Descompocicion Lu

 

DESCOMPOSICIÓN LU E INVERSIÓN DE  MATRICES

 

INTRODUCCIÓN El método de descomposición LU se utiliza para resolver sistemas de ecuaciones algebraicas lineales de la forma: [A] {X} = {B} cuando se tienen ecuaciones con los mismos coeficientes A pero con diferentes constantes del lado derecho (diferentes B). 

 

REVISIÓN DE L

DESCOMPOSICIÓN LU

[A] {X} = {B} Suponemos que la ecuación puede expresarse como: 11

12

13

u   u  u 0  u22  u23

 x   x 2

33

3

0

0

u

1

 x 

[U] {X} = {D}

d d2 1

=

d3

 

Ahora, suponga que existe una matriz diagonal inferior con números 1 en la diagonal:

L

=

1

0

0

L21 

1

0

31

L •

 

L

32

  1

Se realiza la siguiente simplificación:

[L]{[U] {X}-{D}} = [A] {X}-{B} •

Entonces tenemos:

[L] [U] = [A]

y

[L] [D] = [B]

 

P SOS EN L Descomposición

DESCOMPOCICION LU

[A] {X} = {B} [U] [L] [L] {D} = {B} {D} [U] {X} = {D} {X}

Hacia adelante Sustitución Hacia atrás

 

ELIMIN CIÓN DE G USS US NDO DESCOMPOSICIÓN LU •

L se obtiene de un proceso de eliminación mediante un sistema de tres ecuaciones ecuaciones::

a11  a12  a13

x1

a21  a22  a23

x2

a31  a32  a33

x3

b1 =

b2 b3

 

ELIMIN CIÓN DE G USS US NDO DESCOMPOSICIÓN LU Paso 1: Multiplicar el reglón uno por f 21 21=a21 / a11 y restar el resultado al segundo reglón para eliminar a21 

a21-a11*a21  = 0

a22-a12*a21  = a`22

a11

a11 a23-a13*a21  = a`23  a11

 

ELIMIN CIÓN DE G USS US NDO DESCOMPOSICIÓN LU Paso 2: Multiplicar el reglón uno por restar el resultado al renglón tres

a31- a11*a31  = 0 a11

f 31 31 =

a31 / a11 y

a32-a12*a31  = a`32

a11 a33-a13*a31  = a`33  a11

 

ELIMIN CIÓN DE G USS US NDO DESCOMPOSICIÓN LU Paso 3: multiplicar el segundo renglón modificado por a´32 / a´22 y restar este resultado al tercer renglón.

0 - 0*a`32  = 0

a´32 - a`22*a`32  = 0

a`22 a´33 - a`23*a`32  = a``33 a`22

a`22

f 32 32 =

 

ELIMIN CIÓN DE G USS US NDO DESCOMPOSICIÓN LU •

Se almacenan los factores F21, F31 y F32 en los ceros que fueron creados mediante la eliminación anterior. f 21 21 =

a21  a11

f 31 31 =

a31  a11

a11  a12  a13 U = 0  a`22  a`23 0

0

a``33

f 32 32 =

1 L =

f 21 21

a`32  a`11 0 1

31  f 32 32 f 31

0 0 1

 

Eliminación de Gauss usando descomposición descompos ición LU •

•

•

Después de descomponer la matriz, se puede generar una solución para un vector particular B. Primero se realiza un paso de sustitución hacia delante para encontrar D. El lado derecho queda sin alterar. En el segundo paso se realiza la sustitución hacia atrás, para obtener X.  X. 

