Se desarrollan ejercicios de control que explicann temas como espacios de estado...
Universidad Politécnica Salesiana
1
Tarea 02 Teoría de Control 1 Daniel Sebastián Molina Vélez, Christian Rafael Marca Guaraca, Nelson David Cedillo Mendoza, Juan Pedro Samaniego Placencia, Edisson Francisco Coronel Villavicencio.
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[email protected] Considere el sistema descrito mediante
I. I NTRODUCCIÓN El presente trabajo se realizó la comprensión del modelado de los sistemas así como su análisis en las respectivas áreas de control ademas es importante tener en consideración los aspectos adicionales que se deben implementar a la hora de realizar los respectivos modelos, adicionalmente se realizó la linealización así como la implementacion de variables de estado para la realización del sistema, ademas se implementó Matlab para la realización realización de algunos ejercicios. ejercicios.
̇̇ 34 11 11 1 0
Obtenga la función de transferencia del sistema. Determinamos las matrices
34 11 11 1 0 0
II. DESARROLLO A. Libro de Ogata:
Ejercicio. B-2-9 Considere el sistema descrito mediante:
⃛y 3ÿ 2ẏ u ̇̈ ̇ 3 2 ̇ ̇ ̇ ̇̇ 00 10 01 00 ̇ 0 2 3 1 1 0 0
Obtenga una representación en el espacio de estados del sistema.
Representación de la ecuación:
Realizando las matrices tenemos:
Ejercicio. B-2-10
Cuenca-Ecuador
Determinamos la función de transferencia
∙ −− ∙ − 1 0 ∙ 10 01 34 11 ∙ 11 1 0 ∙ 34 1 1− ∙ 11 41 1 3 1 0 ∙ 3 1 14 ∙ 11 41 1 3 1 0 ∙ 7 57
Ejercicio. B-2-13
Linealice la ecuación no lineal
83 2≤≤4, 1 0≤≤12 ̅ 11 ̅ 22
en la región definida por
.
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4 2 2 3 ̅ 1210 11 2 ̅ 3 1 183111,1̅ 3,1111 636 128 12 12 3 8 11 1 1 94 2 2 286 ,̅ , 28 283 631111909011 9011 63694 63694 9490636
Ejercicio B-3-3.
Obtenga una representación en el espacio de estados del sistema mecánico, donde u 1 y u2 son entradas e y 1 e y2 son salidas.
2
̇ 0 1 0 0 0 0 1 ̇̇ 0 0 ̇̇ 00 0 0 1 00 10 10 00 01 00
Entonces:
Finalmente ubicamos los coeficientes en la matriz de salidas.
Ejercicio B-3-4
Considere el sistema del péndulo accionado por resorte de la Figura 3-33. Suponga que la fuerza del resorte que actúa sobre el péndulo es cero cuando el péndulo está vertical, o bien Ɵ=0.
Suponga también que la fricción involucrada es insignificante y que el ángulo de oscilación Ɵ es pequeño. Obtenga un modelo
matemático del sistema.
Aplicando las leyes de Newton, se analiza las salidas y que elementos intervienen al momento del control del sistema. A partir de las Leyes de Newton tenemos:
∙ ̈̈ ̇̇ ̇̇ ̇ ̇ ̇̇ ̇ ̇ ̇
El modelo matemático del sistema se va a dar en función a la rotación por lo que se plantea lo siguiente:
Ahora definimos:
Remplazamos en las primeras ecuaciones.
Para ingresar los coeficientes en la matriz debemos despejar las entradas.
Cuenca-Ecuador
J
T
T torq torqu ue Inercia : J Aceleracion Angular : Fuerzas :
F
ml 2 2 K a 2 mg mgl
2 K a
ml
2
2
ml 2
0
2 K a gl 0 ml 2
mgl
2
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3
/ / ∗ ̈̈ ̇̇ ̈ ̇ ̈ ̇ 1 ∙∙1 / ∙∙1 ∙ ∗ 1 ∙∙ 1 ∙∙1 1∙ 11 Ejercicio B-3-6
Obtenga la función de transferencia y del sistema mecánico que se muestra en la figura.
Ejercicio: B-3-11.
Reordenamos teniendo valores de transformada de Laplace:
y
y hallamos la
Obtenga la función de transferencia Eo( s)/ Ei ( s) del circuito con amplificador operacional de la Figura 3-40.
(1)
(2)
Ahora de la segunda ecuación encontramos la relación entre /
Determinamos el voltaje de salida del filtro pasa alto.
Reemplazamos el valor de primera ecuación
en función de
en la
Debido a que el operacional se encuentra en la función restador debido a que tienen realimentación negativa.
Despejamos
y tenemos que:
Para determinar el voltaje en el terminal B aplicamos divisor de voltaje.
Remplazamos los valores
Por ende sabemos que:
Cuenca-Ecuador
Universidad Politécnica Salesiana Si k>>1;
∙∙1 ∙ ∙∙ ∙ ∙ ∙ 1 ∙ 11 ∙
Ejercicio B-3-12.
Utilizando la aproximación de impedancias, obtenga la función de transferencia Eo(s)/Ei (s) del circuito con amplificador operacional de la Figura 3-41.
4
311 3∗42 3 42 1313∗42∗3 4 2 2 3∗42∗34∗34∗1 2 31 2∗34∗1 2∗32∗1 11 1∗21 1∗21 1 1∗21 1∗21 1 ∗21 ∗21
Ejercicio B-4-1 .
