Derivadas Parciales PDF
November 15, 2022 | Author: Anonymous | Category: N/A
Short Description
Download Derivadas Parciales PDF...
Description
Universidad Nacional de Ingeniería Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas
TEMA: DERIVADAS PARCIALES
Derivadas parciales Supong Supo nga a qu que e f es una función de dos variables x e y , si hacemos que qu e solo solo x va varí ríe e mi mien entr tras as que que y se mant mantie iene ne fija fija,, por por ej ejem empl plo o y = y 0 , donde y 0 es una constante, entonces, realmente estamos cons co nsid ider eran ando do una una func funció ión n de un una a sola sola varia ariabl ble, e, es deci decirr,
0 (; ( ( ; ); ).).
Si esta esta fu func nció ión n tien tiene e deri deriv vada ada en x 0 , en ento tonc nces es la ll llam amar arem emos os:: a)derivada parcial de con respecto a en denotamos con. o ; y o ) Y esta dado por f x ( x
f x ( x0 , y0 )
f =
x
( x
0
, y0 )
=
lim
x →0
f ( x0
+ x , y0
y la
) − f (x
x
0
, y0 )
Interpretación Interpre tación geométrica
Ecuación Ecua ción de recta tangent tangente e
, = , =
b) Análogamente, la derivada parcial de
con respecto a y en
la denotamos con f y ( x , o ) se obtiene manteniendo x fija o ; y
((= ;0))
o ; y o ) hallando la derivada ordinaria de f y ( x .Donde estará dado por
fy ( x0 , y0 )
=
f y
( x0 , y0 )
=
lim
y →0
f ( x0 , y0
)
+ y − y
f ( x0 , y0 )
y
y
Interpretación Interpre tación geométrica
Ecuación de recta tangente
= , y
,
=
Ejemplo Sea la función
,, = 1616 4
Determine las derivadas parciales de la función ,
f ( x ,y ) 1 6 4 x =
−
2
−
y
2
en el punto (1,2)
Ejercicio Sea la función
,, = 4
Determine las derivadas de la función ,
f ( x ,y ) 1 6 4 x =
−
2
−
y
2
en el punto (2,0)
En general para una función f de n variables la derivada parcial para
variable estará dado por:
= →lim ……. −, ℎ, +,…….ℎ …….,…….
observación De articular interés son la derivada en la dirección del eje x, denotada derivada en la dirección del eje y, denotada respecto a e respectivamente.
, y la
; llamadas derivadas parciales
Ejemplo Sea
+ + ;; = = ቐ0 , ,
Halle a)
;
Resolución
a.i) Si
;; ≠ 0;0
; ; ≠= 00; 0; 0
Continuando.....
= 2 2 ++ − + == + 3−+ +
a.ii)
0 0;;;; 0 = 0; 0
f ( 0 + hi ) − f ( 0 ) Lim h 0 h →
=
h 2 0 + 2 h0 2 Lim h→0
f ( h;0) − f (0;0) h
=
Lim h →0
h 2 + 02
−
f (0;0) =
h
0
Continuando....
De forma similar
;;
Ejemplo Halle
;; = + y
si
Observacion
La derivada también se puede denotar:
f x
( x ) 0
,
f y
( x ) , 0
D x f ( x0 ) , D y f (x0 )
Ejemplo Halle
z x
si
x 2 + y 2 − x z = f ( x; y ) = ln 2 2 x + y + x
Ejemplo Halle f 1 ( 0;0 )
si
(
xy x 2 − y 2 , si ( x; y ) (0;0) f ( x; y) = x 2 + y 2 0
, si ( x; y ) = (0;0)
Recordando Sea
z
=
f ( x; y )
x =
2
xy
e
Calcular
z z − y x z x y 1
Derivada de orden superior
Hemos visto que la derivada parcial respecto a la i-esima componente es:
()
Di f x
=
f x + hei Lim h h →0
−
()
f x
esta a es a su vez una nueva función, que se puede volver a derivar
Derivada de orden Superior Di f x + he j − Di f ( x ) x j ( Di f ( x )) = Lim h h →0
Notación
Sea
f : R
n
→
R
3 f f = = f zxy x y z x y z 3
f = f 2 = f yyx x y y x y
Ejemplo
Dada la función
e x + e y + xy si ( x; y ) (0;0) 2 2 f ( x; y ) = x + y 2 si x; y = 0;0 ) ( ) 2 2 ( f f
Hallar Ha llar
x
2
(0;0)
y
y
2
(0;0)
Teorema
Sea f : D 2 → una función continua para la cual, 2 son continuas en algún conjunto abierto D
f 1 , f 2 , f 12 , f 21 Entonces
2
f
2
f
x j xi = xi x j
Ejemplo a) Si
f ( x; y ) = e xy senx cos y
Calcular
2
f
−
xy
2
f
yx
b) Probar que la siguiente función es armónica
=
x 2 y 2 −
f ( x; y ) e sen se n(2 xy ) recordar que para que una función se armónica:
2
f 2 +
2
f 2 =0
x
y
f ( x; y ) = e xy senx cos y
Calcular
2
f
xy
−
2
f
yx
Ejemplo
Dada la función
4 − 4 xy 3 x 3 y , si x − y f ( x;y) = x + y 0 , si x = − y ¿ Es
f xy (0; 0)
=
f yx (0; 0)
?
Derivación implicita
3
R → R una fu Sea F : D función de definida en en el el co conjunto ab abierto D; se dice que la ecuación define a z implícitamente como una función de x e y, cuando existe una R → R función f : U
2
((;;;;)) = 0
defi de fini nid da en un con onju junt nto o ab abie iert rto o U, ta tall que:
F ( x; y; z ) = 0 z
=
f ( x; y )
Ejemplo
La ecuación funciones
z z
=
=
2
3 x
f ( x; y ) f ( x; y )
+
2
y
z
2
−9 =
0representa implícitamente
9 3 x 2 y 2
=
=
+
−
−
ó
−
−
9 3 x
2
−
2
y
las
Ejemplo
Halle
z y
2
xy
y
z
si
x
+ 3 yz
2
z
+ z
3
=
f ( x; y ) satisface la ecuación
+
3
x
−
2
=
0
Ejemplo
Si u y v son funciones de x, y definidas implícitamente en alguna regió ión n del plan pl ano o XY de defi fini nida dass po porr la lass ec ecua uaci cion ones es +
x
u cos v
−
y
Halle u x
v ,
2
u senv
x
u ,
y
v ,
y
2
=
0
=
0
View more...
Comments
