida a la acción del oleaje, frecuentemente sólo posee como datos una altura de la ola característica y un periodo característico. No puede, por tanto, obtener S(f) a partir de un registro η(t), por el procedimiento indicado. Por este motivo, es necesario hipotetizar una forma de la función S(f). Los parámetros de la expresión funcional hipotetizada se evaluaran a partir de los datos disponibles (usualmente H y T característicos).
4.1 MODELOS DE LA PRIMERA GENERACIÓN Su particularidad consiste en que utilizan la ecuación del balance energético de forma desacoplada. Cada componente del oleaje, de frecuencia y dirección dadas, se propaga y evoluciona de forma independiente de las demás. Además, asumen teorías lineales de generación: la resonante de Phillips (1957) (presente en la fase inicial y con crecimiento lineal) y la de interacción viento‐oleaje de Miles (1957) (con crecimiento exponencial). La función generatriz se define como suma de dos términos, crecimiento y disipación. Se presupone, por otra parte, una limitación en el nivel de energía que puede llegar a alcanzar cada componente.
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El primero es el llamado DSA (densités spectrales angulaires). Se basa en la ecuación del balance espectral de energía, planteada por Gelci, Cazale y Vassal (1956‐57). El tratamiento numérico de la previsión, Lebel y Gelci (1959), Gelci, Devillaz y Chavy (1964) y Devillaz (1965), junto con el incremento en el número de datos de oleaje disponibles y en su calidad, producen sucesivas mejoras. Un descendiente de este modelo sigue operativo en Francia para la obtención de predicciones sistemáticas. A medida que el oleaje incorpora energía, bajo la influencia del viento, los efectos no lineales entre componentes ganan importancia. En particular, la interacción no lineal entre dos, tres y cuatro componentes fue sucesivamente tratada por Stokes (1847), Phillips (1957) y Hasselmann (1962,63,76). La teoría de Hasselmann, que involucraba formulaciones más potentes, conduce a la previsión –confirmada posteriormente con datos‐ de un mecanismo conservativo de redistribución energética entre las componentes del espectro; mecanismo que condiciona y hace invariante la forma del espectro del oleaje en su evolución. Esta invarianza se mantiene en la medida en que la entrada de energía, desde la atmósfera, sea lo suficientemente lenta como para que la interacción no lineal tenga lugar.
4.2 MODELOS DE LA SEGUNDA GENERACIÓN La aceptación del nuevo mecanismo y su aplicación a la predicción necesitaba de su confirmación y cuantificación experimental. Esta tiene lugar a raíz de la campaña de medidas Jonswap (1973). Contando con las aportaciones anteriores, surgen en los años setenta los modelos de la segunda generación. Aplicando la idea de la evolución de un mar de viento según una forma espectral invariante, y contando con medidas suficientes, parametrizan de esta forma, y la predicción del oleaje queda transformada en la predicción de los parámetros que definen la forma de su espectro. La mayoría de los modelos utilizan únicamente un parámetro, que suele identificarse con el contenido total de energía E, o con la frecuencia de pico fp. A lo largo del desarrollo de los modelos de la segunda generación surgen dos tipologías diferenciadas. Los modelos CH definen una forma invariante del espectro, lo cual limita mucho la distribución frecuencial de energía. Los modelos CD, en cambio, no presuponen una forma invariante; pero dadas las limitaciones, en la práctica han de prefijar una forma espectral límite en las zonas de altas frecuencias, f > fp. Hasselmann et al. (1976) introducen un modelo con dos parámetros, a raíz del cual surgen numerosos resultados que combinan el modelo paramétrico o acoplado –para predecir el mar de viento (sea)‐ y el desacoplado –para el mar de fondo (swell)‐.
4.3 MODELOS DE LA TERCERA GENERACIÓN
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El desarrollo de los modelos de la tercera generación (EXACT‐NL y WAM) se inicia con la idea de realizar la predicción del oleaje a partir de las formas teóricas conocidas de la función generatriz –transferencia de energía del viento al oleaje‐, integrando la ecuación del balance energético sin añadir restricción alguna a la solución, WAMDI Group (1988). Con este planteamiento, surge un modelo en el que no hay formas predefinidas de la distribución direccional de energía D(f,e), ni niveles de saturación E(t) prefijados. La diferencia entre los modelos EXACT NL y WAM radica en que, mientras el EXACT NL realiza el cálculo numérico exacto, mediante la integral de Boltzmann de cinco dimensiones extendida a todo el espectro, el WAM efectúa una parametrización con igual número de grados de libertad que el espectro. Actualmente (Günther et al., 1992), el modelo WAM es operacional, en su versión global, en el Centro Europeo de Predicción a Medio Plazo (ECMWFD) y en el Meteorology and Oceanography Center (METOC). Además el Programa de Clima Marítimo, de Puertos del Estado, realiza previsiones –dos por día, con una amplitud temporal de 72 horas‐ con el modelo WAM en el Atlántico Norte y en el Mediterráneo.
