Derivada de Funciones

DERIVADA DE FUNCIONES LA DERIVADA   Sea y f(x) una función dada. La derivada de y con respecto a x, denotada por , se define por o bien

siempre y cuando el límite exista.

DERIVADA DE FUNCIONES •  

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA

m = Tg = La pendiente de la recta tangente a una función en un punto es igual a la derivada de la función en ese punto, que también coincide con la tangente del ángulo que forma la recta tangente con la horizontal.

DERIVADA DE FUNCIONES •NOTACIÓN   DE DERIVADA , , y), f) , (x), (x) ALGEBRA DE DERIVADAS DERIVADAS DE FUNCIONES ELEVADAS A UNA POTENCIA Si , entonces (fórmula de la potencia)

DERIVADA DE FUNCIONES •EJEMPLOS   1. = 7 = 7 2. = 3. = = =

-1=

DERIVADA DE FUNCIONES •   = = -2 = = = 1. = = 1 o sea que = 1

DERIVADA DE FUNCIONES •DERIVADA   DE UNA CONSTANTE Sea C una constante, entonces =0 =0 (2.1) = 0

=0 =0

DERIVADA DE FUNCIONES •DERIVADA   DE UNA CONSTANTE MULTIPLICADA POR UNA FUNCIÓN Sea C una constante y U(x) una función de x, entonces: =C Esto es, la derivada del producto de una constante y una función de x es igual al producto de la constante y la derivada de la función.

DERIVADA DE FUNCIONES •   EJEMPLO Sea u = 4 = = 4 = 4(3) = 12

DERIVADA DE FUNCIONES •DERIVADA   DE LA SUMA DE DOS FUNCIONES Sean U(x) y V(x) funciones de x, entonces: = + En otras palabras, la derivada de la suma de dos funciones es igual a la suma de las derivadas de las dos funciones

DERIVADA DE FUNCIONES •EJEMPLOS  

= + = 12

-

+ +

DERIVADA DE FUNCIONES •PROBLEMA   Durante el periodo de 10 años de 1970 a 1980, se encontró que la población de cierto país estaba dada por la fórmula P(t) = 1 + 0.03t + 0.001 Donde P está en millones y t es el tiempo medido en años desde el inicio de 1970. Calcule la tasa de crecimiento instantánea al inicio de 1975.

DERIVADA DE FUNCIONES •   SOLUCIÓN P(t) = 1 + 0.03t + 0.001 Piden calcular cuando t = 5, por lo tanto: = 0.03 + 0.002t Si t = 5, entonces Al inicio de 1975, la población de la ciudad estaba creciendo a una tasa de 0.04 millones anualmente o 40000 por año).

DERIVADA DE FUNCIONES •Calcular   las siguientes derivadas: 1) f(x) = 2) f(x) = + 7x +

DERIVADA DE FUNCIONES •PROBLEMAS   DE APLICACIÓN Durante el periodo de 1999 a 2019, el producto nacional bruto (PNB) de cierto país se encontraba dado por la fórmula I = 5 + 0.1x +0.01 en miles de millones de dólares. (Aquí la variable x se utiliza para medir los años, con x = 0 siendo 1999 y x = 20 siendo 2019). Calcule las tasas de crecimiento instantáneas del PNB en 1999, 2009 y 2019

DERIVADA DE FUNCIONES •Solución:   Derivamos la función. = = 0.1 + 0.02x En 1999 x=0 por lo tanto El PNB en 1999 crece a una tasa de 0.1 miles de millones de dólares.

DERIVADA DE FUNCIONES •=  0.1 + 0.02x En 2009 x = 10, entonces: = 0.3 Por lo tanto en 2009 el PNB crece a una tasa de 0.3 miles de millones de dólares por año.   En 2019 x = 20, entonces: = 0.5 Por lo tanto en 2019 el PNB crece a una tasa de 0.5 miles de millones de dólares por año.

