Desarrollo Del Pensamiento Matematico y La Actividad Docente

 

El desarrollo del pensamiento matemático y la actividad docente

Créditos Coordinación general Dra. Rosa María Farfán Márquez

Autores: Rosa María Farfán Márquez Ricardo Arnoldo Cantoral Uriza Luis Manuel Cabrera Chim José David Zaldívar Rojas Claudia Leticia Méndez Bello Erika García Torres Erika Marlene Canché Góngora Karla Margarita Gómez Osalde Dinazar Isabel Escudero Avila Eric Flores Medrano Daniela Geraldiny Soto Soto María Esther Magali Méndez Guevara Eduardo Carlos Briceño Solís Maribel Moreno Ochoa Rubén Alejandro Gutiérrez Adrian Adriana Moreno Valdez Mayra Anaharely Sarai Báez Melendres Daniela Reyes Gasperini Martha Maldonado Rosales

Índice

Presentación Capítulo 1 Introducción Aprendizaje y enseñanza de las matemáticas De la aproximación socioepistemológica a la práctica educativa Capítulo 2. Situaciones de Aprendizaje para profesores Introducción Pedro quiere comprar unos patines Las mezcladoras El problema de Rubén Llenado de recipientes El gato ¿Apuestas? Capítulo 3. Situaciones de Aprendizaje para estudiantes Introducción Proporcionalidad y reparto proporcional Creciendo y disminuyendo Cuadrando los palillos Las gráficas y el movimiento Jugando con fichas especiales Ahorrando para nuestra nueva sala de medios Simetría con espejos

Referencias

Reconocimiento

Las situaciones de aprendizaje concretadas en el marco de la Especialización de Alto Nivel para la profesionalización docente en las matemáticas de secundaria. Un estudio de reproducibilidad de situaciones didácticas son resultado de las aportaciones de profesoras y profesores durante la fase de reproducibilidad, o fase a distancia, junto con el apoyo de una tutora o tutor del Cinvestav. Es por ello que nos permitimos hacer un reconocimiento a todos los que se involucraron en el rediseño de una situación, por el trabajo de discusión y reflexión realizado para la obtención de estos productos. En particular, se otorga un reconcomiendo especial a los profesores y tutores que participaron en el rediseño de las situaciones presentadas en el capítulo 3 de este libro. Ellos son: Tutores M. en C. Erika Marlene Canché Góngora M. en C. María Ojilvie Terrones Arellano M. en C. José David Zaldívar Rojas M. en C. Eric Flores Medrano Lic. Adriana Moreno Valdez Lic. María Eugenia Vega Flores Lic. Melissa Valeska Andrade Molina

Mentores Adriana Citlálic Almeda Rivas Akhenaton Soto De Los Santos Albertico Guevara Araiza Alejandro Héctor Molina Canales Aurora Pérez Hernández Carlos Manuel Medina Quiroz Cruz Flores Delgado Cynthia Ramírez González Dagoberto Escobedo Guzmán Eduardo García Sereno Enrique Luna García Ernesto Pescador Salas Evaristo González Muñoz Federico Sólis Ronquillo Fernando Figueroa Casas Francisco Javier López Moncada Graciela Tejeda Sánchez Gustavo Peña Guevara Hector Hernández Castellanos Hilario Enríquez Hernández Hilda Margarita Castillo Güereca Homero Rocha Villanueva Ignacio Ramírez Ibarra Irma Preciado Tello Isela Lima Ortega Iván Sánchez Morales Ixtazú Mares Ventura Javier Saúl Varela Molinar Jesús Ignacio Amaya Joel Caro Corona Jonhy Alan García Torres Jose Maria Rosas Moroyoqui José Martín Hernández Torres Juan Gabriel Desilos Hernández Juan Manuel Sánchez Dávila Julio César Garza Piñón

Durango Puebla Chihuahua Morelos Oaxaca Baja California Hidalgo Puebla Nuevo León Jalisco Querétaro Durango Zacatecas Durango Oaxaca Nuevo León Jalisco Nayarit Distrito Federal Michoacán Durango Tamaulipas Durango Puebla Tlaxcala Estado de México Michoacán Chihuahua Baja California Nayarit Nayarit Sonora Tamaulipas Tamaulipas Nuevo León Tamaulipas

Leobardo Mendoza Ramírez Leonardo Piñón Guerrero Leyda Andrea Delgado Matilla Luis Cano Montiel Luz Aracely Carnero Muñiz Luz Yasmín Zacarías Pérez Ma. Alejandra Guadarrama Delgado Ma. Mitzú Yenisse Romo Marco Alonso Salazar Ramírez María Cristina Herrera Mendoza Maria De Los Angeles Corona Beristain María de Lourdes Gómez García Marifel Hernández Espinoza Mariza Ibarra Leyva Martha Ofelia Prieto Torres Martha Patricia De Atocha Amaya Almeida Mayra Elizabeth García Tovar Norma Zamora Morales Rafael Esparza Moran Rafael Viveros Acosta Ranulfo Moreno Meraz Raymundo José Llanes Rodríguez Ricardo Ledezma Sánchez Rosa María Razo Vargas Rubén Moreno Hernández Russell Francisco Reyes Reyes San Juana Clemente Lara Sergio Luciano López Socorro Flores Marín Victoria Reyes Trejo Yaneli Bianey García Flores Yesenia Castro Larios

Estado de México Distrito Federal Aguascalientes Veracruz Chihuahua Chiapas Estado de México Aguascalientes Durango Chihuahua Tlaxcala Coahuila Baja California Sur Sinaloa Chihuahua Yucatán Tamaulipas Tlaxcala Nuevo León Veracruz San Luis Potosí Durango Chihuahua Baja California Sur Guanajuato Yucatán San Luis Potosí Chihuahua Nayarit Baja California Estado de México Zacatecas

Presentación

Este libro sobre desarrollo del pensamiento matemático a través de las situaciones de aprendizaje como herramienta fundamental, presenta una visión de grupo. Cubre el trabajo de investigación y enseñanza de un conjunto de colegas ocupados por estudiar sistemáticamente fenómenos didácticos ligados a la matemática escolar. Incluye a aquellos fenómenos relativos a los aprendizajes, como otros más bien centrados en la estructura del currículo y los roles del docente de matemáticas y de ciencias. Las aproximaciones, como podrá confirmar el lector, son novedosas y diversas. En nuestra opinión, dicha diversidad es indispensable para articular proyectos de cambio e innovación educativos. Hemos incluido una serie de novedosas e interesantes situaciones encaminadas al tratamiento y desarrollo del pensamiento matemático, con actividades específicas para profesores y estudiantes de secundaria. Cada capítulo de este libro fue elaborado en el marco de la Especialización de Alto Nivel para la profesionalización docente en las matemáticas de secundaria. Un estudio de reproducibilidad de situaciones didácticas, proyecto conjunto entre la Dirección General de Formación Continua de Maestros en Servicio (DGFCMS) de la Secretaría de Educación Pública (SEP) y el Departamento de Matemática Educativa del Centro de Investigación y de Estudios Avanzados del Instituto Politécnico Nacional (Cinvestav - IPN). Los libros, artículos de investigación o tesis de maestría o doctorado que fueron utilizados para la elaboración de los capítulos se enlistan en la bibliografía recomendada. De esta manera proporcionamos una forma de alcanzar mayor profundidad. Este libro es una contribución de escuela, de un grupo interinstitucional de carácter nacional que se ha conformado como red académica entre investigadores y profesores, con el fin de producir conocimiento científico sobre los fenómenos didácticos ligados a la matemática escolar. Esperamos que la lectura y el desarrollo de las actividades previstas resulten de utilidad para el lector y estaríamos enormemente agradecidos si, en el curso de la experimentación que las profesoras y los profesores de matemáticas de secundaria harán de este material, nos hacen llegar sus resultados a fin de retroalimentar nuestros diseños. Los autores

Capítulo 1 El aprendizaje de las matemáticas desde la investigación en matemática educativa Rosa María Farfán y Ricardo Cantoral Centro de Investigación y de Estudios Avanzados del IPN

Introducción La enseñanza en general y la de las matemáticas en particular son asuntos de la mayor importancia para la sociedad contemporánea. Con el paso del tiempo, las sociedades han conformado instituciones a fin de articular el saber científico y matemático con la cultura de la sociedad, buscando favorecer entre un sector más amplio de la población una visión científica del mundo. Este libro se conforma de dos partes principales; la primera se centra en el análisis de las relaciones entre enseñanza y aprendizaje de las matemáticas, además de ofrecer una perspectiva teórica bajo la cual se trabajará la siguiente sección. En la segunda se presentan diseños de situaciones de aprendizaje en las cuales se ejemplifica el uso de una matemática funcional, basada en perspectivas actuales de investigación. Esta segunda sección, se divide a su vez, en dos: la primera son situaciones diseñadas para profesores de secundaria y la otra para estudiantes de secundaria. Ambas contienen situaciones adaptadas y desarrolladas en el marco de la Especialización de alto Nivel para la profesionalización docente en las matemáticas de secundaria. Un estudio de reproducibilidad de situaciones didácticas, proyecto de la Secretaría de Educación Pública (SEP) en colaboración con el Centro de Investigación y de estudios Avanzados del Instituto Politécnico Nacional (Cinvestav-IPN). En este capítulo ofrecemos una interpretación de aspectos relativos a la enseñanza de las matemáticas del nivel básico. Debemos aclarar de entrada que no pretendemos ser exhaustivos en cuanto a brindar un panorama del estado que guarda la enseñanza de las matemáticas, aunque si aspiramos a dar una perspectiva sugerente y contemporánea de algunos aspectos tanto para los docentes de matemáticas como para los interesados en el campo de la investigación educativa. La escritura de este apartado ha tomado como fuente principal algunas publicaciones previas (Farfán, R. y Cantoral, R. (2003); Alanís, J. et al (2003); y diversos informes de la Secretaría de Educación Pública.

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También abordaremos las relaciones entre la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas en tanto actividades de naturaleza social. Nos centramos en el estudio de los procesos del pensamiento matemático que se producen en el curso de una relación didáctica, es decir una relación que trata de aquello que el profesor se propone enseñar en matemáticas y aquello que efectivamente los estudiantes son susceptibles de aprender. Nuestro objetivo es explorar el sentido que tiene el desarrollo del pensamiento matemático entre los estudiantes en el transcurso de la gestión de su aprendizaje. Cuando hablamos del pensamiento humano, del razonamiento, de la memoria, de la abstracción o más ampliamente de los procesos mentales en un sentido genérico, solemos dirigir nuestra mirada hacia la psicología y el estudio de las funciones mentales. Para los psicólogos las preguntas: ¿cómo piensa la gente?, ¿cómo se desarrollan los procesos del pensamiento?, o ¿en qué medida la acción humana adquiere habilidad en la resolución de ciertas tareas?, constituyen la fuente de reflexión y experiencia cotidiana de su quehacer. De manera que el pensamiento como una de las funciones mentales superiores, se estudia sistemática y cotidianamente en escenarios profesionales. De qué podría tratar entonces el pensamiento matemático. Sabemos por ejemplo que la psicología se ocupa de entender cómo aprende la gente y de cómo se realizan diversas tareas o se desempeñan ciertas actividades. De este modo, en el libro usaremos el término pensamiento matemático para referirnos a las formas en que se piensa ante situaciones matemáticas, o dicho de otro modo, nos referimos al cómo desarrollan las personas una forma matemática de pensar en su acción cotidiana. Los investigadores sobre el pensamiento matemático se ocupan de entender cómo piensa la gente un contenido específico, en nuestro caso las matemáticas. Se interesan por caracterizar o modelar los procesos de apropiación de los conceptos y procesos propiamente matemáticos. Este interés por estudiar la psicología del pensamiento matemático es relativamente nuevo, aunque podríamos decir que es, sobre todo, esperanzador. Pues se abriga con ello la esperanza de que el desarrollo de este programa de investigación mejore significativamente los procesos educativos en matemáticas en los distintos niveles de los sistemas escolares contemporáneos. Dado que la actividad humana involucra procesos de razonamiento, emotividad y factores de experiencia cuando se desempeñan cualquier clase de funciones, nos interesa que al hablar de pensamiento matemático nos localicemos propiamente en el sentido de la actividad matemática como una forma particular de actividad humana. De modo que debemos interesarnos por entender las razones, los procedimientos, las explicaciones, los argumentos, las escrituras o las formulaciones verbales que el alumno construye para responder a una cierta tarea matemática, del mismo modo que nos ocupamos por descifrar los mecanismos 2

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mediante los cuales la cultura y el medio contribuyen en la formación de los pensamientos matemáticos. Nos interesa entender, aun en el caso de que su respuesta a una pregunta no se corresponda con el conocimiento aceptado institucionalmente, las razones por las que su pensamiento matemático opera como lo hace. De este modo, habremos de explicar con base en modelos mentales, didácticos y socioculturales, cuáles son las razones por las que persistentemente los alumnos consideran que 20 es 0 aunque su profesor insistentemente les diga que 20 es 1; o bien que suelan considerar que el binomio (a  b)2 es igual a2  b2 y no, como sabemos, que (a  b)2  a2  2ab  b2. En este sentido es que nos interesa analizar las producciones de los alumnos ante tareas matemáticas, tanto simples como complejas, asumidas como formas de entender el proceso de construcción de los conceptos y procesos matemáticos al mismo tiempo que sabremos que en esa labor, su propio pensamiento matemático está, también, en pleno curso de constitución. Durante las últimas décadas ha tenido lugar el nacimiento de una perspectiva teórica para los asuntos educativos que, en nuestra opinión, permite desentrañar la naturaleza del conocimiento matemático en toda actividad humana. Hace ya algún tiempo, destacados matemáticos profesionales, como Hadamard, Poincaré, Polya o Freudenthal, se interesaron por explorar la psicología del razonamiento matemático y lo hicieron mediante estudios del tipo introspectivo al analizar su propia actividad personal o a través de estudiar sistemáticamente las producciones de jóvenes escolares. Del mismo modo, la obra de Piaget jugó una considerable influencia sobre el esclarecimiento del pensamiento humano, más específicamente sus estudios sobre la construcción de la noción de número, de las representaciones geométricas, del razonamiento proporcional o del pensamiento probabilístico han tenido una fuerte influencia en el entendimiento de las nociones matemáticas. Aunque esos hallazgos han jugado un papel fundamental en el terreno de la investigación contemporánea, las currícula matemáticas y los métodos de enseñanza han sido inspirados durante mucho tiempo sólo por ideas que provienen de la estructura de las matemáticas formales y por métodos didácticos fuertemente apoyados en la memoria y en el empleo de algoritmos, donde con frecuencia el estudiante se encuentra imposibilitado de percibir las relaciones que existen entre sí los diversos procedimientos con las aplicaciones más cercanas de su vida cotidiana y se priva entonces de experimentar en carne propia sus propios aprendizajes en escenarios distintos a los que le provee su salón de clase. Si quisiéramos entonces describir el proceso de desarrollo del pensamiento matemático tendríamos que considerar que éste suele interpretarse de distintas formas, por un lado se le entiende como una reflexión espontánea que los matemáticos realizan sobre la naturaleza de 3

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su conocimiento o sobre la naturaleza del proceso de su descubrimiento e invención. Por otra, se entiende al pensamiento matemático como parte de un ambiente científico en el cual los conceptos y las técnicas matemáticas surgen y se desarrollan en la resolución de tareas; finalmente una tercera visión considera que el pensamiento matemático se desarrolla entre todos los seres humanos en el enfrentamiento cotidiano a múltiples tareas, esta última visión eminentemente social y cotidiana es la que guía nuestras formulaciones teóricas. Desde esta última perspectiva, el pensamiento matemático no está enraizado exclusivamente en los fundamentos de la matemática, ni en la práctica exclusiva de los matemáticos, sino que trata de todas las formas posibles de construir y tratar con ideas matemáticas incluidas aquellas que provienen de la vida cotidiana: Observar, clasificar, medir, contar, pesar, ordenar, secuenciar, comparar... Por tanto, se asume que la construcción del conocimiento matemático posee niveles y profundidades, por citar un ejemplo, en la medición del área, las unidades convencionales (metro cuadrado, centímetro cuadrado, etc.) a diferencia de otras unidades no existen como instrumentos de medición en las tiendas de autoservicio, en las papelerías o tlapalerías, del mismo modo que podemos comprar reglas, cintas métricas graduadas, escuadras con diferentes unidades de longitud; pesas y balanzas para la masa, entre otras, se determina indirectamente, a partir de medidas de longitud y con instrumentos correspondientes a esta magnitud. Al respecto del área, Piaget afirmó que la noción de conservación del área es un aspecto preliminar y fundamental para el entendimiento del concepto de área y de su medición. Es decir, la conservación antecede a la medición. Un ejemplo adicional trata del concepto de volumen, concepto formado por diferentes propiedades y relaciones con otros conceptos; los niños de entre 6 y 7 años suelen ocuparse de comparar recipientes, quitar y agregar líquido de dichos recipientes y de medir de algún modo el efecto de sus acciones sobre el volumen, aunque la idea de volumen no esté plenamente construida en su pensamiento. En tanto que algunas propiedades tridimensionales del volumen de los paralelepípedos rectos o los prismas, como por ejemplo las relaciones que se pueden encontrar entre longitudes, áreas y volúmenes son tratadas en la escuela cuando los jóvenes tienen entre 15 y 16 años, sólidos de revolución e integrales múltiples son estudiadas entre los 18 y 21 años, de manera que el pensamiento matemático sobre la noción de volumen se desarrolla a lo largo de la vida de los individuos, por tanto la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas en la escuela debería de tomar en cuenta dicha evolución. De este modo habremos de entender, en un sentido moderno, que el pensamiento matemático incluye por un lado, el pensamiento sobre tópicos matemáticos y por otro, procesos del pensamiento como abstracción, justificación, visualización, estimación o razonamiento bajo hipótesis. El pensamiento matemático entonces debe operar sobre una red compleja de conceptos, unos avanzados y otros más elementales. 4

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Ahora bien, dado que para un profesor, enseñar se refiere a la creación de las condiciones que producirán la apropiación del conocimiento por parte de los estudiantes; y que para un estudiante, aprender significa involucrarse en una actividad intelectual cuya consecuencia final es la disponibilidad de un conocimiento con su doble status de herramienta y de objeto; tradicionalmente se ha considerado a la enseñanza de las matemáticas como una suerte de arte que queda libremente bajo el virtuosismo del profesor. El efecto de esa enseñanza sobre el aprendizaje del alumno, suele ser evaluada con relación al buen comportamiento escolar del estudiante, a la aprobación o reprobación de los exámenes escritos del curso y no se discute mucho qué ocurre específicamente en la esfera del aprendizaje, se confunde con frecuencia la acreditación con el aprendizaje. Supone esta visión, que el aprendizaje de los alumnos depende exclusivamente de la atención que presten a la exposición del profesor, del dominio que éste tenga tanto al nivel del arte en su enseñanza como al de su maestría en el tema. Esta visión, aunque existe en nuestras aulas contemporáneas, está siendo cambiada de forma paulatina y, en nuestra opinión, sus más profundas transformaciones están llegando. Ante estas prácticas escolares tradicionales, hoy surgen alternativas que consideran la actividad matemática en un sentido más amplio e integral, según las cuales, dicha actividad no debe restringirse a las limitaciones puramente formales pues, como toda actividad humana, depende de una enorme variedad de restricciones de naturaleza cultural, histórica e institucional. Factores como la motivación, la afectividad, la imaginación, la comunicación, los aspectos lingüísticos o de representación juegan un papel fundamental en la conformación de las ideas matemáticas entre los estudiantes. Desde esta perspectiva, nuestra forma de aprender matemáticas no puede ser reducida a la mera copia del exterior, o digámoslo así: a formar un duplicado de la realidad, sino que más bien será el resultado de sucesivas construcciones cuyo objetivo es garantizar el éxito de nuestra actuación ante una cierta situación. Esta visión, que asumiremos en este texto, rompe con el esquema clásico de enseñanza según el cual, el maestro enseña y el alumno aprende. Estas nuevas maneras de encarar la cuestión educativa permiten explorar y emplear para su enseñanza, las formas naturales o espontáneas en que los estudiantes piensan matemáticas, fuera y dentro de la escuela. El papel del profesor en esta perspectiva es mucho más activo y propositivo, pues a diferencia de lo que podría creerse, sobre él recae mucho más la responsabilidad del diseño y coordinación del desarrollo de las situaciones de aprendizaje, de ahí que él deba ser parte del diseño, la implementación y la evaluación del diseño. Otra visión del aprendizaje que está en funcionamiento más recientemente es conocida como las aproximaciones de orden social. Según las cuales, se considera que “la mente está más allá de la piel” y en esa medida, los procesos mentales poseen una relación esencial con los escenarios culturales, históricos e instituciones. De modo que se presenta un marco según el cual es posible hablar de distintas formas de pensar matemáticas al considerar que el entorno 5

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modifica dichos pensamientos. Así encontramos en la literatura de este programa que se habla de la forma de pensar durante el siglo diecinueve o bien sobre el tipo de razonamiento de los estudiantes o el del profesor en el salón de clase. Según Régine Douady, una destacada fundadora de la didáctica de la matemática en Francia, saber matemáticas precisa de dos aspectos. Por un lado, se refiere a la disponibilidad funcional de nociones y teoremas matemáticos para enfrentar problemas e interpretar nuevas situaciones. En este proceso dichas nociones y teoremas tienen un status de herramienta en tanto que sirven para que alguien actúe sobre un problema en determinado contexto. Por otra parte, también significa identificar a las nociones y a los teoremas como parte de un cuerpo de conocimientos reconocidos socialmente. Es ahí que se formulan definiciones, se establecen relaciones entre nociones mediante teoremas y se prueban las conjeturas adquiriendo entonces el status de objeto. Al adquirir ese status, las nociones se encuentran descontextualizadas y despersonalizadas a fin de permitir su aprendizaje. De este modo, los procesos de descontextualización y despersonalización participan activamente en la apropiación del conocimiento. Para un profesor, enseñar se refiere a la creación de las condiciones que favorecen la apropiación del conocimiento por parte de sus estudiantes. Para un estudiante, aprender significa involucrarse en una actividad intelectual cuya consecuencia final es la disponibilidad de un conocimiento con su doble status, de herramienta y de objeto. Enseguida mostramos un ejemplo de tratamiento del contenido que consideramos interesante pues ha sido construido atendiendo a las formas en que los estudiantes se tratan ciertas tareas, como aquellas relativas al tratamiento didáctico del cálculo mental. Como sabemos, el cálculo mental es una actividad matemática que no precisa de la escritura y que puede desarrollarse en periodos breves de una clase. Secuencias de cinco a diez minutos en cada clase, permiten desarrollar habilidades del pensamiento que serán usadas en su formación posterior. Imaginemos el escenario: De manera oral un profesor propone algunas operaciones por realizar, mientras que los estudiantes escuchan y memorizan la pregunta. Posteriormente efectúan la operación y comunican al grupo y al maestro sus intentos y resultados. A continuación el profesor les demanda una explicación de sus procedimientos. En ese momento el profesor favorece la discusión entres los diferentes métodos propuestos y busca que los estudiantes defiendan o refuten los diversos acercamientos. Ello tiene, naturalmente una intención didáctica. Este proceso permitirá a los alumnos distinguir entre los métodos disponibles y seleccionar aquellos más veloces o efectivos o simplemente que más les gusten.

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En esas actividades, los alumnos usan resultados matemáticos como herramientas, pues no son conscientes de su empleo. Por ejemplo, ante la pregunta del maestro de cuánto es 11 por 11 un joven da una respuesta errónea, propone un número menor que 110. Otro de sus compañeros de clase dice, esa respuesta no es correcta, ya que 11 por 10 es 110 y él ha obtenido algo menor que 110. Este argumento exhibe el uso de un resultado teórico, un teorema que dice que si c  0 y a  b, entonces ac  bc. En este momento el saber opera entre los alumnos al nivel de herramienta, pues aun no se constituye como un resultado general aceptado por los estudiantes de su clase. En otro momento, ellos lograrán escribir y organizar estos hallazgos y en esa medida reconocerán sus resultados a un nivel más general. Es así que en este ejemplo, la evolución de lo oral a lo escrito, fue usado como un medio para la construcción de significados y para el aprendizaje matemático en una actividad. Cuando un profesor se encuentra ante sus alumnos en un salón de clase, se espera que él enseñe un conocimiento específico y que los estudiantes lo aprendan. Sin embargo, si no sabemos la forma en que el pensamiento matemático de los alumnos opera, no sabremos cómo lograr que su aprendizaje se nutra de la enseñanza. Las relaciones entre pensamiento y enseñanza son actualmente estudiadas por diversos investigadores en el mundo entero.

