Desarrollo Del Pensamiento Algebraico

Bloque 1 Uso del código algebraico para expresar las reglas que gobiernan los patrones numéricos

E

ste bloque de actividades tiene dos propósitos: (1) presentarte una propuesta alternativa para el estudio del álgebra, con el fin de refrescar los conocimientos matemáticos adquiridos durante el bachillerato, y (2) someter a tu análisis una propuesta didáctica en la que se aplican las ventajas de un procesador algebraico que facilite el aprendizaje del álgebra como un lenguaje para expresar y justificar generalizaciones sobre el comportamiento de patrones numéricos. Las actividades de este bloque y todos los que conforman el libro, están diseñadas de acuerdo con un precepto teórico desarrollado por el psicólogo Jerome Bruner, el cual consiste en el establecimiento de un formato de comunicación entre el que enseña y el que va a aprender. Este formato, aparentemente rígido, ofrece una flexibilidad que permite introducir sutilmente nuevos elementos del código de comunicación (en nuestro caso, del código algebraico). La presentación de las actividades parece repetitiva, pero no lo es, ya que siempre hay algún nuevo elemento matemático en cada hoja de trabajo, ya sea del tipo de valores numéricos que se emplean, o de algún nuevo elemento en la estructura algebraica. Por ejemplo, se transita de las funciones de la forma f(x) = x + a, f(x) = ax y f(x) = ax + b, a las inversas de esas funciones, o bien, del ámbito de las funciones lineales al de la ecuaciones lineales con una incógnita; inclusive, del ámbito de la producción de expresiones algebraicas para expresar la regla que gobierna el comportamiento de un patrón numérico, al de la lectura de esas expresiones. Te invitamos a que analices estas actividades bajo la perspectiva del tipo de aprendizaje matemático que pueden desarrollar los alumnos de educación básica. Nuestra mayor expectativa es que tu análisis se vea enriquecido cada vez que concluyas un bloque de actividades, con lo que desarrollarás competencias que en un futuro cercano pondrás en práctica como docente de educación básica.

1

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Desarrollo del pensamiento algebraico

Hoja de trabajo 1 Patrones numéricos: Valores de entrada y salida Un estudiante escribió en su calculadora una expresión algebraica que produce la siguiente tabla. Valor de entrada

Valor de salida

1

5

2

6

3

7

4

8

5

9

Si el valor de entrada es 1, el programa da por resultado 5; si introduce 2, da por resultado 6, y así sucesivamente 1. ¿Qué resultado dará la calculadora si escribes 6 como valor de entrada? ¿Si escribes 10 ?

¿Y si el valor de entrada fuera 0?

Explica qué operación hiciste para obtener esos resultados.  2. Construye en tu calculadora una expresión algebraica que produzca los mismos resultados. Escribe tu expresión en el siguiente recuadro.

3. Usa tu programa para encontrar los números que faltan en la siguiente tabla. Valor de entrada Valor de salida

17

35.02

89.73

107.06

299.1

307.09 511

613.03

4. Explica qué operaciones aritméticas hiciste para obtener los valores asociados a 511 y 613.03.    5. Comprueba que el valor que obtuviste para 511 es el correcto y explica tu procedimiento.   

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Bloque 1 • Uso del código algebraico para expresar las reglas que gobiernan los patrones numéricos

3

Hoja de trabajo 2 Valores proporcionales (1) Un estudiante escribió en su calculadora una expresión algebraica que produce la siguiente. Valor de entrada

Valor de salida

 7

14

 8

16

 9

18

15

30

18

32

1. ¿Qué resultado dará la calculadora si el valor de entrada es 5?

¿Si es 25?

¿Y si fuera 17? Explica qué operaciones aritméticas hiciste para obtener esos resultados.    2. Programa tu calculadora de manera que produzca la misma tabla. Escribe tu programa en el siguiente recuadro.

3. Utiliza tu programa para encontrar los valores que faltan en la siguiente tabla. Valor de entrada Valor de salida

25

37.03

59.83

117.18

136.1

200.79 551

653.38

4. Explica qué operaciones aritméticas hizo tu programa para obtener los valores de entrada 551 y 653.38.    5. Comprueba que el valor de entrada para 653.38 es correcto, y explica cómo lo obtuviste.   

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Desarrollo del pensamiento algebraico

Hoja de trabajo 3 Valores proporcionales (2) 1. Completa la siguiente tabla. Valor de entrada

Valor de salida

  2.5

  7.5

  3.1

  9.3

 4

12

  5.3

30

  6.2 47.4 73 2. Explica qué operaciones aritméticas hiciste para obtener los valores que faltan.   3. Programa tu calculadora para encontrar los valores de salida y escribe tu programa en el siguiente recuadro.

4. Comprueba que tu programa obtenga los mismos valores de la tabla.  5. Completa la siguiente tabla usando tu programa. Valor de entrada

9

17

18.04

47.01

50.4

63.9

Valor de salida

89.1

92.4

6. Explica qué operaciones aritméticas hizo tu programa para obtener los valores de entrada asociados a 89.1 y 92.4.    7. Comprueba que el valor de entrada para 92.4 es correcto y explica cómo lo obtuviste.   

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Bloque 1 • Uso del código algebraico para expresar las reglas que gobiernan los patrones numéricos

5

Hoja de trabajo 4 Reglas de dos pasos (1) Un estudiante creó un programa que produjo la siguiente tabla. Valor de entrada

Valor de salida

1.1

  3.2

2.6

  6.2

3

 7

4.3

  9.6

5

11

1. ¿Qué valor de salida dará la calculadora si el valor de entrada es 50?

¿Si es 81?

¿Y si fuera 274? 2. Explica qué operaciones aritméticas hizo el programa para obtener esos resultados.    3. Programa tu calculadora de manera que produzca la misma tabla, luego escribe tu programa en el siguiente recuadro.

4. Usa tu programa para completar la siguiente tabla. Valor de entrada

12

16

Valor de salida

19.05

48.02

51.45

62.7 88.2

95.4

5. Ese estudiante afirma que puede usar el programa que hiciste para comprobar que 88.2 es el valor de salida correcto ¿Estás de acuerdo? Explica tu razonamiento. 6. Explica con la mayor precisión posible cómo puedes usar tu programa para comprobar que el valor que obtuviste para 95.4 es el correcto.   

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Desarrollo del pensamiento algebraico

Hoja de trabajo 5 Reglas de dos pasos (2) Un estudiante construyó un programa que presenta los valores de la siguiente tabla. Valor de entrada

Valor de salida

1

1

2

3

3

5

4

7

5

9

1. ¿Qué resultado dará la calculadora si el valor de entrada es 6? ¿Si es 7?

¿Si es 15?

2. Explica qué operaciones aritméticas hizo el programa para obtener esos valores.   3. Programa tu calculadora para que produzca la misma tabla que el estudiante. Escribe tu programa en el siguiente recuadro.

4. Escribe detalladamente cómo compruebas que tu programa produce los mismos valores de salida que se muestran en la tabla.    5. Usa tu programa para completar la siguiente tabla. Valor de entrada Valor de salida

10

11

15

27 25

259.14 137

6. Comprueba que el valor de entrada para 137 es correcto y explica cómo lo obtuviste.   

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Bloque 1 • Uso del código algebraico para expresar las reglas que gobiernan los patrones numéricos

Hoja de trabajo 6 Patrones con valores negativos (1) 1. Completa la siguiente tabla. Valor de entrada

–10

–9.7

–7.8

–6.2

Valor de salida

–9.5

–9.2

–7.3

–5.7

–5.3

– 4.6

– 0.7

0

1.3

12.4

2. Programa tu calculadora para que complete la tabla. Escribe el programa en el siguiente recuadro.

3. Completa la siguiente tabla usando tu programa. Valor de entrada

–20

–14.7

Valor de salida

–13.8

–12.3

–9.6 –10.3

2.5 0

4. Usa tu programa para comprobar que los valores de entrada que obtuviste para –10.3 y 0 son correctos. ¿Obtuviste los mismos resultados?

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Si no, modifica tu programa e intenta de nuevo.

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Desarrollo del pensamiento algebraico

Hoja de trabajo 7 Patrones con valores negativos (2) 1. Encuentra los valores que faltan en la siguiente tabla. Valor de entrada

Valor de salida

–15

–16.5

–14.5

–16

–12.4

–13.9

–10.2

–11.7

  –5.8   –4.6   –0.9    0 2. Explica qué operaciones aritméticas hiciste para encontrar los valores que faltan en la tabla. Ofrece un ejemplo usando uno de los valores de entrada.   3. Programa tu calculadora para reproducir los valores de la tabla.   4. Escribe tu programa en el siguiente recuadro. Asegúrate de que permita encontrar los mismos valores que se muestran en la tabla.

5. Completa la siguiente tabla usando tu programa. Valor de entrada Valor de salida

–20

–13.8 –17.3

–10.83 –11.9

–.05 –9.72

10

6. Explica cómo usarías tu programa para comprobar que el valor de entrada que obtuviste para –9.72 es correcto.   

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Bloque 1 • Uso del código algebraico para expresar las reglas que gobiernan los patrones numéricos

9

Hoja de trabajo 8 Constante de proporcionalidad fraccionaria (1) Un grupo de estudiantes construyó la siguiente tabla usando un programa. Valor de entrada

Valor de salida

10.5

  5.25

14.42

  7.21

15.3

  7.65

16.7

  8.35

20.1

10.05

1. ¿Qué resultado producirá la calculadora si el valor de entrada es 6? ¿Si es 56?

¿Si es 19.3?

¿Y si fuera 177?

2. Explica cómo obtuviste esos resultados de manera que todos tus compañeros te entiendan.    3. Programa tu calculadora de manera que produzca la misma tabla y escribe tu programa en el siguiente recuadro.

4. Comprueba que tu programa obtiene los mismos valores de la tabla y explica cómo lo hiciste.   

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Desarrollo del pensamiento algebraico

Hoja de trabajo 9 Constante de proporcionalidad fraccionaria (2) Un estudiante produjo la siguiente tabla usando un programa en su calculadora. Valor de entrada

Valor de salida

 6

 9

 8

12

14

21

15

22.5

18

27

1. ¿Qué resultado dará la calculadora si el valor de entrada es 10? ¿Si es 13.4?

¿Y si fuera 15.6?

2. Explica cómo obtuviste esos resultados de manera que todos tus compañeros te entiendan.   

3. Programa tu calculadora de manera que produzca los mismos valores de la tabla y escribe en el siguiente recuadro el programa correspondiente.

4. Usa tu programa para completar la siguiente tabla. Valor de entrada Valor de salida

20

35 33

44 57

72 75

123

5. Explica cómo usarías tu programa para comprobar que el valor que encontraste para 57 es el correcto.   

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Bloque 1 • Uso del código algebraico para expresar las reglas que gobiernan los patrones numéricos

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Hoja de trabajo 10 Constante de proporcionalidad fraccionaria (3) 1. Encuentra los valores que faltan en la siguiente tabla y escríbelos en los espacios correspondientes. Valor de entrada

Valor de salida

 4

  4.04

 6

  6.06

 9

  9.09

10

10.1

12

12.12

15.5 17.8 19.2 20.4 50.2 2. Explica cómo encontraste el valor asociado a 15.5 de manera que todos tus compañeros lo entiendan.   

3. Programa tu calculadora para obtener los valores de la tabla y escribe tu programa en el siguiente recuadro.

Comprueba que tu programa produce los mismos números de la tabla. De lo contrario, modifícalo e intenta de nuevo.

4. Usa tu programa para completar la siguiente tabla. Valor de entrada Valor de salida

1

3.1 2.222

9 4.343

32 12.12

38.784

5. Explica cómo puedes comprobar que el valor que obtuviste para 38.784 es el correcto.   

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Desarrollo del pensamiento algebraico

Hoja de trabajo 11 Lectura de expresiones algebraicas (1) 1. Sin usar la calculadora, encuentra los valores que faltan en la siguiente tabla y escríbelos en la columna correspondiente. Valor de entrada

Valor de salida

 3  9 11.5 12 15 18 Un estudiante dice que va a usar el programa 2 + 2 × b para completar la tabla anterior. 2. Introduce ese programa en tu calculadora y comprueba que coincidan tus respuestas. De lo contrario, corrígelas y explica a qué se debió el error.  3. Con el programa 3 + 5 × a, completa, sin usar la calculadora, la siguiente tabla. Valor de entrada

2

4

5

8

Valor de salida

12 53

20 78

4. Nuevamente, introduce el programa en tu calculadora y úsalo para comprobar tus respuestas. ¿Coincidieron con los resultados de la calculadora? Si no fue así, ¿a qué crees que se deba?  5. Escribe en tu calculadora el programa (3 + 5) × a y completa la siguiente tabla. Valor de entrada

2

Valor de salida

4

5

8

12 53

20 78

6. Compara tus resultados con los de la tabla anterior. ¿A qué crees que se deban las diferencias? Explícalo con un ejemplo.  

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Bloque 1 • Uso del código algebraico para expresar las reglas que gobiernan los patrones numéricos

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Hoja de trabajo 12 Lectura de expresiones algebraicas (2) La siguiente tabla se produjo con un programa de la calculadora. Valor de entrada

Valor de salida

 7

23

 9

29

10

32

12

38

16

50

1. Un estudiante dice que el programa 2 + 3 × b le permite producir los valores de la tabla anterior. ¿Estás de acuerdo? Escribe un ejemplo que justifique tu respuesta.   2. Otra estudiante dice que el programa 2 + b + b × 2 también produce los valores de la tabla. ¿Estás de acuerdo? Escribe un ejemplo que justifique tu respuesta.   3. Una tercera estudiante dice que el programa 5 × a + 2 - 2 × a también produce los valores de la tabla. ¿Estás de acuerdo? Escribe dos ejemplos que justifiquen tu respuesta.   4. Escribe otros programas que permitan obtener los valores de la tabla. Anota todos los que encuentres.   

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Desarrollo del pensamiento algebraico

Hoja de trabajo 13 Reglas de dos pasos (3) Una estudiante hizo un programa que produce la siguiente tabla. Valor de entrada

Valor de salida

7

20

7.5

21.5

8.2

23.6

9

26

9.6

27.8

1. Si el valor de entrada es 10, ¿cuál será el de salida? Si el valor de entrada es 12, ¿cuál será el de salida? 2. La calculadora dio 17.5 como valor de salida, ¿cuál es el valor de entrada? Explica detalladamente qué hiciste para encontrar el valor asociado a 17.5.    3. Programa tu calculadora de manera que reproduzca la tabla anterior. Escribe el programa en el siguiente recuadro.

4. Usa tu programa para completar la siguiente tabla. Valor de entrada Valor de salida

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3

5.1 17

9.4 15.2

22 32.6

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Hoja de trabajo 14 Constante de proporcionalidad fraccionaria (4) Una estudiante hizo en su calculadora un programa que produce los siguientes valores. Valor de entrada

Valor de salida

10

2.5

15

3.75

20

5

25

6.25

30

7.5

1. Si el valor de entrada es 56, ¿cuál será el de salida? 2. Si la calculadora da 87 como valor de salida, ¿cuál será el de entrada? 3. Explica con detalle qué hiciste para encontrar el valor asociado a 87.   

4. Programa tu calculadora de manera que reproduzca la tabla. Escribe el programa en el siguiente recuadro.

5. Usa tu programa para completar la siguiente tabla. Valor de entrada Valor de salida

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3

5.1 1

9.4 1.65

22 2.7

8.75

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Desarrollo del pensamiento algebraico

Hoja de trabajo 15 Constante de proporcionalidad fraccionaria (5) Un estudiante hizo en su calculadora un programa que produce los siguientes valores. Valor de entrada

Valor de salida

2

 5

3

  7.5

4

10

5

12.5

1. Si el valor de entrada es 6, ¿cuál será el de salida? 2. ¿Y si el valor de entrada fuera 7, cuál valor nos daría? ¿Y si fuera 55? 3. La calculadora dio 35 como valor de salida, ¿cuál es el valor de entrada? 4. Explica qué operaciones aritméticas hiciste para encontrar el valor asociado a 35.    5. Programa tu calculadora de manera que reproduzca la tabla. Escribe el programa en el siguiente recuadro.

6. Usa tu programa para completar la siguiente tabla. Valor de entrada Valor de salida

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3

5.1 8.5

9.4 15.5

12.2 23.5

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Bloque 1 • Uso del código algebraico para expresar las reglas que gobiernan los patrones numéricos

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Hoja de trabajo 16 Constante de proporcionalidad fraccionaria (6) Esta tabla resultó de utilizar un programa que se hizo en una calculadora. Valor de entrada

Valor de salida

0.15

0.015

0.27

0.027

0.3

0.03

1.5

0.15

2.03

0.203

1. Si el valor de entrada es 10, ¿qué valor dará de salida? 2. Si la calculadora da 37 como valor de salida, ¿cuál debe ser el valor de entrada? 3. Explica qué operaciones aritméticas hiciste para encontrar el valor asociado a 37.    4. Comprueba que el valor asociado a 37 es el correcto y explícalo detalladamente.    5. Programa tu calculadora de manera que reproduzca la tabla. Escribe el programa en el siguiente recuadro.

6. Usa tu programa para completar la siguiente tabla. Valor de entrada Valor de salida

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3

5.1 0.4

9.4 0.63

12.2 1.18

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Desarrollo del pensamiento algebraico

Actividades sugeridas para el futuro docente 1. Con base en tu experiencia al realizar las actividades de este bloque, explica el desempeño de las tablas de valores en este acercamiento didáctico. ¿Puede sustituirse con otro tipo de recurso? Analiza ampliamente tu respuesta con tus compañeros. 2. Del mismo modo, explica el rol de un procesador algebraico en este acercamiento didáctico. ¿Puede sustituirse con otro recurso? Analiza ampliamente tu respuesta con tus compañeros. 3. En la presentación de este bloque de actividades se afirma que a través de ellas se transita del ámbito de las funciones lineales al de la ecuaciones lineales con una incógnita. Identifica en qué parte de las actividades se puede encontrar sustento para esa afirmación. Analiza tu respuesta con tus compañeros. 4. También se afirma que “se transita de las funciones de la forma f (x) = x + a, f (x) = ax y f (x) = ax + b, a las inversas de esas funciones”. Identifica en qué parte de las actividades se puede encontrar sustento para esa afirmación. Analiza tu respuesta con tus compañeros. 5. Hay otra aseveración, según la cual “se transita del ámbito de la producción de expresiones algebraicas para expresar la regla que gobierna el comportamiento de un patrón numérico, al de la lectura de esas expresiones”. Identifica en qué parte de las actividades se puede encontrar sustento para esta afirmación. Analiza tu respuesta con tus compañeros y tu profesor. 6. En la presentación de este bloque se mencionan las funciones de la forma f (x) = x + a, f (x) = ax y f (x) = ax + b. Indaga en fuentes bibliográficas o en Internet las definiciones de los siguientes conceptos: i) Dominio de una función. ii) Contradominio de una función. iii) Imagen de una función. iv) Regla de correspondencia de una función. Ejemplifica esos conceptos con extractos de las actividades que hayas realizado en este bloque.

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Bloque 2 Jerarquía de las operaciones aritméticas y transformación algebraica

L

 os propósitos centrales de las actividades de este bloque  son:

i) Abordar el concepto de jerarquía de las operaciones aritméticas como un recurso para construir y leer nuevas expresiones algebraicas que den lugar a otros patrones numéricos. ii) Utilizar los paréntesis como un recurso para modificar la jerarquía de las operaciones aritméticas. iii) Iniciar el estudio de la transformación y equivalencia de expresiones algebraicas. iv) Dotar de significado a las letras que se usan en las expresiones algebraicas al relacionarlas con los valores numéricos que los alumnos estudian en su paso por la educación básica. Las actividades de este bloque se sustentan en los conceptos que se abordaron en el bloque 1, de manera especial en los que se refieren a la construcción de un programa en la calculadora, la producción y lectura de expresiones algebraicas, y las nociones empíricas del concepto de valor numérico de un polinomio, los cuales se desarrollan al relacionar los valores de entrada con los valores de salida de una tabla. En este bloque se aprovecha la experiencia adquirida en la construcción y lectura de programas en la calculadora, para entrar de manera empírica al estudio de la jerarquía de las operaciones aritméticas, el uso de los paréntesis en operaciones aritméticas y en expresiones algebraicas, y la transformación de expresiones algebraicas. La jerarquía de las operaciones aritméticas es un antecedente relevante para abordar el estudio del álgebra. Su conocimiento y correcta aplicación permiten entender la estructura de una expresión algebraica, los términos que la constituyen, y con cuáles de ellos podemos realizar transformaciones algebraicas. Las actividades de este bloque te introducirán a ese tipo de tareas, y a lo largo de los bloques irás afinando tus conocimientos.

