Des Exercices

Exercices Température et thermomètres Exercice 1. Conception d’un thermomètre à liquide Vous voulez construire un thermomètre donnant des températures comprise entre 0°C et 200°C. Vous disposez d’un tube capillaire cylindrique en verre qui pour une longueur de tige utile de 30cm contient un volume de 24mm3. Ce capillaire est relié à un réservoir de verre. Calculez : 1. Le volume du réservoir. 2. La masse de mercure à utiliser. 3. La sensibilité de l’appareil en mm3 par °C. 4. Quelle pourrait être la résolution de l’appareil ? Cela induirait-il une graduation aisée ? Que proposeriez-vous comme graduation ? Données : densité du mercure à 0°C : dHg = 13,6 ; coefficient de dilatation apparente du mercure dans le verre : =1/6400 ; la distance entre deux graduations ne peut être inférieure à 0,5 mm.

Exercice 2. Correction de la colonne émergente d’un thermomètre Un thermomètre à mercure plonge partiellement dans un bain dont on veut déterminer la température . Quand on l’enfonce jusqu’à la division n = 10 de la tige, il indique  = 75,00 °C, et quand on l’enfonce jusqu’à la division n’ = 60, il indique ’ = 75,25°C. 1. Quel type d’erreur commet-on si l’on néglige le phénomène ? Est-ce une erreur par défaut ou par excès ? 2. Déduire de l’expérience la température  du bain dans l’échelle de ce thermomètre à mercure. La température ambiant vaut : a = 15°C. On supposera que la colonne émergente est à la température ambiante.

Exercice 3. Formule empirique de correction de la colonne émergente d’un thermomètre.

Lorsque pour un relevé de température à l’aide d’un thermomètre à liquide, l’émergence est importante, la température lue doit être corrigée à l’aide de la formule suivante : c = l + n  (l - e) avec : c : température corrigée. l : température lue. n : nombre de graduation émergentes.  : coefficient de dilatation apparente du liquide thermométrique dans le verre.  = 1/6400  e : température moyenne de la colonne émergente, estimée à la valeur approchée suivante : où a est la température ambiante.

Dans un laboratoire la température est de 20°C. On y mesure la température de deux mélanges réactionnels avec des thermomètres à mercure identiques. Ils sont gradués tous les degrés, de 0°C à 400°C. Dans les deux cas, la première graduation émergente est celle indiquant 60°C. Les deux lectures de température sont les suivantes : 1er mélange : 105°C 2ème mélange : 298°C Quelles sont les températures des deux mélanges ? Comparer les résultats et conclure.

Exercice 4. Résidus de dilatation Un thermomètre à mercure donne les indications suivantes :  n100 = + 102 dans la vapeur d’eau bouillante sous la pression atmosphérique  n0 = - 2 dans la glace fondante Quelle est la température Celsius  lorsqu’on lit une indication n ? Application numérique pour n = 29.

Exercice 5. Thermomètre à mercure Un thermomètre à mercure est destiné à être utilisé entre 0 et 150°C. On néglige la dilatation de l’enveloppe de verre. La dilatabilité moyenne du mercure entre 0 et (température en °C) est : où a, b et c sont des constantes.

1. Définir l’échelle affine centésimale associée en exprimant t en fonction de a, b, c et . 2. Exprimer l’écart  =  -t entre la température Celsius  et la température t repérée sur le thermomètre. 3. Sachant que  = t à 150°C, déterminer les températures t1 et t2 pour lesquelles  passe par un extremum.

Exercice 6. Thermomètre à résistance de platine L’équation thermométrique d’un thermomètre à résistance de platine est, entre 0°C et 630°C, de la forme où R désigne la résistance du fil de platine à la température Celsius 

On donne a =2  ; b = 8,12.10-3 .°C-1 ; c = -1,2.10-6 .°C-2 1. Exprimer l’écart  =  -t entre la température centésimale linéaire t définie par ce thermomètre et la température légale Celsius , en fonction de . Application numérique pour  = 80°C. 2. Déterminer à quelle température  l’écart  passe par une valeur maximale. En déduire l’écart maximal.

