DERIVADAS................

DERIVADAS Continuando con el estudio de la segunda unidad lo iniciaremos con el estudio del cálculo diferencial que se ocupa de como varia una cantidad en relación con otra (LA DERIVADA). En el texto guía se encuentra desarrollada esta unidad con gran amplitud, sírvase colocarse en el segundo capítulo y conjuntamente con la guía iremos aprendiendo sobre el tema. La derivada se la utiliza en casos donde es necesario medir la rapidez con que se produce el cambio de una magnitud o situación. La definición tenemos en el texto base1, la misma que viene dada por: ( )

(

)

( )

Supuesto que ese límite.

Estimado estudiante tenga presente las diversas formas de representar una derivada que le presentamos a continuación: NOTACIÓN

f ´(x)

SE LEE

f prima de x Derivada de y con respecto a x

y'

y prima

( )

Derivada de f(x) d sub x de y

Razón de cambio y pendiente

En lo que respecta a la derivada con razón de cambio, es una aplicación de la derivada que se ocupa de hallar la Razón (o ritmo) de cambio de una magnitud respecto a la otra, es decir , la razón de cambio de una variable respecto de otra, que estén relacionadas por una función y=f(x) derivable.

Es una cuestión que aparece en una multitud de problemas prácticos, por ejemplo:

 Crecimiento de poblaciones  Ritmo de producción  Flujos de agua  Cantidad de dinero, etc.

En este punto le recomiendo que en primer lugar analice los ejercicios propuestos, en el capítulo dos, relacionados con la razón de cambio porcentual, para que se familiarice con la teoría y el proceso de variación de una variable respecto a otra. Ejemplo 1 Razón de cambio del precio respecto a la cantidad Sea p= 100-q2 (en dólares) la función de demanda del producto de una fábrica. Encuentre la razón de cambio del precio p por unidad con respecto a la cantidad q. ¿Qué tan rápido está cambiando el precio con respecto a q cuando q= 5? La razón de cambio de p con respecto a q es dp/dq SOLUCION

Cuando q=5, entonces ( ) Esto significa que cuando se demanda 5 unidades, un incremento de una unidad

extra

demandada

corresponde

a

un

decremento

de

aproximadamente 10 dólares en el precio por unidad que los consumidores están dispuestos a pagar.

Ejemplo 2 Un sociólogo está estudiando varios programas que pueden ayudar en la educación de niños de edad preescolar en cierta ciudad. El sociólogo cree que x años después de

iniciado un programa particular, f(x) miles de niños

estarán matriculados, donde

( ) ( )0 . ¿A qué razón cambiara la matricula? a) Después de tres años de iniciado el programa b) Después de 9 años?

Solución La razón de cambio de f(x) es f’’(x) ( )

(

)

( )

(

)

a) Después de 3 años la razón de cambio es: ( )

(

( ))

( )

Por lo tanto, la matricula estará creciendo a razón de 20/3 miles de niños por año b) Después de 9 años la razón de cambio es: ( )

(

( ))

(

)

Por lo tanto, la matricula estará decreciendo a razón de 20/3 miles de niños por año. Recta Tangente con Pendiente Si f está definida en un intervalo abierto que contiene a c y además existe el límite entonces, la recta que pasa por (c, f(c)) con pendiente m se llama RECTA TANGENTE a la gráfica de f en el punto (c, f(c)).

Para recordar La pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en el punto (c,f(c)) se llama PENDIENTE A LA GRAFICA DE F EN C Si en la definición descrita anteriormente, sustituimos Dx por h, y c por x asumiendo una recta

que va desde un punto P(x,f(x)) a un punto

Q(x+h,f(x+h)), tal como se ilustra en el texto base tenemos que la ecuación de la pendiente, también la pudiéramos escribir así:

(

)

( )

Calcular la derivada de la función dada y hallar la pendiente de la recta tangente a la gráfica para el valor especifico de la variable independiente, dado ( ) (

)

( (

)

(

(

(

)

( )

( (

)

(

))

)

(

) (

(

) )

)

(

)

)

)

Como queremos calcular m, en x=2, tenemos m=3(2)² = 1 Para encontrar

la derivada hemos usado la definición mediante limites, ahora

vamos a aprender varias reglas de derivación que permiten calcular las derivadas de una manera más sencilla y rápida y sin el uso directo de la definición del límite. Estar reglas se denominan teoremas, técnicas o propiedades de derivación. Reglas de Derivación Regla

