Derivate Ed Integrali (Tabella Riassuntiva Regole)

Tabella 1.1 • • •

• • • • • • • • • • • • •

( ) D( a ) = a

Derivate di alcune funzioni elementari

( )

n D x m = mx m −1 da cui D x = x

x

( )

1

n ⋅ x n −1 = log x n

log x da cui D e x 1 1 1 D( log a x ) = = log a e da cui D( log x ) = x log a x x D( sen x ) = cos x D( cos x ) = − sen x 1 D( tan x ) = = 1 + tan 2 x 2 cos x −1 D( cot x ) = = −1 − cot 2 x 2 sen x D( senh x ) = cosh x D( cosh x ) = senh x 1 D( tanh x ) = = 1 − tanh 2 x 2 cosh x 1 D( arcsen x ) = 1 − x2 −1 D( arccos x ) = 1 − x2 1 D( arctg x ) = 1 + x2 1 D( sett senh x ) = 1 + x2 1 D( sett cosh x ) = 2 x −1 1 D( sett tanh x ) = 1 − x2

Tabella 1.2 Integrali immediati di alcune funzioni elementari x α +1 +C α +1

∫

dx

=2 x +C

•

α ∫ x dx =

•

∫ x = log x + C ∫ log x ⋅ dx = x log x − x + C ∫ sen x ⋅ dx = − cos x + C da cui ∫ sen

• • •

•

• • • • •

2

x ⋅ dx =

ax x x ∫ a dx = log a + C da cui ∫ e dx = e + C dx 2 ∫ cos 2 x = ∫ 1 + tan x dx = tan x + C dx ∫ sen 2 x = − cot x + C ∫ senh x ⋅ dx = cosh x + C x

(

)

∫ cosh x ⋅ dx = senh x + C dx ∫ cosh x = tanh x + C 2

dx

•

∫

•

x sen 2 x − +C 2 4 x sen 2 x 2 +C da cui ∫ cos x ⋅ dx = + 2 4 2 e ∫ tan x ⋅ dx = tan x − x

∫ cos x ⋅ dx = sen x + C

∫ senh

•

x

dx

•

•

da cui

2

x

= − coth x + C

dx

= arcsen x + C = − arccos x + K 1 − x2 dx ∫ 1 + x 2 = arctg x + C dx 2 ∫ 1 + x 2 = sett senh x + C = log x + x + 1 + C dx 2 ∫ x 2 − 1 = sett cosh x + C = log x + x − 1 + C

( (

) )

Tabella 1.3 Integrazione per sostituzione xn  ∫ B dx  n dispari ⇒ B = .... = t   B  a 2 − x 2 ⇒ x = a sen t ∫ x n dx  sostituisc o, con   2 2 n pari e B = ⇒ x = a senh t  a +x dx   2 2  ∫ xnB  ⇒ x = a cosh t  x − a   n ∫ x Bdx  1 x x ∫ R a dx ⇒ a = t x = log a t dx = t log a e ⋅ dt R( log x ) t t ∫ x dx ⇒ log x = t x = e dx = e dt x 2 ∫ R( sen x , cos x ) dx ⇒ tan 2 = t x = 2 arctg t dx = 1 + t 2 dt 2 2 ∫ R sen x, cos x, sen 2 x, cos 2 x , tan x , cot x dx

( )

(

)

⇒ tan x = t

x = arctg t

dx =

dt 1+ t2

 ax 2 + bx + c = t − a ⋅ x se a > 0  2 ax 2 + bx + c = t ( x − α ) se a < 0 ax + bx + c ⋅ dx ⇒  ∫ − b ± b 2 − 4ac  con α =  2a 2 t −b 2t 2 ∫ R ax + b , cx + d dx ⇒ ax + b = t x = a dx = a dt  gt 2 − b 2t ( ag − bh) ax + b  ax + b  R x , dx ⇒ = t x = dx = dt ∫  cx + e  2 2 hx + g a − ht a − ht 2   tm − c m m −1 m m ∫ R x, bx + c dx ⇒ bx + c = t x = b dx = b t dt

(

(

)

)

Tabella 1.4 Integrazione per parti ∫ f ′( x ) ⋅ g( x ) dx = f ( x ) ⋅ g( x ) − ∫ f ( x ) ⋅ g ′( x ) dx

(

)

Tabella 1.5 Integrazione di funzioni razionali fratte A( x ) a 0 x n + a 1 x n −1 + ... + a n = B ( x ) b0 x m + b1 x m −1 + ... + bm 1. se B ( x ) ammette radici reali distinte α 1 , α 2 ,...α n (di molteplicità 1) si ottiene: An A1 A2 A( x ) = + + ... + B( x ) x − α 1 x − α 2 x −αn 2. se B ( x ) ammette radici reali α 1 , α 2 ,...α n rispettivamente di molteplicità r1 , r2 ,...rn Arn Z rn B r2 A1 B1 A( x ) = + ... + + + ... + + ... + rn r2 B( x ) x − α 1 ( x −α 1 ) x −α 2 ( x −α 2 ) ( x − α n ) rn 3. se B ( x ) ammette radici reali α 1 , α 2 ,...α n di molteplicità r1 , r2 ,...rn e radici complesse coniugate: Arn A1 A2 A( x ) Bx + C = + + ... + + ... + 2 : p 2 − 4q < 0 2 rn B( x ) x − α 1 ( x − α 1 ) x + px + q ( x −α 1 ) In questi casi si ottengono integrali del tipo

A

∫ ( x − α ) dx = A log x − α

+C

Bx + C dx riconducibili + px + q (attraverso completamenti di quadrati e procedimenti di somma/sottrazione al dx Q x = arctg + C numeratore) ad integrali del tipo Q ∫ 2 2 m m m +x 4. se le radici complesse coniugate hanno molteplicità diversa da 1, si applica la formula di Hermite: date α 1 , α 2 ∈ ℜ di molteplicità r1 , r2 , e una coppia di radici complesse di molteplicità r3 (con N ( x ) polinomio di grado inferiore di una unità rispetto al denominatore): A( x ) A B Cx + D = + + 2 + B ( x ) x − α 1 x − α 2 x + px + q  N ( x) d    + dx  ( x − α ) r −1 ⋅ ( x − α ) r2 −1 ⋅ x 2 + px + q r3 −1  1 2   facilmente determinabili, e altri del tipo

∫x

2

(

)

Tabella 2.1 Sviluppi di Mc Laurin per alcune funzioni elementari +∞

xn n!