 

M TRIZ INVERS •

Si una matriz [A] es cuadrada, existe otra matriz [A]  ¹, conocida como la inversa de [A], de lo que se cumple que: [A][A]  ¹ = [A]  ¹[A] = [I] [I] es la Matriz identidad

 

Ya que el algoritmo de descomposición LU es ideal para evaluar los vectores unitarios requeridos en el cálculo de la inversa.

a11  a12  a13

1 0 0

1 0 0

a21  a22  a23

0 1 0

0 1 0

a31  a32  a33

0 0 1

0 0 1

 A  ¹

Matriz inversa por Gauss-Jordan

 

D se resuelve como un sistema de ecuaciones normales de 3 incógnitas:  incógnitas: 

1

0

0

f 21 21

1

d1 2

1

f 31 31  f 32 32

0 1

d3 d

=

0 0

 

“X” se resuelve como un sistema de ecuaciones normales de 3 incógnitas  incógnitas 

a11  a12  a13 0  a`22  a`23 0

0

a``33

x1 x2 x3

=

D

La “X” va a ser la primera columna de la inversa de [A]  [A] 

 

El parainversa obtener losprocedimiento otros términosse derepite la matriz pero el sistema de ecuaciones se iguala a las siguientes vectores unitarios  unitarios 

Para la segunda columna

0

Para la

1

tercera columna

0

0 0 1

 

Entonces la matriz inversa de A será:  será: 

 A  ¹ =

x1 x`1 x```1 x2 x``2 x```2 x3 x``3 x```3

 

ERROR Y CONDICIONAMIENTO Existen 3 métodos para determinar si los sistemas están mal condicionados: •

Escalar la matriz de coeficiente coeficientes s [A], de tal manera que el elemento más grande en cada renglón sea 1.Se

 

invierte la varios matriz órdenes escalada, si existenmayores elementoque elementos s [A]uno, ¹ que sean deymagnitud es posible que el sistema esté mal condicionado.

 

•

Multiplicar la inversa por la matriz

de

coeficientes original y estimar el la resultado es lo suficientemente cercanosi a matriz identidad. Si no es así, esto indica que el sistema esta mal condicionado. •

Invertir la matriz inversa y estimar si el resultado lo suficientemente la matriz de está coeficientes original. Sicercano no es a así, esto de nueva cuenta indica que esta mal condicionado.

 

EJEMPLO •

•

•

Obtener una descomposición LU de la matriz “A”.  Hallar los valores de “X” con eliminación hacia adelante y sustitución hacia atrás.

Emplee la descomposición LU para determinar la matriz inversa de la matriz “A”. 

 A

 

SOLUCIÓN

[A] =

F3 -

F2 -

.

 



. 

21 = f  21

 

F3 -

. 

 = 0.03333333

31 = f  31

. 

(−.) .

 = 0.1000000

 

f  3322 =

−. .

 = -0.0271300

 

[L]=

[U]= COMPROV CIÓN

[A]=[L][U]=

[A]=

 

d 1=

7.85 

0.033333d 1 + d 2 = 19.3 

d 2=

0.1d 1   0.02713d 2 + d 3= 71.4   –

19.5617  d 3=

70.0843 

 

[D]=

3 x 1   0.1 x 2   0.2 x 3= 7.85   –

 –

 x 1=

3 

7.00333 x 2   0.29333 x 3 = 19.5617   –

10.0120x 3=

70.0843 

 x 3=

 x 2=

7.00003 

2.5 

 

[ x ]= ]=

 

•

Calculamos la matriz inversa de “A”  

[A]= SOLUCIÓN

[L]=

[U]=

 

d 1=

1 

0.0333333d 1 + d 2 = 0 

d 2=

0.1d 1   0.02713d 2 + d 3= 0   –

0.03333  d 3=

0.1009 

[D]=

 

3 x 1   0.1 x 2   0.2 x 3= 1   –

 –

 x 1=

0.33249 

7.00333 x 2   0.29333 x 3 = 0.03333   x 2= 0.00518  10.0120x 3= 0.1009   x 3= 0.01008   –

[ X ]= ]=

[D]=

 

[ X ]= ]=

[D]=

[ X ]= ]=

 

[A]  ¹ =