Función

Derivada

Ejemplo

Regla de la constante

K

0

y=5

y` = 0

Regla de la Identidad

x

1

y=x

y` = 1

Regla de la potencia

xn

nx n

Regla

kf ( x)

kf ' ( x)

del

factor

1

y

x5

y 3x 5

y' 5x 4 y' 15x 4

constante Regla de la suma

f ( x)

Regla del producto

f ( x) * g ( x)

g ( x)

f ' ( x)

g ' ( x)

f ( x) * g ' ( x)

y Más

f ' ( x) * g ( x)

x2

y' 2 x 1 adelante

explicaremos Regla del cociente

f ( x) g ( x)

g ( x) * f ' ( x) f ( x) * g ' ( x) sig ( x) g 2 ( x)

0

lo con

ejercicios estas reglas

⁄

Derivar la función

⁄

(

+

⁄

⁄

)

⁄

( ⁄

(

)

(

)

)

Ejemplo 3 La demanda de los consumidores de ciertos artículos es ( )

unidades por mes cuando el precio del mercado es p

dólares por unidad.

a) Expresar el gasto total mensual de los consumidores del artículo como un función de p dibujar la gráfica. b) Utilice el cálculo para determinar el precio del mercado para la cual el

gasto de consumo es máximo.

SOLUCION a) E (p) = gasto total mensual = (demanda mensual)(precio por unidad) E(p)= (D(p))(p) E(p) = (-200p +12000)(p) E(p) = -200p(p-60) E(p) =-200p2 + 1200p

b) El precio del mercado para el cual el gasto de consumo es mayor es el punto donde la recta tangente es horizontal o: E’(p) = 400p + 12000 = 0 Cuando p = 30 entonces E(30)= 180000 dólares

La Regla del Producto y la Regla del Cociente Estimado estudiante confróntese al texto base capitulo dos sección tres, y lea detenidamente las reglas del producto y cociente para que luego se las memorice. Le recomiendo que no trate de aprendérselas como fórmula sino como un teorema teórico. Para Memorizar:

La regla del producto: “La derivada de un producto de dos funciones es igual a la primera función por la derivada de la segunda más la segunda función por la derivada de la primera.” La regla del cociente: “La derivada del cociente de dos funciones es igual al denominador por la derivada del numerador menos el numerador por la derivada del denominador, todo ello dividido por el cuadrado del denominador.”

Ejemplo 4 Hallar la derivada de la función dada ( )

(

)(

)

SOLUCION ( )

(

)(

)

(

)(

)

( )

Ejemplo 5 Hallar la derivada de la siguiente función utilizando las reglas adecuadas SOLUCION (

)( ) ( ( )

)

( )(

) (

)

Ejemplo 6 Hallar la derivada de la siguiente función ( )

(

)

SOLUCION ( )

( )

(

(

)( ) (

(

)( ) )

(

) (

(

) )

(

)

)

La segunda derivada Ahora que ya poseemos el conocimiento de cómo resolver la primera derivada podemos resolver la segunda derivada de una función que no es más que la derivada de la primera derivada. La segunda derivada expresa la razón de cambio de la razón de cambio de una función.

Para calcular la segunda derivada se utiliza las mismas reglas que para la primera, simplemente cuando ya tenemos la primera derivada la volvemos a derivar y obtenemos la segunda. La segunda derivada se denota como sigue:

( ) La segunda derivada expresa la razon de cambio de la razón de cambio de una función. Para calcular la segunda derivada se utiliza las mismas reglas que para la primera, Simplemente cuando ya tenemos la primera derivada la volvemos a derivar y Obtenemos la segunda. La segunda derivada se denota como sigue: ;y’’ Para Recordar:

Antes de encontrar la segunda derivada simplifique al máximo la primera derivada para que el cálculo de la segunda sea más sencillo. Le recomiendo comenzar con funciones no muy complicadas y luego analice las funciones que se utilizan la regla de la cadena

