Derivadas Parciales
August 5, 2022 | Author: Anonymous | Category: N/A
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Grupo de ejercicios 1
Derivadas Parciales
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La ecuación de onda Si nos paramos en la orilla del mar y tomamos una foto de las ondas, el rango muestra un patrón regular de picos y valles en un instante de tiempo. Vemos el movimiento vertical periódico en el espacio, con respecto a la distancia. Si nos paramos en el agua, podemos sentir como sube y baja el agua con las olas. Vemos el movimiento vertical periódico en el tiempo. En física, esta bella simetría se expresa mediante la ecuación de onda en una dimensión (espacial)
Donde w es la altura de la onda, x es la variable de distancia, t es la variable de tiempo y c es la velocidad de propagación de las ondas.
=+ = + Primero hallamos las derivadas parciales de la función con respecto a x, y luego con respecto a t, luego, las derivadas parciales de segundo orden de ambas: Con respecto a x el termino 3ct se convierte en una constante:
3 + 3 = ln 3+3 3+3 3 3 3+3 = 3+3 = 3+3 = ln3+3 3+0 = 3 = 3+3 3+3 + = 1 = + +−− +− =1∗ +
+− = + =+ + 1 → [+ ] + + Con respecto a t el termino 3x se convierte en una constante:
3 + 3 = ln 3+3 3+3 3 3 3+3 = 3+3 = 3+3 = ln3+3 0+3 = 3 = 3+3 3+3 + = = ∗ + +− = ∗ + − =
+
+− = ∗ + ∗ +−− = ∗ + +− + [ ] → = + + + + Luego de hallar las segundas derivadas parciales de la función podemos verificar si se cumple la igualdad de la ecuación, remplazando en la ecuación original de la onda:
= → [ ] = [ ] + + + + Grupo de ejercicios 2
Derivadas Direccionales.
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En el siguiente ejercicio encuentre la derivada direccional de la función dada en el punto indicado en la dirección señalada:
,, ,, = + ,, ,,, + ,, ,, = 4 +
Calculamos el gradiente de la función en el punto:
,, = ∇ ∇,, ,, → + + ′ ̅ ,, ∇ ∇,, ,, = 2 4 +2 +24 +2 +8 Evaluamos el gradiente En el punto:
∇ ∇1,1,1 1,1,1 =10108 El vector unitario:
= 2+ 2+ = 1 2 + 1 = √ 4=2 4 =2 = ||1 = 12 + Ahora podemos calcular la derivada direccional:
̅ ,, ,, = 10108 10108 ∗ ( 12 + ) =10+58 ̅ ,, ,, =
Grupo de ejercicios 3
Linealización y Diferenciación.
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Determine la linealización de L(x, y) de la función f(x, y) en P0. Luego determine una cota superior M, para la magnitud |E| del error de la aproximación f(x, y ) L(x, y) en el rectángulo R.
≈
|, | ≤ 1 || | ≤ 1 || ≤., , ≤.,||| ≤., , |=++ , Evaluamos la función f, fx y fy en el punto P0(0,0):
0,0 0,0 = 1++ = 1 + 0 + 00 = 1 0,0 = 1++ = 0+0+ 0+0+ = 0,0 0,0 0,0 = 1++ = 0+1 0+1 =1 Ahora remplazamos en la fórmula de la linealización:
+ ,, = + 0,0 0,0 =1+ =1+ 0 + 1 1 0 =++ Calculamos el valor de M, hallando fxx, fyy y fxy:
0,0 ==0 0,0 0,0 0,0 =1== | || = 0,0 0,0 = = Calculamos E:
|| ≤1 || ≤ 1 |,,| ≤ 12 ∗ ∗1 + 1 → 2 2 =
Grupo de ejercicios 4
Máximos y Mínimos.
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Identificar los extremos de la función reconociendo su forma dada o su forma después de completar cuadrados. Verificar los resultados empleando derivadas parciales para localizar los puntos críticos y probar si son extremos relativos.
,, = + + Graficando la función en GeoGebra nos muestra:
Completando cuadrados:
,, = 33+2+1 2 6+8 33 2 2916 +2 +4 + 2→+4+4 25 ,, =31 +2+2 1 >0 +2 > 0 Aplicamos el método de derivadas parciales
, =0 → , =66=0 , =0 → , = 4 + 8 = 0
Despejamos la variable de las ecuaciones resultantes
6 6 = 0 → 6 = 6 → = 66 = 1 4 + 8 = 0 → 4 = 8 → = 84 =2 1, 1,2 2 Ahora hallamos las segundas derivadas de las función con respecto a x y con respecto a y:
, , = 4+8 4+8 = 4
, = 66 66 = 6 = 6 > 0 = 4 > 0 = 0
Ahora hallamos el discriminante:
,, = = 6 ∗ 4 0 = 2 4 > 0 Teniendo en cuenta la prueba de las segundas derivadas parciales, la cual dice:
, >0, , , ,, >0, , = 24 = 6 1,2 1,2 Grupo de ejercicios 5
Multiplicadores de Lagrange
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Utilice el método de los multiplicadores de Lagrange para encontrar los extremos con restricciones de la función dada.
,, = √ + = = , , = √ + = = Desarrollamos las derivadas parciales de la función f(x,y) y de la restricción teniendo en cuenta el método de los multiplicadores de Lagrange:
,, = ,, → 2 = ∗ 2√ 1 1 ,, = ,, → 2 = ∗ 2 1 2 , = √ + =2 =2 3 = , = , =
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