Figura 7. Espectro direccional dado por un modelo de tercera generación
4.4 MODELOS APLICADOS AL ESPECTRO FRECUENCIAL En la práctica, los espectros de frecuencias se pueden calcular por distintos métodos, siendo común utilizar el algoritmo de Cooley‐Tukey (1965) conocido como transformación rápida de Fourier (FFT)1, si bien hay que resaltar que la diferencia existente entre espectros calculados por métodos distintos obtienen resultados muy similares.
1
FFT; (del inglés Fast Fourier Transform) Es un algoritmo que permite calcular la transformada de Fourier discreta (DFT) y su inversa. El algoritmo pone algunas limitaciones; la señal de la que se tomaron
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Desde que se comenzó a aplicar la teoría espectral en el tratamiento de un estado de mar, se ha intentado modelizar espectros teóricos que representen los espectros teóricos más usualmente empleados, teniendo como precedente el desarrollado por Neumann (1953) que utilizó para su desarrollo datos visuales de oleaje y el método PNJ de Pierson et al. (1955). Los dos modelos más utilizados en el caso de las olas de viento son el espectro de Pierson‐ Moskowistz (PM) y el espectro Jonswap (J): 4.4.1
Pierson‐Moskowitz (1964): Válido para oleaje totalmente desarrollado:
Para representación de mares completamente desarrollados en aguas profundas (mares en los que el viento ha actuado con duración suficiente sobre la superficie para que todas las ondas componentes posibles estén presentes). 4.4.2
JONSWAP (Joint Nort Sea Wave Project, 1973):
Posee 5 parámetros: aceleración de la gravedad, frecuencia de pico (frecuencia en la que ocurre el máximo de la función de densidad espectral), parámetro de apuntamiento, parámetro de escala Para mares parcialmente desarrollados (no todas las ondas componentes están presentes). Se obtuvo como resultado de una campaña de medidas en el Mar del Norte en condiciones de feth (superficie sobre la que sopla el viento para generar un oleaje) limitado.
muestras y que se va a transformar debe consistir de un número de muestras igual a una potencia de dos. La transformada discreta de Fourier se define como: La evaluación directa de esa fórmula requiere O(n²) operaciones aritméticas. Mediante un algoritmo FFT se puede obtener el mismo resultado con sólo O(n log n) operaciones. En general, dichos algoritmos dependen de la factorización de n pero, existen FFTs para cualquier n, incluso con n primo
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Figura 8. Espectro medido (azul) y el espectro Jonswap ajustado (línea roja) para un oleaje tipo swell (figura superior) y un oleaje compuesto por dos oleajes
Los estados de mar tipo swell se identifican con un coeficiente de correlación lineal alto en el ajuste al espectro JONSWAP. Quedan, por tanto, despreciados todos aquellos estados de mar tipo sea y los compuestos de sea y swell, Las comparaciones sobre el contenido energético de los espectos PM y Jonswap, son erróneas o, al menos, carecen de sentido, pues son aplicables a estados del mar diferentes.