•

ex = ∑

•

sen x = ∑ ( − 1)

• • • • • • •

n=0

x 2 n +1 ( 2n + 1)! n =0 2n +∞ n x cos x = 1 + ∑ ( − 1) ( 2n ) ! n =1 2 n +1 +∞ x senh x = ∑ n = 0 ( 2n + 1)! +∞ x 2n cosh x = 1 + ∑ n =1 ( 2 n ) ! 2 n +1 +∞ n x arctg x = ∑ ( − 1) 2n + 1 n =0  1  x 2 n +1 +∞ n − arcsen x = ∑ ( − 1)  2    2n + 1 n =0  n  n +∞ n −1 x log ( 1 + x ) = ∑ ( − 1) n n =1 +∞

n

n=0

α   1 (1 + x ) con   = α ⋅ (α − 1) ⋅ ... ⋅ (α − n + 1)  n   n! convergente per x < 1 e per x ≤ 1 se α > 0 α

α  = ∑   x n n =0  n  +∞

n>0

Tabella 2.2 Serie notevoli n

•

progressione aritmetica:

1

∑ ( a + ( k − 1) v ) = 2 n( 2a + ( n − 1) v ) k =1

n

•

k −1 progressione geometrica: ∑ ax = a k =1

•

xn −1 x −1

n  n  n− k k n binomio di Newton: ( a + b ) = ∑  a b k =0  k 

n

1 1− x k =1 per − 1 < x < 1 ∞  n  ∑ cos( nx ) = ( − 1)  n = 1 

∑ ax

k −1

=

Tabella 3.1: Funzioni trigonometriche •

Relazioni generali sen x cos x 1 sec x = cos x tan x =

sen 2 x + cos 2 x = 1 cot x = •

•

cos x 1 = sen x tan x

Somma e sottrazione cos( x − y ) = cos x cos y + sen x sen y cos( x + y ) = cos x cos y − sen x sen y sen ( x − y ) = sen x cos y − cos x sen y sen ( x + y ) = sen x cos y + cos x sen y tan x − tan y tan ( x − y ) = 1 + tan x tan y

•

tan( x + y ) =

1 sen x

tan x + tan y 1 − tan x tan y

Duplicazione sen 2 x = 2 sen x cos x cos 2 x = cos 2 x − sen 2 x 2 tan x tan 2 x = 1 − tan 2 x cos 3 x = cos x 4 cos 2 x − 3 sen 3 x = sen x 3 − 4 sen 2 x cos 4 x = 1 + 8 cos 2 x cos 2 x − 1 sen 4 x = 4 sen x cos x 1 − 2 sen 2 x

(

•

csec x

Bisezione x 1 − cos x sen 2 = 2 2 1 cos 2 x = 1 + tan 2 x

)

(

(

)

cos 2

x 1 + cos x = 2 2

tan 2 x sen x = 1 + tan 2 x 2

Parametriche sen x =

tan 2

2 tan

x 2

1 + tan 2

x 2

Werner 2 sen x cos y = sen ( x + y ) + sen( x − y ) 2 sen y cos x = sen( x + y ) − sen( x − y )

(

)

x 1 − cos x = 2 1 + cos x

)

2 cos x cos y = cos( x + y ) + cos( x − y ) − 2 sen x sen y = cos( x + y ) − cos( x − y ) Tabella 3.2: Funzioni iperboliche •

Relazioni generali e x − e−x senh x = 2

( sett cosh x = log ( x ±

cosh x =

sett senh x = log x + 1 + x 2 1 − x2

1+ x 1− x x +1 sett coth x = log x −1 2 2 cosh x − senh x = 1 senh x tanh x = cosh x sett tanh x = log

) )

e x + e−x 2

tanh x =

con x ≥ 1 con x < 1 con x > 1

cosh ( − x ) = cosh x

•

Somma e sottrazione cosh ( x ± y ) = cosh x cosh y ± senh x senh y senh ( x ± y ) = senh x cosh y ± cosh x senh y

•

Duplicazione cosh 2 x = cosh 2 x + senh 2 x = 1 + 2 senh 2 x senh 2 x = 2 senh x cosh x

•

Bisezione cosh 2 x = cosh x =

cosh 2 x + 1 2 1 1 − tanh 2 x

e x − e −x e x + e −x

senh 2 x = senh x =

senh ( − x ) = senh x

cosh 2 x − 1 2 tanh x 1 − tanh 2 x

•

Parametriche x 2 cosh x = x 1 − tanh 2 2 1 + tanh 2

•

2 tanh

senh x =

x 2

1 − tanh 2

Werner cosh ( x + y ) + cosh ( x − y ) = 2 cosh x cosh y cosh ( x + y ) − cosh ( x − y ) = 2 senh x senh y senh ( x + y ) + senh ( x − y ) = 2 senh x cosh y senh ( x + y ) − senh ( x − y ) = 2 cosh x senh y

x 2