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Desarrollo del pensamiento algebraico

Hoja de trabajo 17 Expresiones algebraicas y jerarquía de las operaciones (1) 1. Un estudiante dice que el programa b × 4 + 1 produce los mismos valores de salida que el programa b × 5. ¿Estás de acuerdo? Justifica tu respuesta con un ejemplo.   2. Una estudiante construyó el programa m + 2 × 3 y dice que si el valor de entrada es 4, el valor de salida será 18. ¿Estás de acuerdo? Justifica tu respuesta con un ejemplo.   3. Otro estudiante dice que si m = 5, el programa m + 2 × 3 le dará 21 como valor de salida. ¿Estás de acuerdo? Justifica tu respuesta con un ejemplo.   4. Completa la siguiente tabla sin utilizar un programa en la calculadora. El programa es el siguiente: c + 5 × 2 Valor de entrada

2

5

Valor de salida

8 65

9

12 115

150

5. Ahora introduce ese programa en tu calculadora y úsalo para completar la tabla anterior. ¿Obtuviste los mismos resultados? Si no coinciden, explica detalladamente a qué se debió.   

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Bloque 2 • Jerarquía de las operaciones aritméticas y transformación algebraica

Hoja de trabajo 18 Expresiones algebraicas y jerarquía de las operaciones (2) 1. Escribe en tu calculadora el programa n + 2 × 3, y úsalo para completar la siguiente tabla. Valor de entrada

1

3

5

6

8

9

10

12

Valor de salida 2. Una vez completada la tabla observa los resultados y explica qué hace aritméticamente ese programa con cada valor de entrada.  3. Escribe ese programa en una forma más breve.  4. Un estudiante dice que ese programa hace lo siguiente con el valor de entrada: “primero suma 2 y luego multiplica el resultado de eso por 3”. ¿Estás de acuerdo?

¿Por qué?

  Si tu respuesta es negativa, ejecuta nuevamente el programa y analiza tus resultados. 5. Introduce en tu calculadora el programa (r - 1) × 3 y completa la siguiente tabla. Valor de entrada

2

4

5

7

8

10

Valor de salida 6. Observa los resultados que obtuviste y explica qué hace ese programa.    7. Una estudiante dice que ese programa hace lo siguiente con el valor de entrada: “primero resta 1 y luego multiplica el resultado de eso por 3”. ¿Estás de acuerdo? Explica tu respuesta.   

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Desarrollo del pensamiento algebraico

Hoja de trabajo 19 Uso de paréntesis (1) Un estudiante escribió en su computadora los programas a + 1 × 5 y (a + 1) × 5 1. ¿Producen los mismos valores de salida? Justifica tu respuesta.     2. Un estudiante quería escribir el programa a × 7, pero sin darse cuenta introdujo a × 11. Sin borrar a × 11, ¿qué escribirías antes o después de a × 11, para que diera los mismos valores de salida que a × 7? Demuestra tu respuesta.   3. Otra estudiante quería introducir el programa a × 5, pero sin darse cuenta escribió a × 11. Sin borrar a × 5, ¿qué teclearías antes o después de la expresión a × 11 para que dé los mismos valores de salida que a × 5? Demuestra tu respuesta.   4. Un estudiante quería introducir el programa k × 10, pero sin darse cuenta escribió k × 9. Sin borrar k × 9, ¿qué escribirías, antes o después de k × 9, de manera que se obtengan los mismos valores de salida que k × 10?  

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Bloque 2 • Jerarquía de las operaciones aritméticas y transformación algebraica

Hoja de trabajo 20 Transformación algebraica (1) 1. Escribe en tu calculadora el programa b × 5 + b × 6 y úsalo para completar la siguiente tabla. Valor de entrada

1

3

Valor de salida

4 37.4

6 50.6

71.5

88

Describe qué operaciones aritméticas hace ese programa con cada número de entrada.  2. Expresa más brevemente este programa, pero de modo que siga produciendo los mismos valores de salida.   3. ¿Cómo puedes comprobar que tu programa y el programa b × 5 + b × 6 son equivalentes? Explícalo de manera que no se te pueda objetar.   

4. Observa el programa d × 8 + d × 5. ¿Puedes expresarlo de manera más breve de modo que siga dando los mismos resultados? ¿Obtuviste alguna expresión más breve? Escríbela a continuación.   5. Un estudiante dice que el programa 4 × n - 2 × n + 5 × n da los mismos valores de salida que el programa 7 × n. ¿Estás de acuerdo? Justifica tu respuesta.   6. Un estudiante dice que los programas 9 × n - 4 × n - 2 × n y 3 × n dan los mismos valores de salida. ¿Estás de acuerdo? Justifica tu respuesta.   

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24

Desarrollo del pensamiento algebraico

Hoja de trabajo 21 Uso de paréntesis (2) Un estudiante creó un programa que hace lo siguiente: Primero resta 2 y luego multiplica por 3. Con ese programa creó la siguiente tabla. Valor de entrada

2

4

7

9.2

11

15.5

18.4

19.1

Valor de salida

0

6

10

21.6

27

40.5

49.2

51.3

1. Programa tu calculadora de manera que produzca los mismos resultados. Comprueba que funciona correctamente y escríbelo en el siguiente cuadro.

2. Un estudiante dice que el programa p + 5 × 4 primero suma 5 y luego multiplica por 4. ¿Estás de acuerdo? Justifica tu respuesta.    3. ¿Los programas (r + 2) × 3 y 3 × r + 6 dan los mismos valores de salida? Justifica tu respuesta con argumentos inobjetables.    4. La siguiente tabla se construyó con un programa en el que se usaron paréntesis. Valor de entrada

1

3

4

6

7

9

10

11

Valor de salida

4

8

10

14

16

20

22

24

Encuentra ese programa, pruébalo en tu calculadora y escríbelo en el cuadro que sigue.

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Bloque 2 • Jerarquía de las operaciones aritméticas y transformación algebraica

25

Hoja de trabajo 22 Paréntesis y jerarquía de las operaciones 1. Un estudiante dice que los programas (a × 2) + 2 y a × 2 + 2 producen valores de salida distintos para los mismos valores de entrada. ¿Estás de acuerdo?

.

Justifica tu respuesta.    2. Los programas (b + 2) × 2 y b + 2 × 2 producen los mismos valores de salida. ¿Estás de acuerdo? Justifica tu respuesta.    3. Explica para qué sirven los paréntesis en un programa. Hazlo de manera que tus compañeros entiendan fácilmente tu explicación e ilústrala con algunos ejemplos. 4. Subraya las expresiones en las que si quitas los paréntesis sigues obteniendo los mismos valores de salida. Utiliza tu calculadora para verificar que no haya ningún error. a) (3 × b) + 5

b) 3 × (a + 5)

c) (d + d) × 3

d ) (c + 4) + c

e) (k - 2) ÷ 3

f ) z - (2 ÷ 3)

g) (2 + p) - 1

h) (y + 4) ÷ 5

5. Escribe los paréntesis que hagan falta de manera que los resultados sean correctos. Usa tu calculadora para verificar que no haya ningún error. a) 5 + 3 × 4 = 32

b) 6 × 7 + 2 - 1 = 48

c) 6 × 7 + 2 - 1 = 53

d ) 4 + 8 ÷ 4 = 3

e) 3 × 6 + 4 = 18 + 12

f ) 5 × 3 + 4 = 15 + 20

g) 7 - 4 - 2 = 5

h) 6 + 8 - 7 - 5 = 10

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Desarrollo del pensamiento algebraico

Actividades sugeridas para el futuro docente   1. En la presentación de este bloque se menciona el estudio de la jerarquía de las operaciones aritméticas. Indica en qué actividades de este bloque se aborda dicho tema.   2. De igual modo se hace referencia al uso de los paréntesis como un recurso para modificar la jerarquía de las operaciones aritméticas. Construye cinco ejemplos para mostrar cómo empleas los paréntesis para modificar la jerarquía de las operaciones.   3. Propón cinco ejemplos donde muestres que se pueden ignorar los paréntesis sin afectar el resultado de las operaciones.   4. Presenta cinco ejemplos donde muestres que si se ignoran los paréntesis se afecta el resultado de las operaciones.   5. Con tus propias palabras, explica la función de los paréntesis en la producción de expresiones aritméticas y algebraicas.   6. Indaga en fuentes bibliográficas o en Internet en qué consiste la simplificación de términos semejantes de una expresión algebraica. Indica en qué actividades de este bloque se aborda dicho concepto.   7. También se habla de transformación de expresiones algebraicas. ¿Hay alguna relación entre dicha transformación y la simplificación de términos semejantes en una expresión algebraica? Analiza tu respuesta con tus compañeros y tu profesor.   8. En la presentación de este bloque se habla de la equivalencia de expresiones algebraicas. Indica en qué actividades de este bloque se aborda tal concepto.   9. ¿Qué significado has asignado a las letras que empleas en la construcción de un programa para la calculadora? Explica o ejemplifica tu respuesta lo más ampliamente posible. 10. Con base en tu experiencia con las actividades de este bloque, analiza con tus compañeros y tu profesor los aprendizajes que pueden construir los alumnos de educación básica al realizar estas actividades, y redacta un resumen de lo que consideres más relevante. 11. Asimismo, analiza con tus compañeros y tu profesor las dificultades que pueden tener los alumnos de educación básica con las actividades, y las estrategias que pueden ayudarles a prevenirlas o superarlas. Elabora un documento en el que expreses lo que a tu parecer sea más importante.

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Bloque 3 Expresiones algebraicas equivalentes

E

l principal propósito de este bloque es retomar los conocimientos adquiridos durante el bachillerato sobre la equivalencia de expresiones algebraicas, y agregar a tu formación como docente la oportunidad de analizar una propuesta didáctica en la que se introduce la equivalencia de expresiones algebraicas en el contexto de la equivalencia de funciones lineales. Al abordar el concepto de la equivalencia de expresiones algebraicas en el contexto de las funciones con el apoyo de un procesador algebraico como el de la calculadora, el estudio de ese concepto algebraico se traslada al ámbito de los números. Esto representa una ventaja didáctica porque favorece que los alumnos de educación básica realicen un “tránsito suave” de la aritmética al álgebra al manejar ésta en un ámbito más familiar. La propuesta de este bloque se apoya en las habilidades desarrolladas en los bloques anteriores para reconocer patrones numéricos y enunciar mediante una expresión algebraica la regla que los genera. En este bloque se presenta la vertiente sintáctica del código algebraico; en particular, se aborda lo referente a las reglas para transformar expresiones algebraicas. En las actividades las reglas de transformación se reducen a una sola, la cual consiste en considerar que dos expresiones algebraicas son equivalentes si tienen el mismo valor numérico para el mismo valor de la variable involucrada. La vertiente sintáctica es un complemento indispensable (reglas de transformación) para los aspectos semánticos del álgebra (significados para las expresiones algebraicas). La vertiente semántica nos permite expresar relaciones y generalizaciones mediante el código algebraico, y la vertiente sintáctica nos permite operar con los elementos de ese código (expresiones algebraicas). La investigación reporta que es indispensable que los alumnos dominen ambas vertientes a fin de que sean competentes en el uso del álgebra como herramienta de planteamiento y resolución de problemas, la cual se encuentra en el último bloque de este libro. Te invitamos a realizar las actividades de este bloque teniendo presente el tipo de aprendizajes que los alumnos de educación básica pueden construir, las dificultades que pudieran encontrar y las estrategias que podrías crear para prevenirlas y, en su caso, ayudarles a que las superen.

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28

Desarrollo del pensamiento algebraico

Hoja de trabajo 23 Expresiones algebraicas equivalentes (1) Un estudiante construyó un programa que produce la siguiente tabla. Valor de entrada

Valor de salida

1

4

1.5

6

3

12

5

20

1. Si el valor de entrada es 8, ¿cuál será el de salida ? ¿Si es 10?

¿Y si es 70?

2. Escribe las operaciones que hiciste para dar tus respuestas.    3. Programa tu calculadora de manera que produzca la misma tabla. Escribe tu programa en el recuadro.

4. Construye otro programa que produzca la misma tabla y escríbelo en el siguiente recuadro.

5. Construye otros tres programas que den el mismo resultado, y escríbelos en los siguientes recuadros.

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Bloque 3 • Expresiones algebraicas equivalentes

29

Hoja de trabajo 24 2 Expresiones algebraicas equivalentes (2) Un estudiante construyó un programa que produce siguiente tabla. Valor de entrada

Valor de salida

2

3

4

6

8

12

10

15

1. ¿Cuál será el valor de salida si el de entrada es 5? ¿Si es 6?

¿Y si es 15?

2. ¿Explica qué operaciones hiciste para obtener tus respuestas.    3. Construye un programa de modo que produzca la misma tabla. Pruébalo en tu calculadora y escríbelo en el siguiente recuadro.

4. Una estudiante dice que el programa b + b ÷ 2 también produce la tabla del inicio. ¿Estás de acuerdo?

Escribe dos ejemplos que justifiquen tu respuesta.

  5. Escribe otro programa como el anterior, que además produzca los valores que se muestran en la tabla. Pruébalo en tu calculadora y escríbelo en el siguiente recuadro.

6. Construye otros tres programas que produzcan los mismos valores de la tabla. Pruébalos en tu calculadora y escríbelos en los siguientes recuadros.

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30

Desarrollo del pensamiento algebraico

Hoja de trabajo 25 Expresiones algebraicas equivalentes (3) Observa la tabla que se muestra enseguida. Valor de entrada

Valor de salida

1

0.25

2

0.5

3

0.75

4

1

6

1.5

1. Programa tu calculadora de manera que produzca los mismos resultados de la tabla. Después de probar tu programa escríbelo en el recuadro.

2. Un estudiante dice que el programa (b + b) ÷ 8 también produe los valores de la tabla anterior. ¿Estás de acuerdo?

Escribe dos ejemplos que justifiquen tu respuesta.

   3. Construye otro programa que produzca los mismos valores de la tabla. Pruébalo en tu calculadora y escríbelo en el siguiente recuadro.

4. Construye otros tres programas que produzcan los valores de la tabla. Pruébalos en tu calculadora y escríbelos en los siguientes recuadros.

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Bloque 3 • Expresiones algebraicas equivalentes

31

Hoja de trabajo 26 Expresiones algebraicas equivalentes (4) Observa con atención los valores de entrada y de salida que se muestran en la siguiente tabla. Valor de entrada

Valor de salida

-1

-0.5

3

1.5

7.4

3.7

17

8.5

21

10.5

¿Cuál será el valor de salida si el de entrada es 5? ¿Y si es 6? ¿Cuál será el valor de entrada si el de salida es 20? 2. Programa tu calculadora de modo que produzca los mismos valores de la tabla anterior. Pruébalo en tu calculadora y escríbelo en el recuadro.

3. Escribe otro programa que produzca los mismos valores. Pruébalo en tu calculadora y escríbelo en el siguiente recuadro.

4. Una estudiante dice que el programa (r + r) ÷ 4 también produce los valores de la tabla. ¿Estás de acuerdo?

.

5. Construye otros tres programas que produzcan los mismos valores. Pruébalos en tu calculadora y escríbelos en los siguientes recuadros.

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32

Desarrollo del pensamiento algebraico

Hoja de trabajo 27 Expresiones algebraicas equivalentes (5)

Valor de entrada

Valor de salida

1. Construye en tu calculadora un programa, que complete los valores que faltan en la tabla de la derecha.

 4

 6

 6

 9

2. ¿Cuál será el valor de salida si el de entrada es 12?

10

15

12 ¿Si es 20? ¿Y cuál será el valor de entrada si el de salida es 60? 3. Un estudiante dice que el programa p × 3 ÷ 2 pro-

16

24

18 22

duce los valores que se muestran en la tabla anterior.

33 45

¿Estás de acuerdo? Presenta dos ejemplos que justifiquen tu respuesta.   4. Una alumna dice que el programa q + q ÷ 2 también produce los valores de la tabla. ¿Estás de acuerdo? Presenta dos ejemplos que justifiquen tu respuesta.   5. Construye otro programa que produzca los valores de la tabla. Verifícalo en tu calculadora y escríbelo en el siguiente recuadro.

6. Construye otros tres programas que produzcan los valores de la tabla; pruébalos en tu calculadora y escríbelos en los siguientes recuadros.

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Bloque 3 • Expresiones algebraicas equivalentes

33

Hoja de trabajo 28 Expresiones algebraicas equivalentes de dos pasos Una estudiante construyó un programa que produce los valores que aparecen en la suguiente tabla. Valor de entrada

Valor de salida

1

6

3

10

5

14

9

22

10 28 34 1. Construye en tu calculadora un programa que complete la tabla y anota los valores en los lugares correspondientes. 2. Ahora escríbelo en el siguiente recuadro.

3. Construye en tu calculadora otro programa que dé el mismo resultado. Verifícalo y escríbelo en el siguiente recuadro.

4. Construye en tu calculadora tres programas que produzcan los mismos valores de salida que el programa 3 × a ÷ 2. Verifícalos y luego escríbelos en los siguientes recuadros.

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34

Desarrollo del pensamiento algebraico

Hoja de trabajo 29 Programas equivalentes Llamamos programas equivalentes a aquellos que producen los mismos valores de salida que los valores de entrada. 1. Construye dos programas equivalentes al programa a × 1.    2. Un estudiante dice que el programa a × 1 es equivalente al programa a. ¿Estás de acuerdo? Introduce en tu calculadora los programas a y a × 1 y compara los valores que arrojan ambos programas. Escribe tus conclusiones en las siguientes líneas.     3. Construye en tu calculadora tres programas equivalentes al programa 3 × b. Verifícalos y escríbelos en los siguientes recuadros.

4. En la siguiente lista de programas, identifica los que sean equivalentes al programa b. Utiliza tu calculadora para comprobar tus respuestas. No debes tener ningún error. a ÷2 +a ÷2

4 ×b -4 ×b

5 ×c -4 ×c

b ÷b

1 ×d ×1

5. Identifica los programas que sean equivalentes al programa 1.5 × a. Utiliza tu calculadora para comprobar tus respuestas. No debes tener ningún error. 3 ×a ÷2

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b ×3 ÷2

6 ×c ÷4

2 ×b -b ÷2

d + 0.5 × d

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Bloque 3 • Expresiones algebraicas equivalentes

35

Hoja de trabajo 30 Programas equivalentes (2) 1. Construye dos programas que produzcan los mismos valores de la siguiente tabla. Valor de entrada

Valor de salida

1

1.25

3

3.75

4

5

8

10

10

12.5

16

20

2. Escribe los programas en los recuadros.

3. Construye seis programas que produzcan los resultados de la siguiente tabla. Valor de entrada

Valor de salida

1.2

1

4

1

5

1

12.33

1

28.9

1

4. Anota esos programas en los siguientes recuadros.

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36

Desarrollo del pensamiento algebraico

Hoja de trabajo 31 Lectura de expresiones algebraicas equivalentes Analiza el programa 2 + 3.5 × n. 1. ¿Cuál será el valor de salida si el de entrada es 5?  ¿Si es 10?

¿Y si es 44?

2. Construye otro programa que produzca los mismos valores que 2 + 3.5 × n. Verifica tu programa y luego anótalo en el recuadro.

3. Construye en tu calculadora tres programas que den los mismos resultados que 2 + 3.5 × n. Verifica que tus programas funcionen perfectamente y anótalos en los siguientes recuadros.

4. Construye en tu calculadora tres programas de manera que produzcan los mismos valores que el programa 1.02 × Z. Verifícalos y anótalos en los siguientes recuadros.

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Bloque 3 • Expresiones algebraicas equivalentes

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Actividades sugeridas para el futuro docente 1. ¿Por qué se hace tanto énfasis en que los alumnos de la escuela primaria estudien las operaciones aritméticas en el contexto de la resolución de problemas en situaciones que les sean familiares? Analiza tu respuesta con tus compañeros y tu profesor. 2. Debate con tus compañeros el rol del valor numérico de una expresión algebraica en la comprensión del concepto de equivalencia entre expresiones algebraicas. ¿Qué relación hay entre esto y el rol del entorno cotidiano en los problemas aritméticos que se le proponen a un alumno de primaria? 3. Con base en tu experiencia al realizar las actividades de este bloque, ¿qué significa para ti la letra que se usa en una expresión algebraica? Acompaña tu respuesta con algunos ejemplos. 4. ¿Qué significado le encuentras a una expresión algebraica? Acompaña tu respuesta con algunos ejemplos. 5. De acuerdo con tu experiencia, ¿para qué crees que sirvan las expresiones algebraicas? Acompaña tu respuesta con algunos ejemplos. 6. Analiza si es falsa o verdadera la siguiente afirmación: “Para que dos expresiones algebraicas sean equivalentes es necesario que contengan la misma literal”. Ilustra tu respuesta con varios ejemplos. 7. Consulta en distintas fuentes el significado de los siguientes términos: i) Polinomio en una variable. ii) Valor numérico de un polinomio. 8. Redacta un párrafo en el que expliques qué relación hay entre las actividades que realizaste en este bloque y los términos que se mencionan en el punto 6. 9. Indaga en las fuentes que consideres necesarias qué se entiende por “Simplificación de términos semejantes en una expresión algebraica”. Redacta en un párrafo qué relación hay entre esa simplificación y las actividades que realizaste en este bloque.