Figura 9. Comparativa entre el modelo de Jonswap y el de Pierson‐Moskowitz Para frecuencias pequeñas y grandes, figura 8, los espectros teóricos tipo Pierson‐ Moskowitz (P‐M) y JONSWAP son similares, teniendo este último un pico mucho más acusado que el resto de los espectros escalares o de frecuencia teóricos. 14
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Otros modelos menos empleados son: 4.4.3
Bretscheneider (1959): Válido para fetch finitos en función de la altura de ola media Hm y del periodo medio Tm:
4.4.4
Goda (1985): Este espectro tiene la facilidad de estar expresado como función de la altura y periodo de ola significante:
Donde: f = frecuencia S(f) = densidad espectral g = aceleración de la gravedad Uz = velocidad del viento a una altura z fp =frecuencia del pico del espectro f = longitud del fetch λp = 0,07 para f ≤ fp, 0,09 para f > fp γf = 0,03 H1/3 = altura de la ola significante T1/3 = periodo de la ola significante = 1,05/fp
4.5 MODELOS APLICADOS AL ESPECTRO DIRECCIONAL 4.5.1
Distribución normal: La campana gausiana orientada a la dirección media, ,toma el valor como función de distribución de direcciones:
1 ⎛θ⎞ G⎜ ⎟ = ⋅e ⎝f⎠ 2 ⋅ π ⋅ σ2
− (θ −θm)2 2⋅σ 2
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4.5.2
Distribución coseno cuadrado: Se orienta sobre la dirección media, un valor como función de distribución de direcciones de:
y toma
⎛θ⎞ 2 G⎜ ⎟ = cos 2 (θ − θm) ⎝f⎠ π
π π < θ − θm < 2 2
para −
para el resto
⎛θ⎞ G⎜ ⎟ = 0 ⎝f⎠ 4.5.3
Mitsuyasu (1975):
Donde Gs toma un valor, cuando el abanico de direcciones se extiende a
, de:
Siendo la función Gamma, y s el esparcimiento, que denota la abertura direccional sobre la dirección principal, figura 8, que toma un valor: Siendo:
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Figura 10. Esparcimiento s de la función de distribución direccional de Mitsuyasu. (Mitsuyasu et al. 1975; Horikawa, 1988)
5. BIBLIOGRAFÍA • • • • •
Apuntes de Ingeniería Marítima y Costera. Escuela Politécnica Superior de Alicante. Ingeniería de Costas. E.T.S.I.C.C.P. Ministerio de Obras Públicas y Urbanismo. Dirección General de Puertos y Costas. Oleaje I/II: Descripción, Regímenes, Previsión. P.S. Bores. Catedrático de Puertos. E.T.S.I.C.C.P. Obras Marítimas. Vicent Esteban Chapapría. Editorial Universidad Politécnica de Valencia. Análisis de Resonancia Portuaria: Generación, Transitoriedad, No linealidad y Acoplamiento Geométrico. Tesis Doctoral: Grabiel Díaz Hernández. E.T.S.I.C.C.P. Universidad de Cantabria.
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6. CASO PRÁCTICO
DESCRIPCIÓN ESPECTRAL DEL OLEAJE Introducción Teórica La descripción espectral del oleaje pretende reproducir la irregularidad de la superficie del mar, utilizando un número limitado de parámetros representativos. A través del Teorema de Fourier, se puede descomponer la curva del estado del mar real como suma de funciones ondulatorias simples y regulares. A la distribución de energía de esas ondas, respecto a la dirección de propagación y la frecuencia, se conoce como espectro de oleaje S (f,θ), donde (f) es la frecuencia y (θ) la dirección de propagación de la onda. (Figura 1). Cuando no se tiene en cuenta las direcciones de propagación, se denomina espectro de frecuencias, y consiste en separa por frecuencias (o bandas de frecuencias), la energía del oleaje contenida en un estado del mar determinado. La energía (E) se calcula para valores discretos de la frecuencia de grupos de olas, y por tanto el valor de ordenadas representa la densidad de energía S(f), esto es, la energía por unidad de frecuencias (Figura 2).
Para reproducir determinados estados del mar, se han desarrollado espectros de energía teóricos que se ajustan bien a las condiciones generales del mar. Destacan el Modelo de Jonswap, para oleaje parcialmente desarrollado; y el Modelo de Pierson‐Moskowitz, para oleaje completamente desarrollado.
Figura 1 Figura 2 18
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Modelo de Jonswap
Donde: f = frecuencia S(f) = densidad espectral g = aceleración de la gravedad Uz = velocidad del viento a una altura z fp =frecuencia del pico del espectro f = lonfitud del fetch λp = 0,07 para f ≤ fp, 0,09 para f > fp γf = 0,03
A continuación, se muestra un caso práctico con el Modelo de Jonswap.
Caso Práctico Hallar la altura de ola prevista en el puerto A Coruña con el Modelo de Jonswap, según el siguiente temporal de la Agencia Estatal de Meteorología.
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Solución:
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Cálculo de U10:
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Cálculo de fp:
Cálculo de αf:
Cálculo de S(f):
λp = 0,07 para f 0,061, 0,09 para f 0,061 γf 0,03
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S(f)
459,98
0,061
f
Cálculo de la energía:
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Cálculo de la altura de ola media cuadrática:
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