Considere el sistema del tanque de agua cónico, en donde el flujo a través de la válvula es turbulento y se relaciona con la altura H mediante
0.005√
Donde Q es el caudal medido en m3/seg y H esta en metros. Suponga que la altura es de 2m en t=0. ¿Cuál será la altura en t=60seg?
1 1 ,21, 32, 41. 1 3 2 4 1 1 3 11 11 31 31 1∗3 31 13∗ 1∗3 2 3231 31 3431 4 311 32 34 21 4 Cuenca-Ecuador
De acuerdo a la ecuación de Sistema de Fluidos, en donde se relaciona la variación de la altura con respecto a la variación del tiempo es igual al caudal sobre la capacitancia del tanque. Entonces: (1) Donde
3 3 3 0.005
Reemplazamos en la ecuación 1 y resolvemos la ecuación diferencial.
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5
∫ 0.005 9 ∫ 14600 25 20. 1. 3.6251
Despejamos e integramos ambos miembros de la ecuación.
> /
La Figura muestra un controlador neumático. EL relevador neumático tiene la característica de que , donde ¿Qué tipo de acción de control produce este controlador? Calcule la función de transferencia .
0
Ejercicio B-4-2.
Considere el sistema de control de nivel de líquido de la Figura. El controlador es de tipo proporcional. El punto de funcionamiento del controlador está fijo. Dibuje un diagrama de bloques del sistema suponiendo que los cambios en las variables son pequeños. Obtenga la función de transferencia entre el nivel del segundo tanque y la entrada de perturbación qd. Obtenga el error en estado estacionario cuando la perturbación qd es un escalón unidad.
Se realiza un diagrama de bloques para el sistema neumático:
Al tener el diagrama de bloques obtenemos la función de transferencia de lazo cerrado ocupando la formula general:
Los diagramas de bloques del sistema:
PEss abb 1k1k2k1k2 a A ab k
Ejercicio B-4-6.
La Figura 4-47 muestra un controlador neumático. La señal e es la entrada y el cambio en la presión de control pc es la salida. Obtenga la función de transferencia Pc(s)/E(s). Suponga que el relé neumático tiene la característica de que p%Kpb, donde Kb0.
Función de transferencia: H 2 s Q p s
R2 R1C1S 1
R C S 1 R C S 1 KR 1
1
h2 limSH 2 S
2
2
R2 1 KR2
Error de estado estacionario :
Ejercicio B-4-4 Cuenca-Ecuador
2
R2 1 KR2
Universidad Politécnica Salesiana El sistema neumático tiene similitud con un sistema controlador neumático proporcional- integral como se puede ver en la siguiente figura.
6 Si
+ + ≫1
La función de transferencia se reduce a:
Dónde:
Ejercicio B-4-10. A este controlador le corresponde el siguiente diagrama de bloques:
De igual manera podemos hacer la analogía con el controlador neumático planteado, de manera que el diagrama de bloques nos queda de la siguiente manera, únicamente que este presenta una ganancia K
De manera que la función de transferencia nos queda de la siguiente manera.
1 1∙ 1 1 ∙ 1 11 1 1 ∙ 1
Cuenca-Ecuador
1 1
Considere el sistema de control de nivel de líquido de la Figura 4-52. Un controlador integral hidráulico maneja la válvula de entrada. Suponga que el caudal de entrada en estado estable es Q y que el caudal de salida en estado estable también es Q, que la altura en estado estable es H, que el desplazamiento de la válvula piloto en estado estable es X=0 y que la posición de la válvula en estado estable es Y. Se supone que el punto de ajuste R corresponde a la altura en estado estable H. El punto de consigna está fijo. Suponga también que el caudal de entrada de perturbación qd, que es una cantidad pequeña, se aplica al tanque del agua en t=0. Esta perturbación hace que la altura cambie de H a H+h. Este cambio provoca un cambio en el caudal de salida mediante qo. A través del controlador hidráulico, el cambio en la altura provoca una modificación en el caudal de entrada de Q a Q+qi. (El controlador integral tiende a conservar la altura lo más constante posible en presencia de perturbaciones.) Se supone que todos los cambios son de cantidades pequeñas. Se supone que la velocidad de la potencia del pistón (válvula) es proporcional al desplazamiento de la válvula piloto x, o bien
1 1 2 , 0.50.7 5, ,14 , −0.. 25 ,
donde k1 es una constante positiva. Se supone también que el cambio en el caudal entrante qi es negativamente proporcional al cambio en la apertura de la válvula y, o bien
donde Kv es una constante positiva. Suponiendo los siguientes valores numéricos para el sistema,
obtenga la función de transferencia H(s)/Qd(s).
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7 b) Defina las variables de estado como sigue:
Escribe las ecuaciones de estado y dibuje el diagrama de estado con estas variables de estado. Encuentre las funciones de transferencia Y1(s)/F(s) y Y2(s)/F(s).
1 ℎ∆ ℎ ℎℎ ,ℎ ∑∙ ℎ ℎ ̇ ̈ ̇ ̇ ̇ ̈ ̇ ̇ 0 ℎ ℎ ̈ ̇ ̇ 11 ℎ 2 ℎ 2ℎ ̈ ̇ ̇ 40.250.0.25 75ℎ 2 2 221 2 2 211 2 2 21 2 1 ̇ 2 ̇ ̇ ̇
Se analiza cada sistema y mediante la sumatoria de fuerzas determinamos las ecuaciones diferenciales y posteriormente encontrar los diagramas de flujo. a) Ecuaciones.