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Bloque 4 Representación algebraica de relaciones parte-todo

E

ste bloque de actividades se orienta al logro de dos grandes propósitos: (1) Introducir la producción de expresiones algebraicas para describir relaciones parte-todo, y (2) utilizar las expresiones algebraicas como herramienta para plantear y resolver problemas. La habilidad para representar algebraicamente relaciones parte-todo es de especial importancia en el planteamiento y resolución de problemas matemáticos en muchos contextos; por ejemplo, problemas que implican porcentajes y problemas geométricos. En este bloque abordarás algunos problemas clásicos de carácter geométrico. De igual manera que en los bloques de actividades anteriores, es de relevancia el apoyo que brinda un procesador algebraico como el de la calculadora. En estas actividades se aprovecha la estructura algebraica de las relaciones parte-todo para introducir el uso de números negativos y ampliar los conocimientos adquiridos en el bloque anterior. Te invitamos a abordar estas actividades teniendo en mente el tipo de competencias matemáticas que pueden desarrollar los alumnos de educación básica al resolverlas. Esta reflexión enriquecerá tu formación como docente, y nuestra mayor expectativa es que dicha experiencia fortalezca tus competencias matemáticas, lo cual será de gran utilidad en tu desempeño profesional.

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Desarrollo del pensamiento algebraico

Hoja de trabajo 32 ¿Cómo expreso la parte restante? En una ferretería hay carretes de un tipo de cable que se vende por kilo (kilogramo), y todos los carretes pesan lo mismo. Para saber cuánto cable queda en cada uno, el administrador de la ferretería construyó un programa que realiza lo siguiente: al introducir la cantidad de cable vendido, el valor de salida indica cuánto cable le queda a cada carrete. Cable vendido

Cable que queda

1.7

8.3

2.4

7.6

3.1

6.9

4.06

5.94

5.2

4.8

1. De acuerdo con la información de este programa, ¿cuántos kilos de cable hay en cada carrete?    2. Construye en tu calculadora otro programa que produzca los mismos valores de salida. Verifícalo y escríbelo en el recuadro.

3. Completa la siguiente tabla utilizando tu programa. Cable vendido

2.83

3.03

Cable restante

3.5

4.8 5.01

6.2

7.04

7.32

4. Comprueba que los valores que encontraste para 5.01, 6.2, 7.04 y 7.32 sean correctos. Explícalo de manera que todos tus compañeros lo entiendan.     

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Bloque 4 • Representación algebraica de relaciones parte-todo

41

Hoja de trabajo 33 El todo con respecto a sus partes (1) Una estudiante construyó un programa que produce la siguiente tabla. Valor de entrada

Valor de salida

1.3

18.7

2.5

17.5

3.8

16.2

4.4

15.6

5.9

14.1

1. Si el valor de entrada es 6, ¿cuál será el de salida? ¿Y si es 9?

¿Si es 7?

Explica qué operaciones hiciste para obtener los valores de salida.

   2. Programa tu calculadora de modo que obtengas el mismo resultado; verifica las respuestas y escribe tu programa en el siguiente recuadro.

3. Completa la siguiente tabla utilizando tu programa. 2.83

3.03

-3.5

-4.8 5.01

6.2

27.04

37.32

4. ¿Qué ocurre cuando el valor de entrada es un número negativo?    5. ¿A qué crees que se deba?   

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Desarrollo del pensamiento algebraico

Hoja de trabajo 34 Aplicaciones de la relación parte-todo (1) Hay varios trozos de cable, todos de 16 cm, que se requieren cortar en dos partes. En la siguiente figura se muestran algunas posibilidades. 4 cm

12 cm

11 cm

5 cm

3 cm

13 cm

9 cm

7 cm

6 cm

10 cm

14 cm

2 cm

1. Construye un programa de manera que si introduces la medida de una de las partes dé como resultado la medida de la otra. Escríbelo en el siguiente recuadro.

2. Describe el razonamiento que seguiste para construir el programa. Hazlo de manera que todos tus compañeros lo entiendan.    3. Completa la siguiente tabla utilizando tu programa. Valor de entrada Valor de salida

1.7

3.8 12.8

6.8 14.9

7.9 15.6

17.4

4. Comprueba que los valores que encontraste para los números 12.8, 14.9, 15.6 y 17.4 son los correctos.       

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Bloque 4 • Representación algebraica de relaciones parte-todo

43

Hoja de trabajo 35 Aplicaciones de la relación parte-todo (2) De una pieza cuadrada de cartón se hará una caja, recortando cuadrados en cada esquina y doblándolos luego hacia arriba para darle volumen. El tamaño de los cuadrados que se recorten determinará cuánto medirá la base y la altura de la caja, así como el volumen. Las figuras 1 y 2 muestran dos maneras posibles de armar la caja. Figura 1

Figura 2

1. ¿Cuánto mide por lado la pieza de cartón? ¿Cuál es su volumen?

¿Cuál es su área?

Explica las operaciones que hiciste para calcular el área y el volu-

men de la caja.   2. Completa la siguiente tabla usando los datos obtenidos. Caja

Figura 1

Figura 2

Área de la base Altura de la caja Volumen de la caja 3. Se requiere que la caja tenga el mayor volumen posible, pero únicamente puedes hacer un intento porque sólo se tiene esta pieza de cartón. Programa tu calculadora para obtener el volumen de cualquier caja que se pueda formar con esta pieza, dependiendo del corte de los cuadros en las esquinas. Escribe tu programa en el siguiente recuadro.

4. Usa tu programa para encontrar cuánto debe medir cada lado de la base y la altura de la caja para obtener el máximo volumen. Anota en el siguiente recuadro las medidas que encontraste. Lado de la base

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Altura de la caja

Volumen máximo

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Desarrollo del pensamiento algebraico

Hoja de trabajo 36 Aplicaciones de la relación parte-todo (3) De una pieza de cartón de forma rectangular, cuyo largo es de 38 cm y su ancho de 20 cm, se hará una caja, recortando cuadrados en cada esquina y doblándolos luego hacia arriba para darle volumen. El tamaño de los cuadrados que se recorten determinará cuánto medirán el largo y ancho de la base de la caja y también cuál será su altura. Las figuras 1 y 2 muestran dos maneras posibles de armar la caja Figura 1

Figura 2

1. Explica qué operaciones requieres para calcular el área de la pieza.  2. Explica qué operaciones tendrías que hacer para calcular el volumen de la caja una vez armada.  Completa la siguiente tabla. Caja

Largo=30; Ancho=12

Largo=32; Ancho=14

Área de la base Altura de la caja Volumen de la caja 3. Se requiere que la caja tenga el mayor volumen posible, pero únicamente se tiene esta pieza de cartón, y sólo puedes hacer un intento para obtener la caja con el máximo volumen. Construye un programa para obtener el volumen de cualquier caja que se pueda formar cortando cuadrados en las esquinas. Escribe tu programa en el siguiente recuadro.

4. Usa tu programa para encontrar cuánto debe medir cada lado de la base y la altura de la caja para obtener el máximo volumen. Anota en el siguiente cuadro las medidas que encontraste. Lado de la base

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Altura de la caja

Volumen máximo

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Bloque 4 • Representación algebraica de relaciones parte-todo

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Hoja de trabajo 37 El todo con respecto a sus partes (2) Dos estudiantes construyeron un programa que produce los siguientes valores. Valor de entrada

Valor de salida

1

0

2

-1

3

-2

4

-3

5

-2

1. Si el valor de entrada es 6, ¿cuál será el de salida? ¿Qué valor de entrada produce 17 como valor de salida?

¿Y si es 7?

    2. ¿Qué operaciones hiciste para obtener esos resultados? Explícalo mediante un ejemplo.      3. Programa tu calculadora de modo que haga lo mismo que el programa de los otros estudiantes y luego escríbelo en el siguiente recuadro.

4. Construye otro programa que produzca los mismos resultados. Pruébalo en tu calculadora y escríbelo en el siguiente recuadro.

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Desarrollo del pensamiento algebraico

Hoja de trabajo 38 ¡Ésta no es una relación parte-todo! Un estudiante creó un programa que produce esta tabla de valores. Valor de entrada

Valor de salida

1

4

2

9

3

14

4

19

5

24

1. Si el valor de entrada es 7, ¿cuál será el de salida?

¿Y si es 10?

¿Cuál es el valor de entrada si el valor de salida es 19? 2. Explica qué operaciones hiciste para obtener esos resultados.       3. Construye en tu calculadora un programa que produzca los mismos valores de la tabla. Verifica tu respuesta y escribe tu programa en el recuadro.

4. Construye un programa equivalente al que hiciste para contestar la pregunta anterior. Verifica tu programa y escríbelo en el recuadro.

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Bloque 4 • Representación algebraica de relaciones parte-todo

47

Hoja de trabajo 39 ¡Ésta tampoco es una relación parte-todo! 1. Un estudiante construyó un programa que produce de esta tabla de valores. Valor de entrada

Valor de salida

1

-1.5

2

-2.5

3

-2.5

4

-3.5

5

-5.5

2. Si el valor de entrada es 7, ¿cuál será el de salida? ¿Y si es 8? ¿Qué valor de entrada produce -7 como valor de salida? 3. ¿Qué operaciones hiciste para obtener esos resultados?    4. Crea un programa que produzca los mismos valores de salida de la tabla. Verifica tu programa y escríbelo en el siguiente recuadro.

5. Construye dos programas equivalentes a tu programa. Verifica que funcionen correctamente y escríbelos en los siguientes recuadros.

6. Un estudiante dice que el programa -1 - (X + X) ÷ 2 produce los mismos resultados de la tabla. ¿Estás de acuerdo? Presenta dos ejemplos que justifiquen tu respuesta.   

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48

Desarrollo del pensamiento algebraico

Hoja de trabajo 40 Patrones decrecientes (1) Un estudiante construyó un programa que produce los valores de la siguiente tabla. Valor de entrada

Valor de salida

1

4

2

2

3

0

4

-2

5

-4

1. Una estudiante dice que el programa 6 - 2 × a produce también esos resultados. ¿Estás de acuerdo? Presenta dos ejemplos que justifiquen tu respuesta.   2. Construye dos programas equivalentes al programa 6 - 2 × a. Verifica que tus respuestas sean correctas y anota tus programas en los siguientes recuadros.

3. Un estudiante dice que el programa 6 - a + a es equivalente al programa 6 - 2 × a. ¿Estás de acuerdo? Justifica tu respuesta.     4. Si no estás de acuerdo, explica lo más claramente posible por qué 6 - a + a no es equivalente al programa 6 - 2 × a.     

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Bloque 4 • Representación algebraica de relaciones parte-todo

49

Hoja de trabajo 41 Patrones decrecientes (2) Un estudiante construyó un programa que produce los siguientes valores. Valor de entrada

Valor de salida

1

-1

2

-2

3

-3

4

-4

5

-5

1. Si el valor de entrada es 7.5, ¿cuál será el de salida? ¿Y si es 10.1? ¿Cuál es el valor de entrada si el de salida es 5.75? 2. Explica claramente lo que hiciste para obtener esos valores.    3. Crea en tu computadora un programa que produzca los mismos valores de salida de la tabla. Escríbelo en el siguiente recuadro.

4. Una estudiante dice que el programa a - 2 × a produe también los resultados de la tabla. ¿Estás de acuerdo? Justifica tu respuesta con dos ejemplos.    5. Construye dos programas que sean equivalentes al programa a - 2 × a. Escríbelos a continuación.    

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50

Desarrollo del pensamiento algebraico

Actividades sugeridas para el futuro docente 1. Analiza con tus compañeros y tu profesor las actividades de este bloque donde se aborda la relación parte-todo y concluyan en grupo en qué consiste esta relación. 2. Organiza equipos para redactar tres problemas que impliquen la relación parte-todo y que requieran un planteamiento mediante una expresión matemática. Intercambien los problemas propuestos y resuélvanlos. 3. Utiliza Excel u otro programa en tu calculadora que te permita construir las gráficas de las funciones (expresiones algebraicas) que generaste para resolver los problemas de las hojas de trabajo 35 y 36. Verifica qué tan cerca de los valores máximos de las gráficas están los valores que encontraste para el volumen máximo usando tu programa en la calculadora. 4. Con base en tu experiencia al completar las hojas de trabajo 32-36, analiza con tus compañeros y tu profesor las ventajas didácticas de este tipo de actividades en cuanto a favorecer las competencias matemáticas de los alumnos de educación básica. 5. Del mismo modo respecto a las hojas de trabajo 32-36, comenta con tus compañeros y tu profesor cuáles podrían ser los obstáculos que encuentren los alumnos de educación básica y propón alguna estrategia para ayudarles a superarlos. 6. Inclusive, al completar las hojas de trabajo 37-41, comenta con tus compañeros y tu profesor las ventajas didácticas de estas actividades en cuanto a favorecer las competencias matemáticas de los alumnos de educación básica. 7. Finalmente, en cuanto a las hojas de trabajo 37-41, comenta con tus compañeros y tu profesor cuáles podrían ser los obstáculos que encuentren los alumnos de educación básica y propón alguna estrategia para ayudarles a superarlos.

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Bloque 5 Inversión de funciones lineales

E

l propósito central de este bloque de actividades es introducir la noción de función inversa, aprovechando la familiaridad que se ha desarrollado en los bloques anteriores con el manejo de la noción de función lineal. La noción de función inversa se ha sugerido de manera sistemática en los bloques anteriores en actividades donde se pide encontrar el valor de entrada a partir de que se conoce el valor de salida. Para dar respuesta a esas preguntas se aplican las operaciones asociadas a la estructura de la expresión algebraica que corresponde a la función inversa del programa con el que se trabajó en dichas actividades. La construcción de la función inversa a una función dada es una relación entre funciones de mucha importancia para el estudio del álgebra que se aborda en el bachillerato; en este bloque, esa relación sólo se toca de manera informal a fin de favorecer el desarrollo de las habilidades para resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita. Completa las actividades de este bloque teniendo en mente el tipo de aprendizajes y competencias matemáticas que desarrollan los alumnos de educación básica a medida que responden las preguntas. Asimismo, considera las dificultades con que pueden encontrarse, y las estrategias didácticas que emplearías para ayudarlos a superarlas.

51

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52

Desarrollo del pensamiento algebraico

Hoja de trabajo 42 Programas que invierten la tabla de valores (1) Un estudiante hizo un programa que produce los siguientes valores

Valor de entrada

Valor de salida

10.4

4.9

16

10.5

19

13.5

23.5

18

37

31.5

1. Construye en tu calculadora un programa que produzca los mismos valores de la tabla. Verifícalo y luego escríbelo en el siguiente recuadro.

2. Crea un programa que invierta lo que hace el programa de la actividad 1; es decir, que produzca los valores que se muestran en la siguiente tabla. Observa que los valores de entrada y salida están invertidos con respecto a los de la tabla inicial. Valor de entrada

4.9

10.5

13.5

18

31.5

Valor de salida

10.4

16

19

23.5

37

Escribe tu programa en el siguiente recuadro.

3. Explica tu razonamiento para construir un programa que invierte el programa planteado al inicio.   

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Bloque 5 • Inversión de funciones lineales

53

Hoja de trabajo 43 Programas que invierten la tabla de valores (2) Una estudiante construyó un programa que produce los valores de salida para los valores de entrada que se muestran en la siguiente tabla. Valor de entrada

Valor de salida

11.4

17.5

19

25.1

23.1

29.2

38

44.1

50

56.1

1. Crea en tu calculadora un programa que produzca los valores de la tabla. Verifícalo y escríbelo en el siguiente recuadro.

2. Construye un programa que haga lo inverso que el anterior; es decir, que produzca los valores que se muestran en la siguiente tabla. Valor de entrada

17.5

25.1

29.2

44.1

31.5

Valor de salida

11.4

19

23.1

38

37

3. Explica, de manera que todos tus compañeros te entiendan, tu razonamiento para construir el programa que “deshace” lo que creó el programa original.    4. Verifica que tu programa funcione de acuerdo con lo que se pide, y escríbelo en el siguiente recuadro de la derecha.

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54

Desarrollo del pensamiento algebraico

Hoja de trabajo 44 Programas inversos de dos pasos (1) 1. Encuentra el programa que produce los valores que se muestran en la siguiente tabla.

Valor de entrada

Valor de salida

0.13

0.26

0.17

0.34

0.65

1.3

3.8

7.6

9.28

18.56

Escríbelo en el recuadro.

2. Construye en tu calculadora un programa que haga lo inverso que el de la actividad anterior. Verifícalo y escríbelo en el recuadro de abajo.

3. Una estudiante dice que el programa m × 3 - 1 hace lo inverso que el programa m = 3 + 1. ¿Estás de acuerdo?

Presenta un ejemplo que justifique tu respuesta.

 4. Si no estás de acuerdo, escribe en el siguiente recuadro un programa que haga lo inverso que el programa m + 3 + 1.

5. Programa tu calculadora de modo que “deshaga” lo que hace el siguiente programa. n × 1.5 + 2 Escribe tu programa en el recuadro.

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Bloque 5 • Inversión de funciones lineales

55

Hoja de trabajo 45 Programas inversos de dos pasos (2) Algunos estudiantes hicieron un programa que produce los siguientes valores.

Valor de entrada

Valor de salida

3

5

7

13

10

19

11

21

15

29

1. Encuentra ese programa, pruébalo en tu calculadora y escríbelo en el recuadro de abajo.

2. Crea un programa que “deshaga” lo que hace el programa de la actividad 1; es decir, que produzca los valores que se muestran en la siguiente tabla. Valor de entrada

5

13

19

21

29

Valor de salida

3

7

10

11

15

Escribe tu programa en el recuadro de la derecha.

3. Construye en tu calculadora un programa que “deshaga” lo que hace el programa b × 3 + 1. 4. Verifica tu programa y escríbelo en el recuadro.

5. Explica con la mayor claridad posible cómo comprobaste que tu programa es correcto.  

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56

Desarrollo del pensamiento algebraico

Hoja de trabajo 46 Programas inversos en relaciones cuadráticas y relaciones de dos pasos 1. Encuentra un programa que produzca los valores de la tabla. Pruébalo en tu calculadora y escríbelo a continuación. 

Valor de entrada

Valor de salida

-3

9

-2

4

-1

1

1

1

3

9

5

25

7

49

9

81

11

121

2. Escribe tu programa en el recuadro.

3. Construye un programa que “deshaga” lo que produjo el programa cuyos valores aparecen en la siguiente tabla. Valor de entrada

4

25

49

64

100

Valor de salida

2

5

7

8

10

Escribe tu programa en este recuadro.

4. Construye en tu calculadora otros programas que “deshagan” lo que produce cada uno de los siguientes programas. Pruébalos, verifícalos, y escríbelos frente a los programas correspondientes. a) 1.5 × a + 1

d ) 3 × ( b - 4 ) ÷ 2

b) 0.5 × k - 1

e) 8 ÷ (c - 5) + 3

c) 2 + 0.25 × y 5. Explica detalladamente tu estrategia para invertir estos programas.  

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Bloque 5 • Inversión de funciones lineales

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Actividades sugeridas para el futuro docente 1. Consulta en diversas fuentes el tema de función inversa en el caso de las funciones lineales, y observa algunos de los ejemplos que encuentres. A partir de esta consulta contesta lo siguiente: a) ¿Qué relación encuentras entre lo que ahí observaste y las actividades que has realizado en este bloque? b) ¿Qué ventajas didácticas pueden asociarse al tratamiento informal que se hace del concepto de función inversa que se presenta en este bloque como antecedente al estudio formal de este tema? Analiza tus respuestas con tus compañeros y tu profesor. 2. Como una actividad de repaso de este bloque, encuentra el valor que falta en las siguientes igualdades. Utiliza tu calculadora para evitar cualquier error en tus respuestas. a) b + 1.03 = 24.7

b) m - 1.67 = 30.25

c) p - 12.22 = 4.05

b=

m=

p=

d ) 4.8 - r = 3.5

e ) 5.2 = 4 n n=

f ) 5 × b - 1 = 29

g) k - 1.5 = 6.2

h ) 2 × c = 11

i ) 3 × a + 1 = 121

k=

c=

a=

r=

b=

3. ¿Qué relación encuentras entre la actividad anterior y las que realizaste en este bloque? Comenta tus respuestas con tus compañeros y tu profesor. 4. Haz un breve ensayo en el que describas en qué aspectos se relaciona tu experiencia con las actividades de este bloque respecto a tu formación como docente.