Aprendizaje y enseñanza de las matemáticas Pretendemos ahora describir, a un nivel básico, ciertas relaciones entre los procesos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas tratando con mecanismos del pensamiento matemático. Una cuestión fundamental de importancia contemporánea consiste en adecuar una instrucción, en el sentido más vasto del término, a las exigencias del pensamiento, del aprendizaje y de los contextos históricos, institucionales y culturales que requiere la actividad matemática. La tarea como puede verse no resulta simple. En una atmósfera donde la enseñanza se reduce a la comunicación de verdades eternas, resultados exactos, formulaciones precisas,... Este intento nos plantea una cuestión básica, ¿de qué manera el conocimiento sobre los procesos de aprendizaje en matemáticas puede afectar benéficamente a la enseñanza? Una razón que nos sirve para explicar la complejidad del conocimiento matemático consiste en observar que la mayoría de las nociones matemáticas toman un papel dual, como se ha explicado anteriormente: como herramienta y como objeto, en función de la situación y del nivel de desarrollo de los procedimientos de los alumnos. Típicamente, el aprendizaje de un concepto incluye muchas etapas que pueden desarrollarse durante periodos prolongados y eventualmente quedan por completo fuera de los tiempos de una asignatura. Se inicia con el desarrollo de un proceso en términos concretos, al nivel de 7

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herramienta y en la medida en que el alumno se familiarice con dichos procesos, estos tomarán la forma de una serie de operaciones que pueden ser desarrolladas y coordinadas en su pensamiento, el alumno habrá adquirido entonces un pensamiento de tipo operacional con respecto a ese concepto. En una etapa posterior, la imagen mental de este proceso cristaliza en una nueva y única entidad, digamos que en un nuevo objeto. Una vez que este ha sido adquirido, el estudiante ha desarrollado habilidad para pensar dicha noción ya sea al nivel dinámico como herramienta o al nivel estático como objeto. Este manejo dual posibilita al estudiante el que piense en términos de posibilidades: ¿Qué ocurriría si hago o no hago cierta operación? En esos términos, una de las acciones más importantes para el aprendizaje de las matemáticas es el de construir entidades matemáticas: es decir, constituir un objeto de un proceso, o hacer de una práctica una síntesis. De modo que uno de los principales objetivos del currículum sería, desde esta perspectiva, el desarrollar el pensamiento operacional, el pensamiento sobre un proceso en términos de operaciones sobre objetos. Dado que la matemática trata con números, variables o funciones, por citar algunos, todos ellos pueden ser considerados como objetos. Esos objetos son articulados entre sí mediante relaciones, cada objeto es a su vez parte de una estructura más amplia de objetos. Los procesos se componen de operaciones sobre esos objetos y transforman a los objetos mismos. Por ejemplo, toda función específica puede ser considerada como un proceso que opera sobre números: los transforma en otros números y después será considerada como un objeto en sí misma. Un objeto susceptible de transformaciones mediante otro proceso realizado sobre ella, como por ejemplo derivarla, integrarla o graficarla. Esta dualidad proceso - objeto parece estar en la base de la construcción de los conceptos matemáticos. De modo que la enseñanza de las matemáticas obtendría provecho de las investigaciones sobre el pensamiento matemático y sobre las formas en que se concibe al conocimiento matemático y a su construcción, si estas fuentes epistemológicas – fuentes sobre la construcción del conocimiento – fuesen analizadas en detalle. En la enseñanza usual, estos hechos suelen ser desconocidos tanto por los profesores como por los diseñadores de currículo o los autores de libros de texto, de manera que con frecuencia se corre el riesgo de perder un amplio espectro de posibilidades para enriquecer la acción didáctica. Un profesor que conozca estos asuntos, será sensible al reconocimiento de la existencia de varias epistemologías: la epistemología del profesor, la epistemología del alumno o la epistemología del saber. En este momento, quizá sea la visión más extendida entre los profesores es aquella que consiste en asumir que los conceptos matemáticos son entidades ya elaboradas y que sólo deben ser comunicadas a sus alumnos, en una enseñanza pulcra y libre de dificultades, olvidando que esos conceptos deben ser verdaderamente construidos por sus estudiantes como herramientas capaces de tratar con varias clases de situaciones. 8

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Una de las fuentes más ricas para detectar dificultades y errores en el aprendizaje de los estudiantes, la constituye la experiencia de aula, pues nos permite percibir dificultades en la apropiación de conceptos y procedimientos, de la socialización de las prácticas y muchos otros factores presentes. Uno de los objetivos de la enseñanza escolarizada es tratar con conocimientos especializados. Se considera en general, que el profesor es el protagonista principal del proceso educativo y que el alumno se limita a aceptar pasivamente aquello que se le propone, sin tener una participación activa en la construcción de lo que aprende. Hoy sabemos que los conocimientos así adquiridos se olvidan fácilmente y no quedan integrados en las estructuras lógicas de los alumnos ni parecen desarrollar su razonamiento matemático. Como consecuencia, estos conocimientos, sólo pueden ser utilizados en condiciones muy similares a las que fueron recibidos. Actualmente, se propone, como una forma de aprender significativamente, que el alumno reconstruya conceptos y procedimientos. Que el aprendizaje se base en la actividad creadora y en el descubrimiento de las nociones por parte del alumno, que sea él quien descubra y proponga formas de resolver los problemas. De esta manera, la función del profesor será la de guiar el aprendizaje, de proponer actividades que los enfrente a las dificultades inherentes al nuevo concepto y de proporcionarles las herramientas para superarlas, es decir, incentivar el proceso de pensamiento en el alumno de tal manera que le permita enfrentarse a situaciones nuevas y proponer soluciones. Esto es, darle al alumno un papel más activo en su propio proceso de apropiación de un concepto, confiriéndole una mayor responsabilidad en el mismo. Por otro lado, algunos profesores enseñan matemáticas igual a como está en el texto, es decir, limitándose a reproducir el contenido del mismo. En general, los libros que se utilizan en las clases, provienen de otros países, responden a otros sistemas educativos y por tanto, la presentación del contenido matemático y el orden en que se lo propone distan de la cultura de nuestras clases. Esto provoca que la enseñanza se convierta en una exposición de contenidos sin atractivo para los alumnos, donde los ejemplos y ejercicios propuestos no son significativos ni cercanos a su realidad, lo cual trae aparejado, entre otras cosas, el rechazo a la clase de matemáticas. Quizás, fomentar el uso de textos escritos para nuestro sistema educativo, de aquellos que rescatan nuestro acervo cultural, nuestras problemáticas, aquellos cuyo contenido y presentación incentiven la creatividad del docente y de los alumnos, donde se favorezca la enseñanza y el aprendizaje, sea un primer paso para la superación de este problema. Es por tanto relevante que las problemáticas en el salón de clases sean abordadas a través de investigaciones, contribuyendo así, al mejoramiento de su enseñanza, respondiendo a la necesidad de una búsqueda permanente de democratizar los saberes que ella involucra. 9

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En general, se enfrenta a los alumnos a situaciones problemáticas ficticias y sin relación con otras ciencias, lo que trae aparejado una falta de interés, por parte de los mismos, al no poder percibir una justificación para adquirir los conocimientos que se les están enseñando. Es pertinente entonces, reflexionar sobre el tipo de problemas que se les plantea a los estudiantes, ¿cuántos de ellos están basados en situaciones reales donde aparezcan las estructuras matemáticas que se desean enseñar?, ¿se recurre a otras ciencias, que usan las matemáticas, para que el aprendizaje tenga sentido para el alumno y que exista una motivación para adquirirlo? ¿Qué actividades se proponen para que los conceptos adquieran significado entre nuestros alumnos? En ciertas ocasiones, el profesor presenta un problema, pero no destina suficiente tiempo a sus estudiantes para que ellos propongan soluciones y exploren posibilidades y, en consecuencia, no promueven el desarrollo del pensamiento matemático entre sus alumnos. Quizás al estar presionados por los tiempos institucionales, los profesores ocupados en desarrollar por completo una programación temática muy extensa prefieren, pese a que se plantean actividades de resolución de tareas a los alumnos, reducir los tiempos de exploración y debate en clase de matemáticas. Cuántas veces, por ejemplo, se permite que los estudiantes lleguen a la solución de un problema a través de preguntas genéricas como podrían ser: ¿qué hacemos?, ¿ustedes qué piensan?, ¿alguien tiene una idea distinta?, ¿qué ocurrirá si en vez de esto, hacemos esto otro? ... En este sentido, es frecuente observar que el diseño de la clase no contempla como actividad habitual el que los alumnos argumenten sobre los conceptos que tratan o que directamente expongan sus propias ideas, menos aun que refuten las consideraciones de sus compañeros o de su profesor. Es así como se pierde el potencial que todo alumno posee para debatir en matemáticas y en ciencia, se pierden los hilos de la argumentación y sus ideas cotidianas no evolucionan hacia ideas científicas. Esto también, como podrá comprenderse, induce un comportamiento contemplativo en sus acciones de la vida diaria cuando tenga que defender sus creencias y, por tanto, se inhibe el desarrollo de una amplia gama de habilidades intelectuales. De manera que al abrir un espacio en la clase de matemáticas para que los alumnos expresen lo que piensan de algún concepto matemático y que puedan refutar la opinión de sus compañeros se torna importante, digamos que fundamental en el desarrollo de su pensamiento en general y de su pensamiento matemático en particular. Además, este tipo de interacción en el aula favorece el desarrollo del pensamiento crítico (López, 1998) ya que se incentiva el que se ofrezcan alternativas de solución de algún problema y que argumentando con base en ello se favorece el desarrollo intelectual de los alumnos.

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La mayoría de los alumnos en sus clases de matemáticas, memorizan y optimizan los conocimientos antes de que verdaderamente puedan integrar conceptos o procedimientos matemáticos. En nuestra opinión, ello se debe a que no pueden de una vez y para siempre asimilar la compleja estructura de las matemáticas mediante prácticas de memorización, perdiendo en consecuencia una visión de lo que "está detrás" de las definiciones y los procedimientos asociados a los conceptos y a las técnicas de base de los alumnos, lo que implica un escaso aprendizaje pues no pueden aplicar los conocimientos adquiridos en la resolución de ciertas tareas matemáticas o extramatemáticas. Es por ello que, al pretender enseñar un concepto se debe favorecer las diversas miradas que puedan hacerse de los conocimientos y sus relaciones con los conocimientos previos a fin de que los conocimientos adquiridos anteriormente puedan ir formando una cierta estructura conceptual cada vez más robusta y funcional. En términos generales, la enseñanza no recurre a las estrategias de visualización como una actividad con estatus matemático y los conceptos se manejan de manera más bien formal para después ser fundamentados al seno de una estructura. El conocimiento matemático es, entonces, presentado en forma abstracta sin conexión empírica, lo que hace en los alumnos una serie de dificultades profundas que inhiben los aprendizajes. En muchos casos, se introducen conceptos dando una prioridad excesiva al marco algebraico o al numérico, dejando de lado el manejo de significados en los dominios gráfico e icónico. Todo ello suele apoyarse en una creencia ampliamente difundida que coloca a las estrategias algebraicas en el terreno de lo fácilmente enseñable, y en consecuencia, se concibe, como una buena forma de facilitar la apropiación de conceptos. Pensamos que resulta conveniente utilizar más la visualización en las clases de matemáticas con la intención de favorecer diversas formas de representación tanto de ideas como de conceptos y lograr con ello explorar otros tipos de argumentaciones. Con frecuencia el trabajo en clase es realizado de manera individual, y en general, se pide a los estudiantes que no compartan sus experiencias o sus resultados. Creemos que esto favorece una visión limitada de la diversidad de tratamientos en la resolución de problemas, perdiéndose así, una gran oportunidad de desarrollar conocimientos y estrategias para enfrentarse a situaciones cada vez más complejas. Por esa razón cada vez es más necesario, desarrollar estrategias de enseñanza basadas en la cooperación, una propuesta que se torna interesante es la del trabajo en equipo para que los estudiantes estén en mejores condiciones de reforzar sus conocimientos y compartir visiones sobre las actividades matemáticas. Uno de los errores más frecuentes que se observa cuando se introducen las expresiones algebraicas al seno del aula, es que los alumnos extienden las operaciones numéricas que ya

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dominan, aplicándolas a estos nuevos entes que se les presentan. Por ejemplo, no es extraño encontrar expresiones matemáticamente erróneas como: 25x - 3 = 22x, o bien que 5xy – 3x = 2y En donde es posible percibir que los alumnos tratan a las expresiones buscando dar un cierto sentido, coherencia, pues consideran a las literales como etiquetas de objetos concretos y ello les hace operarlas como si fueran números. Otra dificultad que suelen presentar los alumnos al manipular expresiones algebraicas, trata de la eliminación de paréntesis. Consideremos el ejemplo siguiente que un alumno ha dado ante la tarea de desarrollar la expresión algebraica 8x - 3x (4 + x). Él propone que 8x – 3x(4 + x) = 5x(4 + x). ¿Por qué lo ha hecho de este modo? Se podría pensar que está leyendo de izquierda a derecha del mismo modo en que se ha acostumbrado al leer sus textos escolares: "ocho equis menos tres equis por cuatro más equis". Opera en consecuencia como el interpreta la lectura. Quizás por esta razón, algunos alumnos no puedan percibir que 3 (x + 7) sea igual que (x + 7) 3 a pesar de que ese sea un tema de enseñanza al tratar con las propiedades como la propiedad distributiva. Sin embargo, debemos reconocer que entre las respuestas de los estudiantes siempre hay muestras de razonamientos plausibles, independientemente de que sus respuestas sean correctas o falsas. De otra índole son las dificultades que se presentan ante problemas con palabras, enunciados verbales que precisan de tratamiento y codificación de registros de representación. En estos temas, los docentes suelen encontrar muchas dificultades al pretender comunicar eficazmente a sus alumnos las estrategias y las técnicas de base a sus alumnos. De parte de los estudiantes se dificulta la interpretación y el tratamiento de la palabra escrita que el problema plantea. En términos generales, los estudiantes hacen una especie de traducción frase por frase y suelen exhibir dificultades para reconocer las estructuras del problema. El tratamiento de las relaciones entre las variables involucradas, no puede en nuestra opinión, reducirse al mero ejercicio de traducción, sino que por el contrario, requiere de un verdadero tratamiento y conversión de objetos con múltiples significados.

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Normalmente, los estudiantes muestran una de las mayores dificultades cuando tratan de resolver problemas matemáticos planteados verbalmente, esto es, problemas que usan a la lengua natural o el lenguaje cotidiano para comunicar tanto su consigna como sus datos, ese tipo de situaciones requiere de una lectura comprensiva y de una reflexión sobre la totalidad del problema, en vez de tratar con datos aislados. Al leer el problema, pueden no diferenciar los datos relevantes de los accesorios o bien, pueden tropezar al convertir la frase en una formulación simbólica propia de las matemáticas. En términos generales, los estudiantes y en repetidas ocasiones los textos escolares, reducen el tratamiento de los problemas con palabras al asunto de la traducción directa de las frases a la simbología matemática, lo que conduce a encontrar ocasionalmente más variables que las verdaderamente necesarias para resolver el problema. Lo que ocasiona que no logren establecer relaciones entre las variables y se extraigan entonces ecuaciones equivocadas. En los libros de texto se proponen, como ejercicios para introducir este tema, enunciados que representen cantidades o relaciones entre cantidades para que sean expresadas en el lenguaje matemático. Por ejemplo, “La suma de 2 números impares consecutivos”, “Un número es 4 unidades mayor que otro”, “El largo es el triple del ancho”, “La suma del cuadrado de 2 números”, “La diferencia de 2 números es 20”. En general, puede observarse que este proceso da comienzo al tratamiento de las representaciones para con ellas, favoreciendo el abandono del contexto de partida en el que fue planteado el problema. Se espera que después de realizar operaciones pertinentes, se esté en condiciones de volver al escenario original e interpretar ahí la respuesta construida. Sin embargo, la potencia del álgebra respecto de su vinculación con otros marcos como el numérico, gráfico e icónico, normalmente no se explota a plenitud. Así mismo, cuando se aborda el tratamiento de las fracciones, se observa que a pesar de que éstas se introducen en la enseñanza de la aritmética al nivel de la educación básica, los estudiantes tienen dificultades con su manejo, las cuales se heredan al tratamiento algebraico, trigonométrico o variacional. Es usual encontrar respuestas incorrectas como las que exhibimos a continuación:

3 1 4   5 2 7 1

7 8  3 3

Es fundamental entonces, reflexionar sobre la necesidad de la investigación como método para modificar los contenidos de enseñanza a los procesos de aprendizaje.

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De la aproximación socioepistemológica a la práctica educativa Enseñar a un alumno es una tarea simple, pero enseñar a treinta millones de alumnos es una labor sumamente compleja. El reto que nos proponemos con este libro, es brindar una forma de encarar los problemas del aprendizaje al nivel del sistema escolar y no exclusivamente en el ámbito del aprendizaje individual o de la investigación clínica. En este sentido estamos pasando de la investigación a la realidad del aula y es por ello que no podremos limitar nuestras propuestas al diseño bien estructurado de ideas novedosas, sino a un verdadero rediseño del proceso educativo sobre bases nuevas. Según datos de la Secretaría de Educación Pública de México, en el ciclo escolar que inició en septiembre del 2008, se matricularon al sistema nacional de educación, casi 24,000,000 de alumnos distribuidos de manera que 25,600,000 se encuentran en educación básica; casi 3,924,000 en la educación media y cerca de 2,705,200 en la educación superior. Del total de los estudiantes que se encuentran en la educación superior, el 93% corresponde con el grado superior y el 7%, se encuentra estudiando posgrado.

A pesar de la diversidad de instituciones y de la amplitud temática, la matemática es enseñada a la totalidad de los estudiantes de secundaria. En términos generales se estudia a la matemática divida en 3 grandes ejes, sentido numérico y pensamiento algebraico, manejo 14

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de la información y forma espacio y medida. El método de enseñanza suele ser el expositivo y este se hereda desde el siglo diecinueve, cuando se consolidó el sistema de enseñanza simultánea, que presupone que los estudiantes de una clase estudian los mismos contenidos en los mismos periodos, en oposición de la enseñanza personalizada. Este cambio en la metodología de enseñanza trajo aparejado nuevos sistemas de selección del alumnado y en consecuencia una nueva función para las matemáticas en la escuela: la selección de los alumnos. Datos del sistema educativo muestran, en general, que de cada cien estudiantes que ingresan a la primaria sólo nueve alcanzan una habilidad terminal. Una radiografía del sistema educativo mexicano

100 Primaria

40 53 Secundaria

13 6

25

3

Técnico medio

Bachillerato

Normal

4

10

1

2

9

2

técnicos

Licenciatura

maestros

4

5 licenciados

Esto significa que de cada cien que ingresan a la educación primaria, cuarenta son excluidos a causa de razones de tipo socioeconómico y también por razones de selección académica. De esos cien sólo cincuenta y tres ingresan a secundaria, trece son excluidos en el proceso y sólo veinticinco pasan al bachillerato, seis ingresan a escuelas para la formación de técnicos medios y tres van a la educación normal. De estos, sólo dos devienen técnicos y otros dos más serán maestros, de los 25 que ingresaron al bachillerato sólo nueve ingresan a una licenciatura y de ellos cinco la concluyen; en este sentido, los dos egresados de una formación técnica, los dos egresados de una formación magisterial y los cinco egresados de una licenciatura son los nueve que alcanzan una habilidad terminal. Normalmente, desde una óptica tradicional, suele creerse que los sistemas educativos y particularmente en lo que concierne a la enseñanza de las matemáticas son, por decirlo de algún modo, neutros, pues dispensan la misma información en los mismos tiempos a todos los estudiantes del país. Sin embargo eso parece estar cada vez más en entredicho, pues en la medida en que se conoce la existencia de los profundos desequilibrios entre regiones y entre 15

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estratos socioeconómicos o atendiendo a la diversidad étnica, se acepta como consecuencia que la exclusión afecta más a los más desfavorecidos. Como una de tantas inercias que acompañan a las prácticas escolares, hemos asumido como símbolo de bienestar académico el que los porcentajes de deserción y reprobación escolar sean moderadamente pequeños y en esa medida identificamos al progreso con su abatimiento. Sin embargo, quienes miren de cerca las acciones de enseñanza e investigación saben que es posible permanecer en la escuela y acreditar las asignaturas con notas relativamente altas, sin haberlas legítimamente aprehendido. Ahora bien, aunque el objetivo de una tasa pequeña tanto en la deserción como en la reprobación sea deseable en todo sistema de enseñanza, claramente no es suficiente; pues una vez que ésta se ha alcanzado el nuevo y urgente reto debe centrarse en la mejoría de la densidad y calidad del aprendizaje de nuestros estudiantes de una manera uniforme. Partimos de la consideración de que la labor del profesor de matemáticas debe ser considerada desde la perspectiva de una actividad profesional. En este sentido, el debe participar en los procesos de perfeccionamiento profesional de manera permanente, en ellos proponemos contemplar tres ejes principales que pueden concebirse como una posible respuesta a las cuestiones siguientes: ¿Cuáles son los conocimientos base para la enseñanza del profesor de matemáticas? Un complejo integrado de conocimientos teóricos, creencias y actitudes. ¿De qué manera un profesor puede aceptar como un conocimiento útil, el aprender a enseñar, el aprender a observar procesos de aprendizaje y el aprender a aprender? Tradicionalmente, la atención de los investigadores se trasladaba hacia el papel desempeñado por el pensamiento del profesor como posible fundamento de la conducta. En los últimos años las investigaciones intentan proporcionar una nueva perspectiva desde la que se contempla el papel del profesor en el proceso de enseñanza aprendizaje. Las investigaciones se centraron en analizar las características de lo que pudiera fundamentar las decisiones y acciones del profesor. El conocimiento, las creencias y las actitudes y los valores, así como la relación entre el conocimiento y la acción. Por otro lado, el proceso de preparar matemáticas para los estudiantes puede describirse desde diferentes puntos de vista y con marcos teóricos diferentes. También, involucra la cuestión de resolver los problemas de justificación, posibilidad e implementación (preparación de lo requerido para hacer posible la enseñanza de un tema matemático dado, sujeto a las restricciones impuestas por la sociedad, sistema escolar, calificación de maestros, etc.) del contenido matemático como una acción necesaria en el proceso. Resolver estos problemas requiere del dominio teórico y práctico así como de un ataque simultáneo, no lineal. Encontramos diversas explicaciones al proceso desde lo que la tradición alemana llama con el concepto de elementarización; esto es, “la transformación activa del contenido matemático a 16

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formas más elementales con una doble significación: ser fundamental y accesible para los grupos de estudiantes que lo reciban” (Biehler R. et al. (Eds). 1994 pp.11). O bien desde la tradición francesa con la teoría de la transposición didáctica la que describe el proceso ineludible y las variables que intervienen en el paso del conocimiento científico a conocimiento susceptible de ser enseñable y al enseñado realmente, por ejemplo: la definición de función, presente en los textos, conocida como “la definición formal” se constituye como uno de los conocimientos escolares a ser enseñado y aprendido. Su justificación o validación (como “conocimiento enseñable”) se da a partir del consenso de la comunidad matemática (investigadores y profesores) que la ha adoptado para referenciar al concepto. Este conocimiento científico socializado al que Chevalard se refiere como “conocimiento erudito (académico)” que al ser validado como “conocimiento enseñable” genera tradiciones educativas dándose el fenómeno de transposición (Chevallard Y., 1991) en donde los factores que determinan las sucesivas modificaciones que sufren los resultados científicos hasta llegar a ser “conocimientos enseñables” atienden a los reclamos e ideologías de la sociedad y administración del tiempo institucional, lo que da lugar a la presentación del contenido matemático en forma lineal y organizado en compartimentos con una marcada carencia en significaciones. Ese “conocimiento enseñable” no considera dificultades epistemológicas ni cognitivas intrínsecas; menos aún las del estudiante para acceder a él. A la luz del fenómeno de la transposición didáctica de los saberes, se desprende el carácter ilusorio de los desarrolladores de curriculum quienes tienden a pensar que sus decisiones son objetivas en tanto que son elecciones deliberadas, olvidando ellos mismos que son parte del fenómeno. Hay también algunas revisiones puntuales de los resultados de las reformas curriculares en los EUA (Fey J., 1994), dónde se hace un llamado al uso de acercamientos eclécticos para enfrentar esta problemática, toda vez que la diferencia entre las declaraciones de los estándares de la NCTM y los resultados educativos reales es considerable. Mientras que unos dicen lo que desean los otros exhiben lo que obtienen. Otro caso interesante, es el concerniente a los esfuerzos renovadores en la Alemania del Este y Austria (Tietze U., 1994) que concluye, después de un análisis cuidadoso de diferentes reformas, en el caso particular del cálculo, en las cuales la intención de establecer ideas fundamentales que subyacen o soportan al desarrollo curricular es en extremo limitado para incidir en los sistemas escolares reales. Sus trabajos se perfilan hacia currículos más sencillos (como la preparación de una clase), pero con un conocimiento más completo de las interrelaciones que se dan en el hecho educativo, como creencias, salón de clase, cognición y metacognición, tanto de profesores como de estudiantes. El escenario descrito anteriormente, se extiende hacia el terreno nacional con las especificidades que impone nuestra propia tradición educativa. En este sentido, nuestra propuesta se plantea iniciar de la proclama de una “investigación para la acción”. Hemos 17

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planteado hace unos años la cuestión de ¿qué matemáticas deberíamos enseñar en la escuela?, así como establecer los elementos que habrían de ponerse en juego para determinarla, y en su momento – y esta sigue siendo una pregunta vigente - sobre el cómo podríamos llevar pertinentemente nuestros resultados al sistema de enseñanza. Para ello hemos acuñado la expresión de discurso matemático escolar, a fin de describir a los saberes en el escenario educativo y abrir la posibilidad de hacer matemáticas para la escuela. Esta noción, para ser coherentes con la proclama, precisa de una acción de rediseño que atienda fundamentalmente a los reclamos de un sistema de enseñanza masificado específico, lo que debe ocuparnos, es el rediseñar el discurso matemático escolar de manera que enfrente al problema de la masificación y no que lo soslaye. Usamos para el diseño de las actividades a la ingeniería didáctica, que constituye una metodología de investigación de intervención que se aplica tanto a los productos de enseñanza basados o derivados de la investigación como a una metodología de investigación para las experimentaciones en clase. Su sustento teórico proviene de la teoría de la transposición didáctica y de la teoría de las situaciones didácticas1 de ambas se desprende la necesidad de dotar al estudio del fenómeno didáctico de un acercamiento sistémico, con la primera se alcanza una dimensión global, en tanto que la segunda es de carácter local. En ese sentido la preparación de matemáticas para estudiantes no es un proceso de elementarizar el conocimiento en cualquier sitio, ni adaptarlo a un conocimiento previo y habilidades cognitivas del estudiante. Se le percibe como una tarea didáctica que requiere un mayor análisis global de carácter sistémico (Artigue, 1990). El término de ingeniería didáctica surge a inicios de la década de los 80's en analogía al quehacer en ingeniería, en tanto que éste no sólo se realiza apoyándose en resultados científicos, involucra también una toma de decisiones sobre las diversas componentes involucradas en el proceso. Los fines de una ingeniería didáctica pueden ser tanto de investigación como de producción. Un aspecto relevante es el concerniente a la validación de resultados, que en el caso de la investigación descansa en un asunto interno basada en la confrontación entre el análisis a priori de la situación construida y el análisis aposteriori de la misma situación, bajo el principio de que la conducta del estudiante sólo puede ser entendida si ésta es relativa a la situación observada, esta situación y su potencial cognitivo deben ser caracterizados de antemano comparando el análisis apriori con lo observado. Esta posición de validación sólo puede tener lugar si las situaciones que involucran la ingeniería son La teoría de situaciones didácticas introducida por Guy Brousseau (Brousseau, 1986). Basada en una aproximación constructivista, opera bajo el principio de que el conocimiento se construye a través de la adaptación a un ambiente que, al menos en parte, aparece problemático al sujeto. Provee de una teoría para el control de situaciones de enseñanza en su relación con la producción matemática del conocimiento. Los sistemas didácticos considerados distinguen tres componentes mutuamente interrelacionados, a saber, el maestro, el estudiante y el conocimiento. 1

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estrictamente controladas en lo relativo a los contenidos tratados, su puesta en escena, el papel del profesor, la administración del tiempo, etc. En tanto que la validación de una ingeniería de producción satisface las condiciones clásicas del trabajo de ingeniería, a saber, efectividad, potencia, adaptabilidad a diferentes contextos, etc. Esta metodología contempla tres grandes fases: un análisis preliminar de la situación a abordar involucrando las componentes didáctica, es decir, acerca del estado de la enseñanza; la componente epistemológica en tanto da explicación del devenir del contenido matemático en juego, así como su funcionamiento y diversas formulaciones; y la componente cognitiva de la población que va a ser sometida a la ingeniería. Una segunda fase la constituye el diseño de la ingeniería así como la elección de las variables macro y micro didácticas que van a ponerse en juego (por ejemplo, determinación del tratamiento del contenido, incorporación de estrategias de resolución de problemas, uso de tecnología y cómo, manera de conducir la clase, textos a usar, etc.). Finalmente la puesta en escena y análisis de resultados. Esta metodología, falible por cierto, nos ha parecido coherente en tanto que toma en cuenta la naturaleza eminentemente social del fenómeno educativo y por ende su acercamiento integral, sistémico. De paso se reconoce que la investigación en el aula no puede desligarse de la situación específica ni de los personajes que intervienen en ella, revalorizando el papel protagónico del profesor. Lo que no nos conduce a su adopción global, hemos de considerarla como parte de nuestra reflexión al proponer nuestros propios acercamientos. En lo que sigue presentaremos una serie de ejemplos que den cuenta de la evolución de las problemáticas abordadas en matemática educativa en diferentes momentos (no cronológicos, sino conceptuales) que hemos llamado, una didáctica sin alumnos, una didáctica sin escuela, una didáctica sin escenarios y una didáctica en escenarios socioculturales a partir de los cuales es posible percibir la introducción de la perspectiva socioepistemológica.

