Derivati Projekt

Punoi: Igli Haka Mars 2015

Mbledhja dhe perpunimi i informacioneve mbi temen e dhene  Menahimi i veprimtarive per te !batuar njohurite e marra gjate oreve mesimore ne projekt  "bulimi# kuptimi dhe njerrja e lidhjeve te matematikes me lende te tjera si $!ike# ekonomi# kimi etj% 

Histori e shkurter e &nali!es matematikore  'uptimi i derivatit  (hembuj: "batime te derivatit ne fusha te tjera 



)e gj*smen e pare te shek% +,II# matematikanet ishin te interesuar te gjenin tangentet ne cdo pike te gra$kut te nje funksioni -per te gjetur vleren me te vogel dhe me te madhe. kurse $!ikantet interesoheshin per te gjetur shpejtesine dhe pershpejtimin e nje pike kur dime ekuacionin e vendodhjes se saj%

)e 1///# $!ikanti angle! Isak )juton paraiti metoden e kishte !buluar per te gjetur derivatin e nje funksioni% &i dha dhe kuptimin e derivatit si:  'oe$cienti i tangentes se gra$kut te funksionit *f-. ose si shpejtesi e castit te nje objekti vendodhja e te cilit  jepet me funksionin sf-t.%3  4erivati i funksionit f-. ai e llogariti si limit: 

4isa vite me vone# matematikani gjerman otfrid 6ajbnic# duke punuar ne men*re te pavarur# paraiti idene e tij e cila e lejonte gjithashtu te llogariste sakte derivatin e nje funksioni pa perdorur limitin%  &i percaktoi derivatin e *f-. si raport diferencialesh d*7d% 









Histori e shkurter e Analizes matematikore

Metoda e 6ajbnicit me e perdorura deri ne shek%+I+% Me pas# ishte matematikani 8uler# i cili beri nje pune te madhe duke aplikuar metoden e tij edhe ne matematike e shkence% )e fund te viteve 1900# disa matematikane si erkli# 'oshi# ,ajershtras $lluan te kritikojne standartet e &nali!es Matematike dhe metoden e sugjeruar nga 6ajbnic% Me 1;2/# 'oshi paraiti dhe shpjegoi ne Paris nje version te permiresuar te metodes se )jutonit% Me [email protected] 7 hB  A&B 'oe$cienti kendor i drejte!es &  m&% Po te marrim vlera sa me te vogla te h1duke iu afruar pikes &# atehere shpejtesia mesatare do jete sa koe$cienti kendor i drejte!es &1-Cormohet trekendeshi blu. Pra# per - h 0.# tangentja ne cdo pike te gra$kut# i afrohet me shume tangentes ne piken &# pra dhe koe$cienti msec  mtan .

lim A f-a>[email protected] 7 hB  f D-a.  x=a.

mtan = koef. i tangentes ne





4erivatet kane perdorim te gjere ne !gjidhjen e shume problemave matematikore por dhe ne fusha te tjera% Cillimisht na duhet te per permendim keto teorema ku ba!ohemi: )ese funkson f eshte i derivueshem ne segmentin Aa#bB: ◦ ◦ ◦

◦

 kur fD-. E0# fun% eshte rrites#  kur fD-. F0# fun% eshte !brites# 'ur fD-c.  0# funksion ka nje vlere me te vogel7me te madhe ne piken c%3

'jo teoreme na ndihmon ne shume problema per te gjetur vleren optimale -me te madhe ose me te vogel te nje funksioni sipas interesit tone.

Zbatime te derivateve Shembull: )a eshte dhene nje tel rrethues per nje fushe 200 metra i gjate dhe duam te rrethojme prane nje muri nje siperfae ne forme drejtkendeshi% 4uke perdorur kete material# gjeni siperfaen me te madhe e mund te rrethosh% Muri Zgjidhje: (henojme * # * permasat e *  drejtkendshit e duam% jatesia totale e telit rrethues do jete:  >2* 200 ⇒ 200@2*

4he siperfaja e rrethuar nga k* drejtkendes * ⇒&  -200@ 2 maksimale e &# pra gjejme derivatin e ketij 2*.*200*@2* )a duhet vlera funksioni: fD-&.200@G* "gjidhim ekuacionet: 200  >2* gjejme intervalin * B 0#100A dhe ekuacioni: 200@G* 0# gjejme *50 -pika e vetme kritike. * &200*@ Pra# siperfaja me e madhe e mundshme 2 rrethohet kur gjatesia *50 m% % 2* % 0 0 10 0

% 0

'jo siperfae ka vlere me te madhe &5000 m2

Zbatime te derivateve Shembull nga ekonomia: )je kompani prodhimi makinash I duhen 1;#000 per te prodhuar nje makine%

mimi i shitjes se makines ndr*shon sipas funksionit p-.J0#000 ? /0# ku  ? nr%i makinave te shitura% 'ostoja $kse e prodhimit# pavaresisht sasise se prodhuar# eshte 25#000% (a makina duhet te prodhoje kompania cdo jabe e te arrije te kete $tim maksimalK Zgjidhje: (henojme  ? nr e makinave e do prodhoje cdo jave%

'ostoja totale e kompanise eshte: -. 1;000  >25000  Le ardhurat nga shitja e makinave: =-.-J0000 ? /0 . Pra $timi I kompanise eshte: P-. Le ardhura ? 'osto =-.@-.  J0000@/02 ? -1;000>25000.

 ,lera kritike 100

⇒

P-.  @/02 >12000 @ 25000 PD-. @120 >12000  PDD-.  @120