Derivadas

FACULTAD DE MEDICINA ´ DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS ´ BELLO UNIVERSIDAD ANDRES ´ MATEMATICAS AVANZADAS - FMM007 PRIMER SEMESTRE 2010

GU´IA DE DERIVADAS

1. Calcular la derivada f 0 (x), de: (a) f (x) = 1 − 2x + 3x2 − 4x3 3x10 4x6 5x3 9 − + − 5 3 6 2 2 3 4 5 (c) f (x) = − 2+ 3− 4 3x 4x 5x 6x √ √ √ 3 4 3 4 (d) f (x) = 4 x − 6 x + 8 x5 1 1 1 (e) f (x) = √ − √ −√ 3 4 x x x

(b) f (x) =

3x2 − 4x + 5 √ 6 x    √ 1 1 1 (g) f (x) = x − + 2 x− √ x x x (f ) f (x) =

(h) f (x) =

(x3

+

1)2

·

(x2

−

1)3

2x +5 1 (j) f (x) = 2 x −x+1 1 (k) f (x) = + x5 sin(x) 1 + x2 x sin(x) (l) f (x) = 1 + x2 ax2 + bx + c (m) f (x) = sin(x) + cos(x) √ (n) f (x) = (2x + 1)(3x + 2) 3 3x + 2 q p √ (o) f (x) = x + x + x (i) f (x) =

x2

(p) f (x) = ln(x +

√

x2 − a2 ) −

2. Calcular y 0 de: (a) x3 + y 3 − 3axy = 0 (b)

x1/2

+

y 1/2

=

a1/2

(c) cos(xy) = x (d) x cos(y) = y sin(x + y)

3. Determine y 000 de las funciones: (a) y 2 − 2xy = 0

(c) y = (x2 + y 2 ) arctan

(b) y = tan(x + y)

(d) y = ln(sin x)

4. Determine y (n) de las funciones: (a) y = cos(ax)

(c) y = e2x

(b) y = ln(1 + x)

(d) y = ax

5. Demuestre que la funci´ on: (a) y = ex sin(y), satisface: y 00 − 2y 0 + 2y = 0 1 (b) y = (x2 + 2x + 2), satisface 1 + (y 0 )2 = 2yy 00 2  x x (c) y = 2e−2x + c + e , satisface y 00 + y 0 − 2y = ex 3

x a

x2 + a2 x

(e) y = 8(x − 1)ex , satisface (x − 1)y 0 = xy (f ) x2 + y 2 = a2 , satisface (1 + (y 0 )2 ) y 000 − 3y 0 (y 00 )2 = 0 y y (g) xesin(y/x) = c, satisface y 0 x cos = y cos −x x x √ m 6. Dada la funci´ on y = 2mx, demostrar que y 0 = y y 7. Si xn y m = (x + y)m+n demuestre que y 0 = x 8. Si ex − ey = ea verificar que y 0 =

ex ey − e2x e2y

9. Suponga que h(x) = f (x)g(x) y F (x) = f [g(x)], donde f (2) = 3, g(2) = 5, g 0 (2) = 4, f 0 (2) = −2 y f 0 (5) = 11, encuentre (a) h0 (2)

(b) F 0 (2)

10. Sea f (x) = x ln(e2x − 2) verificar que f 0 (ln 3) = ln 7 + 18 ln

√ 7

3

11. Sea f : R → R tal que f 0 (x) = ex (1 + cos2 (πx)) y se sabe que f (1) = 3. Muestre que: 2a(f −1 )0 (3) + f −1 (3) 1 = 1 a−e 2a2 (f −1 )0 (3) − 2(f −1 )0 (3) √ √  x− a 1 − 6a ln 3 √ , verificar que: f 0 (4a) + f (4a) = 12. Sea f (x) = ln √ 12a x+ a 13. Hallar la ecuaci´ on de la recta tangente a la curva y = 4x − x2 en el punto P (3, 7). 14. Hallar la ecuaci´ on de la recta tangente y normal a la curva y = x3 + 3x2 + x + 4 en el punto P (1, 5). 15. ¿En qu´e punto la tangente a la par´ abola y = x2 − 7x + 3 es paralela a la recta 5x + y − 3 = 0? 16. Encuentre la recta tangente a la curva de ecuaci´on   3 ln + x2 + y = sin(yx) 4 en el punto P donde la curva intersecta al eje de las abscisas (y = 0), con abscisa positiva (x > 0). 17. Sea g : R → R dos veces derivable con g 0 (x) 6= 0 en todo R y f : R → R definida por f (x) = cos(kg(x)) a) Demuestre que f , f 0 , f 00 , g, g 0 , g 00 satisfacen la relaci´on f 00 − f 0 · b) Calcule f (n) (0) para g(x) = x.

g 00 + (kg 0 )2 f = 0 g0

18. Hallar los m´ aximos y m´ınimos (si existen) en las siguientes funciones (a) f (x) = x2 − 6x + 11

(c) f (x) = x3 − 9x2 + 24x − 13

(b) f (x) = 1 + 4x − x2

(d) f (x) = x3 ex

19. Dado a > 0, verificar que la funci´ on de variable real   1 f (x) = a − − x (4 − 3x3 ) a tiene exactamente un s´ olo m´ aximo local y un s´olo m´ınimo local y que la diferencia entre los valores alcanzados es   1 3 4 a+ 9 a ¿Cual es el menor valor de esta diferencia para diferentes valores de a?. 20. Determine el mayor volumen de un cilindro de radio r y altura h, donde P = (h, r) recorre la recta L : ax + by = ab, a, b > 0 y a + b = 1. Analizar para que valor(es) de a este mayor volumen se maximiza.

21. Un envase TetraPak se fabrica plegando un rect´angulo de cart´on como indica la figura ( las regiones achuradas corresponden a los pliegues de las esquinas)

Se desea determinar las dimensiones ´ optimas a, x, y que minimicen la superficie del rect´angulo original para un volumen total de 1000 (litros) 22. Un globo esf´erico es inflado con gas, que ingresa a raz´on de 80[m3 /min]; en el instante en que alcanza un radio de 10[m]. Hallar la velocidad a la cu´al se est´a incrementando su radio. 23. Un embudo de forma de cono invertido tiene 5 [cm] de radio, 8 [cm] de altura, un l´ıquido fluye dentro del embudo a raz´ on de 12 [cm3 /seg] y fuera a 4 [cm3 /seg]. Con que rapidez sube el l´ıquido cuando se encuentra a 5 [cm] de altura. 24. Un barco se encuentra a una distancia de 15 [km] al este de un punto O, movi´endose hac´ıa el oeste con va = 20 [km/h]; otro barco se encuentra a 60 [km] al sur de O, movi´endose hacia el norte a 15 [km/h]. Determinar si los barcos se acercan o alejan al cabo de una hora y a que velocidad. 25. Hallar el ´area m´ axima del rectangulo inscrito en un tri´angulo rect´angulo de dimensiones 6 ; 8 ; 10 cm (Dos lados del rectangulo coinciden con los lados del ract´angulo). 26. Hallar el rect´ angulo de m´ axima ´ area, que puede inscribirse en una semicircunferencia de radio 10 [cm] (las bases deben coincidir).