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Bloque 6 El lenguaje del álgebra en la resolución de problemas y formulación de conjeturas

E

l propósito primordial de este bloque es ampliar el uso del código algebraico al planteamiento y resolución de problemas que implican los conceptos de área, perímetro y porcentaje, así como a la formulación de conjeturas sobre situaciones más abstractas relativas a las propiedades del sistema de numeración decimal y a la paridad de los números enteros. En la primera sección de las actividades se acude al apoyo visual de los patrones geométricos, el cual propicia el desarrollo de habilidades para identificar patrones numéricos más sofisticados. De la misma manera, se abordan situaciones que comprenden los conceptos de área y perímetro para introducir relaciones precio-costo que requieren la producción de expresiones algebraicas donde es necesario usar los paréntesis como signos de agrupación. En la tercera sección se abordan problemas que involucran el concepto de porcentaje. Incluso en estos casos es necesario emplear los paréntesis como signos de agrupación. El planteamiento y la resolución de los problemas propuestos en esta sección y en la anterior ya no descansa en el reconocimiento de un patrón numérico, sino en el establecimiento de relaciones entre los datos que se proporcionan y su representación mediante expresiones algebraicas. El elemento que se mantiene presente es la noción de función (programa) que se ha venido cultivando en los bloques 1-5. En la cuarta sección se plantean problemas en un contexto estrictamente matemático, los cuales implican la representación algebraica de las relaciones entre los dígitos de tipos específicos de números en el contexto del sistema de numeración decimal. La sección se cierra con problemas que invitan a formular conjeturas sobre la paridad de los números enteros. Como en los bloques anteriores, te invitamos a realizar estas actividades reflexionando de manera sistemática en el tipo de aprendizajes y competencias matemáticas que pueden desarrollar los alumnos de educación básica al resolverlas. Asimismo, considera los momentos en que pudieran tener dificultades, y las estrategias didácticas que puedes implementar para ayudarles a superarlas.

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Desarrollo del pensamiento algebraico

Hoja de trabajo 47 23 Patrones geométricos (1) Observa las siguientes figuras.

1. En el espacio indicado, dibuja las dos figuras que continúan en la sucesión.

a) ¿Cuántos cuadrados se necesitan para construir b) ¿Cuántos cuadrados se necesitan para construir la la figura que va en el lugar número 17? figura que va en el lugar número 100?

Observa que la figura 1 tiene un cuadrado; la figura 2 tiene tres cuadrados; la figura 3 tiene cinco cuadrados, y así sucesivamente. Con esos datos puedes hacer una tabla que te ayude a responder las preguntas. 2. Explica tu razonamiento para responder las preguntas a y b.     3. Construye en tu calculadora un programa que complete la siguiente tabla.

Lugar que ocupa la figura en la sucesión

Número de cuadrados que se necesitan

48 75 123 351 411 507 4. Escribe tu programa en la línea. 

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Bloque 6 • El lenguaje del álgebra en la resolución de problemas y formulación de conjeturas

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Hoja de trabajo 48 2 Patrones geométricos (2) Observa la siguiente sucesión de figuras.

1. En el siguiente espacio dibuja las dos figuras que continúan en la sucesión.

a) ¿Cuántos cuadrados se necesitan para construir la figura que va en el lugar número 9?

b) ¿Cuántos cuadrados se necesitan para construir la figura que va en el lugar número 17?

2. Explica tu razonamiento para responder las preguntas a y b.     3. Construye en tu calculadora un programa que complete la siguiente tabla.

Lugar que ocupa la figura en la sucesión

Número de cuadrados que se necesitan

48 75 123 427 469 601 5. Escribe tu programa en la línea. 

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Desarrollo del pensamiento algebraico

Hoja de trabajo 49 Patrones geométricos (3) Observa la sucesión de figuras.

1. En el siguiente espacio dibuja las dos figuras que continúan en la sucesión.

a) ¿Cuántos cuadrados se necesitan para construir b) ¿Cuántos cuadrados se necesitan para construir el marco del cuadrado gris en la figura que va el marco del cuadrado gris en la figura que va en el lugar número 27? en el lugar número 40?



2. Explica tu razonamiento para responder las preguntas a y b.    3. Construye en tu calculadora un programa que complete la siguiente tabla.

Lugar que ocupa la figura en la sucesión

Número de cuadrados que se usan en el marco

48 75 704 772 840 4. Escribe tu programa en la línea. 

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Bloque 6 • El lenguaje del álgebra en la resolución de problemas y formulación de conjeturas

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Hoja de trabajo 50 Ventanas En la sala de escultura del Museo de Arte Moderno las ventanas tienen estas características.

Presentan distintas medidas pero, en todas, la altura es el triple de lo que miden de ancho.

1. Construye en tu calculadora un programa que complete la siguiente tabla. Ancho de la ventana

0.75 m

0.86

1.28

Altura de la ventana

3.51

4.23

2. Los marcos de estas ventanas están hechos con una madera cuyo precio por metro es de $53.00. Con esta información, contesta las preguntas siguientes. a) ¿Cuánto cuesta el marco de una ventana de 1.5 metros de ancho?  b) Explica qué operaciones hiciste para calcular ese costo.   3. Construye un programa que te permita calcular el costo del marco de cualquiera de las ventanas de esa sala. Escribe tu programa en el siguiente recuadro.

4. Explica con claridad qué representa la literal que usaste en tu programa en términos de los datos del problema.   

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64

Desarrollo del pensamiento algebraico

Hoja de trabajo 51 Algo más sobre ventanas En la sala de pintura del Museo de Arte Moderno, las ventanas tienen las siguientes características.

Presentan distintas medidas pero en todas su altura es 50 cm menos que el triple de lo que miden de ancho.

1. Completa la siguiente tabla. Ancho

0.30 m

0.45 m

1.30 m

Altura

4.45 m

6.55 m

2. Los marcos de estas ventanas están hechos de una madera cuyo precio por metro es de $62.00. a) ¿Cuánto cuesta el marco de una ventana de 1.3 metros de ancho? b) Explica qué operaciones hiciste para calcular ese costo.   3. Construye en tu calculadora un programa para obtener el costo del marco de cualquiera de las ventanas de esa sala. Escribe tu programa en el siguiente recuadro.

4. Utiliza tu programa para completar la siguiente tabla. Ancho de la ventana

0.35 m

0.65 m

0.84 m

Altura de la ventana

120 m $334

5. Explica el razonamiento que seguiste para construir tu programa.   

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Bloque 6 • El lenguaje del álgebra en la resolución de problemas y formulación de conjeturas

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Hoja de trabajo 52 Maquetas En la sala de arquitectura del Museo de Arte Moderno se está presentando una exposición de maquetas con diferentes diseños para la construcción de un nuevo aeropuerto. Las maquetas están colocadas en mesas cuyas características son las siguientes. El largo de cada mesa es de un metro más que el doble del ancho. En la figura de la derecha se muestran las cubiertas de algunas mesas.

1. Construye en tu calculadora un programa para 2. La madera con que está construida la cubierta de las mesas cuesta $155.00 por metro cuadrado. Procompletar la siguiente tabla. grama tu calculadora para obtener el costo de la Ancho Largo cubierta de esas mesas. Escribe tu programa en de la mesa de la mesa la línea de abajo. 1.40 metros 2.55 metros 3.45 metros 2.75 metros 6.5 metros 4.4 metros 3. Construye un programa que te permita calcular el costo del marco para cualquiera de las ventanas de esa sala. Escribe tu programa en el recuadro de la derecha.

4. Para construir tu programa utilizaste una literal. Explica detalladamente qué representa esa literal en términos de los datos del problema.   

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Desarrollo del pensamiento algebraico

Hoja de trabajo 53 Rebajas En una tienda de libros y discos se hace la siguiente oferta.

TOcioDAmaLArcadoMERenCAla etiNCquÍAeta. EN O NT UE SC DE DE % 15 pre el bre so El descuento se aplica

1. Construye un programa para completar la siguiente tabla.

Precio en la etiqueta

Cantidad que se descuenta

Precio de oferta

$34.00 $18.75 $126.80 $28.50 $150.00 $72.35 $29.40 2. Construye en tu calculadora un programa para que haga lo siguiente. Al introducir el precio de etiqueta debe dar por resultado el precio de oferta. Escribe tu programa en el recuadro de la derecha.

3. Completa la siguiente tabla utilizando tu programa.

Precio en la etiqueta

Precio de oferta

$84.00 $28.75 $226.80 $29.60 $140.00 $142.80 $144.50 4. En tu programa usas una literal. Explica detalladamente qué significa esa literal en términos de los datos del problema.  

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Bloque 6 • El lenguaje del álgebra en la resolución de problemas y formulación de conjeturas

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Hoja de trabajo 54 ¡Descuento general! En una papelería se hace la siguiente oferta.

CAla etNiquCÍetAa. ER M LA DA TO EN TO EN CU ES D en E D do ca 18% a sobre el precio mar El descuento se aplic

1. Construye en tu calculadora un programa, y de acuerdo con la información dada completa la siguiente tabla.

Precio en la etiqueta

Cantidad que se descuenta

Precio de oferta

$14.40 $17.10 $23.40 $45.00 $26.10 $30.60 $46.80 2. Programa tu calculadora para que haga lo siguiente. Si el valor de entrada es la cantidad que se descuenta, el valor de salida debe ser el precio de oferta. Escribe aquí tu programa. 3. Programa tu calculadora para que haga lo siguiente: Si introduces la cantidad que se descuenta, debe dar como resultado el precio marcado en la etiqueta. Escribe luego tu programa. 4. Completa las siguientes tablas utilizando tus programas. a)

Cantidad que se descuenta

$15.40

$18.75

$8.90

$10.00

$14.35

$11.70

$6.75

$ 8.90

$8.40

$9.60

Precio de oferta b) Cantidad que se descuenta Precio marcado en la etiqueta 5. Para contestar la pregunta b) construiste un programa, ¿qué significa la letra que usaste, en términos de los datos del problema?  

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Desarrollo del pensamiento algebraico

Hoja de trabajo 55 Bienes raíces Una empresa de bienes raíces vende terrenos con las siguientes medidas.

F o n d o

El fondo del terreno mide 30 metros más que el doble del frente. Frente 1. Con esos datos construye en tu calculadora un programa y contesta lo siguiente.

2. El señor Pérez utilizó 132 metros de tela de alambre para cercar el terreno que compró. ¿Cuánto mide su terreno de frente y cuánto de fondo?  3. La señora Gómez necesitó 168 metros de tela de alambre para cercar el terreno que compró. ¿Cuánto mide su terreno de frente y cuánto de fondo?  4. La señora Rodríguez empleó 156 metros de tela de alambre para cercar el terreno que compró. ¿Cuánto mide su terreno de frente y cuánto de fondo?  5. El señor González compró un terreno que mide 76 metros de frente. ¿Cuántos metros de tela de alambre debe usar para cercar su terreno?  6. Explica tu razonamiento para responder las preguntas anteriores.    7. A continuación, escribe aquí tu programa. 

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Bloque 6 • El lenguaje del álgebra en la resolución de problemas y formulación de conjeturas

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Hoja de trabajo 56 ¿Si modifico el perímetro cambia el área? Una persona tiene un terreno junto a un arroyo. Compró 100 metros de tela de alambre para cercar la parte del terreno que no colinda con el arroyo. Su deseo es aprovechar que el arroyo limita un lado de su terreno y usar sus 100 metros de tela de alambre de manera que le quede un terreno rectangular con la mayor área posible, lo cual depende de la medida de sus lados. 1. Con lo anterior en mente, construye un programa que complete la tabla de la derecha.

Lado largo

Área del terreno

Lado corto

50 30 60 10 70 8 65 58 55.5 54.8 53.4 50.2 50.15

2. Programa tu calculadora para completar más rápidamente esa tabla. Escribe a continuación tu programa.

3. Anota las medidas del lado largo y las del lado corto del terreno para obtener la mayor área posible.

Lado largo =

m

Lado corto =

m

   Área =

m2.

4. Explica con claridad qué significa la literal que usaste en tu programa en términos de los datos del problema.   

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Desarrollo del pensamiento algebraico

Hoja de trabajo 57 Números palíndromos Observa los siguientes números. 131

1441

47874

1537351

327898723

1. Indica qué característica especial observas en ellos.  A este tipo de números se les llama números palíndromos. Un número palíndromo puede tener tres dígitos, o cuatro, o los que uno quiera. 2. Construye en tu calculadora un programa y completa la siguiente tabla con números palíndromos que contengan los dígitos que se indican en cada caso.

Números palíndromos Tres dígitos Cuatro dígitos Cinco dígitos Seis dígitos 3. Programa tu calculadora de manera que si introduces dos dígitos te dé por resultado un palíndromo de tres dígitos. Observa que en tu programa debes utilizar dos literales. Escribe tu programa en el siguiente recuadro.

4. Programa tu calculadora de manera que si introduces dos dígitos dé por resultado un palíndromo de cuatro dígitos. Escribe tu programa en el recuadro de la derecha.

5. Programa tu calculadora de manera que si introduces tres dígitos dé por resultado un palíndromo de seis dígitos. Escribe tu programa en el recuadro de la derecha.

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Bloque 6 • El lenguaje del álgebra en la resolución de problemas y formulación de conjeturas

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Hoja de trabajo 58 Números consecutivos Observa los siguientes números.

678

123

789

234

1. Indica qué característica especial observas en ellos.   2. Anota en los recuadros de abajo otros dos números que tengan la misma característica.

3. Programa tu calculadora de manera que si introduces sólo un dígito te dé por resultado un número de tres dígitos, como en los ejemplos anteriores. Escribe tu programa en el espacio de la derecha.

4. Programa tu calculadora de modo que produzca números como los que se muestran abajo usando como valor de entrada un número de un dígito. 1234

5678

4567

2345

3456

Escribe aquí tu programa.  5. Explica lo más claramente posible tu razonamiento para construir tu programa.    6. Construye un programa que produzca los siguientes números. 135

246

357

579

468

Escribe aquí tu programa:

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Desarrollo del pensamiento algebraico

Hoja de trabajo 59 Números pares e impares Se llaman números consecutivos aquellos enteros que van uno enseguida del otro, como 3 y 4, 11 y 12, 125 y 126. 1. Un estudiante dice que cada vez que suma dos números consecutivos el resultado es un número impar. ¿Estás de acuerdo con él? Justifica tu respuesta. 2. Construye un programa de manera que, si el valor de entrada es un número entero, el valor de salida sea la suma de ese número y su consecutivo. Anota tu programa en el espacio de abajo.

3. Una estudiante dice que cada vez que suma tres números consecutivos el resultado siempre es un múltiplo de tres. ¿Estás de acuerdo? Justifica tu respuesta. 4. Construye un programa de manera que si el valor de entrada es un número entero, te dé por resultado la suma de ese número y los dos que le siguen en la sucesión numérica. A continuación, escribe tu programa en el recuadro de abajo

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Bloque 6 • El lenguaje del álgebra en la resolución de problemas y formulación de conjeturas

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Hoja de trabajo 60 Conjeturas 1. Una estudiante dice que cada vez que multiplica dos números consecutivos el resultado es un número impar. ¿Estás de acuerdo? Justifica tu respuesta 2. Construye un programa de manera que si el valor de entrada es un número entero, el valor de salida sea el producto de ese número y su consecutivo. Escribe luego tu programa en el siguiente recuadro.

3. Un estudiante dice que cada vez que \suma dos números impares el resultado es un número par. ¿Estás de acuerdo? Justifica tu respuesta. 4. Construye un programa de manera que si el valor de entrada es cualquier número entero, el valor de salida siempre sea un número impar. A continuación escríbelo en el siguiente recuadro.

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Desarrollo del pensamiento algebraico

Hoja de trabajo 61 Un juego matemático 1. Piensa en un número entero que esté entre el 1 y el 10; a ese número súmale 10 y anota el resultado. Ahora réstale a 10 el número que pensaste y anota el resultado. Suma los dos resultados que anotaste, ¿qué resultado obtuviste? 2. Un estudiante dice que siempre que haga esto obtendrá 20. ¿Estás de acuerdo? Justifica tu respuesta. 3. Construye un programa que represente ese juego con números. A continuación, escríbelo en el recuadro de abajo.

4. En tu programa usaste una literal, ¿qué representa en términos de los elementos de ese juego? Explícalo de manera que todos tus compañeros lo entiendan.   5. Una estudiante dice que siempre dará lo mismo, no importa que empiece con un número mayor que 10. ¿Estás de acuerdo? Presenta dos ejemplos que justifiquen tu respuesta.   6. Otro alumno dice que puede empezar con cualquier número, ya sea negativo, positivo, e incluso con números decimales, y que siempre dará lo mismo. ¿Estás de acuerdo? Proporciona tres ejemplos que justifiquen tu respuesta.   7. Un estudiante que dice que a2 + a2 da los mismos valores que (a + b)2. ¿Estás de acuerdo? Presenta tres ejemplos que justifiquen tu respuesta.  

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Bloque 6 • El lenguaje del álgebra en la resolución de problemas y formulación de conjeturas

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Actividades sugeridas para el futuro docente 1. Elabora una matriz que permita ver en cuáles de los bloques 1 a 6 se aborda el desarrollo de las habilidades y nociones matemáticas e indica en cada celda de la matriz el nivel en que se abordan: i) introductorio, ii) de fortalecimiento, o iii) de aplicación. (  (  (  (  (  (  (  (  (  (  (  ( 

) Reconocimiento de patrones numéricos. ) Expresión algebraica de la regla que gobierna el comportamiento de un patrón numérico. ) Noción de función lineal. ) Equivalencia de expresiones algebraicas. ) Noción de función inversa de una función lineal. ) Lectura de expresiones algebraicas que contienen paréntesis. ) Producción de expresiones algebraicas que contienen paréntesis. ) Simplificación de términos semejantes. ) Noción de ecuación. ) Uso de funciones lineales para plantear y resolver problemas. ) Uso de números con signo en el reconocimiento de patrones numéricos y/o resolución de problemas. ) Uso de números fraccionarios en el reconocimiento de patrones numéricos y/o resolución de problemas.

2. Indaga en diversas fuentes a qué se le llama “paridad de los números enteros” y qué aplicaciones tiene esta noción en la resolución de problemas. Comenta con tus compañeros y tu profesor lo que hayas encontrado. 3. En un breve ensayo presenta el tipo de aprendizajes y competencias matemáticas que pueden desarrollar los alumnos de educación básica al realizar este tipo de actividades. 4. Presenta en un documento breve tus reflexiones sobre el tipo de competencias docentes que desarrollaste al realizar las actividades de este bloque.

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Bloque 7 Noción de función inversa

E

n este bloque se aborda el estudio de la función inversa de una función con base en el apoyo visual que brinda el ambiente gráfico de la calculadora. Éste es el primer acercamiento a la lectura y construcción de gráficas que se hace en este libro. Se acude a los conocimientos y habilidades previamente desarrollados para realizar conexiones entre las representaciones algebraica, tabular y gráfica de una función. A lo largo de las hojas de trabajo se identifican propiedades importantes de las funciones inversas, por ejemplo, la simetría entre sus gráficas respecto a la función y = x y la relación entre su dominio y contradominio. En las actividades se aprovechan los recursos que ofrece la calculadora algebraica para estudiar las distintas representaciones de una función. Mediante este acercamiento didáctico se pretende propiciar el desarrollo de habilidades cognitivas como la exploración, la experimentación y la formulación de conjeturas a través de la visualización, lo cual permite establecer una mediación entre el cuerpo de conocimientos y el estudiante. Las hojas de trabajo abordan aspectos directamente relacionados con la educación básica, entre los que destaca el uso de tablas, ecuaciones y gráficas en el plano cartesiano. El paso de una a otra de estas formas de representación provee recursos valiosos para la comunicación de ideas matemáticas y la resolución de problemas. Lo anterior se orienta al fortalecimiento de las competencias para el uso de tecnología con fines educativos por parte de los futuros profesores.

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Desarrollo del pensamiento algebraico

Hoja de trabajo 62 Tablas, expresiones algebraicas y gráficas 1. Escribe en la siguiente línea el programa que construiste en la hoja de trabajo 42 del bloque 5 para obtener los valores de salida que se muestran en la tabla de la derecha.