Una didáctica sin alumnos La problemática clásica en matemática educativa se ocupó de diseñar presentaciones del contenido matemático escolar que se consideraban más accesibles para los alumnos y para los profesores que aquéllas otras presentaciones llamadas tradicionales. Se asumía que una presentación mejor adaptada a la escuela y a sus agentes podría ser construida sólo con la reflexión del profesional de la matemática. Siguiendo esta línea, se produjeron libros de texto y materiales educativos sin tomar en consideración sistemáticamente otros factores como aquellos de naturaleza cognitiva o afectiva o bien los relativos a las cuestiones socio culturales del conocimiento. Se buscaba producir aquello que la escuela habría de consumir, sin estudiar a profundidad la cultura escolar. 19

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Un ejemplo clásico de este enfoque lo constituye la propuesta de aproximación del área de una figura plana mediante particiones cada vez más finas. Se proponían a los estudiantes diversas actividades de enseñanza para estimar el valor de un área dada, como por ejemplo el área que contiene la figura siguiente. A

Se proponía introducir una cubierta formada por elementos cuya área es conocida. Por ejemplo, un rectángulo de lados 3 y 6 cm.

A

3 cm.

6 cm. De este modo, el área buscada sería menor que 63 cm2. Luego si el área buscada se denota como A cm2, se cumple entonces con la relación 0  A  18. A continuación refinaban la aproximación y dividían, por ejemplo, en cuadrados unitarios. Seis a lo largo y tres a lo alto, contando el número de cuadrados en los que quedaba la figura contenida y el número de los que quedaban completamente dentro de la figura. Se proponía por ejemplo 4  A  18. Se continuaba refinando la aproximación por iniciativa del docente, y se obtenía nuevas y mejores aproximaciones de manera que la sucesión a1, a2, a 3, ... y la b1, b 2, b 3,... de aproximaciones sucesivas satisfacían las siguientes relaciones:

a1  A  b 1 a1 a2 A  b2 b1 a1 a2 a3 A  b3 b2 b1 a 1  a 2  a 3  a 4  A  b4  b 3  b 2  b 1 20

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En este proceso, el estudiante no quedaba al cargo del proceso, si acaso sólo de su ejecución. Debido a la naturaleza de la construcción que hemos descrito se sabe que, matemáticamente, el límite de las sucesiones an y bn es, en ambos casos, A, de modo que el proceso de aproximación, conduciría, por una especie de sensualismo didáctico, al convencimiento entre los estudiantes de que tal límite existe y de que las concepciones que ellos y ellas tengan sobre lo qué es el área y sobre lo que significa representarla mediante aproximaciones, ya sea por exceso o ya por defecto, no producirían dificultades mayores para los profesores al momento de pretender desarrollar esto en sus clases. Recientemente, a partir de estudios de naturaleza cognitiva, se reporta que los estudiantes tienen mayores dificultades para aproximar las figuras por exceso, que cuando lo hacen por defecto. Era necesario entonces, modificar y ampliar la problemática de estudio en la matemática educativa al incluir explícitamente al aprendizaje del alumno como factor central del diseño curricular y para el desarrollo de la instrucción en una clase habitual de matemáticas. Del mismo modo, estas aproximaciones didácticas sin alumnos, hicieron evidente la necesidad de atender aspectos, hasta entonces transparentes para los matemáticos educativos, como el papel que desempeñan las acciones del profesor en los actos de aprendizaje de sus alumnos, o la forma en que los diálogos intervienen en los procesos de desarrollo del pensamiento. De ahí que paulatinamente se hayan incorporado estudios sobre el pensamiento del profesor para dar cuenta de las formas en que el docente conducía un cierto proceso de negociación del significado con sus alumnos. La problemática aunque había sido modificada, no había sido completamente estudiada.

Una didáctica sin escuela Hacia la década de los 80’s se presentó en la International Conference of Mathematics Education (ICME – 4) un programa de acción en torno del cual se desarrolló paulatinamente nuestra disciplina. Ello se expresó a partir de planteamientos como aquel del profesor Freudenthal al someter a consideración preguntas como la siguiente: ¿Cómo aprenden las personas? y ¿cómo podemos aprender a observar procesos de aprendizaje? En nuestra opinión, ello dio pie a un nuevo paradigma de investigación que modificaba su objeto y su método de estudio. Ello ha derivado en una aproximación cognitiva a la investigación que realiza observación y descripción sistemática de los logros de los estudiantes y de las diversas experiencias de aprendizaje.

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Por supuesto una de las pretensiones de esta aproximación fue el que estos estudios cognitivos, en tanto dieran explicación de cómo se aprende matemáticas, pudiesen dar pautas (o al menos aproximaciones) para la articulación de los principios que subyacen a los futuros diseños curriculares. En esta perspectiva y para el caso de las matemáticas escolares del nivel universitario, uno de los primeros y muy representativos estudios fue el contenido en (Tall y Vinner, 1981). En él se introducen y desarrollan términos como “imagen del concepto” y “definición del concepto”. Se dice entonces que el estudiante para definir si un objeto matemático dado es un ejemplo ó un contra ejemplo de un concepto no decide necesariamente sobre la base de definiciones aprendidas, sino con relación a la imagen conceptual que ha sido forjada al filo de su experiencia y que representa “la total estructura cognitiva asociada con el concepto que incluye todas las imágenes mentales, propiedades asociadas y procesos”. Así los estudiantes pueden dar una definición conjuntista de la noción de función (definición del concepto) y negarse a reconocer como una función a una relación funcional definida por dos expresiones algebraicas diferentes sobre dos intervalos: “una función dada por dos fórmulas”. De la misma forma, pueden negarse a considerar como iguales a funciones matemáticamente equivalentes pero definidas por procesos diferentes. Ello a causa, según se decía, de que su imagen conceptual de una función estaba ligada a su representación algebraica única. Para dar una explicación del porque los alumnos dan respuestas diferentes y contradictorias de un mismo problema, D. Tall y S. Vinner introdujeron la noción de conflicto cognitivo potencial. El término “potencial” significa que dos concepciones contradictorias no son necesariamente activadas de manera simultánea, los conflictos cognitivos resultado de la incoherencia de la red pueden incluso no aparecer. Uno de los ejemplos clásicos en la literatura consistió en dos ejercicios propuestos en una misma hoja a estudiantes que terminan el bachillerato ó que inician la universidad, darán lugar a respuestas matemáticas contradictorias sin que esta contradicción sea percibida por los alumnos: - compare los números 0.999 y 1 - calcule la suma de la serie (9/10  9/100  9/1000  ) En el primero de los casos, la respuesta mayoritaria es: 0.999... 1 y se acompaña de diversos tipos de justificación producto de una visión de la escritura decimal ilimitada: “al escribir 0.999999 no se detiene jamás con la escritura, entonces debe ser inferior a uno”, asimismo al tener una visión infinitesimalista se dice: “es infinitamente próximo a 1, pero no es igual al 1”, “justo antes, debe ser el último número antes de 1”. En el segundo caso la respuesta mayoritaria: 1, se obtiene por activación del procedimiento de cálculo de la suma de una particular serie geométrica. 22

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Este tipo de estudios proporcionaron una herramienta útil y eficaz para estudiar el comportamiento cognitivo de los estudiantes ante algún tipo de tareas matemáticas; empero creemos que el desempeño de los alumnos no puede reducirse a la dimensión cognitiva. Pues las relaciones que ellos mantienen con los objetos matemáticos están condicionadas por las representaciones que se forjan más globalmente sobre los que es la actividad matemática, de sus ideas de lo que es el aprendizaje de las matemáticas, de su posición con relación de las matemáticas y más globalmente incluso, de su status como alumno. De modo que la forma en la que vive una situación de enseñanza y sus producciones matemáticas en ese contexto son condicionadas por las características de la costumbre didáctica. Su comportamiento cognitivo en el seno de la institución escolar puede ser entendido de una manera muy diferente a aquella que brinda su comportamiento cognitivo. La vida en las instituciones matiza los procesos del pensamiento. El término “institución”, podemos tomarlo en un sentido amplio: la familia, la clase, la escuela, el sistema educativo, el ambiente social constituido también por otro tipo de organizaciones humanas. Las interpretaciones en términos de concepciones para hacer observaciones de alumnos no son necesariamente las únicas pertinentes ni las más pertinentes. Se les debe concebir como las interpretaciones posibles susceptibles de competir con otras dentro del análisis de fenómenos didácticos.

Una didáctica en la escuela; pero sin escenarios Otra forma de abordar los problemas la constituyeron las aproximaciones sistémicas que han intentado analizar los fenómenos didácticos tomando en cuenta la complejidad del sistema en donde suelen considerarse distintos polos: el del saber, aquél de quién aprende y el de quién enseña en un medio determinado. Tratando de esclarecer sus relaciones mutuas a fin de “explicar” los diversos fenómenos didácticos que se suceden en el hecho educativo. Consideremos el ejemplo de los estudios de convergencia de series infinitas. En (Farfán, 1997) se desarrolla un examen que busca significar al concepto de convergencia de series infinitas con aproximaciones novedosas, con el fin de encontrar una veta en la asociación de la noción de convergencia con el estudio científico de la propagación del calor. El fenómeno de la propagación del calor fue una cuestión tratada tanto por la Mecánica Racional como por el Análisis Matemático durante el siglo dieciocho y a el cual no dieron en su momento una respuesta definitiva. Para robustecer el aporte sistémico que no limitara las cuestiones del aprendizaje a los procesos mentales, se consideró pertinente hacer un estudio del tratamiento del cálculo algebraico en la época, haciendo énfasis en los procedimientos heurísticos comúnmente 23

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utilizados. Al lado de este desarrollo, se buscaba localizar el surgimiento institucional de la ingeniería matemática sobre la práctica tradicional y desentrañar el papel sustantivo que esa institución de educación superior, la École Polytechnique, tuvo para consolidar una tradición educativa, un paradigma del saber y una institucionalización de las prácticas sociales. Así pues, el problema matemático que ocupó entonces las investigaciones en matemática educativa del nivel superior fue el de estudiar la noción de convergencia de series infinitas en los ambientes fenomenológico que les dieron origen, particularmente aquel referido a la conducción del calor en estrecha relación con la ingeniería. Todo ello arrojó información didáctica pertinente en virtud de que la conjunción de diversas variables que rebasaba las cuestiones propiamente mentales y abría el camino al estudio sistemático de la formación del conocimiento desde una perspectiva social. El desarrollo del cálculo algebraico y el surgimiento de la ingeniería en el siglo XVIII, resultaron según este programa una materia prima fundamental para el desarrollo de estrategias didácticas para los sistemas educativos contemporáneos. Según se obtuvo del examen de la obra de Biot, se reconocía que antes de la formulación formal del conocimiento matemático, ser precisaba de una experiencia que se dirigía hacia la medida y la experimentación, para que con base en cálculos se desecharan las explicaciones del fenómeno mediante nociones como el calórico. Para ello había que hacer uso de las indicaciones suministradas por termómetros, obteniéndose así la primera ecuación diferencial que rige al fenómeno. Esto abrió la posibilidad de articular las clases de matemáticas con las de ciencia y pensar de nueva cuenta la cuestión del desarrollo del pensamiento matemático de los estudiantes con base en aproximaciones sistémicas. De paso estas investigaciones permitieron la reconstrucción de conceptos del análisis matemático, como los de función, expresión analítica, el continuo real, así como la interpretación física de las soluciones de las ecuaciones diferenciales, y se dio inicio al estudio de la convergencia de series infinitas, pilar fundamental del Análisis Matemático moderno. Como resultado de estos estudios se concluyó en una reformulación de las hipótesis de investigación, se decía entonces que, ...para la construcción de la noción de convergencia de series infinitas, se precisa de un ambiente fenomenológico estrechamente relacionado con la estabilidad de sistemas fluidos. De suerte tal, que determinar el estado estacionario del sistema conduce, necesariamente, a un estudio de la convergencia de una serie trigonométrica infinita... (Farfán, 1997). Una vez determinada la fenomenología intrínseca del concepto de convergencia en su génesis, se diseñaba un apropiado montaje experimental a fin de estudiar los procesos 24

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implementados por grupos de profesores de matemáticas del nivel universitario involucrando problemas físicos, similares a los abordados por Fourier y, por otro, los planteados en un contexto matemático. Se retomaron experimentos a fin de analizar las ideas intuitivas que sobre la conducción del calor poseen los profesores, así como aspectos referidos a la representación matemática del fenómeno. Se realizaron exploraciones con diversos propósitos: sobre la definición de convergencia y acerca del límite de una serie de funciones, dada por Abel en 1826. Estos profesores participaron en una experiencia de investigación y enseñanza controladas a lo largo de periodos más amplios que aquellos usados en los primeros años de la investigación en matemática educativa. En el caso que ahora se reporta, se trabajó durante dos años y medio ininterrumpidamente buscando ambientar de mejor manera los acercamientos propuestos. De los resultados de esa experiencia en el contexto físico, observamos que si bien la primera intuición sobre el fenómeno es perceptible, esto no ocurre con sus representaciones gráfica y analítica, pues se obtuvieron casi tantas representaciones como respuestas. En realidad, al pedir una representación gráfica estábamos exigiendo un manejo versátil sobre una producción cultural que vincula los contextos físicos con los geométricos, cosa inusual en la enseñanza contemporánea. En el contexto físico por ejemplo, ha de tenerse una clara referencia para distinguir lo que varía respecto a qué es lo que produce tal variación2 para, enseguida, predecir cuándo la variación que subsiste ha llegado a un estado estable. Esa predicción es la determinación del estado estacionario al que se aproximan los diversos estados en donde, para cada uno, se tiene determinada su evolución. Precisar la relación existente entre evolución del fenómeno para cada tiempo y predicción fue lo que se les requirió a los profesores; en realidad, estuvimos pidiendo que reconstruyeran la síntesis del intelecto de Fourier en esta tarea de representación. El estudio de Fourier va precedido de un análisis cualitativo y empírico del fenómeno físico en cuestión, de la intuición acerca de la certeza sobre la convergencia de la solución, ligada a la naturaleza propia del fenómeno (la temperatura no es infinita). Y sobre ello hace descansar sus posteriores desarrollos analíticos anteponiendo, así, el contexto físico al geométrico y al algebraico, haciendo uso en este último de habilidades matemáticas propias de la época, Esto, sin ser precisamente lo mismo, se vincula a un obstáculo epistemológico reportado en Sierpinska (1992) referido a un esquema inconsciente de pensamiento... se observan los cambios como fenómenos, enfocando la atención sobre cómo cambian los objetos, ignorando qué cambia... (op. cit., p. 36). Sierpinska alude al trabajo de Aristóteles en donde su atención se enfoca en cómo los objetos pasan de un estado a otro, y en encontrar una definición de cambio, así como en establecer las categorías de ellos... En su Física, libro III, capítulo i, Aristóteles define "movimiento de cambio" como una actualización de un estado potencial y dice que "existen tantas clases de movimiento de cambio como clases de ser". Sus ejemplos de movimiento de cambio son: cambio cualitativo, incremento y decrecimiento, rotación, maduración y envejecimiento. Estas denominaciones describen la naturaleza del cambio como una variable que pasa de un posible valor a otro. Sin embargo Aristóteles no se interesó en la variable misma, no centró su atención en métodos y medios para medir sus cambios...( ibid. p.36). 2

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ajenas a nuestras tradiciones educativas. No obstante, el estudio de problemas físicos actuales planteados por la ingeniería requiere del análisis cualitativo y de una representación adecuada. De ahí la importancia de estudiar el contexto físico a fin de procurar un acercamiento fenomenológico que posibilite futuros diseños didácticos en contextos afines a la ingeniería en las diversas especialidades que lo propicien. Nuestra hipótesis inicial de trabajo radica en que es indispensable, para la construcción de un concepto matemático, la significación que le dio origen; en este caso, es la determinación del estado estacionario lo que propició dicha construcción. Sin embargo, este concepto físico no es producto de la primera experiencia sensible; baste decir que la humanidad conoce, requiere y manipula el calor desde tiempos remotos, en tanto que su estudio científico se inicia con el siglo XIX, poco después de la publicación de la Mecánica Celeste de Laplace. Es decir, se ha estudiado la naturaleza del espacio que circunda el globo terrestre antes de dar cuenta de un fenómeno vital para la vida humana. Ello no es gratuito, la abstracción requerida para la adquisición del concepto físico involucrado representa una tarea cognitiva de las más complejas. Nadie se atrevería a levantar una olla que contiene agua en ebullición sosteniéndola por su base: esta decisión es producto de la intuición primitiva (casi instintiva). Pero, ¿podré admitir que, siendo el flujo de calor constante (no hay aumento de temperatura), las temperaturas en los puntos difieran?... es tanto como admitir variabilidad dentro de lo estable. Esto último no se deriva de la experiencia sensible, sino de una profunda reflexión del fenómeno para lo cual se requiere de un amplio repertorio de habilidades no cultivadas en el ámbito escolar. De lo que se desprende la obligatoriedad de desarrollar la intuición más allá de lo sensible, como una etapa previa, antes de significar nuestro particular concepto matemático. En síntesis el tipo de estudio epistemológico que realizamos nos proporcionó la explicación que niega, parcialmente, nuestra hipótesis de partida, a saber, si bien es cierto que el concepto surgió en el ámbito de la determinación del estado estacionario; éste no resulta propicio para recrearse en el aula pues resulta ser más complejo que aquél que deseamos introducir. Esto último nos indujo al estudio socioepistemológico en las diversas formaciones profesionales de nuestro sistema educativo.

Una didáctica en escenarios socioculturales Como lo reportan diversas revisiones recientes (Artigue, 1999; Cantoral, 2000), los estudios que tratan sobre la didáctica de la matemática en el nivel superior, por ejemplo las de análisis matemático, han usado distintas metáforas del aprendizaje que conservan, en algún sentido, puntos comunes, como por ejemplo el uso de la tesis central que proporciona la epistemología genética relativa al desarrollo del pensamiento. Apuntamos el hecho de que esas investigaciones se han centrado en problemáticas que se ocupan de la matemática relevante 26

Capítulo 1

en la enseñanza superior, asumiendo que la matemática interviene en ese nivel casi exclusivamente como disciplina principal de enseñanza olvidando un hecho fundamental que caracteriza al sistema didáctico de la educación superior; también y quizá con mayor fuerza, la matemática escolar está al servicio de otros dominios científicos y de otras prácticas de referencia, de donde a su vez adquiere sentido y significación. La línea de investigación que desarrollamos considera como necesidad básica, el dotar a la investigación de una aproximación sistémica y situada, que permita incorporar las cuatro componentes fundamentales en la construcción del conocimiento; su naturaleza epistemológica, su dimensión sociocultural, los planos de lo cognitivo y los modos de transmisión vía la enseñanza. A esta aproximación múltiple, que nombramos “la cuarta dimensión”, le hemos llamado formalmente el acercamiento socioepistemológico. En este sentido, el pensamiento y el lenguaje variacional es entendido como una línea de investigación que, ubicada al seno del acercamiento socioepistemológico, permite tratar con la articulación entre la investigación y las prácticas sociales que dan vida a la matemática de la variación y el cambio en los sistemas didácticos. Actualmente se desarrollan estudios sobre currículo, en los que se busca determinar cuáles deben ser los contenidos por enseñar, considerando la evolución de la matemática y las necesidades sociales que el sistema educativo espera cubrir con la escuela; otra mas sobre la instrucción, es decir de las actividades que acompañan al aprendizaje, se busca la mejora de los métodos de enseñanza, los problemas que se enmarcan en torno a la transmisión oral del conocimiento, los procesos cognitivos, la motivación y creación de actitudes positivas. Se pone cierta atención sobre recursos, específicamente sobre aquellos que refuerzan el proceso de enseñanza, los materiales educativos, las calculadoras y computadoras, y la manera en que los medios audiovisuales se habrían de introducir en las aulas. Así mismo se realizan investigaciones que tratan de la vida del conocimiento en la escuela. Se busca determinar la influencia que el sistema escolar ejerce en los aprendizajes; se determinan las matemáticas que se aprenden en y fuera de la escuela y se trata del papel de los medios de comunicación, los entornos familiares o gregarios con los grupos de estudiantes. Se quiere también investigar sobre el sistema escolar para saber el rumbo y sentido de las decisiones políticas o sociales que modifican el funcionamiento del sistema educativo. El desarrollo del pensamiento y el lenguaje variacional entre los estudiantes precisa de procesos temporalmente prolongados. Supone del dominio de la matemática básica y de los mecanismos del pensamiento asociados, pero exige diversas rupturas con estilos del pensamiento prevariacional. Dichas rupturas no pueden sostenerse con base en un nuevo paradigma de rigor que se induce de la construcción de los números reales, ni tampoco descansar en la idea de aproximación; sino que deben permitir la matematización de la predicción de los fenómenos de cambio. 27

Capítulo 1

Al iniciar un curso de análisis, el estudiante debe concebir a la función como un objeto, y por ende susceptible de las operaciones que otro procedimiento efectúe sobre ella. En nuestras experiencias hemos encontrado que en caso de tener un dominio del contexto gráfico/visual, será posible entonces el tránsito entre las diversas representaciones. En nuestra opinión, estos hallazgos favorecen la discusión y elaboración de propuestas de enseñanza que traten sobre el qué enseñar y no sólo, como ha sido habitual, sobre el cómo enseñar. En síntesis, nuestra línea de investigación toma como objeto de estudio a la socioepistemología de los saberes matemáticos e incluye las intuiciones primarias del alumno con el fin de rediseñar el discurso matemático escolar.

28

Capítulo 2 Situaciones de Aprendizaje para profesores  

Introducción  

La matemática escolar posee una naturaleza dual: es un instrumento para el profesionista usuario del saber matemático, pero también se constituye como un objeto de conocimiento para aquellos que son especialistas en algún tópico matemático. Desde la perspectiva planteada en el capítulo anterior, entendemos que la matemática escolar no sólo se limita a la parte del currículo que se consigna en programas y temas de estudio, sino que atañe también a los procesos de pensamiento que ellos ponen en funcionamiento: tal sería el caso de la abstracción, la demostración, el razonamiento bajo hipótesis o la resolución y planteamiento de problemas. Por lo que, una de las problemáticas de nuestro quehacer docente en el campo de las matemáticas, sería plantearse cuestionamientos tales como: ¿cómo conciliar esta doble función de la matemática escolar: ser a la vez una herramienta al servicio de otros dominios y así mismo un objeto de conocimiento? La perspectiva teórica mostrada en el capítulo1, da cuenta de que una mejor comprensión de la matemática requiere del conocimiento de su génesis, de sus modos de pensamiento, de sus formas de enseñanza y de sus diferentes usos, por lo que uno de los propósitos de las situaciones de aprendizaje que se presentan en este apartado es que se pueda construir conocimiento matemático a través de su uso en una situación que presenta un conflicto, donde este conocimiento es el medio a través del cual se generan los argumentos matemáticos que validan una respuesta. Este primer acercamiento al conocimiento en las situaciones de aprendizaje da cuenta de su funcionalidad como herramienta pero con la característica fundamental de que éste no es explícito al principio de la misma, sino que se va construyendo conforme a la necesidad de querer dar una respuesta que explique un hecho, un fenómeno o una propiedad general contextualizada. De esta manera las situaciones dan oportunidad de hacer emerger diversos tipos de pensamiento en diversos contextos, y de movilizar los conocimientos matemáticos que son más cercanos al individuo para la construcción de nuevos conocimientos. Serán éstas primeras formulaciones las que estarán encaminadas hacia la constitución de ciertas herramientas como objetos matemáticos.