B. Ejercicios de Kúo
Ejercicio 4-1.
Escriba las ecuaciones de fuerzas de los sistemas lineales de traslación que se muestran en Figura. a) Dibuje los diagramas de estado empleando el número mínimo de integradores. Escriba las ecuaciones de estado a partir de los diagramas de estado. Cuenca-Ecuador
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8
̇ ̇ ̇
̈ ̇ ̇
b) Ecuaciones
̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ̇
Ejercicio 4.3
1
Escriba las ecuaciones de par de los sistemas de rotación mostrados en la figura. Dibuje los diagramas de estado empleando el número mínimo de integradores. Escriba las ecuaciones de estado a partir de los diagramas de estado. Encuentre la función de transferencia Ɵ(s)/T(s).
Cálculo de la ecuación general del sistema:
c) Ecuaciones.
Cuenca-Ecuador
J 2 2 J11
B
B
2
J m m
1
K2
2
1
m
K 2 m
K 1 m 2
1
2
K 1
m
1
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2
1
m
B2
2
J 2 B1 J1
K 2 J m
m
J 2
K 1
1
K 2
m
2
L1
m
1
L2
1
1
2
m
1 1 K K 1 s s J s J 1 B B s J J s 1 B B s J J s K 1 1 K 1 J s s s J K 1 1 K 1 J s s s J 2
m
X 2
1
X 3
m
X 4
X 5
2
2
J m
m
1
L3
1
1
L4
1
2
2
2
m
2
L5
2
1
L6
Ecuaciones de Estado:
X3
X 2
X 3
X 4
K1 J1
K 2 J m
X3 K 2 J 2
X4
B1
X 2
2
2
J 1
K1 Jm
B2 J 2
1 B B 1 1 s J1 J1s K 1 2 2
L M 1 X 1
T
L M
J m
X 5
X4
2
Ganancia de las Mayas que no se Tocan:
X 2
X1
1
2
2
X 1
1
2
1
2
m
1
1
X 1
K 1 1 K 1 J s J s s
m
K 1
Variables de Estado:
X 5
m
J 1
2
9
J m s
1 B B 2 2 s J 2 J 2 s K 2 4 2
L M 3
X 5
Graficas:
L M
J m s
Se debe hacer las distintas combinaciones:
B2
L1
L2
L3
1 1 K 2 K 2 1 2 s s J J s
J 2 s
K 2 J 2 s
2
m
Mayas que no se tocan: L M 1
Función de Transferencia: L M 2
Trayectoria Directa: M 1
1 J
m
1 1 K1 1 1 s s J1 s
Ganancia de las Mayas individuales:
Cuenca-Ecuador
K 1 3
s J m J 1
B2
J 2 S K 2
2
J m S
Se arma la función de Transferencia:
m
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10
K1 J 2 s B2s K 2 T s s 2
1 s
K 2 J1s B1s K 1 T s s s s 2{J 1J 2 J s 4 J B1 B2 s 3 K 1J 2 K 2J 1 J K 1 K 2 J 1J 2 B1B 2J s 2 2
2 s
m
m
m
m
B1K 2 B2 K1 J B1K 2 J 2 B2K1J 1 s K1K 2 J J 1 J 2 } m
m
Ejercicio 4-4 Un sistema de control en lazo abierto de un motor se representa en la Figura. El potenciómetro tiene un intervalo máximo de 10 vueltas (20 ). Encuentre las funciones de transferencia Se definen los siguientes parámetros y variables:
/.
Es el desplazamiento del motor. Es el desplazamiento de la carga. Es el par motor. Es la inercia del motor. Es el coeficiente de fricción viscosa del motor. Es el coeficiente de fricción viscosa del potenciómetro. Es el voltaje de salida. Es la constante del resorte torsional.
20 Ejercicio 4-5. Escriba las ecuaciones del par del sistema de tren de engranes que se muestra en la figura 4p-5. Los momentos de inercia de los engranes son . es el par aplicado; son los números de dientes de los engranes. Suponga que los ejes son rígidos.
N, N, Ny N J, J y J Tt J, J y J J, J y J
a) Suponga que son despreciables. Escriba las ecuaciones de par del sistema. Encuentre la inercia total del sistema. b) Repita la parte (a) con los momentos de inercia
Ecuación de salida :
20
Diagrama de estados:
a)La fuerza es generada por el motor por la siguiente ecuación diferencia, la cual no tiene componentes de fricción viscosa o de coulomb debido a que tomamos como ideales.
Tt J ddtθ T T NN T T T
Debido a la relación del número engranes con el torque podemos establecer:
Funciones de Transferencia: Cuenca-Ecuador
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T NN T T JL ddtθ θ NN θ θ NNNN θ N d T N JL dtθ T t J ddtθ NNNN JL ddtθ θ Tt J ddtθ NNNN JL ddtθ Tt J NNNN JL ddtθ
De igual mera sucede con desplazamiento angular.
Remplazamos algunos valores.