Exercice 7. Comparaison de deux thermomètres à résistance de platine On considère deux fils de platine dont les résistances peuvent s’exprimer en fonction de la température , exprimée en degrés Celsius, par les relations : avec

a=2

b = 8,12.10-3 .°C-1 c = -1,2.10-6 .°C-2 et

avec

a’ = 15 

b’ = 7,35.10-2 .°C-1 c’ = -3,5.10-5 .°C-2

En utilisant comme grandeur thermométrique la résistance du fil de platine, on peut définir une échelle thermométrique linéaire centésimale (t ou t’). Calculer, pour chaque thermomètre, l’écart (t - ) en fonction de . Pour quel température cet écart est-il maximal ? En déduire l’écart (t – t’) entre les températures affichées par ces deux thermomètres à 50°C. Conclusion.

Exercice 8. Thermomètre à thermocouple. 1. La f.é.m. du couple plomb - cobalt, lorsqu’une des soudures est à 0°C, vaut 1,114 mV à 50°C, 3,902 mV à 150°C et 7,436 mV à 250°C. Vérifier que, dans le domaine étudié (0°C, 250°C) cette f.é.m. peut se mettre sous la forme :

et déterminer les coefficients a et b. 2. Si le thermocouple n’avait été étalonné qu’à 250°C, et en admettant pour E une loi de variation linéaire en fonction de la température , à quelle température l’écart par rapport à la loi réelle serait-il maximal ? On pourra tracer les deux courbes. 3. Quelle serait alors l’erreur systématique commise sur la mesure de cette température ?

Exercice 9. Étude graphique d’un thermocouple On maintient à 0°C l’une des deux soudures d’un thermocouple, et on porte l’autre soudure à différentes températures. On mesure la force électromotrice E du thermocouple :

 (°C)

0

50

100

200

400

500

E (mV)

0

4,5

8

12

8

0

1. Tracer la courbe E = () et montrer que E est de la forme :

2. On veut utiliser cette f.é.m. E pour définir une échelle linéaire centésimale t. Tracer E = (t) sur le même graphe que E = ().

3. Exprimer t en fonction de  et tracer t = () 4. Exprimer l’écart (t - ) en fonction de  et tracer la courbe correspondante. Conclusion ?

Exercice 10. Thermomètre à thermistance 1. La résistance d’une thermistance vaut 33,8 k à 273 K, 3,16 k à 333 K et 0,994 k à 373 K. Montrer que l’on peut relier la résistance R à la température absolue T par la formule :

Déterminer les coefficients A et B. 2. On veut utiliser cette thermistance à 300 K pour mesurer de très petites variations de température. Quelle est la plus petite variation de température que l’on puisse mettre en évidence, sachant que l’on peut mesurer une variation relative de résistance de 10-4 ?

Corrigé Corrigé des exercices

Exercice 1.

Conception d’un thermomètre à liquide 1

La grandeur thermométrique est le volume. À 0 = 0°C, le mercure occupe le volume V0 qui n’est autre que le volume du réservoir. À 0 = 200°C, il occupe le volume V0 + ΔV où ΔV représente le volume de la colonne utile du capillaire (ΔV = 24 mm3 ). Si

est l’expression du volume en fonction de la

température, nous pouvons identifier : 





AN : V0 = 768 mm3 2 3

Masse de mercure à utiliser : m =  V = 10,44 g La sensibilité est définie comme la variation de la grandeur thermométrique pour une variation de température donnée :

En utilisant l’une ou l’autre de ses relations, nous obtenons : s = 0,12 mm3/°C 4

La section du capillaire vaut :

Pour une élévation de température de 1°C, l’accroissement de volume est V1 = 0,12 mm3 et le niveau augment d’une hauteur :

Si l’œil est capable de séparer deux graduations distantes de 0,5 mm, cela correspond alors à une élévation de température de 1/3

°C… ce qui n’est pas très pratique ou usuel. On préférera graduer de 0,5°C en 0,5°C ; la distance qui séparera deux graduations sera donc de 0,75 mm. Exercice 2.