DERIVADA DE FUNCIONES •   ANÁLISIS MARGINAL Costo marginal Definimos el costo marginal como el valor límite del costo promedio por artículo extra cuando este número de artículos extra tiende a cero. Así, podemos pensar del costo marginal como el costo promedio por artículo extra cuando se efectúa un cambio muy pequeño en la cantidad producida. Sea C la ecuación de costo, entonces: Costo marginal = =

DERIVADA DE FUNCIONES •EJEMPLO   Para el caso de la función de costo C(x) = 0.001 - 0.3 + 40x + 1000 determine el costo marginal como una función de x. Evalúe el costo marginal cuando la producción está dada por x = 50, x = 100 y x =150.

DERIVADA DE FUNCIONES •SOLUCIÓN   Determinamos la derivada de C(x) = 0.001 - 0.3 + 40x + 1000 (x) = 0.003 – 0.6x +40 Esta función, el costo marginal, da el costo promedio por artículo de crecimiento de la producción por una pequeña cantidad dado que ya se han producido x artículos.

DERIVADA DE FUNCIONES Cuando han producido 50 unidades, el costo marginal de los artículos extra •está  dadosepor: X = 50 (50) = 0.003 – 0.6(50) + 40= 7.5 – 30 + 40 = 17.5 Cuando se han producido 100 unidades, el costo marginal de los artículos extra está dado por: X= 100 (100) = 0.003 – 0.6(100) + 40 = 30 – 60 + 40 = 10 Cuando se han producido 150 unidades, el costo marginal de los artículos extra está dado por: X= 150 (150) = 0.003 – 0.6(150) + 40 = 67.5 – 90 + 40 = 17.5

DERIVADA DE FUNCIONES En el ejemplo, observamos que el costo marginal decrece a medida que la producción se incrementa de 50 a 100 unidades y luego se incrementa cuando la producción aumenta de 100 a 150

DERIVADA DE FUNCIONES •   INGRESO MARGINAL Si R(x) denota el ingreso por la venta de x artículos, definimos el ingreso marginal como la derivada (x). Ingreso marginal = (x). Representa el ingreso adicional por artículo si la producción sufre un pequeño incremento.

DERIVADA DE FUNCIONES UTILIDAD MARGINAL •   La utilidad que una empresa obtiene está dada por la diferencia entre sus ingresos y sus costos. U(x) =R(x) - C(x)

Utilidad = Ingresos - Costos

Si U(x) denota la utilidad por la venta de x artículos, definimos la utilidad marginal como la derivada (x) Utilidad marginal = (x) Representa la utilidad adicional por artículo si la producción sufre un pequeño incremento.

DERIVADA DE FUNCIONES EJEMPLO La ecuación de demanda de cierto artículo es: P + 0.1x = 80 (p es precio y x la cantidad de artículos producidos) Y la función de costo es C(x) = 5000 + 20x Calcule el ingreso marginal y la utilidad marginal cuando se producen y venden 150 unidades y también en el caso de que se produzcan y vendan 400 unidades

DERIVADA DE FUNCIONES •SOLUCIÓN   Calculamos la ecuación de ingreso R(x) Como se producen x artículos a un precio p, entonces: R(x) = x.p De la ecuación de demanda despejamos el precio P + 0.1x = 80 P = 80 – 0.1x R(x) = x(80 – 0.1x) = 80x – 0.1 R(x) = 80x – 0.1

DERIVADA DE FUNCIONES •R(x)   = 80x – 0.1 El ingreso marginal es: (x) = 80 – 0.2x Si x = 150 (150) = 80 – 0.2(150) = 80 – 30 = 50 Ingreso marginal = 50 Así pues, cuando se producen 150 artículos, el ingreso extra cuando la producción se incrementa en una pequeña cantidad es $50

DERIVADA DE FUNCIONES •Si  x = 400 (400) = 80 – 0.2(400) = 80 – 80 = 0 Ingreso marginal = 0 Cuando se producen 400 artículos y la producción se incrementa en una pequeña cantidad el ingreso es $0. No se produce ingreso alguno.