Valor de entrada



Valor de salida

10.4

4.9

16

10.5

19

13.5

23.5

18

37

31.5

Ahora iniciarás el estudio de la construcción de gráficas en el plano cartesiano, con las cuales representarás la relación entre los valores de entrada y salida con que has trabajado hasta aquí. 2. Localiza en tu calculadora el editor para introducir la expresión algebraica con que construirás la gráfica. De ahora en adelante llamaremos funciones a esas expresiones algebraicas; también toma en cuenta que siempre que introduzcas esas expresiones en la calculadora debes utilizar la literal x. 3. La expresión y = x - 5 representa la relación entre los valores de entrada y los de salida; estos últimos dependen del valor de x.

4. Despliega en tu calculadora la gráfica de la función y = x - 5; asegúrate de que sea como la siguiente.

La escala en los ejes cartesianos es 1. 5. En la hoja de trabajo 42 del bloque 5 también encontraste la expresión algebraica para invertir lo que hace la expresión de la actividad 1 de esta hoja. Anótala a continuación. Su tabla de valores es la siguiente. Valor de entrada

4.9

10.5

13.5

18

31.5

Valor de salida

10.4

16

19

23.5

37

6. Construye en tu calculadora, sin borrar la gráfica que hiciste en la actividad 3, la gráfica de la función de la actividad 4 y dibújala en el plano cartesiano de la actividad 3. Observa las dos gráficas en la misma pantalla y responde las siguientes preguntas. a) ¿Qué semejanzas encontraste entre la función y = x - 5 y la que la invierte?  b) ¿Qué diferencias encontraste entre las gráficas de la función y = x - 5 y la que la invierte? 

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Bloque 7 • Noción de función inversa

Hoja de trabajo 63 Gráficas de una función lineal y su inversa (1) 1. Construye en tu calculadora la siguiente gráfica y anota la función que usaste.

y=

2. Completa la siguiente tabla utilizando la información de la gráfica y la función de la actividad anterior. Utiliza la tecla TRACE (Traza) para recorrer la gráfica y desplegar las coordenadas de los puntos por los que pasa el cursor. x y

-8

-5

-4

-2

-1

0

1

3

3. Reproduce la siguiente gráfica en la calculadora y escribe la función que usaste.

y=

4. Completa la siguiente tabla utilizando la información de la gráfica y la función de la actividad anterior. x y

-4

-1

0

2

3

4

5

7

5. Explica claramente qué relaciones encuentras entre las gráficas, la expresión algebraica y las tablas de las dos funciones.  6. Construye la gráfica de la función y = x y dibújala en el siguiente plano cartesiano, cuida de no borrar de tu calculadora las dos gráficas anteriores. Explica qué relación observas entre la gráfica de y = x y las dos anteriores.

La función y = x - 4 es la función inversa de y = x + 4. La gráfica de y = x es el eje de reflexión de las gráficas de una función y su función inversa.

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Desarrollo del pensamiento algebraico

Hoja de trabajo 64 Gráficas de una función lineal y su inversa (2) 1. Completa la siguiente tabla a partir de la siguiente gráfica. La escala en los ejes X y Y es 1.

x y

-2

-1.5

-1

0

0.5

1

2

2.5

2. Reproduce en tu calculadora la gráfica anterior y anota el programa en el recuadro. y= 3. Sin borrar lo que construiste en tu calculadora, construye la gráfica de la función inver­sa de la función de la actividad anterior y reprodúcela en el plano de la actividad 1. Explica claramente qué relaciones observas entre las gráficas.   4. Escribe en el recuadro la función que encontraste para responder a la actividad 3. y= 5. Completa la siguiente tabla utilizando la función de la actividad anterior. x y

-4

-3

-2

0

1

2

4

5

6. Explica qué relación observas entre los valores de las tablas de las actividades 1 y 5.   7. Sin borrar en tu calculadora las gráficas anteriores, construye la gráfica de la función y = x, y dibújala en el plano de la actividad 1. ¿Consideras que la gráfica de y = x es el eje de reflexión de las otras dos?   8. ¿Cuál es la función inversa de y = -4x? Construye en tu calculadora las gráficas de ambas funciones. 9. ¿La gráfica de y = x es el eje de reflexión de las gráficas de la actividad anterior? Justifica tu respuesta. 

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Bloque 7 • Noción de función inversa

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Hoja de trabajo 65 Gráficas de una función lineal y su inversa (3) 1. Completa la siguiente tabla usando la función y = 2x + 3. x y

6

5.2

4.5

3.1

2.6

1

0

-1.5

-2.2

-3.4

-5.8

-6

2. Construye en tu calculadora la gráfica de la función anterior y reprodúcela en el siguiente plano.

3 3. Construye a continuación la tabla de la función inversa de y = 2x + 3; utiliza los valores de la tabla de la actividad 1. X Y 4. Construye la función inversa de y = 2x + 3 y anótala en el siguiente recuadro. Verifica tu respuesta comprobando en tu calculadora si la función que encontraste produce los valores de la tabla de la actividad anterior. y= 5. Construye en tu calculadora la gráfica de la función inversa y reprodúcela en el plano de la actividad 2. Observa las relaciones entre las gráficas. ¿La gráfica de la función y = x es eje de reflexión de las dos graficas? Justifica tu respuesta. 6. Un estudiante dice que la función inversa de y = 2x + 3 es y = x ÷ 2 -3. ¿Estás de acuerdo? Justifica tu respuesta. 7. Uno de sus compañeros dice que la función inversa de y = 2x + 3 es y = x -3 ÷ 2. ¿Estás de acuerdo? Justifica tu respuesta. 8. ¿Cuál es la función inversa de y = Explica cómo la obtuviste.

x =1 ? 1

 Construye en tu calculadora las gráficas correspondientes y comprueba que encontraste la función inversa. Explica con claridad lo que tuviste que observar en cada gráfica. 

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Desarrollo del pensamiento algebraico

Hoja de trabajo 66 Gráficas de una función cuadrática y su inversa (1) 1. Encuentra la función que produce los valores de salida de la tabla de la izquierda. Completa luego la tabla de la derecha con los valores que corresponden a la función inversa.

x 3.5 3 2.5 2 1 0

y 12.25 9 6.25 4 1 0

x

y



2. Escribe a continuación cada una de las funciones que encontraste en la actividad anterior.

Función inicial

y=

Función inversa

y=

3. Construye en tu calculadora la gráfica de cada una de esas dos funciones y reprodúcelas en el siguiente plano.

4. Anota las diferencias que observes entre la gráfica de la función inicial y la de su función inversa.  5. ¿A qué crees que se deban esas diferencias? Justifica tu respuesta. 6. Construye en tu calculadora la gráfica de y = x y reprodúcela en el plano anterior. ¿La función y = x es el eje de simetría de tus gráficas? Justifica tu respuesta. Observa que en la función y = x2 el valor de y es el mismo para ciertos valores de x. Por ejemplo, para x = 1 y x = -1; para x = 2 y x = -2, etcétera. Por esto diremos que este tipo de funciones no es “uno a uno”; cuando una función no es “uno a uno” su función inversa sólo está definida para determinados valores de x. 7. Construye la gráfica de la función inversa de y = x2 e indica para qué valores de x está definida.   8. ¿Cuál es la función inversa de y = 2x2? Comprueba tu respuesta construyendo en tu calculadora las gráficas necesarias.

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Bloque 7 • Noción de función inversa

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Hoja de trabajo 67 Gráficas de una función cuadrática y su inversa (2) 1. La siguiente gráfica corresponde a una función cuadrática. Construye en tu calculadora la gráfica de su función inversa y reprodúcela en el mismo plano. La escala en ambos ejes cartesianos es 1.

2. Comprueba que la gráfica que construiste corresponde a la de la función inversa.   3. Anota las funciones que usaste.

Función inicial

y=

Función inversa

y=

4. Explica detalladamente cómo encontraste la expresión algebraica de la función inversa.   5. ¿A qué crees que se deba que la calculadora sólo reproduce una de las ramas de la parábola cuando construyes la gráfica de la función inversa de y = x 2 + 1? Analiza tu respuesta con tus compañeros y con tu profesor.  6. Construye la gráfica de la función inversa de la función cuya gráfica es la siguiente, y reprodúcela en el mismo plano. La escala en los ejes cartesianos es 1.

7. Anota las ecuaciones que usaste.

Función inicial

y=

Función inversa

y=

8. Explica con toda claridad cómo encontraste la expresión algebraica de la función inversa. 

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Desarrollo del pensamiento algebraico

Hoja de trabajo 68 Inversa de funciones lineales y cuadráticas 1. Encuentra la función inversa de las funciones que corresponden a las siguientes gráficas; construye en el mismo plano sus gráficas y anota su ecuación. La escala en los ejes cartesianos es 1. Finalmente, comprueba gráficamente que la función que encontraste es la inversa. a) Función inicial y= Función inversa y=

b) Función inicial y= Función inversa y=

c) Función inicial y= Función inversa y=

2. Encuentra la función inversa de las siguientes funciones y describe el procedimiento que empleaste en cada caso. a) y = 3x2 - 4

b) y = 2x +1 + 3

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Bloque 7 • Noción de función inversa

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Actividades sugeridas para el futuro docente 1. Indaga en fuentes matemáticas la inversa de una función, y responde las siguientes preguntas: a) ¿Para qué tipo de funciones existe su función inversa? b) ¿Qué tan útil es saber encontrar la función inversa de una función dada? c) ¿Cómo se determina la función inversa de una función lineal? d ) ¿Cómo se determina la función inversa de una función cuadrática? 2. Compara en equipo los resultados de tu indagación con tu experiencia de completar las hojas de trabajo de este bloque; escribe un breve documento y preséntalo a tu grupo. 3. Redacta en equipo un ensayo sobre la pertinencia del uso de la calculadora en este bloque de actividades. Presenta dicho ensayo al grupo y coméntenlo con sus otros compañeros y su profesor. 4. Haz una lista de los contenidos matemáticos que se abordan en las hojas de trabajo de este bloque y relaciónalos con los que se proponen en los programas de educación básica. 5. A continuación: a) Selecciona algunas hojas de trabajo de este bloque para utilizarlas en una clase con alumnos de educación básica; haz las adecuaciones que consideres necesarias. b) Presenta a tus compañeros las hojas de trabajo que seleccionaste y toma nota de las observaciones que hagan sobre tu trabajo. c) Realiza una práctica con un grupo de educación básica y elabora un registro de lo sucedido, de manera especial en lo referente al tipo de aprendizaje logrado que hayas observado. d ) Comparte con el grupo tu experiencia en la práctica realizada. 6. Indaga en fuentes bibliográficas la función “raíz cuadrada”. Selecciona actividades que incluyan el uso de diferentes representaciones (tablas, expresiones algebraicas y gráficas) y organiza entre tus compañeros una sesión de trabajo con los materiales seleccionados. 7. Realiza en equipo una indagación en las fuentes que consideres pertinentes para dar respuesta a la siguiente pregunta: ¿Por qué la calculadora muestra solamente una rama de la parábola cuando construyes la gráfica de la función inversa de y = x2? Comenten sus conclusiones con su grupo y su profesor.

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Bloque 8 Funciones lineales: sus representaciones algebraica y gráfica

P

ropósitos centrales de las actividades de este bloque. i) Estudiar el comportamiento gráfico de funciones de la forma y = mx + b. ii) Estudiar los efectos sobre las gráficas del ajuste de la escala y el rango en el plano cartesiano. iii) Reconocer la pendiente de la recta como la razón entre el desplazamiento en el eje X y su correspondiente en el eje Y. iv) Estudiar la ecuación de la recta a partir de dos de sus puntos y de un punto y su pendiente. v) Identificar los conceptos de crecimiento y decrecimiento, explorando el comportamiento de pendiente de una recta. vi) Introducir el concepto de regresión lineal al encontrar “la mejor recta” para estudiar el comportamiento de una nube de puntos.

La propuesta didáctica de este bloque aborda el estudio de la ecuación de la recta y su representación gráfica; las actividades evolucionan paso a paso para centrar la atención en conceptos básicos como la ordenada al origen y la pendiente. El tratamiento algebraico y gráfico se basa en el uso de la representación algebraica y la representación gráfica de una recta, aprovechando las facilidades que ofrece el software para determinar una gráfica a partir de su ecuación, y viceversa. Este bloque amplía el estudio del plano cartesiano, abordando los conceptos de escala y rango. Por su carácter dinámico, estos aspectos cobran gran relevancia en el ambiente gráfico de la calculadora, pues bastan unos pequeños ajustes para producir distintas vistas de una gráfica. La calculadora es un elemento central en esta propuesta didáctica. La inmediata retroalimentación que la máquina ofrece permite que los estudiantes confirmen o refuten sus conjeturas, e induce a establecer una comunicación con la calculadora al utilizar el código algebraico y su correspondiente a la representación gráfica.

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Desarrollo del pensamiento algebraico

Hoja de trabajo 69 23 Un punto importante en una recta 1. Introduce en el editor de ecuaciones de tu calculadora la ecuación y = 2x + 5. Para contestar lo que se pide a continuación, construye la gráfica de esa ecuación empleando el editor de gráficas. 2. Reproduce la gráfica en el plano cartesiano. ¿Cuáles son las coordenadas del punto donde la gráfica corta al eje Y? 3. Determina la relación entre las coordenadas de ese punto y los valores numéricos que aparecen en la ecuación y = 2x + 5. 4. Construye la gráfica de la ecuación y = 3x - 4. ¿Cuáles son las coordenadas del punto donde esa gráfica corta al eje Y ? Justifica tu respuesta.  5. Explica la relación entre las coordenadas de ese punto y los valores numéricos que aparecen en la ecuación y = 3x - 4. 6. Una estudiante dice que la gráfica de la ecuación y = 4x + 3 corta al eje Y en el punto de coordenadas x = 0, y = 3. ¿Es correcto lo que dice? Justifica tu respuesta. 7. Anota las coordenadas del punto donde la gráfica de la ecuación y = 3x corta al eje Y. ¿Cómo modificarías esa ecuación para que su gráfica corte al eje Y en el punto de coordenadas x = 0, y = 2.5?  8. Modifica la ecuación y = 3x para que su gráfica corte al eje Y en el puno x = 0, y = -4.5. ¿Qué ecuación construiste? Justifica tu respuesta  9. Construye en tu calculadora cuatro ecuaciones cuyas gráficas corten al eje Y en el punto x = 0, y = 5.7. Escribe en las siguientes líneas las ecuaciones que usaste.







10. Un estudiante dice que la gráfica de la ecuación y = 5x - 4 corta al eje Y en el punto x = 0, y = 5. ¿Es correcto lo que dice? Justifica tu respuesta. 11. Inventa cuatro ecuaciones cuyas gráficas corten al eje Y en el punto x = 0, y = -4. Indica cuáles son esas ecuaciones y comprueba tus respuestas construyendo las gráficas en tu calculadora. 

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Bloque 8 • Funciones lineales: sus representaciones algebraica y gráfica

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Hoja de trabajo 70 Cambio de escala 1. Construye en tu calculadora la gráfica de la ecuación y = 2x + 3. a) Describe las coordenadas del punto donde la gráfica corta al eje Y. x= y= b) Describe las coordenadas del punto donde corta al eje X? x=



y=

2. Configura tu calculadora de modo que la pantalla pueda configurarse de distintas maneras para reproducir gráficas. Las siguientes figuras muestran la gráfica de la ecuación y = 2x + 3 con distintas escalas en el eje Y. En la parte superior de cada pantalla se indica qué escala se empleó para producir cada gráfica. Por ejemplo, si se ajusta la escala en el eje Y como “yscl = 2”, significa que cada marca en el eje Y vale 2 unidades, etcétera. Figura 1; yscl = 1

Figura 2; yscl = 2

Figura 3; yscl = 3

Figura 4; yscl = 0.5

a) Describe qué diferencias observas en las gráficas.  b) ¿Las coordenadas del punto donde cortan al eje Y son las mismas en todas las gráficas? ¿Por qué parecen ser distintos los puntos donde cada gráfica corta al eje Y?  Verifica tus respuestas utilizando la tecla TRACE de la calculadora.

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Desarrollo del pensamiento algebraico

Hoja de trabajo 71 Más sobre escalas y gráficas Las siguientes gráficas se trazaron usando una escala en la que cada marca en el eje Y equivale a cinco unidades y cada marca en el eje X equivale a dos unidades. 1. Escribe las coordenadas del punto don-

Figura 1

de la gráfica de la figura 1 corta al eje Y. 2. Escribe las coordenadas del punto donde la gráfica de la figura 1 corta al eje X.

3. ¿Cuáles son las coordenadas del punto

Figura 2

donde la gráfica de la figura 2 corta al eje Y? 4. Escribe las coordenadas del punto donde la gráfica de la figura 2 corta al eje X?

Figura3 5. Escribe las coordenadas del punto donde la gráfica de la figura 3 corta al eje Y. 6. Escribe las coordenadas del punto donde la gráfica de la figura 3 corta al eje X.

7. Reproduce exactamente esas gráficas en tu calculadora. Verifica tus respuestas usando la herramienta TRACE. ¿Todas tus respuestas fueron correctas? Justifica tu respuesta.   

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Bloque 8 • Funciones lineales: sus representaciones algebraica y gráfica

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Hoja de trabajo 72 El rango del editor de gráficas Se le llama rango del editor de gráficas a los valores máximo y mínimo que podemos asignar tanto en el eje X como en el eje Y. 1. Activa tu calculadora de modo que te muestre en la pantalla los valores mínimo y máximo en que esté configurado el editor de gráficas. Completa la siguiente tabla con los valores de tu calculadora en este momento. xmin =

xmin indica el valor mínimo en el eje X

xmax =

xmax indica el valor máximo en el eje X

ymin =

ymin indica el valor mínimo en el eje Y

ymax =

ymax indica el valor máximo en el eje Y

2. Construye la gráfica de la ecuación y = 2x + 3 y anota las coordenadas de los puntos en que cortan al eje X y al eje Y. 3. Ahora configura el rango con la tecla RANGO de tu calculadora con los siguientes valores y observa de nuevo la gráfica de la ecuación y = 2x + 3. xmax = 20 ymax = 30

xmin = -20 ymin = -30

Describe lo que ocurre cuando cambias el rango del editor de gráficas.  4. Construye en tu calculadora las gráficas de las ecuaciones y = 2x + 30 y y = 40 - 3x. Esas gráficas se cortan en un punto, pero no podrás verlo en la pantalla. a) Ajusta el rango y la escala de la pantalla del editor de gráficas para que puedas ver en qué punto se cortan esas gráficas. b) Usa la tecla TRACE para encontrar las coordenadas del punto donde se cortan esas gráficas. ¿Cuáles son las coordenadas del punto de intersección? 5. Construye una ecuación de modo que su gráfica no se vea en la pantalla debido a cómo está definida la escala en el editor de gráficas y a los valores máximos y mínimos asignados para los ejes X y Y. ¿Qué ecuación construiste? Justifica tu respuesta.  6. Describe cómo ajustarías el rango de tu calculadora para que la gráfica sea visible.   7. Configura el rango de la calculadora para que puedas ver la gráfica de la ecuación y = 10 -x sólo en el primer cuadrante del plano cartesiano. Anota los valores que tuviste que usar.

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xmin =



xmax =

ymin =



ymax =

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Desarrollo del pensamiento algebraico

Hoja de trabajo 73 Figura 1

Rectas que “crecen” 1. Construye en tu calculadora la gráfica de la ecuación y = x. que se muestra en la figura 1. En la figura se han destacado algunos puntos. No tienes que reproducirlos, sólo son una ayuda para leer la gráfica. 2. Describe las coordenadas de los puntos resaltados en la gráfica.  3. ¿A qué crees que se deba la relación que observas entre los valores de la primera y la segunda coordenadas de esos puntos? Descríbela a continuación.   Figura 2

4. En la figura 2 se muestra la gráfica de la ecuación y = 2x. Constrúyela en tu calculadora. Se han resaltado algunos puntos de la gráfica, ¿cuáles son las coordenadas de esos puntos? 5. Una estudiante dice que en esa gráfica los valores de y son el doble de los valores de x. ¿Es cierto? Describe la relación entre lo que dice y el que la gráfica se haya construida usando la ecuación y = 2x. 

6. Completa la siguiente tabla usando la ecuación y = 5x. Describe la relación entre los valores de x y y.  X

-2.5

Y

1.5

-2

2

3

4.5

-7.5

7. Cuando se localizan las coordenadas de un punto, se cuenta cuántas unidades se avanza sobre el eje X y luego cuántas se sube o baja sobre el eje Y, con respecto al origen del plano cartesiano. Traza la gráfica de la ecuación y = 4x. ¿Cuántas unidades “sube” la gráfica en el eje Y por cada unidad que “avanza” sobre el eje X a partir del origen del plano?