Ejemplo 41 Halle la segunda derivada de la función dada. Utilice la notación apropiada y simplifique la respuesta dado. y = (1- 2x3 )4 Solución En primer lugar calculamos la primera derivada. Como la función que vamos a derivar es una potencia utilizamos la regla de la cadena para derivar, de la siguiente manera: y'= 4(1- 2x3 )3 (-6x2 ) = -24x2 (1- 2x3 )3 Ahora, para obtener la segunda derivada vamos a derivar la primera, para lo cual aplicamos la regla del producto y luego de la cadena. y'= -24[x2 (1- 2x3 )3 ] y''= -24[(2)x(1- 2x3 )3 + x2 (3)(1- 2x3 )2 (-6x2 )] y''= -48x[(1- 2x3 )3 + 9x3 (1- 2x)2 ] y''= -48x(1- 2x3 )2 [(1- 2x3 ) + 9x3 ] y' '= -48x(1- 2x3 )2 [1- 2x3 + 9x3 ] y''= -48x(1- 2x3 )2 [1+ 7x3 ]

Derivadas de Orden superior Como usted domina las reglas de derivación podemos avanzar con la derivacion de Orden superior. Cuando se calcula la derivada de f(x) se obtienen f `(x), si derivamos otra vez f`(x) se obtiene f’’(x)(segunda derivada), si derivamos otra vez f’’(x) se obtiene f’’’(x)(tercera derivada) y asi sucesivamente.

Regla de la Cadena Estimado estudiante otro de los teoremas importantes dentro del cálculo diferencial, es el denominado “regla de la cadena” teorema que nos ayuda a derivar cualquier función. Analice en primer lugar la teoría correspondiente que se encuentra en el capítulo dos sección tres y luego analice los ejemplos.

Ejemplo 42 En una cierta fabrica, si C dólares es el costo total de producción de s unidades, Entonces

. Además, si se producen s unidades durante t

horas desde que se inició la producción, entonces s= 3t+ 50t. Determinar la intensidad de cambio del costo total con respecto a un tiempo de 2 horas después de iniciarse la producción. Solución Se requiere obtener dC/dt cuando t=2. De la regla de la cadena, se tiene

Derivando separadamente:

Sustituyendo estas derivadas en la primera ecuación: (

)(6t+50)

Cuando t=2 entonces s = 3(4) + 50(2) = 112 Por lo tanto cuando t=2, tenemos (

)

( ( )

)

(

)(

)

En consecuencia, 2 horas después de iniciarse la producción el costo total se Incrementa a razon de $3596 dólares por hora. Es momento oportuno de ampliar los conocimientos es por ello le Sugiero referirse al texto básico y realizar una lectura compresiva de: Análisis marginal y aproximaciones por incrementos:

Análisis Marginal. El cálculo se ha convertido en un instrumento importante para resolver algunos problemas que surgen en la Economía. Si para describir una cierta cantidad económica

se usa una función f, entonces, se emplea el adjetivo marginal para hacer referencia a la derivada f. En el texto base esta claramente desarrollado el marco teórico del análisis marginal y tiene algunos problemas resueltos, le ruego que los analice en forma detenida. Le recuerdo que todos estos conceptos los ha estudiado en la asignatura de Teoría Económica. Las derivadas C, A', R' y P' se llaman función de costo marginal, función de costo medio marginal, función de ingreso marginal y función de utilidad marginal, respectivamente. El numero C'(x) es el costo marginal asociado a la producción de x unidades. Si se interpreta la derivada como la tasa de variación o de cambio, se dice entonces que el costo varia con respecto a la cantidad de unidades producidas x a razon de C'(x) unidades monetarias por unidad de producción. Pueden hacerse afirmaciones semejantes para A'(x), R'(x) y P'(x) Si C es la funcion de costo y n es un entero positivo, entonces, por la definición de derivada, tenemos: ( )

(

)

( )

(

)

( )

Cuando la cantidad de n unidades producidas es grande, los economistas suelen tomar h = 1 en la formula anterior y estimar el costo marginal por C’(n) C(n + l) -C(n)

En este contexto, el COSTO MARGINAL ASOCIADO A LA PRODUCCIÓN DE N UNIDADES ES (APROXIMADAMENTE) IGUAL AL COSTO DE PRODUCIR UNA UNIDAD MÁS. Algunas empresas consideran que el costo C(x) de producir x unidades de un bien de consumo está dado por una formula como esta: C(x) = a + bx + dx2 + kx3.