29  

Capítulo 2

Sobre las situaciones de aprendizaje En esta sección se muestran seis situaciones dirigidas a los profesores de matemáticas de nivel secundaria, que han sido abordadas ante un grupo de estudiantes o de profesores. Se recomienda entonces, que el docente enfrente cada una de las situaciones antes de continuar su lectura, pues esto le permitirá realizar conjeturas y contrastar su análisis con respecto a las cuestiones que plantean las actividades. Cada situación sugiere un trabajo de reflexión por parte del profesor sobre algunas preguntas, los elementos importantes y acerca de otras variables que influyen en el desarrollo del pensamiento matemático: los contextos, los conocimientos, los instrumentos que pueden utilizarse, el lenguaje, la importancia de la argumentación, la necesidad de manejar diferentes representaciones, entre otras cosas. Se profundiza en discusiones que permiten reflexionar sobre la matemática escolar, como herramienta y como objeto, la actividad del profesor, sus intervenciones durante la implementación de la situación, el desempeño del estudiante, la anticipación de posibles respuestas, las dificultades más relevantes y frecuentes, la funcionalidad de dicho conocimiento en otras disciplinas y su relación con algunos tópicos del nivel primario, bachillerato y universidad, entre otras reflexiones. La situación uno, Pedro quiere comprar patines, busca utilizar a la matemática como una herramienta que pueda ayudar a enfrentar situaciones de la vida diaria que requieran de la toma de una decisión. En dicha situación, la matemática involucrada no es quien da contestación a la problemática planteada, pero su surgimiento y uso resulta fundamental para el análisis crítico de los casos que se presentan y la construcción de argumentaciones que sustenten una respuesta. En la situación dos, Las mezcladoras, se utilizan las gráficas como el medio que proporciona información sobre la forma de trabajo de dos mezcladoras usadas para la edificación, sin embargo, para dar respuesta a las cuestiones presentadas se requiere de la construcción progresiva de algunas nociones matemáticas a través de su uso, de observar un comportamiento particular en las gráficas con respecto al tiempo. El estatus entonces de las gráficas no es el tradicional; se convierten en argumentos para la toma de decisiones y en modelos argumentativos. La situación del Problema de Rubén permite profundizar en discusiones y reflexiones hacia la búsqueda de un patrón numérico que conduzcan al establecimiento de expresiones algebraicas que den cuenta del fenómeno estudiado, donde estas expresiones pueden ser descritas a partir, incluso, del lenguaje natural y no necesariamente de forma analítica. Tales 30  

Capítulo 2

formulaciones tienen la intención de que se construyan significados para las variables involucradas. La situación del Llenado de recipientes presenta un contexto peculiar donde se busca, por un lado, interpretar el comportamiento de fenómenos de variación por medio de la graficación, y viceversa; por tanto, se pone en funcionamiento el análisis global y local para modelar una relación funcional contextualizada en el llenado de recipientes de diferentes formas; y por otro, resalta la construcción de nuevos significados para las nociones matemáticas, puestas en juego, como la predicción. En la situación del Gato se discute un problema que busca reflexionar y profundizar sobre la necesidad de la generación de argumentos matemáticos para encontrar una respuesta válida, sin embargo, se resalta cómo la percepción que tenemos de la realidad pone en juego la validez de las argumentaciones. Esto conlleva a otras discusiones y reflexiones sobre el significado de las nociones matemáticas en el problema. Por último, en la situación ¿Apuestas?, pretende desarrollar las nociones básicas de probabilidad a través de su uso en situaciones de azar para construir significados, en particular, de las nociones de la probabilidad clásica y la empírica. Las discusiones y reflexiones se generan en torno a las elecciones que se hagan por la motivación del experimento, la generación de argumentos y la reflexión sobre las condiciones que determinan que el experimento dé un tipo de resultados. En general, en las situaciones se ponen en juego diferentes tipos de discusiones y reflexiones con respecto a: una noción matemática, los argumentos involucrados, el discurso matemático escolar, las estrategias usadas, la consideración de casos particulares, el contexto, las condiciones, entre otros, donde el conocimiento matemático aparecerá generado por una necesidad de dar solución a las cuestiones planteadas. En este sentido, podemos decir que la búsqueda de una solución conduce a la construcción de conocimiento matemático y al desarrollo de un tipo de pensamiento matemático.

31  

Capítulo 2

Situación: Pedro quiere comprar unos patines1   Los conocimientos que construimos en matemáticas pueden ser relacionados, en muchas ocasiones, con episodios de nuestra vida cotidiana. Los más evidentes son aquellos donde nos valemos de operaciones aritméticas para saber el costo de una compra. Existe también otro tipo de conocimientos en el que se requiere la toma de una determinación, la cual depende de muchas variables y que generalmente no permite identificar en primera instancia un conocimiento matemático específico que las resuelva. Así, el siguiente diseño de situación no está pensado a priori para favorecer el aprendizaje de un concepto o procedimiento matemático específico. No obstante, durante la resolución de la situación, y si se da la orientación adecuada, pueden surgir temas relacionados con el uso de las literales, ecuaciones y relaciones funcionales. Pedro quiere comprar patines Pedro quiere comprarse unos patines que cuestan 400 pesos para no aburrirse en sus vacaciones de verano. Así, él va con su papá y le pide el dinero. Pero éste le propone que se gané el dinero ayudando en la tienda que tienen en su casa, y le propone tres alternativas: que se encargue de la venta de periódicos, de la venta de helados o atienda a las personas que asistan a comprar. Y le comenta lo siguiente:  “Si te encargas de la venta de periódicos, te daré 30 pesos diarios y, además, 40 centavos por cada periódico que vendas. Por lo general se venden entre 55 y 63 periódicos al día. Nunca se han vendido menos, pero sí más”  “Si te encargas de la venta de helados, te pagaré 90 centavos por cada helado que vendas. Por lo general se venden entre 57 y 65 helados. Nunca se han vendido más, pero tampoco menos”  “Si te encargas de atender a las personas que venga a comprar a la tienda, te daré 45 pesos diarios” Si Pedro quiere reunir el dinero lo antes posible ¿en qué actividad le conviene ayudar? Reflexión sobre la situación                                                         

1 Investigación en el Departamento de Matemática Educativa del Cinvestav Cabrera, L. (2009). El pensamiento y lenguaje variacional y el desarrollo de competencias. Un estudio en el marco de la Reforma Integral de Bachillerato. Tesis de maestría no publicada. Centro de Investigaciones y de Estudios Avanzados del IPN. México, D.F., México.

1

  32

 

Capítulo 2

Típicamente, los ejercicios o problemas matemáticos que se proponen en la escuela se elaboran favoreciendo el desarrollo de una respuesta exacta y única, es decir, debe ser posible que los estudiantes den una respuesta correcta y que esto pueda validarse a la luz del problema. No es común que se admita, por ejemplo, respuestas en un intervalo, o condicionar la misma a la ocurrencia de determinadas circunstancias no presentes en el problema planteado. La importancia de un buen argumento La situación que aquí se presenta busca utilizar a la matemática como una herramienta que puede ayudarnos a enfrentar situaciones de nuestra vida diaria que requieran la toma de una decisión. De modo que, a través del manejo de la información, se tenga una mayor certeza de obtener lo buscado y tener una mayor certeza en la argumentación de por qué se elije un camino en lugar de otro. Por ejemplo, usar modelos matemáticos del fenómeno o situación que se enfrenta. En este caso, los modelos y herramientas matemáticas que pueden utilizarse para tomar una decisión van desde el uso de cálculos aritméticos, hasta el planteamiento de ecuaciones algebraicas que modelen la situación. Debido a la naturaleza de la situación, así como a los datos numéricos que se proporcionan, el tipo de intervalos que se plantean y el hecho de que la pregunta por contestar no hace referencia a un resultado numérico sino a la toma de una decisión, la forma de resolverla está abierta al desarrollo de una multitud de acciones. No existe un procedimiento de antemano que dé una respuesta directa. Se busca que las personas que la resuelvan construyan sus procedimientos de solución y que generen sus propios argumentos para dar validez a lo realizado. Representando la información Una de las primeras acciones que surgen es el cálculo de las ganancias que puede tener Pedro en cada actividad. Estos cálculos pueden realizarse usando procesos aritméticos, o hallando las funciones que permiten determinar tales ganancias. Para la venta de helados la función sería f(x)=0.9x, donde x representa el número de halados vendidos, para la venta de periódicos sería g(x)=30+0.4x, donde x representa el número de periódicos vendidos y para atención de las personas sería h(x)=45. De esto hay que destacar dos aspectos. En primer lugar, en ocasiones h(x) no es concebida como una función, debido a que no tiene presente a la variable. En segundo lugar, las tres funciones, por la forma de definir a x, son discretas, es decir, van tomando valores de x sólo para números naturales. Para el cálculo de las ganancias, por lo general se utilizan tres tipos de datos: los límites superiores de los intervalos de venta de los helados y los periódicos, los límites inferiores de 33

 

Capítulo 2

dichos intervalos y los puntos medios de cada uno de ellos. De este modo, se genera una serie de debates en los cuales se proponen argumentos sobre cuál resultado tiene mayor validez. Los datos que se obtienen aparecen en la Tabla 1. Dato tomado\ Nombre

Venta de periódicos

Venta de helados

Atención de las personas

Límite inferior

$52

$51.3

$45

Punto medio

$53.6

$54.9

$45

Límite superior

$55.2, pero a veces vende más.

$58.5

$45

Tabla 1. Ganancia que podría tener Pedro por cada día de trabajo. ¿Con cuál de los tres razonamientos concuerda? ¿Qué actividad debe elegir Pedro para realizar? ¿Existirá algún otro razonamiento que permita determinar qué actividad elegir? En primera instancia, parece que la pregunta de qué actividad debe elegir no se puede responder. Sin embargo, aparentemente es posible contestar que actividad no debe elegir. En ninguno de los argumentos la atención de las personas encabeza la lista de las mayores ganancias diarias. La disputa comienza a centrarse entre la venta de periódicos y de helados. Tomemos en cuenta el tiempo Una pregunta que no debemos omitir es cuánto tiempo tardaría en reunir el dinero para comprar los patines de acuerdo a cada una de las actividades (ver tabla 2). Elección del valor

Venta máxima

Actividad

Días

Atención a las personas

8.9 días

Venta de periódicos

7.2 días

Venta de helados

6.8 días

Atención a las personas

8.9 días

Venta de periódicos

7.7 días

Venta mínima

34

 

Capítulo 2

Venta promedio

Venta de helados

7.8 días

Atención a las personas

8.9 días

Venta de periódicos

7.4 días

Venta de helados

7.5 días

Tabla 2: Tiempo que se requiere en cada actividad para reunir 400 pesos. Los cálculos se realizan de acuerdo con tres valores: los límites superiores de los intervalos de venta (venta máxima), los límites inferiores de dichos intervalos (venta mínima) y el máximo entero de los puntos medios de cada uno de ellos (venta promedio). La tabla anterior muestra que únicamente habría una diferencia significativa al momento de considerar la venta máxima de productos, pues únicamente en ese caso los días de trabajo para reunir el dinero serían distintos en la venta de helados o de periódicos. No obstante, debido a que la venta de periódicos no tiene un límite superior estricto de ventas, sino que quizá se vendan más de los 63 periódicos que establece, se puede poner a discusión la validez de dicho resultado. Pongamos en juego el contexto Ante la dificultad para llegar a un consenso vía los datos numéricos que se obtienen, comienzan a aparecer durante las discusiones argumentos relacionados con variables contextuales. Por ejemplo: “donde vivo hace frío, así que yo vendería periódicos, pues los helados no se venden”, “si es época de lluvias, yo elegiría atender a las personas, así no me mojaría”, “como donde vivo casi no se lee periódico, mejor vendo helados. Además, como hace mucho calor, los helados se venden más rápido”, etcétera. Es importante enfatizar que este tipo de consideraciones son del todo válidas y, más aún, tienen un peso importante al momento de tomar decisiones en la vida cotidiana. Sin embargo, no podemos perder de vista que dichas argumentaciones surgen ante la dificultad de proporcionar una respuesta única y aceptada por todos, a partir de los cálculos matemáticos realizados. De este modo, es importante favorecer que se sigan generando nuevos procedimientos los cuales permitan reunir más información para sustentar la toma de una decisión. ¿Qué otro tipo de procedimientos matemáticos propondría para continuar con la discusión y consensar un respuesta?

35

 

Capítulo 2

Utilizando las gráficas En algunas ocasiones el uso de argumentos gráficos surge dentro las propuestas de análisis. Esto se utiliza para mostrar las tendencias de las ganancias de cada una de las actividades. Dichas tendencias permiten mirar más concienzudamente las diferencias en la forma como las ganancias de cada uno de ellos se van incrementando cerca de los límites de ventas que ellos manifiestan. Por ejemplo, al vender 60 productos, ya sea periódicos o helados, se obtiene la misma ganancia. A partir de ello, la venta de helados comienza a tener mayores ganancias que la venta de periódicos. Cada helado vendido produce una ganancia de 90 centavos, mientras que cada periódico solo produce una ganancia de 40 centavos, por lo cual se deben vender al menos dos periódicos para ganar casi lo mismo que por la venta de un helado.

Gráfica 1: Gráficas de las ganancias producto de cada actividad. Estas gráficas se presentan de forma continua para dejar ver las tendencias que cada una de ellas sigue. De este modo, el análisis anterior remite a las pendientes de las gráficas pues lleva a observar las tendencias de las mismas. Un vistazo rápido, nos permite establecer que la ganancia por la venta de helados crece más rápidamente que aquella por la venta de periódicos. En un 36

 

Capítulo 2

análisis más fino, se puede observar que para obtener la misma ganancia por la venta de periódicos que la obtenida cuando se vende el máximo número de helados que se reporta (65 helados), se tendrían que vender 9 periódicos más sobre el límite promedio de venta de periódicos reportado (63); es decir, se deberán vender 72 periódicos. Esto genera nuevas discusiones con respecto a cuál debe ser el trabajo que elija Pedro. Para algunos, esta venta es posible, dado que se establece que sí se han vendido más de 63 periódicos. Para otros, esto es improbable, pues el promedio máximo de ventas se estableció en 63. En caso de que el análisis gráfico no surgiera, es importante que se motive su uso, pues constituye una poderosa herramienta de argumentación. Dadas las condiciones del problema, al no existir valores exactos sobre las ventas de helados y de periódicos, es obligada la realización de consideraciones sobre las cuales basar los cálculos que realizamos; por ello, la decisión que tomemos también se basará sobre dichas consideraciones. Esto no permite establecer una respuesta única y exacta al problema, sino más bien dar una respuesta seguida de una argumentación que sustente la respuesta. Así, la matemática no es el camino que da solución a la situación, sino una herramienta que permite sustentar la respuesta que proponemos. Tal visión va acorde con la idea del enfoque en competencias que se maneja actualmente en las Reformas Educativas de Secundaria y Bachillerato en México. (De hecho, éste es el tipo de problemas que debe abrir cada unidad en los libros de texto autorizados por la SEP.) Preguntas opcionales para generar discusión Responde las siguientes preguntas: ¿Cuántos helados se tienen que vender para ganar lo mismo que si se eligiera la actividad de atender a las personas? ¿Cuántos periódicos se tienen que vender ganar lo mismo que si se eligiera la actividad de atender a las personas? ¿Puede tenerse la misma ganancia con la venta de periódicos que con la de helados? ¿Sí o no? o Si no es posible, justifica por qué no lo es. o En caso de que sea posible, ¿cuántos periódicos y cuántos helados se tienen que vender? Inferencias del diseño El diseño de la situación que aquí se presenta, si bien no buscaba como fin último el desarrollo de aprendizajes específicos, si tiene la intención de introducir la discusión de ideas básicas sobre algunos temas matemáticos como la resolución de ecuaciones, el análisis de funciones, entre otras. Se busca conocer cómo las personas abordan problemas que desde 37

 

Capítulo 2

un punto de vista matemático, implican la resolución de una ecuación. Por ejemplo, en la pregunta “¿Puede tenerse la misma ganancia con la venta de periódicos que con la de helados?”, se establece la idea de la necesidad de plantear una igualdad entre dos situaciones o procesos, y la búsqueda de un resultado que permita a ambas partes alcanzar dicha igualdad; es decir, se pone en juego la noción de solución de una ecuación. Del mismo modo, establecer la relación entre la venta de productos y las ganancias obtenidas nos permite tocar nociones de funciones. De este modo, la ejemplificación de estas nociones a la luz del trabajo realizado durante la resolución de la situación, puede permitir una mayor comprensión de tales nociones y procedimientos. Así, se presenta una visión funcional de la matemática, es decir, a partir de una perspectiva de uso de la matemática, se busca dar sentido y significado a los conceptos que se encuentran involucrados en el enfrentamiento de la situación. Otra característica del problema es la libertad que otorga a los que la resuelven de plantear sus propios caminos de resolución de acuerdo con las consideraciones que estos establezcan; esto se logra al formularse una única pregunta en lugar de una serie de cuestionamientos que guíen el trabajo a realizar. Tal característica favorece el establecimiento de espacios de discusión y retroalimentación de las acciones realizadas para obtener una respuesta, al compartir y defender las respuestas obtenidas. Es decir, el trabajo colectivo que se genera, entendido esto como un proceso de socialización de ideas y dudas que permite avanzar y superar las dificultades, es un factor clave para enfrentar la situación. Siendo esto último otra característica del diseño. Un aspecto importante del diseño es sumergir a las personas que enfrentan la situación ante un desafío, así como favorecer que ellas mismas se cuestionen el porqué de las acciones que realizan. Para ello, se debe promover que cada una de las respuestas que se proponen, sean analizadas y criticadas. Ya que, debido a la inexistencia de un procedimiento predeterminado de resolución y la necesidad de uno mismo lo construya, las personas se ven implicadas ante un primer reto. Ello permite que se comiencen a cuestionar los procedimientos que realizan y traten de optimizarlos, asignándoles nuevos sentidos y significados. No obstante, ante la imposibilidad de establecer una respuesta única que no dependa de la realización de consideraciones de partida, se genera un conflicto, pues las personas deben romper con la idea que se posee respecto a “la respuesta” a un problema, como ya se menciona al inicio de este apartado. Redacción y adaptación: M. en C. Luis Manuel Cabrera Chim

38

 

Capítulo 2  

Situación: Las mezcladoras

Problemas en los cuales debe interpretarse la información que se nos proporciona a través de gráficas, nos permiten explorar horizontes diferentes en cuanto al manejo de la información y la capacidad de identificar los datos que serán útiles para la resolución de la situación. En este caso presentamos una situación en la cual se utilizan las gráficas como el medio que proporciona información sobre la forma de trabajo de dos mezcladoras usadas para la construcción. En esta situación la noción de proporcionalidad, la pendiente y la graficación surgen como argumentos que ayuden a interpretar los datos, además de poner énfasis en que lo importante de situaciones como ésta no es sólo el dar las respuestas a las preguntas planteadas, sino en cómo el proceso de encontrar la solución permite construir conocimiento matemático.

Las mezcladoras Don Anselmo es un albañil que trabaja para la constructora “CEMEX” en Mérida, Yucatán. El trabajo principal de Don Anselmo es la de distribuir la cantidad de material que sale de las mezcladoras para llenar las “carretillas” de los albañiles encargados de transportarlas al lugar donde se necesita. En estos días ha estado trabajando únicamente con dos mezcladoras.

Mezcladora tipo Trompo

Mezcladora tipo Tolva

39

Capítulo 2  

Entre las especificaciones dadas en el manual de cada una de las mezcladoras en cuanto al llenado de “carretillas” por minuto, se encuentran las siguientes gráficas:

1

y

0.9

de carretillas

0.8 0.7 0.6 0.5

Número

0.4 0.3 0.2 0.1

x -0.1

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

1.4

Tiempo (minutos)

Figura 1. Gráfica de mezcladora tipo Trompo

y 2 1.8

de carretillas

1.6 1.4 1.2

Número

1 0.8 0.6 0.4 0.2

x -0.1

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

1.4

Tiempo (minutos)

Figura 2. Gráfica de mezcladora tipo Tolva

40

Capítulo 2  

Observa las gráficas y responde las siguientes preguntas: 1. ¿Crees que la información proporcionada en las especificaciones de las mezcladoras le sea útil a don Anselmo?; ¿por qué? 2. ¿Con cuál de las mezcladoras se llenan las carretillas más lento? 3. ¿Cuánto tiempo tardarán en llenarse 10 carretillas con la mezcladora tipo Trompo? 4. ¿Cuánto tardará en llenar 10 carretillas la mezcladora tipo Tolva? 5. A don Anselmo se le ocurrió llenar las carretillas con ambas mezcladoras simultáneamente, ¿cuánto tardará en llenar una carretilla de esta manera? 6. Utilizando la técnica de llenado simultáneo, ¿cuántas carretillas llenará en 15 minutos? 7. Dibuja la gráfica del llenado de las carretillas para las dos mezcladoras. 8. Supongamos que don Anselmo empieza a llenar una carretilla con la mezcladora tipo Trompo y después de 0.3 minutos continúa llenándola con la segunda. ¿Cómo sería la gráfica que representa a este fenómeno? Utiliza los ejes cartesianos de abajo. 9. ¿Cuánto tiempo tardarán en llenarse 10 carretillas de esta manera?

y 2 1.8

de carretillas

1.6 1.4 1.2

Número

1 0.8 0.6 0.4 0.2

x -0.1

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

1.4

Tiempo (minutos)

Figura 3. Plano cartesiano 41

Capítulo 2  

Reflexiones sobre la actividad El proponer esta situación proporciona un escenario perfecto para que, más que solo resolver las preguntas planteadas, se intercambien opiniones con respecto a los diferentes argumentos y estrategias que se requieren para ofrecer soluciones. ¿Observas secuencia en las preguntas?, ¿qué argumentos de solución utilizarías? ¿Consideras que las gráficas proporcionan la información suficiente para dar respuesta a los cuestionamientos? ¿Y los datos? El primer conflicto que surge al enfrentar la situación es el análisis y el ordenamiento de la información, pues en algunos casos se intenta buscar cuánto tiempo tarda en llenar una carretilla; en la gráfica que corresponde a la mezcladora tipo Trompo (Gráfica 1). Esto causa un conflicto en tanto que la gráfica no muestra explícitamente ese valor. Una de las estrategias de solución incluye el tanteo para calcular un tiempo aproximado de llenado de una carretilla. Es realmente importante el buscar una unidad con la cual poder ordenar el comportamiento de los datos, sin embargo en algunos de los casos la elección no es, necesariamente, la más adecuada. Después de analizar la gráfica y compartir estrategias de solución, se observa que la gráfica sí proporciona información acerca de la unidad de tiempo, es decir, que en un minuto “se tiene 0.8 carretillass llenas”, lo cual equivale a decir que la carretilla está llena en 80%. Esto nos permite conocer el comportamiento del fenómeno con respecto a la unidad de tiempo. Es decir, la rapidez de llenado es de

0.8  1 

, lo que normalmente se expresa como 0.8

carretillas por minuto. Con un análisis más cuidadoso se observa que la Gráfica 1 proporciona dos puntos para los cuales puede observase claramente la rapidez de llenado, cuando ha pasado un minuto y cuando han pasado 0.5 minutos, en donde el porcentaje de llenado es de 40% (“se tiene 0.4 carretas llenas”), y la rapidez de llenado es de

0.4  0.5 

0.8 

/

.

Lo mismo sucede con la Gráfica 2 la cual proporciona también información con respecto a la unidad de tiempo. Una vez que se identifica esta información, los datos apoyan la generación de respuesta a las preguntas. Una de las estrategias más recurridas, es hacer uso de la regla de tres simple, con ella se pueden encontrar algunos de los resultados. Sin embargo, es importante intervenir para realizar argumentaciones más variadas y robustas. 42

Capítulo 2  

Es importante resaltar que en el intento por obtener estos valores estamos obteniendo el valor de la pendiente de la recta, lo cual representa el comportamiento de llenado de las carretillas; a su vez justifica que cualquier punto de referencia que escojamos dentro las gráficas da como resultado el mismo cociente o razón.

Figura 4. Representación de la suma de las gráficas 1 y 2.

Nótese además que las preguntas 1-4 pueden ser contestadas “sin ser conscientes” de este hecho. Sin embargo, lo sustancial no es darle nombre a una estrategia, más bien se trata de la construcción progresiva de la noción a través de su uso. En otras palabras, el conocimiento aparece generado por la necesidad de dar solución a las preguntas planteadas como parte de las estrategias que lleven a la solución del problema planteado. ¿Encontraron una forma diferente de determinar la rapidez de llenado? ¿Tiene algo que ver con la noción de pendiente? ¿Por qué? Llenado simultáneo Para las preguntas 5-7 se requiere analizar conjuntamente las gráficas, así como relacionar el comportamiento de las dos mezcladoras al llevarlas a un solo proceso de llenado simultáneo. En la mayor parte de los casos se recurre a proponer una gráfica que represente la suma de las Gráficas 1 y 2. Para lograrlo se requiere el uso de los análisis anteriores; es decir, observar que una propiedad que define el comportamiento general de una recta es su pendiente.

43

Capítulo 2  

La gráfica que representa el fenómeno de llenado simultáneo se dibuja haciendo uso de dos estrategias igualmente válidas: por medio de la suma de puntos de las dos gráficas, por ejemplo en 0.5 y un minuto. Si se han identificado las pendientes de las dos rectas, se suman para obtener la nueva recta. Dado que la pendiente de la recta resultante es dos, la gráfica que muestra el comportamiento del llenado con las dos mezcladoras es: Puesto que la Grafica 4 tiene un comportamiento proporcional, el factor de proporcionalidad es igual a la pendiente de la recta representada por la misma gráfica. Puede entonces analizarse ésta y observar que si en un minuto se llenan dos carretillas, en 15 minutos serán llenadas 30. ¿Usaron otro tipo de estrategia para dar respuesta a las preguntas? Da argumentos que validen la pertinencia de la misma. Si el factor de proporcionalidad es igual al valor de la pendiente de una recta, entonces, ¿qué tiene que ver la noción de proporcionalidad con el de pendiente? ¿Sucede esto para cualquier recta? ¿Por qué? Gráfica en dos partes Una última reflexión la haremos con respecto a las preguntas 8 y 9. En éstas el problema que se plantea es de naturaleza distinta a los anteriores, pues estaríamos observando un fenómeno que cambia de comportamiento después de un determinado tiempo. Las estrategias que surgen al llegar a este momento de la situación, se inclinan hacia el uso de los comportamientos gráficos, pues al avanzar con la actividad se observan los beneficios que proporciona observar dichos comportamientos. Se bosquejan gráficas en las cuales puede observarse una concatenación de las gráficas 1 y 2, de la siguiente forma:

44

Capítulo 2  

Figura 5. Gráfica en dos partes

Esta gráfica brinda la oportunidad de preguntar acerca de la conveniencia del uso de estrategias como la regla de tres, usada en las respuestas anteriores. Así se tiene la oportunidad de entablar una discusión acerca de que, a pesar de que la función representada por la gráfica anterior pasa por el origen de los ejes cartesianos, no puede considerarse que tenga un comportamiento proporcional, por lo cual, no es posible aplicar la misma técnica que en las preguntas anteriores. Para dar solución a estas preguntas, puede ayudar la estrategia de determinar la expresión analítica que defina a la función representada en la Gráfica 5. Para determinar esta expresión, es necesario analizar el comportamiento de la gráfica en el intervalo 0, 0.3 y se observa que la forma de la gráfica es la misma que la de la Gráfica 1, que representa el comportamiento de la mezcladora tipo Trompo; y en el intervalo (0.3, ((simbolo de infinito)) )se comporta como la suma de las Gráficas 1 y 2, las cuales representan el comportamiento cuando se llena las carretillas con ambas mezcladoras.

0.8 ,       0, 0.3 2

0.24,       0, ∞

Debido a que el objetivo es conocer cuánto tiempo tardarán en llenarse 10 carretillass, se realizan los siguientes cálculos: 2

0.24 

  0, ∞

45

Capítulo 2  

10

2 10

0.24 0.24 2

y 4.88

Así, 10 carretillas se llenan en 4.88 minutos, bajo las condiciones antes mencionadas.

Redacción y adaptación: Rubén Alejandro Gutiérrez Adrian José David Zaldívar Rojas

46

Capítulo 2

Situación: Problema de Rubén1 La situación que presentamos tiene como intención didáctica provocar la reflexión sobre el pensamiento y lenguaje algebraico, así como sobre la relación que existe entre estos dos componentes y cómo se manifiestan en una situación específica. Problema de Rubén Rubén está en la fila de la taquería esperando a ser atendido. Hay 50 personas delante de él. Debido a que es un hombre impaciente, cada vez que atienden a una persona del frente, Rubén se adelanta de la línea dos lugares, salvo cuando queda una sola persona delante de él. En ese caso él se adelanta sólo un lugar y queda al frente de la fila. ¿Cuántas personas serán atendidas antes que Rubén? Intente dar una respuesta mentalmente. a) Una versión más sencilla del problema de Rubén, es considerar una fila de personas más corta. Por ejemplo, si la fila sólo tiene a tres personas delante de él; o bien, si tiene a 4 personas delante de él. b) Utilice monedas, papelitos o algún otro material manipulable para simular la situación y verifique la siguiente tabla.