Encuentra una relación entre lo que “sube” y lo que “avanza”

la gráfica con la ecuación y = 4x, y descríbela Construye una gráfica en la que por cada unidad que “avance” sobre el eje X, “suba” 1.5 unidades sobre el eje Y. Describe la ecuación que usaste para construir esa gráfica.  Anota las coordenadas de tres puntos de tu gráfica.

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Hoja de trabajo 74 Figura 1

¿Qué gráficas “crecen” más rápido? En las figuras de esta hoja de trabajo la escala en los ejes X y Y es 1. 1. Describe cuál de las gráficas de la figura 1 “crece” más rápido. 2. ¿Cuál gráfica “sube” más lento? 3. La figura 2 muestra la gráfica de la ecuación y = 3x - 2. ¿Cuántas unidades “sube” la gráfica sobre el eje Y, mientras avanza

Figura 2

desde x = 0 hasta x = 1? 4. ¿Cuántas unidades “sube” la gráfica mientras avanza desde x = 1 hasta x = 2?  . 5. Describe la relación entre los términos de esa ecuación y el número de unidades que sube la gráfica en el eje Y con respecto a cada unidad que avanza sobre el eje  .

X.  

6. Construye en tu calculadora lo que se indica en cada caso. a) Dos gráficas que “crezcan” más rápido que la gráfica de y = x. ¿Qué ecuaciones usaste para construirlas?

 . Compruébalo con tu calculadora.

b) Dos gráficas que “crezcan” menos rápido que y = x. ¿Qué ecuaciones usaste para construirlas?  . Compara tus gráficas de calculadora con las de tus compañeros. c) Una gráfica que corte al eje Y en el punto x = 0, y = 3, y que suba 5.5 unidades por cada unidad que avanza sobre el eje X. ¿Qué ecuación usaste para construirla?

 . Compara tu respuesta con la de

tus compañeros y escribe tus conclusiones.   d ) Dos gráficas distintas que “crezcan” igual de rápido que y = 4x. ¿Qué ecuaciones usaste para construirlas?  7. Describe cómo son entre sí las gráficas que construiste.  

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Desarrollo del pensamiento algebraico

Hoja de trabajo 75 ¿Qué ecuaciones producen esas rectas? En las figuras de esta hoja de trabajo, la escala en los ejes X y Y es 1. 1. Construye en tu calculadora una gráfica idéntica

Figura 1

a la de la figura 1. Describe qué ecuación usaste para construirla. ¿Qué información obtuviste de la gráfica para encontrar esa ecuación?      2. Construye en tu calculadora tres gráficas idénticas a las de la figura 2.

Figura 2

¿Qué ecuaciones usaste para construirlas?       3. Construye en tu calculadora cuatro gráficas idén-

Figura 3

ticas a las de la figura 3. ¿Qué ecuaciones usaste para construirlas?     4. ¿Encontraste un “método” para obtener la ecuación que corresponde a cada gráfica? Descríbelo de manera que todos tus compañeros lo entiendan.  

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Hoja de trabajo 76 Figura 1

Gráficas que “decrecen” En las figuras de esta hoja de trabajo, la escala en X y Y es 1. La figura 1 muestra la gráfica de la ecuación y = -x + 2. 1. Escribe las coordenadas del punto donde la gráfica corta al eje Y. 2. ¿La gráfica “sube” si avanzas desde x = 1 hasta x = 2? Justifica tu respuesta.   

3. Una estudiante dice que esta gráfica “baja” cuando avanzas de izquierda a derecha sobre el eje de las X. ¿Estás de acuerdo?

¿Por qué?

Justifica tu respuesta.    4. La figura 2 muestra la gráfica de la ecuación y = -2x + 1. ¿Cuáles son las coordenadas de los puntos A, B y C?

Figura 2

 5. ¿Cuántas unidades avanzas sobre el eje de las X si te mueves desde el punto A hasta el punto B? 6. Describe cuántas unidades baja la gráfica sobre el eje Y verticalmente cuando te mueves de C a B.   7. Describe la relación entre lo que “baja” la gráfica por cada unidad al avanzar horizontalmente y su ecuación.        

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Desarrollo del pensamiento algebraico

Hoja de trabajo 77 Más sobre gráficas que “decrecen”

Figura 1 La escala en X y Y es 1

La figura 1 muestra la gráfica de la ecuación y = -x + 2. 1. Escribe cuáles son las coordenadas del punto donde la gráfica corta al eje Y. 2. ¿La gráfica “sube” si avanzas desde x = 0 hasta x = 2? 3. Una estudiante dice que esta gráfica “baja” cuando avanzas desde x = 0 hasta x = 2. ¿Estás de acuerdo? Presenta un ejemplo que justifique tu respuesta  4. La figura 2 muestra la gráfica de la ecuación y = -3x + 1. ¿Cuáles son las coordenadas de los puntos A, B y C?

Figura 2 La escala en X y Y es 1

  5. Describe cuántas unidades avanzas sobre el eje de las X si te mueves desde el punto A hasta el punto B.   6. Describe cuántas unidades baja la gráfica sobre el eje Y cuando te mueves desde C hasta B.  7. Describe si encuentras alguna relación entre lo que “baja” la gráfica con su ecuación y cuál es.  8. Construye en la calculadora una gráfica que “baje” como las anteriores y dibújala en el plano de la derecha. ¿Qué ecuación usaste para construir esa gráfica? ¿Cuántas unidades “baja” la gráfica sobre el eje Y cuando avanzas una unidad sobre el eje X? Justifica tu respuesta 9. Describe la relación entre lo que “baja” la gráfica y la ecuación que usaste.    

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Hoja de trabajo 78 Rectas y ecuaciones Reproduce en tu calculadora cada una de las gráficas que se muestran en las siguientes figuras. Anota en los espacios correspondientes las ecuaciones que usaste. La escala en los ejes X y Y es 1.

Ecuaciones:

Ecuaciones:

Ecuaciones:

Ecuaciones:

Ecuaciones:

Ecuaciones:

1. En las siguientes figuras sólo se marcaron algunos puntos. Construye en tu calculadora las gráficas que pasen exactamente por esos puntos. Anota en los espacios correspondientes las ecuaciones que utilizaste.

Ecuaciones:

Ecuaciones:

Ecuaciones:

Ecuaciones:

Ecuaciones:

Ecuaciones:

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Hoja de trabajo 79 Cuadriláteros 1. Reproduce en tu calculadora la figura 1 que un estudiante construyó, y anota en los siguientes espacios las ecuaciones que usaste.

Figura 1

    Figura 2

2. Construye en tu calculadora las gráficas de la figura 2. Anota a continuación las ecuaciones que usaste.   

3. Construye las gráficas de la figura 3 y anota las ecuaciones que usaste.

Figura 3

   

4. Describe, de manera que todos tus compañeros lo entiendan, cuál es la información más importante que te proporciona la gráfica para encontrar en la calculadora la ecuación que la produce.  Realiza en tu calculadora un diseño con rectas paralelas. Anota las expresiones que usaste y bosquéjalo en el siguiente plano cartesiano. Expresiones.       

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Hoja de trabajo 80 ¿Gráficas que no “crecen” ni “decrecen”?

Figura 1

La figura 1 muestra la gráfica de la ecuación y = 1. Constrúyela en tu calculadora y compárala con ésta. 1. Explica cuántas unidades “sube” la gráfica si te mueves desde x = 1 hasta x = 2. 2. Explica cuántas unidades “baja” la gráfica si te mueves desde x = 3 hasta x = 5. 3. Describe si encuentras alguna relación entre la ecuación que produce esa gráfica y el hecho de que no “suba” ni “baje” y determina cuál es.  4. Un estudiante dice que esa gráfica no “crece” ni “decrece” porque “no hay x en la ecuación”. Agrega que los valores de y no dependen de los valores de x. ¿Estás de acuerdo? Refuerza tus conclusiones con algunos ejemplos.  5. Otro estudiante dice que la ecuación y = 1 es equivalente a la ecuación y = 0 × x + 1. ¿Estás de acuerdo?

Justifica tu respuesta.

 Describe cómo consideras que afecta el cero en la ecuación respecto a lo que ves en su gráfica.   6. Construye en tu calculadora la gráfica de la ecuación y = 2x y describe qué efecto produce en la gráfica el 2 que aparece en la ecuación.  7. Observa la ecuación y = 3x. Sin construir la gráfica, ¿puedes decir cuánto subirá esa gráfica sobre el eje Y por cada unidad que avanza sobre el eje X?  3 3 8. Observa la ecuación y = x , y describe qué efecto produce en la gráfica el número . 2 2  Verifica tu respuesta construyendo la gráfica correspondiente. 9. Dibuja una gráfica que es una línea recta con las siguientes características. La gráfica sube 3.5 unidades en el eje Y por cada unidad que avanza sobre el eje X. Además, la gráfica corta al eje Y en el punto (0, -2.5). ¿Qué ecuación corresponde a esa gráfica? 

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Desarrollo del pensamiento algebraico

Hoja de trabajo 81 Rectas horizontales En las figuras de esta hoja de trabajo la escala en X y Y es 1. 1. Construye en la calculadora la gráfica de las siguientes ecuaciones y dibújalas en el plano de la derecha. y=0×x+2

y = 0x + 2 y=2

2. Un estudiante de otra escuela dice que con las tres ecuaciones anteriores obtiene gráficas iguales. ¿Estás de acuerdo? Justifica tu respuesta    3. Reproduce las siguientes gráficas en tu calculadora y anota las expresiones que utilizaste.



y=

y=

4. En la figura 1 aparecen las gráficas de las ecuaciones y = 1 y y = -1.5. Construye gráficas de manera que el

Figura 1

espacio entre las gráficas quede prácticamente negro. Anota a continuación algunas de las ecuaciones que hayas usado.       

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Hoja de trabajo 82 Puntos, rectas y ecuaciones 1. Encuentra la ecuación de la recta que pasa por los puntos que se muestran a continuación. La escala en X y Y es 1. Figura 1 2. Describe cuánto sube la gráfica sobre el eje Y cuando avanzas desde x = 1 hasta x = 3.    La figura 2 muestra los dos puntos que nos interesan y la gráfica de la ecuación y = 2x. Figura 2

3. Indica cómo debes modificar dicha ecuación para construir una recta que pase por esos dos puntos. Comprueba tu respuesta construyendo la nueva gráfica en tu calculadora. Escribe la ecuación que usaste para lograr que la recta pase por los dos puntos dados.   

4. Una alumna dice que esa gráfica sube 4 unidades en el eje Y cuando avanza 2 unidades sobre el eje X. Por lo tanto la gráfica sube 2 unidades en Y por cada unidad que avanza sobre X. Con base en esos datos, asegura que la ecuación de la recta que pasa por esos dos puntos debe empezar con y = 2x, pero falta sumarle algo para que “se suba” y no corte al eje Y en el punto (0, 0). ¿Tiene razón? ¿Cuánto hay que sumar? 5. No todos los puntos de la figura 3 están alineados. a) Primero observa qué coordenadas tienen los puntos dados y constrúyelas luego en tu calculadora. b) Construye en tu calculadora una recta que pase por el mayor número posible de esos puntos e indica por cuántos de esos puntos pasa la recta.

Figura 3 La escala en X es 1 y en Y es 2

  ¿Qué ecuación usaste? 6. Explica qué hiciste para encontrar la ecuación de la recta que construiste.  

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Desarrollo del pensamiento algebraico

Hoja de trabajo 83 Figura 1 Escala en X es 1. Escala en Y es 2

Nubes de puntos y rectas 1. Construye una recta que pase por el mayor número posible de puntos de la figura 1. ¿Qué ecuación usaste?  Compara tu recta con la de tus compañeros. ¿La que construiste pasa por más puntos que las que construyeron tus compañeros? Describe cómo puedes mejorar tu ecuación. Si encontraste una nueva ecuación escríbela aquí.

2. Describe el método que usaste para construir la recta que pasa por esos puntos.   3. Los siguientes datos muestran cómo ha crecido el número de habitantes en San Miguel. Año

1980

1982

1988

1992

1996

2000

2004

Habitantes

12 000

15 000

20 000

24 000

29 000

31 000

34 000

Construye una gráfica de puntos que represente esos datos. Considera 1980 como el año 1; 1982 como el año 2, y así sucesivamente. Puede serte útil expresar el número de habitantes millares; por ejemplo, 12 en lugar de 12 000. Ajusta adecuadamente los valores máximos y mínimos de tu pantalla, observando que no haya valores negativos en la tabla. Tu gráfica debe verse como la de la figura 2. Figura 2

4. Si la población de San Miguel sigue creciendo a ese ritmo, ¿cuántos habitantes tendrá en el año 2008?

¿Cuántos en el 2016?

¿Cuántos habitantes tenía, aproximadamente, en 1972?

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Hoja de trabajo 84 Nubes de puntos y predicciones

Figura 1

Las gráficas de la figura 1 muestran el número de habitantes de San José y de San Felipe de 1960 a 1990, en intervalos de cinco años. En San José ha venido creciendo la población, pero en San Felipe está disminuyendo drásticamente. La escala en el eje Y es 5, y en el X es 1. Las unidades sobre el eje Y están expresadas en unidades de millar. 1. ¿En qué año se esperaría que San José y San Felipe tengan el mismo número de habitantes? Justifica tu respuesta.  2. ¿En qué año se esperaría que la población de San José sea mayor que la de San Felipe? ¿Por qué?  3. ¿Aproximadamente cuántos habitantes tenía San José en 1960? De acuerdo con la forma en que ha venido aumentando esa población, ¿cuántos habitantes tenía en 1955? 4. ¿Aproximadamente cuántos habitantes más tenía San Felipe que San José en 1970? 5. Construye en tu calculadora dos rectas, una que pase por los más puntos posibles sobre la gráfica de los datos de San José, y la otra sobre los datos de San Felipe. ¿Qué ecuaciones utilizaste para construir esas rectas? 6. La figura 2 muestra los datos del movimiento de un automóvil entre las 8:00 y las 14:30 horas a intervalos de media hora (eje X ). La escala en el eje X es 0.5, y el origen corresponde a las 8:00. Los datos en el eje Y corresponden a la posición del automóvil en kilómetros recorridos, con una escala de 100 en el eje Y.

Figura 2

7. ¿Cuántos kilómetros recorrió el automóvil de las 8:00 a las 10:00 horas? ¿Cuántos entre las 11:00 y las 14:00 horas? ¿En qué momento retrocedió? ¿Cuántos kilómetros retrocedió? ¿A cuántos kilómetros por hora, en promedio, viajó el automóvil entre las 13:00 y las 14:30 horas? ¿Cuál fue la velocidad máxima que alcanzó durante todo el recorrido? ¿En qué intervalo llegó a esa velocidad?

¿En qué intervalo viajó más despacio y a qué

velocidad viajó durante ese tiempo?

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Desarrollo del pensamiento algebraico

Actividades sugeridas para el futuro docente 1. Describe la secuencia didáctica para el tema que se aborda en este bloque y comenta tu descripción con tus compañeros. 2. En equipo, haz un mapa conceptual del tema que se trata en este bloque y preséntalo a tu grupo. 3. Identifica las actividades que promueven el estudio de la ordenada al origen y elabora una presentación al respecto. 4. ¿En qué hojas de trabajo se aborda el estudio de la pendiente de una recta? Identifica tres ejemplos y elabora una presentación para analizarla con tu grupo. 5. ¿Cuál es la ecuación de cada una de las rectas que se describen a continuación? Registra el procedimiento que emplees en cada caso y discute tu trabajo con tus compañeros y tu profesor. a) Pasa por (0,-2) con pendiente 3. 1 b) Pasa por (0 , 0) con pendiente - . 2 c) Pasa por (-1 , 3) y (3, - 4). d ) Pasa por (0, 4) y (2, 0). e) Pasa por (1, 2) con pendiente 5. f ) Pasa por (-4,- 3) y (2,- 3). 6. Realiza en equipo una indagación en fuentes bibliográficas acerca de la ecuación de la recta y presenta tu trabajo al grupo. 7. Realiza las siguientes actividades. a) Mide la extensión de los brazos (medida a través de la espalda con los brazos extendidos para formar una “T”) y la estatura de diez personas. Con esos datos completa la siguiente tabla. Persona

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Extensión de los brazos Estatura b) Construye una gráfica de puntos con los datos de la tabla. c) ¿Qué tipo de relación observas que hay entre las dos medidas? Detalla tu respuesta. d ) Construye una recta que pase por la mayor cantidad de puntos. ¿Qué ecuación usaste? Compárala con la de tus compañeros. e) ¿Cuál es la estatura estimada de una persona cuya extensión de brazos es de 140 cm? ¿y para 165 cm? f ) Anota tus conclusiones acerca de la relación entre la extensión de brazos y la estatura de una persona. ¿A quiénes y para qué puede ser útil conocer la relación entre estas dos variables? 8. Investiga acerca del coeficiente de correlación y la regresión lineal. 9. ¿De qué manera contribuyen las actividades de este bloque al desarrollo de estos temas? Detalla tu respuesta y prepara una presentación. 10. Investiga otras situaciones cuyo modelo matemático sea una función lineal y preséntalas a tu grupo.

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Bloque 9 Funciones cuadráticas: su representación gráfica y algunas aplicaciones

L

os propósitos centrales de este bloque son los siguientes.

i) Estudiar las representaciones algebraica, gráfica y tabular de funciones cuadráticas de la forma ax2 + bx + c. ii) Identificar la parábola como la representación gráfica de funciones cuadráticas de la forma ax2 + bx + c. iii) Explorar el comportamiento gráfico de funciones cuadráticas de las formas y = ax2, y =ax2 + c, y = a(x + b)2 + c, y = ax2 + bx. iv) Desarrollar nociones de los conceptos de crecimiento, decrecimiento y máximo y mínimo de una función, mediante el estudio de su comportamiento gráfico. v) Introducir el concepto de regresión al encontrar “la parábola que mejor se aproxima” y “la recta que mejor se aproxima”, para estudiar el comportamiento de una nube de puntos.

En este bloque se aborda el estudio de funciones de la forma ax2 + bx + c; a las gráficas de esas funciones se les llama parábolas; el vértice de estas curvas determina sus valores mínimo o máximo, lo cual depende de que la parábola decrezca y después crezca, y viceversa. Las actividades que aquí se incluyen inducen el establecimiento de relaciones entre los parámetros de esas funciones y el comportamiento de sus gráficas. Esto conduce a la identificación de formas para producir diversas transformaciones en la parábola, como su traslación vertical y horizontal, la abertura de sus “ramas” o que “abra hacia arriba” o “hacia abajo”. Las hojas de trabajo presentan situaciones que pueden modelarse mediante una función cuadrática que refuerza el trabajo de las actividades del bloque anterior. El uso de los ambientes gráfico, algebraico y tabular de la calculadora facilita el paso de la representación algebraica o tabular de una función a su representación gráfica, lo cual favorece el desarrollo de habilidades para establecer relaciones entre estas formas de representación y las estrategias de traducción entre ellas. Dado que la calculadora permite producir una gran cantidad de representaciones en poco tiempo, el estudiante se motiva a acudir a estrategias de ensayo y error, y con el tiempo puede llegar a perfeccionar esos acercamientos intuitivos e inclusive crear métodos propios muy cercanos a los convencionales.

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Desarrollo del pensamiento algebraico

Hoja de trabajo 85 Un punto muy importante de la parábola

Figura 1

1. La gráfica que se muestra en la figura 1 es una parábola. Al punto destacado de la gráfica se le llama vértice de esa parábola. Escribe las coordenadas del vértice de esa parábola. 2. Construye esa gráfica en tu calculadora usando la ecuación y = x2. 3. Construye también el punto que corresponde al vértice de esa parábola. 4. Construye cuatro parábolas de manera que cada una tenga como vértice uno de los siguientes puntos: (x = 0, y = 3.5), (x = 0, y = 4.2), (x = 0, y = -2.45). ¿Qué ecuaciones usaste?  5. Describe los cambios que observaste en tus gráficas.   6. ¿A qué crees que se deban los cambios que observas en las gráficas que construiste? Explícalo de manera que todos tus compañeros lo entiendan.   7. Supongamos que el punto (x = 0, y = k) es el vértice de una parábola. De acuerdo con esta información, indica cuál ecuación produce esa parábola. 8. Observa que la gráfica de la ecuación y = x2 “decrece” cuando los valores de x son negativos, y “crece” cuando los valores de x son positivos. La figura 2 muestra la gráfica de y = -x2. Figura 2 a) ¿Para qué valores de x “crece” la gráfica de y = -x2? b) ¿Para qué valores de x “decrece” la gráfica de y = -x2? c) ¿Cuáles son las coordenadas del vértice de esta parábola? 9. Construye en tu calculadora una parábola cuyo vértice esté en el punto (0, 3.5), de manera que primero “crezca” y después “decrezca”. Escribe la ecuación que usaste y dibújala en el siguiente plano cartesiano. y=

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Bloque 9 • Funciones cuadráticas: su representación gráfica y algunas aplicaciones

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Hoja de trabajo 86 Más sobre parábolas 1. Reproduce en tu calculadora la gráfica de la figura 1.