En donde: La constante a representa un costo fijo por conceptos como alquiler, electricidad y calefacción, que son independientes del número de unidades producidas. Si el costo de producir una unidad fuera by no hubieran otros factores implícitos, entonces el segundo término bx en la formula representaría el costo de producción de x unidades. Cuando x es muy grande, entonces los términos dx2 y kx3 pueden afectan significativamente los costos de producción.

Derivaciones de funciones en forma implícita. La Derivación Implícita es una técnica muy sencilla basada en la regla de la cadena que permite calcular la derivada sin necesidad de resolver la ecuación explícitamente para x o para y. En el texto guía en el capítulo dos de la sección seis en los ejercicios resueltos se detalla la manera como resolver este tipo de ejercicios. a) Si queremos obtener dy/dx, derivamos término a término con respecto a x, considerando a y como una función de x. b) En cambio, si queremos obtener dx/dy, derivamos término a término con respecto a y, considerando a x como una función de y. Ejemplo 43 Hallar Dx dy si x5 y - xy2 + 3 = 0

Destruyendo los corchetes y agrupando los terminos que contienen dy/dx en un miembro y los independientes en el otro, tenemos que:

Cambiamos de signo a la derivada dx/dy, solamente para expresarla igual que a la derivada dy/dx, para poder sacar la siguiente conclusión al comparar estas dos derivadas.

Es decir que encontrando la una derivada podemos usar esta relación para encontrar la otra. Ejemplo 45

Solución Aplicamos el operador derivada en ambos miembros de la igualdad

Utilizando las reglas de la derivada anteriormente descrita (producto, potencia y regla

de la cadena)

En economía se utiliza la derivada implícita tanto en la práctica como en la teoría. La principal aplicación es para resolver problemas de TASAS RELACIONADAS O RAPIDEZ DE VARIACION RELACIONADAS, como se las denomina a las derivadas dx/dt y dy/dt, ya que están vinculadas o relacionadas efectivamente por medio de una ecuación.Tal ecuación puede usarse para evaluar una de la derivada cuando se conoce la otra; esto tiene muchas aplicaciones prácticas. Para Recordar: A continuación se dan algunas recomendaciones que le pueden servir de guía para resolver problemas de variación relacionadas, como una manera de complemento al procedimiento que se tiene en el texto base. 1. Leer cuidadosamente el problema varias veces y pensar en los datos y en las cantidades que se desea calcular. 2. Hacer un croquis o esquema apropiado y dar nombre a las variables y a las cantidades desconocidas.

3. Escribir los hechos conocidos expresando las rapideces de variación dadas (datos) y las desconocidas (incógnitas) como derivadas de las variables. 4. Encontrar una ecuación general que relacione las variables 5. Derivar con respecto a t ambos lados de la ecuación del punto 4 para obtener una relación general entre las razones de cambio respecto al tiempo. 6. Sustituir los valores y las derivadas conocidas y despejar la rapidez de cambio desconocida.

Ejemplo 46 La producción de cierta planta es Q = 0.06x2 + 0.14xy + 0.05y2 unidades por día donde x es el número de horas-trabajador calificado utilizado y y es el número de Horas –trabajador no calificado utilizado. Actualmente, se emplean 60 horas trabajador calificado y 300 horas-trabajador no calificado cada dia. Utilice el cálculo para estimar el cambio que debe hacerse en el número de horas de trabajo no calificado para compensar un incremento de 1 hora en el trabajo calificado, de manera que la producción se mantenga en su nivel actual

Solución El nivel actual de producción es el valor de Q cuando x = 60 y y=300. Es decir Q = 0.06 (60)2 + 0.14 (60)(300) + 0.05(300)2

Q = 216 + 2520 + 4500 = 7236 unidades Si la producción se debe mantener en este nivel, la relación entre trabajo calificado x y Trabajo no calificado y está dado por la ecuación

7236 = 0.06x2 + 0.14xy + 0.05y2

Que define y implícitamente como una función de x.

El objetivo es calcular el cambio en y que corresponda a un incremento de 1 unidad en x, cuando x y y estén relacionadas por esta ecuación.

El cambio provocado en y por un incremento de 1 unidad en x se puede aproximar mediante la derivada

. Para determinar esta derivada, se utiliza la

derivacion Implícita.

Es decir para mantener el nivel actual de producción, el trabajo no calificado se deberá disminuir en aproximadamente 0.9 horas para compensar el incremento de 1 hora de trabajo calificado.