11
Tt J ddtθ J NN ddtθ NN NN J JL ddtθ N N N Tt J J N N N J JL ddtθ
Ejercicio 4-9
La Fig. 4P-9 muestra el diagrama de un sistema de rueda de impresión con bandas y poleas. Las bandas se modelan como resortes lineales con constantes K1 y K2. a) Encuentre las ecuaciones diferenciales del sistema empleado y y como las variables dependientes. b) Escriba las ecuaciones de estado empleando , como las variables de estado. c) Dibuje el diagrama de estado del sistema. d) Encuentre la función de transferencia .
,
e) Encuentre la ecuación característica del sistema.
Remplazamos
b) Al igual que el anterior literal se mantiene las relaciones del número de engranes con el troque, sin embargo en este caso se mantiene los momentos de inercia.
d T J dtθ T d T J JL dtθ d T J dtθ T d T J dtθ NN T T J ddtθ NN J JL ddtθ Tt J ddtθ J ddtθ NN J JL ddtθ
Remplazamos las relaciones:
Remplazamos en el torque ejercido por el motor.
Cuenca-Ecuador
a) Rotación
∝ 12 1221 2 2 1 12 12 12 12 Donde
Sustituyendo
Traslación
b) Variables de estado ,
,
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1 12 ̇ ̇ 112 ̇ 12
c)
12 Wm (t) es la velocidad del motor, y W r (t) es la entrada de referencia de voltaje. Al tomar la
Transformada de la Laplace en ambos miembros de la ecuación del voltaje considerando condiciones iniciales cero y resolver para , se obtiene:
Ω Ω
d) Función de transferencia Mediante Mazon
=1 ∆∆ −
Lo cual muestra que la información de la velocidad se puede generar al realimentar el voltaje y la corriente de armadura. El diagrama de bloques muestra un sistema de motor cd, con realimentación del voltaje y la corriente, para control de velocidad.
a) Sea Ki la ganancia muy grande de un amplificador. Muestre que cuando Hi(S)/He(S)= , la velocidad del motor Wm(t) es totalmente independiente del par de carga-perturbación TL
1 12 −− − 12 , ∆1 Ω ∆1− ∗∗− ∗ 12 0 ∞ ∑ Ω ∆ 1 = − − ∗ ∗1∗ 12 ∆ 1 1 1 − − Ω ∆1 12 12 ∆ 12− 112 ∆1 1− −12 Ω ∆ 0 12 12 12 12 12 12 0 Ω Ω 0 Ω ∑∞=∆∆
Para que la velocidad del motor sea independiente del par de carga , quiere decir que no debe existir relación entre estos dos parámetros, por lo que determinaremos la función de transferencia y la igualaremos a 0. Consideremos
Donde:
e)
Ejercicio 4-12.
La ecuación del voltaje de un motor de cd se escribe como:
En donde ea (t) es el voltaje aplicado, i a (t) es la corriente de armadura, R a es la resistencia de armadura, L a es la inductancia de armadura, K b es la constante de fuerza contra electromotriz, Cuenca-Ecuador
Despejamos y se comprobó que:
b) Encuentre la función de transferencia entre y (TL=0) cuando Hi(S)/He(S) se seleccionan como en la parte (a). Consideremos
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13
ΩΩ ∆ ∆1 ∆1 ΩΩ 1
ΩΩ
Ecuación de causa y efecto del sistema: e e
r 0
e K s
ea
Ke
ea
ia Ra La
ea eb L a
Resolvemos algebraicamente para reducir la ecuación
0 ΩΩ
Entonces de transferencia es:
J m m
T 2
dia dt
Raia
J m
m
dia
La
Bm
eb
dt
Tm Jm
nK l J m
n m
o
T m n
por lo tanto la función
Ejercicio 4-14:
J l o 2
engranes =Ɵ2/Ɵm=Tm/T2, Bm es el coeficiente de fricción
viscosa del motor (oz-pl-s), Jm es la inercia del motor (oz-plgs*s), Kl es la constante del resorte torsional del eje del motor, (oz-plg/rad) y Jl es la inercia de la carga (oz-plg-s*s). a) Escriba las ecuaciones de causa y efecto del sistema. Rearregle estas ecuaciones en la forma de ecuaciones de estado con x= , x= , x= , x= , y x=i a. b) Dibuje un diagrama de estado empleando los nodos que se muestran en la figura. c) Obtenga la función de transferencia de la trayectoria directa (con la trayectoria de realimentación externa abierta): G(s)= / Encuentre la función de transferencia de lazo cerrado M(s)= / .
.
K l 2 o
n m
Variables de estado:
x= , x=
La Figura muestra el diagrama de un sistema de control de un motor de cd para el control de la rueda de impresión descrita en la figura anterior. La carga en este caso es la margarita, la cual esta acoplada directamente al eje del motor. Se definen los parámetros y variables siguientes: Ks es la ganancia del detector de error(V/rad), Ki es la constante de par (oz-plg/A), K es la ganancia del amplificador (v/v), Kb es la constante de la fuerza contra electromotriz(V/rad/s), n es la relación del tren de
, x=
, x=
, y x=i a.
