Descomposición LU para Matrices Tridiagonales: L J I U I J

 

Descomposición LU para Matrices Tridiagonales

Sea A Sea  A una  una matríz factorizable en la forma:  A = L ⋅ U   

(1.1)

en donde L donde  L es  es una matriz triangular inferior y U  es  es una matriz triangular superior. Es decir: (1.2)  Lij = 0 para j > i y U ij = 0 para i < j   Entonces, se dice que A que  A tiene  tiene una descomposición LU. Podemos suponer sin pérdida de generalidad que los coeficientes de la diagonal de L de  L  son iguales a 1. ie.  Lii  = 1 . En este caso, la solución de la ecuación:  A ⋅ x = b  

(1.3)

se puede resolver mediante las dos operaciones sucesivas:  L ⋅ y = b U ⋅x = y

 

(1.4)

Para la primera ecuación, tenemos:  y1 = b1  L21 y1 + y2 = b2

⋅⋅⋅  Ln, n−1 yn −1 + yn = bn

 

(1.5)

Para la segunda ecuación tenemos: U nn xn = yn U n −1,n −1 xn −1 + U n −1, n xn = yn−1

⋅⋅⋅

 

(1.6)

U11 x1 + U12 x2 = y1 Ambas ecuaciones (1.5) y (1.6) son solubles facilmente. Si la matriz A matriz  A es  es tridiagonal, entonces la descomposición LU es fácil obtener. Ponemos:

⎛1 ⎞ ⎜ ⎟ l  1 2 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟  L = 0 l3 1 ⎜ ⎟ ... ⎜ ⎟ ⎜ 0 0 ..... l 1⎟ n ⎝ ⎠

⎛ d1 a12 ⎞ ⎜ ⎟ d a 2 23 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟  d3 a34 y U= ⎜ ⎟ ... ⎜ ⎟   ⎜ d n ⎟⎠   ⎝

(1.7)

 

entonces, la relación

=  L ⋅ U   nos da las ecuaciones: d1 = a11 l2 d1 = a21 l2 a12 + d 2 = a22 l3d 2 = a33

 

(1.8)

l3a23 + d3 = a33 ... Es decir, d1 = a11 Para m = 2,..., n lm = am ,m−1 / d m −1

 

(1.9)

d m = amm − lm ⋅ am −1,m

Una vez obtenidos los valores para d i , l i , entonces la solución de la ecuación  A ⋅ x = b  se logra mediantes el algoritmo:  y1 = b1 Para m = 2,..., n ym = bm − l m ⋅ ym −1  xn = yn / d n

 

Para m = n − 1, ...,1 xm = ( ym − x m+1 ⋅ am,m +1 ) / d m  

(1.10)