Número de personas delante de Rubén

Número de personas atendidas antes que Rubén

4

2

5

2

6

2

7

3

8

3

9

3

10

4

11

4

                                                             Villalva, M., Del Castillo, A., Armenta, M. Sentido numérico y pensamiento algebraico. Curso de actualización Dirección general de formación continua de maestros en servicio, México, 2008.

1

47  

Capítulo 2

c) Utilice la tabla anterior para predecir cuántas personas serán atendidas antes que Rubén si hay 50 en línea delante de él. d) Describa las estrategias que utilizó para dar respuesta al punto anterior. e) ¿Cómo podría predecir la respuesta para cualquier número de personas en línea? f) Ahora verifique la siguiente tabla. ¿Se puede completar de una sola manera? Explique. Número de personas delante de Rubén

Número de personas atendidas antes que Rubén

35

12

158

53

1000

334

5638

1880

37, 38, 39

13

64, 65, 66

22

g) Rubén se vuelve cada vez más impaciente. Explore cómo cambia la regla si Rubén se pasa tres personas a la vez. Recuerde que Rubén llegará al frente de la fila, siempre que en el último adelanto, pase menos de tres personas. h) ¿Y qué sucede si se pasa 4 personas a la vez? i) ¿Y a 10 personas a la vez? j) Si conoce el número de personas que hay delante de Rubén y cuántos pasa cada vez, ¿puede predecir el número de personas que serás atendidas antes de Rubén? Describa cómo lo hace. Reflexiones sobre la actividad La anterior situación pretende que se logre establecer un patrón numérico; dicha situación se caracteriza por buscar dos generalidades. La primera trata al fenómeno de cuántas personas serán atendidas antes que Rubén esté al frente de la fila si siempre se adelanta dos lugares; se trata de identificar cuál es el patrón establecido para tal fenómeno que se reconoce del análisis de la tabla. La segunda generalidad se relaciona con el establecimiento del patrón que existe cuando el número de personas que Rubén adelanta se transforma también en variable. De poco en poco El inciso a) y b) propone al lector hacer uso de casos particulares y de números que sean de fácil manipulación para ponerlo en situación de aprendizaje. Nos propone la utilización de

48  

Capítulo 2

elementos concretos para la puesta en escena de la situación. La utilización de estos elementos concretos permite calcular y completar la tabla propuesta en el inciso b). Situación inicial: 5 personas antes que Rubén.

Tacos 

Rubén 

Primer movimiento: se atiende a la primera persona, Rubén salta dos lugares.

Tacos 

Rubén 

Segundo movimiento: atienden a la segunda persona, sólo queda una persona delante de Rubén, por lo tanto, Rubén nada más salta un lugar.

Rubén 

Tacos 

¿Existen otras formas de abordar la situación? El enunciado indica que “cada vez que atienden a una persona del frente, Rubén se adelanta de la línea dos lugares, salvo…”; es decir, que el movimiento de Rubén se efectúa al concretar el movimiento de la persona que esté en primer lugar en la fila. Sin embargo, existe la posibilidad de interpretar que el movimiento de Rubén se cometa antes de que la primera persona sea atendida. Este conflicto se produce debido a un error en la interpretación del problema. Ante esto, los resultados de la tabla serían distintos, aunque el comportamiento del patrón es similar. Observémoslo en los siguientes casos: 49  

Capítulo 2

Número de personas delante de Rubén

Número de personas atendidas antes que Rubén

4

2

5

2

6

2

7

Número de personas delante de Rubén

Número de personas atendidas antes que Rubén

4

1

5

1

3

6

2

8

3

7

2

9

3

8

2

10

4 9

3

10

3

11

3

11

4

Fig 1. Llenado de la tabla sin el conflicto de interpretación

Fig 2. Llenado de la tabla con el conflicto de interpretación

50  

Capítulo 2

Esta interpretación sobre el enunciado es muy interesante, ya que si bien no nos lleva a la misma expresión algebraica, el patrón será similar en cuanto a su comportamiento. Por tanto, el fenómeno se estará analizando desde perspectivas distintas las cuales podrán confrontarse en algún momento. ¿Cómo ponernos en situación de aprendizaje? En general, las situaciones que pretenden la búsqueda de un patrón algebraico proponen la utilización de casos particulares y números pequeños para la inferencia y posterior generalización de una fórmula que contestará a la situación planteada. Sin embargo, en este caso la pretensión no es encontrar una fórmula algebraica en términos analíticos, sino una expresión que dé cuenta del fenómeno estudiado, pudiendo éste ser descrito, incluso, en lenguaje natural. El inciso c) plantea un caso particular “cuántas personas serán atendidas antes de Rubén si hay 50 en línea delante de él”. Para responder a esta pregunta el enunciado propone la utilización de la tabla anterior. Esto puede inducir a completar la tabla hasta el número 50 o analizar el comportamiento del patrón a través de la tabla. Esto es precisamente lo que se sugiere hacer, pues a través de este análisis y reflexión se logre entender cómo se comporta el fenómeno y se comience a construir el patrón buscado. Análisis del comportamiento del patrón Una posible estrategia es establecer la relación existente entre la cantidad de personas antes de Rubén en la fila y la cantidad de personas atendidas antes que Rubén. Para el establecimiento de esta relación aparecerán herramientas matemáticas que darán explicación del patrón, como los múltiplos de 3, la división, aproximación, entre otras. A continuación presentamos algunas argumentaciones que dan respuesta a la situación de aprendizaje. Argumentaciones “Va de tres en tres.” “En los múltiplos de 3 cambia el valor.” “La cantidad total de personas en la fila antes que Rubén debe ser dividida por 3, para encontrar la cantidad de personas atendidas antes que él.” “Si el valor del cociente no es exacto como en el caso de 50 (50:3= 16,66), se debe aproximar al número inmediato mayor, por tanto la respuesta sería 17.”

Además de evidenciar el tipo de estrategias que se ha utilizado para la resolución del problema, los incisos d) y e) dan cuenta de cómo hemos puesto en situación de aprendizaje. En este caso, el

51  

Capítulo 2

patrón no puede ser expresado desde una expresión algebraica, ya que su comportamiento tomará dos casos diferentes:

Y: cantidad de personas antes que Rubén en la fila. X: cantidad de personas atendidas antes que Rubén.

Si Y es múltiplo de 3, entonces . Si Y no es múltiplo de 3, entonces x será la aproximación de al siguiente entero mayor.

 

El conflicto con este patrón es justamente la forma de expresar algebraicamente el segundo caso (cuando Y no es múltiplo de 3). Una forma alternativa es considerar la función parte entera X = [Y/3], sin embargo, recordemos que este contenido sólo se presenta en los últimos años de la educación media o en educación superior. Si no se tiene esta herramienta para denotar la expresión algebraica se puede construir un símbolo que represente el significado correspondiente. Además, no tener las herramientas para denotar el segundo caso significaría que la solución aparecerá en lenguaje natural, lo que podría llevarnos a reflexionar acerca de la importancia de una expresión algebraica para esta situación específica. Tal situación nos coloca también en situación de aprendizaje. Otra de las características principales del patrón es que la relación existente entre las variables (cantidad de personas antes de Rubén en la fila y la cantidad de personas atendidas antes que Rubén) no es biunívoca. Esto producirá que en el inciso f) la tabla no tenga solución única. Por ejemplo, en el caso que hayan sido atendidas 13 personas antes que Rubén, las respuestas pueden variar entre 37, 38 y 39.

El patrón de un patrón Los incisos g) h) i) y j) buscan generalizar el patrón que se ha encontrado en los incisos anteriores; en otras palabras, se busca hacer explícita la relación que existe entre el número de personas que adelanta Rubén y la cantidad de personas atendidas antes que él. Una estrategia para responder a las interrogantes mencionadas es realizar los procesos que efectuados anteriormente. Dicho proceso nos lleva a plantear nuevos cuestionamientos para el 52  

Capítulo 2

problema, por ejemplo: ¿Qué sucede cuando queden 2 personas delante de Rubén? De esta forma, esta nueva situación de aprendizaje permitirá trastocar la situación para dar respuesta a ella.

Reflexiones finales Profundizar en las discusiones y reflexiones hacia la búsqueda del patrón correspondiente permitirá indagar en las relaciones entre el número de personas que adelanta Rubén y la cantidad de personas atendidas antes que él, lo cual a su vez conducirá al establecimiento de expresiones algebraicas para esta situación de aprendizaje. Tales formulaciones tienen la intención de que el estudiante construya significados para las variables involucradas.

Redacción y adaptación: M. en C. Daniela G. Soto Soto

53  

Capítulo 2 

Situación: Llenado de recipientes En la mayoría de los casos las gráficas son usadas como una forma de representación de la información. Generalmente las asociamos a una tabla de datos, por lo que el encontrar los puntos que representen a dicha tabla es suficiente para dibujar la gráfica. Sin embargo, en muy pocos casos se analiza la potencialidad de mirar a las gráficas como una forma de interpretar el comportamiento de cierto fenómeno. Además de examinar el potencial que tiene el interpretar el comportamiento de fenómenos por medio de la graficación, se pone en funcionamiento el análisis global y local para modelar una relación funcional contextualizada en el llenado de recipientes de diferentes formas. Se propone dibujar las gráficas que se proponen a continuación, de manera que se pueda analizar mucho mejor la situación propuesta.

54

Capítulo 2 

Llenado de recipientes Actividad 1 En una práctica de laboratorio se realizó el llenado de algunos recipientes con agua. Una llave controla el flujo del agua desde un depósito, por lo que al llenar los recipientes, siempre se obtiene la misma cantidad de agua cayendo al recipiente. El primer recipiente que se llena es un tubo de ensaye de forma cilíndrica. Conforme pasa el tiempo el recipiente se va llenando y la altura del líquido dentro del tubo de ensaye va aumentando. ¿Cuál sería el bosquejo de la gráfica tiempo-altura de dicho fenómeno?

Figura 1. Cilindro NOTA: Los recipientes tienen una base plana. Tómese en cuenta que el recipiente es de cristal. Actividad 2 Ahora el recipiente que se va a llenar es un matraz. ¿Cuál sería el bosquejo de la gráfica del llenado de este recipiente? Actividad 3

55

Capítulo 2 

Figura 2. Matraz de fondo ancho ¿Cuál sería el bosquejo de la gráfica del llenado de este recipiente?

Figura 3. Matraz de fondo angosto

Actividad 4 ¿Cuál sería el bosquejo de la gráfica del llenado de este recipiente?

56

Capítulo 2 

Figura 4. Matraz doble. Actividad 5 Relaciona las gráficas altura-volumen con el llenado de cada recipiente. Considera que el agua llega hasta el tope de cada recipiente.

t

t

t

t

Figura 5. Relacionando recipientes Reflexiones sobre la actividad El objetivo de la situación es generar reflexiones en torno al desarrollo de argumentos, que a su vez permitan obtener características esenciales que contribuyan a la interpretación de ciertas relaciones funcionales. Esta actividad se trabajó en equipos de 3 a 4 personas; se aborda uno por uno los recipientes, 57

Capítulo 2 

de manera que cada equipo tenga oportunidad de exponer los argumentos que los lleven a bosquejar la gráfica de cierta forma. Esta situación tiene elementos que la hacen guiar la discusión grupal hacia la representación gráfica contextual. Dada la dinámica de trabajo, se obtienen argumentos robustecidos sobre el bosquejo del fenómeno de llenado de recipientes. Las situaciones típicamente propuestas en la escuela, atienden a representaciones gráficas empleando ejes cartesianos designados: eje X, eje Y; tiempo, distancia, entre otros. El papel de los ejes cartesianos como referencia para la representación del comportamiento de algún fenómeno, es primordial para la resignificación del fenómeno mismo, pues de ellos depende la interpretación de las relaciones que se pretendan expresar, o bien, el significado mismo de lo que una gráfica expresa. Datos suficientes Una primera reflexión sobre el diseño de la situación se da a partir de los datos que se proporcionan, en este caso no aparecen datos cuantitativos. ¿Para bosquejar la gráfica del fenómeno de llenado de cada uno de los recipientes se requieren de datos cuantitativos? Podría pensarse que sí, sin embargo, la situación misma brinda información suficiente para que se realice el bosquejo de la gráfica que representa el llenado de cada uno de los recipientes. 1)

La llave que controla el flujo del agua permite que éste sea constante.

2) Se hace referencia a la relación entre el tiempo que pasa y la altura del nivel de agua que aumenta, conforme cae el agua. 3)

Se proporciona una forma para el recipiente que contendrá el líquido.

La interpretación Otro punto de reflexión alrededor de la situación se propicia al no ofrecer información asignada a los ejes cartesianos, esto con la finalidad de que la discusión también pueda darse en torno a la mejor forma de organizar la información. Se toman decisiones acerca de colocar el tiempo en el eje y altura para el eje ; o viceversa. Para el caso del primer recipiente, en ambos casos la gráfica es una recta que pasa por el origen. 58

Capítulo 2 

¿Puede representarse otra información en los ejes, por ejemplo, volumen; capacidad; velocidad? Si éste fuera el caso, ¿la gráfica estaría representando el mismo fenómeno, es decir, el llenado del recipiente? Las interpretaciones sobre la información que se solicita, se dividen entre que se refieren al volumen, o a la velocidad de llenado. Esto sucede intencionalmente porque se propone la pregunta de interpretar el fenómeno, no de graficar una información en específico. Tales respuestas permiten abrir una discusión alrededor de la importancia de nombrar los ejes y de las distintas posibilidades que existen de interpretar un fenómeno. Para el bosquejo de la gráfica debe tomarse una decisión en cuanto a lo que representarán los ejes y pues es esto lo que permite la construcción de los argumentos que justifiquen el porqué de la forma de la gráfica. Llenado de un cilindro En la Actividad 1 se formula una fase de familiarización con el fenómeno en discusión. El manejo de la determinación de los ejes y el tipo de información que esto proporciona, el análisis del comportamiento rectilíneo, la determinación del papel, así como el significado de diferentes elementos como el origen, el dominio y el rango de la gráfica en cuestión. Por ejemplo, debe notarse que los recipientes son del mismo alto y ancho. Esto con la intención de que los participantes hagan uso de la misma imagen del recipiente como referente para el bosquejo de la gráfica de su llenado, lo cual les dará mayores elementos cuando deseen bosquejar la gráfica del llenado del recipiente de la Actividad 4. Veamos el ejemplo del recipiente cilíndrico para mostrar a qué nos referimos (Figura 6).

Figura 6. ¿Qué sentido tiene realizar una gráfica que se extiende indefinidamente? Dado que no se hace mención de que se cierra la llave de agua en algún momento, podemos preguntarnos:

59

Capítulo 2 

¿Qué ocurre con la gráfica al transcurrir el tiempo? ¿Qué ocurre en los cuadrantes II, III y IV? Ahora, nótese que los ejes que aparecen en la imagen parecen estar acotados, es decir, terminar en el borde con la punta. Esto provoca que se dibuje la gráfica desde el origen y que se dibuje una recta que se prolonga indefinidamente, a veces, sin ser explícito el significado que se le asigna a esta toma de decisión con respecto al fenómeno. (Figura 7).

Figura 7. Del llenado del recipiente cilíndrico, ¿qué representa la parte de la gráfica que está arriba y a la derecha de las líneas punteadas? En este sentido, ¿qué representa la parte de la gráfica que posiblemente se dibuje fuera del cuadrante I? (señalado dentro del círculo punteado en Figura 8)

Figura 8. Gráfica del cilindro con señalamiento Es importante hacer énfasis en que la gráfica debe llegar a un momento de estabilidad pues, si la llave continúa abierta indefinidamente, el líquido comenzará a derramarse; es decir, transcurre el tiempo pero la altura deja de crecer. El llenado de matraces

60

Capítulo 2 

Además de las discusiones que se han mencionado hasta ahora en torno al contexto, el significado de las variables, los cuadrantes y en lo que en ellos se puede representar e interpretar del fenómeno, en las Actividades 2 y 3 se agrega el análisis de curvas; por tanto, las discusiones suelen estar alrededor de crecimientos y concavidades. Para la Actividad 2, se comienzan a realizar interpretaciones del fenómeno, en tanto que la velocidad de llenado es constante, pero la velocidad a la que crece la altura del líquido va siendo cada vez mayor puesto que el recipiente va haciéndose cada vez más angosto. Es claro para todos que la gráfica ya no será una línea recta, sino una curva; sin embargo, esto aún produce una discusión en torno a la concavidad de dicha curva. Surgen entonces diversos argumentos: ”se va llenando lento y luego empieza a llenar más rápido, así que va creciendo”, o “parte de 0 porque no tiene nada, y luego sube pero abre hacia abajo porque va creciendo rápido”. Algunos mencionan también que debe abrir hacia arriba puesto que empieza lento y luego sube cada vez más rápido hasta que se estabiliza.

Figura 9. Posibles gráficas del matraz de fondo ancho Finalmente las opiniones coinciden en que la gráfica abre hacia arriba, puesto que tal concavidad denota que se va llenando lentamente al principio y posteriormente aumenta su velocidad. Esto puede observarse en tanto que se piense en el cambio que sufre la pendiente de la recta tangente a la curva, es decir, la derivada, que en este caso representa la variación de la altura con respecto al tiempo de llenado.

61

Capítulo 2 

Figura 10. Gráficas del matraz de fondo ancho Este ejercicio puede tomarse como punto de partida para resolver la Actividad 3. Algunos profesores argumentaban que dado que se “voltea” el matraz, la gráfica también se voltea. Sin embargo, otros profesores preferían convencer con argumentos más “matemáticos” en tanto que puede analizarse el fenómeno con los mismos argumentos usados en el ejercicio anterior (la pendiente, la variación de la altura). El matraz doble En el análisis de la Actividad 4 los argumentos de solución varían entre “pegar las dos gráficas anteriores”, hasta interpretar de nuevo todo el fenómeno para ver su comportamiento de manera general. Una vez que se establece la gráfica que modela el fenómeno (Figura 11), se reflexiona sobre el punto de inflexión que se forma, en el punto en el que se unen los dos recipientes anteriores.

Figura 11. Punto de inflexión en gráfica de matraz doble Se pretende que analicen el comportamiento global y local del fenómeno, y es en este punto en donde se cambia la forma en la que varía la altura del líquido en el recipiente. Relacionando gráficas con recipientes La Actividad 5, permite realizar un análisis más completo del comportamiento de los fenómenos presentados, así como conjuntar todos los argumentos de análisis utilizados en los ejercicios anteriores. El papel de las etiquetas de los ejes, en este caso ya determinadas, permite centrar la atención en las diferencias de crecimiento o decrecimiento, el comportamiento curvo o lineal y la manera en que cambia la gráfica con respecto al recipiente. 62

Capítulo 2 

Las siguientes son respuestas a la Actividad 5. Tomen en cuenta las etiquetas que se colocan en los ejes coordenados. 3-a

2-c

1-d

4-b

A manera de conclusión Lo anterior permite analizar, desde diferentes ángulos, la importancia de observar fenómenos cuya gráfica sea, más que una representación de puntos, una forma de describir su comportamiento. Además, permite construir conocimientos matemáticos derivados del análisis del fenómeno como por ejemplo el análisis de la variación que nos lleva a construir el concepto de derivadaa pesar de no necesitar (en este momento) de formalizar dicho conocimiento. Redacción y adaptación: Claudia Méndez Bello Karla Gómez Osalde

63

Capítulo 2

Situación: El gato1

En distintas fuentes (libros, páginas de internet, revistas, entre otras) podemos encontrar con frecuencia problemas matemáticos que llaman nuestra atención por la simplicidad que supone el llegar a su solución. Sin embargo, el que hayan sido colocados entre una lista de problemas más complejos, puede producirnos la sensación de que ahí debe haber algo sospechoso. En la mayor parte de las veces, es notorio que la solución de estos problemas ha sido el punto de partida para generarlos, es decir, la problemática no antecede a la solución, sino que es un encuentro fortuito con la elaboración de argumentos. Aun así, otros problemas con esas mismas características pueden ser susceptibles de tener un tratamiento que les convierta en una situación que propicie cierto aprendizaje. A continuación se desarrolla un ejemplo de este tipo de situación.

                                                             1  Northrop, Eugene P. (1981). Paradojas matemáticas. UTEHA 64  

Capítulo 2

El gato Bajo el supuesto de que la Tierra es esférica, ponemos sobre el Ecuador una cuerda ajustada perfectamente a la superficie terrestre; despreciemos montañas, mar, o cualquier otro obstáculo natural.

Figura 1. Planeta Tierra visto desde arriba, con cuerda ajustada A esa enorme cuerda le agregamos un pedazo de 10 m y la estiramos a lo largo de todo el Ecuador, de manera que, en todos sus puntos, la distancia entre la Tierra y la cuerda sea la misma (como si fuese un anillo y la Tierra quedara justo en medio).

Figura 2. Planeta Tierra visto desde arriba, con cuerda inicial, más 10 metros

¿Podrá un gato pasar por el espacio que queda entre la cuerda y la tierra? Generalmente la respuesta es que no puede pasar el gato en el espacio que se forma entre la cuerda y la tierra. Las dudas y justificaciones de las respuestas pueden giran en torno a: ¿cómo acomodar la cuerda? ¿Qué pasa con los montes, los océanos y demás al momento de 65  

Capítulo 2

colocar la cuerda sobre la Tierra? ¿El gato es real o se puede dibujar en el papel?, entre otras. Con el fin de saldar estas dudas, se recomienda focalizar la atención en el enunciado y continuar con el trabajo. Es interesante remarcar que esta problemática brinda la oportunidad de dar un resultado de manera anticipada, sin necesidad de hacer cálculos o saber cuál es el teorema o procedimiento que se debe seguir para llegar a la solución. Se entiende que las respuestas son únicamente dos: sí o no, sin embargo, lo fundamental de esta situación se basa en el análisis, las argumentaciones y las reflexiones matemáticas que justifican y validan la conclusión a la cual se ha llegado. Reflexionemos sobre las posibles argumentaciones y las posibles preguntas que puedan generar un profundo análisis de la situación.

Diez metros que se dividen entre toda la circunferencia Una estrategia que sustenta por qué el gato no puede pasar en la separación entre la cuerda y la Tierra alude a la distribución de los 10 metros que se agregan a la soga entre la circunferencia que se forma con la misma. Incluso, se apoya el argumento con el siguiente cálculo: 10 360°

0.0277777777

La pregunta inmediata es: ¿qué representa el resultado de ese cociente?, ¿es la separación entre la Tierra y la cuerda? ¡Muy buena pregunta! Dicho resultado deja, en primera instancia, una sensación de haber probado que el gato no puede pasar, ya que se obtiene un número cuya magnitud está en centésimos, pero ¿cuáles son sus unidades?, ¿realmente representa la separación entre la Tierra y la cuerda? Si no es así, entonces, ¿qué representa? Faltan datos. ¿Cuánto mide el diámetro de la Tierra? En la búsqueda de una comprensión más profunda del problema, es común realizar esquemas para abstraer la esencia de la problemática: algo que dé una pista de cuáles podrían ser las ecuaciones o procesos a plantearse. Por lo común se considera el siguiente esquema ya que sirve para la explicación colectiva, es el siguiente:

66  

Capítulo 2

Pc

Pt

Donde P se refiere al perímetro y R al radio, de la cuerda (con el aumento de 10 metros) y de la Tierra respectivamente de acuerdo con los subíndices. Resulta claro que ahora el problema se reduce a encontrar la diferencia entre

y

.

De aquí pueden partir dos estrategias que parecen distintas, pero que en el fondo presenta argumentos similares. Por un lado, se puede tener la necesidad de saber cuál es la medida del diámetro (o el radio) de la Tierra, para así hacer cálculos más precisos. Dado que el radio de la Tierra es de 6378 km, esta magnitud genera otro argumento para quienes creen que el gato no pasa. El perímetro de la Tierra, y por tanto el de la cuerda cuando estaba ajustada a ella, es más de seis veces esa cantidad (ya que 2 es la fórmula del perímetro para la circunferencia). Y agregar a lo que resulte, sólo 10 metros, no significará nada en cuanto a lo que se despega ésta de la Tierra. Por otro lado, se puede enfrentar el problema prescindiendo de las medidas y solucionando un sistema de ecuaciones con sustituciones simples:

2

2 2 10

2 2

2

10

2

2

10

2

10 10 2

1.59 67

 

Capítulo 2

El realizar el cálculo con el dato del radio de la Tierra, implica el mismo procedimiento, sólo que con simplificaciones anteriores. El resultado, sin importar los decimales que se usen para el valor de es siempre mayor a 1.4 Estos números resultan interesantes, podemos entonces, comenzar a pensar en: ¿Qué representa?, ¿por qué es tan grande?, ¿cuáles son sus unidades?, ¿el proceso usado tiene coherencia? Aquí radica la importancia de la anticipación para dicha situación. El saber cómo enfrentar el problema, tener de antemano la solución a éste y obtener algo completamente distinto a lo que creíamos, nos coloca en situación de aprender. ¡Muy bueno! Es pertinente preguntarse dónde radica el error, por ejemplo, localizar falencias en los cálculos, verificar si las conversiones de medidas fueron adecuadas, la interpretación que se le dieron a los resultados numéricos obtenidos, entre otras opciones. Asimismo, la comprensión del porqué es ese el resultado obtenido, así como la concordancia que posee con la realidad, generan reflexiones oportunas. Este tipo de controversia y la discusión en grupo propician la construcción de argumentos comunes, que si bien justifican la solución del problema, se reconocen como oportunidades para la construcción de las nociones matemáticas que están detrás de la problemática planteada.

¿Proporcional con respecto a qué? Una pregunta de fondo en la problemática es el saber cómo crece el diámetro cuando crece la longitud de la circunferencia. Dar respuesta a esta pregunta podría potenciar el analizar a Pi como una razón, ya que conocemos la fórmula que relaciona al perímetro con el radio: 2 O lo que es lo mismo: 1 2 De modo que, el radio y el perímetro cambian en proporción directa. Más aún, la constante de proporción se relaciona con 2 .