Ecuaciones de Estado:
X 1 X 2 X 2
Kl J l
nX 3
K l J l
X 1
X 3 X 4 X 4
Bm X 4 J m
Kl X 5 Jm
n2 K l X 3 Jm
nK l X 1 J m
Partiendo de : ea KK s e e
r o
eb K b m Sustituyendo :
ea eb Raia dia dt La La Obtenemos : X 5
Cuenca-Ecuador
Ra X 5 La
KK s
r o La
K b X 4 La
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14
/, 3 4/ sin cos1
y . Simplifique estas ecuaciones para al hacer aproximaciones: ,y
Funciones de transferencias Obtenidas: s s[ J
o s e
m
J l La s
n K R J 2
l
J
a
l
4
J l Ra J m B m J m
K l Ra J m
B mL a
s3 n2 K L l
K l Bm La s K i K b K l
o s r s
c) Obtenga un modelo en ecuaciones de estado linealizado en pequeña señal para el sistema de forma:
KKs K i nK l
a
Jl
K lL a J m B mR aJ l s
2
KKs K i nK l J La s m l
5
n K R J
2
l
a
l
J l Ra J m Bm J m
K l Ra J m
B mL a s
K l Bm La s
2
4
n K L J
K K i
2
l
b
Kl
a
l
cos sen sen cos 3 ; ; ; ;
a) Realizamos sumatoria de fuerzas en los ejes X y Y
Ra Bm K l ]
K l L a J m B mR aJ l s
Ra Bm K l s nKK s K i K l
3
También realizamos sumatoria de momentos, debido a que gira.
Diagrama de Flujo:
b) Reasignamos las variables a variables de estado, donde: Eliminamos primero las fuerzas ejercidas fx y fy; además sen y el cos( )=1
Ejercicio 4-23 La figura muestra es sistema conocido como “Péndulo invertido”. El objetivo des sistema es mantener la el péndulo en la posición vertical hacia arriba mediante una fuerza u(t)
aplicada al carro mostrado. En aplicaciones prácticas, el sistema es análogo al problema de control de una dimensión del balanceo de un monociclo o un misil inmediatamente después de su lanzamiento. Fuerza en la base de la escoba en la dirección horizontal Fuerza en la base de la escoba en la dirección vertical. masa de la escoba aceleración de la gravedad masa del carro momento de inercia de la escoba alrededor del centro de gravedad
a) Escriba las ecuaciones de fuerza en las direcciones x y y en el punto pivote de la escoba. Escriba las ecuaciones del par alrededor del centro de gravedad de la escoba. Escriba las ecuaciones de fuerza del carro en la dirección horizontal
1, 2
b) Exprese las ecuaciones obtenidas como ecuaciones de estado al asignar las variables de estado como Cuenca-Ecuador
De modo que las ecuaciones de estado quedan de la siguiente manera.
4 /3 3 3/4/4 0 1 0 0 0 3 0/4 0 0 23 /4 0 4 1/ 3 1 0 0 0 0 3 /4 2 3/4 13 /4 0 0 3/4
c. Armamos las matrices de estado.
0 1 0 0 ∆∆ 3 4 0 0 0 ∆∆ ∆∆ 30 00 00 01 ∆∆ 430 440 ∆ 4
Universidad Politécnica Salesiana Ejercicio 4-24 La Fig. 4P-24 muestra el diagrama de un sistema de control de suspensión de una esfera. La esfera de acero está suspendida en el aire mediante una fuerza electromagnética generada por un electroimán. El objetivo del control es mantener la esfera de metal suspendida en un punto de equilibrio nominal al controlar la corriente en el imán con el voltaje e(t). la aplicación práctica de este sistema es la levitación magnética de trenes o de cojinetes magnéticos en un sistema de control de alta precisión. La resistencia de la bobina es R, la inductancia es L(y)=L/y(t), en donde L es una constante. El voltaje aplicado e(t) es una constante con amplitud E. Sea Eeq el valor nominal de E. Encuentre los valores nominales de y(t) y dy(t)/d(t) en el equilibrio. Defina las variables de estado como x1(t)=i(t), x2(t)=y(t), x3(t)=dy(t)/d(t). Encuentre las ecuaciones de estado no lineales de la forma
, ∆ ∆ ∆
Linealice las ecuaciones de estado alrededor del punto de equilibrio y exprese las ecuaciones de estado linealizadas como: La fuerza generada por el electroimán alrededor del punto de equilibrio es , donde K es una constante proporcional y la fuerza de gravedad sobre la bola de acero es Mg.
.
0, 0, 0
Para el equilibrio Partiendo de
Cuenca-Ecuador
15
1 0 0 0 0 x1t it,x2t yt, x3t dydtt , 1 , 2 , 30 1 ̇ 213 121 2 ̇ 32 2 3 ̇ 21 3 ∆ ∆ ∆ 11 32 2 0 11 12 13 1 2 13 12 1 1 2
Linealización
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21 0, 22 0, 32 1, 2 0 31 2 12 2 32 2 12 2 33 0 ∆ ∆ ∆ 0 ∗ 20 20 0 0 ∗ 0 0
16
Aplicando diagrama de cuerpo libre:
Masa 1
Debido a que posee rodamientos no se considera la fricción.
C. Libro de Bishop
Ejercicio P2.2. En la Figura se muestra un amortiguador de vibraciones dinámico. Este sistema es representativo de muchas situaciones que entrañan la vibración de máquinas que contienen componentes desequilibrados. Los parámetros M2 y K12 pueden elegirse de forma que la masa principal M1 no vibre en el estado estacionario cuando F(t)=a sen(w ot). Obténgase la ecuación diferencial que describe el sistema.
