Derivadas Parciales PDF

November 15, 2022 | Author: Anonymous | Category: N/A
Share Embed Donate


Short Description

Download Derivadas Parciales PDF...

Description

 

Universidad Nacional de Ingeniería Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas

TEMA: DERIVADAS PARCIALES

 

Derivadas parciales Supong Supo nga a qu que e   f  es una función de dos variables   x  e   y , si hacemos que qu e solo solo x  va varí ríe e mi mien entr tras as que que y  se mant mantie iene ne fija fija,, por por ej ejem empl plo o y = y 0  , donde   y 0  es una constante, entonces, realmente estamos cons co nsid ider eran ando do una una func funció ión n de un una a sola sola varia ariabl ble, e, es deci decirr,

0  (; ( ( ; );  ).).

Si esta esta fu func nció ión n tien tiene e deri deriv vada ada en x 0 , en ento tonc nces es la ll llam amar arem emos os:: a)derivada parcial de   con respecto a   en denotamos con.    o ; y o ) Y esta dado por f  x  ( x 

 f x ( x0 , y0 )  

f  =

 x

( x

0

, y0 )

=

 

lim

 x →0

f ( x0

+ x , y0

y la

) − f (x

x 

0

, y0 )

 

Interpretación Interpre tación geométrica

Ecuación Ecua ción de recta tangent tangente e

  ,     =       ,  = 

 

b) Análogamente, la derivada parcial de

con respecto a y en

la denotamos con f y  ( x  , o ) se obtiene manteniendo x  fija    o ; y 

  ((= ;0))

   o ; y o ) hallando la derivada ordinaria de f y ( x  .Donde estará dado por

fy  ( x0 , y0 )

=

f  y

( x0 , y0 )

=

 

lim

y →0

f ( x0 , y0

)

+ y − y 

f ( x0 , y0 )

y

y

 

Interpretación Interpre tación geométrica

Ecuación de recta tangente

   =  ,  y  

,

 = 

 

Ejemplo Sea la función

  ,, = 1616 4  

  

Determine las derivadas parciales de la función  ,

  f ( x ,y ) 1 6 4 x =



2



y

2

en el punto (1,2)

 

Ejercicio Sea la función

  ,, = 4       

Determine las derivadas de la función  ,

  f ( x ,y ) 1 6 4 x =



2



y

2

en el punto (2,0)

 

En general para una función f de n variables la derivada parcial para

    

variable estará dado por:

 = →lim   ……. −,  ℎ, +,…….ℎ     …….,…….

 

observación De articular interés son la derivada en la dirección del eje x, denotada derivada en la dirección del eje y, denotada respecto a e respectivamente.







, y la

; llamadas derivadas parciales

 

Ejemplo Sea

        + +   ;; = = ቐ0 ,  ,

Halle a)

;

Resolución

a.i) Si

;; ≠ 0;0

; ;  ≠= 00; 0; 0

 

Continuando.....

 =   2 2     ++ − +   ==  +  3−+ + 

a.ii)

 0 0;;;; 0 = 0; 0

 f  ( 0 + hi ) −  f  ( 0 )  Lim h 0   h →

=

h 2 0 + 2 h0 2  Lim h→0

 f  ( h;0) −  f  (0;0) h

=

 Lim h →0

h 2 + 02



 f  (0;0) =

h

0

 

Continuando....

 

De forma similar 

;;

 

Ejemplo Halle

    ;; =  + y

si

 

Observacion 

La derivada también se puede denotar:

 f   x

( x ) 0

,

 f   y

( x )  , 0

 D x   f  ( x0 ) ,  D y  f  (x0 )

 

Ejemplo Halle

 z  x 

si

   x 2 +  y 2 −  x     z =  f  ( x; y ) = ln  2  2  x +  y +  x    

 

Ejemplo Halle  f 1 (  0;0 )

si

(

 xy  x 2 −  y 2 , si ( x; y )  (0;0)   f  ( x; y) =    x 2 +  y 2 0

, si ( x; y ) = (0;0)

 

Recordando Sea

 z

=

 f  ( x;  y )  

 x =

2

 xy

e

Calcular

  z  z  −  y   x   z  x  y 1





 

Derivada de orden superior  

Hemos visto que la derivada parcial respecto a la i-esima componente es:

()

 Di  f   x

=

 

   f   x + hei  Lim h h →0



()

 f   x

esta a es a su vez una nueva función, que se puede volver a derivar

 

Derivada de orden Superior   Di  f   x  + he j − Di  f  ( x )   x j ( Di  f  ( x )) =  Lim h h →0

 

Notación  



Sea

 f  : R

n



 R

 3  f        f        = =  f  zxy  x   y   z     x y z 3

        f    =   f  2 =  f  yyx   x   y   y    x y

 

Ejemplo 

Dada la función

e x + e y +    xy si ( x;  y )  (0;0)  2 2  f  ( x; y ) =   x +  y  2 si  x;  y = 0;0 ) ( ) 2 2 (   f    f 

 Hallar   Ha llar 

 x

2

(0;0)

 y

 y

2

(0;0)

 

Teorema 

Sea  f : D  2 →  una función continua para la cual, 2 son continuas en algún conjunto abierto  D  

 f 1 ,  f 2 ,   f    12 , f 21 Entonces



2

 f 

 



2

 f 

 x j  xi =   xi x j

 

Ejemplo a) Si

 f ( x; y ) = e xy senx cos y 

Calcular 

2

 f



 xy



2



yx

b) Probar que la siguiente función es armónica  

=

 x 2 y 2 −

 f  ( x; y ) e sen se n(2 xy ) recordar que para que una función se armónica: 

2



 f  2 +

2

 f  2 =0

 x

 y

 

 f ( x; y ) = e xy senx cos y 

Calcular 

2



 f

 xy



2



yx

 

Ejemplo 

Dada la función

  4 − 4  xy 3 x 3 y  , si x  − y  f ( x;y) =     x + y  0 , si x = − y  ¿ Es

 f xy (0; 0)

=

f yx (0; 0)

?

 

Derivación implicita  



3

   R →  R una fu Sea F  :  D  función de definida en en el el co conjunto ab abierto D; se dice que la ecuación define a z implícitamente como una función de x e y, cuando existe una    R →  R función   f   : U    

2

  ((;;;;)) = 0

defi de fini nid da en un con onju junt nto o ab abie iert rto o U, ta tall que:

F ( x;  y; z ) =  0     z

=

 f  ( x; y )

 

Ejemplo 

La ecuación funciones

 z  z

=

=

2

3 x 

 f  ( x;  y )  f  ( x;  y )

+

  2

 y  

z

2

−9 =

0representa implícitamente

9 3 x 2  y 2

=

=

+





ó





9 3 x

2



2

 y

las

 

Ejemplo 

Halle

 z  y

2

 xy

 y

 z

si

 x 

+ 3 yz

2

 z

 

+    z

3

=

  f     ( x;  y ) satisface la ecuación

+

3

x



2

=

0

 

Ejemplo 



Si u y v son funciones de x, y definidas implícitamente en alguna regió ión n del plan pl ano o XY de defi fini nida dass po porr la lass ec ecua uaci cion ones es +

 x

u cos  v



 y

Halle u  x

v ,

2

u senv

 x

u ,

 y

v ,

 y

2

=

0

=

0

View more...

Comments

Copyright ©2017 KUPDF Inc.
SUPPORT KUPDF