derivadas

Guía de Ejercicios Nº2 Derivadas

CÁLCULO I Profesor: Yerko Echeverría A.

1. I. DERIV DERIVA ADA DE UNA UNA FUNC FUNCIÓN IÓN EN UN UN PUNTO PUNTO.. INTERPR INTERPRET ETAC ACIÓN IÓN GEOM GEOMÉTR ÉTRICA ICA.. 2. 3. 4. Definición: Se llama deri represen enta ta deriva vada da de una una func funció ión n f(! f(! en un "un# "un#$$  % a, y se repres f ´ (a)

= D f (a) =

d f  dx

(a)

, al siguiente límite (si existe): f ′ (a )

5.

= xlim →a

− f (a ) = hlim → x−a

f ( x )

f (a

+ h ) − f (a ) h

!.

&. In#er" In#er"re re#ac #ación ión 'e$) 'e$)#ri #rica* ca* ". #. $l %&n'unt %&n'unt&& de fun%i&n fun%i&nes es reales reales de ariale ariale real real es tan ampli& ampli& *ue *ue es pr+%ti%a pr+%ti%amen mente te imp&sil imp&silee en%&ntrar pr&piedades generales para t&das. Si n&s restringim&s a las fun%i&nes %&ntinuas ya pueden estale%erse algunas pr&piedades imp&rtantes %&m& l&s te&remas de &l-an& y de eierstrass. /er& en las fun%i&nes %&ntinuas t&daía se plantean mu%h&s pr&lemas %&m& puede ser la determina%i0n de la re%ta tangente en un punt& de la gr+fi%a. 1&n la defini%i0n intuitia de *ue la tangente es la re%ta *ue t&%a a la %ura s0l& en ese punt& la re%ta de la primera figura n& sería tangente, mientras *ue en las &tras figuras haría arias tangentes (alguna astante extraa) en un mism& punt&. . . 2. 3. 4. 5. !. . ". #. 2. 2. 22. & %iert& es *ue esa defini%i0n defini%i0n intuiti intuitiaa s0l& es +lida +lida para la %ir%unferen% %ir%unferen%ia ia y %uras %uras similares: similares: %erradas y %&nexas (6sin a%hes7). /ara el %as& general ha%e falta una nuea defini%i0n *ue sea +lida siempre y *ue %&rresp&nda a la idea intuitia en l&s %as&s en *ue 8sta pueda apli%arse. 9 esa defini%i0n es la siguiente: 23. 6 La recta tangente a una curva en un punto P(a, f(a)) es la posición límite hacia la que 24. tienden las rectas secantes que pasan por ese punto P y por otro punto  de la curva, cuando el   segundo punto  se acerca a P!. P!.

25. 2!. 2. /ara p&der hallar la e%ua%i0n de esa re%ta tangente en el punt& de %&&rdenadas (a, f(a)), si la es%riim&s en f&rma punt&;pendiente: 2". 2".

y # f(a) $ m(% # a)

3. 3. ne%esitam&s saer el al&r de la pendiente m. 32. 33. /ara ell&, si tenemos en cuenta que la recta tangente es la posición límite de las secantes, entonces  su pendiente ser& el límite de las pendientes de las secantes , %&n l& *ue: 34. 35. 3!. 3. 3". 3#. 4. 4. 42. 43. 44. +,. +-. +&. +. +/. ,0. 5. 52. 53. 54.

Pun#$ Fi1$

 

Pun#$ Varia23e

/ /2

Rec#a

se% n