Masa 2
1 2 2
Ejercicio P2.13
En la figura se muestra un sistema de control electromecánico en lazo abierto. El generador, que se mueve a una velocidad constante, proporciona el voltaje de excitación para el motor. El motor tiene una inercia y una . Obténgase la función de transferencia .El voltaje del generador puede suponerse proporcional a la corriente de excitación .
/
Analizamos cada masa, y que elementos interfieren para el amortiguador.
̈ ̇ ̈ 0si n
Ejercicio P2.3.
En la Figura se muestra un sistema acoplado de resortes y masas. Se supone que las masas y los resortes son iguales. Obténgase la ecuación diferencial que describe el sistema.
Cuenca-Ecuador
La relación del torque del motor viene dado por:
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1 ΛΛ Λ Λ
17
Donde el radio de los engranajes es:
Sabemos que
Haciendo la relación de Laplace y ley de Ohm para inductancias y resistencias tenemos:
La segunda parte nos da las ecuaciones:
Combinando las expresiones obtenemos la relación:
Ejercicio P2.17
En la Figura P2.17 se muestra un sistema mecánico, que está sujeto a un desplazamiento conocido x3(t), con respecto a la referencia. (a) Determínense las dos ecuaciones independientes de movimiento. (b) Obténganse las ecuaciones de movimiento en función de la transformada de Laplace, suponiendo que las condiciones iniciales son iguales cero. (c) Dibújese un grafo de flujo de señal que represente el sistema de ecuaciones. (d) Obténgase la relación T13(s) entre XI(s) y X(s), empleando la fórmula de la ganancia de flujo de señal de Mason. Compárese el trabajo necesario para obtener TI3(S) por métodos matriciales o utilizando la fórmula de la ganancia de flujo de señal de Mason.
.Realizamos la sumatoria de fuerza en cada una de las masas donde: Fuerza de Resorte
∆ ∆ ̇ ̈ ̇ ̇ 0 ̈ ̇ ̇ 0 ̈ ̇ ̇ 0 ̈ ̇ ̇ 0 0 ̈ ̇ ̇ 0 0
Fuerza de friccion
b) Transformamos a Laplace.
Al igual hacemos con la segunda ecuación de movimiento
Establecemos las ganancias
Cuenca-Ecuador
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1 1
18
ℎ ∫1.6 ℎ
La constante del motor es Km=10 y la inercia del eje del motor y la válvula es J=6E-3 Kg*m^2. Determine a) La ecuación diferencial para h(t) y v(t). b) La función de transferencia H(s)/V(s).
Establecemos el diagrama de flujo de señales.(Cambiar)
d) Aplicamos la fórmula de manson Trayectorias directas
∗ ∗ ∗ ∗ ∆ ∆1 ∆1 ∗ ∗ ∆1 ∗ ∗ = ∆∆ ∗1 ∗∗∗∗ ∗
Hallamos
, eliminando las trayectorias directas
Mallas
De modo que:
Formula de Manson
Ejercicio P2-48
El nivel de agua h(t) se controla por un sistema en lazo abierto tal como se muestra en la figura P2.48. Un motor de cc controlado por una corriente de inducido ia gira un eje abriendo una válvula. La inductancia del motor de cc es despreciable, es decir La=0. También la fricción rotacional del eje del motor y la válvula es despreciable, esto es, b=0. La altura del agua en el tanque es: Cuenca-Ecuador
∝ ̇ ∗ 5010 10 ̇ ∗ ℎℎ∫1.6 ℎ ℎ 1.1.66 ̇ ℎℎ ℎ 1.6 ̈ ℎ ℎ 1.6 ̈ 1.6 ̇ ℎ ℎ 1.6 ̈ 1.1.66 ℎ ℎ ℎ ℎ 1.6∗ ℎ ℎ ℎ ℎ 1.65010 ℎ ℎ 1. 6 5∗ 10 ̇ ℎ ℎ 1.56 5∗ 10 ℎ 1.16 ℎ 1.16 ℎ ℎ ℎ ℎ ℎ 1.6 ∗5∗ ∗ ∗10 1 0 ℎ 1 10 ℎ 10 ℎ 1.6 ∗5∗ ∗ ℎ 1 10 ℎ 10 ℎ 8 ∗
Universidad Politécnica Salesiana b)
1 10810 8 ∗ 1 108 10 10 10
Ejercicio E3.16.
Dos carros con fricción despreciable en las ruedas se conectan como muestra en la figura. Una fuerza de entrada es u(t). La salida es la posición del carro 2, es decir, y(t) =q(t). Determínese una representación en el espacio de estados.
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Ejercicio P3.2
0 0 1 0
En la gráfica se muestra una red de puente equilibrada
2 0 0 2 1 1 1 , ,
a) Demuestre que las matrices A y B para este circuito son:
b) dibújese el diagrama de bloques. Las variables de estado son
∙ ̈ ̈ ̇ ̇ ̇̇ ̇ 0 ̇̇ ̇ ̇ 0 ̇ ̇ ̇ ̇
Mediante la sumatoria de fuerzas nos queda:
Ahora definimos:
Remplazamos en las primeras ecuaciones.
Para ingresar los coeficientes en la matriz debemos despejar las entradas.
̇̇ 0 1 0 0 01 ̇̇ 0 0 0 1 [ 00 ] [ ]
Entonces:
Finalmente ubicamos los coeficientes en la matriz de salidas.
