Derivada Direccional y Gradiente 2016

 “AÑO DE LA CONSOLIDACIÓN DEL MAR DE GRAU”.

FACULT FACULTAD AD DE INGENIERI INGENIERIA A CARRERA INGENIERIA DE MINAS

INFORME ACADÉMICO Autor(es):

 Cercado Wualter, Inr!.  "ern#nde$ %ulca, &e!'on.  Mor!llo G!l, Ro(ert  Curso:

Calculo III Docente:

 Alc#ntara Ort!$, Ort!$, Del!a. 07/06/2016

CAJAMARCA – PERÚ 

INTRODUCCIÓN

APLICACIÓNES DE DERIVADA DIRECCIONAL Y GRADIETE

I.

DESARROLLO DEL TEA II.I De!"n"c"#n $e %& $er"'&$& $"recc"on&% La der!)ada d!recc!onal de una *unc!+n en un unto -/,01 0 la d!recc!+n de un )ector un!tar!o en el 'ent!do del )ector, e' or  de*!n!c!+n, el l23!te de un coc!ente !ncre3ental '!e3re 4ue e'te e/!'ta. E' dec!r, un n53ero 0 d!c6o n53ero unto rere'ente la rad!ente de una *unc!+n de do' )ar2ale' en unto e' un )ector de R7 4ue 'e o(t!ene a art!r de la' der!)ada' arc!ale' de la *unc!+n en d!c6o unto. Sea * una *unc!+n de do' )ar!a(le' / e 0, 0 'ea u= cos θi + sin θj  un )ector un!tar!o. Entonce' la der!)ada d!recc!onal de * en la d!recc!+n de u 'e denota or Du! , 0 e'8 θ  x + t cos θ . y + t sin ¿−f  ( x ; y )

¿ ¿

t  f  ¿

¿ ¿  Duf  =lim ¿ t→0

El c#lculo de la der!)ada d!recc!onal 3ed!ante e'ta de*!n!c!+n e' co3ara(le al de encontrar la der!)ada de una *unc!+n de una )ar!a(le. Una *+r3ula de tra(a9o 3#' '!3le ara o(tener der!)ada' d!recc!onale' recurre a la' der!)ada' arc!ale' */1 0 *01.

II.I.I Teore&s Teore& . S! * e' una *unc!+n d!*erenc!a(le de / e 0, entonce' la der!)ada d!recc!onal de *  en la d!recc!+n del )ector un!tar!o μ=cos θi + sin θj   e'.  Dμf  ( x ; y ) =fx ( x ; y ) cos θ + fy ( x ; y ) sin θ

O('er)ar 4ue 6a0 !n*!n!ta' der!)ada' d!recc!onale' en un unto dado de una 'uer*!c!e :una ara cada una de la' d!recc!one' e'ec!*!cada' or el )ector u, co3o 'e 3ue'tra en la *!ura. Do' de ella' re'ultan 'er la' der!)ada' arc!ale' */ 0 *0.

.

El )ector u e'ec!*!ca una d!recc!+n en el lano /;01 , 0>1 0 cur)a de n!)el 4ue a'a or />,0>1.

, entonce' e' nor3al a la

.

II.

E/ERCICIOS PROPUESTOS 0

E1erc"c"o2

La te3eratura, en rado' Cel'!u', 'o(re la 'uer*!c!e de una laca 3et#l!ca )!ene dada or 

M!d!endo / e 0 en cent23etro'. De'de el unto 7,:?1, @en 4u d!recc!+n crece la te3eratura 3#' r#!da3enteB @A 4u r!t3o 'e roduce e'te crec!3!entoB

So%uc"#n El rad!ente e'

Se '!ue 4ue la d!recc!+n de 3#' r#!do crec!3!ento )!ene dada or 

Co3o 'e 3ue'tra en la *!ura, 0 4ue la ra$+n de crec!3!ento e' -or cent23etro

Dirección de más rápido crecimiento en (2!"#

0

E1erc"c"o2

D!(u9ar la cur)a *unc!+n unto' de la cur)a.

de n!)el corre'ond!ente a c=> ara la 0 encontrar )ectore' nor3ale' en d!*erente'

Soluc!+n8 La cur)a de n!)el ara c=> )!ene dada or 

Co3o 'e !nd!ca en la *!ura .. Co3o el )ector rad!ente de * en /,01 e'

-ode3o' ut!l!$ar el teore3a

E'ta ta'a !n'tant#nea de ca3(!o :>.CH3 '!n!*!ca 4ue 'e o('er)ar# en un !n!c!o una d!'3!nuc!+n de >.C en la te3eratura or cada !l+3etro 4ue 'e )!a9e.

0

E1erc"c"o62 Sea *8 IR7::::::: IR de*!n!da or8 f  ( x , y ) =ln ( 1 + x +  y ) − Arc. tang ( x ) . En el unto , 0>1B

0

E1erc"c"o92 Pro%e&: Una a(e9a e'ta )olando de'de un *oco cal!ente 4ue 'e encuentra en el or!en, en tra0ector!a 4ue

de'cr!(e una cur)a C, de tal 3anera, 4ue el )ector o'!c!+n > o'!c!+n de la a(e9a1 en el !n'tante t e' 8 f  ( t )=( tcosπt , tsenπt , t ) , t ∈ R

a1 Deter3!ne la o'!c!+n de la a(e9a en el !'tante t=< 0 el )ector tanente a C en e'e unto. (1 La te3eratura  en rado' Cel'!u' en /, 0, $1 e' 10 T  ( x , y , z )=  x + y + z , allar la ra$+n de ca3(!o de la 2

2

2

te3eratura '! la a(e9a dec!de 'eu!r en la d!recc!+n del )ector tanente a la cur)a.

0

E1erc"c"o;2 Pro%e& Calcula la deri!ada direccio"al de la fu"ci#" f  ( x , y ) = x + 3 x y e" el pu"to ($%) e" la direcci#" &ue 2

2

!a desde el ori'e" hacia este pu"to

III.

CONCLUSIONES

Llea3o' a la conclu'!+n, de 'a(er la al!cac!+n de la der!)ada d!recc!onal 0 rad!ente. Conoc!3o' 'u' teor2a' co3o ta3(!n al!cac!one' en la )!da cot!d!ana del 6o3(re. De'arrollar ro(le3a' lanteado' en nue'tra )!da d!ar!a, co3o ta3(!n la naturale$a.

IV.

REFERECIAS r&$"ente@