Correction de la colonne émergente d’un thermomètre

1 Tout le thermomètre n’est pas à la température du bain. Le liquide en contact avec l’air ambiant, plus froid que le bain, est moins dilaté. De ce fait, le niveau dans le thermomètre est plus bas que si la totalité du thermomètre était immergé. Il s’agit donc d’une erreur systématique par défaut. 2

Soit N et N’ les graduations lues. Dressons un tableau des deux situations :

Situation





Nombre de graduations immergées à la température  n = 10 Nombre de graduations qui dépassent à la température ambiante

n’ = 60

N’ – n’ = 15,2

N – n = 65

Analysons la première situation en détail. Pour 65 graduations à la température , la dilatation aurait du être : 65     En fait elle n’est que de 65    ambiante Il y a donc une différence de dilatation de : 65    ( - ambiante) La température corrigée doit donc s’exprimer par la somme de la température lue et de la correction à apporter : (1)

En raisonnant de la même façon pour la seconde situation, nous obtenons : (2)

Comme le coefficient de dilatation  n’est pas connu, il faut l’éliminer du système. (1) 

et

(2) 

En identifiant, nous obtenons :  = 75,33°C Exercice 3. Formule empirique de correction de la colonne émergente d’un thermomètre. Il s’agit simplement de calculs numériques. Pour la température lue de 105°C, la valeur corrigée sera de 105,44°C soit une correction de 0,44°C. Pour la température lue de 298°C, la valeur corrigée sera de 303,91°C soit une correction de 5,91°C. Conclusion : l’erreur systématique due à la colonne émergente est d’autant plus importante que le bain est à température élevée. Exercice 4.

Résidus de dilatation

Les 100 °C correspondent désormais à 104°C. Chaque graduation correspond désormais à 1,04°C (si l’on considère le phénomène comme linéaire). Pour une lecture de 29 graduations, la température correspondante sera donc de  = 29  1,04 = 30,16 °C Exercice 5.

1-

Thermomètre à mercure

Par définition d’une échelle centésimale

affine :

Comme,

détailler : et

on peut

Cela permet d’obtenir une expression de t :

D’où

2-

3-

Il existe donc une différence  entre la température « vraie »  et la température mesurée t :

Il y a un extremum si

En se rappelant que : d(uv) = u dv +v du , la dérivation aboutit à :

d’où

soit

Pour  =150°C,  = 0 :

(a)

d’où b = 250 c

En remplaçant dans l’équation (a), on obtient :

Cette équation a deux racines : 1 = 127,43 °C et  2 = 39,24 °C Exercice 6.

1-

Thermomètre à résistance de platine

L’écart = - t doit être défini. Par définition de l’échelle centésimale affine :

en prenant

Avec a = R0, la résistance à 0°C et La température  de l’échelle centésimale s’exprime donc par :

On peut dès lors exprimer  :

soit

Pour t = 80°C, on trouve  = 0,24°C 2-

Recherche de l’écart maximal. Nous recherchons à quelle condition

0 d'où



2ct - 100c =

tmax = 50°C

L’écart maximal est donc : max = 0,38°C Conclusion, il ne faut pas attendre d’un tel thermomètre une grande sensibilité. L’exercice suivant montre que la sensibilité augmente quand R0 est grand.

.

Exercice 7.

Comparaison de deux thermomètres à résistance de platine

Ben oui y a rien ! Va falloir chercher tout seul ! Exercice 8. 1-

Thermomètre à thermocouple.

De l’expression

on peut tirer

.

À 50°C :

À 150°C :

Si l’on multiplie la première relation par trois et que l’on soustrait les deux relations, nous obtenons :

d’où

a = 2,04110-

2

mV/°C La première relation permet d’obtenir b par substitution : b = 3,722105 mV/°C² On obtient une relation de la forme : E = 2,04110-2 t + 3,73310-5 t². À 250°C, elle fournit E250 = 7,436 mV comme indiqué dans l’énoncé. La relation est donc valable. NB : Nous aurions pu effectuer la régression linéaire avec t et E/t comme variables… ce qui est sûrement plus rapide. 2-

Dans ce cas, nous sommes amener à poser E = a’  avec a’ = 2,974102 mV/°C On pose

L’écart est maximal quand la dérivée de  par rapport à t est nulle :





A

N : t =125°C L’écart maximal vaut alors  = -19,6°C. Exercice 9.

Étude graphique d’un thermocouple

Pas de corrigé ici non plus Exercice 10. Thermomètre à thermistance 1-

Comme dans l’exercice 8, il convient de linéariser pour rechercher les coefficients A et B. On peut aussi effectuer une régression linéaire après changement de variable R  lnR et T  1/T. devient

soit par soustraction :

B = 3591 K

2-

et

A = 6,55710-5 

soit

La variation relative de résistance se note

petite variation R à la différentielle dR.

si l’on assimile la

Or



Pour T0 = 300 K ; nous obtenons :

L’instrument utilisé autour de cette température sera très sensible puisque capable de distinguer des écarts de température de l’ordre du millième de kelvin.