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Desarrollo:
1 ∫ ̇ ∗ ̇ ̇ ̇̇ ̇ 1
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1 0.100706 ̇ 2 1 1 0. 0 06 ̇ 2 1 1 ℎ / 50ℎ 80 ̇ 2 1 1 ̇ 2 8 050ℎ ̇ 1 1 1 ̇ 1 ̇ 501 8050ℎ1 85 2 ̇ ̇ 2 3 2 ̇̇ 0 20 ̇ ̇ 3 1 1 353 25000 ̇ 3 30 3 ̇ Ejercicio P3.36
Determínese una representación en el espacio de estados para el sistema mostrado en la figura. La inductancia del motor es despreciable, la constante del motor es , la constante de la fuerza contraelectomagnética es la fricción del motor es despreciable. La inercia del motor y la válvula es , y el área del tanque es de 50 . Obsérvese que el motor está controlado por la corriente de inducido . Sea , y . Supóngase que , donde es el ángulo del eje. El flujo de salida es .
La relación de caudal en la llave se da por:
Encontramos las derivadas parciales obteniendo las siguientes ecuaciones:
Al tener las ecuaciones de estado tenemos que:
Ejercicio PA3.1. Considérese el sistema de suspensión electromagnética mostrado en la Figura PA3.1. En la parte superior del sistema experimental se sitúa un electroimán. Utilizando la fuerza electromagnética f, se desea suspender la bola de hierro. Obsérvese que este sencillo sistema de suspensión Cuenca-Ecuador
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02 10 20 0 0 Ω 0 1.06 01, 1 0 0 ⁄ 2. 9 ∗ − 10 ⁄ ̇ ∙ − ∙ 1 0 0 1 0 0 ∙ 00 10 01 ( 0 1 0 − 0 2 2 0 0 ∙ 1 ̇ 0 0 ) 2∗ ∗∗ 2 ̈ ⁄ 36. 8 45.67 4493205195 ̇̇ ̇ 1 electromagnética es esencialmente poco práctico, por lo que resulta indispensable el control realimentado. Como sensor de espacio se coloca debajo de la bola una sonda de inducción estándar del tipo de corriente de fuga [25]. Supóngase que las variables de estado son , y . El electroimán tiene una inductancia L = 0.508 H Y una resistencia R = 23.2 . Utilícese una aproximación de series de Taylor para la fuerza electromagnética. La corriente es , donde es el punto de operación e i es la variable. La masa m es igual a 1.75 kg. El espacio es xg = (Xo + x), donde Xo = 4.36 mm es el punto de operación y x es la variable. La fuerza electromagnética , donde .
De modo que las ecuaciones de estado quedan de la siguiente manera;
Determinamos la función de transferencia
Definimos las variables de estado como:
Planteamos las ecuaciones de movimiento, por medio de sumatoria de fuerzas y la ley de voltaje de Kirchhoff obtenemos las otras dos ecuaciones donde:
Resolviendo la matriz
Remplazando valores obtenemos:
Ejercicio PM3.3.
Como el voltaje controla el nivel de fuerza y corriente, esa seria nuestra variable de entrada.
Considérese el circuito mostrado en la Figura. Determínese la función de transferencia Vo(S)/Vin(s). Supóngase un amplificador operacional ideal. a) Determínese la representación en variables de estado cuando
Despejando las variables y ordenándolas por matrices no queda.
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R1=10KΩ ,
R2=10KΩ,
C1=0.5mF,
y
C2=0.1mF. b) Utilizando la representación en variables de estado del apartado (a), dibújese la respuesta a un escalón unitario con la función step.
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y1 d = y1
x1 2.5
x2 0
u1 0
Continuous-time state-space model.
Grafica:
Para encontrar la función de transferencia en un amplificador operacional se debe aplicar un partidor de tensión, en donde se relaciona la entrada con la salida, y en este caso por medio de las impedancias. Ahora definimos las impedancias.
1 1 1 1
Entonces reemplazamos en la función de transferencia la impedancia y nos queda: Script:
R1=1000;R2=1000;C1=0.0005;C2=0.0001; numerador=[(R2*C1) 0]; denominador=conv([(R1*C1) 1],[(R2*C2) 1]); sys_tf=tf(numerador,denominador) %literal (a) % sys_ss=ss(sys_tf) %lietral (b) %
sys_tf = 0.5 s -------------------0.05 s^2 + 0.6 s + 1 Continuous-time transfer function. sys_ss =
x1 x2
x1 -12 4
En un sistema físico se deben definir las variables de estado al describir un cambio con respecto al tiempo, es decir una variable de estada en la primera derivada. 2. ¿Bajo qué condiciones el número de variables de estado de un sistema físico no es igual al número de elementos que almacenan energía?
Cumple esta condición cuando el sistema posee más acumuladores que su orden de ecuación diferencial, pues es necesario una cantidad igual al orden de la ecuación que describe el sistema.
El tipo que gobierna es la fricción estática.
Respuesta:
x1 x2 b =
1. Describa como se deben definir las variables de estado para un sistema físico.
3. Entre los tres tipos de fricción descritos, ¿cuál es el tipo gobernado por una relación matemática lineal?
step(sys_ss)
a =
D. Preguntas del libro de Kuo:
x2 -5 0
u1 4 0
c =
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4. Dado un sistema de dos engranes con desplazamientos angulares y , números de dientes y , y pares y , escriba las relaciones matemáticas entre estas variables y parámetros.
