Derivada Por El Metodo de Los Incrementos

 

Derivada de una función

Se llama derivada de una función f(x) al limite de delta y (∆y) sobre delta x (∆x) cuando ∆x tiende a cero (0). La derivada tiene como notación:

    ´ ´  y     ´     ´  Para derivar una función utilizaremos los siguientes métodos: 1) Métodos de los incrementos 2) Derivada por formula

*Métodos de los incrementos Para resolver una derivada por este método utilizaremos los siguientes pasos: 1) se sustituye en la función a y por y + ∆y, a x por x + ∆x. 2) se resuelve la operación planteada 3) se resta la función f(x) (posición inicial) 4) se divide todo por ∆x 5) se busca el límite de

(a + b)2 

→

Δ  0)  Δ cuando ∆x tiende a cero (∆x → 0) 

El cuadrado de la suma de un binomio

Regla: la 1era al cuadrado, mas dos veces la 1 era por la 2da, mas la 2da al cuadrado. (x + y)3 

 El cubo de la suma de un binomio

→

Regla: la 1era al cubo, mas tres veces la 1 era  al cuadrado por la 2da, mas tres veces la 1era por la 2da al cuadrado, más la 2da al cubo.

 

Ejemplos: 1) y = 4x2  –   –  10x  10x + 6 y + ∆y = 4(x + ∆x)2  –   –  10(x  10(x + ∆x) + 6 y + ∆y = 4(x2 + 2 (x)(∆x) + (∆x)2  –  10 (x + ∆x) + 6 y + ∆y = 4x2 + 8x ∆x + 4(∆x)2  –   10x  –  10  10∆x + 6  –  10x

 –  4x  4x2 

 –  y  y

10x

Δ  8xΔ  4(∆)  Δ = Δ + Δ Δ  = 8x + 4∆x  –  10  10 Δ

 –   66

10Δ 

 –   Δ

∆ lim = 8x + 4(0)  –  10  10  ∆→0 ∆ ∆ = 8x  –  10 lim  10 ∆  ∆→0

 2x2 + 4x  –  20  20 2) y = 5x3  –   –  2x y + ∆y = 5(x + ∆x)3  –  2(x + ∆x)2 + 4(x + ∆x)  –  20  20  – 2(x y + ∆y = 5(x3 + 3 (x)2(∆x) + 3 (x)(∆x)2 + (∆x)3  –   –  2(x  2(x2 + 2 (x)(∆x) + (∆x)2 + 4(x + ∆x)  –  20  20 3

2

2

3

 – 

2

 – 

 – 

2

 – 

y + ∆y = 5x  + 15(x) (∆x) +15(x)(∆x)  +5(∆x)    2x    4(x)(∆x)  2 (∆x)  + 4x + 4∆x  20  –   y y  –  5x  5x3 2x2  –  4x 20

Δ  = Δ Δ  Δ =

lim  ∆→0 lim  ∆→0

 4Δ 4xΔ 2(∆) 15 Δ  + 15x(∆) + 5(∆)3  –  Δ  –   Δ − Δ  + Δ   Δ Δ 15x2 + 15x∆x + 5(∆x)2  –   –  4x  4x  –   2 2∆x + 4

∆ 15x2 + 15x(0) + 5(0)2  –   4x  –   2 2(0) + 4 =  –  4x ∆ ∆ = 15x2  –   –  4x  4x + 4 ∆