Figura 1

2. Construye tres parábolas cuyo vértice esté arriba del vértice de la gráfica que acabas de construir, y tres cuyo vértice esté debajo. Anota las ecuaciones que usaste.   3. Escribe las ecuaciones de las gráficas de la figura 2. Escribe las ecuaciones de las gráficas de la figura 3. Figura 3

Figura 2

4. Construye en tu calculadora tantas gráficas como sean necesarias, de manera que prácticamente se vea oscurecido el espacio entre las gráficas de la figura 3. Escribe a continuación las ecuaciones de seis de las gráficas que construiste.  5. Un estudiante construyó en su calculadora la gráfica de la expresión y = x2 - 15 y dice que no tiene vértice. ¿Estás de acuerdo? Justifica tu respuesta.  6. Una estudiante dice que la gráfica de la expresión y = x2 + 13 no existe, ya que al construirla en su calculadora no apareció ninguna gráfica en la pantalla. ¿Estás de acuerdo? Justifica claramente tu respuesta.  7. Si no coincides con la estudiante dibuja a continuación la gráfica y haz las anotaciones necesarias.

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Desarrollo del pensamiento algebraico

Hoja de trabajo 87 El vértice de una parábola 1. Construye en tu calculadora las gráficas de las ecuaciones y = x2 y y = (x -2)2, y escribe enseguida las coordenadas del vértice de cada parábola. 2. En el plano de la derecha traza a mano una parábola cuyo vértice sea el punto (x = 4, y = 0). Escribe la ecuación que usarías para construir en la calculadora una parábola como ésa.  3. Construye una parábola cuyo vértice sea el punto (x = -4, y = 0). Escribe la ecuación que usarías para construir esa parábola.  4. La parábola de la figura de la derecha se construyó usando la ecuación y = (x + 4)2 -3. Escribe las coordenadas de su vértice.  5. Construye una parábola cuyo vértice sea el punto (x = -2, y = 4), y escribe la ecuación que usarías para construir esa parábola. Justifica tu respuesta.  6. Escribe las coordenadas del vértice de la parábola que se muestra a la derecha.  7. Encuentra una ecuación que te permita construir la gráfica de la actividad 6. Escríbela enseguida  Verifica tu respuesta construyendo esa parábola en la calculadora.

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Hoja de trabajo 88 ¿Qué ecuaciones producen esas parábolas? 1. Construye en tu calculadora las siguientes gráficas y escribe en las líneas correspondientes la ecuación que utilizaste en cada caso.

Ecuación:

Ecuación:

Ecuación:

Ecuación:

Ecuación:

Ecuación:

2. Las siguientes actividades plantean retos. Usa tu calculadora para verificar tus respuestas y no tener errores. a) Construye una parábola que crezca para valores negativos de x y que decrezca para valores positivos de x. Esa parábola debe tener vértice en el punto (x = -3, y = 4). Indica qué ecuación usarías. b) Construye una parábola que decrezca para valores negativos de x y que crezca para valores positivos de x. El vértice de esa parábola debe ser el punto (x = 4, y = 2). Indica qué ecuación produce una parábola como esa. c) Explica qué ecuación produce una parábola cuyo vértice es el punto (x = 0, y = -6.5) y es creciente para valores negativos de x, y decreciente para valores positivos de x. d ) Construye dos parábolas que tengan como vértice el punto (x = 5, y = 0), de manera que donde una de ellas crezca la otra decrezca. Indica qué ecuaciones usaste para construirlas. 

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Desarrollo del pensamiento algebraico

Hoja de trabajo 89 Simetría La escala en las siguientes gráficas es 1 para los dos ejes cartesianos. 1. Encuentra las ecuaciones que te permitan reproducir las siguientes gráficas en tu calculadora. Explica cómo lo lograste.



y=



y=

2. Encuentra las ecuaciones que producen las siguientes gráficas y anótalas en las líneas. Ecuaciones:      Ecuaciones:      3. Agrega a la ecuación y = (x + 2)2 lo necesario para que produzcas una gráfica como la de la derecha. Anota la ecuación que usaste. y= 4. Reproduce en tu calculadora gráficas como las que se muestran en la figura de la derecha. Anota las ecuaciones que usaste.  

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Bloque 9 • Funciones cuadráticas: su representación gráfica y algunas aplicaciones

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Hoja de trabajo 90 ¿Cuál parábola “crece” más rápido? La figura de la derecha muestra dos gráficas. La parábola de línea gruesa corresponde a la ecuación y = x2, y la otra a la ecuación y = 2x2. 1. ¿Cuál es el valor de y cuando x = 2 en la gráfica de y = x2? 2. ¿Cuál es el valor de y cuando x = 2 en la gráfica de y = 2x2? 3. ¿Cuál gráfica “crece” más rápido? 4. Construye una gráfica que crezca más rápido que la de y = 2x2. ¿Qué ecuación produce una gráfica que crece más rápido? 5. En figura de la derecha, la gráfica de línea gruesa corresponde a y = x2; la otra se construyó con la ecuación y = 0.5x2. ¿Cuál “crece” más rápido? Justifica tu respuesta.    6. Construye una gráfica que crezca más lentamente que las dos anteriores. ¿Qué ecuación usarías?    7. La figura de la derecha muestra la gráfica de y = 0.8x2. Constrúyela en tu calculadora y haz lo que se indica a continuación. a) Construye dos parábolas que crezcan más rápido que y = 0.8x2. Indica qué ecuaciones usaste.   b) Construye dos gráficas que crezcan más lentamente que y = 0.8x2. Escribe las ecuaciones que usaste.  

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Desarrollo del pensamiento algebraico

Hoja de trabajo 91 Anchas y angostas 1. Construye en tu calculadora la gráfica de la ecuación y = 0.3(x + 2)2 + 1, y dibújala en el plano de la derecha.

2. Indica qué le sucede a la gráfica si en la ecuación anterior utilizas 6 en lugar de 0.3.       3. Si construyeras las gráficas de las siguientes ecuaciones: y = 2.8 (x + 2)2 + 1 y y = 3 (x + 2)2 + 1, ¿qué ecuaciones usarías para construir cinco gráficas que estuvieran entre éstas y cuyos vértices se ubicaran en el mismo punto?  Dibújalas en el plano de la derecha. 4. Reproduce en tu calculadora las siguientes gráficas.

5. Explica cómo encontraste las ecuaciones para reproducir estos planos en tu calculadora.      

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Bloque 9 • Funciones cuadráticas: su representación gráfica y algunas aplicaciones

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Hoja de trabajo 92 ¿Qué parábolas pasan por esos puntos?

Figura 1

1. Construye en tu calculadora los dos puntos que se muestran en la figura 1. Después construye una parábola de modo que su vértice sea el punto A y que además pase por el punto B. Sugerencia: Construye primero una parábola que tenga como vértice el punto A y después haz ajustes a la ecuación hasta que la gráfica pase por el punto B. 2. Una estudiante dice que la gráfica de la ecuación y = -18x2 + 24x tiene su vértice en el punto (x = y = 8) y que pasa por el punto (x = 0, y = 0). ¿Estás de acuerdo?

2 , 3

Justifica tu respuesta construyendo esa parábola en tu calculadora.   3. Otro alumno dice que las gráficas de ese tipo de ecuaciones siempre pasan por el punto (x = 0, y = 0). ¿Estás de acuerdo? Justifica tu respuesta. Construye varios ejemplos en tu calculadora y escribe tus conclusiones en el siguiente espacio.    4. Para cada uno de los siguientes casos, construye en tu calculadora una gráfica que tenga como vértice el punto A y que además pase por los puntos B y C (o se aproxime a ellos lo más posible). Verifica tu aproximación usando una tabla de valores para x y y.

Ecuación:

Ecuación:

Ecuación:

Ecuación:

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Desarrollo del pensamiento algebraico

Hoja de trabajo 93 ¿A qué altura está la pelota? Los puntos que se muestran en la figura de la derecha se construyeron con datos que se tomaron cuando un jugador de béisbol lanzó una pelota hacia arriba, registrándose la altura que alcanzó en diferentes momentos. En el eje X se registró el tiempo en segundos que duró la pelota en el aire. En el eje Y se muestra a qué altura estaba la pelota cada medio segundo. Escala en X: 1; escala en Y: 3. Las coordenadas de los puntos de la gráfica son las siguientes. Tiempo (segundos)

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Altura (metros)

0

14

19

24

20

14

0

1. Construye una gráfica en tu calculadora de manera que se aproxime lo más posible a los puntos dados. Construye una tabla con los valores que arroja tu ecuación para verificar qué tan precisa es tu aproximación, y compárala con las coordenadas de los puntos dados. ¿Qué ecuaciones usaste? Coordenadas obtenidas con tu ecuación. Tiempo

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Altura 2. Compara la tabla que completaste con los valores dados, ¿en qué punto encuentras la mayor diferencia? ¿Es importante esa diferencia en términos del problema que estás resolviendo? Justifica tu respuesta.  3. Usa la ecuación que construiste para contestar lo siguiente. a) ¿Cuál fue la altura máxima que alcanzó la pelota? b) ¿Cuántos segundos transcurrieron para que la pelota alcanzara la altura máxima? c) ¿Qué altura alcanzó a los 1.7 segundos? d) ¿A los cuántos segundos tocó el suelo la pelota? 4. Compara tus respuestas con las de tus compañeros. ¿Hay diferencias? ¿A qué crees que se deba? 5. ¿Son importantes esas diferencias en términos del problema que estás resolviendo? ¿Por qué? 

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Bloque 9 • Funciones cuadráticas: su representación gráfica y algunas aplicaciones

Hoja de trabajo 94 ¿Qué tan rápido va ese automóvil? Durante 8 segundos se registró la distancia que recorrió un automóvil desde el arranque. La tabla y la gráfica describen los datos. En el eje X se representa el tiempo transcurrido en segundos. En el eje Y se muestra cuántos metros por segundo avanzó el automóvil. Escala en X: 1 Escala en Y: 50 Coordenadas de los puntos en la gráfica. Tiempo (segundos)

0

1

2

3

4

5

6

7

8

Distancia (metros)

0

10

46

112

185

290

425

580

765

1. Construye en tu calculadora una gráfica que se aproxime lo más posible a los puntos que se muestran en la figura del inicio. ¿Qué ecuación usaste para construirla? Explica con detalle qué información obtuviste de la gráfica para construir esa ecuación.  2. Completa la siguiente tabla con la ecuación que construiste y compárala con la tabla de coordenadas de los puntos dados en la gráfica. Tiempo (segundos)

0

1

2

3

4

5

6

7

8

Distancia (metros) 3. ¿Observas diferencias grandes entre tu tabla y la tabla dada? ¿Puedes hacer ajustes en tu ecuación para obtener mejores aproximaciones? Construye una ecuación que te permita una mejor aproximación y escríbela a continuación.  4. ¿Qué distancia recorrería ese automóvil si se mantuviera acelerando a la misma velocidad durante 12 segundos? Explica qué hiciste para obtener esta respuesta.  5. ¿Qué distancia habrá recorrido al término de 16 segundos? 6. ¿Cuál es la velocidad promedio (en metros por segundo) durante los primeros 8 segundos?  Explica cómo obtuviste esta respuesta. 

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Desarrollo del pensamiento algebraico

Hoja de trabajo 95 ¿Qué prefieres: grados Fahrenheit o centígrados? En México se usa la escala en grados centígrados para medir la temperatura, mientras que en otros países se usa la escala Fahrenheit. La siguiente tabla muestra algunas equivalencias entre esas escalas. Grados Fahrenheit

-13

-4

5

32

100

Grados centígrados

-25

-20

-15

0

37.77

1. Utiliza los datos de la tabla anterior para hacer una gráfica de puntos. En el eje X representa los valores en grados Fahrenheit y en el eje Y los valores en grados centígrados.

Construye la gráfica en el siguiente espacio.

2. Construye una gráfica que pase exactamente por esos puntos o se aproxime a ellos. ¿Qué tipo de gráfica construirías? Explica qué ecuación usaste para construir tu gráfica. 3. Completa la siguiente tabla utilizando la ecuación que construiste y compárala con la tabla de valores dados. X (Fahrenheit)

-13

-4

5

32

100

Y (centígrados) Si encontraste diferencias importantes entre los valores de tu tabla y los de la tabla que se te dio, ajusta tu ecuación hasta que obtengas una mejor aproximación. 4. ¿Obtuviste una nueva ecuación? Escríbela enseguida. 5. Usa la gráfica que construiste para contestar lo que se pide en cada caso. a) ¿A cuántos grados centígrados equivalen 60 grados Fahrenheit? b) ¿A cuántos grados centígrados equivalen -12 grados Fahrenheit? c) ¿A cuántos grados Fahrenheit equivalen 24 grados centígrados? d ) Si el agua hierve a 100° C, ¿a qué temperatura hierve en grados Fahrenheit? 6. Compara tus respuestas con las de tus compañeros. ¿Hay diferencias notables? ¿A qué crees que se deban? 7. Con los datos de la tabla que se te dio al inicio de esta hoja de trabajo encuentra una fórmula que te permita obtener la equivalencia de grados Fahrenheit a grados centígrados y escríbela enseguida. °F = ¿Cómo lo hiciste?

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Bloque 9 • Funciones cuadráticas: su representación gráfica y algunas aplicaciones

Hoja de trabajo 96 Si modifico el perímetro, ¿también cambia el área? María quiere construir un jardín como el de la figura de la derecha, pero sólo tiene material para cercar 20 metros. Además, quiere que su jardín tenga la mayor área posible. La figura muestra una manera de hacerlo, pero hay muchas otras. 1. Obtén el área del jardín en metros cuadrados. 2. Busca otras alternativas para construir una cerca que limite los tres lados del terreno. Haz dibujos y completa la siguiente tabla con los datos que obtengas. Ancho

1

Largo

18

12

Área

18

48

2

3

4

5

6

7

8

9

3. Construye una gráfica que te permita encontrar las medidas del largo y el ancho que María debe elegir para que su jardín tenga la mayor área posible. ¿Qué puedes hacer para construir esa gráfica?  Escribe la ecuación que usaste. ¿Cuáles son las medidas para el ancho y el largo del terreno de tal manera que tenga la mayor área posible? 4. En el plano de la derecha dibuja “a mano” la gráfica que construiste. Considera que la escala en los ejes es 1 en X y 5 en Y.

5. Juan va a utilizar 24 metros de cerca para rodear los cuatro lados de su terreno, que es rectangular, y quiere hacer su jardín lo más grande posible. ¿Qué harías para resolver este problema? 6. Escribe una ecuación para obtener las medidas que deben tener el largo y el ancho del terreno de Juan.  ¿Cuáles son las medidas del largo y el ancho que hacen que su terreno tenga el área máxima? 

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Desarrollo del pensamiento algebraico

Hoja de trabajo 97 Chofer, ¿no podría ir más rápido? Un automóvil viaja a una velocidad constante. En el eje Y se muestra la distancia que recorre (en metros); en el eje X se registra el tiempo del recorrido en intervalos de 2 segundos. Escala en el eje X: 1 Escala en el eje Y: 2 Contesta lo que se pide usando la información de la gráfica. 1. ¿Durante cuánto tiempo se registró el movimiento del automóvil? 2. ¿Cuántos metros había recorrido después de 2 segundos? 3. ¿Qué distancia recorrió el automóvil al término de 6 segundos? ¿Y a los 7 segundos? 4. ¿Cuánto tiempo le tomó recorrer 100 metros? ¿En cuánto tiempo recorrió 110 metros? 5. Construye una gráfica que pase por esos puntos. ¿Qué ecuación utilizaste? Describe cómo encontraste esa ecuación.   6. Usa tu ecuación para contestar las siguientes preguntas. a) Si el automóvil se mantiene a la misma velocidad, ¿qué distancia recorrerá durante 2 minutos?  ¿Y en una hora? ¿En una hora y 20 minutos? b) ¿Cuánto tiempo le tomará recorrer dos kilómetros? c) ¿A qué velocidad se está moviendo? Explica qué hiciste para responder esta pregunta. 7. Un alumno afirma que la ecuación y = 20x le permite representar el movimiento de este automóvil. ¿Estás de acuerdo? Justifica tu respuesta.  

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Bloque 9 • Funciones cuadráticas: su representación gráfica y algunas aplicaciones

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Hoja de trabajo 98 ¿Mi peso es distinto en la Luna? La siguiente figura muestra una gráfica que corresponde a la relación entre el peso de un objeto en la Tierra y el que le correspondería si estuviera en la Luna. Las diferencias se deben a que la fuerza de gravedad de la Tierra y la Luna son distintas. En el eje Y se muestra el peso en la Luna (en kilogramos); en el eje X se registra el peso en la Tierra (en kilogramos). 1. Completa la tabla de acuerdo con los datos de la gráfica. Peso en la Tierra (kg)

Peso en la Luna (kg)

2. Construye en tu calculadora una gráfica que pase por la mayor cantidad posible de puntos. Anota tu ecuación en el siguiente recuadro y explica cómo la encontraste.

3 1 15



18

 4.5

 

3. Recorre tu gráfica con la tecla TRACE y comprueba que pase por los mismos puntos que registraste en la tabla de la actividad 2. Usa tu gráfica para responder lo siguiente. a) ¿Cuánto pesa en la Luna un objeto que en la Tierra pesa 6.25 kg? b) ¿Cuánto pesa en la Luna un objeto que en la Tierra pesa 25 kg? c) ¿Cuánto pesa en la Tierra un objeto que en la Luna pesa 5 kg? d ) ¿Cuánto pesa en la Tierra un objeto que en la Luna pesa 0.75 kg? e) Explica cómo contestaste las preguntas de los incisos a a d.  4. Construye una gráfica que muestre en el eje Y el peso de una persona en la Tierra (en kilogramos), y en el eje X su peso en la Luna (en kilogramos). Explica las diferencias entre esta gráfica y la anterior.     

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Desarrollo del pensamiento algebraico

Hoja de trabajo 99 ¿Cuánto pesas si estás en Júpiter? La siguiente gráfica corresponde a la relación entre el peso de un objeto en la Tierra y el que le correspondería si estuviera en Júpiter. En el eje Y se muestra el peso en el planeta Júpiter (en kilogramos); en el eje X se registra el peso en la Tierra (en kilogramos).

1. Completa la siguiente tabla de acuerdo con los datos de la gráfica. Peso en la Tierra (kg)

Peso en Júpiter (kg)

2. Construye en tu calculadora una gráfica que pase por esos puntos. Anota en el siguiente espacio la ecuación que utilizaste y explica cómo la obtuviste.

2 4 12.5 6

  

20



3. Usa tu gráfica para responder lo que se pide a continuación. a) ¿Cuánto pesa en Júpiter una persona que en la Tierra pesa 40 kg? b) ¿Cuánto pesa en Júpiter una sandía que en la Tierra pesa 3 kg? c) ¿Cuánto pesa en la Tierra una bolsa de papas que en Júpiter pesa 1.5 kg? d ) ¿Cuánto pesa en la Tierra una bolsa de azúcar que en Júpiter pesa 6.25 kg? 4. Construye una gráfica que en el eje Y muestre el peso en la Tierra (en kilogramos) y en el eje X el peso en Júpiter (en kilogramos). Explica las diferencias entre esta gráfica y la anterior.    

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Hoja de trabajo 100 ¿Tan rápido viaja la luz? La siguiente gráfica muestra la distancia que recorre la luz (en kilómetros) en un cierto tiempo (segundos). El eje Y muestra la distancia recorrida por la luz (miles de kilómetros); el eje X el tiempo (en segundos).

1. Completa la siguiente tabla de acuerdo con la gráfica. Tiempo (segundos)

Distancia recorrida (miles de km)

2. Construye en tu calculadora una gráfica que pase por esos puntos. Anota en el siguiente recuadro la ecuación que utilizaste y explica cómo la encontraste.