5. ¿Cómo se emplean los potenciómetros en sistemas de control?
En los sistemas de control los potenciómetros se emplean para indicar la posición absoluta de un sistema o la posición relativa, es decir sirve para modificar el sistema de referencia del sistema de control, además pueden ser utilizados como detectores de eror.
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6. Los codificadores digitales se emplean en sistemas de control para detección de posición y velocidad. Considere que un codificador se ajusta para producir 3600 cruces por cero por revolución. ¿Cuál es la rotación angular del eje del codificador en grados si se detectan 16 cruces por cero?
La rotación angular es:
16∗2 3600 0.02792 1.6°
7. El codificador descrito en la pregunta de repaso 6 y un reloj electrónico con una frecuencia de 1 MHz se emplean para medir velocidad. ¿Cuál es el promedio de velocidad del eje del codificador en rpm si se detectan 500 pulsos de reloj entre dos cruces por cero consecutivos del codificador?
1∗10500pulspulos/sosesgundo 2000 cruces por cero/segundo crucreevpor cer2000o cruces por cero/segundo segundo 36000.5c55rucesrporev cero/segundo s e gundo 33.33 rpm
8. Establezca las ventajas de motores en cd en aplicaciones de sistemas de control.
Son más fáciles de controlar con respecto a los motores ca, debido a que los motores ca a que estos tienen un comportamiento no lineal Tienen una relación par-inercia muy alta y constantes de tiempo muy bajas. Además, el par desarrollado en el eje del motor es directamente proporcional al flujo en el campo y a la corriente de armadura, por lo que son más fáciles de controlar. 9. Cuáles son las fuentes de las no linealidades en un motor de cd?
23 produce en las terminales de un conductor cuando se mueve por un campo magnetico y este tiende a oponerse al flujo de corriente del sistema o circuito. 12.¿Cuales son las constantes de ti empo electricas y mecanicas de un motor electrico?
Ki: Constante del par. Kb: Constante de la f.e.c.m.
13. ¿Bajo qué circunstancias la constante ki de un motor de cd es válida, y como se relacionan con la constante de la fuerza contra electromotriz kb?
Su relación esta mostrada por la potencia mecánica desarrollada en la armadura: O también como
746550 1.356
Igualando ecuaciones tenemos que
Por lo que
14. Para un sistema amplificador/motor de cd si el amplificador tiene características de saturación ¿Qué parámetros de desempeño limitan la saturación? Fig-4-52 Cuando el amplificador está sujeto a saturación se da cuándo | | ≤ .
Ω
La ecuación del par estacionario es: Y por la pendiente de la curva para- velocidad bajo saturación del amplificador la cual está limitada por:
Existen dos y son: La zona muerta, esto pasa cuando el motor no funciona a valores menores de su tensión limite o nominal, cabe recalcar que en un motor existe un rango de tensiones en las que por más que esté conectado el motor no gira, y la otra fuente es la de saturación magnética. 10. ¿Cuáles son los los efectos de la inductancia y de la inercia en un motor de cd?
Principalmente se comienza a reducir el par de fuerza que produce el motor de cd. 11.¿Que es la fuerza contraelectromotriz, y como afecta al desempeño del de un sistema de control?
La fuerza contraelectromitriz o f.c.e.m es aquel voltaje que se Cuenca-Ecuador
15. Una carga inercial y de fricción están manejadas por un motor de cd con un par Tm, la ecuación dinámica del sistema es:
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24
Si la inercia se duplica ¿Cómo afectara a la velocidad de estado estable del motor? ¿Cómo se afectará la velocidad en estado estacionario si se duplica el coeficiente de fricción ? ¿Cuál es la constante mecánica del sistema?
Se conoce que J es la inercia del motor y B fricción viscosa del eje del motor, la inductancia del motor se desprecia. Al aumentar el duplicado, la velocidad empieza a bajar constantemente reduciéndolo aproximadamente a cero. Para la constante mecánica del sistema será la suma de más son fricciones aparecidas en el torque.
16. ¿Qué es un tacómetro y como se emplea en sistemas de control?166
Es un instrumento para medir la velocidad de rotación de un mecanismo de la máquina al que va acoplado; generalmente, indica la velocidad en revoluciones por minuto.
El voltaje de salida del tacómetro se relaciona con la velocidad angular del motor a través de una constante :
La posición angular del engrane de salida se relaciona con la posición del motor a través de la relación del engrane:
17. ¿La técnica de linealización descrita en este capítulo produce siempre un sistema lineal variante con el tiempo? 183
Cuando se linealiza un sistema no lineal, en un punto de operación, el modelo lineal obtenido puede contener elementos variantes con el tiempo, no necesariamente al linealizar un sistema se obtiene un sistema lineal variante con el tiempo ya que el comportamiento de los diferentes sistemas físicos no responde de forma lineal e ideal. 18. Exprese la función de transferencia de un retardo puro
.
Este concepto es aplicado para sistemas con transmisiones hidráulicas, neumáticas o mecánicas. Si la velocidad del flujo de una solución mezclada es v pulgadas por segundo y d es la distancia entre los puntos de mezcla y medición, el tiempo de retardo puro viene dado por:
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T dv segundos