68  

Capítulo 2

Entonces, ¿no es lógico que si el perímetro de la cuerda aumenta muy poco, también lo haga así el radio?, ¿por qué el radio aumenta tanto? Los 10 metros que se aumentan a la cuerda aparentan ser imperceptibles: claro que lo son, si se compara con la medida de la cuerda que en ese momento coincide con el perímetro de la Tierra en el Ecuador, el aumento es despreciable. El metro y medio, aproximadamente, que se despega la cuerda de la Tierra aparenta ser muy grande: claro que lo es, si se compara con la altura del cuerpo humano, el aumento es demasiado. Pero, ¿qué pasa si ahora se invierten los papeles? ¿Qué tan imperceptibles resultan los diez metros si se comparan con la altura del cuerpo humano? ¿Qué tan grande resulta 1.5 metros, aproximadamente, si se compara con el radio de la Tierra? Ante esta situación, surge una percepción, quizá bien fundamentada, de que las matemáticas y la realidad muchas veces se contraponen: “los cálculos pueden decir que sí, pero mi percepción de la realidad me dice que ahí hay algo raro” . Lo cierto es que, los cálculos por sí mismos no deberían ser un argumento decisivo en la toma de las decisiones ante una problemática, pues no lo son en la cotidianeidad. El propiciar la búsqueda de argumentaciones más sólidas rebasa a los algoritmos y las habilidades que tengamos para desarrollarlos y trastoca a las nociones de fondo en la matemática y el cómo las ponemos en funcionamiento ante diversas situaciones. Finalmente, resulta necesario hacer notar que no es el problema en sí el que propicia el desarrollo de estos elementos. Lo anterior pudiera quedarse como un planteamiento simpático con una solución sencilla y difícil de creer. Será el ambiente, los métodos, la discusión, la intervención de quien lo modere y el contexto de socialización, lo que lo convertirá en una situación para aprender.

Redacción y adaptación: M. en C. Dinazar Isabel Escudero Avila M. en C. Eric Flores Medrano

69  

Capítulo 2

Situación: ¿Apuestas?1

La intención de la situación es hacer uso de nociones de probabilidad en situaciones de azar. Se busca construir significados para nociones básicas de la probabilidad clásica y empírica: como espacio muestral, eventos favorables, eventos equiprobables, eventos dependientes y el cálculo de probabilidades. La situación se basa en algunas actividades clásicas: el lanzamiento de dados y la extracción de objetos de una urna. Con ellas se pretende provocar la reflexión sobre las nociones ya mencionadas. ¿Apuestas? I.

Vamos a jugar con la “suerte”. En este juego se lanzan dos dados (normales y no cargados) y se suman los puntos de las caras superiores. La idea es apostar al número que se obtendrá de dicha suma. Si el número al que se apuesta concuerda con la suma obtenida, ya ganaste. a) De acuerdo con lo anterior, i. ii.

¿A cuál o cuáles números apostaría? ¿Por qué? ¿A cuál o cuáles números no le apostarías? ¿Por qué?

b) Ahora no nos interesa apostar a un número específico, sino a que el número obtenido sea par o impar. Por ejemplo, si apuestas a un número par, y la suma de los dados resulta ser 2 o 12, tú ganas, pues esos números son pares. i.

II.

¿A qué tipo de número te conviene apostar, a uno par o uno impar? Compara con tus compañeros y justifica tu respuesta

Ahora vamos a realizar otro juego. Usaremos una bolsa de tela y unos cubos de distintos colores; 3 rosas, 4 azules, 3 verdes y 2 blancas. Pondremos todos los cubos en la bolsa y se extraerá uno. Debes apostar por el color del cubo que se obtendrá de la extracción. Si le atinas al color, ya ganaste. a) De acuerdo con lo anterior, contesta las siguientes preguntas. i.

¿A qué color le apostarías? ¿Por qué?

                                                             1

Chacón, J. (2005). Probabilidad finita. Notas de probabilidad [En línea]. Recuperado en julio del 2010 de http://webdelprofesor.ula.ve/ciencias/jlchacon/materias/discreta/claseprobabilidad.pdf

70

Capítulo 2

ii. iii. iv.

¿A qué color no convendría apostarle? ¿Por qué? ¿Hay colores con la misma probabilidad de salir? ¿Cuáles? Si pudieras generar nuevos tipos de apuestas, por ejemplo, que el color de la bola seleccionada contenga una vocal específica (así, si se apuesta por la vocal a, y se obtiene una bola azul, ganas). Menciona un tipo de apuesta con la cual no importa a que suceso se apueste, todos los sucesos tienen la misma probabilidad de ocurrir (esto no ocurre con la apuesta dada de ejemplo, pues ahí se tiene menos posibilidad de ganar si se apuesta a la vocal “o”, que si se apostará a la vocal “a”). Los sucesos (o eventos) que tiene la misma posibilidad de ocurrir los llamaremos equiprobables.

b) Ahora hay dos apostadores y tú eres uno de ellos, una vez que tu contrincante tome de la bolsa un cubo, no la regresará. i.

Si el cubo que extrajo tu contrincante fue de color azul. ¿A qué color le apostarías? ¿Por qué? Si el cubo que extrajo tu contrincante en el primer turno fue azul, y el que tú extrajiste también fue azul, ¿a qué color debería apostar tu contrincante? ¿Por qué?

ii.

III.

Realizaremos algunos experimentos. Para ello usaremos de nuevo la bolsa de tela y los cubos de la actividad anterior. i.

Tomaremos de la bolsa un cubo. ¿qué color crees que resulte? En la siguiente tabla, se tienen dos columnas que debes llenar. En la primera, denominada Probabilidad, señala la o las casillas correspondientes a los colores que tienen mayor probabilidad de salir. En la casilla denominada Experimento, señala la casilla del color que resultó del experimento. Color

Probabilidad

Experimento

Rosa Azul Verde Blanco 71

Capítulo 2

Concuerdan las casillas señaladas de ambas columnas (probabilidad y experimento). Explica por qué, y si esto ocurrirá siempre.

ii.

Ahora efectúa 10 veces el experimento anterior, recuerda regresar el cubo y agitar bien la bolsa, ¿cuántas veces crees que resulte cada color? En este caso, para llenar la tabla, en la primera columna (probabilidad) escribe la probabilidad de obtener una bola del color mencionado. En la segunda columna escribe la fracción que se obtiene de acuerdo con la siguiente expresión: (Número de veces que salió la bola de color _____) / 10 10 es el número de veces que se repitió el experimento) Color

Probabilidad

Experimento

Rosa Azul Verde Blanco

iii.

Finalmente realiza el experimento 20, 40, 60, hasta 100 veces, ¿cuál es la tendencia de los resultados? ¿Por qué?

iv.

¿Concuerdan los números de las columnas Probabilidad y Experimento en las dos últimas tablas? ¿Qué significa esto?

Reflexiones sobre la situación 72

Capítulo 2

A continuación reflexionaremos sobre las posibles estrategias y dificultades que pueden suceder al abordar las tres secciones que constituyen la actividad. Apuéstale a los dados La actividad con los dados y la forma popular de realizar las preguntas de la primera sección (inciso a), tienen la intención de motivar e invitar a los participantes a ser parte del desarrollo de la situación. Para el inciso a, puede ocurrir que los participantes opten por elegir un número cualquiera, por ejemplo, su número de la suerte para ganar. Sin embargo, otros podrían elegir conscientemente sus números, llegando a elegir el siete. De ser así, ese es el momento de explotar las respuestas, solicitando justificaciones de dichas elecciones. No obstante, una que puede detonar el resto de la actividad es: “¿Qué hiciste para saber qué número tiene más posibilidades de ocurrir?” Una posible respuesta a esta pregunta puede ser la formulación de una tabla como la siguiente (ver tabla 1): Puntos de los dados

1

2

3

4

5

6

1

2

3

4

5

6

7

2

3

4

5

6

7

8

3

4

5

6

7

8

9

4

5

6

7

8

9

10

5

6

7

8

9

10

11

6

7

8

9

10

11

12

Tabla 1: Distribución del espacio muestral para el lanzamiento de dos dados, y la suma de las caras resultantes. De la tabla 1, se puede argumentar que el siete es el número con mayores probabilidades de obtenerse, pues es el que posee el mayor número de combinaciones de caras, cuya suma arroja a dicho número. La tabla nos permite obtener el espacio muestral de la situación 73

Capítulo 2

planteada. Así, ella también nos permite argumentar sobre los números que son menos probables de obtener, es decir, aquellos a los que no conviene apostar porque las combinaciones son menores. Finalmente, nos permite hablar del número de veces que podrían suceder las combinaciones de caras cuyas sumas arrojan a un determinado número de entre todas las posibles, es decir, ¿cuál es la probabilidad de cada evento? P(A)= Número de casos favorables / el número de casos posibles En el inciso b, las respuestas comúnmente son dos: por un lado, se argumenta que conviene apostar a los pares porque el número de veces que una combinación es par son seis (2, 4, 6, 8, 10, 12) y para los impares sólo se tienen cinco combinaciones (3, 5, 7, 9, 11). Por el otro, la respuesta es que ambos casos son igual de probables. La confrontación de estas repuestas es importante, pues ellas llevan a la reflexión sobre el número de casos posibles que nos interesan, y el total de casos posibles del espacio muestral. De surgir sólo la primera respuesta, una forma de llevar a los estudiantes a la posibilidad de la segunda, es retomar los eventos explícitos que conforman el espacio muestral (ver tabla 1), y hacer énfasis en que ahora importan las combinaciones que permiten obtener un número par o uno impar. Por ello, es preciso recordar que el total de casos posibles es 36, de los cuales la mitad de las combinaciones generan un número par y otra mitad uno impar (ver tabla 1). De manera que los eventos son equiprobables (la probabilidad de que resulte un número par es de 18/36 y que resulte uno impar es de 18/36). Finalmente, se puede provocar una reflexión sobre el hecho, de que hasta ahora se ha realizado una predicción de lo que podría ocurrir, basados en el hecho de que todos los eventos simples, tiene la misma probabilidad de ocurrir (probabilidad teórica). No obstante, la realización de un experimento o su repetición un número pequeño de veces, podría parecer no apoyar dichas predicciones (probabilidad empírica). Para aclarar esta idea, analicemos el siguiente ejemplo. Si una persona se pregunta por la probabilidad de obtener águila en el lanzamiento de una moneda, se sabe que la probabilidad es ½, pues se tiene la misma probabilidad de caer águila que de caer sol (probabilidad clásica). Sin embargo, si la moneda se lanza 5 veces, es posible que en esos lanzamientos todas las veces se obtenga sol (probabilidad empírica). Esto pareciera contradecir la primera predicción. No obstante, entre mayor sea el número de lanzamiento, el número de veces que se obtiene águila o que se obtiene sol, tiende a ser el mismo, es decir, la probabilidad es ½. Esto se conoce como la ley de los grandes números, y permite el establecimiento de cierta relación entre la probabilidad teórica y la probabilidad clásica. Apuéstale a los cubos El inciso a de la segunda sección de la actividad, pone en juego el cálculo de probabilidades “tradicional”. Estas se basan en el hecho de que cada cubo tiene la misma probabilidad de ser 74

Capítulo 2

elegido. Sin embargo, para las preguntas i, ii y iii, la forma en la que se definen los casos o eventos (evento: elegir un cubo azul), la probabilidad de ocurrencia de los mismos ya no es la misma para todos los eventos posibles. Así, la pregunta iv de este inciso, provoca una reflexión sobre un cambio en las condiciones de la situación para hacer que los casos posibles (eventos) que se definan, sean igualmente probables. Con esto se pretende introducir la noción de eventos equiprobables. Una respuesta que se podría obtener a esta pregunta es: “Quitar un cubo azul y agregar uno blanco”, la cual podría ser aceptable, sin embargo, lo que importa es no mover los elementos, sino la condición para la apuesta. De manera que se puede preguntar: “¿qué combinación de colores de cubos podríamos hacer para que tuviéramos dos eventos que fueran igual de probables?” Es decir, la condición que se propone es: se tendría que definir dos eventos a los cuales se podría apostar, que en la extracción de un cubo se obtenga un cubo azul o blanco o bien un cubo verde o rosa. Estos dos eventos tienen la misma posibilidad de ocurrir. En el inciso b, se continúa agregando condiciones al experimento, esto con la finalidad de reflexionar sobre eventos dependientes. La intención es transitar el proceso del estudio de la probabilidad teórica a la probabilidad empírica, pues esta es una introducción a la última sección de la situación. La intención de las dos preguntas realizadas en el inciso b, es provocar la reflexión sobre el cambio en el espacio muestral, dado un suceso previo que condiciona los siguientes, es decir, hablar de los eventos dependientes. Se espera poner un énfasis en la necesidad de identificar el espacio muestral tanto de la primera como de la segunda extracción. Al responder a las preguntas de este inciso, (dada la elección de una bola de determinado color, a qué color debes apostar de las bolas restantes en la bolsa) un primera respuesta que suele surgir es que conviene apostarle al azul, ya que sin importar que color se extraiga, el azul siempre está entre los más probables a elegir (pues quedan 3 bolas rosas, 3 azules, 3 verdes y solo dos blancas), mientras que el blanco siempre está en desventaja, sobre todo si la primera extracción es blanca. Una forma responder a esta pregunta es mediante la realización de un diagrama de árbol que permita visualizar los eventos posibles en la segunda extracción. Algunas preguntas que pueden realizarse son las siguientes: ¿Cuál sería nuestro espacio muestral para esta situación? ¿Cuál es el primer espacio muestral y cuál el segundo? (Esto debe enfatizarse) ¿Cuáles son las probabilidades para cada suceso (evento), de acuerdo a la primera extracción realizada? (Estas cambian de acuerdo al color de la bola seleccionada en la primera extracción). 75

Capítulo 2

Así, podemos observar que, al disminuir el número de bolas en la bolsa, en la segunda extracción las probabilidades de elegir una bola de un determinado color no son las mismas que durante la primera extracción. De esto podemos mencionar que el espacio muestral se reduce, y los eventos posibles deben considerar también lo que ocurre en la primera extracción. Por ejemplo: supongamos que elegimos en la primera extracción una bola azul. La probabilidad de esto es 4/12 o 1/3. Si seleccionamos otra bola, las probabilidades cambian, pues solo quedan 11 bolas. Así la probabilidad de que ahora se obtenga una azul es de 3/11, una rosa es 3/11, una verde es 3/11 y una blanca es 2/11, así la probabilidad de obtener una blanca, dado que se obtuvo una azul es de 2/11. Otra forma clásica de obtener esto es considerando la extracción de dos bolas. El espacio muestral estará compuesto por dos entradas [(primera bola), (segunda bola)], para la primera bola tenemos 12 posibilidades y para la segunda bola solo 11, entonces 12x11 nos da el número de elementos en el espacio muestral, es decir, 132 posibilidades. Definamos el evento denominado la primera bola es azul, en este caso la primera entrada solo tiene 4 posibilidades, y la segunda, como no importa que sea, tiene 11 posibilidades, tenemos 4x11 casos favorables, es decir, 44 (su probabilidad es 44/132). Si queremos que la primera bola sea azul y la otra blanca, tenemos 4 casos para la primera entrada, y 2 para la segunda, es decir, 8 casos (su probabilidad es 8/132). De este modo la probabilidad de que la segunda sea blanca, dado que la primera fue azul esta dado por 8/44 o 2/11, (resulta de dividir 8/132 entre 44/132) lo cual nos da el mismo resultado: P

La segunda bola sea blanca  dado que la primera fue azul Casos posibles en los que la primera sea azul  y la segunda sea blanca Casos posibles en los que la primera sea azul  

P segunda B dado primera azul

P primera azul y segunda blanca   P primera azul

Esto último da origen a la fórmula para calcular la probabilidad en eventos dependientes.

Extrayendo cubos La intención de la tercera sección es reflexionar sobre la probabilidad empírica que deviene de la experimentación, es decir, del estudio de datos que se observan y registran, en donde se puede saber cuál es la frecuencia de ocurrencia de un evento en un experimento. 76

Capítulo 2

La primera pregunta fue con la intención de hacer explícita la diferencia entre una predicción y un hecho. La segunda pregunta es importante para explicitar la forma de calcular una probabilidad dado los datos del experimento, para ello se preguntó, cuál es la frecuencia con la cual se extrajo un color en el experimento con respecto al total de extracciones, es decir, cuál es su probabilidad empírica (frecuencia absoluta entre el total de observaciones), de aquí es importante resaltar que en ambos columnas (probabilidad y experimento) la suma de las probabilidades es uno. Para ello es conveniente auxiliarse de la tabla que se llenó. Color

Probabilidad teórica

Rosa

3/12

Azul

4/12

Verde

3/12

Blanco

2/12

Total

12/12 = 1

Probabilidad empírica

1

La tercera y cuarta preguntas tienen el objetivo de reflexionar sobre cómo entre más datos se toman en el experimento, las probabilidades empíricas se acercan más a sus probabilidades teóricas. Esto pude estudiarse en datos numéricos y basarse en ellos para hacer una gráfica de frecuencias que evidencie las tendencias de cada evento.

Redacción y adaptación: M. en C. María Esther Magali Méndez Guevara Lic. Maribel Moreno Ochoa

77

Capítulo 3. Situaciones de Aprendizaje diseñadas para estudiantes de Secundaria

Introducción

Desde los capítulos anteriores, se ha mencionado que el aprendizaje se inicia con el desarrollo de un proceso en términos concretos, al nivel de herramienta y en la medida en que el individuo se familiarice con dichos procesos, estos tomarán la forma de una serie de operaciones que pueden ser desarrolladas y coordinadas en su pensamiento, se habrá adquirido entonces un pensamiento de tipo operacional con respecto a ese concepto. En una etapa posterior, la imagen mental de este proceso cristaliza en una nueva y única entidad, digamos que en un nuevo objeto. Una vez que este ha sido adquirido, el estudiante ha desarrollado habilidad para pensar dicha noción ya sea al nivel dinámico como herramienta o al nivel estático como objeto. Este manejo dual posibilita al estudiante el que piense en términos de posibilidades: ¿Qué ocurriría si hago o no hago cierta operación?

En este sentido, y como en las situaciones del capítulo 2, los siguientes diseños de aprendizaje pretenden que el estudiante se involucre en una actividad intelectual cuya consecuencia final es la disponibilidad de un conocimiento con su doble status de herramienta y de objeto.

Sobre las situaciones de aprendizaje

En el presente capítulo se exhiben siete situaciones de aprendizaje rediseñadas grupalmente por colegas profesores y profesoras de educación secundaria en servicio de todo el país. Éstas han sido redefinidas con base en la experiencia docente, los resultados de investigación en el campo de la Matemática Educativa y la reflexión conjunta coordinada por un especialista. Posteriormente, fueron puestas en escena en diferentes escuelas secundarias. La diversidad de contextos regionales y modalidades del nivel secundario, permitió una reflexión en términos del uso y flexibilidad de la situación en un contexto específico.

Al enfrentarse con una situación de aprendizaje, lo importante es que el lector realice el ejercicio de cuestionar, experimentar, rediseñar y adecuar las situaciones a los contextos de 78

Capítulo 3

los estudiantes, a fin de convertirlas en materiales flexibles para favorecer su aprendizaje. Esto se fundamenta en el hecho de concebir que las situaciones distan de tener un carácter estático y estrictamente acabado, sino por el contrario, se considera que poseen un carácter dinámico y son susceptibles de sufrir modificaciones.

Las situaciones privilegian la generación de estrategias y argumentos que corresponden al uso de una matemática alejada de su versión rutinaria. Ponen énfasis en el desarrollo de un pensamiento particular que se genera a través de presentar un conflicto, de las habilidades, capacidades y talento de los estudiantes, más allá de centrarse exclusivamente en la adquisición de un conocimiento.

Este uso puede ser generado a través de un desequilibrio, quiebre o reto implícito en la situación, que busca la movilización de conocimientos que los estudiantes poseen y que les permita avanzar en ella.

En ocasiones, se tiende a privilegiar la individualidad de los estudiantes como recurso natural para asignar una valoración de su proceder en el aula, sin embargo, se considera importante la búsqueda de un trabajo colectivo bajo el supuesto de que compartir los argumentos que un individuo, favorece la construcción de conocimiento.

En la situación de Proporcionalidad y reparto proporcional tiene por objetivo la identificación de situaciones relacionadas a la proporcionalidad directa dentro de una problemática de reparto proporcional, para ello, se promueve la generación de análisis y reflexiones en torno a algunas propiedades que las caracterizan, como el uso de la herramienta “regla de tres”. La identificación del conflicto y la construcción de una estrategia adecuada permite a los estudiantes establecer generalidades y enfrentarse de forma exitosa ante nuevos problemas con características similares.

En la situación Creciendo y disminuyendo, se pretende el desarrollo de una estrategia para la determinación de una constante de proporcionalidad, que permita modificar las dimensiones de una imagen, hacer figuras a escala o establecer relaciones entre el tamaño de los objetos reales. Un aspecto a resaltar, y que se pretende profundizar en la situación, es la determinación de una proporcionalidad inversa cuando se hace referencia al decrecimiento de las figuras u objetos.

79

Capítulo 3

En Cuadrando los palillos se privilegia la construcción de argumentos alrededor del planteamiento de relaciones, basadas en el uso de las nociones de cuadrado y rectángulo. La experimentación que supone es fundamental, dado que se basa en la reflexión colectiva de todas las estrategias de conformación de cuadrados o rectángulos o incluso para el llenado y análisis de las tablas.

La situación de Las gráficas y el movimiento pone en juego el uso de la gráfica para argumentar y discutir la variación en situaciones de movimiento de una persona; no es primordial su relación con el concepto de función o su tabulación, sino que la gráfica se construya y se interprete como un modelo de movimiento de un individuo. La confrontación de gráficas de diversa naturaleza permitirá generar las diferentes discusiones y reflexiones en torno a situaciones de movimiento.

La situación de aprendizaje Jugando con fichas especiales presenta un planteamiento que encamina a los estudiantes a un proceso reflexión diferente al acostumbrado, que les permite establecer sus propios mecanismos de resolución y formas razonamiento para formular una respuesta, en particular, un tipo de razonamiento que parte de lo concreto hacia lo abstracto.

La situación de aprendizaje Ahorrando para nuestra sala de medios pretende la movilización de los conocimientos que son más cercanos al estudiante, y la construcción de argumentos y significados de función lineal y su ecuación, a partir de un análisis gráfico. La funcionalidad de las matemáticas se favorece en cada actividad sin que aparezcan explícitamente los conceptos, atribuyendo a las argumentaciones y estrategias de solución de los estudiantes un papel relevante en la construcción de conocimiento.

Por último, la situación de Simetría con espejos parte de un conocimiento cotidiano que comprende el uso de un espejo que tiene el propósito de permitir a los a estudiantes construir las características que identifican a una figura con su simétrica respecto a un eje. Este planteamiento pretende lograr la funcionalidad de las propiedades en la geometría misma al plantear actividades que permiten el uso natural de nociones como simetría, ejes, reflejo, posición, entre otras.

80

Capítulo 3

Proporcionalidad y reparto proporcional

Analizar y reflexionar acerca de las diferentes estrategias que pueden surgir al enfrentarse a una situación de proporcionalidad. Identificar las propiedades que caracterizan a las situaciones de proporcionalidad directa a través de la solución de problemas de reparto proporcional.

81

Capítulo 3

Proporcionalidad y reparto proporcional Actividad 1 Iván necesita comprar medio litro de pintura de aceite de color verde claro y quiere saber cuánto cuesta. Fue a la tienda de pinturas más barata que conocía, pero como no tenían pintura verde claro, le ofrecieron los colores que puede mezclar para obtenerla.

El vendedor le dio la información, sobre los colores que debe mezclar para obtener la pintura verde claro que Iván quiere.

Pintura azul

Pintura amarilla

Color final de la mezcla: Pintura verde claro

150 mililitros

350 mililitros

500 mililitros

El costo de la pintura varía dependiendo del color. Así que el vendedor le dio a Iván la relación de precios para los colores primarios de la pintura de aceite.

Color de la pintura

Azul

Rojo

Amarillo

Precio por litro

75 pesos

125 pesos

175 pesos

Con base en la información anterior contesta, ¿Cuál es el costo de 500 mililitros de pintura verde claro?

Comparen sus resultados y describan cómo los obtuvieron.

82

Capítulo 3

La Actividad 1 tiene como intención poner en uso diversas estrategias para resolver un problema de reparto proporcional, a partir de la movilización de los conocimientos que cada estudiante de forma natural y en términos de las argumentaciones que de manera cotidiana utilice ante una situación de este tipo. Para ello, se recomienda tener en cuenta las siguientes recomendaciones en al momento de la puesta en escena. Se observa que el número de estrategias que aparecen durante el desarrollo de la actividad se reducen en los casos en que las y los estudiantes reciben alguna clase de precedente a las actividades, es decir, si antes de la aplicación se realiza algún tipo de introducción al tema, aun si sólo consiste en establecer de manera explícita o implícita que se trata de una situación de proporcionalidad. Tanto para esta actividad como para las demás, el uso de calculadora no presenta mayor interferencia. Resulta importante, de igual manera, tener en cuenta el hecho de que el estudiante se enfrente a la situación de forma individual en un primer momento, y seguido de ello se reúnan en grupos pequeños de 2 o 3 integrantes y discutan acerca de sus resultados. Es preferible que el cierre de la Actividad 1 se centre en la discusión, reflexión y argumentación de las diversas estrategias propuestas y no en el establecimiento de respuesta correcta.

Actividad 2 En un grupo de otra secundaria hicieron el siguiente procedimiento para calcular el costo de 500 mililitros de pintura verde claro:

“Si un litro de pintura azul cuesta 75 pesos y un litro de pintura amarilla cuesta 175 pesos entonces dos litros de pintura verde claro cuestan 250 pesos”.

Y al final dijeron:

“Como dos litros de pintura verde claro cuestan 250 pesos, entonces dividimos todo entre cuatro y tenemos que 500 mililitros cuestan 62.5 pesos”

¿Consideran correcto el procedimiento que encontraron en la otra secundaria? Comenten y argumenten su respuesta.

Cuando Iván fue a pagar le cobraron $ 72.50

83

Capítulo 3

¿Le cobraron bien a Iván en la tienda?

Con la finalidad de mantener la intención de esta actividad se recomienda inicialmente entregarla hasta haber concluido la actividad anterior. Esta actividad presenta una posible estrategia para resolver la problemática de la Actividad 1. Se pretende generar un conflicto entre las estrategias encontradas en la actividad anterior, el procedimiento presentado al inicio de la Actividad 2 y la última pregunta de la misma. Es importante tener en cuenta las siguientes observaciones para el desarrollo de la aplicación: Algunas de las estrategias propuestas en la Actividad 1 pueden coincidir con el procedimiento presentado en esta actividad, sin embargo, se sugiere que de la misma forma que en la actividad anterior se privilegie la argumentación y la reflexión por encima de la respuesta correcta. Resulta, de manera natural, que la discusión generada a partir de compartir y comunicar las argumentaciones, a favor o en contra, se centre en la búsqueda del procedimiento adecuado; para enfrentar y concluir con la dinámica de discusión se recomienda en este momento y a manera de cierre se entregue y se comience a trabajar en la Actividad 3.