0.5 1 3.5

 1500



2700

 

3. Recorre con la tecla TRACE tu gráfica y contesta lo siguiente. 4. ¿Qué distancia recorre la luz en 4 segundos? 5. ¿En cuánto tiempo recorre 1 650 000 km? 6. Un estudiante dice que la luz recorre 3 500 000 kilómetros en 12 segundos. ¿Estás de acuerdo? Justifica claramente tu respuesta.  7. ¿Cuántos kilómetros recorre la luz en un minuto? ¿En una hora?

¿En un día?

¿En un año?

8. Explica con detalle qué hiciste para responder las preguntas de la actividad anterior.  A la distancia que recorre la luz en un año se le llama año luz; es una unidad de longitud utilizada en astronomía para medir grandes distancias.

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Desarrollo del pensamiento algebraico

Hoja de trabajo 101 ¿Una ecuación para desalojar la escuela? 1. La siguiente gráfica de puntos muestra cuántos estudiantes quedan dentro de una escuela durante un simulacro en diferentes tiempos. El eje Y muestra a los estudiantes dentro de la escuela; el eje X el tiempo (en segundos).

2. Escribe una ecuación que produzca una gráfica que pase por todos los puntos que muestra la gráfica y escríbela a continuación.

Explica cómo encontraste la ecuación.   3. Responde las siguientes preguntas y explica claramente tus respuestas. a) ¿Cuántos estudiantes había en la escuela antes del simulacro? Explicación:  b) ¿Cuántos estudiantes había aún dentro de la escuela a los 30 segundos del simulacro? Explicación: c) ¿Cuántos estudiantes estaban dentro de la escuela a los 55 segundos del simulacro? Explicación:  d ) ¿Cuántos segundos habían transcurrido cuando quedaban 325 estudiantes? Explicación:  e) ¿En cuánto tiempo quedó totalmente desalojada la escuela? Explicación: 

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Hoja de trabajo 102 ¿Quién lanza más alto la pelota? La siguiente ecuación corresponde al recorrido de una pelota que se lanza hacia arriba. El punto donde la gráfica interseca con el eje vertical corresponde a la altura desde la que se lanzó la pelota. y = -0.5x2 + 3x + 1.5   1. Construye en tu calculadora la gráfica de la ecuación anterior y reprodúcela en el siguiente eje. Usa la escala que se sugiere para los ejes cartesianos.

  2.  Usa la información de esta gráfica para contestar lo que se pide a continuación. a) ¿Qué forma tiene la gráfica de la pelota lanzada hacia arriba? ¿A qué crees que se deba? b) ¿Desde qué altura se lanzó la pelota? c) ¿Cuál fue la altura máxima que alcanzó la pelota? d ) ¿En cuánto tiempo alcanzó la pelota su altura máxima? e) ¿Cuánto tiempo se mantuvo la pelota en el aire? f ) ¿Qué altura había alcanzado la pelota después de 2 segundos? g) ¿Qué altura había alcanzado la pelota después de 10 segundos?   3. Modifica la ecuación y = -0.5x2 + 3x + 1.5 para que la pelota alcance una altura máxima de 7 metros y anótala en el siguiente recuadro.

  4.  ¿Desde qué altura fue lanzada la pelota?   5.  ¿Cómo queda la ecuación si la pelota alcanza 5 metros de altura máxima?   6.  Comprueba en tu calculadora a qué altura fue lanzada la pelota.   7.  ¿Y para una altura máxima de 4.5 metros, cómo queda la ecuación?   8.  ¿Desde qué altura fue lanzada la pelota?   9.  ¿Cuál es la altura máxima en el caso de que la ecuación sea y = -0.5x2 + 3x + 4?     Verifica tu respuesta en la calculadora. 10.  ¿Cómo son entre sí las gráficas construidas en la calculadora? 11.  ¿A qué crees que se deba?

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Hoja de trabajo 103 ¿Puedes calcular el tiempo y la distancia en caída libre? Se deja caer un objeto desde cierta altura. La siguiente gráfica de puntos nos da información sobre la distancia y el tiempo durante su recorrido. El punto donde se cortan la gráfica y el eje y corresponden a la altura desde la que se dejó caer el objeto. El eje y muestra la altura a que se encuentra el objeto con respecto al piso (en metros) y el eje x el tiempo (en segundos).

1. Completa la siguiente ecuación y construye la gráfica en tu calculadora. y = - 4.9x2 + 2. Recorre tu gráfica con la tecla TRACE y responde lo siguiente. a) ¿Desde qué altura se dejó caer al objeto? b) ¿Cuánto tiempo había transcurrido cuando el objeto estaba a 3 metros de altura?  c) ¿A qué distancia del piso se encontraba el objeto después de 0.5 segundos?  d ) ¿A qué distancia del piso estaba el objeto a los 3 segundos?  e) ¿Cuánto tiempo tardó el objeto en estrellarse contra el piso? 3. ¿Desde qué altura debe dejarse caer el objeto para que tarde 1 segundo en llegar al piso? ¿Cuál ecuación corresponde a esta situación? Verifica en la calculadora tus respuestas para no cometer errores. Explica tu razonamiento para las dos preguntas anteriores.  

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Hoja de trabajo 104 ¿Es correcto lo que me cobran? Un estacionamiento cobra $4.00 por la primera hora, y de ahí en adelante $1.00 más por cada cuarto de hora o fracción siguiente. Contesta las siguientes preguntas usando esa información. Justifica tus respuestas. 1. ¿Cuánto debe pagar una persona que deja su auto a las 4:00 p.m. y lo recoge a las 5:25 p.m.?   2. ¿Cuánto debe pagar alguien que deja su auto a las 8:55 a.m. y lo recoge a las 12:17 p.m.?   3. ¿Cuánto debe pagarse por los siguientes intervalos? De las 2:00 p.m. a las 3:14 p.m. De las 2:00 p.m. a las 3:18 p.m. De las 2:00 p.m. a las 3:25 p.m. De las 2:00 p.m. a las 3:30 p.m. De las 2:00 p.m. a las 3:33 p.m. 4. Un compañero dice que hay muchos intervalos por los que se cobran $9.00. ¿Estás de acuerdo?  Justifica tu respuesta con algunos ejemplos.    5. Escribe 5 ejemplos de intervalos por los que se cobran $7.00.   6. Construye en tu calculadora una gráfica que represente el cobro del estacionamiento; explica claramente cómo la construiste y reprodúcela en el siguiente eje. Explicación.  

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Hoja de trabajo 105 ¡Viajar en taxi cuesta! La siguiente gráfica muestra diferentes tarifas en un taxi, la cuales dependen de la distancia que se recorre. El eje y muestra el cobro por viaje ($) y el eje x la distancia recorrida (kilómetros).

Responde lo que se pide en cada caso de acuerdo con la información de la gráfica. 1. ¿Cuánto debe pagar una persona que hace un recorrido de 7 km? Explica por qué:   2. Anota 5 distancias diferentes por las que la tarifa sea $13.50.  Escribe tu razonamiento.   3. Un compañero dice que por un recorrido de 43 km el cobro es de $14.00. ¿Estás de acuerdo? Justifica claramente tu respuesta.   4. De acuerdo con la gráfica, ¿cómo se determina la tarifa a pagar por un viaje en taxi?  5. Construye en tu calculadora y reproduce “a mano” (en el siguiente eje) la gráfica para un taxi cuya tarifa se determina con un cobro de $7.00 por abordarlo, más $1.00 por cada 250 metros.

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Actividades sugeridas para el futuro docente 1. Describe la secuencia didáctica propuesta en este bloque para desarrollar el tema de la función cuadrática; haz una presentación y plantéala a tu grupo. 2. Elabora en equipo un mapa conceptual que muestre la conexión entre los contenidos matemáticos que aborda este bloque. Coméntalo con tus compañeros. 3. Construye en la calculadora una parábola que pase por los puntos que se indican en cada uno de los siguientes incisos. a) Por el punto (-2, -3). b) Por los puntos (-4, 0) y (4, 0). c) Por los puntos (1, 0), (3, 4) y (6, 2). Compara con tus compañeros las ecuaciones que se usaron. ¿Son todas iguales?, ¿es única la que usaron?, ¿en qué caso es única la ecuación que se puede construir? 4. Investiga fundamentos matemáticos que expliquen por qué uno de los casos tiene ecuación única. 5. Realiza una investigación en diversas fuentes acerca de la función cuadrática y la parábola, prepara una presentación y analízala con tus compañeros. 6. Realiza las siguientes actividades. a) Construye un tablero como el que se ilustra a continuación. En vez de estacas puedes usar canicas u otro material, y juega de acuerdo con las siguientes instrucciones. (Busca el juego en versión virtual en la dirección http://nlvm.usu.edu/es/nav/vlibrary.html).

b) El propósito es que las estacas azules ocupen el lugar de las rojas, y a su vez las rojas el de las azules. c) Las reglas son:   i) Las estacas de cada color se mueven en el sentido en que se encuentra el orificio vacío, ocupando el espacio vacío y saltando sólo estacas de color diferente, con un movimiento a la vez. ii) No se debe retroceder ni saltar más de una estaca u orificio a la vez, y tampoco intercambiar estacas contiguas en un solo paso. d ) Realiza el juego hasta que logres dominarlo; luego juégalo para tres estacas de cada color, dos, y una, e incluso hasta de cinco. e) Cuenta todos los movimientos que se necesitan para completar el juego en cada caso.

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f  ) Completa las siguientes tablas: Total de canicas



Número de movimientos para completar el juego

Total de canicas de un color

 2

1

 4

2

 6

3

 8

4

10

5

Número de movimientos para completar el juego

g) Determina la ecuación y gráfica de las tablas. h) Responde y justifica cuestionamientos como:   i) ¿Cuántos movimientos se requieren para completar el juego con un total de 14 canicas?   ii) ¿Cuántos movimientos se requieren para completar el juego con un total de 10 canicas de un color? iii) ¿Hay algún caso que requiera 255 movimientos para completar el juego? iv) ¿Qué tipo de relación hay entre la cantidad de canicas y los movimientos para completar el juego? 7. Realiza una investigación del tema regresión cuadrática. ¿Qué relación encuentras entre este tema y las actividades del bloque? Prepara una presentación al respecto. 8. Investiga situaciones que contengan variables cuya relación sea una función cuadrática y elabora secuencias didácticas.

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Bloque 10 Factorización de expresiones cuadráticas: un acercamiento visual

E

l propósito de este bloque es introducir a los estudiantes en el tema de la factorización de expresiones cuadráticas en una variable; se aprovechan los recursos de la visualización de gráficas en el plano cartesiano y las habilidades que los estudiantes han desarrollado para identificar la relación que hay entre los coeficientes de una función cuadrática y el comportamiento de su gráfica. Los casos de factorización que se abordan en este bloque corresponden al trinomio cuadrado perfecto, diferencia de cuadrados, trinomio de segundo grado y el trinomio de segundo grado cuando el término independiente es cero. En particular, estos casos corresponden respectivamente a las expresiones canónicas x2 + bx + c, x2 + 2ax + a2, x2 - a2 y x2 + ax, donde a, b y c son números reales. En casi todas las actividades de este bloque el coeficiente del término cuadrático es 1. La factorización de expresiones cuadráticas en una variable introduce de manera natural al estudio de la equivalencia entre expresiones algebraicas. En estas actividades el criterio para determinar si dos expresiones son equivalentes es que sus gráficas cartesianas sean iguales, lo cual extiende el criterio de equivalencia que se aplicó en el bloque 2, donde el criterio fue que dos expresiones algebraicas son equivalentes si producen los mismos valores de salida para los mismos valores de entrada. Te invitamos a completar las actividades de este bloque con una reflexión constante sobre los aprendizajes que construyas a partir del análisis del comportamiento de este tipo de funciones, y las competencias docentes que estarás cultivando al enriquecer tus conocimientos con los contenidos del tema de factorización algebraica. Asimismo, es importante que compares este acercamiento didáctico al tema de factorización con el acercamiento algebraico que estudiaste en la secundaria y el bachillerato, que también compares sus ventajas y limitaciones así como las formas en que ambos acercamientos se complementan.

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Desarrollo del pensamiento algebraico

Hoja de trabajo 106 El trinomio cuadrado perfecto 1. Construye en tu calculadora la gráfica de la ecuación y = (x + 3)2 y dibújala en el plano cartesiano de la derecha.

2. Ahora construye la gráfica de la ecuación y = x2 + 6x + 9 y bosquéjala en el plano cartesiano de la derecha.

3. Un estudiante afirma que las gráficas de las actividades 1 y 2 son iguales, ¿estás de acuerdo? Explica a qué crees que se deba.    4. Construye la gráfica de la ecuación y = (x + 3)(x + 3) y compárala con las gráficas de las actividades 1 y 2. Presenta tus conclusiones de las expresiones (x + 3)2, x2 + 6x + 9 y (x + 3)(x + 3).    5. Encuentra otras dos expresiones que produzcan la misma gráfica que (x + 1)2. Anota esas expresiones y explica cómo las obtuviste.    6. Encuentra las ecuaciones con las que se produjeron las siguientes gráficas. Después construye dos ecuaciones equivalentes a cada una.

y=



y=



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y=



y=

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Hoja de trabajo 107 Algo más sobre el trinomio cuadrado perfecto 1. Una estudiante dice que la ecuación y = x2 + 1.52 produce la misma gráfica que y = (x + 1.5)2. ¿Estás de acuerdo? Justifica tu respuesta.    2. Comprueba tu respuesta y traza las gráficas de las ecuaciones de la actividad anterior.

3. Otro estudiante dice que y = (x - 2)2 produce la misma gráfica que la de la ecuación y = x2 - 2x - 2x + 4. ¿Estás de acuerdo? Explica tu respuesta.    4. Construye en tu calculadora las gráficas de las ecuaciones de la actividad anterior para comprobar tu respuesta y dibújalas en el plano cartesiano de la derecha.

5. Encuentra en cada uno de los siguientes incisos dos ecuaciones que produzcan la misma gráfica de la ecuación que se da. Verifica con tu calculadora que tus respuestas sean correctas. a)  y = (x + 6)(x + 6) y =





y=



b)  y = x2 + 8x + 16

y=





y=



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c)  y = 16x2 + 40x + 25 y = y=

d ) y = (x - 2.5)(x - 2.5) y = y=

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Desarrollo del pensamiento algebraico

Hoja de trabajo 108 Diferencia de cuadrados (1) 1. Construye en tu calculadora la gráfica de y = (x + 2.5)(x – 2.5) de la siguiente ecuación y dibújala en el plano cartesiano de la derecha.

2. Ahora construye la gráfica de la ecuación y = x2 – 6.25 y dibújala en el plano cartesiano de la derecha.

3. ¿Cómo son las gráficas de las dos expresiones que acabas de construir en tu calculadora? 4. Explica a qué se debe que sean iguales.    5. Encuentra una ecuación que produzca la misma gráfica que y = (x + 3)(x – 3). Anota tu ecuación en el siguiente recuadro y luego explica tu razonamiento.

Razonamiento.    6. Encuentra dos ecuaciones que produzcan las siguientes gráficas.

y=

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y=



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Hoja de trabajo 109 Diferencia de cuadrados (2) 1. Encuentra una ecuación que produzca la misma gráfica de la ecuación de cada uno de los siguientes incisos. Anota en el recuadro la ecuación y verifica tu respuesta construyendo las gráficas en tu calculadora. Traza en cada caso la gráfica (especifica la escala en tu calculadora). a) y = (x - 3.5)(x + 3.5) ESCALA b) y = x2 - 36 ESCALA c) y = (3x - 1)(3x + 1) ESCALA 2. Un estudiante no pudo encontrar la ecuación que produce una gráfica igual a la de y = 100x2 - 9. Búscala y explica cómo la encontraste. Construye las gráficas en tu calculadora para comprobar que tu respuesta es correcta. y=    3. Otro estudiante dice que la expresión y = (x - 5)(x + 5) produce la misma gráfica que y = x + 25. ¿Estás de acuerdo? Explica tu respuesta.    4. Construye las gráficas en tu calculadora y comprueba que tu respuesta es correcta.

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Desarrollo del pensamiento algebraico

Hoja de trabajo 110 Trinomio de segundo grado (1) 1. Una estudiante construyó la gráfica de la derecha en su calculadora. Para ello utilizó una ecuación como la siguiente. Encuentra los números que faltan y completa la ecuación. Y = (x +

)(x +

)

Explica tu razonamiento para completar la ecuación.    2. Ahora construye la gráfica de la expresión y = x2 + 6x + 5, y compárala con la de la actividad anterior. ¿Cómo son ambas gráficas? ¿A qué se debe?    3. Encuentra una ecuación que produzca la misma gráfica que y = (x + 8)(x + 3). Explica cómo la encontraste. y=    4. Como en las actividades anteriores, encuentra dos ecuaciones que produzcan cada una de las siguientes gráficas y anótalas en los recuadros.

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Hoja de trabajo 111 Trinomio de segundo grado (2) 1. Completa los espacios en blanco para construir parejas de ecuaciones que produzcan las mismas gráficas. Verifica tus respuestas construyendo las gráficas correspondientes en tu calculadora. a) y = (x -

)(x +

)

y = x2 - [

]x-[

]

y = (x -

)(x -

)

y = x2 - [

]x+[

]

y = (x +

)(x -

)

y = x2 + [

]x-[

]

b)

c)

2. Una estudiante dice que y = x2 + 40 produce la misma gráfica que y = (x - 5)(x - 8). ¿Estás de acuerdo? Justifica tu respuesta.    3. Otro estudiante dice que las ecuaciones y = x2 - 5x + 3x - 15 y y = (x - 5)(x + 3) producen la misma gráfica. ¿Estás de acuerdo? Justifica tu respuesta.    4. Encuentra una ecuación para construir la gráfica de la derecha y anótala. y=

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Hoja de trabajo 112 Expresiones cuadráticas con un factor común 1. Encuentra una ecuación que te permita reproducir en tu calculadora la gráfica de la derecha. Anótala en el recuadro y explica cómo la encontraste. y= Explicación.    2. Busca otra ecuación que te permita reproducir la gráfica de la actividad 1; anótala en el recuadro y explica cómo la encontraste. y= Explicación.    3. Algunos estudiantes crearon las ecuaciones y = x2 - 4x, y = (x + 0)(x - 4) y y = (x)(x - 4) para reproducir la gráfica de la actividad 1. Compara esas ecuaciones y explica por qué producen la misma gráfica. Explicación.    4. Otro estudiante dice que la ecuación (x)(x + 4) también produce la gráfica que se muestra en la actividad 1. ¿Estás de acuerdo? Justifica tu respuesta.   

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Hoja de trabajo 113 Factorización y equivalencia algebraica (1) 1. Al igual que en la hoja de trabajo anterior, encuentra tres ecuaciones que produzcan cada una de las siguientes gráficas. Si es necesario, ajusta el rango de tu calculadora para que puedas ver las gráficas como se presentan aquí.

2. Una estudiante usó la ecuación y = 3x2 - 6x para construir la gráfica que se muestra a la derecha. Encuentra otras dos ecuaciones que produzcan la misma gráfica.

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Hoja de trabajo 114 Factorización y equivalencia algebraica (2) 1. Encuentra otras dos ecuaciones que produzcan cada una de las siguientes gráficas.

y = 5x2 - 20x

y = (x + 0)(2x + 3)

2. Encuentra dos ecuaciones equivalentes a y = 2.5x2 - 15x. Anótalas en los recuadros y explica el razonamiento para tu respuesta.

Explicación.    3. Escribe en cada inciso otras dos ecuaciones que produzcan la misma gráfica de la ecuación que se da. Bosqueja a la derecha la gráfica correspondiente. a) y = 8x2 + 16x

b) y = 4x2 + 5x

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Actividades sugeridas para los futuros docentes 1. En la presentación de este bloque se hace referencia al “trinomio de segundo grado”. Indaga en fuentes bibliográficas la definición de un trinomio cuadrado perfecto y las estrategias que se sugieren para factorizarlo. Compara estas estrategias con las que experimentaste en las actividades de este bloque y escribe un ensayo al respecto. 2. Asimismo, se hace referencia a “la diferencia de cuadrados”. Indaga en fuentes bibliográficas la definición de “diferencia de cuadrados”. Compara estas estrategias con las que experimentaste en este bloque y escribe un breve documento al respecto. 3. También se hace referencia al “trinomio cuadrado perfecto”. Indaga en fuentes bibliográficas la definición de “trinomio cuadrado perfecto”. Identifica en qué hojas de trabajo de este bloque se involucran trinomios cuadrados perfectos y en qué se diferencian estos casos del caso general que se presenta en la bibliografía que consultaste. 4. Elige tres hojas de trabajo de este bloque y aplícalas en una sesión con alumnos de educación básica. Haz un reporte de los resultados en términos del aprendizaje logrado por esos alumnos y de las dificultades que les ayudaste a resolver.

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