DERIVADA DE FUNCIONES Ahora •   hallamos la función de utilidad U(x) = R(x) – C(x) U(x) = (80x – 0.1) – (5000 + 20x) U(x) = 80x -0.1 -5000 – 20x U(x) = - 0.1 + 60x – 5000 Derivamos U(x) y obtenemos (x) = - 0.2x + 60

DERIVADA DE FUNCIONES Si • x  = 150 (150) = - 0.2(150) + 60 = - 30 + 60 = 30 Utilidad marginal = 30 Cuando se producen 150 artículos y la producción se incrementa en una pequeña cantidad la utilidad es $30 Si x = 400 (400) = - 0.2(400) + 60 = - 80 +60 = -20 Utilidad marginal = -20 En consecuencia, si se producen 400 unidades, un pequeño incremento en la producción da como resultado una pérdida (esto es, una utilidad negativa) de $20 por unidad adicional.

DERIVADA DE FUNCIONES •   DERIVADAS DE PRODUCTOS Y COCIENTES LA REGLA DEL PRODUCTO Si u(x) y v(x) son dos funciones de x diferenciables, se sigue que: = u + v. = u. + v. La derivada del producto de dos funciones es igual a la primera función por la derivada de la segunda más la segunda función por la derivada de la primera.

DERIVADA DE FUNCIONES •EJEMPLO   Si y = (2 + 8x + 7), Determinar u = v = 2 + 8x + 7 = (+ (2+ 8x +7) = ((6 + 8) + (2 + 8x + 7)(10x – 3)

DERIVADA DE FUNCIONES •REGLA   DEL COCIENTE Si u(x) y v(x) son dos funciones diferenciables de x, se sigue que: =

=

DERIVADA DE FUNCIONES •EJEMPLO   y= u=   = =

v=

DERIVADA DE FUNCIONES EJEMPLO El producto nacional bruto (PNB) de cierto país está aumentando con el tiempo de acuerdo con la fórmula I = 100 + t (miles de millones de dólares). La población en el instante t es P = 75 + 2t (millones). Encuentre la tasa de cambio del ingreso per cápita en el instante t = 3.

DERIVADA DE FUNCIONES •SOLUCIÓN   El ingreso per cápita es un cálculo que se realiza para determinar el ingreso que recibe, en promedio, cada uno de los habitantes de un país; es decir, en promedio, cuánto es el ingreso que recibe una persona para subsistir. Este cálculo se obtiene dividiendo el ingreso nacional entre la población total de un país. El ingreso per cápita, que denotamos por y, es igual al PNB dividido entre el tamaño de la población, entonces: Y= = (miles de dólares)

DERIVADA DE FUNCIONES •Para   derivar esto utilizamos la regla del cociente con y = siendo u = 100 + t y v = 75 + 2t Entonces: = = = = =

DERIVADA DE FUNCIONES •   derivar esto utilizamos la regla del cociente Para con y = siendo u = 100 + t y v = 75 + 2t Entonces: = = = = =

DERIVADA DE FUNCIONES •LA  REGLA DE LA CADENA Si y es una función de u y u es una función de x, entonces.

DERIVADA DE FUNCIONES •   EJEMPLO 1 Sean: Y = u = Piden calcular Como y no depende de x sino de u, pero u depende de x, aplicamos la regla de la cadena. Tenemos que = 5 = 2x Por lo tanto = (5)(2x) = 5 (2x) = 10x

DERIVADA DE FUNCIONES 2 •EJEMPLO   Sea y = determinar Hacemos u = 25 Entonces y = = Aplicamos la regla de la cadena   = = = = - 4x = ((-4x) = - = -

DERIVADA DE FUNCIONES •Forma   directa: y= = = (25 - 2 (-4x) =- =-

DERIVADA DE FUNCIONES •EJEMPLO   3 Una empresa tiene la función de costo C(x) = 25 + 2x - , en donde x es el nivel de producción. Si éste es igual a 5 actualmente y está creciendo a una tasa de 0.7 por año, calcule la tasa en que los costos de producción se están elevando

DERIVADA DE FUNCIONES •   SOLUCIÓN Piden hallar Sabemos que = 0.7 (cuando el tiempo se mide en años). El costo marginal está dado por = Entonces = 2 Aplicamos regla de la cadena =

DERIVADA DE FUNCIONES •Aplicamos   regla de la cadena = = (0.7)   Sustituyendo x por 5, el nivel de producción actual, obtenemos. = (0.7 = 1.05 Así que los costos de producción se están incrementando a una tasa de 1.05 por año.