Actividad 3 Completen las siguientes tablas para calcular los costos de 150 mililitros de pintura azul y de 350 mililitros de pintura amarilla.

Cantidades de pintura azul 1000 mililitros 100 mililitros 50 mililitros 350 mililitros

Costo $ 75.00

Cantidades de pintura amarilla 1000 mililitros 100 mililitros 50 mililitros 150 mililitros

Costo $ 175

Ahora que ya saben el costo de la cantidad de pintura azul y de la cantidad de pintura amarilla que necesita Iván para obtener el verde claro. Recuerden que:

84

Capítulo 3

Cantidad de pintura amarilla

+

Cantidad de pintura azul

=

350 mililitros

+

150 mililitros

=

Cantidad de pintura verde claro 500 mililitros

Y completen la siguiente información:

Precio de 350 mililitros de pintura amarilla

+ +

Precio de 150 mililitros de pintura azul

=

Precio de 500 mililitros de pintura verde claro

=

Considerando los resultados anteriores comenten nuevamente, ¿Le cobraron bien a Iván en la tienda? Argumenten su respuesta.

Contesten las siguientes preguntas. Pueden utilizar cualquier estrategia para hacer sus cálculos.

a)

¿Cuánto cuestan 800 mililitros de pintura verde claro?

b)

¿Cuánto cuestan 120 mililitros de pintura verde claro?

85

Capítulo 3

Finalmente, la Actividad 3 tiene la intención de construir una estrategia adecuada que permita establecer la respuesta correcta. Al final de la actividad se pretende que la estrategia construida se pueda usar para argumentar y resolver cuestionamientos orientados a la búsqueda de una generalización. En el desarrollo de esta actividad es conveniente tener en cuenta que hay dos momentos implícitos en la misma: La construcción de la estrategia y el uso de la misma. Es por ello que resulta imprescindible discutir, comentar y reflexionar de forma profunda acerca de los procedimientos adecuados para encontrar la respuesta correcta, las características de la situación, las razones que justifican argumentaciones del tipo de la Actividad 2, el uso de la regla de tres, el contexto de la situación y otras situaciones similares en que las y los estudiantes tengan que enfrentarse a éste tipo de problemas en su cotidiano.

Reflexión sobre la situación La secuencia de actividades anterior privilegia la identificación de situaciones relacionadas a la proporcionalidad directa y la construcción de herramientas que se adecúen a las características de un problema de reparto proporcional. Se pretende generar el análisis y una profunda reflexión entre pares que gire en torno a algunas de las propiedades que caracterizan a una relación de proporcionalidad directa.

Para ello se propone que a través de un conflicto, que consiste en utilizar a la herramienta matemática conocida como “la regla de tres” sin tener en cuenta el contexto y particularidades que presenta cada situación de proporcionalidad, se identifiquen las características de una situación de proporcionalidad dentro de una problemática de reparto proporcional.

Las actividades se encuentran diseñadas para que de forma secuencial la discusión de las diferentes estrategias de solución propuestas permita la identificación del conflicto y que a través de la reflexión y construcción de una estrategia adecuada las y los estudiantes sean capaces de establecer generalidades y enfrentarse de forma exitosa ante nuevos problemas con características similares.

Discusión de la situación Mentores:



Ma. Mitzú Yenisse Romo

Aguascalientes 86

Capítulo 3

           

Luz Yasmín Zacarías Pérez Albertico Guevara Araiza Hector Hernández Castellanos Hilda Margarita Castillo Güereca Yaneli Bianey García Flores Iván Sánchez Morales Eduardo García Sereno Fernando Figueroa Casas Aurora Pérez Hernández Maria De Los Angeles Corona Beristain Jose Maria Rosas Moroyoqui Martha Patricia De Atocha Amaya Almeida

Chiapas Chihuahua Distrito Federal Durango Estado de México Estado de México Jalisco Oaxaca Oaxaca Tlaxcala Sonora Yucatán

Tutora: Lic. Adriana Moreno Valdés

Redacción y adaptación: Lic. Adriana Moreno Valdés

Puesta en escena

Secundaria Técnica #22 “Nazario S. Ortíz Garza” Telesecundaria 571 “Rosario Castellanos Secundaria Federal ES-47 “Ramón Gómez Flores” Escuela Secundaria Técnica No. 1 Esc. Sec. Fed. “Acuexcómac” Secundaria General No. 0651 “Gral. Vicente Guerrero“ Tele-secundaria “Felipe Ángeles” Escuela Secundaria Técnica No 118 Secundaría Técnica No. 1 “Xicohtencatl Axayacatzin” Escuela Secundaria Técnica No. 10 Sec. Estatal # 85 “José González Rosado”

Aguascalientes Chiapas Chihuahua Durango Estado de México Estado de México Jalisco Oaxaca Tlaxcala Sonora Yucatán

87

Capítulo 3

Creciendo y disminuyendo

Determinar razones de proporcionalidad que permitan establecer relaciones, de crecimiento o decrecimiento, entre las figuras o imágenes.

Específicamente, la situación pretende el desarrollo de una estrategia para la determinación de una constante de proporcionalidad, que permita dibujar figuras a escala o establecer relaciones entre el tamaño de los objetos que fueron trazados a escala. Un aspecto a resaltar, y que se pretende profundizar en la situación, es la ampliación entre los estudiantes de la proporcionalidad directa, pasar de la noción de crecimiento (aumento) a la de decrecimiento (disminución).

88

Capítulo 3

Creciendo y disminuyendo Materiales: Tijeras, hojas blancas, lápices, cartulina, pegamento.

Actividad 1 En grupos de 3 personas reproduzcan el siguiente dibujo de manera que el segmento que mide 6 cm, ahora mida 12 cm. Sigan los pasos que se detallan a continuación.

Figura 1

PASO 1: Recorten las piezas y repártanlas entre el equipo (2 piezas cada integrante). 89

Capítulo 3

PASO 2: Cada integrante dibuje, en hojas blancas, la imagen que aparece en sus dos piezas. ¿Cuáles son las dimensiones de cada una de las nuevas piezas?

PASO 3: Recorten las nuevas piezas con la reproducción de los dibujos.

PASO 4: Reúnan las nuevas piezas para formar el dibujo. ¿Se parece al original? ¿En qué coinciden? ¿En qué difieren? ¿Por qué?

Notas:



Si el dibujo no queda como el original, reflexiona con tu equipo e inténtenlo de nuevo.

La actividad 1 tiene la intención de que a través de material manipulable los estudiantes encuentren una estrategia para hacer crecer la imagen de tal forma que las piezas de la nueva imagen embonen del mismo modo que las de la imagen original.

La alteración a la imagen consiste en aumentar sus dimensiones al doble. Una dificultad que puede presentarse es que los estudiantes no hagan crecer todos los lados de sus piezas, lo que producirá un conflicto al momento de intentar armar la nueva imagen. Otra dificultad común es que realicen la ampliación sumando 6 unidades a cada dimensión de sus piezas, lo que nuevamente producirá como resultado el que no pueda formarse la base del dibujo. Por lo que encontrar una estrategia para reproducir la imagen, y el establecimiento de relaciones entre la imagen original y la reproducida, pueden conducir a la determinación del factor de proporcionalidad que “explica” cómo, en este caso, crece la imagen. Se sugiere promover la reflexión y discusión de cómo reproducir las piezas para que éstas embonen, tratar de que las y los estudiantes puedan expresarlo verbalmente puede resultar benéfico el establecimiento del factor proporcional.

90

Capítulo 3

Actividad 2 En equipos de tres personas observen la siguiente figura. Las proyecciones del rectángulo difieren unas de otras por el número de cuadros que tienen como base y altura.

Si continuáramos las proyecciones y los rectángulos siguieran nombrándose con las letras sucesivas del abecedario, ¿qué dimensiones tendrían los nuevos rectángulos? Completa la siguiente tabla:

Rectángulo a b c d e f g

Base

Altura

32 64 128 256

91

Capítulo 3

Para Reflexionar:



¿Cuánto crece cada figura de la sucesión, con respecto a la base y a la altura? ¿Qué características tiene este crecimiento? Argumenta con tus compañeros de equipo.



Si observas y analizas las figuras de la tercera (c) a la primera (a), ¿Cuánto disminuye la figura? ¿Qué características tiene esta disminución? ¿Qué puedes concluir? Argumenta con tus compañeros de equipo.



Si observas y analizas las figuras de la última (g) a la primera (a), ¿Cuánto disminuye la figura? ¿Qué características tiene esta disminución? ¿Qué puedes concluir? Argumenta con tus compañeros de equipo.



¿A qué crees que se deban estos comportamientos? Comenta con tus compañeros y elabora una conclusión al respecto. (reflexionar sobre la relación que guardan)

La actividad 2 busca que las y los estudiantes encuentren un patrón para llenar la tabla, pero es en la pregunta 1 donde se pretende que el estudiante reflexione sobre las relaciones que guardan la base y la altura de cada figura, para que puedan establecer un factor de proporcionalidad que indique numéricamente un crecimiento.

En las preguntas 2 y 3, se presenta el reto de establecer relaciones que conduzcan a la determinación del factor de proporcionalidad que explique el decrecimiento de las figuras involucradas.

Con estas preguntas se pretende ampliar entre los estudiantes el significado de la noción de proporcionalidad, en el sentido de que ésta es mayormente concebida como un crecimiento y no como un decrecimiento, por lo que se sugiere poner énfasis en este aspecto y promover las discusiones y reflexiones de las y los estudiantes.

92

Capítulo 3

Reflexión sobre la situación La situación se divide en dos sesiones que aunque se presentan con actividades diferentes, pretenden la determinación de razones de proporcionalidad que permitan establecer relaciones entre imágenes y figuras cuando éstas crecen o decrecen.

La primera actividad busca la determinación de dicha razón a través del uso de manipulables. En la segunda a través de la ampliación de figuras, donde también se pretende establecer relaciones que permitan al estudiante explicar cómo disminuye el tamaño de una figura en relación con otra que es proporcional a ésta.

En las actividades se fomenta una funcionalidad de la proporcionalidad en el sentido de que ésta aparece como el conocimiento que permite responder a cada situación. Su determinación, se propicia por la presentación de retos que inducen a la generación de estrategias.

Discusión de la situación Mentores:

       

Marifel Hernández Espinoza. Gustavo Peña Guevara. Akhenaton Soto De Los Santos. Irma Preciado Tello. Juan Gabriel Desilos Hernández. Isela Lima Ortega. Ranulfo Moreno Meraz. Ricardo Ledezma Sánchez.

Baja California Sur Nayarit Puebla Puebla Tamaulipas Tlaxcala San Luis Potosí Chihuahua

Tutora: Lic. Melissa Valeska Andrade Molina

Redacción y adaptación: M. en C. Mayra Anaharely Sarai Báez Melendres

93

Capítulo 3

Puesta en escena    

Secundaria General No. 1 “Profra. María Teresa Paredes Pulido”. Tamaulipas. Telesecundaria “Vicente Guerrero”. San Luis Potosí. Escuela Secundaria Oficial “2 de abril”. Puebla. Secundaria “Francisco I. Madero” Huixcolotla. Puebla.

94

Capítulo 3

Cuadrando los palillos

A partir del análisis y aplicación de propiedades de cuadrados y rectángulos en figuras equiperimetrales, construir relaciones entre área y perímetro de éstas figuras.

95

Capítulo 3

Cuadrando los palillos A modo de introducción, se propone una breve discusión basada en las siguientes preguntas:



¿Qué es un cuadrado?



¿Qué propiedades cumplen?:



¿Sus lados?



¿Sus ángulos?



¿Sus bases medias?

Actividad 1 Con diez palillos distintos, sin repetir ninguno, cuyas medidas de longitud sean de 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 , 8 y 9 y 10 unidades. Forma un cuadrado y verifica si es el único que se puede formar.

La experimentación en la construcción de algún cuadrado y compararlo con otras construcciones será fundamental. Es importante generar la interacción y el intercambio de estrategias para construir los cuadrados.

Actividad 2 Con todos los palillos del actividad anterior, ¿cuántos y cuáles son los cuadrados que se pueden construir? ¿Qué palillos se usan? ¿Cómo se usan? Utiliza la siguiente tabla para registrar tus resultados:

96

Capítulo 3

Medida

Palillos usados

lado

Cómo se forma cada lado (en

Perímetro

Área

28

49

cuanto a los palillos)

7

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

1+6=2+5=3+4=7



¿Puedes construir un cuadrado de lado 14? ¿Si? ¿No? En cualquier caso, argumenta tu respuesta.



¿Qué perímetro tendría la figura que se construiría con todas las piezas? Esta figura, ¿podría ser un cuadrado? Explica tu respuesta.

Se sugiere promover que los alumnos hagan observaciones, análisis comparativos de los datos y argumentaciones para fundamentar las soluciones halladas para contrastar la idea de que al parecer se pueden construir infinitos cuadrados. Para el paso a la siguiente actividad, es importante que en la tabla pueda mirarse cuál es el cuadrado de mayor perímetro que puede formarse.

Actividad 3 En un sentido similar, con todos los palillos de las actividades anteriores, ¿cuántos y cuáles son los rectángulos que se pueden construir? ¿Qué palillos se usan? ¿Cómo se usan?

Medida lados

Palillos usados

Cómo se forma cada lado (en

Perímetro

Área

cuanto a los palillos)

97

Capítulo 3

Si analizamos los valores de la tabla, ¿hay figuras con igual perímetro? ¿Tienen igual área?

Ahora, fijémonos en los rectángulos de igual perímetro, ¿cuál tiene mayor área? ¿De qué valores son sus lados?

Se sugiere, de modo experimental y con la participación de las y los estudiantes, una conclusión respecto de la situación: de entre todos los rectángulos equiperimetrales, el de mayor área es el que tiene todos sus lados congruentes, es decir, el cuadrado.

Reflexión sobre la situación En esta situación se privilegia la construcción de argumentos alrededor del planteamiento de relaciones, basadas en el uso de las nociones de cuadrado y rectángulo. La experimentación que supone es fundamental, dado que se basa en la reflexión colectiva de todas las estrategias de conformación de cuadrados o rectángulos o incluso para el llenado y análisis de las tablas.

Nociones como la de perímetro o área, que se estudian desde los primeros años de educación básica, se usan como herramientas para la construcción de regularidades encaminados hacia un nuevo conocimiento, en este caso la relación.

El desequilibrio provocado, permite reincorporar elementos de discusión basados en las mismas propiedades de las figuras formadas, y por tanto, se puede hacer un seguimiento del avance de las y los estudiantes, así como los argumentos que posteriormente emplearán. 98

Capítulo 3

Discusión de la situación Mentores:

     

Ma. Alejandra Guadarrama Delgado Cynthia Ramírez González Marco Alonso Salazar Ramírez Rubén Moreno Hernández Yesenia Castro Larios Leobardo Mendoza Ramírez

Estado de México Puebla Durango Guanajuato Zacatecas Estado de México

Tutora: M. en C. Erika Marlene Canché Góngora

Redacción y adaptación: M. en C. Erika Marlene Canché Góngora

Puesta en escena      

Secundaria Oficial No. 771 “Lic. Salvador Christopher Vergara Cruz”, Edo. de México Secundaria Técnica No. 54, Puebla Sec. General “Profr. Constantino Carcaño Reyes”, Durango Arq. Carlos Obregón Santacilia, Guanajuato Francisco García Salinas, Zacatecas Secundaria Diurna 313 “Lázaro Cárdenas del Río”, Estado de México

99

Capítulo 3

Las Gráficas y el Movimiento1

Que los estudiantes interpreten y construyan gráficas a partir de una situación de movimiento específica. Así mismo, que se confronten ideas de trayectorias, es decir representaciones únicamente con dirección y sentido, con la elaboración de gráficas cartesianas reconociendo elementos importantes en esta construcción: el tiempo, la distancia o posición y la variación.

1

Briceño E., Cordero, F., y Zaldívar D. (2009). Una experiencia de modelación del movimiento en un programa

de difusión de la ciencia [Resumen]. Documento presentado en XLI Congreso Nacional de la Sociedad Matemática Mexicana. Matemática Educativa. Toluca, Estado de México, México, enero.

100

Capítulo 3

Las gráficas y el movimiento Actividad 1 Montse va a la escuela Montse, una estudiante, cada día camina desde su casa hacia la escuela. Su casa está sobre la misma avenida que la escuela, por lo que no tiene que meterse por calles durante su camino.

Cuando el terreno es plano, Montse camina aproximadamente a una velocidad de 0.8 m/s, cuando es de subida a 0.5 m/s y cuando es de bajada a 3 m/s; pues en su camino a la escuela tiene que pasar por un valle como se muestra en la figura:

Casa de Montse

300 m

450 m

250 m

600 m

Escuela

Dibuja, ¿cómo quedaría la gráfica del recorrido de Montse desde su casa hasta la escuela?

101

Capítulo 3

La intención en esta actividad es que se dibujen trayectorias, es decir, íconos pictográficos que describan una dirección o sentido de un movimiento y no en sí, una gráfica cartesiana. Se deja al estudiante la libertad de que dibujen íconos o líneas que, en su idea, representan el movimiento.

Actividad 2 El recreo Suena el timbre de la escuela de Montse para anunciar que el recreo se ha terminado. Montse observa a cinco de sus amigos del grupo G, que se encuentran en el patio de la escuela, unos junto al arriate, otros en el centro del patio y uno cerca del salón de clases, como se muestra en la siguiente ilustración.

Arriate

Salón

Ahora bien, las siguientes gráficas representan la posición de los cinco amigos de Montse tomando como punto de referencia, el arriate.

102

Capítulo 3

Asigna a cada uno de los amigos de Montse una gráfica de posición, la cual consideres pertinente colocando el nombre de la persona en los recuadros de la Figura 1?

a) Martín

d) Gustavo

b) Azucena

c) Erika

e) Julio

Responde lo siguiente

103

Capítulo 3

a) ¿Cuál de todos ellos consideras que llegaría más pronto al salón, si salieron en el mismo instante? b) ¿Cuál de todos ellos caminó más lento?

c) Según las gráficas de posición de los niños, describe cómo fue su movimiento apoyándote también de la ilustración.

Martín___________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ _________________________________________________________

Azucena_________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ _________________________________________________________

Erika____________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ _________________________________________________________

Gustavo_________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ __________________________________________________________

Julio____________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ _________________________________________________________

104

Capítulo 3

Una dificultad con la cual los estudiantes se enfrentan a la hora de discutir gráficas cartesianas es lo relacionado con las variables que están involucradas en el fenómeno a describir. Por ejemplo, la variable tiempo no es considerado, lo cual origina dificultades en la interpretación de trayectorias. Por ello, la intención de esta actividad es el surgimiento de gráficas bidimensionales distancia/tiempo para explicar la posición, así como también argumentar sobre el cambio de posición de una persona y el tipo de movimiento que origina dicho cambio.

Las actividades anteriores confrontan dos ideas muy importantes dentro de las matemáticas, específicamente en la lectura e interpretación de gráficas de movimiento. En primer lugar, las argumentaciones que surgirán en la primera actividad quizás estén más orientadas a una noción de trayectoria por parte de los estudiantes. Sin embargo, al discutir posteriormente sobre gráficas cartesianas de posición, los estudiantes deben ser capaces de agumentar sobre las variables que están jugando un papel importante en la toma de desiciones sobre qué gráfica le corresponde a cada uno de los amigos de Montse. Es importante tomar en consideración, que en la segunda actividad hay una lectura puntual de la gráfica, es decir, conjuntar dos variables para discutir localmente lo que ocurre en cada una de las gráficas para tomar una decisión.

El fin último de éstas actividades, no es construir una gráfica a partir de una función polinómica usando el procedimiento de tabular pares ordenados, sino más bien en el desarrollo de argumentaciones basadas en la lectura y uso que se hagan de las gráficas. Es decir, la gráfica es un argumento que permite tomar una decisión con respecto a una problemática planteada en la situación.

Actividad 3 ¿Cuánto tiempo? Regresemos al recorrido que realiza Montse desde su casa hasta la escuela y contesta las preguntas que se te presentan. Puedes usar la gráfica que construiste en la actividad 1.

Casa de Montse

300 m

450 m

250 m

600 m

Escuel a

105

Capítulo 3

Recuerda que:

Cuando el terreno es plano, Montse camina aproximadamente a una velocidad de 0.8 m/s, cuando es de subida a 0.5 m/s y cuando es de bajada a 3 m/s.

En cada caso, escribe el porqué de tus respuestas:



Si Montse ya caminó durante 15 minutos, ¿en qué parte del recorrido estará?



¿Cuántos minutos tarda Montse en caminar los primeros 300 metros?



¿Cuántos minutos tarda en caminar los 450 metros de bajada?



¿Cuántos minutos tarda Montse en caminar los 250 metros de subida?



¿Cuántos minutos tarda en caminar los últimos 600 metros hasta la escuela?

La Intencionalidad es relacionar el tiempo con la distancia sin graficar; así mismo, que se construya una idea sobre el tiempo que llevará cierto recorrido.

106

Capítulo 3

Actividad 4 Según tus respuestas en la actividad 3, dibuja la gráfica de la posición de Montse en el siguiente espacio cuadriculado. Puedes ir reformulando tus respuestas anteriores para dibujar una gráfica adecuada (Actividad 3).

1650 mts.

1500 mts

1350 mts.

1200 mts

1050 mts.

900 mts

750 mts

600 mts

450 mts.

300 mts.

150 mts.

2 min.

4 min.

6 min.

8 min.

10 min.

12 min.

14 min.

16 min

18 min

20 min

107

Capítulo 3

La intención es dibujar la gráfica de movimiento teniendo como elemento el tiempo y distancia (los ejes). Se trata de validar sus respuestas a la actividad 3 o ir reformulándolas de tal manera que adecúe una gráfica de movimiento del recorrido de la casa a escuela.

Reflexión sobre la situación Sugerencias a considerar en las actividades

 Hay que considerar que en todas las actividades siempre hay que referirse a un movimiento con velocidad constante, es por eso que la línea recta estará presente en toda la situación.

 Se recomienda:



Conformar equipos de 3 a 4 integrantes para la resolución de la situación.



Llevar a cabo la exposición de los equipos de sus resultados, a los demás, de esta forma se llega a acuerdos a las estrategias y el desarrollo de descubrimiento.

 Una estrategia didáctica que podría ser de utilidad es proporcionar acetatos a los equipos para que proyecten y expongan sus resultados.

 Sin duda que la actividad 3 y 4 pueden ser resueltas con la fórmula de velocidad igual a distancia entre tiempo, conocimiento propio de la física, sin embargo, se deben privilegiar y propiciar los argumentos que de la gráfica y de la actividad se generan y permite discutir.

 Se puede cerrar con el reconocimiento y definición de la ecuación lineal que describe el fenómeno, significados como: pendiente y ordenada en el origen. 108

Capítulo 3

La situación pone en juego el uso de la gráfica para argumentar y discutir la variación en situaciones de movimiento de una persona; no es primordial su relación con el concepto de función o su tabulación, sino que la gráfica se construya y se interprete como un modelo, en este caso de movimiento de una persona.

En las actividades se confronta un fenómeno que ocurre cuando se describe el movimiento, que son las trayectorias, ya que solo nos describen un sentido y dirección donde conceptos como el tiempo y rapidez no son tan explícitos. Es por ello que la situación confronta este fenómeno con las gráficas distancia/tiempo donde conceptos como tiempo y distancia son referencias para relacionarlo con el fenómeno del movimiento y construir por medio de sus gráficas, aspectos del cambio o la variación. La movilización de los conocimientos y los significados situacionales que se generan como: inclinación con velocidad, cambios de inclinación con pendiente, funciones constantes con el quedarse quieto, la ordenada al origen como el punto de inicio del movimiento, el origen como el punto de referencia, es decir, el espacio-gráfico son importantes, pero no es el propósito que se llegue a este conceptos matemáticos sino que se construya una idea sobre el uso de la gráfica como el modelo para argumentar situaciones de cambio de movimiento y posición de una persona dependiendo del fenómeno físico.

La flexibilidad de la situación permite rediseños según el contexto, sólo conservando la idea de poner en juego la confrontación entre la trayectoria y la gráfica por medio de situaciones de cambio. El trabajo colectivo es necesario para el intercambio de opiniones ya que promueve el llegar a acuerdos, estrategias, el desarrollo del descubrimiento, reflexión y construcción de conocimientos por encima de las meras aplicaciones. Por lo anterior la situación conlleva a hacer un uso de la gráfica para explicar, inferir, descubrir, relacionar y argumentar situaciones de cambio del movimiento, donde la gráfica se va construyendo como el modelo de la situación de movimiento y no en si como tener su ecuación y tabular para bosquejar la gráfica.

Discusión de la situación Mentores:

 

Luz Aracely Carnero Muñiz Ernesto Pescador Salas

Chihuahua Durango 109

Capítulo 3

       

Carlos Manuel Medina Quiroz Socorro Flores Marín Raymundo José Llanes Rodríguez San Juana Clemente Lara Hilario Enríquez Hernández Juan Manuel Sánchez Dávila Cruz Flores Delgado Rafael Esparza Moran

Baja California Nayarit Durango San Luis Potosí Michoacán Nuevo León Hidalgo Nuevo León

Tutor: M. en C. José David Zaldívar Rojas

Redacción y adaptación: M. en C. José David Zaldívar Rojas; M. en C. Eduardo Carlos Briceño Solís

Puesta en escena         

Telesecundaria 6021, Chihuahua Escuela Secundaria General No. 72 “Benemérito de las Américas”, Baja California Secundaria No. 16 “Artículo 30 Constitucional”, Chihuahua Secundaria N° 6 “Manuel E. González”, Chihuahua Telesecundaria 6228, Chihuahua Secundaria General “Pedro Antonio Santos Rivera”, San Luis Potosí Secundaria General “Benito Juárez”, Hidalgo Secundaria Federal no.13 “Maximino Hernández, Escanio”, Nayarit Secundaria Licenciado Carlos Salinas Lozano, Nuevo León

110

Capítulo 3

Jugando con fichas especiales2

Relacionar los conocimientos previos de las y los estudiantes sobre sucesiones de números, en la construcción de fichas de un juego matemático, que tienen como patrón a las potencias de base 2.

2

Ferrari, M. (2008) Un acercamiento socioepistemológico a lo logarítmico: de multiplicar-sumando a una

primitiva. Tesis de doctorado no publicada. Centro de Investigación y de Estudios Avanzados del IPN. México

111

Capítulo 3

Jugando con fichas especiales La situación busca favorecer que las y los estudiantes construyan la relación de los números que se encuentran en las fichas, la cual viene dada por la expresión 2 para natural. Para ello, se les sitúa ante la realización de dos acciones principales, el cálculo operacional de 2 para un valor de y la realización de la gráfica de esta sucesión. La primera acción busca generar herramientas procedimentales para el cálculo de los elementos de la sucesión, mientras que la graficación busca mostrar la tendencia que sigue. De este modo, es importante vigilar que todos los estudiantes resuelvan todas las actividades, por lo cual se sugiere verificar que las dividan pues sólo resolverán algunas de ellas.

Actividad 1 Hemos encontrado algunas de las fichas de un juego y una parte de su reglamento. El juego debe tener al menos 11 fichas para jugar. Las fichas tienen dos números, uno en la parte superior y otro en la inferior. Sólo se sabe que el de abajo puede ser un número del 0 al 10. Basados en las fichas que se muestran en la figura 1, construyan las que faltan y expliquen ampliamente las reglas que se deben seguir para asignarles a dichas fichas los números que les corresponden.

4

8

16

64

Figura 1: Fichas del juego

Esta actividad tiene la intención de que los estudiantes comiencen a generar propuestas de posibles relaciones entre los valores de las fichas, es decir, encontrar explicaciones que permitan establecer los números que deben ir en aquellas que se pide construir. Sin embargo, es importante no realizar un consenso con todo el grupo respecto a las diferentes relaciones que se encuentren, sino permitir la diversidad de respuestas, así como la diversidad de acciones para construirlas. De este modo, podríamos observar a los estudiantes realizando cálculos o descripciones sobre los posibles tipos de relaciones, proponiendo expresiones algebraicas, o construyendo físicamente las fichas. 112

Capítulo 3

Una dificultad que puede surgir de forma intrínseca al tipo de actividad que se propone, es la confusión de la representación de las fichas con la idea de fracciones.

Actividad 2 En el reglamento del juego, no encontramos una descripción, sino algunas ilustraciones incompletas que ejemplifican la forma como se juega. Utilizando las relaciones encontradas en la actividad anterior, entre los números que conforman a las fichas, ¿qué reglas propondrías para jugar?

4

4

×

×

12 8

8

64

16

128

__

=

=

=

=

__ _

32

4

8

113

Capítulo 3

Escribe las reglas encontradas.

Esta actividad coloca a los estudiantes ante el reto de encontrar las reglas para realizar las operaciones señaladas. Sin embargo, el objetivo es que los estudiantes pongan en juego las relaciones encontradas en la actividad anterior, y éstas sean retroalimentadas.

Un conflicto que puede surgir durante la búsqueda de las relaciones implicadas en las operaciones del producto y la división de las fichas, es la necesidad de realizar operaciones distintas para las partes superiores e inferiores. Los estudiantes se enfrentan a la necesidad de poner en correspondencia dos tipos de relaciones, lo cual parece no ser natural, pues domina la idea de encontrar “una regla” para realizar las operaciones propuestas.

Una dificultad que puede presentarse en esta situación, es debida a la confusión de las fichas con fracciones. Esto lleva a los estudiantes a creer que no se respetan las reglas para operar con las fracciones. Una alternativa es denominar a “x” como “op” y a “÷” como “opi” pues realmente no se trata de una multiplicación ni de una división en términos convencionales.

Actividad 3 Usando las reglas encontradas, resuelve los siguientes problemas.

Problema 1: La figura 2 muestra un terreno rectangular cuyas medidas de sus lados están expresadas por los valores superiores que deben corresponder a cada una ficha que se presentan.

?? 4 ?? 6

114

Capítulo 3

Figura 2: Terreno

¿Cuánto mide cada uno de los lados del rectángulo?

Calcula el área del terreno

×

=

Problema 2: Existe un terreno rectangular cuya área está expresada por el valor superior de la 512

ficha

, mientras que la medida de uno de sus lados está expresada en la ficha

64

¿Cuál es la medida del otro lado?

115

Capítulo 3

Problema 3: Don Anselmo quiere regalar a su hijo un terreno de forma cuadrada que tenga un 16

área de tales medidas.

. Sin embargo, no sabe cuánto deben medir sus lados. Ayúdalo a encontrar

Aun cuando comprender cómo se realizan las operaciones del producto y la división de exponentes del tipo 2 no constituye el objetivo de esta situación, esta actividad pretende que los estudiantes pongan en uso el conocimiento generado al operar la regla de los exponentes. Esto permitirá explicitar la movilización, reflexión y construcción de conocimiento relacionados con 2 . Por lo cual, se debe promover el uso de las reglas desarrolladas en la actividad anterior.

Una de las dificultades que puede presentar la situación, es la identificación de las medidas que se requieren usar en cada uno de los problemas. Esta medida siempre estará expresada por el número de la parte de arriba de la ficha.

Actividad 4 ¿Cómo podríamos construir cualquier ficha? Es decir, ¿qué deberíamos colocar arriba si abajo aparece “n”? Argumenten ampliamente su respuesta.

??? n

Esta actividad tiene la intención de que los estudiantes simbolicen el tipo de relación que se encuentra implícita en la construcción de los números que conforman las fichas, pues si bien los estudiantes son capaces de encontrar las relaciones que se solicitaron en las actividades anteriores, no siempre es clara que ésta relación está dada por la expresión 2 .

116

Capítulo 3

Actividad 5 Acorde a la deducción anterior, dibuja la gráfica que se obtiene de poner en correspondencia las sucesiones de valores que se desarrollan en las fichas. Argumenta ampliamente tu respuesta.

Valores superiores de las fichas

Valores inferiores de las fichas

a. La gráfica que se obtiene, ¿nos puede indicar los valores de cualquier ficha? Argumenta tu respuesta.

Esta última actividad pretende que los estudiantes visualicen la tendencia de la sucesión 2 . Esto busca complementar la visión que se haya desarrollado y comenzar a pensarla como relación funcional.

117

Capítulo 3

Sin embargo, los estudiantes presentan dificultades para la realización de la gráfica de la actividad, por lo cual es importante que el profesor proporcione las ayudas necesarias para superar este problema. Por ejemplo, ubicando un par de puntos en la gráfica.

Reflexión sobre la situación La introducción del tema a partir de las fichas del juego, favorece el establecimiento de un “lenguaje base” alterno al matemático, que permita a los estudiantes, en un primer instante, centrarse en comprender el tipo de relaciones que están presentes entre los número de cada una de las fichas, para luego trabajar sobre la notación.

Al no existir un procedimiento conocido de antemano que resuelva las actividades de forma directa, las y los estudiantes se ven forzados a entrar en un proceso de reflexión que les permita dar respuesta. Estos procesos se ven potenciados al plantear, dentro las actividades, un número mínimo de preguntas, de modo que se dé libertad a los estudiantes de establecer sus propios mecanismos de resolución y formas de razonamiento. Esto favorece la aparición de una gran diversidad de ideas y procedimientos, entre ellas algunas que, si bien, podrían no llegar a una respuesta correcta, permiten que los estudiantes tomen conciencia de los aspectos que son relevantes en la resolución de la actividad. Por lo cual, es importante no evitar su surgimiento durante el enfrentamiento con la situación.

Lo anterior, nos lleva a la necesidad de generar espacios de intercambio de opiniones entre los estudiantes, así como de argumentación sobre las acciones realizadas. Se pretende que estos procesos de socialización permitan superar las dificultades particulares de cada uno de ellos. De este modo, se evita imponer un único proceso de resolución y se da cabida a que el estudiante haga explícito el tipo de razonamiento empleado. Por ejemplo, como señalamos antes, algunos alumnos realizan el diseño de las fichas y las recortan. Esto nos permite observar un tipo de razonamiento que parte de lo concreto hacia lo abstracto. Para ellos, partir de un razonamiento abstracto puede ser un camino que obstaculice su progreso.

Por otra parte, debido a que los estudiantes se han venido desarrollando dentro un sistema educativo que se caracteriza por el establecimiento de caminos predeterminados a seguir para el estudio de un tema (por ejemplo, la realización de un procedimiento único), lo estudiantes entran en un “conflicto” durante la dinámica de la situación. Esto se traduce en los numerosos cuestionamientos que realizan al profesor, para determinar si están progresando en la solución de las actividades. No obstante, esto no presenta un problema del diseño, sino

118

Capítulo 3

que nos deja ver el rompimiento con esas formas de trabajo, y constituye una forma de devolver a los estudiantes la responsabilidad de construir sus conocimientos.

Discusión de la situación Mentores:

        

Dagoberto Escobedo Guzmán Julio César Garza Piñón Mayra Elizabeth García Tovar Ignacio Ramírez Ibarra Alejandro Héctor Molina Canales Leyda Andrea Delgado Matilla Martha Ofelia Prieto Torres María de Lourdes Gómez García Enrique Luna García

Nuevo León Tamaulipas Tamaulipas Durango Morelos Aguascalientes Chihuahua Coahuila Querétaro

Tutora: Lic. Maria Eugenia Vega Flores

Redacción y adaptación: M. en C. Luis Manuel Cabrera Chim

Puesta en escena      

Escuela Telesecundaria Núm. 82 Vicente Riva Palacio, Nuevo León. Escuela Secundaria General Núm. 10 Lic. Ana Teresa Luebbert Guitierrez, Tamaulipas Escuela Secundaria Gral. Profesor Antonio Mansilla Pérez, Tamaulipas Escuela Secundaria Técnica Núm. 67 José Santos Valdés, Durango Telesecundaria Ing. César Uscanga Uscanga, Morelos. Escuela Secundaria Técnica Núm. 7, Coahuila.

119

Capítulo 3

Ahorrando para nuestra nueva sala de medios

Construir la expresión algebraica correspondiente a la gráfica de una función lineal de la forma y=mx, a través del análisis e interpretación gráfica y el uso de tablas de la constante de proporcionalidad.

120

Capítulo 3

Ahorrando para nuestra nueva sala de medios En una escuela secundaria, los directivos y profesores consideran necesario construir una nueva sala de medios que sea más grande que la que tienen. Así, habrá mayor espacio para el nuevo equipo de cómputo y las clases se realizarán de manera más cómoda. Para lograr construirla, se pidió la colaboración de los estudiantes de los tres grados, ex alumnos y padres de familia. Todos ellos han realizado actividades extraescolares para tener un ahorro. Después de 10 semanas desde el inicio de las actividades se tienen gráficas del ahorro (en miles de pesos) de cada grupo.

Actividad 1 Las gráficas siguientes (Figura 1) muestran el ahorro que han logrado durante algunas semanas los grados de primero, segundo y tercero; los padres de familia, y los ex alumnos.

Figura 1

121

Capítulo 3

Observa y analiza el comportamiento de las gráficas y contesta las preguntas.

1. ¿Quiénes han reunido la mayor cantidad de dinero hasta la semana 10? Explica tu respuesta.

2. ¿Quiénes han reunido la menor cantidad de dinero hasta la semana 10? Explica tu respuesta.

La intención de la actividad 1 es motivar una reflexión sobre las variables que representan los ejes cartesianos y su relación con la situación contextual que se presenta. A través de la visualización de las gráficas, se generan argumentos relacionados con el acotamiento, es decir, las y los estudiantes pueden considerar que como todas las gráficas llegan hasta 8 en el eje correspondiente al ahorro y decir que todos los grupos ahorran la misma cantidad. En este caso, están evidenciando una noción sobre las gráficas que restringe el análisis del comportamiento al trazo visible. Dicha noción sí puede corresponderse con un resultado acorde al contexto, por ejemplo, si cada grupo deja de trabajar al lograr un ahorro de ocho mil pesos. Si las y los estudiantes no advierten una posibilidad distinta en la actividad 1, y argumentan que todos los grupos ahorran lo mismo, la actividad 2 tiene la intención de generar un contraste.

Actividad 2 Completa la tabla 1 del ahorro acumulado por semana de cada grupo.

Semanas 1 2 3 4

Ex alumnos 4 12

Ahorro acumulado en miles de pesos Padres de Segundo Primer grado familia grado 1 4 8/3 12/3 3 8

Tercer grado 4/5 8/5 16/5 122

Capítulo 3

5 6 7 8 9 10

20

10 12

20/3

28 32

28/3 18 20

40

5 6 7 8

24/5 32/5

36/3 10

40/5

Tabla 1

Responde lo siguiente:

1. ¿Cuál será la cantidad de dinero que cada grupo tendrá en la semana 11? ¿cuál en la semana 14? y ¿en la semana 35?. Explica tu respuesta.

2. Los grupos continuarán ahorrando por varias semanas más. Proporciona en la tabla 2 una expresión algebraica (regla general), con la que se pueda calcular la cantidad de dinero que tendrá cada grupo al transcurrir cualquier cantidad de semanas. (Sugerencia: Asigna una letra que represente a las semanas y otra al dinero)

Grupo Ex alumnos Padres de familia Primer grado Segundo grado Tercer grado

Expresión algebraica

Tabla 2

3. Calcula en la tabla 3 con cada expresión algebraica que propones la cantidad de dinero que cada grupo tendrá en la semana 40.

Grupo Ex alumnos Padres de familia Primer grado

Expresión algebraica

Ahorro en la semana 40

123

Capítulo 3

Segundo grado Tercer grado Tabla 3

4. Calcula, con el procedimiento que utilizaste en la pregunta 1, la cantidad de dinero que cada grupo tendrá en la semana 40.

5. Compra tus respuestas a las preguntas 3 y 4. ¿Hay diferencia?

Mediante el llenado de la tabla, se intenta que las y los estudiantes observen que el ahorro es distinto en cada grupo, y de este modo, formular estrategias de cómo calcular semana por semana en cada grupo, el ahorro alcanzado. Se sugiere reflexionar y hacer un contraste de las actividades 1 y 2, para hacer explícito y potenciar el análisis del comportamiento de las gráficas. La predicción para generar modelos matemáticos que se correspondan con los comportamientos observados también está presente en esta actividad, al pedir que se anticipe la cantidad para la semana 11, 14 y 35. Los argumentos para dar respuesta a esta situación, corresponderán con las estrategias utilizadas en el llenado de la tabla o incluso el uso de generalizaciones, si las y los estudiantes infirieren la razón de cambio en cada lista. De no desarrollarse esta última estrategia, el pedir que se proporcione una expresión algebraica (regla general) que permita anticipar resultados posteriores, motivará su desarrollo. Se sugiere encaminar las argumentaciones y reflexiones en ese sentido, y hacer notar cómo una expresión puede resumir la información inferida del desarrollo de estrategias en el llenado de la tabla.

Actividad 3 El director calculó la suma de dinero ahorrado hasta la décima semana por todos los grupos y observó que es un poco más de $91 000, lo cual no alcanza para pagar los gastos de mano de obra y material de la nueva sala de medios, que son de $274 000. El director estima que el tiempo para ahorrar y obtener el dinero total durará menos de lo que dura un ciclo escolar de 48 semanas. Ayuda al director a determinar si su estimación es adecuada. Para ello es necesario que predigas el número de semanas que tendrían que ahorrar los grupos para alcanzar el monto de los gastos totales.

124

Capítulo 3

Las actividad 3 favorece un análisis global de los comportamientos de las gráficas en conjunto, pues se tendrá que reflexionar sobre una cantidad acumulada (proveniente de los 5 grupos) y en tiempos posteriores. Se movilizan los conocimientos base de aproximación, que se incorporan a los conocimientos y nociones desarrolladas hasta el momento en la situación.

Actividad 4 Después de construir la sala de medios, el director considera tres nuevas opciones de ahorro para otra ocasión que se necesite mejorar la infraestructura escolar.

En la figura 2, se muestran las gráficas y expresiones algebraicas que corresponden al ahorro (en miles de pesos) que podrían generar cada una de esas propuestas.

125

Capítulo 3

Figura 2

1. ¿Cuál consideras que es la mejor estrategia de ahorro, si se requiere juntar la mayor cantidad de dinero en el menor tiempo? Explica tu respuesta.

2. ¿Crees que existan otras formas de ahorro para obtener una cantidad en menor tiempo?, ¿Cuál?. Realiza una propuesta.

La actividad 4 tiene la intención de generar una propuesta de optimización, la cual se incorpora como nueva variable en la situación, el hacer explícitas las ecuaciones de las rectas. Las y los estudiantes tendrán que reconocer las herramientas que han generado, en nuevas gráficas y tomar decisiones con base en las nociones que han desarrollado hasta el momento. Se sugiere reflexionar en este momento sobre el crecimiento, la inclinación y la pendiente.

Reflexión sobre la situación La situación propicia una construcción de significados asociados a la noción de una función lineal y su ecuación. Desde el análisis gráfico inicial se favorece el uso de argumentaciones y movilización de conocimientos base de las y los estudiantes. El análisis tabular lo complementa y fomenta el uso de las nociones de pendiente, razón de cambio, razón de proporcionalidad, crecimiento, y generalización algebraica. La funcionalidad de las matemáticas se favorece en cada actividad sin que aparezcan explícitamente los conceptos, atribuyendo a las argumentaciones y estrategias de solución de las y los estudiantes un papel relevante en la construcción de conocimiento en la situación de aprendizaje. Finalmente, las actividades admiten la flexibilidad de incorporar reflexiones individuales y grupales de acuerdo a las necesidades de las y los estudiantes, fomentando la colectividad y la socialización de las nociones matemáticas desarrolladas.

126

Capítulo 3

Discusión de la situación Mentores:

           

Victoria Reyes Trejo Baja California María Cristina Herrera Mendoza Chihuahua Graciela Tejeda Sánchez Jalisco Homero Rocha Villanueva Tamaulipas José Martín Hernández Torres Tamaulipas Jesús Ignacio Amaya Baja California Federico Sólis Ronquillo Durango Ixtazú Mares Ventura Michoacán Joel Caro Corona Nayarit Jonhy Alan García Torres Nayarit Francisco Javier López Moncada Nuevo León Sergio Luciano López Chihuahua

Tutora: M. en C. María Ojilvie Terrones Arellano, Cinvestav-IPN.

Redacción y adaptación: M. en C. Erika García Torres

Puesta en escena     

Secundaria General No.21 “Plan de Ayala”, Baja California. Telesecundaria No. 6021, Chihuahua. Escuela Secundaria General No. 1 “Benito Juárez García”, Tamaulipas. Escuela Secundaria General No. 2, Tamaulipas. Secundaria Técnica No. 116, Jalisco.

127

Capítulo 3

Simetría con espejos

A partir del uso de espejos, permitir que los alumnos construyan las características que identifican a una figura con su simétrica respecto a un eje.

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Capítulo 3

Simetría con espejos Actividad 1 Reúnete con un compañero o compañera para que realicen la siguiente actividad.

Una vez que tienes tu pareja, elijan quién de los dos será la imagen real y quién será el reflejo. Quien sea elegido o elegida como imagen real se encargará de hacer distintos movimientos. Por ejemplo, levantar una mano, tocarse un oído, flexionar una rodilla, etcétera. Al tiempo que se hace esto, quien sea elegido como reflejo realizará los mismos movimientos, simulando ser el reflejo de su compañero. Como si un espejo estuviera entre los dos. La imagen real podrá aumentar la dificultad en sus movimientos conforme su compañero vaya dominando el arte de ser el reflejo.

Comenten en parejas qué aspectos les llamaron la atención de la actividad, qué se les dificultó, qué aspectos se deben tomar en cuenta para ser un buen reflejo, entre otras.

Con la actividad 1, se pretende partir de un conocimiento cotidiano que comprende el uso de un espejo. Pero se comienza sin hacer uso del mismo. Apelamos a un conocimiento que podría ser de facto en los estudiantes, es decir, ¿qué tan común sería que al tallarse un ojo frente al espejo, nuestro reflejo aparezca tallándose el ojo que no queda totalmente de frente? Precisamente, con esta actividad se busca la construcción de la propiedad de inversión en las figuras cuando son reflejadas de forma axial (a través de un eje). De manera más concreta, se busca que los estudiantes hagan consiente el hecho de que toda figura reflejada en un espejo invierte sus partes: la mano derecha de quien es la imagen real, corresponde con la izquierda de quien es el reflejo, etcétera. En las experiencias de aplicación, fue común observar explicaciones grupales, por parte de los mismos estudiantes, del por qué de dicha propiedad.

La actividad 2 pretende que los estudiantes redacten y compartan su experiencia de la actividad anterior.

129

Capítulo 3

Actividad 2 Imagina que quieres que el compañero que fue tu reflejo en la actividad anterior, quede en la misma posición que se muestra en la figura. Describe detalladamente cuál debe ser tu postura para lograrlo (hacia dónde tienes que mirar, cómo deberías colocar cada mano, cómo deberías tener la posición de los pies, etc.). Comparte tu respuesta con tu compañero y discutan las similitudes y diferencias que tuvieron.

Imagen tomada de la siguiente dirección: http://es.123rf.com/photo_2387834_bailesiluetas.html

Actividad 3 Trabaja nuevamente con el compañero o compañera que realizaste las actividades pasadas.

A continuación se les presentan tres figuras con lo que parece ser su reflejo.

Para la primera, uno de ustedes debe pintar con color rojo una línea donde cree que debe colocarse el espejo para que, el reflejo que se forme en él, coincida con el reflejo que está dibujado. El otro compañero de esta pareja debe comprobar, usando el espejo, que en verdad coincidan estas imágenes al colocarlo en la línea roja. De ser así, remarque de color azul 130

Capítulo 3

sobre la línea pintada. Si no coinciden, mueva el espejo hasta lograr que coincidan y marque de azul el lugar donde se debió colocar la línea.

En caso de que la línea roja coincida con el lugar donde debe colocarse el espejo, ¿cómo supiste que ese debía ser el lugar?, ¿habrá otro lugar donde se pueda colocar el espejo y que coincida con el reflejo? Expliquen ampliamente.

En caso de que no coincida la línea roja con la azul, ¿qué tan lejos quedó?, ¿qué recomendaciones se darían para que en la próxima se logre el objetivo? Expliquen ampliamente.

Para la segunda figura, intercambien las funciones. Ahora quien trabajó con el espejo, tratará de predecir dónde debe colocarse éste para que los reflejos coincidan. Y el otro de ustedes corroborará con ayuda del espejo. Usen los mismos colores que en la figura pasada.

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Capítulo 3

En caso de que la línea roja coincida con el lugar donde debe colocarse el espejo, ¿cómo supiste que ese debía ser el lugar?, ¿habrá otro lugar donde se pueda colocar el espejo y que coincida con el reflejo? Expliquen ampliamente.

En caso de que no coincida la línea roja con la azul, ¿qué tan lejos quedó?, ¿qué recomendaciones se darían para que a la próxima logre el objetivo? Expliquen ampliamente.

Para la última figura, los dos deberán llegar al acuerdo de dónde colocar la línea roja. No pueden ayudarse del espejo. Solo hasta que terminen, corroboren con él.

¿Qué conclusiones pueden realizar de las tres figuras?

132

Capítulo 3

El manejo de materiales manipulables resultó conveniente para esta situación. En la actividad 3 se requirió de un espejo. En verdad ahí, en el reflejo que éste proporciona, están todas las propiedades que se necesitan construir. Ahora nos enfocamos en la distancia que existe entre la imagen y su reflejo, y la relación que guarda con el eje. Al mismo tiempo que se reflexiona acerca de la posición que dicho eje debe tener. La última figura representa un conflicto para los estudiantes, proveniente quizá, del proceso mismo. La manipulación del espejo no les permitirá, de ningún modo, encontrar el eje de simetría. Con ello, se presenta una oportunidad para consolidar las reflexiones sobre las dos propiedades que, hasta el momento, han construido. Es decir, se pretende robustecer la construcción de las propiedades con la construcción de los casos de no reflexión.

Actividad 4 Imagina que la línea que está dibujada fuera de cada figura es un espejo. Dibuja con precisión la forma, lugar y posición que tendría el reflejo.

133

Capítulo 3

La actividad 4 se encamina a lograr una abstracción tanto de las propiedades, como del proceso mismo. La construcción del reflejo dado el eje de simetría. Cabe aclarar que no se pretende establecer los mecanismos clásicos para su trazo. Más bien, obtener evidencias de que las propiedades básicas se han construido correctamente.

134

Capítulo 3

Actividad reto La siguiente figura muestra un cuadrado. Su posición no es a la que habitualmente estamos acostumbrados. La actividad consiste en trazar una imagen simétrica con respecto a la línea ee’, la cual pasa por uno de sus vértices y por el punto medio de uno de sus lados.

A e

B

C

D e’

Finalmente, y de forma opcional, la actividad reto busca una abstracción más profunda de las propiedades al presentar una situación que ya no puede ser pensada con un espejo. Es el lograr la funcionalidad de las propiedades en la geometría misma.

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Capítulo 3

Reflexión sobre la situación La aplicación de la situación con distintos grupos arrojó algunas constantes a considerar. Por ejemplo, cuán importante resulta el trabajo colectivo en este tipo de actividades. Pero a su vez, sobre los cuidados que se requieren en la gestión de los tiempos. El número de sesiones que duró la aplicación oscilo entre dos y tres. Los estudiantes se mostraron atraídos y, en su mayoría, participativos. En algunos casos se creyó importante exponer el proceso de trazo del simétrico de una figura utilizando perpendiculares al eje. Dicha exposición la realizó el profesor, pero sin que esto interfiriera en los fines de la situación. Fue más como un agregado a lo ya construido.

Gran parte de los estudiantes no logró llegar a la actividad reto. Quienes lo hicieron, requirieron, en la mayor parte de los casos, de la ayuda del profesor.

El uso del espejo como manipulable trajo consigo una fuente de distracción, por lo que surgió la idea de sustituirlo por cartoncillo forrado de aluminio, lo cual preservaba los fines y evitaba las distracciones al no ser tan buen reflejante como el espejo.

En términos generales, se lograron los objetivos con la situación, y las intervenciones de los profesores fueron más para complementar que para conseguir la construcción de lo que se pretendió.

Discusión de la situación Mentores:

       

Javier Saúl Varela Molinar Chihuahua Adriana Citlálic Almeda Rivas Durango Evaristo González Muñoz Zacatecas Leonardo Piñón Guerrero Distrito Federal Mariza Ibarra Leyva Sinaloa Norma Zamora Morales Tlaxcala Rafael Viveros Acosta Veracruz Rosa María Razo Vargas Baja California Sur 136

Capítulo 3

 

Luis Cano Montiel Russell Francisco Reyes Reyes

Veracruz Yucatán

Tutor: M. en C. Eric Flores Medrano.

Redacción y adaptación: M. en C. Eric Flores Medrano

Puesta en escena         

Escuela Secundaria Técnica N° 6, Chihuahua Escuela Secundaria Estatal “José María Luis Mora”, Durango Escuela Secundaria General No. 115, Distrito Federal Escuela Secundaria Técnica No. 28, Sinaloa Escuela Secundaria Técnica No. 35 “10 de diciembre de 1949”, Tlaxcala Secundaria General “Jesús Reyes Heroles”, Veracruz Secundaria “Gral. Agustín Olachea Avilés”, Comondu, Baja California Sur Escuela Secundaria General #3 "Leona Vicario”, Quintana Roo Secundaria Técnica Agropecuaria No. 54, Veracruz

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